20/03/04 03:30:36.65 fel9VZKy.net
正の整数nの任意の約数d<nに対し、ある正の整数mがあってmd+1<nがnと互いに素になるという。
nの必要十分条件を求めよ。
676:１３２人目の素数さん
20/03/04 05:12:28.40 3AxDkYqV.net
・優弧BC上に
∠BCF = ∠CBF = (π-∠A)/2 ( >π/3),
となるように 点F をとる。
△ABC < △CBF,
∠BFC = ∠A < π/3,
・劣弧CF上に ∠EBF = π/3 となるように 点E をとる。
∠BEF = ∠BCF = (π-∠A)/2 > π/3,
すなわち
∠CBF > ∠EBF > (π-∠BEF)/2,
∴ △CBF < △EBF,
・優弧EF上に ∠DEF = ∠DFE = π/3 となるように 点D をとる。
△DEF は正三角形
△EBF < △DEF,
以上により
△ABC < △DEF,
677:１３２人目の素数さん
20/03/04 06:35:55 lpGYoEdj.net
>>641
n≡2(mod 4)とするときd=n/2に対してdm+1<nを満たすmは1しかないが、このときdm+1みnみ偶数だから条件は満たされない。
m≡1,3(mod4)とするとき任意のd|n (d<n)に対してd|n/pとなる素因子p>2がとれるが、このときnとn/p+1の共通素因子はpしかあり得ず、pが共通素因子なら2n/p+1とnは共通素因子を持ち得ず互いに素である、
m≡0 (mod 4)とするとき任意のd|n (d<n)に対してd|n/pとなる素因子pにた�
678:｢しp>2であれば先と同じようにしてmを選べる。 p=2のときは(n,n/2+1)=1でよい。 以上により与えられた条件はn≡0,1,3(mod4)と同値である。
679:イナ
20/03/04 17:36:59.43 OGTmh3Cc.net
前>>626
>>292名高い灘高。
OA・OB=1しか条件ない。
あとは直線PQで垂直二等分されるADをどう使うか。
△PBD∽△OBQを示すために、OについてQと点対称なQ'を取り、△PBA∽△OBQ'を示したらどうか。
OA・OB=1と△PBA∽△OBQ'
どうつなげるか。
相似比PD:OQ=PA:1
見るからに相似なんだけど、相似条件がわからない。
2辺の比とその間の角が等しい、かな？
OB=1/OA=OQ/OA=OQ/PD=1/PD
接弦定理かな？
考え中？ まだ出ない？
相似だけどだれにも証明されていない問題？
680:
20/03/05 00:47:22.50 0idrlik+.net
前>>644
平面図形に複素数なんかあるわけない。
相似条件は3つ。
3組の辺の比が等しい。
2組の辺の比とその間の角が等しい。
2角が等しい。
この3つの条件を探してみつけられなかったとしても探した奴、探そうとした奴を合格にすべきだと思う。
681:１３２人目の素数さん
20/03/05 08:34:31.13 y1DklE5e.net
>>292
半直線OABを実軸とする複素平面上で考える。
O(0)
A(a) 0<a<1,
B(1/a)
P(e^(ip))
Q(e^(iq))
0 < p < q < 2π, 0 < q-p < π,
D(e^(ip) + e^(iq) - a･e^i(p+q))
とおくと
PD = e^(i(p+q)){e^(-ip) -a} = e^(i(p+q))AP~,
QD = e^(i(p+q)){e^(-iq) -a} = e^(i(p+q))AQ~,
|PD| = |AP|
|QD| = |AQ|
∴ Dは直線PQに関してAと線対称である。
OQ/OB = a･e^(iq) = PD/PB,
ゆえ相似だろうな。。。
682:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/05 13:16:55 0idrlik+.net
前>>645
検索したら似たような問題があって、複素数で解いてあった。
複素数を使わない解き方をみつけないといけない。
△BPA∽△BOQ'
かつ△BDA∽△BQQ'
が言えれば、
△BDP∽△BQO
683:イナ
20/03/05 13:31:58.08 0idrlik+.net
PはADの中点、OはQQ'の中点だから、
△BPA∽△BOQ'
または△BDA∽△BQQ'
が言えれば、
△BDP∽△BQO
684:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/05 15:50:14 0idrlik+.net
前>>648違うか。
AP=DPは言える。
AD⊥PQ
OA=t(0＜t＜1)とおくと、
OB=1/t
ADとPQの交点をR、BRとODの交点をSとすると、メネラウスの定理より、
(OB/BA)(AR/RD)(DS/SO)=1
{(1/t)(1/t-t)}(1/1)(DS/SO)=1
DS/SO=(1/t-t)/(1/t)=1-t^2
わからん。
685:１３２人目の素数さん
20/03/05 17:15:01 eeoU5lKD.net
>>292
ある人に初等幾何による解答を書いてもらったのでここに貼ります
仮定よりEACBが調和点列であり,円Oがアポロニウスの円であることに注意すると
∠APC=∠CPB=:z
∴A,DはPQに関して線対称なので
DP:PB=PA:PB=AC:CB=EO:OB(EACBが調和点列でOはECの中点だから)
=OQ:OB·····?
(補足 OA=a,OB=1/aとすると)
∠OQB=x,∠OBQ=yとすると
∠BOQ=180-x-y
円周角の定理,タレスの定理などから
∠EPC=∠ECQ=90°-∠QEO=90°-(180°∠EOQ)/2
=(x+y)/2
∠APC=∠CPB=,線対称から∠DPQ=∠QPAより
∠DPB=2∠QPC=180°-2∠EPQ=180°-x-y=∠QOB·····?
??より
2辺比夾角相等から
△PBD∽△OBQ∎
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
686:１３２人目の素数さん
20/03/05 17:33:40 o68Yrcxc.net
>>650
> ∠BOQ=180-x-y
> 円周角の定理,タレスの定理などから
この辺りが問題文で明示されてない点の配置でめちゃ�
687:ｭちゃ場合わけしないとダメで実質証明にならない。
688:イナ
20/03/05 18:19:44.43 0idrlik+.net
前>>649
>>651
PQが半直線ABをまたぐようにQをとればいいのか。
なるほど、O,A,Bと同じ側は意外に広いね。
Pがつぶれて困ってた。
689:１３２人目の素数さん
20/03/05 18:37:42.78 eeoU5lKD.net
>>651
これを証明した人に教えたら「PQに関してOABは同じ側だから場合分けは
上図のような場合とPQがひっくり返ったもののみだと思います」とのこと
690:１３２人目の素数さん
20/03/05 18:51:52.17 pJ9pcxTu.net
>>653
そんなわけないやん。
そもそもOA・OB=1てOAとOBどっちが長いとか直線ABとPQの位置の配置とかで角度の計算とか全部影響する。
円周角の配置になったり縁に内接する四角形の対角の位置にきたり。
それぞれに対して全部どっちとどっちを出すのか、引くのか、とか、完全に一致したり捕角の関係になったり。
OAが長いか、OBが長いかに始まって証明を分けざるを得ない配置の場合わけが3回くらい必要で、各々について2通りか3通りの場合わけが必要で10通りを超えた。
OB<OAの時は一応全部潰したけど、残りのケース全部潰したとしてもとても書く気にはならないだろうからやめた。
図が問題に与えられてて配置が決まってないと初等幾何の証明はそうなる事が避けられない。
もちろん図がなくてもきちんと言葉で確定してればいいけど>>292は無理。
長さ、角度の足し引きが出る証明はその点の並んでる順番の不定性がある時は必ずそうなる。
691:１３２人目の素数さん
20/03/05 18:57:52.75 eeoU5lKD.net
>>654
Aは円Oの内部だからOA<OBとのことです
692:１３２人目の素数さん
20/03/05 19:22:41.12 pJ9pcxTu.net
>>655
そうなん？
でもそれだけじゃすまない。
>>292の文章だけでは確定しない点の配置がメチャメチャ出てくる。
そんな事ないというなら>>650 の証明で"などから"なんてごまかししないで全部書いてみてよ。
それがホントに>>653で言うように な2通りで済むのかどうか示してみてよ。
693:イナ
20/03/05 21:35:24.20 0idrlik+.net
前>>652訂正。
>>650
PQが半直線BAをまたぐようにQをとればいいのか。
なるほど、O,A,Bに対して同じ側は意外に広いね。
Pがつぶれて困ってた。
694:イナ
20/03/06 05:29:26.74 PniBgS7R.net
前>>657
>>650
∠EPC=∠ECQじゃないなぁ。
∠EPC=90°だから、移し間違いか文字化けか式が重なったか。
OA=tとおいてOB=1/tは同じだった。
∠APC=∠CPBは、たしかに見るからにそうなんだけど、すぐ言えるの？
どういうことだろう。
AC=1-t
CB=1/t-1=(1-t)/t
たしかに∠ACP=∠CPBに見えるんだけど。ここがこの問題の肝か。
695:哀れな素人
20/03/06 08:11:22.28 kKV2t8Di.net
>>650の回答を読んだ感想。
アポロニウスの円や調和点列の知識がないと解けない。
仮に知識があっても、
>EACBが調和点列であり,円Oがアポロニウスの円である
>AC:CB=EO:OB(EACBが調和点列でOはECの中点だから)
これを見抜くのは難しい。
後半の説明は煩雑だが、要するに∠DPB=2∠QPC=∠QOB
x、yその他の説明は不要。
問題自身には何の不備もない。
696:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/06 15:14:44 PniBgS7R.net
前>>658
>>659
AC:CB=1-t:1/t-1
=1-t:(1-t)/t
=1:1/t
=t:1
EO:OB=1:1/t
=t:1
たしかにAC:CB=EO:OBだけど、AC:CB=EO:OBが知りたいという必要性がどうなって出てきたか。
おそらく2組の辺の比が等しいことを言いたいからだと推察する。
もうちょっとでつながりそう。
697:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/06 20:32:42 PniBgS7R.net
前>>660
>>292問題。
>>650を理解した。
半直線OAと円周の交点をC,
半直線BAと円周の交点をEとする。
OA=tとおくと、
OB=1/t
AC=1-t
CB=1/t-1=(1-t)/t
∠QOB=∠QOCは弧QCに対する中心角だから、
円周角∠QPCの2倍。
∠QOB=2∠QPC─?
