20/01/11 12:38:20.81 5mKskwfM.net
2nの星ですべてがお互い観測されている配置は
>>498の構成により観測し合う2星のペアn組が他から観測されず隔絶された配置のみ
510:１３２人目の素数さん
20/01/11 12:45:17.56 5mKskwfM.net
奇数個の星の配置では観測されない星が1つ以上存在するため
それら観測されない星を取り除いた残りはお互い観測されている配置となる
よって
奇数個の星の配置は
>>499の偶数個の星の配置から初めて
m=max{d(p,q)}にmより遠くに星を1つずつ配置していくことで得られるもののみ
511:１３２人目の素数さん
20/01/11 12:49:31.43 5mKskwfM.net
>>499,500
すなわち3星以上で循環的に観測が起こるような配置は存在しない
512:１３２人目の素数さん
20/01/11 13:15:32 5mKskwfM.net
>>500
>m=max{d(p,q)}にmより遠くに星を1つずつ配置していくことで得られるもののみ
まちがいだけれども戦略は単純で
追加する前の星から観測されない距離に配置していくというだけ
513:イナ
20/01/11 15:13:43.52 oekFC6rM.net
前>>484問題>>364
a=√{(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}
にt=1/2を代入すると、
a=√[{(1/2)^2-(1/2)+3}/{(1/2)^4-2(1/2)^3+3(1/2)^2-2(1/2)+1)}]
=√[{(11/4)/{(1/4)^2-(1/4)+3/4-1+1}]
=√{11/(1/4-1+3)}
=√{11/(9/4)}
=2√11/3
=2.21108319……
2.23には及ばないけど、これが今のところ最大値。
514:イナ
20/01/11 16:48:12.21 oekFC6rM.net
前>>503
>>364
ピタゴラスの定理で検証する。
t=1/2のときBC,CDの中点P,Qは△ABC,△ACDの頂点Aから下ろした垂線の足になる。
ピタゴラスの定理によらずともAP=AQ=a√3/2
PQ=a/2だからPH=HQ=a/4
△APHにおいてピタゴラスの定理より、
AH=
515:√(AP^2-PH^2) =√{(a√3/2)^2-(a/4)^2} =a√(3/4-1/16) =a√11/4 △OPHにおいてピタゴラスの定理より、 OH=√(OP^2-PH^2) =√{1-(a/4)^2} =√(1-a^2/16) AO+OH=AHだから、 1+√(1-a^2/16)=a√11/4 辺々二乗し、 1+2√(1-a^2/16)+1-a^2/16=11a^2/16 2+2√(1-a^2/16)=3a^2/4 8+8√(1-a^2/16)=3a^2 8+2√(16-a^2)=3a^2 4(16-a^2)=(3a^2-8)^2 64-4a^2=9a^4-48a^2+64 9a^2=44 3a=2√11 a=2√11/3=2.21108319……
516:１３２人目の素数さん
20/01/11 18:07:34 5mKskwfM.net
>>500
奇数の場合の配置の考察間違っているけど
>>501は正しい
観測されない星を取り除いて
新たに観測されない星が出て来ればそれも取り除いて
と順に繰り返せばすべてが観測されるペアで構成される偶数個の配置に至るから
517:１３２人目の素数さん
20/01/11 18:11:04 5mKskwfM.net
結局は偶数奇数にかかわらず
星の配置はペア構成の偶数個を元にして
そこを観測する星が加わり
加えた星を観測する星が加わりと
枝分かれして繁茂することになる
最初のペアごとに枝が茂るような
518:イナ
20/01/11 19:40:46.69 oekFC6rM.net
前>>504
>>396
三角形APQ (辺の長さはAP=AQ=a√(1-t+t^2), PQ=at) が単位円に内接するときの
三辺の長さと内接円半径の関係式を求めると
a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)
>>469
a=√{(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}
なにが違うのかと思ったらaの値が違うのか。形は似てるんだけどなぁ。
t=0.39のときはa=2.18……を増加中で気づかなんだ。
519:１３２人目の素数さん
20/01/11 22:22:24.81 mJt/HuQ5.net
これで証明になってますか？
すべての星が観察されている配置が存在するとして、その星の集合をAとする。
Aからa->b b<-aのように相互監視されている星を除く集合をBとする。
Bの要素が1つの星であればその星はどこからも観察されていないからAの前提に反する。
Bの要素が2つの星であればその星は相互監視されるからBの前提に反する。
Bの要素が3個以上あるとすると星間の距離が最短の2個の星は相互監視していることになりBの前提に反する。
故に、Bは空集合である。
すべての星が観察されている配置は相互監視されている配置のみである。
520:１３２人目の素数さん
20/01/11 22:41:50.59 5mKskwfM.net
>>508
>Bの要素が3個以上あるとすると星間の距離が最短の2個の星は相互監視していることになりBの前提に反する。
NG
他の星を取り除いているからその2個が元々相互観察しているとは限らない
残りが2つの場合は
元々相互観察していたか
その2つともが取り除いた星を観察していたか
一方がもう一方を観察し観察されている方は取り除いた星を観察しているかの3通りしか有り得ず
相互観察以外は元々すべての星が観察されているという仮定に反するので
考察の通り相互観察と結論してよい
521:１３２人目の素数さん
20/01/11 22:46:43.87 kJ5ju2rK.net
>>508
> Bの要素が2つの星であればその星は相互監視されるからBの前提に反する。
コレはダメでしょ？
0467の場合
0→4→6⇔7
なので
B={0,4}
しかし0,4は相互監視してるわけではない。
522:１３２人目の素数さん
20/01/11 22:54:26.45 5mKskwfM.net
>>510
>0→4→6⇔7
>>508の考察の前提はすべての星が観察されていることであり上記の配置は考察の対象ではない
523:１３２人目の素数さん
20/01/11 23:12:34.54 MMDEJiom.net
n個の星があるので、n(n+1)/2通りの距離がある。この中で最も小さい距離に
あたるのが、星Aと星Bの距離であるとする。
当然、星Aの天文学者は星Bを、星Bの天文学者は星Aを見ている。
星Aと星Bを除く、n-2個の星の中で、この二つの星を見ている天文学者がいなければ、
星Aと星Bが最初から無いものとし、n-2個の星で、同じ議論を行えばよい。
いずれ、二個か、三個になる事もあろうが、二個なら相互観測可能、三個なら相互観測が不可能なのは、自明。
星Aと星Bを除く、n-2個の星の中で、この二つの星のいずれかを見ている天文学者がk人(k>0)居たとする。
このn-2個の星の中にいる天文学者の数はn-2人。星Aも星Bも見ていない天文学者はn-2-k人。
星Aと星B以外のn-2個の星全てを、n-2-k人の天文学者で観測することはできない。
524:１３２人目の素数さん
20/01/11 23:13:06.17 mJt/HuQ5.net
>>509
ご指摘ありがとうございます。
取り除いた星を観察している場合を考慮していませんでした。
525:１３２人目の素数さん
20/01/11 23:25:37.51 MMDEJiom.net
間違った。n(n+1)/2 ではなく、n(n-1)/2通り。
あと、三個で、相互といのは、不適当ぽい。三すくみ状態の観測が不可能と修正します。
526:１３２人目の素数さん
20/01/11 23:50:48.29 mJt/HuQ5.net
これでどうでしょう？
すべての星が観察されている配置が存在するとして、その星の集合をAとする。
Aからa->b b<-aのように相互監視されている星を除く集合をBとする。
除かれた星の集合をCと呼ぶ。
Bの要素が1つの星であればその星はどこからも観察されていないからAの前提に反する。
Bの要素の数をｂとする。b人のうち一人でもCに属する星を観察しているとBの中に観察されない星が出現する。
それはAの前提に反するから、b人はすべてBに属する星を観察していることになる。
Bに属する星で星間の距離が最短の2個の星は相互監視していることになりBの前提に反する。
ゆえにBは空集合である。
527:１３２人目の素数さん
20/01/12 00:30:19.97 K5TiA6Ma.net
>>512やおそらく暗黙のうち>>486が依拠している
星の数が有限なので観測者の居る星から観測している星への写像が全射であれば単射すなわち置換になっているということと
>>512のように最短距離の2星は相互に観測していることから
この置換の軌道はすべて互換と結論するのが簡明
528:イナ
20/01/12 02:36:19.74 cCWTnFDc.net
前>>507
>>396
PQ=atはわかった。
内分する点は同じ頂点Bからatの地点にあることもわかった。
aをtで表して微分する方針は同じで、
a=√(4-4t+3t^2)/1-t+t^2
までできた。aを微分し、
a'=0よりその分子は、
(1/2)(4-4t+3t^2)^(-1/2)(6t-4)(1-t+t^2)-(4-4t+3t^2)^(1/2)(2t-1)=0
(4-4t+3t^2)^(1/2)を辺々掛けて、
(3t-2)(1-t+t^2)-(4-4t+3t^2)(2t-1)=0
3t(1-t+t^2)-2(1-t+t^2)-2t(4-4t+3t^2)-(4-4t+3t^2)=0
3t-3t^2+3t^3-2+2t-2t^2-8t+8t^2-6t^3-4+4t-3t^2=0
-3t^3+t-6=0
3t^3-t+6=0
どこが違いますか？
中の微分(6t-4)を掛けるんだと思ったけどそこが違いますか？
529:１３２人目の素数さん
20/01/12 05:32:20 4MREAxiq.net
次の条件を満たす空でない自然数の集合Mを考える。
【n∈M ⇒ 2020n∈M かつ [√n]∈M】
ただし、[ ]はガウス記号とする。
このとき、Mは自然数全体の集合に他ならないことを示せ。
530:１３２人目の素数さん
20/01/12 08:00:37.93 shLoIsvP.net
>>518
M=R（実数全体）が条件を満たすことを示す
n∈Rと仮定すると
2020n∈R
[√n]∈R
よってRは条件を満たす
したがって命題は偽
531:１３２人目の素数さん
20/01/12 08:04:35 shLoIsvP.net
>>519
Mは自然数の集合って書いてあったわ(´・ω・｀)
532:１３２人目の素数さん
20/01/12 13:24:07.75 we0BMqxn.net
>>518
Mは空でないから、あるm∈Mに対して[√m]をとり続ければいつか1にたどり着くので、1∈Mがわかる。
整数n≧1を任意にとる。整数pを十分大きくとれば
2020 < ((n+1)/n)^(2^p)
が成り立つので、このようなpに対して
n^(2^p) ≦ 2020^q (∈M)
を満たす最小の整数qをとれば
2020^q < (n+1)^(2^p)
が成り立つので、Nに対して[√N]をとる操作を2020^qにp回適用することでn∈Mが導かれる。
nは任意であったからMは正の整数全体。
533:イナ
20/01/12 13:27:31.30 cCWTnFDc.net
前>>517
>>364
√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)を微分せよ。
534:１３２人目の素数さん
20/01/12 14:20:35 N37KH+Ag.net
すべての星間の距離は異なる、最も近い星を観察している、すべての星が観察されているという条件を満たすように 乱数発生させて数直線上に配置するシミュレーションをしてみた。
sim(n,N) ｎ個の星を数直線1,2,3,,,Nに配置する
> sim(4,16)
[1] 8 9 13 16
> sim(4,16)
[1] 3 5 11 12
> sim(6,24)
[1] 1 2 12 16 21 24
> sim(8,64)
[1] 5 6 33 36 40 42 50 55
> sim(10,128)
[1] 2 6 16 17 41 44 53 60 112 125
nが偶数のときは、星の配置を返してくれるけど
奇数にすると処理が終わらない。
535:１３２人目の素数さん
20/01/12 16:09:43.94 C8wJOR09.net
[1-1]
f(x)は3次関数。αを定数として、3次方程式 f(x)=α は、
0<α<4 の時は、実数解を3つ持ち、α<0 または、4<α の時は 実数解を一つだけ持つ。
このような性質を持つf(x) を一つ求めよ。
[1-2]
F(x)は9次関数。αを定数として、9次方程式 F(x)=α は、
0<α<4 の時は、9実数解を持ち、α<0 または、4<α の時は 実数解を一つだけ持つ。
