20/02/10 02:58:04.66 FWWWRdtj.net
>>218
児童の数をn人とする
円周上にa1からanまでn個の点をとり、
これらをいくつか結んでa1を頂点に含む内接多角形をランダムに作る
（ただし便宜上、１角形と２角形も認める）
その多角形がanを頂点に含まない確率と同じ
264:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:00:30.77 421H1KJr.net
>>250
そんな解答が成立するならどんなに先手が有利なゲームでも先手後手の勝率1/2になってしまうのでは？
例えば今回のでも最初の人も途中で席がなかった人もサイコロ振って6が出た時は正解の席、すなわち最初の人は自分の席、それ以降の人は所有者が間違った席に着席してあぶれてる席に座り、それ以外の場合のみ自由にすわるルールにすれば確率は1/2でなくなるよ。
265:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:04:19.87 Mlme5M1c.net
>>253
本当にそのふたつの間に保測写像ある？
問題文の方は分母に1～nまでなんでも出てくるけど内接多角形の方は分母に二冪しか来ないけど？
266:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:10:38 FWWWRdtj.net
>>255
単純に多角形の数を数えて
anを含むk角形とanを含まないk-1角形の数が等しいので
全体として半分ずつになるって考えたんだがダメかな
267:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/10 03:14:35 Yw6JNRbB.net
前>>249前にx/√2にしてたx座標をxにして解きなおした。
最初に監視人がいる位置から救出地点(x,x)までの距離はx√2(m)
縁を端まで5秒、直角に曲がり、
{x-(10-x)/√3}(m)の地点まで、
{x-(10-x)/√3}(1/2)秒で行き、進行方向に対して60°の方向に飛びこんで泳ぎ、対角線上を泳いできた監視人と同時にアタックした。
(_(`.)っヾ(゜o゜)ノﾞc(`e'!彡
~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~
救出時間で立式すると、
x√2=5+{x-(10-x)(1/√3)}(1/2)+(10-x)(2/√3)
x√2=5+x/2-10/2√3+x/2√3+20/√3-2x/√3
x(√2-1/2-1+4)=5-10/2√3+20/√3
x=(30+10√3)/(3+2√6-√3)
=7.67326988……
x√2=10.8516423……(秒)
前にこの値出して最速じゃないとなったやつじゃないか。
268:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:33:58.76 b0ggZ9I3.net
>256
さぁ？
例えば6人だとして
325461
とすわる確率は
1/6x1x1/4x1x1/2
でこれは最後の人が自分の席に座れない場合にカウントされる軽率。
このような事象を全部足し合わせて1/2になる事を示せればいいといえばいい。
コレに3→5→6→3と結んで四角形と対応させてもいいけど確率は六角形から何点か好きに選ぶ1/64とはズレる。
269:１３２人目の素数さん
270:
>>256 すまん訂正 anを含むk角形ができる場合とanを含まない(n+1-k)角形ができる場合が対応してるんだった
271:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:44:09.98 qRxWZgbb.net
>>256あ、でもこの多角形論法はうまくやると1/2説明できるね。
素晴らしい。
272:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/10 05:26:24 Yw6JNRbB.net
前>>257
>>237
どっかで見覚えがある数値だと思ったら、>>31ですでにあってたんじゃないの？
273:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:00:44 YjGt8s3q.net
>>252
最初の2行は、空席の中にせいぜい一つの席しか、過ちがないということを言いたかった。
「なぜそのようなことが言えるか？ 」と書き、主題をこの点の説明に当てている。
そして、その説明の延長として、
「自分の番号札を無くしたのが、1番目の人か、（後ろから数えて）m番目の人か、区別できない」
点を指摘し、m=2の時を使えば簡単に確率の計算ができるので、それを使って答えを求めている。
状況を、「m-1人の正しい席が残っている」場合と「m人全ての正しい席が残っている」場合
に分け、それぞれについて、説明を加えたわけではない。
m人が残っている状態で、「m-1人の正しい席が残っている」確率と「m人全ての正しい席が残っている」
確率を求め、数学的帰納法を用いて、答えを求める方法もあるが、>>218では、その手段を用いていない。
>> m人全ての正しい席が残っている場合は、Aが正しい席に座っていた場合で追い出す必要はなくて
>> このときXは番号札を持っている状態に相当する
これは、Xが登場するまえのだれかが、自分の席が占拠されているのを見て、適当な席に座った。ただし、
その席がたまたまＡの席であって、それ以降に乗車する人たちへの悪影響がこの時点で断ち切られている状況にあたる。
もちろん、一番最初に乗車したＡ自身が、適当に座った座席がたまたま、本来のＡの席であることも
「含まれ」はするものの、「ＡがＡの席に座る」には完全対応はしない。
繰り返すが、「ＡがＣ、ＣがＧ、ＧがＡ」のように解決した場合であり、これには、「ＡがＡ」も含まれる。
274:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:02:35 YjGt8s3q.net
上の218への引用は、>>228への引用の間違い
275:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:18:46 vVxwssud.net
>>254
> そんな解答が成立するならどんなに先手が有利なゲームでも先手後手の勝率1/2になってしまうのでは？
> 例えば今回のでも最初の人も途中で席がなかった人もサイコロ振って6が出た時は正解の席、すなわち最初の人は自分の席、それ以降の人は所有者が間違った席に着席してあぶれてる席に座り、それ以外の場合のみ自由にすわるルールにすれば確率は1/2でなくなるよ。
そのルールは
> 最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける
には当たらないだろ？
> 確率は1/2でなくなるよ。
になっても何の問題ないだろう
>>250は帰納法の一種なんじゃじゃないかとは思うが
276:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:57:44.91 1+8rzOtr.net
>>264
その抽選論法で本当に正しい確率計算できるのか概略ではなく厳密に書き出したものを示してください。
277:１３２人目の素数さん
20/02/10 10:28:51.75 vVxwssud.net
>>254の論法が間違っているって言っているだけだよ
というか、この程度の論法(>>250)が正しいかぐらい自分で確認しろよ
> 最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける
が真かを確認するだけだろ
278:１３２人目の素数さん
20/02/10 10:33:13.78 1+8rzOtr.net
>>266
あなたは>>250の言ってる事がわかるんですか？
わたしにはFもLもなんか公平にやるゲームだから1/2って言ってるようにしか見えません。
正直戦略とかゲームとかいう言葉使いたいだけで証明もできてないんじゃないかと疑ってます。
279:１３２人目の素数さん
20/02/10 10:37:20.07 1+8rzOtr.net
あ、戦略とかは使ってないのか。
勝利とかいってるからゲーム理論を気取ってるのかと思った。
280:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:18:42 70pt9AB7.net
>>262
ありがとう、理解できた。
281:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:45:00 YjGt8s3q.net
>>218
この問題は、次の問題と対応が可能。
カードがｎ枚あり、それぞれに、１からｎまでの数字が書かれている。
これらのカードを袋に入れる。
プレイヤーは、１からｎの中から、勝ち番号と、負け番号を決め、
勝ち番号、または、負け番号が書かれているカードが出るまで、袋の中からカードを選び続ける。
勝ち番号を引いて終了する確率は？ → 当然1/2と考えられます。
取り出された数字列を、適当に選ばれて座られてしまった座席番号に対応させます。
（失念か、すでに占拠されていたか、理由は問わない）
先頭の人の本当の座席番号を先に引くか、最後の人の座席番号を先に引くかが、
先頭の人の本当の座席番号を引いて横取り連鎖が途中で終了するか、
最後の人の座席番号を引いて、横取り連鎖に最後の人も引き込むかが決定され、
問題で言うところの、最後の人が正しい席に座れるか、座れないかに対応可能です。
アイデアのほとんどは >>250さんが指摘されたもので、対応がわかりやすくなるよう少々アレンジしてます。
282:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:50:09 KXMXye1h.net
日本最高学費の底辺私立医大では
１年：進級失敗１０人
２年：進級失敗１６人
３年：進級失敗３４人
４年：進級失敗９人
５年：進級失敗１０人
６年：卒業失敗２６人
一学年約120～130人前後。
同じ学年で二回留年すると退学
ｽﾚﾘﾝｸ(doctor板:1番)
であるという。
1年次学費総額 12,145,000円 2年次以降学費（年間） 7,030,000円
1学年を125人として上記データから算出した確率（例、1年次は10/125の確率で留年）を用いて
卒業できる確率と卒業生の在学年数の期待値を求めよ。
また、退学になる確率と退学者の在学年数の期待値を求めよ。
283:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:56:54 XWhjucY0.net
>>254
その場合最初の人の着席においてFとLが等確率の抽選を受けていないので当然結果は変わってくると思いますが
284:１３２人目の素数さん
20/02/10 19:42:14 yBFcK3Lr.net
ある小学校のあるクラスでは、バスで遠足に行くことになった。
バスの座席は事前に決まっていたが、最初にバスに乗った児童が自分の座席を忘れて、任意の座席に座ってしまった。
他の児童は、一人ずつバスに乗り込み、自分の座席が空いていればその座席に、そうでなければ空いている任意の座席に座った。
クラスの人数をnとして自分の席に座れる生徒数の期待値をe[n]とするときlim e[n]/log(n)を求めよ。
自作。
できないかも。
285:１３２人目の素数さん
20/02/10 19:46:52.71 yBFcK3Lr.net
>>273
訂正
lim(n-e(n))/log(n)
です。
286:イナ
20/02/11 02:59:50.00 EsKbfXIQ.net
前>>261
>>271卒業できる確率は、
8(4/23)+12.8(20/99)+(3400/99)(4/13)+(180/13)(5/14)+(125/7)(10/23)+(1300/23)
=83.7751427……(％)
在学年数の期待値は、
6(16/83.7751427……)+7{(83.7751427-16)/83.7751427}
=6.80901256(年)
