20/01/21 03:47:08.74 WFhY3+vZ.net
前>>771
斜め45°に飛びこむとき、じゅうぶん速くてびっくりした。
斜め40°から斜め50°のとき、意外な極値があるかも。
>>760
814:１３２人目の素数さん
20/01/21 05:24:17.87 4VohdIcv.net
1～5の自然数が書かれた5枚のカードを、A～Eの生徒5人に先生が1枚ずつ配った。
5人はそれぞれ自分のカードの数は分かるが、他の人のカードの数はわからない。
また、先生は誰の数もわからない。
さて、先生とA～Eとの間で次のような会話があった。
なお、全員正直者であり、後から答える人は先の会話を聞いて参考にしている。
先生「Aさん、誰が1番大きい数ですか？」
A「わかりません」
先生「Bさん、あなたはCさんよりも大きい数ですか？」
B「わかりません」
先生「Cさん、あなたはDさんよりも大きい数ですか？」
C「わかりません」
先生「Dさん、あなたはBさんよりも大きい数ですか？」
D「○○○○○」
先生「Bさん、あなたはCさんよりも大きい数ですか？」
B「いいえ」
先生「たった今、皆さんの数がわかりました」
問1、○○○○○に入る言葉は「はい」「いいえ」「わかりません」のどれか？
問2、A～Eの数は何か？
815:イナ
20/01/21 06:41:12.31 WFhY3+vZ.net
>>773前>>772
1 いいえ はい
2 A 3 4 3 2
B 2 2 4 4
C 4 3 2 3
D 1 1
E 5 5 出番なし
816:１３２人目の素数さん
20/01/21 06:42:13.56 Y0gh5JcA.net
x>0で
0^x=0
x^0=1
0^0=1とするのはその方が0でも辻褄が合う法則が多いから？
0の偏角は不定？それとも0?
偏角が0なら実数という法則を成立させるには0の偏角=0と定義でいいと思うけど。
817:１３２人目の素数さん
20/01/21 06:46:16.71 Y0gh5JcA.net
>>759
イナさんの芸風は楽しみにしています。
お気になさらず続けてください。
読みたくない人はコテハンをNGに設定すればいいだけですから。
818:１３２人目の素数さん
20/01/21 08:29:21.13 udoX+djG.net
>>775
0個の物から重複を許して0個取り出して並べる順列は1通りだけど,これは0^0通りとも計算できるから,0^0=1
実数に対しては色々定義がありうるけど基数としては明確に定まる
819:１３２人目の素数さん
20/01/21 09:47:53 Y0gh5JcA.net
>>760
プログラムを組んで
Oの位置にいる監視員がZで溺れている人に到達する時間を 経路OZ, OXZ, OPYZ, OPQRZ で計算してみると。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
場所によって最短到達経路に違いがでる。
(5,5)だとOXZで6.8秒,(8,9)だとOPYZで11.2秒が最短になった。
820:哀れな素人
20/01/21 09:56:57 dWPrQnYr.net
>>773
問1 「いいえ」
問2 A=3か4 B=2 C=3か4 D=1 E=5
Dは1か5。なぜなら明確に答えられるのは1か5のカードを持っている生徒だけだから。
しかしBが「いいえ」と答えたということはD=1、B=2。
A、B、Cがいずれも「分りません」と答えたということはE=5。
今のところ、AとCのカードは不明。
821:１３２人目の素数さん
20/01/21 10:08:46 udoX+djG.net
>>775
原点を通って偏角一定の曲線（＝直線）を考えると0の偏角を0にしちゃうと原点で偏角が不連続になるからまずい
822:哀れな素人
20/01/21 10:12:29.11 dWPrQnYr.net
>>773
やや訂正。次のような場合もある。
問1「分りません」
問2 A=1 B=2 C=? D=? E=5
823:１３２人目の素数さん
20/01/21 10:24:39 Y0gh5JcA.net
>>778
バグ発見したので図以外は>778は撤回します。
824:哀れな素人
20/01/21 10:44:36 dWPrQnYr.net
>>773
分った。
問1 「はい」
問2 A=1 B=2 C=3 D=4 E=5
Bは1でも5でもないと分るから、Bは2か3か4。
Dが4を持っていれば確実に「はい」と答えることができる。
825:１３２人目の素数さん
20/01/21 12:57:25 NlSt5Qji.net
>>739
r=1/a まで来たらあとは直進ですか。
>>751 >>753 にありますね。
Aが逆転すれば、Bはその時のOBに垂直な向きに進む。
逆転がない場合は
Aの進む距離 (弧長) はπ+θ、Bの進む距離 (半弦) は sinθ
ここに、中心角θ = arccos(1/a)
逃げ切り条件：
tanθ - θ = a･sinθ - θ < π (0<θ<π/2)
から
θ < 1.35181680431927
a = 1/cosθ < 4.6033388487517
π+1 = 4.1416 より大きい 。
826:１３２人目の素数さん
20/01/21 13:11:35 9Sn3mJld.net
おぉ、出ましたね。
a/bの臨界値のための方程式。
元サイトではその数値出せば正解です。
のでそれで終わりでもいいし、興味ある人は
a/b>4.6033‥のときのAの補足戦略と
a/b<4.6034..のときのBの逃走戦略
に挑戦してみてはどうでしょうか？
元サイト
URLﾘﾝｸ(www.research.ibm.com)
827:１３２人目の素数さん
20/01/21 13:23:03 Y0gh5JcA.net
作図と計算をやり直してみた。
原点Oの監視員がZにまで達する時間と経路別に計算
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
Zの座標から各経路での最短時間を計算させて表示。
> sim(7.9+7.9i,print=F)
OZ PZ QZ RZ OXZ OUZ ORWZ OPYZ OPQWZ
11.17229 13.17435 12.96985 13.17435 10.79160 10.79160 10.76865 10.76865 12.86865
座標を0.1区切りで組み合わせたら最短時間がもっとも大きいのが上記であった。
経路は座標が（7.9,7.9)のときOPYZ（またはORWZ)の経路で最短でも10.76秒かかるという結果になった。
828:１３２人目の素数さん
20/01/21 13:53:12.95 NlSt5Qji.net
>>773
A<5, B≠1,5, C≠1,5
・D=5 なら D「はい」
・D=1 なら D「いいえ」
・2≦D≦4 のとき
A=1, {B,C,D} = {2,3,4} E=5
D=4 ならD「はい」
D=2 ならD「いいえ」
∴D「分かりません」はD=3のみ。
B「いいえ」 より B=2, C=4
>>779
D「いいえ」の場合
A=1, {B,C}={3,4}, D=2, E=5
もある。
>>781
A=1, B=2, C=3, D=4, E=5
ならD「はい」
>>783
D「はい」の場合
D=5 もある。
829:イナ
20/01/21 14:02:00.34 WFhY3+vZ.net
前>>774先生は「わかりません」と言えなかったんだね。
>>771斜め45°に飛びこんだほうが速いと思う。
20(6+7√2)/31
=10.2577387(秒)
830:１３２人目の素数さん
20/01/21 14:10:50.45 9Sn3mJld.net
プールのやつは>>764さんの
5+10/√3=10.773502691896...
だろ？
831:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/21 14:30:17 WFhY3+vZ.net
20(6+7√2)/31
=10.2577387(秒)
>>789見てないのか？ コンマ5以上速いぞ？ まだもっと速い角度で飛ぶ奴いる気がして探してるけど。前>>788
832:１３２人目の素数さん
20/01/21 14:34:03 9Sn3mJld.net
ふっと考えたんだけど>>764さんの数値と>>786さんの数値がまぁまぁ離れてるのはなるほどですな。
本物はその地点までの最短到達時間を三次元的なグラフにした場合を考えると各格しだピラミッドみたいな形になる。
いわゆる微分可能な関数の極直ではないからモンテカルロやメッシュがあまりいい数値を出せないんだな。
833:１３２人目の素数さん
20/01/21 14:37:45 9Sn3mJld.net
>>790
何度で飛び込むのが最適かすら間違ってるのに読む気になどならない。
834:１３２人目の素数さん
20/01/21 15:42:18 Y0gh5JcA.net
> pm[apply(pm,1,Yes),]
[1] 1 2 3 4 5
> pm[apply(pm,1,No),]
[1] 1 3 4 2 5
> pm[apply(pm,1,DK),]
[1] 1 2 4 3 5
はい で 1 2 3 4 5
いいえ で 1 3 4 2 5
分からんで 1 2 4 3 5
835:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/21 15:43:35 WFhY3+vZ.net
前>>790
45°は勘だけど、じゅうぶん速かった。
ほかに10.25秒台は出てない。
初め90°出して次に30°出していっしょだな、と。
コンピューターの図があるレスもそこの数値は同じだと出てる。
あいだだ。10.2577387秒が今のところ最速。
3:4:5は11.0819419
836:秒かかる。 4:3:5は10.868秒かかる。
837:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/21 16:27:37 WFhY3+vZ.net
前>>794
√3:1:2のとき、60°で飛ぶ奴は10.53849秒。一様分布じゃないみたい。
あいだにある4:3:5が遅くて45°が逆に速い。なぜかはわからん。
46°～50°があるいは。
たぶん距離の影響と速さの影響の兼ね合いではないかと思う。
838:１３２人目の素数さん
20/01/21 16:39:01 Y0gh5JcA.net
>>761
お手数ですが、この不等式の導入法を解説していただけませんか？
839:１３２人目の素数さん
20/01/21 16:43:00 Y0gh5JcA.net
>>760
グリッドつくって等高線表示させてみた
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
840:１３２人目の素数さん
20/01/21 16:45:11 uUzv/iS9.net
>>785
あ、元サイトってパズルの国のアリスじゃなかったのか。
URLﾘﾝｸ(www.nikkei-science.com)
841:１３２人目の素数さん
20/01/21 17:04:17 Y0gh5JcA.net
>>797
3D グラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
842:１３２人目の素数さん
20/01/21 17:10:23 B4OFa3kR.net
>>640
>>785
π＋1を正解にしてるサイトもある
URLﾘﾝｸ(www.arp-nt.co.jp)
843:哀れな素人
20/01/21 17:11:22 dWPrQnYr.net
>>787
なるほど。
844:１３２人目の素数さん
20/01/21 17:22:59 Y0gh5JcA.net
グリッド幅を狭くしていったら
(7.88675135,7.88675135)のときに10.77350269秒が最大という計算になった。
5+10/√3＝10.77350269189625764509148780501957455647601751270126876018...
に一致していて、プログラムは正確みたいでほっとした。
俺には理論はわからないけどｗｗｗｗ
845:１３２人目の素数さん
20/01/21 17:28:50 Y0gh5JcA.net
>>795
>なぜかはわからん。
多分、風が吹いているんじゃないの？
馬耳東風という風がｗｗｗ
846:１３２人目の素数さん
20/01/21 18:20:00 Y0gh5JcA.net
オリンピックのプールと世界最高記録を使って計算してみた。
オリンピックサイズ・プール50m*25m
水泳100m自由形 46秒91
陸上100m9秒58
座標(40.101, 15.1077)に 0.77933776秒で達するのが最長と算出された。
847:１３２人目の素数さん
20/01/21 18:22:24 9Sn3mJld.net
>>794
アホかいな。
正解もう出ててその数値より早いという事は経路の選択も所用時間の計算も両方間違ってるんだよ。
848:１３２人目の素数さん
20/01/21 18:23:30 Y0gh5JcA.net
>>804
コピペのミス
秒数は
OXZ
[1] 10.77933776
849:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:02:51 LzNLfIhD.net
>>760
プールを 0<x<10,0<y<10 と座標設定。
(a,b) に向かうとする。ただし、0<b<a<10
考えるべき方法は次の(a)～(c)で、それぞれ必要な時間を最後に記すと
(a)原点から直接(a,b) この時、必要な時間は、sqrt(a^2+b^2)
(b)(x,0)まで行ってそこから(a,b)へ この時、必要な時間は、x/2+sqrt((a-x)^2+b^2)
極値を取るのはx=a±b/√3だから、プラスを取って代入し、a/2+((5/6)√3)b
(c)(0,0)→(10,0)→(10,y)→(a,b)へ この時、必要な時間は、5+y/2+sqrt((10-a)^2+(b-y)^2)
同様に、y=b-(1/√3)√(a^2-20a+100)の時、(√3/2)(10-a)+5+b/2
(a,b)地点によって、最適な方法が変化する。図示は某所に下式を入力して欲しい。
min{√(a^2+b^2),a/2+((5/6)√3)b,(√3/2)(10-a)+5+b/2} 0<a<10,0<b<10
最も時間がかかる場所は、方法(a)と方法(c)で必要な時間が同じで、かつ、x=y上
つまり、sqrt(a^2+b^2)=(√3/2)(10-a)+5+b/2,a=b を解いて
a=b=10(-2+√3+2√(2-√3))=7.6732698797896034292...
