19/12/29 22:34:35.09 /Zdz9M/3.net
>>131
>無限の定義
>無限とは部分と全体が等しいことである
デデキントは
「A と同数(equinumerous)であるようなA の真部分集合B が存在すること」
を無限の定義とした(デデキント無限)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
通常の無限の定義は以下の通り
「どのような自然数 n に対しても、{0,1,2,..., n -1}(有限順序数)と A との間に全単射が存在しないこと」
選択公理ACを仮定しない場合、無限集合であるにもかかわらず
デデキント無限でない集合が存在することが知られている
(上記の無限集合は整列不可能である)
137:132人目の素数さん
19/12/29 22:38:07 /Zdz9M/3.net
宗教には興味がない
死は語れない なぜなら人は死を体験しないから (ヴィトゲンシュタイン)
神は存在する( ̄ー ̄)
この動画がその証拠だw
URLリンク(www.youtube.com)
138:132人目の素数さん
19/12/29 22:45:43 /Zdz9M/3.net
URLリンク(gendai.ismedia.jp)
自死は人道上許されないと言い切る馬鹿こそ死ね 外道が!
139:132人目の素数さん
19/12/29 22:48:00 /Zdz9M/3.net
死にたくない奴を殺すのも死にたい奴を生かそうとするのも重大な犯罪
死にたい奴は死なせるのがいい ただでさえ人は多すぎるのだ
140:現代数学の系譜 雑談
19/12/29 23:31:08.57 uR3g5aDb.net
>>130
おサル必死の
”ギャハハハハハハ!!! ”が出たか
バカめ
極限が正則公理に反するだ?
バカめw(^^;
141:現代数学の系譜 雑談
19/12/29 23:36:59.26 uR3g5aDb.net
>>134-135
>自死は人道上許されないと言い切る馬鹿こそ死ね 外道が!
>死にたい奴は死なせるのがいい ただでさえ人は多すぎるのだ
サイコパスでましたw(^^;
こいつは、殺人に異常に興味を持ち、反応するんだ(゜ロ゜;
(参考)
ガロアスレ79 スレリンク(math板:2番) より
殺人願望旺盛(^^ スレ69 スレリンク(math板:69番)-74
人を“丸焼き”にして食するという人食趣味あり スレ69 スレリンク(math板:77番)
142:132人目の素数さん
19/12/30 09:41:50.21 QJZL/mXh.net
>>136
>極限が正則公理に反するだ?
否 Zの中にない∞を追加する場合
z=z+1
という式を満たすzとして追加するなら
z=z-1
という式も満たすから正則公理に反する
といっている
そうではなくZermelo構成でのωを
{{},{{}},{{{}}},…}
とするなら正則公理に反しないし
ω+1は{ω}であってωではないから問題ない
143:132人目の素数さん
19/12/30 09:44:40.30 QJZL/mXh.net
>>137
単に
「死んではいかん」とか
「人を殺してはいかん」とかいう
決まりなどないといっている
「死にたくない」とか
「人を殺したくない」とかいう
のも正直わざとらしい
「今すぐ死ぬと思ってない」とか
「人を殺すとか思ったことない」とか
いうのが正直なところ
144:132人目の素数さん
19/12/30 09:56:21.51 QJZL/mXh.net
◆e.a0E5TtKEは
Nのどの要素よりも大きい超限順序数ωをつくるのに
R, Q, Zを持ち出すことがいかに馬鹿げてるか気づけない
Cに∞を追加するリーマン球面のやり方は
RやQにもそのまま適用できる
さすがにZには無理だが、上記のやり方でできた∞が持つ性質を使えば、
Zにも∞を追加できる
しかしそのようなやり方で出来た∞は
∞=∞+1(つまり∞=∞ー1)
という性質を有するから、
ωとは根本的に異なる
定義を蔑ろにして自分勝手な妄想をしたがる
「ボクちゃん天才」の自惚れ馬鹿◆e.a0E5TtKEは
自分の思考が数学を否定する反知性的トンデモ行為
だということに死んでも気づけない
(つまり永遠に気づけない)だろう
145:現代数学の系譜 雑談
19/12/30 11:19:42.92 elykEIqv.net
>>140
>Nのどの要素よりも大きい超限順序数ωをつくるのに
>R, Q, Zを持ち出すことがいかに馬鹿げてるか気づけない
おサルは、リーマン球面を持ち出したろ?
R, Q, Zに、Cも付け加えておけ
あほサルよw(^^;
146:132人目の素数さん
19/12/30 12:01:13.04 uyCQGdKl.net
バカ丸出し
147:132人目の素数さん
19/12/30 12:06:24.86 QJZL/mXh.net
>>141
>おサルは、リーマン球面を持ち出したろ?
◆e.a0E5TtKEが馬鹿の一つ覚えで
「リーマン球面」と吠えるのが
ミエミエなので先に持ち出した
もちろん「そんなの全然見当違い」という意味
>R, Q, Zに、Cも付け加えておけ
必要ない
というのは、リーマン球面を実現するための
座標系の貼り付けはRでもできるし、
実はQでも使えるから
ただしZでは使えない
Zに追加する∞が、RやQに追加したものと
同じ性質を有するとすれば、∞=∞+1
となるから、それではωとは異なり、
正則性公理に反する、と喝破した
この時点で「リーマン球面馬鹿」の
◆e.a0E5TtKEは死んだw
148:132人目の素数さん
19/12/30 12:11:39.54 QJZL/mXh.net
スレリンク(math板:771番)-774
資本主義が必然だと思ってる馬鹿は
ユークリッド幾何学やニュートン力学が
必然だと思ってる馬鹿と同レベルw
>会話のできる頭の柔らかい数学屋は、AI時代でも生き残るだろう
>しかし、会話のできない頭の硬い数学屋は、AI時代では役に立たない
専門用語の誤用しまくりのトンデモ文で
会話したつもりになってる無知無能な馬鹿詐欺師でも
会社員として給料がもらえる今の資本主義体制には
根本的欠陥があるw
149:132人目の素数さん
19/12/30 19:32:04.62 ChnJkAlw.net
, :'"´ _... --、 `゙丶、
/ _.. - '' ..: .:.::ヽ
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i:' __ .. ` 、.. .:.:::',
! ,,:='''´ : . : .:.:::::,!_
!,,:=、 _,,,,,_, : ` 、r',r ヽ
! _.. ; ´ ̄ : . ! iヽ :|
l'´- / -、 : ! ー 'ノ
! r_ r=ノ . : :r-ィ'
ヽ `__............ : ! l
', , '___,,.--‐'´ . :,' |
ヽ 、 ̄,,.. ''´ : .:/ !、
',  ̄ . : , :'": : ト、\
ヽ.. .. : : :_,,. '" : : : : l、! \
`ニi"´::::.... ! \―--- ....
,. -‐'''''"´/ l、:::: :. ... _,,ノ `i
/ / |、`゙''ー---―''":::/ .
