20/01/09 04:02:04.08 RixsPfgs.net
前>>426
>>346
正四面体が円をくぐりぬけるときの、円周が接触する点が分ける辺の比が知りたいなぁ。
1:1のときa=2.13……
1:2のときa=2.14……
a=2.23……てことは、
辺の比1:uのuは、かなり大きくなるのかな？
思ったより端になるのかもしれん。
451:イナ
20/01/09 05:29:14.47 RixsPfgs.net
前>>429
半径1の円の円周が正四面体の頂点Aと、辺BCおよびCDをそれぞれt:1-tに分ける2点の計3点に触れて通過するときの二等辺三角形の辺の長さは、
t=1/2のとき、a/2,a√3/2,a√3/2
a=16√3/13=2.13……
t=1/3のとき、a√3/3,a√7/3,a√7/3
a=15/7=2.142857……
t=1/4のとき、
a=2.……(つづく)
452:１３２人目の素数さん
20/01/09 05:57:09.94 fyaA4Mc+.net
平面上に2003個の点があり、どの3点も同一直線上になく、どの4点も同一円周上にないとする。
このとき、次の条件をみたす円が存在することを証明せよ。
○円は3個の点を通る。
○円の外部に1000個の点がある。
○円の内部に1000個の点がある。
453:イナ
20/01/09 07:00:39.78 RixsPfgs.net
前>>430
半径1の円の円周が正四面体の頂点Aと、辺BCおよびCDをそれぞれt:1-tに分ける2点の計3点に触れて通過するときの二等辺三角形の辺の長さは、
t=1/2のときa/2,a√3/2,a√3/2
a=16√3/13=2.13175484……
t=1/eのときa√,a√,a√
a=
t=1/3のときa√3/3,a√7/3,a√7/3
a=15/7=2.142857……
t=1/πのときa√,a√,a√
a=
t=3/10のときa√,a√,a√
a=
t=1/4のときa√10/4,a√13/4,a√13/4
a=1.99407406……＜2
aを最大にするtは、
1/4＜t＜1/3にあると考えられる。
454:１３２人目の素数さん
20/01/09 10:08:21.73 HQzS6/jG.net
>>431
Riemann球上で考えてよい。
球を三次元Euclid空間に埋め込んでx^2+y^2+z^2=1としてよい。
2点P,Qを任意に固定し残りをR1～R2001とし、さらに無限遠点をR0としておく。
P(1,0,0),Q(-1,0,0)としてよい。
△PQRiの外接円をCiとする。
さらにCIはこの準備にPの周りを回転していくとしてよい。
この時C1001が求められた条件をみたす。
455:１３２人目の素数さん
20/01/09 10:25:17.58 2lizhkoY.net
>>416
食べるチョコの無くなった方が負け、つまり最後の１個を食べた方が勝ちとすると必勝法はあるだろうか？
456:１３２人目の素数さん
20/01/09 10:34:05.90 ANCJ+Owj.net
>>434
そっちが本家のニムゲーム。
457:１３２人目の素数さん
20/01/09 10:37:43.11 vaPpsq0N.net
あ、でもこの設定でなら1x1でない限り割らないとダメというルール入れないとダメだな。
458:１３２人目の素数さん
20/01/09 11:31:48.27 yUxD+KNf.net
>>391
>>410
のれんに腕押しでござる.。。。
459:１３２人目の素数さん
20/01/09 14:30:32.51 rRnLkyt7.net
>>436
チョコを割って食えなくなると死ぬという設定でいいと思うｗ
460:イナ
20/01/09 17:49:24.81 RixsPfgs.net
前>>432訂正。問題>>364
正四面体ABCDの頂点Aが半径1の円に触れながら通過するとき、円は辺BC,辺CDをt:1-tに分ける点P,Qにも触れていて、
PQ=bとおくと、
正弦定理より、
b=2Rsin60°=2R(√3/2)=R√3
余弦定理より、
cos60°={a^2t^2+a^2(1-t)^2-b^2}/2at･a(1-t)=1/2
{a^2t^2+a^2(1-t)^2-3R^2}/a^2t(1-t)=1
a^2t^2+a^2(1-t)^2-3R^2=a^2t(1-t)
a^2(2t^2-2t+1-t+t^2)=3R^2
a^2(3t^2-3t+1)=3R^2
a^2=R^2/(t^2-t+1/3)
a=R/√(t^2-t+1/3)
R=1じゃなかった。
底辺は△BCDがある面。
半径1の円がある面じゃない。
t=1/2のときa=16√3/13=2.13175484……
16√3/13=R/√{(1/2)^2-1/2+1/3}
R=16√3{(1/2)^2-1/2+1/3}/13
=16√3(1/12)/13
=16(1/2)/13
=8/13
t=1/3のときa=15/7=2.142857……
15/7=R/√{(1/3)^2-1/3+1/3}
R=15√{(1/3)^2-1/3+1/3}/7
=15(1/3)/7
=5/7
t=3/10のときa=2.2……これ2.2超えるかなぁ。あまり期待してない。知恵の輪が締まってる感じがないもんね。
461:イナ
20/01/09 20:58:52.16 RixsPfgs.net
前>>439問題>>364
a=b/√(3t^2-3t+1)
t=1/2のときb=a/2,a=15/7=2.13175484……
t=1/√7のときb=a√{(10-3√7)/7},a=─
t=1/eのときb=a√(3/e^2-3e+1),a=─
t=1/3のときb=a√3/3,a=16√3/13=2.142857……
t=1/4のときa=4√42/13=1.99407406……＜2
462:イナ
20/01/09 21:04:26.63 RixsPfgs.net
前>>440訂正。問題>>364
a=b/√(3t^2-3t+1)
t=1/2のときb=a/2,a=16√3/13=2.13175484……
t=1/√7のときb=a√{(10-3√7)/7},a=─
t=1/eのときb=a√(3/e^2-3e+1),a=─
t=1/3のときb=a√3/3,a=15/7=2.142857……
t=1/4のときa=4√42/13=1.99407406……＜2
463:１３２人目の素数さん
20/01/09 23:48:50.84 rRnLkyt7.net
>>435
ここにオンラインのニムゲームがあった。
URLﾘﾝｸ(www.archimedes-lab.org)
これは後手必勝の配置だから、先手だと必ずコンピュータに負けると思う。
464:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/10 04:52:21 MT1hacmy.net
前>>441問題>>346
四面体ABCDが頂点Aを半径1の円に触れながらぎりぎり通過するときBC,CDをt:1-tに分ける点P,Qがちょうど円に触れているとすると、AP=AQ,PQ=bとして、△BCDにおいて余弦定理より、
cos60°=(PC^2+CQ^2-PQ^2)/2PC･CQ
1/2=(7a/10)^2+(3a/10)^2-b^2/2(7a/10)(3a/10)
21a^2=49a^2+9a^2-100b^2
37a^2=100b^2
b=a√37/10
AからPQに垂線AHを下ろすと、△APHにおいてピタゴラスの定理より、
AP=√(AH^2+PH^2)
=√(a√3/2)^2+(a/5)^2
=√(3a^2/4+a^2/25)
=a√(75+4/100)
=a√79/10
AP=AQ=a√79/10
PQ=b=a√37/10より二等辺三角形を描き△APQの中心をOとすると、△APHにおいてピタゴラスの定理より、
AO+OH=√(AP^2-PH^2)
1+√{1-(a√37/20)^2}
=√{(a√79/10)^2-(a√37/20)^2}
1+√(1-37a^2/400)
=√(79a/100-37a/400)
1+2√(1-37a^2/400)+1-37a^2/400
=79a/100-37a/400
2√(1-37a^2/400)
=37a^2/400+79a/100-37a/400-2
800√(1-37a^2/400)
=37a^2+316a-37a-800
40√(400-37a^2)
=37a^2+279a-800
1600(400-37a^2)
=(37a^2+279a-800)^2
=1329a^4+20646a^3+(77841-59200)a^2-446400a+640000
1329a^4+20646a^3+18641a^2+59200a-446400a=0
a≠0より
1329a^3+20646a^2+18641a-387200=0
(予想)a=2.2……
465:１３２人目の素数さん
20/01/10 05:19:46 3SMHpQ+s.net
赤色のカメレオン13匹と、青色のカメレオン15匹と、黄色のカメレオンが17匹いる。
もし、異なる色の2匹のカメレオンが出会えば、2匹とも3番目の色に変わる。
例えば、青色と黄色が出会えば2匹とも赤色になる。
同じ色の2匹のカメレオンが出会っても色は変わらない。
このとき、全てのカメレオンが同じ色になることは可能か？
466:１３２人目の素数さん
20/01/10 07:39:41.66 7GxklHA8.net
>>444
数を1,2,3匹にして100万回乱数発生させてシミュレーションしたけど統一色にはならなかった。
数が違えば別の結果なのだろうか？
r= 1 ; b= 2 ; y= 3
cam=c(rep(1,r),rep(2,b),rep(3,y))
N=length(cam)
ct <- function(x,y){ # camelleon transformation
if(x==y)return(0) # 同色なら0を返す
else return((1:3)[-c(x,y)]) # 異色なら第３色を返す
}
ce <- function(x){ # camelleon encounter
ab=sample(N,2) # indexから２個選ぶ
a=x[ab[1]] # indexに相当するxの要素
b=x[ab[2]]
z=ct(a,b) # camelleon transformation
if(z!=0){ # 同色でなければ
x[ab[1]]=z # 第３の色に入れ替える
x[ab[2]]=z
}
return(x)
}
is.uc <- function(x){ # is uniform color?
length(unique(x))==1
}
x=cam
for(i in 1:1e6){
if(is.uc(x)==1){
print(x)
break
}
else{
x=ce(x)
}
}
467:１３２人目の素数さん
20/01/10 08:02:55.12 CXmf/8a7.net
r:0,b:1,y:2 として最初はトータル≡1 (mod 3)なので不可能。
468:１３２人目の素数さん
20/01/10 08:54:16.96 7GxklHA8.net
赤1匹、青2匹、黄2匹なら、赤一色になるのは可能。
赤青青黄?
赤赤青赤?
