20/02/23 00:43:44 IKEuiMDY.net
>>536
経路も計算も不正解
563:１３２人目の素数さん
20/02/23 01:52:48.94 6rqZMHpY.net
長さが1の正三角形ABCの辺を単位長さが1オームの導線で結び、
辺AB,BC,CAに中点E,F,Gを取り、EF,FG,GEに対しても同じ導線で結ぶ。
さらに辺BCを共有する三角形EBFと三角形GFCに対しも同様にして辺の中点を取り導線で結ぶ。
この操作を無限に繰り返したとき、AB間とBC間の抵抗値を求めよ。
564:１３２人目の素数さん
20/02/23 02:59:55.72 D9pzXkW3.net
Aから、Dを中心とする半径10mの円周に沿って30ﾟ進む。v=1 (m/s)
20π/12 = 5.235988 (秒)
そこから対角線の交点に向かって y軸方向に直進する。
点(5,y) での速度は v ≦ DP/10 = (1/10)√(25+yy)
T = ∫[5,5√3] (1/v)dy
≧ ∫[5,5√3] (10/DP)dy
= ∫[5, 5√3] 10/√(25+yy) dy
= [ 10 arcsinh(y/5) ](5, 5√3)
= 10 (1.3169579-0.8813736)
= 4.355843 (秒)
これを合計して 9.591831 (秒)
565:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:04:18.09 IKEuiMDY.net
>>539
不正解
566:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:22:55 eIKUodWL.net
イナとかいう計算機にぶち込んで出てきた小数を脳死でレスして毎回間違う意味わからんクソコテ何者だよ
567:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:04:02.45 D9pzXkW3.net
>>536
v = 1-at,
AP = t -(a/2)t^2,
より
v^2 - (DP/10)^2
= (1-at)^2 - {1 -(√2)(AP/10) +(AP/10)^2}
= AP(10√2 -200a -AP) /100,
・ここで a = 1/(10√2) なら
v^2 - (DP/10)^2 = -(AP/10)^2 ≦ 0,
v ≦ DP/10 で題意を満たす。
・ところが
1-at｡= 1/√2,
t｡ -(a/2)t｡^2 = 5√2,
と置くと
a = 1/(20√2),
v^2 - (DP/10)^2 = AP(5√2 -AP)/100 ≧ 0,
v ≧ DP/10,
となり、題意を満たさない。
568:１３２人目の素数さん
20/02/23 06:49:54 rxwEFURs.net
F:R→RはC^2級で以下の条件を満たすとする
・ある定数0<c,Cがあり、c≦F’’(x)�
569:�C (x∈R) ・x^2≦F(x) (x∈R) このとき、min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) }が存在することを示せ.
570:１３２人目の素数さん
20/02/23 09:58:15 rxwEFURs.net
>>543
失礼しました修正します
任意のa,b∈Rに対して
min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) ,u(0)=a, u(1)=b}が存在することを示せ.
です
571:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 10:45:08 2zPyHRoL.net
前>>536
>>538
EA間の抵抗値は1/2[Ω]のはずだが、Eで三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/2)^3/(1/2+1/2+1/2)
=(1/8)/(3/2)
=1/12
になる。
BEの中点からEまでの間の抵抗値は1/4[Ω]のはずだが、BEの中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/4)^3/(1/4+1/4+1/4)
=(1/64)/(3/4)
=1/48
になる。
BとBEの中点の中点からBとBEの中点までの間の抵抗値は1/8[Ω]のはずだが、BとBEの中点の中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/8)^3/(1/8+1/8+1/8)
=(1/512)/(3/8)
=1/192
AB間の抵抗値は、
1/12+1/48+1/192+1/768+1/3072+……)
=(1/3)(1/4+1/16+1/64+1/256+1/1024+……)
=(1/3){1/(1-1/4)}
=4/9[Ω]
BC間の抵抗値は、
CA間の抵抗値がAB間の抵抗値と同じ4/9[Ω]だから、
推定すると、1/9[Ω]
572:１３２人目の素数さん
20/02/23 11:22:55.26 6rqZMHpY.net
>>545
不正解
573:１３２人目の素数さん
20/02/23 11:23:58.21 FPOdVTcq.net
イナさん絶好調
574:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 12:37:29 2zPyHRoL.net
前>>545
>>512
Aから初速1[m/秒]、加速度-a[m/秒^2]で螺旋を描くようにＬ[m]を減速しながらt[秒]泳ぎ、終速1/√2[m/秒]で正方形の中心に到達したとすると、
速度について1-at=1/√2
at=1-1/√2
距離についてt-(1/2)at^2=Ｌ
t{1-(1/2)(1-1/√2)}=Ｌ
t(1-1/2+1/2√2)=Ｌ
t(1/2+1/2√2)=Ｌ
t(2√2+1)/2√2=Ｌ
t=Ｌ･2√2/(2√2+1)
=Ｌ･2√2(2√2-1)/7
=Ｌ(8-2√2)/7
もしも今対数螺旋とかいうＬが、
Ｌ=5･(√2)^eなら、
t=5･(√2)^e･(8-2√2)/7
=9.4762526……(秒)
螺旋泳ぎおっせー。
短距離だからかな。
575:１３２人目の素数さん
20/02/23 13:12:59.17 x1qWF4GD.net
Aから対角線の交点まで直進する。
A付近では加速度aを大きく {a=1/(10√2)} せねばならんが、
そのままａ一定にすると、後半で遅くなり過ぎる。 >>534
制限速度いっぱいで直進すると
v = DP/10
= √{１ - (√2)AP/10 + (AP/10)^2}
= (1/√2)√{１ + (1 - AP/5√2)^2},
T = ∫[0,5√2] (1/v) dAP
= 10 ∫[0,1] 1/√(1+uu) du {← u = 1 - AP/(5√2)}
= 10 [ arcsinh(u) ](u=0,1)
= 10 arcsinh(1)
= 10 log(1+√2)
= 8.81373587 (秒)
2.7%ぐらい遅いが。。。
576:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:18:34.00 x1qWF4GD.net
A(0,-10)
B(10,-10)
C(10,0)
D(0,0)
とし、放物線 y = bxx -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから b=1/5.
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + (1-bxx/10)^2}
= √{1 - ((20b-1)/100)x^2 + (bb/100)x^4},
ds = √{1+(2bx)^2} dx,
T = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2} (10/DP) dx
= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2}/√{1 -((20b-1)/100)x^2 +(bb/100)x^4} dx
= 8.6463092 (秒)
0.72%ほど遅い。。。
577:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:56:48 x1qWF4GD.net
>>550
3次関数 y = cx^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから c=1/25.
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + [1 - (c/10)x^3]^2},
ds = √{1 + (3cxx)^2} dx,
T = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2} (10/DP) dx
= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2}/√{(x/10)^2 + [1-(c/10)x^3]^2} dx
= 8.78206166 (秒)
2.3%ぐらい遅い。遠回りし過ぎ？
578:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 15:15:40 2zPyHRoL.net
前>>548
一辺10[m]のプールのA側の1/4を使って螺旋状に泳ぐべく右蹴り足をやや強く蹴り、左に旋回しながら一周で半径と同じピッチ上がる螺旋の長さのぶんだけ時間がかかると考えて、
ピタゴラスの定理より、
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
=7.95283141……(秒)
最速!!
579:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 15:39:58 2zPyHRoL.net
前>>552
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって螺旋を描くようにt秒間で7.952813141[m]泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2─?
距離について、
1･t-(1/2)at^2=7.952813141
2t-at^2=15.90
580:5626282…… ?を代入すると、 2t-(1-1/√2)t=15.905626282…… (1+1/√2)t=15.905626282…… t=15.905626282(2-√2) =9.31730016……(秒) たいして速くない。
581:１３２人目の素数さん
20/02/23 15:44:26 x1qWF4GD.net
n次関数 y = d x^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから d=1/5^(n-1).
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + [1 - (d/10)x^n]^2},
ds = √{1 + [nd･x^(n-1)]^2} dx,
T(n) = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+[nd x^(n-1)]^2} (10/DP) dx
n T(n)
----------------------------------------------------
1 8.8137358702 +2.67% >>549
2 8.6463092000 +0.718 >>550
3 8.7820616603 +2.30% >>551
4 8.9261905925 +3.98%
5 9.0515773221 +5.44%
6 9.1577166076 +6.675
----------------------------------------------------
正解 8.5846579929 >>525 >>533
近似式 (n≧2)
8.584658{1 +0.0182(n-1.62) -0.0007(n-1.62)^2}
