20/01/18 09:58:04 PXyx+OwH.net
>>678
Re{β} = -(1/2)|β|^4 = -α^(-2)/2,
cos(ω) = -(1/2)|β|^3,
701:１３２人目の素数さん
20/01/18 10:57:32.36 aX+4W30D.net
>>679
これって嘘つきの証言も正しいという前提？
702:１３２人目の素数さん
20/01/18 11:27:02.31 aX+4W30D.net
>>679
Aが嘘つきの場合は
「8人の中に、少なくとも1人正直者がいる」は嘘の証言で
正直者は誰もいないとして計算？
703:１３２人目の素数さん
20/01/18 11:43:01.17 EsuXaTYh.net
この問題で問題文の意味の取りようなんて議論の余地ないだろ？
704:１３２人目の素数さん
20/01/18 11:50:29.99 PXyx+OwH.net
>>669
>>670
円の半径を1, Bの速さを1, Aの速さをaとする。
Aがθ(t)で追�
705:ﾁたとする。 |dθ/dt| ≦ a, 最初、Bは Aと逆方向 π+θ(t) を保ちながら速さ１で逃げる。 中心～Bの距離を r(t) とする。 dr/dt = √{1 - rr(dθ/dt)^2} ≧ √{1-(ar)^2}, r ≧ sin(at)/a, 時刻 π/2a までに r=1/a に到達する。 次に、Bは円周Cまで直進する。所要時間： (a-1)/a, AがCに到着するまでの所要時間： π/a a<π+1 ならば逃げ切れる。 r=1/a で直角に曲がらずに丸く曲がった方が短くなる。 aはもっと大きい可能性･･･
706:１３２人目の素数さん
20/01/18 12:09:00.92 aX+4W30D.net
AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、次のように証言している。証言でも嘘つきは必ず嘘をつく。
嘘つきは誰か、全ての組合せを答えよ。
A「8人の中に、正直者は3人いる」
B「8人の中に、少なくとも2人正直者がいる」
C「Bは嘘つきである」
D「Cは嘘つきである」
E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
G「Eは嘘つきである」
H「AもFも嘘つきである」
707:658
20/01/18 12:56:09.45 E9RqLHbc.net
>>665
漸化式かっこいい！でも、一般項は求まらないか、、、。
>658まで書いたところで、急にウンチしたくなって、出勤時間も
迫ってたんで、値まで計算せずに書き込みして出かけちゃいまし
たが、検算ありがとう。
708:１３２人目の素数さん
20/01/18 12:56:14.78 EsuXaTYh.net
全員正直はCと矛盾するのであり得ない。
よってE=H。G=L。
CによりB又はCが嘘つきなのでG以外の嘘つきがいる。
よってF=H、H=L。
E,Fが正直なのでB=H、C=L、D=H。
ここまでで4人以上正直がいるのでA=L。
709:１３２人目の素数さん
20/01/18 15:05:40 zvEtuxN+.net
>>691
>一般項は求まらないか、、、。
3項漸化式で特性方程式が3次
その解を使えば？
710:１３２人目の素数さん
20/01/18 15:08:21 kUGqA2Ne.net
嘘つき問題を論理式で解いたらどうなるんだろ
711:１３２人目の素数さん
20/01/18 15:34:40 EsuXaTYh.net
普通に命題論理の問題になるけど例えば>>679の問題の
B「8人の中に、少なくとも2人正直者がいる」
を命題論理の式にすると
B=(A∩B)∪(A∩C)‥∪(G∩H)
になって手計算では無理な話になってしまう。
計算機使えれば一撃だけど。
712:１３２人目の素数さん
20/01/18 15:46:56 zvEtuxN+.net
>>694
自己言及があるが？
713:１３２人目の素数さん
20/01/18 16:54:38.67 dWbEz1QY.net
>>690
プログラム組んで解いたら
> TE[apply(TE,1,g),]
[1] 0 1 0 1 1 1 0 0
嘘つきは A C G H
714:１３２人目の素数さん
20/01/18 17:24:05 dWbEz1QY.net
プログラム解を前提にすれば、ファジーな嘘つきを入れてこんな問題もできる。
AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、誰が正直者か嘘つきかはお互いに知っている。
A,B,C,D,Eは嘘つきなら必ず嘘をつくが、F,G,Hは嘘つきでも正しいことを言う場合がある。
次の証言から確実に正直者と断定できる人を全て挙げよ。
A「8人の中に、正直者は3人いる」
B「8人の中に、少なくとも2人正直者がいる」
C「Bは嘘つきである」
D「Cは嘘つきである」
E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
G「Eは嘘つきである」
H「AもFも嘘つきである」
715:１３２人目の素数さん
20/01/18 17:27:51 dWbEz1QY.net
どこかの中学入試の問題らしい
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人のうち２人は常に本当のことを言う正直者です。あとの３人は嘘つきですが、その発言内容は本当のときもあります。
彼らに誰が嘘つきか尋ねたところ次のように答えました。
Ａ 「ＢとＥは嘘つきではない」
Ｂ 「Ｃは嘘つきだ」
Ｃ 「Ｄは嘘つきだ」
Ｄ 「Ｅは嘘つきだ」
Ｅ 「ＢとＣは嘘つきだ」
さて、正直者は誰と誰でしょうか？
716:１３２人目の素数さん
20/01/18 18:21:23 EsuXaTYh.net
>>699
A=HとするとE=Hとなって矛盾するのでA=L。
E=Hとすると残り1人の正直者はDしかあり得ないが、するとするとE=Lとなって矛盾するのでE=L。
B=C=HはBの証言に矛盾するのであり得ないからE=H。
するとD=L、C=Hとわかる。
717:１３２人目の素数さん
20/01/18 18:22:46 EsuXaTYh.net
>>698
この手の問題計算機使って解かないと解けないのでは単なる計算機の演習にしかならない。
718:１３２人目の素数さん
20/01/18 21:12:52 zvEtuxN+.net
>>701
試行錯誤で解けるが
719:１３２人目の素数さん
20/01/18 21:17:38 EsuXaTYh.net
>>702
解答プレーズ
720:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/18 21:20:38 hIqEloY9.net
前>>679挑戦者暫定1位。
>>640問題。
逃走ルートをなるべく最短にしたいBは、7時半の方向に逃げるはずだ。
AがBを追った距離は、
2πr{(7+30/60)/12}
=5πr/4
Bが逃げた距離は、半径が直角になりこれはかなり最短だと思うんだけど半径r/√2の四分円孤、
2π(r/√2)(1/4)=πr/2√2
Aの速さはBの速さの、
5πr/4÷πr/2√2=5√2/2
=3.53553391……(倍)
まさかの3.5倍超え。さすがに4倍は超えないと思うけど、まだわからんな。
721:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/18 21:27:02 hIqEloY9.net
前>>704
前々>>677
アンカー訂正。
m(__)m
722:１３２人目の素数さん
20/01/18 21:31:04 dWbEz1QY.net
>>701
2＾8＝256だから、手作業でやれなくもないとは思うけど
プログラムを組む方が早い。
256通りを以下のような関数でTRUEを返すものを選ぶだけ。まさに無思考ｗｗｗ
H=sum(x) # H:正直者の数
L=n-H # H:嘘つきの数
all(c( # 全て正しければTRUEを返す
(x[1]==1 & H==3) | (x[1]==0 & H!=3 ), # Aが正直者で証言が正しい | Aが嘘つきで証言が嘘
(x[2]==1 & H>=2) | (x[2]==0 & H <2 ), # Bが正直者で証言が正しい | Bが嘘つきで証言が嘘
(x[3]==1 & x[2]==0) | (x[3]==0 & x[2]==1), # Cが正直者で証言が正しい | Cが嘘つきで証言が嘘
(x[4]==1 & x[3]==0) | (x[4]==0 & x[3]==1), # Dが正直者で証言が正しい | Dが嘘つきで証言が嘘
(x[5]==1 & L>=1) | (x[5]==0 & L<1 ), # Eが正直者で証言が正しい | Eが嘘つきで証言が嘘
(x[6]==1 & L>=2) | (x[6]==0 ), # Fが正直者で証言が正しい | Fが嘘つき
(x[7]==1 & x[5]==0) | (x[7]==0 ), # Gが正直者で証言が正しい | Gが嘘つき
(x[8]==1 & x[1]==0 & x[6]==0) | (x[8]==0 ) ) ) # Hが正直者で証言が正しい | Hが嘘つき
可能な組み合わせ（１：正直者 0:嘘つきと
> TE[apply(TE,1,k),]
A B C D E F G H
[1,] 0 1 0 1 1 0 0 1
[2,] 0 1 0 1 1 1 0 0
どちらでも正直者なのは、B D E
723:１３２人目の素数さん
20/01/18 21:40:14 EsuXaTYh.net
あれ？
オレの計算結果と違う？
[True,False,False,True,True,False,False,False]
[True,False,False,True,False,True,False,False]
[True,False,False,True,False,False,True,False]
[True,False,False,False,True,True,False,False]
[True,False,False,False,False,True,True,False]
[False,False,False,True,True,True,False,False]
[False,False,False,True,True,False,False,True]
[False,False,False,True,False,True,True,False]
[False,False,False,True,False,False,True,True]
になった。
まぁこんな計算できてもどうでもいいけど。
724:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/19 01:44:23 6fYcVEZg.net
前>>705挑戦者1位。
>>640問題。
Bが7時20分の方向に逃げたとき、
AがBを追った距離は、
2πr{(7+1/3)/12}
=11πr/9
Bが逃げた距離は、半径R,中心角80°の扇形円孤、
2πR(80°/360°)=4πR/9
Aの速さはBの速さの、
11πr/9÷4πR/9=11r/4R
=3.……(倍)
正十八角形の1辺の長さを外接円の半径rで表すことができれば、三角形の相似比からRをrで表せて、倍率が出る。と考えたがとりあえず値だけ出して、
Rsin40°=r/2より、
R=r/2sin40°
11r/4R=(11/2)sin40°
=3.53533185……(倍)
7時30分の短針の方向にわずかに及ばない。
円軌道で7時半の短針の方向に出るBにAが追いつくとき、AはBの3.53553391倍以上の速さが必要が最大で、これ以上の値はみつからない。
Bの逃走ルートとして螺旋のルートを考えると、先に求めた円軌道の最大値、
πr√2/4を保ったままコイルをひっぱるように螺旋状にのばすと、
Bがπr√2/4(＞r)逃げるあいだにAが一周2πr走って追いつくことも可能で、
Aの速さはBの速さの、
2πr/(πr√2/4)=4√2
=5.65685……(倍)
というべらぼうな速さを出せるが、
かならずAが最善の走りに気づいて逆回りするからアウトだと思う。
725:１３２人目の素数さん
20/01/19 01:50:22 0RKATGn1.net
>>698
> AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、誰が正直者か嘘つきかはお互いに知っている。
> A,B,C,D,Eは嘘つきなら必ず嘘をつくが、F,G,Hは嘘つきでも正しいことを言う場合がある。
> 次の証言から確実に正直者と断定できる人を全て挙げよ。
>
> A「8人の中に、正直者は3人いる」
> B「8人の中に、少なくとも2人正直者がいる」
> C「Bは嘘つきである」
> D「Cは嘘つきである」
> E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
> F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
> G「Eは嘘つきである」
> H「AもFも嘘つきである」
Dの発言からCとDの属性（正直者or嘘つき）は一致しないので、
Eの発言は真。ゆえにEは正直者。
C,Dのうち片方とEを合わせれば合計二人の正直者がいることになるから、
Bの発言は真。ゆえにBは正直者。
CとDの発言から、C嘘つきとD正直者が確定。
726:この時点で正直者が三人発覚しているが、 Aが正直者なら正直者が四人以上いることになり矛盾。ゆえにAは嘘つき。 Gの発言は偽であるからGは嘘つき。 Aが嘘つきであることから、Hの発言の真偽はFの属性（正or嘘）と一致。 Fの発言は真であるが、Fの属性については何もわからない。以上から、HとFについて (H,F)=(正,正), (正,嘘), (嘘,嘘) の可能性がある以外は、これまでの議論の通り全て確定している。 以上から、答えはB,D,E.