赤赤赤赤赤
mod3とどんな関係があるんだろう？？
469:１３２人目の素数さん
20/01/10 09:23:40.11 7GxklHA8.net
>>446
パソコンに探索させたけど、
赤1匹、青2匹、黄4匹なら青一色に統一可能ですね。
赤1匹、青2匹、黄5匹だと赤一色に統一された。
カメレオンの総数が3の倍数だと統一不能ってことらしいですね。
証明はさっぱりわからないけど。そんな印象。
470:１３２人目の素数さん
20/01/10 09:30:28.72 cm4nJQC9.net
いや、統一可能な初期値x3は必ず統一可能なのでそんな簡単な判定で済むはずはない。
(a,b,c)
471:から始めてmod3絡みの判定条件は作れるとは思うけど。
472:１３２人目の素数さん
20/01/10 09:34:58.00 7GxklHA8.net
>>449
そうですね。
総数が3の(1,1,1)は最初の出会いで統一されちゃいっますね。
473:１３２人目の素数さん
20/01/10 09:36:48.75 IFqTxPYA.net
>>444
異なる色A,Bが出会ってCの色に変わる時、AもBも総数は1減るが、Cだけ総数が2増える。
しかしどの色もmod3で考えれば1ずつ減るのと変わらない。
初期状態でのmod3における各色の剰余の組は(1,0,2)だから、
この状態からどのように出会わせても(1,0,2),(0,2,1),(2,1,0)にしかならない。
よって、一色だけの状態（つまり(0,0,x)等の状態）にするのは無理。
474:１３２人目の素数さん
20/01/10 09:46:25.78 wIwNR4cn.net
>>451
それかな。
初期値が全てmod3で等しい事が必要。
逆にmod3で全部等しいとする。
黄色が最大として赤アオがある限り黄黄に変換して行けるとこまで行く。
赤が3の倍数だけ余ったとする。
赤赤赤黄とのこったら
青青赤赤→黄黄黄黄
が可能なので全部黄色にできる。
475:１３２人目の素数さん
20/01/10 11:44:13.99 7GxklHA8.net
一色化可能なmodの組合を列挙させたら、
> pcc
[,1] [,2] [,3]
x 1 1 1
x 2 2 2
x 0 0 0
x 1 1 2
x 2 2 0
x 0 0 1
x 1 1 0
x 2 2 1
x 0 0 2
の9通り
結局、0 1 2 以外は一色にできそう。
476:１３２人目の素数さん
20/01/10 11:52:20.26 jmw8DMZb.net
あ、そうか、>>452は撤回。
477:１３２人目の素数さん
20/01/10 12:00:41.73 jmw8DMZb.net
訂正。
どれか二つが等しい事が必要。
r≡b(mod3)のとき統一できる。
実際rb=0になるまで黄色にする。
r=0になったとしてよい。
y=0なら終。(元々(r,b,y)=(0,n,0)だった場合だけど)
(b≡r≡0(mod3)だからbは3の倍数残ってる。
bbby→rbbr→yybr→yyyy
で完成。
478:１３２人目の素数さん
20/01/10 12:02:01.24 7GxklHA8.net
>>452
赤1匹 青１匹 黄2匹でも 一色化できるんじゃないかな？
479:１３２人目の素数さん
20/01/10 12:03:10.49 7GxklHA8.net
>>455
結局、0 1 2以外の組み合わせってことだよね？
480:１３２人目の素数さん
20/01/10 12:04:21.06 jmw8DMZb.net
>>456
ですな。
必勝十分条件はr,g,bの少なくともいずれか二つがmod3で等しいとき。
481:１３２人目の素数さん
20/01/10 12:05:18.10 jmw8DMZb.net
>>457
yes
482:イナ
20/01/10 12:25:26.84 MT1hacmy.net
前>>443
>>444
(赤,青,黄)=(13,15,17)→→(15,14,16)→(14,16,15)→(16,15,14)
→(0,2,43)→(2,1,42)
→(1,3,41)→(3,2,40)
二種類のカメレオンを同数にすることができないからすべて同じ色にすることは不可能。
∴示された。
483:１３２人目の素数さん
20/01/10 12:30:50.67 jmw8DMZb.net
ばかだなぁ
484:１３２人目の素数さん
20/01/10 12:35:48.87 7GxklHA8.net
>>461
正解が投稿されてから誤答を繰り返すいつもの芸風ｗ
485:イナ
20/01/10 18:45:00.91 MT1hacmy.net
前>>460
>>364
今のところt=1/3のときa=15/7=2.142857……より大きいaはだれも示せてない。
486:１３２人目の素数さん
20/01/10 20:39:43.35 7GxklHA8.net
>>444
一色化できる条件はわかったけど、何色に統一色されるかって計算できるのだろうか？
赤２匹 青３匹 黄５匹でシミュレーションすると、再現性をもって青に統一された。
赤３匹 青５匹 黄８匹で赤
赤１匹 青４匹 ?５匹で黄
になった。
487:１３２人目の素数さん
20/01/10 20:45:16.81 QlIKDXvI.net
>>464
?は黃の文字化け
488:１３２人目の素数さん
20/01/10 21:46:00.27 uMaYGI2k.net
>>444
これは不変量を使って解くやつだろ
昔数学のたのしみっていう雑誌で見かけた覚えがある
489:１３２人目の素数さん
20/01/10 21:58:02.14 Ze0ls1L3.net
>>462
アイツどういう思考パターンしているのかなあ？
490:１３２人目の素数さん
20/01/10 23:25:15.49 jmw8DMZb.net
a≡b≡c (mod 3)でないなら統一できる色が一意に決まるのは明らか。
またr,b,yのうち二つが赤なら統一色が一意に決まるのも自明。
そうでないときは任意の色に統一できる。
帰納法。
r,b,y全て0でないとき。
r-1,b-1,y-1の中に0が一つまでなら帰納法の仮定によりよい。
RBY R^3nのとき。
RBYRRR→RBBBRR→RBBYYR
によってRBY R^3n→RBYRBY^(3n-3)
が可能だからr-1,b-1,y-1全てが0でないケースに持ち込める。
r=0のとき。
(BY)^3n B^3m としてよい。
この時
BBBYYY→VBYYRR
により
(BY)^3n B^3m → (RRBBYY)^2m B^3m
によりr-1,b-1,y-1全てが0でないケースに持ち込める。
491:イナ
20/01/11 01:30:15.94 oekFC6rM.net
前>>463問題>>364
△ABCにおいて余弦定理より、
cos60°={a^2(1-t)^2+a^2t^2-b^2}/2a(1-t)at=1/2
a^2(1-2t+t^2+t^-t+t^2=b^2
b^2=(1-3t+3t^2)a^2─①
△ABCにおいてピタゴラスの定理より、
AP^2=(a/2-at)^2+(a√3/2)^2
=a^2(1/2-t)^2+3a^2/4
=a^2(1-t+t^2)─②
△APQにおいてピタゴラスの定理より、
AP^2-PH^2=AH^2=(AO+OH)^2={AO+√(OP^2-PH^2)}^2
①②を代入し、
(a/2-at)^2+(a√3/2)^2
-a^2(1-3t+3t^2)/4
=[1+√{1-(1-3t+3t^2)a^2/4}]^2
a^2(3/4-t/4+t^2/4)
=1+√{4-a^2(1-3t+3t^2)}+1-a^2(1-3t+3t^2)/4
a^2(1-t+t^2)-2=√{4-a^2(1-3t+3t^2)}
a^4(1-t+t^2)^2-4a^2(1-t+t^2)+4=4-a^2(1-3t+3t^2)
a^2≠0より、
a^2(1+t^2+t^4-2t-2t^3+2t^2)-4(1-t+t^2)=-1+3t-3t^2
a^2(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)=-1+3t-3t^2+4(1-t+t^2)
a^2(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)=t^2-t+3
a^2=(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)
a=√{(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}
t=1/3のとき
a=15/7=2.142857……
aをtで表した式はあってる。
aを微分しa'=0のときのtの値よりaの最大値は、
492:１３２人目の素数さん
20/01/11 02:42:27.48 XlEQgz2Y.net
何が面白いかわからんと言い出すコースだな。
493:イナ
20/01/11 03:21:22.27 oekFC6rM.net
前>>469問題>>364
a={(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}^(1/2)
微分すると、
a'=(1/2){(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}^(-1/2){{(2t-1)(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)-(t^2-t+3)(4t^3-6t^2+6t-2)}/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2
={√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}{(2t-1)(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)-(t^2-t+3)(4t^3-6t^2+6t-2)}/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2･2√(t^2-t+3)
={√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}{2t(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)-(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)-t^2(4t^3-6t^2+6t-2)-t(4t^3-6t^2+6t-2)+3(4t^3-6t^2+6t-2)}/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2･2√(t^2-t+3)
={√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}(2t^5-4t^4+6t^3-4t^2+2t-t^4+2t^3-3t^2+2t-1-4t^5+6t^4-6t^3+2t^2-4t^4+6t^3-6t^2+2t+12t^3-18t^2+18t-6)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2･2√(t^2-t+3)
={√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}(-2t^5-3t^4+20t^3-29t^2+24t-7)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2･2√(t^2-t+3)
=(-2t^5-3t^4+20t^3-29t^2+24t-7)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)･2√(t^2-t+3)
t^2-t+3=(t-1/2)^2+11/4≠0より、
a'=0のとき-2t^5-3t^4+20t^3-29t^2+24t-7=0
494:１３２人目の素数さん
20/01/11 03:29:14.46 5mKskwfM.net
>>444
Z/3で考えたら
0+1=2+2
1+2=0+0
2+0=1+1
で変化の前後で合計は変わらない
0*13+1*15+2*17=1
13+15+17=0
0*x=1は決して成立しない
逆に
0x+1y+2z=d(x+y+z)
となるdが存在するとき
1x+2y+0z=(d+1)(x+y+z)
2x+0y+1z=(d+2)(x+y+z)
であるので
一般性を失わずd=0としてよい
すなわち
0x+1y+2z=0
y=z+3n
n=0なら
0(x+y+z)+1*0+2*0=0
とできる
n>0なら
0(x+y)+1*0+2(3n)=0
0(x+y)+1(3n)+2*0=0
n=-m<0なら
0(x+z)+1(3m)+2*0=0
とできるので
そもそも
0n+1(3m)+2*0=0
m>0
としてよい
n=0なら終了なのでn>0とすると
0(n-1)+1(3m-1)+2*2=0
0(n+3)+1(3(m-1))+2*0=0
とできるので次第に減らして
0(n+3m)+1*0+2*0=0
にすることが可能
495:１３２人目の素数さん
20/01/11 03:32:34.66 5mKskwfM.net
>>472
>y=z+3n
z=y+3nの間違い
ここ以下はz=y+3nでの考察
496:１３２人目の素数さん
20/01/11 03:37:09.71 5mKskwfM.net
>>464
>何色に統一色されるか
1色になる条件は個体数に3の倍数の差がある2色が存在することであるので
その2色以外のもう1色に統一できる
すべてが3の倍数の差ならどの色にも統一できる
497:１３２人目の素数さん
20/01/11 03:45:54.24 5mKskwfM.net
>>474
>すべてが3の倍数の差ならどの色にも統一できる
3n,0,0の場合は3nの色にしかできない
それ以外ならどの色にも統一できる
498:イナ
20/01/11 04:28:49.42 oekFC6rM.net
前>>471問題>>364
-2t^5-3t^4+20t^3-29t^2+24t-7=0
2t^5+3t^4-20t^3+29t^2-24t+7=0
(2t-1)(t^4+2t^3-9t^2+10t-7)=0
