現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む79

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む79at MATH

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む79 - 暇つぶし2ch248:による手法を用いて数学的構造（例えば、群、体、グラフ：集合論の宇宙）を研究（分類）する数学の分野である。モデル理論における研究対象は、形式言語の文に意味を与える構造としてのモデルである。もし言語のモデルがある特定の文（英語版）または理論（英語版）（特定の条件を満足する文の集合）を満足するならば、それはその文または理論のモデルと呼ばれる。モデル理論は代数および普遍代数と関係が深い。この記事では、無限構造の有限一階モデル理論に焦点を絞っている。有限構造を対象とする有限モデル理論は、扱っている問題および用いている技術の両方の面で、無限構造の研究とは大きく異なるものとなっている。完全性は高階述語論理または無限論理において一般的には成立しないため、これらの論理に対するモデル理論は困難なものとなっている。しかしながら、研究の多くの部分はそのような言語によってなされている。モデル理論が体へ応用された初期の結果の例は、タルスキの実閉体についての量化記号消去法（英語版）、疑有限体 (pseudo finite field) 上のアックス（英語版）の定理、そしてロビンソンの超準解析の開発がある。古典モデル理論の発展において、安定理論（英語版）の誕生が（非可算カテゴリー論 [uncountably categorical theory] 上のMorleyの範疇性定理（英語版）およびシェラハの分類プログラムを通して）重要なステップとなった。この安定理論は、理論が満たす構文条件に基づくランクと独立性（英語版）の算法を発展させた。この数十年で、応用モデル理論はより純粋な安定理論と繰り返し融合してきた。この合成の結果は、この記事では幾何学的モデル理論と呼ばれている。例非自明なモデルの文脈における統語論および意味論を含む基本的な関係を説明するために、統語論側でペアノの公理のような自然数についての適切な公理とその関連する理論から始めることができる。意味論側では、通常の連続数がモデルを構成する。1930年代、スコーレムはその公理を満たす別のモデル（算術の超準モデル）を開発した。つづく

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