20/01/04 03:15:30.16 9c3BmtC3.net
前>>338
>>303
7つの正方形を並べた発想は面白い。けど対角線とか斜めの長さの意外な逆転現象とか面白い部分が見あたらない。
それとも面白さに気づいてないだけなのか。
まさか立方体におさめよという問題でもあるまいし。
5つにしたら一辺2√2の正方形におさまる。新しい発見があったらまた報告したいと思います。
2√2=2.82842712……＜3
358:１３２人目の素数さん
20/01/04 05:39:04.15 OE5Ws6/k.net
>>335
{0}=1
359:イナ
20/01/04 08:11:11.37 9c3BmtC3.net
前>>339
>>303それとも一個一個微妙に角度を変えることで、わずかに3より小さくした一辺2.9いくつの正方形におさまるというのか。
360:１３２人目の素数さん
20/01/04 10:16:31.19 XZ9geCBY.net
以下の条件を満たす立方体と平面の組は存在するか：
立方体の各頂点と平面の距離が0,1,2, .., 7である
361:１３２人目の素数さん
20/01/04 10:34:38.61 p/18DjXS.net
>>335
0^x =0
x^0=1
0^0=1とした方が辻褄が合うことが多い
362:１３２人目の素数さん
20/01/04 10:40:27.17 73ePCfYz.net
問、1からnまでの自然数をランダムに並べ大きな桁の数を作るとき、平方数になるものはあるか。ただし、nは2以上とする。
例、n=2のとき、12と21は平方数ではない。
n=3のとき、123と132と213と231と312と123は平方数ではない。
n=12のとき、123456789101112や121110987654321などは平方数？
363:１３２人目の素数さん
20/01/04 10:47:05.56 OE5Ws6/k.net
>>344
つまんないかな
364:!omikuji !dama
20/01/04 10:54:59.73 nstnR/M9.net
頂点を(±1,±1,±1)としてよい。
この点をP±±±とする。
ベクトルnで
n・P---:P-++:P+-+:P--+=-7:5:3:-1
となるものが存在すれば条件をみたす図形は存在する。
n=(x,y,z)とすればこれは
-x-y-z:-x+y+z:x-y+z:x+y-z=-7:5:3:-1
は解を持つから求める図形は存在する。
365:１３２人目の素数さん
20/01/04 10:58:27.67 j99vM0NN.net
>>344
１からnまでのn個（n≧2）の自然数を順不同に並べてできる自然数の中に
平方数となるものはあるか？
ってことね。とりあえずn=4のときにもないな。
366:１３２人目の素数さん
20/01/04 11:11:46.75 XZ9geCBY.net
>>347
n=8のときは73256481,34857216,81432576,13527684,65318724かな
367:１３２人目の素数さん
20/01/04 11:18:53.90 XZ9geCBY.net
>>347
n=9: 30個の解[714653289,375468129,361874529,..]
n=10: [57926381041,24891057361,28710591364,75910168324,59710832164,27911048356,14102987536]
これ以降は制約が強くなるから減っていきそうだけど…
368:１３２人目の素数さん
20/01/04 14:40:52.17 p/18DjXS.net
>>349
n=9のとき 確かに30個ありました。
> apply(permn[re,],1, function(x) sum(beki*x))
[1] 139854276 152843769 157326849 215384976 245893761 254817369 326597184
[8] 361874529 375468129 382945761 385297641 412739856 523814769 529874361
[15] 537219684 549386721 587432169 589324176 597362481 615387249 627953481
[22] 653927184 672935481 697435281 714653289 735982641 743816529 842973156
[29] 847159236 923187456
369:１３２人目の素数さん
20/01/04 14:51:29.96 p/18DjXS.net
０から９までを並べかえると１０桁の平方数は
> apply(permn[re,],1, function(x) sum(beki*x))
[1] 1026753849 1042385796 1098524736 1237069584 1248703569 1278563049 1285437609
[8] 1382054976 1436789025 1503267984 1532487609 1547320896 1643897025 1827049536
[15] 1927385604 1937408256 2076351489 2081549376 2170348569 2386517904 2431870596
[22] 2435718609 2571098436 2913408576 3015986724 3074258916 3082914576 3089247561
[29] 3094251876 3195867024 3285697041 3412078569 3416987025 3428570916 3528716409
[36] 3719048256 3791480625 3827401956 3928657041 3964087521 3975428601 3985270641
[43] 4307821956 4308215769 4369871025 4392508176 4580176329 4728350169 4730825961
[50] 4832057169 5102673489 5273809641 5739426081 5783146209 5803697124 5982403716
[57] 6095237184 6154873209 6457890321 6471398025 6597013284 6714983025 7042398561
[64] 7165283904 7285134609 7351862049 7362154809 7408561329 7680594321 7854036129
[71] 7935068241 7946831025 7984316025 8014367529 8125940736 8127563409 8135679204
[78] 8326197504 8391476025 8503421796 8967143025 9054283716 9351276804 9560732841
[85] 9614783025 9761835204 9814072356
８７個ありました。
０で始まるのは９桁で記述のとおり。
370:１３２人目の素数さん
20/01/04 15:02:05 XZ9geCBY.net
>>344の答えはn>=11ではそのような数は存在しない
だろうと予想するけど何とも言えないし証明も思いつかない
371:１３２人目の素数さん
20/01/04 15:28:52.09 OE5Ws6/k.net
>>352
だからつまんない
思いついてもはぁそうですかとなりそうで
372:１３２人目の素数さん
20/01/04 17:52:04.39 91U8H0Lr.net
>>313
森口･宇田川･一松 「数学公式I」岩波全書221 (1956) p.286
第6.96図 リマソン(蝸牛線)
r = a･cosθ±b
373:１３２人目の素数さん
20/01/05 01:06:55.23 vbFMRky1.net
>>336
>>337
f_nの値域をW_nとしてW_2020を求めればよい。