t=1/2のときa=2.13……でt=1/3のときa=2.14……に及ばないから不適。
t^4+2t^3-9t^2+10t-7=0
499:１３２人目の素数さん
20/01/11 05
500::24:18.85 ID:yGuVlJmI.net
501:１３２人目の素数さん
20/01/11 05:33:56.21 Q06vZVWe.net
【問1】宇宙空間に2020個の星が、どの2つの星の距離も異なるように配置されている。
ただし、星は宇宙空間に固定されているとする（公転などは考えない）。
各星には天文学者がいて、自分と最も近い星だけを観測している。
このとき、「どの天文学者にも観測されない星が必ず存在する」は真か偽か。
【問2】2021個のときではどうか。
502:１３２人目の素数さん
20/01/11 05:35:40.18 yGuVlJmI.net
>>464
赤２匹 青３匹 黄５匹だと３の剰余で 赤2 青0 黄2なので
少数派の青に統一。
赤３匹 青５匹 黄８匹で 赤0 青2 黄2で赤
赤１匹 青４匹 黃５匹で 赤1 青1 黄2で黄
になるんだな。
理論値と一致している。
503:１３２人目の素数さん
20/01/11 06:29:59.79 yGuVlJmI.net
>>478
三角形と４角形から類推して
問1は偽、問2は真かな？
504:１３２人目の素数さん
20/01/11 06:41:19.93 yGuVlJmI.net
赤１匹 青４匹 黄７匹だと統一できる色はシミュレーションでも３種類でてきた。
確かに３での剰余はどれも１
505:イナ
20/01/11 06:47:39.19 oekFC6rM.net
前>>476
>>478
【問1】偽
∵必ずしもすべての星の観測者がたがいに最短距離というペアの星をみつけられるわけじゃないから。
【問2】偽
∵たとえ星の数が奇数であっても一組の三つの星が最短距離で正三角形を描く配置をとれば、すべての星の観測者がたがいに最短距離という星をみつけられるが、必ずそうなるとは限らず、一つの星だけがどの星からももっとも遠いということがありうるから。
506:１３２人目の素数さん
20/01/11 06:52:23.01 yGuVlJmI.net
底面が不正多角形で細長い多角錐を考えたら頂点の星は誰も観察しないってことか？
507:イナ
20/01/11 06:55:40.97 oekFC6rM.net
前>>482
【問2】の理由はちょっと変だ。理由はなしで。
とにかく必ずとは言えないから、すべて観測される場合もあるから、偽。
508:１３２人目の素数さん
20/01/11 07:57:09.11 yGuVlJmI.net
>>472
冒頭の記述は
赤0 青1 黄2の数字が書いてあるとして
Z/3で考えたら
0+1=2+2 赤と青が黄2個に変わる
1+2=0+0 青と黄が赤2個に変わる
2+0=1+1 黄と赤が青2個に変わる
で変化の前後で合計は変わらない
という意味でいいですか？
509:１３２人目の素数さん
20/01/11 07:58:53.05 rBs8V3mC.net
>>482
(1)偽
1→2, 2→1, ‥,2019→2020,2020→2019 が起こりうる。
(2)真
奇数のときは必ず真である。
そうでないとして星の数が最小の反例をとる。
(1)と同様にして向き付きグラフにして考える。
もしa→b、b→aとなるペアが有れば、その組みを取り除けば、より星の数が小さい反例が得られるからそのようなループはない。
しかし有限のグラフで全ての星はある星を観測しているのだからループは持つ。
a1→‥→an→a1
とする。
a2はa3を観察しておりa1≠a3からd(a1,a2)>d(a2,a3)。
同様にして
d(a1,a2)>d(a2,a3)>‥>d(a(n-1),an)>d(an,a1)
矛盾。
510:１３２人目の素数さん
20/01/11 08:06:38.15 WefUHu6M.net
>>486
一個足りなかった。
d(a1,a2)>d(a2,a3)>‥>d(a(n-1),an)>d(an,a1)>d(a1,da2)
で矛盾ね。
511:１３２人目の素数さん
20/01/11 08:44:04.01 5mKskwfM.net
>>485
そう
512:１３２人目の素数さん
20/01/11 08:45:35.97 yGuVlJmI.net
観測されない星が必ず存在する
のと
観測されない星が存在する配置ができる
のは違う気がする
a->b b->a c->aだとcが観察されないけど
a->b b->c c->aだと全部観察されている。
513:１３２人目の素数さん
20/01/11 08:55:13.87 yGuVlJmI.net
直線上に０，１，３を配置すれば各々の観察は１，０，１で３を観察する人はいない
直線上い０，１，３，７を配置すれば各々の観察は１，０，１，３で７を観察する人はいない
偶数奇数に関係ないような気がしてきた。
514:１３２人目の素数さん
20/01/11 08:58:26.19 E/avb+h
515:p.net
516:１３２人目の素数さん
20/01/11 09:09:16.23 yGuVlJmI.net
>>491
そうですね。最短距離の星はお互いを観察するから、循環観察できませんね。
517:１３２人目の素数さん
20/01/11 09:15:02.60 yGuVlJmI.net
逆にすべての星が観察される配置ってどんなんだろう？
518:１３２人目の素数さん
20/01/11 09:36:49.15 yGuVlJmI.net
>>493
数軸上の点の例だと ０，１，４，６なら観察する星は１，０，６，４で全ての星が観察されている。
519:１３２人目の素数さん
20/01/11 09:41:05 yGuVlJmI.net
偶数だと 全ての星をペアで相互監視できるように 配置できるから、観測されない星が必ず存在する は偽だな。
観察されない星が存在するように配置することも可能だけど、必ず存在するは偽。
奇数だと相互監視からあぶれる星がでてきそう。
520:１３２人目の素数さん
20/01/11 11:43:35.85 kJ5ju2rK.net
>>495
そう？
絶対観測されない星出てくると思うけど。
>>486
521:１３２人目の素数さん
20/01/11 12:25:17.66 5mKskwfM.net
>>478
>このとき、「どの天文学者にも観測されない星が必ず存在する」は真か偽か。
すべての星が観測されているとする
d(p)=min{d(p,q)|q≠p}
d=max{d(p)}
n=#{p|d(p)=d}≧3とすると同じ星間距離が存在することになるためn=1,2
{p,q}={p|d(p)=d}とすると同じ星間距離が存在しないためd=d(p)=d(q)=d(p,q)
r≠p,qでd(r)<dであるためp,qはrからは観測されずお互いを観測している
よってこの2星を取り除いても他の星の観測状況特にd(r)の数値に変わりは無い
{p}={p|d(p)=d}のときr≠pでd(r)<dであるためpはｒからは観測されず仮定に反する
よってすべての星が観測されているとすれば2星を取り除いてもすべての星が観測されている
逆にすべての星が観測されているとするときd+1=d(p,q)である2星を他の星からd+1より遠くに配置することは可能であるので2星を追加することも可能である
この考察により
偶数個の星はすべてがお互い観測されている配置が存在し
奇数個の星はどのような配置であっても観測されない星が必ず存在する
522:１３２人目の素数さん
20/01/11 12:31:31.68 5mKskwfM.net
>>497
>d+1=d(p,q)である2星を他の星からd+1より遠くに配置
まちがい
m=max{d(p,q)}
としたとき
m+1=d(p,q)である2星を他の星からm+1より遠くに配置
523:１３２人目の素数さん
20/01/11 12:38:20.81 5mKskwfM.net
2nの星ですべてがお互い観測されている配置は
>>498の構成により観測し合う2星のペアn組が他から観測されず隔絶された配置のみ
524:１３２人目の素数さん
20/01/11 12:45:17.56 5mKskwfM.net
奇数個の星の配置では観測されない星が1つ以上存在するため
それら観測されない星を取り除いた残りはお互い観測されている配置となる
よって
奇数個の星の配置は
>>499の偶数個の星の配置から初めて
m=max{d(p,q)}にmより遠くに星を1つずつ配置していくことで得られるもののみ
525:１３２人目の素数さん
20/01/11 12:49:31.43 5mKskwfM.net
>>499,500
すなわち3星以上で循環的に観測が起こるような配置は存在しない
526:１３２人目の素数さん
20/01/11 13:15:32 5mKskwfM.net
>>500
>m=max{d(p,q)}にmより遠くに星を1つずつ配置していくことで得られるもののみ
まちがいだけれども戦略は単純で
追加する前の星から観測されない距離に配置していくというだけ
527:イナ
20/01/11 15:13:43.52 oekFC6rM.net
前>>484問題>>364
a=√{(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}
にt=1/2を代入すると、
a=√[{(1/2)^2-(1/2)+3}/{(1/2)^4-2(1/2)^3+3(1/2)^2-2(1/2)+1)}]
=√[{(11/4)/{(1/4)^2-(1/4)+3/4-1+1}]
=√{11/(1/4-1+3)}
=√{11/(9/4)}
=2√11/3
=2.21108319……
2.23には及ばないけど、これが今のところ最大値。
528:イナ
20/01/11 16:48:12.21 oekFC6rM.net
前>>503
>>364
ピタゴラスの定理で検証する。
t=1/2のときBC,CDの中点P,Qは△ABC,△ACDの頂点Aから下ろした垂線の足になる。
ピタゴラスの定理によらずともAP=AQ=a√3/2
PQ=a/2だからPH=HQ=a/4
△APHにおいてピタゴラスの定理より、
AH=√(AP^2-PH^2)
=√{(a√3/2)^2-(a/4)^2}
=a√(3/4-1/16)
=a√11/4
△OPHにおいてピタゴラスの定理より、
OH=√(OP^2-PH^2)
=√{1-(a/4)^2}
=√(1-a^2/16)
AO+OH=AHだから、
1+√(1-a^2/16)=a√11/4
辺々二乗し、
1+2√(1-a^2/16)+1-a^2/16=11a^2/16
2+2√(1-a^2/16)=3a^2/4
8+8√(1-a^2/16)=3a^2
8+2√(16-a^2)=3a^2
4(16-a^2)=(3a^2-8)^2
64-4a^2=9a^4-48a^2+64
9a^2=44
3a=2√11
a=2√11/3=2.21108319……
529:１３２人目の素数さん
20/01/11 18:07:34 5mKskwfM.net
>>500
奇数の場合の配置の考察間違っているけど
>>501は正しい
観測されない星を取り除いて
新たに観測されない星が出て来ればそれも取り除いて
と順に繰り返せばすべてが観測されるペアで構成される偶数個の
530:配置に至るから
531:１３２人目の素数さん
20/01/11 18:11:04 5mKskwfM.net
結局は偶数奇数にかかわらず
星の配置はペア構成の偶数個を元にして
そこを観測する星が加わり
加えた星を観測する星が加わりと
枝分かれして繁茂することになる
最初のペアごとに枝が茂るような
532:イナ
20/01/11 19:40:46.69 oekFC6rM.net
前>>504
>>396
三角形APQ (辺の長さはAP=AQ=a√(1-t+t^2), PQ=at) が単位円に内接するときの
三辺の長さと内接円半径の関係式を求めると
a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)
>>469
a=√{(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}
なにが違うのかと思ったらaの値が違うのか。形は似てるんだけどなぁ。
t=0.39のときはa=2.18……を増加中で気づかなんだ。
533:１３２人目の素数さん
20/01/11 22:22:24.81 mJt/HuQ5.net
これで証明になってますか？
すべての星が観察されている配置が存在するとして、その星の集合をAとする。
Aからa->b b<-aのように相互監視されている星を除く集合をBとする。
Bの要素が1つの星であればその星はどこからも観察されていないからAの前提に反する。
Bの要素が2つの星であればその星は相互監視されるからBの前提に反する。
Bの要素が3個以上あるとすると星間の距離が最短の2個の星は相互監視していることになりBの前提に反する。
故に、Bは空集合である。
すべての星が観察されている配置は相互監視されている配置のみである。
534:１３２人目の素数さん
20/01/11 22:41:50.59 5mKskwfM.net
>>508
>Bの要素が3個以上あるとすると星間の距離が最短の2個の星は相互監視していることになりBの前提に反する。
NG
他の星を取り除いているからその2個が元々相互観察しているとは限らない
残りが2つの場合は
元々相互観察していたか
その2つともが取り除いた星を観察していたか
一方がもう一方を観察し観察されている方は取り除いた星を観察しているかの3通りしか有り得ず
相互観察以外は元々すべての星が観察されているという仮定に反するので
考察の通り相互観察と結論してよい
535:１３２人目の素数さん
20/01/11 22:46:43.87 kJ5ju2rK.net
>>508
> Bの要素が2つの星であればその星は相互監視されるからBの前提に反する。
コレはダメでしょ？
0467の場合
0→4→6⇔7
なので
B={0,4}
しかし0,4は相互監視してるわけではない。
536:１３２人目の素数さん
20/01/11 22:54:26.45 5mKskwfM.net
>>510
>0→4→6⇔7
>>508の考察の前提はすべての星が観察されていることであり上記の配置は考察の対象ではない
537:１３２人目の素数さん