727:イナ
20/01/19 04:45:53.99 6fYcVEZg.net
前>>708念のため7時40分の方向にBが逃げたときを考える。
>>640問題。
Bが逃げる軌跡は、
底角40°,頂角100°の二等辺三角形を含む扇形の円孤になり、
Aの速さはBの速さの、
2πr(7+2/3)/12÷2π(r/2cos40°)(100°/360°)
=(23/3)/12÷5/18･2cos40°
=23･2cos40°/10
=(23/5)cos40°
=3.52380444……(倍)
＜3.53553391……
あとは7時25,27,29分あたりがちょっと気になる。
7時台の速さ比(A/B)のグラフが見たい。
7時半の方向が最大だと思うけど。
728:１３２人目の素数さん
20/01/19 06:34:16.10 EEjXWdAC.net
>>709
レスありがとうございます。
(H,F)=(正,正)は成立しません。 Hの発言： H「AもFも嘘つきである」 からFが嘘つきになり矛盾します。
(H,F)=(嘘,嘘)も成立しません。 Aは必ず嘘をつく嘘つきと確定しているので正直者は３人ではありえません。
(H,F)=(嘘,嘘)ならば正直者がB,D,Eの３人になるのでAが真実を語っていることになり、矛盾します。
729:１３２人目の素数さん
20/01/19 07:04:20 EEjXWdAC.net
>>700
Aが正直者とすると正直者が3人になるのでAは嘘つき。
B,C,D,Eに二人の正直者がいる。
その組み合せは6通り。
相互に矛盾しないのはB,Dの組合せだけ。
730:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/19 08:36:20 6fYcVEZg.net
前>>710
>>699
正直者はAとC。
Aが正直者とすると矛盾が生じてAは嘘つきとなったが、うまくいかない。
もう一度、嘘つきが本当のことを言うこともあるという広い心で題意を読みかえしてみた。
おのずとAとCが正直者だったとわかった。
731:１３２人目の素数さん
20/01/19 08:52:07 MNtmCELY.net
1cm刻みの数直線上の隣り合った3点に●がある(3つの●は区別がない)。
1秒ごとに●1つが他の●1つを飛び越す。
その場合、飛んだあとの●の位置は、飛び越された●からの距離がもとの位置からと同じになるようにする。
飛んだあとの位置にすでに他の●があるときは飛べない。
2021秒後に、●●●全てが開始位置に戻ることはできるか？
例、
●●●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
● ●●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
● ● ●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
● ● ●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
：
↓
●●●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
732:１３２人目の素数さん
20/01/19 10:17:19 p/jcyrav.net
>>713
正解が投稿されてから誤答を繰り返すいつもの芸風 乙
733:１３２人目の素数さん
20/01/19 10:18:00 0RKATGn1.net
>>711
うわ、二つもアウトな場合取りこぼすとかぼーっとしてた
なるほど一度使った条件もまた後から効いてくる場合があったか
734:１３２人目の素数さん
20/01/19 10:22:05 mAiNEiBE.net
いくらなんでも2021がムリクリすぎん？
735:１３２人目の素数さん
20/01/19 10:31:11 flshczPE.net
>>703
2＾8=256通り試すだけ
736:１３２人目の素数さん
20/01/19 10:36:09 Ld5ZhyuY.net
>>714
A B C
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
(2021回後)
↓
C A B
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
は元に戻った事になりますか？
737:１３２人目の素数さん
20/01/19 10:37:14 gvXkKI2o.net
ズレたorz
でも疑問の意味はわかってもらえると信じて
738:１３２人目の素数さん
20/01/19 10:56:30 U/f9+Pty.net
とりあえず3個の石がそれぞれ全部元位置に戻るのは不可。
3個の位置を(a,b,c)としてAがBを飛び越すと(-a+2b,b,c)になる。
この変換を行列で表した時のdetは-1。
他も同様。
もし最初(0,1,2)から始めて(0,1,2)に戻ったとすると(n,n+1,n+2)から始めると(n,n+1,n+2)に戻り、よって変換は単位行列にならなければならない。
しかし一個の行列の行列式が-1なのでどのように2021個組み合わせてかけてもその行列式は-1にしかならない。
739:１３２人目の素数さん
20/01/19 11:28:59.40 Yx0eiL2o.net
あ、相互位置交換も不可かな？
対称性から(a,b,c)→(b,a,c)が不可である事を示せば十分。
(0,1,2)→(1,0,2)が不可である事を示せば十分だけど各変換はmod2で恒等写像なのでコレは明らか。
740:１３２人目の素数さん
20/01/19 11:49:47 MNtmCELY.net
>>719
●は区別がないので、なります。
741:１３２人目の素数さん
20/01/19 12:04:17 0RKATGn1.net
(0,1,2)→(0,3,2)→(0,3,4)→(6,3,4)→(2,3,4)→(2,3,0)→(2,1,0)
偶数回ではあるけど位置交換自体は可能みたい
742:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/19 12:55:24 6fYcVEZg.net
前>>713
>>699
BとDが正直者。
>>715読みなおした。やっぱり矛盾が生じてAは嘘つきとなった。
Bが正直者とすると、
C嘘つき,D正直者,E嘘つきで矛盾しないと思う。
743:１３２人目の素数さん
20/01/19 12:58:23 EEjXWdAC.net
シミュレーションしていたら、こういうジャンプで元に戻る
> sim()
0 : 1 2 3
1 : 1 3 4
2 : -1 1 4
3 : -1 4 7
4 : -6 -1 7
5 : -1 4 7
6 : -1 1 4
7 : 1 3 4
8 : -1 1 4
9 : 1 3 4
10 : 1 2 3
最短だと
> sim()
0 : 1 2 3
1 : 0 1 3
2 : 1 2 3
2021回は奇数回だから 元に戻れないと思う。
根拠は直感のみｗ
744:１３２人目の素数さん
20/01/19 13:57:20 0RKATGn1.net
>>714
こんな感じかな
～～～～～～～～
互いに素な正整数の組(a,b)全体からなる集合CPに対して関数 f:CP→{1,-1} を
f(1,1)=1,
a>b ならば f(a,b)=f(b,a)
a<b ならば f(a,b)=-f(a,b-a)
と定める。well-defined性は、互除法の成立に関する命題と同様にして示せる。
盤面で一番左にある●と真ん中の●の距離a(cm)と、真ん中の●と一番右の●の距離b(cm)を用いて、
盤面の状態を正整数の組(a,b)で表すことにする。
（複数の盤面で同じ正整数の組になることはあるが、そのような複数の盤面は
平行移動で互いに移り合えるものに限られる）
盤面の状態(a,b)から一秒後に移ることができる盤面は、a>bの時
(a+b,b), (b,a+b), (a-b,b), (b,a-b), (a,a+b), (a+b,b)
のみであり、いずれの場合も新たな整数の組はCPに属する。
更にfの定義を用いると、いずれの場合もfの値が元のf(a,b)と異なるものになることが導かれる。
a<bやa=b(つまりa=b=1)の場合も同様。
以上より、2021秒後の盤面(a,b)のfによる値は
(-1)^2021=-1 であり、(a,b)=(1,1) となることはあり得ない。
～～～～～～～～
つまり互いに素な正整数の組に対して定まる、ある種の『符号』みたいなものが
存在するということなのね、知らなかった
745:１３２人目の素数さん
20/01/19 13:59:39 BJcaYRJm.net
偶数回でいいなら逆回ししたらいいだけでは？
746:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/19 15:25:14 6fYcVEZg.net
前>>725
>>719がなりますだったらなんだってなりますだよ。>>714だってなりますだ。
左に一個ずつズレていいならいくつズレようが三個並べばいいってことじゃないか。
正解は2021回だと元の位置にはならない、だと思う。
747:１３２人目の素数さん
20/01/19 15:32:23 EEjXWdAC.net
>>674
Aと円の中心と対称となる点を、目指して常に方向転換するという方針で、定速で作図してみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
Bの曲線の接線と円周の交点がその時点でのAと対称になっている（はず）。
図はAの速度がBの１．２倍のとき。
748:１３２人目の素数さん
20/01/19 15:45:57 EEjXWdAC.net
Bは円周ギリギリで円運動しておいて、タイミングを見計らって円周に到達すればいいんじゃないかな？
Aがいくら速くても円周との距離を限りなく０に近づければBは捕まらないと思う。
749:１３２人目の素数さん
20/01/19 17:26:30 umPR//wq.net
>>721は撤回します。
吊ってくる
750:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/19 18:14:18 6fYcVEZg.net
前>>729
>>730袋のねずみじゃないか。もう捕まってるじゃないか。Bが棄権負けだよ。不要な時間稼ぎ。外周から遠ざかってる。Bが反則負け。
だいたいAがそんな遅くて捕まえられるわけがない。スタート時点でAの進行方向に対して90°の方向にBが逃げると、π倍以上の速さが必要なのは問題にあるとおり。
それじゃ捕まるってんでBが逃げるんだから、Aはもっと速くないと捕まえられないじゃないか。
簡単な話、同じ時間走ってるわけだから、AとBの速さは、AとBが走った距離に比例する。
それより7時25分から7時29分までの短針の方向にBが逃げてAが捕まえたときのグラフが見たいよ。
751:１３２人目の素数さん
20/01/19 18:28:48 EEjXWdAC.net
>>728
逆回しでなくてもいい経路があるみたい。
> sim()
0 : 1 2 3
1 : 1 3 4
2 : 1 4 5
3 : 1 5 6
4 : 1 4 5
5 : 1 3 4
6 : -1 1 4
7 : 1 3 4
8 : 1 2 3
752:１３２人目の素数さん
20/01/19 18:38:03 EEjXWdAC.net
>>734
> sim()
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0 1 3
[2,] -1 0 3
[3,] 0 1 3
[4,] 0 3 5
[5,] -3 0 5
[6,] 0 3 5
[7,] 0 1 3
[8,] -1 0 3
[9,] -1 3 6
[10,] -1 0 3
[11,] -1 3 6
[12,] -1 0 3
[13,] -2 -1 3
[14,] -2 3 7
[15,] -2 -1 3
[16,] -1 0 3
[17,] 0 1 3
[18,] 1 2 3
753:１３２人目の素数さん
20/01/19 18:49:27 EEjXWdAC.net
●が長旅してみました。
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 3 4
[2,] -1 1 4
[3,] -1 4 7
[4,] -1 1 4
[5,] -1 4 7
[6,] -6 -1 7
[7,] -6 7 15
[8,] -19 -6 15
[9,] -32 -19 15
[10,] -19 -6 15
[11,] -6 7 15
[12,] -19 -6 15
[13,] -32 -19 15
[14,] -45 -32 15
[15,] -32 -19 15
[16,] -19 -6 15
[17,] -6 7 15
[18,] -6 -1 7
[19,] -6 7 15
[20,] -6 -1 7
[21,] -6 7 15
[22,] -6 15 23
[23,] -6 7 15
[24,] -6 -1 7
[25,] -6 7 15
[26,] -6 -1 7
[27,] -6 7 15
[28,] -19 -6 15
[29,] -6 7 15
[30,] -6 -1 7
[31,] -1 4 7
[32,] -6 -1 7
[33,] -6 7 15
[34,] -6 15 23
[35,] -6 7 15
[36,] -6 -1 7
[37,] -1 4 7
[38,] -6 -1 7
[39,] -1 4 7
[40,] -1 1 4
[41,] -3 -1 4
[42,] -1 1 4
[43,] -1 4 7
[44,] -1 1 4
[45,] 1 3 4
[46,] 1 4 5
[47,] 1 5 6
[48,] 1 4 5
[49,] 1 3 4
[50,] 1 2 3
754:１３２人目の素数さん
20/01/19 19:23:37 EEjXWdAC.net
>>733
反則負け？？
目標に達するのと相手から離れて捕獲を逃れるというとの兼ね合いじゃないの？
755:イナ
20/01/19 20:22:20.24 6fYcVEZg.net
前>>733記録更新した。最善を尽くす、という題意に則って。
>>640問題。
7時25分の短針の方向の外周でAがBを捕まえたとすると、
AがBを追った距離は、
2πr(7+5/12)/12=89πr/72
Bが逃げた距離は、
7時から9時の60°のうちの19/24を底角に持つ二等辺三角形を含む扇形の弧で、その中心角は、
180°-2(19/24)60°=85°だから、
2πR(85°/360°)
二等辺三角形を二等分した直角三角形についてピタゴラスの定理より、
Rcos47.5°=r/2
Rを消してBが逃げた距離は、
2πR(85°/360°)
=17πr/72cos47.5°
速さの倍率は距離に比例し、
A/B=89cos47.5°/17
=3.53691344……(倍)
超えた。
7時半の方向の少し手前で捕まえればAのBに対する速さの倍率は少し大きくなる。
7時25分のあたりだけど、まだ確定じゃない。
756:１３２人目の素数さん
20/01/19 21:06:37 umPR//wq.net
>>640は何故か出題者が全然顔出さないな。
オレはこの問題出題した元サイトも答えも知ってるので答え書けないけど、Aの最小値を求めるための方程式はまぁまぁシンプル。
色々考えさせて結局これかい？みたいな。
ただし解は明示的には出せないようなので元のパズルサイトでは有効数字6桁まで求めよになってる。
ちなみに>>689はいい線行ってる。
r=1/aより外をどう逃げるか？
757: 【大凶】
20/01/20 00:08:01 jCCIPOX7.net
前>>738最大値はこれだ!!