150:現代数学の系譜 雑談
19/12/31 11:33:23.05 kpkOab9v.net
>>144
>会話したつもりになってる無知無能な馬鹿詐欺師でも
>会社員として給料がもらえる今の資本主義体制には
>根本的欠陥があるw
会話ができない ただの数学ばかには、
給料だせない(特におサル)
は、資本主義として正しい(^^;
151:132人目の素数さん
19/12/31 13:53:32.02 PG6R9UeN.net
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152:132人目の素数さん
19/12/31 14:01:56.08 5xvWacd/.net
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153:132人目の素数さん
19/12/31 14:02:18.88 5xvWacd/.net
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154:132人目の素数さん
19/12/31 15:42:27.82 XYIqsjuV.net
と、数学以前に国語が壊滅状態で会話が成り立たない白痴が申しております
155:現代数学の系譜 雑談
19/12/31 19:22:38.98 kpkOab9v.net
三歳児のおサル必死だなww(^^
156:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/01/01 09:07:16 G5rtMfGn.net
>>116
ここにもどる、正月ひまなのでw(^^
(引用開始)
おサル
問題をわざと、論点そらししているな
いま問題にしていることは
後者関数suc(a)で
n→∞の極限
すなわち 極限 lim n→∞ suc(a) が正則性公理に反する
というのがおサルの主張
そんなことはないというのが、
オレだよおれw(^^;
(引用終り)
いま分かっていることを整理しよう
(参考)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
(抜粋)
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。
ペアノの公理は以下の図にまとめることができる:
x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・
ここで、各f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...は明確に区別可能。
存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
まず、後者関数を定義する; 任意の集合 a に対してその後者を suc(a) := a ∪ {a} と定義する。
集合 A が後者関数に関して閉じているとき、つまり 「a が A の元であるならば suc(a) も A の元である」が成り立つときに、 A は帰納的集合であるという。
ここで、次のように定義する。
・0:=Φ={}
・N:= 0 を含むあらゆる帰納的集合の共通部分
・suc := 後者関数のNへの制限
この集合 N を自然数全体の集合といい、これは時々(特に順序数に関する文脈で)ギリシャ文字の ω と表記される。
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。(レーヴェンハイム=スコーレムの定理)
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)
つづく
157:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/01/01 09:07:56 G5rtMfGn.net
>>152
つづき
URLリンク(ja.wikipedia.org)
自然数
(抜粋)
(ノイマン構成)
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc (a):=a∪{a}
・自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
(Zermelo構成)
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)
以上
158:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 09:45:41.33 G5rtMfGn.net
>>153 つづき
さて
1.無限公理によってできる上記無限集合Mには、N⊂Mで自然数Nを含むけれども、Nを超える余分の元が含まれている
(∵”自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される”とあるのだから、Nを超える余分の元が存在するということ)
2.結論を先取りしていえば、ノイマン構成のN=ωは、極限順序数(下記ご参照)であり、
”順序数全体の成す類において順序位相(英語版)に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)”である
3.上記ペアノの公理の図 (ある後者関数での
x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・→ω→f(ω)→f(f(ω))・・・
つまり、この図の順序位相(英語版)に関する極限点がω
この極限点ω以降が、1に記述のNを超える余分の元だ
4.Zermelo構成でも、
Φ→{Φ}→{{Φ}}→{{{Φ}}}→・・・→ω→{ω}→{{ω}}・・・
Zermeloの場合、3で x=Φ、 f(x)=suc(x)={x} ってことな
勿論、ωは後者関数の取り方に依存する
が、>>152の「存在と一意性」にあるように
”二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる”ということ
5.よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として
ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと
QED
(参考)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
極限順序数
(抜粋)
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類において順序位相(英語版)に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
159:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 09:47:26.62 G5rtMfGn.net
>>154 補足
> 5.よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として
> ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと
こうやって構成した ペアノシステムによるシングルトンのωが、正則性公理に反するはずもない
160:132人目の素数さん
20/01/01 10:05:53.13 Vft3k8P2.net
反します。
正確に言えば集合Ωが
F = {x | ∃xn∈…x2∈x1=Ω, xn=x}
とおくとき
Fの任意の元がsingletonか空集合
を仮定するとZFCの公理ではΩは有限Zermelo順序数になります。
よってこの性質をもつΩでω番目の順序数を持つことはできません。
161:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 10:10:38.22 G5rtMfGn.net
>>155 補足
> 5.よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として
> ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと
Zermelo構成でのωについて、もう少し考えてみよう
1.(下記の)時枝問題のように、可算無限個の箱というものを考えることができる
2.同じように、可算無限個の棒の列、|||・・・も考えられる
3.同じように、可算無限個の括弧 } の列、}}}・・・も考えられる
4.括弧の向きを、逆転させれば、・・・{{{
5.上記3と4と空集合Φとから、・・・{{{Φ}}}・・・ (=可算無限重シングルトン)ができる
これは、>>154での{・・{{{Φ}}}・・}(=n重シングルトン)の
lim n→ω の極限と解釈できる
6.まとめると、”可算無限個の箱”を認めれば、その流れで、
「・・・{{{Φ}}}・・・ (=可算無限重シングルトン)」が理解できるってことな
(参考)
過去スレ20 再録 スレリンク(math板:2-7番)
時枝問題(数学セミナー201511月号の記事)の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん,可算無限個ある.箱それぞれに,私が実数を入れる.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1,s2,s3 ,・・・),s'=(s'1, s'2, s'3,・・・ )∈R^Nは,ある番号から先のしっぽが一致する∃n0:n >= n0 → sn= s'n とき同値s ~ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
(引用終り)
162:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 10:11:52.95 G5rtMfGn.net
>>156
極限で定義したと言っている
それで終りでしょ
163:132人目の素数さん
20/01/01 10:18:16.16 Vft3k8P2.net
>>158
定義などできていないし、できていればZFCの公理が矛盾することが証明されて現代数学は破綻します。
164:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 10:25:53.58 G5rtMfGn.net
>>157
>>157 補足
可算無限個の箱に近い、現代数学の例が
下記の形式的冪級数の係数
a0,a1,a2,・・・ たちだな
係数 a0,a1,a2,・・・ たちに、具体的な数を入れることができる
箱に、数の代わりに { や, }を入れることができる
そうすれば、>>157の6ができる(箱の列を2つ用意する必要があるが)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
形式的冪級数
(抜粋)
形式的冪級数(けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series)とは、(形式的)多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数(不定元)とする(一変数)形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、
Σ_{n=0}^{∞} a_n X^n=a0+a1 X+a2 X^2+・・・
の形をしたものである。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。
(引用終り)
165:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 10:26:47.44 G5rtMfGn.net
>>159
極限が定義できなければw(^^;
現代数学は、崩壊するぜw
166:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 10:28:14.68 G5rtMfGn.net
いいか
極限が定義できると言っているんだ
その極限の定義を使って
Zermeloの後者関数の極限が定義できるんだよ
167:132人目の素数さん
20/01/01 10:34:13.61 Vft3k8P2.net
そもそもあなた数学の勉強なんてする気もないし、コピペしてる文章も老後によむ準備で読んだこともないんですよね?
だったらなんでそんな自信満々に自分の定義が成立してるなどということが言えるの?
説明しようにも論理式も読めないんですよね?
どうしたいんですか?
168:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/01/01 10:50:05 G5rtMfGn.net
>>153 補足
(ノイマン構成)に倣って、
後者関数suc (a)に対して、
それまでに出来た集合の和 ∪a との対応を考えよう
番号 ∪a
0:=Φ
1:={Φ} {0}
2:={{Φ}} {0,1}
・
・
n:={・・{Φ}・・} {0,1・・n-1}
・
・
↓(極限 lim n→∞ )
ω:=・・・{Φ}・・・ {0,1・・n-1・・}(=:N(自然数)*))
注*)
1. {0,1・・n-1・・}=:N(自然数)は、極限順序数ωより前の全ての有限順序数の集合である
2.ノイマン構成では、後者関数の定義が、「a以前に出来た全ての集合」なので
特に、ω=Nになる
3.しかし、ノイマン構成以外の後者関数の定義においては、そうはならない!(^^
169:132人目の素数さん
20/01/01 10:55:37 Vft3k8P2.net
そもそもNeumann構成での順序数の定義は極限など使っていないでしょ?
1) 順序数を定義する
2) 順序を入れる
3) 位相がはいる。
4) 結果としてwはw未満の順序数の上極限となっていることが確かめられる。
です。
順序数の集合が定義されてなければ順序集合も位相も定義できません。
170:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/01/01 10:58:14 G5rtMfGn.net
>>164 補足
1.勿論、これはZermeloの意図した 自然数の公理的構成とは違って、
現代数学の成果
例えば、順序位相による極限などを、自由に使っている
2.いま、問題にしていることは、
21世紀の視点から
ノイマン構成によって、自然数の公理的構成が可能なことは、既知として
ノイマン構成以外の後者関数を使った場合どうなるか?
特に、Zermeloのシングルトンによる後者関数を使った場合にどうなるかを
現代数学の視点で検証しようということ
3.Zermeloのシングルトン後者関数が、正則性公理に反するというもの(=おサルさん)がいる
そんなことは無いと、私スレ主はいう
そういう議論ですよ(^^
171:132人目の素数さん
20/01/01 10:59:56 Vft3k8P2.net
訂正
4) ωはω未満の順序数の上界となっていることが確かめられる。
です。
順序数の集合が定義できてないのに、極限もへったくれもないでしょ?
これは別に論理式わからなくても理解できるはずですけど?
ほんとは分かってるんじゃないんですか?
172:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/01/01 11:00:44 G5rtMfGn.net
>>167
>>166な(^^
173:132人目の素数さん
20/01/01 11:05:56.40 Vft3k8P2.net
>>166
私はあなたのいうおサルさんではありませんが、私もあなたのいうΩはZFCに反すると思ってます。
もちろん私は私なりに数学を懸命に勉強してきたつもりではありますが、間違いをすることもあるので絶対にないとは断言しませんが、
やはりあなたのいうΩは正則性の公理に反しています。
残念ながら論理式なしでそれを説明することはできません。
しかしわからないのは明らかにあなた自身も自分の勉強量が私のそれと比べて圧倒的に劣っているのは分かりますよね?
にもかかわらず、あなたは自分の方が正しい、間違ってるのはお前の方だといわんばかりのレスを続けているのはなぜですか?
なんの根拠があって自分の方が正しいと断じる事ができるのですか?
174:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 11:11:57.37 G5rtMfGn.net
>>169
意味わからん
>しかしわからないのは明らかにあなた自身も自分の勉強量が私のそれと比べて圧倒的に劣っているのは分かりますよね?
証明がない
そもそも、そんなことは証明できない
自分が、なにをどこまで理解できているかなど、この板に書くつもりもないし、理解させようという気も無い
私の書いていることの殆どは、典拠が付いているはず
自分の地の文は、半分もないだろう
そこを、良く考えたらどうだ?
貴方は、典拠が付いていることに突っかかって
自爆事故を起している
冷静になれよ
175:132人目の素数さん
20/01/01 11:18:03.30 Vft3k8P2.net
>>170
あなた以前言ってましたよね?
コピペしてる文章はあくまで老後のためのもので現時点では理解していないしするつもりもないと。
理解してない文章を根拠に反論するなんてありえないでしょ?
実際あなたがコピペしてきた文章のなかに底の集合を定義しないで順序や位相を定めているものなど一つもありません。
当然ですよね?