退学になる確率は、
100-83.7751427……
=16.2248572……(％)
退学者の在学年数の期待値は、
1(10/125)(16/115)+2(10/125)(34/115)+3(/)+4(/)+5(/)+6(/)+7(/)もう少し。
287:１３２人目の素数さん
20/02/11 08:57:04.35 W39lcV+G.net
>>275
現実世界の計算しにくい問題にも関わらずレスありがとうございます。
面倒な計算を誤答をものとのせず続けられる気力にはいつも関心します。揶揄ではありません。
で、いつもの通り、用意した答とは違います。
自作問題ですが、シミュレーション値と合致した理論値が出せました。場合分けが面倒なので場合分けもプログラムにさせました。
シミュレーションは指定の確率で乱数発生させて計算させました。
ほぼ一致する値でした。
288:１３２人目の素数さん
20/02/11 09:56:58 5Rrv77pM.net
>>276
補足
シミュレーションでの結果は以下の通り
> mean(RE[,2]==7) # 卒業確率
[1] 0.85482
> mean(RE[RE[,2]==7,1]) # 卒業までの在学年数
[1] 6.712606
> mean(tu(RE[RE[,2]==7,1])) # 卒業までの学費
[1] 52304621
> mean(RE[,3]==2) # 退学確率
[1] 0.14518
> mean(RE[RE[,3]==2,1]) # 退学までの在学年数
[1] 4.99139
> mean(tu(RE[RE[,3]==2,1])) # 退学までの学費
[1] 40204472
q=1-p # 留年確率,p=進級確率
(P=prod(1-q^2)) # 卒業できる確率 Π{1 - (2年連続留年確率)}
(Q=1-P) # 退学となる確率
の結果と近似しています。
289:１３２人目の素数さん
20/02/11 10:08:53
290:.30 ID:1ttWTA4N.net
291:１３２人目の素数さん
20/02/11 11:06:18.93 zI9vXMIC.net
>>278
正解です。
想定解答は>>222と一緒。
最後からk番目の生徒が正しい席に座れたとき0、そうでないとき1をとる変数をXkとする。
k:1～n-1のとき
p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が最初の生徒の席かまたは最後からk番目の席～最後の席に座る)
= (最初の生徒が最後からk番目の席以外に座る|最初の生徒が最初の生徒の席かまたは最後からk番目の席～最後の席に座る)
=k/(k+1)。
p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が2番目の席から最後からk-1番目の席に座る)=k/(k+1)
(∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)。
∴ p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる)=k/(k+1)。
∴E(Xk)=1/(k+1)
明らかにE(Xn)=(n-1)/n
∴n-e(n)=Σ[k:1～n-1]1/(k+1)+(n-1)/n～log(n)。
292:１３２人目の素数さん
20/02/11 14:17:21 7sbhOFJk.net
オリジナルですが答えはありません。ただ気になったので投稿します
実数の配列 a[i,j] (i,j∊Z) が全ての格子点(i,j)で 4a[i,j]=a[i+1,j]+a[i-1,j]+a[i,j+1]+a[i,j-1] を満たす時、aを調和配列と呼ぶことにする。
次を満たす実数α≧0の下限はいくらか：
調和配列aが任意の格子点Xについて |a[X]|≦|X|^α を満たすならばaは定数である。ただし、|X|は点Xの原点からの距離を表す。
293:１３２人目の素数さん
20/02/11 14:23:06 j1jqA7X+.net
>>280
違う、上限でした
294:１３２人目の素数さん
20/02/11 14:58:24 5Rrv77pM.net
卒業できる確率 ： 4750970704397512 / 5551115123125783 = 0.85585879575891107187420816324627437826646454687092053
退学の確率 ： 800144418728271 / 5551115123125783 = 0.144141204241088928125791836753725621733535453129079468759
295:１３２人目の素数さん
20/02/11 16:55:37.06 CVYz5IRs.net
単位円上の2n個の点A1,B1,‥,An,Bnを一様独立に選び円盤をn個の線分線分A1B1,‥,AnBnで分割するとき、できる小領域の個数の期待値を求めよ。
296:１３２人目の素数さん
20/02/12 00:29:09.72 Q6IpDgid.net
>>280
とりあえず今のところこのスレでは>>240さんの証明しか上がってない。
この方針でいくなら非負実数αが条件
Σ(c(p+2,q)-c(p,q)|(|p|+|q|}^α→0 (n→∞)‥‥(※)
が成り立つならそのαは>>280の条件をみたしたりしないかな？
まだ>>240が完全に理解できてはいないからわかんないけど。
もし(※)を満たす非負の実数が0しかないなら今んとこαを改善できる見込みあるレスは上がってないな。
297:イナ
20/02/12 02:21:36.56 hcOGUVCg.net
前>>275
>>283
n=1のとき2(個)
n=2のとき、
3(1/2)+4(1/2)=3.5(個)
n=3のとき、
4(1/8)+5(1/8)+6(1/4)+7(1/2)=(9+12+28)/8
=6.125(個)
n=4のとき最大11個、最小5個
5(1/64)+6(1/64)+7(1/32)+8(1/16)+9(1/8)+10(1/4)+11(1/2)
=(5+6+14+32+72+160+352)/64
=10.015625(個)
n=5のとき最大16個、最小6個
=(6+7+16+36+80+176+384+640+192+1280+512+2560+1280)/1024
=(7149+8192)/1024
=15341/1024
=14.9814453……
n=6のとき、最小7、最大22
7(1/2)^15+8(1/2)^15+9(1/2)^14+10(1/2)^13+11(1/2)^12+12(1/2)^11+13(1/2)^10+14(1/2)^9+15(1/2)^8+16(1/2)^7+17(1/2)^6+18(1/2)^5+……+22(1/2)
n本の直線で分割した領域の個数の期待値は、
(n+1)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+2)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+3(1/2)^{n(n-1)/2-1}+……+{n(n+1)/2+1}(1/2)
ブロックくずしのように簡単になるのか、lim[n→+∞]に飛ばすのか、通分か。
298:１３２人目の素数さん
20/02/12 04:10:08.56 1Q0cdG25.net
毎度思うけど思考過程をレスするの何？
〇〇となり……ああ違うか。みたいなの誰も求めてないし数学の試験でそんなこと書くか？
ちゃんとオフラインで答えに辿り着いてからそれを纏めて書けよ
299:１３２人目の素数さん
20/02/12 07:34:56 eWvaFFv2.net
>>285
n=1のときだけは正解です。
300:１３２人目の素数さん
20/02/12 10:02:20 EmPEyxMI.net
日本数オリ本選の問題が出ました
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
301:１３２人目の素数さん
20/02/12 10:17:58 2Z9zzZPK.net
>>284
(※)は使えそうですね
実際には Σ|c[p+2,q]-c[p,q]|=2Σc[0,q] の値は積分を使って
C(1+o(1))/√n (as n→∞, ただし定数Cはabsolute) となることが計算できるので、
|Σ(a[0,0]-a[2,0])|
≦Σ|c[p+2,q]-c[p,q]|(|p|+|q|)^α
≦C(1+o(1)) ･ n^(α - 1/2) (∵|p|+|q|>n の時に係数が0となるため、|p|+|q|≦n の範囲で和をとれば良い)
という評価が得られます。
a[0,0]とa[2,0]の差以外にも同様のことが言えるので、結局 α<1/2 は条件を満たすことが導けると思います。
ちなみに一方で a[i,j]:=i (∀(i,j)∈Z^2) という例から、α≧1は条件を満たさないことがわかります
302:イナ
20/02/12 14:44:38.94 hcOGUVCg.net
前>>285え？ >>283n=2のとき違うの？ なんで？ クロスする確率とクロスしない確率は1/2ずつじゃないのかい？
／∥__`∥￣￣∥彡ミ､∥
∥∩∩ ∥ □ ∥^o^川 `
（ (`)∥ ∥цc_)＼
（っ⌒⌒ ｡∥＼____/
■`(_)_)ц~ ∥､∥__∥
＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
303:１３２人目の素数さん
20/02/12 15:08:05.33 IJFWAL+A.net
>>200
ヒント。
ホントは積分で求めるんだけど裏技。
まず4点選ぶ。
後でどれをA1B1A2B2と割り振るか決める。
304:１３２人目の素数さん
20/02/12 16:25:29.15 U1ltP3xX.net
点O中心の半径1の円の内部に点Oと異なる点Aを取る。
半直線OA上にOA・OB=1なる点Bを取る。
円周上に点P,Qを、直線PQに関して点O,A,Bが同じ側に来るように任意に取る。この3点はいずれも直線PQ上に無い。
直線PQに関してAと線対称な点をDとする。
△PBD∽△OBQを示せ。
305:１３２人目の素数さん
20/02/12 16:45:23.52 2rGgcqMY.net
>>283
四点A1,B1,A2,B2の偏角を小さい順に並べると1122,2211,1221,2112,1212,2121の六通り
このうち、先の四つは線分が互いに�
306:墲轤ﾈい場合であり、後の二つは交わる場合である つまり、ランダムに決めた二つの線分が交わる確率は1/3 n本の線分により円が分割されているとき、新たに一本の線分を加えるとする このとき新しい線分が既存の線分と交わらなければ、分割される領域は一つ増える 既存の線分一本と交わるなら領域は二つ増え、既存の線分二本と交わるなら領域は三つ増える つまり、新しい線分が既存の線分と交わった本数+1の領域が新たに増える 新しい線分を引いたとき、既存の線分n本のうち交わる本数の期待値はn/3だから、 領域の数の増分の期待値はn/3+1となり、 n本の線分で分割されたときの領域の数の期待値をI(n)と置くと、I(n+1)=I(n)+n/3+1と書ける I(n)-I(1)=(n(n-1)/2)/3+(n-1)、I(1)=2は自明なので、I(n)=n(n-1)/6+n+1
307:１３２人目の素数さん
20/02/12 17:23:00.93 IJFWAL+A.net
>>292
PQの垂直二等分線が実軸でOが原点となる複素座標を設定する。
Aの実軸対称点をCとする。
ABCDPQの複素座標をabcdpqとする。
PDをPQ、実軸で続けて対称移動するとQCに移るからd-p=q-cである。
またAが単位円に関する反転でCはその実軸反転だからc=1/bである。
P,Qは単位円上かつ実軸対称だからpq=1である。
以上により
(d-p)/(b-p)
=(q-c)/(b-p)
=(1/p-1/b)/(b-p)
=1/(pb)
=(q-0)/(b-0)
であるから△BDPと△BQOは相似である。
308:１３２人目の素数さん
20/02/12 17:24:07.93 IJFWAL+A.net
>>293
正解！GJ!
