20/01/24 14:46:18.36 2S47DcwE.net
実際には >>876 のゲームで点Qの第二種必勝法は存在して、点Qの戦略Tを次のように定めれば良い。
～～～～～～～～
f:[0,1]→R を点Pの挙動とする。
t_0=0, g(0)=0 と定める。
(i) nが偶数かつ t_n<1 の時、
g(t_n)+a(t-t_n)-f(t) ≦ (a-1)(1-t)
を満たす最大の実数 t∈[t_n,1] を t_(n+1) と定め、t∈[t_n, t_(n+1)] の時の g(t) の値を
g(t)=g(t_n)+a(t-t_n)
により定める。
(ii) nが奇数かつ t_n<1 の時、
g(t_n)-a(t-t_n)-f(t) ≧ -(a-1)(1-t)
を満たす最大の実数 t∈[t_n,1] を t_(n+1) と定め、t∈[t_n, t_(n+1)] の時の g(t) の値を
g(t)=g(t_n)-a(t-t_n)
により定める。
(iii) t_n=1 の時、そこで数列 {t_i} を打ち止める。
仮に {t_i} が無限列であっても 1-t_(n+1) ≦ (1-t_x)/a より lim_(n→∞) t_n=1 であるから、
全ての t∈[0,1) に対して g が定まる。連続性により g(1) も定まる。
このようにして定めた g を S(f) とする。
～～～～～～～～
このgは |g(t)-f(t)|≦(a-1)(1-t) を満たすことがわかるから、特に g(1)=f(1).
ゆえに、少なくとも第一種必勝法を与えることがわかる。
904:１３２人目の素数さん
20/01/24 15:50:56 2S47DcwE.net
>>884 が第二種必勝法でもあることは以下のようにしてわかる。
（証明）
点Pの戦略Sを任意に定める。集合Wを
W={a∈[0,1] : 点Pの挙動gであって T(S(g))(t)=g(t) for∀t∈[0,a] を満たすものが存在する}
と定める。0∈W は明らか。
>>754 の七行目の原則から、Wが最大値を持つこともわかる。
Wの最大値wが1より小さいと仮定し、T(S(g))=g (t∈[0,w]) を満たすgを一つとる。
S(g) に対して>>884のように定められる実数列 {t_n} について、
(i) t_n=w を満たすnが存在しない時、wの定義からwの任意の近傍で
not ( T(S(g)) ≡ T(S(T(S(g)))) )
を満たす必要があるため、
S(T(S(g))) に対して884のように定められる実数列 {t'_n} は w=t'_n (for∃n) を満たさねばならない。
(ii) あるnについて t_n=w が成り立つ時、754 の七行目の原則から、
S(T(S(g))) について884のように定められる実数列 {t'_n} について t_i=t'_i (i≦n) を満たす必要があるから、
∀t∈[t_n, min(t_(n+1),t'_(n+1))] についてT(S(T(S(g))))(t) = T(S(g))(t).
これはwの定義と矛盾。
(i)と(ii)よりw=1でなければならないので、T(S(g))=g を満たすgが存在。ゆえにTは第二種必勝法。□
905:１３２人目の素数さん
20/01/24 16:11:09 2S47DcwE.net
>>876 訂正
>>754 の七行目の制約から、デッドロックを起こすための点Pの戦略Sは
S(g)(t)= -t ( 0のある近傍で g(t)≡t の時)
S(g)(t)= t (それ以外)
とすべきでした
906:１３２人目の素数さん
20/01/24 19:01:29 5+zPhcCH.net
つまるところ >>884 の戦略は
「常に速さaで走り、『ココを過ぎてしまうと点Pに逃げ切られてしまう』ような二つの点のどちらかに当たったらその瞬間方向を反転させる」
というもの。『』を満たす二つの点の感覚は 2(a-1)(1-t) だから、
（t=1以外で）反転が無限に行われるという状況が起こらないようになっていて、
これがデッドロックが起こらないための鍵になっている。
このような方法は >>640 の問題にも応用できて、例えば点Aの速さaが臨界値Kを上回る時、
『点Aがココを過ぎてしまうと点Bに逃げ切られてしまう』ような点（点Bの場所によっては存在しないことも有り得る）
にぶち当たった時だけ方向転換する、という戦略にすれば良い。
『』内の二点を具体的に計算できればおそらく証明もそう難しくはない。
一方点Aの速さが臨界値を下回れば、先程と違って点Aの位置に応じて
『点Bが"この線に触れてしまう"と（引き返さない限り）点Aに捕まってしまう』
という、言わば限界曲線が定まる。
この場合点Bの戦略を、単純に限界曲線に当たった瞬間方向転換しながら直進する、としただけでは上手くいかない。
（∵この限界曲線は点Aと繋がっているので、点Bは方向転換しながら直進した先で結局点Aにぶち当たることになる。）
つまり例えば
『点Bがこの線の（線上を含めた）内側にいれば、少なくとも点Aと偏角がδ>0以上離れている位置で円周に到達できる』
ような別の限界曲線を用意して、その内側を方向転換しながら直進する、等のように点Bの戦略を定めれば解決する。
907:１３２人目の素数さん
20/01/24 19:53:11.01 200W4pL5.net
π = tanθ - θ
a < 1/cosθ = 4.603323
の時のBの必勝戦略の存在性は示すべきことだけれど、
a ≧ 1/cosθの時のBの必勝戦略の非存在性は示されたっけ？
908:１３２人目の素数さん
20/01/24 20:13:50 rC18lOHu.net
>>871
できたかも。^は否定として
H:正直者、L=^H:嘘つき、
A:飴玉もらえる、C:チョコもらえる。
としてあなたの発言として
Y=(H∧(C∨^A))∨(L∧A)
「あなたは正直者で(私にチョコくれるか飴玉くれない)、
またはあなたは嘘つきで私に飴玉くれる。」
とする。
公理は
H∧Y→C∨A、H∧^Y→^C∨^A、L∧Y→^C∧^A、L∧^Y→C∨A。
H∧Y→Cなのでこの時はチョコもらえる。
H∧^Y=H∧(L∨(^C∨A))∧(H∨^A)→A
によりコレは2番目の公理に反する。
L∧^Y→^Aと4番目の公理からこの時チョコもらえる。
L∧Y→L∧(L∨(^C∧A))∧(H∨^A)→A
は3番目の公理に反する。
909:１３２人目の素数さん
20/01/24 20:21:33 rC18lOHu.net
Aの逃走阻止戦略はBの逃走戦略よりは簡単なハズだよね。
基本偏角差が小さくなる方に動けばいい。
ただしデッドロックが起きないように注意すると。
910:１３２人目の素数さん
20/01/24 20:56:34 200W4pL5.net
>>890
それは、Aの逃走阻止戦略が存在するならば、
> 基本偏角差が小さくなる方に動けばいい。
はAの逃走阻止戦略になると言っているだけで、
Aの逃走阻止戦略の存在性には触れてないよね
911:１３２人目の素数さん
