20/02/22 15:44:22 0iFmeQIA.net
>>305の Case3) は取り消して、その訂正版。
Case3)：平面 R^2 上の半径1の円周Cで囲まれた円の外側に有理点 A(x/z,y/z) が存在するとき。
このとき、確かに平面 R^2 上の円周Cで囲まれた円の外側に有理点 A(x/z,y/z) は存在し、(x/z)^2+(y/z)^2＞1 を満たす。
また、3つの正整数x、y、zについて、1≦x＜z かつ 1≦y＜z だから、x^2＋y^2＜2z^2 から (x/z)^2＋(y/z)^2＜2 を得る。
故に、或る 1＜s＜√2 なる実数sが存在して、(x/z)^2＋(y/z)^2＝s^2 であり、( x/(sz) )^2＋( y/(sz) )^2＝1 となる。
平面 R^2 上において、3点 O(0,0)、B(x/(sz),y/(sz))、A(x/z,y/z) はその順に一直線上に並んでいるから、
θの定義から cos(θ)＝x/(sz) かつ sin(θ)＝y/(sz) かつ sz＝√(x^2＋y^2) であり、s・cos(θ)＝x/z、s・sin(θ)＝y/z。
仮定から n≧3 であり、s^n・cos^n(θ)＝(x/z)^n、s^n・sin^n(θ)＝(y/z)^n。
成り立つと仮定した等式から、(x/z)^n＋(y/z)^n＝1 だから、s^n・(cos^n(θ)＋sin^n(θ))＝1、
故に、X＝cos^n(θ)＋sin^n(θ) とすれば、s^n・X＝1 となる。
ところで、平面 R^2 上の半径1の円周C上には、すべての a^2+b^2＝1、0≦|a|≦1、0≦|b|≦1 を何れも満たすような点 (a,b) が存在する。
逆に、a^2+b^2＝1、0≦|a|≦1、0≦|b|≦1 を何れも満たすような点 (a,b) は、すべて平面 R^2 上の半径1の円周C上に存在する。
また、mに対して3つの正の実数 r、s'、t が対応して r^m＋(s')^m＝t^m となるような2以上の整数mが存在するならば、mは一意に決まる。
よって、mに対して3つの正の実数 r、s'、t が対応して (r/t)^m＋(s'/t)^m＝1 となるような2以上の整数mが存在するならば、mは一意に m＝2 に決まる。
仮定から、x、y、z は正の実数であり、nは n≧2 を満たすから、s^n・X＝(x/z)^n＋(y/z)^n＝1 から、nが取り得る値は n＝2 となる。
しかし、n＝2 は n≧3 と仮定していることに反し、矛盾する。