309:１３２人目の素数さん
20/02/12 20:04:24.39 2rGgcqMY.net
>>291
積分でやってみた
A1,B1,A2,B2の偏角を0,X,Y,Zとして、A1を固定し、後の三つを確率変数と考える
それぞれ独立に0から2πの間の値を取る一様分布に従うので、確率密度関数は1/(2π)^3となる
YとZが共に0とXの間の値を取る確率は、
∫[0,2π]∫[0,x]∫[0,x]dydzdx/(2π)^3=∫[0,2π]{x^2/(2π)^3}dx=1/3
Yが0とTの間、ZがTと2πの間の値を取る確率は、
∫[0,2π]∫[0,t]∫[t,2π]dydzdx/(2π)^3=∫[0,2π]{x(2π-x)/(2π)^3}dx=1/6
二線分が交わらない確率=YとZが共に0とXの間または共にXと2πの間である確率=1/3+1/3=2/3
二線分が交わる確率=Yが0とTの間でZがTと2πの間またはその逆となる確率=1/6+1/6=1/3
310:１３２人目の素数さん
20/02/12 21:12:47.06 IJFWAL+A.net
>>296
おお、素晴らしい！
ここで受験数学お馴染みの1/6公式が出てくるのがへぇと思いました。
311:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/12 22:25:41 hcOGUVCg.net
前>>290
>>283
n=1のとき2
n=2のとき3(2/3)+4(1/3)=3.33……
n=3のとき4(2/3)^2+5･3(2/3)(1/3)+6(1/3)(2/3)+7(1/3)^2
=(4+10+12+7)/9
=3.66……
急にnやn+1に飛んだらだれもわからないだろう。途中をちゃんとやってほしい。
n=4のとき5(2/3)^3+6(2/3)^2(1/3)+7(2/3)(1/3)^2+8(/)+9(/)+10(1/3)^2(2/3)+11(1/3)^3Ψ`o`Ψ
312:１３２人目の素数さん
20/02/12 22:36:00 cpT3giHz.net
不正解
313:１３２人目の素数さん
20/02/12 22:51:26 MTHiudft.net
とりあえずn=3のときn=2と同じようにやってみればいい。
6点適当に選ぶ。
ただし三点が一点で交わるような特殊なケースは確率0なので無視する。
反時計回りに123456として2個組ずつわける。
12,34,56
12,35,46,
‥
で何通りできるか？
小領域が4つになるのは何通りか？
小領域が5つになるのは何通りか？
小領域が6つになるのは何通りか？
小領域が7つになるのは何通りか？
期待値は？
314:１３２人目の素数さん
20/02/12 23:04:11 2rGgcqMY.net
>>298
m本の線分に交わる線を引くと、そのm本で分割されていたm+1個の領域の上を通ることになる
つまりm+1個の領域を切ることになるので、領域の数は倍化され、m+1個の領域が新たに増えることになる
315:イナ
20/02/12 23:55:09.29 hcOGUVCg.net
前>>298
>>301
2本の直線と交差する直線を引くと領域が3個増えることはわかってる。
つまりm=2のとき意味が通じる。
けど交差しないときの確率を足さないかんだろ。
n=3のとき領域が4個になるのは交差しないとき。
n=2のときの考察からして
316:交差するときが1/3で交差しないときが2/3じゃないのか？ 4(2/3)^2+5･3(2/3)(1/3)+6(1/3)^2+7(1/3)^3 =(16+30+18+7)/27 =71/27 この計算、 2/3+2/9+1/9+1/27が1になるときじゃないと意味ないんだよ。
317:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:09:21 ARUap2be.net
A1B1とA2B2が交差する確率は1/3、
A2B2とA3B3が交差する確率は1/3、
A3B3とA1B1が交差する確率は1/3、
しかし交点が３つできる確率はこの３つをかけてもダメ。
かけて求められるのはコレらの事象が独立の時。
独立ではないのでダメです。
318:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:15:15 906Gyp6n.net
調和配列について考えてたけど、どうも何かがおかしい気がする…
>>195 のeの構成って本当に合ってる？
以下の要領で、原点以外の全ての格子点で調和的な有界配列は定数しか存在しないことが示せそうなんだけど…
配列aを a[0,0]=1 かつ a[X]≧0 (∀X∈Z^2) を満たす、原点以外で調和的な有界配列とする。
aの下限 inf_(X∈Z^2) a[X] を0としてよい。a[X]=0 を満たす格子点Xは存在できないことに注意。
配列の列 b_n を
b_n[0,0] = 1 (n≧0)
b_0[p,q] = 0 ( (p,q)は原点以外の格子点)
b_(n+1)[p,q] = b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1] ( (p,q)は原点以外, n≧0)
により定めると、帰納的に
b_n[p,q]≦b_(n+1)[p,q]≦1 (p,qは全ての整数, n≧0)
が導けるため極限 b[p,q]=lim_(n→∞) b_n[p,q] が存在し、
配列 b が原点以外で調和的であることもわかる。また、各nについて
b_n[p,q]=b_n[-p,q]=b_n[p,-q]=b_n[q,p]
0≦p かつ 0≦q ならば b_n[p,q]≧b_n[p+1,q]
1≦p≦q ならば b_n[p,q]≧b_n[p-1,q+1]
b_n[p,q]≦a[p,q]
が成り立つことが帰納的に示せるため、n→∞とすることでbについても同様のことが言える。
配列aの下限が0かつ全ての格子点Xについてa[X]>0であることから、
格子点の列 X_n=(p_n,q_n) であって
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=0
を満たすものが存在。これより、格子点(p,q)が max(|p|,|q|)≧|p_n|+|q_n| を満たすならば
b[p,q] ≦ b[|p_n|+|q_n|] ≦ b[p_n,q_n] ≦ a[p_n,q_n]
であるから、格子点Xについて|X|→∞ならばb[X]→0が成り立つ。
一旦ここまで。
319:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:18:26 906Gyp6n.net
>>304
訂正。配列の列b_nの漸化式について
誤
b_(n+1)[p,q] = b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1]
正
b_(n+1)[p,q] = (b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1])/4
320:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:23:06 906Gyp6n.net
>>304
何度も申し訳ない、もう１つ訂正。
格子点列X_nについて
誤
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=0
正
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=∞
321:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:49:32.88 av6dLTOA.net
>>304
もちろんeは原点て
4e[0,0]=e[1,0]+e[-1,0]+e[0,1]+e[0,-1]
を満たしてませんよ。
4e[i,j]=e[i+1,j]+e[-i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]
はキルヒホッフの法則
(e[i+1,j]-e[i,j]}+(e[-i-1,j] -e[i,j]}+(e[i,j+1]-e[i,j]}+(e[i,j-1] -e[i,j]}=0
を変形したものですが、原点は電極がついてて電流を吸い出してるのでこの等式が成立していません。
>>195のeは上に有界なのでもし全ての点で上の等式が成立するなら雨宮の定理により定数になってしまいます。
322:１３２人目の素数さん
20/02/13 02:15:11.71 aaGAJwRB.net
>>283
(n+2)(n+3)/6 かな
導出過程はこれから考えるw
323:イナ
20/02/13 02:22:24.68 7VewwRjX.net
前>>302いきなりnとかmとかで一般項出して解きだす奴は偽者か曲者。1面2面クリアして今3面。
n=3のとき最小が4で最大が7、
4(2/3)(3/4)(1/4)+5(2/3)(4/6)+6(1/3)(4/6)+7(1/3)(2/6)
=4(1/8)+5(4/9)+6(2/9)+7(7/24)
=1/2+32/9+49/24
=(36+256+147)/72
=439/72
=6.0972……
ちょっとマシになった。
324:１３２人目の素数さん
20/02/13 02:22:32.49 aaGAJwRB.net
>>308
交点の可能な数は n(n-1)/2 である
1≦i<j≦nとしてAiBiとAjBjが交差する確率は各々1/3なの
325:だから、 交点の数の期待値は n(n-1)/6 領域の数の期待値は (n+1)+n(n-1)/6 = (n+2)(n+3)/6
326:１３２人目の素数さん
20/02/13 03:08:45.48 aaGAJwRB.net
おっと、283は>>293で既に解かれていたか
まだ続いてるのかと思ったw
327:哀れな素人
20/02/13 09:53:51 ij5lRW2v.net
>>292
初等幾何的証明
ABを直径とする小円を描けば、出題の二つの三角形と相似な
二つの三角形を小円の中に作図できる。
大円と小円の交点をE、F、EFとABの交点をG、
DBと小円、QBと小円の交点をそれぞれH、I、
IGの延長と小円の交点をJ、JHとPBの交点をKとすると、
△KHB∽△GIBで、この二つの三角形は出題の二つの三角形と相似である。
∠H＝∠Iであることはすぐに分かる。
あとは∠KBH＝∠GBIであることを示せばよいが、
これが意外と難しく、今のところ未解決。
328:１３２人目の素数さん
20/02/13 10:12:32 906Gyp6n.net
>>307
eが原点で調和的でないことはわかっているのですが、問題はそこではなくて、>>304の通り
『原点以外の』全ての格子点で調和的な有界配列は定数しか存在しない
ということを示せてしまう、ということなのです
↓↓304の続き↓↓
c=4b[0,0]-b[1,0]-b[-1,0]-b[0,1]-b[0,-1] とおくと、整数n≧2について
cn = Σ_(m=1,n) c
= Σ_(m=1,n) Σ_(|p|,|q|<m) 4b[p,q] - b[p+1,q] - b[p-1,q] - b[p,q+1] - b[p,q-1]
= Σ_(m=1,n) Σ_(|p|<m) - b[m,p] - b[-m,p] - b[p,m] - b[p,-m] + b[m-1,p] + b[1-m,p] + b[p,m-1] + b[p,1-m]
= 4b[0,0] + ( Σ_(p=1,n) 2b[p,p] + 2b[p,-p] + 2b[-p,p] + 2b[-p,-p] ) - ( Σ_(|p|<n) b[n,p] + b[-n,p] + b[p,n] + b[p,-n] )
= o(n) (as n→∞)
より矛盾。したがって、a は定数でなければならない。
329:１３２人目の素数さん
20/02/13 10:17:09 ctEQzeqL.net
>>313
eは0以上の値をとりますが有界ではありませんよ。
>>204で示されています。
330:１３２人目の素数さん
20/02/13 10:26:22 906Gyp6n.net
>>314
あら失礼しました… >>195しか見てませんでした
331:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/13 10:35:30 7VewwRjX.net
前>>309
>>311つづけてください。
n=3から。
さあ。
3のとき5、
4のとき7、
6のとき12です。
332:１３２人目の素数さん
20/02/13 10:53:38.12 Tf6czv/B.net
4e(i+1,j)+ e(i-1,j)+ e(i,j+1)+ e(i,j-1)
=
∫[～] (1-cos((x+y)(i+1))cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)(i-1))cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)(j+1)))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)(j-1)))/(1-cosxcosy)dxdy
-4 ∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] (2-2cos(x+y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
+∫[～] (2-2cos(x-y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
-4 ∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] 4(1-cos(x)cos(y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
-∫[～] 4(1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] 4cos((x+y)i)cos((x-y)j))dxdy
=
δ[i0]δ[j0]16π^2
になるハズ。
333:１３２人目の素数さん
20/02/13 11:54:57.76 906Gyp6n.net
そうすると >>242 の最後の主張も訂正する必要がありそうだ
誤
あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たすような有界配列 a は
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
と表せる。
正
あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たす配列 a であって、
任意の定数 ε>0 について |a[X]|=O(|X|^ε) を満たすようなものは、
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
に限られる。
334:１３２人目の素数さん
20/02/13 13:21:59.82 WiJ7Z5mz.net
>>292
これ今年の灘高校の入試問題じゃん
335:哀れな素人
20/02/13 17:43:48 ij5lRW2v.net
>>312の続き
HBとEIが垂直であることを示すことができれば証明完了。
なぜなら、その場合、∠BHAは直角だからHAとEIは平行。
すると∠AHIとHIEは錯角だから等しい。
すると∠ABI＝∠AHI＝∠HIE＝∠EBH
∠Hと∠Iは同一円周角で等しいことがすでに示されているから、証明完了。
しかしHBとEIが垂直であることを示すことが難しい。
灘高校の入試問題なら、もっと簡単な解法があるに違いない（笑
336:１３２人目の素数さん
20/02/13 19:53:39.15 uH+myoBI.net
n,kは自然数でk≦nとする。
穴の開いた2k個の白玉と2n-2k個の黒玉にひ
337:もを通して輪を作る。 このとき適当な2箇所でひもを切ってn個ずつの2組に分け、 どちらの組も白玉k個、黒玉n-k個からなるようにできることを示せ。 (某大学文系過去問 - 中学生の知識で解ける)
338:１３２人目の素数さん
20/02/13 20:23:54.06 iOaxVOmG.net
>>321
上半分の赤の個数について考える。
玉一つ分時計回りに回したとき上半分のあかの数はそままか、一個増えるか一個減るのいずれか。
半周回したとき上半分と下半分が入れ替わるのでどっかの時点でピッタリ半分になる。
339:１３２人目の素数さん
20/02/13 20:38:32.25 uH+myoBI.net
>>322
早いね、正解。
要は離散版中間値の定理(自明)。
340:１３２人目の素数さん
20/02/13 22:30:53.03 VUrdGB1K.net
>>280
でけた。上限は1。
全域で調和的な配列aが、ある α<1 について a[X]=O(|X|^α) を満たしていると仮定。
((Δ^n)a)[0,0] における a[-n+p+q,p-q] の係数c_n[p,q]は
((1+x)(1+y)/4)^n における (x^p)(y^q) の係数と一致。つまり
c_n[p,q] = 4^(-n)･C(n,p)･C(n,q). （ただし大文字のCは二項係数）
よって、 (Δ^(2n+1)a)([1,0]+[-1,0]-[0,1]-[0,-1]) の係数の絶対値の総和は
Σ_(p,qは整数) 4^(-n)･|C(2n+1,p)-C(2n+1,p-1)|･|C(2n+1,q)-C(2n+1,q-1)|
=4C(2n+1,n)^2
=K/n･(1+o(1)). （ただしKはある定数）
であるから、
|a[1,0]+a[-1,0]-a[0,1]-a[0,-1]|
≦K(1+o(1))･2^α･n^(α-1)→0 (as n→∞)
より a[1,0]+a[-1,0]=a[0,1]+a[0,-1].
