20/02/03 11:42:45 MOGD/Do4.net
>>111
所要時間の式を偏微分して極値を出すのではないの？
117:１３２人目の素数さん
20/02/03 12:12:04 04w+XRU0.net
>>114
所要時間のなす関数は最大値を与える点で偏微分不可能です。
理由は二次元の場合と同じく、関数の定義にminが入るから。
明らかに無視できる経路を除いて最短経路になる候補が６個あり、所要時間=min{f1,f2,‥,f6}の形になる。
各々のfiは偏微分可能ですが、求める点はいずれのfiの極値にもなってはいません。
x=y=zに制限してもダメ。
手持ちの解答の方針としては
・まず６個に絞る。
・x=y=zに絞る。
・実質二個になる。
・min{f1,f2}の最大値は？
です。
６個に絞るのはめんどくさいだけ。
x=y=zに絞るところが手持ちの解はあまり綺麗でない。
以下は簡単。
118:１３２人目の素数さん
20/02/03 12:19:10 04w+XRU0.net
あ、ウソ言った。
・６個に絞る。
・実質２個に絞る。
・x=y=zに絞る
でした。
やってる事は東工大のと同じ。
119:１３２人目の素数さん
20/02/03 12:37:52.30 MOGD/Do4.net
>>114
個々のfをwolfram使って偏微分しようと思っていたけど無駄なんだな。
確かに自分のプログラムコードでもminを使っている。
120:１３２人目の素数さん
20/02/03 12:38:51.80 MOGD/Do4.net
>>112
話題は立方体に移っているよ。
121:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/03 15:59:52 avp8Qlns.net
前>>112
>>113偏微分。
それだと思う！
入水角度θと監視員が最初にいる地点から対角線上にある救出場所までの距離xという2つの変数がある。
xが一次だから解けたのかもしれない。
122:１３２人目の素数さん
20/02/03 16:24:28.58 Bd06CPXX.net
>>81
単純化のためp≧q≧rとし
経路a: (0,0,0) -> (x,y,0) -> (p,q,r)
経路b: (0,0,0) -> (0,y,z) -> (p,q,r)
経路c: (0,0,0) -> (x,0,z) -> (p,q,r)
とするとき、経路aの所要時間
t=√(x^2+y^2)/2+√((p-x)^2+(q-y)^2+r^2)
の極小値(∂t/∂x=0,∂t/∂y=0)を計算すると
t=(√(p^2+q^2)+√3 r)/2,
(x/p=y/q=1-r/(√3 √(p^2+q^2))のとき)
で、これは経路a～cで最も小さい。
この所要時間はp=q=rのとき最大となり
t=((√2+√3)/2)p ----(1)
経路d: (0,0,0) -> (10,y,z) -> (p,q,r)
経路e: (0,0,0) -> (x,10,z) -> (p,q,r)
経路f: (0,0,0) -> (x,y,10) -> (p,q,r)
とするとき、経路aの所要時間
t=√((10+y)^2+z^2)/2 + √((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2), (y<zのとき)
t=√(y^2+(10+z)^2)/2 + √((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2), (y≧zのとき)
の極小値(∂t/∂x=0,∂t/∂y=0)を計算すると
t=(√3 (10-p)+√(q^2+(10+r)^2))/2,
((q-y)/y=(r-z)/(10+z)=(10-p)/(-(10-p)+√3 √((10+q)^2+r^2))のとき)
で、これは経路d～fで最も小さい。
この所要時間はp=q=rのとき最大となり
t=(√3 (10-p)+√(p^2+(10+p)^2))/2 ----(2)
(1)(2)を連立させて
√(p^2+(10+p)^2)=(√2+2√3)p-10√3
これを解くと
p=(5/6)(15-4√6+√(249-96√6))
のとき
t=(5/12)(3+√6)(5√3-4√2+√(83-32√6))
=11.69815627...
123:１３２人目の素数さん
20/02/03 17:22:13.38 lGSYI3JC.net
>>119
(1)(2)を連立させての意味が直ぐには理解できなかったのでグラフにしてみました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
124:１３２人目の素数さん
20/02/03 19:21:36 lGSYI3JC.net
wolframに
local minimum sqrt(x^2+y^2)/2+sqrt((p-x)^2+(q-y)^2+r^2) where 0<x<10 and 0<y<10
local minimum sqrt((10+y)^2+z^2)/2 + sqrt((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2) where 0<y<10 and 0<z<10 and y<z
local minimum sqrt(y^2+(10+z)^2)/2 + sqrt((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2) where 0<y<10 and 0<z<10 and y>=z
を入力したけど、どれも上手くいかなかった。
125:１３２人目の素数さん
20/02/03 19:29:46 lGSYI3JC.net
所要時間はp=q=rのとき最大 というのが私には明らかでないので
座標をいれたら所要時間を計算する関数sim2を作ってコンピュータに最大値を探索させてみた。
探索を始める初期値によって収束しないこともあるので初期値を乱数発生させて収束したら表示するように設定。
> while(opt$convergence!=0){ # 初期値を乱数発生させて収束するまで繰り返す
+ opt=optim(par=sample(0:10,3),sim2,control = list(fnscale=-1),method='N')
+ }
> opt
$par
[1] 7.436222 7.436221 7.436221
$value
[1] 11.69816
$counts
function gradient
308 NA
$convergence
[1] 0
$message
NULL
コンピュータでの探索値では収束したらp=q=rになった。
126:１３２人目の素数さん
20/02/03 19:38:43 Bd06CPXX.net
>>122
>所要時間はp=q=rのとき最大 というのが私には明らかでないので
pを固定させてq,rをp≧q≧rの範囲で動かすことを考える。
このとき、所要時間はqまたはrの単調増加関数だから明らか。
127:１３２人目の素数さん
20/02/03 21:19:57 lGSYI3JC.net
>>123
立方体でなくて直方体のときも所要時間最大の点は
原点と最遠の頂点を結ぶ線上にあるのかな？
128:１３２人目の素数さん
20/02/03 21:54:52.14 lGSYI3JC.net
数値を変えて
オリンピックサイズ・プール50m×25mの水の入ったプールの一つの角に監視員を置く。
水深2.5mとする。
この監視員は世界記録で移動するものとする。
水泳100m自由形 46秒91で水中を移動
陸上100m9秒58でプールを囲む面を」移動
この監視員がプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ。
をやってみたけど、最遠の頂点が一番時間がかかるという結果になったので面白みがなかった。
ただ、所要時間最大点はこの頂点と原点を結ぶ線上にあるという前提でのプログラムなので結果には自信がない。
129:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/03 22:59:09 avp8Qlns.net
微分して極値を与える角度と距離だと思うんだよ。
／∥__`∥￣￣∥;;;;;;
∥∩∩ ∥ □ ∥;;;;;;
（(-_-)∥ ∥;;;;;;
（っ⌒⌒ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥╂─╂
＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`前>>118＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
130:１３２人目の素数さん
20/02/03 23:19:00 SKsq1rTN.net
>>125
> 水深2.5mとする。
この情報いる？
それはともかく、対角までの時間は、
75*0.0958=7.185
で、例えばプールの中心までは
(25-12.5tan(asin(9.58/46.91)))*0.0958+12.5cos(asin(9.58/46.91))*0.4691≒7.88
じゃないの？
> 所要時間最大点はこの頂点と原点を結ぶ線上にあるという前提
そんな根拠はない、というか間違いだろう
ぱっと考えられるのが、対角の2等分線上が考え付くが、それを採用するにも根拠がいる
131:１３２人目の素数さん
20/02/03 23:19:19 to5eQB6u.net
陸上の速度をv、水中の速度をwとし、m=w/√(v^2-w^2)とする。
プールを0<x<a、0<y<bとする。
辺y=0から入水してt秒�
132:繧ﾉ到達できる領域はmx+y≦mvt、 辺x=0から入水してt秒後に到達できる領域はmy+x≦mvt、 辺y=bから入水してt秒後に到達できる領域は-y+mx≦-b+mvt、 辺x=aから入水してt秒後に到達できる領域は-x+my≦-a+mvt である。 方程式 mx+y=mvt‥?、my+x=mvt‥?、 -y+mx=-b+mvt‥?、-x+my≦-a+mvt‥? において ???を連立して得られるtをt1、 ???を連立して得られるtをt2とすれば到達時刻の最大値はmin{t1,t2}である。
133: 【大吉】
20/02/04 00:08:14 +IjSdzOF.net
前>>126
>>54修正。
向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)/sinθ(秒)
表記ミスがあった。計算が間違ってなければいいんだけど。
134:１３２人目の素数さん
20/02/04 03:29:19 W/1szoPy.net
>>127
z軸もあるから水深は必要。
135:１３２人目の素数さん
20/02/04 03:33:34 W/1szoPy.net
>>123
経路 a のt をqで偏微分すると
(q - y)/√((p - x)^2 + (q - y)^2 + r^2)
増加関数と言いるんだろうか？
136:１３２人目の素数さん
20/02/04 04:18:31.12 LNHsvcqa.net
>>131
そっちじゃなくて、tの極小値のほう
t=(√(p^2+q^2)+√3 r)/2,
これは明らかにqまたはrの増加関数
137:１３２人目の素数さん
20/02/04 05:36:20 W/1szoPy.net
>>127
立体だと複雑になるので平面で考えて
横２０ｍ縦１０ｍのプールで陸上速度毎秒２ｍ、水中速度毎秒１ｍで１５．５秒で到達できる範囲を描画してみました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ご指摘の通り、対角線上に所要到達時間最大点があるというのは間違いであると確認できました。
138:１３２人目の素数さん
20/02/04 05:49:23 W/1szoPy.net
>>133
すいません、プログラムにバグを発見したので撤回します。m(__)m
139:１３２人目の素数さん
20/02/04 06:22:55.67 W/1szoPy.net
気づいたバグを修正して長方形プールで描画しました。
対角線と対角二等分線をあわせて描画しました。
横２０ｍ縦３０ｍのプールで陸上速度毎秒２ｍ、水中速度毎秒１ｍで２６秒で到達できる範囲
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
横３０ｍ縦２０ｍのプールで陸上速度毎秒２ｍ、水中速度毎秒１ｍで２６秒で到達できる範囲
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
>127の直感通り、対角の２等分線上に所要時間最頂点が位置するようです。
140:１３２人目の素数さん
20/02/04 06:27:09.62 W/1szoPy.net
>>132
レスありがとうございます。
立法体なのでp≧q≧rという仮定が許されるということと理解しました。
141:１３２人目の素数さん
20/02/04 07:24:13 W/1szoPy.net
>81の問題を立方体から直方体に拡張して考えてみた。
オリンピックサイズ・プール50m×25mで水深2.5mの水の入った直方体プールの一つの角に監視員を置く。
この監視員は世界記録で直方体の面上や水中を移動するものとする。
水泳100m自由形 46秒91で水中を移動
陸上100m9秒58でプールを囲む面を」移動
この監視員がプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ。
立方体でなくて直方体のときには、所要時間最大の点は原点と最遠の頂点を結ぶ線上にはない、ということを教えていただいたのでプログラムを組み直した。
所要時間最大点の座標
par
[1] 49.980916 24.788643 2.288643
所要時間
$value
[1] 5.552414
という数値がでてきた。
142:１３２人目の素数さん
20/02/04 07:48:42 W/1szoPy.net
探索初期値設定により、結果がばらつくけど
多数派意見(？）は
> opt
$par
[1] 49.06521 23.86881 1.36881
$value
[1] 5.855706
$counts
function gradient
256 NA
$convergence
[1] 0
$message
NULL
になった。
確かに、この方が到達時間が長い。
143:１３２人目の素数さん
20/02/04 10:56:49 3+QKrfHh.net