必要な時間は上の値の√2倍で10(√3-1)(2-√(2-√3))=10.8516423317474258765...
850:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:13:42 Y0gh5JcA.net
>>807
極値を取るのはx=a±b/√3 これで√3がでてくる理由がわかりました。
ありがとうご�
851:ｴいした。
852:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:28:25 9Sn3mJld.net
>>802
それはホント？
本問微分可能関数の極値ではなく、誤差はグリッドから真の極小点までの距離に正比例する。
例えば誤差を5桁、にしようと思えばグリッド巾は10^(-5)、メッシュ数は10^10の100億個取らないといけない。
比例定数が幾ばくか助けてくれたとしても本問単純なモンテカルロ法やメッシュ法でそこまでの精度が出るとは思えないんだけど。
853:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:31:54 Y0gh5JcA.net
>>809
荒いグリッドで極値を与えるx, yの近似値がでてくるからそれを挟むように次の計算で
グリッドの上限と下限を狭くしていけばいい。
人間ニュートンハフソンン法ｗ
x=seq(40.099,40.101,by=0.0001)
y=seq(15.107,15.109,by=0.0001)
854:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/21 19:33:27 WFhY3+vZ.net
前>>795
周りが遅いから今は俺が最速なだけ。もっと速い角度がないか探してる。
855:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:36:38 9Sn3mJld.net
>>810
ニュートンラフソン使うなら極値をとる点なり、極値そのものを与える方程式なりがわかってるのが大前提で>>802はそうでなく単純なメッシュ法で求めたんでしょ？
そもそも本問極値を求める方程式はただの一次方程式にしかならないんだからニュートンラフソンもへったくれもないよ。
856:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:36:48 Y0gh5JcA.net
>>809
［０，１００］を１００分し４０が返ってきたら次は[３９，４１]を１００分して４０．０を得る。
その次は[３９．９,４０．１」を１００分する。この繰り返し。
もとの正方形プールの10.77350269秒はそうやってもとめた。
857:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:38:45 9Sn3mJld.net
>>813
なるほど。
全領域をメッシュしたんじゃないのか。
それならできるな。
納得しました。
858:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:40:11 Y0gh5JcA.net
>>812
いや、時間を求める関数はわかっているよ。
複素平面で絶対値を計算して速度で割っただけ。
関数化するとこんな感じ。
f=function(x) x/vs + abs(x-z)/vw
あとは、ニュートン法でRに最小値の数値解をださせるだけ。
859:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:47:14.09 9Sn3mJld.net
>>800
でもこの問題問題文の文章からして正解は>>784の4.6033388‥だと思う。
やはり数学的に厳密に解釈しようとすれば>>754のようにならざるを得ないし、だとすると正解は>>784になるしかないと思う。
多分そのサイトの解答はa/b>π+1のとき捕獲可能であるの証明に誤りがある(Bの最適な逃走戦略を見つけきれてない)のだと思う。
そのサイト答えがπ+1としか書いてないからわかんないけど。
860:１３２人目の素数さん
20/01/21 20:46:55 i1LLIpbZ.net
他人の解答を見る気はないって言ってるからほっとくしかないんだろうが、
監視員から(8m,8m)にかかる時間を計算すればいい。>>788よりかかるぞ
861:１３２人目の素数さん
20/01/21 20:55:34 Y0gh5JcA.net
>>817
最後は監視員がプールの水を抜いて最速は１０秒という答を出すのだと思うんだんが。
862:１３２人目の素数さん
20/01/21 20:57:41 Y0gh5JcA.net
>>818
１０秒じゃなくて５√２秒（＝7.071秒）だった。
863:１３２人目の素数さん
20/01/21 21:07:46 9Sn3mJld.net
>>807はイナ？
864:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/21 21:20:07 WFhY3+vZ.net
前>>811
>>760問題。
>>771を再度検証する。
プールの端を直角に折れて斜め45°に飛びこむ場合。
プールの対角線上のじゅうぶん遠いところに、救出に最長時間が必要な地点があると考える。
x秒かかるとすると最初に監視員がいるコーナーからx(m)離れている。
縁を端まで行くと10/2=5(秒)かかる。
コーナーで折れて最長時間が必要な救出地点を斜め45°に見る縁まで、
{x/√2-(10-x/√2)}/2
=x/√2-5(秒)
水に入って(10-x√2/2)√2(秒)泳ぐ。
救出時間で等式を作ると、
5+x/√2-5+(10-x√2/2)√2=x
x/√2+10√2-x=x
10√2=(2-1/√2)x
分母を払って、
20=(2√2-1)x
x=20(2√2+1)/7
=10.93835060……(秒)
＜10.53849……(秒)
60°のときに及ばない。
やっぱり一様分布か。
865:１３２人目の素数さん
20/01/21 21:32:26 m9UBU6An.net
>>777
#A^#B=#A^B=#{f:B→A}
0^0=#Φ^Φ=#{f:Φ→Φ}=1
866:１３２人目の素数さん
20/01/21 21:34:29 m9UBU6An.net
>>775
>偏角が0なら実数という法則を成立させるには0の偏角=0と定義でいいと思うけど。
０の偏角に０が有ればいい�
867:ﾅしょ
868:１３２人目の素数さん
20/01/21 22:00:02.52 LzNLfIhD.net
>>807
答えが異なっていたのでアップしたが、致命的なミスを発見
×：極値を取るのはx=a±b/√3だから、プラスを取って代入し、a/2+((5/6)√3)b
○：極値を取るのはx=a±b/√3だから、マイナスを取って代入し、(1/2)a+((√3)/2)b
これにより、以下も訂正
×：min{√(a^2+b^2),a/2+((5/6)√3)b,(√3/2)(10-a)+5+b/2} 0<a<10,0<b<10
○：min{√(a^2+b^2),(1/2)a+((√3)/2)b,(√3/2)(10-a)+5+b/2} 0<a<10,0<b<10
×：最も時間がかかる場所は、方法(a)と方法(c)で必要な時間が同じで、かつ、x=y上
×：つまり、sqrt(a^2+b^2)=(√3/2)(10-a)+5+b/2,a=b を解いて
○：最も時間がかかる場所は、方法(b)と方法(c)で必要な時間が同じで、かつ、x=y上
○：つまり、(1/2)a+((√3)/2)b=(√3/2)(10-a)+5+b/2, a=b を解いて
○：a=b=5+5/√3=7.88675...、時刻は5+10/√3=10.77350269...
869:１３２人目の素数さん
20/01/21 22:41:06 Y0gh5JcA.net
対角線上でも最短時間のルートが青から赤に突然変わる。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
870:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/21 22:59:49 WFhY3+vZ.net
前>>821
縁から60°方向に飛びこむとき、救出時間で等式を作ると、
5+{x/√2-(10-x/√2)/√3}/2+(10-x/√2)(2/√3)=x
分母を払って、
10√6+x√3-10√2+x+40√2-4x=2x√6
10√6+30√2=x(2√6+3-√3)
x=(10√6+30√2)/(2√6+3-√3)
=10.8516423……(秒)
45°は超えたけどなぁ。これ以上は、もしや手前から飛びこむか。プールサイド2倍速で走ってこけてもなんにもならんからね。
871:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/21 23:29:27 WFhY3+vZ.net
前>>826
>>751
いい勘してる。さすが俺。
4.6倍かぁ。すごいね。
その速さを引きだしたBもたいしたもんだ。
872:１３２人目の素数さん
20/01/22 01:48:55 xZx9jgfS.net
>>784
π = tanθ -θ
= cot(π/2 -θ) -θ
≒ 1/(π/2 -θ) -(π/2 -θ)/3 - θ
= 1/(π/2 -θ) -(1/2)π +(2/3)(π/2 -θ),
より2次方程式
(2/3)(π/2 -θ)^2 -(3/2)π(π/2 -θ) +1 = 0,
これを解いて
(π/2 - θ) = 0.218991
θ = 1.351805
マクローリン展開
cot(x) = 1/x -(1/3)x -(1/45)x^3 -(2/945)x^5 - ････
873:１３２人目の素数さん
20/01/22 02:08:58 vRiVJkwC.net
1/cos(1.351805)=4.60309‥‥
その近似だと求められてる6桁一致までいかないね。
874:イナ
20/01/22 04:50:53.85 it61/f5D.net
前>>827縁と水中の速度比が2:1だからカットする縁と水中の距離の比が1:2になる最適な地点から最適な角度で飛びこむとかなりのタイムを期待できる。救出時間で等式を作ると、
5+{x/√2-(10-x/√2)/2}/2+(10-x/√2)(√5/2)={x/√2-(x/√2)/2}/2+(x/√2)(√5/2)
分母を払って、
20√2+2x-10√2+x+20√10-2x√5=2x-x+2x√5
30√2=-2x+4x√5
15√2=(2√5-1)x
x=15√2(1+2√5)/19
x=(15√2+30√10)/19
=6.10955438……(秒)
＜10.8516423……(秒)
速すぎる。わからん。
875:１３２人目の素数さん
20/01/22 07:58:37 jM4eJElw.net
対角線上が到達に一番時間がかかることが分かったけど
監視員の近くにいればプールサイドを通らず直接ジャンプして水中を進めばいいんじゃないかと思う。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
図でいうと青のOXZ1でなくて緑のOZ3を選択。
どれくらい近くだと直接ジャンプすべきかをプログラムで探索させたけど直接ジャンプの方が時間がかかるようだ。
プールサイドの歩行速度が遅ければ直接ジャンプの方が速いはずと考えて探索させると
水泳速度を１として歩行速度が√２以下なら監視員の近くは直接ジャンプが速いようだ。
√２が正しいのか、どれくらい近ければ直接ジャンプすべきなのかは、また後で考える。
876:１３２人目の素数さん
20/01/22 09:02:44 /I6vaW/w.net
>>826
プールの水を凍らせてスピードスケートにすれば最速だよね。
877:１３２人目の素数さん
20/01/22 13:36:03 crsPene3.net
>>760の問題はどっかのAO入試の問題らしいけどどこのなんだろ？
程よい解き心地の良問だね。
このスレの住人には結構受かりそうにないのがいるなww
878:１３２人目の素数さん
20/01/22 14:15:23 MGz/KyFY.net
自分は立式や最適な飛び込み角度を考えるのに、ホイヘンスの原理やスネルの法則を考えたな
879:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/22 14:19:35 it61/f5D.net