これと Δa=a より a[1,0]+a[-1,0]=2a[0,0].
同様にして、任意にjを固定した時に a[i,j] が等差列をなすことがわかるが、|a[X]|=o(|X|) より a[i,j] はiに依存しない。
同様にしてjに依存しないこともわかるため、aは定数。
341:１３２人目の素数さん
20/02/13 22:35:41.28 iOaxVOmG.net
>>324
おお、素晴らしい。gj
342:１３２人目の素数さん
20/02/13 23:51:21.39 iOaxVOmG.net
このスレで度々見かける某パズル本からの出題。
2人の修行僧がそれぞれ二つの山を登る。
2人とも同じ海抜の麓の地点から登頂を始め、ゴールの山頂の海抜も同じである。
各々の僧は山頂までの一本道の山道のみを移動する。
どちらの道も途中の地点ではスタート地点より海抜が高く、ゴール地点より海抜は低い。
この時2人の僧の登頂をうまく調節していずれの時点でも2人の海抜が完全に一致する様にして登頂をすることは可能であろうか？
2人の僧に許される行動は山道を進むか戻るか立ち止まるかのみである。
この問題の原題の設定はこれだけで当然暗黙の了解としてスタート地点からの道のりと海抜を与える関数が連続である事は仮定できます。
それはいいんですが、(そりゃそうでしょう)、パズル本の模範解答はできるで、私にはその解答はその連続関数になにか区分的に滑らかみたいな仮定がないと成立してないように思えます。
どなたか連続だけの仮定の元での肯定的な解答作れますでしょうか？
343:イナ
20/02/13 23:58:27.97 7VewwRjX.net
前>>316
>>322-323赤玉どっから出てきたん？ 白玉と黒玉やろ。
344:１３２人目の素数さん
20/02/14 00:01:24.99 ekmNRCqQ.net
ちゃんと数学的に書けば
連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？
です。
f,gの連続性にある程度強い仮定があれば簡単なんですけど。
345:１３２人目の素数さん
20/02/14 00:02:35.07 ekmNRCqQ.net
>>328は>>326の続きです。
346:１３２人目の素数さん
20/02/14 01:33:49.02 1dEsnuQN.net
>>328
f(x)=2x (0≦x<1/4)
f(x)=1/2 (1/4≦x<3/4)
f(x)=2x-1 (1/4≦x≦1)
g(x)=1/2+|x-1/2|sin((π/4)/(x-1/2))
の場合は登山五合目付近でp(t)が不連続になると思われる
347:１３２人目の素数さん
20/02/14 02:57:15.90 ekmNRCqQ.net
>>330
その程度の関数なら本に載ってる解答の肯定的解答がそのまま通用します。
348:１３２人目の素数さん
20/02/14 02:59:45.62 1dEsnuQN.net
>>328
条件を強くして道のりが微分可能でもダメみたい。
f(x)=1/2-(1/2)e^(4+1/(x-1/4)) (x<1/4)
f(x)=1/2 (1/4≦x≦3/4)
f(x)=1/2+(1/2)e^(4-1/(x-3/4)) (3/4<x≦1)
g(x)=1/2+8(x-1/2)^4 sin((π/4)/(x-1/2))
のとき
f^(-1)(g(x))は不連続で、f(x)の道の人は無限の距離を歩かないといけない
349:１３２人目の素数さん
20/02/14 03:17:50.97 ekmNRCqQ.net
>>332
とりあえず道のりの有限性を仮定すれば大丈夫です。
もう少し緩めてf,gが共に有界変動なら大丈夫です。
問題は有界変動性がないとき、>>328のp,qとして有界変動性がない連続関数まで含めて存在し得ない例を私は持ってないのです。
>>332の例でも本の証明で肯定的に解決されてしまいます。
350:１３２人目の素数さん
20/02/14 03:42:11.48 ekmNRCqQ.net
ちなみにfが有界変動連続関数のとき
f1(x)=fの[0,x]における全変動、
f2(x)=f1(x)-f2(x)
とおけば
f(x)=(f1(c)+x)-(f2(x)+x)
と二つの狭義単調増大連続関数の差となります。
gも有界変動連続ならgも同じような分解を持ってしまうので本の証明が通用してしまいます。
351:１３２人目の素数さん
20/02/14 03:43:07.46 ekmNRCqQ.net
あ、ポコポコ間違ってるけど適当にエスパーしてください。
352:１３２人目の素数さん
20/02/14 08:39:16 8zGfmT3q.net
>>331
ん？肯定的？否定的解答じゃなくて？
328の条件を満たす連続関数p,qが存在しないのは間違いないのでは？
353:１３２人目の素数さん
20/02/14 09:28:04.83 ekmNRCqQ.net
>>336
今上がってるケースぐらいではp,qは存在するします。
p,qは連続でありさえすれば有界変動性は要求されません。
354:１３２人目の素数さん
20/02/14 09:32:16.08 ekmNRCqQ.net
あ、いま上がってるケースくらいならp,qも有界変動に取れます。
355:１３２人目の素数さん
20/02/14 09:44:02.90 1dEsnuQN.net
>>338
>連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
>p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
>を満たすものがとれるか？
の問いに対する
>>332の例でも本の証明で肯定的に解決されてしまいます。
は矛盾するように思えるのだが
>>332の例でp,q連続関数かつf(p(t))=g(q(t))と仮定すると
中間値の定理よりq(th)=1/2となるth∈[0,1]が存在し、
t_0=0と置くとq(t_i)=1/2-1/(4i+2)となるt_i∈[t_(i-1),th] (i=1,2...)が存在する
しかし
p(t_i)=f^(-1)(g(q(t_i)))<1/4 (i:even)
p(t_i)=f^(-1)(g(q(t_i)))>3/4 (i:odd)
さらにt_iは単調有界列だから収束してp(t)はlim t_iで不連続となり矛盾
何か誤解していれば指摘してほしい
356:１３２人目の素数さん
20/02/14 10:27:02.14 ekmNRCqQ.net
>>339
あれ？
そうですね？
>>332は反例なってますね？
有界変動じゃないのかな？
357:１３２人目の素数さん
20/02/14 10:37:54.73 ekmNRCqQ.net
ダメだ。すぐにはわからない。
もう問題のレベル下げます。>>328改
連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？
ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。
コレで肯定的に解決します。
有界変動では無理なのかな？
358:１３２人目の素数さん
20/02/14 10:39:54.56 ekmNRCqQ.net
>>341
補足。
PLの区分は有限個までです。
359:１３２人目の素数さん
20/02/14 11:55:32.12 UISPIlpq.net
>>340
君が見たという本が嘘なんじゃない？
360:１３２人目の素数さん
20/02/14 11:58:33.09 UISPIlpq.net
>>341
361:>ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。 めっちゃレベル下げすぎだな
362:１３２人目の素数さん
20/02/14 12:00:56.70 rp7n7TvM.net
>>343
本では設定なしなんですよ。
ただ連続とだけ。
さすがにそれは無理だろうと。
数学的な面白さは激減しますがとりあえずplはら大丈夫、どこまで突っ込めるのかは謎。
363:１３２人目の素数さん
20/02/14 12:12:29.42 ZE8w945W.net
奇跡の数「142857」に隠された神秘を知っていますか
URLﾘﾝｸ(gendai.ismedia.jp)
364:１３２人目の素数さん
20/02/14 12:43:58.29 8zGfmT3q.net
plから条件をゆるめるとしても『区分的に広義単調』あたりが限界じゃないかな…
関数の値が無限回上下することを許してしまうと、どうしても>>330みたいな例が作れてしまうと思う。
逆に関数値の上下が有限回であれば、問題なくできそう（証明は多少面倒かもだけど）
365:１３２人目の素数さん
20/02/14 13:02:47.54 rp7n7TvM.net
まぁplまでかな？
変に広げてもgeneral nonsenseかも。
366:１３２人目の素数さん
20/02/14 13:04:38.80 8zGfmT3q.net
待て、逆に『どの区間においても定数ではない』という条件でもいけるか？
単に成り立ちそうだから書いてみただけで、確かめた訳ではないけど
367:１３２人目の素数さん
20/02/14 14:43:01.01 G8wZZuo4.net
所持金が一万円の貧乏人が、金持ちの友達相手に掛け将棋を持ちかけた
一局ごとに一万円を掛けた2n+1番勝負で、どちらかが先にn+1勝した時点で終了とする
ただし、貧乏人だけは途中で一番でも負け越した時点で所持金を失い続行不可能となる
実力は互角で、引き分けはないものとする
貧乏人が得する確率は？
368:１３２人目の素数さん
20/02/14 14:53:50.89 UISPIlpq.net
>>345
>本では設定なしなんですよ。
本が嘘
あるいは君が条件読み落とし
369:１３２人目の素数さん
20/02/14 15:28:01.36 ekmNRCqQ.net
僧が3人だとダメなのかな？
370:１３２人目の素数さん
20/02/14 15:34:23.96 ekmNRCqQ.net
>>350
貧乏人も金持ちも途中で降りるのはなし？
必ずどちらかがn+1勝するか、貧乏人が負け越すかまで続けられる？
371:１３２人目の素数さん
20/02/14 16:23:42.86 ekmNRCqQ.net
>>350
貧乏人の獲得賞金をXとする。
最初に貧乏人がi勝する事象をAiとして
E(X|Ai)=iである事をnとiについての帰納法で示す。
n=1では明らか。
またi=nでも明らか。
n<Nで正しいとしてn=Nとしi>Iで正しいとしてi=Iとする。
このとき
E(X|Ai)=
1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人勝ち)
+ 1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人負け)
である。
右辺第1項は帰納法の仮定により(i+1)/2である。
第2項はnが1少ない場合の貧乏人がi-1連勝した状況と同じになるのでやはり帰納法の仮定から(i-1)/2である。
よって主張は示された。
特にi=0の場合により貧乏人の獲得賞金の期待値は0。□
372:イナ
20/02/14 16:44:46.29 Glw+icxw.net
前>>327ふ～ゆ～に～ぉ～ぼえ～た～♪ う～た～ぉ～わ～すれ～て～♪ す～と～ぉ～ぶ～のな～か～♪ の～こ～ぉ～た～せき～ゆ～♪
/＿/人人_/＿/＿人人＿
/_（＿)_)/＿/（_^＿)_
/_（_(＿)/＿/（_^＿)_
/_（(`o')/＿/（o^) )_
/_（_υ_)┓_/（_υ_)┓
/◎ﾞυ┻-◎ﾞ◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿ｷｺｷｺ……_/＿ｷｺｷｺ……_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿>>292メネラウスの定理で考えてたんだけど>>312はAとHが重なって描けないよね。こんな難しい作業やらせるか？
373:１３２人目の素数さん