582:１３２人目の素数さん
20/02/23 16:15:53.38 UpuezNYO.net
>>512はもう>>525で答え出てるんじゃないの？
583:イナ
20/02/23 16:23:02.86 2zPyHRoL.net
√{π^2+(2log2)^2}
水平距離がπ、2πr=πとすると半径r=1/2
ピッチが2log2
─どういうことや？
前>>553ピタゴラスの定理より、螺旋の長さは、
√{π^2+(2log2)^2}
湧水の影響を避け螺旋状に中心に向かって右から旋回しながら中心に至る経路が最速なのはわかる。なんでピッチが2log2と一意に決まるのか。
584:１３２人目の素数さん
20/02/23 16:26:55 x1qWF4GD.net
訂正
n次関数 y = d･x^ｎ -10 でした。
n→∞ のときは直角に近づく。
横： A(0,-10) → (5,-10)
DP = √(100+xx),
∫[0,5] (10/DP)dx = 10∫[0,5] 1/√(100+xx) dx
= 10 [ arcsinh(x/10) ](x=0,5)
= 10 arcsinh(1/2)
= 10 logφ {φ=(1+√5)/2=1.618034}
= 4.8121182506 (秒)
縦：(5,-10) → X(5,-5)
DP = √(25+yy),
∫[5,10] (10/DY) dy = 10∫[5,10] 1/√(25+yy) dy
= 10 [ arcsinh(y/5) ](y=5,10)
= 10 {arcsinh(2) - arcsinh(1)}
= 10 {log(2+√5) - log(1+√2)}
= 10 (1.443635475 - 0.88137358702)
= 5.6226188816 (秒)
これを合計して
T(∞) = 10 log{(2+√5)(√2 -1)φ} = 10.4347371322 (秒)
585:１３２人目の素数さん
20/02/23 16:56:24.49 eIKUodWL.net
円卓の席に座る方法を考える。
4人席の場合、既に着席している4人が1,2,3,4と書かれたくじを引いて、反時計回りに1,2,3,4と並ぶように座り直すことにする。1の席が固定されているということはない。
すると、どのようにくじを引いたとしても高々2人の移動で済むことが簡単な考察で分かる。
では一般にn席あって着席済のn人が1,2,…,nと書かれたくじを引く時、移動しなければならない人は高々何人だろうか？
586:イナ
20/02/23 17:55:09.17 2zPyHRoL.net
前>>556
>>558
4人いたら2人移動。
5人いたら3人移動。
n人いたら、
高々n-2人移動すれば半時計回りに番号順に並べると思う。
587:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:33:17.01 SsuGIXB0.net
>>558
n人が『時計回りに』1,2,…,nの番号を引いた場合、
動かずに済む人数は、nが偶数の時2人、奇数の時1人となる。
また、どのようにくじを引いても1人は動かずに済むことから、
nが奇数の時の答えはn-1人であることがわかる。
nを偶数とし、Z/nZ上の任意の全単射fをとる。
g(x):=f(x)-x もZ/nZ上の全単射を与えていると仮定すると
Σ_(x∈Z/nZ) g(x) = Σ_(x∈Z/nZ) f(x) = Σ_(x∈Z/nZ) x = n/2 + nZ
となるが、これは
Σg(x) = - Σx + Σf(x)
と矛盾。ゆえにgは全単射でない。
�
588:ｵたがって、f(x)-f(y)=x-y を満たす異なる x,y∈Z/nZ が存在。 以上の考察から、n人がどのようにくじを引いても、2人は動かずに済む。 よって、nが偶数の時の答えはn-2人。
589:１３２人目の素数さん
20/02/23 23:22:59 UpDOmukV.net
>>560
素晴らしい
590:哀れな素人
20/02/24 10:25:37 Rt+v/L/g.net
以前、たしかこのスレに、
円に内接する多角形を三角形に分割したとき、
どのように分割しても、
それらの三角形の内接円半径の和は一定である、
という問題があったが、四角形の場合の証明が分った。
円に内接する四角形を、右上から左回りにABCDとし、
各辺をAから左回りにa、b、c、dとする。
円の中心Oからa、b、c、dに下ろした垂線をe、f、g、hとし、
対角線AC、BDに下ろした垂線をi、jとする。
また円の中心Oは△ABC、△BCDの外にあるとする。
また外接円半径をR、
△ABC、△ACDの内接円半径をr1、r2
△BCD、△ABDの内接円半径をr3、r4とする。
するとカルノーの定理により、
e+f-i=R+r1、g+h+i=R+r2 ⇒e+f+g+h=2R+r1+r2
f+g-j=R+r3、h+e+j=R+r4 ⇒e+f+g+h=2R+r3+r4
∴ r1+r2=r3+r4
591:１３２人目の素数さん
20/02/24 10:42:38 /4cfnoQR.net
それ日本の定理っていう名前がついてるやつか
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
592:１３２人目の素数さん
20/02/24 10:50:29.59 GWc2cyTj.net
へぇ、そんな名前がついてるのか。
593:１３２人目の素数さん
20/02/24 16:44:00.49 Gb7vk4DT.net
>>557
楕円 y = -√(100-kxx) に沿って進む。
対角線の交点X(5,-5) を通るから k=3,
v = DP/10
= (1/10)√{100-(k-1)xx},
dy/dx = kx/√(100-kxx),
ds = √{(100+k(k-1)xx)/(100-kxx)} dx,
T = ∫(1/v) ds
= 10∫[0,5] (1/DP)(ds/dx)dx
= 10∫[0,5] √{(100+k(k-1)xx)/((100-kxx)(100-(k-1)xx))} dx
= 8.6698357840
0.992%ほど遅い。
近似式
T(n) = 10.434737 - 4.8644/n^0.6 + 3.2450/n^1.2
594:１３２人目の素数さん
20/02/24 22:47:05.10 Gb7vk4DT.net
この式は n=1.61693 の辺りで極小値 8.61175 となる。(0.315%遅い)
この辺が曲線 y = 5(x/5)^n -10 に沿って進む場合の限界かな～
595:１３２人目の素数さん
20/02/25 13:34:37.50 xlZ4iTwN.net
URLﾘﾝｸ(matome.naver.jp)
Naver まとめ
おもしろく、素敵で、考えさせられる、大学入試問題 519gugさん 2015年01月23日
最も短い入試問題 （京都大学編）
tan１°は有理数か。
2006年 京都大学 後期 理系 第6問
超有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。
出典
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
596:１３２人目の素数さん
20/02/25 14:05:48.96 WMW0bPzH.net
>>567
>ほとんどの受験生が解けなかった
なんで？加法定理は有理式じゃん
597:１３２人目の素数さん
20/02/25 14:13:38.29 INCWFL/L.net
京都の後期受ける人ならみんな解けそうだけどな
598:１３２人目の素数さん
20/02/25 14:56:45.78 1YFg5R8p.net
>>567
tan１°が有理数であるならばtan30°も有理数で矛盾
599:１３２人目の素数さん
20/02/25 15:26:52.86 0KQ2py8l.net
4Dエンジンを作った。
回転する4Dの超立方体のサンプルが付いている。
画像とソースコードは：
URLﾘﾝｸ(x0000.net)
600:１３２人目の素数さん
20/02/25 20:20:32 9H9AGGze.net
そういう知識の活用ができる人は少ないって事でしょう
601:１３２人目の素数さん
20/02/26 21:29:35.91 3UGv2jT6.net
正の有理数
602: x,y,z は xyz=1 を満たし、自然数 a,b,c と a=12x(y+1),b=12y(z+1),c=12z(x+1) の関係がある。 a+b+c の値が 100と最も近いもの および、1000 と最も近いもの、および、10000 と最も近いものを見つけよ。
603:１３２人目の素数さん
20/02/27 02:03:08.51 f9GfmhOJ.net
1=144/(ab)+144/(bc)+144/(ca)+3456/(abc)
以下ry
604:１３２人目の素数さん
20/02/27 17:00:07 5cc8+UEj.net
(tan(x))^2が有理数となるxを決定せよ。
605:１３２人目の素数さん
20/02/27 18:49:07.28 hxZioUH7.net
訂正
(tan(π/n))^2が有理数となる自然数nを決定せよ。
606:１３２人目の素数さん
20/02/27 20:16:26.22 6SmBw6gg.net
>>570
tan(30ﾟ) が有理数でないことを示すには
sin(30ﾟ) = s とおく。
1 = sin(90ﾟ) = 3s -4s^3,
(s+1)(2s-1)^2 = 0,
s≠-1 だから s=1/2,
tan(30ﾟ) = s/√(1-ss) = 1/√3,
1/√3 が有理数でないことを示せばよい。
1/√3 が有理数だったと仮定すると
1/√3 = p/q (p,qは自然数)
q^2 = 3p^2,
ここで両辺を素因数分解すると
左辺の3の指数は偶数(または0)、右辺の3の指数は奇数
となって UFD に反する。 (矛盾)
607:１３２人目の素数さん
20/02/27 20:29:00.81 6SmBw6gg.net
>>575
{ sign(q)･arctan(√|q|) + nπ | q∈Q, n∈Z }
かな
608:１３２人目の素数さん
20/02/28 00:09:34.34 6+sDQgwJ.net
和を1/2に保ちながらエジプト分数の項数を二倍に増やす
1/2=1/3+1/6=1/4+1/10+1/12+1/15=1/5+1/14+1/20+1/21+1/24+1/28+1/35+1/40=
1/6+1/18+1/30+1/30+1/33+1/36+1/44+1/45+1/60+1/65+1/63+1/70+1/77+1/84+1/88+1/104=
1/7+1/22+1/39+1/42+1/42+1/52+1/55+1/60+1/66+1/70+1/85+1/90+1/99+1/112+1/117+1/119+
1/126+1/126+1/130+1/133+1/144+1/152+1/154+1/165+1/168+1/170+1/198+1/204+1/209+1/228+1/234+1/273=1/2
609:１３２人目の素数さん
20/02/28 09:17:13.90 gtbRddYz.net
有理数rに対して、rを約分しきった時の分子と分母の積をh(r)とおく。
ある実数xについて tan(x)^2=p/q (p,q>0 は互いに素な整数) が成り立っていると仮定すると、tan(2x)^2=4pq/(p-q)^2.
(i)p,qのうち片方が0でない偶数の時、もう片方は奇数であるから p-q は奇数。
ゆえに、4pq と (p-q)^2 は互いに素であるから
h(tan(2x)^2) = 4pq(p-q)^2 > h(tan(x)^2).
(ii)p,qの両方が奇数でありかつ少なくとも一方が5以上の時、4pq と (p-q)^2 の最大公約数は4.
したがって、h(tan(2x)^2)=(1/4)pq(p-q)^2.
仮に h(tan(x)^2)≧h(tan(2x)^2) が成り立っているならば、|p-q|=2 より tan(2x)^2=pq.
(p≧5 または q≧5) かつ |p-q|=2 より、pとqのどちらも3以上であるから、|1-pq|>2.
ゆえに、h(tan(4x)^2) = (1/4)pq(1-pq)^2 > pq = h(tan(x)^2).