漸化式からW_(n+1)とW_nには関係があり、値域が規則的に変化することがわかる。
実際、-1の指数の偶奇に気を付けてW_1, W_2, W_3,...と値域を調べると、[0,1]→[-1,0]→[0,4]→[0,1]→[-1,0]...とmod3で循環する。
2020≡1 (mod3)より、W_2020=[0,1]
ゆえに0≦a≦1
秒で草
374:１３２人目の素数さん
20/01/05 08:03:22.23 yUCMEt/y.net
三辺の長さが自然数の三角形だけを考える。「任意の6の倍数の面積をもつ三角形は必ず存在する」は真か偽か。
375:１３２人目の素数さん
20/01/05 08:26:31.79 WnBhQYbd.net
>>344
結局これべらぼうに難問なのでは
376:イナ
20/01/05 09:07:32.58 Cssr3MUc.net
前>>341
>>356
三辺が3:4:5の三角形は直角三角形でその面積は3･4(1/2)=6、すなわち命題は真。
377:イナ
20/01/05 09:18:47.13 Cssr3MUc.net
前>>358
>>356
三辺が6,8,10なら面積は24で、12を飛ばした。
面積が12になる三辺は存在しないかもしれない。
三辺が5:12:13なら面積は5･12(1/2)=30いや、存在しないはず。命題は偽。
378:１３２人目の素数さん
20/01/05 10:37:05.05 ni7Es8bO.net
（１、√3）を（３、２）に移す行列を求めよ。
また逆に、（３、２）を（１、√3）に移す行列を求めよ。
379:１３２人目の素数さん
20/01/05 11:12:08 WnBhQYbd.net
>>360
a = -3/23 - (16 sqrt(3))/23, b = 8/(3 sqrt(3) - 2), c = 1/(2 - 3 sqrt(3)), d = 3/23 + (16 sqrt(3))/23
とすると
[a,b;c,d][1;√3]=[3;2]
[a,b;c,d][3;2]=[1;√3]
の両方を満たせる
380:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/05 11:28:10 Cssr3MUc.net
前>>359
>>360
(a b)(1 (a+b√3 (3
(c d) √3)= c+d√3)= 2)
a=3,b=0,c=2,d=0
(3 0)
(2 0)
(a b)(3 (3a+2b (1
(c d) 2)= 3c+2d)= √3)
a=1/3,b=0,c=√3/3,d=0
( 1/3 0)
(√3/3 0)
381:１３２人目の素数さん
20/01/05 15:12:12.32 k2hnKqS0.net
>>357
難問というだけだろうよ
382:１３２人目の素数さん
20/01/05 22:34:49.58 nuQeXmwr.net
平面に空いた半径1の円の穴を、辺の長さがaの正四面体が回転しながらくぐり抜けるときのaの最大値を求めよ。
383:イナ
20/01/06 01:27:32.79 o+CoSi8J.net
前>>362
>>364
一辺aの正四面体の体積は(1/3)(√3/4)a^2(√2)a/(√3)
一方で底辺(√3/4)a^2,稜線1,高さhの三角錘が4つが頭寄せで終結した形ともとれるので、
h=√[{√(1-a^2/4)}^2-(1/3)^2(a√3/2)^2]
(1/3)(√3/4)a^2(√2)a/(√3)=4･(√3/4)a^2√[{√(1-a^2/4)}^2-(1/3)^2(a√3/2)^2]
a^2=216-72a^2
a^2=216/73
a=√(216/73)
=√15768/73
=1.72014654……
384:364
20/01/06 02:02:04.23 s19KxsdE.net
>>365
不正解です。
ヒント：3次方程式の解の公式を使います。
385:イナ
20/01/06 05:24:00.89 o+CoSi8J.net
前>>365訂正。見えた！
a:√2=2:√3
a=2√2/√3
=2√6/3
=2･2.44949……/3
=4.89898……/3
=1.63299……(＜1.72)さっきよりちっさなった。
386:364
20/01/06 05:52:38.80 s19KxsdE.net
>>367
残念ながら答えは遠のきました。
とりあえず紙工作で実験すれば2桁ぐらいの精度でわかると思います。
そして紙工作をいじってるうちに、くぐり抜けるための条件が閃くかも…
387:１３２人目の素数さん
20/01/06 05:55:47.47 vM9mJtxE.net
平面上に有限個の点があり、どの3点も同一直線上にない。
各点には少なくとも1本の線分がついていて、他の点と結ばれている。
このとき、「2本の交差する線分ABとCDがあれば、その2本を取り除き、線分ACとBDで置き換える」ことにする。
「」内の操作を無限に行うことは可能か？
388:１３２人目の素数さん
20/01/06 06:19:06.56 qpjRtnKS.net
交差が偶数個でなおかつ消失が奇数個ずつである時有限となる。
それ以外は無限
389:哀れな素人
20/01/06 11:18:45.98 56tqCV8z.net
>>364
イナ氏の答えａ=2√6/3 が正解のような気がするが。
回転しないでよいならa=√3の正四面体がくぐり抜けられるが、
題意を考えると、半径１の球�
390:ﾉ内接する正四面体の一辺の長さはいくらか、 という問題と同じだから、ａ=2√6/3となるはずだが。
391:１３２人目の素数さん
20/01/06 11:44:08.20 CEqlnY/2.net
回転しながらってそういう意味じゃないんじゃないか？
途中で適当に回転させてもよいから通り抜けられればOKって意味なんじゃ？
392:１３２人目の素数さん
20/01/06 11:45:33.13 KFIwF7Zl.net
>>359
三辺の長さが5,5,6や5,5,8なら面積は12
393:364
20/01/06 11:55:35.34 s19KxsdE.net
>>371
題意は、知恵の輪を解くようにありとあらゆる回転と移動を行って
厚さ0の平面に空いた単位円の穴をくぐり抜けるという意味です。
>回転しないでよいならa=√3の正四面体がくぐり抜けられるが、
平行移動のみでも√3は最大ではありません。
大前提として「回転を許す場合のaの最大値 ≧ 平行移動のみのaの最大値」
が成り立つことを考慮願います。
394:１３２人目の素数さん
20/01/06 13:21:17 g5QBq4Ak.net
勘で正四面体ABCDのAB,AC上のPQをAP=AQととるときの△DPQの外接円の半径の最小値の逆数。
395:１３２人目の素数さん
20/01/06 13:42:46 Bpkl9Cm1.net
>>364
これかな
URLﾘﾝｸ(tzamfirescu.tricube.de)
396:イナ
20/01/06 16:04:24.20 o+CoSi8J.net
前>>367
>>364問題にバーバトリックはこれを認めるとか、棒高跳びのようにバーに触れても絶対にセーフとか但し書きが要ると思う。
397:哀れな素人
20/01/06 16:33:07.70 56tqCV8z.net
>>374
とりあえずa=4√2/3の正四面体は平行移動だけで通り抜けられることは分った。
398:１３２人目の素数さん
20/01/06 16:39:23.32 TlFZt9uI.net
>>376
図でおながいします
399:１３２人目の素数さん
20/01/06 16:55:32.08 Bpkl9Cm1.net
>>379
URLﾘﾝｸ(ars.els-cdn.com)
400:イナ
20/01/06 17:16:55.96 o+CoSi8J.net
前>>377
>>364
一瞬回転止まるけど、ねじれの位置にある2辺以外の、長さaの4つの辺の真ん中が輪を通過するとき、正四面体はあっち側とこっち側とで半々になってる。
つまり一辺a/2の正方形が半径1の円にちょうどおさまるときがaは最大。
(a/2)√2=2
∴a=2√2=2.82842712……
