20/02/14 10:37:54.73 ekmNRCqQ.net
ダメだ。すぐにはわからない。
もう問題のレベル下げます。>>328改
連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？
ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。
コレで肯定的に解決します。
有界変動では無理なのかな？
358:１３２人目の素数さん
20/02/14 10:39:54.56 ekmNRCqQ.net
>>341
補足。
PLの区分は有限個までです。
359:１３２人目の素数さん
20/02/14 11:55:32.12 UISPIlpq.net
>>340
君が見たという本が嘘なんじゃない？
360:１３２人目の素数さん
20/02/14 11:58:33.09 UISPIlpq.net
>>341
361:>ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。 めっちゃレベル下げすぎだな
362:１３２人目の素数さん
20/02/14 12:00:56.70 rp7n7TvM.net
>>343
本では設定なしなんですよ。
ただ連続とだけ。
さすがにそれは無理だろうと。
数学的な面白さは激減しますがとりあえずplはら大丈夫、どこまで突っ込めるのかは謎。
363:１３２人目の素数さん
20/02/14 12:12:29.42 ZE8w945W.net
奇跡の数「142857」に隠された神秘を知っていますか
URLﾘﾝｸ(gendai.ismedia.jp)
364:１３２人目の素数さん
20/02/14 12:43:58.29 8zGfmT3q.net
plから条件をゆるめるとしても『区分的に広義単調』あたりが限界じゃないかな…
関数の値が無限回上下することを許してしまうと、どうしても>>330みたいな例が作れてしまうと思う。
逆に関数値の上下が有限回であれば、問題なくできそう（証明は多少面倒かもだけど）
365:１３２人目の素数さん
20/02/14 13:02:47.54 rp7n7TvM.net
まぁplまでかな？
変に広げてもgeneral nonsenseかも。
366:１３２人目の素数さん
20/02/14 13:04:38.80 8zGfmT3q.net
待て、逆に『どの区間においても定数ではない』という条件でもいけるか？
単に成り立ちそうだから書いてみただけで、確かめた訳ではないけど
367:１３２人目の素数さん
20/02/14 14:43:01.01 G8wZZuo4.net
所持金が一万円の貧乏人が、金持ちの友達相手に掛け将棋を持ちかけた
一局ごとに一万円を掛けた2n+1番勝負で、どちらかが先にn+1勝した時点で終了とする
ただし、貧乏人だけは途中で一番でも負け越した時点で所持金を失い続行不可能となる
実力は互角で、引き分けはないものとする
貧乏人が得する確率は？
368:１３２人目の素数さん
20/02/14 14:53:50.89 UISPIlpq.net
>>345
>本では設定なしなんですよ。
本が嘘
あるいは君が条件読み落とし
369:１３２人目の素数さん
20/02/14 15:28:01.36 ekmNRCqQ.net
僧が3人だとダメなのかな？
370:１３２人目の素数さん
20/02/14 15:34:23.96 ekmNRCqQ.net
>>350
貧乏人も金持ちも途中で降りるのはなし？
必ずどちらかがn+1勝するか、貧乏人が負け越すかまで続けられる？
371:１３２人目の素数さん
20/02/14 16:23:42.86 ekmNRCqQ.net
>>350
貧乏人の獲得賞金をXとする。
最初に貧乏人がi勝する事象をAiとして
E(X|Ai)=iである事をnとiについての帰納法で示す。
n=1では明らか。
またi=nでも明らか。
n<Nで正しいとしてn=Nとしi>Iで正しいとしてi=Iとする。
このとき
E(X|Ai)=
1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人勝ち)
+ 1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人負け)
である。
右辺第1項は帰納法の仮定により(i+1)/2である。
第2項はnが1少ない場合の貧乏人がi-1連勝した状況と同じになるのでやはり帰納法の仮定から(i-1)/2である。
よって主張は示された。
特にi=0の場合により貧乏人の獲得賞金の期待値は0。□
372:イナ
20/02/14 16:44:46.29 Glw+icxw.net
前>>327ふ～ゆ～に～ぉ～ぼえ～た～♪ う～た～ぉ～わ～すれ～て～♪ す～と～ぉ～ぶ～のな～か～♪ の～こ～ぉ～た～せき～ゆ～♪
/＿/人人_/＿/＿人人＿
/_（＿)_)/＿/（_^＿)_
/_（_(＿)/＿/（_^＿)_
/_（(`o')/＿/（o^) )_
/_（_υ_)┓_/（_υ_)┓
/◎ﾞυ┻-◎ﾞ◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿ｷｺｷｺ……_/＿ｷｺｷｺ……_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿>>292メネラウスの定理で考えてたんだけど>>312はAとHが重なって描けないよね。こんな難しい作業やらせるか？
373:１３２人目の素数さん
20/02/14 17:35:32.44 VcIiPg2O.net
>>354
0なわけねーだろ
374:１３２人目の素数さん
20/02/14 17:51:01.49 ekmNRCqQ.net
獲得金額ってもちろん参加費差っ引いた額ね。
具体的に書いてみればわかる。
以下Aを貧乏人、Bを金持ちとしてAのw勝l負をw/lで表す。
その時のAの獲得金額xと確率pでおわるときx(p)であらわす。
n=0のとき
1/0→1(1/2)、0/1→-1(1/2)
∴ 期待値0
n=1のとき
2/0→2(1/4)、2/1→1(1/8)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0
n=2のとき
3/0→3(1/8)、3/2→2(1/4)、3/1→1(2/32)、
2/3→-1(2/32)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0
375:１３２人目の素数さん
20/02/14 17:56:55.14 ekmNRCqQ.net
あ、問題文は
貧乏人が得する確率は
か。
期待値求めるんじやないのね。
376:１３２人目の素数さん
20/02/14 18:13:54.83 G8wZZuo4.net
>>353
途中で降りるのはなし
>>354
期待値はおっしゃる通り
期待値が0なのに、貧乏人は負けてもたった一万で済み勝てばそれ以上が得られるのは、
得する確率は小さいが勝った時のリターンが大きい勝負をしているからだ
この得になるケースが起こる確率はいくらか？が実は聞きたかった
377:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/14 19:24:24 Glw+icxw.net
∥人人∥前>>355
（_(＿)>>292裏技がある
（(-.-)のか ∩∩
（っγ)ﾞな (^o^))⌒ヾ,
（⌒⌒) ？ υυ`υυ~
~~~~~~~~~~~~~~~
メネラウスとか。
378:１３２人目の素数さん
20/02/14 19:35:09 ekmNRCqQ.net
>>359とすると
(2^(2n)-C[2n+1,n])/2^(2n+1)
かな？
カタラン数計算するのと同じテク。
379:１３２人目の素数さん
20/02/14 20:19:34.18 ekmNRCqQ.net
あ、違う。
C[2n+1,n]/2^(2n+1)
380:１３２人目の素数さん
20/02/14 20:43:56.77 ekmNRCqQ.net
気持ちよく期待値0になっておおぉぉぉと思ったけど当たり前なのか‥‥
381:１３２人目の素数さん
20/02/14 21:22:52 G8wZZuo4.net
>>362
正解！！！
次のように問題を改変する
貧乏人が途中で負け越しても借金して続け、どちらかが先にn+1勝しても2n+1番まで続ける
そのときに、貧乏人が途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる場合を考える
勝敗条件はまったく変わらないので上記の確率を求めればいい
途中で一度は負け越してから勝ち越しで終わる場合、途中に初めて負け越した黒星が必ずある
その黒星より後で二番以上の勝ち越しがあることにより最後は勝ち越しとなる
このときもしその黒星より後の星の勝敗が逆であれば三番以上の負け越しで終わる
逆に、三番以上の負け越しで終わる場合、途中に初めて負け越しとなった黒星が必ずあり、
その後に二番以上の負け越しがあることで三番以上の負け越しで終わるので、
その勝敗が逆なら、途中の負け越しから二番以上を返し、最後勝ち越しで終わることになる
従って、途中で負け越してから勝ち越しで終わる場合と三番以上の負け越しで終わる場合は、
一対一に対応し、その確率は等しい
題意の確率=途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-途中で負け越してから勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-三番以上の負け越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-(負け越しで終わる確率-一番の負け越しで終わる確率)
=1/2-(1/2-n勝する確率)=n勝する確率=C[2n+1,n]/2^(2n+1)
382:イナ
20/02/14 21:41:52.84 Glw+icxw.net
前>>360
>>292
OA=tとすると、
OA･OB=1よりOB=1/t
AB=OB-OA=1/t-t
383:１３２人目の素数さん
20/02/14 21:48:27.27 R20D62da.net
n ＝１～７で虱潰しにプログラムに数えさせて頻度を出してみた。
> data.frame(n,p)
n p
1 1 0.3750000
2 2 0.3125000
3 3 0.2734375
4 4 0.2460938
5 5 0.2255859
6 6 0.2094727
7 7 0.1963806
384:１３２人目の素数さん
20/02/14 22:26:53.90 R20D62da.net
C[2n+1,n]/2^(2n+1)
に代入すると、
> choose(2*n+1,n)/(2^(2*n+1))
[1] 0.3750000 0.3125000 0.2734375 0.2460938 0.2255859 0.2094727 0.1963806
同値。プログラムでのカウント漏れはなさそう。
385:哀れな素人
20/02/14 22:49:27.49 ENo7Ubcw.net
>>312に書いたことは間違いだったので訂正しておく。
PB、DB、QBと小円との交点をE、F、G、
GからQOに平行に引いた平行線と、AB、小円との交点をH、I
IFとPBとの交点をJとすると、△JFB∽△HGBで、
この二つの三角形は出題の三角形とも相似。
但し△OQB∽△HGBだけは明らかだが、
その他の相似は、今のところ、示せない。
もしかしたら小円など利用しなくても解けるのかもしれない。
386: 【中吉】
20/02/15 00:55:59 UO46pwdD.net
前>>365小円なん ∩∩
((-_-)か思いつ (^_^))
[￣]c) かんやろ。U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ (γ)
____/＼/,,(`.`))⌒ヾU
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___/ |
□ | ∥￣~U~U~￣∥ |
____| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_________∥／
387:１３２人目の素数さん
20/02/15 08:06:57.62 zzpS6PjC.net
あるカジノに次のようなカードゲームがある
n枚のカードがあり、親は裏に互いに異なる数を書き込み、よく切って重ねて伏せる
プレーヤーは一枚ずつカードをめくり、好きなところで止める
また、途中で止めずに最後の一枚をめくった場合はそこで止める
