19/11/07 01:00:17.43 Y/OBnr/E.net
任意の二つの滑らかな閉曲面上には平行移動、回転をして一致するような閉曲線がそれぞれに描けることを示せ
38:１３２人目の素数さん
19/11/07 04:41:27.98 4wihb3iI.net
エジプト分数の流れで。
a[1] = 2
a[n+1] = a[1]a[2]…a[n] + 1
で数列{a[n]}を定める。
この時、
Σ[n=1 -> ∞]1/a[n]
を求めよ。
39:１３２人目の素数さん
19/11/07 07:25:27.89 BAmb8ZlC.net
>>35
特にないです。
勉強してたら、あ、計算できるなぁと気づいたので。
40:１３２人目の素数さん
19/11/07 07:32:31.81 gx63cLfB.net
>>36
曲面はどれくらいの事が仮定できるの？
ずらして重なり部分考えるんだろうけど、単に二次元連続多様体二つの重なり部分が閉曲線の和に必ずなるといえるとは思えない。
41:１３２人目の素数さん
19/11/07 07:39:21.08 szyT9SZm.net
>>38
あ、今思い出した。
∫1/(1-e cos x)^ dx
の話はケプラー問題とかBessel関数の勉強してた時に山ほどでてきてその時ちょっと勉強しました。
42:１３２人目の素数さん
19/11/07 07:42:17.91 CgdeEAVV.net
>>39
サードの定理みたいなの使うんじゃない？
43:１３２人目の素数さん
19/11/07 08:04:21.46 0nVSi3XG.net
>>37
Σ[k:1～n]1/ak=1-1/Π [k:1～n]ak
を示す。
n=1で容易。
n=Nで正しいとしてn=N+1のとき
Σ[k:1～n]1/ak
=1-1/Π [k:1～n-1]ak+1/an
=1-1/Π [k:1～n-1]ak+1/(Π [k:1～n-1]ak+1)
= 1-1/Π [k:1～n-1]ak(Π [k:1～n-1]ak+1)
= 1-1/Π [k:1～n]ak。
よって求める極限は1。
44:１３２人目の素数さん
19/11/07 08:06:42.74 SZS2eRbG.net
>>41
でもサードの定理にしたって可微分性くらいは仮定してるからなぁ。
単なる連続関数だけだと病的なのいくらでもあるから重なり部分が閉曲線の和になるとか簡単に示せるととても思えない。
45:１３２人目の素数さん
19/11/07 08:26:51.58 4wihb3iI.net
>>42
正解です
ちなみに有限項で止めるとn項で表せる1のもっとも良いエジプト分数近似となります
46:１３２人目の素数さん
19/11/07 08:38:37.89 3snBEz3A.net
>>37 より
a_{k+1} -1 = a_k (a_k -1),
1/a_k ＝ 1/(a_k -1) - 1/(a_{k+1} -1),
Σ[k=1,n] 1/a_k = 1/(a_1 -1) - 1/(a_{n+1} -1),
>>42 と同じだが。
47:１３２人目の素数さん
19/11/07 12:31:59.61 Y/OBnr/E.net
>>39
>>41
>>43
「滑らか」が曖昧でしたかね
C^∞を仮定してます
48:１３２人目の素数さん
19/11/07 18:07:27 3snBEz3A.net
>>32
|t| < 1 とする。
Σ[k=0,∞] c[-k] t^k = ∫[-π,π] 1/{1-t(1-e･cosθ)} dθ
= [ (2/√{(1-t)^2 -(et)^2})･arctan(√{(1-t+et)/(1-t-et)}･tan(θ/2)) ](θ=-π,π)
= 2π/√{(1-t)^2 -(et)^2},
c[1] = 2π/√(1-ee),
c[0] = c[-1] = 2π,
c[-2] = (2+ee)π,
c[-3] = (2+3ee)π,
49:１３２人目の素数さん
19/11/07 18:14:35.70 3snBEz3A.net
>>47
|t| < 1/(1+e) とする。
50:１３２人目の素数さん
19/11/07 21:13:55.50 3snBEz3A.net
>>26
例) x=1
自明な解
x = 1/1,
貪欲算法 (フィボナッチ=シルヴェスターのアルゴリズム) による解
x = 1/2 + 1/3 + 1/6,
分母が奇数のみで、項数が最小(9)の解 ････ 5通りある。
x = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/15 + 1/35 + 1/45 + 1/231,
分母が奇数のみで、最大分母が最小(105)の解
x = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/33 + 1/35 + 1/45 + 1/55 + 1/77 + 1/105,
51:１３２人目の素数さん
19/11/07 23:06:40.81 KpWRfrUW.net
>>46
閉曲面MがC^∞とはM自身C^∞級多様体で埋め込みもC^∞級というだけ？
次は仮定できる？
Mの任意の点PのR^3での近傍Uで定義された滑らかな関数fが存在して
M∩U = f^(-1)(0)
が成立する。
前者の条件満たすけど後者の条件は満たさない例があるので困ってるんだけど。
後者の条件満たさないで前者の条件しか満たさないやつだとかなり病的なやつが作れてしまう。
52:１３２人目の素数さん
19/11/08 08:02:57.85 PdVG1mv7.net
>>50
仮定は前半だけです
多様体としてC^∞かつ埋め込みもC^∞
53:１３２人目の素数さん
19/11/08 09:07:17.58 RtlcYsMo.net
>>51
見つけないといけない閉曲線はC^∞級でないこダメ？
単にS^1からの連続単射でおけ？
54:１３２人目の素数さん
19/11/08 09:35:11.78 fbf2/xk8.net
>>52
ジョルダン曲線で大丈夫です
55:１３２人目の素数さん
19/11/08 12:20:00.01 qTvh2ote.net
2*3*5*7*(1/2+1/3+1/5*1/7) mod (2*5*7) ＝４１
2*3*5*7*11*(1/2+1/11+1/5*1/7*1/3) mod (2*5*7*3) ＝１２７
2*3*5*7*11*(1/2+1/11*1/3+1/5*1/7) mod (2*5*7) ＝３１
2*3*5*7^4*11*(1/2+1/11*1/3+1/5*1/7^4) mod (2*5*7^4) ＝ １２０７１
2*3*5*7^6*11*(1/2+1/11*1/3+1/5*1/7^6) mod (2*5*7^6) ＝588311
56:１３２人目の素数さん
19/11/08 21:28:21.36 RtlcYsMo.net
>>53
ダメだ。
全くできる気がしないorz
ヒントおながいします。
57:１３２人目の素数さん
19/11/08 22:07:08.26 6rvqiE1B.net
>>55
ヒントはガウス曲率です
ガウス・ボネの定理から必ず閉曲面にはガウス曲率が正の部分が存在する
しかも一点ではなくてある近傍で正です
近傍のガウス曲率が真に0より大きければその断面は閉曲線です
58:１３２人目の素数さん
19/11/08 22:39:16.40 7UwiL3b0.net
あれ？でもC^∞しか仮定してないと計量の引き戻しが死んでしまうところが死ぬほどでてくるのでは？
例えば
f(x)=exp(-1/x) (x>0)
=0 (x=0)
=-exp(1/x) (x<0)
みたいな原点で何回微分しても0みたいな関数途中に通過させると像がとんがったトゲみたいなの持ってるやつとか作れちゃうけど。
そういうとこでは計量テンソル引き戻してきても死んでるので曲率もへったくれもない。
59:１３２人目の素数さん
19/11/08 23:04:41.02 cPgohsuu.net
例えば>>57のf(x)を使って
x=f(t)
y=|f(t)|
とかするとこれはR→R^2のC^∞埋め込みになってるけど像はy=|x|でとんがってしまう。
そのトンガリがRの方に伝わらないようにこういう細工ができてしまう。
ここでは計量の引き戻しが正定値はおろか完全に死んでしまう。
二次元多様体のR^3へのC^∞埋め込みでも同じくとげだらけの埋め込みができてしまう。
60:１３２人目の素数さん
19/11/08 23:55:55.58 Aft6+L/8.net
>>58
それ、埋め込みって言う？
61:１３２人目の素数さん
19/11/09 00:23:34 YvHvPTYX.net
>>59
今wikiでみてきたら可微分の埋め込みは誘導される微分も単射である事を要求するのね。
微分幾何の勉強たりてないからこんな要求あるの知らなかった。
1日悩んでしまった。
62:１３２人目の素数さん
19/11/09 00:35:59.60 YvHvPTYX.net
平行移動のやつ。
diagM=d(p,q)となるp,qをとり、z軸がpqに平行になるようにとり、p,qの近傍でMがz=f(x,y), z=g(x,y)となるようにとる。
p,qのxy座標は(0,0)として良い。
h=g-fの非臨界値cをg(0,0)-f(0,0)に十分近い値に取ればh^(-1)(c)のある連結成分Cが閉曲線となるようにとれる。
C1={(x,y,f(x,y))|(x,y)∈C}, C2={(x,y,g(c,y))|(x,y)∈C}
ととればコレが求める閉曲線である。
63:１３２人目の素数さん
19/11/09 00:47:36.99 ZUetUeSV.net
安藤美姫＜安藤なつ
64:１３２人目の素数さん
19/11/09 03:23:31.90 CBaggKI6.net
(1)複素関数fをf(z)=πcot(πz)/(1+z^4)とする
R>0に対して、
C_Rを複素平面上で中心0、半径Rの円周を反時計回りに周る経路とする
このとき、lim(R→0)∫_(C_R) f(z) dz=0を証明せよ
(2)級数Σ_(k=-∞,∞) 1/(1+k^4)を求めよ
65:１３２人目の素数さん
19/11/09 03:24:34.83 CBaggKI6.net
>>63
(1)訂正
lim(R→∞)∫_(C_R) f(z) dz=0
です
66:１３２人目の素数さん
19/11/09 09:13:59 czrA/bm0.net
(2)
S = Σ_(k=-∞,∞) 1/(1+k^4)
= (π/√2){[sinh(π√2) + sin(π√2)]/[cosh(π√2) - cos(π√2)]}
= 2.156955159334273676636044386491
ついでに
S = 2 + 2_(k=2,∞) 1/(1+k^4)
< 2Σ_(k=2,∞) 1/k^4
= 2ζ(4)
= (π^4)/45
= 2.164646467422276383032
67:１３２人目の素数さん
19/11/09 13:57:43.37 czrA/bm0.net
1/(1+k^4) > 1/[(k-1)k(k+1)(k+2)] = 1/[3(k-1)k(k+1)] - 1/[3k(k+1)(k+2)],
から
S = 2 + 2/17 + 1/41 + 2/257 + 2Σ_(k=5,∞) 1/(1+k^4)
> 2 + 2/17 + 1/41 + 2/257 + 1/180
= 2.15537496
1/(1+k^4) < 1/[(k-2)(k-1)k(k+1)] = 1/[3(k-2)(k-1)k] - 1/[3(k-1)k(k+1)],
から
S = 2 + 2/17 + 1/41 + 2/257 + 2Σ_(k=5,∞) 1/(1+k^4)
< 2 + 2/17 + 1/41 + 2/257 + 1/90
= 2.1609305
1/(1+k^4) < 1/{kk(kk-1/4)} = 4/(kk-1/4) - 4/kk = 4/(k-1/2) - 4/(k+1/2) - 4/kk,
から
S = 2 + 2/17 + 1/41 + 2Σ_(k=4,∞) 1/(1+k^4)
< 2 + 2/17 + 1/41 + 16/7 - 8Σ_(k=4,∞) 1/kk
= 2 + 2/17 + 1/41 + 16/7 - 8{ζ(2) -1 -1/4 -1/9}
= 2 + 2/17 + 1/41 + 16/7 + 10 - 4ππ/3
= 2.15716794
68:１３２人目の素数さん
19/11/09 14:38:20.95 czrA/bm0.net
S' = Σ_(k=-∞,∞) 1/(1+kk)
= (i/2)Σ_(k=-∞,∞) {1/(i+k) - 1/(-i+k)}
= (iπ/2){cot(iπ) - cot(-iπ)}
= (π/2){coth(π) - coth(-π)}
= π coth(π)