わかったかも。前>>830最適な角度で飛びこんで10.85を切る。救出時間で等式を作ると、
5+{x/√2-(10-x/√2)(1/t)}/2+(10-x/√2)√(1+t^2)/t)=x
分母を払って、
10t√2+2tx-20√2+x+10√130-2x√(1+t^2)=2tx√2
x=
あとは5秒以内にこっち側の縁から飛びこんで連立。
目標。
x=10.7……(秒)
＜10.8516423……(秒)
880:１３２人目の素数さん
20/01/22 14:20:40 FzGnA9Ra.net
そうだな。
スネルの法則知ってれば最速到達の経路は一瞬で出る。
でもAO入試でスネルの法則よりって書いて許してもらえるか微妙だから法則で求めた領域が正しい事の検証の論述は必要だろうけど、それでもまともに円の通過領域求めたり所要時間最小の角度を微積で求めたりするよりははるかに楽になるね。
881:１３２人目の素数さん
20/01/22 14:21:49 sJxssOgt.net
>>835
残念ながらわかってない。
やり直し。
882:１３２人目の素数さん
20/01/22 14:56:09 jM4eJElw.net
>>833
検索したら東京工業大学。
うかりそうもない計算マニア？は東京大学卒の芸人と聞いております。
883:１３２人目の素数さん
20/01/22 15:31:17 99kbu1Vi.net
>>838
そうなんだ。thx
884:１３２人目の素数さん
20/01/22 15:35:12 Zb3S28FJ.net
>>838
ホントだ。2007年みたいですね。
885:１３２人目の素数さん
20/01/22 17:44:16 jM4eJElw.net
プールの中の対角線上の点だけを考える
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
緑のOZがroute 1 青のOXZをroute 5 赤のOPYZをroute 7 として（番号は区別さえできればなんでもいい）
対角線上のｘ座標(=y座標同じ)とプールサイドの走行速度（陸上速度）をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
対角線上の位置に関わらず走行速度がある値（多分√２）以下では直接プールに飛び込むのが最速。
それ以上になると
プールサイドの１辺の途中からプールにジャンプ(OXZの青ルート）
か
プールサイドの２辺めの途中からプールにジャンプ（OPYZの赤ルート）
になるようだ。
青ルートと赤ルートの境界をグラフにしたのが
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
以上、本日の観察日記でした。
886:１３２人目の素数さん
20/01/22 17:55:14 l1lTbxJu.net
>>841
> 青ルートと赤ルートの境界をグラフにしたのが
2つのルートの境界線は>>799の通り角から伸びる直線
887:１３２人目の素数さん
20/01/22 18:14:54 jM4eJElw.net
Bが円周を描き続けるのは反則負けだとしても、こういうふうに渦巻曲線を描いて円周に近づいてAのスキを見計らって円周に直行すれば捕まらない気がする。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
888:１３２人目の素数さん
20/01/22 19:34:22.59 jM4eJElw.net
>>842
>841の曲線グラフは横軸が対角線上の点の座標(x=yの点の値)
縦軸は陸送速度0.5から4m/秒で描いてみた。
>799はプールの座標で縦横10m
889:１３２人目の素数さん
20/01/22 20:14:35 7n0H2YC6.net
>>843
それBは初期状態よりも不利になってるよね
890:１３２人目の素数さん
20/01/23 01:16:24.21 L8diiD+d.net
>>828 を改良
π = tanθ - θ = cot(π/2 -θ) - θ ≒ 1/(π/2 -θ) -θ
より
π/2 - θ ≒ 1/(π+θ) ≒ 2/(3π) = 0.2122
(1/45)(π/2 -θ)^2 ≒ 0.001
ここまで準備して
π = tanθ -θ
= cot(π/2 -θ) -θ
= 1/(π/2 -θ) -(1/3)(π/2 -θ) -(1/45)(π/2 -θ)^3 -θ
= 1/(π/2 -θ) -(1/2)π +(2/3)(π/2 -θ) -(1/45)(π/2 -θ)^3
≒ 1/(π/2 -θ) -(1/2)π +(2/3 - 0.001)(π/2 -θ),
より2次方程式
(2/3 -0.001)(π/2 -θ)^2 -(3/2)π(π/2 -θ) +1 = 0,
これを解いて
(π/2 - θ) = 0.2189803
θ = 1.35181605
a = 1/cosθ = 4.603323
891:イナ
20/01/23 02:30:32.78 wc6308KN.net
前>>835
こっち側の縁から飛びこんで直角に飛びこむよりもショートカットするときの水中と縁の辺の比を1:tとすると、
x={x(1-t)/√2}/2+x√(1+t^2)/√2
2√2=1-t+2√(1+t^2)
t+2√2-1=2√(1+t^2)
t^2+2(2√2-1)t+9-4√2=4t^2+4
3t^2-2(2√2-1)+4√2-5=0
t={2√2-1+√(9-4√2-12√2+15)}/3
={2√2-1+√(24-16√2)}/3={2√2-1+2√(6-4√2)}/3
={2√2-1+2√(6-2√8)}/3
={2√2-1+2(√4-√2)}/3
={2√2-1+2(2-√2)}/3
={2√2-1+4-2√2)}/3
={2√2+3-2√2)}/3
=1
あれ？ 45°かぁ。
45°より60°のほうが速かったはず。あいだのt=4/7ぐらいでぎりぎり10.7秒台が出るか思たけど。
60°─x=10√6+30√2)/(2√6+3-√3)
=10.8516423……
45°─x=20(2√2+1)/7
=10.93835
892:…… 今日はここまで。
893:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/23 05:26:29 wc6308KN.net
前>>847
向こう縁から1:t:√(1+t^2)の直角三角形を描くようにショートカットするとき、救出時間は、
5+{x/√2-(10-x/√2)t}(1/2)+(10-x/√2)√(1+t^2)
これを=xとおいてよいかどうかがわからない。
=xとおいて解くと、
x=20√2･√(1+t^2)/{2√2-1-t+2√(1+t^2)}
x'の分子=0とすると、
4t-t√2+√2=0
|t|=(1+2√2)/7
=0.546918161……
x=10√(58+4√2)/(6-2√2+√(29+2√2))
=9.05288297……(秒)
まぁ迅速な値。
894:１３２人目の素数さん
20/01/23 07:15:39 eYMUSSWZ.net
>>845
AもBも定速で常時動いているけど、いつでも向きを変えることができるから最高速度までは実質速度可変ってことを見逃していました。
895:１３２人目の素数さん
20/01/23 10:17:48 uX5Gp1Sm.net
半径a/bの円より外側の地点から外に出てしまうとBはAとの偏角差を0にされたらアウトです。
そこから以降はAはBと偏角のが0になるようにだけしていればBは脱出できません。
フェイントかけてAを出し抜くとかは無しです。
そんなの許してしまうとどんなに速度差があっても脱出可能になって数学の問題にならないので、それが無しは暗黙の了解でしょう。
896:１３２人目の素数さん
20/01/23 11:52:44.65 yJ0QfnuX.net
そもそもAもBもその時点で選べる戦略が、ちょうどその時点（まで）の挙動に依存して良いという前提なら、
二人の戦略が競合する場合があるんだよなあ
多少ネタバレになるかもだけど、例えば速度a>1の点A(-1,0)と速度1の点B(1/a,0)がそれぞれ
A: 三点B,O,Aが常に一直線上に来るように動く。
B: 最初は速度ベクトル(1/√2,1/√2)で動く。もしAと重なれば、その瞬間速度ベクトルのy座標の符号を変える。
というものであれば、これを満たす両者の挙動は存在しないわけだから…
（そして実際某所に書かれてあった答えもこのような戦略に依存していた）
この問題を正確に解くには、こういう連続的時間の上での『戦略』を正しく定式化する必要がありそう。
まあでもこの辺は、例えば
『時間tにおける戦略は、ある正の数cに対して、時間t-c以前のゲームの状態のみから決定されるものでなければならない』
みたいにすれば解決しそうだし、速度の臨界値には影響ないことも示せそうだからそれほど問題ではないのかも知れないが
897:１３２人目の素数さん
20/01/23 12:05:36.61 ddX83Qle.net
上記の逃げきれるかっていう設定の問題見て
コンウェイのAngel problemっていうゲームを思い出した
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
898:１３２人目の素数さん
20/01/23 12:09:52.87 uX5Gp1Sm.net
>>851
そう、ルール次第ではデッドロックは起こりうると思う。
しかし元問題にはその点の規定はないので両者は
「相手の行動を見越して反応する」
「相手の戦略を知ってる事を利用して行動する」
のは無しにしても
「相手の行動に所要時間0で反応する」
はありにしないと問題文に合わない。
反応のための所要時間についての規定はないんだから。
つまりAの側のt<Tにおける行動がBのt<Tにおける行動のみによって決まる以上はルール上OKとするものだと思うし、だとすれば>>850は許される捕獲戦略になる。
相手の行動に対して何か有限の時間cが必ず必要ならBは円周までの所要時間がc/2の点まで近づいたあと、Aが反応できない時間を利用して必ず脱出できてしまう事になって数学の問題にならない。
899:１３２人目の素数さん
20/01/23 12:32:57 yJ0QfnuX.net
>>853
一律の下限を設けるのは確かに問題に合わないね
一方時間Tに対してt<Tの全ての情報を使って良いとしたら、
それはそれで点A(t)や点B(t)の連続性からA(T),B(T)についての情報も言えてしまうことになって、
結局>>851のような問題を孕んでしまうことになるから、例えば
『時間Tに対してT-c以前までの状況に依存できるAの戦略S_cを適切に定めれば、
c→0の時に、Bが円周率にたどり着いた時の二点A,Bの距離の上限D_cが0に収束する』
ことをもって『捕まえられる』こととする方法とか、もしくは
『そもそも状況Jにおける反応時間cはJに依存して良い』
とすれば、Aの速度が臨界値より大きければ距離の誤差なくしっかりBを捕まえられるはず
900:１３２人目の素数さん
20/01/23 12:47:50.21 uX5Gp1Sm.net
>>854
いや、本問では>>853の設定ではある臨界値Kが存在して
a/b<KならBの側に必ず脱出戦略がある。
a/b>KならAの側に必ず脱出阻止戦略がある。
が成立します。
ちなみにBが動けなくなるのも脱出阻止成功してるのでAの勝ちです。
901:１３２人目の素数さん
20/01/23 12:51:34 yJ0QfnuX.net
>>855
ああそうか、考えてみればそもそもデッドロックが起こり得ない戦略というのも可能なのか…ごちゃごちゃと申し訳ない
902:１３２人目の素数さん
20/01/23 13:03:11 aJxPL91a.net
問題が、
Aの速さがBの速度の何倍以上ならBを捕まえられるか
ではなく
何倍以上ならBを逃がさないか、又は、何倍までならBは必ず逃げられるか
ならデッドロックを考えなくていいのでは？
> そもそもAもBもその時点で選べる戦略が、ちょうどその時点（まで）の挙動に依存して良いという前提なら、
> 二人の戦略が競合する場合があるんだよなあ
>>784の戦略が過去の状態に依存しない最適戦略だと思う
後は、脱出点が僅かでもずれれば捕まってしまうことを示せれば良さそう
903:１３２人目の素数さん
20/01/23 13:17:53 z5F7hCwD.net
>>857
本問では考えなくてもいいかもしれません。
より一般化して
・Aが選びうる戦略関数SとBが選びうる戦略関数Tを持ち寄って何が起こるか実験する。
実験とは
f=S(g)、g=T(f)‥‥?