止めたときのカードが親が書き込んだ最大の数であるとき、プレーヤーの勝ちとなる
プレーヤーは次のような作戦で止める箇所を決めることにした
m枚目までは止めない
m+1枚目からは、それまでに見た最大の数を超えていたら止めて、そうでなければ止めない
この方法を使ったとき、勝率はいくらか？
nが大きいとき、上記勝率の最大はいくらか？
388:１３２人目の素数さん
20/02/15 10:51:21.54 JNGZDcu7.net
>>349 が気になって夜も眠れないから正式に投稿（眠れたけど）
もちろん自分では未解決。
↓↓ここから問題↓↓
連続関数 f,g:[0,1]→[0,1] は f^-1({0})=g^-1({0})={0}, f^-1({1})=g^-1({1})={1}, を満たし、
どの区間 [a,b] (0≦a<b≦1) においても定数でない。
この時、連続関数 p,q:[0,1]→[0,1] であって、p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1 かつ
f(p(t))=g(q(t)) (∀t∈[0,1]) を満たすものは存在するか。
↑↑ここまで問題↑↑
[0,1]^2 の部分集合Sを S = { (x,y)∈[0,1]^2 : f(x)=g(y) } とおくと、
二点(0,0)と(1,1)がSの同じ連結成分に属することは証明できる。
この問題は、この二点が同じ『弧状』連結成分に属するかどうか、と言い換えられる。
389:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:25:04.01 JNGZDcu7.net
難問ばかりなのもアレなので解決済みのものを１つ
連続関数 f:R→R は非可算個の点で極大値をとり得るか。
390:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:32:43 JNGZDcu7.net
>>372
しまった、ここでは関数 f が点 x_0 で極大値をとるとは、
x_0 のある開近傍 U が存在して
x∈U かつ x≠x_0 ならば f(x)<f(x_0)
を満たすこととします。
391:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:44:39 h/D6xsZJ.net
>>372
不可能。
極大値をとるx=aの集合をSとする。
Sの元aに対し開集合Uaをf(a)がUaにおいてmaxとなるようにとると異なるa,bに対してUaとUbはdisjoint。
さらにUaから有理数qaを選べばqはSからQへの単射を与える。
392:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:45:52 h/D6xsZJ.net
あ、勘違い>>374は無かった事にorz
393:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:52:00 h/D6xsZJ.net
逆だな。
Rは可分なので可算近傍系Cをとれる。
C'={U∈C|fはCで狭義の最大をとる。}
m:C'→{極大点}をm(U)=(最大値をとる点)
で定めればこれは{極大点}への全射を与える。
394:１３２人目の素数さん
20/02/15 12:34:02 JNGZDcu7.net
>>376
正解！お見事
395:１３２人目の素数さん
20/02/15 14:24:30 p5FKhw4y.net
>>370
ざっと考えて(n-m+1)/n
396:１３２人目の素数さん
20/02/15 14:52:02 dftQOULi.net
m≦k≦n-1に対して
p(プレーヤー勝ち|k+1枚目が最大)
=p(1～k枚目までの最大が1～m枚目にある)
=m/k
だから
pm:=
397: p(プレーヤー勝ち) =1/nΣ[m≦k≦n-1] m/k よって p(m+1)-pm = 1/n(Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k -1)。 ∴ p(m+1)-pm>0⇔ Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k > 1 ここで Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k =∫[m+1,n] 1/[x] dx > ∫[m+1,n] 1/[x] dx =log n/(m+1)、 Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k =∫[m+1,n] 1/[x] dx <∫[m+1,n] 1/(x-1) dx =log (n-1)/m とlog(n-1)/m < log n/mによりpmが最大となるのはm=[n/e]のとき。
398:イナ
20/02/15 15:56:25.82 UO46pwdD.net
前>>369
>>370
まずm/nの確率でm枚目までに最大が出てるから絶対に負ける。
勝つ確率の最大値は1-m/n
問題はm+1枚目からn枚目までのm-n枚を引く途中で今まで見た最大を見てしまい、残りの枚数で最大が出る可能性を残したままゲームを終わらせてしまうこと。
m+k枚目で今まで見た最大が出たとすると、
(m+k)/n
まだ勝つかわからない。
勝つ確率k/(n-m)
(n-m-k)/(n-m)は負ける。
トータルで負ける確率は、
m/n+(n-m-k)/(n-m)
{m(n-m)+n(n-m-k)}/n(n-m)
=(n^2-m^2-nk)/n(n-m)
トータルで勝つ確率は、
k/n
これらが足して1だから、
(n^2-m^2-nk)/n(n-m)+k/n=1
n^2-m^2-nk+k(n-m)=n(n-m)-m^2-mk=-mn
k=n-m
∴勝つ確率=(n-m)/n
=1-m/n
だからこれは最大値だって。
(n-m)/nより小さい。
今まで見た最大値ならそこで見切るって言ってんだから勝つ確率は1-m/nより確実に小さい。
(n-m)/nを掛ければいいのか？
勘で(1-m/n)^2
399:イナ
20/02/15 19:22:55.66 UO46pwdD.net
前>>380
>>370
勝つ確率は1-m/nでnがじゅうぶん大きいとき1に近づく、つまり限りなく100％勝つ。
400:１３２人目の素数さん
20/02/15 21:28:32.82 Xfawjoh3.net
p(プレーヤー勝ち)=1/nΣ[m≦k≦n-1] m/k
って狽Oしたきれいな式にはならないのか。
401:１３２人目の素数さん
20/02/15 21:59:36.07 cY6cTvWp.net
自然数の逆数和ならディガンマ関数による表示法があるぞ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
402:イナ
20/02/15 22:03:44.86 UO46pwdD.net
前>>381
>>379たとえば親が同じスートのA,2～Q,Kのカードを1枚ずつ持ってたら、
13/e=4.……だから、
5枚目以降に最大値が出るやいなや勝負に出たほうが勝つ確率が高いってこと？
403:１３２人目の素数さん
20/02/15 22:31:34 h/D6xsZJ.net
>>384
この問題の設定はあくまで子が親の数を選ぶ分布について知りようがないという設定。
もちろん親が1～13の整数しか選ばないという情報があるならKが出てストップかけないのはバカ。
しかしその手の情報はなく、単に出た数の大小しか情報がないという設定。
そして親の数の選び方の分布が問題に与えられてないので本来解答不可能。
例えば親が常に単調増加になるように数を選ぶのなら子が勝てるのはm=n-1だけだし、常に単調減少に選ぶならm=0しか子は勝てない。
しかしそんな事は多分数学科卒でないとわからないだろうから、その辺はエスパーしないといけない。
>>379の解答は親の数の選び方の分布がn!通りある大小の分布が同様に確からしいという仮定を追加した場合の解答。
例えば親のn枚のカードの数をiidで選んだ場合などでは通用する。
404:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/15 22:33:20 UO46pwdD.net
前>>384いや、それは変だぜ。ジャックやクイーンが5枚目に出て、まだキングが出てないのに飛びついたら負けじゃないか。
mを1にしてnを最大にしてなるべく長く待つスタンスをとるにしても、肝心のキングが来なきゃ意味がない。
405:１３２人目の素数さん
20/02/15 23:12:42.69 zzpS6PjC.net
>>379
正解！素晴らしい！
>>378
>>380-381
残念ながら不正解！
>>385 ランダム性を持たせるため「よく切って重ねて伏せる」という文を入れておいた これによりn!通りある順位のパターンは同様に確からしいと言えると思う
407:１３２人目の素数さん
20/02/15 23:35:24.23 Xfawjoh3.net
>>383
狽謔闌ｩた目が複雑そう
408:イナ
20/02/15 23:48:38.54 UO46pwdD.net
前>>386
>>379はlog{(n-1)/m}かlog{n/(m+1)}かどっちが答えなの？
409:１３２人目の素数さん
20/02/15 23:55:44.95 cY6cTvWp.net
>>388
ガンマ関数の微分をって閉じた形で書ける利点があるにしろ、確かにそう捉えるのも自然だけれども
指数関数や多項式、あとそれらの積みたいに、部分和が閉じた形で書ける関数って案外少ないからなあ
410:１３２人目の素数さん
20/02/16 00:23:17.40 M7sc9CPo.net
>>388
いや、見た目は簡単で
p(プレーヤー勝ち)=(m/n)(ψ(n)-ψ(m))
この極限はディガンマ関数の漸近公式ψ(n)=log(n)+O(1/n)より
=(m/n)(log(n/m)+O(1/n)+O(1/m))
=-xlog(x)+O(1/n), x=m/n
411:１３２人目の素数さん
20/02/16 03:06:22.72 i66c5anA.net
>>279です。
残念ながら計算間違いがあった。
Σ[1/m+‥1/(n-1)>1を満たす最大のmまではあってるけどこの方程式解き損なってる。
mのよりよい近似値として
m=[(n-1/2)/e+1/2]
は出せるけど、>>279よりはマシなだけでこれでもずれる。
(計算機使ってみると100項中1こずれてた)
>>370は完全に正確に答え解こうとすれば既出のディガンマ関数とかその逆関数とか使わないと無理かもしれない。
412:哀れな素人
20/02/16 16:46:27.64 mvTUUaXe.net
>>292の問題について考えていて思い付いた問題をひとつ。
中心をＯとする半径１の円があり、半径上に任意の点Ａがある。
ＯＡの延長上にＯＡ・ＯＢ＝１となる点Ｂを作図せよ。
413:哀れな素人
20/02/16 16:50:34.08 mvTUUaXe.net
ついでだから、もう一問。
↓この問題には別解がある。それを示せ。
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
但し、コメント欄にある別解は禁止。
コメント欄の別解とは違う別解を挙げよ。
414:１３２人目の素数さん
20/02/16 17:33:40 dzgTO0Y1.net
>>393
そう言うのを円による反転という。
初等幾何のイロハのイ。
415:哀れな素人
20/02/16 23:22:28 mvTUUaXe.net
反転。初耳なので少し調べたが、>>393の問題とは関係ない（笑
ま、ここの連中は初等幾何の問題などバカにして答えないだろうと思っていた（笑
416:１３２人目の素数さん
20/02/16 23:24:45 KKT7Tfzq.net
調べてわからないのか。
馬鹿だなぁ。
417:１３２人目の素数さん
20/02/16 23:26:34 uZMfv53j.net
半直線に垂直に線引いて交点での接線を引き、半直線との交点をとるだけだろ
418:１３２人目の素数さん
20/02/17 00:35:40.51 ZSzGQZkQ.net
あと連続関数絡みで、前スレだったかで置き去りにされてた問題（を改編したもの）も出題しておこうかな
以前のものと同様、未解決ですが
次を満たす関数 f:R^2→{1,2,…,n} が存在するような正の整数nのうち、最小のものを求めよ：
連続関数 p:[0,1]→R^2 について、もしpとfの合成が定関数ならばpも定関数である。
419:１３２人目の素数さん