= 3.1533480949371623482681015895
1/(1+kk) < 1/(kk-1/4) = 1/[(k-1/2)(k+1/2)] = 1/(k-1/2) - 1/(k+1/2),
から
S' = 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2Σ_(k=5,∞) 1/(1+kk)
< 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2Σ_(k=5,∞) {1/(k-1/2) - 1/(k+1/2)}
= 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 4/9
= 3.1620915
1/(1+kk) > 1/[k(k+1)] = 1/k - 1/(k+1),
S' = 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2Σ_(k=5,∞) 1/(1+kk)
> 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2Σ_(k=5,∞) {1/k - 1/(k+1)}
= 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2/5
= 3 + 2/17
= 3.11764706
69:１３２人目の素数さん
19/11/09 18:01:10.06 YvHvPTYX.net
f(x)を既約なモニックな整形数の多項式とする。
素数pに対し
n(p)={n∈N | n≦p, f(n)≡0 (mod p)}
とおく。
この時
lim [N→∞] Σ[p≦N] f(p)/#{p | p≦N} = 1
を示せ。
70:１３２人目の素数さん
19/11/10 08:19:29.52 jpQpSQin.net
>>56
ガウス曲率使う解答キボン
71:１３２人目の素数さん
19/11/10 20:22:53.87 wqxJEGpb.net
京大の過去問
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
72:１３２人目の素数さん
19/11/10 21:33:24.19 alonVGiM.net
>>70
1っぽいな～
無限回試行した時を考えると明らかに1が高頻度で出る（2は1に加えて青が出なきゃいけないし、3は1に加えて赤が出なきゃいけない）
これを20回に制限したらさらに1が有利になるからどのみち1が答えかな
全然厳密じゃないけど…
73:１３２人目の素数さん
19/11/10 21:40:47.08 wqxJEGpb.net
いくら時間かけてもいいならなんでもないけど、一問30分前後の縛りがある受験問題と考えると難しいよね。
74:１３２人目の素数さん
19/11/10 23:13:45.44 8oxjVFWB.net
>>71
> 無限回試行した時を考えると明らかに1が高頻度で出る
続けたまえ
75:１３２人目の素数さん
19/11/10 23:25:15 5emsfhPR.net
>>73
無限回試行なら順番は関係ないでしょ？1はBRRRR、2はBRRRRB、3はBRRRRRとしていいから明らかに1が有利
76:１３２人目の素数さん
19/11/11 00:03:47 TMimDMKE.net
2,3は1を含むから1っしょ
77:１３２人目の素数さん
19/11/11 00:07:52 3cjPCRn4.net
2が1を含むのは許してもらえるだろうけど3が1を含むからってのは許してもらえないでしょうね。
78:１３２人目の素数さん
19/11/11 08:00:12.03 IYKDpocT.net
2は1より制限が厳しいことになるから明らかに1より起きにくい
1は青赤赤赤の前に赤、3は青赤赤赤の後ろに赤赤ってことだから3の方が制限が厳しいので3の方が起きにくい
一番起きやすいのは1
79:１３２人目の素数さん
19/11/11 08:40:05.45 tpYQ4yBO.net
>>77
答えは勘でも1と分かりますね。
私は別スレで話題になってた問題を引っ張ってきただけで採点基準もなんもわからないですが、それをスッキリ厳密に示しなさいでしょうね。
1と3の比較を厳密に書くのは案外ムズイ。
80:１３２人目の素数さん
19/11/11 08:59:52.03 IYKDpocT.net
青赤赤赤が出る確率を基準にして考えればいいんじゃないのかな
81:１３２人目の素数さん
19/11/11 09:12:21.75 glvPHZrP.net
∃i (xi～xi+3)=(brrr) ∧ (xi+4,xi+5)=(r,r)
と
∃i (xi～xi+3)=(brrr) ∧ xi-1=r
て∧の第二項の条件が第一項と独立でそれぞれ単純に1/9,1/3をかければいいだけならそれでいいでしょうけど独立ではないのでは？
多分許してもらえない。
82:１３２人目の素数さん
19/11/11 09:45:38.71 uIUz6082.net
>>70
サイコロ
正６面体のサイコロがある．
４面は青色、２面は赤色である．
このサイコロを合計20回振るとき、
最も起こりそうな順番はどれか？
１．赤 青 赤 赤 赤
２．青 赤 青 赤 赤 赤
３．青 赤 赤 赤 赤 赤
83:１３２人目の素数さん
19/11/11 11:21:33.40 uIUz6082.net
>>70
2．と 3．の６連（A)は、複数回現れる場合も重複しない。
６連Aを１回以上含む場合
配置： 15回から１つ選んでAとする。C[15,1] = 15 とおり
残った14回は任意 2^14 = 16384
84: とおり s1 + 2･s2 + 3･s3 = 15･16384 = 245760 6連Aを2回以上含む場合 配置： 10回から2つ選んでAとする。C[10,2] = 45 とおり 残った8回は任意 2^8 = 256 とおり s2 + 3･s3 = 45･256 = 11520 6連Aを3回含む場合 配置： 5回から3つ選んでAとする。C[5,3] = 10 とおり 残った2回は任意 2^2 = 4とおり s3 = 10 * 4 = 40, ∴ s1 + s2 + s3 = 234280 ∴ 2．の起こる確率、3．の起こる確率は (s1+s2+s3)/(2^20) = 0.223426818
85:１３２人目の素数さん
19/11/11 17:11:40 yca18fcB.net
赤青の並びが一度でも出ればそれ以降1は3に含まれる
86:１３２人目の素数さん
19/11/11 17:12:59 yca18fcB.net
違ったわ>>83は無視して
87:イナ
19/11/11 19:06:45.49 A6eOJbjN.net
前>>6
>>70
１と比べて、２は１が起こる前に2/6=1/3の確率で青が出んなんで、１より確率が低い。
３は赤が5回連続で出んなんで、途中に青を挟んでるぶん２より確率が低い。
∴起こりやすい順番は、
１＞２＞３
88:１３２人目の素数さん
19/11/11 21:02:02.77 GOsg6ma1.net
>>82
ちょっとミスあるけどほぼ正解ですね。
赤と青の確率は1/3と2/3です。
私の解答(もちろん京大の用意した解答なんかしらん)
P(1のブロック出る)>P(2のブロック出る)は明らか。
確率変数Xiをi～i+5が2のブロックになるとき1, そうでないとき0を取るものとする。
この時
P(2のブロック出る)
=E(1-Π(1-Xi))
=Σ(-1)^i Σ[#F=i]E(Π[t∈F]Xt)。(ここまでは一般論)
ここでp=E(X1)とおくとき添え字の有限集合Fに対して
E(Π[F]Xi)
=p^(#F) (Fの相異なる元の差が6以上の時)
=0 (そうでないとき)
であるから
Σ[#F=i]E(Π[F]Xt)
=C[20-5i,i]p^i
=15p-45p^2+10p^3
同様にして1～6個目までが3のブロックとなる確率をqとすると
P(3のブロックが出る)
=15q-45q^2+10q^3。
あとは15x-45x^2+10x^3の増減をちょっろっと調べて完。
2のブロック出る確率が1のブロック出る確率より低いのは明らかなので2は何も関係ないと思いきや、1と3直接調べるよりワンクッション2を挟む方が楽なのがミソかな？
直接でもできなかないけど。
89:１３２人目の素数さん
19/11/11 21:22:32.14 RnIwgTT0.net
>>70
何年度の問題なんですかね？
90:１３２人目の素数さん
19/11/11 21:26:35.46 Idy6dKAx.net
単なる講演で出された問題
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
91:１３２人目の素数さん
19/11/11 21:50:26.97 HfbCXLki.net
>>85
これで満点やろ
92:１３２人目の素数さん
19/11/11 22:31:51 y5wQKn5+.net
>>88
そうなん？
別スレのスレタイで京大の講師の出した問題って書いてあったから過去問だと思った。
93:１３２人目の素数さん
19/11/11 22:44:24 6o6wWLeQ.net
例の方法だと3だな
94:１３２人目の素数さん
19/11/11 22:47:10 uIUz6082.net
>>82
大失敗....orz
p = (4/6)^2･(2/6)^4 = 64/(6^6) = 0.0013717421125
q = (4/6)･(2/6)^5 = 128/(6^6) = 0.002743484225
6連Aを1回以上含む場合
配置： 15回から１つ選んでAとする。C[15,1] = 15 とおり
s1 + 2･s2 + 3･s3 = 15p or 15q,
6連Aを2回以上含む場合
配置： 10回から2つ選んでAとする。C[10,2] = 45 とおり
s2 + 3･s3 = 45p^2 or 45q^2,
6連Aを3回含む場合
配置： 5回から3つ選んでAとする。C[5,3] = 10 とおり
s3 = 10p^3 or 10q^3,
P(2．) = s1 + s2 + s3 = 15p -45p^2 +10p^3 = 0.02049148206
P(3．) = s1 + s2 + s3 = 15q -45q^2 +10q^3 = 0.04081376811
95:１３２人目の素数さん
19/11/12 20:36:53.80 sZNGWdo9.net
>>70
を一般化して
独立な試行をn回繰り返す。
試行の結果は各回RまたはBでその確率はr,b (r+b=1,r<b)。
1型の連:RR‥RB
2型の連:RB‥BB (いずれもRB合わせて長さl)
とするとき
P(1型が現れる)<P(2型が現れる)
を示せ。
面白いかどうかはともかく片を付けとこう。
96:１３２人目の素数さん
19/11/14 21:02:25.36 3yQTz3tx.net
-1か0か1を合計k個足してnの倍数にする方法は何通りあるか？
ただし、足す順番は区別するものとする
97:１３２人目の素数さん
19/11/15 00:54:35.94 gDSZyANn.net
>>94
行列の添字はZ/nZでとるとして行列Aと列ベクトルvを
Aij = 1 if j=i,i+1,i-1
. =0 otherwise
vi = 1 if i=0
. =0 otherwise
で定める。
この時求める場合の数は
v^A^kv 、
ただしv^はvの転置ベクトル。
ζ=exp(2πi/n)とおけば、計算して
v^A^kv =(1/n)Σ[t](1+ζ^t+1/ζ^t)^k
98:１３２人目の素数さん
19/11/15 01:02:29.97 QOnbGMeR.net
>>95
素晴らしい 正解です
ほぼ同じだけど想定していた解法は足す行為をZ/nZの元を頂点に持つグラフの辺を渡る行為だと思って隣接行列のスペクトルを計算する方法でした
ちなみにn→∞とすればリーマン和→積分が出てきて複素積分使って計算出来ます
そうすれば足して0にする方法の組み合わせ数が分かる
(それだとたぶん純粋な組み合わせ論で解けるだろうけど)
99:１３２人目の素数さん
19/11/16 00:56:26 U0J3kzp6.net
rを正の実数とする。
xyz空間の半球B:x^2+y^2+z^2=r^2（z≥0）について以下の問に答えよ。
（1）nを2以上の自然数とする。
平面H_kをz=kr/n（k=0,1,...,n-1）と定め、H_kとBの交線である円をC_kとする。
C_kを底円とし高さがr/nである円筒の側面積をS_kとするとき、それらの和
T_n = Σ[k=0,1,...,n-1] S_k
を求めよ。
（2）lim[n→∞] T_n とBの側面積は一致しないことを示せ。
100:１３２人目の素数さん
19/11/16 04:48:03 cdgu8qg6.net
