20/01/12 20:08:20.31 C8wJOR09.net
起承転結の問題で、いきなり結を答えられてしまった思いです。
f(x)は、極大値が4、極小値が0の三次関数なら全て当てはまります。
そのうち、f(x)=αの解が、区間(0,4)に収まるもの、つまり、x(x-3)^2 や、これを、x=2 で折り返した
(4-x)((4-x)-3)^2)=-(x-1)^2(x-4)をf(x)としたとき、F(x)=f(f(x)) 等が[1]の誘導に従順な答えです。
同様に、区間[0,4]で極小値0、両端で最大値4を取る二次関数g1(x)=(x-2)^2 あるいは、
極大値4、両端で最小値0を取る二次関数g2(x)=-x(x-4) を使って、G(x)=±g(g(g(x))) で定まる
8次関数が[2]の答えとなります。プラマイは、[0,4]区間外の挙動に整合するどちらかを選択してください。
gは、g1かg2のどちらかです。
では、11次関数ならどうすべきか？ 9=3^2、8=2^3 を利用して、[1]や[2]は簡単に表せたが、
11では、どうすべきか？ これを意地悪に問うた問題でした。
答えは、チェビシェフにあります。というか、三角関数の、ｎ倍角の公式の中にあります。
cos(nx) + i sin(nx) = (cos(x)+ i sin(x))^n を利用して、
cos(nx)は、cos(x)のn次関数として表せますが、ここを細工して問題にしました。
plot y=2 ChebyshevT[11,x/2-1] +2 ,x=-0.1 to 4.1
を某所に入力すれば、形状を確認できます。