20/02/17 00:44:07.68 uYhhJbB7.net
>>396
>393そのものじゃん
420:１３２人目の素数さん
20/02/17 01:00:57.74 7wYuJpOT.net
反転でトレミーの定理証明
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
421:１３２人目の素数さん
20/02/17 01:04:28.82 IBQ0KY2w.net
>>396
長さaの線分の逆数1/aを作図せよという問題なら
検索キーワードは"作図 逆数"で解答がたくさん出てくる
四則演算と平方根は作図可能というのが作図の基礎知識
422:１３２人目の素数さん
20/02/17 02:03:49 kdGYKNgW.net
>>399
a:(0,1)×(0,1)→(0,1)を二進表示を交互に編み込む連続関数とする。
さらにb(x,y)=((atan(x)+2)/4,(atan(y)+2)/4)とする。
g:(0,1)→{1,2}をQ∩(0,1)の特性関数とする。
f=gabと定める。
p:(0,1)→R^2が定数でない連続関数とするとabpも定数でない連続関数である。
この時任意の相異なる有理数の間には無理数が存在する事と相異なる無理数の間には有理数が存在する事からgabpは定数でない。
よってfpも定数でない。
よって求める最小値は2。
423:１３２人目の素数さん
20/02/17 02:42:01 /HnwZz/g.net
あ、しまった。
aは連続じゃないや。>>403は撤回します。
424:哀れな素人
20/02/17 09:41:46.56 XLoZlq8v.net
>>393の問題は、円による反転とか、そんな難しい問題ではない（笑
単に方べきの定理の応用問題である（笑
それに初等幾何のイロハのイというが、
反転なんて小中高でも習ったことはない（笑
それを「初等幾何のイロハのイ」と書いているところに、
お前らの虚栄心が現れている（笑
もちろん>>402のように考えて解いてもいいが、もっと簡単な方法がある。
ＯからＯＡに垂直な直径を引き、円との交点をＰ、Ｑとし、
ＰＡの延長と円との交点をＲとし、
ＱＲの延長とＯＡの延長との交点をＢとすると、Ｂが求める点である。
425:１３２人目の素数さん
20/02/17 10:18:39.50 /HnwZz/g.net
虚栄心しかないやつが何言ってんの？
こんなもん理系の人間で知らん人間いない常識問題だっていってんだよ？
検索したらアホほどでてくるやろが？
こんな常識問題でも知らないで出すのはしょうがない。
調べてみて頻出、常識問題だとわからないのがアホだと言ってる。
人の書いた文章理解する能力ないんかね？
そもそも一番最初にでてる>>294の証明にもでてくるやろ？
読んでないの？
読んでもわからないの？
426:１３２人目の素数さん
20/02/17 10:59:33.92 /HnwZz/g.net
>>399
未解決ですがというのは出題者も答え持ってないという意味？
427:１３２人目の素数さん
20/02/17 11:03:00.25 LXWKraH0.net
別に初歩的な問題を初歩的と知らないで出題するのはいいけどね
それを指摘されて訳のわからないキレ方をするのはみっともない
428:哀れな素人
20/02/17 12:32:25.00 XLoZlq8v.net
訳のわからないキレ方をしているのはお前らの方だ（笑
僕は虚栄心のために0.99999……≠１と説いているのではないし、
検索して>>405のような答えが出て来るとも思えないし、
>>294は初等幾何的証明ではないのである。
>>394の問題にしても、お前らは、答えが分っていても、書かないだろう、
と僕は最初から思っていた（笑
なぜなら、>>393-394のような問題はお前らのプライドを傷つけるからだ。
というわけで、お前らは、僕のことは無視して、数学の腕比べに励めばよい。
しかし、お前らがどんなに優秀であろうと、0.99999……＝１だと言った途端に、
世間の聡明な人々からは、お前らは笑われる（笑
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
ここでも作者は５＝4.99999……という間違いを平気で犯しているが、
お前らはこの作者と同レベルなのである。
429:１３２人目の素数さん
20/02/17 12:44:25.85 ZSzGQZkQ.net
>>407
紛らわしくて申し訳ない、そういう意味です
既に誰かが答えを与えていないかどうかまでは調べられてないです
430:１３２人目の素数さん
20/02/17 13:58:19 /HnwZz/g.net
>>409
もういいからここには書くなよ。
自分の学力がこのスレではハナクソレベルなのがなんでわから�
431:ﾌかねぇ？ 灘中の入試レベルでまだ四苦八苦してるレベルで。
432:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/17 14:13:44 K1rLSA1v.net
/＿/人人_/＿/＿人人＿
/_（＿)_)/＿/（_^＿)_
/_（_(＿)/＿/（_^＿)_
/_（e^) )/＿/（o^) )_
/_（υ＿)┓_/（_υ_)┓
/◎ﾞυ┻-◎ﾞ◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿ｷｺｷｺ……_/＿ｷｺｷｺ……_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿ちょ～しっぱずれの～♪
よし晴れてきた、洗濯もん乾くぞ！ 前>>389とかいのろじうらでぇ～♪ 勝つ確率にlogはねえよ。のんだくれたかえりに～♪ 確率にlog出てきたんじゃ訳わかんねえよなぁ。しこたまはいたぁ～♪ 髭剃るか。
433:イナ
20/02/17 15:33:55.02 K1rLSA1v.net
∥人人確率がlogって
（_(＿)どういう
（(-.-)意味なんだ？
（っγ)ﾞ
（⌒⌒)
~~~~~~~~~~~~~~~
log{n/(m+1)}が答えなのか？
434:哀れな素人
20/02/17 17:21:52.58 XLoZlq8v.net
>>411
では>>292の問題の初等幾何的な証明を書いてくれ（笑
どうせ書かないだろうが（笑
何で初歩的な問題を投稿するだけで、
こんなに叩かれ嘲笑されなければならないのか（呆
荒らしをしているわけではないのに、荒らし扱いだ（呆
435:１３２人目の素数さん
20/02/17 17:36:26.09 Nzms6mON.net
>>414
だから馬鹿だっていってるんだよ。
なんで初等幾何的証明だれも書かないかわかってないだろ？
書きたくても問題文の条件だけじゃ配置が不定なのでめちゃめちゃ書きにくいんだよ。
既に>>294で証明上がってる方針を初等的に焼き直すとき∠BPD=∠BOQを示すのが気もになる。
方針として>>294のCをとってBPとCQの交点をEとしてBEOQが同一円周上にある事を利用する手があるけど、そのときBPEの位置配置とBECQの円周上の配置によって∠BPD、∠BEQ、∠BOQの位置関係が微妙に変わる。
この三角がすべて等しい時もあれば捕角を取らないといけないときも出てくる。
おそらく原題では図が与えられてて位置配置が細かく決定してるんだろう。
あなたその中の勝手な一個の位置配置決め打ちして証明してるけどそんなの証明として通用しないんだよ。
しかもそんな事しなくても複素座標とれば全部のケースひっくるめて一撃で証明できるのになんでそんな意味ない事するの？
そもそもOA・OB=1という条件見た瞬間に反転幾何学≒複素座標使ってみようと思う発想が出てこない時点であんた失格なんだよ。
もんいいからでてけよ。
あんたにこのスレの話題についていけるだけの実力はない。
スレ汚し。
436:哀れな素人
20/02/17 19:59:01.87 XLoZlq8v.net
>>415
>あんたにこのスレの話題についていけるだけの実力はない。
そんなこと最初から分かっている(笑
しかしこのスレはスレタイからして難問を出すスレではないから、
初等幾何の問題を出してもいいはずなのだ。
だからスレ汚しなどと叩かれる筋合いはない。
それに>>292の問題は灘高校の入試問題だというから、
複素数など使って証明する問題ではなく、
初等幾何で解けるはずの問題なのである。
これ以上書くと荒らしだと思われるかもしれないから、ここで止める。
お前らも僕に対する嘲笑とか攻撃はここで止めるように。
もちろんやりたければどんどんやればいい(笑
437:イナ
20/02/17 21:02:48.22 K1rLSA1v.net
∥人人∥前>>413
（_(＿)>>292も>>370も
（(-.-)納得∩∩でき
（っγ)ﾞる(^o^))⌒ヾ,
（⌒⌒)答えυυ`υυ~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ではないなぁ。>>292は相似。相似比も相似条件もまだわからん。>>370は確率。すべての場合分のその場合の数。すべての場合がいくつでその場合がいくつなのかまだわからん。
438:１３２人目の素数さん
20/02/17 21:52:33 Nzms6mON.net
>>416
こいつここまで丁寧に説明してまだ何言われてるのかわからんのか。
どこまでアホなん？
439:１３２人目の素数さん
20/02/17 21:55:41.85 CdzYXHaY.net
住処に帰るって言うのなら帰せばいいじゃないか
440:１３２人目の素数さん
20/02/17 22:05:28.36 Us7azE/m.net
(a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)なるn以下の非負整数の組(a,b,c,d,e,f)はいくつあるか。
分かスレの問題
全然わからん
441:１３２人目の素数さん
20/02/17 22:17:31.33 Nzms6mON.net
>>420
それは多分解答もなんも作ってない奴が適当に文字並べただけの問題だと思う。
あのスレはわからん問題なら何書いてもいいという独特なロジックでその手の問題がよく上がってるから注意しないと。
442:１３２人目の素数さん
20/02/17 22:28:49.03 BDpnwWQY.net
>>421
やっぱそうだよね
一応頑張って解こうとしたけど約数の個数とかその辺を一般化しなきゃいけないっていう壁にぶち当たった
プログラム組んでOEISにぶち込んでも何も出てこないし無理ゲー
443:イナ
20/02/17 22:44:22.78 K1rLSA1v.net
>>420前>>418
(a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)
4･3=6･2
a=6,e=2,b=4,f=1,c=8,d=3
n=8のとき、6･2=4･3もありうるから、
a=8,e=2,b=3,f=1,c=6,d=4
a=8,e=1,b=4,f=2,c=3,d=6のとき8･1=2･4で成り立つ。
もう一つあれば、
n以下の数で√n通りあるとか大胆な予想が立つけど。
444:１３２人目の素数さん
20/02/17 23:26:01.19 xxqdZaWU.net
>>422
え？そんな手があるの？あのOEISって検索できるん？
445:１３２人目の素数さん
20/02/17 23:37:29.11 uMEGbIOm.net
この数列の法則性は？
なんて聞かれたときは検索機能が重宝する
446:１３２人目の素数さん
20/02/17 23:51:49.70 7cIb3gS8.net
いいこと聞いた
447:１３２人目の素数さん
20/02/18 00:33:40 CSeACSeT.net
>>399
これってn＝2の場合でも難しい感じ？
448:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:08:39.46 5azt0L51.net
>>427
いや、nが大きいほど簡単でしょ？
n=3のときのfはすぐできる。
n=2のときにfが作れるのか？が問題。
最小値は3 or 2。
449:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:18:51.36 ZlcMzP2c.net
R^2の点をpathconnected componentが1点になるようないくつの部分集合に分けられるかか
R^1なら有理数と無理数でイイから
A={(x,y) | x, y∈Q} B=R^2-A
でよくない？
アーダメかy=eがB内だわ
4つに分けて
A=Q^2 B=Q×I C=I×Q D=I×I（I=R-Q）