>>128
??の交点が頂点(a,b)にある角の二等分線上lなのでt1での???の交点もt2での???の交点もl上。
よくよく考えたらt1=t2だった。
144:１３２人目の素数さん
20/02/04 11:21:43 3+QKrfHh.net
>>139
ウソ書いた。
a,bの大小とt1,t2の大小は一致するでした。
145:イナ
20/02/04 11:44:43.02 +IjSdzOF.net
前>>129問題(前スレ760)
向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)/sinθ(秒)
突き当たりを直角に曲がって飛びこむまでの時間は、
{10-(10-x/√2)(1+1/cosθ)}(1/2)
=5-(5-x/2√2)(1+1/cosθ)
=-5/cosθ+x/2cosθ√2+x/2√2(秒)
これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
微分すると、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0
-2/sinθ+1/cosθ+1=0
-2cosθ+sinθ+sinθcosθ=0
(2-sinθ)cosθ=sinθ
cosθ=sinθ/(2-sinθ)
sin^2θ+{sinθ/(2-sinθ)}^2=1
sin^2θ(2-sinθ)^2+sin^2θ=(2-sinθ)^2
4sin^2θ-4sin^3θ+sin^4θ+sin^2θ=4-4sin^2θ+sin^4θ
4sin^3θ-9sin^2θ+4=0
sin^3θ-(3sinθ/2)^2+1=0
sin^3θ+1=(3sinθ/2)^2
3sinθ/2-√(sin^3θ+1)=0になるθを探すと、
θ=57.465773447629°のとき、
(3/2)(sin57.465773447629°)-√((sin57.465773447629°)^3+1)=0となり極小値を与える。
すなわち向こう側の縁から57.465773447629°の方向に飛びこむと最速で救出できる。
監視員が最初にいるコーナーの対角コーナーから、泳ぐ経路に引いた垂線が、向こう側の縁となす角は、
90°-57.46773447629°=32.53226552371°
対角線となす角は、
45°-32.53226552371°=12.46773447629°
監視員が10秒過ぎてから救出地点に達するまでに泳いだ時間t(秒)または距離t(m)は、
(10√2-10-t)sin12.465773447629°=t
(10√2-10)sin12.465773447629°=t+tsin12.465773447629°
t=(10√2-10)sin12.465773447629°/(1+sin12.465773447629°)
=0.735371693
到達時間10+t=10.735371693(秒)
146:１３２人目の素数さん
20/02/04 12:03:49.77 3+QKrfHh.net
xで微分してそれが0になるθ探してどーするん？
微分の意味がまるで分かってない。
結局意味もわからずやり方だけ覚えたらいいと思ってるから一つも前進しない。
147:イナ
20/02/04 12:39:12.69 +IjSdzOF.net
前>>141問題(前スレ760)再考察。
救出する最遠方地点は監視員が最初にいる位置から対角線上x(m)にあると見て、向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)/sinθ(秒)
突き当たりを直角に曲がって飛びこむまでの時間は、
{10-(10-x/√2)(1+1/cosθ)}(1/2)
=5-(5-x/2√2)(1+1/cosθ)
=-5/cosθ+x/2cosθ√2+x/2√2(秒)
これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
xで微分し、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0とすると、
-2/sinθ+1/cosθ+1=0
-2cosθ+sinθ+sinθcosθ=0
(2-sinθ)cosθ=sinθ
cosθ=sinθ/(2-sinθ)
sin^2θ+{sinθ/(2-sinθ)}^2=1
sin^2θ(2-sinθ)^2+sin^2θ=(2-sinθ)^2
4sin^2θ-4sin^3θ+sin^4θ+sin^2θ=4-4sin^2θ+sin^4θ
4sin^3θ-9sin^2θ+4=0
sin^3θ-(3sinθ/2)^2+1=0
sin^3θ+1=(3sinθ/2)^2
3sinθ/2-√(sin^3θ+1)=0になるθを探すと、
θ=57.465773447629°のとき、
(3/2)(sin57.465773447629°)-√{(sin57.465773447629°)^3+1}=0となり極小値を与える。
すなわち向こう側の縁から57.465773447629°の方向に飛びこむと最速で救出できる。
監視員が最初にいるコーナーの対角コーナーから、泳ぐ経路に引いた垂線が、向こう側の縁となす角は、
90°-57.46773447629°=32.53226552371°
対角線となす角は、
45°-32.53226552371°=12.46773447629°
監視員が10秒過ぎてから救出地点に達するまでに泳いだ時間t(秒)または距離t(m)は、
(10√2-10-t)sin12.465773447629°=t
(10√2-10)sin12.465773447629°=t+tsin12.465773447629°
t=(10√2-10)sin12.465773447629°/(1+sin12.465773447629°)
=0.735371693
到達時間10+t=10.735371693(秒)
148:１３２人目の素数さん
20/02/04 12:54:31.79 VWzue31P.net
>>143
直前のレス読んでるか？
xで微分してそれが0になるところ求めてどーするん？
それで何で所要時間が最小になるθが見つかるの？
微分というのが何か？
それで何故最小値が求まるのかという当たり前の理屈が分かってないから答えられないんだよ。
何度も解答見直した？
xで微分した。
＝0としてθについて解いた。
あれ？なんでコレで答え見つかるんだっけ？と自分に問い直してみないの？
149:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/04 13:38:50 +IjSdzOF.net
前>>143
>>144前スレ760を見たら、なんで答えがみつかるかを説明せよとは問われてない。
ただ最短となる時間を計算せよとある。
だから計算した。そんなけ。AO入試ってなんだ？ と思って調べたら、論文みたいだった。答えはこうじゃないかああじゃないかと思案検討し計算する姿勢が求められてるんじゃないかと思う。
なんでxで微分して答えがみつかるか知りたい気もするし、べつに知りたくない気もする。
入水角度が60°のときも計算した。60°のときは計算しやすいけど最短でということでは角度が甘いと思った。
150:１３２人目の素数さん
20/02/04 13:51:00 3+QKrfHh.net
>>145
なんで答えが微分でもとまるか書けといわれてないから書かなくていい、分かってなくていいって思ってるからいつまで経ってもデキフるようにだけならないんだよ。
思案検討ってなんで微分したら答えがわかるという事は思案したの？
してないよね？
なーんにも考えてないよね？
なんとなく最小値求める時は微分。
でもθで微分なんてできない。
よーしxで微分してみよう！
おぉできた。
60°っぽいぞ！
きっとみんなの答えより正確なハズだ！
カッコいい！オレ！
‥‥
そういうのは思案とはいわん。
151:１３２人目の素数さん
20/02/04 14:42:24.87 VWzue31P.net
>>81です。>>119さんの解答がほぼ用意してた解答です。
ひとつだけコメント。
たとえば経路a: (0,0,0) -> (x,y,0) -> (p,q,r)において(x,y,0)についての極小値の出し方なのですが、
これは距離関数d(A,P)のPについての全微分が
d d(A,P)=e(A,P) dP (e(A,P)はAPベクトルと同じ向きの単位ベクトル、以下同じ）
になることを用いると意味がはっきりします。
この時の所要時間Tは(p,q,r)をAとおいて陸上の速度をv、水中の速度をwとして
T = d(O,P)/v + d(A,P)/w
なので
dT = (e(O,P)/v + e(A,P)/w)dP
となります。
これが任意のz=０内のdPについて0になるのはe(OP)/v + e(A,P)/wがxy平面の法線ベクトルと平行になるときで、
すなわちe(OP)/v + e(A,P)/wのxy平面への射影が0になるときです。
これはAxyから平面へおろした垂線の足HがOPの外分点であり、
かつe(A,P)をxy平面へ射影したものの長さがw/v=1/2となるとき、すなわち∠APHが60°となるときです。
よってこの場合PはHからOの方向へPH/√3だけ移動した点なので
f1(p,q,r)=(√(p^2+q^2)-r/√3)/2 + 2r/√3/1 = √(p^2+q^2)/2 + √3/2r
が経路aの極小値です。
経路b,cは文字入れ替えるだけ、経路dについては同様に考えて
f4(p,q,r)=√((10+q)^2+r^2)/2 + √3/2(10-p)
となります。
152:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/04 15:38:31 +IjSdzOF.net
前>>145
>>146困ったら微分。
それしかない。
60°のときを考えるのはだれでもする。けどそのまま答えは60°のときとするのは高校生まで。
大人は困ったら微分する。
60°のときじゃない、と思ってθと置いたわけで、苦しんで微分するために置いたんじゃない。
未知数xの方程式を微分して極値を与える角度θを出したら60°になるよりちょっと手前で入水したらいいとわかった。問題ない。
153:１３２人目の素数さん
20/02/04 16:10:36 3+QKrfHh.net
>>148
ちょっと確認させて欲しい。
> 未知数xの方程式を微分して極値を与える角度θを出したら60°になるよりちょっと手前で入水したらいいとわかった。問題ない。
コレは本気で書いてるのか、それともココで引き下がったらレスバに負けるから間違ってるの承知でむりくり押し通してやろうと考えてるのかどっち？
もしかしてxで微分してもいいと本気で思ってるん？
xで微分しようがθで微分しようが好きな方で微分していいと本気で思ってるの？
154:イナ
20/02/04 17:11:43.29 +IjSdzOF.net
前>>148
>>149どうやって解いたんだ？ と思って解きなおしたら何度やっても解けなくて、計算間違いかなぁと思ってあきらめかけた。
計算間違いじゃなくxで微分して極小値を与える角度θを出したんだとわかった。
一度はやろうとしたxとθの両方で微分するとどうなるか、またθで微分するとどうなるか、ぜひやってみてほしい。
xで微分して極小値を与える角度θを出して救出時間を出したのはまだ俺だけだと思う。今のところ正しいかどうか比べるものがない。なぜかみんな三次元がいいとか言って潜水してしまって、無人島にいる感じ。入水角度θ=60°のときより速いことは調べた。
155:１３２人目の素数さん
20/02/04 17:27:27.89 3+QKrfHh.net
>>150
だからxで微分しても正しい答えはでないと何度も指摘してるじゃん？
入水角が60°でない経路は最小にはなり得ません。
もし本気で出てる答え5+10/√3より小さい答えが出たと言い張るなら既出の答えの最小到達時間が最大になる点
(5(1+1/√3),5(1+1/√3))
=(7.886751345948, 7.886751345948)
に
5+10/√3 = 10.773502691896
より先に到達できる経路を明示しないとダメ。
わかる？明示？
要するにx=x.xxx‥の地点から入水したら10.77350‥より早く到達できるというx.xxx‥を一つでも見つければいい。
まぁやってごらんなさいな。
156:１３２人目の素数さん
20/02/04 17:32:07.28 W/1szoPy.net
>>148
びぶんのことはびぶんでやれ、という高木貞治を想い出したよ。
157:１３２人目の素数さん
20/02/04 18:06:56 VWzue31P.net
7.886751345948/sin(57.465773447629deg)+7.886751345948(1-1/tan(57.465773447629deg))/2
=
10.7826518083
(10-7.886751345948)/sin(57.465773447629deg)+(10-(10-7.886751345948)(1+1/tan(57.465773447629deg)))/2+5
=
10.7759541902
いずれの経路でも 10.773502691896秒より前に到達できない。
158:イナ
20/02/04 18:49:28.88 +IjSdzOF.net
前>>150
>>61到達時間10+t=10.735371693(秒)
＜10.7735……
入水角度θ(°)、到達時間10+t(秒)、あとは─。
>>151入水地点は、
つきあたりからの距離、
10-(10-x/√2)(1+cosθ/sinθ)に、
θ=57.465773447629°と、
xを代入するとわかる。
xは到達時間、
5+{10-(10-x/√2)(1+cosθ/sinθ)}(1/2)+(10-x/√2)(1/sinθ)=10.735371693にθ=57.465773447629°を代入し、
5+5-(5-x/2√2)(1+cos57.465773447629°/sin57.465773447629°)+(10-x/√2)(1/sin57.465773447629°)=10.735371693
=5+x/2√2+(x/2√2)(0.637910393)-5(0.637910393)+(10-x/√2)(1/sin57.465773447629°)=10.735371693
求めたxを代入すると入水地点もわかるはず。
159:１３２人目の素数さん
20/02/04 18:54:24.56 3+QKrfHh.net
こいついわれてる事全く理解してない。
真性のバカなんだな。