このような性質を持つF(x) を一つ求めよ。
[2]
G(x)は8次関数。αを定数として、8次方程式 G(x)=α は、
0<α<4 の時は、8実数解を持ち、α<0 の時は、実数解を持たず、4<α の時は 実数解を二つ持つ。
このような性質を持つG(x) を一つ求めよ。
[3]
H(x)は11次関数。αを定数として、11次方程式 H(x)=α は、
0<α<4 の時は、11実数解を持ち、α<0 または、4<α の時は 実数解を一つだけ持つ。
このような性質を持つH(x) を一つ求めよ。
536:１３２人目の素数さん
20/01/12 16:50:02.10 N37KH+Ag.net
>>523
数直線でなく複素平面上に条件を満たすように星を配置してみた。
星１６個の場合
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> sim(16,256)
[1] 7+198i 18+ 73i 36+ 16i 36+ 59i 43+212i 61+ 12i 80+102i 103+ 86i 105+127i
537: [10] 115+122i 140+230i 143+235i 194+ 39i 210+228i 219+ 85i 241+235i 相互監視している配置になるみたい。
538:１３２人目の素数さん
20/01/12 17:33:44.93 7WosHAht.net
Pn(x)を第一種チェビシェフ多項式とする。
nが偶数のとき方程式
Pn(x)=aはa>1のとき実数解の個数は２個、-1<a<1のときn個、a<-1のとき０個である。
nが奇数のとき方程式
Pn(x)=aはa>1のとき実数解の個数は1個、-1<a<1のときn個、a<-1のとき1個である。
539:１３２人目の素数さん
20/01/12 20:08:20.31 C8wJOR09.net
起承転結の問題で、いきなり結を答えられてしまった思いです。
f(x)は、極大値が4、極小値が0の三次関数なら全て当てはまります。
そのうち、f(x)=αの解が、区間(0,4)に収まるもの、つまり、x(x-3)^2 や、これを、x=2 で折り返した
(4-x)((4-x)-3)^2)=-(x-1)^2(x-4)をf(x)としたとき、F(x)=f(f(x)) 等が[1]の誘導に従順な答えです。
同様に、区間[0,4]で極小値0、両端で最大値4を取る二次関数g1(x)=(x-2)^2 あるいは、
極大値4、両端で最小値0を取る二次関数g2(x)=-x(x-4) を使って、G(x)=±g(g(g(x))) で定まる
8次関数が[2]の答えとなります。プラマイは、[0,4]区間外の挙動に整合するどちらかを選択してください。
gは、g1かg2のどちらかです。
では、11次関数ならどうすべきか？ 9=3^2、8=2^3 を利用して、[1]や[2]は簡単に表せたが、
11では、どうすべきか？ これを意地悪に問うた問題でした。
答えは、チェビシェフにあります。というか、三角関数の、ｎ倍角の公式の中にあります。
cos(nx) + i sin(nx) = (cos(x)+ i sin(x))^n を利用して、
cos(nx)は、cos(x)のn次関数として表せますが、ここを細工して問題にしました。
plot y=2 ChebyshevT[11,x/2-1] +2 ,x=-0.1 to 4.1
を某所に入力すれば、形状を確認できます。
540:１３２人目の素数さん
20/01/12 21:29:34 N37KH+Ag.net
>>525
星と観察矢印を追加してみた
アルゴリズムは
1 × 1の大きさの複素平面にN個の星を一様分布で発生させて
(1)星間距離不同 (2)最短星観察 (3)全星被観察
を満たすものが、みつかるまで繰り返す
N=16の場合
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
541:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:14:00.70 2k69YQBB.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
542:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:15:40.76 2k69YQBB.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
543:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:17:12.62 O/8hgIpk.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
544:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:26:27.84 O/8hgIpk.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
545:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:27:23.83 O/8hgIpk.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
546:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:28:04.05 O/8hgIpk.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
547:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:30:48.58 JM7pXrDp.net
t = ax+b (a≠0) として
f(x) = 2{1+P_3(t)}
F(x) = 2{1+P_9(t)} = 2{1+P3(P3(t))},
G(x) = 2{1+P_8(t)} = 1{1+P2(P2(P2(t)))},
H(x) = 2{1+P_11(t)},
548:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:32:31.60 2k69YQBB.net
書き込みエラーで二重投稿してしまった
すまん
549:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:43:42.92 JM7pXrDp.net
>>535
P_n(t) はn次の第一種チェビシェフ多項式
P_1(t) = t,
P_2(t) = 2t^2 -1,
P_3(t) = 4t^3 -3t,
P_4(t) = P2(P2(t)) = 8t^4 -8t^2 +1,
P_8(t) = P2(P2(P2(t))) = 128t^8 -256t^6 +160t^4 -32t^2 +1,
P_9(t) = P3(P3(t)) = 256t^9 -576t^7 +432t^5 -120t^3 +9t,
P_11(t) = 1024t^11 -2816t^9 +2816t^7 -1232t^5 +220t^3 -11t,
550:１３２人目の素数さん
20/01/13 02:58:53.09 JM7pXrDp.net
(1)
nの素因数分解を
n = Π_i (p_i)^(e_i)
とすると
n ' = n･Σ_i (e_i/p_i)
(2)
Σ_i (e_i/p_i) = 1.
551:１３２人目の素数さん
20/01/13 03:30:55.57 6uFcIen4.net
1～100000までの自然数の中から、「どの3個を選んでも等差数列を成さない2020個の数」が選べることを示せ
552:イナ
20/01/13 05:00:42.13 PsQ8IZ2e.net
前>>522
>>396
三次方程式の解の公式は面白くないんで三次方程式の解の公式に行く前に、
a=√(4-4t+3t^2)/1-t+t^2 をゆっくり微分してもらえませんか？
553:１３２人目の素数さん
20/01/13 07:27:15.84 VTAeR0gZ.net
>>539
１，２，４から始めて、２０個の場合を探索してみた。
1 2 4 5 10 11 13 14 28 29 31 32 37 38 40 41 82 83 85 86
M=2020として最大値が10000を超えないことがわかればいいけど、マシンパワーが足りないから無理。
rm(list=ls())
p3c <- function(x){ # pick 3 numbers and check if arithmatic sequence
is.as3 <- function(x) diff(x)[1]==diff(x)[2] # 等差かを返す
is.as=function(y) is.as3(c(x[y[1]],x[y[2]],x[y[3]])) # 組み合わせのindexに相当する３個の数が等差か？
n=length(x)
any(combn(n,3,is.as)) # 等差の３つが選べるか
}
M=20
a=c(1,2,4)
i=5
AS=FALSE
while(length(a) < M){
a=append(a,i)
AS=p3c(a)
if(AS){
a=a[-length(a)]
}
i=i+1
}
a
554:１３２人目の素数さん
20/01/13 07:29:51.64 VTAeR0gZ.net
>>540
d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)×1/1 - t + t^2) = (6 t - 4)/(2 sqrt(3 t^2 - 4 t + 4)) + 2 t - 1
555:１３２人目の素数さん
20/01/13 08:01:32.45 VTAeR0gZ.net
>>541
100個でも朝食の時間に計算終わってた。
> a
[1] 1 2 4 5 10 11 13 14 28 29 31 32 37 38 40 41 82 83 85 86 91 92 94 95 109
[26] 110 112 113 118 119 121 122 244 245 247 248 253 254 256 257 271 272 274 275 280 281 283 284 325 326
[51] 328 329 334 335 337 338 352 353 355 356 361 362 364 365 730 731 733 734 739 740 742 743 757 758 760
[76] 761 766 767 769 770 811 812 814 815 820 821 823 824 838 839 841 842 847 848 850 851 973 974 976 977
>
556:１３２人目の素数さん
20/01/13 08:17:36.93 iAwpmWWr.net
>>533
n=Πpi^(ei)のとき定義からn'=Σeiである事が必要。
逆にそもそもこっちを定義にしとけばwell-definedである事は明らかなので要請された条件を満たす'は存在する。
557:１３２人目の素数さん
20/01/13 08:47:42.15 2k69YQBB.net
n=2^2,3^3,5^5,…のときn'=n
これは確認が容易だが、n'=n⇒n=p^pの証明はやや難しいと思う
558:１３２人目の素数さん
20/01/13 09:36:06.03 M9eolSOh.net
あ、ΣeiではなくΣeipi^(ei-1)ですな。
お詫びして訂正致しまする。
559:１３２人目の素数さん
20/01/13 10:13:53.20 6mVc9I1z.net
あ、まだダメ。
n'=nΣei/pi
だ。
Σei/pi=1になるにはpi進付値を考えてpi|eiが必要だからei=kipiとおける。
この時Σei/pi=1⇔Σki=1だから結局条件はどれか一個がei=piで残りは0。
560:１３２人目の素数さん
20/01/13 10:27:38.87 2k69YQBB.net
短い解答で素晴らしいです
俺の書いた証明ではn =p^i*m(i=ord_p(n))とおいて証明するものでした
今考えてる問題は(n')'=nなるnが存在しないだろうというものですが、まだ証明できてません
561:１３２人目の素数さん
20/01/13 10:36:21.38 iOqXqrdi.net
>>525
>515の証明で完結ってこと？
562:１３２人目の素数さん
20/01/13 13:03:18.57 1fFyeDqE.net
>>539
３進法で表した時に各桁に0,1のみが出現し,なおかつ11桁以内になるような正の整数全体からなる集合をTとおく.
Tの元で最大のものは (3^11-1)/2=88573 だから 100000 を越さない.
Tの元の個数は 2^11-1=2047.
Tの三つの元 a,b,c がこの順で等差数列となるための条件である a+c=2b を満たすならば,
a+cの各桁が0または2となるためにはaとcの各桁が等しくならなければならないため,a=b=c.
以上より,Tから異なる2020個の整数を任意にとればそれが問題の条件を満たす.