ならいいでしょ
p1,p2:R^2→R
につなげたらいいから
しかしn=2,3でダメということはどう言えば良いのか？
450:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:19:22.97 ZlcMzP2c.net
>>428
>n=3のときのfはすぐできる
どう作る？
451:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:25:15.55 Ft3883nd.net
某大学入試過去問改
東西に10本、南北に3n+1本の道路が碁盤の目状に走った町がある。
この町の道路は最南端にある東西に走る道路を南から順に東西0号線から東西9号線、南北に走る道路を西から順に南北0号線から南北3n号線と呼ぶ。
3の倍数3kに対し南北3k号線、東西0、3、6、9号線は大通り、その他は生活道路と呼ばれる。
各交差点には以下のような規則が定められている。
・生活道路と大通りの交差点においては、生活道路から進入する場合には左折して大通りに合流する事のみしか出来ず直進、右折はできない。大通りから進入する場合には左折して生活道路にはいるか、そのまま直進する事はできるが右折は禁止である。
・大通り、生活道路どうしの交差点では右左折、直進すべて可能である。
この町の南西端をX、北東端をYとするときのXからYへ規則に従う最短経路の数を求めよ。
原題はn=7の場合です。
452:１３２人目の素数さん
2020/02/1
453:8(火) 01:28:23.19 ID:luj3t+bp.net
454:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:32:38.77 kCgJRMKU.net
あ、だめだ。
これだとずっと2になるかのうせいがある、
有理数×有理数は1,
有理数×無理数は2、
無理数×有理数は3、
無理数×無理数は4にする。
コレは絶対いける。
なので最小値は2か3か4。
455:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:49:36.24 CSeACSeT.net
>>428
あーそういう感じなのか？
2の時はダメだと言えて
3とか4とかどうなるのか、って方向性になるかなと思ったけど
456:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:52:29.08 CSeACSeT.net
>>433
あ、確かにそれで終わりだね
サンクス
457:１３２人目の素数さん
20/02/18 02:48:18.10 MiO5cL7u.net
>>424
n=1,2,……の時の答えをぶち込んでなんか出てきたらラッキー
458:イナ
20/02/18 04:18:00.50 JQdcAHMa.net
前>>423
>>431
1本。
Xから東西0号を東へ。南北n+1号との交差点を左折し北へ。Yに着く経路。
459:イナ
20/02/18 04:20:07.76 JQdcAHMa.net
前>>437訂正。
>>431
1本。
Xから東西0号を東へ。南北3n+1号との交差点を左折し北へ。Yに着く経路。
460:イナ
20/02/18 04:25:37.43 JQdcAHMa.net
前>>438訂正。大通り右折できるわ。
>>431
Xから東西0号を東へ。南北Σn[n=1→3n+1]号との交差点を左折し北へ。適宜右折してYに着く経路。
∴(3n+1)^2通り
461:イナ
20/02/18 05:15:28.51 JQdcAHMa.net
前>>439訂正。生活道路も掛けてた。
>>431
(n+1)^2通り
462:イナ
20/02/18 05:18:33.06 JQdcAHMa.net
前>>440訂正。
>>431
11(n+1)通り
463:イナ
20/02/18 05:20:21.05 JQdcAHMa.net
前>>441
>>431
4(n+1)通り
464:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:09:53.29 emC4HTnA.net
>>431
これは、どうやってシミュレーションするかなぁ。
とりあえず、ｎ＝７のときで道路を作図
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
465:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:17:10.65 emC4HTnA.net
>>443
大通りの太さを区別してなかったので修正。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
466:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:33:27.55 ZlcMzP2c.net
>>444
NG
467:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:50:53.56 ZlcMzP2c.net
南から大通りに入る生活道路は全部カット（最短で進めないから）
大通りから東に入る生活道路も全部カット（最短で進めないから）
あとは自由に考える
大通りで囲まれた区画でなら
1+4C2=7通り
これを
左端の大通りは１
それ以外の南北の大通りが6
東西の大通りは１
で考えたら良いのではないかね
468:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:51:47.78 emC4HTnA.net
>>444
南北にも大通りがあったので再度、修正。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
469:１３２人目の素数さん
20/02/18 11:03:18.75 ZlcMzP2c.net
大通りの直進左折右折で変わるから>>446だと考えにくい
左から直進が1通り
左から左折が6通り
下から直進が1通り
下から右折が1通り
これで考えるんだな
あるいは大通りの交差点に下から入る処と右に出るところの路線数で考えるか
470:１３２人目の素数さん
20/02/18 11:11:53.12 ZlcMzP2c.net
>>448
>あるいは大通りの交差点に下から入る処と右に出るところの路線数で考えるか
書きやすく南北逆転させてみたら
１ １ １ １ １ １ １
１ ６ ６ ６ ６ ６ ６ ６
１ ７ 13 19 25 31 37
１ 12 48 84 19*6+6-120
１ 13 61 61+84=145
こんな感じか
471:１３２人目の素数さん
20/02/18 12:05:42.55 bKAplv3x.net
「遠回りしない」という条件の下、東西、および、南北の0号、3号で囲まれる
3×3の区画内のいずれかの生活道路を使用する場合、
(1,0)か(2,0)から進入し、(3,1)か、(3,2)から出る場合しかなく、合計5通りある。
つまり、生活道路同士の交差点、(3p+s,3q+t) (s,t=1,2)を利用する場合、
必ず、大通り同士の交差点(3p,3q)と(3p+3,3q+3)を利用している。
題意の条件に従い、通った大通り同士の交差点のみをプロットし、結ぶと、
“横に変化”、“上に変化”、“斜めに変化”の三通りに分類できる。
“斜めに変化”の回数がk回だとすると、“横に変化”は、n-k回、“上に変化”は3-k回となる。
斜めに変化の場合、生活道路の通り方で、5通りあるので、
Σ[k=0,3] 5^k*((n-k)+(3-k)+k)!/{(n-k)!*(3-k)!*k!} で計算できることが判る。
答え 36n^3-54n^2+36n+1
472:１３２人目の素数さん
20/02/18 13:29:45 QuEz/3Tk.net
>>450
正解
ちなみに東西線3m+1本、南北線3n+1のときは
Σ[0≦i≦m]C[m,i]C[n,i]6^i
(ただしj<kのときC[j<k]=0とする)
になります。
>>450さんの証明よく読めばできます。
ちなみに超幾何関数というのを使って
3F2(-m,-n,1;6)
とも表示されます。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
473:１３２人目の素数さん
20/02/18 17:04:26 bKAplv3x.net
なるほど。ということは、
Σ[k=0,m] C[m,k]*C[n,k]*(x+1)^k = Σ[k=0,m] C[n+m-k,m-k]*C[n,k]*x^k
が成立しそうですが、証明はどうやるんだろう．．．。
474:１３２人目の素数さん
20/02/18 18:34:17 06v9pOD9.net
自然数nに対してm=C[n+1,2]変数の多項式Pn(x[12],‥,x[n-1,n])で次の条件を満たすものが存在する事を示せ。
n次元ユークリッド空間の点p0,‥pnに対し、その凸包をK、m個の正の実数a[12],‥,a[n-1n]をd(pi,pj)を並べたものとするとき
vol(K)^2=Pn(a[12],‥,a[n-1n])
が成立する。(高次元のヘロンの公式)
またこの時次が成り立つ事を示せ。
実数の組みa[12],‥,a[n-1n]が任意の{1,‥,n}のk元集合Sと添字がSに入るC[k2]個のa[ij]を選ぶとき
Pk(a[ij])>0
が成立するときn次元ユークリッド空間の点p0,‥pnでa[12],‥,a[n-1n]がd(pi,pj)を並べたものと一致するようなものがとれる。(高次元の三角不等式)
例
p1(x)=x
P2(x,y,z)=(1/16)(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)
でn≦2では成立しています。
475:１３２人目の素数さん
20/02/18 23:44:09 8DNhS0j5.net
>>399
n=3の時は、f(x,y)の値を
1 (xもyも有理数の時)
2 (xとyの片方だけが無理数)
3 (xとyの両方無理数)
とすれば良い。fpの値が1か3で定数の場合は明らかにpも定数。
fpの値が常に2である時、pが定数でないと仮定。すると、任意の有理数qについて
C(q):=p^(-1)({q}×R) も C'(q):=p^(-1)(R×{q}) も区間[0,1]の閉集合になる。したがって
[0,1]=∪_(q:有理数) C(q)∪C'(q)
は閉区間[0,1]の、可算無限個の非交和な閉集合によな分割を与えるが、
そのような分割は不可能であるため矛盾。
476:１３２人目の素数さん
20/02/19 00:40:12 v8JOxEBI.net
>>454
>は閉区間[0,1]の、可算無限個の非交和な閉集合によな分割を与えるが、
[0,1]=[0,1]∪Φ
477:１３２人目の素数さん
20/02/19 02:37:51.22 eq0pwpep.net
>>452
(1+xz)^n = Σ[i=0,n]C[n,i]x^i z^i
(1+z)^m = Σ[j=0,m]C[m,j]z^j
(1-z)^(-n-1) = Σ[j=0,∞]C[n+j,j]z^j
より
(1+xz)^n (1+z)^mのz^mの係数 = Σ[k=0,m] C[m,m-k]C[n,k] x^k
(1+xz)^n (1-z)^(-n-1)のz^mの係数 = Σ[k=0,m] C[n+m-k,m-k]C[n,k] x^k
だから
f(z) = (1+z+xz)^n (1+z)^m/z^(m+1)
g(z) = (1+xz)^n (1-z)^(-n-1)/z^(m+1)
のz=0における留数が等しいことを示せばよい。
これはz=t/(1-t)と置くとf(z)dz=g(t)dtより明らか
478:１３２人目の素数さん
20/02/19 08:32:16.66 WE6EaV92.net
>>455
例えば C(q)=[0,1] の場合、pの第一成分が常にq、第二成分が常に無理数をとる訳だけど、
その場合は第二成分も定数でなければならないから、結局pも定数関数であることが
479:わかる。 C'(q)の場合も同様。
480:１３２人目の素数さん
20/02/19 16:44:13 z1VUWsY5.net
>>455
の反例は乗り切ってるかもだけど[0,1]が高々可算無限個の非自明な非交和になり得ないは正しいのかな？
反例も証明も分からん。
481:１３２人目の素数さん
20/02/19 16:47:27 k7LsatWJ.net
>>412
イナさんは
おじさん(♂)だったんですか？
482:１３２人目の素数さん