160:１３２人目の素数さん
20/02/04 18:57:33.41 W/1szoPy.net
wolframに∂t/∂x=0, ∂t/∂y=0を解いてもらおうと
x/(2 Sqrt[x^2 + y^2]) + (-p + x)/Sqrt[r^2 + (-p + x)^2 + (-q + y)^2]=0
y/(2 Sqrt[x^2 + y^2]) + (-q + y)/Sqrt[r^2 + (-p + x)^2 + (-q + y)^2]=0
を入力すると
r = -(1.73205 sqrt(p^2 + q^2) (p - x))/p, y = (q x)/pと返ってきてx,yについて解いてもらえなかった。
161:１３２人目の素数さん
20/02/04 19:18:15 VleZ36bS.net
xy平面において、x軸上の正の部分のみ、速度 v、その他の領域は速度 1 で移動できるものとする。
原点にいる人物が、目標地点(cosθ,sinθ) に到達すべく、移動する。
この時、より短時間で目標地点に到達するには、次の戦略αとβ、どちらが有利かを考える。
戦略α：現地点から、直接目標地点の方向へ速度 1 で移動する。
戦略β：x軸に沿って速度 v で移動する。
ε を正の小さな量とする。戦略αあるいはβ取って移動を開始し、εの時間がたった時のそれぞれの到達地点をA,Bとすると
A(εcosθ,εsinθ)、B(vε,0)
目標地点までの距離は、それぞれ、1-ε、√((vε-cosθ)^2+sin^2θ) となるが、さて、どちらが小さいか？
二乗したもの同士の差をとって比べてみると、
(1-ε)^2-((vε-cosθ)^2+sin^2θ) = 1-2ε+ε^2 -v^2ε^2+2vεcosθ-1 = ε(2v cosθ-2)+(1-v^2)ε^2
εは小さな正の量としているので、二次の項を無視すると、cosθ＞1/v で
1-ε＞√((vε-cosθ)^2+sin^2θ) となる。
つまり、目的地との方向のずれがθあるものの、v 倍の速度で移動できるとき、 cosθ＞1/v を
満たすなら、そのコースは直接目的地に向かうより有利である とえる。
この結論は、θとvのみが関与し、他の次元にも適用可。
162:１３２人目の素数さん
20/02/04 19:18:48 VleZ36bS.net
と同時に、この類いの問題に対し、次の戦略が最速であることを示す。
現在地から目標地点へのベクトル、あるいは、その方向への単位ベクトルをｐ↑、
選択可能ないくつかの速度ベクトルｖ↑が与えられたら、
内積 ｐ↑・ｖ↑ が最大になる速度ベクトルｖ↑ に沿うコースこそ最速コースである。
この戦略に従って、四次元プールの問題を考えるなら、微分は必要なくなる。
（この戦略の背景は、微分の考え方そのものであるが、結論のみを利用するならば、微分は不使用）
目的地を、(p,q,r) ただし、対称性から p≧q≧r として考える。
この方向への単位ベクトルは(p/D,q/D,r/D) 但し、D=√(p^2+q^2+r^2)
直接この方向へ向かう場合、速度ベクトルも(p/D,q/D,r/D)なので、内積は、1
縁を進む場合は、三つの平面の内どれか。p≧q≧r という条件では、平面z=0 上に、最適コースが存在し、
それは、(2p/d,2q/d,0) 但し、d=√(p^2+q^2)
時刻 t まで、移動したとき、(2pt/d,2qt/d,0)に移動しているので、目的地へのベクトルは (p-2pt/d,q-2qt/d,r)
速度ベクトルは(2p/d,2q/d,0)であり、この時、この両者の角度がπ/3だという方程式を解くと、
t=(1/2)d±((√3)/6)r が得られる。マイナスの方を代入して整理すると、残りの距離は((2√3)/3)rで、
トータル (1/2)d-((√3)/6)r+((2√3)/3)r=(1/2){√(p^2+q^2)+(√3)r} の時間がかかる
163:１３２人目の素数さん
20/02/04 19:19:23 VleZ36bS.net
以上は、向こう側の「縁」を利用しない場合の最速コースについての議論。
向こう側の縁を利用する場合は、まずは、平面x=10へ下ろした時の足の座標、(10,q,r)へ向かうコースを考える。
立方体の表面しか移動できないので、展開図上で考えることになるが、直角を挟む2辺が10+rとqである直角三角形の
斜辺上にあたるコースを辿りながら、向こう側の平面に到達したときに、(p,q,r)を目指すことになる。
これは、無限に広がるプール、ただし、三つの平面x=0、y=0、z=0上だけは、
速度2で歩けるという条件で、(10+r,q,10-p)を目標にするのと同じ事になる。
こう考えると、先ほどの結果がそのまま使えて、このコースをとった場合のトータル時間は、
(1/2){√((10+r)^2+q^2)+(√3)(10-p)}
最も時間がかかる地点の座標には、(1/2){√(p^2+q^2)+(√3)r}=(1/2){√((10+r)^2+q^2)+(√3)(10-p)}
という条件が加わる。面倒になってきたので、細かいことは省略するが、上の式で、p=q=rとして
方程式を解くと、p=q=r=(5/6)(15-4√6+√(249-96√6))
（これは、>>119さんの結果と一致）
最後端追ったが、以上は、微分を使わない方法である。
164:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/04 19
165::48:21 ID:+IjSdzOF.net
166:１３２人目の素数さん
20/02/04 19:52:12 3+QKrfHh.net
(7.886751345948,7.886751345948)に10.773502691896秒以内に到達できる地点を探せと言われて7.886751345948の全く出てこない式を立てるのはどういう頭の構造してんの？
167:１３２人目の素数さん
20/02/04 20:14:28 W/1szoPy.net
>>158
p≧q≧r という条件では、平面z=0 上に、最適コースが存在し、
までは理解できるのですが、
入水する点の座標が
(2p/d,2q/d,0) 但し、d=√(p^2+q^2)
が最適とはどうして分かるのでしょうか？
168:イナ
20/02/04 20:48:03.71 +IjSdzOF.net
前>>160
>>161
救出地点まで遠いほうの縁からの距離は、
11.309854/√2=7.99727446(m)
図を描いて8mぐらいかなぁと思ってたからいい値だと思った。
7.88……だと入水角度も入水地点も変わると思う。
7.88……がどうやって出た値かだよね。
xとθを両方とも微分するか、θで微分して、
x/√2=7.88……ってことなら、あるいはありうるかも。わるい値じゃない。
169:１３２人目の素数さん
20/02/04 21:21:08 3+QKrfHh.net
>>143
まぁしつこいからマジメにつっこむと
>これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
xで微分し、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0とすると、
xで微分してそれが0になるθとはつまり到達地点(x,x)がどこにあろうと到達時間が一定であるようなθを探している事になる。
そんな地点は存在しないし実際wolfram大先生にグラフ書いてもらってもそんなθは存在してない。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
にもかかわらずどこからかコレが解
θ=57.46773447629
なる謎の数値を導き出す。
そしてこの謎の数値を元にした到達時間の最大値を出して、それが既出の数値より小さいから既出の値は間違ってると騒ぎ立てる。
そしてだったら既出の最大地点
(7.886751345948, 7.886751345948)
に既出の最小値10.773502691896より早く到達できる経路を明示してみろというと、この7.886751345948が全く出てこない式を立式して10.773502691896より小さいと言って得意顔。
バカさの次元の桁が違う。
170:１３２人目の素数さん
20/02/04 21:23:45 VleZ36bS.net
>>162
>> 入水する点の座標が
>> (2p/d,2q/d,0) 但し、d=√(p^2+q^2)
>> が最適とはどうして分かるのでしょうか？
なるほど、紛らわしい書き方をしてしまったようです。申し訳ありません。
(2p/d,2q/d,0) というのは、入水地点ではなく、速度ベクトルです。
原点から、この方向に、時刻0 から 時刻 t まで移動すると、
(2pt/d,2qt/d,0)
に到ります。この地点から、目的地をみると、(p-2pt/d,q-2qt/d,r)という方向にあります。
このまま、この速度を維持したまま、進んだ方がいいか、戦略をβからαに切り替えた方がよいか、
その判定に用いるのが、
「cosθ＞1/v」
という式です。
この式が不成立になる時刻を求めるための、方程式が
((p-2pt/d,q-2qt/d,r),(2p/d,2q/d,0)) =(1/2)*|(p-2pt/d,q-2qt/d,r)|*|(2p/d,2q/d,0)|
です。（左辺は内積の式であり、右辺は、ベクトルの大きさの積とcos(π/3)で構成されています。）
ここで求まった時刻を、(2pt/d,2qt/d,0) に代入すると、入水地点がわかります。
171:１３２人目の素数さん
20/02/04 21:24:31 THlBhxRo.net
>>143で救出までに最も長い時間
> 到達時間10+t=10.735371693(秒)
がかかる、と言っている点の座標はどこなん？
まあ、どこだろうが
> θ=57.465773447629°のとき、
の角度で行くより短時間のコースはあるわけだが
172:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/04 23:15:55 +IjSdzOF.net
前>>163
>>166救出地点まで遠いほうの縁からの距離は、
11.309854/√2=7.99727446(m)
救出地点を座標でいうと、最初に監視員がいる地点を原点(0,0)、つきあたり方向にy軸をとり、
-xの方向に直角に曲がってy軸から6.71971502mの地点から、
θ=57.7465773447629°の方向に入水して、原点を出てから、10.735371693秒後に、
(x,y)=(-7.99727446,7.99727446)に到達する。
173:１３２人目の素数さん
20/02/04 23:34:25 3+QKrfHh.net
>>167
> θ=57.7465773447629°の方向に入水して、原点を出てから、10.735371693秒後に、
> (x,y)=(-7.99727446,7.99727446)に到達する。
じゃあその(7.99727446, 7.99727446)の地点に60°で見込む点
(10, 6.841000330368)
から入水して何秒
174:かかるかちゃんと計算してみたかね？ その数値は10.735371693より大きいかね？ そういう当たり前の確かめを一つもしないからダメダメなんだよ。
175:１３２人目の素数さん
20/02/04 23:47:26 THlBhxRo.net
>>167
座標
> (x,y)=(-7.99727446,7.99727446)に到達する。
までの最短時間は
(10+7.99727446-(10-7.99727446)cot(π/3))/2+(10-7.99727446)/sin(π/3)/1≒7.3305
になり、、
(10+7.99727446-(10-7.99727446)cot(θ))/2+(10-7.99727446)/sin(θ)/1
θ=57.7465773447629°
の
> 10.735371693秒
より短いな
176:
20/02/05 00:33:59.16 C9wRmgDi.net
前>>167
>>168第Ⅰ象限には水がないという設定です。
最速になる角度を探したんでほかの角度は60°と90°と45°ぐらい。
入水地点を決めてから角度を決めたんじゃなく、微分して角度が決まってから入水地点を計算した。
177:１３２人目の素数さん
20/02/05 01:00:30 gfGkl938.net
>>170
こんだけ言われてまだ何言われてるか理解できてないの？
どこまで頭悪いの？
みんなが60°で入水が最速である理由をあれだけ手を変え品を変えいろんな方法で示してたよね？
そのどれ一つとして理解できなかったとしても、そして自分が60°以外の角でより早い経路をみつけたとしても、最低限まず自分が見つけた地点に最速でいける方法がその角度なのか確かめてみろと言ってるんだよ。
なんでそんな簡単なことがわからん？
何よりそんな事まず自分で思いつかないの？
君のそのアポレスがどんだけスレの流れ乱してるからわからんの？
そのアポレスいつまで続けるん？
もう出てけよ。
178:１３２人目の素数さん
20/02/05 01:06:11 OkeImVJQ.net
思付直感数学
179:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/05 01:55:16 C9wRmgDi.net
前>>170
問題見て最初に思いついたのがたしか60°だった。
縁と水中で速さが2:1だから。
その直感は正しいと思ってたけど、微分してθ=57.465773447629°と出て、到達時間を計算した。まだこの段階で半信半疑。
むしろ60°のとき計算したら10秒735切るぐらい速いはずと思って計算したら、
10秒9……って出て、あれ!? ってびっくりした。
θ=57.465773447629°のほうがθ=60°のときよりコンマ2秒速かった。
今は結果を受け入れてる段階。
180:１３２人目の素数さん
20/02/05 06:23:22 +pUSmyEU.net
>>165
解説ありがとうございました。
最後の方程式をWolframに解いてもらったら
人間技では扱えそうにない答になりました。
Solve[{p - 2 p (x/d), q - 2 q (x/d), r} . {2 (p/d), 2 (q/d), 0} == Norm[{p - 2 p (x/d), q - 2 q (x/d), r}] (Norm[{2 (p/d), 2 (q/d), 0}]/2), x, MaxExtraConditions -> Automatic]