線分PQは線分DAの垂直二等分線だから、
∠DPQ=∠QPA
△OPA∽△OBP(相似比t:1,相似条件2組とその間の角が等しいから)だから、
同一中心角を頂角とした二等辺三角形△OPCをはさむと、
∠APBはPCにより二等分され、
∠APC=∠CPB
4つの角を足した∠DPBと、内側2つを足した∠QPAで、
∠DPB=2∠QPC─?
??より∠DPB=∠QOB
△OBQにおいて、
OQ:OB=OE:OB=1:1/t=t:1─?
△PBDにおいて、
PD:PB=PA:PB=t:1─?
??よりPD:OQ=PB:OB
2組の辺の比とその間の角が等しいから、
△PBD∽△OBQ
698:１３２人目の素数さん
20/03/06 21:50:30.67 zFeFSDD3.net
なんか画像横になってるけどこれでしょ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
699:１３２人目の素数さん
20/03/06 22:08:09 kJFoYYVj.net
二元体上の既約多項式であって自己相反であるものが無限に存在することを示せ。
ただし、n次多項式f∈F_2[x]が自己相反であるとは、f(x)=f(1/x)x^n を満たすことを言う。
700:１３２人目の素数さん
20/03/06 23:02:31.70 D66ej/ua.net
>>663
q>4を二冪として写像f:Fq＼{0}→Fqをf(x)=x+1/xで定める。
S=im(f)＼{0}の各元yについてf(x)=yを満たすFq＼{0,1}の元xが2個ずつ存在するから
2#S=q-2
であり、#S=q/2-1<q-3であるからSにみF4「も属さないb∈Fqがとれる。
bのF2上の最小多項式をP(y)とする。
Q(x)=P(x+1/x)x^n (n=degP)とおく。
代数閉体Ωの元aをf(x)=bの解とすればaはQ(x)の根である。
ここで[Fq(a):F2]はqまたは2qであるからd=[F2(a):F2]は2q,q,2,1のいずれかである。
d=qとなるのは方程式F(x)=bがFqに解を持つ時であり、それはbの取り方に反する。
d=1,2となるときF2(b)⊂F2(a)最小⊂F4上となりやはりbの取り方に反する。
よってF2(a):F2]=2qとなりQ(x)はaの最小多項式であり既約である。
さらにQ(x)の根はP(x)の根βに対して方程式x+1/x=βの解をとるときの全体だから自己相反である。□
701:１３２人目の素数さん
20/03/06 23:17:34.90 D66ej/ua.net
>>664
訂正q=2^eとしてeは素数にとるでした。
[Fq:F3]=eで以外それに応じてエスパーおながいします。
702:１３２人目の素数さん
20/03/07 00:01:03.44 Ytx6ZrcL.net
>>664
実際に構成したのか…お見事
想定してたのは、F2上n次既約多項式全体の集合をS_nとおいて、S_nの元の個数が
(1/n)Σ_(d|n)μ(n/d)2^d
になること、これが無限個のnについて奇数になること、
それを利用してS_n上の対合 φ(f)(x)=f(1/x)x^n が固定点を持つことを示す、という感じでした
703:イナ
20/03/07 05:25:55.70 zZMNS4lO.net
前>>661
>>662(1)(2)(3)の誘導付きだったか。
どんなけ難しいんじゃ、さすがｼ難高思たけど。
704:１３２人目の素数さん
20/03/07 06:39:41.04 sSvThzV4.net
ゼロで割ったらアカンどあれほど
705:１３２人目の素数さん
20/03/09 02:32:13 V6IMEB5h.net
>>631 >>639
三辺の長さa,b,cの連続関数は、
2変数の連続関数の合成で表わせます。(アーノルド,1958)
→ ヒルベルト「数学の将来の問題」13番
しかし微分可能とは言えないので使えるかどうか････
>>652 >>653
0 < p,q < 2π
かつ
0 < |p-q| < π
です。
706:１３２人目の素数さん
20/03/09 12:27:18.99 3u+TSzyD.net
縦n個、横n個のマス目のそれぞれに 1,2,3,...,n の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも、2つの対角線上にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。(2020京大文系 改)
この問題って普通に解けるのかな
707:１３２人目の素数さん
20/03/09 12:36:26.83 kig3pL/N.net
さすがにΣとか使いまくらないと無理じゃね？
708:１３２人目の素数さん
20/03/09 15:38:37 bYkUA0JQ.net
U+2026
709:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/09 17:11:52 otlyxJ1y.net
前>>667
>>670
ルービックキューブの白の面に油性の黒で１,２,３のいずれかの数字を書きこむとすると、
コーナーキューブの白の面に黒で１と書いたとき、
これととなりあうエッジキューブの白の面2つあるうちの1つに２と書いたらもう1つは３。
∵コーナーキューブの白の面に３が2つ来たらだめだから。
これで縦に１,２,３、横に１,３,２と並んだとして、
白の面のセンターキューブは必然的に１となり、
一方の対角線は３,１,２ないしは２,１,３と並べられるのに対し、
もう一方の対角線が１,１,１となり、題意を満たさない。
∴3が2でも4でもnでも不可能である。
710:１３２人目の素数さん
20/03/09 17:19:16 N/3DceFI.net
ばかだなぁ
711:１３２人目の素数さん
20/03/09 17:51:38.42 E6UD7Wty.net
>>670
n=1～5について1,0,0,48,480
一般式つくれる？
712:１３２人目の素数さん
20/03/09 18:30:15.06 2IyRnfE2.net
元の京大の問題はn=4で可能でちゃんと値は求められる
713:１３２人目の素数さん
20/03/09 19:02:15.65 0N1NTePA.net
>>670
０通り、じゃないかな？
714:１３２人目の素数さん
20/03/09 19:07:42.46 Wjh2UUFs.net
対角線の要素を考えなければ計算しやすくなったりするだろうか？
1,2,12,576,…
715:１３２人目の素数さん
20/03/09 19:55:12.97 0N1NTePA.net
>>676
プログラムのバグを修正したら、n=4で48通りとカウントされた。
716:１３２人目の素数さん
20/03/09 20:02:36.35 0N1NTePA.net
>>679
プログラムに列挙させると、
> matrix(B[,counter[1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 3 4 1 2
[3,] 4 3 2 1
[4,] 2 1 4 3
> matrix(B[,counter[2]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 4 3 2 1
[3,] 2 1 4 3
[4,] 3 4 1 2
から始まって
> matrix(B[,counter[48]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 2 1 4 3
[3,] 1 2 3 4
[4,] 3 4 1 2
で終わり。
717:１３２人目の素数さん
20/03/09 20:17:16.73 kaHbC0fO.net
>>670
対角線めんどくせ
718:イナ
20/03/09 20:28:15.42 otlyxJ1y.net
前>>673反省。
n=2,3のときは0通りだけど、
n=1のときが１の1通りとしたら、
n=4のとき対角線はクロスして、なんかやな感じがした。
縦に１,２,３,４、
横に１,２,４,３とすれば可能。
対角線は斜め下から、
４,１,２,３もしくは、
４,２,１,３の2通り。
最初が4通り。
縦の並びが6通りで24通り。
横に2通りで48通り。
n=1,2,3,……に対する通りの数ａ_nは、
ａ_n=1,0,0,48,……
=n^2(ａ_n-1)
縦と横をn通りずつ増やしたら必然的に斜めも増えるかな？
ａ_5はそんなに増えないか。
719:イナ
20/03/09 20:33:49.52 otlyxJ1y.net
前>>682
ａ_5=480なら、
ａ_n=n^2(n-1)ａ_n-1
こうか？
480=5･5･4･48
720:イナ
20/03/09 20:48:10.94 otlyxJ1y.net
前>>683
うまく掛けるか割るかして辺々足すと先頭と尻尾、
ａ_nとａ_4=48ら辺が残るんじゃないか？
ａ_n=(n^3ａ_n-1)-(n^2ａ_n-1)
ａ_n-1={(n-1)^3ａ_n-2}-{{(n-1)^2ａ_n-2}
ａ_n-2={(n-2)^3ａ_n-3}-{{(n-2)^2ａ_n-3}
……
721:１３２人目の素数さん
20/03/09 21:04:26.54 Wjh2UUFs.net
対角線の条件を含まないものは、ラテン方格と呼ばれるらしい
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
ラテン方格の総数についての明示的な公式は、おそらく見つかってなさそう
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
対角線の条件を含むものは diagonal latin square とか呼ばれてるみたいだけど、
722:こちらの方もますます研究されていなさそうだ
723:１３２人目の素数さん
20/03/09 22:29:30.36 0N1NTePA.net
>>680
対角線条件を外すと５７６通り
> matrix(B[,counter[1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 2 1 4 3
[3,] 3 4 1 2
[4,] 4 3 2 1
> matrix(B[,counter[2]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 2 1 4 3
[3,] 3 4 2 1
[4,] 4 3 1 2
で始まって
> matrix(B[,counter[m-1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
[3,] 2 1 3 4
[4,] 1 2 4 3
> matrix(B[,counter[m]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
[3,] 2 1 4 3
[4,] 1 2 3 4
で終わり
724:１３２人目の素数さん
20/03/10 13:55:01.52 H1fx2jVB.net
シラミ潰しだとメモリ不足になった。
１億回シミュレーションしてようやく、1個みつかった。
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 5 4 3 1
[2,] 4 3 1 2 5
[3,] 1 2 5 4 3
[4,] 5 4 3 1 2
[5,] 3 1 2 5 4
725:１３２人目の素数さん
20/03/10 16:03:21 FoiTVu+g.net
深さ優先探索でやれ
726:１３２人目の素数さん
20/03/10 16:34:04 BSnoL6Fw.net
n=5 で対角線も考える場合
□□□□□
□■□■□
□□■□□
□■□■□
□□□□□
上の黒四角のどこにも同じ数字は入らない。
よって次のように固定して良い（重複度120）
□□□□□
□?■?□
□■?■□
□?■?□
□□□□□
四つの黒四角のうちどこか二つに同じ数字が入ると仮定すると、
中央の3x3の正方形に、ある特定の数字が３つ入ることになるが、
その数字が入ることが可能な残る場所は5x5正方形の四隅しかあり得ず、矛盾。
すなわち四つの黒四角に入る数字は全て異なるため、次のように固定して良い（重複度2）
□■□■■
□???□
■???■
□???□
■■□■□
黒四角のどこを決めても他の黒四角も全て決まることがわかる。白四角も同様。
ゆえに重複度は2*2=4.