563:イナ
20/01/13 15:39:14.02 PsQ8IZ2e.net
前>>540
>>542ありがとう。
sqrtはsquare rootの略、つまり平方根、√ですね？
ゆっくり=計算過程を示しながら
という意味なのに。
わざとですか。
考えろと。
564:１３２人目の素数さん
20/01/13 16:03:19.21 w0YO7O9z.net
平面上に、どの3点も同一直線上にないようにn個の点を配置するとき、それらの中の5点を頂点とする凸五角形が少なくとも1つ存在するためのnの最小値を求めよ。
例、n=6のとき
・ ・
・・
・ ・
のように配置すると、どこにも凸五角形ができないので、n=6は不適。
565:１３２人目の素数さん
20/01/13 16:20:21.31 I6P4Dv0P.net
エレガントな解答求むに出てきた÷配置だとどんな5点取ってきても凸五角形なんか出てこない希ガス。
566:１３２人目の素数さん
20/01/13 16:24:04.93 I6P4Dv0P.net
あ、どの三点も直線上に乗ってはいけないのか。
スマヌ
567:１３２人目の素数さん
20/01/13 16:27:16.92 SVhkrVyH.net
>>539
数字が重複してもいいとして３０個の場合は
> a
[1] 1 1 2 2 4 4 5 5 10 10 11 11 13 13 14 14 28 28 29 29 31 31 32 32 37 37 38 38 40
568:１３２人目の素数さん
20/01/13 17:25:10.51 2k69YQBB.net
>>548
追記
n≠n'でありn''=nとなるnは存在しないという問題です
569:１３２人目の素数さん
20/01/13 17:37:43.60 SVhkrVyH.net
>>550
お見事です。
Tの最初と最後を２０個ずつ表示させてみました。
> head(T,20)
[1] 1 3 4 9 10 12 13 27 28 30 31 36 37 39 40 81 82 84 85 90
> tail(T,20)
[1] 88488 88489 88491 88492 88533 88534 88536 88537 88542 88543 88545 88546 88560
[14] 88561 88563 88564 88569 88570 88572 88573
570:イナ
20/01/13 17:40:06.30 PsQ8IZ2e.net
前>>551
>>542
a=√(4-4t+3t^2)/1-t+t^2
=√(4-4t+3t^2)×{1/(1-t+t^2)}
aを√(4-4t+3t^2)と1/(1-t+t^2)の積とみなして微分すると、
a'={(6t-4)/2√(4-4t+3t^2)}(1-t+t^2)+{√(4-4t+3t^2)}(2t-1)
={(3t-2)/√(4-4t+3t^2)}(1-t+t^2)+{√(4-4t+3t^2)}(2t-1)
={(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)+(4-4t+3t^2)(2t-1)/√(4-4t+3t^2)
a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)+(4-4t+3t^2)(2t-1)
=3t(1-t+t^2)-(1-t+t^2)+(2t(4-4t+3t^2)-(4-4t+3t^2)
=3t-3t^2+3t^3-1+t-t^2+8t-8t^2+6t^3-4+4t-3t^2
=9t^3-15t^2+16t-5
=0 計算間違いでしょうか？
571:１３２人目の素数さん
20/01/13 17:51:36.27 pG67RgCp.net
URLﾘﾝｸ(www.openproblemgarden.org)
平面上でgeneral position（どの三点も同一直線上にない配置）にある 2^(n-2)+1 個の点から
適切に n 個を選んで凸 n 角形の頂点にすることが必ずできる、という予想があるそうで、
n≦5 の場合は全て証明されているらしい
572:１３２人目の素数さん
20/01/13 17:54:25.03 I6P4Dv0P.net
>>558
(1/(1-t+t^2))'
573:イナ
20/01/13 18:17:37.74 PsQ8IZ2e.net
前>>558訂正。
a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)
=√(4-4t+3t^2)×{1/(1-t+t^2)}
aを√(4-4t+3t^2)と1/(1-t+t^2)の積とみなして微分すると、
a'={(6t-4)/2√(4-4t+3t^2)}{1/(1-t+t^2)}+{-2(2t-1)√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)^2}
=(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)-(4t-2)√(4-4t+3t^2)
=(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2)/√(4-4t+3t^2)
a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2)
=3t(1-t+t^2)-2(1-t+t^2)-4t(4-4t+3t^2)-2(4-4t+3t^2)
=3t-3t^2+3t^3-2+2t-2t^2-16t+16t^2-12t^3-8+8t-6t^2
=-9t^3-5t^2-3t-10
=0
は微妙でしょうか？
574:１３２人目の素数さん
20/01/13 18:26:29.70 I6P4Dv0P.net
>>396に答え載ってるやん
575:１３２人目の素数さん
20/01/13 18:32:16.51 I6P4Dv0P.net
(1/(1-t+t^2)'も違うし。
計算が雑い
576:イナ
20/01/13 18:36:53.63 PsQ8IZ2e.net
前>>561
>>562載ってるのは知ってる。>>396と係数が微妙に違うんだよ。
a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)
=√(4-4t+3t^2)×{1/(1-t+t^2)}
aを√(4-4t+3t^2)と1/(1-t+t^2)の積とみなして微分すると、
a'={(6t-4)/2√(4-4t+3t^2)}{1/(1-t+t^2)}+{-2(2t-1)√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)^2}
=(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)-(4t-2)√(4-4t+3t^2)
=(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2)/√(4-4t+3t^2)
a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2)
=3t(1-t+t^2)-2(1-t+t^2)-4t(4-4t+3t^2)+2(4-4t+3t^2)
=3t-3t^2+3t^3-2+2t-2t^2-16t+16t^2-12t^3+8-8t+6t^2
=-9t^3+17t^2-3t+6
=0
577:１３２人目の素数さん
20/01/13 19:35:03.21 SVhkrVyH.net
>>551
Wolframの step by stepから
Possible derivation:
d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)/(1 - t + t^2))
Use the quotient rule, d/dt(u/v) = (v ( du)/( dt) - u ( dv)/( dt))/v^2, where u = sqrt(3 t^2 - 4 t + 4) and v = t^2 - t + 1:
= (-sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (d/dt(1 - t + t^2)) + (1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))))/(1 - t + t^2)^2
Differentiate the sum term by term and factor out constants:
= ((1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))) - d/dt(1) - d/dt(t) + d/dt(t^2) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))/(1 - t + t^2)^2
The derivative of 1 is zero:
= ((1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))) - sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (-(d/dt(t)) + d/dt(t^2) + 0))/(1 - t + t^2)^2
Simplify the expression:
= (-sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (-(d/dt(t)) + d/dt(t^2)) + (1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))))/(1 - t + t^2)^2
The derivative of t is 1:
= ((1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))) - sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (d/dt(t^2) - 1))/(1 - t + t^2)^2
Use the power rule, d/dt(t^n) = n t^(n - 1), where n = 2.
d/dt(t^2) = 2 t:
= ((1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))) - sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (-1 + 2 t))/(1 - t + t^2)^2
Using the chain rule, d/dt(sqrt(3 t^2 - 4 t + 4)) = ( dsqrt(u))/( du) ( du)/( dt), where u = 3 t^2 - 4 t + 4 and d/( du)(sqrt(u)) = 1/(2 sqrt(u)):
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + (1 - t + t^2) (d/dt(4 - 4 t + 3 t^2))/(2 sqrt(3 t^2 - 4 t + 4)))/(1 - t + t^2)^2
Differentiate the sum term by term and factor out constants:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + d/dt(4) - 4 d/dt(t) + 3 d/dt(t^2) (1 - t + t^2)/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
The derivative of 4 is zero:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + ((1 - t + t^2) (-4 (d/dt(t)) + 3 (d/dt(t^2)) + 0))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
Simplify the expression:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + ((1 - t + t^2) (-4 (d/dt(t)) + 3 (d/dt(t^2))))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
The derivative of t is 1:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + ((1 - t + t^2) (3 (d/dt(t^2)) - 1 4))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
Use the power rule, d/dt(t^n) = n t^(n - 1), where n = 2.
d/dt(t^2) = 2 t:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + ((1 - t + t^2) (-4 + 3 2 t))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
Simplify the expression:
= (((-4 + 6 t) (1 - t + t^2))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)) - (-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))/(1 - t + t^2)^2
Simplify the expression:
Answer: |
| = (2 - 7 t + 6 t^2 - 3 t^3)/((1 - t + t^2)^2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))
578:イナ
20/01/13 19:48:17.04 PsQ8IZ2e.net
前>>564訂正。
1/(1-t+t^2)の微分が違うからか。
a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)
=√(4-4t+3t^2)×{1/(1-t+t^2)}
aを√(4-4t+3t^2)と1/(1-t+t^2)の積とみなして微分すると、
a'={(6t-4)/2√(4-4t+3t^2)}{1/(1-t+t^2)}+{-2(2t-1)√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)^2}
通分して整理すると、
=(3t-2)(1-t+t^2)^3/(1-t+t^2)^2√(4-4t+3t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)^2√(4-4t+3t^2)
a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)^3-(4t-2)(4-4t+3t^2)