x = (d^3 p^2 (q/d)^2 + d^3 p^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (q/d)^2 - sqrt(-d^6 p^2 (r)^2 (q/d)^4 - 2 d^6 p^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 +
d^6 (-p^2) (r)^2 (p/d)^4 - d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^4 - 2 d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 - d^6 q^2 (r)^2 (q/d)^4 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (p/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (q/d)^2) - 4 d p^4 -
8 d p^2 q^2 - 4 d q^4)/(2 (d^2 p^2 (q/d)^2 + d^2 p^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (q/d)^2 - 4 p^4 - 8 p^2 q^2 - 4 q^4))
x = (d^3 p^2 (q/d)^2 + d^3 p^2 (p/d)^2 - d^3 q^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (q/d)^2 + sqrt(-d^6 p^2 (r)^2 (q/d)^4 - 2 d^6 p^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 +
d^6 (-p^2) (r)^2 (p/d)^4 - d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^4 - 2 d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 - d^6 q^2 (r)^2 (q/d)^4 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (p/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (q/d)^2) - 4 d p^4 -
8 d p^2 q^2 - 4 d q^4)/(2 (d^2 p^2 (q/d)^2 + d^2 p^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (q/d)^2 - 4 p^4 - 8 p^2 q^2 - 4 q^4))
181:１３２人目の素数さん
20/02/05 08:43:38.73 t1CV2afM.net
>>174
なぜ FullSimplify しない？
X=の最初の式を%とすると
FullSimplify[%, d > 0 && p > 0 && q > 0 && r > 0]
1/6 d (3 + (Sqrt[3] r)/Sqrt[p^2 + q^2])
182:１３２人目の素数さん
20/02/05 09:26:37.46 VrbXRcrj.net
>>174
165です。これは自戒を含めてのコメントになりますが、あの方程式は、手で簡単に計算できます。
お試しください。
183:１３２人目の素数さん
20/02/05 09:41:51 PzHdrrq1.net
>>175
ありがとうございます。
その機能をはじめて知りました。
184:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:10:45 VrbXRcrj.net
>>174
「お試しください」と書きましたが、実際にお示しします。
あの戦略からの要請、二つのベクトル、P-Vt と V のなす角度がπ/3であるという方程式は
(P - V t).V=(1/2)*|(P -V t)|*|V|
と書けます。ピリオドはベクトルの内積、絶対値記号はノルムを表す記号としてます。
>>165では、無理矢理成分表示で、式を表していたため、見苦しくなりましたが、最初からこう書けばよかったですね。
|V|=2、P.V=p*(2p/d)+q*(2q/d)+r*0=2d、P.P=p^2+q^2+r^2=d^2+r^2 に注意して変形すると
P.V-t*V.V = |P -V t|
2d-4t = √(P.P-2t*P.V+4t^2)
16t^2-16td+4d^2=d^2+r^2-4td+4t^2
12t^2-12td+3d^2-r^2=0
t=(1/12){6d±√(36d^2-12(3d^2-r^2))}=(1/12){6d±(2√3)r}
と、言う具合に、簡単に t を求めることができます。
185:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:25:04 t1CV2afM.net
二次元平面上に無限に続く、1オームの抵抗で作られた正方形の格子において、
ナイトの動き(桂馬飛び)の位置にある2つのノード間の抵抗は
4/π-1/2 オームであることを示せ。
（Google入社試験 - 難易度を下げるために一部簡単化）
186:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:36:16 298bnSpu.net
>>179
コレは電気抵抗の知識なくても解けるの？
Googleの試験だからそこは知らなくても推定しろなのかな？
とりあえずググったら長さに比例して断面積に反比例するというのしか見つからない。
URLﾘﾝｸ(kenkou888.com)
187:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:38:21 298bnSpu.net
あれ？
格子点と格子点を結ぶように1Ωの抵抗が繋がってるという意味？
もしかして？
188:１３２人目の素数さん
20/02/05 14:55:22 t1CV2afM.net
>>181
そうです。
>>179
の補足ですが、1オームの二次元無限格子の隣接ノード間の抵抗は
対称性の意味を知っていれば中学生で出せます。
より一般的には、任意の二つのノード間の抵抗は
有理数＋有理数×1/πであらわされることを示してください。
189:１３２人目の素数さん
20/02/05 15:02:45 t1CV2afM.net
>>180
前提となる物理知識は、中学生レベルのオームの法則とキルヒホッフの法則のみです。
190:１３２人目の素数さん
20/02/05 15:28:22 298bnSpu.net
つまりijにおける電位をe[i,j]として(0,0)から-1A、(2,1)に+1A流入してるとして
e[i+1,j]+e[i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]-4e[i,j]
=δi0δj0-δi2δj1
のときのe[2,1]-e[0,0]かな？
留数定理の香りがする。
191:１３２人目の素数さん
20/02/05 22:11:30 +pUSmyEU.net
>>178
どうもありがとうございました。
d=√(p^2+q^2)の情報なしでwolframに入力したので複雑な答で表示されたのだと理解しました。
192:１３２人目の素数さん
20/02/05 23:39:40.39 t1CV2afM.net
>>184
ヒント
ローラン展開による母関数
E(z,w)=Σ[i,j:整数] e(i,j) z^i w^j
193:イナ
20/02/06 04:43:23.90 Mv+y98sK.net
前>>173だれか入水角度60°の決め打ちじゃなくて、微分してみたって人いないかなぁ。
194:１３２人目の素数さん
20/02/06 06:18:07.30 Ya801udz.net
>>187
前スレで
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:807番)
が偏微分で極値を出している。
プログラムでの数値解と合致した。
立方体の方の計算�
195:ﾉうつったら。 オリンピップールの直方体の方が計算のしがいがあると思う。
196:１３２人目の素数さん
20/02/06 09:32:28.14 tNI6h0TT.net
>>188
前スレの807を書いた者だが、極値は二つ出たが、807では採用する方を誤ってしまった。
訂正内容を824に記してあるので、807を見る場合は、824もセットで見て欲しい。
197:１３２人目の素数さん
20/02/06 10:42:10.03 5WVjoOPr.net
>>187
偏微分以外は全部決め打ちと思ってる時点でもうこのスレでレスできるレベルに到達してない。
198:１３２人目の素数さん
20/02/06 22:27:39.52 eS4p1xAB.net
> だれか入水角度60°の決め打ちじゃなくて、微分してみたって人いないかなぁ。
イナ以外で60°という角度を使っている人は、思い付きだけで使っているわけでなく、
書くまでもなく計算したり、スネルの法則等の定理を用いて60度を導出しているんだからな
199:１３２人目の素数さん
20/02/06 23:33:31 Ya801udz.net
タクシー料金の改訂
# 京浜地区
# 旧運賃（小型)
F1=740 # 初乗運賃 Fair
D1=2000 # 初乗り距離 initial Distance
C1=90 # 加算運賃 Charge by distance
B1=288 # 加算距離 charge By distancce
# 新運賃
F2=500
D2=1200
C2=100
B2=264
URLﾘﾝｸ(travel.watch.impress.co.jp)
距離と新旧運賃および差額をグラフにしてみた。
運賃改定率が8.88％と記載されているのだがどうやって計算するんだろう？
200:１３２人目の素数さん
20/02/07 01:43:45 YN6u30Ej.net
>>187
横に１０ｍ走って縦に方向を変えてプールサイドからθの角度で座標(p,q）に向かって飛び込む時の所要時間は
10/2+((p-10)/tan(θ)+q)/2+sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)
角度を決めたら縦方向の走行距離が決まってしまう。
これを微分すればいい
D[5 + (q + (-10 + p) Cot[θ])/2 + Sqrt[(10 - p)^2 + (10 - p)^2 Cot[θ]^2], θ] をWolfram先生にお願いすると
導関数は((10 - p) Csc[θ]^2)/2 - ((10 - p)^2 Cot[θ] Csc[θ]^2)/Sqrt[(10 - p)^2 + (10 - p)^2 Cot[θ]^2]
んでもって
solve ((10 - p) Csc[θ]^2)/2 - ((10 - p)^2 Cot[θ] Csc[θ]^2)/Sqrt[(10 - p)^2 + (10 - p)^2 Cot[θ]^2]==0 for θ
導関数が０になるθを求めてもらうと
θ = π/3 θ = -π/3
マイナスだとプールに飛び込めないから、θ = π/3
目的の座標に関わりなく６０°と算出されました。
201:１３２人目の素数さん
20/02/07 02:37:34 JwTQ0wHH.net
>>192
8.88%をだしたいのなら、例えば、
100m利用、200m利用、...、6600m利用、6700m利用
の料金の合計を、新旧で比較すると、8.8位のアップになる。
1200m以下だと、新運賃は240円安い
1800m位から、逆転し、その後、じわじわ差が大きくなり、
4200m位から、240円位高くなる。
100mから4200m位をまんべんなく利用する人がいたとすると、この改定により、
利用額の増減はほとんど無いという解釈も可能。
距離が大きくなれば、値上げの効果がどんどん大きくなる。
最終的には、1m辺りの加算運賃の比 90/288 ： 100/264 = 33:40
なので、21.212121...%の上昇に近づく。
それが、6.7km辺りでは、8.8%だというだけ。
つまり、8.88位になるよう、最小距離100mと最大距離を6.7kmを恣意的に選んだだけ。
文頭の説明には説得力は全く無い。
恐らく、距離別利用割合のデータに基づいて、新旧の料金比較したのだろう。
この情報が無ければ、8.88%等の数値は出せないと思われる。
202:１３２人目の素数さん
20/02/07 03:19:17 9IJwzjmO.net
>>179
でけたかも。
まず(0,0)以外で漸化式
4e(i,j)=e(i+1,j) + e(i-1,j) + e(i,j+1) + e(i,j-1)
を満たす列を探す。
e(i,j)=∫[|x|,|y|<π] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
がこの条件を満たす。
また|i|,|j|→∞で0に行く。
そこで点i,jに電荷はe[i,j]-e[2-i,1-j]となる。(多分解は一意、ノーチェック)
e[0,0]=0, e[2,1]=32π-4π^2
であるから電位差は64π-8π^2。
e[1,0]=4π^2だから原点から隣接する4点に計16π^2の電流が流れる。
よって求める抵抗値は(32π-4π^2)/16π^2=4/π-1/2である。
またe[i,i]が
e[i,i]=∫(1-cosix))/(1-cos(x)cos(y))dxdy
であるが、yについて先に積分すると
e[i,i]=π∫(1-cosix))/|sin(x)|dx
となり、この値はπの有理数倍になる。
コレと漸化式によりe[i,j]はπとπ^2の有理係数の線形結合である。□
e[i,i]の計算が全く思いつかなかった。
e[i,j]の母関数って作れるのかな？
203:１３２人目の素数さん
20/02/07 08:18:59 YN6u30Ej.net
>>194
レスありがとうございます。
距離と新旧運賃と差額のグラフのアップロードを忘れておりました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
与えられたデータだけからは平均値上げ率は算出できない思っていたのが確認できました。
ある距離までの乗客数が同じと仮定したときの平均の値上げ率をグラフにすると