20/01/24 21:04:21 kdanMeAQ.net
>>891
厳密に書くと>>887みたいにしんどくなるだろうね。
でも逃走戦略よりは簡単だと思う。
912:１３２人目の素数さん
20/01/24 21:06:53 9h4QfqTE.net
>>889
>871です
用意した答は、
あなたが正直ならば飴玉をくれないし、あなたが嘘つきならば飴玉をくれる
913:１３２人目の素数さん
20/01/24 21:13:21 200W4pL5.net
>>892
具体的な戦略の厳密な厳密な構築について言っているんじゃ無いんだけど
予想されている上限候補
1/cosθ ≒ 4.603323
π = tanθ - θ
が上限(上界)であることの証明は、具体的な戦略の明示より重要なんじゃない？
914:１３２人目の素数さん
20/01/24 22:07:15 kdanMeAQ.net
>>892
いや、具体的に構成できるんだから存在は明らかでしょ？
存在するとしたらこの形しかないという主張じゃなくてこうやれば構成できる=存在するなんだから。
具体的に構成出来ることは抽象的に存在するための十分条件でしょ？
915:１３２人目の素数さん
20/01/24 22:26:29 200W4pL5.net
>>895
具体的ってこれのこと？
> 基本偏角差が小さくなる方に動けばいい。
この戦略はa=4の時でも立てられるけど、当然逃走阻止戦略にはならないぞ
同様にa=5の時もこの戦略は立てられるけれど、これが逃走阻止戦略になるかどうかは証明すべきことであって、証明できなければ存在するかは不明
916:１３２人目の素数さん
20/01/24 22:44:13 200W4pL5.net
1/cosθ≒4.60332
について示されているのは、
任意のa<1/cosθに対して逃走阻止戦略が存在しないことと、
>>784のBの戦略に対しては任意のa≧1/cosθに対して逃走阻止できることだけで、
任意のBの戦略、任意のa≧1/cosθに対して逃走阻止戦略が存在することは示されていなく、
具体的に構築された戦略が、任意のBの戦略、任意のa≧1/cosθに対して逃走阻止戦略になることを示されてもいないかと
917:１３２人目の素数さん
20/01/24 23:00:29 200W4pL5.net
ついでだけれど
> 存在するとしたらこの形しかないという主張
こんなことも言っていないよ
存在が証明されているならば、この形は条件を満たすといっているわけで、「条件をみなす形はこの形しかない」と他の形の存在を否定なんてしていない
「構成する」には、その構成したという形が条件を満たしていることを証明する必要がある
証明しなければ、
> この戦略はa=4の時でも立てられるけど、当然逃走阻止戦略にはならないぞ
なんてことになるし、
a=4.7の時にBの逃走戦略が存在し、逃走阻止戦略にはならないかもしれない
918:１３２人目の素数さん
20/01/25 00:02:29.24 8d8rjqX8.net
いや、書いてもいいんだけど逃走阻止戦略は具体的に書けるんだよ。
a/b>臨界値の場合。
ピッタリのときは知らないけど。
オレ元サイトカンニングしてるから書かない方がいいと思って控えてるんだよ。
元サイトの出題形式だとa/b=臨界値のときは無視していいルールになってる。
もしかしたらその場合は双方にデッドロックなしの戦略はないかもしれない。
少なくとも逃走戦略は無さそう。
逃走阻止戦略はあるかもしれないけど見つけてない。
919:１３２人目の素数さん
20/01/25 00:13:25 8d8rjqX8.net
あ、ちなみにa/b=臨界値のときも
∃S:戦略関数 ∀g f=S(g)で逃走阻止される
は正しい。
のでデッドロックを回避しないといけないという条件付けて突然逃走可能になるってことはないだろうと思う。
でもこのSはTをうまく取られるとデッドロックする。
スティルメイトの方がカッコ良かったかな？
というわけでa/b=臨界値の場合は完全に現時点でオープンです。
920:１３２人目の素数さん
20/01/25 00:40:20 7z8NlE3N.net
点Bが直交座標(X,Y)、極座標(r,θ) (ただしr>1/K) にいる時、
|φ-θ| ≦ θ~ := arctan(√(K^2r^2-1)) - √(K^2r^2-1) + π (1)
で与えられる偏角φの範囲が、点Bが動くにつれてどう変化するかを考える。
ただし K≒4.6033 は >>894 等で与えられている臨界点とする。
つまり、r=1 の時 θ~=0になることに注意。
点Bの点(x,y)付近での微小な動きを再現するため、便宜的に B(t)=(x+x't, y+y't) と定める。（ただし x'^2+y'^2=1）
この時、
dθ/dt = (xy'-yx')/(r^2),
dθ~/dt = -((xx'+yy')/(r^2))√(K^2r^2-1)
であるから、計算により
|dθ/dt ± dθ~/dt| ≦ K
という評価を得る。
したがって、点Bが速さ1以下で動く限り、不等式(1)でφが動ける範囲の両端を定める二点は、速さK以下でしか動けない。
以上から、点Aの速さが臨界点を上回るならば、点Aは偏角 φ∈R/2πZ が(1)を満たす範囲で動き回れば良い。
（具体的にどう動き回るかは、例えば887の方法を使えば良い）
921:１３２人目の素数さん
20/01/25 00:43:44 7z8NlE3N.net
Kは臨界点というより臨界値って書いた方がよかった…あと二行目の右端の(1)は式番号です
922:イナ
20/01/25 01:26:02.97 nAj41CVN.net
前>>881
>>640問題。
3.69759954……倍じゃだめかぁ。
923:１３２人目の素数さん
20/01/25 01:30:43.24 7z8NlE3N.net
何度も申し訳ない、>>901 のdθ/dtおよびdθ~/dtは、どちらもt=0の時の値です
924:１３２人目の素数さん
20/01/25 04:11:07.95 jb9Xvs1V.net
国税・労基と書いてあったので公務員試験の問題らしいです。
ある幼稚園で、砂場で遊んでいたA,B,C,D 部屋で遊んでいたE,F,Gの７人の中に、
逆上がりができる子が２人いることが分かっている。
そこで、A～Gに尋ねたところ、それぞれ以下の発言をした。
ただし、７人うち、本当のことを言っているのは２人だけで、あとの５人は間違ったことを言っていた。これらのことか
925:ら確実にいえるのはどれか。 A：Bは逆上がりできるよ。 B：Aは間違ったことを言っているよ。 C：AもBも２人とも間違ったことを言っているよ。 D：砂場で遊んでいた子の中には逆上がりできる子はいないよ。 E：私は逆上がりできない。 F：逆上がりができるのは２人とも砂場で遊んでいた子だよ。 G：EとFの少なくともどっちかは本当のこと言っているよ。 問題は簡略化してみた。 正直者と確定できるのは誰か？ 逆上がりができると確定できるのは誰か？
926:１３２人目の素数さん
20/01/25 05:32:15 QaNtRQ6A.net