=3t(1-3t+6t^2-7t^3+6t^4-3t^5+t^6)-2(1-3t+6t^2-7t^3+6t^4-3t^5+t^6)-4t(4-4t+3t^2)+2(4-4t+3t^2)
=3t-9t^2+18t^3-21t^4+18t^5-9t^6+3t^7
-2+3t-12t^2+14t^3-12t^4+6t^5-2t^6
-16t+16t^2-12t^3
+8-8t+6t^2
=3t^7-11t^6+24t^5-33t^4+20t^3+t^2-18t+6
=0
七次方程式は五次以上の方程式に公式が存在しないことが証明されているので解けない。
なんで3t^3-6t^2+7t-2になるんだろう？ ウルフマンはちゃんと通分したのか？
579:イナ
20/01/13 23:29:12.68 PsQ8IZ2e.net
前>>566訂正。
a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)-2(2t-1)(4-4t+3t^2)
=3t(1-t+t^2)-2(1-t+t^2)-4t(4-4t+3t^2)+2(4-4t+3t^2)
=3t-3t^2+3t^3-2+2t-2t^2-16t+16t^2-12t^3+8-8t+6t^2
=3t^3-5t^2+5t-2
-12t^3+22t^2-24t+8
=-9t^3+17t^2-19t+6
=0
9t^3-17t^2+19t-6=0
係数が違う。それらしい係数が出て、カルダノの公式に入れて出したところでtの値は半端だし、方針を変えよう。
半径1の円を正四面体の頂点Aに当て、輪っかをずらしていき、人体で認識しうるaの最大値を出す。
t=2/5とすると、
AP=a(1-2/5+4/25)
=a√19/5
PH=a(2/5)/2=a/5
1+√(1-a^2/25)=√(19a^2/25-a^2/25=√18a^2/25=3a√2/5
辺々二乗し、
1+√(1-a^2/25)+1-a^2/25=18a^2/25
2+2√(1-a^2/25)=18a^2/25+a^2/25
19a^2/25-2=2√(1-a^2/25)
辺々二乗し、
361a^4/625-76a^2/25=4(1-a^2/25)
361a^2=25(76-4)
19a=5√72
a=30√2/19=2.23296878……
ここまで0.233に肉迫すればじゅうぶんだろう。
580:１３２人目の素数さん
20/01/14 06:21:02 2Icq7eCW.net
1≦a_1＜a_2＜…＜a_2020≦4035をみたす自然数a_1,a_2,…,a_2020を考える。
このとき、a_i + a_j = a_k + a_l = a_mをみたす相異なる整数i,j,k,l,mが存在することを証明せよ。
581:１３２人目の素数さん
20/01/14 08:22:20 Kk48Gk/U.net
>>553
大きさ１の正方形に５点を一様分布で乱数発生させて凸の五角形ができる頻度を１００万回のシミュレーションでだしてみたら。
> mean(cvx5)
[1] 0.270576
になった。理論値は達人にお任せ。
尚、頂点のなる任意の３点を結ぶ三角形の内部に他の頂点が存在しない場合を凸と判定した。
582:１３２人目の素数さん
20/01/14 09:02:40.16 ITApl1nr.net
その数値と>>552の問題になんか関係あるの？
その頻度が計算できたら>>552の答えが出る理屈がよくわからん。
583:１３２人目の素数さん
20/01/14 09:09:37.86 ITApl1nr.net
もしかして正方形とその内部の5点で凸五角形を含む割合の事？
もしそうなら>>559の情報と矛盾するじゃん？
>>559が正しいなら確率1で凸五角形を持つハズだけど？
584:１３２人目の素数さん
20/01/14 09:15:51.55 ITApl1nr.net
もしかして内部の5点だけが凸五角形になる割合？
そんなもん計算してなんになるの？
>>559が正しいか否かの検証になんかならんでしょ？
585:１３２人目の素数さん
20/01/14 11:26:53 Kk48Gk/U.net
>>572
>553 へのレスだよ。
n=8で凸五角形ができない配置。
> seek.concave.int(8)
[1] 0+ 0i 300+407i 8+456i 60+ 93i 257+363i 220+383i 99+265i 165+328i
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
586:１３２人目の素数さん
20/01/14 11:31:01 Kk48Gk/U.net
>>572
ダーツでもやって、凹凸のどちらになるか、
賭けをするなら、シミュレーション結果を知っていた方が有利だな。
587:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:21:38 AvyFXAVj.net
>>553
は内点がある対角線に並ぶ配置でますます関係ないじゃん？
588:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:30:40 Kk48Gk/U.net
>>572
こういう問題にしてみると、楽しいから。
１００万を持っているチンパンジーと賭けをする
壁に向かって目をつむって無作為にダーツ矢を６本投げる。
・ ・
・・
・ ・
の配置のように、どの５点を選んでも凸五角形ができない場合はチンパンジーの勝ちであなたは掛け金を全て失う。
凸五角形ができる５店を選べる配置ならチンパンジーから１００万円がもらえる。
掛け金がいくらまでなら有利な賭けといえるか？
589:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:32:00 Kk48Gk/U.net
凸五角形ができる５店を選べる配置ならチンパンジーから１００万円がもらえる。
↓
凸五角形ができる５点を選べる配置ならチンパンジーから１００万円がもらえる。
590:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:35:12 Kk48Gk/U.net
肉迫は正しくは肉薄
東大を目指す受験生から教わった。
591:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:36:22 HETN1jKh.net
>>552
反例が1つも無い最小のnということね
n=7も正三角形の中に正方形を
平行する2辺を伸ばした直線間に3角形の頂点が来ないような配置で
反例になってると思うからn>7
592:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:40:34 HETN1jKh.net
回の配置だと8でもダメ
593:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:42:50 HETN1jKh.net
対角線が一致しないようにチョットずらして
594:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:44:08 Kk48Gk/U.net
>>579
n>8は確認できた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
小数だと見にくいので整数になる８点を探索させた。
複素平面での値は
> seek.concave.int(8)
[1] 0+ 0i 345+358i 165+362i 58+ 82i 460+ 16i 264+130i 334+342i 238+345i
595:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:44:17 HETN1jKh.net
あーずらすとダメか
596:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:46:44 HETN1jKh.net
回の外の口を横に縮めて目に近くしたら反例になるから
やっぱりn>8
597:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:49:28 HETN1jKh.net
5角形ということで外郭は三角形か四角形かしかないわけだし
四角形2つの入れ子が反例になるのが最後じゃないかな
たぶんn=9
598:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:54:41 HETN1jKh.net
さて証明はどうしよう
おそらく引き出し論法使うんだろうって気がするけど
見込み角の選択をどう表現するかな
599:１３２人目の素数さん
20/01/14 13:59:22.56 Kk48Gk/U.net
>>585
俺もその予感。
n=9だとシミュレーションプログラムがwhileループから抜け出せない。
プログラムのバグで抜け出せない可能性もあるけど、n=8までは上手くいった。
>見込み角の選択をどう表現するかな
シミュレーションだと外積つかって点が三角形の内部にあるかどうか判断した。
600:１３２人目の素数さん
20/01/14 15:11:49 HETN1jKh.net
９点をすべて含む凸領域の共通部分を考えると
点のうちいくつかを頂点として持つ凸多角形となることはすぐ証明できるはず
それらの点を最外殻と呼ぶことにしよう
とするとその凸多角形が5角形であればだめだから
最外殻は四角形か三角形
それを取り除くと内部に残るもので同様に考えて最外殻は四角形か三角形
それも取り除くと内部には・・・
四角形が四角形を含み内部に1点
四角形が三角形を含み内部に2点
三角形が四角形を含み内部に2点
三角形が三角形を含み内部に三角形
の4パターンしかない
601:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/14 16:54:16 +pxsRseD.net
>>578俺の辞書には肉薄と出てた。肉薄の説明の中に肉迫と書いてあったからどっちでもいいとわかった。肉がうすいより肉に迫るほうが勢いあっていい。
/∥__∥∩∩］∥ |ﾟ○。
|∩∩（(-｡-)｡∥ ∩∩ ﾟ
( (`)(っ[￣]∥(`) )ﾟ
(￣￣)「￣￣]∥(_υ_)~
(__)_∩∩UU□∥∩∩~ ~
~ ~~(____)~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~前>>567
602:１３２人目の素数さん
20/01/14 17:51:16 Kk48Gk/U.net
>>589
俺が高校生の頃は肉迫は不正解だったなぁ。
試験に出る英単語 という本には constructの対義語はdestroy
destructとなんて単語は存在しないと書かれていたけど
今じゃ、起爆装置detonatorでロケットとかを爆破するときはdestructが使われる。
603:１３２人目の素数さん
20/01/14 18:01:31 ITApl1nr.net
>>568
M=a_2020、S={a_1,‥}とおく。
(i)M:oddのとき。
和がMになる組み合わせ(1,M-1),‥,((M-1)/2,(M+1)/2)の中の高々ひと組みしか両方Sに属するものがないとSの元数は高々(M-1)/2+1+1=(M+3)/2≦2019となり#S=2020に矛盾する。
∴ 上記ペア中２組以上が共にSに属する。
(i)M:evenのとき。
和がMになる組み合わせ(1,M-1),‥,(M/2-1,M/2+1)の中の高々ひと組みしか両方Sに属するものがないとSの元数は高々M/2-1+3=(M+4)/2≦2019となり#S=2020に矛盾する。
∴ 上記ペア中２組以上が共にSに属する。
604:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/14 19:11:26 +pxsRseD.net
前>>589
>>590デストロイといえば仮面ライダーV3の敵は地獄のデストロン。原案によるとデストロイヤーになってたかもしれなんだって今知った。
605:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/14 21:23:57 +pxsRseD.net
前>>592
>>565をなんとか解読しないな。なんとか解読できないものか。
606:１３２人目の素数さん
20/01/14 22:23:15.37 Kbe89GpS.net
ヒント
答えが
(2 - 7 t + 6 t^2 - 3 t^3)/((1 - t + t^2)^2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))
なのでt=0のとき2/√2、t=1のとき-2/√3など計算しやすい値を自分の計算結果に入れてみて検算していけばどこで間違ったか見つけられる。
607:１３２人目の素数さん
20/01/14 22:44:25 kjiwvSoy.net
>>593
(√f)/g の微分 ただし、f=3x^2-4x+4、g=x^2-x+1
((√f)/g)'
={(√f)’*g-(√f)*g’}/g^2
={(1/2)(1/√f)*f’*g-(√f)*g’}/g^2
={(1/2)*f’*g-f*g’}/{g^2*√f}
={(1/2)*(6x-4)*(x^2-x+1)-(3x^2-4x+4)*(2x-1)}/{(x^2-x+1)^2*√(3x^2-4x+4)}
={(3x-2)*(x^2-x+1)-(3x^2-4x+4)*(2x-1)}/{(x^2-x+1)^2*√(3x^2-4x+4)}
={(3x^3-5x^2+5x-2)-(6x^3-11x^2+12x-4)}/{(x^2-x+1)^2*√(3x^2-4x+4)}
={-3x^3+6x^2-7x+2}/{(x^2-x+1)^2*√(3x^2-4x+4)}
608:１３２人目の素数さん
20/01/14 23:48:24.90 Kk48Gk/U.net
>>593
ここにはプレーンテキストでしか貼れないけど
Wolframのサイトだと√とか読みやすいから、Wolframのサイトで解読した方が良いのではと思う。
609:１３２人目の素数さん
20/01/15 00:19:46.03 jJaC6yxD.net
>>559
へぇー
すごいなあ
610:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/15 02:17:16 eGPXp69J.net
前>>593
>>595
√f'gのほうはあってる。
√fg'のほうに疑問が2つある。
1つは√fとgに分け、gを1/√の形ととらえたことで、前微分×後+前×後微分にしたはずなのに真ん中の符号が-であること。
もう1つはgが(-1)乗で、微分すると-2倍の-2乗になるはずなのに(-2)が掛かってないこと。
計算結果が違うのに、いくら簡単な数字を代入しようとも、値が異なるのは当然です。
611:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/15 02:29:33 eGPXp69J.net
前>>598あ、わかったかも。
gを1/√の形ととらえたことで、微分したg'は(-1)が掛かって真ん中の符号が-になるんだ。
あとはなんで(-1)乗を微分して(-2)が掛かってないかだ。
前半は(3x-2)が因数だけども、後半は符号はともかくとして、因数の(2x-1)が(4x-2)になるんじゃないかと思った。
612:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/15 02:35:25 eGPXp69J.net
前>>599
>>598後半もわかった。
-1乗を微分すると-1が掛かって-2乗になるわ。
x^3を微分すると3x^2だわ。
解決を見ました。
613:１３２人目の素数さん
20/01/15 02:44:36 tC7vGnci.net
三角形付け足して作っていったらいいんじゃねと思ったけど
違うわな
614:１３２人目の素数さん
20/01/15 04:11:02.51 V75Cib9r.net
円に内接する凸n角形(n≧4)を、1つの頂点からn-3本の対角線を引くことによって、n-2個の三角形に分割する。
このとき、各三角形の内接円の半径の和は分割の仕方に関係なく一定であることを示せ。
615:イナ
20/01/15 06:00:30.78 eGPXp69J.net
ポッと入れてパッと出るもんじゃねえんだな、
~∩∩前>>600 ∩∩
(-.-))カルダノ (`) )
[￣]_) って。 U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ(γ)
＿＿/＼/,,(`.`))⌒ﾞ,|
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U⌒U､___／| |
□ | ∥~U~U~￣∥ | /
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_______∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣
616:１３２人目の素数さん
20/01/15 08:21:07.91 0Yai4QdM.net
(√f)/g の最大値を求めたいなら、 f/gg の最大値を求めて平方根とればいいんぢゃね？
0 = 2{(√f)/g}(d/dx){(√f)/g} = (d/dx)(f/gg),
617:１３２人目の素数さん
20/01/15 12:39:31.69 pa0Zl04A.net
>>602
四角形の場合に示せば十分である。
半径を1の円に四角形ABCDが内接するとしてAB,BC,CD,DAの円周角をx,y,z,wとする。
△ABCの内接円の半径は
4sin(x/2)sin(y/2)sin((π-x-y)/2)=cosx+cosy-1-cos(x+y)。
よって△ABCと△CDAの内接円の半径の和はx+y+z+w=πによりcosx+cosy+cosz+cosw-2。
内接円の半径の公式
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
618:１３２人目の素数さん
20/01/15 13:07:30.27 Y/R0zC7W.net
そうか、書いた後気づいたけど各辺の円周角をxiとすると
Σ内接円の半径 / 外接円の半径 = Σcos xi-n+2
になるのか。
美しいな。
619:１３２人目の素数さん
20/01/15 15:05:45 l229ykjv.net
>>602
いつものようにシミュレーションプログラムで確認してみた
"
円に内接する凸n角形(n≧4)を、1つの頂点からn-3本の対�
620:p線を引くことによって、n-2個の三角形に分割する。 このとき、各三角形の内接円の半径の和は分割の仕方に関係なく一定であることを示せ。 " sim <- function(n,r=1){ th=c(0,sort(runif(n-1,0,2*pi))) # n角形の偏角θ(th)を[0,2π]で乱数発生させてソートして並べる p2d=function(x) r*(cos(x)+1i*sin(x)) # 極形式を複素数に c2r <- function(v1,v2,v3){ # complex number to radius of inscribed circle a=abs(v1-v2);b=abs(v2-v3);c=abs(v3-v1) # 複素数間の距離を公式にいれる s=(a+b+c)/2 S=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) # 面積:ヘロンの公式 return(S/s) # 公式 r = 2*S/(a+b+c): 内接円の半径 } ver=p2d(th) # vertex(複素数表示) sor=numeric(n) # sum of raius of inscribed circle 頂点ver[i]からの対角線で分割した時 z2n <- function(x,m=n) ifelse(x%%m,x%%m,m) # ｎ系の剰余０のとき n を返す for(i in 1:n){ for(j in 1:(n-2)){ sor[i]=sor[i] + c2r(ver[z2n(i)],ver[z2n(i+j)],ver[z2n(i+j+1)]) } } return(sor) } sim(100)
621:１３２人目の素数さん
20/01/15 15:06:52 l229ykjv.net
百角形での結果（まぁ、当然といえば当然。
> sim(100)
[1] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[12] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[23] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[34] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[45] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[56] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[67] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[78] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[89] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[100] 1.914977
>
622:１３２人目の素数さん
20/01/15 15:27:20 l229ykjv.net
何の役にたつかはわからんが、
せっかくシミュレーションプログラムを作ったので正方形から５００角形までの分割三角内接円半径総和をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ある値に向かって収束しているみたいだな。
これは答のある問題ではありませんので、実務家の俺に解説や理論を求めてはなりませんｗｗｗ
623:１３２人目の素数さん
20/01/15 15:39:41 l229ykjv.net
>>609
１０万角形だと
> Soric(100000)
[1] 1.999902
２に収束するようにみえるなぁ。
624:１３２人目の素数さん
20/01/15 15:41:17 GJSc+40l.net
何コレ？
内接円の半径の総和が、nのみによって決まるわけないじゃん？
625:１３２人目の素数さん
20/01/15 16:40:13.62 KbwiaZJW.net
>>602
問題がおかしくないか？
>> 円に内接する凸n角形(n≧4)を、1つの頂点からn-3本の対角線を引くことによって、n-2個の三角形に分割する。
>> このとき、各三角形の内接円の半径の和は分割の仕方に関係なく一定であることを示せ。
「分割の仕方に関係なく一定」と書かれているが、
「1つの頂点からn-3本の対角線を引くことによって、n-2個の三角形に分割する」という操作は、ユニークに定まる。
「分割の仕方」は関与し得ない。
従って、本来の問題の意図は、「円に内接する凸n角形(n≧4)を、n-3本の交わらない対角線を引いてn-2個の三角形に分割する」
ではないのか？ それならば、「分割の仕方」が関与し得る。
カタラン数C[n-2]=(2n-4)!/{(n-2)!(n-1)!}通りの分割方法があるが、そのどの分割であっても、
一定値になる、ということの証明が求められているのでは？
いずれにしろ、>>605 でほとんど解決(もう一言二言、補足があった方がよいとは思う)していることには、間違いない。
626:１３２人目の素数さん
20/01/15 16:52:44 l229ykjv.net
>>611
ｎ→∞で２に収束する予感
627:１３２人目の素数さん
20/01/15 16:54:32 l229ykjv.net
>>612
どの頂点をつかって分割しても内接円半径の総和は一定という意味と理解したんだが。
628:１３２人目の素数さん
20/01/15 16:57:42 k/Eco663.net
>>614
そんなわけないやん？
n=3で考えたらわかる。
半径1の円に内接する三角形の内接円の半径が一定なわけないでしょ？
629:１３２人目の素数さん
20/01/15 17:08:10 l229ykjv.net
>>615
ある一つの多角形について、どの頂点を使って分割してもその多角形については内接半径の総和は一定ということじゃないの？
630:１３２人目の素数さん
20/01/15 17:15:30 k/Eco663.net
>>616
既に指摘されてる通り問題文には誤りがあるけど、エスパーすると
半径の総和は多角形のみによって決まり、分割の仕方にはよらない。
だと思う。
もちろん多角形の取り
631:方には依存し、nだけで決まるなどという事があるハズはない。
632:１３２人目の素数さん
20/01/15 18:35:33 l229ykjv.net
>>617
一様分布で乱数発生させたから、ｎを無限大にしていくと収束するように見えたんだろうな。
633:１３２人目の素数さん
20/01/15 20:06:14 l229ykjv.net
>>605
すいません。
＞四角形の場合に示せば十分である。
というのは何故なんでしょうか？
634:１３２人目の素数さん
20/01/15 21:14:20 VFF1h4ZA.net
>>619
まぁもうすでに>>606で一歩先ゆく方針が出てるから今更になるけど。
四角形の場合に示せたとする。
以下を示せばよい。
頂点Aを任意に選ぶとき、任意の分割の時の値は全ての対角線の一端がAである分割の時の値に等しい。
n=4では示せている。
n<Nで示せたとしてn=Nのときを考える。
分割に用いた対角線の中にABが入っているときはABで分けた各々について帰納法の仮定を用いてよい。
そうでないときを考える。
分割の中で用いられている対角線CDをとる。
ただしCDで分けた二つの多角形のうちAを含む側は四角形以上とする。
(n≧5のとき分割で３つ以上の三角形が出てくるからそのようなCDは必ずとれる)
CDで分けられた２つの多角形に対して帰納法の仮定を用いることにより、CDで分けられた内、Aを含む側の分割の対角線は全て一端がAとしてよい。
その中にはAを一端とする対角線が少なくとも一つは出てくるのですでに示された場合に帰着できた。□
635:１３２人目の素数さん
20/01/15 22:24:13 VFF1h4ZA.net
>>606の方針による別解。
多角形の各辺の円周角をxi、外接円の半径を1とするとき
Σ内接円の半径=Σcos xi - n +2
を帰納法で示す。
n=3のとき各辺の円周角とはすなわち対角であり、この場合
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
などにより
r=4sin(x1/2)sin(x2/2)sin(x3/2)
であるから、積和公式を2回用いて主張を得る。
n<Nで示せたとしてn=Nとする。
与えられた分割に対して、その中で用いられている対角線ABをとる。
ABによって多角形がk角形とl角形に分かれたとする。
k角形の方に出てくる円周角をABに対するyとそれ以外のyp、l角形の方に出てくる円周角をABに対するzとそれ以外のzqとする。
帰納法の仮定により
Σk角形の側の半径の和=cos y + Σcos yp - k +2,
Σl角形の側の半径の和=cos z + Σcos zq - l + 2。
辺々足してk+l=n+2とy+z=πを用いて主張を得る。□
こちらの方が良い気がする。
636:イナ
20/01/15 23:44:53.30 eGPXp69J.net
前>>603
>>602
四角形ABCDに対角線ACを引き、
△ABCの内接円の半径をr,△CDAの内接円の半径をRとすると、
四角形ABCDの面積=(AB+BC)r/2+(CD+DA)R/2
四角形ABCDに対角線BDを引き、
△BCDの内接円の半径をя,△DABの内接円の半径を㌃とすると、
四角形ABCDの面積=(BC+CD)я/2+(DA+AB)㌃/2
BCとこれに垂直な半径rとの接点をE,CDとこれに垂直な半径Rとの接点をFとすると、
四角形ABCD=AC(r+R)+BEr+FDR
CDとこれに垂直な半径Rとの接点をG,DAとこれに垂直な半径㌃との接点Hとすると、
四角形ABCD=BD(я+㌃)+CDя+DA㌃
お膳立ては完璧。
あとはうまく消去して、
r+R=я+㌃を示す。
637:１３２人目の素数さん
20/01/16 05:35:20.59 aOBtX3Rl.net
3本の平行線が与えられているとき、各平行線上に各頂点があるような正三角形を定規とコンパスを使って作図する方法を説明せよ。
638:１３２人目の素数さん
20/01/16 06:34:28.03 07zfQGLo.net
>>620
解説ありがとうございました。
639:１３２人目の素数さん
20/01/16 08:04:16.33 552XyIPx.net
密度が一定の球形の惑星がある。
この惑星の表面点Pでの重力を最大にするために
体積と密度一定の条件で惑星の形を変形する。
点Pでの重力は球形のときの最大何倍になるか。
またこのときの惑星の形はどうなるか。
640:１３２人目の素数さん
20/01/16 09:03:43.37 ALo92Jf3.net
>>623
平行線を順にl,m,nとし、巾の比をa:bとする。
正三角形ABCを作図し、辺ABをa:bに内分する点Dを作図する。
(直線AB外の点XとAX:XY=a:bなるYをXが直線ABと重ならないようにとり、BX//DYとなる点を作図すれば良い。)
m上にC'D'をCD=C'D'となるようにとりB'をnの側に△B'C'D'が△BCDと合同になるようにとる。
直線B'D'とl,nの交点をA",B"とすればA"とB"を一辺とする正三角形の一方が求めるもの。
641:１３２人目の素数さん
20/01/16 09:21:53 YUeZdYQq.net
>>626
>正三角形ABCを作図し、辺ABをa:bに内分する点Dを作図する。
>(直線AB外の点XとAX:XY=a:bなるYをXが直線ABと重ならないようにとり、BX//DYとなる点を作図すれば良い。)
平行線の垂線の垂直二等分線で正三角形作れば良いじゃん
642:１３２人目の素数さん
20/01/16 09:39:28 PPdqHAdt.net
>>627
だな。
l,n上にABを好きにとればよかった。
643:１３２人目の素数さん
20/01/16 09:40:02 YUeZdYQq.net