但し、バーバトリックを認めないなら、回転中の正四面体が円内で詰まる可能性がある。
401:哀れな素人
20/01/06 17:44:50.78 56tqCV8z.net
>>364の答えは、たぶんa=2である(笑
円の直径に正四面体の底辺の一辺を合わせる。
そのとき正四面体の底辺の他の二辺は円の直径と
それぞれ60°の角度で接している。
その状態のまま、その接している２点の弦を中心にして回転させると、
通り抜けられる、たぶん(笑
402:364
20/01/06 17:47:28.51 s19KxsdE.net
>>375
その勘は正しい！
>>376
の文献にその証明が載っている。
>>378
平行移動のみの場合は4√2/3よりもうちょっと大きくできる。
>>381
それはさすがに大きすぎて、ひねることすらできない。
もっと小さきくするとひねったり回転させたりできて、はずせるようになる。
403:イナ
20/01/06 19:30:40.13 o+CoSi8J.net
前>>381
>>383でもa=2√2で高速回転してるよ。
どうやって入ったかは微妙だけど、正四面体の真ん中で円を跨いで回転してんだよ。入ったんだから出られるでしょ。
a=2√2より小さくなれば通れるの当たり前じゃん。
じゃあ逆にそれ、回転してんの？ 実際は回転できないんじゃないの？
ねじりながら通ったらそれでいいってこと？
404:１３２人目の素数さん
20/01/06 19:59:10.76 yym51Tg7.net
>>363
n=11 の 39916800通りの順列の中には平方数はなかった。
405:１３２人目の素数さん
20/01/06 20:10:41.10 Bpkl9Cm1.net
>>385
ちなみに
n=12の時もないがn=13の時はあった（58911124131067321等）
どうやら>>352の予想は外れたようだ
406:１３２人目の素数さん
20/01/06 20:36:13.69 TlFZt9uI.net
>>380
これで通り抜けられるのかイメージできないんですが。
407:１３２人目の素数さん
20/01/06 20:38:04.60 yym51Tg7.net
>>386
お疲れ様です。
うちのパソコンと俺のプログラム技術では11までが限度だった。
408:１３２人目の素数さん
20/01/06 21:02:00.19 Bpkl9Cm1.net
>>388
こっちもこれ以上のnでは無理だ
誰かプログラミング上手い人にやってもらいたいな
409:イナ
20/01/06 21:55:05.57 o+CoSi8J.net
前>>384
>>364
正四面体の1つの頂点Aが円周上をちょうど通過するとき、BC上のB寄り1:2の地点とCD上のC寄り1:2の地点が円に触れることがあるんじゃないか。そのとき円内にちょうどある正四面体の断面は二等辺三角形で、2辺がa√7/3,底辺がa√3/3だからピタゴラスの定理により、
(a√3/6)^2+[1+√{1-(a√3/6)^2}]^2=(a√7/3)^2
a^2/12+(1+a√11/12)^2=7a^2/9
12a^2+(12+a√11)^2=16･7a^2
12a^2+144+24a√11+11a^2=112a^2
89a^2-24a√11-144=0
a=12√11+√(144･100)/89
=(12√11+120)/89
=1.79549997……
超えんかぁ。やっぱりa=2が最大か。
2＜a＜2√2を満たすaがあると思うんだけど。
410:イナ
20/01/06 22:23:24.99 o+CoSi8J.net
前>>390
>>380この絵いいね。
a=2√2だときっつきつだけど、2√2よりちょっと小さいaで、2より大きくても通るんじゃないかと。
のれんの竿の長さは間口よりも確実に長い。
でも女将は難なくのれんを出す。
2＜a＜2√2を満たすaがあるはず。
411:１３２人目の素数さん
20/01/06 22:42:23.69 Bpkl9Cm1.net
>>391
>>376の結果的にa=1.791...だからこれを超えちゃうのはまずい
412:１３２人目の素数さん
20/01/06 22:46:53.81 Bpkl9Cm1.net
>>392
ごめんa=2.233だった
413:イナ
20/01/06 22:59:13.05 o+CoSi8J.net
前>>391
問題>>364
>>376
500キロバイト超えるダウンロードしたけど白紙6枚で、縮小したけどやっぱり白紙の長方形が6枚あるだけしか見えない。
a=2.33ぐらいなら、知恵の輪のように通過しうる妥当な最大値かな、という気がする。
414:１３２人目の素数さん
20/01/06 23:13:58.38 Bpkl9Cm1.net
>>394
論文の著者タイトル等は以下の通りなのでググるなりなんなり
J. Itoh, Y. Tanoue, T. Zamfirescu, Tetrahedra passing through a
circular or square hole, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo,
Suppl. 77 (2006), 349-354.
415:364
20/01/06 23:14:36.08 s19KxsdE.net
>>375 が解法の本質をついているので、その方針で計算を示します。
正四面体ABCDの辺BCと辺BDをt:1-tに内分する点をそれそれP,Qとし、
三角形APQ (辺の長さはAP=AQ=a√(1-t+t^2), PQ=at) が単位円に内接するときの
三辺の長さと内接円半径の関係式を求めると
a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)
となる。そしてこの右辺をf(t)と置いてf(t)の0<t<1での最大値を計算する。
f'(t)=0の分子の方程式3t^3-6t^2+7t-2=0をカルダノの公式で解くと
t_0= (2 + (-4+√43)^(1/3) - (4+√43)^(1/3))/3 = 0.39125971029558…
であり、このときの極値は
f(t_0)= (√3/9)√(38 + (277217+41796√43)^(1/3) + (277217-41796√43)^(1/3))
= 2.23311138619632… (これは9x^6-38x^4+9x^2-216=0の正の根でありaの最大値�
416:ﾆなる) a=f(t_0)のとき点A,点P,点Qは単位円にギリギリ内接し、 PQを軸にして正四面体を回転させれば点Aを点B側にくぐらせることができ、 この手順を2回繰り返して単位円を通過させられる。 f(t_0)よりもaが大きいと正四面体はどうやっても1つの頂点しか単位円をくぐらない。 詳細な証明は >>376 の文献にあるので、腑に落ちない部分は補完してください。 また http://www.alg.cei.uec.ac.jp/itohiro/Games/090303/090303-08.pdf にこの問題の日本語サーベイがあって、答えを抽出すると全く同じ値 (aの最大値) = 2/γ(3,B_2) = 1/r (rは216x^6-9x^4+38x^2-9=0の(0,1)区間の根) = 2.23311138619632… になります。 この問題の類題は東大入試で複数回（1988年,1990年）出題されているそうです。
417:イナ
20/01/06 23:33:45.60 o+CoSi8J.net
前>>394
>>364
答えだけわかってもだめだよね。
a=2√2みたいな確固たる値が示せないと。式だよ、式。半径1の円を通過する正四面体の断面が二等辺三角形のとき、斜辺は2より小さいけど、
a√7/3=2としたら、
a=6√7/7=2.264565……
2.23～√5あたりにありそうではある。
418:１３２人目の素数さん
20/01/06 23:38:26.39 XiX60q02.net
wolfram大先生に答えだけは教えてもらえてたんだけどね。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
証明がいいのが思いつかんかったな。