以上から120*2*4=960通りになる…はずなんだけど>>675はどうやって計算した？
727:１３２人目の素数さん
20/03/10 18:57:05 H1fx2jVB.net
>>687
一つ見つかったから1 2 3 4 5 を各々例えば5 4 2 1 3 に置き換えるとかすれば、120個作れるな。
例
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 4 5 3 1 2
[2,] 3 1 2 4 5
[3,] 2 4 5 3 1
[4,] 5 3 1 2 4
[5,] 1 2 4 5 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 5 2 3 4 1
[2,] 3 4 1 5 2
[3,] 1 5 2 3 4
[4,] 2 3 4 1 5
[5,] 4 1 5 2 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 4 1 3 5
[2,] 1 3 5 2 4
[3,] 5 2 4 1 3
[4,] 4 1 3 5 2
[5,] 3 5 2 4 1
などなど
728:１３２人目の素数さん
20/03/10 19:28:10 2VZd/7KV.net
サイコロを1が出るまで振って、振った回数を当てるギャンブルがある。何回目にかけるのがベストか？
729:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:03:41.17 H1fx2jVB.net
>>691
直感だと１回
730:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:09:56.15 H1fx2jVB.net
>>691
１０万回シミュレーションして頻度をグラフ化
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
sim <- function(){
dice=0
i=0
while(dice!=1){
i=i+1
dice=sample(6,1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l')
731:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:31:31.78 vC568XMn.net
霊感で一回
732:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:44:08.24 xGpgpXvb.net
>>691
n+1回目に始めて1が出る確率は1/6(5/6)^nで減少関数だから1回がベスト
733:イナ
20/03/10 20:45:37.39 SgyDBxw5.net
前>>683
>>691
出るまで引くよりベストがあるなら、
1/6+(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(5/6)(1/6)=0.517746917……
5割超えんのは4回目。
∴4回目がベスト。
734:１３２人目の素数さん
20/03/10 21:02:06.67 2VZd/7KV.net
幾何分布の問題でした。
正解は1回目
解答
URLﾘﾝｸ(bellcurve.jp)
735:イナ
20/03/10 21:20:33.18 SgyDBxw5.net
前>>696
単勝１番は0.166……
一方４番は125/1296=0.09645……
千円賭けて9,645円もらえ
736:るのかと思った。 n回目は5^(n-1)/6^n 下がる一方か。
737:イナ
20/03/10 21:40:50.28 SgyDBxw5.net
前>>698
サイコロ振ってn回目までに1が出る確率は、
納n=1→n]5^(k-1)/6^k
ですか？
千人に1人が受賞する文学新人賞に応募するとき、何回目に受賞が期待(5割超え)できますか？
738:１３２人目の素数さん
20/03/10 21:48:58.80 YAq6/mFA.net
>>699
プログラム組めば解答でるけど、入試とかで出たら解答する方法はあるのだろうか？
739:イナ
20/03/10 22:07:46.17 SgyDBxw5.net
前>>699
>>700
100回目までに1回も受賞しない確率は、
(99/100)^100
100回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^100=0.633967659……
69回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^69=0.50016297……
だめ押し70回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^69=0.50516134……
見とおしが立った！
740:１３２人目の素数さん
20/03/10 22:17:33.64 YAq6/mFA.net
^69とかどうやって計算するのさ
まぁ出来ない事はないが
741:イナ
20/03/10 22:22:10.66 SgyDBxw5.net
前>>701
693回目までに受賞する確率は、
1-(999/1000)^693=0.500099765……
年間7作。
100年要らない。99年で受賞する。
742:１３２人目の素数さん
20/03/10 23:29:31.45 IbQVYwum.net
対数表が与えられていれば分かるだろ
743:１３２人目の素数さん
20/03/10 23:32:59.02 9ehLsruf.net
自分で出題し自分で解くという新しい芸風
744:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/11 02:21:24 LbRSBTGq.net
前>>703
>>701訂正。
だめ押し70回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^70=0.50516134……
745:１３２人目の素数さん
20/03/11 11:58:45 t9boZF0q.net
類題
1が累計二回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？
746:１３２人目の素数さん
20/03/11 12:15:54 avK6eeO9.net
>>707
2回目
747:１３２人目の素数さん
20/03/11 13:00:47 t9boZF0q.net
>>708
残念
748:１３２人目の素数さん
20/03/11 13:14:52 1JNnQUXE.net
6または7？
749:１３２人目の素数さん
20/03/11 13:53:35.94 t9boZF0q.net
>>710
正解
n回目に賭けて当たる確率は (n-1)(5/6)^(n-2)*(1/6)^2 で、
これが最大になるのはn=6,7の時。
750:１３２人目の素数さん
20/03/11 15:17:40 YQLdoe7U.net
EをR^N上のボレル集合、AをN×N行列、LをN次元ルベーグ測度とする このとき
L(A(E))=|detA|L(E)
が成立することを証明せよ
751:１３２人目の素数さん
20/03/11 15:19:30 3HNckciv.net
どちらかに賭けても勝率6.7%か
752:１３２人目の素数さん
20/03/11 15:30:24 hVKkfTiV.net
>>711
10万回シミュレーションしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
"1が累計m(=2)回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？"
sim <- function(m=2){
pip1=0 # １の目の出た回数
i=0 # サイコロを振った回数
while(pip1 < m){
i=i+1
pip1 = pip1 + (sample(6,1)==1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l')
753:１３２人目の素数さん
20/03/11 16:15:06 hVKkfTiV.net
>>711
100回目までを計算してみた。
> sapply(1:100,bg)
[1] 1 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114
[21] 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 204 210 216 222 228 234
[41] 240 246 252 258 264 270 276 282 288 294 300 306 312 318 324 330 336 342 348 354
[61] 360 366 372 378 384 390 396 402 408 414 420 426 432 438 444 450 456 462 468 474
[81] 480 486 492 498 504 510 516 522 528 534 540 546 552 558 564 570 576 582 588 594
bg <- function(x,print=FALSE){ # big gambling
f <- function(n,m=x,p=1/6) choose(n-1,m-1)*p^(m-1)*(1-p)^(n-m)*p
nn=1:
754:(10*x) y=optimize(function(n) f(n),nn,maximum=TRUE)$maximum if(print){ plot(nn,sapply(nn,f),bty='l',pch=19) yy=c(floor(y),ceiling(y)) cat(c(f(yy[1]),f(yy[2])),'\n') } return(floor(y)) } sapply(1:100,bg)
755:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/11 16:31:01 LbRSBTGq.net
前>>706
>>707
6回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、4回のはずれに対し5通りあるから、
5(5/6)^4(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
7回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、5回のはずれに対し6通りあるから、
6(5/6)^5(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
6回目と7回目は約6.69795953％の確率で2回目の当たりが出るが、これだけでベストかどうかはわからず、前後を調べる必要がある。
8回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、6回のはずれに対し7通りあるから、
7(5/6)^6(1/6)^2=7･5^6/6^8
=0.065119051……
5回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、3回のはずれに対し4通りあるから、
4(5/6)^3(1/6)^2=4･5^3/6^5
=125/1944
=0.0643004115……
9回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、7回のはずれに対し8通りあるから、
8(5/6)^7(1/6)^2=8･5^7/6^9
=5^7/6^6･3^3
=0.0620181438……
∴5回目、8回目、9回目辺りはいずれも6％を超えていて大差ないけど、6回目か7回目に賭けるのがベター。
756:１３２人目の素数さん
20/03/11 16:39:52 hVKkfTiV.net
>>715
最初の１を除けば等差数列にみえるな。
757:１３２人目の素数さん
20/03/11 16:46:21 hVKkfTiV.net
1が累計1000回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？
6*1000-6 = 5994 と 5995回に賭けるのがベストぽいな。
多分、計算名人のイナ氏が検証してくれると思うｗ
758:１３２人目の素数さん
20/03/11 19:32:14.87 hXdWKFHv.net
確率pで成功する試行で、n回目の試行でm回成功する確率をP(n)と置くと
P(n)=C[n-1,m-1]p^m(1-p)^(n-m)だから、
P(n+1)=C[n,m-1]p^m(1-p)^(n+1-m)=n/(n+1-m)(1-p)P(n)
1≦P(n+1)/P(n)のとき、1≦n/(n+1-m)(1-p)、n+1-m≦n-np、n≦(m-1)/p=999/(1/6)=6000-6
なので5994または5995がベスト
759:１３２人目の素数さん
20/03/11 19:43:41.17 6p8KFnbi.net
>>707
青チャートに１が三回のバージョンがあった、最近解いた
760:１３２人目の素数さん
20/03/11 20:02:08.69 hVKkfTiV.net
>>719
ありがとうございます。
761:１３２人目の素数さん
20/03/11 21:54:30.90 UDcjpAEJ.net
サイコロを全ての目が最低1回出るまで振り続ける。振る回数の期待値を求めよ。
762:１３２人目の素数さん
20/03/11 22:02:49.23 nurrYDlF.net
6(1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6)
763:１３２人目の素数さん
20/03/12 06:18:47 ggB+4VIO.net
１万回のシミュレーション
> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=all(1:6 %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.7221
>
764:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:47:25.15 NnHS9/Ym.net
>>723
残念
765:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:47:38.94 NnHS9/Ym.net
>>724
正解
766:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:53:40.63 NnHS9/Ym.net
=6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1
=14.7
767:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:56:14.15 ggB+4VIO.net
100万回で>
k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.70651
768:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:18:12 NnHS9/Ym.net
最初の1つがでるまでの回数の期待値
=6/6
1つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/5
2つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/4
以下同様
回数の期待値なので、単純に上記の和を求めればよい
769:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:42:22 HLafz7hZ.net
成功確率pの試行を繰り返すとき、最初に成功するまでの試行回数の期待値は 1/p
これを使って計算する
770:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:50:06 +Rsy6sl8.net
>>730
幾何分布とか名前がついていたような。
771:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:52:30 HLafz7hZ.net
>>731
そうです。ファーストサクセス分布(Fs分布)とも言います。
772:１３２人目の素数さん
20/03/12 09:07:14 HLafz7hZ.net
訂正します。
成功するまでに失敗した回数の分布
=幾何分布
成功するまでの回数の分布
=ファーストサクセス分布
でした。
773:１３２人目の素数さん
20/03/12 09:32:1
774:6 ID:JYe4Js2p.net
775:１３２人目の素数さん
20/03/12 09:58:21.78 z4kbZ3QY.net
クーポンコレクター問題の一般化
サイコロふって1,2,3が出る事をA、4,5が出る事をB、6が出る事をCとする。
ABCが全て少なくとも一回起こるまでの平均は？
776:１３２人目の素数さん
20/03/12 10:36:06 +Rsy6sl8.net
>>735
1万回のシミュレーション結果
> A=1:3
> B=4:5
> C=6
>
> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=any(A %in% pips) & any(B %in% pips) & any(C %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.2577
>
777:１３２人目の素数さん
20/03/12 11:11:23 +Rsy6sl8.net
10万回だと
> k=1e5
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.30537
778:１３２人目の素数さん
20/03/12 11:35:46 0d6KLd2P.net
>>736
答えは？
779:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:02:45 HLafz7hZ.net
難しい
これがABC予想というやつか
780:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:08:38 ab2iyO1k.net
これ貼っとこか
0508 １３２人目の素数さん 2018/06/30 02:42:25
>>505
問題を一般化して、
カードA,B,C,Dの排出確率をa,b,c,dとする。（a,b,c,d＞0, a+b+c+d≦1)
カードAが1枚出るまで引くときの平均枚数をM(A)とすると、
初回でカードAが出た場合の枚数は 1,出なかった場合の平均枚数は 1+M(A) となる。
よって M(A) = a + (1-a)(1+M(A))
これを解いて M(A)=1/a、同様に M(B)=1/b, M(C)=1/c, M(D)=1/d
カードA,Bがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B)とすると、
初回でカードAが出た場合の平均枚数は 1+M(B)
初回でカードBが出た場合の平均枚数は 1+M(A)
どちらも出なかった場合の平均枚数は 1+M(A,B) となる。
M(A,B) = a(1+M(B)) + b(1+M(A)) + (1-(a+b))(1+M(A,B))
これを解いてM(A,B) = (1 + aM(B) + bM(A)) / (a+b) = (1 + a/b + b/a) / (a+b)
整理して M(A,B) = (1 + ((a+b)/b - 1) + ((a+b)/a - 1)) / (a+b) = ((a+b)/b + (a+b)/a - 1)) / (a+b) = 1/a + 1/b - 1/(a+b)
同様の計算で、
カードA,B,Cがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C)とすると、
M(A,B,C) = 1/a + 1/b + 1/c - 1/(a+b) - 1/(b+c) - 1/(c+a) + 1/(a+b+c)
カードA,B,C,Dがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C,D)とすると、
M(A,B,C,D) = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d - 1/(a+b) - 1/(a+c) - 1/(b+c) - 1/(a+d) - 1/(b+d) - 1/(c+d)
+ 1/(a+b+c) + 1/(d+a+b) + 1/(c+d+a) + 1/(b+c+d) - 1/(a+b+c+d) を得る。
781:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:34:32 +4qdqMNu.net
>>740
ありゃ、出ちゃったか。
782:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:39:16 p+P9uShJ.net
a=3/6, b=2/6, c=1/6 として
E=1/a+1/b+1/c-1/(b+c)-1/(c+a)-1/(a+b)+1/(a+b+c)
=2+3+6-1.5-2.0-1.2+1.0
=7.3
ほんとだ。シミュレーションと一致した。
783:１３２人目の素数さん
20/03/12 14:11:14 ddMlrvcN.net
P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=1399/180=7.772222...
784:１３２人目の素数さん
20/03/12 15:09:55 U3HOlh4d.net
>>737
100万回シミュレーション結果 7.3ぽいね。
> k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.300615
785:１３２人目の素数さん
20/03/12 17:50:49 ddMlrvcN.net
>>743 訂正
P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=73/10
786:１３２人目の素数さん
20/03/12 18:20:32.98 fHSLdc4D.net
>>745
不正解
787:１３２人目の素数さん
20/03/12 21:11:11 ddMlrvcN.net
>>746
何故>>745だけなんですか
788:１３２人目の素数さん
20/03/12 22:18:49 fHSLdc4D.net
>>747
計算機に入れてみた
789:１３２人目の素数さん
20/03/12 22:23:54 y8hLNrTr.net
p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
main = do
print $ sum [p n| n<-[3..10000]]
-------
0.9999999999999996
790:１３２人目の素数さん
20/03/12 22:28:30 y8hLNrTr.net
あ、失礼しました。
コード間違ってた。
正解でした。
p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
main = do
print $ sum [(fromInteger n)*(p n)| n<-[3..10000]]
------------
7.300000000000009
791:１３２人目の素数さん
20/03/12 23:26:10.85 V/f7Uy6p.net
>>735
大学入試ではこの手の出題は御法度
なぜなら終わらないことを試行としてはいけないから
792:１３２人目の素数さん
20/03/12 23:59:54 y8hLNrTr.net
>>751
ココ入試レベル縛りないでしょ？
むしろ入試レベルじゃ満足しない人の方が多
793:いのでは？
794:１３２人目の素数さん
20/03/13 00:11:24.13 2BG+LT6A.net
>>751
ん？終わるでしょ。
795:１３２人目の素数さん
20/03/13 00:13:44.72 IbYZYELm.net
入試レベル
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。
取り出した白玉の個数の期待値は？
期待値が範囲外になったので入試では使えないけど。
796:１３２人目の素数さん
20/03/13 07:34:24.77 ZlFDi94b.net
>>754
１０万回シミュレーション
balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒
picked=NULL # 取り出された玉の配列
flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag
sim <- function(){
while(flag==FALSE){
i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで
picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて
balls=balls[-i] # ballsの配列から除く
flag=sum(picked==1)==7 # 赤玉が全部取り出されたか
}
sum(picked==2) # 取り出された白玉の数を返す
}
k=1e5
mean(replicate(k,sim()))
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 5.24854
797:１３２人目の素数さん
20/03/13 07:51:51.90 ZlFDi94b.net
>>755
白玉の個数の分布をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 5.00 6.00 5.25 6.00 6.00
５．２５が答みたいだなぁ。
解析解は賢者にお任せ。
798:１３２人目の素数さん
20/03/13 08:23:45.26 l20VjRfO.net
〔補題〕
0<p≦1 とする。
確率pで事象Aが起こるような試行を繰返し行なう。
初めて事象Aが起こるまでに試行した回数nの期待値は 1/p.
(略解)
E{n} = p {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
= {1 - (1-p)} {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
= 1 + (1-p) + (1-p)^2 + (1-p)^3 + ････
= 1/p.
799:１３２人目の素数さん
20/03/13 08:35:28 9IyekctU.net
XiをX≧iのとき1、そうでないとき0と定めてq=1-pとすれば
E(X)
=ΣE(Xi)
=Σq^(i-1)
=1/(1-q)
=1/p
800:１３２人目の素数さん
20/03/13 11:33:57.90 l20VjRfO.net
最後の赤玉が出たのがn回目とする。(7≦n≦18)
・(n-1)回目までに取り出す白玉/黒玉はn-7個で、 Ｃ[11,n-7] とおり。 (*)
・取り出すn個が決まったとして、順番を入れ替える方法は
1～(n-1)回目 (n-1)! とおり
n回目 7 とおり
(n+1)～18回目 (18-n)! とおり 〔実際は取出さないが･･･〕
これらをを掛ければ
Σ[n=7,18] 7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[11,n-7]
= 11!Σ[n=7,18] 7(n-1)(n-2)････(n-6)
= 11!Σ[n=7,18] {n(n-1)････(n-6) - (n-1)････(n-6)(n-7)}
= 11!(18!/11!)
= 18! (←当然)
次に、n回目までの白玉の数w の期待値を求める。
wを掛けてたすと (*)の所が 6Ｃ[10,n-8] となる。
Σ[n=7,18] 6･7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[10,n-8]
= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] 8(n-1)(n-2)････(n-7)
= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] {n(n-1)････(n-7) - (n-1)････(n-7)(n-8)}
= (6･7/8)10!(18!/10!)
= (6･7/8)18!
∴ E{w} = 6･7/8 = 5.25
*)
7≦n≦12 のとき Σ[w=0,n-7] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････
13≦n≦18 のとき Σ[w=n-12,6] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････
801:１３２人目の素数さん
20/03/13 11:56:03 l20VjRfO.net
(n-1)回目までの白玉の数wの分布は >>756
P_w = (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6),
Σ[w=0,6] P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] (w+1)(w+2)････(w+6)
= (6!/13!)Σ[w=0,6] {(w+1)････(w+6)(w+7) - w(w+1)････(w+6)}
= (6!/13!)(13!/6!)
= 1.
E{w} = Σ[w=1,6] w･P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] w(w+1)(w+2)････(w+6)
= (7!/13!)Σ[w=1,6] (1/8){w････(w+6)(w+7) - (w-1)w････(w+6)}
= (7!/13!)(1/8)(13!/5!)