20/02/14 17:35:32.44 VcIiPg2O.net
>>354
0なわけねーだろ
374:１３２人目の素数さん
20/02/14 17:51:01.49 ekmNRCqQ.net
獲得金額ってもちろん参加費差っ引いた額ね。
具体的に書いてみればわかる。
以下Aを貧乏人、Bを金持ちとしてAのw勝l負をw/lで表す。
その時のAの獲得金額xと確率pでおわるときx(p)であらわす。
n=0のとき
1/0→1(1/2)、0/1→-1(1/2)
∴ 期待値0
n=1のとき
2/0→2(1/4)、2/1→1(1/8)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0
n=2のとき
3/0→3(1/8)、3/2→2(1/4)、3/1→1(2/32)、
2/3→-1(2/32)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0
375:１３２人目の素数さん
20/02/14 17:56:55.14 ekmNRCqQ.net
あ、問題文は
貧乏人が得する確率は
か。
期待値求めるんじやないのね。
376:１３２人目の素数さん
20/02/14 18:13:54.83 G8wZZuo4.net
>>353
途中で降りるのはなし
>>354
期待値はおっしゃる通り
期待値が0なのに、貧乏人は負けてもたった一万で済み勝てばそれ以上が得られるのは、
得する確率は小さいが勝った時のリターンが大きい勝負をしているからだ
この得になるケースが起こる確率はいくらか？が実は聞きたかった
377:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/14 19:24:24 Glw+icxw.net
∥人人∥前>>355
（_(＿)>>292裏技がある
（(-.-)のか ∩∩
（っγ)ﾞな (^o^))⌒ヾ,
（⌒⌒) ？ υυ`υυ~
~~~~~~~~~~~~~~~
メネラウスとか。
378:１３２人目の素数さん
20/02/14 19:35:09 ekmNRCqQ.net
>>359とすると
(2^(2n)-C[2n+1,n])/2^(2n+1)
かな？
カタラン数計算するのと同じテク。
379:１３２人目の素数さん
20/02/14 20:19:34.18 ekmNRCqQ.net
あ、違う。
C[2n+1,n]/2^(2n+1)
380:１３２人目の素数さん
20/02/14 20:43:56.77 ekmNRCqQ.net
気持ちよく期待値0になっておおぉぉぉと思ったけど当たり前なのか‥‥
381:１３２人目の素数さん
20/02/14 21:22:52 G8wZZuo4.net
>>362
正解！！！
次のように問題を改変する
貧乏人が途中で負け越しても借金して続け、どちらかが先にn+1勝しても2n+1番まで続ける
そのときに、貧乏人が途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる場合を考える
勝敗条件はまったく変わらないので上記の確率を求めればいい
途中で一度は負け越してから勝ち越しで終わる場合、途中に初めて負け越した黒星が必ずある
その黒星より後で二番以上の勝ち越しがあることにより最後は勝ち越しとなる
このときもしその黒星より後の星の勝敗が逆であれば三番以上の負け越しで終わる
逆に、三番以上の負け越しで終わる場合、途中に初めて負け越しとなった黒星が必ずあり、
その後に二番以上の負け越しがあることで三番以上の負け越しで終わるので、
その勝敗が逆なら、途中の負け越しから二番以上を返し、最後勝ち越しで終わることになる
従って、途中で負け越してから勝ち越しで終わる場合と三番以上の負け越しで終わる場合は、
一対一に対応し、その確率は等しい
題意の確率=途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-途中で負け越してから勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-三番以上の負け越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-(負け越しで終わる確率-一番の負け越しで終わる確率)
=1/2-(1/2-n勝する確率)=n勝する確率=C[2n+1,n]/2^(2n+1)
382:イナ
20/02/14 21:41:52.84 Glw+icxw.net
前>>360
>>292
OA=tとすると、
OA･OB=1よりOB=1/t
AB=OB-OA=1/t-t
383:１３２人目の素数さん
20/02/14 21:48:27.27 R20D62da.net
n ＝１～７で虱潰しにプログラムに数えさせて頻度を出してみた。
> data.frame(n,p)
n p
1 1 0.3750000
2 2 0.3125000
3 3 0.2734375
4 4 0.2460938
5 5 0.2255859
6 6 0.2094727
7 7 0.1963806
384:１３２人目の素数さん
20/02/14 22:26:53.90 R20D62da.net
C[2n+1,n]/2^(2n+1)
に代入すると、
> choose(2*n+1,n)/(2^(2*n+1))
[1] 0.3750000 0.3125000 0.2734375 0.2460938 0.2255859 0.2094727 0.1963806
同値。プログラムでのカウント漏れはなさそう。
385:哀れな素人
20/02/14 22:49:27.49 ENo7Ubcw.net
>>312に書いたことは間違いだったので訂正しておく。
PB、DB、QBと小円との交点をE、F、G、
GからQOに平行に引いた平行線と、AB、小円との交点をH、I
IFとPBとの交点をJとすると、△JFB∽△HGBで、
この二つの三角形は出題の三角形とも相似。
但し△OQB∽△HGBだけは明らかだが、
その他の相似は、今のところ、示せない。
もしかしたら小円など利用しなくても解けるのかもしれない。
386: 【中吉】
20/02/15 00:55:59 UO46pwdD.net
前>>365小円なん ∩∩
((-_-)か思いつ (^_^))
[￣]c) かんやろ。U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ (γ)
____/＼/,,(`.`))⌒ヾU
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___/ |
□ | ∥￣~U~U~￣∥ |
____| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_________∥／
387:１３２人目の素数さん
20/02/15 08:06:57.62 zzpS6PjC.net
あるカジノに次のようなカードゲームがある
n枚のカードがあり、親は裏に互いに異なる数を書き込み、よく切って重ねて伏せる
プレーヤーは一枚ずつカードをめくり、好きなところで止める
また、途中で止めずに最後の一枚をめくった場合はそこで止める
止めたときのカードが親が書き込んだ最大の数であるとき、プレーヤーの勝ちとなる
プレーヤーは次のような作戦で止める箇所を決めることにした
m枚目までは止めない
m+1枚目からは、それまでに見た最大の数を超えていたら止めて、そうでなければ止めない
この方法を使ったとき、勝率はいくらか？
nが大きいとき、上記勝率の最大はいくらか？
388:１３２人目の素数さん
20/02/15 10:51:21.54 JNGZDcu7.net
>>349 が気になって夜も眠れないから正式に投稿（眠れたけど）
もちろん自分では未解決。
↓↓ここから問題↓↓
連続関数 f,g:[0,1]→[0,1] は f^-1({0})=g^-1({0})={0}, f^-1({1})=g^-1({1})={1}, を満たし、
どの区間 [a,b] (0≦a<b≦1) においても定数でない。
この時、連続関数 p,q:[0,1]→[0,1] であって、p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1 かつ
f(p(t))=g(q(t)) (∀t∈[0,1]) を満たすものは存在するか。
↑↑ここまで問題↑↑
[0,1]^2 の部分集合Sを S = { (x,y)∈[0,1]^2 : f(x)=g(y) } とおくと、
二点(0,0)と(1,1)がSの同じ連結成分に属することは証明できる。
この問題は、この二点が同じ『弧状』連結成分に属するかどうか、と言い換えられる。
389:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:25:04.01 JNGZDcu7.net
難問ばかりなのもアレなので解決済みのものを１つ
連続関数 f:R→R は非可算個の点で極大値をとり得るか。
390:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:32:43 JNGZDcu7.net
>>372
しまった、ここでは関数 f が点 x_0 で極大値をとるとは、
x_0 のある開近傍 U が存在して
x∈U かつ x≠x_0 ならば f(x)<f(x_0)
を満たすこととします。
391:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:44:39 h/D6xsZJ.net
>>372
不可能。
極大値をとるx=aの集合をSとする。
Sの元aに対し開集合Uaをf(a)がUaにおいてmaxとなるようにとると異なるa,bに対してUaとUbはdisjoint。
さらにUaから有理数qaを選べばqはSからQへの単射を与える。
392:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:45:52 h/D6xsZJ.net
あ、勘違い>>374は無かった事にorz
393:１３２人目の素数さん
20/02/15 11:52:00 h/D6xsZJ.net
逆だな。
Rは可分なので可算近傍系Cをとれる。
C'={U∈C|fはCで狭義の最大をとる。}
m:C'→{極大点}をm(U)=(最大値をとる点)
で定めればこれは{極大点}への全射を与える。
394:１３２人目の素数さん
20/02/15 12:34:02 JNGZDcu7.net
>>376
正解！お見事
395:１３２人目の素数さん
20/02/15 14:24:30 p5FKhw4y.net
>>370
ざっと考えて(n-m+1)/n
396:１３２人目の素数さん
20/02/15 14:52:02 dftQOULi.net
m≦k≦n-1に対して
p(プレーヤー勝ち|k+1枚目が最大)
=p(1～k枚目までの最大が1～m枚目にある)
=m/k
だから
pm:=
397: p(プレーヤー勝ち) =1/nΣ[m≦k≦n-1] m/k よって p(m+1)-pm = 1/n(Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k -1)。 ∴ p(m+1)-pm>0⇔ Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k > 1 ここで Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k =∫[m+1,n] 1/[x] dx > ∫[m+1,n] 1/[x] dx =log n/(m+1)、 Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k =∫[m+1,n] 1/[x] dx <∫[m+1,n] 1/(x-1) dx =log (n-1)/m とlog(n-1)/m < log n/mによりpmが最大となるのはm=[n/e]のとき。
398:イナ
20/02/15 15:56:25.82 UO46pwdD.net
前>>369
>>370
まずm/nの確率でm枚目までに最大が出てるから絶対に負ける。
