20/02/04 23:47:26 THlBhxRo.net
>>167
座標
> (x,y)=(-7.99727446,7.99727446)に到達する。
までの最短時間は
(10+7.99727446-(10-7.99727446)cot(π/3))/2+(10-7.99727446)/sin(π/3)/1≒7.3305
になり、、
(10+7.99727446-(10-7.99727446)cot(θ))/2+(10-7.99727446)/sin(θ)/1
θ=57.7465773447629°
の
> 10.735371693秒
より短いな
176:
20/02/05 00:33:59.16 C9wRmgDi.net
前>>167
>>168第Ⅰ象限には水がないという設定です。
最速になる角度を探したんでほかの角度は60°と90°と45°ぐらい。
入水地点を決めてから角度を決めたんじゃなく、微分して角度が決まってから入水地点を計算した。
177:１３２人目の素数さん
20/02/05 01:00:30 gfGkl938.net
>>170
こんだけ言われてまだ何言われてるか理解できてないの？
どこまで頭悪いの？
みんなが60°で入水が最速である理由をあれだけ手を変え品を変えいろんな方法で示してたよね？
そのどれ一つとして理解できなかったとしても、そして自分が60°以外の角でより早い経路をみつけたとしても、最低限まず自分が見つけた地点に最速でいける方法がその角度なのか確かめてみろと言ってるんだよ。
なんでそんな簡単なことがわからん？
何よりそんな事まず自分で思いつかないの？
君のそのアポレスがどんだけスレの流れ乱してるからわからんの？
そのアポレスいつまで続けるん？
もう出てけよ。
178:１３２人目の素数さん
20/02/05 01:06:11 OkeImVJQ.net
思付直感数学
179:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/05 01:55:16 C9wRmgDi.net
前>>170
問題見て最初に思いついたのがたしか60°だった。
縁と水中で速さが2:1だから。
その直感は正しいと思ってたけど、微分してθ=57.465773447629°と出て、到達時間を計算した。まだこの段階で半信半疑。
むしろ60°のとき計算したら10秒735切るぐらい速いはずと思って計算したら、
10秒9……って出て、あれ!? ってびっくりした。
θ=57.465773447629°のほうがθ=60°のときよりコンマ2秒速かった。
今は結果を受け入れてる段階。
180:１３２人目の素数さん
20/02/05 06:23:22 +pUSmyEU.net
>>165
解説ありがとうございました。
最後の方程式をWolframに解いてもらったら
人間技では扱えそうにない答になりました。
Solve[{p - 2 p (x/d), q - 2 q (x/d), r} . {2 (p/d), 2 (q/d), 0} == Norm[{p - 2 p (x/d), q - 2 q (x/d), r}] (Norm[{2 (p/d), 2 (q/d), 0}]/2), x, MaxExtraConditions -> Automatic]
x = (d^3 p^2 (q/d)^2 + d^3 p^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (q/d)^2 - sqrt(-d^6 p^2 (r)^2 (q/d)^4 - 2 d^6 p^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 +
d^6 (-p^2) (r)^2 (p/d)^4 - d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^4 - 2 d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 - d^6 q^2 (r)^2 (q/d)^4 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (p/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (q/d)^2) - 4 d p^4 -
8 d p^2 q^2 - 4 d q^4)/(2 (d^2 p^2 (q/d)^2 + d^2 p^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (q/d)^2 - 4 p^4 - 8 p^2 q^2 - 4 q^4))
x = (d^3 p^2 (q/d)^2 + d^3 p^2 (p/d)^2 - d^3 q^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (q/d)^2 + sqrt(-d^6 p^2 (r)^2 (q/d)^4 - 2 d^6 p^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 +
d^6 (-p^2) (r)^2 (p/d)^4 - d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^4 - 2 d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 - d^6 q^2 (r)^2 (q/d)^4 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (p/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (q/d)^2) - 4 d p^4 -
8 d p^2 q^2 - 4 d q^4)/(2 (d^2 p^2 (q/d)^2 + d^2 p^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (q/d)^2 - 4 p^4 - 8 p^2 q^2 - 4 q^4))
181:１３２人目の素数さん
20/02/05 08:43:38.73 t1CV2afM.net
>>174
なぜ FullSimplify しない？
X=の最初の式を%とすると
FullSimplify[%, d > 0 && p > 0 && q > 0 && r > 0]
1/6 d (3 + (Sqrt[3] r)/Sqrt[p^2 + q^2])
182:１３２人目の素数さん
20/02/05 09:26:37.46 VrbXRcrj.net
>>174
165です。これは自戒を含めてのコメントになりますが、あの方程式は、手で簡単に計算できます。
お試しください。
183:１３２人目の素数さん
20/02/05 09:41:51 PzHdrrq1.net
>>175
ありがとうございます。
その機能をはじめて知りました。
184:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:10:45 VrbXRcrj.net
>>174
「お試しください」と書きましたが、実際にお示しします。
あの戦略からの要請、二つのベクトル、P-Vt と V のなす角度がπ/3であるという方程式は
(P - V t).V=(1/2)*|(P -V t)|*|V|
と書けます。ピリオドはベクトルの内積、絶対値記号はノルムを表す記号としてます。
>>165では、無理矢理成分表示で、式を表していたため、見苦しくなりましたが、最初からこう書けばよかったですね。
|V|=2、P.V=p*(2p/d)+q*(2q/d)+r*0=2d、P.P=p^2+q^2+r^2=d^2+r^2 に注意して変形すると
P.V-t*V.V = |P -V t|
2d-4t = √(P.P-2t*P.V+4t^2)
16t^2-16td+4d^2=d^2+r^2-4td+4t^2
12t^2-12td+3d^2-r^2=0
t=(1/12){6d±√(36d^2-12(3d^2-r^2))}=(1/12){6d±(2√3)r}
と、言う具合に、簡単に t を求めることができます。
185:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:25:04 t1CV2afM.net
二次元平面上に無限に続く、1オームの抵抗で作られた正方形の格子において、
ナイトの動き(桂馬飛び)の位置にある2つのノード間の抵抗は
4/π-1/2 オームであることを示せ。
（Google入社試験 - 難易度を下げるために一部簡単化）
186:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:36:16 298bnSpu.net
>>179
コレは電気抵抗の知識なくても解けるの？
Googleの試験だからそこは知らなくても推定しろなのかな？
とりあえずググったら長さに比例して断面積に反比例するというのしか見つからない。
URLﾘﾝｸ(kenkou888.com)
187:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:38:21 298bnSpu.net
あれ？
格子点と格子点を結ぶように1Ωの抵抗が繋がってるという意味？
もしかして？
188:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:55:22 t1CV2afM.net
>>181
そうです。
>>179
の補足ですが、1オームの二次元無限格子の隣接ノード間の抵抗は
対称性の意味を知っていれば中学生で出せます。
より一般的には、任意の二つのノード間の抵抗は
有理数＋有理数×1/πであらわされることを示してください。
189:１３２人目の素数さん
20/02/05 15:02:45 t1CV2afM.net
>>180
前提となる物理知識は、中学生レベルのオームの法則とキルヒホッフの法則のみです。
190:１３２人目の素数さん
20/02/05 15:28:22 298bnSpu.net
つまりijにおける電位をe[i,j]として(0,0)から-1A、(2,1)に+1A流入してるとして
e[i+1,j]+e[i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]-4e[i,j]
=δi0δj0-δi2δj1
のときのe[2,1]-e[0,0]かな？
留数定理の香りがする。
191:１３２人目の素数さん
20/02/05 22:11:30 +pUSmyEU.net
>>178
どうもありがとうございました。
d=√(p^2+q^2)の情報なしでwolframに入力したので複雑な答で表示されたのだと理解しました。
192:１３２人目の素数さん
20/02/05 23:39:40.39 t1CV2afM.net
>>184
ヒント
ローラン展開による母関数
E(z,w)=Σ[i,j:整数] e(i,j) z^i w^j
193:イナ
20/02/06 04:43:23.90 Mv+y98sK.net
前>>173だれか入水角度60°の決め打ちじゃなくて、微分してみたって人いないかなぁ。
194:１３２人目の素数さん
20/02/06 06:18:07.30 Ya801udz.net
>>187
前スレで
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:807番)
が偏微分で極値を出している。
プログラムでの数値解と合致した。
立方体の方の計算�
195:ﾉうつったら。 オリンピップールの直方体の方が計算のしがいがあると思う。
196:１３２人目の素数さん
20/02/06 09:32:28.14 tNI6h0TT.net
>>188
前スレの807を書いた者だが、極値は二つ出たが、807では採用する方を誤ってしまった。
訂正内容を824に記してあるので、807を見る場合は、824もセットで見て欲しい。
197:１３２人目の素数さん
20/02/06 10:42:10.03 5WVjoOPr.net
>>187
偏微分以外は全部決め打ちと思ってる時点でもうこのスレでレスできるレベルに到達してない。
198:１３２人目の素数さん
20/02/06 22:27:39.52 eS4p1xAB.net
> だれか入水角度60°の決め打ちじゃなくて、微分してみたって人いないかなぁ。
イナ以外で60°という角度を使っている人は、思い付きだけで使っているわけでなく、
書くまでもなく計算したり、スネルの法則等の定理を用いて60度を導出しているんだからな
199:１３２人目の素数さん
20/02/06 23:33:31 Ya801udz.net
タクシー料金の改訂
# 京浜地区
# 旧運賃（小型)
F1=740 # 初乗運賃 Fair
D1=2000 # 初乗り距離 initial Distance
C1=90 # 加算運賃 Charge by distance
B1=288 # 加算距離 charge By distancce
# 新運賃
F2=500
D2=1200
C2=100
B2=264
URLﾘﾝｸ(travel.watch.impress.co.jp)
距離と新旧運賃および差額をグラフにしてみた。
運賃改定率が8.88％と記載されているのだがどうやって計算するんだろう？
200:１３２人目の素数さん
20/02/07 01:43:45 YN6u30Ej.net
>>187
横に１０ｍ走って縦に方向を変えてプールサイドからθの角度で座標(p,q）に向かって飛び込む時の所要時間は
10/2+((p-10)/tan(θ)+q)/2+sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)
角度を決めたら縦方向の走行距離が決まってしまう。
これを微分すればいい
D[5 + (q + (-10 + p) Cot[θ])/2 + Sqrt[(10 - p)^2 + (10 - p)^2 Cot[θ]^2], θ] をWolfram先生にお願いすると
導関数は((10 - p) Csc[θ]^2)/2 - ((10 - p)^2 Cot[θ] Csc[θ]^2)/Sqrt[(10 - p)^2 + (10 - p)^2 Cot[θ]^2]
んでもって