lim T_nはBの側面積のπ/4倍。
君らが普段やっとる薄切りスライス体積積分は、表面積には使えんのやで！（意訳）
101:１３２人目の素数さん
19/11/24 23:27:39.12 FgHXk+oJ.net
それはそうかも知れんが「球面を円柱の側面で近似する」のが粗杉ぢゃね？
球面の勾配を取り込めない。
そこで C_k で球面に接する円錐を考えよう。
幅が (r/n)/√{1-(k/n)^2},
長さが 2πr√{1-(k/n)^2},
∴ S'_k = 2πrr/n ･･･ kによらない。
T = 2πrr,
となりBの側面積と一致する。
102:１３２人目の素数さん
19/11/25 17:14:03 rCKm6XF9.net
なんだっけ、シュワルツの提灯？
似てるね
103:１３２人目の素数さん
19/11/25 21:29:01.19 tm2PwmT1.net
受験レベル+αだけどうまくやらないとシンドイやつ。
曲線C:x^2-y^2=1, x>0 上の2点P,Qに対し、Cと直線PQで囲まれる部分の面積をS(P,Q)とする。
A(1,0), B(5/3,4/3)とする。
P,QをC上を動かすときS(A,P)+ S(P,Q)+ S(Q,B)の値が最小となる時のP,Qの座標を求めよ。
104:イナ
19/11/29 11:39:11.49 4kKE3uKV.net
前>>85
>>101
x^2-y^2=1はx>0だから、
x^2=y^2+1
x=√(y^2+1)=(y^2+1)^(1/2)
x'=(1/2)(y^2+1)2y=y^3+y
x軸を鉛直上向きにとった双曲線Cのグラフの傾きは、
点A(1,0)において0,
点B(5/3,4/3)において4/3？ で、
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)の値が最小となるのは、A,P,Q,Bが等間隔になるときで、その座標は、
P(√(p^2+1),p),Q(√(q^2+1),q)として、
64p^3+64p-615=0
128q^3+128q-615=0
105:イナ ◆/7jUdUKiSM
19/11/29 15:43:37 4kKE3uKV.net
前>>102
>>101
計算すると、
64p^3+64p-615=0
(p^2+1)=615/64p
=615/p8^2
128q^3+128q-615=0
(q^2+1)=615/128q
=615/2q8^2
p=1.969525……
√(p^2+1)=2.208852355……
q=
√(q^2+1)=
なんか違うかも。
106:１３２人目の素数さん
19/11/29 16:26:27.83 1zZ0yczA.net
>101-103
はい、違います。
等間隔というのはいいキーワードだけど。
ある話しを使うと計算らしい計算しなくても解けます。
普通に面積計算しても大した手間ではないけど。
107:イナ
19/11/29 17:41:33.00 4kKE3uKV.net
前>>103
>>104計算禁止かぁ。
そんなこったろうと思ったぜ。
108:１３２人目の素数さん
19/11/29 18:07:29.98 HxBJUCIV.net
いや、ちょっとは計算しないとムリです。
109:１３２人目の素数さん
19/11/29 18:17:42.49 HxBJUCIV.net
具体的に言うと実際に面積を計算せずともある事を知ってるとある関数が凸であるとわかり、それから "等間隔のとき" 最小と分かります。
110:イナ
19/11/29 18:41:53.83 4kKE3uKV.net
前>>105
x^2-y^2=1がx＞0で上に凸なのはxを微分したらx'＞0なんで、あ間違えた、-1/2乗だ。
x=√(y^2+1)=(y^2+1)^(1/2)
x'=(2y){(y^2+1)^(-1/2)
=-2y/√(y^2+1)
y＞0のとき、
xは単調減少。
111:１３２人目の素数さん
19/11/29 22:41:38.25 HxBJUCIV.net
まぁまともに面積計算してもそこまで大変ではないけど。
積分実行しないでやる場合のヒント。
x^2-y^2=1はあるベクトル場Xの積分曲線で、exp(tX)は一次変換になっています。
その事から少し議論をすればA,P,Q,Bが "等間隔" に並ぶことがわかります。
普通に積分しても受験問題にはやや難しすぎる程度ですが。
112:イナ ◆/7jUdUKiSM
19/11/30 05:09:51 1327/URo.net
前>>108
曲線とx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積は16/27
折れ線APQBとx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積は、これよりやや小さい。
今日で11月が終わる。
113:１３２人目の素数さん
19/11/30 08:23:52.11 EU1tlCDO.net
>>101
A (cosh(0), sinh(0))
P (cosh(p), sinh(p))
Q (cosh(q), sinh(q))
B (cosh(b), sinh(b)) b=log(3)=1.09861229
とおきます。
(>>102 のp,qとは別です。)
C上の点を (x,y) = (coshθ, sinhθ) とおくと
S(P,Q) = ∫(ydx-xdy) = {sinh(q-p) - (q-p)}/2,
だから
S(A,P) + S(P,Q) + S(Q,B)
= {sinh(p-0) + sinh(q-p) + sinh(b-q) - b}/2
≧ {3sinh(b/3) - b}/2 (← 下に凸)
= {3[3^(1/3) - (1/3)^(1/3)]/2 - log(3)}/2
= 0.012360077
最小となるのは (p,q) = (b/3, 2b/3) のとき。
P, Q の座標も求まる。
最大となるは (p,q)=(0,b) のときで、P=A, Q=B
S(A,B) = {sinh(b-0) - (b-0)}/2
= {(4/3) - log(3)}/2
= 0.117360522
114:１３２人目の素数さん
19/11/30 08:59:06 uYTPHKy3.net
>>111
正解です。
では面積出さない方法。
X=y∂/∂x + x∂/∂yとおけば
exp(tX)=[[cosh t,sinht][sinh t,cosht]]
でありP(t):=(cosh t,sinh t)=(exp tX)(1,0)である。
exp(tX)はP(u),P(v)をP(u+t),P(v+t)に移し、直線を保存するからS(P(u),P(v))=S(P(u+t),P(v+t))であり、Sの値はパラメータtの値の差のみによる事がわかる。(←key point)
さらにf(t)=S(P(0),P(t))とおくとき
f(t)=S(P(-t/2),P(t/2))=2∫[0,t/2](sinh �
115:ﾑ)^2dτ で(sinh τ)^2は短調増加であるからf(t)は凸関数である。 よってA=P(0), B=P(log3)であるから最小値を与えるP,Qは (P,Q)=(P(log3/3),P(2log3/3)) =((a+1/3)/2,(a-1/a)2),((3/a+a/3)/2,(3/a-a/3)/2) のとき。ただしa=3^(1/3)。 key pointが成立するのは他にも 単位円のとき f(t)=t/2-(1/2)sin t 放物線のとき f(t)=(1/6)t^3 となって同様の現象が起こります。
116:１３２人目の素数さん
19/11/30 14:07:10.74 FRQVnTsM.net
xy平面を考える。
生命体Zは、最初1匹だけが(1,1)にいる。
a,bを正の整数とする。座標(a,b)にいる生命体Zは、(a+1,b)と(a,b+1)に生命体Zが存在しない時に限り、以下に示す〈ルール〉に従って分裂することができる。ただし、分裂が可能であれば必ず分裂しなければいけないというわけではない。
〈ルール〉
(a,b)にいる生命体Zは消滅する。(a+1,b)と(a,b+1)に生命体Zが1匹ずつ生まれる。
第一象限の格子点を要素に持つ集合Sを考える。
命題Pを「ある格子点s∈Sに生命体Zが存在する」と定める。
以下の問に答えよ。
(1)S=｛(s,t)｜1≦s,t≦3 , s,t∈ℕ｝とする。命題Pの真偽を調べよ。
(2)命題Pを満たすSのうち、その要素数が最小であるものを1つ求めよ。
117:イナ
19/11/30 14:29:43.40 1327/URo.net
前>>110
APQBのx座標が等間隔になるとき、
√(p^2+1)=(5/3-1)/3+1
=11/9
p=√{(121-81)/81}
=2√10/9
√(q^2+1)=√(p^2+1)+2/9
=(-1+4√7)/9
q=4/9-p
=4/9-{(-2-2√7)/9}
=(6+2√7)/9
P((-1+4√7)/9,(-2+2√7)/9)
Q((-1+4√7)/9,(6+2√7)/9)
これは近いけど違うと。
どうやって計算しないで解くか。
118:１３２人目の素数さん
19/11/30 16:34:32 pDlV9iCO.net
>>113
問題の文章めちゃくちゃだけどエスパーして
(1)
「どんな分裂の仕方を選んでもS上に生命体を消す事は出来ない。」
は真
(∵) 第一象限の格子点のみ考える。
格子点(i,j)に(1/2)^(i+j)の得点をつけて生命体のいる場所の得点の総和は保存される。
Sに全て生命体がいる状態の得点の総和は49/64点。
S以外の点の格子点の得点の総和は15/64点。
∴S全てから生命体が消えるように分裂させることはできない。
119:１３２人目の素数さん
19/11/30 19:39:41.98 RgrNk/Sv.net
>>113
の問題で
◯
◯
◯ ◯
の配置のとき>>115の得点で配置の得点が5/4点。
配置から逃げられる部分の得点の総和が5/4点だからこの配置は全消し不能とわかる。
三ヶ所の場合が分からん。
◯
◯ ◯
◯
◯ ◯
◯ ◯ ◯
以外の三ヶ所配置は全て全消し可能だけどこの３つが全消し可能か不可能か分からん。
誰かできる？
120:１３２人目の素数さん
19/11/30 20:00:40.78 RgrNk/Sv.net
>>116
◯
◯ ◯
の配置2点で外部の配置も2点だからコレも不可能ですな。
二ヶ所以外は全消し可能だから求める最小値は3だ。
121:１３２人目の素数さん
19/12/01 00:29:26 pBzZHr4m.net
>>117
〇
〇〇
が最小のSってこと？オセロで実験したけどこのSからは逃げられたぞ
122:１３２人目の素数さん
19/12/01 00:44:05.33 5lbQYaOS.net
>>118え？マジで？
手自由教えて。
再計算しても初期の配置も外側の配置も2点になる。
123:１３２人目の素数さん
19/12/01 00:57:06 71N/37fE.net
x≧0、y≧0で考えるとして
S={(0,0),(1,0),(0,1)}のときSの得点の総和は
1+1/2+1/2=2点。
格子点全体の得点は4点だからSの外側の得点も2点。
釣り合うときはギリギリ無理だと思うんだけど。
124:１３２人目の素数さん
19/12/01 08:59:30.50 pdcBJQDT.net
たぶん
◯◯◯
も無理だと思う。
CBA
として一手目はA。
この�
125:襭を分裂させるまではこのAの子孫ばかりを分裂させる事になるけど、それらの分裂は先にBを分裂させても可能なので二手目はBとして良い。 同様に三手目はCとして良い。 この時点で XYZ . PQR の形でPQの地点を消せるか？だけどPを(0,0)としてYZPQRで5/2点。 消さないといけないPQが3/2点で計4点。 x≧0,y≧0全体が4点なので不可能。 同じ理由で ◯ ◯◯ も不可能だと思う。
126:１３２人目の素数さん
19/12/01 16:06:46.28 pBzZHr4m.net
>>119
(1,1)(1,2)(2,2)(2,1)の順でやれば逃げられない？
〇
〇〇
って(1,1)(1,2)(2,1)の3つだよね？
127:１３２人目の素数さん
19/12/01 16:09:46.88 pBzZHr4m.net
どんな分裂の仕方を選んでもSからZを消すことができない、そういうSを探せって問題だよね
128:１３２人目の素数さん
19/12/01 16:16:45.79 pBzZHr4m.net
(1,1)を1点、(1,2)(2,1)をそれぞれ0.5点…というふうにしてどんな分裂の仕方をしても総和は1点、という発想イイネ。
この点数の付け方だと、級数を取って格子点にある点数の総和は4点と分かる。したがって、Sが3点以上なら逃げられない。(1)はそれで証明出来る。