まず物があってそこに順序なり、位相なりが入るんですから。
まず定義ってわかりますか?
定義ってなにかわからないのに自分がコピペしてきた文章のなかにあなたのいう ”Zermelo順序集合のなす位相空間” の定義がはいっているとなぜ断言できるのですか?
176:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 11:31:00.87 G5rtMfGn.net
>>166 補足
1.このZermeloの可算無限シングルトンの議論は、
数代前のガロアスレを起点として(随分前なので探すを省略するがご容赦)
哀れな素人さんのスレに飛び火して、数スレを消費し
哀れな素人さんの「他のスレでやってくれ」と言う要請(「基礎スレがないからそれを立てよう」という要請もあって)
この初代スレ、「現代数学の系譜 カントル 超限集合論」 スレリンク(math板)
が立った
2.もともと、ガロアスレのときから、おサルとの論争が発端でね
その継続なんだ
3.議論に参加するのは勝ってだが、一応経緯は、上記の通りだよ
私は、基本的にはおサル以外の相手をするつもりない
(=おっさんずゼミ やる気無い >>2に書いた通り。また、おサルの相手も適当にやります。あしからず w(^^; )
以上
177:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 11:31:38.97 G5rtMfGn.net
>>171
>>172な(^^;
178:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 11:33:19.29 G5rtMfGn.net
>>172 タイポ訂正
3.議論に参加するのは勝ってだが、一応経緯は、上記の通りだよ
↓
3.議論に参加するのは勝手だが、一応経緯は、上記の通りだよ
179:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 12:50:16.66 G5rtMfGn.net
>>169 追加
(引用開始)
私はあなたのいうおサルさんではありませんが、私もあなたのいうΩはZFCに反すると思ってます。
もちろん私は私なりに数学を懸命に勉強してきたつもりではありますが、間違いをすることもあるので絶対にないとは断言しませんが、
やはりあなたのいうΩは正則性の公理に反しています。
(引用終り)
ここ、初学者も見ているだろうから(^^
下記をば
「正則性公理
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 」
とあるから、「正則性の公理に反しています」は、ムリゲーじゃない?
特に、”超限回繰り返して”って書かれているからね
(参考)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
正則性公理
(抜粋)
ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。
選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
∀ A(A≠ Φ → ∃ x∈ A∀ t∈ A(t not∈ x))
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋x_1∋ x_2∋ ... は存在しない。
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
180:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 13:11:59.71 G5rtMfGn.net
>>175 追加
(抜粋)
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 」
とあるから、「正則性の公理に反しています」は、ムリゲーじゃない?
特に、”超限回繰り返して”って書かれているからね
(引用終り)
まず
URLリンク(ja.wikipedia.org)
自然数
(抜粋)
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
・空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc(a):=a∪{a}
・0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
・自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}
181:} } 3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } } 等々である[3]。 [3]^ (von Neumann 1923) (引用終り) さて、ここで 0 :=Φ 1 := suc(0) = {0} = {Φ} 2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { Φ, {Φ} }→{{Φ}}(→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作) 3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { Φ, {Φ}, { Φ, {Φ} } }→{{{Φ}}}(同上) というように ノイマン構成の集合に対応して →:(→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作) という集合操作を行うと、Zermeloのシングルトンが生成されるのです フォン・ノイマン宇宙に存在する、超限回繰り返しよるω=Nに対しては →:(→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作) という集合操作、それは”超限回”の操作に属するだろうが それを認めれば、ノイマン構成の集合からZermelo構成の集合が導かれるのです(^^; (勿論、極限として理解する方が分り易いのですが)
182:132人目の素数さん
20/01/01 13:54:07.09 0vvVE7uB.net
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183:132人目の素数さん
20/01/01 15:22:21.20 VmKAwE3Z.net
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184:132人目の素数さん
20/01/01 15:31:27.29 VmKAwE3Z.net
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185:132人目の素数さん
20/01/01 16:53:40.86 E03EXCHH.net
>>154
◆e.a0E5TtKEは正月早々トンデモ全開だなw
◆e.a0E5TtKE 2020年初トンデモ発言
>x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・→ω→f(ω)→f(f(ω))・・・
>Φ→{Φ}→{{Φ}}→{{{Φ}}}→・・・→ω→{ω}→{{ω}}・・・
「→ω」がトンデモの始まりだな
ナイーブな直感の誤りに気づけず
暴走して崖から飛び出し転落死
若気の至りってやつだな・・・
閑話休題
ωは極限順序数だぞ
x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・
ω→f(ω)→f(f(ω))・・・
Φ→{Φ}→{{Φ}}→{{{Φ}}}→・・・
ω→{ω}→{{ω}}・・・
こう書くのが正しい
だからsuc(x)だけではωは決まらない
>Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として
>ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、
>これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと
Zermelo構成のωはシングルトンではないな
「ωから任意の自然数nへの∈降下列が存在する」
という性質を満たすには少なくとも無限個の自然数が
ωの要素である必要がある(実は無限個含めば十分)
186:132人目の素数さん
20/01/01 16:54:43.34 E03EXCHH.net
>>157
◆e.a0E5TtKE 2020年二番めのトンデモ発言
>・・・{{{Φ}}}・・・ (=可算無限重シングルトン)ができる
・・・{{{Φ}}}・・・ をよく見よう
一番外側の{}がないね
つ・ま・り、集合ではないんだな
(正則性公理を満たさないという指摘に対する
対応の結果がこれなら完全な自爆行為だな)
>>158
>極限で定義したと言っている
◆e.a0E5TtKEのナイーブな直感だろ
でもその直感、間違ってるから
>>164
◆e.a0E5TtKE 2020年二番めのトンデモ発言(続)
>番号 ∪a
>0:=Φ
>1:={Φ} {0}
>2:={{Φ}} {0,1}
> ・
> ・
>n:={・・{Φ}・・} {0,1・・n-1}
> ・
> ・
> ↓(極限 lim n→∞ )
>
>ω:=・・・{Φ}・・・ {0,1・・n-1・・}(=:N(自然数)*))
Φの外の{}と自然数を対応付けたといいたいようだが
そういう動物レベルのナイーブ直感じゃ
全然数学にはならないんだな 間違ってるから
>>170
>私の書いていることの殆どは、典拠が付いているはず
典拠になってないけど
君、検索した文章、全然読めてないね
それじゃ数学は無理
>冷静になれよ
君こそ冷静になったら?
こんな初歩的な間違いにいつまで気づけないのは
人間としてまったく恥ずかしいよ
187:132人目の素数さん
20/01/01 16:56:16.43 E03EXCHH.net
>>175
◆e.a0E5TtKE 2020年三番目のトンデモ発言
>・V=WF
>ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、
>WFは0に冪集合の演算を有限回、
>あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
>とあるから、「正則性の公理に反しています」は、ムリゲーじゃない?
>特に、”超限回繰り返して”って書かれているからね
じゃ、聞くけど
V_0={}
V_1=2^V_0={{}}
V_2=2^V_1={{},{{}}}
・・・
としてV_ωはどうやって作るか知ってるかい?w
いっとくけど、ωは極限順序数だから
V_ω=2^V_(ω-1)
なんていえるω-1なんてないからね
答えはWikipediaの「フォンノイマン宇宙」のページにあるよ
「各極限順序数λに対して、V_λは次の和集合とする
V_λ=∪(β<λ)V_β」
で、上記の方法でV_ωを作った場合、有限重の{…{}…}は
必ずあるV_n(nは自然数)の要素だからV_ωの要素になる
し・か・し・・・{Φ}・・・ (=可算無限重シングルトン)なんてのは
どのV_nの要素でもないからV_ωの要素にもならない!
順序数λをどれだけ大きくしても
V_λの中に・・・{Φ}・・・は出てこない
つまり、正則性の公理を満たす集合の中には
・・・{Φ}・・・は現れようがない
188:132人目の素数さん
20/01/01 16:56:53.42 E03EXCHH.net
>>176
◆e.a0E5TtKE 2020年四番目のトンデモ発言
(これが初トンデモ発言同様一番ヒドイ間違い)
>0 :=Φ
>1 := suc(0) = {0} = {Φ}
>2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { Φ, {Φ} }→{{Φ}}(→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作)
>3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { Φ, {Φ}, { Φ, {Φ} } }→{{{Φ}}}(同上)
>ノイマン構成の集合に対応して
>→:(→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作)
>という集合操作を行うと、Zermeloのシングルトンが生成される
>フォン・ノイマン宇宙に存在する、超限回繰り返しよるω=Nに対しては
>→:(→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作)
>という集合操作、それは”超限回”の操作に属するだろうが
>それを認めれば、ノイマン構成の集合からZermelo構成の集合が導かれる
ノイマン構成の自然数nの「一番右のΦ」はどの要素の中にある?
自然数n-1の要素の中だよな?
◆e.a0E5TtKEの言い分では
「ωの一番右の要素中の一番右のΦを残すように
不要の{}とΦを除く操作を実施すれば
Zermeloのシングルトンωが生成される」
となるが、実は致命的な欠陥がある
ωには「一番右の要素」が存在しない!
(つまりωは後続順序数ではない!)