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> which.min((crs-0.0888)^2)
[1] 6869
> pir(6869)
[1] 0.08882413
6．9キロくらいの平均で8.9％の値上げ率になりました。
計算したひとはこういう数字を使ったのでしょう。
204:イナ
20/02/07 08:40:02.32 VtLCtPNo.net
前>>187
>>193
角度を決めたら泳ぐ距離が決まる。θで微分するか、θとxの両方で微分するかってとこですか。
205:１３２人目の素数さん
20/02/07 10:21:34.08 YN6u30Ej.net
>>197
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
Oから出発してAを経て角度θで入水してS(p,q)に泳ぐとする
AJの長さをxとすると
tan(θ)=(10-p)/(q-x)だから
x=q-(10-p)/tan(θ)
となり、
所要時間の計算からxは消去できて
10/2+((p-10)/tan(θ)+q)/2+sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)
となる。
この極値を与えるθはp,qによらないのは>193に書いた通り。
206:１３２人目の素数さん
20/02/07 15:11:11.89 YN6u30Ej.net
>>197
>角度を決めたら泳ぐ距離が決まる。
違う、角度を決めたら走る距離も泳ぐ距離も決まる
207:１３２人目の素数さん
20/02/07 15:12:19.07 YN6u30Ej.net
走る距離 10+((p-10)/tan(θ)+q)
泳ぐ距離 sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)
208:１３２人目の素数さん
20/02/07 20:35:27.63 CyUpE86n.net
>>179の解の一意性の証明ができないなぁ。
昔これエレガントな解答を求むかなんかで
4a[ij]=a[i+1j]+a[i-1j]+a[ij+1]+a[ij-1]
をみたす有界な列は定数に限る事を示せ
の形で出題されて2chにえらいエレガントな解答が上がって数セミに載ったっていう事件があったけど、あれどんな証明でしたっけ？
誰か覚えてます？
209:１３２人目の素数さん
20/02/07 20:48:28.93 oSzq3jEL.net
>>195
正解です。よく特殊解を探せましたね。
その特殊解を(i',j')個すらして符号を変えて重ね合わせて正規化すれば、
2点(i',j')--(0,0)間に1Aの電流を流した時の電位の式が出ます。
想定していた解答は、2点(2,1)--(0,0)間に1Aの電流を流した時の電位の式
e[i+1,j]+e[i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]-4e[i,j]=δi0δj0-δi2δj1
にexp(√-1 (ix+jy))をかけてi,jで和を取ると
(exp(-√-1 x)+exp(√-1 x)+exp(-√-1 y)+exp(√-1 y)-4)E(x,y)=1-exp(√-1 (2x+y))
(ここで E(x,y)=Σ[i,j:整数] e[i,j]
210:exp(√-1 (ix+jy)) と置く) より E(x,y)=(1-exp(√-1 (2x+y)))/(2cosx+2cosy-4) これをフーリエ級数の公式(留数定理) e[i,j]=(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π]E(x,y)exp(-√-1 (ix+jy))dxdy を用いて逆変換すると、(2,1)--(0,0) 間の電位は e[2,1]-e[0,0]=(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π](exp(-√-1 (2x+y))-1)(1-exp(√-1 (2x+y)))/(2cosx+2cosy-4) dxdy =(1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(2x+y))/(2-cosx-cosy) dxdy =4/π-1/2 一般に(0,0)--(i,j)間の抵抗値は (1/(2π)^2)∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(ix+jy))/(2-cosx-cosy) dxdy =(1/(8π^2))∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos(i(x+y)+j(x-y)))/(1-cosxcosy) dxdy =(1/(8π^2))∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos((i+j)x)cos((i-j)y))/(1-cosxcosy) dxdy =(1/(2π))∫[0,π] (1-cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|)/|sinx| dx (0,0)--(i,i)間の抵抗値は (1/(2π))∫[0,π] (1-cos((i+j)x))/|sinx| dx =(2/π)(1+1/3+1/5+1/7+...+1/(|2i|-1))
211:１３２人目の素数さん
20/02/07 21:19:32.21 CyUpE86n.net
>>200
その解は
f(x,y)=Σe[kl]exp(ikx+ily)
が収束すると仮定して(仕事率の有限性から二乗は収束する)みたすべき関数方程式で見つけました。
見つかっちゃえば解答はコレが解だでいいハズなんですが、級数の収束性とかが自明でないのでコレのみが解なのか示せてなくて気持ち悪い。
まぁ入社試験ではそこまで求められないんだろけど。
>>201のエレガントな解答求むのやつは確か与式が等号でなくて不等号だったかな？
しかしそこから等号の有界な非自明解の存在が必要性で出てきて矛盾を導くという流れだったような。
検索しても出てこないなぁ？
212:１３２人目の素数さん
20/02/08 00:08:01.33 aj0WebTe.net
>>202
補足
特殊解(原点に8π^2の電流を注入した解)
∫[0,2π]∫[0,2π] (1-cos((i+j)x)cos((i-j)y))/(1-cosxcosy) dxdy
=4π∫[0,π] (1-cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|)/|sinx| dx
は|i|=|j|で 4πΣ[n=1,|i|] 1/(2n-1) になって |i|=|j|→∞で発散します。
一方、2点間(0,0)--(2,1)で符号を変えて重ね合わせた解((0,0)--(2,1)間に8π^2の電流を流した解)
∫[0,2π]∫[0,2π](cos((i+j)x)cos((i-j)y)-cos((i+j-3)x)cos((i-j-1)y))/(1-cosxcosy)dxdy
=4π∫[0,π](cos((i+j)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j|-cos((i+j-3)x)((1-|sinx|)/cosx)^|i-j-1|)/|sinx|dx
はリーマン・ルベーグの補題より|i|,|j|→∞で0に収束します。
ちなみに、3次元の無限格子ではこのような発散は起こりません。
213:１３２人目の素数さん
20/02/08 07:44:31.25 MW5Whxwa.net
隔離中のクルーズ船では
船内の換気が共通らしいから13日後に発症した奴がいるとその近くの部屋のやつはプラスで14日隔離しないといけない
それが今の船内の状況という。
こんな問題を考えてみた（答は自分でもまだ持ってません）。
計算には追加の設定がいるかもしれません。
両隣のどちらかが感染したら14日延長、どの部屋も1日で感染する確率pは1%
部屋の配置は長方形（つまり始まりも終わりもなし）。
発症するか、隔離期間が終われば下船できる。全員定員１の個室として客と乗務員を合わせた人数nは3000人。
クルーズ船から全員下船できる日数の期待値は？
214:１３２人目の素数さん
20/02/08 08:08:03 MW5Whxwa.net
>>190
正解が出てから誤答を連投する芸人をどう納得させるかというゲームだと思って俺は楽しんでる。
215:１３２人目の素数さん
20/02/08 08:11:36 MW5Whxwa.net
部屋の配置は長方形（つまり始まりも終わりもなし）。
どの部屋にも両隣があると言う意味。
長方形に意味なし、円形配置でも同じ。
216:１３２人目の素数さん
20/02/08 11:46:54 MU+ZFKMw.net
もし 4a[i,j] = a[i,j+1]+a[i,j-1]+a[i+1,j]+a[i-1,j] =: 4(Δa)[i,j] が全ての(i,j)で成り立つ状況なら、
閉領域[-n,n]^2に属する格子点(i,j)全体におけるa[i,j]の最大値、最小値は、
どちらも辺∂([-n,n]^2)上でとらなければならないから、一意性はこれが鍵になったりするのかなあ
状況的にはリウヴィルの定理に似てるから、その証明と同じ手法が使えたりはしないだろうか
217:１３２人目の素数さん
20/02/08 13:31:28.34 dmI15PZj.net
ある1点のみで微分可能であり、他の至る所で微分可能でないような関数の例を挙げよ。
218:１３２人目の素数さん
20/02/08 13:49:21.83 kYb/Jpp8.net
f(x)=x^2 (x: rational)
. =0 (otherwise)
219:イナ
20/02/08 17:08:45.78 JlYEzXuq.net
前>>197
θで微分するのとθとxの両方で微分するのとどっちが妥当か考えてみたい。
220:１３２人目の素数さん
20/02/08 17:15:30.17 +JttXwIS.net
>>205
とても解析的には解けそうもないのでシミュレーションで計算してみた。
１０万回のシミュレーションで平均値
> mean(RE)
[1] 57.942
と計算された。
221:１３２人目の素数さん
20/02/08 17:37:24.71 +JttXwIS.net
>>205
１日で新たに3人ということなので感染確立を0.1％にしてシミュレーションしたら。
> k=1e4
> RE=replicate(k,sim())
> mean(RE)
[1] 30.8222
全員が下船できるのは１か月後という予想になった。
222:１３２人目の素数さん
20/02/08 19:56:19 kYb/Jpp8.net
>>208
それだな。
格子点の集合Sn={(k,l) | |k|+|l|≦n}を考えるとき任意のx∈Snに対して∂Sn上の関数w(y)でw(y)∈[0,1]Σw(y)=1、e(x)=Σw(y)e(y)を満たすものが存在する。
特にmax{|e(x)| ; x∈Sn}= max{|e(y)| ; y∈∂Sn}。
証明はnについての帰納法。
223:１３２人目の素数さん
20/02/08 22:42:10.34 +JttXwIS.net
>>205
シミュレーションで全員下船までの日数と1日の感染確率の関係をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ｐを大きくするとシミュレーションが終わらない。
p=0.9999とかすると1日で全員下船と瞬時に終わるけど。
224:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/09 05:26:49 glwDVnx4.net
前>>211
225:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/09 05:35:52 glwDVnx4.net
前>>211
初めの座標のとり方から、文字の置き方まで人の数だけ異なる解法があっていいと思う。
4sin^4θ+4sin^3θ+5sin^2θ-4=0
シュクメルリの定理によりθ＜60°みたいな決定的な式をみつけたい。
226:１３２人目の素数さん
20/02/09 07:24:54.89 Unvdz8cL.net
ある小学校のあるクラスでは、バスで遠足に行くことになった。
バスの座席は事前に決まっていたが、最初にバスに乗った児童が自分の座席を忘れて、任意の座席に座ってしまった。
他の児童は、一人ずつバスに乗り込み、自分の座席が空いていればその座席に、そうでなければ空いている任意の座席に座った。
このとき、最後の児童が自分の座席に座れる確率は、クラスの児童数にかかわらず一定であることを証明せよ。
227:１３２人目の素数さん
20/02/09 08:42:25.56 +DmUozks.net
>>218
シミュレーションしてみたら、0.5前後の値が返ってきた。
seat.n <- function(n){ # n: 生徒の人数
s=1:n # 残り座席番号
s1=sample(s,1) # 最初の生徒１の座る席番号s1
s=s[-s1] # s1を残り座席から除く
for(i in 2:(n-1)){ # 生徒２から生徒n-1まで
if(i %in% s){ # 生徒iの座席iが残っていれば
s=s[-which(s==i)] # その座席をsから除く
}else{
ls=length(s) # 残り座席数 length of s
si=sample(ls,1) # 1:lsの中から1個選びsiとする
s=s[-si] # si番目の座席を除く
}
}
s==n # 生徒ｎの席番号はｎかの真偽を返す
}
sim <- function(n,k=1e4){
mean(replicate(k,seat.n(n)))
}
228:１３２人目の素数さん
20/02/09 08:58:40.02 +DmUozks.net
nを３から５０までに変化させて最後の児童が自分の座席に座れる頻度をだしてグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
229:GyDJ.png
230:１３２人目の素数さん
20/02/09 09:01:00.76 +DmUozks.net
>>217
>人の数だけ異なる解法があっていい
そして、正しければ答が一致する。
231:１３２人目の素数さん
20/02/09 09:18:05.66 a34FdUHe.net