なるf,gを求める事、すなわち両者とも持ち寄った戦略に応じた行動をするf,gを見つけること、それは相手の行動を戦略に従っての行動であるもの。
その結果の評価関数E(f,g)を両者が自分にとって最大になるようなS,Tを見つけるというゲームの理論としての定式化を考えた場合には、一般に?が解無しになってしまい、問題の定式化に失敗する事もあります。
それをデッドロックと表現しました。
本問ではありません。
そういう事態が発生しない戦略関数が臨界値を界に必ず見つかります。
ちなみにピッタリ臨界値のときは多分A勝ちのハズです。
904:１３２人目の素数さん
20/01/23 13:23:22 yJ0QfnuX.net
>>784 だと、ちょうど時刻TでAOBが一直線上に並んだとして、"反転"する判断を下すのはT以降のいつか、という問題があるんだよね
ちょうどT秒の時点では、三点が一直線上に並んでるというだけで、今後反転するかどうかの判断は下せない訳だから
だから、状況Jに依存する時刻c(J)秒前に既に逆転していたならば向きを変更する、という様な戦略にする必要があるってことを言いたかった
適切に関数c(J)>0を定めれば >>784 が必勝戦略であり続けられることの証明は、ちょっと骨が折れそうなのでパスだけど…
905:１３２人目の素数さん
20/01/23 13:28:45 aJxPL91a.net
>>859
反転と言うけれど、Aが直線BOの通過したかで判断すればいいのでは？
906:１３２人目の素数さん
20/01/23 13:37:12 aJxPL91a.net
仮に
BOAが直線の時は、BはOB方向へ移動する
としたら、Bの脱出に影響あるだろうか？
907:１３２人目の素数さん
20/01/23 13:44:54 yJ0QfnuX.net
>>860
通過とは、通ること？通り過ぎること？（字面からしておそらく後者だとは思うけど…）
単純に通るだと、Aが常に三点AOBが一直線上に並ぶ戦略をとることで"反転"の判断を連続的に下し続けてしまうからデッドロックとなる。
もし通り過ぎることだとしても、Aの偏角をθ(t)、一直線上に並んだ時刻をTとおくと、例えば t>0 に対して
θ(t+T)=θ(T)+(a/√2)･tsin(logt)
みたいな動き方をした場合、Tに任意に近い時刻で無限に反転が起きている訳だから、
同じくBの動き方が問題になってしまう
908:１３２人目の素数さん
20/01/23 14:13:29 uX5Gp1Sm.net
うーん、私が今持ってる答え再検討したんですが、どうも>>858の一番素直な意味にとってしまうとデッドロック発生しますね。
すいません。
あくまで私の持ってる解は>>754の意味においてです。
>>858の意味でのデッドロックが絶対発生しない戦略があるかどうかは私わかりません。
909:１３２人目の素数さん
20/01/23 14:58:02 aJxPL91a.net
>>862
速度が臨界値ならBはAから逃げられないとして、
臨界値未満の時は計算してないけど、
BOAが直線の時BがOB方向へ移動して、
AがOB上から外れたら、その時点でOBと垂直、Aと逆方向の円周上の点に向けて動けばどうだろうか？
速度に応じたAのOB上からのズレの許容量が示せればいいんだけれど
ついでだけれど、AがOB上を保つとき、BがOB方向へ移動するのは問題ないはず
910:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/23 15:30:12 wc6308KN.net
前>>848
>>640問題。
>>753この方針で早く解かなきゃ。
Aが222.59°-180°=42.59°のときBは直線軌道に変え、その瞬間Aは逆回りする。
Bがそのまま直線軌道なら>>753の方針で解けばいいんだけど、そのまま直線軌道よりAから遠ざかるように反対の円弧をとる。
円弧の中心は直線軌道に垂直な直線上にあり、
一つ目の分岐点と到達点が同じ距離になる半径。
Aがまたある地点で折り返す可能性があるかないか。もしもあるならBはまた逆の円弧をとればいい。
AもBも長くなり、A/Bはある値に収束するのか、それともA/B→+∞か。
911:１３２人目の素数さん
20/01/23 15:36:24 yJ0QfnuX.net
とは言え>>858の意味でも（勿論>>754の七行目のような制約は課した上で）
デッドロックが起こらない戦略の存在は示せると思うので、特に何もなければ厳密性についてはこのくらいにします…
後で似たような状況を再現するために単純な類題を出すかもだけど、疲れてるのでしない可能性のが高いかもなので当てにしないでください
912:１３２人目の素数さん
20/01/23 15:44:31 yJ0QfnuX.net
>>864
Aが>>862の前者のパターンで動くなら、おそらくそれでOKだと思う。
しかしAが後者のパターンで動く時、Bのその戦略に則った挙動の存在とか一意性って、中々自明でないような…
913:１３２人目の素数さん
20/01/23 16:04:15.09 uX5Gp1Sm.net
>>866
そうですね。
>>858の意味でのデッドロックも発生しない戦略ありそうですね。
とは言え私元サイトカンニングしてるので書くのは控えます。
914:１３２人目の素数さん
20/01/23 16:56:00 L8diiD+d.net
>>846
第０近似
π/2 - θ ≒ 0, θ ≒ π/2 = 1.570796
第１近似
π/2 - θ ≒ 0.2122066 = 2/(3π), θ ≒ 1.358590
第２近似
π/2 - θ ≒ 0.21877444 θ ≒ 1.35202189
= 1/{(3/2)π - 4/(9π)}
第３近似
π/2 - θ ≒ 0.21897959 θ ≒ 1.35181674
>>784
π/2 - θ = 0.218979522 θ = 1.35181680432
915:イナ
20/01/23 17:55:35.86 wc6308KN.net
前>>865
>>640問題。
Aは逆回りしてもBが予定変更して逆の円弧を逃げると思って逆回りしない。
Bは直進して222.59°の外周で捕まえられる。
>>753この方針で解かなきゃ。Bの逃走距離を円弧B+直線Bとすると、
円弧B=2πR[(180-2{60-30(25.18/60)}/360](4259/22259) =(π/cos47.41°)(85.18/360)(4259/22259)r
=0.210164978……･r
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)R
Rcos47.41°=r/2より、
R=r/2cos47.41°
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)r/2cos47.41°=0.840496067……･r
916:Aが222.59°でBを捕まえるときのAの追跡距離、円弧Aは、 円弧A=2πr(222.59/360) =3.88492838……･r 速度比A/B=3.88492838……･r/(0.210164978……･r+0.840496067……･r) =3.88492838……r/1.050661045……r =3.88492838……/1.050661045…… =3.69759954……(倍) Bは半径より5％ばかり長い距離を逃げる。 AはBを円周の222.59°の方向で捕まえるのに3.7倍近い速度が必要。
917:１３２人目の素数さん
20/01/24 09:45:24 hf8Gpc9I.net
（自作問題：正解ないかも）
お菓子を持った人がやってきて
「あなたの言うことが正しければ飴玉かチョコをあげる、間違っていれば何もあげない」と言われた。
お菓子を持った人は決して嘘をつかない正直者か、必ず嘘をつく嘘つきのどちらかである。
（お菓子をもった人は自分が正直者か嘘つきかは分かっているが、あなたには分からない。）
この人からチョコをもらうには何と言えばよいか？
918:１３２人目の素数さん
20/01/24 10:51:53 2S47DcwE.net
「この文が真ならば私はあなたからチョコをもらう」みたいなのは無し？（参考：カリーのパラドックス）
919:１３２人目の素数さん
20/01/24 11:03:30 rLVN1Bdv.net
>>872
お菓子を持った人の命題がまさにそれだから、ありです。
自分で考えた正解も条件文になった。
920:１３２人目の素数さん
20/01/24 12:01:59 hZwMTf1V.net
コレは解あるの？
嘘つきというのを「自分が述べた事は必ず嘘であるし、嘘になる様に行動する人」という意味だとして、お菓子持ってきた人の述べた事の否定は「、」で区切られた二つの命題と考えた場合は
「あなたの言うことが正しくても飴玉もチョコもあげないかもしれない、間違っていても何かあげるかもしれない」
でコレを正しい命題になる様に行動すると仮定しても何言っても必ずチョコもらえる方法はない気がする。
「、」を「かつ」で結ばれた一文と考えたらもっと無理になる。
921:１３２人目の素数さん
20/01/24 12:21:53 V/u1WoFD.net
いや、でも流石に正しい事言ったのに何かくれたら嘘つきの行動にはならないのかな？
この人の行動の条件は
「あなたが正しい事を言ったら何もあげない、あなたが間違った事を言ったらなにか(今回ならチョコか飴玉)をくれる」
という条件を満たすように行動する。
ですか？
922:１３２人目の素数さん
20/01/24 12:34:10 2S47DcwE.net
昨日言ってた簡単な類題
～～～～～～～～
数直線上の二点P,Qが以下のような勝負をする。
両者とも時刻0の時点では原点に位置し、時刻が1に達するまで、両者は数直線上を自由に動く 。
ただし、点Pは速さ1以下、点Qは速さa以下でしか動くことができない。
（ a > 1 は固定する）
ここで点Xの時刻t_0における速さは
limsup_(t→T) ( |X(t)-X(t_0)| / |t-t_0| )
により定める（点t_0におけるリプシッツ係数と呼ぶことにする）。
時刻1の時点で二点が一致した時、すなわち P(1)=Q(1) が成り立った時はQの勝利。
そうでない時はPの勝利とする。
このゲームにおいてQは、勝利するためにどのような戦略を立てるべきか。
～～～～～～～～
>>754の意味での必勝法を第一種必勝法、
>>858の意味での必勝法を第二種必勝法と仮に置いた時、点Qの戦略Tを
T(f)=f ( f:[0,1]→R は点Pがとり得る任意の挙動)
と定めればこれは第一種必勝法にはなるけど、第二種必勝法にはならない。
（∵点Pの戦略Sを
S(g)(t)= -t ( g(t)=t for∀t∈[0,1] の時)
S(g)(t)= t (それ以外)
と定めればデッドロックが起こってしまう）
923:１３２人目の素数さん
20/01/24 12:38:00 PJ7j0nu4.net
だとすると
「あなたは私に飴玉をくれる」
かな？
嘘つきの選択肢が
?何もあげない
?飴玉をあげる
?チョコをあげる
?飴玉とチョコをあげる
とする。
?を選択してしまうと「あなた」が間違ったことを言ったのに何もくれなかったので行動原理に反する。
??を選択してしまうと「あなた」が正しい事ことを言ったのな何かくれたので行動原理に反する。
?のみが間違った事を言った(
924:飴玉はあげなかった)のに何かあげるという行動原理に適合できる。
925:１３２人目の素数さん
20/01/24 12:38:52 2S47DcwE.net
>>876 訂正
誤
limsup_(t→T) ( |X(t)-X(t_0)| / |t-t_0| )
正
limsup_(t→t_0) ( |X(t)-X(t_0)| / |t-t_0| )
926:１３２人目の素数さん
20/01/24 13:58:45 hf8Gpc9I.net
>>877
「あなたは私に飴玉をくれる」
それだと、正直者からチョコがもらえないよ。何ももらえないかもしれない。
927:１３２人目の素数さん
20/01/24 14:04:23 hf8Gpc9I.net
>>874
P：あなたの主張は正しい
Q：お菓子をあげる
正直者なら
P⇒Q ∧ ￢P⇒￢Q
嘘つきならその否定だｋら
￢（P⇒Q ∧ ￢P⇒￢Q）
￢（P⇒Q）∨ ￢（￢P⇒￢Q）where P⇒Q ≡ ￢（P∧￢Q）
￢￢（P∧￢Q）∨ ￢￢（￢P∧￢￢Q）
（P∧￢Q）∨ （￢P∧Q）
（主張は正しい∧お菓子をもらえない）または（主張は間違っている∧お菓子をもらえる）
928:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/24 14:09:40 1a27+DeR.net
前>>870
>>640問題。
>>742冒頭欠けてるって書いたけど欠けてなかった。
>>740でAとBの到達点を求め、
>>870でBの逃げる距離を短くするという流れでいいと思う？
3.69759954……倍であってる？
929:１３２人目の素数さん
20/01/24 14:09:52 hf8Gpc9I.net
>>874
正直者と判明しているときは、あなたは私に飴をくれない が正解になる。
930:１３２人目の素数さん
20/01/24 14:11:31 rC18lOHu.net
>>879
あ、しまった。
相手が正直者の可能性もあるのか。
931:１３２人目の素数さん
20/01/24 14:46:18.36 2S47DcwE.net
実際には >>876 のゲームで点Qの第二種必勝法は存在して、点Qの戦略Tを次のように定めれば良い。
～～～～～～～～
f:[0,1]→R を点Pの挙動とする。
t_0=0, g(0)=0 と定める。
(i) nが偶数かつ t_n<1 の時、
g(t_n)+a(t-t_n)-f(t) ≦ (a-1)(1-t)
を満たす最大の実数 t∈[t_n,1] を t_(n+1) と定め、t∈[t_n, t_(n+1)] の時の g(t) の値を
g(t)=g(t_n)+a(t-t_n)
により定める。
(ii) nが奇数かつ t_n<1 の時、
g(t_n)-a(t-t_n)-f(t) ≧ -(a-1)(1-t)
を満たす最大の実数 t∈[t_n,1] を t_(n+1) と定め、t∈[t_n, t_(n+1)] の時の g(t) の値を
g(t)=g(t_n)-a(t-t_n)
により定める。
(iii) t_n=1 の時、そこで数列 {t_i} を打ち止める。
仮に {t_i} が無限列であっても 1-t_(n+1) ≦ (1-t_x)/a より lim_(n→∞) t_n=1 であるから、
全ての t∈[0,1) に対して g が定まる。連続性により g(1) も定まる。
このようにして定めた g を S(f) とする。
～～～～～～～～
このgは |g(t)-f(t)|≦(a-1)(1-t) を満たすことがわかるから、特に g(1)=f(1).
