20/02/04 12:39:12.69 +IjSdzOF.net
前>>141問題(前スレ760)再考察。
救出する最遠方地点は監視員が最初にいる位置から対角線上x(m)にあると見て、向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)/sinθ(秒)
突き当たりを直角に曲がって飛びこむまでの時間は、
{10-(10-x/√2)(1+1/cosθ)}(1/2)
=5-(5-x/2√2)(1+1/cosθ)
=-5/cosθ+x/2cosθ√2+x/2√2(秒)
これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
xで微分し、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0とすると、
-2/sinθ+1/cosθ+1=0
-2cosθ+sinθ+sinθcosθ=0
(2-sinθ)cosθ=sinθ
cosθ=sinθ/(2-sinθ)
sin^2θ+{sinθ/(2-sinθ)}^2=1
sin^2θ(2-sinθ)^2+sin^2θ=(2-sinθ)^2
4sin^2θ-4sin^3θ+sin^4θ+sin^2θ=4-4sin^2θ+sin^4θ
4sin^3θ-9sin^2θ+4=0
sin^3θ-(3sinθ/2)^2+1=0
sin^3θ+1=(3sinθ/2)^2
3sinθ/2-√(sin^3θ+1)=0になるθを探すと、
θ=57.465773447629°のとき、
(3/2)(sin57.465773447629°)-√{(sin57.465773447629°)^3+1}=0となり極小値を与える。
すなわち向こう側の縁から57.465773447629°の方向に飛びこむと最速で救出できる。
監視員が最初にいるコーナーの対角コーナーから、泳ぐ経路に引いた垂線が、向こう側の縁となす角は、
90°-57.46773447629°=32.53226552371°
対角線となす角は、
45°-32.53226552371°=12.46773447629°
監視員が10秒過ぎてから救出地点に達するまでに泳いだ時間t(秒)または距離t(m)は、
(10√2-10-t)sin12.465773447629°=t
(10√2-10)sin12.465773447629°=t+tsin12.465773447629°
t=(10√2-10)sin12.465773447629°/(1+sin12.465773447629°)
=0.735371693
到達時間10+t=10.735371693(秒)