勝つ確率の最大値は1-m/n
問題はm+1枚目からn枚目までのm-n枚を引く途中で今まで見た最大を見てしまい、残りの枚数で最大が出る可能性を残したままゲームを終わらせてしまうこと。
m+k枚目で今まで見た最大が出たとすると、
(m+k)/n
まだ勝つかわからない。
勝つ確率k/(n-m)
(n-m-k)/(n-m)は負ける。
トータルで負ける確率は、
m/n+(n-m-k)/(n-m)
{m(n-m)+n(n-m-k)}/n(n-m)
=(n^2-m^2-nk)/n(n-m)
トータルで勝つ確率は、
k/n
これらが足して1だから、
(n^2-m^2-nk)/n(n-m)+k/n=1
n^2-m^2-nk+k(n-m)=n(n-m)-m^2-mk=-mn
k=n-m
∴勝つ確率=(n-m)/n
=1-m/n
だからこれは最大値だって。
(n-m)/nより小さい。
今まで見た最大値ならそこで見切るって言ってんだから勝つ確率は1-m/nより確実に小さい。
(n-m)/nを掛ければいいのか？
勘で(1-m/n)^2
399:イナ
20/02/15 19:22:55.66 UO46pwdD.net
前>>380
>>370
勝つ確率は1-m/nでnがじゅうぶん大きいとき1に近づく、つまり限りなく100％勝つ。
400:１３２人目の素数さん
20/02/15 21:28:32.82 Xfawjoh3.net
p(プレーヤー勝ち)=1/nΣ[m≦k≦n-1] m/k
って狽Oしたきれいな式にはならないのか。
401:１３２人目の素数さん
20/02/15 21:59:36.07 cY6cTvWp.net
自然数の逆数和ならディガンマ関数による表示法があるぞ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
402:イナ
20/02/15 22:03:44.86 UO46pwdD.net
前>>381
>>379たとえば親が同じスートのA,2～Q,Kのカードを1枚ずつ持ってたら、
13/e=4.……だから、
5枚目以降に最大値が出るやいなや勝負に出たほうが勝つ確率が高いってこと？
403:１３２人目の素数さん
20/02/15 22:31:34 h/D6xsZJ.net
>>384
この問題の設定はあくまで子が親の数を選ぶ分布について知りようがないという設定。
もちろん親が1～13の整数しか選ばないという情報があるならKが出てストップかけないのはバカ。
しかしその手の情報はなく、単に出た数の大小しか情報がないという設定。
そして親の数の選び方の分布が問題に与えられてないので本来解答不可能。
例えば親が常に単調増加になるように数を選ぶのなら子が勝てるのはm=n-1だけだし、常に単調減少に選ぶならm=0しか子は勝てない。
しかしそんな事は多分数学科卒でないとわからないだろうから、その辺はエスパーしないといけない。
>>379の解答は親の数の選び方の分布がn!通りある大小の分布が同様に確からしいという仮定を追加した場合の解答。
例えば親のn枚のカードの数をiidで選んだ場合などでは通用する。
404:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/15 22:33:20 UO46pwdD.net
前>>384いや、それは変だぜ。ジャックやクイーンが5枚目に出て、まだキングが出てないのに飛びついたら負けじゃないか。
mを1にしてnを最大にしてなるべく長く待つスタンスをとるにしても、肝心のキングが来なきゃ意味がない。
405:１３２人目の素数さん
20/02/15 23:12:42.69 zzpS6PjC.net
>>379
正解！素晴らしい！
>>378
>>380-381
残念ながら不正解！
>>385 ランダム性を持たせるため「よく切って重ねて伏せる」という文を入れておいた これによりn!通りある順位のパターンは同様に確からしいと言えると思う
407:１３２人目の素数さん
20/02/15 23:35:24.23 Xfawjoh3.net
>>383
狽謔闌ｩた目が複雑そう
408:イナ
20/02/15 23:48:38.54 UO46pwdD.net
前>>386
>>379はlog{(n-1)/m}かlog{n/(m+1)}かどっちが答えなの？
409:１３２人目の素数さん
20/02/15 23:55:44.95 cY6cTvWp.net
>>388
ガンマ関数の微分をって閉じた形で書ける利点があるにしろ、確かにそう捉えるのも自然だけれども
指数関数や多項式、あとそれらの積みたいに、部分和が閉じた形で書ける関数って案外少ないからなあ
410:１３２人目の素数さん
20/02/16 00:23:17.40 M7sc9CPo.net
>>388
いや、見た目は簡単で
p(プレーヤー勝ち)=(m/n)(ψ(n)-ψ(m))
この極限はディガンマ関数の漸近公式ψ(n)=log(n)+O(1/n)より
=(m/n)(log(n/m)+O(1/n)+O(1/m))
=-xlog(x)+O(1/n), x=m/n
411:１３２人目の素数さん
20/02/16 03:06:22.72 i66c5anA.net
>>279です。
残念ながら計算間違いがあった。
Σ[1/m+‥1/(n-1)>1を満たす最大のmまではあってるけどこの方程式解き損なってる。
mのよりよい近似値として
m=[(n-1/2)/e+1/2]
は出せるけど、>>279よりはマシなだけでこれでもずれる。
(計算機使ってみると100項中1こずれてた)
>>370は完全に正確に答え解こうとすれば既出のディガンマ関数とかその逆関数とか使わないと無理かもしれない。
412:哀れな素人
20/02/16 16:46:27.64 mvTUUaXe.net
>>292の問題について考えていて思い付いた問題をひとつ。
中心をＯとする半径１の円があり、半径上に任意の点Ａがある。
ＯＡの延長上にＯＡ・ＯＢ＝１となる点Ｂを作図せよ。
413:哀れな素人
20/02/16 16:50:34.08 mvTUUaXe.net
ついでだから、もう一問。
↓この問題には別解がある。それを示せ。
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
但し、コメント欄にある別解は禁止。
コメント欄の別解とは違う別解を挙げよ。
414:１３２人目の素数さん
20/02/16 17:33:40 dzgTO0Y1.net
>>393
そう言うのを円による反転という。
初等幾何のイロハのイ。
415:哀れな素人
20/02/16 23:22:28 mvTUUaXe.net
反転。初耳なので少し調べたが、>>393の問題とは関係ない（笑
ま、ここの連中は初等幾何の問題などバカにして答えないだろうと思っていた（笑
416:１３２人目の素数さん
20/02/16 23:24:45 KKT7Tfzq.net
調べてわからないのか。
馬鹿だなぁ。
417:１３２人目の素数さん
20/02/16 23:26:34 uZMfv53j.net
半直線に垂直に線引いて交点での接線を引き、半直線との交点をとるだけだろ
418:１３２人目の素数さん
20/02/17 00:35:40.51 ZSzGQZkQ.net
あと連続関数絡みで、前スレだったかで置き去りにされてた問題（を改編したもの）も出題しておこうかな
以前のものと同様、未解決ですが
次を満たす関数 f:R^2→{1,2,…,n} が存在するような正の整数nのうち、最小のものを求めよ：
連続関数 p:[0,1]→R^2 について、もしpとfの合成が定関数ならばpも定関数である。
419:１３２人目の素数さん
20/02/17 00:44:07.68 uYhhJbB7.net
>>396
>393そのものじゃん
420:１３２人目の素数さん
20/02/17 01:00:57.74 7wYuJpOT.net
反転でトレミーの定理証明
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
421:１３２人目の素数さん
20/02/17 01:04:28.82 IBQ0KY2w.net
>>396
長さaの線分の逆数1/aを作図せよという問題なら
検索キーワードは"作図 逆数"で解答がたくさん出てくる
四則演算と平方根は作図可能というのが作図の基礎知識
422:１３２人目の素数さん
20/02/17 02:03:49 kdGYKNgW.net
>>399
a:(0,1)×(0,1)→(0,1)を二進表示を交互に編み込む連続関数とする。
さらにb(x,y)=((atan(x)+2)/4,(atan(y)+2)/4)とする。
g:(0,1)→{1,2}をQ∩(0,1)の特性関数とする。
f=gabと定める。
p:(0,1)→R^2が定数でない連続関数とするとabpも定数でない連続関数である。
この時任意の相異なる有理数の間には無理数が存在する事と相異なる無理数の間には有理数が存在する事からgabpは定数でない。
よってfpも定数でない。
よって求める最小値は2。
423:１３２人目の素数さん
20/02/17 02:42:01 /HnwZz/g.net
あ、しまった。
aは連続じゃないや。>>403は撤回します。
424:哀れな素人
20/02/17 09:41:46.56 XLoZlq8v.net
>>393の問題は、円による反転とか、そんな難しい問題ではない（笑
単に方べきの定理の応用問題である（笑
それに初等幾何のイロハのイというが、
反転なんて小中高でも習ったことはない（笑
それを「初等幾何のイロハのイ」と書いているところに、
お前らの虚栄心が現れている（笑
もちろん>>402のように考えて解いてもいいが、もっと簡単な方法がある。
ＯからＯＡに垂直な直径を引き、円との交点をＰ、Ｑとし、
ＰＡの延長と円との交点をＲとし、
ＱＲの延長とＯＡの延長との交点をＢとすると、Ｂが求める点である。
425:１３２人目の素数さん
20/02/17 10:18:39.50 /HnwZz/g.net
虚栄心しかないやつが何言ってんの？
こんなもん理系の人間で知らん人間いない常識問題だっていってんだよ？
検索したらアホほどでてくるやろが？
こんな常識問題でも知らないで出すのはしょうがない。
調べてみて頻出、常識問題だとわからないのがアホだと言ってる。
人の書いた文章理解する能力ないんかね？
そもそも一番最初にでてる>>294の証明にもでてくるやろ？
読んでないの？
読んでもわからないの？
426:１３２人目の素数さん
20/02/17 10:59:33.92 /HnwZz/g.net
>>399
未解決ですがというのは出題者も答え持ってないという意味？
427:１３２人目の素数さん
20/02/17 11:03:00.25 LXWKraH0.net
別に初歩的な問題を初歩的と知らないで出題するのはいいけどね
それを指摘されて訳のわからないキレ方をするのはみっともない
428:哀れな素人
20/02/17 12:32:25.00 XLoZlq8v.net
訳のわからないキレ方をしているのはお前らの方だ（笑
僕は虚栄心のために0.99999……≠１と説いているのではないし、
検索して>>405のような答えが出て来るとも思えないし、
>>294は初等幾何的証明ではないのである。
>>394の問題にしても、お前らは、答えが分っていても、書かないだろう、
と僕は最初から思っていた（笑
なぜなら、>>393-394のような問題はお前らのプライドを傷つけるからだ。
というわけで、お前らは、僕のことは無視して、数学の腕比べに励めばよい。
しかし、お前らがどんなに優秀であろうと、0.99999……＝１だと言った途端に、
世間の聡明な人々からは、お前らは笑われる（笑
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
ここでも作者は５＝4.99999……という間違いを平気で犯しているが、
お前らはこの作者と同レベルなのである。
429:１３２人目の素数さん
20/02/17 12:44:25.85 ZSzGQZkQ.net
>>407
紛らわしくて申し訳ない、そういう意味です
既に誰かが答えを与えていないかどうかまでは調べられてないです