ゆえに、少なくとも第一種必勝法を与えることがわかる。
932:１３２人目の素数さん
20/01/24 15:50:56 2S47DcwE.net
>>884 が第二種必勝法でもあることは以下のようにしてわかる。
（証明）
933:点Pの戦略Sを任意に定める。集合Wを W={a∈[0,1] : 点Pの挙動gであって T(S(g))(t)=g(t) for∀t∈[0,a] を満たすものが存在する} と定める。0∈W は明らか。 >>754 の七行目の原則から、Wが最大値を持つこともわかる。 Wの最大値wが1より小さいと仮定し、T(S(g))=g (t∈[0,w]) を満たすgを一つとる。 S(g) に対して>>884のように定められる実数列 {t_n} について、 (i) t_n=w を満たすnが存在しない時、wの定義からwの任意の近傍で not ( T(S(g)) ≡ T(S(T(S(g)))) ) を満たす必要があるため、 S(T(S(g))) に対して884のように定められる実数列 {t'_n} は w=t'_n (for∃n) を満たさねばならない。 (ii) あるnについて t_n=w が成り立つ時、754 の七行目の原則から、 S(T(S(g))) について884のように定められる実数列 {t'_n} について t_i=t'_i (i≦n) を満たす必要があるから、 ∀t∈[t_n, min(t_(n+1),t'_(n+1))] についてT(S(T(S(g))))(t) = T(S(g))(t). これはwの定義と矛盾。 (i)と(ii)よりw=1でなければならないので、T(S(g))=g を満たすgが存在。ゆえにTは第二種必勝法。□
934:１３２人目の素数さん
20/01/24 16:11:09 2S47DcwE.net
>>876 訂正
>>754 の七行目の制約から、デッドロックを起こすための点Pの戦略Sは
S(g)(t)= -t ( 0のある近傍で g(t)≡t の時)
S(g)(t)= t (それ以外)
とすべきでした
935:１３２人目の素数さん
20/01/24 19:01:29 5+zPhcCH.net
つまるところ >>884 の戦略は
「常に速さaで走り、『ココを過ぎてしまうと点Pに逃げ切られてしまう』ような二つの点のどちらかに当たったらその瞬間方向を反転させる」
というもの。『』を満たす二つの点の感覚は 2(a-1)(1-t) だから、
（t=1以外で）反転が無限に行われるという状況が起こらないようになっていて、
これがデッドロックが起こらないための鍵になっている。
このような方法は >>640 の問題にも応用できて、例えば点Aの速さaが臨界値Kを上回る時、
『点Aがココを過ぎてしまうと点Bに逃げ切られてしまう』ような点（点Bの場所によっては存在しないことも有り得る）
にぶち当たった時だけ方向転換する、という戦略にすれば良い。
『』内の二点を具体的に計算できればおそらく証明もそう難しくはない。
一方点Aの速さが臨界値を下回れば、先程と違って点Aの位置に応じて
『点Bが"この線に触れてしまう"と（引き返さない限り）点Aに捕まってしまう』
という、言わば限界曲線が定まる。
この場合点Bの戦略を、単純に限界曲線に当たった瞬間方向転換しながら直進する、としただけでは上手くいかない。
（∵この限界曲線は点Aと繋がっているので、点Bは方向転換しながら直進した先で結局点Aにぶち当たることになる。）
つまり例えば
『点Bがこの線の（線上を含めた）内側にいれば、少なくとも点Aと偏角がδ>0以上離れている位置で円周に到達できる』
ような別の限界曲線を用意して、その内側を方向転換しながら直進する、等のように点Bの戦略を定めれば解決する。
936:１３２人目の素数さん
20/01/24 19:53:11.01 200W4pL5.net
π = tanθ - θ
a < 1/cosθ = 4.603323
の時のBの必勝戦略の存在性は示すべきことだけれど、
a ≧ 1/cosθの時のBの必勝戦略の非存在性は示されたっけ？
937:１３２人目の素数さん
20/01/24 20:13:50 rC18lOHu.net
>>871
できたかも。^は否定として
H:正直者、L=^H:嘘つき、
A:飴玉もらえる、C:チョコもらえる。
としてあなたの発言として
Y=(H∧(C∨^A))∨(L∧A)
「あなたは正直者で(私にチョコくれるか飴玉くれない)、
またはあなたは嘘つきで私に飴玉くれる。」
とする。
公理は
H∧Y→C∨A、H∧^Y→^C∨^A、L∧Y→^C∧^A、L∧^Y→C∨A。
H∧Y→Cなのでこの時はチョコもらえる。
H∧^Y=H∧(L∨(^C∨A))∧(H∨^A)→A
によりコレは2番目の公理に反する。
L∧^Y→^Aと4番目の公理からこの時チョコもらえる。
L∧Y→L∧(L∨(^C∧A))∧(H∨^A)→A
は3番目の公理に反する。
938:１３２人目の素数さん
20/01/24 20:21:33 rC18lOHu.net
Aの逃走阻止戦略はBの逃走戦略よりは簡単なハズだよね。
基本偏角差が小さくなる方に動けばいい。
ただしデッドロックが起きないように注意すると。
939:１３２人目の素数さん
20/01/24 20:56:34 200W4pL5.net
>>890
それは、Aの逃走阻止戦略が存在するならば、
> 基本偏角差が小さくなる方に動けばいい。
はAの逃走阻止戦略になると言っているだけで、
Aの逃走阻止戦略の存在性には触れてないよね
940:１３２人目の素数さん
20/01/24 21:04:21 kdanMeAQ.net
>>891
厳密に書くと>>887みたいにしんどくなるだろうね。
でも逃走戦略よりは簡単だと思う。
941:１３２人目の素数さん
20/01/24 21:06:53 9h4QfqTE.net
>>889
>871です
用意した答は、
あなたが正直ならば飴玉をくれないし、あなたが嘘つきならば飴玉をくれる
942:１３２人目の素数さん
20/01/24 21:13:21 200W4pL5.net
>>892
具体的な戦略の厳密な厳密な構築について言っているんじゃ無いんだけど
予想されている上限候補
1/cosθ ≒ 4.603323
π = tanθ - θ
が上限(上界)であることの証明は、具体的な戦略の明示より重要なんじゃない？
943:１３２人目の素数さん
20/01/24 22:07:15 kdanMeAQ.net
>>892
いや、具体的に構成できるんだから存在は明らかでしょ？
存在するとしたらこの形しかないという主張じゃなくてこうやれば構成できる=存在するなんだから。
具体的に構成出来ることは抽象的に存在するための十分条件でしょ？
944:１３２人目の素数さん
20/01/24 22:26:29 200W4pL5.net
>>895
具体的ってこれのこと？
> 基本偏角差が小さくなる方に動けばいい。
この戦略はa=4の時でも立てられるけど、当然逃走阻止戦略にはならないぞ
同様にa=5の時もこの戦略は立てられるけれど、これが逃走阻止戦略になるかどうかは証明すべきことであって、証明できなければ存在するかは不明
945:１３２人目の素数さん
20/01/24 22:44:13 200W4pL5.net
1/cosθ≒4.60332
について示されているのは、
任意のa<1/cosθに対して逃走阻止戦略が存在しないことと、
>>784のBの戦略に対しては任意のa≧1/cosθに対して逃走阻止できることだけで、
任意のBの戦略、任意のa≧1/cosθに対して逃走阻止戦略が存在することは示されていなく、
具体的に構築された戦略が、任意のBの戦略、任意のa≧1/cosθに対して逃走阻止戦略になることを示されてもいないかと
946:１３２人目の素数さん
20/01/24 23:00:29 200W4pL5.net
ついでだけれど
> 存在するとしたらこの形しかないという主張
こんなことも言っていないよ
存在が証明されているならば、この形は条件を満たすといっているわ
947:けで、「条件をみなす形はこの形しかない」と他の形の存在を否定なんてしていない 「構成する」には、その構成したという形が条件を満たしていることを証明する必要がある 証明しなければ、 > この戦略はa=4の時でも立てられるけど、当然逃走阻止戦略にはならないぞ なんてことになるし、 a=4.7の時にBの逃走戦略が存在し、逃走阻止戦略にはならないかもしれない
948:１３２人目の素数さん
20/01/25 00:02:29.24 8d8rjqX8.net
いや、書いてもいいんだけど逃走阻止戦略は具体的に書けるんだよ。
a/b>臨界値の場合。
ピッタリのときは知らないけど。
オレ元サイトカンニングしてるから書かない方がいいと思って控えてるんだよ。
元サイトの出題形式だとa/b=臨界値のときは無視していいルールになってる。
もしかしたらその場合は双方にデッドロックなしの戦略はないかもしれない。
少なくとも逃走戦略は無さそう。
逃走阻止戦略はあるかもしれないけど見つけてない。
949:１３２人目の素数さん
20/01/25 00:13:25 8d8rjqX8.net
あ、ちなみにa/b=臨界値のときも
∃S:戦略関数 ∀g f=S(g)で逃走阻止される
は正しい。
のでデッドロックを回避しないといけないという条件付けて突然逃走可能になるってことはないだろうと思う。
でもこのSはTをうまく取られるとデッドロックする。
スティルメイトの方がカッコ良かったかな？
というわけでa/b=臨界値の場合は完全に現時点でオープンです。
950:１３２人目の素数さん
20/01/25 00:40:20 7z8NlE3N.net
点Bが直交座標(X,Y)、極座標(r,θ) (ただしr>1/K) にいる時、
|φ-θ| ≦ θ~ := arctan(√(K^2r^2-1)) - √(K^2r^2-1) + π (1)
で与えられる偏角φの範囲が、点Bが動くにつれてどう変化するかを考える。
ただし K≒4.6033 は >>894 等で与えられている臨界点とする。
つまり、r=1 の時 θ~=0になることに注意。
点Bの点(x,y)付近での微小な動きを再現するため、便宜的に B(t)=(x+x't, y+y't) と定める。（ただし x'^2+y'^2=1）
この時、
dθ/dt = (xy'-yx')/(r^2),
dθ~/dt = -((xx'+yy')/(r^2))√(K^2r^2-1)
であるから、計算により
|dθ/dt ± dθ~/dt| ≦ K
という評価を得る。
したがって、点Bが速さ1以下で動く限り、不等式(1)でφが動ける範囲の両端を定める二点は、速さK以下でしか動けない。
以上から、点Aの速さが臨界点を上回るならば、点Aは偏角 φ∈R/2πZ が(1)を満たす範囲で動き回れば良い。
（具体的にどう動き回るかは、例えば887の方法を使えば良い）
951:１３２人目の素数さん
20/01/25 00:43:44 7z8NlE3N.net
Kは臨界点というより臨界値って書いた方がよかった…あと二行目の右端の(1)は式番号です
952:イナ
20/01/25 01:26:02.97 nAj41CVN.net
前>>881
>>640問題。
3.69759954……倍じゃだめかぁ。
953:１３２人目の素数さん
20/01/25 01:30:43.24 7z8NlE3N.net
何度も申し訳ない、>>901 のdθ/dtおよびdθ~/dtは、どちらもt=0の時の値です
954:１３２人目の素数さん
20/01/25 04:11:07.95 jb9Xvs1V.net
国税・労基と書いてあったので公務員試験の問題らしいです。
ある幼稚園で、砂場で遊んでいたA,B,C,D 部屋で遊んでいたE,F,Gの７人の中に、
逆上がりができる子が２人いることが分かっている。
そこで、A～Gに尋ねたところ、それぞれ以下の発言をした。
ただし、７人うち、本当のことを言っているのは２人だけで、あとの５人は間違ったことを言っていた。これらのことから確実にいえるのはどれか。
A：Bは逆上がりできるよ。
B：Aは間違ったことを言っているよ。
C：AもBも２人とも間違ったことを言っているよ。
D：砂場で遊んでいた子の中には逆上がりできる子はいないよ。
E：私は逆上がりできない。
F：逆上がりができるのは２人とも砂場で遊んでいた子だよ。
G：EとFの少なくともどっちかは本当のこと言っているよ。
問題は簡略化してみた。
正直者と確定できるのは誰か？
逆上がりができると確定できるのは誰か？
955:１３２人目の素数さん
20/01/25 05:32:15 QaNtRQ6A.net
BよりB∧notA ∨ notA∧B。
よってAかBのどちらかは正直で正直は残り1人。
さらにnotC。
GのときはE∨Fで残る正直が1人に矛盾。
よってnotG。
さらにnotE、notF。
よって残る正直者はD
A,Bはどちらが正直でも矛盾しないので確定できない。
以上により確定的正直者はD。
確定的に逆上がりができるのはE。
956:１３２人目の素数さん
20/01/25 06:06:24 jb9Xvs1V.net
>>906
Dが正直だから砂場にいたBは逆上がりができないからAは嘘つきと確定できる。よって正直者はBとD。
957:１３２人目の素数さん
20/01/25 06:09:56 8d8rjqX8.net