BよりB∧notA ∨ notA∧B。
よってAかBのどちらかは正直で正直は残り1人。
さらにnotC。
GのときはE∨Fで残る正直が1人に矛盾。
よってnotG。
さらにnotE、notF。
よって残る正直者はD
A,Bはどちらが正直でも矛盾しないので確定できない。
以上により確定的正直者はD。
確定的に逆上がりができるのはE。
927:１３２人目の素数さん
20/01/25 06:06:24 jb9Xvs1V.net
>>906
Dが正直だから砂場にいたBは逆上がりができないからAは嘘つきと確定できる。よって正直者はBとD。
928:１３２人目の素数さん
20/01/25 06:09:56 8d8rjqX8.net
>>907
砂場で遊んでた人の情報もあったのか。
見てなかったorz。
929:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/25 12:00:28 nAj41CVN.net
前>>903問題>>640
7時x分の短針の方向の外周でAがBを捕まえたとすると、
AがBを追った距離は、
2πr(7+x/60)/12=(420+x)πr/360
Bが逃げた距離は、
7時から9時の60°のうちの(1-x/120)を底角に持つ二等辺三角形を含む扇形の弧で、
その中心角は、
180°-2(1-x/120)60°
=(60+x)°だから、
2πR(60+x)/360
=πr(60+x)/180
二等辺三角形を二等分した直角三角形についてピタゴラスの定理より、
Rcos(60-x/2)°=r/2
Rを消してBが逃げた距離は、
2πR{(60+x)°/360°)
=2πr(60+x)/360･2cos(60-x/2)°
=πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
速さの倍率は距離に比例し、
A/B=(420+x)πr/360÷πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
={(420+x)/(60+x)}cos(60-x/2)°
={7-6x/(60+x)}cos(60-x/2)°
x=25.17のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
x=25.18のとき、
A/B=3.53691531……(倍)
x=25.19のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
7時25.18分すなわち、
7時25分10秒8の短針の方向の外周で捕まえればAのBに対する速さの倍率は最大になる。
中心角でいうと、
360°{(7+25.18/60)}/12
=222.59°の方向の外周。
Aがもう逆回りしないとなったときBは逃走ルートを直線にすることで逃走距離を短くする。
Bの逃走距離を円弧B+直線Bとすると、
円弧B=2πR[(180-2{60-30(25.18/60)}/360](4259/22259)
=(π/cos47.41°)(85.18/360)(4259/22259)r
=0.210164978……･r
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)R
Rcos47.41°=r/2より、
R=r/2cos47.41°
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)r/2cos47.41°=0.840496067……･r
Aが222.59°でBを捕まえるときのAの追跡距離、円弧Aは、
円弧A=2πr(222.59/360)
=3.88492838……･r
速度比A/B=3.88492838……･r/(0.210164978……･r+0.840496067……･r)
=3.88492838……r/1.050661045……r
=3.88492838……/1.050661045……
=3.69759954……(倍)
930:１３２人目の素数さん
20/01/25 13:39:18 jb9Xvs1V.net
東京都の公務員試験の過去問
ある料理店で、料理人Aが考案した新しい料理のレシピを50人の料理人に教えて
いくことにした。料理人は7月１日から毎日１人ずつ、新しい料理のレシピを教
えてもらっていない料理人に教えていき、新しい料理のレシピを教えてもらった
料理人は、教えてもらった翌々日から毎日１人ずつ、新しい料理のレシピを教え
てもらっていない料理人に教えていくとき、新しい料理のレシピを50人の料理人
に教え終わる日はいつか？
931:１３２人目の素数さん
20/01/25 13:46:16 8d8rjqX8.net
>>910
何年の？
なんか最近その手の悪質なデタラメ多いんだけど？
932:１３２人目の素数さん
20/01/25 13:54:10 jb9Xvs1V.net
>>911
2008年と記載されていたよ。
933:１３２人目の素数さん
20/01/25 14:06:26.17 8d8rjqX8.net
>>912
ホントにこれ試験問題なん？
意味がかなり微妙な表現があってとても試験問題の品質にはないけど。
料理人Aは最初の1人に教えた後も教え続けるのか、だとすると料理人A自信はレシピを考案した翌々日から教え始めるという制限をうけるのか、そもそもレシピを考案した日からかぞえるのか、最初の1人に教え始めたひから数えるのかもわからん。
こんな文面で試験として通用するハズない。
934:１３２人目の素数さん
20/01/25 14:26:42.18 jb9Xvs1V.net
>>913
公務員受験予備校にあったから、過去問なんじゃないの？
935:１３２人目の素数さん
20/01/25 14:32:31 8d8rjqX8.net
>>914
こんな文面で試験したらガンガン文句くる。
最初のシェフがレシピ考案した日から数えるのか最初の1人に教え始めた日から数えるのかで答えは1ズレる。
公務員試験なら答え書くだけだから記述読んで救済もできない。
こんな文面の問題まともに数学勉強した人間が作るハズない。
936:１３２人目の素数さん
20/01/25 14:45:36 wCCXd55Z.net
>>910
>料理人は7月１日から毎日１人ずつ
７／１から数えるに決まってる
>新しい料理のレシピを教えてもらった
>料理人は、教えてもらった翌々日から毎日１人ずつ
教えて貰った日を基準にして＋2日目から数えるに決まってる
これくらい読めなくて公務員になれるわけがあるまい
良問
937:１３２人目の素数さん
20/01/25 14:46:07 HLgVyAHa.net
>>915
考案した日が関係あるの？
7月1日から始まるんだろ？
んで、7月1日に教えてもらった人は
7月3日から教える側に回る。
938:１３２人目の素数さん
20/01/25 14:52:10 7z8NlE3N.net
自分は問題を正確に理解するのに多少読み込む必要があったけど、曖昧な箇所があった訳ではない気がする