20/02/19 16:58:02 k7LsatWJ.net
Ｑ.１，２，４，８、・・・、２＾ｎという数列から１つ数を選んだとき、その最高桁が１となる確率はいかほどか？
(初めから無限個の集合で考えなくてもＯＫです
ｎを有限としてｎ→∞としてもかまいません)
483:１３２人目の素数さん
20/02/19 18:08:33 z1VUWsY5.net
log[10]2、
ちな最高位が3の確率？はlog[10](3/2)
484:１３２人目の素数さん
20/02/19 18:12:58 eq0pwpep.net
>>460
jlog2(10)≦i<jlog2(10)+1を満たす整数iはjに対して必ず1つ存在するので
2^nがm桁の数とすると{1,2,4...,2^n}にはm個の最高桁が1となる数が存在する
この確率はm/(n+1)=ceil(nlog10(2)+1)/(n+1) ここでceil(x)はx以上の最小の整数
485:１３２人目の素数さん
20/02/19 18:23:32 eq0pwpep.net
>>462 訂正
m/(n+1)=floor(nlog10(2)+1)/(n+1) ここでfloor(x)はx以下の最大の整数
486:１３２人目の素数さん
20/02/19 18:42:24 v8JOxEBI.net
>>458
閉集合だと無理だと「現代数学の系譜・・・」スレでやってた
487:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/19 18:48:36 zH0JvmWI.net
/＿/＿/人人_/＿/＿/＿
/＿/_（＿^_)/＿/＿/＿
/＿/_（＿＿)/＿/＿/＿
/＿/_（ (^o)/＿/＿/＿
/＿/_（＿っ-┓_/＿/＿
/＿/_◎ﾞ┻υ◎ﾞ/＿/＿/＿/__/__/__/__/__/＿/＿/＿/＿/＿/あのどろだらけのすに～かぁじゃ～♪ ぉいこせない～の～わぁ～♪ ごめん、>>423の前>>417だった。
前>>442でんしゃ～でも♪ じかんでもなく♪ ぼくかもしれなぃ～け～ど～♪ ♪♪
488:１３２人目の素数さん
20/02/19 19:11:43.18 maZgQuwo.net
>>458
さすがに省略しすぎてしまった、申し訳ない
>>454 の補足
閉区間[0,1]が、可算無限個の空でない閉集合により
[0,1]=∪_(n=0,1,…)C'_n (ただし 0∈C_0, 1∈C_1, n≠mならばC_n∩C_m=φ とする)
と分割されると仮定。
ここで、数列{a_n}, {b_n}を次のように定める。
まず、区間[0,1]におけるC_0∪C_1の補集合の、連結な部分集合を与える開区間(a_1,b_1)を１つとる。
つまり、a_1,b_1∈C_0∪C_1 であることに注意。
(i)nが奇数の時、a_(n+1)=a_n とする。また、(a_n,b_n)∩C_m が空でないような最小のmをとり、
b_(n+1) = min((a_n,b_n)∩C_m) と定める。
（開区間(a_n,b_n)の両端はどちらもある C_m' (m'<m) の元であるため、
(a_n,b_n)∩C_m = [a_n,b_n]∩C_m. よってminが存在。）
(ii)nが偶数の時、b_(n+1)=b_n とする。また、(a_n,b_n)∩C_m が空でないような最小のmをとり、
b_(n+1) = max((a_n,b_n)∩C_m) と定める。
以上のように定めた数列{a_n}, {b_n}は a_n<a_(n+2)<b_(n+2)<b_n を満たすため、どちらもn→∞で収束。
しかし、例えばa_nの極限Aは全てのn≧1について A∈(a_n,b_n) を満たすため、
どの C_n (n≧1) にも属さない。よって矛盾。
489:１３２人目の素数さん
20/02/19 19:40:12.87 maZgQuwo.net
>>466 で変なところに C'_n が出てきてるけど、これは普通に C_n として処理してくだせえ…
余談ではあるけど、>>399 の問題におけるR^2を全てR^mで置き換えてできる問題を考えれば、
同様の方法で、求めるnの最小値は2以上(m+1)以下の整数であることがわかる。
具体的には、関数 f:R^m→{1,2,…,m+1}を
f(X)=1+(Xの成分のうち有理数であるものの個数)
と定めれば、>>454 と同様の方法で(fpが定数ならばpも定数)を示せるはず。
490:１３２人目の素数さん
20/02/19 21:08:37.40 2hWCM518.net
>>463
解答例は現在ガロアスレで絶賛展開中です。ご参考下さい。
491:１３２人目の素数さん
20/02/20 02:45:46.65 Nvc8ojbF.net
>>456
御下賜ありがとうございます。
当初、目が点状態でしたが何とかフォローできました。
二重、三重に驚きました。鮮やかな手法に恐れ入るばかりです。
>>これはz=t/(1-t)と置くと
恐らく、z=t/(1+t) のミスだったのではないかと思います。
他の方の為に、記しておきます。
492:１３２人目の素数さん
20/02/20 03:10:19.22 w9za8ANa.net
正の整数a,bを互いに素とする。
ある非負整数x,yがあってn=ax+byと書ける時nは良い整数であると定義する。
正の整数であって良い整数でないものの個数をa,bで表せ。
493:イナ
20/02/20 03:38:19.26 PRyo8w16.net
前>>465
>>470
正の整数でax+byと書けないものは、1,2
∴2個
494:１３２人目の素数さん
20/02/20 06:56:18.29 g3Lggi6S.net
まずは定数と変数の違いを理解できるようにしよう
495:１３２人目の素数さん
20/02/20 09:19:34 BWBgHqRp.net
(a-1)(b-1)/2
496:１３２人目の素数さん
20/02/20 09:53:59.67 TZOsntWL.net
>>470
>正の整数であって良い整数でないものの個数をa,bで表せ。
(a,b)>1の時は無限大
(a,b)=1の時は面倒くさい
497:１３２人目の素数さん
20/02/20 10:35:13.96 bZRqCWPO.net
nが良くない整数、かつn+a,n+bのどちらも良い整数である時、
n+a=bm, n+b=ak より a(k+1)=b(m+1).
これよりk=bk'-1であるから
n=a(bk'-1)-b.
nの良くない性より n≦ab-a-b であるから、k'=1.
以上から、任意の良くない整数 n<N:=ab-a-b について、n+a,n+bの少なくとも一方は良くない整数。
したがって、0≦n≦N を満たす整数nについて、nが良くない整数ならばN-nは良い整数であることが導ける。
また、N=N-0が良くない整数であることと、
(N-nが良くない整数ならばN-(n+a)もN-(n+b)も良くない整数である)ことから、
0≦n≦N を満たす整数nについて、nが良い整数ならばN-nは良くない整数であることが導ける。
以上の議論から、整数n∈[0,N]について、nとN-nの片方だけが良くない整数であることがわかる。
ゆえに、求める個数は(1+N)/2=(a-1)(b-1)/2.
498:１３２人目の素数さん
20/02/20 11:03:06.57 bZRqCWPO.net
>>399 の類題と言えるかも知れない問題、こちらも出題者には未解決
実数全体からなる集合をRとおく。Rの任意の部分集合Aについて、次の主張は成り立つか：
Aの補集合とAの少なくとも一方は、Rの非可算な閉部分集合を含む。
499:哀れな素人
20/02/20 11:27:45.80 Wd/N0aBi.net
実数全体からなる集合などというものは存在しないし、
実数は非可算ではない（笑
500:１３２人目の素数さん
20/02/20 11:28:07.68 BWBgHqRp.net
>>476
R={有理数}∪{無理数}でよくない？
{無理数}が閉集合Fを含むとするとU=R＼Fは{有理数}を含む開集合で{有理数}はdenseだからU=R。
∴{無理数}が含む閉集合は空集合のみ。
501:１３２人目の素数さん
20/02/20 11:33:43.06 BWBgHqRp.net
>>478
はダメだ。吊ってくるorz
502:１３２人目の素数さん
20/02/20 12:02:15.00 bZRqCWPO.net
>>478
一応説明しておくと、例えば無理数の部分集合を
{x∈[0,1] : xを２進展開した時、小数点以下第(2n)位はnが平方数の時1、それ以外の時0}
等と定めればこれはカントール集合と同相になります
503:１３２人目の素数さん
20/02/20 12:27:18.70 BWBgHqRp.net
>>480
カントール集合って閉集合だっけ？
504:１３２人目の素数さん
20/02/20 12:55:06.08 w9za8ANa.net
>>475
正解です
505:１３２人目の素数さん
20/02/20 12:55:54.20 w9za8ANa.net
>>471
？？
506:１３２人目の素数さん
20/02/20 13:35:30.57 bZRqCWPO.net
>>481
URLﾘﾝｸ(en.m.wikipedia.org)
のExampleや、カントール集合の記事の『歴史的注意』にある通り、閉集合。
507:１３２人目の素数さん
20/02/20 19:32:41.29 g3Lggi6S.net
>>454
これってx,y,の両方が無理数の時と
それ以外の場合で分けてやっても同じようにpが定数は言えないの？
508:１３２人目の素数さん
20/02/20 19:36:55.61 g3Lggi6S.net
まあ
509:カントール集合って構成的に閉集合の共通部分だし
510:１３２人目の素数さん
20/02/20 20:52:25.56 TZOsntWL.net
>>485
可算
511:１３２人目の素数さん
20/02/20 20:56:26.46 TZOsntWL.net
Rを稠密で内点のない2つの連続濃度の部分集合に分割して欲しい
512:イナ
20/02/20 22:13:26.57 PRyo8w16.net
(1/4845)(4Ｃ2)(16Ｃ1)(4Ｃ1)
=6･16･4/4845
=2･64/1615
=128/1615
=0.07952569659……
前>>148
∴約7.952569659％
513:イナ
20/02/20 22:17:39.72 PRyo8w16.net
前>>498
スレ違いました。
514:１３２人目の素数さん
20/02/21 01:00:23.38 mdcv3RW3.net
>>485
その場合、p:[0,1]→R^2を例えば p(t)=(0,t) と定めた時にp(t)がずっと R^2-{無理数}^2 に属することになるね
515:１３２人目の素数さん
20/02/21 08:23:47 WqlF6ncx.net
無理数集合はR上の閉集合の可算和では書けないことを証明せよ
516:１３２人目の素数さん
20/02/21 10:03:34.87 mdcv3RW3.net
>>492
R\Q=∪_(n≧1) C_n と可算個の閉集合に分割できたと仮定。
0以上1以下の全ての有理数を {q_n}_(n≧1) と番号づけすると、
∪_(n≧1) ((C_n∩[0,1])∪{q_n}) = [0,1]
により、可算個の閉集合による区間[0,1]の非自明な分割が与えられてしまい、>>466と矛盾。
517:１３２人目の素数さん
20/02/21 11:34:54 WqlF6ncx.net
>>493
なるほど素晴らしい
想定解はベールのカテゴリー定理を使うものでした
518:１３２人目の素数さん
20/02/21 11:43:38 +4K3m1jQ.net
>>494
想定解ギボン
519:１３２人目の素数さん
20/02/21 12:25:40 WqlF6ncx.net
>>495
R\Q=U_{n∈N} C_nと可算和で書けたとする
Q= {q_n}_{n∈N}とすると
R=U_{n∈N} (C_n ∪ {q_n})となる
ここでRは完備距離空間より
ベールのカテゴリー定理「空でない完備距離空間は内点を持たない閉集合の可算和にはならない」
から、あるC_nは内点を持つがC_nはR\Qの部分集合のため矛盾
520:１３２人目の素数さん
20/02/21 13:09:10.57 mdcv3RW3.net
>>476 はどうやら否定的に解決されてるみたいだ…Bernstein集合が反例になっている
URLﾘﾝｸ(en.m.wikipedia.org)
Bernstein集合の存在性については、下のpdfの定理3.7で示されている