以上の議論から、tan(x)^2=p/qが(i)と(ii)のどちらかの条件に当てはまるならば、
数列 {tan(2^n･x)}_(n≧1)
610:は周期的にならない。 一方、xがπの有理数倍の時はこの数列が必ず周期的になるので、 x/πとtan(x)^2の両方が有理数になるのは tan(x)^2=0,1/3,1,3 の時のみ。 これは x/π-n = 0, ±1/6, ±1/4, ±1/3 の場合に相当。
611:１３２人目の素数さん
20/02/28 10:52:23 TIr8ReLJ.net
>>580
正解です。
中々面白い解答で素晴らしい。
想定の解答は
(tan(mπ/n))^2 が有理数でm,nが違いに素ならQ(tan(π/n))はQの2次拡大なのでこのようなnを決定すればよい。
cos(2π/n)∈Q(tan(π/n)、[Q(cos(π/2):Q]=φ(n)/2 (n≧3) なのでφ(n)≦4が必要。
よってn=1,2,3,4,5,6,8,10,12が必要。
以下ry
でした。
612:１３２人目の素数さん
20/02/28 20:04:08.62 yyQ2syhj.net
(tan(2π/n))^kが有理数となる自然数n,kを決定せよ。
613:イナ
20/02/28 22:04:49.54 TMuPrCsw.net
前>>559
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＲに対して1^kэＲ
614:イナ
20/02/28 22:09:53.42 TMuPrCsw.net
前>>583訂正。有理数の記号はＱでした。
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＲに対して1^kэＱ
615:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/29 02:12:36 Bn4PpVB4.net
前>>584訂正。自然数の記号はＮでした。
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＮに対して、
与式=1^k=1эＮ
∴n=8のとき、kは任意の自然数。
n≠8のとき、k=0
もっとありそうな感じがする。
616:１３２人目の素数さん
20/02/29 13:04:11 fSHRQCgW.net
>>582の確認。
こんなの感でも答えはtan(2π/n)=1、またはk≦2のときに限られるのはわかります。
題意はそれを証明しなさいです。
すなわち
(tan(2π/n)^kが有理数となるのはtan(2π/n)=1、または(tan(2π/n)^2が有理数の場合に限る事を 証 明 せよ。
です。
617:１３２人目の素数さん
20/02/29 16:36:14.05 3cJe9Ye6.net
K:=Q(tan(2π/n))⊂Q(e^(2πi/n)) より K/Q はアーベル拡大であるから、
tan(2π/n)^k=p/q において k=2 とできなければならない。
あとは>>580と同じ…というのは飛ばし過ぎだろうか
618:イナ
20/02/29 18:11:59.79 Bn4PpVB4.net
前>>585
1+tan^2θ=1/cosθより、
tan^2θ=1/cosθ-1
tanθ=√(1/cosθ-1)
θ=2π/nとして、
tan(2π/n)=√{1/cos(2π/n)-1}
tan^k(2π/n)={1/cos(2π/n)-1}^(k/2)
n=1のとき、
tan^k(2π)={1/cos2π-1}^(k/2)
0=0^(k/2)
kは任意の自然数。
n=2のとき、
tan^kπ={1/cosπ-1}^(k/2)
1^k=(-2)^(k/2)
k=0となり自然数ではない。
n=8のとき、
tan^kπ/4={1/cos(π/4)-1}^(k/2)
1=(√2-1)^(k/2)
k=0となり自然数ではない。
∴n=1,kは任意の自然数。
もしあってたとしても、どこが面白いかはわからない。
619:１３２人目の素数さん
20/02/29 19:45:46 GgyIebsL.net
>>587
まぁそれがほぼ想定解です。
しかしさすがに飛びすぎ。
実数tにおいてある自然数kにおいてt^kが有理数、かつQ(t)がQ上のアーベル拡大のときt^2が有理数である事を示せ。
です。
620:１３２人目の素数さん
20/03/01 06:37:29.57 +B38pBXy.net
正方形の一辺の垂直二等分線を定規のみで作図せよ
621:１３２人目の素数さん
20/03/01 08:54:32.79 vlQ4BnF6.net
>>590
A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)を4頂点とする。
E(a,0) (0<a<1/2) を適当にとる。
直線AC∩直線BD=F(1/2,1/2)∈S
直線DE∩直線AC=G∈S
直線BG∩直線AD=H(0,a)∈S
直線AH∩直線BC=I(1,1-a)∈S
直線EI∩直線CD=J(1+a,1)∈S
直線FJ∩直線AB=(-a,0)∈S
直線EF∩直線CD=(1-a,1)∈S
この時□AEJCと□KACLのそれぞれの対角線の交点を結べば良い。
622:１３２人目の素数さん
20/03/01 09:03:43.81 zJUT57J7.net
最近面白い問題がないな
623:１３２人目の素数さん
20/03/01 09:20:09.03 g3yGUOWL.net
>>589はダメ？
624:１３２人目の素数さん
20/03/01 10:48:21.70 YZSiuLon.net
じゃあまた投稿者には未解決だけど一�
625:ﾂ 任意の複素数係数多項式 F∈C[x] について、次を満たす f,g,h∈C[x] は存在するか： F(x) = f(x)^3 + xg(x)^3 + (x^2)h(x)^3
626:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/01 14:45:50 Yhf86Vyf.net
/∥__∥ □ ∥ |ﾟ○。
|∩∩∥ ｡∥ ∩∩ ﾟ
( (`e) [￣]∥(`) )ﾟ
(￣,`っ｢￣￣]∥(_υ_)~
(_(__∩∩__□∥∩∩~ ~
~ ~~(___()~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~ >>590正方形の対角線の交点は垂直二等分線が通る。前>>588あともう一点、垂直二等分線上の点が必要。定規にシャーペンを固定してコンパスみたいに回したらどうかな。
627:１３２人目の素数さん
20/03/01 19:04:19 +B38pBXy.net
>>591
直線AH∩直線BC→ 直線FH∩直線BC
直線FJ∩直線AB=(-a,0)∈S → K(-a,0)
直線EF∩直線CD=(1-a,1)∈S → L(1-a,1)
ということかな？
平行四辺形二つ作って刺す感じですか
なるほど正解です
想定していた解法はチェバを使うものでした
628:１３２人目の素数さん
20/03/01 19:07:53 +B38pBXy.net
>>595
ここでいう「定規」とは以下の能力しか持たない抽象的な道具です
・与えられた二点を結ぶ線分を引く
・線分を延長する
また、点とは「線と線の交点」、「線分の端点」のことを指します
629:１３２人目の素数さん
20/03/01 20:05:10.17 b16SM21O.net
>>596
チェバの解放ﾌﾟﾘｰｽﾞ
630:１３２人目の素数さん
20/03/01 20:18:55.24 fSBfHqBl.net
>>598
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
631:１３２人目の素数さん
20/03/01 20:19:30.63 fSBfHqBl.net
>>599
この要領で対辺にも中点を作ってそれらを結べばよい
632:１３２人目の素数さん
20/03/01 20:21:51.07 b16SM21O.net
>>599
なる
thx
633:１３２人目の素数さん
20/03/01 21:38:30.26 YZSiuLon.net
ユークリッド平面上に三点(-1,0),(0,0),(1,0)だけが作図されている状態から、
任意の有理数rについて点(r,0)を作図できることを示せ。
634:１３２人目の素数さん
20/03/01 21:38:59.87 YZSiuLon.net
>>602
すまん、定規だけで。
635:１３２人目の素数さん
20/03/01 23:14:20.87 i2VXPeIF.net
>>602
補題1
A1,A2,A3が同一直線上にこの順に等間隔に並ぶとき、この直線上の点A4をA1,A2,A3,A4が等間隔に並ぶようにできる。
∵)Pを直線外にとり線分PA2上にQを任意にとる。
PA1とQA3の交点をB1、PA3とQA1の交点をB3とすればB1B3//A1A3となる。
同じ手順をQを取り替えて行えばさらに線分PB1上のC1と線分PB3上のC3をとってB1B3//C1C3とできる。
C1C3とPA2の交点をC2とすればC2B3とA1A3の交点が求めるA4である。□
補題2
A1A2と線分PA1上のB1とPB2上のB2においてB1B2が平行でA1ある時A1とA2の中点がとれる。
∵)A1B2とA2B1の交点をQとする時、PQとA1A2の交点が求める中点である。□
補題3
n≧1と補題1の設定の元にA1A2を1:2^(n+1)-2に内分する点Xと2:2^(n+1)-3に内分する点Yがとれる。
∵)Pを直線外心に任意にとる。
補題1によりA1A2を2^n:2^n-1に外分する点Qがとれる。
Rを線分PA1上に任意にとりQRとPA2の交点をSとする。
A1SとA2Rの交点をTとしPTとA1A2の交点をUとすればUはA1A2を2^n:2^n-1に内分する点である。
補題2により中点を取る操作を何度もくりかえせばXとYが得られる。□
定理
補題1の設定の元に任意の1未満の正の有理数tに対しA1:A2をt:1-tに内分する点がとれる。
∵)t=a/bとなる自然数をとる。
補題2によりbが奇数の時しめせば十分である。
自然数nを2^n-1がbの倍数であるようにとれる。
この時2^n-1=bcとおけばa/b=ac/(2^n-1)であるから補題1,補題3により可能である。□
636:１３２人目の素数さん
20/03/02 00:25:47.44 OADBUKH6.net
>>604
わあすごい、お見事
想定していた流れは
・y=0 以外でy軸に平行な直線Lが作図可能。
・全ての整数nについて点(n,0)は作図可能。
・ゆえに、直線L上に、任意に長い等差点列を作図可能。
・任意の整数n,a>0,b>0について、二点(n,0),(n+1,0)をa:bに内分する点を作図可能。
最後のは、例えば直線Lが y=√2 で表され、なおかつ全ての点 (e+πm,√2) (m∈Z) が作図できたとして、
二点(n,0),(e,√2)を結ぶ直線と二点(n+1,0),(e+π(a+b),√2)を結ぶ直線の交点をPとおけば、
二点P,(e+πa,√2)を結ぶ直線とy=0の交点が求める点になる。
637:１３２人目の素数さん
20/03/02 01:12:21 qc9vWQ77.net
簡単かもしれないけど
“円に内接する三角形で面積最大のものは正三角形である事”
を初等幾何で証明できますか
まあ解ける人はサクッと解けるのだろう
638:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/02 04:25:07 6RLywf+z.net
前>>595
>>590あ、わかった！
正方形を折り紙みたいにぴったり半分に折ればいいんだ。
で、その折り目に沿って定規で線を引く。
639:１３２人目の素数さん
20/03/02 04:35:43 0ORHzB3W.net
>>606
△ABC = (1/2)AB･CH
ここで CHは、頂点Cと直線ABの距離。
2頂点 A,B を固定し、中心Oから辺ABに垂線を下ろす。
垂線と円周の交点をX1,X2とする。
辺ABも、X1, X2 で引いた接線も、直径X1-X2 に垂直だから互いに平行。
円周は、この2本の接線の間にある。
Cがこの円周上を動くとき、 △ABCが最大になるのは CH が最大のとき。
すなわち Cが、2つの接点Xのうち ∠AXB が鋭角の方であるとき。
このとき AC=BC
A,B,Cを入れ替えても同様だから、正三角形。
640:１３２人目の素数さん