でも、この発想で行くと
〇〇
〇〇〇
〇〇〇
が限界じゃないか？この配置だと3点だから有限回の操作では追い出せない。
129:１３２人目の素数さん
19/12/01 17:34:54.97 vrYXag9E.net
>>122
あれ？
(1,1),(1,2),(2,1)
の状態から(1,1)
は分裂できないのでは？
130:１３２人目の素数さん
19/12/01 17:36:51.56 vrYXag9E.net
あ？
今問題読み返して誤解してるのやっとわかった
Sは初期配置じゃなくてそこから逃げないとダメな集合ね。
131:１３２人目の素数さん
19/12/01 17:51:21.24 vrYXag9E.net
とりあえず問題読み直して(1)。
二手目終わって
◯◯
❇︎ ◯
として良い。❇︎が原点。
三手目で
◯◯◯
❇︎ ◯
であれば>>121より◯◯◯の全消しが不可能なので済。
三手目で
◯
◯ ◯
❇︎ ◯
として良い。
>>121に述べたのと同じ理由で四手目は
◯◯
◯◯
❇︎ ◯
として良い。
ここで>>117により全消し不能。
132:１３２人目の素数さん
19/12/01 18:07:50 vrYXag9E.net
>>124
そうだ、そうだね。
3x3は得点論法だけで無理なのすぐわかるね。
次は
◯
◯◯
◯◯◯
かな？
133:１３２人目の素数さん
19/12/01 21:47:43.38 uSaf+Bol.net
◯
◯◯
◯◯◯
も不可能と思われる。
検証求む。
>>127と同じく❇︎は原点とする。
>>127と同じく二手目で
◯◯
❇︎ ◯
として良い。
選択肢は二つで
(a)
、◯
◯ ◯
❇︎ ◯
又は
(b)
◯◯◯
❇︎ ◯
(a)のとき。
>>121と同じ理由で四手目は
◯◯
、◯◯
❇︎ ◯
この時点でx,y≧2の部分に限定する。
この限定領域内で消す必要があるのは(2,2)で1/16点。
この時点で限定領域内の生命体の総得点が2/16点。
しかし限定域外から必然的に1/32が二個、1/16点入ってくる。
以上の総計が1/4点。
一方で全限定領域の総得点は1/4点。
釣り合ってるので(a)は詰み。
134:１３２人目の素数さん
19/12/01 21:57:09.56 MJSo2S7g.net
(b)のとき
>>121と同じ理由で六手目までで
◯◯◯
、◯◯◯
❇︎ ◯
として良い。
同じくx,y≧2に限定して
限定域内の生命体消す必要があるのは(2,2)の1/16点。
この時点で限定域の生命体の総得点は2.5/16点。
後から入ってくる生命体が0.5/16点。
やはり総計1/4点でこの場合も詰。
135:１３２人目の素数さん
19/12/01 23:00:16.98 gu1aYR1y.net
とりあえず
◯
◯◯◯
と
◯◯
◯◯
は可能。
ノートで徒然なるままにやつてみた範囲内でおそらく
◯◯
◯◯◯
は不可能っぽい。
答えは5くさいけど、コレは計算機マターだな。
136:イナ ◆/7jUdUKiSM
19/12/02 01:49:55 Ov+3+DPH.net
前>>114
>>101
P(p,√(p^2-1))
Q(q,√(q^2-1))とおくと、
S(A,P)=∫[x=1→p]√(x^2-1)dx-{√(p^2-1)/(p-1)}(x-1)dx
S(P,Q)=∫[x=p→q]√(x^2-1)-{√(q^2-1)-√(p^2-1)}/(q-p)+{√(q^2-1)-√(p^2-1)}/(q-p)dx
S(Q,B)=∫[x=q→5/3]√(x^2-1)dx-/{(5/3)-q}
放物線y=
137:√(x^2-1)とx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積16/27から、折れ線APQBとx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積を引くと、 S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B) =16/27-(5/3-p/2-1/2)√(p^2-1)-(5/3-p/2-q/2){√(q^2-1)-√(p^2-1)}-(5/3-q){(4/3-√(q^2-1)}(1/2) =2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2 面積出して微分したら決まると思ったけど、未知数がpとqの2つある。 条件が足りないんでしょうか？ 直線ABの傾きは2 直線PQの傾きはもう少し大きくてそのぶん直線QBの傾きがうんと小さいと思うんですが。 三角関数は面白くないんで、なしでお願いします。
138:１３２人目の素数さん
19/12/02 02:27:44 QOb5WHRc.net
それでやるなら二変数関数の最小値求めるテクニックで出来るかもしれません。
例
x^2+2xy+2y^2+4yの最小値
ますyを定数として
f(x)=x^2+2xy+2y^2+4y
の最小値を求める。
f'(x)=2x+2y=0すなわちx=-yのとき最小値
f(-y)=y^2+4y
次にコレら最小値の中で最も小さいものを求める。
g(y)=y^2+4yとおけばコレは
g'(y)=2y+4=0のとき最小値g(-2)=-4
のように。
計算死ぬけど。
139:１３２人目の素数さん
19/12/02 02:31:00 LbXsCyO5.net
ちなみに最小値をとるのはAQとPでの接線が平行かつBPとQでの接線が平行のときです。
そこから方程式立てれば式二つできます。
解くのは難しいけど確かめ算には使えるかもしれない。
140:イナ
19/12/02 03:02:28.82 Ov+3+DPH.net
前>>132
>>134それ直感的にあってそう。式が2つも増えて答えすぐ出るんじゃないの？
141:イナ
19/12/02 07:28:58.92 Ov+3+DPH.net
前>>135
>>101
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2―①
直線APの傾きは、
√(p^2-1)/p
点Qでの曲線の傾きは、
(1/2)2q/√(q^2-1)=q/√(q^2-1)
これらが等しいから、
√(p^2-1)/p=q/√(q^2-1)
√(p^2-1)(q^2-1)=pq
(p^2-1)(q^2-1)=p^2q^2
p^2+q^2=1―②
点Pでの曲線の傾きは、
(1/2)2p/√(p^2-1)=p/√(p^2-1)
直線QBの傾きは、
{4/3-√(q^2-1)}/(5/3-q)={4-3√(q^2-1)}/(5-3q)
これらが等しいから、
p/√(p^2-1)={4-3√(q^2-1)}/(5-3q)
p(5-3q)={4-3√(q^2-1)}√(p^2-1)
5p-3pq=4√(p^2-1)-3√(p^2-1)(q^2-1)
②の1行前の式を代入すると、
5p=4√(p^2-1)―おかしい。なんでpが虚数になるんだい？
142:イナ
19/12/02 13:15:27.13 Ov+3+DPH.net
前>>136訂正。よくミスるねぇ。風邪引いてんのかな？ 節々のboneが痛い。
>>101
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2―①
直線AQの傾きは、
√(q^2-1)/(q-1)
点Pでの曲線の傾きは、
(1/2)2p/√(p^2-1)=p/√(p^2-1)
これらが等しいから、
√(q^2-1)/(q-1)=p/√(p^2-1)
√(q+1)/√(q-1)=p/√(p^2-1)
√(p^2-1)(q+1)=p√(q-1)((p^2-1)(q+1)=p^2(q-1)
p^2-q-1=-p^2
2p^2-1=q―②
点Qでの曲線の傾きは、
(1/2)2q/√(q^2-1)=q/√(q^2-1)
直線PBの傾きは、
{4/3-√(p^2-1)}/(5/3-p)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
これらが等しいから、
q/√(q^2-1)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
q(5-3p)={4-3√(p^2-1)}√(q^2-1)
5q-3pq=4√(q^2-1)-3√(p^2-1)(q^2-1)
②を代入すると、
5(2p^2-1)-3p(2p^2-1)=4√{(2p^2-1)^2-1}-3√(p^2-1){(2p^2-1)^2-1}
10p^2-5-6p^3+3p=4√(4p^4-4p^2)-3√(p^2-1)(4p^4-4p^2)
-6p^3+10p^2+3p-5-2p√(p^2-1)+3･2p(p^2-1)=0
10p^2-3p-5=2p√(p^2-1)
100p^4-60p^3-91p^2+30p+25=4p^2(p^2-1)
96p^4-60p^3-87p^2+30p+25=0
143:１３２人目の素数さん
19/12/02 13:33:44.37 S6ki4rGU.net
>>125
(1,1)に分裂を適用して(1,1)が消え(1,2)と(2,1)に生まれる
次に(1,2)に分裂を適用して(1,2)が消え(1,3)と(2,2)に生まれる
次に(2,2)に分裂を適用して(2,2)が消え(2,3)と(3,2)に生まれる
最後に(2,1)に分裂を適用して(2,1)が消え(3,1)と(2,2)に生まれる
これで(1,1)(1,2)(2,1)からは逃げ出せる
144:イナ
19/12/02 13:54:03.58 Ov+3+DPH.net
前>>137
>>101
96p^4-60p^3-87p^2+30p+25を微分して=0とすると、
384p^3-180p^2-174p+30=0
128p^3-60p^2-58p+10=0
64p^3-30p^2-29p+5=0
p≒1.2
145:イナ
19/12/02 16:13:28.88 Ov+3+DPH.net
前>>139
>>137からやりなおし。
>>101
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2―①
2p^2-1=q―②
②を①に代入すると、
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2√(2p^2-1)/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√{(2p^2-1)^2-1)}+[p√{(2p^2-1)^2-1}-(2p^2-1)√(p^2-1)]/2
=2√(2p^2-1)/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)+[2p^2√(p^2-1)-(2p^2-1)√(p^2-1)]/2
=2√(2p^2-1)/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)+√(p^2-1)/2
=(2/3)√(2p^2-1)-14/27+(4/3)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)―③
点Qでの曲線の傾きは、
(1/2)2q/√(q^2-1)=q/√(q^2-1)
直線PBの傾きは、
{4/3-√(p^2-1)}/(5/3-p)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
これらが等しいから、
q/√(q^2-1)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
q(5-3p)={4-3√(p^2-1)}√(q^2-1)
5q-3pq=4√(q^2-1)-3√(p^2-1)(q^2-1)
②を代入すると、
5(2p^2-1)-3p(2p^2-1)=4√{(2p^2-1)^2-1}-3√(p^2-1){(2p^2-1)^2-1}
10p^2-5-6p^3+3p=4√(4p^4-4p^2)-3√(p^2-1)(4p^4-4p^2)
-6p^3+10p^2+3p-5-4･2p√(p^2-1)+3･2p(p^2-1)=0
10p^2-3p-5=8p√(p^2-1)
100p^4-60p^3-91p^2+30p+25=64p^2(p^2-1)
36p^4-60p^3-27p^2+30p+25=0
左辺を微分すると、
144p^3-180p^2-54p+30=0
24p^3-30p-9p+5=0
146:１３２人目の素数さん
19/12/02 21:21:42.17 a5zqFxLP.net
>>111
S(A,P) = {y(P) - p}/2,
S(P,Q) = {x(P)y(Q) - x(Q)y(P) -q +p}/2,
S(Q,B) = {x(Q)(4/3) - (5/3)y(Q) -b +q}/2,