定規とコンパスである2点間の長さを半径とする円をその2点とは別の点を中心に描くのは面倒くさい（幾何学原論ではコンパスは中心からある点までの距離を半径とする円を描けるだけで長さを保存して中心を移動させてはいけない）
644:１３２人目の素数さん
20/01/16 09:43:18 552XyIPx.net
>>623
中心の平行線をl、他の平行線をm,nとする。
l上に点Oを取り、O点を通りlとのなす角が60°,120°の直線p,qを引く。
直線pとmの交点をA、直線qとnの交点をBとすれば、AB=AC=BCとなるl上の点Cが取れる。
645:１３２人目の素数さん
20/01/16 09:45:23 2aq5oe6O.net
まぁもっと楽な方法があったら教えて下さい。
自分は解けたのでもう満足。
646:１３２人目の素数さん
20/01/16 12:17:23 /nA7kUIy.net
>>625
半円かな？
647:哀れな素人
20/01/16 12:50:07 7jomMr1V.net
>>602
とりあえず四角形の場合について初等幾何的に証明すると－
四辺をａ、ｂ、ｃ、ｄ、対角線をｅ、ｆ、内心半径をr1、r2、r3、r4とする。
ｅと、Aと二つの内心とCを結ぶ線で分けられる四つの図形の面積を
S1、S2、S3、S4とすると、S2+S3:S1+S4=2e:a+b+c+d
同様にfと、BとDを結ぶ線で分けられる四つの図形の面積を
S5、S6、S7、S8とすると、S6+S7:S5+S8=2f:a+b+c+d
ゆえにS2+S3:S6+S7=e:f
ところでS2+S3=e(r1+r2)、S6+S7=f(r3+r4)
ゆえにe(r1+r2):f(r3+r4)=e:f
ゆえにr1+r2=r3+r4
648:１３２人目の素数さん
20/01/16 13:37:53 /nA7kUIy.net
びっくりするくらいわからん
649:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/16 14:02:50 izvR1SI9.net
前>>622で言いたかったことをn≧4に拡張すると、
>>633そういうことです。
650:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/16 14:09:07 izvR1SI9.net
前>>635
拡張はしてないか。
四角形ABCDそのものか。
n=4のときどちらの対角線で分割しても内接円の半径の和が等しいことを示したかった。
651:１３２人目の素数さん
20/01/16 16:08:24 2LVdbF4s.net
>>633
S1、S2、S3、S4とすると、S2+S3:S1+S4=2e:a+b+c+d
これ内接円の半径等しいという仮定ないとダメなのでは？
652:哀れな素人
20/01/16 17:28:33.93 7jomMr1V.net
>>637
なるほど、うっかりしていた(笑
比の計算で、単純に足したり引いたりしてはいけない、
という基本的なことを忘れていた。
653:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/16 17:46:42 izvR1SI9.net
前>>636 なんだ6>>33は違うのか。
>>622まではいいと思う。
654:１３２人目の素数さん
20/01/16 22:56:53 aOBtX3Rl.net
床に描かれた、ある程度大きな円の円周上に人物Aがいて、円の中心に人物Bがいる。
さて、次のようなゲームをする。
●AはBを捕まえるのが目的。しかし、円周上しか動けない。
●BはAに捕まらずに円周に到着するのが目的。その際、円周に向かってまっすぐ走ってもいいし、途中で向きを変えてもいい。また、無意味な時間稼ぎはしない(スタート地点に何時間も動かずにいるetc.)。
【問題】AがBを捕まえるためには、Aの速度がBの速度の何倍以上でなければならないか。ただし、AとBの速度は一定とし、お互い最善を尽くすものとする。
【注】BがAのいる場所とは正反対の方向に向かってまっすぐ行くと、Bの移動距離は半径r、Aの移動距離は半円周πrなので、AはBのπ倍の速さで行くと、Bが円周に到着した瞬間にBを捕まえられてAの勝ち、π倍未満ならばBの勝ちとなるが、果たしてBのこの行動は最善なのか？
655:１３２人目の素数さん
20/01/16 23:35:32.99 l4Y8hLMv.net
>>625
等周問題の変形版だね
x^2+y^2+z^2-h^(4/3)*z^(2/3)=0 (hは高さ)
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
656:１３２人目の素数さん
20/01/16 23:37:04.96 l4Y8hLMv.net
>>625
重力は3*5^(1/3)/5=1.026倍
657:イナ
20/01/16 23:47:02.74 izvR1SI9.net
前>>639
>>640
A「(Cに)Bの野郎、最善尽くして右へ右へと逸れていきよる思うんよ」
B「(Aに)π倍の速さで走ればいいじゃねえか」
A「いや、それだと逃げられる。おめぇさんがまっすぐ走ってるあいだに、円周という拘束がある俺は、まっすぐ走ってるおめぇさんに対してr走ってから直角に曲がってπr走るようなもんだ」
Aの心の声「ピタゴラスの定理より、
√{r^2+(πr)^2}=r√(1+π^2)
つまりr(1+π)/r√(1+π^2)倍走らな追いつかん。
約分し、
(1+π)/√(1+π^2)
分母を有理化し」
∴(1+π)√(1+π^2)/(1+π^2)倍以上の速さで走ればいい。
658:１３２人目の素数さん
20/01/16 23:47:37.27 552XyIPx.net
>>641 >>642
正解です。
659:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/16 23:55:12 izvR1SI9.net
前>>643
(1+π)√(1+π^2)/(1+π^2)
=1.25620499……
1.256205倍なら追いつく。
660:１３２人目の素数さん
20/01/17 00:11:50 m+4frRir.net
>>641
kwsk
661:１３２人目の素数さん
20/01/17 00:23:11 gpQhzbqr.net
>>640
某サイトに答えあるの見つけた。
コピペするのもあれなのでROMします。
662:１３２人目の素数さん
20/01/17 00:26:36 pPPuMatU.net
>>646
点Pでの重力を体積一定の下で最大化するような断面の形状を変分法で求める
惑星は軸対称（軸対称でないとすると点Pから少し動いたところにより重心に近い点がある）だから断面の形状だけ考えれば良いのがポイント
↓のpart II の 4 に等長問題のオイラーラグランジュの方程式を求める方法が書いてある
URLﾘﾝｸ(citeseerx.ist.psu.edu)
663:１３２人目の素数さん
20/01/17 00:30:13 wItShquN.net
ちなみに速度比が2倍では捕まえられない。
Bの速度は1とする。
速度比が2倍ならBは半径1/2の地点まではAの角速度を上回っているのでここまでBはAとの偏角の差が180°の状態をキープできる。
この地点から円周の最短地点までBが要する時間は1。
Aが要する時間はπなのでBの逃げ切り成功になる。
664:１３２人目の素数さん
20/01/17 00:45:02 XDQcvfLQ.net
>>648
この問題に最大解がある事の証明はどうすればいいのでしょう？
変分法使う以上は別に解の存在示しとかないとダメだとおもうんですが。
665:１３２人目の素数さん
20/01/17 00:54:20.56 pPPuMatU.net
>>650
リンク先にも書いてあるけど,厳密には第二変分を考えなきゃいけない
666:１３２人目の素数さん
20/01/17 00:56:48.70 Vq8XRGW9.net
>>659
そんなのがあるんですか？
なんか言葉のイメージだとHessianみたいなものですか？
でもそれだと結局極大である事の保証しか得られないのでは？
667:１３２人目の素数さん
20/01/17 01:30:08 pPPuMatU.net
>>652
具体的に求めてみると分かるけど汎関数を与える関数（被積分関数）が凸関数だから結局極大値が最大値になる
668:１３２人目の素数さん
20/01/17 01:46:52.25 0cuf6Wtp.net
>>648
>軸対称でないとすると点Pから少し動いたところにより重心に近い点がある
なんで？
669:１３２人目の素数さん
20/01/17 01:53:19 pufwLXqa.net
>>653
そうなんですか。
つまりf、gがともにV(f)≦V0、V(g)≦V0を満たすとき任意の0<t<1に対してV(tf+(1-t)g)、S(tf+(1-t)g)について凸不等式が使えるという事でしょうか？
体積の方は行けそうですね。
Sの方はまだ手動かしてないのでやってみます。
ありがとうございました。
670:１３２人目の素数さん
20/01/17 02:11:57 B81I4URB.net
今チェックしてみたら行けそうですね。
素晴らしい。
671:１３２人目の素数さん
20/01/17 08:18:19 F8/vjJrP.net
別スレより
1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるかを求めよ。
672:１３２人目の素数さん
20/01/17 09:06:38 Ax5k6DPo.net
2段昇りの回数をnとすると、連続できないので最低限
間に1段昇りがはいることから、2n+(n-1)≦15 よって、
0≦n≦5
n=0の場合、一通り
n≠0の場合、15-2n個の１段昇りの隙間と両端に２段昇
りが入りうるので、その組み合わせは C(15-2n +1, n)
よって、全部で1+Σ(n=1～5）C(16-2n,n)
673:１３２人目の素数さん
20/01/17 10:15:09 CPtT5WKR.net
n段登る方法の数をAnとする。
A1=1, A2=2,A(n+2)=A(n+1)+An
によりFをフィボナッチ数列とすればAn=Fn+F(n-1)。
674:１３２人目の素数さん
20/01/17 10:16:22 CPtT5WKR.net
あ、一歩で二段連続なしかorz
675:１３２人目の素数さん
20/01/17 10:20:39 F8/vjJrP.net
プログラム組んで数えさせたら49になったんだけど合ってる？
[[1]]
[1] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
から
[[49]]
[1] 2 2 2 2 2 2 2 1
676:１３２人目の素数さん
20/01/17 10:25:37 CPtT5WKR.net
となると
A1=1,A2=1,A3=2,A(n+3)=A(n+1)+Anですな。
steps=map head $ iterate (\[x,y,z]->[y,z,x+y]) [1,1,2]
main = do
print $ take 16 steps
[1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,49,65]
677:１３２人目の素数さん
20/01/17 11:22:45 F8/vjJrP.net
同じ結果
> sapply(1:16,sim)
[1] 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37 49 65
678:１３２人目の素数さん
20/01/17 14:08:51 F8/vjJrP.net
>>657
2歩を連続させてはいけないというルールにしてみた。
1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、2歩で続けて昇ることは連続しないものとする。
15段の階段を昇る昇り方は何通りあるかを求めよ。
パソコンに数えてもらったら、次のようになったけど、合ってる？
> sapply(1:16,function(x) sim(x,2, print=FALSE))
[1] 1 2 3 4 6 9 13 19 28 41 60 88 129 189 277 406
679:１３２人目の素数さん
20/01/17 14:11:58 2HphDdoJ.net
最後のステップが一段で、合計n段になる登り方をA[n]、
最後のステップが二段で、合計n段になる登り方をB[n]とすると、
求めるものは、C[n]=A[n]+B[n]。
それぞれの漸化式は
A[n]=A[n-1]+B[n-1]
B[n]=A[n-2]
つまり、A[n]=A[n-1]+A[n-3]
初期条件として、A[1]=1,A[2]=1,A[3]=2 を用いて、n=1から、列挙すると、
1,1,2,3,4,6,9,13,19,28,41,60,88,129,189
C[15]=A[15]+B[15]=189+88=277
これは、>>658さん、>>664さんの結果とも一致
680:１３２人目の素数さん
20/01/17 15:34:25 k0YCxJCN.net
受験数学でクソ頻出の3項間の項の数が増えてるだけですがな。
これが即答できないのは受験レベルの3項間の勉強の時に解き方だけ覚えて理屈がわかってなかった証拠。
681:１３２人目の素数さん
20/01/17 16:34:49 ElKm6FvG.net
2007年の京大の問題か
682:１３２人目の素数さん
20/01/17 17:04:55 F8/vjJrP.net
>>667
検索したらそうみたいですね。
683:俺は、ニュー速＋に書いてあったを転載したんだけど。 【勉強】数をかぞえられない学生たち ありもしない「公式」に頼り…算数教育の珍現象 https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1579164227/
684:１３２人目の素数さん
20/01/17 17:50:57 F8/vjJrP.net
>>640
Bは常にAと正反対の方向に向かって逃げてればいいような気がするな。
こんな感じ URLﾘﾝｸ(imgur.com)
685:１３２人目の素数さん
20/01/17 18:54:31 F8/vjJrP.net
>>669
Bが必勝のような気がしてきたな。
686:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/17 19:56:54 3S1g3K0T.net
前>>645再考。
>>669が見えないからなんとも言えないんだが、
1.256205倍は直感的すぎるし、πrで追いつかないものがπr+rぐらいで追いつくとも思えない。
もっと基本的な話、泥警といっしょで、泥棒Bは警察Aに対して90°の方向に逃げる。仮にBが90°以上の方向に逃げようとした場合、Aは逆方向に先回りする。ていうか最善を尽くすという題意だからその時点でそうする。
BはAのせいで自然と円軌道をとることになり、
スタートは12時の方向にいるAを背後に見て6時の方向に進みだすが、Aが1時2時と時計回りに進むに従って、Bも時計回りに最短距離で外周に達しようとする。警官Aが泥棒Bを捕まえる外周の位置は6時から9時のあいだにある。
6時のとき、π倍。
7時のとき、Aが(7/6)πr走るあいだにBは9時の外周を中心とした6分円、
2πr(60°/360°)=πr/3を走る。
Aの速さはBの速さの、 (7/6)πr÷πr/3=3.55
9時の外き、3倍だから、