>>640問題。
7時x分の短針の方向の外周でAがBを捕まえたとすると、
AがBを追った距離は、
2πr(7+x/60)/12=(420+x)πr/360
Bが逃げた距離は、
7時から9時の60°のうちの(1-x/120)を底角に持つ二等辺三角形を含む扇形の弧で、
その中心角は、
180°-2(1-x/120)60°
=(60+x)°だから、
2πR(60+x)/360
=πr(60+x)/180
二等辺三角形を二等分した直角三角形についてピタゴラスの定理より、
Rcos(60-x/2)°=r/2
Rを消してBが逃げた距離は、
2πR{(60+x)°/360°)
=2πr(60+x)/360･2cos(60-x/2)°
=πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
速さの倍率は距離に比例し、
A/B=(420+x)πr/360÷πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
={(420+x)/(60+x)}cos(60-x/2)°
={7-6x/(60+x)}cos(60-x/2)°
x=26のとき、
A/B=3.53687522……(倍)
x=27のとき、
A/B=3.53671834……(倍)
x=28のとき、
A/B=3.53644261……(倍)
x=29のとき、
A/B=3.53604786……(倍)
逆だ。減ってる。
x=25.5のとき、
A/B=3.53690915……(倍)
x=25.4のとき、
A/B=3.53691238……(倍)
x=25.3のとき、
A/B=3.53691442……(倍)
x=25.2のとき、
A/B=3.53691528……(倍)
x=25.19のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
x=25.18のとき、
A/B=3.53691531……(倍)
x=25.17のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
x=25.16のとき、
A/B=3.53691529……(倍)
出ましたな、最大値。
7時25.18分すなわち、
7時25分10秒8の短針の方向の外周で捕まえればAのBに対する速さの倍率は最大になる。
そのときAの速度はBの速度の、
3.53691531……倍。
758:１３２人目の素数さん
20/01/20 00:13:53 vpDptCaR.net
すでにπ+1で脱出可能ってレスが出てるんだけどねぇ。
759:イナ
20/01/20 02:04:33.14 jCCIPOX7.net
前>>740なぜか冒頭が欠けてたみたい。加筆。
>>640問題。
7時x分の短針の方向の外周でAがBを捕まえたとすると、AがBを追った距離は、
2πr(7+x/60)/12=(420+x)πr/360
Bが逃げた距離は、7時から9時の60°のうちの(1-x/120)を底角に持つ二等辺三角形を含む扇形の弧で、その中心角は、
180°-2(1-x/120)60°
=(60+x)°だから、
2πR(60+x)/360
=πr(60+x)/180
二等辺三角形を二等分した直角三角形についてピタゴラスの定理より、
Rcos(60-x/2)°=r/2
Rを消してBが逃げた距離は、
2πR{(60+x)°/360°}
=2πr(60+x)/360･2cos(60-x/2)°
=πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
速さの倍率は距離に比例し、
A/B=(420+x)πr/360÷πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
={(420+x)/(60+x)}cos(60-x/2)°
={7-6x/(60+x)}cos(60-x/2)°
x=26のとき、
A/B=3.53687522……(倍)
x=27のとき、
A/B=3.53671834……(倍)
x=28のとき、
A/B=3.53644261……(倍)
x=29のとき、
A/B=3.53604786……(倍)
逆だ。減ってる。
x=25.5のとき、
A/B=3.53690915……(倍)
x=25.4のとき、
A/B=3.53691238……(倍)
x=25.3のとき、
A/B=3.53691442……(倍)
x=25.2のとき、
A/B=3.53691528……(倍)
x=25.19のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
x=25.18のとき、
A/B=3.53691531……(倍)
x=25.17のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
x=25.16のとき、
A/B=3.53691529……(倍)
最大値は、
7時25.18分すなわち、
7時25分10秒8の短針の方向の外周で捕まえればAのBに対する速さの倍率は最大になる。そのときAの速度はBの速度の、
3.53691531……倍。
中心角でいうと、
360°{(7+25.18/60)}/12
=222.59°の方向の外周。
速度4倍もは必要ない。
760:１３２人目の素数さん
20/01/20 02:20:46.64 vpDptCaR.net
4倍ならAは捕まえられないという正しい答えがすでに出てんのに、なんで自信満々におかしな答え書き込めるん？
761:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/20 05:48:52 jCCIPOX7.net
前>>742
>>640問題。
速度比A/Bをさらに大きくできないかと考えた。
中心角でいうと、
360°{(7+25.18/60)}/12
=222.59°
の方向の外周が、AがBを捕まえる地点。だという読みだった。
が、もう逃げるBが大きく螺旋状に内側にカーブして222.59°よりも先に逃げようとしたところで、Aは逆回りしてスタート地点に戻るより、そのまま外周付近で接近する。
中心方向に逃げるのは題意に反するが、Bの逃走距離はカーブしてるぶんrを確実に超えていて、Aがスタートした地点まではコイルをのばすようにして行けるんじゃないか。
Bの逃走距離を7時25分10秒8の短針の方向の外周に達するときと変えることなく、Aがスタートした地点までコイルをのばすようにBの逃走ルートをのばすと、
速度比A/B=2πr/{πr(60+25.18)/360cos(60-25.18/2)°}
=720/85.18cos47.91°
=5.66581262……(倍)
どうだ。この速度比。最大だろう。
762:１３２人目の素数さん
20/01/20 06:45:36 eVrMliO5.net
嘘つき問題に条件文を加味してみた。
AからEの5人はそれぞれ正直者か嘘つきのどちらかであり、誰が正直者か嘘つきかはお互いに知っている。
嘘つきなら必ず嘘をつく。嘘つきの可能性があるのは誰か？
A「Bは正直者である」
B「Aは正直者である」
C「Bが嘘つきなら私も嘘つきである」
D「Cが正直なら私も正直である」
E「Dが嘘つきなら私も嘘つきであるし、Dが正直ものなら私も正直者である」
763:１３２人目の素数さん
20/01/20 07:10:21 eVrMliO5.net
>>745
無思考解のRでのプログラム（未検証)
n=5
TE=gtools::permutations(2,n,v=0:1,rep=T) # TE : 第１行が00000 で始まり最終行が11111で終わる行列
colnames(TE)=LETTERS[1:n] # 各列の名前A~E
foo <- function(x){ # TEの各行を判定する関数
cond <- function(P,Q) !(P & !Q) # P ⇒ Qの真偽を返す関数
all(c( # all : c()内の , で区切られた命題が全て正しいかTRUE/FALSEで返す
# c(Aが正直者で証言が正しい|Aが嘘つきで証言が嘘, Bが正直者で証言が正しい|Bが嘘つきで証言が嘘, ...)
(x[1]==1 & x[2]==1) | (x[1]==0 & x[2]==0),
(x[2]==1 & x[1]==1 ) | (x[2]==0 & x[1]==0),
(x[3]==1 & cond(x[2]==0,x[3]==0)) | (x[3]==0 & !cond(x[2]==0,x[3]==0)),
(x[4]==1 & cond(x[3]==1,x[4]==1)) | (x[4]==0 & !cond(x[3]==1,x[4]==1)),
(x[5]==1 & (cond(x[4]==0,x[5]==0)|cond(x[4]==1,x[5]==1)) )
| (x[5]==0 & !(cond(x[4]==0,x[5]==0) | cond(x[4]==1,x[5]==1)) )
))
}
TE[apply(TE,1,foo),] # 各行にfooを適用して返り値がTRUEのものを表示
764:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/20 07:55:45 jCCIPOX7.net
前>>744
>>640問題。
Aが外周を一周してスタート地点で最短距離を逃げたBを捕まえたとしたら究極、
速度比A/B=2πr/r
=2π
=6.2831853……(倍)
これが最大値か。
765:１３２人目の素数さん
20/01/20 09:11:31 jCm5AHw1.net
>>747
逃げられるわけないwww
766:イナ
20/01/20 14:01:00.13 jCCIPOX7.net
>>640前>>747
─「Aの速度がBの速度の何倍以上でなければならないか」
この題意、最大値じゃなくて最小値か？
速度比A/Bの最小値か。
Aが一周するあいだに、
Bは3/4周か？ いやなるべく早く外周に到達したいはず。270°より手前で外周に達することができる。
3.5369153倍と3.5369153倍のあいだにある3.53691531倍。これが最速だ。少数第7位までだと決着がつかない。少数第8位を比べる必要がある。元ネタと大きく違う点。これが面白い問題たる由縁。
∴Aの速度がBの速度の3.53691531倍以上でなければならない。
767:１３２人目の素数さん
20/01/20 15:10:05 M+lgfEpa.net
何ですでに上がってるπ+1を無視するの？
768:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/20 16:10:56 jCCIPOX7.net
前>>749
>>750どういう式と計算でπ+1が出たか、AがBを捕まえた地点は外周のどこなのか、式と計算と言葉で示さないと。
Bは円軌道で外周に逃げるのが最善と思って半径Rをrで表して円弧の中心角から逃走距離を求めた。
Bが螺旋か楕円かハートか、スタート方向をAに対して90°にしたまま最短で外周に逃げる形がほかにあるのかどうか。
カブトガニの例もある。途中から直線なんてのもあなどれない。
769:１３２人目の素数さん
20/01/20 16:25:22 jCm5AHw1.net
>>751
示されてる。
理解できてないのは君だけ。
自分の読解力がないのを他人のせいに平気でするから嫌われるんだよ。
いくら便所の落書きでもそういう最低限の礼節は守らないといけない。
ましてやコテハンで自分の素性も明らかにしてるんでしょ？
自分の知り合いに自分が掲示板でそういう言動してるのバレたりしたときの事とか考えないの？
770:イナ
20/01/20 16:51:17.85 jCCIPOX7.net
前>>751
AがBの外周到達地点を予測して逆回りしてBを捕まえられる限界折り返し地点は、
1時18分10秒8の短針の方向。
Aは残り半周でBに追いつくからどっちを回ってもいい。
もうAが逆回りしないとなった瞬間、Bは最善の方法をとる。
すなわちBは円軌道の必要がなくなり、直線軌道に変える。円弧より内側をえぐったほうが速い。
円弧と直線の交点をつきとめれば速度比は決まる。
771:１３２人目の素数さん
20/01/20 17:40:59 62Dbolk5.net
オレは出題者じゃないからあんまり書き込むのも何だとは思うけどちょい書いてみる。
この問題はいわゆるゲームの理論なんだけどちゃんと数学的に記述するのはかなり難しい。
一例としてはa,bを正の定数としてA,Bがとりうる選択肢は
F={f : [0,∞) → ∂D | f(0)=(1,0), d(f(t),f(u)) ≦ a|t-u|}
G={f : [0,∞) → D | g(0)=(0,0), d(g(t),g(u)) ≦ b|t-u|}。
Aの戦略とはS:G→Fで
( 0≦∀t≦T g1(t)=g2((t) )⇒ ( 0≦∀t≦T S(g1)(t)=S(g2)(t) )
(Bの選択した関数に対し時刻Tまでの出方で時刻Tまでの対抗行動は決まる。)
Bの戦略T:F→Gも同様に定める。
見つけるべき定数Cとは
(1)∀a/b>C ∃S ∀g∈G ∃t0 S(g)(t0)∈∂D, S(g)(t0)=g(t0), S(g(t)) ∈int(D) (∀t<t0) or ∀t g(t) ∈ int(D)
(2)∀a/b<C ∃T ∀f∈F ∃t0 T(f)(t0)∈∂D, T(f)(t0)≠f(t0), T(f(t)) ∈int(D) (∀t<t0)
の両方を満たす定数。
この戦略関数SとTをCと抱き合わせで見つけないといけないのが難しい。
Aの戦略はまぁそりゃそうだというもの、簡単。
基本Bの動きに応じて右に回るか左に回るかしかないんだから。
Bの脱出戦略Tが難しい。
AとBのその時点での相対位置からどっちに向かうのが得か？
半径b/a-εの地点までの戦略は簡単なのだけれどその先がムズイ。
答え聞くとまぁそりゃそうなのかもなと思えるけど。
ちなみに出題してる元サイトではCの値出せたら正解みたいだった。
それだけなら方程式を勘で当てれなくもない。
772:１３２人目の素数さん
20/01/20 18:20:54 62Dbolk5.net
Aの戦略関数Sは簡単なので一例として書いてみる。
Dの点pに対し∂D上のベクトル場X(p)をX(0,0)=0、p=(0,0)以外に対してはφをpに最も近い円周上の点として
X(p)(θ)
=正の方向に向かう大きさaのベクトル(θからφへは正の方向に向かう方が近いときか、θとφが原点対称のとき)
=負の方向に向かう大きさaのベクトル(θからφへは負の方向に向かう方が近いとき)
=0(θ=φの時)
て定めてS(g)(t)=exp(X(g(t)))(1,0)で定める。
つまりは常にg(t)との偏角差をなくす方向に速度aで向かう。
偏角差0なら動かない、偏角差πなら正の方向。
まぁこれが最適戦略なのはそりゃそうだと思える。
この戦略で任意のgを捕まえられるa/bの下限がC。
773:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/20 18:37:08 jCCIPOX7.net
前>>753
>>754数字は3～9も使ったほうがいい値が出せると思う。
計算がまだ追いついてないだけで、Bの逃走経路の、
(1+25.18/60)/(7+25.18/60)を円弧のまま、
残りを222.59°地点まで直線としたら、
速度比A/Bは3.53691531をわずかに超えるはず。
774:１３２人目の素数さん
20/01/20 18:45:29.00 MTgckgfx.net
>>746
論証を考えていたらバグを発見した。関数を訂正。
fn <- function(x){
if(sum(x)==n|sum(x)==0) return(FALSE)