問題を掲載してるサイトも一箇所だけだけど見つけたから、まあオリジナルとかではないはず
939:１３２人目の素数さん
20/01/25 14:59:04 8d8rjqX8.net
>>918
そうなん？
最近自作問題クサい奴に公務員試験って書いてる奴多いんだよ。
サイトのリンクある？
940:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/25 15:01:54 nAj41CVN.net
前>>909
>>910
7月13日までシュクメルリ鍋を教えつづけるとすると、
最初に教えはじめた料理人は13人に教える。
7月1日に教わった料理人は7月3日から13日まで教えつづけ11人に教える。
7月3日に教わった料理人は7月5日から13日まで教えつづけ9人に教える。
7月5日に教わった料理人は7月7日から13日まで教えつづけ7人に教える。
7月7日に教わった料理人は7月9日から13日まで教えつづけ5人に教える。
7月9日に教わった料理人は7月11日から13日まで教えつづけ3人に教える。
7月11日に教わった料理人は7月13日に1人に教える。
あわせて13+11+9+7+5+3+1=49人が7月13日までに料理を教わった。
7月14日、最初に教えはじめた料理人が50人目の料理人にシュクメルリ鍋を教えた。
941:１３２人目の素数さん
20/01/25 15:03:38 8d8rjqX8.net
確かにググると知恵袋に問題は出てくるな。
どっかで実際出てるのかな？
942:１３２人目の素数さん
20/01/25 15:08:41 wCCXd55Z.net
>>910
7月ｎ日に教わった料理人をanとすれば
an=a[n-1]+a[n-2]
a1=a2=1
問われているのは
a1+…+an≧50
となる最低のnを求めること
n=8
943:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/25 15:14:13 nAj41CVN.net
前>>920修正。
答えは7月14日。
ただ最後の50人目に教える料理人は7月13日に教わったばかりの新米料理人でなければ48人のうちのだれでもいい。
まぁでも最後の1人は記念だし、最初に教えはじめた料理人でいいような気がしたから。
944:１３２人目の素数さん
20/01/25 15:38:19 Q36gRZ7N.net
>>913
題意は一意に読み取れると思う。
さらに、出題者の意図も読み取ることができ
翌日教えられるとすると簡単に解けるから
翌々日として少し難しく(フィボナッチ数列の3項間漸化式の問題)したのだと思う。
945:１３２人目の素数さん
20/01/25 15:58:44.30 wCCXd55Z.net
翌日子を産むとネズミ算
翌々日子を産むとウサギ算
946:１３２人目の素数さん
20/01/25 16:12:57 8d8rjqX8.net
ちなみに元問題は7月5日から7月9日の5択になってるようだけどコレはいらんな。
947:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/25 16:23:13 nAj41CVN.net
前>>923訂正。
7月2日に教わった料理人は7月4日から毎日教える。
てことは倍速い。
7月7日までに料理人は7人に教える。
1日に教わった料理人は7月3日から7日まで5人に教える。
2日に教わった料理人は7月4日から7日まで4人に教える。
3日に教わった料理人2人は7月5日から7日まで3人ずつ教え、あわせて6人。
4日に教わった料理人3人は7月6日と7日で2人ずつ教え、あわせて6人。
5日に教わった料理人5人は7月7日に教える。
これで7月7日までに教わった料理人は、
7+5+4+6+6+5=33人。
7月8日、最初に教えはじめた料理人を含め34人のうち教えることができるのは、6日までに教わった、
34-5=29人で、このうち17人が教えた時点で50人。
∴7月8日
948:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/25 16:37:05 nAj41CVN.net
前>>927訂正、訂正!! 6日に教わったばっかの新米料理人が多すぎた。
7月2日に教わった料理人は7月4日から毎日教える。
7月7日までに最初の料理人は7人に教える。
1日に教わった料理人は7月3日から7日まで5人に教える。
2日に教わった料理人は7月4日から7日まで4人に教える。
3日に教わった料理人2人は7月5日から7日まで3人ずつ教え、あわせて6人。
4日に教わった料理人3人は7月6日と7日で2人ずつ教え、あわせて6人。
5日に教わった料理人5人は7月7日に教える。
これで7月7日までに教わった料理人は、
7+5+4+6+6+5=33人。
7月8日、最初に教えはじめた料理人を含め34人のうち教えることができるのは、6日までに教わった、
34-5-3-2-1-1-1=21人で、このうち17人が教えた時点で50人。
∴7月8日
949:１３２人目の素数さん
20/01/25 16:53:22 jb9Xvs1V.net
>>919
ある料理店で、料理人Aが考案した新しい料理のレシピを50人の料理人に教えていくことにした
で検索すりゃでるだろうに。
950:１３２人目の素数さん
20/01/25 16:55:40 jb9Xvs1V.net
>>924
あたり！
951:１３２人目の素数さん
20/01/25 17:03:11 Q36gRZ7N.net
任意の3つの実数を四捨五入して整数にした上で和を取るのと、
和を取ってから四捨五入して整数にする場合で数値が異なる確率を求めよ。
ただし、3つの実数の少数部は[0,1)区間で独立な一様分布とする。
(アクチュアリー資格試験問題 - 一部改正)
952:１３２人目の素数さん
20/01/25 17:24:51 Q36gRZ7N.net
>>931
訂正
×少数部
〇小数部
中高校生向けのこの問題のヒント：
確率の問題を幾何学の問題に置き換えれば、
初等的に(三角錐の体積の公式を知っていれば)解けます。
953:１３２人目の素数さん
20/01/25 20:04:49 jb9Xvs1V.net
一様分布も加算すると正規分布に従うんじゃなかったっけ？
954:１３２人目の素数さん
20/01/25 20:22:34 jb9Xvs1V.net
>>931
予想は0.5
シミュレーションもそれくらい。
> f <- function(x) ifelse(x<0.5,floor(x),ceiling(x))
>
> sim <- function(n=3){
+ x=runif(n)
+ y= numeric(n)
+ for(i in 1:n) y[i]=f(x[i])
+ f(sum(x)) != sum(y)
+ }
>
> mean(replicate(1e5,sim()))
[1] 0.49892
>
955:１３２人目の素数さん
20/01/25 21:05:21.41 Q36gRZ7N.net