20/03/02 04:41:31 hCgOeWjY.net
>>606
△abcは円周上の相異なる三点から作られる三角形で、それらのうちで面積最大であるとする
いま、△abcが正三角形ではないと仮定し、abとbcの長さが異なるとする
するとacの垂直二等分線かつ円上のbのある側に点dがあり、△adc>△abcで矛盾
641:１３２人目の素数さん
20/03/02 05:30:18.06 0ORHzB3W.net
>>590
正方形S内の作図でも可能でした。
>>591 のあと、対角線BDに平行な線分EHを作ります。←これがミソ
線分EH ∩ 線分AC = M(a/2,a/2)
線分EF ∩ 線分BM = N(3a/{2(1+a)}, a/{2(1+a)})
直線AN ∩ 線分BC = P(1,1/3)
直線AN: y = x/3,
あとは簡単ですね。
ABCDが長方形のときも全く同じ。
642:１３２人目の素数さん
20/03/02 05:43:17.17 0ORHzB3W.net
>>609
ab≠bc から △adc > △abc を出すのはどうやるんでつか？
643:１３２人目の素数さん
20/03/02 08:47:16 r89pIk8E.net
>>607
「定規」とは>>597にある能力しか有しません
しがたって「折り目に沿って線を引く」という能力はありません
644:１３２人目の素数さん
20/03/02 08:47:58 0FXGIEti.net
>>602 関連
二点が与えられたときに中点を定木だけで作図はできない
証明ってどうやるんですか？
645:１３２人目の素数さん
20/03/02 09:20:20 hWkBRJKb.net
>>613
2点しかないんだったらできることはその2点を通る直線を引くことだけ
あと適当に引いた直線はその2点とは全く独立だから結論に何も役立たない
646:１３２人目の素数さん
20/03/02 10:13:43.44 pl+0uhr1.net
>>613
定規だけが使える状況では、与えられた二点の中点が作図できることは、
与えられた二点を通る直線と平行な直線が作図できることと同値になりそうだ
しかし、『完全に独立である』こととかをどう定式化できるかがわからんな…
>>602でやったように、等間隔に与えられた三点とは全く独立にとった点から、
別のある特定の点が作図できてしまうんだからな
647:１３２人目の素数さん
20/03/02 10:19:13 hWkBRJKb.net
>>615
>しかし、『完全に独立である』こととかをどう定式化できるかがわからんな…
>>>602でやったように、等間隔に与えられた三点とは全く独立にとった点から、
>別のある特定の点が作図できてしまうんだからな <
648:br> コンパスもあれば2次方程式を解けるということが重要 定規だけでは何も出来ない
649:１３２人目の素数さん
20/03/02 10:28:23 hWkBRJKb.net
n点与えられているときに定規で出来ることは
そのn点から2点取って直線を引き
その交点も含めて点の個数を
n(n-1)/2(n(n-1)/2-1)/2=(n+1)n(n-1)(n-2)/8
に増やすことだけ
これを繰り返して点をいくらでも増やせるが
それだけ
650:１３２人目の素数さん
20/03/02 10:30:20 pl+0uhr1.net
とは言え等間隔な三点が与えられたら、602の通りに実際『何かができた』わけだからなあ…
定規だけを使った作図に何ができて何ができないのか、という問いに正確に答えようとしたら、
それは中々自明でない問題な気がする
651:１３２人目の素数さん
20/03/02 10:38:11 0FXGIEti.net
２点をm:nに内分(外分)する点を与えたらm:nに外分(内分)する点は定木だけで作図できる
けど中点は無限遠点になる。。
652:１３２人目の素数さん
20/03/02 10:48:01 0FXGIEti.net
よく知らんけどもしかして平行線公理の独立性ってやつ？
653:１３２人目の素数さん
20/03/02 10:51:03 pl+0uhr1.net
というかまず、明示的に許されている訳ではない操作である、
『点を適当にとる』という操作を定式化する必要があるんだよな
しかしこれはおそらく、二人不完全情報ゲームの文脈を使えばできると思う
便宜的に二人の名前を『作図者』と『神』と名づけておく。
作図者は、>>597に記されている操作をしている間はずっと自分の手番。
しかし、作図者がある直線上に点を適当にとりたいと思った時は、まずその直線の開部分集合を一つ指定し、
その開部分集合のうちどこに点をとるかを神が決める、という操作を経なければならない。
更に、作図者は開部分集合のうち神がどこに点をとったのかは、知ることができない。
（ただし『これは作図を始めてから何番目にとった点である』等のように、
適当にとった点に番号付けをして、他と区別することは可能。）
平面上に適当に点をとりたい時も同様。
すなわち先に作図者が開集合を指定し、その中から神が作図される点を決める、という操作を経る。
作図者は、開集合の中で神がどこに点をとったかを知ることはできない。番号付けは可能。
最終的に作図したい点を作図できれば作図者の勝ち。さもなくば神の勝ち。
作図者に必勝法がある時、その点は『作図可能である』と言う。
654:１３２人目の素数さん
20/03/02 11:07:29.38 pl+0uhr1.net
>>619
つまりn:mの間隔にある三点から、(n-m):mの間隔にある三点を作図することが可能という訳か
n:mが整数比なら、互除法使えば最終的に1:1にたどり着くから、
結果的にその直線上にある全ての有理（的な）点が作図できる
655:１３２人目の素数さん
20/03/02 13:20:16.24 hCgOeWjY.net
>>611
acに垂直な玄のうちdを通るものは直径で最長なので底辺acに対する高さがbよりも高いから
656:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/02 14:49:02 6RLywf+z.net
/∥;;∥∩∩］∥ |;;;;;
|∩∩|((-_-)｡∥ ∩∩;;
( (`)(っ/c) ∥(`) );
(￣￣)「￣￣]∥(_υ_)~
(_(__∩∩__□∥∩∩~ ~
~ ~~(___()~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~>>590正方形の対角線の交点は辺の垂直二等分線が通る。前>>607あともう一点。一辺をのばした延長上の一点から最遠方の頂点まで定規で直線を引く。
この直線を引いたとき辺と交点ができる。この交点から頂点に向かって新たな直線がもう一つ引ける。この直線を引いたとき対角線と交点ができる。この交点に先にとった一辺の延長上の一点から半直線を引くと、この半直線はふたたび正方形の辺と交わり
(>>599チェバの定理より正方形の辺を二分する)、この交点と対角線の交点を通る直線を引けば、垂直二等分線が定規だけで引ける。
657:１３２人目の素数さん
20/03/02 15:38:29.30 pl+0uhr1.net
>>613 より少しだけ弱い問として
『何も作図されていない状態の平面から、定規だけを使って平行線を作図することは可能か』
というものが挙げられる。
弱いというのは、もし613が可能ならばこちらが可能であることも導ける、という意味。
しかし解決の方法はさっぱり
658:わからん…
659:イナ
20/03/02 15:45:08.75 6RLywf+z.net
前>>624
>>625
一般に定規は平行な直線が一定の幅を保つように作られている。
∴平行な2直線を引くことは可能。
660:１３２人目の素数さん
20/03/02 16:19:20 0FXGIEti.net
平行線と中点の定木のみ作図可能性はチェバの定理より同値では？
垂線の作図はどうんだろ
661:１３２人目の素数さん
20/03/02 19:21:53.96 pl+0uhr1.net
平面上に直線だけが与えられているとして、定規だけで垂線作図するのは無理だろうね
最初に与えられてるのがx軸だけであれば、>>621の意味で作図可能な図形は、
ある開集合に属する任意の実数aについて、変換 f(x,y)=(x+ay,y) で不変でなければならない
662:１３２人目の素数さん
20/03/02 19:27:22.86 qc9vWQ77.net
>>608>>609
半分正解！
正当化の議論すれば間違ってはない
それで示せるのは「正三角形以外は最大値を与えない」という命題であって
「正三角形で最大値を取る」という事は直接言えない
これは「必ずある三角形が最大値を与える」という命題を認めなければならないということ
まあそれを確かめるのも大学数学の範疇では簡単なので、それ込みでそういう解き方もアリっちゃあり
でも一応初等幾何だけでも解けるんだよーって話
元ネタは京大入試の問題だかなんかで、「正三角形以外の三角形は不適を示すだけでは不正解になる」という話があって
模範解答は解析的に解いてたけど
ちょっと工夫すれば一応幾何だけで解けるな、と思ったので
663:１３２人目の素数さん
20/03/03 01:15:42.77 c1vEOOkk.net
>>629
一応できた。
二等辺三角形に限定していいのは既出の通り。
正三角形ABCの外接円をΓとする。
BCに関してAと対称である点をD、
CAに関してBと対称である点をE、
ABに関してCと対称である点をFとする。
B、Cから直線EFに下ろした垂線の足をG,Hとする。
ADに垂直な弦PQに対して△APQ≦△ABC、等号はPQとBCが一致するときを示せば良い。
直線PQとDB、DCの交点をRSとすれば△APQ≦△ARSで等号成立はBC=PQのときだから△ARS≦△ABCを示せば良い。
R,Sから直線EFに下ろした垂線の足をT,Uとする。
□BCGH=2△ABC、□RSTU=2△ARSだから□RSTU≦□BCGHを示せば良い。
以下EF方向に√3倍して議論する。(√3倍した点を定義していけばよいがめんどくさいだけなので手を抜く)
RSがBCよりDに近い側にある時は□RSTUが□BCGHの外側にはみ出してる部分は内に引っ込んでる部分と比較して同じ幅で長さの短い長方形になっているのでこの場合はよい。
反対側にRSがずれている時も同様である。
664:１３２人目の素数さん
20/03/03 05:46:44.76 KGTUQZbA.net
>>606
本問では △ABC の面積を
f(C, B-A)
とおくことが可能ですね。(何でもない事のようですが)
>>609 から
∠Cを固定して ∠A, ∠B を変えたとき、
面積は、二等辺三角形(B-A=0)のときに最大である。
Max[x] f(C,x) = f(C,0)
次に ∠C を変えたとき、
面積は、B=C (=π/3) のときに最大である。(正三角形)
Max[C] f(C,0) = f(π/3,0)
これらより、最大値は
Max[C,x] f(C,x) = f(π/3,0)
つまり「正三角形で最大値をとる」という事が言えます。(キッパリ)
周囲の長さが一定とか、うまくパラメータ付けできない時には >>629 のようになりますが････
>>623 も同様かと････
665:１３２人目の素数さん
20/03/03 08:42:45.54 5XjpMst2.net
>>630
□RSTU≦□BCGHを示せば良い。
ここ以降も少し簡単にできるな。
△DEFのうち□RSTUの外側の部分が内側の部分より大きいことを示せば良い。
RSがBCよりDに近い側にある時は△ERT、△FSUをそれぞれRT、SUで□RSTUの側に折り返して四角形を覆うとき、覆えない
666:で残る部分はちょうど△DRSと合同な三角形だからよい。 RSがBCよりDに遠い側にある時は△DRSを□RSTUの側に折り返して四角形を覆うとき、覆えないで残る部分は△ERT、△FSUに合同な三角形二つを合わせたものだからよい。□
667:１３２人目の素数さん
20/03/03 09:01:23.61 KGTUQZbA.net
>>631
補足します。
C≠π/3 ⇒ f(C,0) < f(π/3,0)
(略証)
f(C,|A-B|) は |A-B| について単調減少なので
f(C,0) = f((π-C)/2, (3/2)|C-π/3|)
< f((π-C)/2, (1/2)|C-π/3|)
= f(π/3, |C-π/3|)
< f(π/3, 0)
= (正三角形の面積).