419:１３２人目の素数さん
20/01/07 00:17:46.04 uysOw5yp.net
>>369
ヒントおながいします。
420:
20/01/07 00:29:16.42 +rGyGxy4.net
前>>397
>>364
正四面体の頂点Aが半径1の円の円周を通過するとき、BCをt:1-tに分ける点とCDを1-tに分ける点がちょうど円周に接するとすると、
半径1の円を△BCDのうち点Cだけが先に通過したとして、頭を出している△BCDの面は、
2辺がat,at√3で斜辺が(1-t)aだからピタゴラスの定理により、
a^2t^2+3a^2t^2=(1-t)^2a^2
4a^2t^2=(1-t)^2a^2
4t^2=1-2t+t^2
3t^2+2t-1=0
(3t-1)(t+1)=0
t=1/3
断面は2辺がa√7/3,底辺がa√3/3の二等辺三角形で、半径1の円内にちょうどおさまる。ピタゴラスの定理により、解けると思ったんだけど。
a=2.23……になるみたいなんだけど。
421:１３２人目の素数さん
20/01/07 00:43:29 JXYplJLU.net
1988年はあの正四面体の正射影のやつか
422:１３２人目の素数さん
20/01/07 02:20:57.85 iiuZP5bH.net
1から9までの自然数を並べ9桁の数を作ると9!=362880通り
その数字を小さい順に並べると10万個めにあたる数字はいくつか？
パソコン使うと解けるけど、手作業だとどうやるんだろ？
423:イナ
20/01/07 02:39:22.15 +rGyGxy4.net
前>>400
>>401たしか何回も反芻して脳内にα波だかドーパミンだかをたくさん出させて俺を押し上げてくれたやつだ。
424:１３２人目の素数さん
20/01/07 06:34:33.67 Qgzj/uib.net
>>402
1□□□□□□□□→40320通り
2□□□□□□□□→40320通り
31□□□□□□□→5040通り
32□□□□□□□→5040通り
34□□□□□□□→5040通り
351□□□□□□→720通り
352□□□□□□→720通り
354□□□□□□→720通り
356□□□□□□→720通り
357□□□□□□→720通り
3581□□□□□→120通り
3582□□□□□→120通り
3584□□□□□→120通り
3586□□□□□→120通り
3587□□□□□→120通り
35891□□□□→24通り
358921□□□→6通り
358924□□□→6通り
3589241□□→2通り
3589246□□→2通り、計10万通り
答、358926471
425:１３２人目の素数さん
20/01/07 07:17:17.60 iiuZP5bH.net
>>404
お見事です。
ありがとうございました。
426:１３２人目の素数さん
20/01/07 09:11:37.32 nc6rRYgZ.net
>>399
AB+CDとAC+BDの大小関係を調べる
427:１３２人目の素数さん
20/01/07 09:24:42.49 Tgq0BG0Z.net
>>406
交点をXとして
AX+XC>AC, BX+XD>BD
だから
AB+CD>AC+BD
これだけか‥‥orz
428:１３２人目の素数さん
20/01/07 14:49:14.00 iNY/Lj/P.net
>>344
明らかかもだけどまだ誰も言及してなかったので一応。
1からnまでの整数の和は n(n+1)/2 だから、
1からnまでを全て一回ずつ並べてできる数の9による剰余は
0, (n≡0,8 mod9)
1, (n≡1,4,7 mod9)
3, (n≡2,6 mod9)
6 (n≡3,5 mod9)
となる。法9の平方剰余は 0,1,4,7 のみだから、適するnは ≡0,1,4,7,8 (mod9) のみであることがわかる。
これが十分条件かはわからないけど…
429:１３２人目の素数さん
20/01/07 20:26:33.37 VVqu10ev.net
>>398
やっと証明できた。
論文と同じかもしれないけど。
P,QをそれぞれAB,AC上を自由に動かしたときの△DPQの外接円の半径が最小となるときAP=AQ。
∵) 半径最小となる時の外接円の中心をO、半径をRとする。
微小変化でRが減少しないからABはOPと垂直である。
そうでなければABは中心O、半径Rの球に接していない。
よってPをどちらかに微小に動かして∠DPQを減少させることができる。
DQは変えてないから外接円の半径が減少して矛盾。
同様にACはOQと垂直である。
Pを通るOPに垂直な平面をα、Qを通るOQに垂直な平面をβとするとAはこのに平面の交線上にあり、P,Qそれぞれからこの公線への距離も等しい事からAP=AQである。□
からの>>396で完成。
430:イナ
20/01/07 21:58:29.83 +rGyGxy4.net
前>>403(前々>>400のつづき。やっとできた。ただの計算間違いだった模様。探していた2よりやや大きいaがみつかった)
>>364
正四面体の頂点Aが半径1の円の円周を通過するとき、BCをt:1-tに分ける点とCDをt:1-tに分ける点がちょうど円周に接するとき、
半径1の円を△BCDのうち点Cだけが先に通過したとして、頭を出している△BCDの面は、2辺がat,at√3で斜辺が(1-t)aだからピタゴラスの定理により、
a^2t^2+3a^2t^2=(1-t)^2a^2
4a^2t^2=(1-t)^2a^2
4t^2=1-2t+t^2
3t^2+2t-1=0
(3t-1)(t+1)=0
t＞0より、t=1/3
正四面体を半径1の円で切った断面は二等辺三角形で、辺の長さはピタゴラスの定理により、
2辺が√{(a/6)^2+(a√3/2)^2}=a√7/3
底辺が√{(2a/3)^2-(a/3)}=a√3/3
二等辺三角形の高さはピタゴラスの定理により、
√{(a√7/3)^2-(a√3/6)^2}=√(7a^2/9-a^2/12)
=a√(28-3)/6
=5a/6
半径1の円の中心から二等辺三角形の底辺までの長さはピタゴラスの定理により、
√{1-(a√3/6)^2}
これに円の半径を足すと、二等辺三角形の高さになるから、
1+√{1-(a√3/6)^2}=5a/6
√{1-(a√3/6)^2}=5a/6-1
1-(a√3/6)^2=25a^2/36-5a/3+1
(a√3/6)^2+25a^2/36=5a/3
a≠0だから、
(1/12+25/36)a=5/3
(3+25)a=60
7a=15
a=15/7
=2.142857142857……
∴aの最大値は、のれんの竿が間口を超えるように、円の直径2を1/7だけ超える数。
431:１３２人目の素数さん
20/01/07 22:24:22.33 VVqu10ev.net
レフェリーの査読を受けた折り紙付の論文にケンカうるやつがいたんですよ～
432:イナ
20/01/07 23:20:12.70 +rGyGxy4.net
！_;'.,ﾌｩ!ｯ― __/__
/__'､､;_`/__/__/__/__
/_（`｡(○⌒≡○ﾞ__/__
/__○‥（`｡'彡_/__/__
/__ι￣)_`○_）ｶﾞｲﾌﾞﾉ
/__υ`υ_ι￣)_/ﾛﾝﾌﾞﾝﾉ
/__/__/__υ`υ_/_ｺｴﾅﾄﾞ
433:
20/01/08 00:35:32.24 qrRgEAQj.net
'､､､`'__/__/__/__/__
(`｡(○⌒≡○ﾞ_/__/__
_○‥（`｡'彡 _/__/__
__ι￣)_`○_）/__/__
__υ`υ_ι￣)_/__/__
__/__/__υ`υ_/__/__
ﾅﾙﾎﾄﾞ｡前>>412前々>>410ﾂﾏﾘｻﾝﾌﾞﾝﾉｲﾁｼﾞｬﾅｲtﾉｧﾀｲｶﾞｧﾙｯﾁｭｰｺﾄヵ!
434:１３２人目の素数さん
20/01/08 01:00:10.90 inpfJNh6.net
P,Qをそれぞれ稜AB,稜AC上で動かす。
t → t_0 のとき
AP = AQ = PQ = a･t → a･t_0
DP = DQ = a√(1-t+tt) → a･y
ここに y=0.87282555565530973 は 9y^6 -3y^4 +y^2 -3 =0 の正根.