20/01/11 23:12:34.54 MMDEJiom.net
n個の星があるので、n(n+1)/2通りの距離がある。この中で最も小さい距離に
あたるのが、星Aと星Bの距離であるとする。
当然、星Aの天文学者は星Bを、星Bの天文学者は星Aを見ている。
星Aと星Bを除く、n-2個の星の中で、この二つの星を見ている天文学者がいなければ、
星Aと星Bが最初から無いものとし、n-2個の星で、同じ議論を行えばよい。
いずれ、二個か、三個になる事もあろうが、二個なら相互観測可能、三個なら相互観測が不可能なのは、自明。
星Aと星Bを除く、n-2個の星の中で、この二つの星のいずれかを見ている天文学者がk人(k>0)居たとする。
このn-2個の星の中にいる天文学者の数はn-2人。星Aも星Bも見ていない天文学者はn-2-k人。
星Aと星B以外のn-2個の星全てを、n-2-k人の天文学者で観測することはできない。
538:１３２人目の素数さん
20/01/11 23:13:06.17 mJt/HuQ5.net
>>509
ご指摘ありがとうございます。
取り除いた星を観察している場合を考慮していませんでした。
539:１３２人目の素数さん
20/01/11 23:25:37.51 MMDEJiom.net
間違った。n(n+1)/2 ではなく、n(n-1)/2通り。
あと、三個で、相互といのは、不適当ぽい。三すくみ状態の観測が不可能と修正します。
540:１３２人目の素数さん
20/01/11 23:50:48.29 mJt/HuQ5.net
これでどうでしょう？
すべての星が観察されている配置が存在するとして、その星の集合をAとする。
Aからa->b b<-aのように相互監視されている星を除く集合をBとする。
除かれた星の集合をCと呼ぶ。
Bの要素が1つの星であればその星はどこからも観察されていないからAの前提に反する。
Bの要素の数をｂとする。b人のうち一人でもCに属する星を観察しているとBの中に観察されない星が出現する。
それはAの前提に反するから、b人はすべてBに属する星を観察していることになる。
Bに属する星で星間の距離が最短の2個の星は相互監視していることになりBの前提に反する。
ゆえにBは空集合である。
541:１３２人目の素数さん
20/01/12 00:30:19.97 K5TiA6Ma.net
>>512やおそらく暗黙のうち>>486が依拠している
星の数が有限なので観測者の居る星から観測している星への写像が全射であれば単射すなわち置換になっているということと
>>512のように最短距離の2星は相互に観測していることから
この置換の軌道はすべて互換と結論するのが簡明
542:イナ
20/01/12 02:36:19.74 cCWTnFDc.net
前>>507
>>396
PQ=atはわかった。
内分する点は同じ頂点Bからatの地点にあることもわかった。
aをtで表して微分する方針は同じで、
a=√(4-4t+3t^2)/1-t+t^2
までできた。aを微分し、
a'=0よりその分子は、
(1/2)(4-4t+3t^2)^(-1/2)(6t-4)(1-t+t^2)-(4-4t+3t^2)^(1/2)(2t-1)=0
(4-4t+3t^2)^(1/2)を辺々掛けて、
(3t-2)(1-t+t^2)-(4-4t+3t^2)(2t-1)=0
3t(1-t+t^2)-2(1-t+t^2)-2t(4-4t+3t^2)-(4-4t+3t^2)=0
3t-3t^2+3t^3-2+2t-2t^2-8t+8t^2-6t^3-4+4t-3t^2=0
-3t^3+t-6=0
3t^3-t+6=0
どこが違いますか？
中の微分(6t-4)を掛けるんだと思ったけどそこが違いますか？
543:１３２人目の素数さん
20/01/12 05:32:20 4MREAxiq.net
次の条件を満たす空でない自然数の集合Mを考える。
【n∈M ⇒ 2020n∈M かつ [√n]∈M】
ただし、[ ]はガウス記号とする。
このとき、Mは自然数全体の集合に他ならないことを示せ。
544:１３２人目の素数さん
20/01/12 08:00:37.93 shLoIsvP.net
>>518
M=R（実数全体）が条件を満たすことを示す
n∈Rと仮定すると
2020n∈R
[√n]∈R
よってRは条件を満たす
したがって命題は偽
545:１３２人目の素数さん
20/01/12 08:04:35 shLoIsvP.net
>>519
Mは自然数の集合って書いてあったわ(´・ω・｀)
546:１３２人目の素数さん
20/01/12 13:24:07.75 we0BMqxn.net
>>518
Mは空でないから、あるm∈Mに対して[√m]をとり続ければいつか1にたどり着くので、1∈Mがわかる。
整数n≧1を任意にとる。整数pを十分大きくとれば
2020 < ((n+1)/n)^(2^p)
が成り立つので、このようなpに対して
n^(2^p) ≦ 2020^q (∈M)
を満たす最小の整数qをとれば
2020^q < (n+1)^(2^p)
が成り立つので、Nに対して[√N]をとる操作を2020^qにp回適用することでn∈Mが導かれる。
nは任意であったからMは正の整数全体。
547:イナ
20/01/12 13:27:31.30 cCWTnFDc.net
前>>517
>>364
√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)を微分せよ。
548:１３２人目の素数さん
20/01/12 14:20:35 N37KH+Ag.net
すべての星間の距離は異なる、最も近い星を観察している、すべての星が観察されているという条件を満たすように 乱数発生させて数直線上に配置するシミュレーションをしてみた。
sim(n,N) ｎ個の星を数直線1,2,3,,,Nに配置する
> sim(4,16)
[1] 8 9 13 16
> sim(4,16)
[1] 3 5 11 12
> sim(6,24)
[1] 1 2 12 16 21 24
> sim(8,64)
[1] 5 6 33 36 40 42 50 55
> sim(10,128)
[1] 2 6 16 17 41 44 53 60 112 125
nが偶数のときは、星の配置を返してくれるけど
奇数にすると処理が終わらない。
549:１３２人目の素数さん
20/01/12 16:09:43.94 C8wJOR09.net
[1-1]
f(x)は3次関数。αを定数として、3次方程式 f(x)=α は、
0<α<4 の時は、実数解を3つ持ち、α<0 または、4<α の時は 実数解を一つだけ持つ。
このような性質を持つf(x) を一つ求めよ。
[1-2]
F(x)は9次関数。αを定数として、9次方程式 F(x)=α は、
0<α<4 の時は、9実数解を持ち、α<0 または、4<α の時は 実数解を一つだけ持つ。
このような性質を持つF(x) を一つ求めよ。
[2]
G(x)は8次関数。αを定数として、8次方程式 G(x)=α は、
0<α<4 の時は、8実数解を持ち、α<0 の時は、実数解を持たず、4<α の時は 実数解を二つ持つ。
このような性質を持つG(x) を一つ求めよ。
[3]
H(x)は11次関数。αを定数として、11次方程式 H(x)=α は、
0<α<4 の時は、11実数解を持ち、α<0 または、4<α の時は 実数解を一つだけ持つ。
このような性質を持つH(x) を一つ求めよ。
550:１３２人目の素数さん
20/01/12 16:50:02.10 N37KH+Ag.net
>>523
数直線でなく複素平面上に条件を満たすように星を配置してみた。
星１６個の場合
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> sim(16,256)
[1] 7+198i 18+ 73i 36+ 16i 36+ 59i 43+212i 61+ 12i 80+102i 103+ 86i 105+127i
551: [10] 115+122i 140+230i 143+235i 194+ 39i 210+228i 219+ 85i 241+235i 相互監視している配置になるみたい。
552:１３２人目の素数さん
20/01/12 17:33:44.93 7WosHAht.net
Pn(x)を第一種チェビシェフ多項式とする。
nが偶数のとき方程式
Pn(x)=aはa>1のとき実数解の個数は２個、-1<a<1のときn個、a<-1のとき０個である。
nが奇数のとき方程式
Pn(x)=aはa>1のとき実数解の個数は1個、-1<a<1のときn個、a<-1のとき1個である。
553:１３２人目の素数さん
20/01/12 20:08:20.31 C8wJOR09.net
起承転結の問題で、いきなり結を答えられてしまった思いです。
f(x)は、極大値が4、極小値が0の三次関数なら全て当てはまります。
そのうち、f(x)=αの解が、区間(0,4)に収まるもの、つまり、x(x-3)^2 や、これを、x=2 で折り返した
(4-x)((4-x)-3)^2)=-(x-1)^2(x-4)をf(x)としたとき、F(x)=f(f(x)) 等が[1]の誘導に従順な答えです。
同様に、区間[0,4]で極小値0、両端で最大値4を取る二次関数g1(x)=(x-2)^2 あるいは、
極大値4、両端で最小値0を取る二次関数g2(x)=-x(x-4) を使って、G(x)=±g(g(g(x))) で定まる
8次関数が[2]の答えとなります。プラマイは、[0,4]区間外の挙動に整合するどちらかを選択してください。
gは、g1かg2のどちらかです。
では、11次関数ならどうすべきか？ 9=3^2、8=2^3 を利用して、[1]や[2]は簡単に表せたが、
11では、どうすべきか？ これを意地悪に問うた問題でした。
答えは、チェビシェフにあります。というか、三角関数の、ｎ倍角の公式の中にあります。
cos(nx) + i sin(nx) = (cos(x)+ i sin(x))^n を利用して、
cos(nx)は、cos(x)のn次関数として表せますが、ここを細工して問題にしました。
plot y=2 ChebyshevT[11,x/2-1] +2 ,x=-0.1 to 4.1
を某所に入力すれば、形状を確認できます。
554:１３２人目の素数さん
20/01/12 21:29:34 N37KH+Ag.net
>>525
星と観察矢印を追加してみた
アルゴリズムは
1 × 1の大きさの複素平面にN個の星を一様分布で発生させて
(1)星間距離不同 (2)最短星観察 (3)全星被観察
を満たすものが、みつかるまで繰り返す
N=16の場合
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
555:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:14:00.70 2k69YQBB.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
556:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:15:40.76 2k69YQBB.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
557:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:17:12.62 O/8hgIpk.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
558:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:26:27.84 O/8hgIpk.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
559:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:27:23.83 O/8hgIpk.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
560:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:28:04.05 O/8hgIpk.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
561:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:30:48.58 JM7pXrDp.net
t = ax+b (a≠0) として
f(x) = 2{1+P_3(t)}
F(x) = 2{1+P_9(t)} = 2{1+P3(P3(t))},
G(x) = 2{1+P_8(t)} = 1{1+P2(P2(P2(t)))},
H(x) = 2{1+P_11(t)},
562:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:32:31.60 2k69YQBB.net
書き込みエラーで二重投稿してしまった
すまん
563:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:43:42.92 JM7pXrDp.net
>>535
P_n(t) はn次の第一種チェビシェフ多項式
P_1(t) = t,
P_2(t) = 2t^2 -1,
P_3(t) = 4t^3 -3t,
P_4(t) = P2(P2(t)) = 8t^4 -8t^2 +1,
P_8(t) = P2(P2(P2(t))) = 128t^8 -256t^6 +160t^4 -32t^2 +1,
P_9(t) = P3(P3(t)) = 256t^9 -576t^7 +432t^5 -120t^3 +9
564:t, P_11(t) = 1024t^11 -2816t^9 +2816t^7 -1232t^5 +220t^3 -11t,
565:１３２人目の素数さん
20/01/13 02:58:53.09 JM7pXrDp.net
(1)
nの素因数分解を
n = Π_i (p_i)^(e_i)
とすると
n ' = n･Σ_i (e_i/p_i)
(2)
Σ_i (e_i/p_i) = 1.