cond <- function(P,Q) !(P & !Q) # P ⇒ Qの真偽を返す関数
all(c( # all : c()内の , で区切られた命題が全て正しいかTRUE/FALSEで返す
# c(Aが正直者で証言が正しい|Aが嘘つきで証言が嘘, Bが正直者で証言が正しい|Bが嘘つきで証言が嘘, ...)
(x[1]==1 & x[2]==1) | (x[1]==0 & x[2]==0),
(x[2]==1 & x[1]==1 ) | (x[2]==0 & x[1]==0),
(x[3]==1 & cond(x[2]==0,x[3]==0)) | (x[3]==0 & !cond(x[2]==0,x[3]==0)),
(x[4]==1 & cond(x[3]==1,x[4]==1)) | (x[4]==0 & !cond(x[3]==1,x[4]==1)),
(x[5]==1 & (cond(x[4]==0,x[5]==0) & cond(x[4]==1,x[5]==1)) )
| (x[5]==0 & !(cond(x[4]==0,x[5]==0) & cond(x[4]==1,x[5]==1)) )
))
}
775:１３２人目の素数さん
20/01/20 19:19:04.08 MTgckgfx.net
>>746
Eの記述を簡略化
n=5
TE=gtools::permutations(2,n,v=0:1,rep=T) # TE : 第１行が00000 で始まり最終行が11111で終わる行列
colnames(TE)=LETTERS[1:n] # 各列の名前A～E
fn <- function(x){
if(sum(x)==n|sum(x)==0) return(FALSE) # 全員が正直か嘘つきならFALSEを返す
cond <- function(P,Q) !(P & !Q) # P ⇒ Qの真偽を返す関数
all(c( # all : c()内の , で区切られた命題が全て正しいかTRUE/FALSEで返す
# c(Aが正直者で証言が正しい|Aが嘘つきで証言が嘘, Bが正直者で証言が正しい|Bが嘘つきで証言が嘘, ...)
(x[1]==1 & x[2]==1) | (x[1]==0 & x[2]==0),
(x[2]==1 & x[1]==1 ) | (x[2]==0 & x[1]==0),
(x[3]==1 & cond(x[2]==0,x[3]==0)) | (x[3]==0 & !cond(x[2]==0,x[3]==0)),
(x[4]==1 & cond(x[3]==1,x[4]==1)) | (x[4]==0 & !cond(x[3]==1,x[4]==1)),
(x[5]==1 & (x[4]==x[5]) ) | (x[5]==0 & (x[4]!=x[5]) )
))
}
TE[apply(TE,1,fn),] # 各行にfnを適用して返り値がTRUEのものを表示
実行結果
A B C D E
1 1 1 1 0
Eが嘘つき
776:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/20 22:37:06 jCCIPOX7.net
前>>756
>>752ここで面白い問題を解いたり教えてもらったりしてることは俺たちだけの秘密だよ。
777:１３２人目の素数さん
20/01/20 23:07:06.30 YsJCrV7U.net
一辺の長さが 10m の正方形のプールの一つの角に監視員を置く。
この監視員は水中は秒速 1m で，プールの縁上は秒速 2m で移動するものとする。
この監視員がプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ。
(某AO入試問題)
778:１３２人目の素数さん
20/01/21 00:19:12 sGzwnwIV.net
>>760
監視員の位置を原点、プールを0≦x≦10, 0≦y≦10とする。
プール内の0≦y≦xにある地点に到達する所用時間の最大値を求めればよい。
この場合監視員の陸路はy=0とx=10を移動する場合のみを考えればよい。
この時時刻tまでに監視員が到達できる領域は
x+√3y≦2t‥?、-√3x+y≦2t-10√3-10‥?
である。
最後まで残る点はy=x上でありy=x上の?に含まれる点は
x≦2t/(√3+1)の部分であり、?のそれはx≧(-2t+10√3+10)/(√3-1)を満たす部分である。よって?、?で全て覆われる時間は
2t/(√3+1) = (-2t+10√3+10)/(√3-1)
の時でありt =5/√3の時である。
かな。自信なし。
779: 【吉】
20/01/21 00:31:04 WFhY3+vZ.net
前>>759ほんとはプールサイドから斜めに飛びこむわなぁ。
>>760
プールの対角線上のじゅうぶん遠いところに、救出に最長時間が必要な地点と考えられる。
x秒かかるとすると最初に監視員がいるコーナーから、
10x(m)離れている。
縁を端まで行くと10/12=5/6(秒)かかる。
コーナーで折れて最長時間が必要な救出地点に縁上で最接近するため10x/√2(m)縁を行く。
水に入って10-10x/√2(m)泳ぐ。
救出時間で等式を作ると、
x=10/12+(10x/√2)/12+(10-10x/√2)/10
分母を払って、
12x√2=10√2+10x+12√2-12x
12x+x√2=22
x=22/(12+√2)
=22(12-√2)/(144-2)
=11(12-√2)/71
=1.64005142……(秒)
ただ優秀な監視員なら縁から斜めに飛びこんで1.6秒ぐらいで救出する可能性がある。
780:１３２人目の素数さん
20/01/21 01:11:21.37 i1LLIpbZ.net
>>761
> 2t/(√3+1) = (-2t+10√3+10)/(√3-1)
> の時でありt =5/√3の時である。
式はあってると思うけど、計算間違いかな
明らかに10秒ちょっとかかるし
781:１３２人目の素数さん
20/01/21 01:12:26.37 i1LLIpbZ.net
t=5+10/√3
782:１３２人目の素数さん
20/01/21 01:32:59.13 sGzwnwIV.net
>>761
あ、対角の位置から飛び込む方が早い可能性抜けてた。
対角の位置から飛び込んだ場合にカバーされる領域は
(x-10)^2+(y-10)^2≦(t-10)^2
x=y上ではx=10-(t-10)/√2。
2t/(√3+1)=10-(t-10)/√2
wolfram大先生によると
t=10 (2 + sqrt(2)))/(4 + sqrt(2) + 4 sqrt(3)
=2. 76624393725438801
だそうな。立式まちがってんのかな？
783:１３２人目の素数さん
20/01/21 01:35:50.13 sGzwnwIV.net
>>763
計算が間違ってるのはwolfram先生にも教えてもらった。
立式も②の領域は対角のコーナーから飛び込んだ時に負けるみたい。
784:イナ
20/01/21 01:47:56.36 WFhY3+vZ.net
前>>762
>>760ごめん、目を疑うほど間違えた。一行飛ばして速さ二桁にしてた。
x秒とする。
(x/√2)/2=x/2√2秒
10-x/√2秒
5+x/2√2+10-x/√2=x
分母を払って、
10√2+x+20√2-2x=2x√2
30√2=(2√2+1)x
x=30√2/(2√2+1)
=30√2(2√2-1)/7
=(120-30√2)/7
=11.0819419……(秒)
斜めに飛びこむときがはずだけど、とりあえず。
785:１３２人目の素数さん
20/01/21 02:06:14 i1LLIpbZ.net
>>766
立式は結局
>>761
> x+√3y≦2t‥?、-√3x+y≦2t-10√3-10‥?
> 2t/(√3+1) = (-2t+10√3+10)/(√3-1)
で合っていると思うけど？
wolfram大先生も
t=5+10/√3≒10.774
と言ってくれている
> 立式も?の領域は対角のコーナーから飛び込んだ時に負けるみたい。
対角に着いてから飛び込むよりも、対角に着く前に飛び込んだ方が速いよ
> 2t/(√3+1)=10-(t-10)/√2
を解くと
t=10*(2+√2)(1+√3)/(4+√2+√6)≒11.862
786:１３２人目の素数さん
20/01/21 02:07:54 sGzwnwIV.net
またまた訂正。
?は?に負けない。
ので?と?をy=x上で解いた>>764さんが正解。
787:１３２人目の素数さん
20/01/21 02:11:53 sGzwnwIV.net
>>768
うん、立式合ってた。
wolfram先生に教えてもらう時/が一個抜けてた。
そりゃそうだよな。
対角から飛び込んで勝つハズない。
最初はありえないと思って無視したんだけど一応と思ってwolfram先生に聞く時打ち間違えた。
788:イナ
20/01/21 03:32:58.98 WFhY3+vZ.net
前>>767
>>760
縁から50°ぐらいもかなり速いと思うけど、斜め45°に飛びこむときで解く。
プールの対角線上のじゅうぶん遠いところに、救出に最長時間が必要な地点と考える。
x秒かかるとすると最初に監視員がいるコーナーから、
x(m)離れている。
縁を端まで行くと10/2=5(秒)かかる。
コーナーで折れて最長時間が必要な救出地点を斜め45°に見る縁まで、
(1/2)(10-x√2/2)
=5-x√2/4(秒)
水に入って(10-x√2/2)√2(m)泳ぐ。
救出時間で等式を作ると、
5+5-x√2/4+(10-x√2/2)√2=x
10-x√2/4+10√2-x=x
10+10√2=(2+√2/4)x
分母を払って、
40(1+√2)=(8+√2)x
x=40(1+√2)/(8+√2)
=40
789:(1+√2)(8-√2)/(64-2)=20(8-√2+8√2-2)/31 =20(6+7√2)/31 =10.2577387(秒)
790:イナ
20/01/21 03:47:08.74 WFhY3+vZ.net
前>>771
斜め45°に飛びこむとき、じゅうぶん速くてびっくりした。
斜め40°から斜め50°のとき、意外な極値があるかも。
>>760
791:１３２人目の素数さん
20/01/21 05:24:17.87 4VohdIcv.net
1～5の自然数が書かれた5枚のカードを、A～Eの生徒5人に先生が1枚ずつ配った。
5人はそれぞれ自分のカードの数は分かるが、他の人のカードの数はわからない。
また、先生は誰の数もわからない。
さて、先生とA～Eとの間で次のような会話があった。
なお、全員正直者であり、後から答える人は先の会話を聞いて参考にしている。
先生「Aさん、誰が1番大きい数ですか？」
A「わかりません」
先生「Bさん、あなたはCさんよりも大きい数ですか？」
B「わかりません」
先生「Cさん、あなたはDさんよりも大きい数ですか？」
C「わかりません」
先生「Dさん、あなたはBさんよりも大きい数ですか？」
D「○○○○○」
先生「Bさん、あなたはCさんよりも大きい数ですか？」
B「いいえ」
先生「たった今、皆さんの数がわかりました」
問1、○○○○○に入る言葉は「はい」「いいえ」「わかりません」のどれか？
問2、A～Eの数は何か？
792:イナ
20/01/21 06:41:12.31 WFhY3+vZ.net
>>773前>>772
1 いいえ はい
2 A 3 4 3 2
B 2 2 4 4
C 4 3 2 3
D 1 1
E 5 5 出番なし
793:１３２人目の素数さん
20/01/21 06:42:13.56 Y0gh5JcA.net
x>0で
0^x=0
x^0=1
0^0=1とするのはその方が0でも辻褄が合う法則が多いから？
0の偏角は不定？それとも0?