430:１３２人目の素数さん
20/02/17 13:58:19 /HnwZz/g.net
>>409
もういいからここには書くなよ。
自分の学力がこのスレではハナクソレベルなのがなんでわから�
431:ﾌかねぇ？ 灘中の入試レベルでまだ四苦八苦してるレベルで。
432:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/17 14:13:44 K1rLSA1v.net
/＿/人人_/＿/＿人人＿
/_（＿)_)/＿/（_^＿)_
/_（_(＿)/＿/（_^＿)_
/_（e^) )/＿/（o^) )_
/_（υ＿)┓_/（_υ_)┓
/◎ﾞυ┻-◎ﾞ◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿ｷｺｷｺ……_/＿ｷｺｷｺ……_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿ちょ～しっぱずれの～♪
よし晴れてきた、洗濯もん乾くぞ！ 前>>389とかいのろじうらでぇ～♪ 勝つ確率にlogはねえよ。のんだくれたかえりに～♪ 確率にlog出てきたんじゃ訳わかんねえよなぁ。しこたまはいたぁ～♪ 髭剃るか。
433:イナ
20/02/17 15:33:55.02 K1rLSA1v.net
∥人人確率がlogって
（_(＿)どういう
（(-.-)意味なんだ？
（っγ)ﾞ
（⌒⌒)
~~~~~~~~~~~~~~~
log{n/(m+1)}が答えなのか？
434:哀れな素人
20/02/17 17:21:52.58 XLoZlq8v.net
>>411
では>>292の問題の初等幾何的な証明を書いてくれ（笑
どうせ書かないだろうが（笑
何で初歩的な問題を投稿するだけで、
こんなに叩かれ嘲笑されなければならないのか（呆
荒らしをしているわけではないのに、荒らし扱いだ（呆
435:１３２人目の素数さん
20/02/17 17:36:26.09 Nzms6mON.net
>>414
だから馬鹿だっていってるんだよ。
なんで初等幾何的証明だれも書かないかわかってないだろ？
書きたくても問題文の条件だけじゃ配置が不定なのでめちゃめちゃ書きにくいんだよ。
既に>>294で証明上がってる方針を初等的に焼き直すとき∠BPD=∠BOQを示すのが気もになる。
方針として>>294のCをとってBPとCQの交点をEとしてBEOQが同一円周上にある事を利用する手があるけど、そのときBPEの位置配置とBECQの円周上の配置によって∠BPD、∠BEQ、∠BOQの位置関係が微妙に変わる。
この三角がすべて等しい時もあれば捕角を取らないといけないときも出てくる。
おそらく原題では図が与えられてて位置配置が細かく決定してるんだろう。
あなたその中の勝手な一個の位置配置決め打ちして証明してるけどそんなの証明として通用しないんだよ。
しかもそんな事しなくても複素座標とれば全部のケースひっくるめて一撃で証明できるのになんでそんな意味ない事するの？
そもそもOA・OB=1という条件見た瞬間に反転幾何学≒複素座標使ってみようと思う発想が出てこない時点であんた失格なんだよ。
もんいいからでてけよ。
あんたにこのスレの話題についていけるだけの実力はない。
スレ汚し。
436:哀れな素人
20/02/17 19:59:01.87 XLoZlq8v.net
>>415
>あんたにこのスレの話題についていけるだけの実力はない。
そんなこと最初から分かっている(笑
しかしこのスレはスレタイからして難問を出すスレではないから、
初等幾何の問題を出してもいいはずなのだ。
だからスレ汚しなどと叩かれる筋合いはない。
それに>>292の問題は灘高校の入試問題だというから、
複素数など使って証明する問題ではなく、
初等幾何で解けるはずの問題なのである。
これ以上書くと荒らしだと思われるかもしれないから、ここで止める。
お前らも僕に対する嘲笑とか攻撃はここで止めるように。
もちろんやりたければどんどんやればいい(笑
437:イナ
20/02/17 21:02:48.22 K1rLSA1v.net
∥人人∥前>>413
（_(＿)>>292も>>370も
（(-.-)納得∩∩でき
（っγ)ﾞる(^o^))⌒ヾ,
（⌒⌒)答えυυ`υυ~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ではないなぁ。>>292は相似。相似比も相似条件もまだわからん。>>370は確率。すべての場合分のその場合の数。すべての場合がいくつでその場合がいくつなのかまだわからん。
438:１３２人目の素数さん
20/02/17 21:52:33 Nzms6mON.net
>>416
こいつここまで丁寧に説明してまだ何言われてるのかわからんのか。
どこまでアホなん？
439:１３２人目の素数さん
20/02/17 21:55:41.85 CdzYXHaY.net
住処に帰るって言うのなら帰せばいいじゃないか
440:１３２人目の素数さん
20/02/17 22:05:28.36 Us7azE/m.net
(a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)なるn以下の非負整数の組(a,b,c,d,e,f)はいくつあるか。
分かスレの問題
全然わからん
441:１３２人目の素数さん
20/02/17 22:17:31.33 Nzms6mON.net
>>420
それは多分解答もなんも作ってない奴が適当に文字並べただけの問題だと思う。
あのスレはわからん問題なら何書いてもいいという独特なロジックでその手の問題がよく上がってるから注意しないと。
442:１３２人目の素数さん
20/02/17 22:28:49.03 BDpnwWQY.net
>>421
やっぱそうだよね
一応頑張って解こうとしたけど約数の個数とかその辺を一般化しなきゃいけないっていう壁にぶち当たった
プログラム組んでOEISにぶち込んでも何も出てこないし無理ゲー
443:イナ
20/02/17 22:44:22.78 K1rLSA1v.net
>>420前>>418
(a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)
4･3=6･2
a=6,e=2,b=4,f=1,c=8,d=3
n=8のとき、6･2=4･3もありうるから、
a=8,e=2,b=3,f=1,c=6,d=4
a=8,e=1,b=4,f=2,c=3,d=6のとき8･1=2･4で成り立つ。
もう一つあれば、
n以下の数で√n通りあるとか大胆な予想が立つけど。
444:１３２人目の素数さん
20/02/17 23:26:01.19 xxqdZaWU.net
>>422
え？そんな手があるの？あのOEISって検索できるん？
445:１３２人目の素数さん
20/02/17 23:37:29.11 uMEGbIOm.net
この数列の法則性は？
なんて聞かれたときは検索機能が重宝する
446:１３２人目の素数さん
20/02/17 23:51:49.70 7cIb3gS8.net
いいこと聞いた
447:１３２人目の素数さん
20/02/18 00:33:40 CSeACSeT.net
>>399
これってn＝2の場合でも難しい感じ？
448:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:08:39.46 5azt0L51.net
>>427
いや、nが大きいほど簡単でしょ？
n=3のときのfはすぐできる。
n=2のときにfが作れるのか？が問題。
最小値は3 or 2。
449:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:18:51.36 ZlcMzP2c.net
R^2の点をpathconnected componentが1点になるようないくつの部分集合に分けられるかか
R^1なら有理数と無理数でイイから
A={(x,y) | x, y∈Q} B=R^2-A
でよくない？
アーダメかy=eがB内だわ
4つに分けて
A=Q^2 B=Q×I C=I×Q D=I×I（I=R-Q）
ならいいでしょ
p1,p2:R^2→R
につなげたらいいから
しかしn=2,3でダメということはどう言えば良いのか？
450:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:19:22.97 ZlcMzP2c.net
>>428
>n=3のときのfはすぐできる
どう作る？
451:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:25:15.55 Ft3883nd.net
某大学入試過去問改
東西に10本、南北に3n+1本の道路が碁盤の目状に走った町がある。
この町の道路は最南端にある東西に走る道路を南から順に東西0号線から東西9号線、南北に走る道路を西から順に南北0号線から南北3n号線と呼ぶ。
3の倍数3kに対し南北3k号線、東西0、3、6、9号線は大通り、その他は生活道路と呼ばれる。
各交差点には以下のような規則が定められている。
・生活道路と大通りの交差点においては、生活道路から進入する場合には左折して大通りに合流する事のみしか出来ず直進、右折はできない。大通りから進入する場合には左折して生活道路にはいるか、そのまま直進する事はできるが右折は禁止である。
・大通り、生活道路どうしの交差点では右左折、直進すべて可能である。
この町の南西端をX、北東端をYとするときのXからYへ規則に従う最短経路の数を求めよ。
原題はn=7の場合です。
452:１３２人目の素数さん
2020/02/1
453:8(火) 01:28:23.19 ID:luj3t+bp.net
454:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:32:38.77 kCgJRMKU.net
あ、だめだ。
これだとずっと2になるかのうせいがある、
有理数×有理数は1,
有理数×無理数は2、
無理数×有理数は3、
無理数×無理数は4にする。
コレは絶対いける。
なので最小値は2か3か4。
455:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:49:36.24 CSeACSeT.net
>>428
あーそういう感じなのか？
2の時はダメだと言えて
3とか4とかどうなるのか、って方向性になるかなと思ったけど
456:１３２人目の素数さん
20/02/18 01:52:29.08 CSeACSeT.net
>>433
あ、確かにそれで終わりだね
サンクス
457:１３２人目の素数さん
20/02/18 02:48:18.10 MiO5cL7u.net
>>424
n=1,2,……の時の答えをぶち込んでなんか出てきたらラッキー
458:イナ
20/02/18 04:18:00.50 JQdcAHMa.net
前>>423
>>431
1本。
Xから東西0号を東へ。南北n+1号との交差点を左折し北へ。Yに着く経路。
459:イナ
20/02/18 04:20:07.76 JQdcAHMa.net
前>>437訂正。
>>431
1本。
Xから東西0号を東へ。南北3n+1号との交差点を左折し北へ。Yに着く経路。
460:イナ
20/02/18 04:25:37.43 JQdcAHMa.net
前>>438訂正。大通り右折できるわ。
>>431
Xから東西0号を東へ。南北Σn[n=1→3n+1]号との交差点を左折し北へ。適宜右折してYに着く経路。
∴(3n+1)^2通り
461:イナ
20/02/18 05:15:28.51 JQdcAHMa.net
前>>439訂正。生活道路も掛けてた。
>>431
(n+1)^2通り
462:イナ
20/02/18 05:18:33.06 JQdcAHMa.net
前>>440訂正。
>>431
11(n+1)通り
463:イナ
20/02/18 05:20:21.05 JQdcAHMa.net
前>>441
>>431
4(n+1)通り
464:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:09:53.29 emC4HTnA.net