>>934
残念ながら予想もシミュレーションも正しくありません
956:１３２人目の素数さん
20/01/25 21:40:05 8d8rjqX8.net
>>931
I=[-1/2,1/2)、I×I×Iで考える。
繰り上がる確率はx+y+z≧1/2の体積で1/6。
繰り下がる確率も同じく1/6。
合わせて1/3。
957:１３２人目の素数さん
20/01/25 21:56:47.41 Q36gRZ7N.net
>>936
正解
>>934
Rはよく知らないが、
f <- function(x) floor(x+0.5)
に変更すると
[1] 0.33421
で計算が合うので、どこかにバグがある。
958:１３２人目の素数さん
20/01/26 01:15:38.50 Ro1H2zIO.net
>>933
極限ではね
959:１３２人目の素数さん
20/01/26 01:23:39.20 HSj8A8kk.net
任意のn個の実数を四捨五入して整数にした上で和を取るのと、
和を取ってから四捨五入して整数にする場合で数値が異なる確率をpnとする。
lim √n pn 求めよ。
ただし、n個の実数の少数部は[0,1)区間で独立な一様分布とする。
(自作問題、収束しないかも。)
960:１３２人目の素数さん
20/01/26 02:05:14 I/KpZife.net
>>934
その関数fは入力が0～1の時しか正しくない。
だから f(sum(x)) で正しくない値が返ることがある。
961:１３２人目の素数さん
20/01/26 04:26:07 VXCChmo7.net
>>940
確かにrunifは0,1での乱数発生。
962:１３２人目の素数さん
20/01/26 04:43:25 VXCChmo7.net
小数点部分だけ考えればいいと思ったので0～1で考えればいいと思ったのだけど、これは何が間違っているんだろ？
963:１３２人目の素数さん
20/01/26 04:51:26 VXCChmo7.net
>>940
0～10で乱数発生させてシミュレーションしたら約1/3になりました。理屈は理解できてないけどｗ
> f <- function(a) {
+ x=a-floor(a)
+ floor(a)+ifelse(x<0.5,floor(x),ceiling(x))
+ }
> sim <- function(n=3){
+ x=runif(n,0,10)
+ y= numeric(n)
+ for(i in 1:n) y[i]=f(x[i])
+ f(sum(x)) != sum(y)
+ }
>
> mean(replicate(1e5,sim()))
[1] 0.33326
>
>
964:１３２人目の素数さん
20/01/26 04:55:29 I/KpZife.net
>>942
sum(x)では 0～1 の乱数を 3つ足してるから、
f(sum(x)) は 0～3 の値が入力されてる。
965:１３２人目の素数さん
20/01/26 05:07:50 VXCChmo7.net
>>939
シミュレーションだと収束しそうにない。
> sim2 <- function(n){
+ pn=mean(replicate(1e3,sim(n)))
+ sqrt(n)*pn
+ }
>
> sim2(5)
[1] 0.9995224
> sim2(10)
[1] 1.862582
> sim2(50)
[1] 5.572001
> sim2(100)
[1] 8.62
> sim2(500)
[1] 21.08612
> sim2(1000)
[1] 30.32624
>
966:１３２人目の素数さん
20/01/26 05:16:17.22 VXCChmo7.net
>>944
それと比較しているsum(y) は0か1を3個加算しているので０～３の値をとると思うんだけど。
967:１３２人目の素数さん
20/01/26 06:34:46 HSj8A8kk.net
>>935
>>945
> lim √n (1-pn )求めよ。
でしたが相変わらず
(自作問題、収束しないかも。)
です。
968:１３２人目の素数さん
20/01/26 08:15:10.09 e2GB7KH2.net
>931
３実数の和をとって四捨五入すると真の和の±0.5の範囲だけど
四捨五入して和をとると真の和の±0.5*3の範囲になるから確率は1/3という論証は間違い？
969:１３２人目の素数さん
20/01/26 10:10:10.79 PGgpdPwa.net
>>947
1-p_n
=Σ_[m=0,n] nCm ∫_(X∈[0,1/2]^n) 1_(|m/2-ΣX|≦1/2) dX
(ただし X=(x_1,…,x_n) について ΣX=x_1+…+x_n)
=2^(-n) Σ_[m=0,n] nCm ∫_(X∈[0,1]^n) 1_(|m-ΣX|≦1) dX
≒2^(-n) Σ_[m=0,n] nCm･2(nCm/2^n)
=2･4^(-n)･(2n)Cn
=(1+o(1))･2/√(πn)
から、収束するとしたら2/√π になりそう
あとは≒の所の誤差の割合がo(1)になることの証明
970:１３２人目の素数さん
20/01/26 10:53:00 HSj8A8kk.net
>>948
真ん中の値が2/3で両端が1/6ずつです。
971:１３２人目の素数さん
20/01/26 11:24:16 72k6JKXM.net
わかんねー
なんで三角錐
972:１３２人目の素数さん
20/01/26 11:30:27 q15H9faC.net
３個までなら頭で想像できるでしょ？
-1/2≦x<1/2、-1/2≦y<1/2、-1/2≦z<1/2の表す立方体の中のx+y+z>1/2とx+y+z≦-1/2の部分の体積の和。
これが三角錐二つになるのがわからなければいわゆる"x=kで切った断面積を積分"でもできるけど、この程度の図形は頭で想像できないと理系ではやってけない。
973:１３２人目の素数さん
20/01/26 12:01:44 G7gVG9Ku.net
>>931
実数の数を増やしてグラフを書いてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
974:１３２人目の素数さん
20/01/26 12:02:51 G7gVG9Ku.net
>>947
２～１００でシミュレーションしてグラフにしてみた
なんとなく収束する雰囲気はある。（振動するかもしれんけど）
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
975:１３２人目の素数さん
20/01/26 13:10:58.62 PGgpdPwa.net
>>949 の補完
A≒B ⇔ (A/B→1 as n→∞) と定める。
∫_(X∈[0,1]^n) 1_(|m-ΣX|≦1) dX = I(n,m) とおく。
中心極限定理から Σ_[m=0,n] nCm ≒ Σ_[ |m-(n/2)|≦n^(2/3) ] nCm.