URLﾘﾝｸ(yamyamtopo.files.wordpress.com)
そして多分同じ手法で、>>399の答えが2であることもわかる。
ポイントは、（非可算な）閉集合全体からなる集合の濃度が、R^2と同じ連続体濃度である、ということ。
521:１３２人目の素数さん
20/02/21 13:55:03.32 +4K3m1jQ.net
>>497
そのポイントから>>399の答えが2になる事をも少しkwsk
522:１３２人目の素数さん
20/02/21 14:37:11.55 4drFG/zF.net
連続と離散を統一した！
URLﾘﾝｸ(x0000.net)
R* := R ∪ { e }
(0 ≠ e ≠ dx)
a + e = a = a – e (a ∈ R)
ne = e (n ∈ Z)
応用例：
Vistaかwin7のファイルの表示方法を設定するメニューがその例です。
523:１３２人目の素数さん
20/02/21 16:10:15.80 mdcv3RW3.net
色々整ったので>>399の答えが2であることを示します。
ちなみにR^2からR^nに変えても同様で、答えが2であることも言えます。
R^2は可算な開基を持つので、R^2の開集合の個数は連続体濃度。
よって、R^2の閉集合全体からなる集合の濃度も同じく連続体濃度である
ゆえに、定数でない連続写像 f:[0,1]→R^2 の像全体からなる集合Pは、
Pの各元が閉集合であるため、同じく連続体濃度を持つ。
これより、連続体濃度を持つ最小の基数をΩとおくと、PからΩへの全単射ωが存在。
超限帰納法により、R^2の点列 {a_p}_(p∈P), {b_p}_(p∈P) であって、
任意のp∈Pについて a_p≠b_p かつ
a_p, b_p ∈ p＼∪_(p'∈P, ω(p')<ω(p)){a_p',b_p'}
を満たすものが存在。
（任意のp∈Pについてpは連続体濃度を持つことと、
p'∈P であって ω(p')<ω(p) を満たすものの個数は連続体濃度未満であることに注意。）
B={b_p:p∈P} とおけば、任意のp∈Pについて
b_p∈p∩B, a_p∈p∩(R＼B)
を満たすので、これを用いて関数 f:R^2→{1,2} を
f(X)=1 (X∈Bの時), 2 (それ以外)
と定めれば良い。
524:１３２人目の素数さん
20/02/21 16:34:43.55 fwC6A4r9.net
>>500
BとR＼Bで>>488の例になるかな
525:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:20:15 mdcv3RW3.net
>>501
BもR＼Bも、どの弧とも共通部分を持たなければならないことを考えると、なると思う
でも、そのような例であれば他にも
Q∪C (Qは有理数、Cはカントール集合) とその補集合みたいな分割はできそう
526:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:35:15 +4K3m1jQ.net
>>500
まって。よくわからない。
b_pを構成するところにもfが出てくるけどコレは我々が作らないといけない関数f:R^2→{0,1}のfとは別物だよね？
目標としてる命題は
∃f:R^2→{0,1} ∀p:[0,1]→R^2 ‥‥
だからfの構成はpにdependしてはいけないはずだけど大丈夫？
527:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:35:42 fwC6A4r9.net
>>502
>Q∪C (Qは有理数、Cはカントール集合) とその補集合
なーるほど
ありがとう
528:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:37:06 fwC6A4r9.net
>>503
>だからfの構成はpにdependしてはいけないはずだけど大丈夫？
まずBを作ってそこからｆを作ってるから大丈夫
529:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:42:40 +4K3m1jQ.net
>>505
Bを作る時にPが出てきて、そのPはfから来てるけど、fは[0,1]からR^2への連続関数で好きなものとってくるの？
530:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:03:08 fwC6A4r9.net
>>506
納得いかないならPを定義しているところのｆはｇにでも名前変えてみたら？
531:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:03:59 +4K3m1jQ.net
>>507そのgはどんな関数を使ってもいいんですか？
532:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:07:10 +4K3m1jQ.net
わかった。
連続写像の像として得られる閉集合の全体がPか。
なるホロ
533:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:10:46 +4K3m1jQ.net
なるホロ、理解できた！
素晴らしい！
534:１３２人目の素数さん
20/02/21 19:40:02.37 tq3pzDtc.net
やべえ、fを複数箇所で使っちまった
必要であれば>>500は以下のように訂正して読んでください
誤
ゆえに、定数でない連続写像 f:[0,1]→R^2 の像全体からなる集合Pは、
正
ゆえに、区間[0,1]からR^2への定数でない連続写像の像全体からなる集合Pは、
535:１３２人目の素数さん
20/02/21 19:44:26.08 c3JnyBXm.net
一辺10[m]の正方形ABCDのプールがある
点Dでは水が湧き出しており、点Dからr[m]離れた場所では(r/10)[m/s]までのスピードでしか泳げない
点Aから正方形の中心まで泳ぐのに掛かる最短時間を求めよ
536:１３２人目の素数さん
20/02/21 20:03:43.60 +4K3m1jQ.net
>>512
> 点Dでは水が湧き出しており、点Dからr[m]離れた場所では(r/10)[m/s]までのスピードでしか泳げない
コレはその地点ではどっちの向きを向いていてもr/10？
Dに向かっていようがいまいが？
537:１３２人目の素数さん
20/02/21 20:24:20.47 TVsWXWvp.net
>>513
とりあえず問題文の通りどの向きでもr/10
さすがに向きによってスピード変わると難しくなる
そんな湧き出し方が現実に存在するかどうかは知らん
538:１３２人目の素数さん
20/02/21 21:07:21.95 +4K3m1jQ.net
>>514
なるほど。
じゃあ測地線求めよみたいなもんなのかな？
539:１３２人目の素数さん
20/02/21 21:21:12.09 fwC6A4r9.net
>>513
無意味な文章題だよな
こんな問題出題したら大顰蹙だ
540:１３２人目の素数さん
20/02/21 22:20:28.44 TVsWXWvp.net
>>515
測地線というより断面積最小化かな
>>516
まあじゃあ湧き出しじゃなくて場所によって水質や重さが違うってことにしてくれ
541:イナ
20/02/21 22:32:56.90 aeOjnxR9.net
前>>490
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって弧を描くようにt秒間泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2─①
距離について、
1･t-(1/2)at^2=2π･5(1/4)t-at^2/2=5π/2
2t-at^2=5π
542:①を代入すると、 2t-(1-1/√2)t=5π (1+1/√2)t=5π t=5π/(1+1/√2) =5π√2/(√2+1) =5π√2(√2-1) =π(10-5√2) =9.20151185……(秒)
543:１３２人目の素数さん
20/02/21 22:49:36.41 TVsWXWvp.net
>>518
不正解
544:１３２人目の素数さん
20/02/21 22:55:38.65 0m7ajDhv.net
>>517
断面積？
中心をE、AからEへのpathをp(t)(0<t<1)として所要時間は
T=∫[0,1] 10/r |x'(t)|dt
だから計量が
ds^2=(dx^2+dy^2)/r^2
のときの測地線を求めよになるのでは？
545:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:03:16.38 TVsWXWvp.net
>>520
失礼しました
f(x)=1/||x||のグラフ上で線積分をしてるから断面積を最小化するという考えです
たしかにそれなら測地線問題ですね
546:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:03:35.42 BKwvheo5.net
>>512
Dを原点として極座標(rcosθ,rsinθ)を取り
曲線θ=f(r), 5π/4=f(10√2)=f(5√2)上を泳ぐときの時間は
T(f)=∫[5π/4,10√2]√((cosθ-rsinθdθ/dr)^2+(sinθ+rcosθdθ/dr)^2)/(r/10)dr
=10∫[5π/4,10√2]√(1/r^2+(f'(θ))^2)dr
この最小値はf'(θ)=0のときで
minT(f)=10∫[5π/4,10√2](1/r)dr
=10log2
547:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:11:34.45 TVsWXWvp.net
>>522
不正解です
f’=0の場合、境界条件を満たしません
548:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:15:31.64 BKwvheo5.net
すまん、CとDを間違えた、522は取り消し
549:１３２人目の素数さん
20/02/22 00:34:08.75 P3wMpySS.net
>>512
極座標の曲線r=f(θ), 10=f(-π/2), 5√2=f(-π/4)上を泳ぐ時間は
T(f)=10∫[-π/2,-π/4]√(1+(f'(θ)/f(θ))^2)dθ
δT(f)=0に対するオイラーラグランジュの方程式は
-(f'/f)^2/(f√(1+(f'/f)^2))-(d/dθ)((f'/f)/(f√(1+(f'/f)^2)))=0
整理すると
(f'^2-f''f)(f^2+f'^2)^(-3/2)=0
この解はf(θ)=a e^(bθ)で境界条件を合わせると
f(θ)=10e^((-θ-π/2)(2log2)/π)
このとき
T(f)=10∫[-π/2,-π/4]√(1+(2log2/π)^2)/dθ
=(5/2)√(π^2+4(log2)^2)
550:イナ
20/02/22 01:05:26.06 XhKI0L4t.net
前>>518
8秒切るのかよ─。
泳ぐ経路は放物線か？
551:イナ
20/02/22 01:13:29.24 XhKI0L4t.net
前>>526
5/{4log(√5+2)}+5√5/2
=7.58390826(秒)
552:１３２人目の素数さん
20/02/22 01:18:59.63 gDsAB6h+.net
>>525
素晴らしい
正解です
>>527
不正解
553:イナ
20/02/22 04:04:04.64 XhKI0L4t.net
前>>527
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって放物線を描くようにt秒間泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2─①
距離について、
1･t-(1/2)at^2=1.4789･5
2t-at^2=14.789
①を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=14.789
(1+1/√2)t=14.789
t=14.789/(1+1/√2)
=14.789√2/(√2+1)
=14.789√2(√2-1)
=14.789(2-√2)
=8.66319563……(秒)
554:１３２人目の素数さん
20/02/22 05:31:26.48 E6KJT570.net
>>529
不正解
555:１３２人目の素数さん