solve ((10 - p) Csc[θ]^2)/2 - ((10 - p)^2 Cot[θ] Csc[θ]^2)/Sqrt[(10 - p)^2 + (10 - p)^2 Cot[θ]^2]==0 for θ
導関数が０になるθを求めてもらうと
θ = π/3 θ = -π/3
マイナスだとプールに飛び込めないから、θ = π/3
目的の座標に関わりなく６０°と算出されました。
201:１３２人目の素数さん
20/02/07 02:37:34 JwTQ0wHH.net
>>192
8.88%をだしたいのなら、例えば、
100m利用、200m利用、...、6600m利用、6700m利用
の料金の合計を、新旧で比較すると、8.8位のアップになる。
1200m以下だと、新運賃は240円安い
1800m位から、逆転し、その後、じわじわ差が大きくなり、
4200m位から、240円位高くなる。
100mから4200m位をまんべんなく利用する人がいたとすると、この改定により、
利用額の増減はほとんど無いという解釈も可能。
距離が大きくなれば、値上げの効果がどんどん大きくなる。
最終的には、1m辺りの加算運賃の比 90/288 ： 100/264 = 33:40
なので、21.212121...%の上昇に近づく。
それが、6.7km辺りでは、8.8%だというだけ。
つまり、8.88位になるよう、最小距離100mと最大距離を6.7kmを恣意的に選んだだけ。
文頭の説明には説得力は全く無い。
恐らく、距離別利用割合のデータに基づいて、新旧の料金比較したのだろう。
この情報が無ければ、8.88%等の数値は出せないと思われる。
202:１３２人目の素数さん
20/02/07 03:19:17 9IJwzjmO.net
>>179
でけたかも。
まず(0,0)以外で漸化式
4e(i,j)=e(i+1,j) + e(i-1,j) + e(i,j+1) + e(i,j-1)
を満たす列を探す。
e(i,j)=∫[|x|,|y|<π] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
がこの条件を満たす。
また|i|,|j|→∞で0に行く。
そこで点i,jに電荷はe[i,j]-e[2-i,1-j]となる。(多分解は一意、ノーチェック)
e[0,0]=0, e[2,1]=32π-4π^2
であるから電位差は64π-8π^2。
e[1,0]=4π^2だから原点から隣接する4点に計16π^2の電流が流れる。
よって求める抵抗値は(32π-4π^2)/16π^2=4/π-1/2である。
またe[i,i]が
e[i,i]=∫(1-cosix))/(1-cos(x)cos(y))dxdy
であるが、yについて先に積分すると
e[i,i]=π∫(1-cosix))/|sin(x)|dx
となり、この値はπの有理数倍になる。
コレと漸化式によりe[i,j]はπとπ^2の有理係数の線形結合である。□
e[i,i]の計算が全く思いつかなかった。
e[i,j]の母関数って作れるのかな？
203:１３２人目の素数さん
20/02/07 08:18:59 YN6u30Ej.net
>>194
レスありがとうございます。
距離と新旧運賃と差額のグラフのアップロードを忘れておりました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
与えられたデータだけからは平均値上げ率は算出できない思っていたのが確認できました。
ある距離までの乗客数が同じと仮定したときの平均の値上げ率をグラフにすると
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> which.min((crs-0.0888)^2)
[1] 6869
> pir(6869)
[1] 0.08882413
6．9キロくらいの平均で8.9％の値上げ率になりました。
計算したひとはこういう数字を使ったのでしょう。
204:イナ
20/02/07 08:40:02.32 VtLCtPNo.net
前>>187
>>193
角度を決めたら泳ぐ距離が決まる。θで微分するか、θとxの両方で微分するかってとこですか。
205:１３２人目の素数さん
20/02/07 10:21:34.08 YN6u30Ej.net
>>197
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
Oから出発してAを経て角度θで入水してS(p,q)に泳ぐとする
AJの長さをxとすると
tan(θ)=(10-p)/(q-x)だから
x=q-(10-p)/tan(θ)
となり、
所要時間の計算からxは消去できて
10/2+((p-10)/tan(θ)+q)/2+sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)
となる。
この極値を与えるθはp,qによらないのは>193に書いた通り。
206:１３２人目の素数さん
20/02/07 15:11:11.89 YN6u30Ej.net
>>197
>角度を決めたら泳ぐ距離が決まる。
違う、角度を決めたら走る距離も泳ぐ距離も決まる
207:１３２人目の素数さん
20/02/07 15:12:19.07 YN6u30Ej.net
走る距離 10+((p-10)/tan(θ)+q)
泳ぐ距離 sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)
208:１３２人目の素数さん
20/02/07 20:35:27.63 CyUpE86n.net
>>179の解の一意性の証明ができないなぁ。
昔これエレガントな解答を求むかなんかで
4a[ij]=a[i+1j]+a[i-1j]+a[ij+1]+a[ij-1]
をみたす有界な列は定数に限る事を示せ
の形で出題されて2chにえらいエレガントな解答が上がって数セミに載ったっていう事件があったけど、あれどんな証明でしたっけ？
誰か覚えてます？
209:１３２人目の素数さん
20/02/07 20:48:28.93 oSzq3jEL.net
>>195
正解です。よく特殊解を探せましたね。
その特殊解を(i',j')個すらして符号を変えて重ね合わせて正規化すれば、
2点(i',j')--(0,0)間に1Aの電流を流した時の電位の式が出ます。
想定していた解答は、2点(2,1)--(0,0)間に1Aの電流を流した時の電位の式
e[i+1,j]+e[i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]-4e[i,j]=δi0δj0-δi2δj1
にexp(√-1 (ix+jy))をかけてi,jで和を取ると
(exp(-√-1 x)+exp(√-1 x)+exp(-√-1 y)+exp(√-1 y)-4)E(x,y)=1-exp(√-1 (2x+y))
(ここで E(x,y)=Σ[i,j:整数] e[i,j]
210:exp(√-1 (ix+jy)) と置く) より E(x,y)=(1-exp(√-1 (2x+y)))/(2cosx+2cosy-4) これをフーリエ級数の公式(留数定理) e[i,j]=(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π]E(x,y)exp(-√-1 (ix+jy))dxdy を用いて逆変換すると、(2,1)--(0,0) 間の電位は e[2,1]-e[0,0]=(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π](exp(-√-1 (2x+y))-1)(1-exp(√-1 (2x+y)))/(2cosx+2cosy-4) dxdy =(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(2x+y))/(2-cosx-cosy) dxdy =4/π-1/2 一般に(0,0)--(i,j)間の抵抗値は (1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(ix+jy))/(2-cosx-cosy) dxdy =(1/(8π^2))∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(i(x+y)+j(x-y)))/(1-cosxcosy) dxdy =(1/(8π^2))∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos((i+j)x)cos((i-j)y))/(1-cosxcosy) dxdy =(1/(2π))∫[0,π] (1-cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|)/|sinx| dx (0,0)--(i,i)間の抵抗値は (1/(2π))∫[0,π] (1-cos((i+j)x))/|sinx| dx =(2/π)(1+1/3+1/5+1/7+...+1/(|2i|-1))
211:１３２人目の素数さん
20/02/07 21:19:32.21 CyUpE86n.net
>>200
その解は
f(x,y)=Σe[kl]exp(ikx+ily)
が収束すると仮定して(仕事率の有限性から二乗は収束する)みたすべき関数方程式で見つけました。
見つかっちゃえば解答はコレが解だでいいハズなんですが、級数の収束性とかが自明でないのでコレのみが解なのか示せてなくて気持ち悪い。
まぁ入社試験ではそこまで求められないんだろけど。
>>201のエレガントな解答求むのやつは確か与式が等号でなくて不等号だったかな？
しかしそこから等号の有界な非自明解の存在が必要性で出てきて矛盾を導くという流れだったような。
検索しても出てこないなぁ？
212:１３２人目の素数さん
20/02/08 00:08:01.33 aj0WebTe.net
>>202
補足
特殊解(原点に8π^2の電流を注入した解)
∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos((i+j)x)cos((i-j)y))/(1-cosxcosy) dxdy
=4π∫[0,π] (1-cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|)/|sinx| dx
は|i|=|j|で 4πΣ[n=1,|i|] 1/(2n-1) になって |i|=|j|→∞で発散します。
一方、2点間(0,0)--(2,1)で符号を変えて重ね合わせた解((0,0)--(2,1)間に8π^2の電流を流した解)
∫[0,2π]∫[0,2π](cos((i+j)x)cos((i-j)y)-cos((i+j-3)x)cos((i-j-1)y))/(1-cosxcosy)dxdy
=4π∫[0,π](cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|-cos((i+j-3)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j-1|)/|sinx|dx
はリーマン・ルベーグの補題より|i|,|j|→∞で0に収束します。
ちなみに、3次元の無限格子ではこのような発散は起こりません。
213:１３２人目の素数さん
20/02/08 07:44:31.25 MW5Whxwa.net
隔離中のクルーズ船では
船内の換気が共通らしいから13日後に発症した奴がいるとその近くの部屋のやつはプラスで14日隔離しないといけない
それが今の船内の状況という。
こんな問題を考えてみた（答は自分でもまだ持ってません）。
計算には追加の設定がいるかもしれません。
両隣のどちらかが感染したら14日延長、どの部屋も1日で感染する確率pは1%
部屋の配置は長方形（つまり始まりも終わりもなし）。
発症するか、隔離期間が終われば下船できる。全員定員１の個室として客と乗務員を合わせた人数nは3000人。
クルーズ船から全員下船できる日数の期待値は？
214:１３２人目の素数さん
20/02/08 08:08:03 MW5Whxwa.net
>>190
正解が出てから誤答を連投する芸人をどう納得させるかというゲームだと思って俺は楽しんでる。
215:１３２人目の素数さん
20/02/08 08:11:36 MW5Whxwa.net
部屋の配置は長方形（つまり始まりも終わりもなし）。
どの部屋にも両隣があると言う意味。
長方形に意味なし、円形配置でも同じ。
216:１３２人目の素数さん
20/02/08 11:46:54 MU+ZFKMw.net
もし 4a[i,j] = a[i,j+1]+a[i,j-1]+a[i+1,j]+a[i-1,j] =: 4(Δa)[i,j] が全ての(i,j)で成り立つ状況なら、
閉領域[-n,n]^2に属する格子点(i,j)全体におけるa[i,j]の最大値、最小値は、
どちらも辺∂([-n,n]^2)上でとらなければならないから、一意性はこれが鍵になったりするのかなあ
状況的にはリウヴィルの定理に似てるから、その証明と同じ手法が使えたりはしないだろうか
217:１３２人目の素数さん
20/02/08 13:31:28.34 dmI15PZj.net
ある1点のみで微分可能であり、他の至る所で微分可能でないような関数の例を挙げよ。
218:１３２人目の素数さん
20/02/08 13:49:21.83 kYb/Jpp8.net
f(x)=x^2 (x: rational)
. =0 (otherwise)
219:イナ
20/02/08 17:08:45.78 JlYEzXuq.net
前>>197
θで微分するのとθとxの両方で微分するのとどっちが妥当か考えてみたい。
220:１３２人目の素数さん
20/02/08 17:15:30.17 +JttXwIS.net
>>205
とても解析的には解けそうもないのでシミュレーションで計算してみた。
１０万回のシミュレーションで平均値
> mean(RE)
[1] 57.942
と計算された。
221:１３２人目の素数さん
20/02/08 17:37:24.71 +JttXwIS.net
>>205
１日で新たに3人ということなので感染確立を0.1％にしてシミュレーションしたら。
> k=1e4
> RE=replicate(k,sim())
> mean(RE)
[1] 30.8222
全員が下船できるのは１か月後という予想になった。
222:１３２人目の素数さん
20/02/08 19:56:19 kYb/Jpp8.net