これと I(n,0)≦I(n,1)≦…≦I(n,[n/2]), I(n,m)=I(n,n-m) から
Σ_[m=0,n] nCm I(n,m) ≒ Σ_[ |m-(n/2)|≦n^(2/3) ] nCm I(n,m).
また、0<m<n/2 の時 2^(1-n)･(nC(m-1))≦I(n,m)≦2^(1-n)･nC(m+1) であるが、
|m-n/2|≦n^(2/3) という制約のもとでは nC(m-1)≒nCm≒nC(m+1) (implied constant はnのみに依存) であるから、結局
Σ_[ |m-n/2|≦n^(2/3) ] nCm I(n,m)
≒ Σ_[ |m-n/2|≦n^(2/3) ] nCm･2(nCm/(2^n))
≒ Σ_[m=0,n] nCm･2(nCm/(2^n)).
976:１３２人目の素数さん
20/01/26 15:23:57 q15H9faC.net
>>954
一応この値に収束するハズの値に向かってる香りはするな。
977:１３２人目の素数さん
20/01/26 16:11:18 PGgpdPwa.net
うわ…多分I(n,m)の評価の所で色々やらかしてる…けど結論はちゃんと導けるはず
正確にやるにはおそらく、各固定された正のαに対して Σ_[ |n-m/2|≦α√n ] の範囲で和をとった時、
(i)その値のn→∞の時の挙動を、中心極限定理を使って調べる
(ii)その範囲の和と元の範囲の和 Σ_[m=0,n] の比が、α→∞の時に1に収束する
ことを示せば良い
978:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/26 16:22:29 VZduDiQU.net
前>>928
>>931
端数の平均は0.5
3つの実数の端数の平均を足すと、
0.5×3=1.5
端数の合計が0以上1未満なら四捨五入してもいっしょだけど1以上1.5未満なら四捨五入したとき異なる値になる。
(1.5-1)/1.5=0.5/1.5
=1/3
∴1/3は異なる
>>948あってるような気もするけど、違うような気もする。
>>931三角錐を描くと、
三角錐V=(1/3)Sh
=(1/3)(1/2)absinθ･h
=(1/6)abhsinθ
=(1/6)abc(h/c)sinθ
0≦h/c≦1,0≦sinθ≦1だから、
V≦(1/6)abc
三角錐は最大で3辺の積の、
1/6になる。
けど、だから3つの実数の和を四捨五入したものと3つ実数を四捨五入したものの和が異なる確率が1/3とすぐには言いにくい。
979:１３２人目の素数さん
20/01/26 16:36:40 G7gVG9Ku.net
>>948
その理屈だと確率は1/nになるけど、pnはｎの増加関数だから論証は間違いだろうな。
980:１３２人目の素数さん
20/01/26 16:38:27 G7gVG9Ku.net
>>958
実数が10個のときの確率はどうなる？
981:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/26 16:54:10 VZduDiQU.net
前>>958
>>960
端数の平均は0.5
10個の実数の端数の平均を足すと、
0.5×10=5
端数の合計が0以上1未満なら四捨五入してもいっしょだけど1以上5未満なら四捨五入したとき異なる値になる。
(5-1)/5=4/5
∴4/5は異なる
982:１３２人目の素数さん
20/01/26 17:35:19 G7gVG9Ku.net
>>961
百万回シミュレーションして頻度を出してみたら
> sim(10,1e6)
[1] 0.589245
という結果になった。
983:１３２人目の素数さん
20/01/26 22:17:24 GWa5WXip.net
I = [-1/2,1/2)
V_n,1 = {(x_1,..,x_n)∈I^n | x_1+..+x_n >= 1/2}
V_n,2 = {(x_1,..,x_n)∈I^n | x_1+..+x_n < -1/2}
|V| = Vの体積
とすると
p_n = |V_n,1| + |V_n,2|
であってる？
984:１３２人目の素数さん
20/01/26 23:34:03 3P7jTqg+.net
>>963
その視点は見逃してたわ…合ってるよ合ってる
985:１３２人目の素数さん
20/01/27 05:13:28.53 wLPfG0Jr.net
>>939 >>947
区間I=[-1/2,1/2)で一様分布する独立なn個の実数を足してもIに含まれる確率をP[n]とすると
P[n]=(1/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx
である。
例：P[3]=2/3, P[4]=115/192, P[5]=11/20,...