したがって◆e.a0E5TtKEのナイーブな直感による
「アルゴリズム」は、ノイマンのωの中の
ありもしない「一番右の要素」を探しにいったまま
永遠に戻ってこない
>(勿論、極限として理解する方が分り易いのですが)
正しく極限をとればシングルトンにならないことは明らか
Zermelo構成の順序数がシングルトンになるのは
後続順序数であるときそのときに限る
極限順序数の場合にはZermelo構成の順序数は
無限集合にならざるを得ない
(「自分未満の任意の数への∈降下列が存在する」
という性質を満たすとして)
189:132人目の素数さん
20/01/01 16:57:23.15 E03EXCHH.net
問題
アレフ1(最初の非可算順序数)を
Zermelo構成で実現した場合
その濃度はいくらか
(可算で抑えられるかそれとも非可算か)
190:132人目の素数さん
20/01/01 19:43:22.93 +c5cYldv.net
ちょっと目を離してたらキチガイ白痴が正月から暴れてて草
191:132人目の素数さん
20/01/01 20:45:40.12 peO/29Z+.net
>>175
"超限回繰り返す" というのは超限帰納法を用いるという意味です。
超限帰納法が理解できていないあなたに理解するのは無理ですよ。
192:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 20:50:44.55 G5rtMfGn.net
>>186
だから?
どうした?
193:132人目の素数さん
20/01/01 20:54:45.35 peO/29Z+.net
>>187
あなたがムリゲーといったのでムリゲーやってんのはあなたの方だと指摘したまで。
超限帰納法も勉強しないで公理的集合論について語るなんておこがましいにもほどがある。
194:132人目の素数さん
20/01/01 21:20:19.50 E03EXCHH.net
>>188
>勉強しないで…語るなんておこがましいにもほどがある。
◆e.a0E5TtKEは
「俺様の直感は完璧」
と自惚れる傲岸不遜な直感至上主義者だから
(自己愛性人格障害者ともいうが)
195:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 21:42:27.24 G5rtMfGn.net
>>188
>あなたがムリゲーといったのでムリゲーやってんのはあなたの方だと指摘したまで。
>超限帰納法も勉強しないで公理的集合論について語るなんておこがましいにもほどがある。
笑えるわ
「あなたがムリゲーといったので」
だったら
「ムリゲーでない」ことを
自分が、貴方のお勉強した(お得意の?w)”超限帰納法”で証明すればぁ~?
お互い、相手を
「ムリゲー」と言い合いしてもさ
それディベートは知らず
”数学”としては、貴方の得点にならんと思うよw(^^;
まあ、
”超限帰納法”で馬脚じゃね?
196:132人目の素数さん
20/01/01 21:57:26.74 peO/29Z+.net
>>190
既に証明してレスしましたよね?
でもあなたは論理式読めないし読むつもりもないんでしたよね?
基本あなたのスタイルとしては証明は読まないし読めるようになりたいとも思わないんでしたよね?
ココでセミナーまがいの事するつもりもないと。
でも反論はすると。
理解みできてないのに何を根拠に反論してるんですか?
197:132人目の素数さん
20/01/01 22:04:04.21 E03EXCHH.net
>>191
◆e.a0E5TtKEはただ直感するだけの白痴だからな
だから平気でωが極限順序数であることに真っ向から反する
>>176のような「アルゴリズム」を口にする
(これが不可能であることは>>183に書いたが
要するにNeumannのωに最も右の(つまり最大の)要素が存在しないから)
間違った直感には犬の糞ほどの価値もないw
198:132人目の素数さん
20/01/01 22:04:04.48 E03EXCHH.net
>>191
◆e.a0E5TtKEはただ直感するだけの白痴だからな
だから平気でωが極限順序数であることに真っ向から反する
>>176のような「アルゴリズム」を口にする
(これが不可能であることは>>183に書いたが
要するにNeumannのωに最も右の(つまり最大の)要素が存在しないから)
間違った直感には犬の糞ほどの価値もないw
199:132人目の素数さん
20/01/01 22:08:13 E03EXCHH.net
>>191
>理解できてないのに何を根拠に反論してるんですか?
根拠なんてないんだよ
自分は全知全能の天才だ!という自惚れを否定されたら
発●して脊髄反射的に反論する
自分の直感を正当化するためにネットの文章を捻じ曲げまくる
自己愛性人格異常だから嘘も平気でつきまくる
◆e.a0E5TtKEは数学の真理には全く興味がない
自分が世界一の数学の天才であり数学の全てを知り尽くしている
という誇大妄想を守りたいだけの●違い!
200:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 22:37:57.11 G5rtMfGn.net
>>191
>既に証明してレスしましたよね?
>でもあなたは論理式読めないし読むつもりもないんでしたよね?
違うな
1.ド素人の証明。それなら、すでにどこかプロの証明があるはず。なにかのテキストとかね。あるいは、Zermeloなら古典になっているかもしれないが
そういう裏付けの無い、ド素人の証明、特にこのバカ板に投稿された証明は、おっちゃんの証明を含めて読む気はない
”論理式読めないし読むつもりもない”の以前に、どうせどこか間違っているんだろ? おれは、証明の赤ペン訂正係をやる気が無いのが第一の理由
2.でも、この数学板では、証明を読むのが好きだとか、赤ペン訂正係が好きな人がいる見たいだよ
で、そういう人のために、証明のありか(場所)くらいは提供してやったらどうかな?
3.で、複数人が、「この証明は正しそう」という発言があれば、読んでみようとか、あるいは類似のプロ証明を探す(多分こちらが主だろう)かするかも
4.そして、複数人が、「こちらの人がいうことが正しい」と援護射撃の発言をしてくれるかもしれない
戻ると、その「ド素人の証明」は、
皆さんから無視されたんだね
結局そういうことなんでしょ?
201:現代数学の系譜 雑談
20/01/01 22:44:45.24 G5rtMfGn.net
>>195 補足
> 1.ド素人の証明。それなら、すでにどこかプロの証明があるはず。なにかのテキストとかね。あるいは、Zermeloなら古典になっているかもしれないが
・すでに、どこかプロの証明があるはず
・ド素人が、「証明しました・・」って、それって胡散臭いよね
・その証明は初出かい? なら、余計に胡散臭いよね
202:132人目の素数さん
20/01/01 22:44:49.58 peO/29Z+.net
ネット探してもそんな証明あるはずないでしょ?
Zermelo順序数のω番目が無限個{}つけたsingletonなんてとんでもない事考えるのあなた位だからですよ。
まともに数学を勉強した人間はそんなトンデモな事考えもしません。
それが矛盾を引き起こすなんて証明ネットに上がるはずないでしょ?
と言ってもあなたは自分の考えがどれだけトンデモなのか想像もつかないだろうから、そんな事はないと思うかもしれませんが。
203:132人目の素数さん
20/01/01 22:57:31.63 E03EXCHH.net
>>195
>すでにどこかプロの証明があるはず。
プロはこんな初等的な問題の「証明」なんていちいちやらないよw
>>197
まともに数学を勉強した人間なら、
Zermelo順序数を極限順序数に拡大するにあたり
維持すべき性質が何か、を真っ先に考えるでしょう
その場合「シングルトン」を維持すべき性質と考えるのは
センスが全くないナイーブ直感馬鹿でしょう
「極限順序数からより小さい順序数への∈降下列の存在」
を順序関係の定義として不可欠と考えるなら、
Zermelo順序数の定義の拡大の方法は自ずから明らか
そしてその場合、ωは無限集合でなくてはならない
204:132人目の素数さん
20/01/02 08:42:40 lJNP8tAT.net
>ド素人が、「証明しました・・」って、それって胡散臭いよね
そう
ド素人の◆e.a0E5TtKE が
「Zermelo構成のωは"可算無限重シングルトン"…{{}}…だと証明しました!」
と絶叫しても
「ああ、またいつものチンケな学歴詐称馬鹿のウソ証明か」
と思うだけ 誰も信用しないし実際間違ってる
特に>>176 ありゃなんだ?
存在しない元のΦを探して永遠に地獄をさまよう救いようのない馬鹿www
205:132人目の素数さん
20/01/02 08:44:05 lJNP8tAT.net
>>183再掲
◆e.a0E5TtKEの(>>176の)言い分では
「ノイマンのωの一番右の要素中の一番右のΦを残すように
不要の{}とΦを除く操作を実施すれば
Zermeloのシングルトンωが生成される」
となるが、実は致命的な欠陥がある
ωには「一番右の要素」が存在しない!
(つまりωは後続順序数ではない!)