偏角が0なら実数という法則を成立させるには0の偏角=0と定義でいいと思うけど。
794:１３２人目の素数さん
20/01/21 06:46:16.71 Y0gh5JcA.net
>>759
イナさんの芸風は楽しみにしています。
お気になさらず続けてください。
読みたくない人はコテハンをNGに設定すればいいだけですから。
795:１３２人目の素数さん
20/01/21 08:29:21.13 udoX+djG.net
>>775
0個の物から重複を許して0個取り出して並べる順列は1通りだけど,これは0^0通りとも計算できるから,0^0=1
実数に対しては色々定義がありうるけど基数としては明確に定まる
796:１３２人目の素数さん
20/01/21 09:47:53 Y0gh5JcA.net
>>760
プログラムを組んで
Oの位置にいる監視員がZで溺れている人に到達する時間を 経路OZ, OXZ, OPYZ, OPQRZ で計算してみると。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
場所によって最短到達経路に違いがでる。
(5,5)だとOXZで6.8秒,(8,9)だとOPYZで11.2秒が最短になった。
797:哀れな素人
20/01/21 09:56:57 dWPrQnYr.net
>>773
問1 「いいえ」
問2 A=3か4 B=2 C=3か4 D=1 E=5
Dは1か5。なぜなら明確に答えられるのは1か5のカードを持っている生徒だけだから。
しかしBが「いいえ」と答えたということはD=1、B=2。
A、B、Cがいずれも「分りません」と答えたということはE=5。
今のところ、AとCのカードは不明。
798:１３２人目の素数さん
20/01/21 10:08:46 udoX+djG.net
>>775
原点を通って偏角一定の曲線（＝直線）を考えると0の偏角を0にしちゃうと原点で偏角が不連続になるからまずい
799:哀れな素人
20/01/21 10:12:29.11 dWPrQnYr.net
>>773
やや訂正。次のような場合もある。
問1「分りません」
問2 A=1 B=2 C=? D=? E=5
800:１３２人目の素数さん
20/01/21 10:24:39 Y0gh5JcA.net
>>778
バグ発見したので図以外は>778は撤回します。
801:哀れな素人
20/01/21 10:44:36 dWPrQnYr.net
>>773
分った。
問1 「はい」
問2 A=1 B=2 C=3 D=4 E=5
Bは1でも5でもないと分るから、Bは2か3か4。
Dが4を持っていれば確実に「はい」と答えることができる。
802:１３２人目の素数さん
20/01/21 12:57:25 NlSt5Qji.net
>>739
r=1/a まで来たらあとは直進ですか。
>>751 >>753 にありますね。
Aが逆転すれば、Bはその時のOBに垂直な向きに進む。
逆転がない場合は
Aの進む距離 (弧長) はπ+θ、Bの進む距離 (半弦) は sinθ
ここに、中心角θ = arccos(1/a)
逃げ切り条件：
tanθ - θ = a･sinθ - θ < π (0<θ<π/2)
から
θ < 1.35181680431927
a = 1/cosθ < 4.6033388487517
π+1 = 4.1416 より大きい 。
803:１３２人目の素数さん
20/01/21 13:11:35 9Sn3mJld.net
おぉ、出ましたね。
a/bの臨界値のための方程式。
元サイトではその数値出せば正解です。
のでそれで終わりでもいいし、興味ある人は
a/b>4.6033‥のときのAの補足戦略と
a/b<4.6034..のときのBの逃走戦略
に挑戦してみてはどうでしょうか？
元サイト
URLﾘﾝｸ(www.research.ibm.com)
804:１３２人目の素数さん
20/01/21 13:23:03 Y0gh5JcA.net
作図と計算をやり直してみた。
原点Oの監視員がZにまで達する時間と経路別に計算
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
Zの座標から各経路での最短時間を計算させて表示。
> sim(7.9+7.9i,print=F)
OZ PZ QZ RZ OXZ OUZ ORWZ OPYZ OPQWZ
11.17229 13.17435 12.96985 13.17435 10.79160 10.79160 10.76865 10.76865 12.86865
座標を0.1区切りで組み合わせたら最短時間がもっとも大きいのが上記であった。
経路は座標が（7.9,7.9)のときOPYZ（またはORWZ)の経路で最短でも10.76秒かかるという結果になった。
805:１３２人目の素数さん
20/01/21 13:53:12.95 NlSt5Qji.net
>>773
A<5, B≠1,5, C≠1,5
・D=5 なら D「はい」
・D=1 なら D「いいえ」
・2≦D≦4 のとき
A=1, {B,C,D} = {2,3,4} E=5
D=4 ならD「はい」
D=2 ならD「いいえ」
∴D「分かりません」はD=3のみ。
B「いいえ」 より B=2, C=4
>>779
D「いいえ」の場合
A=1, {B,C}={3,4}, D=2, E=5
もある。
>>781
A=1, B=2, C=3, D=4, E=5
ならD「はい」
>>783
D「はい」の場合
D=5 もある。
806:イナ
20/01/21 14:02:00.34 WFhY3+vZ.net
前>>774先生は「わかりません」と言えなかったんだね。
>>771斜め45°に飛びこんだほうが速いと思う。
20(6+7√2)/31
=10.2577387(秒)
807:１３２人目の素数さん
20/01/21 14:10:50.45 9Sn3mJld.net
プールのやつは>>764さんの
5+10/√3=10.773502691896...
だろ？
808:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/21 14:30:17 WFhY3+vZ.net
20(6+7√2)/31
=10.2577387(秒)
>>789見てないのか？ コンマ5以上速いぞ？ まだもっと速い角度で飛ぶ奴いる気がして探してるけど。前>>788
809:１３２人目の素数さん
20/01/21 14:34:03 9Sn3mJld.net
ふっと考えたんだけど>>764さんの数値と>>786さんの数値がまぁまぁ離れてるのはなるほどですな。
本物はその地点までの最短到達時間を三次元的なグラフにした場合を考えると各格しだピラミッドみたいな形になる。
いわゆる微分可能な関数の極直ではないからモンテカルロやメッシュがあまりいい数値を出せないんだな。
810:１３２人目の素数さん
20/01/21 14:37:45 9Sn3mJld.net
>>790
何度で飛び込むのが最適かすら間違ってるのに読む気になどならない。
811:１３２人目の素数さん
20/01/21 15:42:18 Y0gh5JcA.net
> pm[apply(pm,1,Yes),]
[1] 1 2 3 4 5
> pm[apply(pm,1,No),]
[1] 1 3 4 2 5
> pm[apply(pm,1,DK),]
[1] 1 2 4 3 5
はい で 1 2 3 4 5
いいえ で 1 3 4 2 5
分からんで 1 2 4 3 5
812:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/21 15:43:35 WFhY3+vZ.net
前>>790
45°は勘だけど、じゅうぶん速かった。
ほかに10.25秒台は出てない。
初め90°出して次に30°出していっしょだな、と。
コンピューターの図があるレスもそこの数値は同じだと出てる。
あいだだ。10.2577387秒が今のところ最速。
3:4:5は11.0819419秒かかる。
4:3:5は10.868秒かかる。
813:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/21 16:27:37 WFhY3+vZ.net
前>>794
√3:1:2のとき、60°で飛ぶ奴は10.53849秒。一様分布じゃないみたい。
あいだにある4:3:5が遅くて45°が逆に速い。なぜかはわからん。
46°～50°があるいは。
たぶん距離の影響と速さの影響の兼ね合いではないかと思う。
814:１３２人目の素数さん
20/01/21 16:39:01 Y0gh5JcA.net
>>761
お手数ですが、この不等式の導入法を解説していただけませんか？
815:１３２人目の素数さん
20/01/21 16:43:00 Y0gh5JcA.net
>>760
グリッドつくって等高線表示させてみた
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
816:１３２人目の素数さん
20/01/21 16:45:11 uUzv/iS9.net
>>785
あ、元サイトってパズルの国のアリスじゃなかったのか。
URLﾘﾝｸ(www.nikkei-science.com)
817:１３２人目の素数さん
20/01/21 17:04:17 Y0gh5JcA.net
>>797
3D グラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
818:１３２人目の素数さん
20/01/21 17:10:23 B4OFa3kR.net
>>640
>>785
π＋1を正解にしてるサイトもある
URLﾘﾝｸ(www.arp-nt.co.jp)
819:哀れな素人
20/01/21 17:11:22 dWPrQnYr.net
>>787
なるほど。
820:１３２人目の素数さん
20/01/21 17:22:59 Y0gh5JcA.net
グリッド幅を狭くしていったら
(7.88675135,7.88675135)のときに10.77350269秒が最大という計算になった。
5+10/√3＝10.77350269189625764509148780501957455647601751270126876018...
に一致していて、プログラムは正確みたいでほっとした。
俺には理論はわからないけどｗｗｗｗ
821:１３２人目の素数さん
20/01/21 17:28:50 Y0gh5JcA.net
>>795
>なぜかはわからん。
多分、風が吹いているんじゃないの？
馬耳東風という風がｗｗｗ
822:１３２人目の素数さん
20/01/21 18:20:00 Y0gh5JcA.net
オリンピックのプールと世界最高記録を使って計算してみた。
オリンピックサイズ・プール50m*25m
水泳100m自由形 46秒91
陸上100m9秒58
座標(40.101, 15.1077)に 0.77933776秒で達するのが最長と算出された。
823:１３２人目の素数さん
20/01/21 18:22:24 9Sn3mJld.net
>>794
アホかいな。
正解もう出ててその数値より早いという事は経路の選択も所用時間の計算も両方間違ってるんだよ。
824:１３２人目の素数さん
20/01/21 18:23:30 Y0gh5JcA.net
>>804
コピペのミス
秒数は
OXZ
[1] 10.77933776
825:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:02:51 LzNLfIhD.net
>>760
プールを 0<x<10,0<y<10 と座標設定。
(a,b) に向かうとする。ただし、0<b<a<10
考えるべき方法は次の(a)～(c)で、それぞれ必要な時間を最後に記すと
(a)原点から直接(a,b) この時、必要な時間は、sqrt(a^2+b^2)
(b)(x,0)まで行ってそこから(a,b)へ この時、必要な時間は、x/2+sqrt((a-x)^2+b^2)
極値を取るのはx=a±b/√3だから、プラスを取って代入し、a/2+((5/6)√3)b
(c)(0,0)→(10,0)→(10,y)→(a,b)へ この時、必要な時間は、5+y/2+sqrt((10-a)^2+(b-y)^2)
同様に、y=b-(1/√3)√(a^2-20a+100)の時、(√3/2)(10-a)+5+b/2
(a,b)地点によって、最適な方法が変化する。図示は某所に下式を入力して欲しい。
min{√(a^2+b^2),a/2+((5/6)√3)b,(√3/2)(10-a)+5+b/2} 0<a<10,0<b<10
最も時間がかかる場所は、方法(a)と方法(c)で必要な時間が同じで、かつ、x=y上
つまり、sqrt(a^2+b^2)=(√3/2)(10-a)+5+b/2,a=b を解いて
a=b=10(-2+√3+2√(2-√3))=7.6732698797896034292...
必要な時間は上の値の√2倍で10(√3-1)(2-√(2-√3))=10.8516423317474258765...
826:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:13:42 Y0gh5JcA.net
>>807
極値を取るのはx=a±b/√3 これで√3がでてくる理由がわかりました。
ありがとうございした。
827:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:28:25 9Sn3mJld.net
>>802
それはホント？
本問微分可能関数の極値ではなく、誤差はグリッドから真の極小点までの距離に正比例する。
例えば誤差を5桁、にしようと思えばグリッド巾は10^(-5)、メッシュ数は10^10の100億個取らないといけない。
比例定数が幾ばくか助けてくれたとしても本問単純なモンテカルロ法やメッシュ法でそこまでの精度が出るとは思えないんだけど。
828:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:31:54 Y0gh5JcA.net
>>809
荒いグリッドで極値を与えるx, yの近似値がでてくるからそれを挟むように次の計算で
グリッドの上限と下限を狭くしていけばいい。
人間ニュートンハフソンン法ｗ
x=seq(40.099,40.101,by=0.0001)
y=seq(15.107,15.109,by=0.0001)
829:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/21 19:33:27 WFhY3+vZ.net
前>>795
周りが遅いから今は俺が最速なだけ。もっと速い角度がないか探してる。
830:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:36:38 9Sn3mJld.net
>>810
ニュートンラフソン使うなら極値をとる点なり、極値そのものを与える方程式なりがわかってるのが大前提で>>802はそうでなく単純なメッシュ法で求めたんでしょ？
そもそも本問極値を求める方程式はただの一次方程式にしかならないんだからニュートンラフソンもへったくれもないよ。
831:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:36:48 Y0gh5JcA.net
>>809
［０，１００］を１００分し４０が返ってきたら次は[３９，４１]を１００分して４０．０を得る。
その次は[３９．９,４０．１」を１００分する。この繰り返し。
もとの正方形プールの10.77350269秒はそうやってもとめた。
832:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:38:45 9Sn3mJld.net
>>813
なるほど。
全領域をメッシュしたんじゃないのか。
それならできるな。
納得しました。
833:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:40:11 Y0gh5JcA.net
>>812
いや、時間を求める関数はわかっているよ。
複素平面で絶対値を計算して速度で割っただけ。
関数化するとこんな感じ。
f=function(x) x/vs + abs(x-z)/vw
あとは、ニュートン法でRに最小値の数値解をださせるだけ。
834:１３２人目の素数さん
20/01/21 19:47:14.09 9Sn3mJld.net
>>800
でもこの問題問題文の文章からして正解は>>784の4.6033388‥だと思う。
やはり数学的に厳密に解釈しようとすれば>>754のようにならざるを得ないし、だとすると正解は>>784になるしかないと思う。
多分そのサイトの解答はa/b>π+1のとき捕獲可能であるの証明に誤りがある(Bの最適な逃走戦略を見つけきれてない)のだと思う。
そのサイト答えがπ+1としか書いてないからわかんないけど。
835:１３２人目の素数さん
20/01/21 20:46:55 i1LLIpbZ.net
他人の解答を見る気はないって言ってるからほっとくしかないんだろうが、
監視員から(8m,8m)にかかる時間を計算すればいい。>>788よりかかるぞ
836:１３２人目の素数さん
20/01/21 20:55:34 Y0gh5JcA.net
>>817
最後は監視員がプールの水を抜いて最速は１０秒という答を出すのだと思うんだんが。
837:１３２人目の素数さん
20/01/21 20:57:41 Y0gh5JcA.net
>>818
１０秒じゃなくて５√２秒（＝7.071秒）だった。
838:１３２人目の素数さん
20/01/21 21:07:46 9Sn3mJld.net
>>807はイナ？
839:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/21 21:20:07 WFhY3+vZ.net
前>>811
>>760問題。
>>771を再度検証する。
プールの端を直角に折れて斜め45°に飛びこむ場合。
プールの対角線上のじゅうぶん遠いところに、救出に最長時間が必要な地点があると考える。
x秒かかるとすると最初に監視員がいるコーナーからx(m)離れている。
縁を端まで行くと10/2=5(秒)かかる。
コーナーで折れて最長時間が必要な救出地点を斜め45°に見る縁まで、
{x/√2-(10-x/√2)}/2
=x/√2-5(秒)
水に入って(10-x√2/2)√2(秒)泳ぐ。
救出時間で等式を作ると、
5+x/√2-5+(10-x√2/2)√2=x
x/√2+10√2-x=x
10√2=(2-1/√2)x
分母を払って、
20=(2√2-1)x
x=20(2√2+1)/7
=10.93835060……(秒)
＜10.53849……(秒)
60°のときに及ばない。
やっぱり一様分布か。
840:１３２人目の素数さん
20/01/21 21:32:26 m9UBU6An.net
>>777
#A^#B=#A^B=#{f:B→A}
0^0=#Φ^Φ=#{f:Φ→Φ}=1
841:１３２人目の素数さん
20/01/21 21:34:29 m9UBU6An.net
>>775
>偏角が0なら実数という法則を成立させるには0の偏角=0と定義でいいと思うけど。
０の偏角に０が有ればいいでしょ
842:１３２人目の素数さん
20/01/21 22:00:02.52 LzNLfIhD.net
>>807
答えが異なっていたのでアップしたが、致命的なミスを発見
×：極値を取るのはx=a±b/√3だから、プラスを取って代入し、a/2+((5/6)√3)b
○：極値を取るのはx=a±b/√3だから、マイナスを取って代入し、(1/2)a+((√3)/2)b
これにより、以下も訂正
×：min{√(a^2+b^2),a/2+((5/6)√3)b,(√3/2)(10-a)+5+b/2} 0<a<10,0<b<10
○：min{√(a^2+b^2),(1/2)a+((√3)/2)b,(√3/2)(10-a)+5+b/2} 0<a<10,0<b<10
×：最も時間がかかる場所は、方法(a)と方法(c)で必要な時間が同じで、かつ、x=y上
×：つまり、sqrt(a^2+b^2)=(√3/2)(10-a)+5+b/2,a=b を解いて
○：最も時間がかかる場所は、方法(b)と方法(c)で必要な時間が同じで、かつ、x=y上
○：つまり、(1/2)a+((√3)/2)b=(√3/2)(10-a)+5+b/2, a=b を解いて
○：a=b=5+5/√3=7.88675...、時刻は5+10/√3=10.77350269...
843:１３２人目の素数さん
20/01/21 22:41:06 Y0gh5JcA.net
対角線上でも最短時間のルートが青から赤に突然変わる。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
844:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/21 22:59:49 WFhY3+vZ.net
前>>821
縁から60°方向に飛びこむとき、救出時間で等式を作ると、
5+{x/√2-(10-x/√2)/√3}/2+(10-x/√2)(2/√3)=x
分母を払って、
10√6+x√3-10√2+x+40√2-4x=2x√6
10√6+30√2=x(2√6+3-√3)
x=(10√6+30√2)/(2√6+3-√3)
=10.8516423……(秒)
45°は超えたけどなぁ。これ以上は、もしや手前から飛びこむか。プールサイド2倍速で走ってこけてもなんにもならんからね。
845:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/21 23:29:27 WFhY3+vZ.net
前>>826
>>751
いい勘してる。さすが俺。
4.6倍かぁ。すごいね。
その速さを引きだしたBもたいしたもんだ。
846:１３２人目の素数さん
20/01/22 01:48:55 xZx9jgfS.net
>>784
π = tanθ -θ
= cot(π/2 -θ) -θ
≒ 1/(π/2 -θ) -(π/2 -θ)/3 - θ
= 1/(π/2 -θ) -(1/2)π +(2/3)(π/2 -θ),
より2次方程式
(2/3)(π/2 -θ)^2 -(3/2)π(π/2 -θ) +1 = 0,
これを解いて
(π/2 - θ) = 0.218991
θ = 1.351805
マクローリン展開
cot(x) = 1/x -(1/3)x -(1/45)x^3 -(2/945)x^5 - ････
847:１３２人目の素数さん
20/01/22 02:08:58 vRiVJkwC.net
1/cos(1.351805)=4.60309‥‥
その近似だと求められてる6桁一致までいかないね。
848:イナ
20/01/22 04:50:53.85 it61/f5D.net
前>>827縁と水中の速度比が2:1だからカットする縁と水中の距離の比が1:2になる最適な地点から最適な角度で飛びこむとかなりのタイムを期待できる。救出時間で等式を作ると、
5+{x/√2-(10-x/√2)/2}/2+(10-x/√2)(√5/2)={x/√2-(x/√2)/2}/2+(x/√2)(√5/2)
分母を払って、
20√2+2x-10√2+x+20√10-2x√5=2x-x+2x√5
30√2=-2x+4x√5
15√2=(2√5-1)x
x=15√2(1+2√5)/19
x=(15√2+30√10)/19
=6.10955438……(秒)
＜10.8516423……(秒)
速すぎる。わからん。
849:１３２人目の素数さん
20/01/22 07:58:37 jM4eJElw.net
対角線上が到達に一番時間がかかることが分かったけど
監視員の近くにいればプールサイドを通らず直接ジャンプして水中を進めばいいんじゃないかと思う。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
図でいうと青のOXZ1でなくて緑のOZ3を選択。
どれくらい近くだと直接ジャンプすべきかをプログラムで探索させたけど直接ジャンプの方が時間がかかるようだ。
プールサイドの歩行速度が遅ければ直接ジャンプの方が速いはずと考えて探索させると
水泳速度を１として歩行速度が√２以下なら監視員の近くは直接ジャンプが速いようだ。
√２が正しいのか、どれくらい近ければ直接ジャンプすべきなのかは、また後で考える。
850:１３２人目の素数さん
20/01/22 09:02:44 /I6vaW/w.net
>>826
プールの水を凍らせてスピードスケートにすれば最速だよね。
851:１３２人目の素数さん
20/01/22 13:36:03 crsPene3.net
>>760の問題はどっかのAO入試の問題らしいけどどこのなんだろ？
程よい解き心地の良問だね。
このスレの住人には結構受かりそうにないのがいるなww
852:１３２人目の素数さん
20/01/22 14:15:23 MGz/KyFY.net
自分は立式や最適な飛び込み角度を考えるのに、ホイヘンスの原理やスネルの法則を考えたな
853:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/22 14:19:35 it61/f5D.net
わかったかも。前>>830最適な角度で飛びこんで10.85を切る。救出時間で等式を作ると、