・x座標で3等分した場合
A (1, 0)
P (11/9, 2(√10)/9)
Q (13/9, 2(√22)/9)
B (5/3, 4/3)
S(A,P) = {2(√10)/9 -p}/2 = 0.023914034
S(P,Q) = {2(11√22 -13√10)/81 +p -q}/2 = 0.001404007
S(Q,B) = {2(26 -5√22)/27 +q -b}/2 = 0.000551446
S = {4(39-2√10-2√22)/81 - log(3)}/2
= 0.025869489 > 0.012360077
147:１３２人目の素数さん
19/12/02 21:52:04.94 a5zqFxLP.net
>>111
S(A,P) = {y(P) -p}/2,
S(P,Q) = {x(P)y(Q) -x(Q)y(P) -q +p}/2,
S(Q,B) = {x(Q)(4/3) -(5/3)y(Q) -b +q}/2,
・y座標で3等分した場合
A (1, 0)
P ((√97)/9, 4/9)
Q ((√145)/9, 8/9)
B (5/3, 4/3)
S(A,P) = (4/9 - p)/2 = 0.006733131
S(P,Q) = {4(2√97 -√145)/81 +p -q}/2 = 0.004236483
S(Q,B) = {4(√145 -10)/27 +q -b}/2 = 0.002215716
S = {4(2√97 +2√145 -21)/81 - log(3)}/2
= 0.01318533 > 0.012360077
148:１３２人目の素数さん
19/12/03 15:02:05.14 iJxcKrki.net
>>113
(2)の答えは５だ。
〇〇
㊤〇〇
が全消し不可(上が虫ね。)
４か所以下ならすべて全消し可能。
証明ながい。
気力がわけば書きます。
149:１３２人目の素数さん
19/12/03 19:02:30.44 PHS8a67O.net
>>113
まず以下の証明の図の読み方の説明。
生命体を虫と呼ぶ。
◯は虫のいる点。
ーは虫を駆除する必要のある点、
㊀はその駆除する必要がある点に虫が現時点でいる状態である。
この虫を分裂させて㊀を消去する手順の有無を議論する。
コレらを格子状にならべた図式でAにおいて、そのような手順があるとき、その手順の最小値を最小駆除手数と呼ぶ。
存在しないときは無限大とする。
そのような図式X,A,B,C,‥においてXの最小駆除手数がA,B,C,‥の最小駆除手数の最小値以上のときXはA,B,Cに還元されると呼び、X|A,B,C,‥と表す。
左辺の最小駆除手数が右辺のそれの最小値より真に大きいとき強還元と呼ぶ。
150:１３２人目の素数さん
19/12/03 19:03:18.66 PHS8a67O.net
証明に現れる還元を全て列挙する。
コレらが還元になっている事は後で示す。
⑦以外は全て強還元である。
A～Gの図の定義も兼ねている。
①A|B (初手実行)
ーー ｜ ㊀ー
㊀ーー ｜ ー㊀ー
②B|C,D(初手実行)
｜ ◯
㊀ー ｜ ー㊀ ㊀㊀
㊀ー ｜ ー㊀ー、 ー㊀
③C|E(初手実行)
ー ｜ ー◯
㊀㊀ ｜ ㊀ー◯
④E|B(終端優先)
ー ◯ ｜ ㊀◯
㊀ー◯ ｜ ー㊀◯
⑤D|F,G(初手実行)
｜ ◯
㊀㊀ ｜ ㊀ー◯ ㊀㊀◯
㊀ ｜ ㊀、 ー◯
⑥F|B(終端優先)
◯ ｜ ◯ ◯
㊀ー◯ ｜ ー㊀◯
㊀ ｜ ㊀
⑦G|B(終端除去)
｜ ㊀◯
㊀㊀◯ ｜ ー㊀◯
151:１３２人目の素数さん
19/12/03 19:05:10.16 PHS8a67O.net
>>144のリストが還元になっている事を示す。
・初手実行の還元は実際に初手として可能な全ての分裂を行った結果の図を右辺に列挙する事によって得られる。
右辺に並ぶ図の最小駆除手数は全て左辺の手数+１であるから還元図になる。
ー例ー
②B|C,D(初手実行)
｜ ◯
㊀ー ｜ ー㊀ ㊀㊀
㊀ー ｜ ー㊀ー、 ー㊀
・終端優先の還元は左辺図内のある生物を分裂させてもその子が他の全ての生物の分裂を阻害しないとき、その分裂を優先する最小手順解があることから、その分裂を実行した図を右辺に書く事によって得られる。
やはり右辺の図の最小駆除手数は左辺の手数+１であるから還元図となる。
ー例ー
④E|B(終端優先)
◯ ｜ ㊀◯
㊀ー◯ ｜ ー㊀◯
・終端除去の還元は⑦のみである。
⑦左辺の虫を除去する最小手順において左の虫をA、それが分裂したときに現れる上の虫をB、右の虫をCとする。
Bは要駆除点でなく、Bは以降のたの分裂を邪魔しないため最小手順においては分裂しない。
Cは要駆除地点にいるのでいくらか後に分裂し、その上の虫をD、右の虫をEとするとBが分裂しないのと同じ理由でD、Eも分裂しない。
よって⑦左辺の最小駆除手順においてAとその子孫が分裂する回数は高々二回である。
よってその手順からAとその子孫を取り除けば図
ーー
ー㊀㊀
の駆除手順が得られ、その手順数は⑦左辺のものよりちょうど2小さい。
逆に⑦左辺の図において、上図の除去を行った後、AとCの分裂を行えば⑦右辺の図の駆除手順となるので⑦左辺の最小駆除手数は上図のそれ+2以下である。
以上により上図の最小駆除手数は⑦左辺のそれよりちょうど2小さい。
さらに上図に初手還元と終端優先を行えば
㊀◯
ー㊀◯
が得られ、その最小駆除手数は上図のそれよりちょうど2だけ大きい。
以上により⑦の左辺と右辺の最小駆除手数はちょうど等しいので⑦は弱還元である。
ー例ー
⑦G|H(終端除去)
｜ ㊀◯
㊀㊀◯ ｜ ー㊀◯
152:１３２人目の素数さん
19/12/03 19:06:07.74 PHS8a67O.net
証明を完成させる。
Aの図の最小駆除手数が有限とする。
①によってAはBに還元されるらBのそれも有限である。
還元を"合成"することにより②～⑦によってBはB自身に還元される。
すなわち
B|B
なる形の還元を得る。
当然左辺の最小駆除手数と右辺の最小駆除手数は等しい。
しかし先の"合成"において右辺のBへの還元は少なくとも⑦以外の還元を一回以上含むので強還元である。
よって左辺の最小駆除手数は右辺の最小駆除手順より真に大きい。
これは矛盾である。
153:１３２人目の素数さん
19/12/03 19:07:39.90 PHS8a67O.net
後は全ての要駆除地点数が4か所以下の場合駆除可能を示せば>>113の(2)は終わり。
それはさほど難しくない。
154:１３２人目の素数さん
19/12/03 19:13:56.14 q3do5N+i.net
お？記念パピコ
155:イナ
19/12/03 21:13:17.60 tHGFd0Ca.net
前>>140つづき。
>>101
S=S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=(2/3)√(2p^2-1)-14/27+(4/3)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)―③
24p^3-30p^2-9p+5=0―④
③を微分すると、
S'=(2/3)(1/2)4p/√(2p^2-1)+(4/3)(1/2)2p/√(p^2-1)-2√(p^2-1)-2p(1/2)2p√(p^2-1)
=(4p/3)√(2p^2-1)+(4p/3-2-p)√(p^2-1)
=(4p/3)√(2p^2-1)+(p/3-2√(p^2-1)=0
4p√(2p^2-1)=(6-p)√(p^2-1)
16p^2(2p^2-1)=(p^2-12p+36)(p^2-1)
32p^4-16p^2=p^4-12p^3+36p^2-p^2+12p-36
31p^4+12p^3-51p^2-12p+36=0―⑤
156:１３２人目の素数さん
19/12/03 22:00:25.13 PHS8a67O.net
>>146
訂正
>>145のリストは全部強還元だね
｜ ーー
㊀㊀◯ ｜ ー㊀㊀
が強還元だ。
左辺の最小駆除手数＝右辺の最小駆除手数+2でした。
なので
⑦左辺の最小駆除手数＝⑦右辺の最小駆除手数+４。
157:１３２人目の素数さん
19/12/04 02:08:39.81 Jljxtj0w.net
ω_Nを半径1のN次元空間球({x∈R^N | |x|=1})の体積(N次元ルベーグ測度)とする
(1) 急減少関数f:[0,∞)→Rに対して、
∫_R^N f(|x|) dx=Nω_N ∫_0^∞ r^(N-1) f(r) dr
となることを示せ
(2)ω_Nを求めよ
158:１３２人目の素数さん
19/12/04 03:12:22.24 QgYj7jDm.net
球？球面？
159:１３２人目の素数さん
19/12/04 03:22:50.83 Jljxtj0w.net
>>153
すみません
修正します
球{x∈R^N | |x|≦1}です
160:１３２人目の素数さん
19/12/04 04:21:30 OqD6i4Hu.net
>>152
(1)
M=S^(N-1)とおき、Nの体積形式をηとする。
R×N→R^Nを(r,θ)=rθで定めればR^Nの体積形式はr^(N-1)ηdrである。
よって
∫[x∈R^N]f(|x|)dx
=∫[r>0,θ∈S^(N-1)] f(|rθ|)r^(N-1)ηdr
=∫[θ∈S^(N-1)]η∫[r>0] r^(N-1)f(r)dr
=vol(S^(N-1))∫[r>0] r^(N-1)f(r)dr
である。
一方で
ω_N
=∫[x≦1]1dx
=∫[0<r<1,θ∈S^(N-1)] r^(N-1)ηdr
=∫[θ∈S^(N-1)]η∫[0<r<1] r^(N-1)dr
=vol(S^(N-1))/N
により主張は成り立つ。
(2)
f(x)=exp(-x^2)とすれば
∫[x∈R^N]f(|x|)dx
＝(∫[t∈R]exp(-x^2)dt)^N
＝π^(N/2)、
∫[r>0]r^(N-1)exp(-r^2)dr
=∫[t>0]t^((N-1)/2)exp(-t)t^(-1/2)dt/2
=(1/2)∫[t>0]t^(N/2-1)exp(-t)dt
=Γ(N/2)/2
であるから(1)により
ω_N=2π^(N/2)/(NΓ(N/2))=π^(N/2)/Γ(N/2+1)。
161:１３２人目の素数さん
19/12/04 04:58:10.11 It6vGKRF.net
ID:PHS8a67O
お疲れ様です。すごい！
162:１３２人目の素数さん
19/12/04 11:23:45.41 Jljxtj0w.net
>>155
正解です
(1)は測度論的にするのであれば
H^(N-1)を(N-1)次元ハウスドルフ測度として
Coarea formula
∫_R^N f(x)|∇u(x)|dx=∫_R∫_{u=t} f(x) dH^(N-1)(x)dt
においてu(x)=|x|とすれば極座標の積分が�
163:ｱけます (H^(N-1)({x∈R^(N-1) | |x|=t })=(d/dt){ω_N t^N} となることもCoarea formulaから導ける)
164:１３２人目の素数さん
19/12/05 02:33:02 JD2j4fRH.net
R^3\{0}は直線の直和か？
165:イナ
19/12/06 15:57:10.35 9FWnnign.net
>>101前>>150正解は出たらしいけど出題者が意図した解法を言い当てただけで、肝心の座標が出てないみたいだから、今年最後の小説投稿がすんだら、ちゃんと計算してみるよ。
￣￣]/＼______∩∩_
____/＼/ ,,､､(___))|
￣￣＼/ 彡`-`ﾐっﾞ/ |
￣￣|＼＿U,~⌒ヾ､| |
□ | ∥￣￣U~~U | / )
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□ □ □ ∥ /
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166:１３２人目の素数さん
19/12/09 07:46:29.55 g2fJs3Gj.net
>>81
１００万回のシミュレーション結果
> k=1e6
> re=replicate(k,sim())
> mean(re[1,])
[1] 0.124957
> mean(re[2,])
[1] 0.08093
> mean(re[3,])
[1] 0.04078
直感通り、１，２，３の順番になった。
167:１３２人目の素数さん
19/12/09 12:48:17.50 3RsZZfph.net
>>92
p = 256/(6^6) = 0.0054869684499314
q = 128/(6^6) = 0.0027434842249657
より
P(re[2,]) = 15p -45p^2 +10p^3 = 0.0809513716761635
P(re[3,]) = 15q -45q^2 +10q^3 = 0.0408137681123003