したがって◆e.a0E5TtKEのナイーブな直感による
「アルゴリズム」は、ノイマンのωの中の
ありもしない「一番右の要素」を探しにいったまま
永遠に戻ってこない
206:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/01/02 09:15:23 YLjNnjPy.net
>>197
すでに>>152-155に書いたように
1)URLリンク(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。
ペアノの公理は以下の図にまとめることができる:
x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・
ここで、各f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...は明確に区別可能。
存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。(レーヴェンハイム=スコーレムの定理)
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)
2)URLリンク(ja.wikipedia.org)
自然数
(Zermelo構成)
他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
3)URLリンク(ja.wikipedia.org)
極限順序数
(抜粋)
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類において順序位相(英語版)に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として
ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと
4)こうやって構成した ペアノシステムによるシングルトンのωが、正則性公理に反するはずもない
なお、まとめると
Zermeloの後者関数 「0 := {}, suc(a) := {a} 」
の
順序位相(英語版)に関する極限点として
ωが定義される
それだけのこと
207:
20/01/02 09:22:09.29 Rnj9mFDn.net
定義がループしています。
208:132人目の素数さん
20/01/02 09:34:25.22 lJNP8tAT.net
>>201
>Zermeloの後者関数 「0 := {}, suc(a) := {a} 」の
>順序位相(英語版)に関する極限点としてωが定義される
Nの順序位相なら、Nはノンコンパクトだから
0,1,2,… はNで収束しない
ザンネンデシタwwwwwww
209:現代数学の系譜 雑談
20/01/02 09:40:01.80 YLjNnjPy.net
>>201 補足
> ペアノの公理
>任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。
さて
0 := {}
として
「suc(a) は a + 1 」を生かして
suc(a) :={{a},0}と
定義してみよう
この場合、1以上の各集合の要素の数は2だ
1 :={{0},0}
2 :={{1},0}
3 :={{2},0}
・
・
こうして構成された
後者関数 「0 := {}, suc(a) :={{a},0}
の
順序位相(英語版)に関する極限点として
ωが定義される
それだけのこと
なお、>>153より ノイマン構成
後者関数 「0 := {}, suc(a) :=a∪{a}
の
順序位相(英語版)に関する極限点として
ωが定義される
それだけのこと
当然、上記各ωは異なる
(∵ 定義の後者関数が異なるのだから、各ωが異なるのは当然でしょ(^^;)
210:現代数学の系譜 雑談
20/01/02 09:47:52.07 YLjNnjPy.net
>>202
>定義がループしています。
いいえ、ループしていません
下記をどうぞ
>>166より再録
1.勿論、これはZermeloの意図した 自然数の公理的構成とは違って、
現代数学の成果
例えば、順序位相による極限などを、自由に使っている
2.いま、問題にしていることは、
21世紀の視点から
ノイマン構成によって、自然数の公理的構成が可能なことは、既知として
ノイマン構成以外の後者関数を使った場合どうなるか?
特に、Zermeloのシングルトンによる後者関数を使った場合にどうなるかを
現代数学の視点で検証しようということ
3.Zermeloのシングルトン後者関数が、正則性公理に反するというもの(=おサルさん)がいる
そんなことは無いと、私スレ主はいう
そういう議論ですよ(^^
(引用終り)
211:132人目の素数さん
20/01/02 09:49:56 lJNP8tAT.net
>後者関数 「0 := {}, suc(a) :={{a},0}の
>順序位相(英語版)に関する極限点としてωが定義される
全然ダメw
Nを{{n},0}全部を要素としてもつ集合とする
Nの順序位相なら、Nはノンコンパクトだから
{0},{{0},0},{{1},0},… はNで収束しない
ザンネンデシタwwwwwww
212:吉】 【29円】
20/01/02 09:50:13 Rnj9mFDn.net
極限数が定義できるというのは極限数そのものが何になるのかを定義してるのではなく、極限数とは何かを定義する方法が色々あると言う意味です。
我々が普段使っているザックリした言語ではそのような誤読を引き起こす可能性があるから論理式が読めないと数学ができるようにはならないのです。
もう少しいうなら、そのページの文章が後者の意味にもとりうる事は通常の知性を持ってる人間ならわかるはずです。
もちろん前者の意味か、後者の意味かは本当に教科書読まないとわからないにしても、どっちの意味なんだろうと考えてみる事くらいはできないんですか?
213:132人目の素数さん
20/01/02 09:51:45 lJNP8tAT.net
>現代数学の成果、例えば、順序位相による極限などを、自由に使っている
いくら順序位相とかいったところで
もとの空間にωがないのだから
収束しようがない
馬鹿丸出しwwwwwww
こいつが大学1年の実数論で落ちこぼれたのは当然
論理が全然分からん馬鹿だもんwwwwwww
214:132人目の素数さん
20/01/02 09:55:35.67 lJNP8tAT.net
>>205
>ノイマン構成によって、自然数の公理的構成が可能なこと
suc(a)=a∪{a}だけでは、自然数はつくれても、
自然数でない最初の超限順序数ωはつくれないよ
Nのなかにωはないから、Nの順序位相を考えても
0,1,2,…は収束せず ωは生じないw
全然数学が分からないお馬鹿ちゃんなんだねえw
大阪大とかウソだろ、どこの大阪府立工業高校卒だか白状しろよw
215:132人目の素数さん
20/01/02 09:58:39.46 lJNP8tAT.net
>Zermeloのシングルトン後者関数が、正則性公理に反する
もうその話終わってるけどな
そもそも正則性公理に反するシングルトンXは、
延々と前者が存在する時点で極限順序数ではないから
ωではない
「ωが極限順序数」である時点でシングルトンにはならない
ωがシングルトンだったらその要素xがωの前者になるから矛盾
いい加減理解しろよ 白痴w
216:132人目の素数さん
20/01/02 10:02:59.41 lJNP8tAT.net
だいたい…{{}}…はただしくはシングルトンですらない
集合ですらないからだw
…{{}}…の要素は何か?と尋ねられた瞬間、誤りに気付かなければ馬鹿w
{}も要素でない、{{}}も要素でない、{{{}}}も要素でない・・・
そもそも…{{}}…には一番外側の{}がないから、
一番外側の{}を外して、中の要素を取り出すことができない
つ・ま・り、集合ではない
217:132人目の素数さん
20/01/02 10:05:15 lJNP8tAT.net
◆e.a0E5TtKEのトンデモ発言
1.{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}!
2.{{}}はシングルトン、{{{}}}はシングルトン、・・・
だから…{{}}…(可算無限重)はシングルトン!
いやー馬鹿、ほんと馬鹿
218:132人目の素数さん
20/01/02 10:16:07 lJNP8tAT.net
◆e.a0E5TtKEの似非論理
1.推移律が成り立たないものを、成り立つと妄想w
2.有限で成り立つものを、無限でも成り立つと妄想w
◆e.a0E5TtKEの似非論理では自然対数の底eは有理数w
なぜなら
任意の自然数nについて(1+1/n)^nは有理数
だからlim(n→∞)(1+1/n)^nも有理数!www
219:現代数学の系譜 雑談
20/01/02 11:38:11.95 YLjNnjPy.net
>>195 補足
私スレ主も、証明を全く読まないわけじゃない
ガロアスレ46 の422(下記)で、PDFを作って貰ったんだ
(参考)
ガロアスレ46
スレリンク(math板:422番)
422 132人目の素数さん[sage] 2017/11/20
>>421のリンク先の証明は個人的には すんなり頭に入ってこないので、
微分可能な点の方から攻める方針でやってみたら、次の定理が得られた。
定理:f:R → R に対して、B_f={ x∈R|limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<+∞ } と置く。
もし R-B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で
リプシッツ連続である。
この定理を使うと、f:R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」
となるものは存在しないことが即座に分かる。一応やってみると、そのような関数 f が存在したとすると、
R-Q = 無理数全体 = (fの微分可能点全体) ⊂ B_f
となるので、
R-B_f ⊂ Q = ∪[p∈Q] { p } …(1)
となる。(1)の右辺は疎な閉集合の可算和だから、上の定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上で
リプシッツ連続になる。特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。
仮定から、fは点xで不連続であるが、しかしx∈(a,b)より、fは点xで連続であり、矛盾する。
ガロアスレ47
スレリンク(math板:593番)-594
593 132人目の素数さん[sage] 2017/12/12
pdf ならスレ主も証明を読む気があるらしいので、そうなると話は一変する。
相手の弁明を聞く気があるなら、イチャモンをつけても、それ単独では誹謗中傷には ならないからだ。
そして、証明を次のレスで投下する(うpろだに上げたのでリンクを張る)。
594 132人目の素数さん[sage] 2017/12/12
以下の pdf に証明を書いた。
URLリンク(www.axfc.net)
なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いたつもりである。
なお、「疎な閉集合」は「内点を持たない閉集合」と同じことであるから、
pdf の中では「疎な閉集合」という概念を導入せず、必要な個所では その都度
「内点を持たない閉集合」
という言葉に置き換えた。
(引用終り)
220:現代数学の系譜 雑談
20/01/02 11:50:10.10 YLjNnjPy.net
>>214 補足
おサルのピエロも覚えているだろうか
ガロアスレ52まで、いろいろ議論した
ガロアスレ46 の422の定理は、結局間違っていた
というか、ガロアスレ46 の422の定理は
”この定理を使うと、f:R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」
となるものは存在しないことが即座に分かる”
ということには、ならないってことだった
1.要するに、5CHの数学板では、すんなり書ける数学記号がほとんどない
例えば、分数でも、この板では1/2みたく、
通常の数学テキストでは水平の横棒-を使って、3行で表現するのが普通だが、1行の表現になる
同様に、上付き下付きの添え字も使えないし、Σ記号も同様
2.そういう不便な板に無理して書いた証明には、タイポや過誤、それに視認性が悪いことで、チェック不足や、読み手の不便がある
3.だったら、PDFにして頂戴ってこと
PDFなら、1レス2048バイトの制限もないし、自由に紙面を使えるしね
4.あと、もしテキストかネット上にPDFでもあるなら、自分で証明を書かずに、「ここにある」と提示すれば良い
テキストかネット上にPDFの方が、いわゆる”枯れている”=時間が経過していろんな人が見てチェックされているから、ミスやタイポが取れているということ
なので、纏めると
数学記号がまともに使えない5CHの板に書かれた証明は、ミスやタイポの存在する恐れが強いし、読む方も不便だし、読む気ないよということ
書く方も、無理して、5CHの板に証明を書く必要もないだろう
どうして証明を示したいなら、PDF作って提示してくれってことよ
(その前に、ネットやテキストの証明探してくれよと)
以上
221:132人目の素数さん
20/01/02 11:53:12.99 v54b6Yz+.net
おっちゃんです。
最小の極限順序数ωは唯一つ、かつ唯一つに限り定義され ω=card(N)=ℵ_0 という性質を満たす。
素朴集合論の話じゃないか。
◆e.a0E5TtKEは微分積分の初歩の初歩が分からないためにわざわざZermelo構成なんて話をしているのか。
他のスレを見ても文体や ID からは誰が誰だか識別しにくくなっているようだし、スレ主のことを◆e.a0E5TtKEと書くことにする。
222:132人目の素数さん
20/01/02 11:57:20 lJNP8tAT.net
>>214-215
◆e.a0E5TtKEが唐突に昔話を始め�
223:スら 「もう勘弁して」のサイン 土下座しろよ 晒し首になりたくなければな フハハハハハハ ハハハハハハハ!!!