>>208
それだな。
格子点の集合Sn={(k,l) | |k|+|l|≦n}を考えるとき任意のx∈Snに対して∂Sn上の関数w(y)でw(y)∈[0,1]Σw(y)=1、e(x)=Σw(y)e(y)を満たすものが存在する。
特にmax{|e(x)| ; x∈Sn}= max{|e(y)| ; y∈∂Sn}。
証明はnについての帰納法。
223:１３２人目の素数さん
20/02/08 22:42:10.34 +JttXwIS.net
>>205
シミュレーションで全員下船までの日数と1日の感染確率の関係をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ｐを大きくするとシミュレーションが終わらない。
p=0.9999とかすると1日で全員下船と瞬時に終わるけど。
224:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/09 05:26:49 glwDVnx4.net
前>>211
225:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/09 05:35:52 glwDVnx4.net
前>>211
初めの座標のとり方から、文字の置き方まで人の数だけ異なる解法があっていいと思う。
4sin^4θ+4sin^3θ+5sin^2θ-4=0
シュクメルリの定理によりθ＜60°みたいな決定的な式をみつけたい。
226:１３２人目の素数さん
20/02/09 07:24:54.89 Unvdz8cL.net
ある小学校のあるクラスでは、バスで遠足に行くことになった。
バスの座席は事前に決まっていたが、最初にバスに乗った児童が自分の座席を忘れて、任意の座席に座ってしまった。
他の児童は、一人ずつバスに乗り込み、自分の座席が空いていればその座席に、そうでなければ空いている任意の座席に座った。
このとき、最後の児童が自分の座席に座れる確率は、クラスの児童数にかかわらず一定であることを証明せよ。
227:１３２人目の素数さん
20/02/09 08:42:25.56 +DmUozks.net
>>218
シミュレーションしてみたら、0.5前後の値が返ってきた。
seat.n <- function(n){ # n: 生徒の人数
s=1:n # 残り座席番号
s1=sample(s,1) # 最初の生徒１の座る席番号s1
s=s[-s1] # s1を残り座席から除く
for(i in 2:(n-1)){ # 生徒２から生徒n-1まで
if(i %in% s){ # 生徒iの座席iが残っていれば
s=s[-which(s==i)] # その座席をsから除く
}else{
ls=length(s) # 残り座席数 length of s
si=sample(ls,1) # 1:lsの中から1個選びsiとする
s=s[-si] # si番目の座席を除く
}
}
s==n # 生徒ｎの席番号はｎかの真偽を返す
}
sim <- function(n,k=1e4){
mean(replicate(k,seat.n(n)))
}
228:１３２人目の素数さん
20/02/09 08:58:40.02 +DmUozks.net
nを３から５０までに変化させて最後の児童が自分の座席に座れる頻度をだしてグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
229:GyDJ.png
230:１３２人目の素数さん
20/02/09 09:01:00.76 +DmUozks.net
>>217
>人の数だけ異なる解法があっていい
そして、正しければ答が一致する。
231:１３２人目の素数さん
20/02/09 09:18:05.66 a34FdUHe.net
>>218
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が正しい席にすわる)=1
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の最後の生徒の席にすわる)=0
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が最初と最後の生徒の席以外の席にすわる)=1/2 (∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)
∴ p(最後の生徒が正しい席にすわる)=1/2。
232:１３２人目の素数さん
20/02/09 12:15:25 +DmUozks.net
数学的帰納法を使うんじゃないのか？
233:１３２人目の素数さん
20/02/09 13:25:33.82 BHX2wTJj.net
>>179の問題は自分的には納得できたのだけど>>201で書いたエレガントな証明が思い出せなくてムカつく。
ネットで検索すると、やはりあるのはあるはず
この↓インターネット上の匿名氏の証明。
誰か知りませんか？
URLﾘﾝｸ(www.cc.miyazaki-u.ac.jp)
というのが有名な雨宮問題であり、長年初等的証明は懸案であった。もともとは一松信による英語本の問題であったが、雨宮が初等的解法の存在を数セミの「エレガントな解法を求む」に出題したのである。最近では
０．もともとの英語本の著者による位相空間の端点理論を使う証明
１．名古屋大学の山田氏による証明
２．インターネット上の匿名氏の証明
３．（有界な場合のみ通用する）関数解析的証明
が存在することが知られている。
234:イナ
20/02/09 13:42:01.97 glwDVnx4.net
前>>217
xを+にとったのはいい。
もう一度考えてみる。
235:１３２人目の素数さん
20/02/09 14:24:06 drHYoHKW.net
>>224
このリンク先に意味があるのかね？
236:イナ
20/02/09 15:46:18.09 glwDVnx4.net
51.56095029371006087°
前>>225
うまく決まらないな。
237:１３２人目の素数さん
20/02/09 17:31:29.03 31X3KU8h.net
>>218
m人が残っていているとき、このうち何人分の正しい席が残っているかと考えると、
m-1人の正しい席が残っているか、m人全ての正しい席が残っているかどちらか。
なぜそのようなことが言えるか？
m人、残っている状態で、ある人物Ｘがいて、自分の席に座ろうと、自分の席があるであろう場所に向かい、
他の生徒が座っているのを見たとする。問題では、全ての生徒が気弱設定なのかもしれないが、この人物Ｘは
たまたま強気で、「この番号札を見ろ。ここは俺の席だ。どっか行け。」と追い出したとする。
この追い出された人物は、『自分だって本当の席に座りたかったんだ』と心の中で反論し、本当の自分の席に
向かい、さっき自分が言われたのと同じ台詞「この番号札を見ろ。ここは俺の席だ。どっか行け。」を言って、
憂さを晴らした。これが繰り返されるとどうなるか？
最初にバスに乗り、適当に座った人物、以後これをＡと称すが、Ａだけが追い出される。
この追い出し作業の間、空席には、全く変化は無いし、Ａ以外、全て正しい席に座っている。
困ったＡは、残った席の中から、適当な席を見つけて座ったとする。
さて、ここで、Ａが座った席。これを、文頭で登場した人物Ｘを、問題通り気弱設定にして、
自分の席が他の人物に占拠されていて仕方なく適当に選んだ席に置き換えてみよう。
何が違うか？何も変わらない。
問題では、バスに最初に乗り込んだ人物が、自分の席が書かれた番号札を無くしたことになっているが、
残り、m人が残っている状態で乗り込んだ人物が、番号札を無くしていたのと同じ。
最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
かつ、残りの席から、間違った席を選んだ確率に等しい。つまり、１／２である。
238:１３２人目の素数さん
20/02/09 17:35:02.88 31X3KU8h.net
あ、間違った。
×：最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
×：かつ、残りの席から、間違った席を選んだ確率に等しい。つまり、１／２である。
○：最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
○：かつ、残りの席から、正しい席を選んだ確率に等しいとして計算できる。つまり、１／２である。
239:１３２人目の素数さん
20/02/09 17:52:28 pAXGuv7W.net
>>223
>>222 の解答を丁寧に書くと
人数がn人のときの最後の人が自分の席に座る確率をp[n]として帰納法を用いる
n=2のとき明らかにp[2]=1/2
n>2のときp[n-1]=...=p[2]=1/2と仮定すると
1人目が自分の席に座る確率 = 1人目が最後の人の席に座る確率 = 1/n, 1人目が2からn-1人目の席に座る確率 = (n-2)/n
・1人目が自分の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = 1
・1人目が最後の人の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = 0
・1人目がk人目(2≦k≦n-1)の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = p[n-k+1] = 1/2
従って
p[n]=(1/n)*1+(1/n)*0+((n-2)/n)*1/2=1/2
240:１３２人目の素数さん
20/02/09 18:41:02.01 zmPDrO9K.net
>>222
>(∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)
この場合
2人目～最後の置かれた状況は1人目～最後の場合と異なっているけど帰納法使えるってなんで？
241:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:24:31.42 pAXGuv7W.net
>>231
1人目が2人目の席に座った場合、2人目は名簿を持っていないのと同じ状況になるから
242:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:31:11.92 zmPDrO9K.net
>>232
1人目の人は自分の席に座る可能性があるけれど
その場合の2人目の人はその可能性がないでしょ？
243:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:32:38.31 zmPDrO9K.net
ああそうか1人目の席に座る可能性があると言うことか
わかった
244:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:38:31.86 pAXGuv7W.net
>1人目の人は自分の席に座る可能性があるけれど
その場合は最後の席まで問題なく正しく決まり、条件付き確率は1になる(だから解答は３つの場合分けをしてある)
245:イナ
20/02/09 19:50:10.02 glwDVnx4.net
前>>227計算に自信ない。極値与えるθに理由ない。
救出時間f(θ)=5+{x-(10-x)cosθ/sinθ}(1/2)+(10-x)/sinθ
=5+x/2-(5-x/2)cosθ/sinθ+10/sinθ-x/sinθ
=5+x/2-5cosθ/sinθ+xcosθ/2sinθ+(10-x)/sinθ
f'(θ)={5sin^2θ-(-5cos^2θ}/sin^2θ+(-xsinθ2sinθ-xcosθ2cosθ)/4sin^2θ+(10-x)cosθ/sin^2θ
=5/sin^2θ-1/sin^2θ+10cosθ/sin^2θ-xcosθ/sin^2θ
=4/sin^2θ+(10-x)cosθ/sin^2θ
f'(θ)の分子=0より、
2+5cosθ-xcosθ=0
xcosθ=2+5cosθ
x=2/cosθ+5
などかはしらねθ=60°と仮定すると、
x=2/(1/2)+5=4+5=9
f(60°)=5+{9-(10-9)cos60°/sin60°}(1/2)+(10-9)/sin60°
=5+(9-1/√3)(1/2)+√3/2
=5+9/2-1/2√3+√3/2
=19/2+1/√3
=(57+2√3)/6
=10.0773503……
246:１３２人目の素数さん
20/02/09 20:18:42.13 BHX2wTJj.net
>>236
心配するな。
お察しの通り間違ってる。
247:１３２人目の素数さん
20/02/09 21:08:01.72 .net
>>218もグーグル入社試験？
248:１３２人目の素数さん
20/02/09 21:08:05.73 zmPDrO9K.net
>>235
それも入れて2人目～で同じ状況でないといけないよ
で2人目には1人目の席に座る可能性があって
その場合が1人目が自分の席に座る場合と同様の展開になるってわけ
そのつもりでなかったの？
249:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:07:16.60 SF8a8rkr.net
>>224
多分こんな感じの流れで示すことはできそう
(Δa)[i,j] := (a[i+1,j]+a[i-1,j]+a[i,j+1]+a[i,j-1])/4
と定めると、(Δ^(2n))a を展開した時の係数は ( (cosx+cosy)/2 )^(2n) を展開した時の係数と同一視することができ、
特に e^(i(2px+2qy)) の係数 c[p,q] は次を満たす：
c[p,q]=0 when |p|+|q|>n,
c[p,q]=c[p,-q]=c[-p,q],
|p|≧|p'| かつ |q|≧|q'| ならば c[p,q]≦c[p',q'].
これより (Δ^(2n)a)[0,0] - (Δ^(2n)a)[2,0] の各係数の絶対値の和は
=2Σ_(p,q∈Z, p≧0) |c[p,q]-c[p+1,q]|
=2Σ_(q∈Z) c[0,q]
=:S_n→0 (as n→∞)
であるから、配列a[i,j]が Δa=a かつ任意の(i,j)について |a[i,j]|≦M を満たすならば、
|a[0,0]-a[2,0]|≦MS_n (for∀n) より a[0,0]=a[2,0].