>>218
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が正しい席にすわる)=1
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の最後の生徒の席にすわる)=0
p(最後の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が最初と最後の生徒の席以外の席にすわる)=1/2 (∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)
∴ p(最後の生徒が正しい席にすわる)=1/2。
232:１３２人目の素数さん
20/02/09 12:15:25 +DmUozks.net
数学的帰納法を使うんじゃないのか？
233:１３２人目の素数さん
20/02/09 13:25:33.82 BHX2wTJj.net
>>179の問題は自分的には納得できたのだけど>>201で書いたエレガントな証明が思い出せなくてムカつく。
ネットで検索すると、やはりあるのはあるはず
この↓インターネット上の匿名氏の証明。
誰か知りませんか？
URLﾘﾝｸ(www.cc.miyazaki-u.ac.jp)
というのが有名な雨宮問題であり、長年初等的証明は懸案であった。もともとは一松信による英語本の問題であったが、雨宮が初等的解法の存在を数セミの「エレガントな解法を求む」に出題したのである。最近では
０．もともとの英語本の著者による位相空間の端点理論を使う証明
１．名古屋大学の山田氏による証明
２．インターネット上の匿名氏の証明
３．（有界な場合のみ通用する）関数解析的証明
が存在することが知られている。
234:イナ
20/02/09 13:42:01.97 glwDVnx4.net
前>>217
xを+にとったのはいい。
もう一度考えてみる。
235:１３２人目の素数さん
20/02/09 14:24:06 drHYoHKW.net
>>224
このリンク先に意味があるのかね？
236:イナ
20/02/09 15:46:18.09 glwDVnx4.net
51.56095029371006087°
前>>225
うまく決まらないな。
237:１３２人目の素数さん
20/02/09 17:31:29.03 31X3KU8h.net
>>218
m人が残っていているとき、このうち何人分の正しい席が残っているかと考えると、
m-1人の正しい席が残っているか、m人全ての正しい席が残っているかどちらか。
なぜそのようなことが言えるか？
m人、残っている状態で、ある人物Ｘがいて、自分の席に座ろうと、自分の席があるであろう場所に向かい、
他の生徒が座っているのを見たとする。問題では、全ての生徒が気弱設定なのかもしれないが、この人物Ｘは
たまたま強気で、「この番号札を見ろ。ここは俺の席だ。どっか行け。」と追い出したとする。
この追い出された人物は、『自分だって本当の席に座りたかったんだ』と心の中で反論し、本当の自分の席に
向かい、さっき自分が言われたのと同じ台詞「この番号札を見ろ。ここは俺の席だ。どっか行け。」を言って、
憂さを晴らした。これが繰り返されるとどうなるか？
最初にバスに乗り、適当に座った人物、以後これをＡと称すが、Ａだけが追い出される。
この追い出し作業の間、空席には、全く変化は無いし、Ａ以外、全て正しい席に座っている。
困ったＡは、残った席の中から、適当な席を見つけて座ったとする。
さて、ここで、Ａが座った席。これを、文頭で登場した人物Ｘを、問題通り気弱設定にして、
自分の席が他の人物に占拠されていて仕方なく適当に選んだ席に置き換えてみよう。
何が違うか？何も変わらない。
問題では、バスに最初に乗り込んだ人物が、自分の席が書かれた番号札を無くしたことになっているが、
残り、m人が残っている状態で乗り込んだ人物が、番号札を無くしていたのと同じ。
最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
かつ、残りの席から、間違った席を選んだ確率に等しい。つまり、１／２である。
238:１３２人目の素数さん
20/02/09 17:35:02.88 31X3KU8h.net
あ、間違った。
×：最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
×：かつ、残りの席から、間違った席を選んだ確率に等しい。つまり、１／２である。
○：最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
○：かつ、残りの席から、正しい席を選んだ確率に等しいとして計算できる。つまり、１／２である。
239:１３２人目の素数さん
20/02/09 17:52:28 pAXGuv7W.net
>>223
>>222 の解答を丁寧に書くと
人数がn人のときの最後の人が自分の席に座る確率をp[n]として帰納法を用いる
n=2のとき明らかにp[2]=1/2
n>2のときp[n-1]=...=p[2]=1/2と仮定すると
1人目が自分の席に座る確率 = 1人目が最後の人の席に座る確率 = 1/n, 1人目が2からn-1人目の席に座る確率 = (n-2)/n
・1人目が自分の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = 1
・1人目が最後の人の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = 0
・1人目がk人目(2≦k≦n-1)の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = p[n-k+1] = 1/2
従って
p[n]=(1/n)*1+(1/n)*0+((n-2)/n)*1/2=1/2
240:１３２人目の素数さん
20/02/09 18:41:02.01 zmPDrO9K.net
>>222
>(∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)
この場合
2人目～最後の置かれた状況は1人目～最後の場合と異なっているけど帰納法使えるってなんで？
241:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:24:31.42 pAXGuv7W.net
>>231
1人目が2人目の席に座った場合、2人目は名簿を持っていないのと同じ状況になるから
242:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:31:11.92 zmPDrO9K.net
>>232
1人目の人は自分の席に座る可能性があるけれど
その場合の2人目の人はその可能性がないでしょ？
243:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:32:38.31 zmPDrO9K.net
ああそうか1人目の席に座る可能性があると言うことか
わかった
244:１３２人目の素数さん
20/02/09 19:38:31.86 pAXGuv7W.net
>1人目の人は自分の席に座る可能性があるけれど
その場合は最後の席まで問題なく正しく決まり、条件付き確率は1になる(だから解答は３つの場合分けをしてある)
245:イナ
20/02/09 19:50:10.02 glwDVnx4.net
前>>227計算に自信ない。極値与えるθに理由ない。
救出時間f(θ)=5+{x-(10-x)cosθ/sinθ}(1/2)+(10-x)/sinθ
=5+x/2-(5-x/2)cosθ/sinθ+10/sinθ-x/sinθ
=5+x/2-5cosθ/sinθ+xcosθ/2sinθ+(10-x)/sinθ
f'(θ)={5sin^2θ-(-5cos^2θ}/sin^2θ+(-xsinθ2sinθ-xcosθ2cosθ)/4sin^2θ+(10-x)cosθ/sin^2θ
=5/sin^2θ-1/sin^2θ+10cosθ/sin^2θ-xcosθ/sin^2θ
=4/sin^2θ+(10-x)cosθ/sin^2θ
f'(θ)の分子=0より、
2+5cosθ-xcosθ=0
xcosθ=2+5cosθ
x=2/cosθ+5
などかはしらねθ=60°と仮定すると、
x=2/(1/2)+5=4+5=9
f(60°)=5+{9-(10-9)cos60°/sin60°}(1/2)+(10-9)/sin60°
=5+(9-1/√3)(1/2)+√3/2
=5+9/2-1/2√3+√3/2
=19/2+1/√3
=(57+2√3)/6
=10.0773503……
246:１３２人目の素数さん
20/02/09 20:18:42.13 BHX2wTJj.net
>>236
心配するな。
お察しの通り間違ってる。
247:１３２人目の素数さん
20/02/09 21:08:01.72 .net
>>218もグーグル入社試験？
248:１３２人目の素数さん
20/02/09 21:08:05.73 zmPDrO9K.net
>>235
それも入れて2人目～で同じ状況でないといけないよ
で2人目には1人目の席に座る可能性があって
その場合が1人目が自分の席に座る場合と同様の展開になるってわけ
そのつもりでなかったの？
249:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:07:16.60 SF8a8rkr.net
>>224
多分こんな感じの流れで示すことはできそう
(Δa)[i,j] := (a[i+1,j]+a[i-1,j]+a[i,j+1]+a[i,j-1])/4
と定めると、(Δ^(2n))a を展開した時の係数は ( (cosx+cosy)/2 )^(2n) を展開した時の係数と同一視することができ、
特に e^(i(2px+2qy)) の係数 c[p,q] は次を満たす：
c[p,q]=0 when |p|+|q|>n,
c[p,q]=c[p,-q]=c[-p,q],
|p|≧|p'| かつ |q|≧|q'| ならば c[p,q]≦c[p',q'].
これより (Δ^(2n)a)[0,0] - (Δ^(2n)a)[2,0] の各係数の絶対値の和は
=2Σ_(p,q∈Z, p≧0) |c[p,q]-c[p+1,q]|
=2Σ_(q∈Z) c[0,q]
=:S_n→0 (as n→∞)
であるから、配列a[i,j]が Δa=a かつ任意の(i,j)について |a[i,j]|≦M を満たすならば、
|a[0,0]-a[2,0]|≦MS_n (for∀n) より a[0,0]=a[2,0].
同様にして a[i,j]=a[i,j+2]=a[i+2,j] が導けるから、あとは容易。
250:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:19:26.26 BHX2wTJj.net
>>240
いや、残念ながら雨宮の問題で仮定できるのは正値だけ、上の有界性は仮定できないのです。
251:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:30:57.30 SF8a8rkr.net
ちなみに
252:この結果は、例えば原点以外だけで Δa=a を満たすような有界配列aを求める時にも使える。 この場合、そのようなaの具体例の一つは>>195で挙げられているのでa'とおくことにすると、 もし仮に原点以外だけで Δa=a を満たすような有界配列 a'' が a' とは別に存在するならば、 定数cを適切に定めれば a~:=a''-ca' が全ての格子点で Δa~=a~ を満たす有界配列になるため、a~は定数。 すなわち、a'' は a' と定数の線形結合でなければならない。 同様にして、あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たすような有界配列 a は a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数) と表せることがわかる。
253:イナ
20/02/09 22:31:22.31 glwDVnx4.net
前>>236
>>218
生徒数をxとすると、
1/2じゃないかな。勘で。
254:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:31:49.18 SF8a8rkr.net
>>241 まじか、見落としてたすまない
255:１３２人目の素数さん
20/02/09 22:39:06.73 zmPDrO9K.net
>>244
>>201
256:１３２人目の素数さん
20/02/09 23:08:17.31 BHX2wTJj.net
>>244
いえいえ、少なくとも有界ケースについては定数解しかないという話は雨宮の問題はともかく>>179の問題には使える。
何故ならオレは物理そんなに詳しくないから自信ないけど流石に系において各点の電位は正電極より低く負電極よりは高いのはほぼ自明と言って良さそう。
むしろ無限遠で電位が0の方がよっぽどあやしい。
だから実は>>179の問題解くにはキルヒホッフの法則とオームの法則以外にその辺の知識もいるっちゃいるんだよな。
257:１３２人目の素数さん
20/02/09 23:26:59.76 pAXGuv7W.net
>>239
より丁寧に説明すると、誰も座ってない状況から
場合1: 1人目が1人目(自分)の席に座る場合 (全員正しい席に座れる)
場合2: 1人目が2人目の席に座る場合 (2人目がランダムに選ばなければならない)
場合3: 1人目が3人目の席に座る場合 (2人目は正しい席に座れて、3人目がランダムに選ばなければならない)
...
場合n-1: 1人目がn-1人目の席に座る場合 (2人目からn-2人目は正しい席に座れて、n-1人目がランダムに選ばなければならない)
場合n: 1人目がn人目(最後の人)の席に座る場合 (n人目は正しい席に座れない)
の場合分けを考えます。この場合の確率はすべて等しく
P(場合1)=P(場合2)=...=P(場合n-1)=P(場合n)=1/n
であり、最後の人が座れる条件付き確率は
P(n人目がn人目の席に座る|場合1)=1
P(n人目がn人目の席に座る|場合2)=p[n-1] (∵2人目がランダムに座る座席は1人目,3人目,...n人目のn-1席⇒n-1人の状況に還元)
P(n人目がn人目の席に座る|場合3)=p[n-2] (∵3人目がランダムに座る座席は1人目,4人目,...n人目のn-2席⇒n-2人の状況に還元)
...