224:132人目の素数さん
20/01/02 11:58:56 lJNP8tAT.net
>>216
そもそもステ立て人>>1はスレ主ではない
書き込み制限も削除もできない奴なんか「主」じゃない
ただのピエロwwwwwww
225:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/01/02 12:03:18 YLjNnjPy.net
>>207
>極限数が定義できるというのは極限数そのものが何になるのかを定義してるのではなく、極限数とは何かを定義する方法が色々あると言う意味です。
同意ですよ
>我々が普段使っているザックリした言語ではそのような誤読を引き起こす可能性があるから論理式が読めないと数学ができるようにはならないのです。
多分似たことを言っていると思うが、ニュアンスが違うと思う
良く教科書で、次の命題は同値として
定理x:
・命題a
・命題b
・命題c
みたいに書いて、証明:命題a→命題b→命題c→命題a
みたいに書いてある場合がある
まあ、スペースを省く意味もあるだろうが
それよりも、定理xの切り口が、命題a、命題b、命題c と3つあると捉えるのが正解だと思う
つまり、命題a、命題b、命題c の3つを総合的に理解すべきだと
そして、場面に応じて、適切にあるときは命題a、あるときは命題bと使い分けるべし
で
いまの場合で言えば、
ある適切な後者関数を取ったときに、
極限順序数ωを、
「順序数全体の成す類において順序位相(英語版)に関する極限点」と考えれば、良いという主張さ
(再録)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
極限順序数
(抜粋)
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類において順序位相(英語版)に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
226:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/01/02 12:06:35 YLjNnjPy.net
>>216
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご出馬、ご苦労さまです(^^;
227:現代数学の系譜 雑談
20/01/02 12:15:14.40 YLjNnjPy.net
>>211
>だいたい…{{}}…はただしくはシングルトンですらない
>集合ですらないからだw
おまえ、数学が分かってないね
シングルトンの後者関数の極限で、ωを定義するってこと
ωを、可算無限シングルトンと名付けるってこと
それは、左右に括弧 { と } とが、可算無限ならんだものと解釈できるということ
それは、下記時枝の可算無限個ある.箱(いまの場合可算無限個の { と } )と同じ解釈だよ
お前は、数学の定義分かってないな
後者関数の極限が、存在しない??
笑えるよ
>>157より再録
(参考)
過去スレ20 再録 スレリンク(math板:2-7番)
時枝問題(数学セミナー201511月号の記事)の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん,可算無限個ある.箱それぞれに,私が実数を入れる.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1,s2,s3 ,・・・),s'=(s'1, s'2, s'3,・・・ )∈R^Nは,ある番号から先のしっぽが一致する∃n0:n >= n0 → sn= s'n とき同値s ~ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
(引用終り)
228:132人目の素数さん
20/01/02 12:22:26.09 v54b6Yz+.net
>>221
>>211の
>>だいたい…{{}}…はただしくはシングルトンですらない
>>集合ですらないからだw
という指摘は正しい。
それは、◆e.a0E5TtKEの集合の表し方が間違っていることを指摘している。
229:132人目の素数さん
20/01/02 12:45:14.09 v54b6Yz+.net
>>221
>>211の
>そもそも…{{}}…には一番外側の{}がないから、
>一番外側の{}を外して、中の要素を取り出すことができない
>つ・ま・り、集合ではない
も正しい。集合の書き方は、高校1年で習うようなこと。
◆e.a0E5TtKEの定義はこれに反する。
230:現代数学の系譜 雑談
20/01/02 13:48:49.86 YLjNnjPy.net
>>222-223
数学の 定義と 解釈と
の違いが、分かってない
(>>221ご参照)
それでは、
数学はできないだろう
231:132人目の素数さん
20/01/02 14:40:31.77 lJNP8tAT.net
>>219
>「順序数全体の成す類において順序位相(英語版)に関する極限点」
>と考えれば、良い
◆e.a0E5TtKEのいう「順序数全体の成す類」は自然数しかない
そこにいくら順序位相を入れても0,1,2,…の極限点なんて存在しないw
おまえ、ほんと頭悪いな 白痴か?w
232:132人目の素数さん
20/01/02 14:50:17.21 lJNP8tAT.net
>>221
>おまえ、数学が分かってないね
数学が分かってないのは、◆e.a0E5TtKE、貴様だ
>シングルトンの後者関数の極限で、ωを定義するってこと
正しく極限をとれば、Zermelo構成でもωは集合として存在するだろう
しかし
>ωを、可算無限シングルトンと名付けるってこと
>それは、左右に括弧 { と } とが、可算無限ならんだものと解釈できるということ
とはならない
ωは極限順序数であって後続順序数ではない
つまりωより小さい最大の順序数である前者ω-1は存在しない
したがってωより小さい順序数(つまり自然数)すべてについて
∈降下列(当然有限長)が存在するようにするには
ωが無限個の自然数を要素としてもつ必要がある
逆にωが無限個の自然数を要素として持てば
それがいかなるものであってもZermelo構成の
順序数としての条件を満たす
>それは・・・●●の可算無限個ある.箱(いまの場合可算無限個の { と } )と同じ解釈だよ
●●の話はしないが、もし貴様がまだ
「可算無限列には最後の箱がある!」
と言い張るなら、jこう言い返すまでだ
「そんなものはねぇよ、ダラズが!!!」
233:132人目の素数さん
20/01/02 14:57:24.49 lJNP8tAT.net
>>224
>数学の 定義と 解釈との違いが、分かってない
ちょっと何言ってんのかわからないw(富沢たけし)
>>222-223のいうことは正しい
…{{}}…は集合でない!(ビシッ)
したがってシングルトンではない!!!(ビシッ)
なぜなら、一番外側の{}がないからだ!!!(ビシッ)
決まったね
それにしても◆e.a0E5TtKEは度し難い馬鹿だねw
こいつが大阪大学卒だとしたら大阪大学の恥だろうw
しかし実際は◆e.a0E5TtKEが学歴詐称してるんだろうw
その証拠にこいつは一切本名を出さない
本名が出なければ詐称は露見しないからな
ああ、本名なんか出さなくていいぞ
そんな工業高校卒だか中卒だかの一般人の名前なんか興味ねぇから
え?実は朝鮮人だから名前が出せない?国籍なんか気にするなよ
おまえが気にすべきことは国籍じゃない
数学が分からないくせに分かった顔したがるそのウソツキ根性だw
234:132人目の素数さん
20/01/02 15:08:31.79 lJNP8tAT.net
◆e.a0E5TtKEのトンデモ発言
1.{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}!
2.{{}}はシングルトン、{{{}}}はシングルトン、・・・
だから…{{}}…(可算無限重)はシングルトン!