20/02/22 12:16:05.82 0VJUtvuH.net
イナって小数好きだよね
556:イナ
20/02/22 12:49:16.26 XhKI0L4t.net
__∩∩__/__/__/__/__/
_((`.`)_/__/__/__/__/
_(っц~`～っﾞ_/∩∩_/
∥￣￣υ∥￣￣(`) )/
∥＼／∥∥＼／,U⌒ヽ/
__/__/__/__/_(＿＿＿)
__/__/＿/＿/＿/_UU__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/少数……。前>>529
__/__/__/__/__/__/__/
__/__/__/__/__ﾁｭ_/__/
__/_ц~_/__∩∩∩ξ､/
∥￣￣∥∥( (-(`) )/
∥＼／∥∥(`っ,U⌒ヽ/
__/__/__/_ι_(______)
__/＿/＿/＿υυ_UU__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/>>531好きだよ。愛してる。せやて数の大きさが実感できるじゃないか。
557:１３２人目の素数さん
20/02/22 16:04:26.49 InYZG21C.net
>>525
左上の頂点Dを極とする極座標ですね。
DP = f(θ) = 5･e^{-(2log2)θ/π} = 5･2^(-2θ/π),
T(f) = (5/2)√{π^2
558: + (2log2)^2} = 8.584657992882624266 (秒) 経路は対数らせん。
559:１３２人目の素数さん
20/02/22 17:47:24 InYZG21C.net
>>529
t秒後の速度と位置を
v = 1 - at,
AP = t - (a/2)tt,
とする。
AD=10(m), ∠PAD = 45ﾟ ゆえ
第二余弦定理より
(DP/10)^2 = 1 - (√2)(AP/10) + (AP/10)^2
≧ 1 - (√2)(AP/10)
= 1 - (√2){t -(a/2)tt}/10,
また
v^2 = (1-at)^2,
題意 (v ≦ DP/10) を満たすために
a = 1/(10√2),
とすると、到達時間は
t｡ - (a/2)t｡^2 = 5√2 = 1/(2a),
より
t｡ = 1/a = 10√2 = 14.1421356 (秒)
となり、止まってしまう････orz
560:イナ
20/02/22 18:37:12.15 XhKI0L4t.net
;;;;;;;;人;;;;;;;;;;
;;;;;;（＿）;;;;;;;;
;;;;;（＿＿);;;;;;;;
;;;;;（＿(`);;;;;;;;
;;;;;（＿_っ┓;;;;;;
;;ε=◎ﾞ┻υ◎ﾞ;;;;;
ﾎﾟﾝﾎﾟﾝﾎﾟﾝﾎﾟﾝ……。螺旋状に正方形の中心に近づくように泳いだほうがいいな。前>>532標的に対しできれば右回りで、左回りでもいいけどじゅうぶん近づいてから中心に切りこむ。湧水による減速を最小限にとどめるべきだ。
561: 【大吉】
20/02/23 00:37:59 2zPyHRoL.net
前>>535
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かってまっすぐ直線をt秒間泳ぐと、速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2─?
距離について、
1･t-(1/2)at^2=5√2
2t-at^2=14.1421356
?を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=14.1421356
(1+1/√2)t=14.1421356
t=14.1421356/(1+1/√2)
=20/(√2+1)
=20(√2-1)
=20･0.41421356……
=8.28427123……(秒)
あれ？ まっすぐ泳いだほうが速いのか。
562:１３２人目の素数さん
20/02/23 00:43:44 IKEuiMDY.net
>>536
経路も計算も不正解
563:１３２人目の素数さん
20/02/23 01:52:48.94 6rqZMHpY.net
長さが1の正三角形ABCの辺を単位長さが1オームの導線で結び、
辺AB,BC,CAに中点E,F,Gを取り、EF,FG,GEに対しても同じ導線で結ぶ。
さらに辺BCを共有する三角形EBFと三角形GFCに対しも同様にして辺の中点を取り導線で結ぶ。
この操作を無限に繰り返したとき、AB間とBC間の抵抗値を求めよ。
564:１３２人目の素数さん
20/02/23 02:59:55.72 D9pzXkW3.net
Aから、Dを中心とする半径10mの円周に沿って30ﾟ進む。v=1 (m/s)
20π/12 = 5.235988 (秒)
そこから対角線の交点に向かって y軸方向に直進する。
点(5,y) での速度は v ≦ DP/10 = (1/10)√(25+yy)
T = ∫[5,5√3] (1/v)dy
≧ ∫[5,5√3] (10/DP)dy
= ∫[5, 5√3] 10/√(25+yy) dy
= [ 10 arcsinh(y/5) ](5, 5√3)
= 10 (1.3169579-0.8813736)
= 4.355843 (秒)
これを合計して 9.591831 (秒)
565:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:04:18.09 IKEuiMDY.net
>>539
不正解
566:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:22:55 eIKUodWL.net
イナとかいう計算機にぶち込んで出てきた小数を脳死でレスして毎回間違う意味わからんクソコテ何者だよ
567:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:04:02.45 D9pzXkW3.net
>>536
v = 1-at,
AP = t -(a/2)t^2,
より
v^2 - (DP/10)^2
= (1-at)^2 - {1 -(√2)(AP/10) +(AP/10)^2}
= AP(10√2 -200a -AP) /100,
・ここで a = 1/(10√2) なら
v^2 - (DP/10)^2 = -(AP/10)^2 ≦ 0,
v ≦ DP/10 で題意を満たす。
・ところが
1-at｡= 1/√2,
t｡ -(a/2)t｡^2 = 5√2,
と置くと
a = 1/(20√2),
v^2 - (DP/10)^2 = AP(5√2 -AP)/100 ≧ 0,
v ≧ DP/10,
となり、題意を満たさない。
568:１３２人目の素数さん
20/02/23 06:49:54 rxwEFURs.net
F:R→RはC^2級で以下の条件を満たすとする
・ある定数0<c,Cがあり、c≦F’’(x)�
569:�C (x∈R) ・x^2≦F(x) (x∈R) このとき、min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) }が存在することを示せ.
570:１３２人目の素数さん
20/02/23 09:58:15 rxwEFURs.net
>>543
失礼しました修正します
任意のa,b∈Rに対して
min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) ,u(0)=a, u(1)=b}が存在することを示せ.
です
571:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 10:45:08 2zPyHRoL.net
前>>536
>>538
EA間の抵抗値は1/2[Ω]のはずだが、Eで三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/2)^3/(1/2+1/2+1/2)
=(1/8)/(3/2)
=1/12
になる。
BEの中点からEまでの間の抵抗値は1/4[Ω]のはずだが、BEの中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/4)^3/(1/4+1/4+1/4)
=(1/64)/(3/4)
=1/48
になる。
BとBEの中点の中点からBとBEの中点までの間の抵抗値は1/8[Ω]のはずだが、BとBEの中点の中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/8)^3/(1/8+1/8+1/8)
=(1/512)/(3/8)
=1/192
AB間の抵抗値は、
1/12+1/48+1/192+1/768+1/3072+……)
=(1/3)(1/4+1/16+1/64+1/256+1/1024+……)
=(1/3){1/(1-1/4)}
=4/9[Ω]
BC間の抵抗値は、
CA間の抵抗値がAB間の抵抗値と同じ4/9[Ω]だから、
推定すると、1/9[Ω]
572:１３２人目の素数さん
20/02/23 11:22:55.26 6rqZMHpY.net
>>545
不正解
573:１３２人目の素数さん
20/02/23 11:23:58.21 FPOdVTcq.net
イナさん絶好調
574:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 12:37:29 2zPyHRoL.net
前>>545
>>512
Aから初速1[m/秒]、加速度-a[m/秒^2]で螺旋を描くようにＬ[m]を減速しながらt[秒]泳ぎ、終速1/√2[m/秒]で正方形の中心に到達したとすると、
速度について1-at=1/√2
at=1-1/√2
距離についてt-(1/2)at^2=Ｌ
t{1-(1/2)(1-1/√2)}=Ｌ
t(1-1/2+1/2√2)=Ｌ
t(1/2+1/2√2)=Ｌ
t(2√2+1)/2√2=Ｌ
t=Ｌ･2√2/(2√2+1)
=Ｌ･2√2(2√2-1)/7
=Ｌ(8-2√2)/7
もしも今対数螺旋とかいうＬが、
Ｌ=5･(√2)^eなら、
t=5･(√2)^e･(8-2√2)/7
=9.4762526……(秒)
螺旋泳ぎおっせー。
短距離だからかな。
575:１３２人目の素数さん
20/02/23 13:12:59.17 x1qWF4GD.net
Aから対角線の交点まで直進する。
A付近では加速度aを大きく {a=1/(10√2)} せねばならんが、
そのままａ一定にすると、後半で遅くなり過ぎる。 >>534
制限速度いっぱいで直進すると
v = DP/10
= √{１ - (√2)AP/10 + (AP/10)^2}
= (1/√2)√{１ + (1 - AP/5√2)^2},
T = ∫[0,5√2] (1/v) dAP
= 10 ∫[0,1] 1/√(1+uu) du {← u = 1 - AP/(5√2)}
= 10 [ arcsinh(u) ](u=0,1)
= 10 arcsinh(1)
= 10 log(1+√2)
= 8.81373587 (秒)
2.7%ぐらい遅いが。。。
576:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:18:34.00 x1qWF4GD.net
A(0,-10)
B(10,-10)
C(10,0)
D(0,0)
とし、放物線 y = bxx -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから b=1/5.
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + (1-bxx/10)^2}
= √{1 - ((20b-1)/100)x^2 + (bb/100)x^4},
ds = √{1+(2bx)^2} dx,
T = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2} (10/DP) dx
= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2}/√{1 -((20b-1)/100)x^2 +(bb/100)x^4} dx
= 8.6463092 (秒)
0.72%ほど遅い。。。
577:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:56:48 x1qWF4GD.net
>>550
3次関数 y = cx^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから c=1/25.