566:１３２人目の素数さん
20/01/13 03:30:55.57 6uFcIen4.net
1～100000までの自然数の中から、「どの3個を選んでも等差数列を成さない2020個の数」が選べることを示せ
567:イナ
20/01/13 05:00:42.13 PsQ8IZ2e.net
前>>522
>>396
三次方程式の解の公式は面白くないんで三次方程式の解の公式に行く前に、
a=√(4-4t+3t^2)/1-t+t^2 をゆっくり微分してもらえませんか？
568:１３２人目の素数さん
20/01/13 07:27:15.84 VTAeR0gZ.net
>>539
１，２，４から始めて、２０個の場合を探索してみた。
1 2 4 5 10 11 13 14 28 29 31 32 37 38 40 41 82 83 85 86
M=2020として最大値が10000を超えないことがわかればいいけど、マシンパワーが足りないから無理。
rm(list=ls())
p3c <- function(x){ # pick 3 numbers and check if arithmatic sequence
is.as3 <- function(x) diff(x)[1]==diff(x)[2] # 等差かを返す
is.as=function(y) is.as3(c(x[y[1]],x[y[2]],x[y[3]])) # 組み合わせのindexに相当する３個の数が等差か？
n=length(x)
any(combn(n,3,is.as)) # 等差の３つが選べるか
}
M=20
a=c(1,2,4)
i=5
AS=FALSE
while(length(a) < M){
a=append(a,i)
AS=p3c(a)
if(AS){
a=a[-length(a)]
}
i=i+1
}
a
569:１３２人目の素数さん
20/01/13 07:29:51.64 VTAeR0gZ.net
>>540
d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)×1/1 - t + t^2) = (6 t - 4)/(2 sqrt(3 t^2 - 4 t + 4)) + 2 t - 1
570:１３２人目の素数さん
20/01/13 08:01:32.45 VTAeR0gZ.net
>>541
100個でも朝食の時間に計算終わってた。
> a
[1] 1 2 4 5 10 11 13 14 28 29 31 32 37 38 40 41 82 83 85 86 91 92 94
571: 95 109 [26] 110 112 113 118 119 121 122 244 245 247 248 253 254 256 257 271 272 274 275 280 281 283 284 325 326 [51] 328 329 334 335 337 338 352 353 355 356 361 362 364 365 730 731 733 734 739 740 742 743 757 758 760 [76] 761 766 767 769 770 811 812 814 815 820 821 823 824 838 839 841 842 847 848 850 851 973 974 976 977 >
572:１３２人目の素数さん
20/01/13 08:17:36.93 iAwpmWWr.net
>>533
n=Πpi^(ei)のとき定義からn'=Σeiである事が必要。
逆にそもそもこっちを定義にしとけばwell-definedである事は明らかなので要請された条件を満たす'は存在する。
573:１３２人目の素数さん
20/01/13 08:47:42.15 2k69YQBB.net
n=2^2,3^3,5^5,…のときn'=n
これは確認が容易だが、n'=n⇒n=p^pの証明はやや難しいと思う
574:１３２人目の素数さん
20/01/13 09:36:06.03 M9eolSOh.net
あ、ΣeiではなくΣeipi^(ei-1)ですな。
お詫びして訂正致しまする。
575:１３２人目の素数さん
20/01/13 10:13:53.20 6mVc9I1z.net
あ、まだダメ。
n'=nΣei/pi
だ。
Σei/pi=1になるにはpi進付値を考えてpi|eiが必要だからei=kipiとおける。
この時Σei/pi=1⇔Σki=1だから結局条件はどれか一個がei=piで残りは0。
576:１３２人目の素数さん
20/01/13 10:27:38.87 2k69YQBB.net
短い解答で
577:素晴らしいです 俺の書いた証明ではn =p^i*m(i=ord_p(n))とおいて証明するものでした 今考えてる問題は(n')'=nなるnが存在しないだろうというものですが、まだ証明できてません
578:１３２人目の素数さん
20/01/13 10:36:21.38 iOqXqrdi.net
>>525
>515の証明で完結ってこと？
579:１３２人目の素数さん
20/01/13 13:03:18.57 1fFyeDqE.net
>>539
３進法で表した時に各桁に0,1のみが出現し,なおかつ11桁以内になるような正の整数全体からなる集合をTとおく.
Tの元で最大のものは (3^11-1)/2=88573 だから 100000 を越さない.
Tの元の個数は 2^11-1=2047.
Tの三つの元 a,b,c がこの順で等差数列となるための条件である a+c=2b を満たすならば,
a+cの各桁が0または2となるためにはaとcの各桁が等しくならなければならないため,a=b=c.
以上より,Tから異なる2020個の整数を任意にとればそれが問題の条件を満たす.
580:イナ
20/01/13 15:39:14.02 PsQ8IZ2e.net
前>>540
>>542ありがとう。
sqrtはsquare rootの略、つまり平方根、√ですね？
ゆっくり=計算過程を示しながら
という意味なのに。
わざとですか。
考えろと。
581:１３２人目の素数さん
20/01/13 16:03:19.21 w0YO7O9z.net
平面上に、どの3点も同一直線上にないようにn個の点を配置するとき、それらの中の5点を頂点とする凸五角形が少なくとも1つ存在するためのnの最小値を求めよ。
例、n=6のとき
・ ・
・・
・ ・
のように配置すると、どこにも凸五角形ができないので、n=6は不適。
582:１３２人目の素数さん
20/01/13 16:20:21.31 I6P4Dv0P.net
エレガントな解答求むに出てきた÷配置だとどんな5点取ってきても凸五角形なんか出てこない希ガス。
583:１３２人目の素数さん
20/01/13 16:24:04.93 I6P4Dv0P.net
あ、どの三点も直線上に乗ってはいけないのか。
スマヌ
584:１３２人目の素数さん
20/01/13 16:27:16.92 SVhkrVyH.net
>>539
数字が重複してもいいとして３０個の場合は
> a
[1] 1 1 2 2 4 4 5 5 10 10 11 11 13 13 14 14 28 28 29 29 31 31 32 32 37 37 38 38 40
585:１３２人目の素数さん
20/01/13 17:25:10.51 2k69YQBB.net
>>548
追記
n≠n'でありn''=nとなるnは存在しないという問題です
586:１３２人目の素数さん
20/01/13 17:37:43.60 SVhkrVyH.net
>>550
お見事です。
Tの最初と最後を２０個ずつ表示させてみました。
> head(T,20)
[1] 1 3 4 9 10 12 13 27 28 30 31 36 37 39 40 81 82 84 85 90
> tail(T,20)
[1] 88488 88489 88491 88492 88533 88534 88536 88537 88542 88543 88545 88546 88560
[14] 88561 88563 88564 88569 88570 88572 88573
587:イナ
20/01/13 17:40:06.30 PsQ8IZ2e.net
前>>551
>>542
a=√(4-4t+3t^2)/1-t+t^2
=√(4-4t+3t^2)×{1/(1-t+t^2)}
aを√(4-4t+3t^2)と1/(1-t+t^2)の積とみなして微分すると、
a'={(6t-4)/2√(4-4t+3t^2)}(1-t+t^2)+{√(4-4t+3t^2)}(2t-1)
={(3t-2)/√(4-4t+3t^2)}(1-t+t^2)+{√(4-4t+3t^2)}(2t-1)
={(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)+(4-4t+3t^2)(2t-1)/√(4-4t+3t^2)
a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)+(4-4t+3t^2)(2t-1)
=3t(1-t+t^2)-(1-t+t^2)+(2t(4-4t+3t^2)-(4-4t+3t^2)
=3t-3t^2+3t^3-1+t-t^2+8t-8t^2+6t^3-4+4t-3t^2
=9t^3-15t^2+16t-5
=0 計算間違いでしょうか？
588:１３２人目の素数さん
20/01/13 17:51:36.27 pG67RgCp.net
URLﾘﾝｸ(www.openproblemgarden.org)
平面上でgeneral position（どの三点も同一直線上にない配置）にある 2^(n-2)+1 個の点から
適切に n 個を選んで凸 n 角形の頂点にすることが必ずできる、という予想があるそうで、
n≦5 の場合は全て証明されているらしい
589:１３２人目の素数さん
20/01/13 17:54:25.03 I6P4Dv0P.net
>>558
(1/(1-t+t^2))'
590:イナ
20/01/13 18:17:37.74 PsQ8IZ2e.net
前>>558
591:訂正。 a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2) =√(4-4t+3t^2)×{1/(1-t+t^2)} aを√(4-4t+3t^2)と1/(1-t+t^2)の積とみなして微分すると、 a'={(6t-4)/2√(4-4t+3t^2)}{1/(1-t+t^2)}+{-2(2t-1)√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)^2} =(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)-(4t-2)√(4-4t+3t^2) =(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2)/√(4-4t+3t^2) a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2) =3t(1-t+t^2)-2(1-t+t^2)-4t(4-4t+3t^2)-2(4-4t+3t^2) =3t-3t^2+3t^3-2+2t-2t^2-16t+16t^2-12t^3-8+8t-6t^2 =-9t^3-5t^2-3t-10 =0 は微妙でしょうか？
592:１３２人目の素数さん
20/01/13 18:26:29.70 I6P4Dv0P.net
>>396に答え載ってるやん
593:１３２人目の素数さん
20/01/13 18:32:16.51 I6P4Dv0P.net
(1/(1-t+t^2)'も違うし。
計算が雑い
594:イナ
20/01/13 18:36:53.63 PsQ8IZ2e.net
前>>561
>>562載ってるのは知ってる。>>396と係数が微妙に違うんだよ。
a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)
=√(4-4t+3t^2)×{1/(1-t+t^2)}
aを√(4-4t+3t^2)と1/(1-t+t^2)の積とみなして微分すると、
a'={(6t-4)/2√(4-4t+3t^2)}{1/(1-t+t^2)}+{-2(2t-1)√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)^2}
=(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)-(4t-2)√(4-4t+3t^2)
=(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2)/√(4-4t+3t^2)
a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2)
=3t(1-t+t^2)-2(1-t+t^2)-4t(4-4t+3t^2)+2(4-4t+3t^2)
=3t-3t^2+3t^3-2+2t-2t^2-16t+16t^2-12t^3+8-8t+6t^2
=-9t^3+17t^2-3t+6
=0
595:１３２人目の素数さん
20/01/13 19:35:03.21 SVhkrVyH.net
>>551
Wolframの step by stepから
Possible derivation:
d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)/(1 - t + t^2))
Use the quotient rule, d/dt(u/v) = (v ( du)/( dt) - u ( dv)/( dt))/v^2, where u = sqrt(3 t^2 - 4 t + 4) and v = t^2 - t + 1:
= (-sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (d/dt(1 - t + t^2)) + (1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))))/(1 - t + t^2)^2
Differentiate the sum term by term and factor out constants:
= ((1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))) - d/dt(1) - d/dt(t) + d/dt(t^2) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))/(1 - t + t^2)^2
The derivative of 1 is zero:
= ((1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))) - sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (-(d/dt(t)) + d/dt(t^2) + 0))/(1 - t + t^2)^2
Simplify the expression:
= (-sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (-(d/dt(t)) + d/dt(t^2)) + (1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))))/(1 - t + t^2)^2
The derivative of t is 1:
= ((1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))) - sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (d/dt(t^2) - 1))/(1 - t + t^2)^2
Use the power rule, d/dt(t^n) = n t^(n - 1), where n = 2.
