高校数学の質問スレPart403

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高校数学の質問スレPart403 - 暇つぶし2ch829:≧0　のとき　a^k･b^L + a^L･b^k < a^(k+L) + b^(k+L), (略証) 　a^(k+L) + b^(k+L) - a^k･b^L - a^L･b^k 　= (a^k - b^k)(a^L - b^L) 　> 0,　　　(終) 本題：　(a^n-b^n)/(a-b) = Σ[k=0,n-1] a^k･b^(n-1-k) 　= (1/2)Σ[k=0,n-1] {a^k･b^(n-1-k) + a^(n-1-k)･b^k} 　< (1/2)Σ[k=0,n-1] {a^(n-1)+b^(n-1)} 　= (n/2){a^(n-1)+b^(n-1)}, ・解２　n=1 のときは明らか。　n>1 のとき　y = x^(n-1) は下に凸だから　(a,a^(n-1)) と (b,b^(n-1)) を結ぶ直線より下側にある。　a^n - b^n = ∫[b,a] n･x^(n-1) dx 　< (n/2)(b-a){a^(n-1)+b^(n-1)}　　　← 台形公式・解３　√(ab) = c,　a = c･exp(t),　b = c･exp(-t) とおく。　a-b = 2c sinh(t), 　a^n - b^n = 2(c^n)sinh(nt), 　a^(n+1) + b^(n-1) = 2c^(n-1) cosh((n-1)t), 和積公式より　(n/2)(a-b){a^(n-1)+b^(n-1)} = 2n(c^n)sinh(t)cosh((n-1)t) 　= n(c^n){sinh(nt) - sinh((n-2)t)} 　= 2(c^n)sinh(nt) + (c^n){(n-2)sinh(nt) - n･sinh((n-2)t)} 　≧ 2(c^n)sinh(nt) 　= a^n - b^n.

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