同様にして a[i,j]=a[i,j+2]=a[i+2,j] が導けるから、あとは容易。
250:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:19:26.26 BHX2wTJj.net
>>240
いや、残念ながら雨宮の問題で仮定できるのは正値だけ、上の有界性は仮定できないのです。
251:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:30:57.30 SF8a8rkr.net
ちなみに
252:この結果は、例えば原点以外だけで Δa=a を満たすような有界配列aを求める時にも使える。 この場合、そのようなaの具体例の一つは>>195で挙げられているのでa'とおくことにすると、 もし仮に原点以外だけで Δa=a を満たすような有界配列 a'' が a' とは別に存在するならば、 定数cを適切に定めれば a~:=a''-ca' が全ての格子点で Δa~=a~ を満たす有界配列になるため、a~は定数。 すなわち、a'' は a' と定数の線形結合でなければならない。 同様にして、あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たすような有界配列 a は a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数) と表せることがわかる。
253:イナ
20/02/09 22:31:22.31 glwDVnx4.net
前>>236
>>218
生徒数をxとすると、
1/2じゃないかな。勘で。
254:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:31:49.18 SF8a8rkr.net
>>241 まじか、見落としてたすまない
255:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:39:06.73 zmPDrO9K.net
>>244
>>201
256:１３２人目の素数さん
20/02/09 23:08:17.31 BHX2wTJj.net
>>244
いえいえ、少なくとも有界ケースについては定数解しかないという話は雨宮の問題はともかく>>179の問題には使える。
何故ならオレは物理そんなに詳しくないから自信ないけど流石に系において各点の電位は正電極より低く負電極よりは高いのはほぼ自明と言って良さそう。
むしろ無限遠で電位が0の方がよっぽどあやしい。
だから実は>>179の問題解くにはキルヒホッフの法則とオームの法則以外にその辺の知識もいるっちゃいるんだよな。
257:１３２人目の素数さん
20/02/09 23:26:59.76 pAXGuv7W.net
>>239
より丁寧に説明すると、誰も座ってない状況から
場合1: 1人目が1人目(自分)の席に座る場合 (全員正しい席に座れる)
場合2: 1人目が2人目の席に座る場合 (2人目がランダムに選ばなければならない)
場合3: 1人目が3人目の席に座る場合 (2人目は正しい席に座れて、3人目がランダムに選ばなければならない)
...
場合n-1: 1人目がn-1人目の席に座る場合 (2人目からn-2人目は正しい席に座れて、n-1人目がランダムに選ばなければならない)
場合n: 1人目がn人目(最後の人)の席に座る場合 (n人目は正しい席に座れない)
の場合分けを考えます。この場合の確率はすべて等しく
P(場合1)=P(場合2)=...=P(場合n-1)=P(場合n)=1/n
であり、最後の人が座れる条件付き確率は
P(n人目がn人目の席に座る|場合1)=1
P(n人目がn人目の席に座る|場合2)=p[n-1] (∵2人目がランダムに座る座席は1人目,3人目,...n人目のn-1席⇒n-1人の状況に還元)
P(n人目がn人目の席に座る|場合3)=p[n-2] (∵3人目がランダムに座る座席は1人目,4人目,...n人目のn-2席⇒n-2人の状況に還元)
...
P(n人目がn人目の席に座る|場合n-1)=p[2] (∵n-1人目がランダムに座る座席は1人目,n人目の2席⇒2人の状況に還元)
P(n人目がn人目の席に座る|場合n)=0
となります。そしてp[n]を計算すると
p[n]=P(n人目がn人目の席に座る)
=Σ[k=1,n]P(n人目がn人目の席に座る|場合k)P(場合k)
=(1/n)+Σ[k=2,n-1]p[n-k+1](1/n)
=(1/n)+(n-2)(1/2)(1/n) (∵帰納法の仮定p[n-1]=p[n-2]=...=p[2]=1/2より)
=1/2
258:１３２人目の素数さん
20/02/10 00:15:28.72 Cj4YNvxv.net
>>247
1人目がk人目(k>1)の席に座る場合
2人目からk-1人目までは自分の席に座るから
k人目が1人目と同様の状況になるので帰納法の仮定が使える
ただしそこでk人目が1人目と同様の状況とは
k人目が1人目の席に座ればあとは皆自分の席に座ることになるということと
k人目が座るべきだった席には1人目が座っているから今ある席からランダムに席を選ぶしかないということが
1人目が自分の席に座ればあとは皆自分の席に座ることになるということと今ある席の中からランダムに席を選ぶしかないということと同じということ
259:イナ
20/02/10 01:17:58.05 Yw6JNRbB.net
／∥__`∥￣￣∥彡ミ､
∥∩∩ ∥ □ ∥^o^川
（ (`)∥ ∥цc_)
（っ⌒⌒ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥╂─╂
＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼前>>243偏微分とかいっちょ前に言いたげだけど要は1対2対√3の三角定規当てれば小学校低学年で解けるってことだからな。
260:１３２人目の素数さん
20/02/10 02:29:53.99 XWhjucY0.net
>>218
帰納法使わなくても簡単に解けると思う。
最後の人の席をL、最初の人の席をFとする。最後の人はLに座れば勝ちとしよう。
最後の人の勝利条件は「LよりFが先に座られる」ことで、敗北条件は「FよりLが先に座られる」こと。
最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける（最初の人や自分の席が座られている人の場合はFもLも等確率で座られるし、自分の席が空いている人の場合FもLも座られる確率は0）。
よって、勝利条件と敗北条件が等価なので答えは1/2。
261:１３２人目の素数さん
20/02/10 02:42:40.39 XWhjucY0.net
各人の座る席が正しいか正しくないかという考察ほぼほぼ無しで解けるの凄く美しいね
262:１３２人目の素数さん
20/02/10 02:47:23.31 70pt9AB7.net
>>228
の解答だが
> m-1人の正しい席が残っているか、m人全ての正しい席が残っているかどちらか。
において、m-1人の正しい席が残っているときしか考慮してないように思うのだが...
m人全ての正しい席が残っている場合は、Aが正しい席に座っていた場合で追い出す必要はなくて
このときXは番号札を持っている状態に相当する
もし勘違いだったらすまん
263:１３２人目の素数さん
20/02/10 02:58:04.66 FWWWRdtj.net
>>218
児童の数をn人とする
円周上にa1からanまでn個の点をとり、
これらをいくつか結んでa1を頂点に含む内接多角形をランダムに作る
（ただし便宜上、１角形と２角形も認める）
その多角形がanを頂点に含まない確率と同じ
264:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:00:30.77 421H1KJr.net
>>250
そんな解答が成立するならどんなに先手が有利なゲームでも先手後手の勝率1/2になってしまうのでは？
例えば今回のでも最初の人も途中で席がなかった人もサイコロ振って6が出た時は正解の席、すなわち最初の人は自分の席、それ以降の人は所有者が間違った席に着席してあぶれてる席に座り、それ以外の場合のみ自由にすわるルールにすれば確率は1/2でなくなるよ。
265:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:04:19.87 Mlme5M1c.net
>>253
本当にそのふたつの間に保測写像ある？
問題文の方は分母に1～nまでなんでも出てくるけど内接多角形の方は分母に二冪しか来ないけど？
266:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:10:38 FWWWRdtj.net
>>255
単純に多角形の数を数えて
anを含むk角形とanを含まないk-1角形の数が等しいので
全体として半分ずつになるって考えたんだがダメかな
267:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/10 03:14:35 Yw6JNRbB.net
前>>249前にx/√2にしてたx座標をxにして解きなおした。
最初に監視人がいる位置から救出地点(x,x)までの距離はx√2(m)
縁を端まで5秒、直角に曲がり、
{x-(10-x)/√3}(m)の地点まで、
{x-(10-x)/√3}(1/2)秒で行き、進行方向に対して60°の方向に飛びこんで泳ぎ、対角線上を泳いできた監視人と同時にアタックした。
(_(`.)っヾ(゜o゜)ノﾞc(`e'!彡
~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~
救出時間で立式すると、
x√2=5+{x-(10-x)(1/√3)}(1/2)+(10-x)(2/√3)
x√2=5+x/2-10/2√3+x/2√3+20/√3-2x/√3
x(√2-1/2-1+4)=5-10/2√3+20/√3
x=(30+10√3)/(3+2√6-√3)
=7.67326988……
x√2=10.8516423……(秒)
前にこの値出して最速じゃないとなったやつじゃないか。
268:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:33:58.76 b0ggZ9I3.net
>256
さぁ？
例えば6人だとして
325461
とすわる確率は
1/6x1x1/4x1x1/2
でこれは最後の人が自分の席に座れない場合にカウントされる軽率。
このような事象を全部足し合わせて1/2になる事を示せればいいといえばいい。
コレに3→5→6→3と結んで四角形と対応させてもいいけど確率は六角形から何点か好きに選ぶ1/64とはズレる。
269:１３２人目の素数さん
270:
>>256 すまん訂正 anを含むk角形ができる場合とanを含まない(n+1-k)角形ができる場合が対応してるんだった
271:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:44:09.98 qRxWZgbb.net
>>256あ、でもこの多角形論法はうまくやると1/2説明できるね。
素晴らしい。
272:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/10 05:26:24 Yw6JNRbB.net
前>>257
>>237
どっかで見覚えがある数値だと思ったら、>>31ですでにあってたんじゃないの？
273:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:00:44 YjGt8s3q.net
>>252
最初の2行は、空席の中にせいぜい一つの席しか、過ちがないということを言いたかった。
「なぜそのようなことが言えるか？ 」と書き、主題をこの点の説明に当てている。
そして、その説明の延長として、
「自分の番号札を無くしたのが、1番目の人か、（後ろから数えて）m番目の人か、区別できない」
点を指摘し、m=2の時を使えば簡単に確率の計算ができるので、それを使って答えを求めている。
状況を、「m-1人の正しい席が残っている」場合と「m人全ての正しい席が残っている」場合
に分け、それぞれについて、説明を加えたわけではない。
m人が残っている状態で、「m-1人の正しい席が残っている」確率と「m人全ての正しい席が残っている」
確率を求め、数学的帰納法を用いて、答えを求める方法もあるが、>>218では、その手段を用いていない。
>> m人全ての正しい席が残っている場合は、Aが正しい席に座っていた場合で追い出す必要はなくて
>> このときXは番号札を持っている状態に相当する
これは、Xが登場するまえのだれかが、自分の席が占拠されているのを見て、適当な席に座った。ただし、
その席がたまたまＡの席であって、それ以降に乗車する人たちへの悪影響がこの時点で断ち切られている状況にあたる。
もちろん、一番最初に乗車したＡ自身が、適当に座った座席がたまたま、本来のＡの席であることも
「含まれ」はするものの、「ＡがＡの席に座る」には完全対応はしない。
繰り返すが、「ＡがＣ、ＣがＧ、ＧがＡ」のように解決した場合であり、これには、「ＡがＡ」も含まれる。
274:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:02:35 YjGt8s3q.net
上の218への引用は、>>228への引用の間違い
275:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:18:46 vVxwssud.net
>>254
> そんな解答が成立するならどんなに先手が有利なゲームでも先手後手の勝率1/2になってしまうのでは？
> 例えば今回のでも最初の人も途中で席がなかった人もサイコロ振って6が出た時は正解の席、すなわち最初の人は自分の席、それ以降の人は所有者が間違った席に着席してあぶれてる席に座り、それ以外の場合のみ自由にすわるルールにすれば確率は1/2でなくなるよ。
そのルールは
> 最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける
には当たらないだろ？
> 確率は1/2でなくなるよ。
になっても何の問題ないだろう
>>250は帰納法の一種なんじゃじゃないかとは思うが
276:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:57:44.91 1+8rzOtr.net
>>264
その抽選論法で本当に正しい確率計算できるのか概略ではなく厳密に書き出したものを示してください。
277:１３２人目の素数さん
20/02/10 10:28:51.75 vVxwssud.net
>>254の論法が間違っているって言っているだけだよ
というか、この程度の論法(>>250)が正しいかぐらい自分で確認しろよ
> 最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける
が真かを確認するだけだろ
278:１３２人目の素数さん
20/02/10 10:33:13.78 1+8rzOtr.net
>>266
あなたは>>250の言ってる事がわかるんですか？
わたしにはFもLもなんか公平にやるゲームだから1/2って言ってるようにしか見えません。
正直戦略とかゲームとかいう言葉使いたいだけで証明もできてないんじゃないかと疑ってます。
279:１３２人目の素数さん
20/02/10 10:37:20.07 1+8rzOtr.net
あ、戦略とかは使ってないのか。
勝利とかいってるからゲーム理論を気取ってるのかと思った。
280:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:18:42 70pt9AB7.net