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + [1 - (c/10)x^3]^2},
ds = √{1 + (3cxx)^2} dx,
T = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2} (10/DP) dx
= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2}/√{(x/10)^2 + [1-(c/10)x^3]^2} dx
= 8.78206166 (秒)
2.3%ぐらい遅い。遠回りし過ぎ？
578:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 15:15:40 2zPyHRoL.net
前>>548
一辺10[m]のプールのA側の1/4を使って螺旋状に泳ぐべく右蹴り足をやや強く蹴り、左に旋回しながら一周で半径と同じピッチ上がる螺旋の長さのぶんだけ時間がかかると考えて、
ピタゴラスの定理より、
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
=7.95283141……(秒)
最速!!
579:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/23 15:39:58 2zPyHRoL.net
前>>552
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって螺旋を描くようにt秒間で7.952813141[m]泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2─?
距離について、
1･t-(1/2)at^2=7.952813141
2t-at^2=15.90
580:5626282…… ?を代入すると、 2t-(1-1/√2)t=15.905626282…… (1+1/√2)t=15.905626282…… t=15.905626282(2-√2) =9.31730016……(秒) たいして速くない。
581:１３２人目の素数さん
20/02/23 15:44:26 x1qWF4GD.net
n次関数 y = d x^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから d=1/5^(n-1).
v = DP/10
= √{(x/10)^2 + [1 - (d/10)x^n]^2},
ds = √{1 + [nd･x^(n-1)]^2} dx,
T(n) = ∫[0,5] (1/v) ds
= ∫[0,5] √{1+[nd x^(n-1)]^2} (10/DP) dx
n T(n)
----------------------------------------------------
1 8.8137358702 +2.67% >>549
2 8.6463092000 +0.718 >>550
3 8.7820616603 +2.30% >>551
4 8.9261905925 +3.98%
5 9.0515773221 +5.44%
6 9.1577166076 +6.675
----------------------------------------------------
正解 8.5846579929 >>525 >>533
近似式 (n≧2)
8.584658{1 +0.0182(n-1.62) -0.0007(n-1.62)^2}
582:１３２人目の素数さん
20/02/23 16:15:53.38 UpuezNYO.net
>>512はもう>>525で答え出てるんじゃないの？
583:イナ
20/02/23 16:23:02.86 2zPyHRoL.net
√{π^2+(2log2)^2}
水平距離がπ、2πr=πとすると半径r=1/2
ピッチが2log2
─どういうことや？
前>>553ピタゴラスの定理より、螺旋の長さは、
√{π^2+(2log2)^2}
湧水の影響を避け螺旋状に中心に向かって右から旋回しながら中心に至る経路が最速なのはわかる。なんでピッチが2log2と一意に決まるのか。
584:１３２人目の素数さん
20/02/23 16:26:55 x1qWF4GD.net
訂正
n次関数 y = d･x^ｎ -10 でした。
n→∞ のときは直角に近づく。
横： A(0,-10) → (5,-10)
DP = √(100+xx),
∫[0,5] (10/DP)dx = 10∫[0,5] 1/√(100+xx) dx
= 10 [ arcsinh(x/10) ](x=0,5)
= 10 arcsinh(1/2)
= 10 logφ {φ=(1+√5)/2=1.618034}
= 4.8121182506 (秒)
縦：(5,-10) → X(5,-5)
DP = √(25+yy),
∫[5,10] (10/DY) dy = 10∫[5,10] 1/√(25+yy) dy
= 10 [ arcsinh(y/5) ](y=5,10)
= 10 {arcsinh(2) - arcsinh(1)}
= 10 {log(2+√5) - log(1+√2)}
= 10 (1.443635475 - 0.88137358702)
= 5.6226188816 (秒)
これを合計して
T(∞) = 10 log{(2+√5)(√2 -1)φ} = 10.4347371322 (秒)
585:１３２人目の素数さん
20/02/23 16:56:24.49 eIKUodWL.net
円卓の席に座る方法を考える。
4人席の場合、既に着席している4人が1,2,3,4と書かれたくじを引いて、反時計回りに1,2,3,4と並ぶように座り直すことにする。1の席が固定されているということはない。
すると、どのようにくじを引いたとしても高々2人の移動で済むことが簡単な考察で分かる。
では一般にn席あって着席済のn人が1,2,…,nと書かれたくじを引く時、移動しなければならない人は高々何人だろうか？
586:イナ
20/02/23 17:55:09.17 2zPyHRoL.net
前>>556
>>558
4人いたら2人移動。
5人いたら3人移動。
n人いたら、
高々n-2人移動すれば半時計回りに番号順に並べると思う。
587:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:33:17.01 SsuGIXB0.net
>>558
n人が『時計回りに』1,2,…,nの番号を引いた場合、
動かずに済む人数は、nが偶数の時2人、奇数の時1人となる。
また、どのようにくじを引いても1人は動かずに済むことから、
nが奇数の時の答えはn-1人であることがわかる。
nを偶数とし、Z/nZ上の任意の全単射fをとる。
g(x):=f(x)-x もZ/nZ上の全単射を与えていると仮定すると
Σ_(x∈Z/nZ) g(x) = Σ_(x∈Z/nZ) f(x) = Σ_(x∈Z/nZ) x = n/2 + nZ
となるが、これは
Σg(x) = - Σx + Σf(x)
と矛盾。ゆえにgは全単射でない。
�
588:ｵたがって、f(x)-f(y)=x-y を満たす異なる x,y∈Z/nZ が存在。 以上の考察から、n人がどのようにくじを引いても、2人は動かずに済む。 よって、nが偶数の時の答えはn-2人。
589:１３２人目の素数さん
20/02/23 23:22:59 UpDOmukV.net
>>560
素晴らしい
590:哀れな素人
20/02/24 10:25:37 Rt+v/L/g.net
以前、たしかこのスレに、
円に内接する多角形を三角形に分割したとき、
どのように分割しても、
それらの三角形の内接円半径の和は一定である、
という問題があったが、四角形の場合の証明が分った。
円に内接する四角形を、右上から左回りにABCDとし、
各辺をAから左回りにa、b、c、dとする。
円の中心Oからa、b、c、dに下ろした垂線をe、f、g、hとし、
対角線AC、BDに下ろした垂線をi、jとする。
また円の中心Oは△ABC、△BCDの外にあるとする。
また外接円半径をR、
△ABC、△ACDの内接円半径をr1、r2
△BCD、△ABDの内接円半径をr3、r4とする。
するとカルノーの定理により、
e+f-i=R+r1、g+h+i=R+r2 ⇒e+f+g+h=2R+r1+r2
f+g-j=R+r3、h+e+j=R+r4 ⇒e+f+g+h=2R+r3+r4
∴ r1+r2=r3+r4
591:１３２人目の素数さん
20/02/24 10:42:38 /4cfnoQR.net
それ日本の定理っていう名前がついてるやつか
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
592:１３２人目の素数さん
20/02/24 10:50:29.59 GWc2cyTj.net
へぇ、そんな名前がついてるのか。
593:１３２人目の素数さん
20/02/24 16:44:00.49 Gb7vk4DT.net
>>557
楕円 y = -√(100-kxx) に沿って進む。
対角線の交点X(5,-5) を通るから k=3,
v = DP/10
= (1/10)√{100-(k-1)xx},
dy/dx = kx/√(100-kxx),
ds = √{(100+k(k-1)xx)/(100-kxx)} dx,
T = ∫(1/v) ds
= 10∫[0,5] (1/DP)(ds/dx)dx
= 10∫[0,5] √{(100+k(k-1)xx)/((100-kxx)(100-(k-1)xx))} dx
= 8.6698357840
0.992%ほど遅い。
近似式
T(n) = 10.434737 - 4.8644/n^0.6 + 3.2450/n^1.2
594:１３２人目の素数さん
20/02/24 22:47:05.10 Gb7vk4DT.net
この式は n=1.61693 の辺りで極小値 8.61175 となる。(0.315%遅い)
この辺が曲線 y = 5(x/5)^n -10 に沿って進む場合の限界かな～
595:１３２人目の素数さん
20/02/25 13:34:37.50 xlZ4iTwN.net
URLﾘﾝｸ(matome.naver.jp)
Naver まとめ
おもしろく、素敵で、考えさせられる、大学入試問題 519gugさん 2015年01月23日
最も短い入試問題 （京都大学編）
tan１°は有理数か。
2006年 京都大学 後期 理系 第6問
超有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。
出典
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
596:１３２人目の素数さん
20/02/25 14:05:48.96 WMW0bPzH.net
>>567
>ほとんどの受験生が解けなかった
なんで？加法定理は有理式じゃん
597:１３２人目の素数さん
20/02/25 14:13:38.29 INCWFL/L.net
京都の後期受ける人ならみんな解けそうだけどな
598:１３２人目の素数さん
20/02/25 14:56:45.78 1YFg5R8p.net
>>567
tan１°が有理数であるならばtan30°も有理数で矛盾
599:１３２人目の素数さん
20/02/25 15:26:52.86 0KQ2py8l.net
4Dエンジンを作った。
回転する4Dの超立方体のサンプルが付いている。
画像とソースコードは：
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600:１３２人目の素数さん
20/02/25 20:20:32 9H9AGGze.net
そういう知識の活用ができる人は少ないって事でしょう
601:１３２人目の素数さん
20/02/26 21:29:35.91 3UGv2jT6.net
正の有理数
602: x,y,z は xyz=1 を満たし、自然数 a,b,c と a=12x(y+1),b=12y(z+1),c=12z(x+1) の関係がある。 a+b+c の値が 100と最も近いもの および、1000 と最も近いもの、および、10000 と最も近いものを見つけよ。
603:１３２人目の素数さん
20/02/27 02:03:08.51 f9GfmhOJ.net
1=144/(ab)+144/(bc)+144/(ca)+3456/(abc)
以下ry
604:１３２人目の素数さん
20/02/27 17:00:07 5cc8+UEj.net
(tan(x))^2が有理数となるxを決定せよ。
605:１３２人目の素数さん
20/02/27 18:49:07.28 hxZioUH7.net
訂正
(tan(π/n))^2が有理数となる自然数nを決定せよ。
606:１３２人目の素数さん
20/02/27 20:16:26.22 6SmBw6gg.net
>>570
tan(30ﾟ) が有理数でないことを示すには
sin(30ﾟ) = s とおく。
1 = sin(90ﾟ) = 3s -4s^3,
(s+1)(2s-1)^2 = 0,
s≠-1 だから s=1/2,
tan(30ﾟ) = s/√(1-ss) = 1/√3,
1/√3 が有理数でないことを示せばよい。
1/√3 が有理数だったと仮定すると
1/√3 = p/q (p,qは自然数)
q^2 = 3p^2,
ここで両辺を素因数分解すると
左辺の3の指数は偶数(または0)、右辺の3の指数は奇数
となって UFD に反する。 (矛盾)