668:１３２人目の素数さん
20/03/03 19:16:04 c1vEOOkk.net
>>633
> f(C,0) = f((π-C)/2, (3/2)|C-π/3|)
コレは何故？
669:１３２人目の素数さん
20/03/03 19:33:35.70 KGTUQZbA.net
内角が (π-C)/2, (π-C)/2, C の二等辺三角形だから。
670:１３２人目の素数さん
20/03/03 19:41:15.55 c1vEOOkk.net
>>635
fは外接円の半径固定されてるんですよね？
二つに割って貼り直すと思うんですが外接円の半径変わっちゃうのでは？
671:１３２人目の素数さん
20/03/03 19:47:02.38 c1vEOOkk.net
あ、失礼、貼りなおさなくてもいいのか。
頂角を取り直すだけね。
なるホロ。
672:１３２人目の素数さん
20/03/03 23:13:37.44 c1vEOOkk.net
>>633
さんの方法は中々いいな。
この方法で内接円の面積最大とか3辺の長さの和最大とかが正三角形のときとかも初等的に示せるね。
673:１３２人目の素数さん
20/03/04 00:55:02 3AxDkYqV.net
>>631 >>633 は、内角で表わせば
{A, B, C}
{(π-C)/2, (π-C)/2, C}
{(π-C)/2, π/6 + C/2, π/3}
{π/3, π/3, π/3}
の順に面積が拡大するということですが、
この計算じたいは高校数学の範囲内でしょう。
その他にも、
外接円の半径が一定の三角形の集合はどんな集合か？
なぜうまくパラメータ表示できるのか？
といった問題もありますが、そちらは大学数学の問題でしょう。
674:１３２人目の素数さん
20/03/04 01:46:22.34 ncIVK0Vr.net
>>633
を使って初等的に示してみるまとめ。
半径1の円に内接する三角形ABCをとる、
A≦B≦Cとしてよい。
優弧BC上にDEFを∠BCD=π/3、∠CBE=π/3、∠BCF=∠CBFとなるようにとる。
EもしくはFのいずれかが弧CF上にある方をXとする。
この時
△ABC≦△XBC‥(✳︎)
であり∠XBCか∠XCBのいずれかはπ/3である。
前者のときY,ZをそれぞれC,B、後者のときはY,ZをそれぞれB,Cとすれば
△ABC≦△XYZ
であり∠Z=π/3
である。
Wを∠WXY=π/3
とすれば
△XYZ≦XYW‥(✳︎)
であり△XYWは正三角形である。□
証明の(✳︎)のところは面積のかわりに内接円の半径や三辺の和にしても初等的に示せるので内接円、三辺の和最大も処理できるし、面積をその系で示すこともできて中々気分がいい。
675:１３２人目の素数さん
20/03/04 03:30:36.65 fel9VZKy.net
正の整数nの任意の約数d<nに対し、ある正の整数mがあってmd+1<nがnと互いに素になるという。
nの必要十分条件を求めよ。
676:１３２人目の素数さん
20/03/04 05:12:28.40 3AxDkYqV.net
・優弧BC上に
∠BCF = ∠CBF = (π-∠A)/2 ( >π/3),
となるように 点F をとる。
△ABC < △CBF,
∠BFC = ∠A < π/3,
・劣弧CF上に ∠EBF = π/3 となるように 点E をとる。
∠BEF = ∠BCF = (π-∠A)/2 > π/3,
すなわち
∠CBF > ∠EBF > (π-∠BEF)/2,
∴ △CBF < △EBF,
・優弧EF上に ∠DEF = ∠DFE = π/3 となるように 点D をとる。
△DEF は正三角形
△EBF < △DEF,
以上により
△ABC < △DEF,
677:１３２人目の素数さん
20/03/04 06:35:55 lpGYoEdj.net
>>641
n≡2(mod 4)とするときd=n/2に対してdm+1<nを満たすmは1しかないが、このときdm+1みnみ偶数だから条件は満たされない。
m≡1,3(mod4)とするとき任意のd|n (d<n)に対してd|n/pとなる素因子p>2がとれるが、このときnとn/p+1の共通素因子はpしかあり得ず、pが共通素因子なら2n/p+1とnは共通素因子を持ち得ず互いに素である、
m≡0 (mod 4)とするとき任意のd|n (d<n)に対してd|n/pとなる素因子pにた�
678:｢しp>2であれば先と同じようにしてmを選べる。 p=2のときは(n,n/2+1)=1でよい。 以上により与えられた条件はn≡0,1,3(mod4)と同値である。
679:イナ
20/03/04 17:36:59.43 OGTmh3Cc.net
前>>626
>>292名高い灘高。
OA・OB=1しか条件ない。
あとは直線PQで垂直二等分されるADをどう使うか。
△PBD∽△OBQを示すために、OについてQと点対称なQ'を取り、△PBA∽△OBQ'を示したらどうか。
OA・OB=1と△PBA∽△OBQ'
どうつなげるか。
相似比PD:OQ=PA:1
見るからに相似なんだけど、相似条件がわからない。
2辺の比とその間の角が等しい、かな？
OB=1/OA=OQ/OA=OQ/PD=1/PD
接弦定理かな？
考え中？ まだ出ない？
相似だけどだれにも証明されていない問題？
680:
20/03/05 00:47:22.50 0idrlik+.net
前>>644
平面図形に複素数なんかあるわけない。
相似条件は3つ。
3組の辺の比が等しい。
2組の辺の比とその間の角が等しい。
2角が等しい。
この3つの条件を探してみつけられなかったとしても探した奴、探そうとした奴を合格にすべきだと思う。
681:１３２人目の素数さん
20/03/05 08:34:31.13 y1DklE5e.net
>>292
半直線OABを実軸とする複素平面上で考える。
O(0)
A(a) 0<a<1,
B(1/a)
P(e^(ip))
Q(e^(iq))
0 < p < q < 2π, 0 < q-p < π,
D(e^(ip) + e^(iq) - a･e^i(p+q))
とおくと
PD = e^(i(p+q)){e^(-ip) -a} = e^(i(p+q))AP~,
QD = e^(i(p+q)){e^(-iq) -a} = e^(i(p+q))AQ~,
|PD| = |AP|
|QD| = |AQ|
∴ Dは直線PQに関してAと線対称である。
OQ/OB = a･e^(iq) = PD/PB,
ゆえ相似だろうな。。。
682:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/05 13:16:55 0idrlik+.net
前>>645
検索したら似たような問題があって、複素数で解いてあった。
複素数を使わない解き方をみつけないといけない。
△BPA∽△BOQ'
かつ△BDA∽△BQQ'
が言えれば、
△BDP∽△BQO
683:イナ
20/03/05 13:31:58.08 0idrlik+.net
PはADの中点、OはQQ'の中点だから、
△BPA∽△BOQ'
または△BDA∽△BQQ'
が言えれば、
△BDP∽△BQO
684:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/05 15:50:14 0idrlik+.net
前>>648違うか。
AP=DPは言える。
AD⊥PQ
OA=t(0＜t＜1)とおくと、
OB=1/t
ADとPQの交点をR、BRとODの交点をSとすると、メネラウスの定理より、
(OB/BA)(AR/RD)(DS/SO)=1
{(1/t)(1/t-t)}(1/1)(DS/SO)=1
DS/SO=(1/t-t)/(1/t)=1-t^2
わからん。
685:１３２人目の素数さん
20/03/05 17:15:01 eeoU5lKD.net
>>292
ある人に初等幾何による解答を書いてもらったのでここに貼ります
仮定よりEACBが調和点列であり,円Oがアポロニウスの円であることに注意すると
∠APC=∠CPB=:z
∴A,DはPQに関して線対称なので
DP:PB=PA:PB=AC:CB=EO:OB(EACBが調和点列でOはECの中点だから)
=OQ:OB·····?
(補足 OA=a,OB=1/aとすると)
∠OQB=x,∠OBQ=yとすると
∠BOQ=180-x-y
円周角の定理,タレスの定理などから
∠EPC=∠ECQ=90°-∠QEO=90°-(180°∠EOQ)/2
=(x+y)/2
∠APC=∠CPB=,線対称から∠DPQ=∠QPAより
∠DPB=2∠QPC=180°-2∠EPQ=180°-x-y=∠QOB·····?
??より
2辺比夾角相等から
△PBD∽△OBQ∎
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
686:１３２人目の素数さん
20/03/05 17:33:40 o68Yrcxc.net
>>650
> ∠BOQ=180-x-y
> 円周角の定理,タレスの定理などから
この辺りが問題文で明示されてない点の配置でめちゃ�
687:ｭちゃ場合わけしないとダメで実質証明にならない。
688:イナ
20/03/05 18:19:44.43 0idrlik+.net
前>>649
>>651
PQが半直線ABをまたぐようにQをとればいいのか。
なるほど、O,A,Bと同じ側は意外に広いね。
Pがつぶれて困ってた。
689:１３２人目の素数さん
20/03/05 18:37:42.78 eeoU5lKD.net
>>651
これを証明した人に教えたら「PQに関してOABは同じ側だから場合分けは
上図のような場合とPQがひっくり返ったもののみだと思います」とのこと
690:１３２人目の素数さん
20/03/05 18:51:52.17 pJ9pcxTu.net
>>653
そんなわけないやん。
そもそもOA・OB=1てOAとOBどっちが長いとか直線ABとPQの位置の配置とかで角度の計算とか全部影響する。
円周角の配置になったり縁に内接する四角形の対角の位置にきたり。
それぞれに対して全部どっちとどっちを出すのか、引くのか、とか、完全に一致したり捕角の関係になったり。
OAが長いか、OBが長いかに始まって証明を分けざるを得ない配置の場合わけが3回くらい必要で、各々について2通りか3通りの場合わけが必要で10通りを超えた。
OB<OAの時は一応全部潰したけど、残りのケース全部潰したとしてもとても書く気にはならないだろうからやめた。
図が問題に与えられてて配置が決まってないと初等幾何の証明はそうなる事が避けられない。
もちろん図がなくてもきちんと言葉で確定してればいいけど>>292は無理。
長さ、角度の足し引きが出る証明はその点の並んでる順番の不定性がある時は必ずそうなる。
691:１３２人目の素数さん
20/03/05 18:57:52.75 eeoU5lKD.net
>>654
Aは円Oの内部だからOA<OBとのことです
692:１３２人目の素数さん
20/03/05 19:22:41.12 pJ9pcxTu.net
>>655
そうなん？
でもそれだけじゃすまない。
>>292の文章だけでは確定しない点の配置がメチャメチャ出てくる。
そんな事ないというなら>>650 の証明で"などから"なんてごまかししないで全部書いてみてよ。
それがホントに>>653で言うように な2通りで済むのかどうか示してみてよ。
693:イナ
20/03/05 21:35:24.20 0idrlik+.net
前>>652訂正。
>>650
PQが半直線BAをまたぐようにQをとればいいのか。
なるほど、O,A,Bに対して同じ側は意外に広いね。
Pがつぶれて困ってた。
694:イナ
20/03/06 05:29:26.74 PniBgS7R.net
前>>657
>>650
∠EPC=∠ECQじゃないなぁ。
∠EPC=90°だから、移し間違いか文字化けか式が重なったか。
OA=tとおいてOB=1/tは同じだった。
∠APC=∠CPBは、たしかに見るからにそうなんだけど、すぐ言えるの？
どういうことだろう。
AC=1-t
CB=1/t-1=(1-t)/t
たしかに∠ACP=∠CPBに見えるんだけど。ここがこの問題の肝か。
695:哀れな素人
20/03/06 08:11:22.28 kKV2t8Di.net
>>650の回答を読んだ感想。
アポロニウスの円や調和点列の知識がないと解けない。
仮に知識があっても、
>EACBが調和点列であり,円Oがアポロニウスの円である
>AC:CB=EO:OB(EACBが調和点列でOはECの中点だから)
これを見抜くのは難しい。
後半の説明は煩雑だが、要するに∠DPB=2∠QPC=∠QOB
x、yその他の説明は不要。
問題自身には何の不備もない。
696:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/06 15:14:44 PniBgS7R.net
前>>658
>>659
AC:CB=1-t:1/t-1
=1-t:(1-t)/t
=1:1/t
=t:1
EO:OB=1:1/t
=t:1
たしかにAC:CB=EO:OBだけど、AC:CB=EO:OBが知りたいという必要性がどうなって出てきたか。
おそらく2組の辺の比が等しいことを言いたいからだと推察する。
もうちょっとでつながりそう。
697:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/06 20:32:42 PniBgS7R.net
前>>660
>>292問題。
>>650を理解した。
半直線OAと円周の交点をC,
半直線BAと円周の交点をEとする。
OA=tとおくと、
OB=1/t
AC=1-t
CB=1/t-1=(1-t)/t
∠QOB=∠QOCは弧QCに対する中心角だから、
円周角∠QPCの2倍。
∠QOB=2∠QPC─?
線分PQは線分DAの垂直二等分線だから、
∠DPQ=∠QPA
△OPA∽△OBP(相似比t:1,相似条件2組とその間の角が等しいから)だから、
同一中心角を頂角とした二等辺三角形△OPCをはさむと、
∠APBはPCにより二等分され、
∠APC=∠CPB
4つの角を足した∠DPBと、内側2つを足した∠QPAで、
∠DPB=2∠QPC─?
??より∠DPB=∠QOB
△OBQにおいて、
OQ:OB=OE:OB=1:1/t=t:1─?
△PBDにおいて、
PD:PB=PA:PB=t:1─?