>>262
ありがとう、理解できた。
281:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:45:00 YjGt8s3q.net
>>218
この問題は、次の問題と対応が可能。
カードがｎ枚あり、それぞれに、１からｎまでの数字が書かれている。
これらのカードを袋に入れる。
プレイヤーは、１からｎの中から、勝ち番号と、負け番号を決め、
勝ち番号、または、負け番号が書かれているカードが出るまで、袋の中からカードを選び続ける。
勝ち番号を引いて終了する確率は？ → 当然1/2と考えられます。
取り出された数字列を、適当に選ばれて座られてしまった座席番号に対応させます。
（失念か、すでに占拠されていたか、理由は問わない）
先頭の人の本当の座席番号を先に引くか、最後の人の座席番号を先に引くかが、
先頭の人の本当の座席番号を引いて横取り連鎖が途中で終了するか、
最後の人の座席番号を引いて、横取り連鎖に最後の人も引き込むかが決定され、
問題で言うところの、最後の人が正しい席に座れるか、座れないかに対応可能です。
アイデアのほとんどは >>250さんが指摘されたもので、対応がわかりやすくなるよう少々アレンジしてます。
282:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:50:09 KXMXye1h.net
日本最高学費の底辺私立医大では
１年：進級失敗１０人
２年：進級失敗１６人
３年：進級失敗３４人
４年：進級失敗９人
５年：進級失敗１０人
６年：卒業失敗２６人
一学年約120～130人前後。
同じ学年で二回留年すると退学
ｽﾚﾘﾝｸ(doctor板:1番)
であるという。
1年次学費総額 12,145,000円 2年次以降学費（年間） 7,030,000円
1学年を125人として上記データから算出した確率（例、1年次は10/125の確率で留年）を用いて
卒業できる確率と卒業生の在学年数の期待値を求めよ。
また、退学になる確率と退学者の在学年数の期待値を求めよ。
283:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:56:54 XWhjucY0.net
>>254
その場合最初の人の着席においてFとLが等確率の抽選を受けていないので当然結果は変わってくると思いますが
284:１３２人目の素数さん
20/02/10 19:42:14 yBFcK3Lr.net
ある小学校のあるクラスでは、バスで遠足に行くことになった。
バスの座席は事前に決まっていたが、最初にバスに乗った児童が自分の座席を忘れて、任意の座席に座ってしまった。
他の児童は、一人ずつバスに乗り込み、自分の座席が空いていればその座席に、そうでなければ空いている任意の座席に座った。
クラスの人数をnとして自分の席に座れる生徒数の期待値をe[n]とするときlim e[n]/log(n)を求めよ。
自作。
できないかも。
285:１３２人目の素数さん
20/02/10 19:46:52.71 yBFcK3Lr.net
>>273
訂正
lim(n-e(n))/log(n)
です。
286:イナ
20/02/11 02:59:50.00 EsKbfXIQ.net
前>>261
>>271卒業できる確率は、
8(4/23)+12.8(20/99)+(3400/99)(4/13)+(180/13)(5/14)+(125/7)(10/23)+(1300/23)
=83.7751427……(％)
在学年数の期待値は、
6(16/83.7751427……)+7{(83.7751427-16)/83.7751427}
=6.80901256(年)
退学になる確率は、
100-83.7751427……
=16.2248572……(％)
退学者の在学年数の期待値は、
1(10/125)(16/115)+2(10/125)(34/115)+3(/)+4(/)+5(/)+6(/)+7(/)もう少し。
287:１３２人目の素数さん
20/02/11 08:57:04.35 W39lcV+G.net
>>275
現実世界の計算しにくい問題にも関わらずレスありがとうございます。
面倒な計算を誤答をものとのせず続けられる気力にはいつも関心します。揶揄ではありません。
で、いつもの通り、用意した答とは違います。
自作問題ですが、シミュレーション値と合致した理論値が出せました。場合分けが面倒なので場合分けもプログラムにさせました。
シミュレーションは指定の確率で乱数発生させて計算させました。
ほぼ一致する値でした。
288:１３２人目の素数さん
20/02/11 09:56:58 5Rrv77pM.net
>>276
補足
シミュレーションでの結果は以下の通り
> mean(RE[,2]==7) # 卒業確率
[1] 0.85482
> mean(RE[RE[,2]==7,1]) # 卒業までの在学年数
[1] 6.712606
> mean(tu(RE[RE[,2]==7,1])) # 卒業までの学費
[1] 52304621
> mean(RE[,3]==2) # 退学確率
[1] 0.14518
> mean(RE[RE[,3]==2,1]) # 退学までの在学年数
[1] 4.99139
> mean(tu(RE[RE[,3]==2,1])) # 退学までの学費
[1] 40204472
q=1-p # 留年確率,p=進級確率
(P=prod(1-q^2)) # 卒業できる確率 Π{1 - (2年連続留年確率)}
(Q=1-P) # 退学となる確率
の結果と近似しています。
289:１３２人目の素数さん
20/02/11 10:08:53
290:.30 ID:1ttWTA4N.net
291:１３２人目の素数さん
20/02/11 11:06:18.93 zI9vXMIC.net
>>278
正解です。
想定解答は>>222と一緒。
最後からk番目の生徒が正しい席に座れたとき0、そうでないとき1をとる変数をXkとする。
k:1～n-1のとき
p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が最初の生徒の席かまたは最後からk番目の席～最後の席に座る)
= (最初の生徒が最後からk番目の席以外に座る|最初の生徒が最初の生徒の席かまたは最後からk番目の席～最後の席に座る)
=k/(k+1)。
p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が2番目の席から最後からk-1番目の席に座る)=k/(k+1)
(∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)。
∴ p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる)=k/(k+1)。
∴E(Xk)=1/(k+1)
明らかにE(Xn)=(n-1)/n
∴n-e(n)=Σ[k:1～n-1]1/(k+1)+(n-1)/n～log(n)。
292:１３２人目の素数さん
20/02/11 14:17:21 7sbhOFJk.net
オリジナルですが答えはありません。ただ気になったので投稿します
実数の配列 a[i,j] (i,j∊Z) が全ての格子点(i,j)で 4a[i,j]=a[i+1,j]+a[i-1,j]+a[i,j+1]+a[i,j-1] を満たす時、aを調和配列と呼ぶことにする。
次を満たす実数α≧0の下限はいくらか：
調和配列aが任意の格子点Xについて |a[X]|≦|X|^α を満たすならばaは定数である。ただし、|X|は点Xの原点からの距離を表す。
293:１３２人目の素数さん
20/02/11 14:23:06 j1jqA7X+.net
>>280
違う、上限でした
294:１３２人目の素数さん
20/02/11 14:58:24 5Rrv77pM.net
卒業できる確率 ： 4750970704397512 / 5551115123125783 = 0.85585879575891107187420816324627437826646454687092053
退学の確率 ： 800144418728271 / 5551115123125783 = 0.144141204241088928125791836753725621733535453129079468759
295:１３２人目の素数さん
20/02/11 16:55:37.06 CVYz5IRs.net
単位円上の2n個の点A1,B1,‥,An,Bnを一様独立に選び円盤をn個の線分線分A1B1,‥,AnBnで分割するとき、できる小領域の個数の期待値を求めよ。
296:１３２人目の素数さん
20/02/12 00:29:09.72 Q6IpDgid.net
>>280
とりあえず今のところこのスレでは>>240さんの証明しか上がってない。
この方針でいくなら非負実数αが条件
Σ(c(p+2,q)-c(p,q)|(|p|+|q|}^α→0 (n→∞)‥‥(※)
が成り立つならそのαは>>280の条件をみたしたりしないかな？
まだ>>240が完全に理解できてはいないからわかんないけど。
もし(※)を満たす非負の実数が0しかないなら今んとこαを改善できる見込みあるレスは上がってないな。
297:イナ
20/02/12 02:21:36.56 hcOGUVCg.net
前>>275
>>283
n=1のとき2(個)
n=2のとき、
3(1/2)+4(1/2)=3.5(個)
n=3のとき、
4(1/8)+5(1/8)+6(1/4)+7(1/2)=(9+12+28)/8
=6.125(個)
n=4のとき最大11個、最小5個
5(1/64)+6(1/64)+7(1/32)+8(1/16)+9(1/8)+10(1/4)+11(1/2)
=(5+6+14+32+72+160+352)/64
=10.015625(個)
n=5のとき最大16個、最小6個
=(6+7+16+36+80+176+384+640+192+1280+512+2560+1280)/1024
=(7149+8192)/1024
=15341/1024
=14.9814453……
n=6のとき、最小7、最大22
7(1/2)^15+8(1/2)^15+9(1/2)^14+10(1/2)^13+11(1/2)^12+12(1/2)^11+13(1/2)^10+14(1/2)^9+15(1/2)^8+16(1/2)^7+17(1/2)^6+18(1/2)^5+……+22(1/2)
n本の直線で分割した領域の個数の期待値は、
(n+1)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+2)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+3(1/2)^{n(n-1)/2-1}+……+{n(n+1)/2+1}(1/2)
ブロックくずしのように簡単になるのか、lim[n→+∞]に飛ばすのか、通分か。
298:１３２人目の素数さん
20/02/12 04:10:08.56 1Q0cdG25.net
毎度思うけど思考過程をレスするの何？
〇〇となり……ああ違うか。みたいなの誰も求めてないし数学の試験でそんなこと書くか？
ちゃんとオフラインで答えに辿り着いてからそれを纏めて書けよ
299:１３２人目の素数さん
20/02/12 07:34:56 eWvaFFv2.net
>>285
n=1のときだけは正解です。
300:１３２人目の素数さん
20/02/12 10:02:20 EmPEyxMI.net
日本数オリ本選の問題が出ました
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
301:１３２人目の素数さん
20/02/12 10:17:58 2Z9zzZPK.net
>>284
(※)は使えそうですね
実際には Σ|c[p+2,q]-c[p,q]|=2Σc[0,q] の値は積分を使って
C(1+o(1))/√n (as n→∞, ただし定数Cはabsolute) となることが計算できるので、
|Σ(a[0,0]-a[2,0])|
≦Σ|c[p+2,q]-c[p,q]|(|p|+|q|)^α
≦C(1+o(1)) ･ n^(α - 1/2) (∵|p|+|q|>n の時に係数が0となるため、|p|+|q|≦n の範囲で和をとれば良い)
という評価が得られます。
a[0,0]とa[2,0]の差以外にも同様のことが言えるので、結局 α<1/2 は条件を満たすことが導けると思います。
ちなみに一方で a[i,j]:=i (∀(i,j)∈Z^2) という例から、α≧1は条件を満たさないことがわかります
302:イナ
20/02/12 14:44:38.94 hcOGUVCg.net
前>>285え？ >>283n=2のとき違うの？ なんで？ クロスする確率とクロスしない確率は1/2ずつじゃないのかい？
／∥__`∥￣￣∥彡ミ､∥
∥∩∩ ∥ □ ∥^o^川 `
（ (`)∥ ∥цc_)＼
（っ⌒⌒ ｡∥＼____/
■`(_)_)ц~ ∥､∥__∥
＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
303:１３２人目の素数さん
20/02/12 15:08:05.33 IJFWAL+A.net
>>200
ヒント。
ホントは積分で求めるんだけど裏技。
まず4点選ぶ。
後でどれをA1B1A2B2と割り振るか決める。
304:１３２人目の素数さん
20/02/12 16:25:29.15 U1ltP3xX.net
点O中心の半径1の円の内部に点Oと異なる点Aを取る。
半直線OA上にOA・OB=1なる点Bを取る。
円周上に点P,Qを、直線PQに関して点O,A,Bが同じ側に来るように任意に取る。この3点はいずれも直線PQ上に無い。
直線PQに関してAと線対称な点をDとする。
△PBD∽△OBQを示せ。
305:１３２人目の素数さん
20/02/12 16:45:23.52 2rGgcqMY.net
>>283
四点A1,B1,A2,B2の偏角を小さい順に並べると1122,2211,1221,2112,1212,2121の六通り
このうち、先の四つは線分が互いに�
306:墲轤ﾈい場合であり、後の二つは交わる場合である つまり、ランダムに決めた二つの線分が交わる確率は1/3 n本の線分により円が分割されているとき、新たに一本の線分を加えるとする このとき新しい線分が既存の線分と交わらなければ、分割される領域は一つ増える 既存の線分一本と交わるなら領域は二つ増え、既存の線分二本と交わるなら領域は三つ増える つまり、新しい線分が既存の線分と交わった本数+1の領域が新たに増える 新しい線分を引いたとき、既存の線分n本のうち交わる本数の期待値はn/3だから、 領域の数の増分の期待値はn/3+1となり、 n本の線分で分割されたときの領域の数の期待値をI(n)と置くと、I(n+1)=I(n)+n/3+1と書ける I(n)-I(1)=(n(n-1)/2)/3+(n-1)、I(1)=2は自明なので、I(n)=n(n-1)/6+n+1
307:１３２人目の素数さん
20/02/12 17:23:00.93 IJFWAL+A.net
>>292
PQの垂直二等分線が実軸でOが原点となる複素座標を設定する。
Aの実軸対称点をCとする。
ABCDPQの複素座標をabcdpqとする。
PDをPQ、実軸で続けて対称移動するとQCに移るからd-p=q-cである。
またAが単位円に関する反転でCはその実軸反転だからc=1/bである。
P,Qは単位円上かつ実軸対称だからpq=1である。
以上により
(d-p)/(b-p)
=(q-c)/(b-p)
=(1/p-1/b)/(b-p)
=1/(pb)
=(q-0)/(b-0)
であるから△BDPと△BQOは相似である。
308:１３２人目の素数さん
20/02/12 17:24:07.93 IJFWAL+A.net
>>293
正解！GJ!