ABA外周の7./2走っったとき追Bにいつくたた5倍
文字化けで書き直し。
∴AがBの3.5倍の速さで外周の7/12走ったとき、AがBに追いつく。
687:１３２人目の素数さん
20/01/17 20:11:26 F8/vjJrP.net
>>671
画像のURL
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
688:１３２人目の素数さん
20/01/17 20:37:41.55 F8/vjJrP.net
3.5倍の速度でも常にAと反対向きに進路変更すれば逃げ切れる気がするんだが。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
689:１３２人目の素数さん
20/01/17 20:49:50.57 F8/vjJrP.net
>>673
これ撤回。 Bが加速している。
690:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/17 21:21:42 3S1g3K0T.net
前>>671
計算上、泥棒B(ルパン)が警官A(銭形)の2/7以上の速さで走れば、わずかにAに捕まる前に外周に逃げのびることができる。
逆走についてはAはBの逆走にただちに反応して逆走するルールだからむだな抵抗。袋のねずみ状態と考えられる。ただし穴あき袋、ある程度の速さで逃げれば外周に達する。
不二子「銭形警部の2/7ぐらいのスピード、ルパンならわけないわ」
ただ3.5倍という速さはそうとう速いので、感覚的に逃げきれそうなのはAのBに対する身体的優位性が実感できないからだと思う。
あと、3.5倍前後が少し怪しいといえば怪しい。Bが逃げる円軌道の中心をAの円軌道の中心と9時方向の端点を結ぶ直線上にとって半径rの6分円の外周(中心角60°の扇形の孤)を7時方向の端点まで逃げると考えた。
微分して極値を求めたわけじゃないから確証が持てないけど、確実にπ倍は超えてる。
691:１３２人目の素数さん
20/01/17 21:43:57 k0YCxJCN.net
>>673
BがAの2/7倍なら逃げられるよ。
Aの速度が1,Bが2/7として半径2/7の地点まではBの角速度が勝るのでこの地点までBはAと偏角の差をπに保てる。
そこからBは円周の最短地点まで距離は5/7,所用時間は5/2。
一方Aはその地点まで道のりπ、所用時間πなのでBの勝ち。
692:イナ
20/01/17 23:29:10.25 3S1g3K0T.net
前>>675
AがBを捕まえる外周の位置は6時方向から9時方向のあいだにあると考えられる。Bが逆走したらAも逆走するから、一周することはない。
6時のとき、
Aが外周の半分を走るあいだにBはまっすぐr逃げる。
2πr/2÷r=π(倍)
7時のとき、
Aが(7/6)πr追うあいだにBは9時の外周を中心とした6分円、
2πr(60°/360°)=πr/3を走る。
Aの速さはBの速さの、
(7/6)πr÷πr/3=3.5(倍)
9時のとき、Aの速さはBの速さの、
3πr/2÷2π(r/2)(1/2)=3(倍)
8時のとき、Aの速さはBの速さの、
8πr/6÷2π(r/√3)(1/3)
=(4πr/3)(3√3/2πr)
=2√3
=3.4641016……
7時と8時のあいだ方向が怪しいといえば怪しい。
そのとき、AはBの3.5倍を超える速さ以上の速さで走らなければならない可能性があるといえばある。
693:１３２人目の素数さん
20/01/17 23:31:45.00 8XEo1F0J.net
A[n] = A[n-1] + A[n-3] より
A[n] = c･α^n + d･|β|^n･cos(nω+θ),
ここに
α、β、β~ は特性値。 (特性方程式 t^3 - t^2 -1 = 0 の根)
α = {1 + [(29-3√93)/2]^(1/3) + [(29+3√93)/2]^(1/3)}/3
= 1.465571231876768
β = |β| e^(iω),
β~ = |β| e^(-iω),
|β| = 1/(√α) = 0.826031357654187
Re{β} = -(α-1)/2 = -0.232785615938384
cos(ω) = Re{β}/|β| = -0.281812081080629
ω = arg(β) = 1.856478541471303
また、
c^3 - c^2 +(9/31)c -(1/31) = 0,
c = 1/3 + {[4(√31-√27)]^(1/3) + [4(√31 +√27)]^(1/3)}/(3√31)
= 0.6114919919508125
d = (1-c)/cosθ,
694:１３２人目の素数さん
20/01/18 05:44:37.53 2fzpXJcR.net
AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、次のように証言している。このとき、嘘つきは誰か、全て答えよ。
A「8人の中に、少なくとも1人正直者がいる」
B「8人の中に、少なくとも2人正直者がいる」
C「8人の中に、少なくとも3人正直者がいる」
D「8人の中に、少なくとも4人正直者がいる」
E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
G「8人の中に、少なくとも3人嘘つきがいる」
H「8人の中に、少なくとも4人嘘つきがいる」
695:１３２人目の素数さん
20/01/18 08:24:40.93 OC/W80tJ.net
H/L A B C D E F G H
0/8 × × × × ◯ ◯ ◯ ◯
1/7 ◯ × × × ◯ ◯ ◯ ◯
2/6 ◯ ◯ × × ◯ ◯ ◯ ◯
3/5 ◯ ◯ ◯ × ◯ ◯ ◯ ◯
4/4 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯
5/3 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ×
6/2 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ × ×
7/1 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ × × ×
8/0 ◯ ◯ ◯ ◯ × × × ×
GとHが嘘つき。
696:１３２人目の素数さん
20/01/18 08:49:58.52 aX+4W30D.net
いつもの総当りプログラムでも最後の２人が嘘つき
dec2nw <- function(num, N=2, digit){
r=num%%N
q=num%/%N
while(q > 0 | digit > 1){
r=append(q%%N,r)
q=q%/%N
digit=digit-1
}
return(r)
}
n=8
te=sapply(0:(2^n-1),function(x) dec2nw(x,2,n)) # testimony
TE=t(te)
f <- function(x){
H=sum(x)
L=n-H
all(c(H>0,H>1,H>2,H>3,L>0,L>1,L>2,L>3)==x)
}
TE[apply(TE,1,f),]
> TE[apply(TE,1,f),]
[1] 1 1 1 1 1 1 0 0
697:１３２人目の素数さん
20/01/18 08:57:10.68 2fzpXJcR.net
正解です。
698:１３２人目の素数さん
20/01/18 09:39:19 aX+4W30D.net
>>679
こういう問題にすると
A「8人の中に、1人正直者がいる」
B「8人の中に、2人正直者がいる」
C「8人の中に、3人正直者がいる」
D「8人の中に、4人正直者がいる」
E「8人の中に、1人嘘つきがいる」
F「8人の中に、2人嘘つきがいる」
G「8人の中に、3人嘘つきがいる」
H「8人の中に、4人嘘つきがいる」
答が変わるね。
699:１３２人目の素数さん
20/01/18 09:54:54 aX+4W30D.net
こういうバリエーションも可能。
A「8人の中に、1人嘘つきがいる」
B「8人の中に、2人嘘つきがいる」
C「8人の中に、3人嘘つきがいる」
D「8人の中に、4人嘘つきがいる」
E「8人の中に、5人嘘つきがいる」
F「8人の中に、6人嘘つきがいる」
G「8人の中に、7人嘘つきがいる」
H「8人の中に、8人嘘つきがいる」
700:１３２人目の素数さん
20/01/18 09:58:04 PXyx+OwH.net
>>678
Re{β} = -(1/2)|β|^4 = -α^(-2)/2,
cos(ω) = -(1/2)|β|^3,
701:１３２人目の素数さん
20/01/18 10:57:32.36 aX+4W30D.net
>>679
これって嘘つきの証言も正しいという前提？
702:１３２人目の素数さん
20/01/18 11:27:02.31 aX+4W30D.net
>>679
Aが嘘つきの場合は
「8人の中に、少なくとも1人正直者がいる」は嘘の証言で
正直者は誰もいないとして計算？
703:１３２人目の素数さん
20/01/18 11:43:01.17 EsuXaTYh.net
この問題で問題文の意味の取りようなんて議論の余地ないだろ？
704:１３２人目の素数さん
20/01/18 11:50:29.99 PXyx+OwH.net
>>669
>>670
円の半径を1, Bの速さを1, Aの速さをaとする。
Aがθ(t)で追�
705:ﾁたとする。 |dθ/dt| ≦ a, 最初、Bは Aと逆方向 π+θ(t) を保ちながら速さ１で逃げる。 中心～Bの距離を r(t) とする。 dr/dt = √{1 - rr(dθ/dt)^2} ≧ √{1-(ar)^2}, r ≧ sin(at)/a, 時刻 π/2a までに r=1/a に到達する。 次に、Bは円周Cまで直進する。所要時間： (a-1)/a, AがCに到着するまでの所要時間： π/a a<π+1 ならば逃げ切れる。 r=1/a で直角に曲がらずに丸く曲がった方が短くなる。 aはもっと大きい可能性･･･
706:１３２人目の素数さん
20/01/18 12:09:00.92 aX+4W30D.net
AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、次のように証言している。証言でも嘘つきは必ず嘘をつく。
嘘つきは誰か、全ての組合せを答えよ。
A「8人の中に、正直者は3人いる」
B「8人の中に、少なくとも2人正直者がいる」
C「Bは嘘つきである」
D「Cは嘘つきである」
E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
G「Eは嘘つきである」
H「AもFも嘘つきである」
707:658
20/01/18 12:56:09.45 E9RqLHbc.net
>>665
漸化式かっこいい！でも、一般項は求まらないか、、、。
>658まで書いたところで、急にウンチしたくなって、出勤時間も
迫ってたんで、値まで計算せずに書き込みして出かけちゃいまし
たが、検算ありがとう。
708:１３２人目の素数さん
20/01/18 12:56:14.78 EsuXaTYh.net
全員正直はCと矛盾するのであり得ない。
よってE=H。G=L。
CによりB又はCが嘘つきなのでG以外の嘘つきがいる。
よってF=H、H=L。
E,Fが正直なのでB=H、C=L、D=H。
ここまでで4人以上正直がいるのでA=L。
709:１３２人目の素数さん
20/01/18 15:05:40 zvEtuxN+.net
>>691
>一般項は求まらないか、、、。
3項漸化式で特性方程式が3次
その解を使えば？
710:１３２人目の素数さん
20/01/18 15:08:21 kUGqA2Ne.net
嘘つき問題を論理式で解いたらどうなるんだろ
711:１３２人目の素数さん
20/01/18 15:34:40 EsuXaTYh.net
普通に命題論理の問題になるけど例えば>>679の問題の
B「8人の中に、少なくとも2人正直者がいる」
を命題論理の式にすると
B=(A∩B)∪(A∩C)‥∪(G∩H)
になって手計算では無理な話になってしまう。
計算機使えれば一撃だけど。
712:１３２人目の素数さん
20/01/18 15:46:56 zvEtuxN+.net
>>694
自己言及があるが？
713:１３２人目の素数さん
20/01/18 16:54:38.67 dWbEz1QY.net
>>690
プログラム組んで解いたら
> TE[apply(TE,1,g),]
[1] 0 1 0 1 1 1 0 0
嘘つきは A C G H
714:１３２人目の素数さん
20/01/18 17:24:05 dWbEz1QY.net
プログラム解を前提にすれば、ファジーな嘘つきを入れてこんな問題もできる。
AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、誰が正直者か嘘つきかはお互いに知っている。
A,B,C,D,Eは嘘つきなら必ず嘘をつくが、F,G,Hは嘘つきでも正しいことを言う場合がある。
次の証言から確実に正直者と断定できる人を全て挙げよ。
A「8人の中に、正直者は3人いる」
B「8人の中に、少なくとも2人正直者がいる」
C「Bは嘘つきである」
D「Cは嘘つきである」
E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
G「Eは嘘つきである」
H「AもFも嘘つきである」
715:１３２人目の素数さん
20/01/18 17:27:51 dWbEz1QY.net
どこかの中学入試の問題らしい
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人のうち２人は常に本当のことを言う正直者です。あとの３人は嘘つきですが、その発言内容は本当のときもあります。
彼らに誰が嘘つきか尋ねたところ次のように答えました。
Ａ 「ＢとＥは嘘つきではない」
Ｂ 「Ｃは嘘つきだ」
Ｃ 「Ｄは嘘つきだ」
Ｄ 「Ｅは嘘つきだ」
Ｅ 「ＢとＣは嘘つきだ」
さて、正直者は誰と誰でしょうか？
716:１３２人目の素数さん
20/01/18 18:21:23 EsuXaTYh.net
>>699
A=HとするとE=Hとなって矛盾するのでA=L。
E=Hとすると残り1人の正直者はDしかあり得ないが、するとするとE=Lとなって矛盾するのでE=L。
B=C=HはBの証言に矛盾するのであり得ないからE=H。
するとD=L、C=Hとわかる。
717:１３２人目の素数さん
20/01/18 18:22:46 EsuXaTYh.net
>>698
この手の問題計算機使って解かないと解けないのでは単なる計算機の演習にしかならない。
718:１３２人目の素数さん
20/01/18 21:12:52 zvEtuxN+.net
>>701
試行錯誤で解けるが
719:１３２人目の素数さん
20/01/18 21:17:38 EsuXaTYh.net
>>702
解答プレーズ
720:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/18 21:20:38 hIqEloY9.net
前>>679挑戦者暫定1位。
>>640問題。
逃走ルートをなるべく最短にしたいBは、7時半の方向に逃げるはずだ。
AがBを追った距離は、
2πr{(7+30/60)/12}
=5πr/4
Bが逃げた距離は、半径が直角になりこれはかなり最短だと思うんだけど半径r/√2の四分円孤、