P(n人目がn人目の席に座る|場合n-1)=p[2] (∵n-1人目がランダムに座る座席は1人目,n人目の2席⇒2人の状況に還元)
P(n人目がn人目の席に座る|場合n)=0
となります。そしてp[n]を計算すると
p[n]=P(n人目がn人目の席に座る)
=Σ[k=1,n]P(n人目がn人目の席に座る|場合k)P(場合k)
=(1/n)+Σ[k=2,n-1]p[n-k+1](1/n)
=(1/n)+(n-2)(1/2)(1/n) (∵帰納法の仮定p[n-1]=p[n-2]=...=p[2]=1/2より)
=1/2
258:１３２人目の素数さん
20/02/10 00:15:28.72 Cj4YNvxv.net
>>247
1人目がk人目(k>1)の席に座る場合
2人目からk-1人目までは自分の席に座るから
k人目が1人目と同様の状況になるので帰納法の仮定が使える
ただしそこでk人目が1人目と同様の状況とは
k人目が1人目の席に座ればあとは皆自分の席に座ることになるということと
k人目が座るべきだった席には1人目が座っているから今ある席からランダムに席を選ぶしかないということが
1人目が自分の席に座ればあとは皆自分の席に座ることになるということと今ある席の中からランダムに席を選ぶしかないということと同じということ
259:イナ
20/02/10 01:17:58.05 Yw6JNRbB.net
／∥__`∥￣￣∥彡ミ､
∥∩∩ ∥ □ ∥^o^川
（ (`)∥ ∥цc_)
（っ⌒⌒ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥╂─╂
＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼前>>243偏微分とかいっちょ前に言いたげだけど要は1対2対√3の三角定規当てれば小学校低学年で解けるってことだからな。
260:１３２人目の素数さん
20/02/10 02:29:53.99 XWhjucY0.net
>>218
帰納法使わなくても簡単に解けると思う。
最後の人の席をL、最初の人の席をFとする。最後の人はLに座れば勝ちとしよう。
最後の人の勝利条件は「LよりFが先に座られる」ことで、敗北条件は「FよりLが先に座られる」こと。
最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける（最初の人や自分の席が座られている人の場合はFもLも等確率で座られるし、自分の席が空いている人の場合FもLも座られる確率は0）。
よって、勝利条件と敗北条件が等価なので答えは1/2。
261:１３２人目の素数さん
20/02/10 02:42:40.39 XWhjucY0.net
各人の座る席が正しいか正しくないかという考察ほぼほぼ無しで解けるの凄く美しいね
262:１３２人目の素数さん
20/02/10 02:47:23.31 70pt9AB7.net
>>228
の解答だが
> m-1人の正しい席が残っているか、m人全ての正しい席が残っているかどちらか。
において、m-1人の正しい席が残っているときしか考慮してないように思うのだが...
m人全ての正しい席が残っている場合は、Aが正しい席に座っていた場合で追い出す必要はなくて
このときXは番号札を持っている状態に相当する
もし勘違いだったらすまん
263:１３２人目の素数さん
20/02/10 02:58:04.66 FWWWRdtj.net
>>218
児童の数をn人とする
円周上にa1からanまでn個の点をとり、
これらをいくつか結んでa1を頂点に含む内接多角形をランダムに作る
（ただし便宜上、１角形と２角形も認める）
その多角形がanを頂点に含まない確率と同じ
264:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:00:30.77 421H1KJr.net
>>250
そんな解答が成立するならどんなに先手が有利なゲームでも先手後手の勝率1/2になってしまうのでは？
例えば今回のでも最初の人も途中で席がなかった人もサイコロ振って6が出た時は正解の席、すなわち最初の人は自分の席、それ以降の人は所有者が間違った席に着席してあぶれてる席に座り、それ以外の場合のみ自由にすわるルールにすれば確率は1/2でなくなるよ。
265:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:04:19.87 Mlme5M1c.net
>>253
本当にそのふたつの間に保測写像ある？
問題文の方は分母に1～nまでなんでも出てくるけど内接多角形の方は分母に二冪しか来ないけど？
266:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:10:38 FWWWRdtj.net
>>255
単純に多角形の数を数えて
anを含むk角形とanを含まないk-1角形の数が等しいので
全体として半分ずつになるって考えたんだがダメかな
267:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/10 03:14:35 Yw6JNRbB.net
前>>249前にx/√2にしてたx座標をxにして解きなおした。
最初に監視人がいる位置から救出地点(x,x)までの距離はx√2(m)
縁を端まで5秒、直角に曲がり、
{x-(10-x)/√3}(m)の地点まで、
{x-(10-x)/√3}(1/2)秒で行き、進行方向に対して60°の方向に飛びこんで泳ぎ、対角線上を泳いできた監視人と同時にアタックした。
(_(`.)っヾ(゜o゜)ノﾞc(`e'!彡
~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~
救出時間で立式すると、
x√2=5+{x-(10-x)(1/√3)}(1/2)+(10-x)(2/√3)
x√2=5+x/2-10/2√3+x/2√3+20/√3-2x/√3
x(√2-1/2-1+4)=5-10/2√3+20/√3
x=(30+10√3)/(3+2√6-√3)
=7.67326988……
x√2=10.8516423……(秒)
前にこの値出して最速じゃないとなったやつじゃないか。
268:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:33:58.76 b0ggZ9I3.net
>256
さぁ？
例えば6人だとして
325461
とすわる確率は
1/6x1x1/4x1x1/2
でこれは最後の人が自分の席に座れない場合にカウントされる軽率。
このような事象を全部足し合わせて1/2になる事を示せればいいといえばいい。
コレに3→5→6→3と結んで四角形と対応させてもいいけど確率は六角形から何点か好きに選ぶ1/64とはズレる。
269:１３２人目の素数さん
270:
>>256 すまん訂正 anを含むk角形ができる場合とanを含まない(n+1-k)角形ができる場合が対応してるんだった
271:１３２人目の素数さん
20/02/10 03:44:09.98 qRxWZgbb.net
>>256あ、でもこの多角形論法はうまくやると1/2説明できるね。
素晴らしい。
272:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/10 05:26:24 Yw6JNRbB.net
前>>257
>>237
どっかで見覚えがある数値だと思ったら、>>31ですでにあってたんじゃないの？
273:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:00:44 YjGt8s3q.net
>>252
最初の2行は、空席の中にせいぜい一つの席しか、過ちがないということを言いたかった。
「なぜそのようなことが言えるか？ 」と書き、主題をこの点の説明に当てている。
そして、その説明の延長として、
「自分の番号札を無くしたのが、1番目の人か、（後ろから数えて）m番目の人か、区別できない」
点を指摘し、m=2の時を使えば簡単に確率の計算ができるので、それを使って答えを求めている。
状況を、「m-1人の正しい席が残っている」場合と「m人全ての正しい席が残っている」場合
に分け、それぞれについて、説明を加えたわけではない。
m人が残っている状態で、「m-1人の正しい席が残っている」確率と「m人全ての正しい席が残っている」
確率を求め、数学的帰納法を用いて、答えを求める方法もあるが、>>218では、その手段を用いていない。
>> m人全ての正しい席が残っている場合は、Aが正しい席に座っていた場合で追い出す必要はなくて
>> このときXは番号札を持っている状態に相当する
これは、Xが登場するまえのだれかが、自分の席が占拠されているのを見て、適当な席に座った。ただし、
その席がたまたまＡの席であって、それ以降に乗車する人たちへの悪影響がこの時点で断ち切られている状況にあたる。
もちろん、一番最初に乗車したＡ自身が、適当に座った座席がたまたま、本来のＡの席であることも
「含まれ」はするものの、「ＡがＡの席に座る」には完全対応はしない。
繰り返すが、「ＡがＣ、ＣがＧ、ＧがＡ」のように解決した場合であり、これには、「ＡがＡ」も含まれる。
274:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:02:35 YjGt8s3q.net
上の218への引用は、>>228への引用の間違い
275:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:18:46 vVxwssud.net
>>254
> そんな解答が成立するならどんなに先手が有利なゲームでも先手後手の勝率1/2になってしまうのでは？
> 例えば今回のでも最初の人も途中で席がなかった人もサイコロ振って6が出た時は正解の席、すなわち最初の人は自分の席、それ以降の人は所有者が間違った席に着席してあぶれてる席に座り、それ以外の場合のみ自由にすわるルールにすれば確率は1/2でなくなるよ。
そのルールは
> 最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける
には当たらないだろ？
> 確率は1/2でなくなるよ。
になっても何の問題ないだろう
>>250は帰納法の一種なんじゃじゃないかとは思うが
276:１３２人目の素数さん
20/02/10 09:57:44.91 1+8rzOtr.net
>>264
その抽選論法で本当に正しい確率計算できるのか概略ではなく厳密に書き出したものを示してください。
277:１３２人目の素数さん
20/02/10 10:28:51.75 vVxwssud.net
>>254の論法が間違っているって言っているだけだよ
というか、この程度の論法(>>250)が正しいかぐらい自分で確認しろよ
> 最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける
が真かを確認するだけだろ
278:１３２人目の素数さん
20/02/10 10:33:13.78 1+8rzOtr.net
>>266
あなたは>>250の言ってる事がわかるんですか？
わたしにはFもLもなんか公平にやるゲームだから1/2って言ってるようにしか見えません。
正直戦略とかゲームとかいう言葉使いたいだけで証明もできてないんじゃないかと疑ってます。
279:１３２人目の素数さん
20/02/10 10:37:20.07 1+8rzOtr.net
あ、戦略とかは使ってないのか。
勝利とかいってるからゲーム理論を気取ってるのかと思った。
280:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:18:42 70pt9AB7.net
>>262
ありがとう、理解できた。
281:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:45:00 YjGt8s3q.net
>>218
この問題は、次の問題と対応が可能。
カードがｎ枚あり、それぞれに、１からｎまでの数字が書かれている。
これらのカードを袋に入れる。
プレイヤーは、１からｎの中から、勝ち番号と、負け番号を決め、
勝ち番号、または、負け番号が書かれているカードが出るまで、袋の中からカードを選び続ける。
勝ち番号を引いて終了する確率は？ → 当然1/2と考えられます。
取り出された数字列を、適当に選ばれて座られてしまった座席番号に対応させます。
（失念か、すでに占拠されていたか、理由は問わない）
先頭の人の本当の座席番号を先に引くか、最後の人の座席番号を先に引くかが、
先頭の人の本当の座席番号を引いて横取り連鎖が途中で終了するか、
最後の人の座席番号を引いて、横取り連鎖に最後の人も引き込むかが決定され、
問題で言うところの、最後の人が正しい席に座れるか、座れないかに対応可能です。
アイデアのほとんどは >>250さんが指摘されたもので、対応がわかりやすくなるよう少々アレンジしてます。
282:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:50:09 KXMXye1h.net
日本最高学費の底辺私立医大では
１年：進級失敗１０人
２年：進級失敗１６人
３年：進級失敗３４人
４年：進級失敗９人
５年：進級失敗１０人
６年：卒業失敗２６人
一学年約120～130人前後。
同じ学年で二回留年すると退学
ｽﾚﾘﾝｸ(doctor板:1番)
であるという。
1年次学費総額 12,145,000円 2年次以降学費（年間） 7,030,000円
1学年を125人として上記データから算出した確率（例、1年次は10/125の確率で留年）を用いて
卒業できる確率と卒業生の在学年数の期待値を求めよ。