309:１３２人目の素数さん
20/02/12 20:04:24.39 2rGgcqMY.net
>>291
積分でやってみた
A1,B1,A2,B2の偏角を0,X,Y,Zとして、A1を固定し、後の三つを確率変数と考える
それぞれ独立に0から2πの間の値を取る一様分布に従うので、確率密度関数は1/(2π)^3となる
YとZが共に0とXの間の値を取る確率は、
∫[0,2π]∫[0,x]∫[0,x]dydzdx/(2π)^3=∫[0,2π]{x^2/(2π)^3}dx=1/3
Yが0とTの間、ZがTと2πの間の値を取る確率は、
∫[0,2π]∫[0,t]∫[t,2π]dydzdx/(2π)^3=∫[0,2π]{x(2π-x)/(2π)^3}dx=1/6
二線分が交わらない確率=YとZが共に0とXの間または共にXと2πの間である確率=1/3+1/3=2/3
二線分が交わる確率=Yが0とTの間でZがTと2πの間またはその逆となる確率=1/6+1/6=1/3
310:１３２人目の素数さん
20/02/12 21:12:47.06 IJFWAL+A.net
>>296
おお、素晴らしい！
ここで受験数学お馴染みの1/6公式が出てくるのがへぇと思いました。
311:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/12 22:25:41 hcOGUVCg.net
前>>290
>>283
n=1のとき2
n=2のとき3(2/3)+4(1/3)=3.33……
n=3のとき4(2/3)^2+5･3(2/3)(1/3)+6(1/3)(2/3)+7(1/3)^2
=(4+10+12+7)/9
=3.66……
急にnやn+1に飛んだらだれもわからないだろう。途中をちゃんとやってほしい。
n=4のとき5(2/3)^3+6(2/3)^2(1/3)+7(2/3)(1/3)^2+8(/)+9(/)+10(1/3)^2(2/3)+11(1/3)^3Ψ`o`Ψ
312:１３２人目の素数さん
20/02/12 22:36:00 cpT3giHz.net
不正解
313:１３２人目の素数さん
20/02/12 22:51:26 MTHiudft.net
とりあえずn=3のときn=2と同じようにやってみればいい。
6点適当に選ぶ。
ただし三点が一点で交わるような特殊なケースは確率0なので無視する。
反時計回りに123456として2個組ずつわける。
12,34,56
12,35,46,
‥
で何通りできるか？
小領域が4つになるのは何通りか？
小領域が5つになるのは何通りか？
小領域が6つになるのは何通りか？
小領域が7つになるのは何通りか？
期待値は？
314:１３２人目の素数さん
20/02/12 23:04:11 2rGgcqMY.net
>>298
m本の線分に交わる線を引くと、そのm本で分割されていたm+1個の領域の上を通ることになる
つまりm+1個の領域を切ることになるので、領域の数は倍化され、m+1個の領域が新たに増えることになる
315:イナ
20/02/12 23:55:09.29 hcOGUVCg.net
前>>298
>>301
2本の直線と交差する直線を引くと領域が3個増えることはわかってる。
つまりm=2のとき意味が通じる。
けど交差しないときの確率を足さないかんだろ。
n=3のとき領域が4個になるのは交差しないとき。
n=2のときの考察からして
316:交差するときが1/3で交差しないときが2/3じゃないのか？ 4(2/3)^2+5･3(2/3)(1/3)+6(1/3)^2+7(1/3)^3 =(16+30+18+7)/27 =71/27 この計算、 2/3+2/9+1/9+1/27が1になるときじゃないと意味ないんだよ。
317:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:09:21 ARUap2be.net
A1B1とA2B2が交差する確率は1/3、
A2B2とA3B3が交差する確率は1/3、
A3B3とA1B1が交差する確率は1/3、
しかし交点が３つできる確率はこの３つをかけてもダメ。
かけて求められるのはコレらの事象が独立の時。
独立ではないのでダメです。
318:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:15:15 906Gyp6n.net
調和配列について考えてたけど、どうも何かがおかしい気がする…
>>195 のeの構成って本当に合ってる？
以下の要領で、原点以外の全ての格子点で調和的な有界配列は定数しか存在しないことが示せそうなんだけど…
配列aを a[0,0]=1 かつ a[X]≧0 (∀X∈Z^2) を満たす、原点以外で調和的な有界配列とする。
aの下限 inf_(X∈Z^2) a[X] を0としてよい。a[X]=0 を満たす格子点Xは存在できないことに注意。
配列の列 b_n を
b_n[0,0] = 1 (n≧0)
b_0[p,q] = 0 ( (p,q)は原点以外の格子点)
b_(n+1)[p,q] = b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1] ( (p,q)は原点以外, n≧0)
により定めると、帰納的に
b_n[p,q]≦b_(n+1)[p,q]≦1 (p,qは全ての整数, n≧0)
が導けるため極限 b[p,q]=lim_(n→∞) b_n[p,q] が存在し、
配列 b が原点以外で調和的であることもわかる。また、各nについて
b_n[p,q]=b_n[-p,q]=b_n[p,-q]=b_n[q,p]
0≦p かつ 0≦q ならば b_n[p,q]≧b_n[p+1,q]
1≦p≦q ならば b_n[p,q]≧b_n[p-1,q+1]
b_n[p,q]≦a[p,q]
が成り立つことが帰納的に示せるため、n→∞とすることでbについても同様のことが言える。
配列aの下限が0かつ全ての格子点Xについてa[X]>0であることから、
格子点の列 X_n=(p_n,q_n) であって
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=0
を満たすものが存在。これより、格子点(p,q)が max(|p|,|q|)≧|p_n|+|q_n| を満たすならば
b[p,q] ≦ b[|p_n|+|q_n|] ≦ b[p_n,q_n] ≦ a[p_n,q_n]
であるから、格子点Xについて|X|→∞ならばb[X]→0が成り立つ。
一旦ここまで。
319:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:18:26 906Gyp6n.net
>>304
訂正。配列の列b_nの漸化式について
誤
b_(n+1)[p,q] = b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1]
正
b_(n+1)[p,q] = (b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1])/4
320:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:23:06 906Gyp6n.net
>>304
何度も申し訳ない、もう１つ訂正。
格子点列X_nについて
誤
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=0
正
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=∞
321:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:49:32.88 av6dLTOA.net
>>304
もちろんeは原点て
4e[0,0]=e[1,0]+e[-1,0]+e[0,1]+e[0,-1]
を満たしてませんよ。
4e[i,j]=e[i+1,j]+e[-i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]
はキルヒホッフの法則
(e[i+1,j]-e[i,j]}+(e[-i-1,j] -e[i,j]}+(e[i,j+1]-e[i,j]}+(e[i,j-1] -e[i,j]}=0
を変形したものですが、原点は電極がついてて電流を吸い出してるのでこの等式が成立していません。
>>195のeは上に有界なのでもし全ての点で上の等式が成立するなら雨宮の定理により定数になってしまいます。
322:１３２人目の素数さん
20/02/13 02:15:11.71 aaGAJwRB.net
>>283
(n+2)(n+3)/6 かな
導出過程はこれから考えるw
323:イナ
20/02/13 02:22:24.68 7VewwRjX.net
前>>302いきなりnとかmとかで一般項出して解きだす奴は偽者か曲者。1面2面クリアして今3面。
n=3のとき最小が4で最大が7、
4(2/3)(3/4)(1/4)+5(2/3)(4/6)+6(1/3)(4/6)+7(1/3)(2/6)
=4(1/8)+5(4/9)+6(2/9)+7(7/24)
=1/2+32/9+49/24
=(36+256+147)/72
=439/72
=6.0972……
ちょっとマシになった。
324:１３２人目の素数さん
20/02/13 02:22:32.49 aaGAJwRB.net
>>308
交点の可能な数は n(n-1)/2 である
1≦i<j≦nとしてAiBiとAjBjが交差する確率は各々1/3なの
325:だから、 交点の数の期待値は n(n-1)/6 領域の数の期待値は (n+1)+n(n-1)/6 = (n+2)(n+3)/6
326:１３２人目の素数さん
20/02/13 03:08:45.48 aaGAJwRB.net
おっと、283は>>293で既に解かれていたか
まだ続いてるのかと思ったw
327:哀れな素人
20/02/13 09:53:51 ij5lRW2v.net
>>292
初等幾何的証明
ABを直径とする小円を描けば、出題の二つの三角形と相似な
二つの三角形を小円の中に作図できる。
大円と小円の交点をE、F、EFとABの交点をG、
DBと小円、QBと小円の交点をそれぞれH、I、
IGの延長と小円の交点をJ、JHとPBの交点をKとすると、
△KHB∽△GIBで、この二つの三角形は出題の二つの三角形と相似である。
∠H＝∠Iであることはすぐに分かる。
あとは∠KBH＝∠GBIであることを示せばよいが、
これが意外と難しく、今のところ未解決。
328:１３２人目の素数さん
20/02/13 10:12:32 906Gyp6n.net
>>307
eが原点で調和的でないことはわかっているのですが、問題はそこではなくて、>>304の通り
『原点以外の』全ての格子点で調和的な有界配列は定数しか存在しない
ということを示せてしまう、ということなのです
↓↓304の続き↓↓
c=4b[0,0]-b[1,0]-b[-1,0]-b[0,1]-b[0,-1] とおくと、整数n≧2について
cn = Σ_(m=1,n) c
= Σ_(m=1,n) Σ_(|p|,|q|<m) 4b[p,q] - b[p+1,q] - b[p-1,q] - b[p,q+1] - b[p,q-1]
= Σ_(m=1,n) Σ_(|p|<m) - b[m,p] - b[-m,p] - b[p,m] - b[p,-m] + b[m-1,p] + b[1-m,p] + b[p,m-1] + b[p,1-m]
= 4b[0,0] + ( Σ_(p=1,n) 2b[p,p] + 2b[p,-p] + 2b[-p,p] + 2b[-p,-p] ) - ( Σ_(|p|<n) b[n,p] + b[-n,p] + b[p,n] + b[p,-n] )
= o(n) (as n→∞)
より矛盾。したがって、a は定数でなければならない。
329:１３２人目の素数さん
20/02/13 10:17:09 ctEQzeqL.net
>>313
eは0以上の値をとりますが有界ではありませんよ。
>>204で示されています。