>>907
砂場で遊んでた人の情報もあったのか。
見てなかったorz。
958:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/25 12:00:28 nAj41CVN.net
前>>903問題>>640
7時x分の短針の方向の外周でAがBを捕まえたとすると、
AがBを追った距離は、
2πr(7+x/60)/12=(420+x)πr/360
Bが逃げた距離は、
7時から9時の60°のうちの(1-x/120)を底角に持つ二等辺三角形を含む扇形の弧で、
その中心角は、
180°-2(1-x/120)60°
=(60+x)°だから、
2πR(60+x)/360
=πr(60+x)/180
二等辺三角形を二等分した直角三角形についてピタゴラスの定理より、
Rcos(60-x/2)°=r/2
Rを消してBが逃げた距離は、
2πR{(60+x)°/360°)
=2πr(60+x)/360･2cos(60-x/2)°
=πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
速さの倍率は距離に比例し、
A/B=(420+x)πr/360÷πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
={(420+x)/(60+x)}cos(60-x/2)°
={7-6x/(60+x)}cos(60-x/2)°
x=25.17のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
x=25.18のとき、
A/B=3.53691531……(倍)
x=25.19のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
7時25.18分すなわち、
7時25分10秒8の短針の方向の外周で捕まえればAのBに対する速さの倍率は最大になる。
中心角でいうと、
360°{(7+25.18/60)}/12
=222.59°の方向の外周。
Aがもう逆回りしないとなったときBは逃走ルートを直線にすることで逃走距離を短くする。
Bの逃走距離を円弧B+直線Bとすると、
円弧B=2πR[(180-2{60-30(25.18/60)}/360](4259/22259)
=(π/cos47.41°)(85.18/360)(4259/22259)r
=0.210164978……･r
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)R
Rcos47.41°=r/2より、
R=r/2cos47.41°
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)r/2cos47.41°=0.840496067……･r
Aが222.59°でBを捕まえるときのAの追跡距離、円弧Aは、
円弧A=2πr(222.59/360)
=3.88492838……･r
速度比A/B=3.88492838……･r/(0.210164978……･r+0.840496067……･r)
=3.88492838……r/1.050661045……r
=3.88492838……/1.050661045……
=3.69759954……(倍)
959:１３２人目の素数さん
20/01/25 13:39:18 jb9Xvs1V.net
東京都の公務員試験の過去問
ある料理店で、料理人Aが考案した新しい料理のレシピを50人の料理人に教えて
いくことにした。料理人は7月１日から毎日１人ずつ、新しい料理のレシピを教
えてもらっていない料理人に教えていき、新しい料理のレシピを教えてもらった
料理人は、教えてもらった翌々日から毎日１人ずつ、新しい料理のレシピを教え
てもらっていない料理人に教えていくとき、新しい料理のレシピを50人の料理人
に教え終わる日はいつか？
960:１３２人目の素数さん
20/01/25 13:46:16 8d8rjqX8.net
>>910
何年の？
なんか最近その手の悪質なデタラメ多いんだけど？
961:１３２人目の素数さん
20/01/25 13:54:10 jb9Xvs1V.net
>>911
2008年と記載されていたよ。
962:１３２人目の素数さん
20/01/25 14:06:26.17 8d8rjqX8.net
>>912
ホントにこれ試験問題なん？
意味がかなり微妙な表現があってとても試験問題の品質にはないけど。
料理人Aは最初の1人に教えた後も教え続けるのか、だとすると料理人A自信はレシピを考案した翌々日から教え始めるという制限をうけるのか、そもそもレシピを考案した日からかぞえるのか、最初の1人に教え始めたひから数えるのかもわからん。
こんな文面で試験として通用するハズない。
963:１３２人目の素数さん
20/01/25 14:26:42.18 jb9Xvs1V.net
>>913
公務員受験予備校にあったから、過去問なんじゃないの？
964:１３２人目の素数さん
20/01/25 14:32:31 8d8rjqX8.net
>>914
こんな文面で試験したらガンガン文句くる。
最初のシェフがレシピ考案した日から数えるのか最初の1人に教え始めた日から数えるのかで答えは1ズレる。
公務員試験なら答え書くだけだから記述読んで救済もできない。
こんな文面の問題まともに数学勉強した人間が作るハズない。
965:１３２人目の素数さん
20/01/25 14:45:36 wCCXd55Z.net
>>910
>料理人は7月１日から毎日１人ずつ
７／１から数えるに決まってる
>新しい料理のレシピを教えてもらった
>料理人は、教えてもらった翌々日から毎日１人ずつ
教えて貰った日を基準にして＋2日目から数えるに決まってる
これくらい読めなくて公務員になれるわけがあるまい
良問
966:１３２人目の素数さん
20/01/25 14:
967:46:07 ID:HLgVyAHa.net
968:１３２人目の素数さん
20/01/25 14:52:10 7z8NlE3N.net
自分は問題を正確に理解するのに多少読み込む必要があったけど、曖昧な箇所があった訳ではない気がする
問題を掲載してるサイトも一箇所だけだけど見つけたから、まあオリジナルとかではないはず
969:１３２人目の素数さん
20/01/25 14:59:04 8d8rjqX8.net
>>918
そうなん？
最近自作問題クサい奴に公務員試験って書いてる奴多いんだよ。
サイトのリンクある？
970:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/25 15:01:54 nAj41CVN.net
前>>909
>>910
7月13日までシュクメルリ鍋を教えつづけるとすると、
最初に教えはじめた料理人は13人に教える。
7月1日に教わった料理人は7月3日から13日まで教えつづけ11人に教える。
7月3日に教わった料理人は7月5日から13日まで教えつづけ9人に教える。
7月5日に教わった料理人は7月7日から13日まで教えつづけ7人に教える。
7月7日に教わった料理人は7月9日から13日まで教えつづけ5人に教える。
7月9日に教わった料理人は7月11日から13日まで教えつづけ3人に教える。
7月11日に教わった料理人は7月13日に1人に教える。
あわせて13+11+9+7+5+3+1=49人が7月13日までに料理を教わった。
7月14日、最初に教えはじめた料理人が50人目の料理人にシュクメルリ鍋を教えた。
971:１３２人目の素数さん
20/01/25 15:03:38 8d8rjqX8.net
確かにググると知恵袋に問題は出てくるな。
どっかで実際出てるのかな？
972:１３２人目の素数さん
20/01/25 15:08:41 wCCXd55Z.net
>>910
7月ｎ日に教わった料理人をanとすれば
an=a[n-1]+a[n-2]
a1=a2=1
問われているのは
a1+…+an≧50
となる最低のnを求めること
n=8
973:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/25 15:14:13 nAj41CVN.net
前>>920修正。
答えは7月14日。
ただ最後の50人目に教える料理人は7月13日に教わったばかりの新米料理人でなければ48人のうちのだれでもいい。
まぁでも最後の1人は記念だし、最初に教えはじめた料理人でいいような気がしたから。
974:１３２人目の素数さん
20/01/25 15:38:19 Q36gRZ7N.net
>>913
題意は一意に読み取れると思う。
さらに、出題者の意図も読み取ることができ
翌日教えられるとすると簡単に解けるから
翌々日として少し難しく(フィボナッチ数列の3項間漸化式の問題)したのだと思う。
975:１３２人目の素数さん
20/01/25 15:58:44.30 wCCXd55Z.net
翌日子を産むとネズミ算
翌々日子を産むとウサギ算
976:１３２人目の素数さん
20/01/25 16:12:57 8d8rjqX8.net
ちなみに元問題は7月5日から7月9日の5択になってるようだけどコレはいらんな。
977:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/25 16:23:13 nAj41CVN.net
前>>923訂正。
7月2日に教わった料理人は7月4日から毎日教える。
てことは倍速い。
7月7日までに料理人は7人に教える。
1日に教わった料理人は7月3日から7日まで5人に教える。
2日に教わった料理人は7月4日から7日まで4人に教える。
3日に教わった料理人2人は7月5日から7日まで3人ずつ教え、あわせて6人。
4日に教わった料理人3人は7月6日と7日で2人ずつ教え、あわせて6人。
5日に教わった料理人5人は7月7日に教える。
これで7月7日までに教わった料理人は、
7+5+4+6+6+5=33人。
7月8日、最初に教えはじめた料理人を含め34人のうち教えることができるのは、6日までに教わった、
34-5=29人で、このうち17人が教えた時点で50人。
∴7月8日
978:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/25 16:37:05 nAj41CVN.net
前>>927訂正、訂正!! 6日に教わったばっかの新米料理人が多すぎた。
7月2日に教わった料理人は7月4日から毎日教える。
7月7日までに最初の料理人は7人に教える。
1日に教わった料理人は7月3日から7日まで5人に教える。
2日に教わった料理人は7月4日から7日まで4人に教える。
3日に教わった料理人2人は7月5日から7日まで3人ずつ教え、あわせて6人。
4日に教わった料理人3人は7月6日と7日で2人ずつ教え、あわせて6人。
5日に教わった料理人5人は7月7日に教える。
これで7月7日までに教わった料理人は、
7+5+4+6+6+5=33人。
7月8日、最初に教えはじめた料理人を含め34人のうち教えることができるのは、6日までに教わった、
34-5-3-2-1-1-1=21人で、このうち17人が教えた時点で50人。
∴7月8日
979:１３２人目の素数さん
20/01/25 16:53:22 jb9Xvs1V.net
>>919
ある料理店で、料理人Aが考案した新しい料理のレシピを50人の料理人に教えていくことにした
で検索すりゃでるだろうに。
980:１３２人目の素数さん
20/01/25 16:55:40 jb9Xvs1V.net
>>924
あたり！
981:１３２人目の素数さん
20/01/25 17:03:11 Q36gRZ7N.net
任意の3つの実数を四捨五入して整数にした上で和を取るのと、
和を取ってから四捨五入して整数にする場合で数値が異なる確率を求めよ。
ただし、3つの実数の少数部は[0,1)区間で独立な一様分布とする。
(アクチュアリー資格試験問題 - 一部改正)
982:１３２人目の素数さん
20/01/25 17:24:51 Q36gRZ7N.net
>>931
訂正
×少数部
〇小数部
中高校生向けのこの問題のヒント：
確率の問題を幾何学の問題に置き換えれば、
初等的に(三角錐の体積の公式を知っていれば)解けます。
983:１３２人目の素数さん
20/01/25 20:04:49
984: ID:jb9Xvs1V.net
985:１３２人目の素数さん
20/01/25 20:22:34 jb9Xvs1V.net
>>931
予想は0.5
シミュレーションもそれくらい。
> f <- function(x) ifelse(x<0.5,floor(x),ceiling(x))
>
> sim <- function(n=3){
+ x=runif(n)
+ y= numeric(n)
+ for(i in 1:n) y[i]=f(x[i])
+ f(sum(x)) != sum(y)
+ }
>
> mean(replicate(1e5,sim()))
[1] 0.49892
>
986:１３２人目の素数さん
20/01/25 21:05:21.41 Q36gRZ7N.net
>>934
残念ながら予想もシミュレーションも正しくありません
987:１３２人目の素数さん