d/dt(t^2) = 2 t:
= ((1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))) - sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (-1 + 2 t))/(1 - t + t^2)^2
Using the chain rule, d/dt(sqrt(3 t^2 - 4 t + 4)) = ( dsqrt(u))/( du) ( du)/( dt), where u = 3 t^2 - 4 t + 4 and d/( du)(sqrt(u)) = 1/(2 sqrt(u)):
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + (1 - t + t^2) (d/dt(4 - 4 t + 3 t^2))/(2 sqrt(3 t^2 - 4 t + 4)))/(1 - t + t^2)^2
Differentiate the sum term by term and factor out constants:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + d/dt(4) - 4 d/dt(t) + 3 d/dt(t^2) (1 - t + t^2)/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
The derivative of 4 is zero:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + ((1 - t + t^2) (-4 (d/dt(t)) + 3 (d/dt(t^2)) + 0))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
Simplify the expression:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + ((1 - t + t^2) (-4 (d/dt(t)) + 3 (d/dt(t^2))))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
The derivative of t is 1:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + ((1 - t + t^2) (3 (d/dt(t^2)) - 1 4))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
Use the power rule, d/dt(t^n) = n t^(n - 1), where n = 2.
d/dt(t^2) = 2 t:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + ((1 - t + t^2) (-4 + 3 2 t))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
Simplify the expression:
= (((-4 + 6 t) (1 - t + t^2))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)) - (-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))/(1 - t + t^2)^2
Simplify the expression:
Answer: |
| = (2 - 7 t + 6 t^2 - 3 t^3)/((1 - t + t^2)^2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))
596:イナ
20/01/13 19:48:17.04 PsQ8IZ2e.net
前>>564訂正。
1/(1-t+t^2)の微分が違うからか。
a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)
=√(4-4t+3t^2)×{1/(1-t+t^2)}
aを√(4-4t+3t^2)と1/(1-t+t^2)の積とみなして微分すると、
a'={(6t-4)/2√(4-4t+3t^2)}{1/(1-t+t^2)}+{-2(2t-1)√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)^2}
通分して整理すると、
=(3t-2)(1-t+t^2)^3/(1-t+t^2)^2√(4-4t+3t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)^2√(4-4t+3t^2)
a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)^3-(4t-2)(4-4t+3t^2)
=3t(1-3t+6t^2-7t^3+6t^4-3t^5+t^6)-2(1-3t+6t^2-7t^3+6t^4-3t^5+t^6)-4t(4-4t+3t^2)+2(4-4t+3t^2)
=3t-9t^2+18t^3-21t^4+18t^5-9t^6+3t^7
-2+3t-12t^2+14t^3-12t^4+6t^5-2t^6
-16t+16t^2-12t^3
+8-8t+6t^2
=3t^7-11t^6+24t^5-33t^4+20t^3+t^2-18t+6
=0
七次方程式は五次以上の方程式に公式が存在しないことが証明されているので解けない。
なんで3t^3-6t^2+7t-2になるんだろう？ ウルフマンはちゃんと通分したのか？
597:イナ
20/01/13 23:29:12.68 PsQ8IZ2e.net
前>>566訂正。
a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)-2(2t-1)(4-4t+3t^2)
=3t(1-t+t^2)-2(1-t+t^2)-4t(4-4t+3t^2)+2(4-4t+3t^2)
=3t-3t^2+3t^3-2+2t-2t^2-16t+16t^2-12t^3+8-8t+6t^2
=3t^3-5t^2+5t-2
-12t^3+22t^2-24t+8
=-9t^3+17t^2-19t+6
=0
9t^3-17t^2+19t-6=0
係数が違う。それらしい係数が出て、カルダノの公式に入れて出したところでtの値は半端だし、方針を変えよう。
半径1の円を正四面体の頂点Aに当て、輪っかをずらしていき、人体で認識しうるaの最大値を出す。
t=2/5とすると、
AP=a(1-2/5+4/25)
=a√19/5
PH=a(2/5)/2=a/5
1+√(1-a^2/25)=√(19a^2/25-a^2/25=√18a^2/25=3a√2/5
辺々二乗し、
1+√(1-a^2/25)+1-a^2/25=18a^2/25
2+2√(1-a^2/25)=18a^2/25+a^2/25
19a^2/25-2=2√(1-a^2/25)
辺々二乗し、
361a^4/625-76a^2/25=4(1-a^2/25)
361a^2=25(76-4)
19a=5√72
a=30√2/19=2.23296878……
ここまで0.233に肉迫すればじゅうぶんだろう。
598:１３２人目の素数さん
20/01/14 06:21:02 2Icq7eCW.net
1≦a_1＜a_2＜…＜a_2020≦4035を�
599:ﾝたす自然数a_1,a_2,…,a_2020を考える。 このとき、a_i + a_j = a_k + a_l = a_mをみたす相異なる整数i,j,k,l,mが存在することを証明せよ。
600:１３２人目の素数さん
20/01/14 08:22:20 Kk48Gk/U.net
>>553
大きさ１の正方形に５点を一様分布で乱数発生させて凸の五角形ができる頻度を１００万回のシミュレーションでだしてみたら。
> mean(cvx5)
[1] 0.270576
になった。理論値は達人にお任せ。
尚、頂点のなる任意の３点を結ぶ三角形の内部に他の頂点が存在しない場合を凸と判定した。
601:１３２人目の素数さん
20/01/14 09:02:40.16 ITApl1nr.net
その数値と>>552の問題になんか関係あるの？
その頻度が計算できたら>>552の答えが出る理屈がよくわからん。
602:１３２人目の素数さん
20/01/14 09:09:37.86 ITApl1nr.net
もしかして正方形とその内部の5点で凸五角形を含む割合の事？
もしそうなら>>559の情報と矛盾するじゃん？
>>559が正しいなら確率1で凸五角形を持つハズだけど？
603:１３２人目の素数さん
20/01/14 09:15:51.55 ITApl1nr.net
もしかして内部の5点だけが凸五角形になる割合？
そんなもん計算してなんになるの？
>>559が正しいか否かの検証になんかならんでしょ？
604:１３２人目の素数さん
20/01/14 11:26:53 Kk48Gk/U.net
>>572
>553 へのレスだよ。
n=8で凸五角形ができない配置。
> seek.concave.int(8)
[1] 0+ 0i 300+407i 8+456i 60+ 93i 257+363i 220+383i 99+265i 165+328i
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
605:１３２人目の素数さん
20/01/14 11:31:01 Kk48Gk/U.net
>>572
ダーツでもやって、凹凸のどちらになるか、
賭けをするなら、シミュレーション結果を知っていた方が有利だな。
606:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:21:38 AvyFXAVj.net
>>553
は内点がある対角線に並ぶ配置でますます関係ないじゃん？
607:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:30:40 Kk48Gk/U.net
>>572
こういう問題にしてみると、楽しいから。
１００万を持っているチンパンジーと賭けをする
壁に向かって目をつむって無作為にダーツ矢を６本投げる。
・ ・
・・
・ ・
の配置のように、どの５点を選んでも凸五角形ができない場合はチンパンジーの勝ちであなたは掛け金を全て失う。
凸五角形ができる５店を選べる配置ならチンパンジーから１００万円がもらえる。
掛け金がいくらまでなら有利な賭けといえるか？
608:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:32:00 Kk48Gk/U.net
凸五角形ができる５店を選べる配置ならチンパンジーから１００万円がもらえる。
↓
凸五角形ができる５点を選べる配置ならチンパンジーから１００万円がもらえる。
609:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:35:12 Kk48Gk/U.net
肉迫は正しくは肉薄
東大を目指す受験生から教わった。
610:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:36:22 HETN1jKh.net
>>552
反例が1つも無い最小のnということね
n=7も正三角形の中に正方形を
平行する2辺を伸ばした直線間に3角形の頂点が来ないような配置で
反例になってると思うからn>7
611:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:40:34 HETN1jKh.net
回の配置だと8でもダメ
612:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:42:50 HETN1jKh.net
対角線が一致しないようにチョットずらして
613:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:44:08 Kk48Gk/U.net
>>579
n>8は確認できた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
小数だと見にくいので整数になる８点を探索させた。
複素平面での値は
> seek.concave.int(8)
[1] 0+ 0i 345+358i 165+362i 58+ 82i 460+ 16i 264+130i 334+342i 238+345i
614:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:44:17 HETN1jKh.net
あーずらすとダメか
615:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:46:44 HETN1jKh.net
回の外の口を横に縮めて目に近くしたら反例になるから
やっぱりn>8
616:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:49:28 HETN1jKh.net
5角形ということで外郭は三角形か四角形かしかないわけだし
四角形2つの入れ子が反例になるのが最後じゃないかな
たぶんn=9
617:１３２人目の素数さん
20/01/14 12:54:41 HETN1jKh.net
さて証明はどうしよう
おそらく引き出し論法使うんだろうって気がするけど
見込み角の選択をどう表現するかな
618:１３２人目の素数さん
20/01/14 13:59:22.56 Kk48Gk/U.net
>>585
俺もその予感。
n=9だとシミュレーションプログラムがwhileループから抜け出せない。
プログラムのバグで抜け出せない可能性もあるけど、n=8までは上手くいった。
>見込み角の選択をどう表現するかな