いやー馬鹿、ほんと馬鹿
235:132人目の素数さん
20/01/02 15:24:02.41 v54b6Yz+.net
>>224
例を挙げて説明する。
Aを空集合でない集合とする。集合AのAに属する元を用いる記法は、例えば
A={ a,b,c,d,e }
というようにAの具体的な元 a、b、c、d、e をすべて列挙してAを表わす記法と、
A={ a | aは条件Pを満たす }
というようにAの元が満たすべき条件Pを具体的に書いて表わす書き方との2通りの書き方がある。
このような集合の記法は高校1年で習うようなこと。
Zermelo構成による順序数の定義は前者の集合の記法による方法である。
その方法で最小の超限順序数ωを敢えて定義してみる。そうすると、
ω={…{{}}…} か或いは ω={…{…{{}}…}…} 或いは ω={{…{{}}…}} などというような形で定義することになるだろう。
だが、ω={…{{}}…} か或いは ω={…{…{{}}…}…} などというような形で定義されるωの一番外側の「{}」を外すと、
…{{}}… とか …{…{{}}…}… という集合とは解釈出来ない謎の数学的対象が存在することになって矛盾が生じる。
よって、ω={…{{}}…} か或いは ω={…{…{{}}…}…} などというような形で定義することは不可能である。
故に、ω={{…{{}}…}} などというような形で定義することになるだろう。
だが、このような形の集合で定義されたωの一番外側の「{}」を外すと、{…{{}}…} という集合が存在することになる。
このこと自体は矛盾しないが、{…{{}}…} は最小の超限順序数ωより小さい順序数だから、{…{{}}…} は有限集合と解釈することになる。
しかし、{…{{}}…} を有限集合と解釈することは不可能だから、やはり矛盾が生じる。
だから、◆e.a0E5TtKEの意図に従って、Zermelo構成による最小の超限順序数ωを定義するようなことは出来ない。
236:132人目の素数さん
20/01/02 15:47:32.69 lJNP8tAT.net
>>229
>◆e.a0E5TtKEの意図に従って…は出来ない。
「Zermeloのωは{}の積み重ねだけで出来る!」
という素人のナイーブな直感による意図は
完璧に間違ってたってことだなw
「オレ様の直感は完璧だ」と自惚れる馬鹿は破滅していく
自惚れは自分を殺す毒
237:132人目の素数さん
20/01/02 16:18:45.05 lJNP8tAT.net
>>229
>{…{{}}…} は最小の超限順序数ωより小さい順序数だから、
>{…{{}}…} は有限集合と解釈することになる。
{…{{}}…}はシングルトンなら当然有限集合だが
>>229のいいたいことはそうではないようだ
おそらくは有限重{}の集合といいたかったのだろう
そうだとしても>>229のいうように矛盾が生じる
なぜならもとの集合自体有限重{}
つまりZermelo構成の自然数となるから
238:132人目の素数さん
20/01/02 16:43:30.85 v54b6Yz+.net
>>231
>>221の
>シングルトンの後者関数の極限で、ωを定義するってこと
>ωを、可算無限シングルトンと名付けるってこと
という趣旨に従って>>229を書いた。
◆e.a0E5TtKEの意図に従った「…」は、数列を表すときなどに用いるような、いわゆるどこまでも同じ状態が続くという意味での「…」の解釈になると思われる。
239:132人目の素数さん
20/01/02 16:52:05.08 v54b6Yz+.net
>>232の一番下の行の「いわゆるどこまでも同じ状態が続くという意味」とは、
任意の第n項が1である数列 1、1、1、… における「…」のような意味のこと。
240:132人目の素数さん
20/01/02 16:53:20.94 v54b6Yz+.net
それじゃ、おっちゃんもう寝る。
241:132人目の素数さん
20/01/02 16:54:08.09 G/YeCJ4m.net
>>201
>4)こうやって構成した ペアノシステムによるシングルトンのωが、正則性公理に反するはずもない
妄想乙
>Zermeloの後者関数 「0 := {}, suc(a) := {a} 」
>の
>順序位相(英語版)に関する極限点として
>ωが定義される
>それだけのこと
バカは他人も自分と同じくらいバカだと思いたいようだが、それも妄想
242:132人目の素数さん
20/01/02 16:55:12.79 G/YeCJ4m.net
バカは直観で数学が理解できると妄想し続ける
だから死ぬまでバカのまま
243:132人目の素数さん
20/01/02 17:19:38.67 G/YeCJ4m.net
>>221
>シングルトンの後者関数の極限で、ωを定義するってこと
おまえが言ってるのは「lim[n→∞]nは収束する」と同じことだw
近所の高校生に教わってこいw
244:132人目の素数さん
20/01/02 17:24:32.72 G/YeCJ4m.net
>>221
>お前は、数学の定義分かってないな
>後者関数の極限が、存在しない??
>笑えるよ
おまえ自分で自分を「あほバカ」って言ってる割に自信たっぷりに上から目線だなw
口先では謙遜しておきながら実際の行動はまるで逆w
真のサイコパスはおまえw
245:132人目の素数さん
20/01/02 17:29:30.55 G/YeCJ4m.net
>>221
>時枝問題(数学セミナー201511月号の記事)の最初の設定はこうだった。
まったく的外れな引用
「コーシー」という単語に脊髄反射してるだけw アホ過ぎw
246:132人目の素数さん
20/01/02 17:36:35.27 lJNP8tAT.net
>>239
数セミ記事の話は御免だな 面倒くさいw
ただ「無限列全体共通の尻尾なんてない」という基本的な事柄を
全く認めることができない◆e.a0E5TtKEは正真正銘の馬鹿
馬鹿は∩(n∈N){x∈N|x>n}が空集合であることが理解できないw
247:132人目の素数さん
20/01/02 17:43:03 G/YeCJ4m.net
>それは、◆e.a0E5TtKEの集合の表し方が間違っていることを指摘している。
バカはよく {{…{}…}} のように書くが、これは有限個のカッコを表すw
無限個のカッコはこのようには書けない。
何故なら上記のカッコ列には終端のカッコが存在しており、無限の定義に反するから。
ちょっと考えれば分ることだが、白痴だから考えることができない。
248:132人目の素数さん
20/01/02 17:52:18.51 G/YeCJ4m.net
>>224
間違いを認められない自惚れ野郎w
249:現代数学の系譜 雑談
20/01/02 21:37:19.47 YLjNnjPy.net
>>221 補足
>>だいたい…{{}}…はただしくはシングルトンですらない
>>集合ですらないからだw
現代数学が分かってないな~
まず、定義ありきだよ
(下記の渕野先生の不完全性定理の話とか、ZFCGの話を見てごらんw(^^;)
その定義されたω=可算無限シングルトン を、どう理解するのか?
それは、極限から定まる性質を見ることだ
あなた方のいうことは、定義されたωを括弧={と }と を使ってどう表現すべきかってことでしょ?
一番外に 括弧= {と }とが、表現に、必要なら
{ …{{}}… }と表現するように、”表現”を定義すれば、良いだけのことだよw
(参考:渕野先生)
URLリンク(researchmap.jp)
カントルの精神の継承
無限集合の数学/超数学理論としてのカントルの集合論のその後の発展と,その「数学」へのインパクト
渕野 昌 2018 年 11 月 10 日 (23:10 CET) 版
P14
5 ゲーデルの加速定理と数学の自由性 ? 22世紀の数学としての集合論
P17
本稿の最初に引用した,[Cantor 1883] でのカントルの「数学の自由性」に関す
る言及は,広義の数学という意味で「科学の自由性」と読み替えたときにも,十
分に意義を持つものと思う
ゲーデルの第 1 不完全性定理は,数学の無尽蔵性と解釈することもできる (こ
の解釈に関しては,[渕野 2013],[渕野 2016] 等も参照されたい).
この考察を超数学で考察することで高次の証明を得
るという, 新しいタイプの数学研究を行なうことで,人間にとって
理解可能な数学の領域を拡張してゆくことが,近未来における
数学の存続のための重要な鍵の一つとなる,ということは十分に
ありうるし,むしろ,それ以外のシナリオはありえないようにも思えるのである.
(参考:ZFCで足りないなら、新たに別の公理を加えたZFCG)
URLリンク(ja.yourpedia.org)
宇宙際タイヒミュラー理論 Yourpedia
(抜粋)
グロタンディーク宇宙
圏の一般理論はZFCだけでは展開できないが、ZFCに新たに別の公理を加えたZFCGにおいては展開できるようになる。
(引用終り)
250:132人目の素数さん
20/01/02 21:46:36.62 lJNP8tAT.net
>>243
>一番外に 括弧= {と }とが、表現に、必要なら
>{ …{{}}… }と表現するように、
>”表現”を定義すれば、良いだけのことだよ
馬鹿www ほんと正真正銘の馬鹿wwwwwww
あのな、ωがもしシングルトン{x}だったら
その唯一の要素xが、ωの前者ω-1ということになって
ωが極限順序数だという設定に反するだろ?
おまえってほんと底抜けの馬鹿だなwwwwwww
251:132人目の素数さん
20/01/02 21:51:54.24 lJNP8tAT.net
URLリンク(ja.yourpedia.org)
このページつくったやつ、素人だろ?
ZFCGってなんだよwww
グロタンディク宇宙は到達不可能基数の存在を認めればできそうだから
IUTを実現するには適当な巨大基数の存在公理を追加すればよさそうだが、
本当にそれがABC予想の解決に必要かどうかは疑わしい
252:132人目の素数さん
20/01/02 21:55:04.42 lJNP8tAT.net
Zermelo構成のωは無限集合
なぜならいかなる自然数nについてもn<mとなる自然数mが存在するから
∀n∈N∃m∈N.n<m
したがってωの要素となる自然数の中に最大値が存在してはならないので
必然的に無限集合になる
253:現代数学の系譜 雑談
20/01/02 22:01:18.00 YLjNnjPy.net
>>244
おサルの数学は、定義と表現が倒錯しているぞ
倒錯した数学は、ヒトの数学ではない!