また、退学になる確率と退学者の在学年数の期待値を求めよ。
283:１３２人目の素数さん
20/02/10 11:56:54 XWhjucY0.net
>>254
その場合最初の人の着席においてFとLが等確率の抽選を受けていないので当然結果は変わってくると思いますが
284:１３２人目の素数さん
20/02/10 19:42:14 yBFcK3Lr.net
ある小学校のあるクラスでは、バスで遠足に行くことになった。
バスの座席は事前に決まっていたが、最初にバスに乗った児童が自分の座席を忘れて、任意の座席に座ってしまった。
他の児童は、一人ずつバスに乗り込み、自分の座席が空いていればその座席に、そうでなければ空いている任意の座席に座った。
クラスの人数をnとして自分の席に座れる生徒数の期待値をe[n]とするときlim e[n]/log(n)を求めよ。
自作。
できないかも。
285:１３２人目の素数さん
20/02/10 19:46:52.71 yBFcK3Lr.net
>>273
訂正
lim(n-e(n))/log(n)
です。
286:イナ
20/02/11 02:59:50.00 EsKbfXIQ.net
前>>261
>>271卒業できる確率は、
8(4/23)+12.8(20/99)+(3400/99)(4/13)+(180/13)(5/14)+(125/7)(10/23)+(1300/23)
=83.7751427……(％)
在学年数の期待値は、
6(16/83.7751427……)+7{(83.7751427-16)/83.7751427}
=6.80901256(年)
退学になる確率は、
100-83.7751427……
=16.2248572……(％)
退学者の在学年数の期待値は、
1(10/125)(16/115)+2(10/125)(34/115)+3(/)+4(/)+5(/)+6(/)+7(/)もう少し。
287:１３２人目の素数さん
20/02/11 08:57:04.35 W39lcV+G.net
>>275
現実世界の計算しにくい問題にも関わらずレスありがとうございます。
面倒な計算を誤答をものとのせず続けられる気力にはいつも関心します。揶揄ではありません。
で、いつもの通り、用意した答とは違います。
自作問題ですが、シミュレーション値と合致した理論値が出せました。場合分けが面倒なので場合分けもプログラムにさせました。
シミュレーションは指定の確率で乱数発生させて計算させました。
ほぼ一致する値でした。
288:１３２人目の素数さん
20/02/11 09:56:58 5Rrv77pM.net
>>276
補足
シミュレーションでの結果は以下の通り
> mean(RE[,2]==7) # 卒業確率
[1] 0.85482
> mean(RE[RE[,2]==7,1]) # 卒業までの在学年数
[1] 6.712606
> mean(tu(RE[RE[,2]==7,1])) # 卒業までの学費
[1] 52304621
> mean(RE[,3]==2) # 退学確率
[1] 0.14518
> mean(RE[RE[,3]==2,1]) # 退学までの在学年数
[1] 4.99139
> mean(tu(RE[RE[,3]==2,1])) # 退学までの学費
[1] 40204472
q=1-p # 留年確率,p=進級確率
(P=prod(1-q^2)) # 卒業できる確率 Π{1 - (2年連続留年確率)}
(Q=1-P) # 退学となる確率
の結果と近似しています。
289:１３２人目の素数さん
20/02/11 10:08:53
290:.30 ID:1ttWTA4N.net
291:１３２人目の素数さん
20/02/11 11:06:18.93 zI9vXMIC.net
>>278
正解です。
想定解答は>>222と一緒。
最後からk番目の生徒が正しい席に座れたとき0、そうでないとき1をとる変数をXkとする。
k:1～n-1のとき
p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が最初の生徒の席かまたは最後からk番目の席～最後の席に座る)
= (最初の生徒が最後からk番目の席以外に座る|最初の生徒が最初の生徒の席かまたは最後からk番目の席～最後の席に座る)
=k/(k+1)。
p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が2番目の席から最後からk-1番目の席に座る)=k/(k+1)
(∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)。
∴ p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる)=k/(k+1)。
∴E(Xk)=1/(k+1)
明らかにE(Xn)=(n-1)/n
∴n-e(n)=Σ[k:1～n-1]1/(k+1)+(n-1)/n～log(n)。
292:１３２人目の素数さん
20/02/11 14:17:21 7sbhOFJk.net
オリジナルですが答えはありません。ただ気になったので投稿します
実数の配列 a[i,j] (i,j∊Z) が全ての格子点(i,j)で 4a[i,j]=a[i+1,j]+a[i-1,j]+a[i,j+1]+a[i,j-1] を満たす時、aを調和配列と呼ぶことにする。
次を満たす実数α≧0の下限はいくらか：
調和配列aが任意の格子点Xについて |a[X]|≦|X|^α を満たすならばaは定数である。ただし、|X|は点Xの原点からの距離を表す。
293:１３２人目の素数さん
20/02/11 14:23:06 j1jqA7X+.net
>>280
違う、上限でした
294:１３２人目の素数さん
20/02/11 14:58:24 5Rrv77pM.net
卒業できる確率 ： 4750970704397512 / 5551115123125783 = 0.85585879575891107187420816324627437826646454687092053
退学の確率 ： 800144418728271 / 5551115123125783 = 0.144141204241088928125791836753725621733535453129079468759
295:１３２人目の素数さん
20/02/11 16:55:37.06 CVYz5IRs.net
単位円上の2n個の点A1,B1,‥,An,Bnを一様独立に選び円盤をn個の線分線分A1B1,‥,AnBnで分割するとき、できる小領域の個数の期待値を求めよ。
296:１３２人目の素数さん
20/02/12 00:29:09.72 Q6IpDgid.net
>>280
とりあえず今のところこのスレでは>>240さんの証明しか上がってない。
この方針でいくなら非負実数αが条件
Σ(c(p+2,q)-c(p,q)|(|p|+|q|}^α→0 (n→∞)‥‥(※)
が成り立つならそのαは>>280の条件をみたしたりしないかな？
まだ>>240が完全に理解できてはいないからわかんないけど。
もし(※)を満たす非負の実数が0しかないなら今んとこαを改善できる見込みあるレスは上がってないな。
297:イナ
20/02/12 02:21:36.56 hcOGUVCg.net
前>>275
>>283
n=1のとき2(個)
n=2のとき、
3(1/2)+4(1/2)=3.5(個)
n=3のとき、
4(1/8)+5(1/8)+6(1/4)+7(1/2)=(9+12+28)/8
=6.125(個)
n=4のとき最大11個、最小5個
5(1/64)+6(1/64)+7(1/32)+8(1/16)+9(1/8)+10(1/4)+11(1/2)
=(5+6+14+32+72+160+352)/64
=10.015625(個)
n=5のとき最大16個、最小6個
=(6+7+16+36+80+176+384+640+192+1280+512+2560+1280)/1024
=(7149+8192)/1024
=15341/1024
=14.9814453……
n=6のとき、最小7、最大22
7(1/2)^15+8(1/2)^15+9(1/2)^14+10(1/2)^13+11(1/2)^12+12(1/2)^11+13(1/2)^10+14(1/2)^9+15(1/2)^8+16(1/2)^7+17(1/2)^6+18(1/2)^5+……+22(1/2)
n本の直線で分割した領域の個数の期待値は、
(n+1)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+2)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+3(1/2)^{n(n-1)/2-1}+……+{n(n+1)/2+1}(1/2)
ブロックくずしのように簡単になるのか、lim[n→+∞]に飛ばすのか、通分か。
298:１３２人目の素数さん
20/02/12 04:10:08.56 1Q0cdG25.net
毎度思うけど思考過程をレスするの何？
〇〇となり……ああ違うか。みたいなの誰も求めてないし数学の試験でそんなこと書くか？
ちゃんとオフラインで答えに辿り着いてからそれを纏めて書けよ
299:１３２人目の素数さん
20/02/12 07:34:56 eWvaFFv2.net
>>285
n=1のときだけは正解です。
300:１３２人目の素数さん
20/02/12 10:02:20 EmPEyxMI.net
日本数オリ本選の問題が出ました
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
301:１３２人目の素数さん
20/02/12 10:17:58 2Z9zzZPK.net
>>284
(※)は使えそうですね
実際には Σ|c[p+2,q]-c[p,q]|=2Σc[0,q] の値は積分を使って
C(1+o(1))/√n (as n→∞, ただし定数Cはabsolute) となることが計算できるので、
|Σ(a[0,0]-a[2,0])|
≦Σ|c[p+2,q]-c[p,q]|(|p|+|q|)^α
≦C(1+o(1)) ･ n^(α - 1/2) (∵|p|+|q|>n の時に係数が0となるため、|p|+|q|≦n の範囲で和をとれば良い)
という評価が得られます。
a[0,0]とa[2,0]の差以外にも同様のことが言えるので、結局 α<1/2 は条件を満たすことが導けると思います。
ちなみに一方で a[i,j]:=i (∀(i,j)∈Z^2) という例から、α≧1は条件を満たさないことがわかります
302:イナ
20/02/12 14:44:38.94 hcOGUVCg.net
前>>285え？ >>283n=2のとき違うの？ なんで？ クロスする確率とクロスしない確率は1/2ずつじゃないのかい？
／∥__`∥￣￣∥彡ミ､∥
∥∩∩ ∥ □ ∥^o^川 `
（ (`)∥ ∥цc_)＼
（っ⌒⌒ ｡∥＼____/
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303:１３２人目の素数さん
20/02/12 15:08:05.33 IJFWAL+A.net
>>200
ヒント。
ホントは積分で求めるんだけど裏技。
まず4点選ぶ。
後でどれをA1B1A2B2と割り振るか決める。
304:１３２人目の素数さん
20/02/12 16:25:29.15 U1ltP3xX.net
点O中心の半径1の円の内部に点Oと異なる点Aを取る。
半直線OA上にOA・OB=1なる点Bを取る。
円周上に点P,Qを、直線PQに関して点O,A,Bが同じ側に来るように任意に取る。この3点はいずれも直線PQ上に無い。
直線PQに関してAと線対称な点をDとする。
△PBD∽△OBQを示せ。
305:１３２人目の素数さん
20/02/12 16:45:23.52 2rGgcqMY.net
>>283
四点A1,B1,A2,B2の偏角を小さい順に並べると1122,2211,1221,2112,1212,2121の六通り
このうち、先の四つは線分が互いに�
306:墲轤ﾈい場合であり、後の二つは交わる場合である つまり、ランダムに決めた二つの線分が交わる確率は1/3 n本の線分により円が分割されているとき、新たに一本の線分を加えるとする このとき新しい線分が既存の線分と交わらなければ、分割される領域は一つ増える 既存の線分一本と交わるなら領域は二つ増え、既存の線分二本と交わるなら領域は三つ増える つまり、新しい線分が既存の線分と交わった本数+1の領域が新たに増える 新しい線分を引いたとき、既存の線分n本のうち交わる本数の期待値はn/3だから、 領域の数の増分の期待値はn/3+1となり、 n本の線分で分割されたときの領域の数の期待値をI(n)と置くと、I(n+1)=I(n)+n/3+1と書ける I(n)-I(1)=(n(n-1)/2)/3+(n-1)、I(1)=2は自明なので、I(n)=n(n-1)/6+n+1
307:１３２人目の素数さん
20/02/12 17:23:00.93 IJFWAL+A.net
>>292
PQの垂直二等分線が実軸でOが原点となる複素座標を設定する。
Aの実軸対称点をCとする。
ABCDPQの複素座標をabcdpqとする。
PDをPQ、実軸で続けて対称移動するとQCに移るからd-p=q-cである。
またAが単位円に関する反転でCはその実軸反転だからc=1/bである。
P,Qは単位円上かつ実軸対称だからpq=1である。
以上により
(d-p)/(b-p)
=(q-c)/(b-p)
=(1/p-1/b)/(b-p)
=1/(pb)
=(q-0)/(b-0)
であるから△BDPと△BQOは相似である。
308:１３２人目の素数さん
20/02/12 17:24:07.93 IJFWAL+A.net
>>293
正解！GJ!