168:１３２人目の素数さん
19/12/09 20:18:06 3RsZZfph.net
1. の５連(B)は、複数回現れる場合は重複しうる。
5連Bを1回以上含む確率
s1 + s2 + s3 + s4 = 32 / 243 = 0.1316872428
5連Bを2回以上含む確率
s2 + 3s3 + 6s4 = 408/243^2 = 0.006909515825
5連Bを3回以上含む確率
s3 + 4s4 = 2368 / 243^3 = 0.000165408747842
5連Bを4回含む確率
s4 = 4912 / 243^4 = 0.000001408747842
よって 1．の起こる確率は
P(re[1,]) = s1 + s2 + s3 + s4 = 435643544 / 243^4 = 0.124941348
169:１３２人目の素数さん
19/12/09 20:21:15 3RsZZfph.net
訂正
5連Bを1回以上含む確率
s1 + ２s2 + ３s3 + ４s4 = 32 / 243 = 0.1316872428
170:１３２人目の素数さん
19/12/10 06:49:28.11 9+9M8wAb.net
5連Bをちょうどk回含む確率を s_k とすると
s1 + 2s2 + 3s3 + 4s4 = 32 / 243 = 0.1316872428
s2 + 3s3 + 6s4 = 408 / 243^2 = 0.006909515825
s3 + 4s4 = 2368 / 243^3 = 0.000165408747842
s4 = 4912 / 243^4 = 0.000001408747842
よって 1．の起こる確率 (5連Bを1回以上含む確率) は
P(re[1,]) = s1 + s2 + s3 + s4
= (s1+2s2+3s3+4s4) - (s2+3s3+6s4) + (s3+4s4) - s4
= 435643544 / 243^4
= 0.124941348
171:１３２人目の素数さん
19/12/10 10:19:04.22 9+9M8wAb.net
>>111
>>159
A (1, 0)
P ((c +1/c)/2, (c -1/c)/2) = (1.067805422329 0.374444147978)
Q ((cc +1/cc)/2, (cc -1/cc)/2) = (1.280416839911 0.799666983141)
B (5/3, 4/3) = (1.666666666667 1.333333333333)
ここに c = 3^(1/3) = 1.442249570307
172:１３２人目の素数さん
19/12/10 14:34:09.51 9+9M8wAb.net
b = log(3) = 1 + log(3/e) ≒ 3/e,
A (1, 0)
P (cosh(1/e), sinh(1/e)) = (1.06843424428 0.3762336167)
Q (cosh(2/e), sinh(2/e)) = (1.2831034687 0.8039617599)
B (5/3, 4/3) = (1.6666666667 1.3333333333)
とおくと
S(A,P) = S(P,Q) = 0.0041770878
S(Q,B) = 0.0040074760
∴ S = 0.0123616516 > 0.012360077
173:１３２人目の素数さん
19/12/10 21:53:32 9+9M8wAb.net
3^7 = 2187 ≒ 2197 = 13^3
3 ≒ (13/9)^3,
b = log(3) ≒ 3log(13/9),
A (1, 0)
P (125/117, 44/117) = (1.068376068 0.376068376)
Q (17561/117^2, 11000/117^2) = (1.282854847 0.803564905)
B (5/3, 4/3) = (1.666666667 1.333333333)
とおくと
S(A,P) = S(P,Q) = 0.004171798
S(Q,B) = 0.004017778
∴ S = 0.012361374 > 0.012360077
174:１３２人目の素数さん
19/12/12 21:1
175:4:54.21 ID:cmGMjPnC.net
176:１３２人目の素数さん
19/12/13 21:55:09.75 UQGwVa0R.net
∞じゃないの？
直径1の円盤内にいくらでも長さの長い単純閉曲線いれられるのでは？
177:１３２人目の素数さん
19/12/14 00:03:41.23 blC5qr67.net
>>169
「凸」
178:１３２人目の素数さん
19/12/14 00:15:14.20 9DqcUvSD.net
i see
179:１３２人目の素数さん
19/12/14 00:56:26.06 9DqcUvSD.net
まずJordan凸閉領域Δに対しΔ(t)を
Δ(t)={p | d(p,Δ)≦t}
で定める。
この時vol(Δ(t))はtの多項式で
vol(Δ(t))=πt^2+l(∂Δ)t+vol(Δ)
である。(l(∂Δ)は∂Δの長さ)
実際折れ線の時明らかで一般のJordan凸領域の場合には折れ線近似で示される。
今Δが直径dの円盤Dに含まれる時
vol(Δ(t))≦vol(D(t))
が任意のt>0について成立するから特に
l(∂Δ)≦l(∂(D))=πd/2
である。
よって周率の最大値はπ/2である。
180:１３２人目の素数さん
19/12/14 01:10:23.68 u/Fw3eyq.net
>>172
円の時、周率はもちろんπなので不正解です
181:１３２人目の素数さん
19/12/14 01:17:29.50 u/Fw3eyq.net
>>172
それに、曲線の直径がdだからといって、その曲線が直径dの円に入るとは限りません(正三角形とか)
182:１３２人目の素数さん
19/12/14 07:50:09.94 MVg/A4+M.net
πとπ/2まちがえたのは単なる勘違いです。
そうか、直径がdだから直径dの円盤に入るとは限らないか。
183:イナ
19/12/14 10:24:29.20 Ernfr8Zx.net
前>>159
>>101【問題】
>>111>>165
x^2-y^2=1,x＞0
A(1,0)
P({3^(1/3)+1/3^(1/3)}/2,
{3^(1/3)-1/3^(1/3)}/2)
Q({3^(2/3)-1/3^(2/3)}/2,
{3^(2/3)-1/3^(2/3)}/2))
B(5/3,4/3)
5/3=(3+1/3)/2
4/3=(3-1/3)/2
AB間に面積的に等間隔にP,Qをとると、三乗根とその逆数の相加平均―という結果を受け入れるしかないなぁ。
184:イナ
19/12/14 15:15:13.14 Ernfr8Zx.net
前>>176
>>101正攻法で解く。
y=√(x^2-1)≧0,x≧1
=(x^2-1)^(1/2),x≧1
A(1,0)
P(p,√(p^2-1))
Q(q,√(q^2-1))
B(5/3,4/3)
S(A,P)=∫[x=1→p]{(x^2-1)^(1/2)-(p^2-1)^(1/2)(x-1)/(p-1)}dx
=[x=1→p]{(x^2-1)^(3/2)/(3/2)}/(2x)-(p^2-1)^(1/2)x^2/2(p-1)-x/(p-1)
=(p^2-1)√(p^2-1)/3p-(p^2-1)^(1/2)p^2/2(p-1)-p/(p-1)
-1/3+(p^2-1)^(1/2)1^2/2(p-1)+1/(p-1)
S(P,Q)=∫[x=p→q][(x^2-1)^(1/2)-{(q^2-1)^(1/2)-(p^2-1)^(1/2)}(x-p)/(q-p)-(p^2+1)^(1/2)]dx
S(Q,B)=∫[x=q→5/3][(x^2-1)^(1/2)-{(4/3)-(q^2-1)^(1/2)(x-5/3)}/(5/3-q)-4/3]dx
S(A,P)=S(P,Q)より、
―①
S(A,P)=S(Q,B)より、
―②
①②より、p= ,q=
∴P,Qの座標は、
P( , ),Q( , )
185:１３２人目の素数さん
19/12/17 00:49:34.33 S/nA2eOA.net
>>168がどう解けばいいのか分からん...
とりあえずx^p+y^p=1のハイパー楕円で数値計算してみたけどp=2が最小になりそうではあった
186:１３２人目の素数さん
19/12/17 00:50:47.91 S/nA2eOA.net
>>178
最小→最大
187:１３２人目の素数さん
19/12/17 04:02:50.69 mT7UUd1w.net
面白いかどうか人に依るけど、これの逆行列って手計算でいける？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
188:１３２人目の素数さん
19/12/17 10:32:28.89 /04vhOiY.net
>>180
A(1,1) = 1
A(i,i) = 2 (2≦i≦n)
A(i,i+1) = -1,
A(j+1,j) = -1,
A(i,j) = 0, (|i-j|≧2)
B(i,j) = n+1 - Max{i,j} = min{n+1-i, n+1-j}
189:１３２人目の素数さん
19/12/17 19:52:45 zOjVhgNh.net
>>168
とりあえず前半ができたかな？
適当に近似してC^∞で考える。
diam=2とする。
領域はa(-π/2)=a(π/2)=0である関数を用いて領域
-1+a(t)≦xcos(t)+ysin(t)≦1+a(t)
にあるとしてよい。
直線族xcos(t)+ysin(t)=1+a(t)の包絡線を計算すると
x=acos(t)-a'sin(t)、y=asin(t)+a'cos(t)
となりこの包絡線の長さは
∫(1+a+a'')dt
である。
同様に直線族xcos(t)+ysin(t)=-1+a(t)の包絡線の長さは
∫(1-a-a'')dt
となり、これら二曲線の長さの和は2πである。
よって元の曲線の長さも>>172により2π以下とわかる。
以上により周率の最大値はπである。□
190:１３２人目の素数さん
19/12/17 20:47:40.48 ANQsbXxj.net
>>180
・ブロック分割して直接計算（左下の漸化式）
・基本に戻って？掃き出し法
・>>181をチラ見した後（）なら、見当をつけて帰納法
自分で言うのもアレだが、どれもつまらない
Cartan行列もどきなので、何か上手い手があるのかもしれない
191:１３２人目の素数さん
19/12/18 03:46:05.43 7FLg/0yy.net
>>182
例えばa(t)=cos(t)とすれば
包絡線は(x-1)^2+y^2=1になってしまい、直径2の凸図形が全て入るとは限らないと思うのですが
192:１３２人目の素数さん
19/12/18 04:00:55.92 7FLg/0yy.net
>>184
すみません勘違いしました
つまり直径2の凸図形を任意に用意して、内部の点Oからx軸となす角度tの直線L(t)を引いて凸図形との二交点ABの距離は常に2以下なので|OA|≦1+a(t)、|OB|≦1-a(t)となるように関数a(t)が取れて、
さらに、その凸図形内の点(x,y)をL(t)に射影したときのOからの長さが常に1-a(t)、1+a(t)で抑えられるということですか？
193:１３２人目の素数さん
19/12/18 10:14:40.17 Kc9D2QKc.net
>>185
そうです。
周の長さがa(t)の取り方によらず常に2πになるみたいです。
194:１３２人目の素数さん
19/12/18 11:47:25.68 7FLg/0yy.net
>>186
なるほど 素晴らしい解答ありがとうございます
ちなみに想定していた解法は以下の通りです
凸曲線C上の点pにおける接線lの平行線l’がC上の別の一点のみと交わるとき、lとl’の距離をW(t)とする.(Cの点pにおける幅)
曲線を{p(t)}_{t∈[0,2π]}として、p(t)における内向き法線ベクトルn(t)がn(t)=(cost,sint)となるようにパラメータ付ける. このとき、W(t)=-p(t)・n(t)-p(t+π)・n(t+π)となる.
したがってLをCの長さ、vを単位接ベクトル、kを曲率とすれば、
∫_0^π W(t)dt
=∫_0^π {-p(t)・n(t)-p(t+π)・n(t+π)}dt
=-∫_0^(2π) p(t)・n(t) dt
=-∫_0^L p(s)・n(s) k(s) ds (孤長パラメータに変換)
= -∫_0^L p(s)・v’(s) ds
= ∫_0^L p’(s)・v(s) ds
= ∫_0^L v(s)・v(s) ds
=L となる.