だから、数学落ちこぼれで、「数学科修士は出たけれど」となる(^^
(参考)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
大学は出たけれど
(抜粋)
大学は出たけれどは、
・小津安二郎監督の1929年公開の映画。
・野村芳太郎監督の1955年公開の映画。
本項では両映画とも記述する。
254:132人目の素数さん
20/01/02 22:17:19.41 lJNP8tAT.net
>>247
倒錯してるのは◆e.a0E5TtKE 貴様
だいたいお前大学出るどころか入ったことないだろ
お前みたいな馬鹿 Fラン大学でも落ちるわいw
255:132人目の素数さん
20/01/02 23:24:17.57 G/YeCJ4m.net
0,1,2,… が収束しないように、{},{{}},{{{}}},… は収束しないだろw 何が極限だw
256:現代数学の系譜 雑談
20/01/03 09:45:24.38 ivt0JCXh.net
>>249
>0,1,2,… が収束しないように、{},{{}},{{{}}},… は収束しないだろw 何が極限だw
Yes!! (^^;
(有限内に)”収束しない”は、全く正しい
自然数のノイマン構成:空集合から出発して、後者関数はそれ以前に出来た全ての数とする
無限集合N=自然数の集合に至る
(有限内に)”収束しない”が、極限は存在する(^^;
Zermelo構成に同じ(>>153ご参照)
(>>176より)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
自然数
(抜粋)
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
・空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc(a):=a∪{a}
・0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
・自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
[3]^ (von Neumann 1923)
(引用終り)
257:現代数学の系譜 雑談
20/01/03 09:53:58.48 ivt0JCXh.net
>>250 参考
下記、「上極限と下極限は(無限大をとることを許せば)必ず存在する」の
”(無限大をとることを許せば)”に、ご注目(^^;
URLリンク(ja.wikipedia.org)
上極限と下極限
(抜粋)
性質
数列 (an) の上極限と下極限は(無限大をとることを許せば)必ず存在する。これは極限値が存在するかどうか分からないのと対照的である。
258:現代数学の系譜 雑談
20/01/03 10:11:10.17 ivt0JCXh.net
>>251 補足
1.完備化という概念がある
2.完備化 (順序集合)(英語版)下記
”Dedekind cut”について、説明されている
3.カントールは、完備化にコーシー列を使ったという(下記)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
完備化 (順序集合)(英語版)(Dedekind-MacNeille completion へ飛ぶ)
URLリンク(en.wikipedia.org)
Dedekind-MacNeille completion
(抜粋)
Examples
If Q is the set of rational numbers, viewed as a totally ordered set with the usual numerical order, then each element of the Dedekind-MacNeille completion of Q may be viewed as a Dedekind cut, and the Dedekind-MacNeille completion of Q is the total ordering on the real numbers, together with the two additional values ±∞.[7]
The construction of the real numbers from the rational numbers is an example of the Dedekind completion of a totally ordered set, and the Dedekind-MacNeille completion generalizes this concept from total orders to partial orders.
URLリンク(ja.wikipedia.org)
コーシー列
(抜粋)
コーシー列(コーシーれつ、Cauchy sequence)は、数列などの列で、十分先のほうで殆ど値が変化しなくなるものをいう。
数学史における位置付け
19世紀後半には実数を算術的に定義する方法が盛んに研究され、
その中で現在コーシー列と呼ばれる概念を導入したのがカントールである。
カントールがこの成果を発表したのは1872年で、1821年に発表されたコーシーの収束判定法を満たす数列を用いて実数を定義しようという、当時一般的だった考え方に基づいている。
このコーシーの収束判定法を満たす数列としてコーシー列が用いられ、実数はコーシー列の極限として定義された。
259:
20/01/03 10:22:08.16 /G0ULS+T.net
その概念を最後は持ち出すだろうとはおもってたけどダメですよ。
今問題になっているのはいわゆる1,2,‥の上極限として
極限が存在するとした議論が矛盾しないのか?
ではなく
上極限としてどのような集合をあてがうべきなのか
を議論しているのだから。
上極限が存在し得ないならあなたの言うようにNeumann流のあてがい方だろうが、Zermelo流のあてがい方だろうが矛盾しますが、今はそんな事を議論しているのではなく、あなたの主張である
Zermelo流ではωにあてがわれる集合Ωとしては
Ω自身も、その元も、そのまた元も、‥
どこまで行ってもsingletonしか現れないものがあてがわれる。
その存在を認めてもZFCの公理となんら矛盾しない。
という事が問題になっているのだから。
260:現代数学の系譜 雑談
20/01/03 10:32:37.97 ivt0JCXh.net
>>252 補足
1.コーシー列による完備化では、極限の概念が不可欠
2.無限数列 (xn) について、有理数よりなる数列 (n有限では) xn∈Qで
その極限で lim n→∞ xn =r not∈Q なる無限数列 (xn) が定義できる
(それが出来なければ、実数Rは構成できない)
3.要するに、一般的に言って、極限は、もとの有限の場合の集合の外に出る場合があるってこと
有理数よりなるコーシー列 (xn) の極限は、Q内の場合もあれば、Q外の場合もあるってこと
4.似た例が、時枝記事の議論の時に
”帰納法の反例”だとしてw、
”開集合Onの積集合 ∩On が、一点に収束するときに、一点だから閉集合になる
だから、「帰納法の反例だ」”という主張があった
おれは、「それって、(帰納法の反例でなく)極限でしょ」と言ってやったんだ
5.要するに、極限 lim n→∞ xn には、xnをその属する集合の外に出す力があるという理解が正しいのだ
Zermelo構成のシングルトンによる後者関数についても同じ
おサルが、有限の場合に外側に{}があるの無いのとか、一番右の}は何だとか、右から二番目の}があるの無いの
そういう有限シングルトンとの対比でもって、シングルトンの極限の存在を否定することはできません
6.これ、数学の基本の ”き”
261:現代数学の系譜 雑談
20/01/03 10:49:20.99 ivt0JCXh.net
>>253
おつです
岡潔(下記)
制限をつけていくのではなく、むしろ逆にもっと理想化した難しい問題を設定して、それを解くべきであると言った
これにならって、Neumann流、Zermelo流に拘らずに、もっと一般に後者関数を考えるべき
そうすれば、自然に後者関数のn→∞の極限の概念に到達するだろう
その後で、個別の後者関数に応じて、極限によって得られる集合がどのようなものかを考えるべし(^^;
(下記、ペアノの公理もご参照)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
広中平祐
(抜粋)
特異点解消問題について、1963年に日本数学会で講演した。その内容は、一般的に考えるのでは問題があまりに難しいから、様々な制限条件を付けた形でまずは研究しようという提案であった。
その時、岡潔が立ち上がり、問題を解くためには、広中が提案したように制限をつけていくのではなく、むしろ逆にもっと理想化した難しい問題を設定して、それを解くべきであると言った。
その後、広中は制限を外して理想化する形で解き、フィールズ賞の受賞業績となる[4]。
(>>152より)
(参考)
URLリンク(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
(抜粋)
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。
存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
まず、後者関数を定義する; 任意の集合 a に対してその後者を suc(a) := a ∪ {a} と定義する。
集合 A が後者関数に関して閉じているとき、つまり 「a が A の元であるならば suc(a) も A の元である」が成り立つときに、 A は帰納的集合であるという。
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。(レーヴェンハイム=スコーレムの定理)
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)
262:現代数学の系譜 雑談
20/01/03 10:52:13.25 ivt0JCXh.net
>>255
補足
あと、>>254に書いたように
”極限 lim n→∞ xn には、xnをその属する集合の外に出す力があるという理解が正しい”のです
で、極限 lim n→∞ xnが、その属する集合の外に出たことをもって
「正則性公理に反する」などと、噴飯ものの議論でしかないのです
263:現代数学の系譜 雑談
20/01/03 11:20:19.72 ivt0JCXh.net
>>256 追加
>>250より
自然数のノイマン構成:空集合から出発して、後者関数はそれ以前に出来た全ての数とする
>>164より
(ノイマン構成)に倣って、
後者関数suc (a)に対して、
それまでに出来た集合の和 ∪a との対応を考えよう
番号 ∪a
0:=Φ
1:={Φ} {0}
2:={{Φ}} {0,1}
・
・
n:={・・{Φ}・・} {0,1・・n-1}
・
・
↓(極限 lim n→∞ )
ω:=・・・{Φ}・・・ {0,1・・n-1・・}(=:N(自然数)))
(引用終り)
という対応になる
もし、ノイマン構成のN(自然数)が、
下記のフォン・ノイマン宇宙
Vω+ω:ordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロの集合論のモデル
内の存在とすれば、
>>176より
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { Φ, {Φ} }→{{Φ}}(→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作)
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { Φ, {Φ}, { Φ, {Φ} } }→{{{Φ}}}(同上)
というように
ノイマン構成の集合に対応して
→:(→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作)
という集合操作を行うと、Zermeloのシングルトンが生成されるのです
なので、ノイマン構成のN(自然数)から、
→:(→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作)
という集合操作、それは”超限回”の操作
で、Zermeloのシングルトンが生成されると解釈することも可能
なので、Zermeloのシングルトンも、Vω+ωの宇宙内(ツェルメロの集合論のモデル)です(^^;
つづく