シミュレーションだと外積つかって点が三角形の内部にあるかどうか判断した。
619:１３２人目の素数さん
20/01/14 15:11:49 HETN1jKh.net
９点をすべて含む凸領域の共通部分を考えると
点のうちいくつかを頂点として持つ凸多角形となることはすぐ証明できるはず
それらの点を最外殻と呼ぶことにしよう
とするとその凸多角形が5角形であればだめだから
最外殻は四角形か三角形
それを取り除くと内部に残るもので同様に考えて最外殻は四角形か三角形
それも取り除くと内部には・・・
四角形が四角形を含み内部に1点
四角形が三角形を含み内部に2点
三角形が四角形を含み内部に2点
三角形が三角形を含み内部に三角形
の4パターンしかない
620:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/14 16:54:16 +pxsRseD.net
>>578俺の辞書には肉薄と出てた。肉薄の説明の中に肉迫と書いてあったからどっちでもいいとわかった。肉がうすいより肉に迫るほうが勢いあっていい。
/∥__∥∩∩］∥ |ﾟ○。
|∩∩（(-｡-)｡∥ ∩∩ ﾟ
( (`)(っ[￣]∥(`) )ﾟ
(￣￣)「￣￣]∥(_υ_)~
(__)_∩∩UU□∥∩∩~ ~
~ ~~(____)~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~前>>567
621:１３２人目の素数さん
20/01/14 17:51:16 Kk48Gk/U.net
>>589
俺が高校生の頃は肉迫は不正解だったなぁ。
試験に出る英単語 という本には constructの対義語はdestroy
destructとなんて単語は存在しないと書かれていたけど
今じゃ、起爆装置detonatorでロケットとかを爆破するときはdestructが使われる。
622:１３２人目の素数さん
20/01/14 18:01:31 ITApl1nr.net
>>568
M=a_2020、S={a_1,‥}とおく。
(i)M:oddのとき。
和がMになる組み合わせ(1,M-1),‥,((M-1)/2,(M+1)/2)の中の高々ひと組みしか両方Sに属するものがないとSの元数は高々(M-1)/2+1+1=(M+3)/2≦2019となり#S=2020に矛盾する。
∴ 上記ペア中２組以上が共にSに属する。
(i)M:evenのとき。
和がMになる組み合わせ(1,M-1),‥,(M/2-1,M/2+1)の中の高々ひと組みしか両方Sに属するものがないとSの元数は高々M/2-1+3=(M+4)/2≦2019となり#S=2020に矛盾する。
∴ 上記ペア中２組以上が共にSに属する。
623:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/14 19:11:26 +pxsRseD.net
前>>589
>>590デストロイといえば仮面ライダーV3の敵は地獄のデストロン。原案によるとデストロイヤーになってたかもしれなんだって今知った。
624:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/14 21:23:57 +pxsRseD.net
前>>592
>>565をなんとか解読しないな。なんとか解読できないものか。
625:１３２人目の素数さん
20/01/14 22:23:15.37 Kbe89GpS.net
ヒント
答えが
(2 - 7 t + 6 t^2 - 3 t^3)/((1 - t + t^2)^2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))
なのでt=0のとき2/√2、t=1のとき-2/√3など計算しやすい値を自分の計算結果に入れてみて検算していけばどこで間違ったか見つけられる。
626:１３２人目の素数さん
20/01/14 22:44:25 kjiwvSoy.net
>>593
(√f)/g の微分 ただし、f=3x^2-4x+4、g=x^2-x+1
((√f)/g
627:)' ={(√f)’*g-(√f)*g’}/g^2 ={(1/2)(1/√f)*f’*g-(√f)*g’}/g^2 ={(1/2)*f’*g-f*g’}/{g^2*√f} ={(1/2)*(6x-4)*(x^2-x+1)-(3x^2-4x+4)*(2x-1)}/{(x^2-x+1)^2*√(3x^2-4x+4)} ={(3x-2)*(x^2-x+1)-(3x^2-4x+4)*(2x-1)}/{(x^2-x+1)^2*√(3x^2-4x+4)} ={(3x^3-5x^2+5x-2)-(6x^3-11x^2+12x-4)}/{(x^2-x+1)^2*√(3x^2-4x+4)} ={-3x^3+6x^2-7x+2}/{(x^2-x+1)^2*√(3x^2-4x+4)}
628:１３２人目の素数さん
20/01/14 23:48:24.90 Kk48Gk/U.net
>>593
ここにはプレーンテキストでしか貼れないけど
Wolframのサイトだと√とか読みやすいから、Wolframのサイトで解読した方が良いのではと思う。
629:１３２人目の素数さん
20/01/15 00:19:46.03 jJaC6yxD.net
>>559
へぇー
すごいなあ
630:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/15 02:17:16 eGPXp69J.net
前>>593
>>595
√f'gのほうはあってる。
√fg'のほうに疑問が2つある。
1つは√fとgに分け、gを1/√の形ととらえたことで、前微分×後+前×後微分にしたはずなのに真ん中の符号が-であること。
もう1つはgが(-1)乗で、微分すると-2倍の-2乗になるはずなのに(-2)が掛かってないこと。
計算結果が違うのに、いくら簡単な数字を代入しようとも、値が異なるのは当然です。
631:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/15 02:29:33 eGPXp69J.net
前>>598あ、わかったかも。
gを1/√の形ととらえたことで、微分したg'は(-1)が掛かって真ん中の符号が-になるんだ。
あとはなんで(-1)乗を微分して(-2)が掛かってないかだ。
前半は(3x-2)が因数だけども、後半は符号はともかくとして、因数の(2x-1)が(4x-2)になるんじゃないかと思った。
632:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/15 02:35:25 eGPXp69J.net
前>>599
>>598後半もわかった。
-1乗を微分すると-1が掛かって-2乗になるわ。
x^3を微分すると3x^2だわ。
解決を見ました。
633:１３２人目の素数さん
20/01/15 02:44:36 tC7vGnci.net
三角形付け足して作っていったらいいんじゃねと思ったけど
違うわな
634:１３２人目の素数さん
20/01/15 04:11:02.51 V75Cib9r.net
円に内接する凸n角形(n≧4)を、1つの頂点からn-3本の対角線を引くことによって、n-2個の三角形に分割する。
このとき、各三角形の内接円の半径の和は分割の仕方に関係なく一定であることを示せ。
635:イナ
20/01/15 06:00:30.78 eGPXp69J.net
ポッと入れてパッと出るもんじゃねえんだな、
~∩∩前>>600 ∩∩
(-.-))カルダノ (`) )
[￣]_) って。 U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ(γ)
＿＿/＼/,,(`.`))⌒ﾞ,|
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U⌒U､___／| |
□ | ∥~U~U~￣∥ | /
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_______∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣
636:１３２人目の素数さん
20/01/15 08:21:07.91 0Yai4QdM.net
(√f)/g の最大値を求めたいなら、 f/gg の最大値を求めて平方根とればいいんぢゃね？
0 = 2{(√f)/g}(d/dx){(√f)/g} = (d/dx)(f/gg),
637:１３２人目の素数さん
20/01/15 12:39:31.69 pa0Zl04A.net
>>602
四角形の場合に示せば十分である。
半径を1の円に四角形ABCDが内接するとしてAB,BC,CD,DAの円周角をx,y,z,wとする。
△ABCの内接円の半径は
4sin(x/2)sin(y/2)sin((π-x-y)/2)=cosx+cosy-1-cos(x+y)。
よって△ABCと△CDAの内接円の半径の和はx+y+z+w=πによりcosx+cosy+cosz+cosw-2。
内接円の半径の公式
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
638:１３２人目の素数さん
20/01/15 13:07:30.27 Y/R0zC7W.net
そうか、書いた後気づいたけど各辺の円周角をxiとすると
Σ内接円の半径 / 外接円の半径 = Σcos xi-n+2
になるのか。
美しいな。
639:１３２人目の素数さん
20/01/15 15:05:45 l229ykjv.net
>>602
いつものようにシミュレーションプログラムで確認してみた
"
円に内接する凸n角形(n≧4)を、1つの頂点からn-3本の対角線を引くことによって、n-2個の三角形に分割する。
このとき、各三角形の内接円の半径の和は分割の仕方に関係なく一定であることを示せ。
"
sim <- function(n,r=1){
th=c(0,sort(runif(n-1,0,2*pi))) # n角形の偏角θ(th)を[0,2π]で乱数発生させてソートして並べる
p2d=function(x) r*(cos(x)+1i*sin(x)) # 極形式を複素数に
c2r <- function(v1,v2,v3){ # complex number to radius of inscribed circle
a=abs(v1-v2);b=abs(v2-v3);c=abs(v3-v1) # 複素数間の距離を公式にいれる
s=(a+b+c)/2
S=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) # 面積:ヘロンの公式
return(S/s) # 公式 r = 2*S/(a+b+c): 内接円の半径
}
ver=p2d(th) # vertex(複素数表示)
sor=numeric(n) # sum of raius of inscribed circle 頂点ver[i]からの対角線で分割した時
z2n <- function(x,m=n) ifelse(x%%m,x%%m,m) # ｎ系の剰余０のとき n を返す
for(i in 1:n){
for(j in 1:(n-2)){
sor[i]=sor[i] + c2r(ver[z2n(i)],ver[z2n(i+j)],ver[z2n(i+j+1)])
}
}
return(sor)
}
sim(100)
640:１３２人目の素数さん
20/01/15 15:06:52 l229ykjv.net
百角形での結果（まぁ、当然といえば当然。
> sim(100)
[1] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[12] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[23] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[34] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[45] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[56] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[67] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[78] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[89] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[100] 1.914977
>
641:１３２人目の素数さん
20/01/15 15:27:20 l229ykjv.net
何の役にたつかはわからんが、
せっかくシミュレーションプログラムを作ったので正方形から５００角形までの分割三角内接円半径総和をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ある値に向かって収束しているみたいだな。
これは答のある問題ではありませんので、実務家の俺に解説や理論を求めてはなりませんｗｗｗ
642:１３２人目の素数さん
20/01/15 15:39:41 l229ykjv.net
>>609
１０万角形だと
> Soric(100000)
[1] 1.999902
２に収束するようにみえるなぁ。
643:１３２人目の素数さん
20/01/15 15:41:17 GJSc+40l.net
何コレ？
内接円の半径の総和が、nのみによって決まるわけないじゃん？
644:１３２人目の素数さん
20/01/15 16:40:13.62 KbwiaZJW.net
>>602
問題がおかしくないか？
>> 円に内接する凸n角形(n≧4)を、1つの頂点からn-3本の対角線を引くことによって、n-2個の三角形に分割する。
>> このとき、各三角形の内接円の半径の和は分割の仕方に関係なく一定であることを示せ。