よって、max_{t∈[0,2π]} W(t)≦直径 に注意すれば、
周率=長さ/直径≦ ∫_0^π W(t)dt/ max_{t∈[0,2π]} W(t)
≦π* max_{t∈[0,2π]} W(t)/max_{t∈[0,2π]} W(t)=π. ◽︎
ちなみにこのことから、等号が成立する必要十分条件は凸曲線が定幅曲線、ということになります
したがって>>168後半の問題は「直径固定の
195:定幅曲線で囲まれる面積が最小のものを求めよ」という問題になります
196:１３２人目の素数さん
19/12/19 08:53:34.12 HO+P0Q3G.net
>>187
後半ヒントおながいします。
197:イナ
19/12/19 19:41:33.61 SXZy4mCY.net
前>>177
>>111なんで急にlog3が出てきたの？
1/xを積分したの？
積分したら負けって言ったのに。気にlog。
log3/3=0.159040418……
2log3/3=0.318080836……
グラフを描いたらなんかわかる可能性はあるけど。なにかを知ってて意図的に出したとしか思えない。
198:イナ
19/12/19 20:00:40.55 SXZy4mCY.net
前>>189
>>112は公約どおり積分してないみたいだけど、
expのとこが怪しい。
気にlog出したりはしてないけど、気に3^(1/3)を出してる。
数学は答えを言い当てる理科や社会とは違うはず。
論理的なつながりで答えを導かないと説得力がない。
正解とは言えない。
199:１３２人目の素数さん
19/12/19 20:04:19.44 pk6IKNrH.net
cosh(t)=5/3を解いてるだけやん
200:１３２人目の素数さん
19/12/19 21:15:55.83 ULxMJW80.net
>>188
すみませんがこれは前半ほどサクッとは解けません
というより名前の付いた定理です(ググれば出ます)
ポントリャーギンの最大値原理を使って示します
201:イナ
19/12/19 23:14:12.74 SXZy4mCY.net
前>>190
急に(きゅうに)を書きこむと、なぜか文字化けして、
× 気に(きに)になるけど、
○ 急に(きゅうに)です。
>>191点Bのx座標が5/3というのはわかります。
なにを解いてlog3が出てきたのかがわかりません。1/xを積分したのがlog|x|だというのは知ってます。
202:１３２人目の素数さん
19/12/19 23:38:58.49 pk6IKNrH.net
だから
cosh(t)=(e^t+e^(-t))/2=5/3
sinh(t)=(e^t-e^(-t))/2=4/3
を解く。
203:１３２人目の素数さん
19/12/20 02:06:23.61 yiLw1Jz8.net
0630
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
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204:１３２人目の素数さん
19/12/20 09:42:54.14 ipZ1Vjdr.net
n個の実数 a_i (i=1,2,...n) から任意のx,y を選んでリストから消し、f(x,y)を付け加える操作を繰り返す
と最終的に一つの実数が残ります。最終的に残る値が選び方によらずに同一の値になるような
f(x,y)の必要十分条件を求めてください。
205:１３２人目の素数さん
19/12/20 11:01:39.26 RnyITPkA.net
(R,f)が可換半群になること
206:イナ
19/12/20 19:37:40.65 YrQye4gv.net
前>>193
>>194cosやsinやeが出てくるとわかりにくいので、3つの領域の面積を足すか、等しいとおくか、そっちの方針で積分の仕方を教えてもらえませんか？
S=∫[x=1→p](x^2-1)^(1/2)dx+∫[x=p→q](x^2-1)^(1/2)dx+∫[x=q→5/3](x^2-1)^(1/2)dx
-(1/2)(p-1)√(p^2-1)
-(1/2)(q-p){√(p^2-1)+√(q^2-1)}
-(1/2)(5/3-q){√(q^2-1)+4/3}
積分関数は微分したもの(2x)で割るんじゃなく、微分したもの(2x)を掛けるんでしたか？ 割るとすべての項が負になったので、これは違うなと。
207:１３２人目の素数さん
19/12/20 22:37:38.80 2HvWqgn1.net
>>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積�
208:ﾌ最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。 その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。 残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。 なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。 やりたければどうぞ。
209:１３２人目の素数さん
19/12/20 22:37:44.56 2HvWqgn1.net
>>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。
210:１３２人目の素数さん
19/12/20 22:37:54.45 2HvWqgn1.net
>>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。
211:１３２人目の素数さん
19/12/20 22:38:57.22 OCQhfx9K.net
>>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。
212:１３２人目の素数さん
19/12/20 22:40:46.67 OCQhfx9K.net
スマソ。
あまりの重さに連投になってしまった。orz
213:イナ
19/12/20 23:48:59.03 YrQye4gv.net
前>>198え、あってんの!?
やったー!! やっぱ積分したら負けなんですね。積分しないで解けるってことですね。せやて積分したら3項とも負になったでね。連投いいですよ。べた褒めみたいでとてもいいです。
で、どうやってp,qを出すかですが、どうしたらいいんですか？ eとかcosとかsinとかなしで。置換してもいいけどcosとかはやめて。ていうか積分なしで。
214:１３２人目の素数さん
19/12/21 00:17:18 niWYfzaW.net
>>204
だから>>198のS=の右辺をp,qの2変数関数とみなして増減を調べる。
第1項～第3項の和はp,qに無関係な定数。
未知数二つなので式二つ必要。
まずqを定数とみなしてpのみの関数とみなして微分して0が必要でそれで一個。
次にpを定数とみなしてqのみの関数とみなして微分して0が必要で二個目。
正しく解けは解ける。
215:イナ
19/12/21 01:35:39.06 q5Y63yec.net
前>>204
>>205
S'(p)=0より、―①
S'(q)=0より、―②
①②より、p= q=
積分したら負け、微分したら勝ち。
なるほど。面白い。
216:１３２人目の素数さん
19/12/21 11:18:59.36 04Yc6W8C.net
nを自然数とする。ある多項式F(x)について、xの次数がnの倍数である項の係数の和をf(n)とする。ただし定数項はxの次数が0である。
(0) F(x)=(1+x)^7 のとき f(2), f(3)の値を求めよ。また
(1) 素数pについて、
f(p)=(1/p)*{Σ[k=1→p] F(cos(2kπ/p)+isin(2kπ/p))}
で表されることを示し、
(2) f(n)=(1/n)*{Σ[k=1→n] F(cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n))}
で表されることを示せ。
217:１３２人目の素数さん
19/12/21 12:28:49.85 ucYznWes.net
>>207
各nについてf(n)を多項式環からの写像と見なせば線形写像であるから単項式について示せば十分。
以下ζ=e^(2πi/n)とする。
F(x)=x^tとする。
tがnの倍数でないとき
(1/n)ΣF(ζ^k)=(1/n)(1-ζ^n)/(1-ζ)=0=f(n)。
tがnの倍数のとき
(1/n)ΣF(ζ^k)=(1/n)n=1=f(n)。
218:１３２人目の素数さん
19/12/21 17:32:43.94 lcZbkAwJ.net
>>208
すいません、高校数学の言葉に焼き直すとどうなりますか...？
219:１３２人目の素数さん
19/12/23 01:54:49.32 qOLAQK9r.net
nを2以上の整数、kを0以上n以下の整数とする。部屋には男子と女子が何人かいて、どの男子と女子についても、互いに知り合いであるか知り合いでないかのどちらかである。
どの男子もちょうどn人の女子と知り合いであり、どの女子もちょうどn人の男子と知り合いである。
また、どの2人の男子においても、共通の知り合いである女子はちょうどk人である。このときどの2人の女子においても、共通の知り合いである男子はちょうどk人であることを示せ。
220:１３２人目の素数さん
19/12/23 02:05:33.16 ejWHZ3VG.net
>>196
f(x,y)=F^(-1)(F(x)+F(y)) (F^(-1)は逆関数、F(x)は任意の関数)
Σ(i=1,2,...n)F(a_i) が入れ替えの操作で不変量となるから
221:１３２人目の素数さん
19/12/23 08:04:12.57 FUuuzwBf.net
日本シリーズは先に4勝したチームが優勝
222:。 勝率はそれまでの通算勝率に従うとする。引き分けはないものとする。 勝負がつくごとに次回の勝率が変化する。 シリーズ開始前の通算成績はA:2勝、B:4勝であった。 今シリーズでAが先勝（第一試合に勝利）した。 この時点でどちらが優勝するか賭けをする。 A,Bのどちらに賭ける方が有利か？"
223:１３２人目の素数さん
19/12/23 09:01:25.24 petpfgon.net
＞勝負がつくごとに次回の勝率が変化する。
224:イナ
19/12/23 10:13:24.32 YQobTPKD.net
前>>206
Bで。
225:１３２人目の素数さん
19/12/23 12:11:18.51 VYNDirBk.net
>>210
男の人数をp、女の人数をqとしてp行q列行列Aを
Aij=1 男iと女jが知り合いのとき
. 0 otherwise
で定める。
またAの転置行列をA~で表すとする。
条件より全行ベクトルの和は全成分がnの1行q列のベクトルであり、その成分の和はqnである。
同様に全列ベクトルの和は全成分がnのp行1列のベクトルであり、その成分の和はpnである。
これらが等しいからp=q。
p次単位行列をI、全成分が1のp次正方行列をBとすれば条件より
AB=BA=nB
AA~=(n-k)I+kB
である。
よってAはBと可換であり、したがって(n-k)I+kBとも可換である。
ここでBはrank1の行列でその固有値pは(k-n)/kと一致しないから(n-k)I+kBは可逆である。
よってAも可逆であり
A~=A^(-1)((n-k)I+B)
もAと可逆である。
以上によりA~A=(n-k)I+B
であり主張は示された。□
226:１３２人目の素数さん
19/12/23 12:18:54.81 ecugu1xJ.net
>>213
第二試合にAが勝つ確率は通算勝率の3/7
Aが勝ったら第三試合に勝つ確率は4/8
Aが負けたら第三試合に勝つ確率は3/8
になるという設定。
227:１３２人目の素数さん
19/12/23 12:45:22.48 Vck4TjAJ.net
>>212
同じになった
計算間違えているとするとなかなか奇跡的ｗ
228:１３２人目の素数さん
19/12/23 13:02:50.72 ecugu1xJ.net
>>217
私の計算でも0.5になった。
229:１３２人目の素数さん
19/12/23 13:17:01.60 Vck4TjAJ.net
じゃあ合ってるのか
何かうまい考え方をすると簡単に五分五分だとわかることなんだろうか
230:１３２人目の素数さん
19/12/23 13:19:05.26 ecugu1xJ.net
100万回のシミュレーションでも0.5みたい。
> rm(list=ls())
> N_series <- function(A=1,B=0,w=4,a=2,b=4,k=1e6){
+ sim <- function(){
+ while(A < w & B < w){
+ p=(A+a)/(A+B+a+b)
+ g = rbinom(1,1,p)
+ if(g==1){
+ A=A+1
+ }else{
+ B=B+1
+ }
+ }
+ A > B
+ }
+ mean(replicate(k,sim())) # Pr[A wins]
+ }
> N_series()
[1] 0.500051
231:１３２人目の素数さん
19/12/23 13:19:40.51 ecugu1xJ.net
>>219
実はそれが知りたくて投稿してみた。
232:１３２人目の素数さん
19/12/23 13:30:37.77 Vck4TjAJ.net
nを2以上の自然数として(2n-1)戦でn勝した方が勝ちというシリーズで1戦目を負けた方のチームの勝率がn/(2n-1)になるとシリーズ優勝の確率は同率になるのかな？
233:１３２人目の素数さん
19/12/23 16:52:56.92 /G9qsiWR.net
>>212
不透明な壺と透明な壺を用意し、どちらにも、ｎ個の白玉とｍ個の黒玉を入れておく。（ｎ、ｍは正整数）
「不透明な壺に手を入れ、よくかき混ぜて球を一つ取り出し、色を確認して戻し、
同じ色の球を透明な壺から不透明な壺へ一つ移す。」
という操作を繰り返し行い、不透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？