= (7･6/8)
= 5.25
802:１３２人目の素数さん
20/03/13 12:21:36 eu0owVym.net
>>760
正解！
想定解出してもいいけど実はある事に気づくと数行で終わります。
803:どうしよう？ 夜まで待ってみますね。
804:１３２人目の素数さん
20/03/13 12:49:17 l20VjRfO.net
白玉の個数wの分布
0個 1個 2個 3個 4個 5個 6個
1/1716, 7/1716, 28/1716, 84/1716, 210/1716, 462/1716, 924/1716
0.06% 0.41% 1.63% 4.90% 12.24% 26.92% 53.84%
805:１３２人目の素数さん
20/03/13 13:11:02.52 m1uM3VjH.net
黒玉は無視
赤玉7個を並べておき、その前後と間の8ヶ所に白玉6個をランダムに入れていく（重複あり）
赤玉の後ろに白玉がいくつあるかを考えるとき、白玉1個につき期待値1/8となるので6個なら6/8=3/4
従ってそれ以外のところにある白玉の個数の期待値は6-3/4=5.25
806:１３２人目の素数さん
20/03/13 13:12:33.86 eu0owVym.net
>>763
それです。
お見事。
807:１３２人目の素数さん
20/03/13 13:14:30.61 m1uM3VjH.net
赤玉の後ろ以外にいくつあるかを考えるとき白玉1個につき期待値7/8なので6個なら6*7/8=5.25でよかったわ
808:１３２人目の素数さん
20/03/13 14:10:27.98 qPbrkgFl.net
>>754
P(k)=Σ[k=0,6]Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j))
E=kP(k)=21/4
809:１３２人目の素数さん
20/03/13 15:04:09.49 eu0owVym.net
>>766
さすがにダメやろ。
いくら原理的にはコレ計算したらできるって立式を書いても、その計算が最低目で追えるものを見せないと正解とは認定されない。
810:１３２人目の素数さん
20/03/13 15:27:09.74 Pzzsy05r.net
最小交点数がｎの結び目は何種類あるのか。
811:１３２人目の素数さん
20/03/13 16:45:01 l20VjRfO.net
黒玉は無視する。(13個で考える)
(最後の赤玉が出る前の) 白玉の数をwとすると、
最後の(6-w)個が白玉、その直前が赤玉、他は不問だから
P_w = (6/13)(5/12)････((w+1)/(w+8))・(7/(w+7))
= (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6),
あとは >>760 で
812:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:07:52 qPbrkgFl.net
>>767
これは、よく分からないがwolframで計算してみたら一致した
偶然一致するとは思えないが？
813:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:14:21 qPbrkgFl.net
>>767
P(k)の値(k=0～6)は>>762と一致する
814:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:20:08 ieVI6aZ4.net
なるほど
時系列で考えていくと発想が広がりにくいが、並べて考えるとわかりやすいな。
参考になる
815:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:34:42 qPbrkgFl.net
>>767
C[7,6]C[6,k]C[5,j]/C[18,6+k+j]
ここの部分が、赤6、白k、黒jの計6+k+j回玉を取り出したときの確率
分子と分母は、玉に番号を付けた場合の場合の数になっている
最後に1/(12-k-j)で赤を取り出す確率を掛ける
816:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:37:26 eu0owVym.net
>>770
いや、コレを計算できれば答えが出るなんて式たてるだけなら受験レベルの問題ならできて当たり前。
受験レベルで解くという意味ならその中で二十分程度で無理なく実際にできるというところまでやって見せてみて初めて正解。
計算機ならできるでは、受験レベルを超えてるようなやつならともかく受験レベルの問題と銘打って出題されてるんだから、通用しない。
817: 【大凶】
20/03/13 22:15:14 OegQL28o.net
前>>716
>>754
6(7/8)=5.25
818:１３２人目の素数さん
20/03/13 22:39:53 qPbrkgFl.net
>>774
この問題は難しいから受験で出題されるとは思わない
819:１３２人目の素数さん
20/03/14 01:23:48.44 Qtllr5m8.net
え？
820:１３２人目の素数さん
20/03/14 01:27:44.99 j/jXCgRq.net
このスレは受験で有効な解答のみ正解という訳では�
821:ﾈかろう
822:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/14 02:19:09 V5zn1x6j.net
_____∩ っﾞ___
＼ (-_-)) /|
＼＼υ⌒υ､ /|
￣￣￣￣|υ/|
________｢￣|
九九を習った小学2年生なら解けるんだよな。
前>>775滑り台の角度も摩擦係数も知らない、ましてや静止距離など。
823:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:30:01.48 a/1EREm4.net
こうしたらどうなる？
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を４個取り出した時点で終了とする。取り出した白玉の個数の期待値は？
824:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:32:20.86 uXVhjaRg.net
7/8が4/8にかわるだけでは？
825:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:40:16.33 a/1EREm4.net
>>781
6*4/8=3でいいのか。
826:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:45:58.12 5sXkLHY6.net
>>780
P(k)=Σ[j=0,5]4C[7,3]C[6,k]C[5,j]/(C[18,3+k+j](15-k-j)
E=Σ[k=0,4]kP(k)=881/429
827:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:50:54.02 rjLc6zup.net
整数の無限部分集合Aであって、どの互いに異なる a,b∈A をとっても
|a-b| が平方数にならないものは存在するか。
828:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:51:33.67 Qtllr5m8.net
>>754
7/8 * 6=21/4
>>780
4/8 * 6=3
829:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:02:50.20 Qtllr5m8.net
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。
取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値の期待値は？
取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値の期待値は？
取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値の期待値は？
取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値の期待値は？
830:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:17:16 xUS1bw+b.net
>>784
レピュニット数を元とする無限集合とすればいい
831:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:18:04 5sXkLHY6.net
>>766 訂正
P(k)=Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j))
E=Σ[k=0,6]kP(k)=21/4
832:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:25:25 5sXkLHY6.net
>>786
E1=Σ[k=0,6](k-(5-j))P(k)=37/8
E2=Σ[k=0,6](k-(6-k))P(k)=9/2
E3=Σ[k=0,6](k(5-j))P(k)=35/12
E4=Σ[k=0,6](k(6-k))P(k)=35/12
833:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:54:58 XpWNijuu.net
>>786
最初の２つは線形性でいける。
3番目は独立性。
暗算で苦しいのは最後だけだな。
黒玉ひとつに着目して取り出される確率がp=7/8。
よって取り出される個数Xの分布はp=7/8, n=6の二項分布。
X^2の期待値は
E(X^2) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k^2=93/32。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
834:１３２人目の素数さん
20/03/14 12:02:50 rjLc6zup.net
>>787
残念。|111-11|=100 は平方数になります
835:１３２人目の素数さん
20/03/14 12:05:48 43XV3aTx.net
おっと脳内で問題変わってたw
E(x(6-x)) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k(6-k)=105/32。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
836:１３２人目の素数さん
20/03/14 12:11:55 CncPdwb0.net
>>784
2×4^nで桶
837:１３２人目の素数さん
20/03/14 12:16:30 xUS1bw+b.net
>>791
確かにそうだった
838:１３２人目の素数さん
20/03/14 14:53:15 rjLc6zup.net
>>793
お見事、それがあったか
839:１３２人目の素数さん
20/03/14 14:55:15 iH59lf4s.net
>>784
A = {1, c, c^2, c^3, ････| c>2}
c^n - c^m = (c^m) {c^(n-m) - 1},
c^(n-m) > 1, (n>m)
カタラン予想（ミハイレスクの定理) により
c^(n-m) - d^2 = 1 となる d >1 は存在しない。
∴ c^(n-m) - 1 は平方数でない。
c^m と c^(n-m) -1 は互いに素だから | c^n - c^m | は平方数でない。
A = {2, 8, 32, 128, 512, ････} も同様？
840:１３２人目の素数さん
20/03/14 19:40:53.31 joJxF0LZ.net
>>789
シミュレーションで近似してみました。
> balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒
> picked=NULL # 取り出された玉の配列
> flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag
> sim <- function(){
+ while(flag==FALSE){
+ i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで
+ picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて
+ balls=balls[-i] # ballsの配列から除く
+ flag=sum(picked==1)==7 # 赤玉が全部取り出されたか
+ }
+ # 取り出した白玉の個数
+ a0=sum(picked==2)
+ # 取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値
+ a1=sum(picked==2)-sum(balls==3)
+ # 取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値
+ a2=sum(picked==2)-sum(balls==2)
+ # 取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値
+ a3=sum(picked==2)*sum(balls==3)
+ # 取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値
+ a4=sum(picked==2)*sum(balls==2)
+ return(c(a0,a1,a2,a3,a4))
+ }
> k=1e6
> re=replicate(k,sim())
> apply(re[2:5,]
841:,1,mean) [1] 4.627792 4.500442 2.904962 2.916039 > c(37/8,9/2,35/12,35/12) [1] 4.625000 4.500000 2.916667 2.916667
842:１３２人目の素数さん
20/03/14 22:15:14 Qtllr5m8.net
>>790,792
サンクス
期待値の線形性独立性の問題としてちょうど良さげかと
2項分布の分散がnpqということを使えば最後もそれほど難しくはない
V(X)=E(X^2)-E(X)^2=6(7/8)(1/8)=21/32
E(X^2)=21/32+(21/4)^2=903/32
E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-903/32=105/32
843:１３２人目の素数さん
20/03/14 23:06:20 Qtllr5m8.net
>>784
a1=1
a2=min{x>a1 | x-a1≠n^2}=3
a3=min{x>a2 | x-a1, x-a2≠n^2}=6
…
a[n+1]=min{x>an | x-a1,,,x-an≠n^2}
844:１３２人目の素数さん
20/03/14 23:15:16 Ior9sgvQ.net
>>798
二項分布の分散‥‥そんなのあったあったw
忘却の彼方ww
845:１３２人目の素数さん
20/03/14 23:26:01 Qtllr5m8.net
>>797
後2問シミュレーションと随分違うな
何故？
37/8, 9/2, 105/32, 105/32
を想定
846:１３２人目の素数さん
20/03/15 00:54:39.47 ijdl7Zl+.net
>>801
しまった。
黒玉iが取り出される事象は独立でない。
取り出される事象の特性関数をXiとして
E(Xi)=E(Xi^2)=7/8
i≠jのときE(XiXj)=7/8×8/9=7/9
なので独立ではない。
よってX=ΣXiとすれば
E(X)=6×7/8=21/4
E(X^2)=6×7/8+30×7/9=343/12
E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-343/12=35/12
でした。
吊ってくるorz。
847:１３２人目の素数さん
20/03/15 02:00:29 v+yfiMnW.net
>>802
あー
2項分布じゃないってことか
こりゃ不味いわめんどくさ
848:１３２人目の素数さん
20/03/15 02:03:24.48 v+yfiMnW.net
白黒も独立ではないなあ
こりゃ面倒くさすぎだった
849:１３２人目の素数さん
20/03/15 18:11:23 G3nSul4k.net
シミュレーションでなくて数え上げで計算してみたら>>789が正しそう
850:１３２人目の素数さん
20/03/15 19:35:56.64 63iW3LdD.net
面倒な問題だな
851:１３２人目の素数さん
20/03/15 20:18:17.77 OTl1KJku.net
>>780
黒は無視して、赤白計13個で総当たりで計算してみた。
TEnr <- function(n,r,zero=0,one=1){ # n(=5),r(=3)を指定して 0 0 1 1 1から1 1 1 0 0までの順列行列を作る
f=function(x){
re=rep(zero,n) # 容れ子
re[x]=one # 指定のindexにoneを代入
re
}
t(combn(n,r,f)) # oneを入れる組み合わせに上記関数fを実行して転置
}
TE=TEnr(13,7,0,1) # 0:白 1:赤 13個の並びの行列 1111111000000 から 0000001111111まで13C7(=1716)個
(x=TE[1000,]) # 1000行目のエントリ
f <- function(x){ # 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 -> 2 赤(1)が4個に達すまでの0の数を返す
i4=which(cumsum(x)==4)[1] # 累積和が最初に４になったindexをi4として
sum(x[1:i4]==0) # i4までの白(0)の個数を返す
}
re=apply(TE,1,f)
sum(re)
length(re)
mean(re)
> sum(re)
[1] 5148
> length(re)
[1] 1716
> mean(re)
[1] 3
答は３
852:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:08:54.75 v+yfiMnW.net
>>806
白単独なら2項分布と同じで
白黒などでも線形なら2項分布で計算しても正しい値になるから
単に答えだけ見るのだと
正しい考察の結果かどうか分からないので
これ>>786の第1，2問は悪問だな
第3，4問だけなら2項分布で計算すると正しい答えにならないからこれは良問
853:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:43:58.90 ijdl7Zl+.net
>>808
いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。
二項分布の公式は使えないけど例えば第一問なら黒玉iが取られる事象の特性関数をBi、白玉jが取られる事象の特性関数をWjとすれば一問
854:目の求める期待値は E(ΣWj-(5-ΣBi))=ΣE(Wj)-5+ΣE(Xi)=6×7/8-5+5×7/8=37/8。 コレは独立性いらない。
855:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:48:53.64 cWmNKZcu.net
n個からr個を選んで得られる順列の総数をP(n, r)とする. 任意のr>1に対して, P(n, r)は平方数でないことを示せ.
856:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:53:22.66 ijdl7Zl+.net
エルデシュktkr
857:１３２人目の素数さん
20/03/16 00:26:55 xw7qN3/R.net
>>809
>いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。
それは分かってる
だからこそ2項分布で解いてしまっても間違いが分からないのが悪問ってコトだよ
858:１３２人目の素数さん
20/03/16 00:31:06 xw7qN3/R.net
>>812
>それは分かってる
もともと白－黒と白－白にしたのは独立性に関係しないことを認識しているかどうかを主眼としたかったから（白と黒が独立と思ってた）
独立線形
非独立線形
独立非線形
非独立非線形
で4題にできて上手く行ったと思ってた
悔しい
859:１３２人目の素数さん
20/03/16 06:19:30 FQrBPIz6.net
A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改）
860:１３２人目の素数さん
20/03/16 08:51:01.03 CVVw1pKV.net
>>814
総当たりで計算
# A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改）
library(gtools)
v=rep(1:7,c(3,2,rep(1,5)))
pm=try(permutations(10,10,v,set=F))
tail(pm)
f <- function(x){
n=length(x)
flg=FALSE
for(i in 1:(n-1)){
if(x[i]==x[i+1]){
flg=TRUE
break
}
}
return(flg)
}
(x=pm[10000,])
re=sum(apply(pm,1,f))
library(gmp)
N=nrow(pm)
as.bigq(re/N)
re/N
Big Rational ('bigq') :
[1] 1388609885105903/2251799813685248
> re/N
[1] 0.6166667
861:１３２人目の素数さん
20/03/16 09:32:03.26 6K81jsqz.net
同じ文字が一度も隣合わないような場合の数を考える。
そのためにCDEFGを全てXで置き換え、『AとBは一度も隣合わない』ような場合の数を考える。
（つまりXだけは隣り合っても良い）
AとBだけに着目した時の並びが
(1)AAABBである時、最低でも AXAXABXB というスペースの空け方が必要。
このAとBで区切られた６つの区間に残りの二つのXが入るから、求める場合の数は 7C2=21.
(2)AABABである時、最低でも AXABAB というスペースの空け方が必要。
６つの区間に残りの四つのXが入るから、求める場合の数は 9C4=126.
…
以上のように計算を進めると、求める場合の数の合計は
2*7C2 + 3*8C3 + 4*9C4 + 10C5 = 966
A,B,Xの並べ方の総数は 10C5 * 5C2 = 2520 であるから、求める確率は
966/2520 = 23/60.
ゆえに元々の問の答えは 1-23/60=0.6166666…
862:１３２人目の素数さん
20/03/16 12:00:30.78 ktTTjCEF.net
半径1の球面上の4点を一様独立に選ぶとき、その4点の凸包の体積の期待値を求めよ。
863:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/16 18:51:48 thhgKhx4.net
／∥__`∥￣￣∥ ｡◯゜
∥∩∩ ∥ □ ∥ ﾟ｡
（(-_-)∥ ∥______
（っ⌒⌒ﾞ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥∩∩╂
＼■υυ■___∥_ _))⌒つ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`>>817前>>779
凸包の期待値=(4π/3)1^3=4π/3=4.1887902……
864:１３２人目の素数さん
20/03/17 02:08:40.83 Rdjv/Owr.net
>>817
4π/105
865:イナ
20/03/17 05:19:54.91 jcKSZR9M.net
てつはう。前>>818最初見た人鉄砲とよう読
866:んだなぁ。 凸包は正四面体なのか、4点を包む最小の球なのか。
867:１３２人目の素数さん
20/03/17 07:53:05.59 Ze9EuNOD.net
>>820
四面体で１００万回シミュレーションして平均値をだしてみた。
vertices <- function(r=1){
a=runif(2,-pi,pi) # 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
theta=a[1]
phi=a[2]
x=r*sin(theta)*cos(phi)
y=r*sin(theta)*sin(phi)
z=r*cos(theta)
c(x,y,z) # 直交座標を返す
}
sim <- function(r=1){
vectors=replicate(4,vertices(r)) # ４点の直交座標
abs(det(vectors[,2:4]-vectors[,1]))/6 # 四面体の体積
}
k=1e6
re=replicate(k,sim())
mean(re)
> mean(re)
[1] 0.1069067
868:１３２人目の素数さん
20/03/17 09:10:52.71 Ze9EuNOD.net
球の場合（最小球か否かは考慮せず）の１０万回シミュレーションの平均値
library(nleqslv)
Abs <- function(x) sqrt(sum(x^2))
sphere <- function(CR){ # CR:Center,Radius
C=CR[1:3]
R=CR[4]
v4=replicate(4,vertices())
c(
Abs(v4[,1]-C),Abs(v4[,2]-C),Abs(v4[,3]-C),Abs(v4[,4]-C)
)-R
}
sphere(1:4/10) # example
sim2 <- function(){
r=nleqslv(1:4/10,sphere)$fvec[4] # 初期値 1:4/10 c(0.1,0.2,0.3,0.4)
4/3*pi*r^3
}
sim2()
k=1e5
re=replicate(k,sim2())
mean(re)
> mean(re)
[1] 1.8112
869:１３２人目の素数さん
20/03/17 10:56:05.58 jkHV1VNx.net
>>822
その数値の厳密値を
870:１３２人目の素数さん
20/03/17 11:25:44 Xb0J7ujj.net
>>821
＞# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
経度緯度を一様分布にしたら極に分布が偏らないかい？
871:１３２人目の素数さん
20/03/17 12:05:03.60 k85T9ON2.net
>>824
グラフにしてみました。
ご指摘どおり、偏りがでました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
872:１３２人目の素数さん
20/03/17 12:52:38.52 jkHV1VNx.net
>>825
全然ダメだね
873:１３２人目の素数さん
20/03/17 13:24:44.75 k85T9ON2.net
>>824
正方形内で乱数x,yを発生させて r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外して、北半球と南半球は1/2ずつ分配して乱数発生させてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
こっちの方が一様分布っぽいな。
874:１３２人目の素数さん
20/03/17 13:29:03.21 k85T9ON2.net
>>827
これで10万回シミュレーションして、凸包は球（最小球の考慮なし）としてみると
k=1e5
re=replicate(k,sim3())
mean(re)
> mean(re)
[1] 1.800846
という値がでてきた。
875:１３２人目の素数さん
20/03/17 13:59:08.56 jkHV1VNx.net
>>827
だめでしょ
xyzで外と原点は切ってそれ以外は正規化はどうかなあ
これでもダメかも知らんが
876:１３２人目の素数さん
20/03/17 14:27:38.49 jkHV1VNx.net
θφで面素密度に合わせて乱数にしたら良いと思う
dS=cosθdθdφなのでθという値を取る確率をcosθにする
つまりzθの長方形で乱数発生させてz>cosθは除外してθを取る
dV=dxdydz=rdrdSだから
xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな
877:１３２人目の素数さん
20/03/17 14:30:18.93 jkHV1VNx.net
dV=drdS
rは余計だったが言わんとするところは分かろう
878:１３２人目の素数さん
20/03/17 17:38:54.16 k85T9ON2.net
>>830
それを実装してみました。
vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布
theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ
p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする
phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ
x=r*cos(phi)*cos(theta) # 曲座標から直交座標に
y=r*cos(phi)*sin(theta)
z=r*sin(phi)
c(x,y,z)
}
vtx=replicate(5000,vertex())
x=vtx[1,]
y=vtx[2,]
z=vtx[3,]
rgl::plot3d(x,y,z, col="slateblue")
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
879:１３２人目の素数さん
20/03/17 17:54:56 k85T9ON2.net
>>832
これで4�
880:_発生させて4点を通る球の半径を連立方程式を計算機に解かせて 体積の10万回の平均をとると > k=1e5 > hull=replicate(k,sim()) > mean(hull) [1] 1.160583 という結果になった。 あまり、自信がない。 解析解は賢者にお任せ。
881:１３２人目の素数さん
20/03/17 19:33:25.26 Tm+KNX4Y.net
半径１の球に内接する正四面体の体積は 8/(9√3) = 0.5132..