ΔDPQ の高さh (底辺PQ～頂点D) は
h = a√[1-t+(3/4)tt] → a･z
ここに z=0.8506194274643943
435:12 は 48z^6 -24z^4 -5z^2 -2 =0 の正根. ΔDPQの外接円の半径R は R = DP･DQ/2h = a(1-t+tt)/{2√[1-t+(3/4)tt]} → a･x ∠DPQ = ∠DQP → 77.048042397987678ﾟ ∠PDQ → 25.903915204024644ﾟ
436:イナ
20/01/08 03:19:13.40 qrRgEAQj.net
前>>413問題>>364
正弦定理かな。
二等辺三角形の底辺b=2Rsin60°=2R(√3/2)=R√3
余弦定理より、
cos60°={a^2t^2+a^2(1-t)^2-b^2}/2at･a(1-t)=1/2
{a^2t^2+a^2(1-t)^2-3R^2}/a^2t(1-t)=1
a^2t^2+a^2(1-t)^2-3R^2=a^2t(1-t)
a^2(2t^2-2t+1-t+t^2)=3R^2
a^2(3t^2-3t+1)=3R^2
a^2=R^2/(t^2-t+1/3)
a=R/√(t^2-t+1/3)
もしかしてR=1なんじゃないか。
a=1/√(t^2-t+1/3)
t=0→1のときのaの最大値すなわちf(t)=t^2-t+1/3の最小値。
f'(t)=2t-1=0
t=1/2でもそんなはずはない。
t=1/3のときa=15/7=2.142857……だけど、
t=1/2のときはa=16√3/13=2.13175484……だったかわずかに小さかったはず。計算間違いか？
437:１３２人目の素数さん
20/01/08 05:58:52.59 Nq01sIlL.net
【問1】2人が、6×10の形をした60片からなる板チョコで次のようなゲームをする。
先手は板チョコを溝に沿ってまっすぐ2つに切り、どちらか一方を食べる。
次に、後手は残りの板チョコを溝に沿ってまっすぐ2つに切り、どちらか一方を食べる。
これを繰り返し、最後の1個を相手に残した人が勝者となる。
完全な必勝法があるのは先手、後手のどちらか。
【問2】2人が、3×6×10の形をした180片からなる3次元の板(？)チョコで問1と同じゲームをする。完全な必勝法があるのは先手、後手のどちらか。
438:１３２人目の素数さん
20/01/08 07:23:13.00 49XZdy2H.net
正方形を作るように切る
439:１３２人目の素数さん
20/01/08 08:08:07 ksGmeRWR.net
各辺の長さ-1のnim sumが0になるように残す。
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
440:１３２人目の素数さん
20/01/08 09:39:31 6kJQ0oLN.net
>>416
２枚が同形になるように割るんだよね？
最後の一枚はどういう意味？
開始10:6
先手5:6
後手5:3
この後はどうなるの？
441:１３２人目の素数さん
20/01/08 09:41:32 3Nvp3XYY.net
同形にとは書いてない希ガス。
442:１３２人目の素数さん
20/01/08 09:51:31 6kJQ0oLN.net
問題は同形に割らなくてもいいルールなんだな。
443:１３２人目の素数さん
20/01/08 10:26:04 6kJQ0oLN.net
>>417
なるほど、正方形が残るように割って食べれば相手は正方形を残すことができないから負けることのなるのか
444:１３２人目の素数さん
20/01/08 13:21:23.45 rNgywfx4.net
>>416
板チョコが10×10の形だと、先手には必勝法はないんだなぁ。
>417の頭脳に感服。
445:１３２人目の素数さん
20/01/08 13:25:20.53 rNgywfx4.net
>>422
正方形が残されたら負け確定から類推すると三次元の場合は立方体が残されたら負け確定ってことか。
446:１３２人目の素数さん
20/01/08 13:28:44.28 PPN2rdw7.net
444は先手必勝
447:イナ
20/01/08 14:02:09.65 qrRgEAQj.net
前>>415
>>416
俺は先手必勝。
先手でも後手でも手には無数の見えない雑菌がついている。
板チョコを先手が素手で割ったらかならず先手のばい菌がチョコにつく。
最悪まずは先手をとる。
後手に素手で正方形に割らせないために、手をあっつあつの手袋であっためてチョコを溶かして、「溶かしましたすいません！」だ。ほかにとくに思いつかない。立体だと逆に負ける。一方の断面を正方形にすると、後手に立方体にされた場合でも正方形にして返せば勝てる。
448:１３２人目の素数さん
20/01/08 14:28:07.14 5C6B4ky0.net
URLﾘﾝｸ(www.instructables.com)
449:１３２人目の素数さん
20/01/08 14:38:02.41 8pIzC7x5.net
こっちはiphoneでも行ける
URLﾘﾝｸ(www.archimedes-lab.org)
450:イナ
20/01/09 04:02:04.08 RixsPfgs.net
前>>426
>>346
正四面体が円をくぐりぬけるときの、円周が接触する点が分ける辺の比が知りたいなぁ。
1:1のときa=2.13……
1:2のときa=2.14……
a=2.23……てことは、
辺の比1:uのuは、かなり大きくなるのかな？
思ったより端になるのかもしれん。
451:イナ
20/01/09 05:29:14.47 RixsPfgs.net
前>>429
半径1の円の円周が正四面体の頂点Aと、辺BCおよびCDをそれぞれt:1-tに分ける2点の計3点に触れて通過するときの二等辺三角形の辺の長さは、
t=1/2のとき、a/2,a√3/2,a√3/2
a=16√3/13=2.13……
t=1/3のとき、a√3/3,a√7/3,a√7/3
a=15/7=2.142857……
t=1/4のとき、
a=2.……(つづく)
452:１３２人目の素数さん
20/01/09 05:57:09.94 fyaA4Mc+.net
平面上に2003個の点があり、どの3点も同一直線上になく、どの4点も同一円周上にないとする。
このとき、次の条件をみたす円が存在することを証明せよ。
○円は3個の点を通る。
○円の外部に1000個の点がある。
○円の内部に1000個の点がある。
453:イナ
20/01/09 07:00:39.78 RixsPfgs.net
前>>430
半径1の円の円周が正四面体の頂点Aと、辺BCおよびCDをそれぞれt:1-tに分ける2点の計3点に触れて通過するときの二等辺三角形の辺の長さは、
t=1/2のときa/2,a√3/2,a√3/2
a=16√3/13=2.13175484……
t=1/eのときa√,a√,a√
a=
t=1/3のときa√3/3,a√7/3,a√7/3
a=15/7=2.142857……
t=1/πのときa√,a√,a√
a=
t=3/10のときa√,a√,a√
a=
t=1/4のときa√10/4,a√13/4,a√13/4
a=1.99407406……＜2
aを最大にするtは、
1/4＜t＜1/3にあると考えられる。
454:１３２人目の素数さん
20/01/09 10:08:21.73 HQzS6/jG.net
>>431
Riemann球上で考えてよい。
球を三次元Euclid空間に埋め込んでx^2+y^2+z^2=1としてよい。
2点P,Qを任意に固定し残りをR1～R2001とし、さらに無限遠点をR0としておく。
P(1,0,0),Q(-1,0,0)としてよい。
△PQRiの外接円をCiとする。
さらにCIはこの準備にPの周りを回転していくとしてよい。
この時C1001が求められた条件をみたす。
455:１３２人目の素数さん
20/01/09 10:25:17.58 2lizhkoY.net
>>416
食べるチョコの無くなった方が負け、つまり最後の１個を食べた方が勝ちとすると必勝法はあるだろうか？
456:１３２人目の素数さん
20/01/09 10:34:05.90 ANCJ+Owj.net
