現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79at MATH
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79 - 暇つぶし2ch210:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/11/28 14:41:52 rRA3+Jnq.net
>>188
つづき

新たな枠組への道
Hodge-Arakelov 理論では、数論的な Kodaira-Spencer 射が構成されるなど、
ABC 予想との関連性を仄めかすような魅力的な側面があるが、そのまま「ABC 予
想の証明」に応用するには、根本的な障害があり不十分である。このような障害を克
服するためには、
通常の数論幾何のスキーム論的な枠組を超越した枠組
が必要であろうとの直感の下、2000 年夏から 2006 年夏に掛けて、そのような枠組を
構築するためには何が必要か模索し始め、またその枠組の土台となる様々な数学的イ
ンフラの整備に着手した。このような研究活動を支えた基本理念は、次のようなも
のである: 

注目すべき対象は、特定の数論幾何的設定に登場する個々のスキーム等ではな
く、それらのスキームを統制する抽象的な組合せ論的パターンないしはそのパ
ターンを記述した組合せ論的アルゴリズムである。 
このような考え方を基にした幾何のことを、「宇宙際(Inter-universal=IU)幾
何」と呼ぶことにした。念頭においていた現象の最も基本的な例として次の三つが
挙げられる:

・ログ・スキームの幾何におけるモノイド
・遠アーベル幾何における数論的基本群=ガロア圏
・退化な安定曲線の双対グラフ等、抽象的なグラフの構造
この三つの例に出てくる「モノイド」、「ガロア圏」、「グラフ」は、いずれも、「圏」
という概念の特別な場合に当たるものと見ることができる。(例えば、グラフの場合、
グラフ上のパスを考えることによって圏ができる。)従って、IU 幾何の(すべてでは
ないが)重要な側面の一つは、 
「圏の幾何」
で表されるということになる。特に、遠アーベル幾何の場合、この「圏の幾何」に対応するのは、
絶対遠アーベル幾何
(=基礎体の絶対ガロア群を、元々与えられたものとして見做さない設定での遠アーベル幾何)である。 

つづく


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