??よりPD:OQ=PB:OB
2組の辺の比とその間の角が等しいから、
△PBD∽△OBQ
698:１３２人目の素数さん
20/03/06 21:50:30.67 zFeFSDD3.net
なんか画像横になってるけどこれでしょ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
699:１３２人目の素数さん
20/03/06 22:08:09 kJFoYYVj.net
二元体上の既約多項式であって自己相反であるものが無限に存在することを示せ。
ただし、n次多項式f∈F_2[x]が自己相反であるとは、f(x)=f(1/x)x^n を満たすことを言う。
700:１３２人目の素数さん
20/03/06 23:02:31.70 D66ej/ua.net
>>663
q>4を二冪として写像f:Fq＼{0}→Fqをf(x)=x+1/xで定める。
S=im(f)＼{0}の各元yについてf(x)=yを満たすFq＼{0,1}の元xが2個ずつ存在するから
2#S=q-2
であり、#S=q/2-1<q-3であるからSにみF4「も属さないb∈Fqがとれる。
bのF2上の最小多項式をP(y)とする。
Q(x)=P(x+1/x)x^n (n=degP)とおく。
代数閉体Ωの元aをf(x)=bの解とすればaはQ(x)の根である。
ここで[Fq(a):F2]はqまたは2qであるからd=[F2(a):F2]は2q,q,2,1のいずれかである。
d=qとなるのは方程式F(x)=bがFqに解を持つ時であり、それはbの取り方に反する。
d=1,2となるときF2(b)⊂F2(a)最小⊂F4上となりやはりbの取り方に反する。
よってF2(a):F2]=2qとなりQ(x)はaの最小多項式であり既約である。
さらにQ(x)の根はP(x)の根βに対して方程式x+1/x=βの解をとるときの全体だから自己相反である。□
701:１３２人目の素数さん
20/03/06 23:17:34.90 D66ej/ua.net
>>664
訂正q=2^eとしてeは素数にとるでした。
[Fq:F3]=eで以外それに応じてエスパーおながいします。
702:１３２人目の素数さん
20/03/07 00:01:03.44 Ytx6ZrcL.net
>>664
実際に構成したのか…お見事
想定してたのは、F2上n次既約多項式全体の集合をS_nとおいて、S_nの元の個数が
(1/n)Σ_(d|n)μ(n/d)2^d
になること、これが無限個のnについて奇数になること、
それを利用してS_n上の対合 φ(f)(x)=f(1/x)x^n が固定点を持つことを示す、という感じでした
703:イナ
20/03/07 05:25:55.70 zZMNS4lO.net
前>>661
>>662(1)(2)(3)の誘導付きだったか。
どんなけ難しいんじゃ、さすがｼ難高思たけど。
704:１３２人目の素数さん
20/03/07 06:39:41.04 sSvThzV4.net
ゼロで割ったらアカンどあれほど
705:１３２人目の素数さん
20/03/09 02:32:13 V6IMEB5h.net
>>631 >>639
三辺の長さa,b,cの連続関数は、
2変数の連続関数の合成で表わせます。(アーノルド,1958)
→ ヒルベルト「数学の将来の問題」13番
しかし微分可能とは言えないので使えるかどうか････
>>652 >>653
0 < p,q < 2π
かつ
0 < |p-q| < π
です。
706:１３２人目の素数さん
20/03/09 12:27:18.99 3u+TSzyD.net
縦n個、横n個のマス目のそれぞれに 1,2,3,...,n の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも、2つの対角線上にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。(2020京大文系 改)
この問題って普通に解けるのかな
707:１３２人目の素数さん
20/03/09 12:36:26.83 kig3pL/N.net
さすがにΣとか使いまくらないと無理じゃね？
708:１３２人目の素数さん
20/03/09 15:38:37 bYkUA0JQ.net
U+2026
709:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/09 17:11:52 otlyxJ1y.net
前>>667
>>670
ルービックキューブの白の面に油性の黒で１,２,３のいずれかの数字を書きこむとすると、
コーナーキューブの白の面に黒で１と書いたとき、
これととなりあうエッジキューブの白の面2つあるうちの1つに２と書いたらもう1つは３。
∵コーナーキューブの白の面に３が2つ来たらだめだから。
これで縦に１,２,３、横に１,３,２と並んだとして、
白の面のセンターキューブは必然的に１となり、
一方の対角線は３,１,２ないしは２,１,３と並べられるのに対し、
もう一方の対角線が１,１,１となり、題意を満たさない。
∴3が2でも4でもnでも不可能である。
710:１３２人目の素数さん
20/03/09 17:19:16 N/3DceFI.net
ばかだなぁ
711:１３２人目の素数さん
20/03/09 17:51:38.42 E6UD7Wty.net
>>670
n=1～5について1,0,0,48,480
一般式つくれる？
712:１３２人目の素数さん
20/03/09 18:30:15.06 2IyRnfE2.net
元の京大の問題はn=4で可能でちゃんと値は求められる
713:１３２人目の素数さん
20/03/09 19:02:15.65 0N1NTePA.net
>>670
０通り、じゃないかな？
714:１３２人目の素数さん
20/03/09 19:07:42.46 Wjh2UUFs.net
対角線の要素を考えなければ計算しやすくなったりするだろうか？
1,2,12,576,…
715:１３２人目の素数さん
20/03/09 19:55:12.97 0N1NTePA.net
>>676
プログラムのバグを修正したら、n=4で48通りとカウントされた。
716:１３２人目の素数さん
20/03/09 20:02:36.35 0N1NTePA.net
>>679
プログラムに列挙させると、
> matrix(B[,counter[1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 3 4 1 2
[3,] 4 3 2 1
[4,] 2 1 4 3
> matrix(B[,counter[2]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 4 3 2 1
[3,] 2 1 4 3
[4,] 3 4 1 2
から始まって
> matrix(B[,counter[48]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 2 1 4 3
[3,] 1 2 3 4
[4,] 3 4 1 2
で終わり。
717:１３２人目の素数さん
20/03/09 20:17:16.73 kaHbC0fO.net
>>670
対角線めんどくせ
718:イナ
20/03/09 20:28:15.42 otlyxJ1y.net
前>>673反省。
n=2,3のときは0通りだけど、
n=1のときが１の1通りとしたら、
n=4のとき対角線はクロスして、なんかやな感じがした。
縦に１,２,３,４、
横に１,２,４,３とすれば可能。
対角線は斜め下から、
４,１,２,３もしくは、
４,２,１,３の2通り。
最初が4通り。
縦の並びが6通りで24通り。
横に2通りで48通り。
n=1,2,3,……に対する通りの数ａ_nは、
ａ_n=1,0,0,48,……
=n^2(ａ_n-1)
縦と横をn通りずつ増やしたら必然的に斜めも増えるかな？
ａ_5はそんなに増えないか。
719:イナ
20/03/09 20:33:49.52 otlyxJ1y.net
前>>682
ａ_5=480なら、
ａ_n=n^2(n-1)ａ_n-1
こうか？
480=5･5･4･48
720:イナ
20/03/09 20:48:10.94 otlyxJ1y.net
前>>683
うまく掛けるか割るかして辺々足すと先頭と尻尾、
ａ_nとａ_4=48ら辺が残るんじゃないか？
ａ_n=(n^3ａ_n-1)-(n^2ａ_n-1)
ａ_n-1={(n-1)^3ａ_n-2}-{{(n-1)^2ａ_n-2}
ａ_n-2={(n-2)^3ａ_n-3}-{{(n-2)^2ａ_n-3}
……
721:１３２人目の素数さん
20/03/09 21:04:26.54 Wjh2UUFs.net
対角線の条件を含まないものは、ラテン方格と呼ばれるらしい
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
ラテン方格の総数についての明示的な公式は、おそらく見つかってなさそう
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
対角線の条件を含むものは diagonal latin square とか呼ばれてるみたいだけど、
722:こちらの方もますます研究されていなさそうだ
723:１３２人目の素数さん
20/03/09 22:29:30.36 0N1NTePA.net
>>680
対角線条件を外すと５７６通り
> matrix(B[,counter[1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 2 1 4 3
[3,] 3 4 1 2
[4,] 4 3 2 1
> matrix(B[,counter[2]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 2 1 4 3
[3,] 3 4 2 1
[4,] 4 3 1 2
で始まって
> matrix(B[,counter[m-1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
[3,] 2 1 3 4
[4,] 1 2 4 3
> matrix(B[,counter[m]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
[3,] 2 1 4 3
[4,] 1 2 3 4
で終わり
724:１３２人目の素数さん
20/03/10 13:55:01.52 H1fx2jVB.net
シラミ潰しだとメモリ不足になった。
１億回シミュレーションしてようやく、1個みつかった。
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 5 4 3 1
[2,] 4 3 1 2 5
[3,] 1 2 5 4 3
[4,] 5 4 3 1 2
[5,] 3 1 2 5 4
725:１３２人目の素数さん
20/03/10 16:03:21 FoiTVu+g.net
深さ優先探索でやれ
726:１３２人目の素数さん
20/03/10 16:34:04 BSnoL6Fw.net
n=5 で対角線も考える場合
□□□□□
□■□■□
□□■□□
□■□■□
□□□□□
上の黒四角のどこにも同じ数字は入らない。
よって次のように固定して良い（重複度120）
□□□□□
□?■?□
□■?■□
□?■?□
□□□□□
四つの黒四角のうちどこか二つに同じ数字が入ると仮定すると、
中央の3x3の正方形に、ある特定の数字が３つ入ることになるが、
その数字が入ることが可能な残る場所は5x5正方形の四隅しかあり得ず、矛盾。
すなわち四つの黒四角に入る数字は全て異なるため、次のように固定して良い（重複度2）
□■□■■
□???□
■???■
□???□
■■□■□
黒四角のどこを決めても他の黒四角も全て決まることがわかる。白四角も同様。
ゆえに重複度は2*2=4.