5+{x/√2-(10-x/√2)(1/t)}/2+(10-x/√2)√(1+t^2)/t)=x
分母を払って、
10t√2+2tx-20√2+x+10√130-2x√
854:(1+t^2)=2tx√2 x= あとは5秒以内にこっち側の縁から飛びこんで連立。 目標。 x=10.7……(秒) ＜10.8516423……(秒)
855:１３２人目の素数さん
20/01/22 14:20:40 FzGnA9Ra.net
そうだな。
スネルの法則知ってれば最速到達の経路は一瞬で出る。
でもAO入試でスネルの法則よりって書いて許してもらえるか微妙だから法則で求めた領域が正しい事の検証の論述は必要だろうけど、それでもまともに円の通過領域求めたり所要時間最小の角度を微積で求めたりするよりははるかに楽になるね。
856:１３２人目の素数さん
20/01/22 14:21:49 sJxssOgt.net
>>835
残念ながらわかってない。
やり直し。
857:１３２人目の素数さん
20/01/22 14:56:09 jM4eJElw.net
>>833
検索したら東京工業大学。
うかりそうもない計算マニア？は東京大学卒の芸人と聞いております。
858:１３２人目の素数さん
20/01/22 15:31:17 99kbu1Vi.net
>>838
そうなんだ。thx
859:１３２人目の素数さん
20/01/22 15:35:12 Zb3S28FJ.net
>>838
ホントだ。2007年みたいですね。
860:１３２人目の素数さん
20/01/22 17:44:16 jM4eJElw.net
プールの中の対角線上の点だけを考える
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
緑のOZがroute 1 青のOXZをroute 5 赤のOPYZをroute 7 として（番号は区別さえできればなんでもいい）
対角線上のｘ座標(=y座標同じ)とプールサイドの走行速度（陸上速度）をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
対角線上の位置に関わらず走行速度がある値（多分√２）以下では直接プールに飛び込むのが最速。
それ以上になると
プールサイドの１辺の途中からプールにジャンプ(OXZの青ルート）
か
プールサイドの２辺めの途中からプールにジャンプ（OPYZの赤ルート）
になるようだ。
青ルートと赤ルートの境界をグラフにしたのが
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
以上、本日の観察日記でした。
861:１３２人目の素数さん
20/01/22 17:55:14 l1lTbxJu.net
>>841
> 青ルートと赤ルートの境界をグラフにしたのが
2つのルートの境界線は>>799の通り角から伸びる直線
862:１３２人目の素数さん
20/01/22 18:14:54 jM4eJElw.net
Bが円周を描き続けるのは反則負けだとしても、こういうふうに渦巻曲線を描いて円周に近づいてAのスキを見計らって円周に直行すれば捕まらない気がする。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
863:１３２人目の素数さん
20/01/22 19:34:22.59 jM4eJElw.net
>>842
>841の曲線グラフは横軸が対角線上の点の座標(x=yの点の値)
縦軸は陸送速度0.5から4m/秒で描いてみた。
>799はプールの座標で縦横10m
864:１３２人目の素数さん
20/01/22 20:14:35 7n0H2YC6.net
>>843
それBは初期状態よりも不利になってるよね
865:１３２人目の素数さん
20/01/23 01:16:24.21 L8diiD+d.net
>>828 を改良
π = tanθ - θ = cot(π/2 -θ) - θ ≒ 1/(π/2 -θ) -θ
より
π/2 - θ ≒ 1/(π+θ) ≒ 2/(3π) = 0.2122
(1/45)(π/2 -θ)^2 ≒ 0.001
ここまで準備して
π = tanθ -θ
= cot(π/2 -θ) -θ
= 1/(π/2 -θ) -(1/3)(π/2 -θ) -(1/45)(π/2 -θ)^3 -θ
= 1/(π/2 -θ) -(1/2)π +(2/3)(π/2 -θ) -(1/45)(π/2 -θ)^3
≒ 1/(π/2 -θ) -(1/2)π +(2/3 - 0.001)(π/2 -θ),
より2次方程式
(2/3 -0.001)(π/2 -θ)^2 -(3/2)π(π/2 -θ) +1 = 0,
これを解いて
(π/2 - θ) = 0.2189803
θ = 1.35181605
a = 1/cosθ = 4.603323
866:イナ
20/01/23 02:30:32.78 wc6308KN.net
前>>835
こっち側の縁から飛びこんで直角に飛びこむよりもショートカットするときの水中と縁の辺の比を1:tとすると、
x={x(1-t)/√2}/2+x√(1+t^2)/√2
2√2=1-t+2√(1+t^2)
t+2√2-1=2√(1+t^2)
t^2+2(2√2-1)t+9-4√2=4t^2+4
3t^2-2(2√2-1)+4√2-5=0
t={2√2-1+√(9-4√2-12√2+15)}/3
={2√2-1+√(24-16√2)}/3={2√2-1+2√(6-4√2)}/3
={2√2-1+2√(6-2√8)}/3
={2√2-1+2(√4-√2)}/3
={2√2-1+2(2-√2)}/3
={2√2-1+4-2√2)}/3
={2√2+3-2√2)}/3
=1
あれ？ 45°かぁ。
45°より60°のほうが速かったはず。あいだのt=4/7ぐらいでぎりぎり10.7秒台が出るか思たけど。
60°─x=10√6+30√2)/(2√6+3-√3)
=10.8516423……
45°─x=20(2√2+1)/7
=10.93835……
今日はここまで。
867:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/23 05:26:29 wc6308KN.net
前>>847
向こう縁から1:t:√(1+t^2)の直角三角形を描くようにショートカットするとき、救出時間は、
5+{x/√2-(10-x/√2)t}(1/2)+(10-x/√2)√(1+t^2)
これを=xとおいてよいかどうかがわからない。
=xとおいて解くと、
x=20√2･√(1+t^2)/{2√2-1-t+2√(1+t^2)}
x'の分子=0とすると、
4t-t√2+√2=0
|t|=(1+2√2)/7
=0.546918161……
x=10√(58+4√2)/(6-2√2+√(29+2√2))
=9.05288297……(秒)
まぁ迅速な値。
868:１３２人目の素数さん
20/01/23 07:15:39 eYMUSSWZ.net
>>845
AもBも定速で常時動いているけど、いつでも向きを変えることができるから最高速度までは実質速度可変ってことを見逃していました。
869:１３２人目の素数さん
20/01/23 10:17:48 uX5Gp1Sm.net
半径a/bの円より外側の地点から外に出てしまうとBはAとの偏角差を0にされたらアウトです。
そこから以降はAはBと偏角のが0になるようにだけしていればBは脱出できません。
フェイントかけてAを出し抜くとかは無しです。
そんなの許してしまうとどんなに速度差があっても脱出可能になって数学の問題にならないので、それが無しは暗黙の了解でしょう。
870:１３２人目の素数さん
20/01/23 11:52:44.65 yJ0QfnuX.net
そもそもAもBもその時点で選べる戦略が、ちょうどその時点（まで）の挙動に依存して良いという前提なら、
二人の戦略が競合する場合があるんだよなあ
多少ネタバレになるかもだけど、例えば速度a>1の点A(-1,0)と速度1の点B(1/a,0)がそれぞれ
A: 三点B,O,Aが常に一直線上に来るように動く。
B: 最初は速度ベクトル(1/√2,1/√2)で動く。もしAと重なれば、その瞬間速度ベクトルのy座標の符号を変える。
というものであれば、これを満たす両者の挙動は存在しないわけだから…
（そして実際某所に書かれてあった答えもこのような戦略に依存していた）
この問題を正確に解くには、こういう連続的時間の上での『戦略』を正しく定式化する必要がありそう。
まあでもこの辺は、例えば
『時間tにおける戦略は、ある正の数cに対して、時間t-c以前のゲームの状態のみから決定されるものでなければならない』
みたいにすれば解決しそうだし、速度の臨界値には影響ないことも示せそうだからそれほど問題ではないのかも知れないが
871:１３２人目の素数さん
20/01/23 12:05:36.61 ddX83Qle.net
上記の逃げきれるかっていう設定の問題見て
コンウェイのAngel problemっていうゲームを思い出した
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
872:１３２人目の素数さん
20/01/23 12:09:52.87 uX5Gp1Sm.net
>>851
そう、ルール次第ではデッドロックは起こりうると思う。
しかし元問題にはその点の規定はないので両者は
「相手の行動を見越して反応する」
「相手の戦略を知ってる事を利用して行動する」
のは無しにしても
「相手の行動に所要時間0で反応する」
はありにしないと問題文に合わない。
反応のための所要時間についての規定はないんだから。
つまりAの側のt<Tにおける行動がBのt<Tにおける行動のみによって決まる以上はルール上OKとするものだと思うし、だとすれば>>850は許される捕獲戦略になる。
相手の行動に対して何か有限の時間cが必ず必要ならBは円周までの所要時間がc/2の点まで近づいたあと、Aが反応できない時間を利用して必ず脱出できてしまう事になって数学の問題にならない。
873:１３２人目の素数さん
20/01/23 12:32:57 yJ0QfnuX.net
>>853
一律の下限を設けるのは確かに問題に合わないね
一方時間Tに対してt<Tの全ての情報を使って良いとしたら、
それはそれで点A(t)や点B(t)の連続性からA(T),B(T)についての情報も言えてしまうことになって、
結局>>851のような問題を孕んでしまうことになるから、例えば
『時間Tに対してT-c以前までの状況に依存できるAの戦略S_cを適切に定めれば、
c→0の時に、Bが円周率にたどり着いた時の二点A,Bの距離の上限D_cが0に収束する』
ことをもって『捕まえられる』こととする方法とか、もしくは
『そもそも状況Jにおける反応時間cはJに依存して良い』
とすれば、Aの速度が臨界値より大きければ距離の誤差なくしっかりBを捕まえられるはず
874:１３２人目の素数さん
20/01/23 12:47:50.21 uX5Gp1Sm.net
>>854
いや、本問では>>853の設定ではある臨界値Kが存在して
a/b<KならBの側に必ず脱出戦略がある。
a/b>KならAの側に必ず脱出阻止戦略がある。
が成立します。
ちなみにBが動けなくなるのも脱出阻止成功してるのでAの勝ちです。
875:１３２人目の素数さん
20/01/23 12:51:34 yJ0QfnuX.net
>>855
ああそうか、考えてみればそもそもデッドロックが起こり得ない戦略というのも可能なのか…ごちゃごちゃと申し訳ない
876:１３２人目の素数さん
20/01/23 13:03:11 aJxPL91a.net
問題が、
Aの速さがBの速度の何倍以上ならBを捕まえられるか
ではなく
何倍以上ならBを逃がさないか、又は、何倍までならBは必ず逃げられるか
ならデッドロックを考えなくていいのでは？
> そもそもAもBもその時点で選べる戦略が、ちょうどその時点（まで）の挙動に依存して良いという前提なら、
> 二人の戦略が競合する場合があるんだよなあ
>>784の戦略が過去の状態に依存しない最適戦略だと思う
後は、脱出点が僅かでもずれれば捕まってしまうことを示せれば良さそう
877:１３２人目の素数さん
20/01/23 13:17:53 z5F7hCwD.net
>>857
本問では考えなくてもいいかもしれません。
より一般化して
・Aが選びうる戦略関数SとBが選びうる戦略関数Tを持ち寄って何が起こるか実験する。
実験とは
f=S(g)、g=T(f)‥‥?