>>431
これは、どうやってシミュレーションするかなぁ。
とりあえず、ｎ＝７のときで道路を作図
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
465:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:17:10.65 emC4HTnA.net
>>443
大通りの太さを区別してなかったので修正。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
466:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:33:27.55 ZlcMzP2c.net
>>444
NG
467:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:50:53.56 ZlcMzP2c.net
南から大通りに入る生活道路は全部カット（最短で進めないから）
大通りから東に入る生活道路も全部カット（最短で進めないから）
あとは自由に考える
大通りで囲まれた区画でなら
1+4C2=7通り
これを
左端の大通りは１
それ以外の南北の大通りが6
東西の大通りは１
で考えたら良いのではないかね
468:１３２人目の素数さん
20/02/18 10:51:47.78 emC4HTnA.net
>>444
南北にも大通りがあったので再度、修正。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
469:１３２人目の素数さん
20/02/18 11:03:18.75 ZlcMzP2c.net
大通りの直進左折右折で変わるから>>446だと考えにくい
左から直進が1通り
左から左折が6通り
下から直進が1通り
下から右折が1通り
これで考えるんだな
あるいは大通りの交差点に下から入る処と右に出るところの路線数で考えるか
470:１３２人目の素数さん
20/02/18 11:11:53.12 ZlcMzP2c.net
>>448
>あるいは大通りの交差点に下から入る処と右に出るところの路線数で考えるか
書きやすく南北逆転させてみたら
１ １ １ １ １ １ １
１ ６ ６ ６ ６ ６ ６ ６
１ ７ 13 19 25 31 37
１ 12 48 84 19*6+6-120
１ 13 61 61+84=145
こんな感じか
471:１３２人目の素数さん
20/02/18 12:05:42.55 bKAplv3x.net
「遠回りしない」という条件の下、東西、および、南北の0号、3号で囲まれる
3×3の区画内のいずれかの生活道路を使用する場合、
(1,0)か(2,0)から進入し、(3,1)か、(3,2)から出る場合しかなく、合計5通りある。
つまり、生活道路同士の交差点、(3p+s,3q+t) (s,t=1,2)を利用する場合、
必ず、大通り同士の交差点(3p,3q)と(3p+3,3q+3)を利用している。
題意の条件に従い、通った大通り同士の交差点のみをプロットし、結ぶと、
“横に変化”、“上に変化”、“斜めに変化”の三通りに分類できる。
“斜めに変化”の回数がk回だとすると、“横に変化”は、n-k回、“上に変化”は3-k回となる。
斜めに変化の場合、生活道路の通り方で、5通りあるので、
Σ[k=0,3] 5^k*((n-k)+(3-k)+k)!/{(n-k)!*(3-k)!*k!} で計算できることが判る。
答え 36n^3-54n^2+36n+1
472:１３２人目の素数さん
20/02/18 13:29:45 QuEz/3Tk.net
>>450
正解
ちなみに東西線3m+1本、南北線3n+1のときは
Σ[0≦i≦m]C[m,i]C[n,i]6^i
(ただしj<kのときC[j<k]=0とする)
になります。
>>450さんの証明よく読めばできます。
ちなみに超幾何関数というのを使って
3F2(-m,-n,1;6)
とも表示されます。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
473:１３２人目の素数さん
20/02/18 17:04:26 bKAplv3x.net
なるほど。ということは、
Σ[k=0,m] C[m,k]*C[n,k]*(x+1)^k = Σ[k=0,m] C[n+m-k,m-k]*C[n,k]*x^k
が成立しそうですが、証明はどうやるんだろう．．．。
474:１３２人目の素数さん
20/02/18 18:34:17 06v9pOD9.net
自然数nに対してm=C[n+1,2]変数の多項式Pn(x[12],‥,x[n-1,n])で次の条件を満たすものが存在する事を示せ。
n次元ユークリッド空間の点p0,‥pnに対し、その凸包をK、m個の正の実数a[12],‥,a[n-1n]をd(pi,pj)を並べたものとするとき
vol(K)^2=Pn(a[12],‥,a[n-1n])
が成立する。(高次元のヘロンの公式)
またこの時次が成り立つ事を示せ。
実数の組みa[12],‥,a[n-1n]が任意の{1,‥,n}のk元集合Sと添字がSに入るC[k2]個のa[ij]を選ぶとき
Pk(a[ij])>0
が成立するときn次元ユークリッド空間の点p0,‥pnでa[12],‥,a[n-1n]がd(pi,pj)を並べたものと一致するようなものがとれる。(高次元の三角不等式)
例
p1(x)=x
P2(x,y,z)=(1/16)(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)
でn≦2では成立しています。
475:１３２人目の素数さん
20/02/18 23:44:09 8DNhS0j5.net
>>399
n=3の時は、f(x,y)の値を
1 (xもyも有理数の時)
2 (xとyの片方だけが無理数)
3 (xとyの両方無理数)
とすれば良い。fpの値が1か3で定数の場合は明らかにpも定数。
fpの値が常に2である時、pが定数でないと仮定。すると、任意の有理数qについて
C(q):=p^(-1)({q}×R) も C'(q):=p^(-1)(R×{q}) も区間[0,1]の閉集合になる。したがって
[0,1]=∪_(q:有理数) C(q)∪C'(q)
は閉区間[0,1]の、可算無限個の非交和な閉集合によな分割を与えるが、
そのような分割は不可能であるため矛盾。
476:１３２人目の素数さん
20/02/19 00:40:12 v8JOxEBI.net
>>454
>は閉区間[0,1]の、可算無限個の非交和な閉集合によな分割を与えるが、
[0,1]=[0,1]∪Φ
477:１３２人目の素数さん
20/02/19 02:37:51.22 eq0pwpep.net
>>452
(1+xz)^n = Σ[i=0,n]C[n,i]x^i z^i
(1+z)^m = Σ[j=0,m]C[m,j]z^j
(1-z)^(-n-1) = Σ[j=0,∞]C[n+j,j]z^j
より
(1+xz)^n (1+z)^mのz^mの係数 = Σ[k=0,m] C[m,m-k]C[n,k] x^k
(1+xz)^n (1-z)^(-n-1)のz^mの係数 = Σ[k=0,m] C[n+m-k,m-k]C[n,k] x^k
だから
f(z) = (1+z+xz)^n (1+z)^m/z^(m+1)
g(z) = (1+xz)^n (1-z)^(-n-1)/z^(m+1)
のz=0における留数が等しいことを示せばよい。
これはz=t/(1-t)と置くとf(z)dz=g(t)dtより明らか
478:１３２人目の素数さん
20/02/19 08:32:16.66 WE6EaV92.net
>>455
例えば C(q)=[0,1] の場合、pの第一成分が常にq、第二成分が常に無理数をとる訳だけど、
その場合は第二成分も定数でなければならないから、結局pも定数関数であることが
479:わかる。 C'(q)の場合も同様。
480:１３２人目の素数さん
20/02/19 16:44:13 z1VUWsY5.net
>>455
の反例は乗り切ってるかもだけど[0,1]が高々可算無限個の非自明な非交和になり得ないは正しいのかな？
反例も証明も分からん。
481:１３２人目の素数さん
20/02/19 16:47:27 k7LsatWJ.net
>>412
イナさんは
おじさん(♂)だったんですか？
482:１３２人目の素数さん
20/02/19 16:58:02 k7LsatWJ.net
Ｑ.１，２，４，８、・・・、２＾ｎという数列から１つ数を選んだとき、その最高桁が１となる確率はいかほどか？
(初めから無限個の集合で考えなくてもＯＫです
ｎを有限としてｎ→∞としてもかまいません)
483:１３２人目の素数さん
20/02/19 18:08:33 z1VUWsY5.net
log[10]2、
ちな最高位が3の確率？はlog[10](3/2)
484:１３２人目の素数さん
20/02/19 18:12:58 eq0pwpep.net
>>460
jlog2(10)≦i<jlog2(10)+1を満たす整数iはjに対して必ず1つ存在するので
2^nがm桁の数とすると{1,2,4...,2^n}にはm個の最高桁が1となる数が存在する
この確率はm/(n+1)=ceil(nlog10(2)+1)/(n+1) ここでceil(x)はx以上の最小の整数
485:１３２人目の素数さん
20/02/19 18:23:32 eq0pwpep.net
>>462 訂正
m/(n+1)=floor(nlog10(2)+1)/(n+1) ここでfloor(x)はx以下の最大の整数
486:１３２人目の素数さん
20/02/19 18:42:24 v8JOxEBI.net
>>458
閉集合だと無理だと「現代数学の系譜・・・」スレでやってた
487:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/19 18:48:36 zH0JvmWI.net
/＿/＿/人人_/＿/＿/＿
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/＿/_◎ﾞ┻υ◎ﾞ/＿/＿/＿/__/__/__/__/__/＿/＿/＿/＿/＿/あのどろだらけのすに～かぁじゃ～♪ ぉいこせない～の～わぁ～♪ ごめん、>>423の前>>417だった。
前>>442でんしゃ～でも♪ じかんでもなく♪ ぼくかもしれなぃ～け～ど～♪ ♪♪
488:１３２人目の素数さん
20/02/19 19:11:43.18 maZgQuwo.net
>>458
さすがに省略しすぎてしまった、申し訳ない
>>454 の補足
閉区間[0,1]が、可算無限個の空でない閉集合により
[0,1]=∪_(n=0,1,…)C'_n (ただし 0∈C_0, 1∈C_1, n≠mならばC_n∩C_m=φ とする)
と分割されると仮定。
ここで、数列{a_n}, {b_n}を次のように定める。
まず、区間[0,1]におけるC_0∪C_1の補集合の、連結な部分集合を与える開区間(a_1,b_1)を１つとる。
つまり、a_1,b_1∈C_0∪C_1 であることに注意。
(i)nが奇数の時、a_(n+1)=a_n とする。また、(a_n,b_n)∩C_m が空でないような最小のmをとり、
b_(n+1) = min((a_n,b_n)∩C_m) と定める。
（開区間(a_n,b_n)の両端はどちらもある C_m' (m'<m) の元であるため、
(a_n,b_n)∩C_m = [a_n,b_n]∩C_m. よってminが存在。）
(ii)nが偶数の時、b_(n+1)=b_n とする。また、(a_n,b_n)∩C_m が空でないような最小のmをとり、
b_(n+1) = max((a_n,b_n)∩C_m) と定める。
以上のように定めた数列{a_n}, {b_n}は a_n<a_(n+2)<b_(n+2)<b_n を満たすため、どちらもn→∞で収束。
しかし、例えばa_nの極限Aは全てのn≧1について A∈(a_n,b_n) を満たすため、
どの C_n (n≧1) にも属さない。よって矛盾。