以上から120*2*4=960通りになる…はずなんだけど>>675はどうやって計算した？
727:１３２人目の素数さん
20/03/10 18:57:05 H1fx2jVB.net
>>687
一つ見つかったから1 2 3 4 5 を各々例えば5 4 2 1 3 に置き換えるとかすれば、120個作れるな。
例
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 4 5 3 1 2
[2,] 3 1 2 4 5
[3,] 2 4 5 3 1
[4,] 5 3 1 2 4
[5,] 1 2 4 5 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 5 2 3 4 1
[2,] 3 4 1 5 2
[3,] 1 5 2 3 4
[4,] 2 3 4 1 5
[5,] 4 1 5 2 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 4 1 3 5
[2,] 1 3 5 2 4
[3,] 5 2 4 1 3
[4,] 4 1 3 5 2
[5,] 3 5 2 4 1
などなど
728:１３２人目の素数さん
20/03/10 19:28:10 2VZd/7KV.net
サイコロを1が出るまで振って、振った回数を当てるギャンブルがある。何回目にかけるのがベストか？
729:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:03:41.17 H1fx2jVB.net
>>691
直感だと１回
730:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:09:56.15 H1fx2jVB.net
>>691
１０万回シミュレーションして頻度をグラフ化
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
sim <- function(){
dice=0
i=0
while(dice!=1){
i=i+1
dice=sample(6,1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l')
731:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:31:31.78 vC568XMn.net
霊感で一回
732:１３２人目の素数さん
20/03/10 20:44:08.24 xGpgpXvb.net
>>691
n+1回目に始めて1が出る確率は1/6(5/6)^nで減少関数だから1回がベスト
733:イナ
20/03/10 20:45:37.39 SgyDBxw5.net
前>>683
>>691
出るまで引くよりベストがあるなら、
1/6+(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(5/6)(1/6)=0.517746917……
5割超えんのは4回目。
∴4回目がベスト。
734:１３２人目の素数さん
20/03/10 21:02:06.67 2VZd/7KV.net
幾何分布の問題でした。
正解は1回目
解答
URLﾘﾝｸ(bellcurve.jp)
735:イナ
20/03/10 21:20:33.18 SgyDBxw5.net
前>>696
単勝１番は0.166……
一方４番は125/1296=0.09645……
千円賭けて9,645円もらえ
736:るのかと思った。 n回目は5^(n-1)/6^n 下がる一方か。
737:イナ
20/03/10 21:40:50.28 SgyDBxw5.net
前>>698
サイコロ振ってn回目までに1が出る確率は、
納n=1→n]5^(k-1)/6^k
ですか？
千人に1人が受賞する文学新人賞に応募するとき、何回目に受賞が期待(5割超え)できますか？
738:１３２人目の素数さん
20/03/10 21:48:58.80 YAq6/mFA.net
>>699
プログラム組めば解答でるけど、入試とかで出たら解答する方法はあるのだろうか？
739:イナ
20/03/10 22:07:46.17 SgyDBxw5.net
前>>699
>>700
100回目までに1回も受賞しない確率は、
(99/100)^100
100回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^100=0.633967659……
69回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^69=0.50016297……
だめ押し70回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^69=0.50516134……
見とおしが立った！
740:１３２人目の素数さん
20/03/10 22:17:33.64 YAq6/mFA.net
^69とかどうやって計算するのさ
まぁ出来ない事はないが
741:イナ
20/03/10 22:22:10.66 SgyDBxw5.net
前>>701
693回目までに受賞する確率は、
1-(999/1000)^693=0.500099765……
年間7作。
100年要らない。99年で受賞する。
742:１３２人目の素数さん
20/03/10 23:29:31.45 IbQVYwum.net
対数表が与えられていれば分かるだろ
743:１３２人目の素数さん
20/03/10 23:32:59.02 9ehLsruf.net
自分で出題し自分で解くという新しい芸風
744:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/11 02:21:24 LbRSBTGq.net
前>>703
>>701訂正。
だめ押し70回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^70=0.50516134……
745:１３２人目の素数さん
20/03/11 11:58:45 t9boZF0q.net
類題
1が累計二回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？
746:１３２人目の素数さん
20/03/11 12:15:54 avK6eeO9.net
>>707
2回目
747:１３２人目の素数さん
20/03/11 13:00:47 t9boZF0q.net
>>708
残念
748:１３２人目の素数さん
20/03/11 13:14:52 1JNnQUXE.net
6または7？
749:１３２人目の素数さん
20/03/11 13:53:35.94 t9boZF0q.net
>>710
正解
n回目に賭けて当たる確率は (n-1)(5/6)^(n-2)*(1/6)^2 で、
これが最大になるのはn=6,7の時。
750:１３２人目の素数さん
20/03/11 15:17:40 YQLdoe7U.net
EをR^N上のボレル集合、AをN×N行列、LをN次元ルベーグ測度とする このとき
L(A(E))=|detA|L(E)
が成立することを証明せよ
751:１３２人目の素数さん
20/03/11 15:19:30 3HNckciv.net
どちらかに賭けても勝率6.7%か
752:１３２人目の素数さん
20/03/11 15:30:24 hVKkfTiV.net
>>711
10万回シミュレーションしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
"1が累計m(=2)回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？"
sim <- function(m=2){
pip1=0 # １の目の出た回数
i=0 # サイコロを振った回数
while(pip1 < m){
i=i+1
pip1 = pip1 + (sample(6,1)==1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l')
753:１３２人目の素数さん
20/03/11 16:15:06 hVKkfTiV.net
>>711
100回目までを計算してみた。
> sapply(1:100,bg)
[1] 1 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114
[21] 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 204 210 216 222 228 234
[41] 240 246 252 258 264 270 276 282 288 294 300 306 312 318 324 330 336 342 348 354
[61] 360 366 372 378 384 390 396 402 408 414 420 426 432 438 444 450 456 462 468 474
[81] 480 486 492 498 504 510 516 522 528 534 540 546 552 558 564 570 576 582 588 594
bg <- function(x,print=FALSE){ # big gambling
f <- function(n,m=x,p=1/6) choose(n-1,m-1)*p^(m-1)*(1-p)^(n-m)*p
nn=1:
754:(10*x) y=optimize(function(n) f(n),nn,maximum=TRUE)$maximum if(print){ plot(nn,sapply(nn,f),bty='l',pch=19) yy=c(floor(y),ceiling(y)) cat(c(f(yy[1]),f(yy[2])),'\n') } return(floor(y)) } sapply(1:100,bg)
755:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/11 16:31:01 LbRSBTGq.net
前>>706
>>707
6回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、4回のはずれに対し5通りあるから、
5(5/6)^4(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
7回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、5回のはずれに対し6通りあるから、
6(5/6)^5(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
6回目と7回目は約6.69795953％の確率で2回目の当たりが出るが、これだけでベストかどうかはわからず、前後を調べる必要がある。
8回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、6回のはずれに対し7通りあるから、
7(5/6)^6(1/6)^2=7･5^6/6^8
=0.065119051……
5回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、3回のはずれに対し4通りあるから、
4(5/6)^3(1/6)^2=4･5^3/6^5
=125/1944
=0.0643004115……
9回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、7回のはずれに対し8通りあるから、
8(5/6)^7(1/6)^2=8･5^7/6^9
=5^7/6^6･3^3
=0.0620181438……
∴5回目、8回目、9回目辺りはいずれも6％を超えていて大差ないけど、6回目か7回目に賭けるのがベター。
756:１３２人目の素数さん
20/03/11 16:39:52 hVKkfTiV.net
>>715
最初の１を除けば等差数列にみえるな。
757:１３２人目の素数さん
20/03/11 16:46:21 hVKkfTiV.net
1が累計1000回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？
6*1000-6 = 5994 と 5995回に賭けるのがベストぽいな。
多分、計算名人のイナ氏が検証してくれると思うｗ
758:１３２人目の素数さん
20/03/11 19:32:14.87 hXdWKFHv.net
確率pで成功する試行で、n回目の試行でm回成功する確率をP(n)と置くと
P(n)=C[n-1,m-1]p^m(1-p)^(n-m)だから、
P(n+1)=C[n,m-1]p^m(1-p)^(n+1-m)=n/(n+1-m)(1-p)P(n)
1≦P(n+1)/P(n)のとき、1≦n/(n+1-m)(1-p)、n+1-m≦n-np、n≦(m-1)/p=999/(1/6)=6000-6
なので5994または5995がベスト
759:１３２人目の素数さん
20/03/11 19:43:41.17 6p8KFnbi.net
>>707
青チャートに１が三回のバージョンがあった、最近解いた
760:１３２人目の素数さん
20/03/11 20:02:08.69 hVKkfTiV.net
>>719
ありがとうございます。
761:１３２人目の素数さん
20/03/11 21:54:30.90 UDcjpAEJ.net
サイコロを全ての目が最低1回出るまで振り続ける。振る回数の期待値を求めよ。
762:１３２人目の素数さん
20/03/11 22:02:49.23 nurrYDlF.net
6(1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6)
763:１３２人目の素数さん
20/03/12 06:18:47 ggB+4VIO.net
１万回のシミュレーション
> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=all(1:6 %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.7221
>
764:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:47:25.15 NnHS9/Ym.net
>>723
残念
765:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:47:38.94 NnHS9/Ym.net
>>724
正解
766:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:53:40.63 NnHS9/Ym.net
=6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1
=14.7
767:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:56:14.15 ggB+4VIO.net
100万回で>
k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.70651
768:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:18:12 NnHS9/Ym.net
最初の1つがでるまでの回数の期待値
=6/6
1つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/5
2つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/4
以下同様
回数の期待値なので、単純に上記の和を求めればよい
769:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:42:22 HLafz7hZ.net
成功確率pの試行を繰り返すとき、最初に成功するまでの試行回数の期待値は 1/p
これを使って計算する
770:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:50:06 +Rsy6sl8.net
>>730
幾何分布とか名前がついていたような。
771:１３２人目の素数さん
20/03/12 08:52:30 HLafz7hZ.net
>>731
そうです。ファーストサクセス分布(Fs分布)とも言います。
772:１３２人目の素数さん
20/03/12 09:07:14 HLafz7hZ.net
訂正します。
成功するまでに失敗した回数の分布
=幾何分布
成功するまでの回数の分布
=ファーストサクセス分布
でした。
773:１３２人目の素数さん
20/03/12 09:32:1
774:6 ID:JYe4Js2p.net
775:１３２人目の素数さん
20/03/12 09:58:21.78 z4kbZ3QY.net
クーポンコレクター問題の一般化
サイコロふって1,2,3が出る事をA、4,5が出る事をB、6が出る事をCとする。
ABCが全て少なくとも一回起こるまでの平均は？
776:１３２人目の素数さん
20/03/12 10:36:06 +Rsy6sl8.net
>>735
1万回のシミュレーション結果
> A=1:3
> B=4:5
> C=6
>
> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=any(A %in% pips) & any(B %in% pips) & any(C %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.2577
>
777:１３２人目の素数さん
20/03/12 11:11:23 +Rsy6sl8.net
10万回だと
> k=1e5
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.30537
778:１３２人目の素数さん
20/03/12 11:35:46 0d6KLd2P.net
>>736
答えは？
779:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:02:45 HLafz7hZ.net
難しい
これがABC予想というやつか
780:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:08:38 ab2iyO1k.net
これ貼っとこか
0508 １３２人目の素数さん 2018/06/30 02:42:25
>>505
問題を一般化して、
カードA,B,C,Dの排出確率をa,b,c,dとする。（a,b,c,d＞0, a+b+c+d≦1)
カードAが1枚出るまで引くときの平均枚数をM(A)とすると、
初回でカードAが出た場合の枚数は 1,出なかった場合の平均枚数は 1+M(A) となる。
よって M(A) = a + (1-a)(1+M(A))
これを解いて M(A)=1/a、同様に M(B)=1/b, M(C)=1/c, M(D)=1/d
カードA,Bがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B)とすると、
初回でカードAが出た場合の平均枚数は 1+M(B)
初回でカードBが出た場合の平均枚数は 1+M(A)
どちらも出なかった場合の平均枚数は 1+M(A,B) となる。
M(A,B) = a(1+M(B)) + b(1+M(A)) + (1-(a+b))(1+M(A,B))
これを解いてM(A,B) = (1 + aM(B) + bM(A)) / (a+b) = (1 + a/b + b/a) / (a+b)
整理して M(A,B) = (1 + ((a+b)/b - 1) + ((a+b)/a - 1)) / (a+b) = ((a+b)/b + (a+b)/a - 1)) / (a+b) = 1/a + 1/b - 1/(a+b)
同様の計算で、
カードA,B,Cがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C)とすると、
M(A,B,C) = 1/a + 1/b + 1/c - 1/(a+b) - 1/(b+c) - 1/(c+a) + 1/(a+b+c)
カードA,B,C,Dがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C,D)とすると、
M(A,B,C,D) = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d - 1/(a+b) - 1/(a+c) - 1/(b+c) - 1/(a+d) - 1/(b+d) - 1/(c+d)
+ 1/(a+b+c) + 1/(d+a+b) + 1/(c+d+a) + 1/(b+c+d) - 1/(a+b+c+d) を得る。
781:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:34:32 +4qdqMNu.net
>>740
ありゃ、出ちゃったか。
782:１３２人目の素数さん
20/03/12 13:39:16 p+P9uShJ.net
a=3/6, b=2/6, c=1/6 として
E=1/a+1/b+1/c-1/(b+c)-1/(c+a)-1/(a+b)+1/(a+b+c)
=2+3+6-1.5-2.0-1.2+1.0
=7.3
ほんとだ。シミュレーションと一致した。
783:１３２人目の素数さん
20/03/12 14:11:14 ddMlrvcN.net
P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=1399/180=7.772222...