>>434
そっちが本家のニムゲーム。
457:１３２人目の素数さん
20/01/09 10:37:43.11 vaPpsq0N.net
あ、でもこの設定でなら1x1でない限り割らないとダメというルール入れないとダメだな。
458:１３２人目の素数さん
20/01/09 11:31:48.27 yUxD+KNf.net
>>391
>>410
のれんに腕押しでござる.。。。
459:１３２人目の素数さん
20/01/09 14:30:32.51 rRnLkyt7.net
>>436
チョコを割って食えなくなると死ぬという設定でいいと思うｗ
460:イナ
20/01/09 17:49:24.81 RixsPfgs.net
前>>432訂正。問題>>364
正四面体ABCDの頂点Aが半径1の円に触れながら通過するとき、円は辺BC,辺CDをt:1-tに分ける点P,Qにも触れていて、
PQ=bとおくと、
正弦定理より、
b=2Rsin60°=2R(√3/2)=R√3
余弦定理より、
cos60°={a^2t^2+a^2(1-t)^2-b^2}/2at･a(1-t)=1/2
{a^2t^2+a^2(1-t)^2-3R^2}/a^2t(1-t)=1
a^2t^2+a^2(1-t)^2-3R^2=a^2t(1-t)
a^2(2t^2-2t+1-t+t^2)=3R^2
a^2(3t^2-3t+1)=3R^2
a^2=R^2/(t^2-t+1/3)
a=R/√(t^2-t+1/3)
R=1じゃなかった。
底辺は△BCDがある面。
半径1の円がある面じゃない。
t=1/2のときa=16√3/13=2.13175484……
16√3/13=R/√{(1/2)^2-1/2+1/3}
R=16√3{(1/2)^2-1/2+1/3}/13
=16√3(1/12)/13
=16(1/2)/13
=8/13
t=1/3のときa=15/7=2.142857……
15/7=R/√{(1/3)^2-1/3+1/3}
R=15√{(1/3)^2-1/3+1/3}/7
=15(1/3)/7
=5/7
t=3/10のときa=2.2……これ2.2超えるかなぁ。あまり期待してない。知恵の輪が締まってる感じがないもんね。
461:イナ
20/01/09 20:58:52.16 RixsPfgs.net
前>>439問題>>364
a=b/√(3t^2-3t+1)
t=1/2のときb=a/2,a=15/7=2.13175484……
t=1/√7のときb=a√{(10-3√7)/7},a=─
t=1/eのときb=a√(3/e^2-3e+1),a=─
t=1/3のときb=a√3/3,a=16√3/13=2.142857……
t=1/4のときa=4√42/13=1.99407406……＜2
462:イナ
20/01/09 21:04:26.63 RixsPfgs.net
前>>440訂正。問題>>364
a=b/√(3t^2-3t+1)
t=1/2のときb=a/2,a=16√3/13=2.13175484……
t=1/√7のときb=a√{(10-3√7)/7},a=─
t=1/eのときb=a√(3/e^2-3e+1),a=─
t=1/3のときb=a√3/3,a=15/7=2.142857……
t=1/4のときa=4√42/13=1.99407406……＜2
463:１３２人目の素数さん
20/01/09 23:48:50.84 rRnLkyt7.net
>>435
ここにオンラインのニムゲームがあった。
URLﾘﾝｸ(www.archimedes-lab.org)
これは後手必勝の配置だから、先手だと必ずコンピュータに負けると思う。
464:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/01/10 04:52:21 MT1hacmy.net
前>>441問題>>346
四面体ABCDが頂点Aを半径1の円に触れながらぎりぎり通過するときBC,CDをt:1-tに分ける点P,Qがちょうど円に触れているとすると、AP=AQ,PQ=bとして、△BCDにおいて余弦定理より、
cos60°=(PC^2+CQ^2-PQ^2)/2PC･CQ
1/2=(7a/10)^2+(3a/10)^2-b^2/2(7a/10)(3a/10)
21a^2=49a^2+9a^2-100b^2
37a^2=100b^2
b=a√37/10
AからPQに垂線AHを下ろすと、△APHにおいてピタゴラスの定理より、
AP=√(AH^2+PH^2)
=√(a√3/2)^2+(a/5)^2
=√(3a^2/4+a^2/25)
=a√(75+4/100)
=a√79/10
AP=AQ=a√79/10
PQ=b=a√37/10より二等辺三角形を描き△APQの中心をOとすると、△APHにおいてピタゴラスの定理より、
AO+OH=√(AP^2-PH^2)
1+√{1-(a√37/20)^2}
=√{(a√79/10)^2-(a√37/20)^2}
1+√(1-37a^2/400)
=√(79a/100-37a/400)
1+2√(1-37a^2/400)+1-37a^2/400
=79a/100-37a/400
2√(1-37a^2/400)
=37a^2/400+79a/100-37a/400-2
800√(1-37a^2/400)
=37a^2+316a-37a-800
40√(400-37a^2)
=37a^2+279a-800
1600(400-37a^2)
=(37a^2+279a-800)^2
=1329a^4+20646a^3+(77841-59200)a^2-446400a+640000
1329a^4+20646a^3+18641a^2+59200a-446400a=0
a≠0より
1329a^3+20646a^2+18641a-387200=0
(予想)a=2.2……
465:１３２人目の素数さん
20/01/10 05:19:46 3SMHpQ+s.net
赤色のカメレオン13匹と、青色のカメレオン15匹と、黄色のカメレオンが17匹いる。
もし、異なる色の2匹のカメレオンが出会えば、2匹とも3番目の色に変わる。
例えば、青色と黄色が出会えば2匹とも赤色になる。
同じ色の2匹のカメレオンが出会っても色は変わらない。
このとき、全てのカメレオンが同じ色になることは可能か？
466:１３２人目の素数さん
20/01/10 07:39:41.66 7GxklHA8.net
>>444
数を1,2,3匹にして100万回乱数発生させてシミュレーションしたけど統一色にはならなかった。
数が違えば別の結果なのだろうか？
r= 1 ; b= 2 ; y= 3
cam=c(rep(1,r),rep(2,b),rep(3,y))
N=length(cam)
ct <- function(x,y){ # camelleon transformation
if(x==y)return(0) # 同色なら0を返す
else return((1:3)[-c(x,y)]) # 異色なら第３色を返す
}
ce <- function(x){ # camelleon encounter
ab=sample(N,2) # indexから２個選ぶ
a=x[ab[1]] # indexに相当するxの要素
b=x[ab[2]]
z=ct(a,b) # camelleon transformation
if(z!=0){ # 同色でなければ
x[ab[1]]=z # 第３の色に入れ替える
x[ab[2]]=z
}
return(x)
}
is.uc <- function(x){ # is uniform color?
length(unique(x))==1
}
x=cam
for(i in 1:1e6){
if(is.uc(x)==1){
print(x)
break
}
else{
x=ce(x)
}
}
467:１３２人目の素数さん
20/01/10 08:02:55.12 CXmf/8a7.net
r:0,b:1,y:2 として最初はトータル≡1 (mod 3)なので不可能。
468:１３２人目の素数さん
20/01/10 08:54:16.96 7GxklHA8.net
赤1匹、青2匹、黄2匹なら、赤一色になるのは可能。
赤青青黄?
赤赤青赤?