20/01/25 21:40:05 8d8rjqX8.net
>>931
I=[-1/2,1/2)、I×I×Iで考える。
繰り上がる確率はx+y+z≧1/2の体積で1/6。
繰り下がる確率も同じく1/6。
合わせて1/3。
988:１３２人目の素数さん
20/01/25 21:56:47.41 Q36gRZ7N.net
>>936
正解
>>934
Rはよく知らないが、
f <- function(x) floor(x+0.5)
に変更すると
[1] 0.33421
で計算が合うので、どこかにバグがある。
989:１３２人目の素数さん
20/01/26 01:15:38.50 Ro1H2zIO.net
>>933
極限ではね
990:１３２人目の素数さん
20/01/26 01:23:39.20 HSj8A8kk.net
任意のn個の実数を四捨五入して整数にした上で和を取るのと、
和を取ってから四捨五入して整数にする場合で数値が異なる確率をpnとする。
lim √n pn 求めよ。
ただし、n個の実数の少数部は[0,1)区間で独立な一様分布とする。
(自作問題、収束しないかも。)
991:１３２人目の素数さん
20/01/26 02:05:14 I/KpZife.net
>>934
その関数fは入力が0～1の時しか正しくない。
だから f(sum(x)) で正しくない値が返ることがある。
992:１３２人目の素数さん
20/01/26 04:26:07 VXCChmo7.net
>>940
確かにrunifは0,1での乱数発生。
993:１３２人目の素数さん
20/01/26 04:43:25 VXCChmo7.net
小数点部分だけ考えればいいと思ったので0～1で考えればいいと思ったのだけど、これは何が間違っているんだろ？
994:１３２人目の素数さん
20/01/26 04:51:26 VXCChmo7.net
>>940
0～10で乱数発生させてシミュレーションしたら約1/3になりました。理屈は理解できてないけどｗ
> f <- function(a) {
+ x=a-floor(a)
+ floor(a)+ifelse(x<0.5,floor(x),ceiling(x))
+ }
> sim <- function(n=3){
+ x=runif(n,0,10)
+ y= numeric(n)
+ for(i in 1:n) y[i]=f(x[i])
+ f(sum(x)) != sum(y)
+ }
>
> mean(replicate(1e5,sim()))
[1] 0.33326
>
>
995:１３２人目の素数さん
20/01/26 04:55:29 I/KpZife.net
>>942
sum(x)では 0～1 の乱数を 3つ足してるから、
f(sum(x)) は 0～3 の値が入力されてる。
996:１３２人目の素数さん
20/01/26 05:07:50 VXCChmo7.net
>>939
シミュレーションだと収束しそうにない。
> sim2 <- function(n){
+ pn=mean(replicate(1e3,sim(n)))
+ sqrt(n)*pn
+ }
>
> sim2(5)
[1] 0.9995224
> sim2(10)
[1] 1.862582
> sim2(50)
[1] 5.572001
> sim2(100)
[1] 8.62
> sim2(500)
[1] 21.08612
> sim2(1000)
[1] 30.32624
>
997:１３２人目の素数さん
20/01/26 05:16:17.22 VXCChmo7.net
>>944
それと比較しているsum(y) は0か1を3個加算しているので０～３の値をとると思うんだけど。
998:１３２人目の素数さん
20/01/26 06:34:46 HSj8A8kk.net
>>935
>>945
> lim √n (1-pn )求めよ。
でしたが相変わらず
(自作問題、収束しないかも。)
です。
999:１３２人目の素数さん
20/01/26 08:15:10.09 e2GB7KH2.net
>931
３実数の和をとって四捨五入すると真の和の±0.5の範囲だけど
四捨五入して和をとると真の和の±0.5*3の範囲になるから確率は1/3という論証は間違い？
1000:１３２人目の素数さん
20/01/26 10:10:10.79 PGgpdPwa.net
>>947
1-p_n
=Σ_[m=0,n] nCm ∫_(X∈[0,1/2]^n) 1_(|m/2-ΣX|≦1/2) dX
(ただし X=(x_1,…,x_n) について ΣX=x_1+…+x_n)
=2^(-n) Σ_[m=0,n] nCm ∫_(X∈[0,1]^n) 1_(|m-ΣX|≦1) dX
≒2^(-n) Σ_[m=0,n] nCm･2(nCm/2^n)
=2･4^(-n)･(2n)Cn
=(1+o(1))･2/√(πn)
から、収束するとしたら2/√π になりそう
あとは≒の所の誤差の割合がo(1)になることの証明
1001:１３２人目の素数さん
20/01/26 10:53:00 HSj8A8kk.net
>>948
真ん中の値が2/3で両端が1/6ずつです。
1002:１３２人目の素数さん
20/01/26 11:24:
1003:16 ID:72k6JKXM.net
1004:１３２人目の素数さん
20/01/26 11:30:27 q15H9faC.net
３個までなら頭で想像できるでしょ？
-1/2≦x<1/2、-1/2≦y<1/2、-1/2≦z<1/2の表す立方体の中のx+y+z>1/2とx+y+z≦-1/2の部分の体積の和。
これが三角錐二つになるのがわからなければいわゆる"x=kで切った断面積を積分"でもできるけど、この程度の図形は頭で想像できないと理系ではやってけない。
1005:１３２人目の素数さん
20/01/26 12:01:44 G7gVG9Ku.net
>>931
実数の数を増やしてグラフを書いてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
1006:１３２人目の素数さん
20/01/26 12:02:51 G7gVG9Ku.net
>>947
２～１００でシミュレーションしてグラフにしてみた
なんとなく収束する雰囲気はある。（振動するかもしれんけど）
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
1007:１３２人目の素数さん
20/01/26 13:10:58.62 PGgpdPwa.net
>>949 の補完
A≒B ⇔ (A/B→1 as n→∞) と定める。
∫_(X∈[0,1]^n) 1_(|m-ΣX|≦1) dX = I(n,m) とおく。
中心極限定理から Σ_[m=0,n] nCm ≒ Σ_[ |m-(n/2)|≦n^(2/3) ] nCm.
これと I(n,0)≦I(n,1)≦…≦I(n,[n/2]), I(n,m)=I(n,n-m) から
Σ_[m=0,n] nCm I(n,m) ≒ Σ_[ |m-(n/2)|≦n^(2/3) ] nCm I(n,m).
また、0<m<n/2 の時 2^(1-n)･(nC(m-1))≦I(n,m)≦2^(1-n)･nC(m+1) であるが、
|m-n/2|≦n^(2/3) という制約のもとでは nC(m-1)≒nCm≒nC(m+1) (implied constant はnのみに依存) であるから、結局
Σ_[ |m-n/2|≦n^(2/3) ] nCm I(n,m)
≒ Σ_[ |m-n/2|≦n^(2/3) ] nCm･2(nCm/(2^n))
≒ Σ_[m=0,n] nCm･2(nCm/(2^n)).
1008:１３２人目の素数さん
20/01/26 15:23:57 q15H9faC.net
>>954
一応この値に収束するハズの値に向かってる香りはするな。
1009:１３２人目の素数さん
20/01/26 16:11:18 PGgpdPwa.net
うわ…多分I(n,m)の評価の所で色々やらかしてる…けど結論はちゃんと導けるはず
正確にやるにはおそらく、各固定された正のαに対して Σ_[ |n-m/2|≦α√n ] の範囲で和をとった時、
(i)その値のn→∞の時の挙動を、中心極限定理を使って調べる
(ii)その範囲の和と元の範囲の和 Σ_[m=0,n] の比が、α→∞の時に1に収束する
ことを示せば良い
1010:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/26 16:22:29 VZduDiQU.net
前>>928
>>931
端数の平均は0.5
3つの実数の端数の平均を足すと、
0.5×3=1.5
端数の合計が0以上1未満なら四捨五入してもいっしょだけど1以上1.5未満なら四捨五入したとき異なる値になる。
(1.5-1)/1.5=0.5/1.5
=1/3
∴1/3は異なる
>>948あってるような気もするけど、違うような気もする。
>>931三角錐を描くと、
三角錐V=(1/3)Sh
=(1/3)(1/2)absinθ･h
=(1/6)abhsinθ
=(1/6)abc(h/c)sinθ
0≦h/c≦1,0≦sinθ≦1だから、
V≦(1/6)abc
三角錐は最大で3辺の積の、
1/6になる。
けど、だから3つの実数の和を四捨五入したものと3つ実数を四捨五入したものの和が異なる確率が1/3とすぐには言いにくい。
1011:１３２人目の素数さん
20/01/26 16:36:40 G7gVG9Ku.net
>>948
その理屈だと確率は1/nになるけど、pnはｎの増加関数だから論証は間違いだろうな。
1012:１３２人目の素数さん
20/01/26 16:38:27 G7gVG9Ku.net
>>958
実数が10個のときの確率はどうなる？
1013:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/26 16:54:10 VZduDiQU.net
前>>958
>>960
端数の平均は0.5
10個の実数の端数の平均を足すと、
0.5×10=5
端数の合計が0以上1未満なら四捨五入してもいっしょだけど1以上5未満なら四捨五入したとき異なる値になる。
(5-1)/5=4/5
∴4/5は異なる
1014:１３２人目の素数さん
20/01/26 17:35:19 G7gVG9Ku.net
>>961
百万回シミュレーションして頻度を出してみたら
> sim(10,1e6)
[1] 0.589245
という結果になった。
1015:１３２人目の素数さん
20/01/26 22:17:24 GWa5WXip.net
I = [-1/2,1/2)
V_n,1 = {(x_1,..,x_n)∈I^n | x_1+..+x_n >= 1/2}
V_n,2 = {(x_1,..,x_n)∈I^n | x_1+..+x_n < -1/2}
|V| = Vの体積
とすると
p_n = |V_n,1| + |V_n,2|
であってる？
1016:１３２人目の素数さん
20/01/26 23:34:03 3P7jTqg+.net
>>963
1017: その視点は見逃してたわ…合ってるよ合ってる
1018:１３２人目の素数さん
20/01/27 05:13:28.53 wLPfG0Jr.net
>>939 >>947
区間I=[-1/2,1/2)で一様分布する独立なn個の実数を足してもIに含まれる確率をP[n]とすると
P[n]=(1/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx
である。
例：P[3]=2/3, P[4]=115/192, P[5]=11/20,...
証明：
f[1](x)=1; (-1/2≦0<1/2)
f[1](x)=0; (otherwise)
として
f[n+1](x)=f[n]〇f[1]=∫[-∞,∞]f[n](y)f[1](x-y)dy
と置くと
P[n]=∫[-1/2,1/2]f[n](x)dx=f[n+1](0) ----(1)
ここでfのフーリエ変換をFとすると、畳み込みが積になるので
F[1](t)=sin(t/2)/(t/2),
F[n](t)=(sin(t/2)/(t/2))^n
逆変換して
f[n](x)=(1/(2π))∫[-∞,∞](sin(t/2)/(t/2))^n e^(ixt)dt
これを(1)に代入して
P[n]=(1/(2π))∫[-∞,∞](sin(t/2)/(t/2))^(n+1)dt
=(1/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx
1019:１３２人目の素数さん
20/01/27 05:15:02.54 wLPfG0Jr.net
>>965 の結果より
(√n)P[n]=(√n/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx
ここで(sinx/x)^(n+1)→(1-x^2/6)^(n+1)→e^(-(n+1)x^2/6) (n→∞)だから
(√n)P[n]→(√n/π)∫[-∞,∞]e^(-(n+1)x^2/6)dx
→(1/π)∫[-∞,∞]e^(-u^2/6)du
= √(6/π)
= 1.3819...