784:１３２人目の素数さん
20/03/12 15:09:55 U3HOlh4d.net
>>737
100万回シミュレーション結果 7.3ぽいね。
> k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.300615
785:１３２人目の素数さん
20/03/12 17:50:49 ddMlrvcN.net
>>743 訂正
P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=73/10
786:１３２人目の素数さん
20/03/12 18:20:32.98 fHSLdc4D.net
>>745
不正解
787:１３２人目の素数さん
20/03/12 21:11:11 ddMlrvcN.net
>>746
何故>>745だけなんですか
788:１３２人目の素数さん
20/03/12 22:18:49 fHSLdc4D.net
>>747
計算機に入れてみた
789:１３２人目の素数さん
20/03/12 22:23:54 y8hLNrTr.net
p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
main = do
print $ sum [p n| n<-[3..10000]]
-------
0.9999999999999996
790:１３２人目の素数さん
20/03/12 22:28:30 y8hLNrTr.net
あ、失礼しました。
コード間違ってた。
正解でした。
p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
main = do
print $ sum [(fromInteger n)*(p n)| n<-[3..10000]]
------------
7.300000000000009
791:１３２人目の素数さん
20/03/12 23:26:10.85 V/f7Uy6p.net
>>735
大学入試ではこの手の出題は御法度
なぜなら終わらないことを試行としてはいけないから
792:１３２人目の素数さん
20/03/12 23:59:54 y8hLNrTr.net
>>751
ココ入試レベル縛りないでしょ？
むしろ入試レベルじゃ満足しない人の方が多
793:いのでは？
794:１３２人目の素数さん
20/03/13 00:11:24.13 2BG+LT6A.net
>>751
ん？終わるでしょ。
795:１３２人目の素数さん
20/03/13 00:13:44.72 IbYZYELm.net
入試レベル
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。
取り出した白玉の個数の期待値は？
期待値が範囲外になったので入試では使えないけど。
796:１３２人目の素数さん
20/03/13 07:34:24.77 ZlFDi94b.net
>>754
１０万回シミュレーション
balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒
picked=NULL # 取り出された玉の配列
flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag
sim <- function(){
while(flag==FALSE){
i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで
picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて
balls=balls[-i] # ballsの配列から除く
flag=sum(picked==1)==7 # 赤玉が全部取り出されたか
}
sum(picked==2) # 取り出された白玉の数を返す
}
k=1e5
mean(replicate(k,sim()))
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 5.24854
797:１３２人目の素数さん
20/03/13 07:51:51.90 ZlFDi94b.net
>>755
白玉の個数の分布をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 5.00 6.00 5.25 6.00 6.00
５．２５が答みたいだなぁ。
解析解は賢者にお任せ。
798:１３２人目の素数さん
20/03/13 08:23:45.26 l20VjRfO.net
〔補題〕
0<p≦1 とする。
確率pで事象Aが起こるような試行を繰返し行なう。
初めて事象Aが起こるまでに試行した回数nの期待値は 1/p.
(略解)
E{n} = p {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
= {1 - (1-p)} {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
= 1 + (1-p) + (1-p)^2 + (1-p)^3 + ････
= 1/p.
799:１３２人目の素数さん
20/03/13 08:35:28 9IyekctU.net
XiをX≧iのとき1、そうでないとき0と定めてq=1-pとすれば
E(X)
=ΣE(Xi)
=Σq^(i-1)
=1/(1-q)
=1/p
800:１３２人目の素数さん
20/03/13 11:33:57.90 l20VjRfO.net
最後の赤玉が出たのがn回目とする。(7≦n≦18)
・(n-1)回目までに取り出す白玉/黒玉はn-7個で、 Ｃ[11,n-7] とおり。 (*)
・取り出すn個が決まったとして、順番を入れ替える方法は
1～(n-1)回目 (n-1)! とおり
n回目 7 とおり
(n+1)～18回目 (18-n)! とおり 〔実際は取出さないが･･･〕
これらをを掛ければ
Σ[n=7,18] 7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[11,n-7]
= 11!Σ[n=7,18] 7(n-1)(n-2)････(n-6)
= 11!Σ[n=7,18] {n(n-1)････(n-6) - (n-1)････(n-6)(n-7)}
= 11!(18!/11!)
= 18! (←当然)
次に、n回目までの白玉の数w の期待値を求める。
wを掛けてたすと (*)の所が 6Ｃ[10,n-8] となる。
Σ[n=7,18] 6･7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[10,n-8]
= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] 8(n-1)(n-2)････(n-7)
= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] {n(n-1)････(n-7) - (n-1)････(n-7)(n-8)}
= (6･7/8)10!(18!/10!)
= (6･7/8)18!
∴ E{w} = 6･7/8 = 5.25
*)
7≦n≦12 のとき Σ[w=0,n-7] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････
13≦n≦18 のとき Σ[w=n-12,6] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････
801:１３２人目の素数さん
20/03/13 11:56:03 l20VjRfO.net
(n-1)回目までの白玉の数wの分布は >>756
P_w = (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6),
Σ[w=0,6] P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] (w+1)(w+2)････(w+6)
= (6!/13!)Σ[w=0,6] {(w+1)････(w+6)(w+7) - w(w+1)････(w+6)}
= (6!/13!)(13!/6!)
= 1.
E{w} = Σ[w=1,6] w･P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] w(w+1)(w+2)････(w+6)
= (7!/13!)Σ[w=1,6] (1/8){w････(w+6)(w+7) - (w-1)w････(w+6)}
= (7!/13!)(1/8)(13!/5!)
= (7･6/8)
= 5.25
802:１３２人目の素数さん
20/03/13 12:21:36 eu0owVym.net
>>760
正解！
想定解出してもいいけど実はある事に気づくと数行で終わります。
803:どうしよう？ 夜まで待ってみますね。
804:１３２人目の素数さん
20/03/13 12:49:17 l20VjRfO.net
白玉の個数wの分布
0個 1個 2個 3個 4個 5個 6個
1/1716, 7/1716, 28/1716, 84/1716, 210/1716, 462/1716, 924/1716
0.06% 0.41% 1.63% 4.90% 12.24% 26.92% 53.84%
805:１３２人目の素数さん
20/03/13 13:11:02.52 m1uM3VjH.net
黒玉は無視
赤玉7個を並べておき、その前後と間の8ヶ所に白玉6個をランダムに入れていく（重複あり）
赤玉の後ろに白玉がいくつあるかを考えるとき、白玉1個につき期待値1/8となるので6個なら6/8=3/4
従ってそれ以外のところにある白玉の個数の期待値は6-3/4=5.25
806:１３２人目の素数さん
20/03/13 13:12:33.86 eu0owVym.net
>>763
それです。
お見事。
807:１３２人目の素数さん
20/03/13 13:14:30.61 m1uM3VjH.net
赤玉の後ろ以外にいくつあるかを考えるとき白玉1個につき期待値7/8なので6個なら6*7/8=5.25でよかったわ
808:１３２人目の素数さん
20/03/13 14:10:27.98 qPbrkgFl.net
>>754
P(k)=Σ[k=0,6]Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j))
E=kP(k)=21/4
809:１３２人目の素数さん
20/03/13 15:04:09.49 eu0owVym.net
>>766
さすがにダメやろ。
いくら原理的にはコレ計算したらできるって立式を書いても、その計算が最低目で追えるものを見せないと正解とは認定されない。
810:１３２人目の素数さん
20/03/13 15:27:09.74 Pzzsy05r.net
最小交点数がｎの結び目は何種類あるのか。
811:１３２人目の素数さん
20/03/13 16:45:01 l20VjRfO.net
黒玉は無視する。(13個で考える)
(最後の赤玉が出る前の) 白玉の数をwとすると、
最後の(6-w)個が白玉、その直前が赤玉、他は不問だから
P_w = (6/13)(5/12)････((w+1)/(w+8))・(7/(w+7))
= (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6),
あとは >>760 で
812:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:07:52 qPbrkgFl.net
>>767
これは、よく分からないがwolframで計算してみたら一致した
偶然一致するとは思えないが？
813:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:14:21 qPbrkgFl.net
>>767
P(k)の値(k=0～6)は>>762と一致する
814:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:20:08 ieVI6aZ4.net
なるほど
時系列で考えていくと発想が広がりにくいが、並べて考えるとわかりやすいな。
参考になる
815:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:34:42 qPbrkgFl.net
>>767
C[7,6]C[6,k]C[5,j]/C[18,6+k+j]
ここの部分が、赤6、白k、黒jの計6+k+j回玉を取り出したときの確率
分子と分母は、玉に番号を付けた場合の場合の数になっている
最後に1/(12-k-j)で赤を取り出す確率を掛ける
816:１３２人目の素数さん
20/03/13 18:37:26 eu0owVym.net
>>770
いや、コレを計算できれば答えが出るなんて式たてるだけなら受験レベルの問題ならできて当たり前。
受験レベルで解くという意味ならその中で二十分程度で無理なく実際にできるというところまでやって見せてみて初めて正解。
計算機ならできるでは、受験レベルを超えてるようなやつならともかく受験レベルの問題と銘打って出題されてるんだから、通用しない。
817: 【大凶】
20/03/13 22:15:14 OegQL28o.net
前>>716
>>754
6(7/8)=5.25
818:１３２人目の素数さん
20/03/13 22:39:53 qPbrkgFl.net
>>774
この問題は難しいから受験で出題されるとは思わない
819:１３２人目の素数さん
20/03/14 01:23:48.44 Qtllr5m8.net
え？
820:１３２人目の素数さん
20/03/14 01:27:44.99 j/jXCgRq.net
このスレは受験で有効な解答のみ正解という訳では�
821:ﾈかろう
822:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/14 02:19:09 V5zn1x6j.net
_____∩ っﾞ___
＼ (-_-)) /|
＼＼υ⌒υ､ /|
￣￣￣￣|υ/|
________｢￣|
九九を習った小学2年生なら解けるんだよな。
前>>775滑り台の角度も摩擦係数も知らない、ましてや静止距離など。
823:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:30:01.48 a/1EREm4.net
こうしたらどうなる？
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を４個取り出した時点で終了とする。取り出した白玉の個数の期待値は？
824:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:32:20.86 uXVhjaRg.net
7/8が4/8にかわるだけでは？