証明：
f[1](x)=1; (-1/2≦0<1/2)
f[1](x)=0; (otherwise)
として
f[n+1](x)=f[n]〇f[1]=∫[-∞,∞]f[n](y)f[1](x-y)dy
と置くと
P[n]=∫[-1/2,1/2]f[n](x)dx=f[n+1](0) ----(1)
ここでfのフーリエ変換をFとすると、畳み込みが積になるので
F[1](t)=sin(t/2)/(t/2),
F[n](t)=(sin(t/2)/(t/2))^n
逆変換して
f[n](x)=(1/(2π))∫[-∞,∞](sin(t/2)/(t/2))^n e^(ixt)dt
これを(1)に代入して
P[n]=(1/(2π))∫[-∞,∞](sin(t/2)/(t/2))^(n+1)dt
=(1/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx
986:１３２人目の素数さん
20/01/27 05:15:02.54 wLPfG0Jr.net
>>965 の結果より
(√n)P[n]=(√n/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx
ここで(sinx/x)^(n+1)→(1-x^2/6)^(n+1)→e^(-(n+1)x^2/6) (n→∞)だから
(√n)P[n]→(√n/π)∫[-∞,∞]e^(-(n+1)x^2/6)dx
→(1/π)∫[-∞,∞]e^(-u^2/6)du
= √(6/π)
= 1.3819...
987:１３２人目の素数さん
20/01/27 06:16:51.73 TorfSpoK.net
>>966
>954のシミュレーションは正しいみたいでほっとした。
988:１３２人目の素数さん
20/01/27 06:34:46.53 TorfSpoK.net
３～１０でのシミュレーション
> sapply(3:10,function(n) fpn(n,k=1e5))
[1] 0.66694 0.59719 0.55017 0.50919 0.47722 0.45076 0.42785 0.40860
積分値
> sapply(3:10,Pn)
[1] 0.6666603 0.5989594 0.5499998 0.5110238 0.4793651 0.4529209 0.4304178 0.4109626
989:１３２人目の素数さん
20/01/27 06:56:49.40 TorfSpoK.net
>>965
シミュレーションでn=3 のときの Pnの確率をヒストグラムにしてみたけど、これって正規分布じゃないのですね。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
990:１３２人目の素数さん
20/01/27 07:26:49.20 wLPfG0Jr.net
>>969
正確な分布関数はf[n](x)で区分n-1次多項式になる。
n=3のとき
f[3](x)=(2x+3)^2/8; (-3/2≦x<-1/2)
f[3](x)=-x^2+3/4; (-1/2≦x<1/2)
f[3](x)=(2x-3)^2/8; (1/2≦x<3/2)
n→∞の極限で正規分布に近づく。
991:１３２人目の素数さん
20/01/27 08:23:35 TorfSpoK.net
(sinx/x)^(n+1)が確率密度関数じゃないんだ。
992:１３２人目の素数さん
20/01/27 08:28:18 wLPfG0Jr.net
>>971
それは確率密度関数をフーリエ変換した関数
993:１３２人目の素数さん
20/01/27 08:59:18 FfoB/Dlb.net
>>965
おそらく正解。
私もそれで出したけど細かいチェックしてなかった。
要は特性関数からレヴィの反転定理で元に戻すとそうなりますね。
994:１３２人目の素数さん
20/01/27 09:40:58 jYDLguNL.net
>>966
うぎゃ…2/√π じゃなかったのか…シミュレーションとも（やや）合ってなかったしもっと確かめればよかった
フーリエ変換とかもっと勉強しよ
995:１３２人目の素数さん
20/01/27 12:32:33 NPrv1OWq.net
>>970
( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
996:１３２人目の素数さん
20/01/27 14:42:13 QSsw4R/8.net
>>970
すいません、誘導過程が全くわかりません。
解説されても私には理解できない予感がします。
997:１３２人目の素数さん
20/01/27 14:49:08 xfR5TH1T.net
>>976
なんで？その上にあるたたみ込み計算するだけジャン
確率密度関数は要らないがよ
998:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/27 16:15:38 1cp91WSt.net
>>760最短10秒かもしれんな。プールサイドを5秒速足で歩いて、直角に曲がって向こう側から進行方向に対して60°の方向に飛びこめば、ちょうど10秒で対角線に達する。どこから飛びこんでも10秒を超える場所はない。なんだ5+10/√3て？ 10秒超えてるじゃんねぇ。
~∩∩前>>961せ ∩∩
(-.-))めて有理 (`) )
[￣]_)化しろよ。U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ(γ)
____/＼/,,(`.`))⌒ﾞ,|
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U⌒U､___／| |
□ | ∥~U~U~￣∥ | /
____| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_______∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣
999:１３２人目の素数さん
20/01/27 16:28:13 QSsw4R/8.net
俺もフーリエ変換とかもっと勉強しよ
1000:１３２人目の素数さん
20/01/27 16:43:36 t+jrfUAN.net
発展形。
Xiが平均0のiidで2次のモーメント(=分散)σ^2=E(X^2)を持つとする。
a>0を正の定数とし
pn=P(|ΣXi|>a)
とおくとき
lim √n(1-pn)=√(2/π)a/σ
を示せ。
自作問題。
またまた自信はない。
1001:１３２人目の素数さん
20/01/27 16:55:04 QSsw4R/8.net
正解は正直者なしなので、それを論証したい方のみお考えください。
正解がないように問題を作成したつもり。
AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、誰が正直者か嘘つきかはお互いに知っている。
A,B,C,D,Eは嘘つきなら必ず嘘をつくが、F,G,Hは嘘つきでも正しいことを言う場合がある。
次の証言から誰を確実に正直者と断定できるか？
A「嘘つきの方が正直者より多い」
B「Hは嘘つきである」
C「Bは嘘つきである」
D「CもFも嘘つきである」
E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
G「Eは嘘つきである」
H「AもFも正直者である」
1002:１３２人目の素数さん
20/01/27 17:01:18 QSsw4R/8.net
>>980
iidって
independent identical distribution?