なるf,gを求める事、すなわち両者とも持ち寄った戦略に応じた行動をするf,gを見つけること、それは相手の行動を戦略に従っての行動であるもの。
その結果の評価関数E(f,g)を両者が自分にとって最大になるようなS,Tを見つけるというゲームの理論としての定式化を考えた場合には、一般に?が解無しになってしまい、問題の定式化に失敗する事もあります。
それをデッドロックと表現しました。
本問ではありません。
そういう事態が発生しない戦略関数が臨界値を界に必ず見つかります。
ちなみにピッタリ臨界値のときは多分A勝ちのハズです。
878:１３２人目の素数さん
20/01/23 13:23:22 yJ0QfnuX.net
>>784 だと、ちょうど時刻TでAOBが一直線上に並んだとして、"反転"する判断を下すのはT以降のいつか、という問題があるんだよね
ちょうどT秒の時点では、三点が一直線上に並んでるというだけで、今後反転するかどうかの判断は下せない訳だから
だから、状況Jに依存する時刻c(J)秒前に既に逆転していたならば向きを変更する、という様な戦略にする必要があるってことを言いたかった
適切に関数c(J)>0を定めれば >>784 が必勝戦略であり続けられることの証明は、ちょっと骨が折れそうなのでパスだけど…
879:１３２人目の素数さん
20/01/23 13:28:45 aJxPL91a.net
>>859
反転と言うけれど、Aが直線BOの通過したかで判断すればいいのでは？
880:１３２人目の素数さん
20/01/23 13:37:12 aJxPL91a.net
仮に
BOAが直線の時は、BはOB方向へ移動する
としたら、Bの脱出に影響あるだろうか？
881:１３２人目の素数さん
20/01/23 13:44:54 yJ0QfnuX.net
>>860
通過とは、通ること？通り過ぎること？（字面からしておそらく後者だとは思うけど…）
単純に通るだと、Aが常に三点AOBが一直線上に並ぶ戦略をとることで"反転"の判断を連続的に下し続けてしまうからデッドロックとなる。
もし通り過ぎることだとしても、Aの偏角をθ(t)、一直線上に並んだ時刻をTとおくと、例えば t>0 に対して
θ(t+T)=θ(T)+(a/√2)･tsin(logt)
みたいな動き方をした場合、Tに任意に近い時刻で無限に反転が起きている訳だから、
同じくBの動き方が問題になってしまう
882:１３２人目の素数さん
20/01/23 14:13:29 uX5Gp1Sm.net
うーん、私が今持ってる答え再検討したんですが、どうも>>858の一番素直な意味にとってしまうとデッドロック発生しますね。
すいません。
あくまで私の持ってる解は>>754の意味においてです。
>>858の意味でのデッドロックが絶対発生しない戦略があるかどうかは私わかりません。
883:１３２人目の素数さん
20/01/23 14:58:02 aJxPL91a.net
>>862
速度が臨界値ならBはAから逃げられないとして、
臨界値未満の時は計算してないけど、
BOAが直線の時BがOB方向へ移動して、
AがOB上から外れたら、その時点でOBと垂直、Aと逆方向の円周上の点に向けて動けばどうだろうか？
速度に応じたAのOB上からのズレの許容量が示せればいいんだけれど
ついでだけれど、AがOB上を保つとき、BがOB方向へ移動するのは問題ないはず
884:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/23 15:30:12 wc6308KN.net
前>>848
>>640問題。
>>753この方針で早く解かなきゃ。
Aが222.59°-180°=42.59°のときBは直線軌道に変え、その瞬間Aは逆回りする。
Bがそのまま直線軌道なら>>753の方針で解けばいいんだけど、そのまま直線軌道よりAから遠ざかるように反対の円弧をとる。
円弧の中心は直線軌道に垂直な直線上にあり、
一つ目の分岐点と到達点が同じ距離になる半径。
Aがまたある地点で折り返す可能性があるかないか。もしもあるならBはまた逆の円弧をとればいい。
AもBも長くなり、A/Bはある値に収束するのか、それともA/B→+∞か。
885:１３２人目の素数さん
20/01/23 15:36:24 yJ0QfnuX.net
とは言え>>858の意味でも（勿論>>754の七行目のような制約は課した上で）
デッドロックが起こらない戦略の存在は示せると思うので、特に何もなければ厳密性についてはこのくらいにします…
後で似たような状況を再現するために単純な類題を出すかもだけど、疲れてるのでしない可能性のが高いかもなので当てにしないでください
886:１３２人目の素数さん
20/01/23 15:44:31 yJ0QfnuX.net
>>864
Aが>>862の前者のパターンで動くなら、おそらくそれでOKだと思う。
しかしAが後者のパターンで動く時、Bのその戦略に則った挙動の存在とか一意性って、中々自明でないような…
887:１３２人目の素数さん
20/01/23 16:04:15.09 uX5Gp1Sm.net
>>866
そうですね。
>>858の意味でのデッドロックも発生しない戦略ありそうですね。
とは言え私元サイトカンニングしてるので書くのは控えます。
888:１３２人目の素数さん
20/01/23 16:56:00 L8diiD+d.net
>>846
第０近似
π/2 - θ ≒ 0, θ ≒ π/2 = 1.570796
第１近似
π/2 - θ ≒ 0.2122066 = 2/(3π), θ ≒ 1.358590
第２近似
π/2 - θ ≒ 0.21877444 θ ≒ 1.35202189
= 1/{(3/2)π - 4/(9π)}
第３近似
π/2 - θ ≒ 0.21897959 θ ≒ 1.35181674
>>784
π/2 - θ = 0.218979522 θ = 1.35181680432
889:イナ
20/01/23 17:55:35.86 wc6308KN.net
前>>865
>>640問題。
Aは逆回りしてもBが予定変更して逆の円弧を逃げると思って逆回りしない。
Bは直進して222.59°の外周で捕まえられる。
>>753この方針で解かなきゃ。Bの逃走距離を円弧B+直線Bとすると、
円弧B=2πR[(180-2{60-30(25.18/60)}/360](4259/22259) =(π/cos47.41°)(85.18/360)(4259/22259)r
=0.210164978……･r
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)R
Rcos47.41°=r/2より、
R=r/2cos47.41°
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)r/2cos47.41°=0.840496067……･r
Aが222.59°でBを捕まえるときのAの追跡距離、円弧Aは、
円弧A=2πr(222.59/360)
=3.88492838……･r
速度比A/B=3.88492838……･r/(0.210164978……･r+0.840496067……･r)
=3.88492838……r/1.050661045……r
=3.88492838……/1.050661045……
=3.69759954……(倍)
Bは半径より5％ばかり長い距離を逃げる。
AはBを円周の222.59°の方向で捕まえるのに3.7倍近い速度が必要。
890:１３２人目の素数さん
20/01/24 09:45:24 hf8Gpc9I.net
（自作問題：正解ないかも）
お菓子を持った人がやってきて
「あなたの言うことが正しければ飴玉かチョコをあげる、間違っていれば何もあげない」と言われた。
お菓子を持った人は決して嘘をつかない正直者か、必ず嘘をつく嘘つきのどちらかである。
（お菓子をもった人は自分が正直者か嘘つきかは分かっているが、あなたには分からない。）
この人からチョコをもらうには何と言えばよいか？
891:１３２人目の素数さん
20/01/24 10:51:53 2S47DcwE.net
「この文が真ならば私はあなたからチョコをもらう」みたいなのは無し？（参考：カリーのパラドックス）
892:１３２人目の素数さん
20/01/24 11:03:30 rLVN1Bdv.net
>>872
お菓子を持った人の命題がまさにそれだから、ありです。
自分で考えた正解も条件文になった。
893:１３２人目の素数さん
20/01/24 12:01:59 hZwMTf1V.net
コレは解あるの？
嘘つきというのを「自分が述べた事は必ず嘘であるし、嘘になる様に行動する人」という意味だとして、お菓子持ってきた人の述べた事の否定は「、」で区切られた二つの命題と考えた場合は
「あなたの言うことが正しくても飴玉もチョコもあげないかもしれない、間違っていても何かあげるかもしれない」
でコレを正しい命題になる様に行動すると仮定しても何言っても必ずチョコもらえる方法はない気がする。
「、」を「かつ」で結ばれた一文と考えたらもっと無理になる。
894:１３２人目の素数さん
20/01/24 12:21:53 V/u1WoFD.net
いや、でも流石に正しい事言ったのに何かくれたら嘘つきの行動にはならないのかな？
この人の行動の条件は
「あなたが正しい事を言ったら何もあげない、あなたが間違った事を言ったらなにか(今回ならチョコか飴玉)をくれる」
という条件を満たすように行動する。
ですか？
895:１３２人目の素数さん
20/01/24 12:34:10 2S47DcwE.net
昨日言ってた簡単な類題
～～～～～～～～
数直線上の二点P,Qが以下のような勝負をする。
両者とも時刻0の時点では原点に位置し、時刻が1に達するまで、両者は数直線上を自由に動く 。
ただし、点Pは速さ1以下、点Qは速さa以下でしか動くことができない。
（ a > 1 は固定する）
ここで点Xの時刻t_0における速さは
limsup_(t→T) ( |X(t)-X(t_0)| / |t-t_0| )
により定める（点t_0におけるリプシッツ係数と呼ぶことにする）。
時刻1の時点で二点が一致した時、すなわち P(1)=Q(1) が成り立った時はQの勝利。
そうでない時はPの勝利とする。
このゲームにおいてQは、勝利するためにどのような戦略を立てるべきか。
～～～～～～～～
>>754の意味での必勝法を第一種必勝法、
>>858の意味での必勝法を第二種必勝法と仮に置いた時、点Qの戦略Tを
T(f)=f ( f:[0,1]→R は点Pがとり得る任意の挙動)
と定めればこれは第一種必勝法にはなるけど、第二種必勝法にはならない。
（∵点Pの戦略Sを
S(g)(t)= -t ( g(t)=t for∀t∈[0,1] の時)
S(g)(t)= t (それ以外)
と定めればデッドロックが起こってしまう）
896:１３２人目の素数さん
20/01/24 12:38:00 PJ7j0nu4.net
だとすると
「あなたは私に飴玉をくれる」
かな？
嘘つきの選択肢が
?何もあげない
?飴玉をあげる
?チョコをあげる
?飴玉とチョコをあげる
とする。
?を選択してしまうと「あなた」が間違ったことを言ったのに何もくれなかったので行動原理に反する。
??を選択してしまうと「あなた」が正しい事ことを言ったのな何かくれたので行動原理に反する。
?のみが間違った事を言った(飴玉はあげなかった)のに何かあげるという行動原理に適合できる。
897:１３２人目の素数さん
20/01/24 12:38:52 2S47DcwE.net
>>876 訂正
誤
limsup_(t→T) ( |X(t)-X(t_0)| / |t-t_0| )
正
limsup_(t→t_0) ( |X(t)-X(t_0)| / |t-t_0| )
898:１３２人目の素数さん
20/01/24 13:58:45 hf8Gpc9I.net
>>877
「あなたは私に飴玉をくれる」
それだと、正直者からチョコがもらえないよ。何ももらえないかもしれない。
899:１３２人目の素数さん
20/01/24 14:04:23 hf8Gpc9I.net
>>874
P：あなたの主張は正しい
Q：お菓子をあげる
正直者なら
P⇒Q ∧ ￢P⇒￢Q
嘘つきならその否定だｋら
￢（P⇒Q ∧ ￢P⇒￢Q）
￢（P⇒Q）∨ ￢（￢P⇒￢Q）where P⇒Q ≡ ￢（P∧￢Q）
￢￢（P∧￢Q）∨ ￢￢（￢P∧￢￢Q）
（P∧￢Q）∨ （￢P∧Q）
（主張は正しい∧お菓子をもらえない）または（主張は間違っている∧お菓子をもらえる）
900:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/24 14:09:40 1a27+DeR.net
前>>870
>>640問題。
>>742冒頭欠けてるって書いたけど欠けてなかった。
>>740でAとBの到達点を求め、
>>870でBの逃げる距離を短くするという流れでいいと思う？
3.69759954……倍であってる？
901:１３２人目の素数さん
20/01/24 14:09:52 hf8Gpc9I.net
>>874
正直者と判明しているときは、あなたは私に飴をくれない が正解になる。
902:１３２人目の素数さん
20/01/24 14:11:31 rC18lOHu.net
>>879
あ、しまった。
相手が正直者の可能性もあるのか。
903:１３２人目の素数さん
20/01/24 14:46:18.36 2S47DcwE.net
実際には >>876 のゲームで点Qの第二種必勝法は存在して、点Qの戦略Tを次のように定めれば良い。
～～～～～～～～
f:[0,1]→R を点Pの挙動とする。
t_0=0, g(0)=0 と定める。
(i) nが偶数かつ t_n<1 の時、
g(t_n)+a(t-t_n)-f(t) ≦ (a-1)(1-t)
を満たす最大の実数 t∈[t_n,1] を t_(n+1) と定め、t∈[t_n, t_(n+1)] の時の g(t) の値を
g(t)=g(t_n)+a(t-t_n)
により定める。
(ii) nが奇数かつ t_n<1 の時、
g(t_n)-a(t-t_n)-f(t) ≧ -(a-1)(1-t)
を満たす最大の実数 t∈[t_n,1] を t_(n+1) と定め、t∈[t_n, t_(n+1)] の時の g(t) の値を
g(t)=g(t_n)-a(t-t_n)
により定める。
(iii) t_n=1 の時、そこで数列 {t_i} を打ち止める。
仮に {t_i} が無限列であっても 1-t_(n+1) ≦ (1-t_x)/a より lim_(n→∞) t_n=1 であるから、
全ての t∈[0,1) に対して g が定まる。連続性により g(1) も定まる。
このようにして定めた g を S(f) とする。
～～～～～～～～
このgは |g(t)-f(t)|≦(a-1)(1-t) を満たすことがわかるから、特に g(1)=f(1).
ゆえに、少なくとも第一種必勝法を与えることがわかる。
904:１３２人目の素数さん
20/01/24 15:50:56 2S47DcwE.net
>>884 が第二種必勝法でもあることは以下のようにしてわかる。
（証明）
点Pの戦略Sを任意に定める。集合Wを
W={a∈[0,1] : 点Pの挙動gであって T(S(g))(t)=g(t) for∀t∈[0,a] を満たすものが存在する}
と定める。0∈W は明らか。
>>754 の七行目の原則から、Wが最大値を持つこともわかる。
Wの最大値wが1より小さいと仮定し、T(S(g))=g (t∈[0,w]) を満たすgを一つとる。
S(g) に対して>>884のように定められる実数列 {t_n} について、
(i) t_n=w を満たすnが存在しない時、wの定義からwの任意の近傍で
not ( T(S(g)) ≡ T(S(T(S(g)))) )
を満たす必要があるため、
S(T(S(g))) に対して884のように定められる実数列 {t'_n} は w=t'_n (for∃n) を満たさねばならない。
(ii) あるnについて t_n=w が成り立つ時、754 の七行目の原則から、
S(T(S(g))) について884のように定められる実数列 {t'_n} について t_i=t'_i (i≦n) を満たす必要があるから、
∀t∈[t_n, min(t_(n+1),t'_(n+1))] についてT(S(T(S(g))))(t) = T(S(g))(t).
これはwの定義と矛盾。
(i)と(ii)よりw=1でなければならないので、T(S(g))=g を満たすgが存在。ゆえにTは第二種必勝法。□
905:１３２人目の素数さん
20/01/24 16:11:09 2S47DcwE.net
>>876 訂正
>>754 の七行目の制約から、デッドロックを起こすための点Pの戦略Sは
S(g)(t)= -t ( 0のある近傍で g(t)≡t の時)
S(g)(t)= t (それ以外)
とすべきでした