赤赤赤赤赤
mod3とどんな関係があるんだろう？？
469:１３２人目の素数さん
20/01/10 09:23:40.11 7GxklHA8.net
>>446
パソコンに探索させたけど、
赤1匹、青2匹、黄4匹なら青一色に統一可能ですね。
赤1匹、青2匹、黄5匹だと赤一色に統一された。
カメレオンの総数が3の倍数だと統一不能ってことらしいですね。
証明はさっぱりわからないけど。そんな印象。
470:１３２人目の素数さん
20/01/10 09:30:28.72 cm4nJQC9.net
いや、統一可能な初期値x3は必ず統一可能なのでそんな簡単な判定で済むはずはない。
(a,b,c)
471:から始めてmod3絡みの判定条件は作れるとは思うけど。
472:１３２人目の素数さん
20/01/10 09:34:58.00 7GxklHA8.net
>>449
そうですね。
総数が3の(1,1,1)は最初の出会いで統一されちゃいっますね。
473:１３２人目の素数さん
20/01/10 09:36:48.75 IFqTxPYA.net
>>444
異なる色A,Bが出会ってCの色に変わる時、AもBも総数は1減るが、Cだけ総数が2増える。
しかしどの色もmod3で考えれば1ずつ減るのと変わらない。
初期状態でのmod3における各色の剰余の組は(1,0,2)だから、
この状態からどのように出会わせても(1,0,2),(0,2,1),(2,1,0)にしかならない。
よって、一色だけの状態（つまり(0,0,x)等の状態）にするのは無理。
474:１３２人目の素数さん
20/01/10 09:46:25.78 wIwNR4cn.net
>>451
それかな。
初期値が全てmod3で等しい事が必要。
逆にmod3で全部等しいとする。
黄色が最大として赤アオがある限り黄黄に変換して行けるとこまで行く。
赤が3の倍数だけ余ったとする。
赤赤赤黄とのこったら
青青赤赤→黄黄黄黄
が可能なので全部黄色にできる。
475:１３２人目の素数さん
20/01/10 11:44:13.99 7GxklHA8.net
一色化可能なmodの組合を列挙させたら、
> pcc
[,1] [,2] [,3]
x 1 1 1
x 2 2 2
x 0 0 0
x 1 1 2
x 2 2 0
x 0 0 1
x 1 1 0
x 2 2 1
x 0 0 2
の9通り
結局、0 1 2 以外は一色にできそう。
476:１３２人目の素数さん
20/01/10 11:52:20.26 jmw8DMZb.net
あ、そうか、>>452は撤回。
477:１３２人目の素数さん
20/01/10 12:00:41.73 jmw8DMZb.net
訂正。
どれか二つが等しい事が必要。
r≡b(mod3)のとき統一できる。
実際rb=0になるまで黄色にする。
r=0になったとしてよい。
y=0なら終。(元々(r,b,y)=(0,n,0)だった場合だけど)
(b≡r≡0(mod3)だからbは3の倍数残ってる。
bbby→rbbr→yybr→yyyy
で完成。
478:１３２人目の素数さん
20/01/10 12:02:01.24 7GxklHA8.net
>>452
赤1匹 青１匹 黄2匹でも 一色化できるんじゃないかな？
479:１３２人目の素数さん
20/01/10 12:03:10.49 7GxklHA8.net
>>455
結局、0 1 2以外の組み合わせってことだよね？
480:１３２人目の素数さん
20/01/10 12:04:21.06 jmw8DMZb.net
>>456
ですな。
必勝十分条件はr,g,bの少なくともいずれか二つがmod3で等しいとき。
481:１３２人目の素数さん
20/01/10 12:05:18.10 jmw8DMZb.net
>>457
yes
482:イナ
20/01/10 12:25:26.84 MT1hacmy.net
前>>443
>>444
(赤,青,黄)=(13,15,17)→→(15,14,16)→(14,16,15)→(16,15,14)
→(0,2,43)→(2,1,42)
→(1,3,41)→(3,2,40)
二種類のカメレオンを同数にすることができないからすべて同じ色にすることは不可能。
∴示された。
483:１３２人目の素数さん
20/01/10 12:30:50.67 jmw8DMZb.net
ばかだなぁ
484:１３２人目の素数さん
20/01/10 12:35:48.87 7GxklHA8.net
>>461
正解が投稿されてから誤答を繰り返すいつもの芸風ｗ
485:イナ
20/01/10 18:45:00.91 MT1hacmy.net
前>>460
>>364
今のところt=1/3のときa=15/7=2.142857……より大きいaはだれも示せてない。
486:１３２人目の素数さん
20/01/10 20:39:43.35 7GxklHA8.net
>>444
一色化できる条件はわかったけど、何色に統一色されるかって計算できるのだろうか？
赤２匹 青３匹 黄５匹でシミュレーションすると、再現性をもって青に統一された。
赤３匹 青５匹 黄８匹で赤
赤１匹 青４匹 ?５匹で黄
になった。
487:１３２人目の素数さん
20/01/10 20:45:16.81 QlIKDXvI.net
>>464
?は黃の文字化け
488:１３２人目の素数さん
20/01/10 21:46:00.27 uMaYGI2k.net
>>444
これは不変量を使って解くやつだろ
昔数学のたのしみっていう雑誌で見かけた覚えがある
489:１３２人目の素数さん
20/01/10 21:58:02.14 Ze0ls1L3.net
>>462
アイツどういう思考パターンしているのかなあ？
490:１３２人目の素数さん
20/01/10 23:25:15.49 jmw8DMZb.net
a≡b≡c (mod 3)でないなら統一できる色が一意に決まるのは明らか。
またr,b,yのうち二つが赤なら統一色が一意に決まるのも自明。
そうでないときは任意の色に統一できる。
帰納法。
r,b,y全て0でないとき。
r-1,b-1,y-1の中に0が一つまでなら帰納法の仮定によりよい。
RBY R^3nのとき。
RBYRRR→RBBBRR→RBBYYR
によってRBY R^3n→RBYRBY^(3n-3)
が可能だからr-1,b-1,y-1全てが0でないケースに持ち込める。
r=0のとき。
(BY)^3n B^3m としてよい。
この時
BBBYYY→VBYYRR
により
(BY)^3n B^3m → (RRBBYY)^2m B^3m
によりr-1,b-1,y-1全てが0でないケースに持ち込める。
491:イナ
20/01/11 01:30:15.94 oekFC6rM.net
前>>463問題>>364
△ABCにおいて余弦定理より、
cos60°={a^2(1-t)^2+a^2t^2-b^2}/2a(1-t)at=1/2
a^2(1-2t+t^2+t^-t+t^2=b^2
b^2=(1-3t+3t^2)a^2─①
△ABCにおいてピタゴラスの定理より、
AP^2=(a/2-at)^2+(a√3/2)^2
=a^2(1/2-t)^2+3a^2/4
=a^2(1-t+t^2)─②
△APQにおいてピタゴラスの定理より、
AP^2-PH^2=AH^2=(AO+OH)^2={AO+√(OP^2-PH^2)}^2
①②を代入し、
(a/2-at)^2+(a√3/2)^2
-a^2(1-3t+3t^2)/4
=[1+√{1-(1-3t+3t^2)a^2/4}]^2
a^2(3/4-t/4+t^2/4)
=1+√{4-a^2(1-3t+3t^2)}+1-a^2(1-3t+3t^2)/4
a^2(1-t+t^2)-2=√{4-a^2(1-3t+3t^2)}
a^4(1-t+t^2)^2-4a^2(1-t+t^2)+4=4-a^2(1-3t+3t^2)
a^2≠0より、
a^2(1+t^2+t^4-2t-2t^3+2t^2)-4(1-t+t^2)=-1+3t-3t^2
a^2(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)=-1+3t-3t^2+4(1-t+t^2)
a^2(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)=t^2-t+3
a^2=(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)
a=√{(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}
t=1/3のとき
a=15/7=2.142857……
aをtで表した式はあってる。
aを微分しa'=0のときのtの値よりaの最大値は、
492:１３２人目の素数さん
20/01/11 02:42:27.48 XlEQgz2Y.net
何が面白いかわからんと言い出すコースだな。
493:イナ
20/01/11 03:21:22.27 oekFC6rM.net
前>>469問題>>364