1020:１３２人目の素数さん
20/01/27 06:16:51.73 TorfSpoK.net
>>966
>954のシミュレーションは正しいみたいでほっとした。
1021:１３２人目の素数さん
20/01/27 06:34:46.53 TorfSpoK.net
３～１０でのシミュレーション
> sapply(3:10,function(n) fpn(n,k=1e5))
[1] 0.66694 0.59719 0.55017 0.50919 0.47722 0.45076 0.42785 0.40860
積分値
> sapply(3:10,Pn)
[1] 0.6666603 0.5989594 0.5499998 0.5110238 0.4793651 0.4529209 0.4304178 0.4109626
1022:１３２人目の素数さん
20/01/27 06:56:49.40 TorfSpoK.net
>>965
シミュレーションでn=3 のときの Pnの確率をヒストグラムにしてみたけど、これって正規分布じゃないのですね。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
1023:１３２人目の素数さん
20/01/27 07:26:49.20 wLPfG0Jr.net
>>969
正確な分布関数はf[n](x)で区分n-1次多項式になる。
n=3のとき
f[3](x)=(2x+3)^2/8; (-3/2≦x<-1/2)
f[3](x)=-x^2+3/4; (-1/2≦x<1/2)
f[3](x)=(2x-3)^2/8; (1/2≦x<3/2)
n→∞の極限で正規分布に近づく。
1024:１３２人目の素数さん
20/01/27 08:23:35 TorfSpoK.net
(sinx/x)^(n+1)が確率密度関数じゃないんだ。
1025:１３２人目の素数さん
20/01/27 08:28:18 wLPfG0Jr.net
>>971
それは確率密度関数をフーリエ変換した関数
1026:１３２人目の素数さん
20/01/27 08:59:18 FfoB/Dlb.net
>>965
おそらく正解。
私もそれで出したけど細かいチェックしてなかった。
要は特性関数からレヴィの反転定理で元に戻すとそうなりますね。
1027:１３２人目の素数さん
20/01/27 09:40:58 jYDLguNL.net
>>966
うぎゃ…2/√π じゃなかったのか…シミュレーションとも（やや）合ってなかったしもっと確かめればよかった
フーリエ変換とかもっと勉強しよ
1028:１３２人目の素数さん
20/01/27 12:32:33 NPrv1OWq.net
>>970
( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
1029:１３２人目の素数さん
20/01/27 14:42:13 QSsw4R/8.net
>>970
すいません、誘導過程が全くわかりません。
解説されても私には理解できない予感がします。
1030:１３２人目の素数さん
20/01/27 14:49:08 xfR5TH1T.net
>>976
なんで？その上にあるたたみ込み計算するだけジャン
確率密度関数は要らないがよ
1031:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/27 16:15:38 1cp91WSt.net
>>760最短10秒かもしれんな。プールサイドを5秒速足で歩いて、
1032:直角に曲がって向こう側から進行方向に対して60°の方向に飛びこめば、ちょうど10秒で対角線に達する。どこから飛びこんでも10秒を超える場所はない。なんだ5+10/√3て？ 10秒超えてるじゃんねぇ。 ~∩∩前>>961せ ∩∩ (-.-))めて有理 (`) ) [￣]_)化しろよ。U⌒U､ ￣￣]/＼___∩∩ノ(γ) ____/＼/,,(`.`))⌒ﾞ,| ￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ| ￣￣|＼_U⌒U､___／| | □ | ∥~U~U~￣∥ | / ____| ∥ □ □ ∥ |/ _____`∥_______∥／ ￣￣￣￣￣￣￣￣
1033:１３２人目の素数さん
20/01/27 16:28:13 QSsw4R/8.net
俺もフーリエ変換とかもっと勉強しよ
1034:１３２人目の素数さん
20/01/27 16:43:36 t+jrfUAN.net
発展形。
Xiが平均0のiidで2次のモーメント(=分散)σ^2=E(X^2)を持つとする。
a>0を正の定数とし
pn=P(|ΣXi|>a)
とおくとき
lim √n(1-pn)=√(2/π)a/σ
を示せ。
自作問題。
またまた自信はない。
1035:１３２人目の素数さん
20/01/27 16:55:04 QSsw4R/8.net
正解は正直者なしなので、それを論証したい方のみお考えください。
正解がないように問題を作成したつもり。
AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、誰が正直者か嘘つきかはお互いに知っている。
A,B,C,D,Eは嘘つきなら必ず嘘をつくが、F,G,Hは嘘つきでも正しいことを言う場合がある。
次の証言から誰を確実に正直者と断定できるか？
A「嘘つきの方が正直者より多い」
B「Hは嘘つきである」
C「Bは嘘つきである」
D「CもFも嘘つきである」
E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
G「Eは嘘つきである」
H「AもFも正直者である」
1036:１３２人目の素数さん
20/01/27 17:01:18 QSsw4R/8.net
>>980
iidって
independent identical distribution?
1037:１３２人目の素数さん
20/01/27 17:27:24 t+jrfUAN.net
正解は解なしで解答不能じゃないの？
確かにないみたいだし。
1038:１３２人目の素数さん
20/01/27 17:27:48 t+jrfUAN.net
>>982
yes
1039:１３２人目の素数さん
20/01/27 17:31:46 t+jrfUAN.net
>>980
あ、各分布は連続分布関数を持つはいるかもしれない。
いらないかもしれない。
1040:１３２人目の素数さん
20/01/27 17:54:36 QSsw4R/8.net
>>983
つまり、
解答不能を論証する問題
1041:１３２人目の素数さん
20/01/27 18:16:48 t+jrfUAN.net
>>986
プログラム組んでみたらないみたいですな。
1042:１３２人目の素数さん
20/01/27 18:24:11 t+jrfUAN.net
(a,b,c,d,e,f,g,h)=((!!0),(!!1),(!!2),(!!3),(!!4),(!!5),(!!6),(!!7))
nOfLiers x = length $ filter (==False) x
nOfHonests x = length $ filter (==True) x
asay x = (nOfLiers x) > (nOfHonests x)
bsay x = not $ h x
csay x = not $ b x
dsay x = (not $ c x) && (not $ f x)
esay x = nOfLiers x>=1
fday x = nOfLiers x>=2
gsay x = not $ e x
hsay x = (a x) && (f x)
xs = (!!8) $ iterate (\x->[a:b| a<-[True,False],b<-x]) [[]]
isFitToTheySaid x = all (==True) $ map (\y-> y x) [asay, bsay,csay,dsay,esay,fday,gsay,hsay]
fits = [x|x<-xs,isFitToTheySaid x]
main = do
print $ length fits
----
0
1043:１３２人目の素数さん
20/01/27 18:30:51 YG6teE6r.net
あ、間違い。
15行目
isFitToTheySaid x = all (==True) $ zipWith (==) x $ map (\y-> y x) [asay, bsay,csay,dsay,esay,fday,gsay,hsay]
どのみち0。
1044:１３２人目の素数さん
20/01/27 18:36:21 72GikKsS.net
>>981
G と E だけ抜き出すと、
> E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
> G「Eは嘘つきである」
E が正直で G が嘘つきで嘘を言ってた場合、
この組の発言は他に影響を与えないし依存もしていないので
他の 6人の発言に矛盾があろうとなかろうと
E は正直というのは駄目？
1045:１３２人目の素数さん
20/01/27 18:45:10 QSsw4R/8.net
>>980
Yiを平均＝分散＝７のポアソン分布として Xi=Yi-7 （平均を０にするため）、a=3、qn = P(|ΣXi|<a) （1-pnをｑｎとした）として√(n)*qnをグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
√(2/π)a/σ= 0.9047161 だけど、収束する様子がない。
離散分布だと成立しないのかも？
1046:１３２人目の素数さん
20/01/27 18:54:26 VuOY61Uq.net
>>980
各Xiを, {-1,1}のどちらかの値をそれぞれ確率1/2でとる確率変数と定めると, a=0.5 と定めた時に
nが奇数なら 1-p_n=0 になる一方, nが偶数なら 1-p_n=2^(-n)･nC(n/2)≒√(2/(πn)) になるから, 成り立たなさそう
連続分布関数に限定すればおそらく同じような問題は起きないぽいけど, これが本当に十分条件かは自信ない…
1047:１３２人目の素数さん
20/01/27 19:12:14 YG6teE6r.net
>>989
また訂正
fday x = (not $ f x) || (nOfLiers x>=2)
gsay x = (not $ g x) || (not $ e x)
hsay x = (not $ h x) || ((a x) && (f x))
fが言ったのは
私は嘘つきか嘘つきの数は2以上
ね。
1048:１３２人目の素数さん
20/01/27 19:14:07 YG6teE6r.net
>>991-992
分布関数が不連続の点ではレヴィの反転定理が成立しないので今持ってる証明だと成立しない可能性はありますね。
今持ってる証明が正しい保証もないけどw
1049:１３２人目の素数さん
20/01/27 19:16:43 QSsw4R/8.net
>>988
>プログラム組んでみたらないみたいですな。
いつも華麗なコードをありがとうございます（使わないのでHaskellはほぼ忘れておりますが）
実際、正解がないようにプログラムで作ったので、他の言語でそれが確認されて光栄。
珍しく、魔法の呪文のようなHaskellのコードの長さがRと同程度なのには驚き。いつも数十行のRコードをHaskell数行で実行されちゃいますので。
TE=expand.grid(0:1,0:1,0:1,0:1,0:1,0:1,0:1,0:1)
colnames(TE)=LETTERS[1:8]
f <- function(x){
all(c(
x[1]==1 & sum(x==0)>sum(x==1) | x[1]!=1 & !(sum(x==0)>sum(x==1)),
x[2]==1 & x[8]==0 | x[2]!=1 & x[8]!=0,
x[3]==1 & x[2]==0 | x[3]!=1 & x[2]!=0 ,
x[4]==1 & (x[3]==0 & x[6]==0) | x[4]!=1 & !(x[3]==0 & x[6]==0),
x[5]==1 & sum(x==0)>=1 | x[5]!=1 & !(sum(x==0)>=1),
x[6]==1 & sum(x==0)>=2 | x[6]==0,
x[7]==1 & x[5]==0 | x[7]==0,
x[8]==1 & (x[1]==1 & x[6]==1) | x[8]==0
))
}
TE[apply(TE,1,f),]
1] A B C D E F G H
<0 rows> (or 0-length row.names) ＃ 0 行＝ありませんという表示
1050:１３２人目の素数さん
20/01/27 19:20:36 jyV1bY+U.net
>>974
多分フーリエ変換よりもこういうの勉強した方が理解につながるかと
URLﾘﾝｸ(my.reset.jp)
1051:１３２人目の素数さん
20/01/27 19:28:57 VuOY61Uq.net
あとこれは本当に興味本意だけど, 例えば
各Xiを集合{-1, 1-√2, √2}上の離散一様分布とした時に同じ主張が成り立つか, というのは興味がある
あくまで離散的だけど, 畳み込みする毎に中央あたりがどんどん"密"になっていく訳だから…
1052:１３２人目の素数さん
20/01/27 19:38:48 QSsw4R/8.net
>>990
6人の発言に矛盾があったら、E＝正直、G＝嘘つきの前提が成立しなくなるよ。
1053:１３２人目の素数さん
20/01/27 19:43:56 VuOY61Uq.net
>>996
ありがてえ…わかりやすい
1054:１３２人目の素数さん
20/01/27 20:06:25 EX13BAvY.net
（ ・∀・）＜ そろそろ次スレ
1055:1001
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