（恐らく）答え ｎ，ｍの値に関係なく １／２
という問題の具体例版 だと思う。
234:１３２人目の素数さん
19/12/23 16:55:01.28 /G9qsiWR.net
誤：という操作を繰り返し行い、不透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？
正：という操作を繰り返し行い、 透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？
235:イナ
19/12/23 18:31:02.00 YQobTPKD.net
前>>214
>>212え、Bのほうが有利なんじゃないの？ 先にAが勝っただけで通算だとBのほうが勝率いいじゃん。第2戦は4/7の確率でBが勝つよ。Bが勝った場合、第3戦は5/8の確率でBが勝つ。Bが勝った場合、第4戦は6/9=2/3の確率でBが勝つ。Bが勝った場合、第5戦は7/10すなわち7割の確率でBが勝って日本一。 そろともなにか？ 負ける場合も考えると勝つ確率は変わると言うのか？ じゃあ考えたら負けだ。7割勝つ。信じるしかない。
237:１３２人目の素数さん
19/12/23 18:49:59.56 /K57AvEV.net
>>225
>先にAが勝っただけ
という時点で運命が決まったんじゃないの？
238:１３２人目の素数さん
19/12/23 19:18:17.09 /K57AvEV.net
０．５を算出する前提
Aが優勝する以後の勝敗の順列（１を勝ちとする）は以下の２０通り。
> (dat3=dat[apply(dat,1,sum)==3,]) # Aあと３勝の仕方 末尾に連続する0は無視
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 0 0 0 1 1 1
[2,] 0 0 1 0 1 1
[3,] 0 0 1 1 0 1
[4,] 0 0 1 1 1 0
[5,] 0 1 0 0 1 1
[6,] 0 1 0 1 0 1
[7,] 0 1 0 1 1 0
[8,] 0 1 1 0 0 1
[9,] 0 1 1 0 1 0
[10,] 0 1 1 1 0 0
[11,] 1 0 0 0 1 1
[12,] 1 0 0 1 0 1
[13,] 1 0 0 1 1 0
[14,] 1 0 1 0 0 1
[15,] 1 0 1 0 1 0
[16,] 1 0 1 1 0 0
[17,] 1 1 0 0 0 1
[18,] 1 1 0 0 1 0
[19,] 1 1 0 1 0 0
[20,] 1 1 1 0 0 0
239:１３２人目の素数さん
19/12/23 19:19:27.58 /K57AvEV.net
Aが優勝する以後の勝敗の順列＝Aが優勝するときの第二試合以後の勝敗の順列
240:１３２人目の素数さん
19/12/23 23:55:27.94 /G9qsiWR.net
>>223
続き
白玉がｎ個出る前に、黒玉がｋ(k<m)個でる確率は
黒玉が連続してk個出て、白玉が連続してn個出る確率のC[n+k-1,k]倍なので、
C[n-1+k,k]*{m*(m+1)*...*(m+k-1)}*{n*(n+1)*...*(2n-1)}/{(n+m)*(n+m+1)*...*(2*n+m+k-1)}
=C[n-1+k,k]*P[m+k-1,k]*P[2n-1,n]/P[2n+m+k-1,n+k]
黒玉が0個からm-1個までの和を取れば、求める確率なので、
Σ[k=0,m-1]{C[n-1+k,k]*P[m+k-1,k]*P[2n-1,n]/P[2n+m+k-1,n+k]}
が求めるもの。
m,nに適当な数字を入れてWolfram先生に計算してもらったところ、
m,nに関係なく、 1/2 になるようです。予想は正しそうですが、証明はちょっと難しい。
241:
19/12/24 00:11:35.58 mv44BLS5.net
前>>225
>>226それはどうかな。
俺は俺が勝つために投げたし、みんな勝つために打ったり守ったり走ったりしたと思う。結果的に7割勝つとわかった。それ以上でもそれ以下でもない。
最初Aに負けて、どうなるかと思った。もうだめなんじゃないかとさえ思ったよ。
それで運命が決まったとは思わないけど、運命というものがあるのなら、あるいはそうかもね。
242:１３２人目の素数さん
19/12/24 00:23:22.12 5iwLbmeP.net
超幾何定理の香りが漂うような‥‥
243:１３２人目の素数さん
19/12/24 02:18:50.81 9bkfghx0.net
>>230
優勝するにはAはあと３勝必要だがBはあと４勝必要と運命づけられちゃったと言えない？
244:１３２人目の素数さん
19/12/24 03:01:07.37 EQnFLeQj.net
ポリヤの壺っていう有名問題？
245:イナ
19/12/24 13:29:13.67 mv44BLS5.net
前>>230
>>232だから、運命なんてわかんないよ。勝ってるうちに強くなるかもしれないし、試合の前とあとではもう違うんだぜ。運命なんて変えてやるよ。みんなそう思ったと思う。
246:１３２人目の素数さん
19/12/24 14:19:00.00 A1/Tuq06.net
>>229
ｍ，ｎを１～１０からランダムに選んで１０万回のシミュレーションをしてみました。
Polya_Urn <- function(k=1e5){
mn=sample(1:10,2)
m=mn[1]
n=mn[2]
a=rep(0:1,c(m,n))
b0=b1=0
sim <- function(){
while(b0<m & b1<n){
b=sample(a,1)
a=c(a,b)
if(b==1){b1=b1+1}else{b0=b0+1}
}
b1==n
}
c(Prob=mean(replicate(k,sim())),m=m,n=n)
}
> Polya_Urn()
Prob m n
0.50125 8.00000 10.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.50022 9.00000 5.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.50065 3.00000 8.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.49939 2.00000 4.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.49657 1.00000 9.00000
ｍ，ｎに関わらず、０．５になるようです。
247:１３２人目の素数さん
19/12/24 14:20:51.91 A1/Tuq06.net
>>234
ターミネーターのセリフだな。
The future is not set. There is no fate but what we make for ourselves.
248:１３２人目の素数さん
19/12/24 14:23:54.14 gLqWXW4m.net
計算するまでもなく1/2になるとわかるような考え方がありそうに思えるのだが全然思いつかない
249:１３２人目の素数さん
19/12/25 05:17:44.73 ylc577yv.net
確率 n/(n+m) で白玉を引いて壺の中の白玉が一つ増える、あるいは、
確率 m/(n+m) で黒玉を引いて壺の中の黒玉が一つ増える、と言う操作（現象）を
確率1で、白成分が、n/(n+m)、黒成分が、m/(n+m) で構成されているキメラ玉を壺に投入する操作と同等
と考えると、白玉が2n個(相当)になるのと、黒玉が2m個(相当)になるのは、同時なので、
どちらが勝つのかが 1/2 づつになるのは当然と 強弁できる かな．．．？
250:１３２人目の素数さん
19/12/25 07:37:46.51 oEKznZ6+.net
ポリアの壺問題の帰納法も計算も要らない証明
URLﾘﾝｸ(shiatsumat.hat) enab og.com/entry/2014/12/08/183943 （空白は除去してください）
ってあるのだけど、私には理解できなかった。
251:１３２人目の素数さん
19/12/25 07:39:57.44 oEKznZ6+.net
>>239
urlがうまく貼れなかったので
ポリアの壺問題の帰納法も計算も要らない証明
で検索してください。
252:１３２人目の素数さん
19/12/25 09:02:05.31 VfGP4dZh.net
>>239-240
この問題はポリヤの壺の発展形。
残念ながらそのリンクの先の証明だけでは無理です。
253:１３２人目の素数さん
19/12/25 20:37:42.24 oEKznZ6+.net
>>225
優勝するにはAは現時点の勝率3/7であと３勝、Bは現時点の勝率4/7あと４勝しなくちゃいけない
どちらが有利か、という問題だと思う。
254:イナ
19/12/26 15:55:13.35 vjdKTfeM.net
前>>234
>>242Bのほうが有利だね。たとえAが第1戦から3連勝したって最終戦に勝つ確率は6割。それに比べBは先にも言ったように7割。わずかだがBの監督が宙に舞う姿を想像するね。
255:１３２人目の素数さん
19/12/26 18:02:51.71 S3aobCgr.net
例えば残り四試合で「Ａが勝ち」で勝負がつくときのパターンとそれに伴う計算式は次
○○●○ ：(3/7)*(4/8)*(4/9)*(5/10)
○●○○ ：(3/7)*(4/8)*(4/9)*(5/10)
●○○○ ：(4/7)*(3/8)*(4/9)*(5/10)
各因子を分数として見ると、各々は異なるが、分子側全体、分母側全体として見ると、
これらは数字の並べ替えに過ぎず、全て同じ値を持つ。この点に注目して、解答を作ると、
残り三試合で「Ａが勝ち」で終了
○○○ ：(3/7)*(4/8)*(5/9)=5/42
残り四試合で「Ａが勝ち」で終了
[●○○]○ ：C[3,1]*(4/7)*(3/8)*(4/9)*(5/10)=1/7
(“[]”は[]内の並べ替えを意味する)
残り五試合で「Ａが勝ち」で終了
[●●○○]○ ：C[4,2]*(4/7)*(5/8)*(3/9)*(4/10)*(5/11)=10/77
残り六試合で「Ａが勝ち」で終了
[●●●○○]○ ：C[5,3]*(4/7)*(5/8)*(6/9)*(3/10)*(4/11)*(5/12)=25/231
5/42+1/7+10/77+25/231=1/2
256:イナ
19/12/26 18:04:24.76 vjdKTfeM.net
前>>243
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Aが勝って優勝する確率は(3/7)(4/8)(5/9)=5/42―①
第2戦Aが勝って第3戦A級が勝って第4戦Bが勝って第5戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)=1/21―②
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Bが勝って第5戦Bが勝って第6戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)(5/11)=5/231―③
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Bが勝って第5戦Bが勝って第6戦Bが勝って第7戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)(6/11)(6/12)=1/77―④
257: ①+②+③+④=1/6+8/231=93/462=31/154 Aが優勝する確率は3100/154=1050/77＜(2割ない) Bのほうが有利。
258:１３２人目の素数さん
19/12/26 18:17:11.99 RCja5F+r.net
>>243
>たとえAが第1戦から3連勝したって
Aはシリーズ開始後はあと３勝すればいいのだから
Aの勝ちを１負けを０で表示すると
Aが優勝するには第２試合以後は
> dat3[17:20,]
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 1 0 0 0 1
[2,] 1 1 0 0 1 0
[3,] 1 1 0 1 0 0
[4,] 1 1 1 0 0 0
の４通り
Bはあと４勝しなくちゃいえないからAが第1戦から3連勝したら
２戦目以後は
1 1 0 0 0 0 （Aの勝ちが1)
でしか優勝できない。
前者は0.1991342
後者は0.01515152
となる。
計算式は
g <- function(x){ # Aの勝敗数列の起こる確率
(tva=cumsum(x)+3) # Aの通算の勝利数
win=c(3,tva)/(7:13) # 試合前の勝利確率
lose=1-win # 負ける確率
(y=rbind(win,lose)[,1:6]) #最終勝率は不要なので除く
p=rep(1,6) # p : 通算勝率の入れ子
for(i in 1:6){
j=ifelse(x[i]==1,1,2) # 勝負によりwin/loseを選択する
p[i]=y[j,i]
if(tva[i]==6) break # シリーズ前２勝＋シリーズ４勝で終了
}
cat(p,'\n') # 通算勝率の変遷
return(prod(p)) # その変遷が起こる確率
}
sum(apply(dat3,1,g)) # 可能な順列の確率を総和
259:１３２人目の素数さん
19/12/26 18:33:04.52 mvnmdT7I.net
>>244
>218ですが、計算ありがとうございました。
きりのいい数字になってびっくりしました。
260:１３２人目の素数さん
19/12/26 18:38:23.54 mvnmdT7I.net
>>244
>各因子を分数として見ると、各々は異なるが、分子側全体、分母側全体として見ると、これらは数字の並べ替えに過ぎず、全て同じ値を持つ。
全く気づきませんでした、プログラムできればいいと愚考してましたので。