>>817の解はこれより小さい（はず）
882:１３２人目の素数さん
20/03/17 20:40:37.39 k85T9ON2.net
>>834
vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布
theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ
p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする
phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ
x=r*cos(phi)*cos(theta) # 極座標から直座標に
y=r*cos(phi)*sin(theta)
z=r*sin(phi)
c(x,y,z)
}
で、球の表面から４点を取り出して
# 四面体の体積
sim <- function(r=1,print=F){
v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標
if(print) print(v4)
abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積
}
で１０万回シミュレーションしたら
k=1e5
tetra=replicate(k,sim())
mean(tetra)
summary(tetra)
こんな結果
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000006 0.0242839 0.0645573 0.0928661 0.1361202 0.5035962
最大値は8/(9√3) = 0.5132..以下になっている
883:１３２人目の素数さん
20/03/17 21:18:37 k85T9ON2.net
こっちの方がx,y,zともに一様分布になっている。
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi) # φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
これでやってみると、四面体の場合
> mean(tetra)
[1] 0.1201118
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000003 0.0372266 0.0922805 0.1201118 0.1794858 0.5104545
884:１３２人目の素数さん
20/03/17 22:43:27.26 jkHV1VNx.net
>>836
>x,y,zともに一様分布
ではダメだろ
球面上に一様に分布するのなら
x座標は√(1-x^2)の確率密度となる
885:１３２人目の素数さん
20/03/17 22:51:51.42 jkHV1VNx.net
あーそうか
st正方形でsとtと一様ランダムに点を得て
原点中心の円の外にあれば棄て
内部にあればそのs座標を取ることで
確率密度√(1-s^2)の分布でランダムに取れる
これでxyzをそれぞれ取ってやればいい
あーダメか独立に取ったら球面上に来ないな
じゃあこれでxを取ってyzはcosθsinθでθを一様ランダムに取れば良いや
886:１３２人目の素数さん
20/03/17 22:53:39.72 jkHV1VNx.net
y,zは√(1-x^2)cosθ,√(1-x^2)sinθで
887:１３２人目の素数さん
20/03/17 23:09:55.33 jkHV1VNx.net
>>837
あー間違いか>>836で正しいやスマン
888:１３２人目の素数さん
20/03/18 04:39:06 LbXnfiiv.net
<V> = 1/6 = 0.16667 だったら >>834 の要求を満足するんだが････
889:１３２人目の素数さん
20/03/18 09:41:40 POVuSFx0.net
某イベントで紹介された問題の同値な改題
整数から実数への関数 f:Z→R であって、任意の整数 x,y,z について
【 x^2 + 4y^2 = z^2 ならば f(x) + 4f(y) = f(z) 】
を満たすものを全て求めよ
890:イナ
20/03/18 12:22:31.26 /PMjHzs1.net
＼＼＼＼＼`∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _))`⌒つ`
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`原点を頂点とした三角錘が4つ集まった四面体の体積は、
V=(4/3)Sh
h=1/3(∵球の半径=1)
S=(√3/4)a^2とすると、
底面の中心から底辺までの距離はピタゴラスの定理より、
√{1^2-(1/3)^2}=2√2/3
正三角形の高さは√2
a=√2(2/√3)
=2√2/√3
S=(√3/4)(2√2/√3)^2
=(√3/4)(8/3)
=2√3/3
前>>820
V=(4/3)(2√3/3)(1/3)
=8√3/27
=0.513200239……
ここまではわかった。
1点目が任意で、2点目をうまくとる確率は後回し、3点目をうまくとる確率も後回し、4点目をうまくとる確率は1/2
2点目と3点目は1と1/2のあいだじゃないとだめだと思うから、
3点目をうまくとる確率が2/3で2点目をうまくとる確率が3/4なら、
すべてうまくとる確率は1/4
V/4=2√3/27
=0.12830006……
891:１３２人目の素数さん
20/03/18 14:27:28 Tu49ygg5.net
>>836
数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。
x1,x2,x3～Norm(0,1) で r=√(x1^2+x2^2+x3^2)として
(x1/r,x2/r,x3/r)が単位球面の一様分布になるという。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
Marsaglia(1972)
URLﾘﾝｸ(projecteuclid.org)
実装してみた。
図示すると>836と同じく、x,y,zが一様分布して、球面の一様分布しているようにみえる。
vertex <- function(){ # xi ~ Norm(0,1) , xi/√(Σxi^2)
v=rnorm(3,0,1) # 正規分布N(0,1)する３個からなるベクトル v
v/sqrt(sum(v^2)) # v の長さで割る
}
vtx=replicate(5000,vertex())
par(mfrow=c(3,1))
x=vtx[1,] ; hist(x,col='pink')
y=vtx[2,] ; hist(y,col='orange')
z=vtx[3,] ; hist(z,col='darkgreen')
rgl::plot3d(x,y,z, col='slateblue')
par(mfrow=c(1,1))
# 四面体の体積
sim <- function(r=1,print=F){
v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標
if(print) print(v4)
abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積
}
k=1e5
tetra=replicate(k,sim()) # k回のシミュレーション
mean(tetra)
summary(tetra)
BEST::plotPost(tetra)
期待値も分布もほぼ同じ。
> mean(tetra)
[1] 0.119512
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000001 0.0368084 0.0918738 0.1195120 0.1789221 0.5093198
四面体の体積の分布も同様でこんな分布。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
892:１３２人目の素数さん
20/03/18 14:45:48 kt0eelvd.net
>>844
>数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。
独立に取ったときの確率密度がe^-(x^2+y^2+z^2)みたいなrのみの関数に比例するからだな
でも>>836でいいと思うし
関数の近似による偏りみたいなのを気にするなら
>>829でも球の外を除外した後の考え方はそのWikipediaのと同じだし
893:１３２人目の素数さん
20/03/18 15:06:17 Tu49ygg5.net
３次元化座標が球面の一様分布することは、図示してイメージするほかに、どうやったら検証できるのだろう？
球面上の任意の一定面積に含まれる数が一定であるのを確認する方法が思いつかない。
こういうデータが一様分布かどうかは確認できるだろうか
x y z
[1,] 0.4090696 -0.06240392 0.9103669
[2,] -0.1452435 -0.97420684 0.1727002
[3,] -0.1082045 0.53218504 0.8396850
.....
.....
x y z
[4998,] 0.6609463 -0.096259265 -0.7442340
[4999,] 0.5669702 0.758929767 -0.3202661
[5000,] 0.8944673 -0.008481795 -0.4470530
894:１３２人目の素数さん
20/03/18 15:16:53 kt0eelvd.net
>>846
ｘθとかθφで分割して点の数を数えて面積で割ったら？
十分細かく分割を取っておいて
サンプル点を十分多く取っていけば
大数の法則で
期待した値にぐいぐい集まってくるはずだし
895:１３２人目の素数さん
20/03/18 16:16:35.57 Tu49ygg5.net
>>847
レスありがとうございます。
x,y,z を 極形式にして⊿θ ⊿φの範囲にある数が一様かどうかみればいいんだな。
896:１３２人目の素数さん
20/03/18 21:31:14.71 Tu49ygg5.net
直交座標から極座標のθφを出して、それをグラフにしてみました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
両端が疎に見えます。
グリッドを作ってそこに含まれる点を数えてその分布をみればいいのかな？
どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。
897:１３２人目の素数さん
20/03/19 01:13:20 HdgduOXs.net
辺の長さが
898:全て有理数の多角形において、少なくとも2つ以上の内角[rad]は無理数であることを示せ.
899:１３２人目の素数さん
20/03/19 01:36:55 KrhQLEng.net
>>848
ΔθΔφの囲む面積はcosθ ΔθΔφだよ
θが南北でΔθの幅の中央の値ね
点の個数をこれで割らないと一定にならない
ΔθΔφが一定ならcosθで割れば良い
900:１３２人目の素数さん
20/03/19 01:48:15 mXsnD9nM.net
>>819
0.1196797201367540････
901:１３２人目の素数さん
20/03/19 02:03:39 KrhQLEng.net
>>849
>どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。
Δθ=π/n
Δφ=2π/m
つまり球面をnm個の領域に分割した場合（m,n固定）
一様分布ならサンプルN点でその領域内にあるのはNπcosθ/2mn個だろうから
数え上げてM点ならΣ(M-Nπcosθ/2mn)^2/mnがN→∞で次第に0に近づく（大数の法則）ことを見るとか？
902:１３２人目の素数さん
20/03/19 02:07:37.40 KrhQLEng.net
>>849
>両端が疎に見えます。
横軸がθとすると
縦方向にcosθを掛けて点をプロットすれば良い
それで0≦φ≦cosθの領域内に均一に見えたらOK
903:１３２人目の素数さん
20/03/19 08:37:27 XGan5JrS.net
>>849
これって>821と逆のことをやっているだけのような気がするな。
一様分布する球面上の点を極形式で表示したときに緯度・経度が一様分布はしないんだろうな。
904:１３２人目の素数さん
20/03/19 09:28:52 XGan5JrS.net
>>854
数理を理解できないままにグラフ化すると
plot(θ,φ*cos(θ),bty='n',pch='.',xlab='θ(北極点からのラジアン)' ,,ylab='φ（経度)*cos(θ）')
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
理解が足りないので断念。
905:１３２人目の素数さん
20/03/19 09:32:03 KrhQLEng.net
>>856
θを北極点からのにするなら
sinθ掛けて
906:１３２人目の素数さん
20/03/19 09:35:45 KrhQLEng.net
>>855
極に近い方がずっと狭くなるからね
球面の表面積は円柱の側面積と同一であるという
2000年前から知られている原理からすると
xyzに落とし込んでもそれぞれの座標上で一様分布になる
これは>>836の
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
907:１３２人目の素数さん
20/03/19 10:39:50.31 BW7TgbOd.net
>>850
リンデマンの定理より有理数q≠0に対して e^(iq) が超越数であることから従う
908:１３２人目の素数さん
20/03/19 10:52:58.05 XGan5JrS.net
>>857
θとφの定義は下図に準拠
URLﾘﾝｸ(physics.thick.jp)
rm(list=ls())
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi) # φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}
# 直交座標を極座標に
c2p <- function(xyz){ # (x,y,z) -> (θ,φ) Cartesian 2 Polar
x=xyz[1];y=xyz[2];z=xyz[3]
r=sqrt(x^2+y^2+z^2) # =1になるx,y,zの組合せ
theta=acos(z/sqrt(x^2+y^2+z^2)) # = acos(z) [0,π]の値
phi=ifelse(y>0,acos(x/sqrt(x^2+y^2)), # y>0ならφ < π
2*pi-acos(x/sqrt(x^2+y^2)))# y<0ならφ > π
c(theta,phi)
}
n=1e5
vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る
vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る
v=t(vtx) # 転置してn行３列(x,y,z)に
head(v,3) ; tail(v,3)
vp=apply(v,1,c2p) # 各行毎にx,y,z -> θ,φに変換
tp=t(vp) # theta θ, phai φ 転置してn行2列(θ,φ)に
fn <- function(x){ # 0<=φ & φ<=sin(θ)を満たすかを返す
θ=x[1]
φ=x[2]
0<=φ & φ<=sin(θ)
}
tp1=tp[apply(tp,1,fn),] # fnがTRUEになるθ,φを抽出して
θ=tp1[,1]
φ=tp1[,2]
plot(θ,φ*sin(θ),bty='n',pch='.', xlab='θ(北極点からのラジアン)',ylab='φ（経度)*sin(θ)')
# グラフ化
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
正弦波が描出されただけのような
909:？
910:１３２人目の素数さん