330:１３２人目の素数さん
20/02/13 10:26:22 906Gyp6n.net
>>314
あら失礼しました… >>195しか見てませんでした
331:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/13 10:35:30 7VewwRjX.net
前>>309
>>311つづけてください。
n=3から。
さあ。
3のとき5、
4のとき7、
6のとき12です。
332:１３２人目の素数さん
20/02/13 10:53:38.12 Tf6czv/B.net
4e(i+1,j)+ e(i-1,j)+ e(i,j+1)+ e(i,j-1)
=
∫[～] (1-cos((x+y)(i+1))cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)(i-1))cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)(j+1)))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)(j-1)))/(1-cosxcosy)dxdy
-4 ∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] (2-2cos(x+y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
+∫[～] (2-2cos(x-y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
-4 ∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] 4(1-cos(x)cos(y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
-∫[～] 4(1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] 4cos((x+y)i)cos((x-y)j))dxdy
=
δ[i0]δ[j0]16π^2
になるハズ。
333:１３２人目の素数さん
20/02/13 11:54:57.76 906Gyp6n.net
そうすると >>242 の最後の主張も訂正する必要がありそうだ
誤
あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たすような有界配列 a は
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
と表せる。
正
あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たす配列 a であって、
任意の定数 ε>0 について |a[X]|=O(|X|^ε) を満たすようなものは、
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
に限られる。
334:１３２人目の素数さん
20/02/13 13:21:59.82 WiJ7Z5mz.net
>>292
これ今年の灘高校の入試問題じゃん
335:哀れな素人
20/02/13 17:43:48 ij5lRW2v.net
>>312の続き
HBとEIが垂直であることを示すことができれば証明完了。
なぜなら、その場合、∠BHAは直角だからHAとEIは平行。
すると∠AHIとHIEは錯角だから等しい。
すると∠ABI＝∠AHI＝∠HIE＝∠EBH
∠Hと∠Iは同一円周角で等しいことがすでに示されているから、証明完了。
しかしHBとEIが垂直であることを示すことが難しい。
灘高校の入試問題なら、もっと簡単な解法があるに違いない（笑
336:１３２人目の素数さん
20/02/13 19:53:39.15 uH+myoBI.net
n,kは自然数でk≦nとする。
穴の開いた2k個の白玉と2n-2k個の黒玉にひ
337:もを通して輪を作る。 このとき適当な2箇所でひもを切ってn個ずつの2組に分け、 どちらの組も白玉k個、黒玉n-k個からなるようにできることを示せ。 (某大学文系過去問 - 中学生の知識で解ける)
338:１３２人目の素数さん
20/02/13 20:23:54.06 iOaxVOmG.net
>>321
上半分の赤の個数について考える。
玉一つ分時計回りに回したとき上半分のあかの数はそままか、一個増えるか一個減るのいずれか。
半周回したとき上半分と下半分が入れ替わるのでどっかの時点でピッタリ半分になる。
339:１３２人目の素数さん
20/02/13 20:38:32.25 uH+myoBI.net
>>322
早いね、正解。
要は離散版中間値の定理(自明)。
340:１３２人目の素数さん
20/02/13 22:30:53.03 VUrdGB1K.net
>>280
でけた。上限は1。
全域で調和的な配列aが、ある α<1 について a[X]=O(|X|^α) を満たしていると仮定。
((Δ^n)a)[0,0] における a[-n+p+q,p-q] の係数c_n[p,q]は
((1+x)(1+y)/4)^n における (x^p)(y^q) の係数と一致。つまり
c_n[p,q] = 4^(-n)･C(n,p)･C(n,q). （ただし大文字のCは二項係数）
よって、 (Δ^(2n+1)a)([1,0]+[-1,0]-[0,1]-[0,-1]) の係数の絶対値の総和は
Σ_(p,qは整数) 4^(-n)･|C(2n+1,p)-C(2n+1,p-1)|･|C(2n+1,q)-C(2n+1,q-1)|
=4C(2n+1,n)^2
=K/n･(1+o(1)). （ただしKはある定数）
であるから、
|a[1,0]+a[-1,0]-a[0,1]-a[0,-1]|
≦K(1+o(1))･2^α･n^(α-1)→0 (as n→∞)
より a[1,0]+a[-1,0]=a[0,1]+a[0,-1].
これと Δa=a より a[1,0]+a[-1,0]=2a[0,0].
同様にして、任意にjを固定した時に a[i,j] が等差列をなすことがわかるが、|a[X]|=o(|X|) より a[i,j] はiに依存しない。
同様にしてjに依存しないこともわかるため、aは定数。
341:１３２人目の素数さん
20/02/13 22:35:41.28 iOaxVOmG.net
>>324
おお、素晴らしい。gj
342:１３２人目の素数さん
20/02/13 23:51:21.39 iOaxVOmG.net
このスレで度々見かける某パズル本からの出題。
2人の修行僧がそれぞれ二つの山を登る。
2人とも同じ海抜の麓の地点から登頂を始め、ゴールの山頂の海抜も同じである。
各々の僧は山頂までの一本道の山道のみを移動する。
どちらの道も途中の地点ではスタート地点より海抜が高く、ゴール地点より海抜は低い。
この時2人の僧の登頂をうまく調節していずれの時点でも2人の海抜が完全に一致する様にして登頂をすることは可能であろうか？
2人の僧に許される行動は山道を進むか戻るか立ち止まるかのみである。
この問題の原題の設定はこれだけで当然暗黙の了解としてスタート地点からの道のりと海抜を与える関数が連続である事は仮定できます。
それはいいんですが、(そりゃそうでしょう)、パズル本の模範解答はできるで、私にはその解答はその連続関数になにか区分的に滑らかみたいな仮定がないと成立してないように思えます。
どなたか連続だけの仮定の元での肯定的な解答作れますでしょうか？
343:イナ
20/02/13 23:58:27.97 7VewwRjX.net
前>>316
>>322-323赤玉どっから出てきたん？ 白玉と黒玉やろ。
344:１３２人目の素数さん
20/02/14 00:01:24.99 ekmNRCqQ.net
ちゃんと数学的に書けば
連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？
です。
f,gの連続性にある程度強い仮定があれば簡単なんですけど。
345:１３２人目の素数さん
20/02/14 00:02:35.07 ekmNRCqQ.net
>>328は>>326の続きです。
346:１３２人目の素数さん
20/02/14 01:33:49.02 1dEsnuQN.net
>>328
f(x)=2x (0≦x<1/4)
f(x)=1/2 (1/4≦x<3/4)
f(x)=2x-1 (1/4≦x≦1)
g(x)=1/2+|x-1/2|sin((π/4)/(x-1/2))
の場合は登山五合目付近でp(t)が不連続になると思われる
347:１３２人目の素数さん
20/02/14 02:57:15.90 ekmNRCqQ.net
>>330
その程度の関数なら本に載ってる解答の肯定的解答がそのまま通用します。
348:１３２人目の素数さん
20/02/14 02:59:45.62 1dEsnuQN.net
>>328
条件を強くして道のりが微分可能でもダメみたい。
f(x)=1/2-(1/2)e^(4+1/(x-1/4)) (x<1/4)
f(x)=1/2 (1/4≦x≦3/4)
f(x)=1/2+(1/2)e^(4-1/(x-3/4)) (3/4<x≦1)
g(x)=1/2+8(x-1/2)^4 sin((π/4)/(x-1/2))
のとき
f^(-1)(g(x))は不連続で、f(x)の道の人は無限の距離を歩かないといけない
349:１３２人目の素数さん
20/02/14 03:17:50.97 ekmNRCqQ.net
>>332
とりあえず道のりの有限性を仮定すれば大丈夫です。
もう少し緩めてf,gが共に有界変動なら大丈夫です。
問題は有界変動性がないとき、>>328のp,qとして有界変動性がない連続関数まで含めて存在し得ない例を私は持ってないのです。
>>332の例でも本の証明で肯定的に解決されてしまいます。
350:１３２人目の素数さん
20/02/14 03:42:11.48 ekmNRCqQ.net
ちなみにfが有界変動連続関数のとき
f1(x)=fの[0,x]における全変動、
f2(x)=f1(x)-f2(x)
とおけば
f(x)=(f1(c)+x)-(f2(x)+x)
と二つの狭義単調増大連続関数の差となります。
gも有界変動連続ならgも同じような分解を持ってしまうので本の証明が通用してしまいます。
351:１３２人目の素数さん
20/02/14 03:43:07.46 ekmNRCqQ.net
あ、ポコポコ間違ってるけど適当にエスパーしてください。
352:１３２人目の素数さん
20/02/14 08:39:16 8zGfmT3q.net
>>331
ん？肯定的？否定的解答じゃなくて？
328の条件を満たす連続関数p,qが存在しないのは間違いないのでは？
353:１３２人目の素数さん
20/02/14 09:28:04.83 ekmNRCqQ.net
>>336
今上がってるケースぐらいではp,qは存在するします。
p,qは連続でありさえすれば有界変動性は要求されません。
354:１３２人目の素数さん
20/02/14 09:32:16.08 ekmNRCqQ.net
あ、いま上がってるケースくらいならp,qも有界変動に取れます。
355:１３２人目の素数さん
20/02/14 09:44:02.90 1dEsnuQN.net
>>338
>連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
>p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
>を満たすものがとれるか？
の問いに対する
>>332の例でも本の証明で肯定的に解決されてしまいます。
は矛盾するように思えるのだが
>>332の例でp,q連続関数かつf(p(t))=g(q(t))と仮定すると
中間値の定理よりq(th)=1/2となるth∈[0,1]が存在し、
t_0=0と置くとq(t_i)=1/2-1/(4i+2)となるt_i∈[t_(i-1),th] (i=1,2...)が存在する
しかし