2π(r/√2)(1/4)=πr/2√2
Aの速さはBの速さの、
5πr/4÷πr/2√2=5√2/2
=3.53553391……(倍)
まさかの3.5倍超え。さすがに4倍は超えないと思うけど、まだわからんな。
721:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/18 21:27:02 hIqEloY9.net
前>>704
前々>>677
アンカー訂正。
m(__)m
722:１３２人目の素数さん
20/01/18 21:31:04 dWbEz1QY.net
>>701
2＾8＝256だから、手作業でやれなくもないとは思うけど
プログラムを組む方が早い。
256通りを以下のような関数でTRUEを返すものを選ぶだけ。まさに無思考ｗｗｗ
H=sum(x) # H:正直者の数
L=n-H # H:嘘つきの数
all(c( # 全て正しければTRUEを返す
(x[1]==1 & H==3) | (x[1]==0 & H!=3 ), # Aが正直者で証言が正しい | Aが嘘つきで証言が嘘
(x[2]==1 & H>=2) | (x[2]==0 & H <2 ), # Bが正直者で証言が正しい | Bが嘘つきで証言が嘘
(x[3]==1 & x[2]==0) | (x[3]==0 & x[2]==1), # Cが正直者で証言が正しい | Cが嘘つきで証言が嘘
(x[4]==1 & x[3]==0) | (x[4]==0 & x[3]==1), # Dが正直者で証言が正しい | Dが嘘つきで証言が嘘
(x[5]==1 & L>=1) | (x[5]==0 & L<1 ), # Eが正直者で証言が正しい | Eが嘘つきで証言が嘘
(x[6]==1 & L>=2) | (x[6]==0 ), # Fが正直者で証言が正しい | Fが嘘つき
(x[7]==1 & x[5]==0) | (x[7]==0 ), # Gが正直者で証言が正しい | Gが嘘つき
(x[8]==1 & x[1]==0 & x[6]==0) | (x[8]==0 ) ) ) # Hが正直者で証言が正しい | Hが嘘つき
可能な組み合わせ（１：正直者 0:嘘つきと
> TE[apply(TE,1,k),]
A B C D E F G H
[1,] 0 1 0 1 1 0 0 1
[2,] 0 1 0 1 1 1 0 0
どちらでも正直者なのは、B D E
723:１３２人目の素数さん
20/01/18 21:40:14 EsuXaTYh.net
あれ？
オレの計算結果と違う？
[True,False,False,True,True,False,False,False]
[True,False,False,True,False,True,False,False]
[True,False,False,True,False,False,True,False]
[True,False,False,False,True,True,False,False]
[True,False,False,False,False,True,True,False]
[False,False,False,True,True,True,False,False]
[False,False,False,True,True,False,False,True]
[False,False,False,True,False,True,True,False]
[False,False,False,True,False,False,True,True]
になった。
まぁこんな計算できてもどうでもいいけど。
724:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/19 01:44:23 6fYcVEZg.net
前>>705挑戦者1位。
>>640問題。
Bが7時20分の方向に逃げたとき、
AがBを追った距離は、
2πr{(7+1/3)/12}
=11πr/9
Bが逃げた距離は、半径R,中心角80°の扇形円孤、
2πR(80°/360°)=4πR/9
Aの速さはBの速さの、
11πr/9÷4πR/9=11r/4R
=3.……(倍)
正十八角形の1辺の長さを外接円の半径rで表すことができれば、三角形の相似比からRをrで表せて、倍率が出る。と考えたがとりあえず値だけ出して、
Rsin40°=r/2より、
R=r/2sin40°
11r/4R=(11/2)sin40°
=3.53533185……(倍)
7時30分の短針の方向にわずかに及ばない。
円軌道で7時半の短針の方向に出るBにAが追いつくとき、AはBの3.53553391倍以上の速さが必要が最大で、これ以上の値はみつからない。
Bの逃走ルートとして螺旋のルートを考えると、先に求めた円軌道の最大値、
πr√2/4を保ったままコイルをひっぱるように螺旋状にのばすと、
Bがπr√2/4(＞r)逃げるあいだにAが一周2πr走って追いつくことも可能で、
Aの速さはBの速さの、
2πr/(πr√2/4)=4√2
=5.65685……(倍)
というべらぼうな速さを出せるが、
かならずAが最善の走りに気づいて逆回りするからアウトだと思う。
725:１３２人目の素数さん
20/01/19 01:50:22 0RKATGn1.net
>>698
> AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、誰が正直者か嘘つきかはお互いに知っている。
> A,B,C,D,Eは嘘つきなら必ず嘘をつくが、F,G,Hは嘘つきでも正しいことを言う場合がある。
> 次の証言から確実に正直者と断定できる人を全て挙げよ。
>
> A「8人の中に、正直者は3人いる」
> B「8人の中に、少なくとも2人正直者がいる」
> C「Bは嘘つきである」
> D「Cは嘘つきである」
> E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
> F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
> G「Eは嘘つきである」
> H「AもFも嘘つきである」
Dの発言からCとDの属性（正直者or嘘つき）は一致しないので、
Eの発言は真。ゆえにEは正直者。
C,Dのうち片方とEを合わせれば合計二人の正直者がいることになるから、
Bの発言は真。ゆえにBは正直者。
CとDの発言から、C嘘つきとD正直者が確定。
726:この時点で正直者が三人発覚しているが、 Aが正直者なら正直者が四人以上いることになり矛盾。ゆえにAは嘘つき。 Gの発言は偽であるからGは嘘つき。 Aが嘘つきであることから、Hの発言の真偽はFの属性（正or嘘）と一致。 Fの発言は真であるが、Fの属性については何もわからない。以上から、HとFについて (H,F)=(正,正), (正,嘘), (嘘,嘘) の可能性がある以外は、これまでの議論の通り全て確定している。 以上から、答えはB,D,E.
727:イナ
20/01/19 04:45:53.99 6fYcVEZg.net
前>>708念のため7時40分の方向にBが逃げたときを考える。
>>640問題。
Bが逃げる軌跡は、
底角40°,頂角100°の二等辺三角形を含む扇形の円孤になり、
Aの速さはBの速さの、
2πr(7+2/3)/12÷2π(r/2cos40°)(100°/360°)
=(23/3)/12÷5/18･2cos40°
=23･2cos40°/10
=(23/5)cos40°
=3.52380444……(倍)
＜3.53553391……
あとは7時25,27,29分あたりがちょっと気になる。
7時台の速さ比(A/B)のグラフが見たい。
7時半の方向が最大だと思うけど。
728:１３２人目の素数さん
20/01/19 06:34:16.10 EEjXWdAC.net
>>709
レスありがとうございます。
(H,F)=(正,正)は成立しません。 Hの発言： H「AもFも嘘つきである」 からFが嘘つきになり矛盾します。
(H,F)=(嘘,嘘)も成立しません。 Aは必ず嘘をつく嘘つきと確定しているので正直者は３人ではありえません。
(H,F)=(嘘,嘘)ならば正直者がB,D,Eの３人になるのでAが真実を語っていることになり、矛盾します。
729:１３２人目の素数さん
20/01/19 07:04:20 EEjXWdAC.net
>>700
Aが正直者とすると正直者が3人になるのでAは嘘つき。
B,C,D,Eに二人の正直者がいる。
その組み合せは6通り。
相互に矛盾しないのはB,Dの組合せだけ。
730:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/19 08:36:20 6fYcVEZg.net
前>>710
>>699
正直者はAとC。
Aが正直者とすると矛盾が生じてAは嘘つきとなったが、うまくいかない。
もう一度、嘘つきが本当のことを言うこともあるという広い心で題意を読みかえしてみた。
おのずとAとCが正直者だったとわかった。
731:１３２人目の素数さん
20/01/19 08:52:07 MNtmCELY.net
1cm刻みの数直線上の隣り合った3点に●がある(3つの●は区別がない)。
1秒ごとに●1つが他の●1つを飛び越す。
その場合、飛んだあとの●の位置は、飛び越された●からの距離がもとの位置からと同じになるようにする。
飛んだあとの位置にすでに他の●があるときは飛べない。
2021秒後に、●●●全てが開始位置に戻ることはできるか？
例、
●●●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
● ●●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
● ● ●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
● ● ●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
：
↓
●●●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
732:１３２人目の素数さん
20/01/19 10:17:19 p/jcyrav.net
>>713
正解が投稿されてから誤答を繰り返すいつもの芸風 乙
733:１３２人目の素数さん
20/01/19 10:18:00 0RKATGn1.net
>>711
うわ、二つもアウトな場合取りこぼすとかぼーっとしてた
なるほど一度使った条件もまた後から効いてくる場合があったか
734:１３２人目の素数さん
20/01/19 10:22:05 mAiNEiBE.net
いくらなんでも2021がムリクリすぎん？
735:１３２人目の素数さん
20/01/19 10:31:11 flshczPE.net
>>703
2＾8=256通り試すだけ
736:１３２人目の素数さん
20/01/19 10:36:09 Ld5ZhyuY.net
>>714
A B C
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
(2021回後)
↓
C A B
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
は元に戻った事になりますか？
737:１３２人目の素数さん
20/01/19 10:37:14 gvXkKI2o.net
ズレたorz
でも疑問の意味はわかってもらえると信じて
738:１３２人目の素数さん
20/01/19 10:56:30 U/f9+Pty.net
とりあえず3個の石がそれぞれ全部元位置に戻るのは不可。
3個の位置を(a,b,c)としてAがBを飛び越すと(-a+2b,b,c)になる。
この変換を行列で表した時のdetは-1。
他も同様。
もし最初(0,1,2)から始めて(0,1,2)に戻ったとすると(n,n+1,n+2)から始めると(n,n+1,n+2)に戻り、よって変換は単位行列にならなければならない。
しかし一個の行列の行列式が-1なのでどのように2021個組み合わせてかけてもその行列式は-1にしかならない。
739:１３２人目の素数さん
20/01/19 11:28:59.40 Yx0eiL2o.net
あ、相互位置交換も不可かな？
対称性から(a,b,c)→(b,a,c)が不可である事を示せば十分。
(0,1,2)→(1,0,2)が不可である事を示せば十分だけど各変換はmod2で恒等写像なのでコレは明らか。
740:１３２人目の素数さん
20/01/19 11:49:47 MNtmCELY.net
>>719
●は区別がないので、なります。
741:１３２人目の素数さん
20/01/19 12:04:17 0RKATGn1.net
(0,1,2)→(0,3,2)→(0,3,4)→(6,3,4)→(2,3,4)→(2,3,0)→(2,1,0)
偶数回ではあるけど位置交換自体は可能みたい
742:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/19 12:55:24 6fYcVEZg.net
前>>713
>>699
BとDが正直者。
>>715読みなおした。やっぱり矛盾が生じてAは嘘つきとなった。
Bが正直者とすると、
C嘘つき,D正直者,E嘘つきで矛盾しないと思う。
743:１３２人目の素数さん
20/01/19 12:58:23 EEjXWdAC.net
シミュレーションしていたら、こういうジャンプで元に戻る
> sim()
0 : 1 2 3
1 : 1 3 4
2 : -1 1 4
3 : -1 4 7
4 : -6 -1 7
5 : -1 4 7
6 : -1 1 4
7 : 1 3 4
8 : -1 1 4
9 : 1 3 4
10 : 1 2 3
最短だと
> sim()
0 : 1 2 3
1 : 0 1 3
2 : 1 2 3
2021回は奇数回だから 元に戻れないと思う。
根拠は直感のみｗ
744:１３２人目の素数さん
20/01/19 13:57:20 0RKATGn1.net
>>714
こんな感じかな
～～～～～～～～
互いに素な正整数の組(a,b)全体からなる集合CPに対して関数 f:CP→{1,-1} を
f(1,1)=1,
a>b ならば f(a,b)=f(b,a)
a<b ならば f(a,b)=-f(a,b-a)
と定める。well-defined性は、互除法の成立に関する命題と同様にして示せる。
盤面で一番左にある●と真ん中の●の距離a(cm)と、真ん中の●と一番右の●の距離b(cm)を用いて、
盤面の状態を正整数の組(a,b)で表すことにする。
（複数の盤面で同じ正整数の組になることはあるが、そのような複数の盤面は
平行移動で互いに移り合えるものに限られる）
盤面の状態(a,b)から一秒後に移ることができる盤面は、a>bの時
(a+b,b), (b,a+b), (a-b,b), (b,a-b), (a,a+b), (a+b,b)
のみであり、いずれの場合も新たな整数の組はCPに属する。
更にfの定義を用いると、いずれの場合もfの値が元のf(a,b)と異なるものになることが導かれる。
a<bやa=b(つまりa=b=1)の場合も同様。
以上より、2021秒後の盤面(a,b)のfによる値は
(-1)^2021=-1 であり、(a,b)=(1,1) となることはあり得ない。
～～～～～～～～
つまり互いに素な正整数の組に対して定まる、ある種の『符号』みたいなものが
存在するということなのね、知らなかった