20/03/19 10:54:23.75 /Ts8dWJZ.net
>>859
素晴らしい
正解です
911:１３２人目の素数さん
20/03/19 10:58:32.26 XGan5JrS.net
>>852
>844のシミュレーション結果に相当する結果ですね。
計算法はさっぱり思いつかないけどｗ
912:１３２人目の素数さん
20/03/19 13:39:41 KrhQLEng.net
>>860
>正弦波が描出されただけのような？
点の密度が正弦波の下でどこでも一定に見えるでしょ
だから球面上で一様分布だってことだよ
さらに厳密性のために
点の密度が一定かどうかを検定するには
十分細かく分割して
一様分布なら1つの区画内にあるはずの点の個数の平均を計算しておいて
それと実測値との差の2条の平均（分散）でできるんじゃないかなあ
913:１３２人目の素数さん
20/03/19 13:43:34 KrhQLEng.net
>>860
>正弦波が描出されただけのような？
あれ？
正弦波の0～πの部分と違うな
上に凸なのに両端近くに変曲点がある
なんで？
914:１３２人目の素数さん
20/03/19 14:42:09.63 lL/ZGWr/.net
任意の実数に到達できるような関数電卓は存在するか？
関数電卓は、入力は整数で有限個の関数を持っており計算速度は無限大であるとする。
915:１３２人目の素数さん
20/03/19 16:40:30 XGan5JrS.net
球面に一様分布らしき点を5000個発生させて、
各々の点でθが5°の球冠面にその点以外にどれだけの点が含まれるかを算出させてみた。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
中央値9 平均9.56 標準偏差3.14という値になった。
> summary(dots) ; sd(dots)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.000 7.000 9.000 9.556 12.000 23.000
[1] 3.148086
ヒストグラムだと
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
# 球面一様分布 c(x,y,z)
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi) # φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}
n=5000
vtx=t(replicate(n,vertex())) # n個の点x,y,zをつくる
rgl::plot3d(vtx[,1],vtx[,2],vtx[,3], col="slateblue")
Theta=(pi/180)*5
onCap <-function(x,y,theta){
acos(x %*% y) < theta # ベクトルの内積の逆余弦がtheta未満なら球冠上にある
}
hmonCap<- function(j){
count=0
for(i in (1:n)[-j]){
count = count + onCap(vtx[j,],vtx[i,],Theta)
}
return(count)
}
dots=sapply(1:n,hmonCap)
summary(dots) ; sd(dots)
hist(dots) ; table(dots)
BEST::plotPost(dots)
916:１３２人目の素数さん
20/03/19 16:45:37 XGan5JrS.net
極に分布が偏る
# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
だと
> summary(dots) ; sd(dots)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0 6.0 10.0 18.7 17.0 139.0
[1] 26.50699
標準偏差が大きいので一様とは呼べない。
ヒストグラムを描くとURLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
917:１３２人目の素数さん
20/03/19 17:03:25 XGan5JrS.net
>>863
球面上の面積を一定にしてグリッドを描いてその中の点を数えるプログラムはできそうにないので断念して、
上記のように散布した点の周りに何個の点があるのかを数えるのに変えました。
色々と助言ありがとうございました。
918:１３２人目の素数さん
20/03/19 17:07:02 XGan5JrS.net
>827の
正方形内で乱数x,yを発生させて r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外だと
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 9.00 13.00 12.58 16.00 33.00
[1] 5.694825
標準偏差5.69と前二者の間になった。 まあ、直感と合致した感じ。
919:１３２人目の素数さん
20/03/19 19:05:16 KrhQLEng.net
>>819
計算教えて
920:１３２人目の素数さん
20/03/19 19:13:01 uD33tvXq.net
>>869
単位球の表面積は4π。この球を平面で切り、（切断面を除く）表面積を3πとπに分けるためには、
平面と球の中心の距離はいくらか？ 答えは
y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx を解いて、a=1/2
球と平面の距離が1/2なら、切断面の半径は(√3)/2
このことから、球面上を一様に分布した点があり、それを、赤道面上に投影すると、
半径(√3)/2の円内に半分の点があり、その外側のドーナツ型の部分に半分の点がなければならない。
>>827 の方法では、半径(√2)/2の円の内外で二分されるため、球面上を一様に分布した点とはならないと思われる。
ではどうすればよいかというと、[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、
x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2)
というのが、シンプルだと思われる。
921:１３２人目の素数さん
20/03/19 19:41:52 KrhQLEng.net
>>830
>xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな
これね
スマン意図伝わってなかったかも知らん
922:１３２人目の素数さん
20/03/19 19:49:41 uD33tvXq.net
>>871
一行の中に、二カ所もひどい間違いしてました。訂正します。
×：y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx を解いて、a=1/2
○：y=√(1-x^2)、π=∫[a,1]2πy√(1+(dy/dx)^2)dx を解いて、a=1/2
923:１３２人目の素数さん
20/03/19 20:45:46.04 XGan5JrS.net
>>871
[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、
x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2)
でやってみました。
>866とほぼ同じ平均と標準偏差になりました。
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
1.000 7.000 9.000 9.585 12.000 24.000
[1] 3.193939
924:１３２人目の素数さん
20/03/19 21:44:15 uD33tvXq.net
球面を、二つの平面、x=aとx=a+hでカットしたときの帯状の曲面の面積は、
カットする位置によらず、幅hにのみ依存します。
>>866はこの性質を利用した方法なので、球面一様分布を生成する正しい方法だと思います。
一方、>>827の方法は、正しくないという指摘です。
925:１３２人目の素数さん
20/03/19 23:30:46.19 nprfnGEx.net
数aの問題です。
【300人を対象に「二つのテーマパークpとqに行ったことがあるか」というアンケートをおこなったところ、pに行ったことがある人が147人、qに行ったことがある人が86人、どちらにも行ったことのない人が131人であった。
（１）両方に行ったことのある人の数を求めよ。
（２）どちらか一方にだけ行ったことのある人の数を求めよ。】 という問題です。答えを見てもなかなか理解が出来ませんでした。
926:１３２人目の素数さん
20/03/19 23:42:24.02 8QNcFC1P.net
↑の問題書く板を間違えてしまいました。失礼しました。
927:１３２人目の素数さん
20/03/19 23:43:46.42 8QNcFC1P.net
↑板ではなくてスレです。初心者のため用語がごちゃごちゃになってしまいました。何度も失礼しました。
928:１３２人目の素数さん
20/03/20 00:03:06.45 p5Mf5Wxl.net
>>876
(1)147+86-(300-131)=64
(2)147-64=83 86-64=22から83+22=105
答が理解できない理由が謎。
929:１３２人目の素数さん
20/03/20 00:11:49.72 p5Mf5Wxl.net
>>875
緯度でθ+Δθでやると帯の面積はΔθだけなくてθの値にも依存しますね。
930:イナ
20/03/20 01:13:13.31 8G8tjVXV.net
前>>843
>>817
面白い問題と言うからにはこのぐらいのことは起こらないとね。
半径1の球に内接する正四面体の一辺をaとして、
その体積はa^3√2/12
4つの頂点を無作為にとったとき、凸包の体積Vはちょうど一辺が1の正四面体の体積になるとか。
a=1のときV=√2/12
=0.11785113……
931:１３２人目の素数さん
20/03/20 03:34:41 BTmsQo5f.net
>>881
稀代の馬鹿
932:１３２人目の素数さん
20/03/20 05:33:36.40 5OgbmOf4.net
>>772
面白い問題おしえて～な 31問目
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:859番)
933:１３２人目の素数さん
20/03/20 05:34:37.30 5OgbmOf4.net
誤爆orz
934:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/20 06:59:12 8G8tjVXV.net
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`∩∩､/､＼＼＼＼
＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､＼＼
＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`前>>881＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼>>817 (1/2)^3=1/8=0.125 ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
935:イナ
20/03/20 07:55:00.46 8G8tjVXV.net
前>>885
∵半径1の球表面にA,BをとるときABは0～2の値を無作為にとるが、そのあいだを動かしたときもっともとり得る値はAB=√2
同様にAC=√2,BC=√2
もっともとり得る
936:△ABCの面積は、 △ABC=(√3/4)(√2)^2 =√3/2 △ABCの重心をGとして、 四面体ABCDの△ABCを底面とした頂点Dの高さDGは0も含めいろいろな値を無作為にとるが、もっともとり得る値は、球の中心をOとしてOGと等しい。 つまり四面体ABCDの体積のもっともとり得る値は、3つの稜線のおのおのが直交し長さが1の三角錘の体積と等しい。
937:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/20 08:04:52 8G8tjVXV.net
前>>886訂正。
>>817
四面体ABCD=(1/3)(1/2)･1
=1/6
=0.166……
∵>>886
938:１３２人目の素数さん
20/03/20 18:27:18 lC3HBZ24.net
888げとー (パチスロか?)
>>887
OA,OB,OCが直交すればOABCの体積は 1/6
>>841 と一致･･･ (正しくはなかろうが)
939:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/21 10:38:50 gmytXLCF.net
∥∩∩ ∥ □ ∥○?∇
（(-_-)∥ ∥Δ>>888
（っ⌒⌒ﾞ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥╂─╂
＼■υυ■_∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _ )`⌒つﾞ
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`球表面にもっともとり得る2点目、3点目を順にとると任意の2点は球の中心に対して直角になる。
前>>887あとは4点目をどうとるか。3点で決まる平面と平行な、球体を切った任意の円盤の中で、もっともとり得る円盤は球の中心を通るやつ。この円盤と球表面の共有線である円周上に4点目があるときの四面体の体積は、稜線が直角な三角錘と同体積。
稜線の長さは球の半径=1だから三角錘の体積(1/3)Shは、
(1/3)(1/2)･1=1/6
=0.166……
あってると思うけど。
940:１３２人目の素数さん
20/03/21 19:43:53 4jcynL59.net
>>817
数値積分による解
In[1]:= S[t1_,t2_,p_] := Simplify[Norm[Cross[{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[
t1]}-{0,0,-1},{Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]}-{0,0,-1}]]/2]
In[2]:= d[t1_,t2_,p_] := Simplify[Det[{{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[t1]},{
Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]},{0,0,-1}}]/(2 S[t1,t2,p])]
h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+Integrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/2}]]
In[3]:= h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+In
tegrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/
2}]]
In[4]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]h[d[t1,t2,p]]S[t1,t2,p]/3,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,
Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}]/Integrate[Cos[t1]Cos[t2],{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-
Pi/2,Pi/2}]
Out[4]= 0.11968