p(t_i)=f^(-1)(g(q(t_i)))<1/4 (i:even)
p(t_i)=f^(-1)(g(q(t_i)))>3/4 (i:odd)
さらにt_iは単調有界列だから収束してp(t)はlim t_iで不連続となり矛盾
何か誤解していれば指摘してほしい
356:１３２人目の素数さん
20/02/14 10:27:02.14 ekmNRCqQ.net
>>339
あれ？
そうですね？
>>332は反例なってますね？
有界変動じゃないのかな？
357:１３２人目の素数さん
20/02/14 10:37:54.73 ekmNRCqQ.net
ダメだ。すぐにはわからない。
もう問題のレベル下げます。>>328改
連続関数f,g:[0,1]→[0,1]があり、
f^(-1)(0)=g^(-1)(0)={0}、
f^(-1)(1)=g^(-1)(1)={1}、
である時、連続関数p,q:[0,1]→[0,1]であって
p(0)=q(0)=0, p(1)=q(1)=1, f(p(t))=g(q(t)) ∀t
を満たすものがとれるか？
ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。
コレで肯定的に解決します。
有界変動では無理なのかな？
358:１３２人目の素数さん
20/02/14 10:39:54.56 ekmNRCqQ.net
>>341
補足。
PLの区分は有限個までです。
359:１３２人目の素数さん
20/02/14 11:55:32.12 UISPIlpq.net
>>340
君が見たという本が嘘なんじゃない？
360:１３２人目の素数さん
20/02/14 11:58:33.09 UISPIlpq.net
>>341
361:>ただしf,gは区分的に線形(pl)とする。 めっちゃレベル下げすぎだな
362:１３２人目の素数さん
20/02/14 12:00:56.70 rp7n7TvM.net
>>343
本では設定なしなんですよ。
ただ連続とだけ。
さすがにそれは無理だろうと。
数学的な面白さは激減しますがとりあえずplはら大丈夫、どこまで突っ込めるのかは謎。
363:１３２人目の素数さん
20/02/14 12:12:29.42 ZE8w945W.net
奇跡の数「142857」に隠された神秘を知っていますか
URLﾘﾝｸ(gendai.ismedia.jp)
364:１３２人目の素数さん
20/02/14 12:43:58.29 8zGfmT3q.net
plから条件をゆるめるとしても『区分的に広義単調』あたりが限界じゃないかな…
関数の値が無限回上下することを許してしまうと、どうしても>>330みたいな例が作れてしまうと思う。
逆に関数値の上下が有限回であれば、問題なくできそう（証明は多少面倒かもだけど）
365:１３２人目の素数さん
20/02/14 13:02:47.54 rp7n7TvM.net
まぁplまでかな？
変に広げてもgeneral nonsenseかも。
366:１３２人目の素数さん
20/02/14 13:04:38.80 8zGfmT3q.net
待て、逆に『どの区間においても定数ではない』という条件でもいけるか？
単に成り立ちそうだから書いてみただけで、確かめた訳ではないけど
367:１３２人目の素数さん
20/02/14 14:43:01.01 G8wZZuo4.net
所持金が一万円の貧乏人が、金持ちの友達相手に掛け将棋を持ちかけた
一局ごとに一万円を掛けた2n+1番勝負で、どちらかが先にn+1勝した時点で終了とする
ただし、貧乏人だけは途中で一番でも負け越した時点で所持金を失い続行不可能となる
実力は互角で、引き分けはないものとする
貧乏人が得する確率は？
368:１３２人目の素数さん
20/02/14 14:53:50.89 UISPIlpq.net
>>345
>本では設定なしなんですよ。
本が嘘
あるいは君が条件読み落とし
369:１３２人目の素数さん
20/02/14 15:28:01.36 ekmNRCqQ.net
僧が3人だとダメなのかな？
370:１３２人目の素数さん
20/02/14 15:34:23.96 ekmNRCqQ.net
>>350
貧乏人も金持ちも途中で降りるのはなし？
必ずどちらかがn+1勝するか、貧乏人が負け越すかまで続けられる？
371:１３２人目の素数さん
20/02/14 16:23:42.86 ekmNRCqQ.net
>>350
貧乏人の獲得賞金をXとする。
最初に貧乏人がi勝する事象をAiとして
E(X|Ai)=iである事をnとiについての帰納法で示す。
n=1では明らか。
またi=nでも明らか。
n<Nで正しいとしてn=Nとしi>Iで正しいとしてi=Iとする。
このとき
E(X|Ai)=
1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人勝ち)
+ 1/2 E(X|Ai ∧ i+1回戦は貧乏人負け)
である。
右辺第1項は帰納法の仮定により(i+1)/2である。
第2項はnが1少ない場合の貧乏人がi-1連勝した状況と同じになるのでやはり帰納法の仮定から(i-1)/2である。
よって主張は示された。
特にi=0の場合により貧乏人の獲得賞金の期待値は0。□
372:イナ
20/02/14 16:44:46.29 Glw+icxw.net
前>>327ふ～ゆ～に～ぉ～ぼえ～た～♪ う～た～ぉ～わ～すれ～て～♪ す～と～ぉ～ぶ～のな～か～♪ の～こ～ぉ～た～せき～ゆ～♪
/＿/人人_/＿/＿人人＿
/_（＿)_)/＿/（_^＿)_
/_（_(＿)/＿/（_^＿)_
/_（(`o')/＿/（o^) )_
/_（_υ_)┓_/（_υ_)┓
/◎ﾞυ┻-◎ﾞ◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿ｷｺｷｺ……_/＿ｷｺｷｺ……_/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿>>292メネラウスの定理で考えてたんだけど>>312はAとHが重なって描けないよね。こんな難しい作業やらせるか？
373:１３２人目の素数さん
20/02/14 17:35:32.44 VcIiPg2O.net
>>354
0なわけねーだろ
374:１３２人目の素数さん
20/02/14 17:51:01.49 ekmNRCqQ.net
獲得金額ってもちろん参加費差っ引いた額ね。
具体的に書いてみればわかる。
以下Aを貧乏人、Bを金持ちとしてAのw勝l負をw/lで表す。
その時のAの獲得金額xと確率pでおわるときx(p)であらわす。
n=0のとき
1/0→1(1/2)、0/1→-1(1/2)
∴ 期待値0
n=1のとき
2/0→2(1/4)、2/1→1(1/8)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0
n=2のとき
3/0→3(1/8)、3/2→2(1/4)、3/1→1(2/32)、
2/3→-1(2/32)、1/2→-1(1/8)、0/1→-1(1/2)
∴期待値0
375:１３２人目の素数さん
20/02/14 17:56:55.14 ekmNRCqQ.net
あ、問題文は
貧乏人が得する確率は
か。
期待値求めるんじやないのね。
376:１３２人目の素数さん
20/02/14 18:13:54.83 G8wZZuo4.net
>>353
途中で降りるのはなし
>>354
期待値はおっしゃる通り
期待値が0なのに、貧乏人は負けてもたった一万で済み勝てばそれ以上が得られるのは、
得する確率は小さいが勝った時のリターンが大きい勝負をしているからだ
この得になるケースが起こる確率はいくらか？が実は聞きたかった
377:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/14 19:24:24 Glw+icxw.net
∥人人∥前>>355
（_(＿)>>292裏技がある
（(-.-)のか ∩∩
（っγ)ﾞな (^o^))⌒ヾ,
（⌒⌒) ？ υυ`υυ~
~~~~~~~~~~~~~~~
メネラウスとか。
378:１３２人目の素数さん
20/02/14 19:35:09 ekmNRCqQ.net
>>359とすると
(2^(2n)-C[2n+1,n])/2^(2n+1)
かな？
カタラン数計算するのと同じテク。
379:１３２人目の素数さん
20/02/14 20:19:34.18 ekmNRCqQ.net
あ、違う。
C[2n+1,n]/2^(2n+1)
380:１３２人目の素数さん
20/02/14 20:43:56.77 ekmNRCqQ.net
気持ちよく期待値0になっておおぉぉぉと思ったけど当たり前なのか‥‥
381:１３２人目の素数さん
20/02/14 21:22:52 G8wZZuo4.net
>>362
正解！！！
次のように問題を改変する
貧乏人が途中で負け越しても借金して続け、どちらかが先にn+1勝しても2n+1番まで続ける
そのときに、貧乏人が途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる場合を考える
勝敗条件はまったく変わらないので上記の確率を求めればいい
途中で一度は負け越してから勝ち越しで終わる場合、途中に初めて負け越した黒星が必ずある
その黒星より後で二番以上の勝ち越しがあることにより最後は勝ち越しとなる
このときもしその黒星より後の星の勝敗が逆であれば三番以上の負け越しで終わる
逆に、三番以上の負け越しで終わる場合、途中に初めて負け越しとなった黒星が必ずあり、
その後に二番以上の負け越しがあることで三番以上の負け越しで終わるので、
その勝敗が逆なら、途中の負け越しから二番以上を返し、最後勝ち越しで終わることになる
従って、途中で負け越してから勝ち越しで終わる場合と三番以上の負け越しで終わる場合は、
一対一に対応し、その確率は等しい
題意の確率=途中で負け越すことなく勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-途中で負け越してから勝ち越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-三番以上の負け越しで終わる確率
=勝ち越しで終わる確率-(負け越しで終わる確率-一番の負け越しで終わる確率)
=1/2-(1/2-n勝する確率)=n勝する確率=C[2n+1,n]/2^(2n+1)
382:イナ
20/02/14 21:41:52.84 Glw+icxw.net
前>>360
>>292
OA=tとすると、
OA･OB=1よりOB=1/t
AB=OB-OA=1/t-t
383:１３２人目の素数さん
20/02/14 21:48:27.27 R20D62da.net
n ＝１～７で虱潰しにプログラムに数えさせて頻度を出してみた。
> data.frame(n,p)
n p
1 1 0.3750000
2 2 0.3125000
3 3 0.2734375
4 4 0.2460938
5 5 0.2255859
6 6 0.2094727
7 7 0.1963806
384:１３２人目の素数さん
20/02/14 22:26:53.90 R20D62da.net
C[2n+1,n]/2^(2n+1)
に代入すると、
> choose(2*n+1,n)/(2^(2*n+1))
[1] 0.3750000 0.3125000 0.2734375 0.2460938 0.2255859 0.2094727 0.1963806
同値。プログラムでのカウント漏れはなさそう。
385:哀れな素人
20/02/14 22:49:27.49 ENo7Ubcw.net
>>312に書いたことは間違いだったので訂正しておく。
PB、DB、QBと小円との交点をE、F、G、
GからQOに平行に引いた平行線と、AB、小円との交点をH、I
IFとPBとの交点をJとすると、△JFB∽△HGBで、
この二つの三角形は出題の三角形とも相似。
但し△OQB∽△HGBだけは明らかだが、
その他の相似は、今のところ、示せない。
もしかしたら小円など利用しなくても解けるのかもしれない。