「分割の仕方に関係なく一定」と書かれているが、
「1つの頂点からn-3本の対角線を引くことによって、n-2個の三角形に分割する」という操作は、ユニークに定まる。
「分割の仕方」は関与し得ない。
従って、本来の問題の意図は、「円に内接する凸n角形(n≧4)を、n-3本の交わらない対角線を引いてn-2個の三角形に分割する」
ではないのか？ それならば、「分割の仕方」が関与し得る。
カタラン数C[n-2]=(2n-4)!/{(n-2)!(n-1)!}通りの分割方法があるが、そのどの分割であっても、
一定値になる、ということの証明が求められているのでは？
いずれにしろ、>>605 でほとんど解決(もう一言二言、補足があった方がよいとは思う)していることには、間違いない。
645:１３２人目の素数さん
20/01/15 16:52:44 l229ykjv.net
>>611
ｎ→∞で２に収束する予感
646:１３２人目の素数さん
20/01/15 16:54:32 l229ykjv.net
>>612
どの頂点をつかって分割しても内接円半径の総和は一定という意味と理解したんだが。
647:１３２人目の素数さん
20/01/15 16:57:42 k/Eco663.net
>>614
そんなわけないやん？
n=3で考えたらわかる。
半径1の円に内接する三角形の内接円の半径が一定なわけないでしょ？
648:１３２人目の素数さん
20/01/15 17:08:10 l229ykjv.net
>>615
ある一つの多角形について、どの頂点を使って分割してもその多角形については内接半径の総和は一定ということじゃないの？
649:１３２人目の素数さん
20/01/15 17:15:30 k/Eco663.net
>>616
既に指摘されてる通り問題文には誤りがあるけど、エスパーすると
半径の総和は多角形のみによって決まり、分割の仕方にはよらない。
だと思う。
もちろん多角形の取り
650:方には依存し、nだけで決まるなどという事があるハズはない。
651:１３２人目の素数さん
20/01/15 18:35:33 l229ykjv.net
>>617
一様分布で乱数発生させたから、ｎを無限大にしていくと収束するように見えたんだろうな。
652:１３２人目の素数さん
20/01/15 20:06:14 l229ykjv.net
>>605
すいません。
＞四角形の場合に示せば十分である。
というのは何故なんでしょうか？
653:１３２人目の素数さん
20/01/15 21:14:20 VFF1h4ZA.net
>>619
まぁもうすでに>>606で一歩先ゆく方針が出てるから今更になるけど。
四角形の場合に示せたとする。
以下を示せばよい。
頂点Aを任意に選ぶとき、任意の分割の時の値は全ての対角線の一端がAである分割の時の値に等しい。
n=4では示せている。
n<Nで示せたとしてn=Nのときを考える。
分割に用いた対角線の中にABが入っているときはABで分けた各々について帰納法の仮定を用いてよい。
そうでないときを考える。
分割の中で用いられている対角線CDをとる。
ただしCDで分けた二つの多角形のうちAを含む側は四角形以上とする。
(n≧5のとき分割で３つ以上の三角形が出てくるからそのようなCDは必ずとれる)
CDで分けられた２つの多角形に対して帰納法の仮定を用いることにより、CDで分けられた内、Aを含む側の分割の対角線は全て一端がAとしてよい。
その中にはAを一端とする対角線が少なくとも一つは出てくるのですでに示された場合に帰着できた。□
654:１３２人目の素数さん
20/01/15 22:24:13 VFF1h4ZA.net
>>606の方針による別解。
多角形の各辺の円周角をxi、外接円の半径を1とするとき
Σ内接円の半径=Σcos xi - n +2
を帰納法で示す。
n=3のとき各辺の円周角とはすなわち対角であり、この場合
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
などにより
r=4sin(x1/2)sin(x2/2)sin(x3/2)
であるから、積和公式を2回用いて主張を得る。
n<Nで示せたとしてn=Nとする。
与えられた分割に対して、その中で用いられている対角線ABをとる。
ABによって多角形がk角形とl角形に分かれたとする。
k角形の方に出てくる円周角をABに対するyとそれ以外のyp、l角形の方に出てくる円周角をABに対するzとそれ以外のzqとする。
帰納法の仮定により
Σk角形の側の半径の和=cos y + Σcos yp - k +2,
Σl角形の側の半径の和=cos z + Σcos zq - l + 2。
辺々足してk+l=n+2とy+z=πを用いて主張を得る。□
こちらの方が良い気がする。
655:イナ
20/01/15 23:44:53.30 eGPXp69J.net
前>>603
>>602
四角形ABCDに対角線ACを引き、
△ABCの内接円の半径をr,△CDAの内接円の半径をRとすると、
四角形ABCDの面積=(AB+BC)r/2+(CD+DA)R/2
四角形ABCDに対角線BDを引き、
△BCDの内接円の半径をя,△DABの内接円の半径を㌃とすると、
四角形ABCDの面積=(BC+CD)я/2+(DA+AB)㌃/2
BCとこれに垂直な半径rとの接点をE,CDとこれに垂直な半径Rとの接点をFとすると、
四角形ABCD=AC(r+R)+BEr+FDR
CDとこれに垂直な半径Rとの接点をG,DAとこれに垂直な半径㌃との接点Hとすると、
四角形ABCD=BD(я+㌃)+CDя+DA㌃
お膳立ては完璧。
あとはうまく消去して、
r+R=я+㌃を示す。
656:１３２人目の素数さん
20/01/16 05:35:20.59 aOBtX3Rl.net
3本の平行線が与えられているとき、各平行線上に各頂点があるような正三角形を定規とコンパスを使って作図する方法を説明せよ。
657:１３２人目の素数さん
20/01/16 06:34:28.03 07zfQGLo.net
>>620
解説ありがとうございました。
658:１３２人目の素数さん
20/01/16 08:04:16.33 552XyIPx.net
密度が一定の球形の惑星がある。
この惑星の表面点Pでの重力を最大にするために
体積と密度一定の条件で惑星の形を変形する。
点Pでの重力は球形のときの最大何倍になるか。
またこのときの惑星の形はどうなるか。
659:１３２人目の素数さん
20/01/16 09:03:43.37 ALo92Jf3.net
>>623
平行線を順にl,m,nとし、巾の比をa:bとする。
正三角形ABCを作図し、辺ABをa:bに内分する点Dを作図する。
(直線AB外の点XとAX:XY=a:bなるYをXが直線ABと重ならないようにと�
660:閨ABX//DYとなる点を作図すれば良い。) m上にC'D'をCD=C'D'となるようにとりB'をnの側に△B'C'D'が△BCDと合同になるようにとる。 直線B'D'とl,nの交点をA",B"とすればA"とB"を一辺とする正三角形の一方が求めるもの。
661:１３２人目の素数さん
20/01/16 09:21:53 YUeZdYQq.net
>>626
>正三角形ABCを作図し、辺ABをa:bに内分する点Dを作図する。
>(直線AB外の点XとAX:XY=a:bなるYをXが直線ABと重ならないようにとり、BX//DYとなる点を作図すれば良い。)
平行線の垂線の垂直二等分線で正三角形作れば良いじゃん
662:１３２人目の素数さん
20/01/16 09:39:28 PPdqHAdt.net
>>627
だな。
l,n上にABを好きにとればよかった。
663:１３２人目の素数さん
20/01/16 09:40:02 YUeZdYQq.net
定規とコンパスである2点間の長さを半径とする円をその2点とは別の点を中心に描くのは面倒くさい（幾何学原論ではコンパスは中心からある点までの距離を半径とする円を描けるだけで長さを保存して中心を移動させてはいけない）
664:１３２人目の素数さん
20/01/16 09:43:18 552XyIPx.net
>>623
中心の平行線をl、他の平行線をm,nとする。
l上に点Oを取り、O点を通りlとのなす角が60°,120°の直線p,qを引く。
直線pとmの交点をA、直線qとnの交点をBとすれば、AB=AC=BCとなるl上の点Cが取れる。
665:１３２人目の素数さん
20/01/16 09:45:23 2aq5oe6O.net
まぁもっと楽な方法があったら教えて下さい。
自分は解けたのでもう満足。
666:１３２人目の素数さん
20/01/16 12:17:23 /nA7kUIy.net
>>625
半円かな？
667:哀れな素人
20/01/16 12:50:07 7jomMr1V.net
>>602
とりあえず四角形の場合について初等幾何的に証明すると－
四辺をａ、ｂ、ｃ、ｄ、対角線をｅ、ｆ、内心半径をr1、r2、r3、r4とする。
ｅと、Aと二つの内心とCを結ぶ線で分けられる四つの図形の面積を
S1、S2、S3、S4とすると、S2+S3:S1+S4=2e:a+b+c+d
同様にfと、BとDを結ぶ線で分けられる四つの図形の面積を
S5、S6、S7、S8とすると、S6+S7:S5+S8=2f:a+b+c+d
ゆえにS2+S3:S6+S7=e:f
ところでS2+S3=e(r1+r2)、S6+S7=f(r3+r4)
ゆえにe(r1+r2):f(r3+r4)=e:f
ゆえにr1+r2=r3+r4
668:１３２人目の素数さん
20/01/16 13:37:53 /nA7kUIy.net
びっくりするくらいわからん
669:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/16 14:02:50 izvR1SI9.net
前>>622で言いたかったことをn≧4に拡張すると、
>>633そういうことです。
670:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/16 14:09:07 izvR1SI9.net
前>>635
拡張はしてないか。
四角形ABCDそのものか。
n=4のときどちらの対角線で分割しても内接円の半径の和が等しいことを示したかった。
671:１３２人目の素数さん
20/01/16 16:08:24 2LVdbF4s.net
>>633
S1、S2、S3、S4とすると、S2+S3:S1+S4=2e:a+b+c+d
これ内接円の半径等しいという仮定ないとダメなのでは？
672:哀れな素人
20/01/16 17:28:33.93 7jomMr1V.net
>>637
なるほど、うっかりしていた(笑
比の計算で、単純に足したり引いたりしてはいけない、
という基本的なことを忘れていた。
673:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/16 17:46:42 izvR1SI9.net
前>>636 なんだ6>>33は違うのか。
>>622まではいいと思う。
674:１３２人目の素数さん
20/01/16 22:56:53 aOBtX3Rl.net
床に描かれた、ある程度大きな円の円周上に人物Aがいて、円の中心に人物Bがいる。
さて、次のようなゲームをする。
●AはBを捕まえるのが目的。しかし、円周上しか動けない。
●BはAに捕まらずに円周に到着するのが目的。その際、円周に向かってまっすぐ走ってもいいし、途中で向きを変えてもいい。また、無意味な時間稼ぎはしない(スタート地点に何時間も動かずにいるetc.)。
【問題】AがBを捕まえるためには、Aの速度がBの速度の何倍以上でなければならないか。ただし、AとBの速度は一定とし、お互い最善を尽くすものとする。
【注】BがAのいる場所とは正反対の方向に向かってまっすぐ行くと、Bの移動距離は半径r、Aの移動距離は半円周πrなので、AはBのπ倍の速さで行くと、Bが円周に到着した瞬間にBを捕まえられてAの勝ち、π倍未満ならばBの勝ちとなるが、果たしてBのこの行動は最善なのか？
675:１３２人目の素数さん
20/01/16 23:35:32.99 l4Y8hLMv.net
>>625
等周問題の変形版だね
x^2+y^2+z^2-h^(4/3)*z^(2/3)=0 (hは高さ)
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
676:１３２人目の素数さん
20/01/16 23:37:04.96 l4Y8hLMv.net
>>625
重力は3*5^(1/3)/5=1.026倍
677:イナ
20/01/16 23:47:02.74 izvR1SI9.net
前>>639
>>640
A「(Cに)Bの野郎、最善尽くして右へ右へと逸れていきよる思うんよ」
B「(Aに)π倍の速さで走ればいいじゃねえか」
A「いや、それだと逃げられる。おめぇさんがまっすぐ走ってるあいだに、円周という拘束がある俺は、まっすぐ走ってるおめぇさんに対してr走ってから直角に曲がってπr走るようなもんだ」
Aの心の声「ピタゴラスの定理より、
√{r^2+(πr)^2}=r√(1+π^2)
つまりr(1+π)/r√(1+π^2)倍走らな追いつかん。
約分し、
(1+π)/√(1+π^2)
分母を有理化し」
∴(1+π)√(1+π^2)/(1+π^2)倍以上の速さで走ればいい。
678:１３２人目の素数さん
20/01/16 23:47:37.27 552XyIPx.net
>>641 >>642
正解です。
679:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/16 23:55:12 izvR1SI9.net
前>>643
(1+π)√(1+π^2)/(1+π^2)
=1.25620499……
1.256205倍なら追いつく。
680:１３２人目の素数さん
20/01/17 00:11:50 m+4frRir.net
>>641
kwsk
681:１３２人目の素数さん
20/01/17 00:23:11 gpQhzbqr.net
>>640
某サイトに答えあるの見つけた。
コピペするのもあれなのでROMします。