1003:１３２人目の素数さん
20/01/27 17:27:24 t+jrfUAN.net
正解は解なしで解答不能じゃないの？
確かにないみたいだし。
1004:１３２人目の素数さん
20/01/27 17:27:48 t+jrfUAN.net
>>982
yes
1005:１３２人目の素数さん
20/01/27 17:31:46 t+jrfUAN.net
>>980
あ、各分布は連続分布関数を持つはいるかもしれない。
いらないかもしれない。
1006:１３２人目の素数さん
20/01/27 17:54:36 QSsw4R/8.net
>>983
つまり、
解答不能を論証する問題
1007:１３２人目の素数さん
20/01/27 18:16:48 t+jrfUAN.net
>>986
プログラム組んでみたらないみたいですな。
1008:１３２人目の素数さん
20/01/27 18:24:11 t+jrfUAN.net
(a,b,c,d,e,f,g,h)=((!!0),(!!1),(!!2),(!!3),(!!4),(!!5),(!!6),(!!7))
nOfLiers x = length $ filter (==False) x
nOfHonests x = length $ filter (==True) x
asay x = (nOfLiers x) > (nOfHonests x)
bsay x = not $ h x
csay x = not $ b x
dsay x = (not $ c x) && (not $ f x)
esay x = nOfLiers x>=1
fday x = nOfLiers x>=2
gsay x = not $ e x
hsay x = (a x) && (f x)
xs = (!!8) $ iterate (\x->[a:b| a<-[True,False],b<-x]) [[]]
isFitToTheySaid x = all (==True) $ map (\y-> y x) [asay, bsay,csay,dsay,esay,fday,gsay,hsay]
fits = [x|x<-xs,isFitToTheySaid x]
main = do
print $ length fits
----
0
1009:１３２人目の素数さん
20/01/27 18:30:51 YG6teE6r.net
あ、間違い。
15行目
isFitToTheySaid x = all (==True) $ zipWith (==) x $ map (\y-> y x) [asay, bsay,csay,dsay,esay,fday,gsay,hsay]
どのみち0。
1010:１３２人目の素数さん
20/01/27 18:36:21 72GikKsS.net
>>981
G と E だけ抜き出すと、
> E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
> G「Eは嘘つきである」
E が正直で G が嘘つきで嘘を言ってた場合、
この組の発言は他に影響を与えないし依存もしていないので
他の 6人の発言に矛盾があろうとなかろうと
E は正直というのは駄目？
1011:１３２人目の素数さん
20/01/27 18:45:10 QSsw4R/8.net
>>980
Yiを平均＝分散＝７のポアソン分布として Xi=Yi-7 （平均を０にするため）、a=3、qn = P(|ΣXi|<a) （1-pnをｑｎとした）として√(n)*qnをグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
√(2/π)a/σ= 0.9047161 だけど、収束する様子がない。
離散分布だと成立しないのかも？
1012:１３２人目の素数さん
20/01/27 18:54:26 VuOY61Uq.net
>>980
各Xiを, {-1,1}のどちらかの値をそれぞれ確率1/2でとる確率変数と定めると, a=0.5 と定めた時に
nが奇数なら 1-p_n=0 になる一方, nが偶数なら 1-p_n=2^(-n)･nC(n/2)≒√(2/(πn)) になるから, 成り立たなさそう
連続分布関数に限定すればおそらく同じような問題は起きないぽいけど, これが本当に十分条件かは自信ない…
1013:１３２人目の素数さん
20/01/27 19:12:14 YG6teE6r.net
>>989
また訂正
fday x = (not $ f x) || (nOfLiers x>=2)
gsay x = (not $ g x) || (not $ e x)
hsay x = (not $ h x) || ((a x) && (f x))
fが言ったのは
私は嘘つきか嘘つきの数は2以上
ね。
1014:１３２人目の素数さん
20/01/27 19:14:07 YG6teE6r.net
>>991-992
分布関数が不連続の点ではレヴィの反転定理が成立しないので今持ってる証明だと成立しない可能性はありますね。
今持ってる証明が正しい保証もないけどw
1015:１３２人目の素数さん
20/01/27 19:16:43 QSsw4R/8.net
>>988
>プログラム組んでみたらないみたいですな。
いつも華麗なコードをありがとうございます（使わないのでHaskellはほぼ忘れておりますが）
実際、正解がないようにプログラムで作ったので、他の言語でそれが確認されて光栄。
珍しく、魔法の呪文のようなHaskellのコードの長さがRと同程度なのには驚き。いつも数十行のRコードをHaskell数行で実行されちゃいますので。
TE=expand.grid(0:1,0:1,0:1,0:1,0:1,0:1,0:1,0:1)
colnames(TE)=LETTERS[1:8]
f <- function(x){
all(c(
x[1]==1 & sum(x==0)>sum(x==1) | x[1]!=1 & !(sum(x==0)>sum(x==1)),
x[2]==1 & x[8]==0 | x[2]!=1 & x[8]!=0,
x[3]==1 & x[2]==0 | x[3]!=1 & x[2]!=0 ,
x[4]==1 & (x[3]==0 & x[6]==0) | x[4]!=1 & !(x[3]==0 & x[6]==0),
x[5]==1 & sum(x==0)>=1 | x[5]!=1 & !(sum(x==0)>=1),
x[6]==1 & sum(x==0)>=2 | x[6]==0,
x[7]==1 & x[5]==0 | x[7]==0,
x[8]==1 & (x[1]==1 & x[6]==1) | x[8]==0
))
}
TE[apply(TE,1,f),]
1] A B C D E F G H
<0 rows> (or 0-length row.names) ＃ 0 行＝ありませんという表示
1016:１３２人目の素数さん
20/01/27 19:20:36 jyV1bY+U.net
>>974
多分フーリエ変換よりもこういうの勉強した方が理解につながるかと
URLﾘﾝｸ(my.reset.jp)
1017:１３２人目の素数さん
20/01/27 19:28:57 VuOY61Uq.net
あとこれは本当に興味本意だけど, 例えば
各Xiを集合{-1, 1-√2, √2}上の離散一様分布とした時に同じ主張が成り立つか, というのは興味がある
あくまで離散的だけど, 畳み込みする毎に中央あたりがどんどん"密"になっていく訳だから…
1018:１３２人目の素数さん
20/01/27 19:38:48 QSsw4R/8.net
>>990
6人の発言に矛盾があったら、E＝正直、G＝嘘つきの前提が成立しなくなるよ。
1019:１３２人目の素数さん
20/01/27 19:43:56 VuOY61Uq.net
>>996
ありがてえ…わかりやすい
1020:１３２人目の素数さん
20/01/27 20:06:25 EX13BAvY.net
（ ・∀・）＜ そろそろ次スレ
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