20/01/11 18:14:01.35 FnS35YXC.net
>>797 の証明が間違いであることの証明。
次の[証明１]（>>797）が正しいと仮定する。
■[証明１]
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】pは奇数なのでx^p+y^p=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}と変形できる。
したがって、z^p×1=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}となる。
z^p=A、1=B、(x+y)=C、{x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}=Dとおく。
AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}とz^p=(x+y)を共に満たす有理数は、(x,y)=(0,1)、(x,y)=(1,0)のみである。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
すると、z^pをz^2と置き換えた、次の[証明２]（>>687）も正しいことになる。
（文章は[証明１]に合わせて少し改変。）
■[証明２]
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^2は、自然数解を持たない。
【証明】pは奇数なのでx^p+y^p=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}と変形できる。
したがって、z^2×1=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}となる。
z^2=A、1=B、(x+y)=C、{x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}=Dとおく。
AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}とz^2=(x+y)を共に満たす有理数は、(x,y)=(0,1)、(x,y)=(1,0)のみである。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^2は、自然数解を持たない。
しかし[証明２]には反例(x,y,z)=(1,2,3)が存在するので正しくないので、
これは[証明１]が正しいと仮定したことに起因する。
よって背理法により[証明１]は正しくないことが示された。