a={(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}^(1/2)
微分すると、
a'=(1/2){(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}^(-1/2){{(2t-1)(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)-(t^2-t+3)(4t^3-6t^2+6t-2)}/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2
={√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}{(2t-1)(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)-(t^2-t+3)(4t^3-6t^2+6t-2)}/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2･2√(t^2-t+3)
={√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}{2t(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)-(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)-t^2(4t^3-6t^2+6t-2)-t(4t^3-6t^2+6t-2)+3(4t^3-6t^2+6t-2)}/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2･2√(t^2-t+3)
={√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}(2t^5-4t^4+6t^3-4t^2+2t-t^4+2t^3-3t^2+2t-1-4t^5+6t^4-6t^3+2t^2-4t^4+6t^3-6t^2+2t+12t^3-18t^2+18t-6)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2･2√(t^2-t+3)
={√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}(-2t^5-3t^4+20t^3-29t^2+24t-7)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2･2√(t^2-t+3)
=(-2t^5-3t^4+20t^3-29t^2+24t-7)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)･2√(t^2-t+3)
t^2-t+3=(t-1/2)^2+11/4≠0より、
a'=0のとき-2t^5-3t^4+20t^3-29t^2+24t-7=0
494:１３２人目の素数さん
20/01/11 03:29:14.46 5mKskwfM.net
>>444
Z/3で考えたら
0+1=2+2
1+2=0+0
2+0=1+1
で変化の前後で合計は変わらない
0*13+1*15+2*17=1
13+15+17=0
0*x=1は決して成立しない
逆に
0x+1y+2z=d(x+y+z)
となるdが存在するとき
1x+2y+0z=(d+1)(x+y+z)
2x+0y+1z=(d+2)(x+y+z)
であるので
一般性を失わずd=0としてよい
すなわち
0x+1y+2z=0
y=z+3n
n=0なら
0(x+y+z)+1*0+2*0=0
とできる
n>0なら
0(x+y)+1*0+2(3n)=0
0(x+y)+1(3n)+2*0=0
n=-m<0なら
0(x+z)+1(3m)+2*0=0
とできるので
そもそも
0n+1(3m)+2*0=0
m>0
としてよい
n=0なら終了なのでn>0とすると
0(n-1)+1(3m-1)+2*2=0
0(n+3)+1(3(m-1))+2*0=0
とできるので次第に減らして
0(n+3m)+1*0+2*0=0
にすることが可能
495:１３２人目の素数さん
20/01/11 03:32:34.66 5mKskwfM.net
>>472
>y=z+3n
z=y+3nの間違い
ここ以下はz=y+3nでの考察
496:１３２人目の素数さん
20/01/11 03:37:09.71 5mKskwfM.net
>>464
>何色に統一色されるか
1色になる条件は個体数に3の倍数の差がある2色が存在することであるので
その2色以外のもう1色に統一できる
すべてが3の倍数の差ならどの色にも統一できる
497:１３２人目の素数さん
20/01/11 03:45:54.24 5mKskwfM.net
>>474
>すべてが3の倍数の差ならどの色にも統一できる
3n,0,0の場合は3nの色にしかできない
それ以外ならどの色にも統一できる
498:イナ
20/01/11 04:28:49.42 oekFC6rM.net
前>>471問題>>364
-2t^5-3t^4+20t^3-29t^2+24t-7=0
2t^5+3t^4-20t^3+29t^2-24t+7=0
(2t-1)(t^4+2t^3-9t^2+10t-7)=0
t=1/2のときa=2.13……でt=1/3のときa=2.14……に及ばないから不適。
t^4+2t^3-9t^2+10t-7=0
499:１３２人目の素数さん
20/01/11 05
500::24:18.85 ID:yGuVlJmI.net
501:１３２人目の素数さん
20/01/11 05:33:56.21 Q06vZVWe.net
【問1】宇宙空間に2020個の星が、どの2つの星の距離も異なるように配置されている。
ただし、星は宇宙空間に固定されているとする（公転などは考えない）。
各星には天文学者がいて、自分と最も近い星だけを観測している。
このとき、「どの天文学者にも観測されない星が必ず存在する」は真か偽か。
【問2】2021個のときではどうか。
502:１３２人目の素数さん
20/01/11 05:35:40.18 yGuVlJmI.net
>>464
赤２匹 青３匹 黄５匹だと３の剰余で 赤2 青0 黄2なので
少数派の青に統一。
赤３匹 青５匹 黄８匹で 赤0 青2 黄2で赤
赤１匹 青４匹 黃５匹で 赤1 青1 黄2で黄
になるんだな。
理論値と一致している。
503:１３２人目の素数さん
20/01/11 06:29:59.79 yGuVlJmI.net
>>478
三角形と４角形から類推して
問1は偽、問2は真かな？
504:１３２人目の素数さん
20/01/11 06:41:19.93 yGuVlJmI.net
赤１匹 青４匹 黄７匹だと統一できる色はシミュレーションでも３種類でてきた。
確かに３での剰余はどれも１
505:イナ
20/01/11 06:47:39.19 oekFC6rM.net
前>>476
>>478
【問1】偽
∵必ずしもすべての星の観測者がたがいに最短距離というペアの星をみつけられるわけじゃないから。
【問2】偽
∵たとえ星の数が奇数であっても一組の三つの星が最短距離で正三角形を描く配置をとれば、すべての星の観測者がたがいに最短距離という星をみつけられるが、必ずそうなるとは限らず、一つの星だけがどの星からももっとも遠いということがありうるから。
506:１３２人目の素数さん
20/01/11 06:52:23.01 yGuVlJmI.net
底面が不正多角形で細長い多角錐を考えたら頂点の星は誰も観察しないってことか？
507:イナ
20/01/11 06:55:40.97 oekFC6rM.net
前>>482
【問2】の理由はちょっと変だ。理由はなしで。
とにかく必ずとは言えないから、すべて観測される場合もあるから、偽。
508:１３２人目の素数さん
20/01/11 07:57:09.11 yGuVlJmI.net
>>472
冒頭の記述は
赤0 青1 黄2の数字が書いてあるとして
Z/3で考えたら
0+1=2+2 赤と青が黄2個に変わる
1+2=0+0 青と黄が赤2個に変わる
2+0=1+1 黄と赤が青2個に変わる
で変化の前後で合計は変わらない
という意味でいいですか？
509:１３２人目の素数さん
20/01/11 07:58:53.05 rBs8V3mC.net
>>482
(1)偽
1→2, 2→1, ‥,2019→2020,2020→2019 が起こりうる。
(2)真
奇数のときは必ず真である。
そうでないとして星の数が最小の反例をとる。
(1)と同様にして向き付きグラフにして考える。
もしa→b、b→aとなるペアが有れば、その組みを取り除けば、より星の数が小さい反例が得られるからそのようなループはない。
しかし有限のグラフで全ての星はある星を観測しているのだからループは持つ。
a1→‥→an→a1
とする。
a2はa3を観察しておりa1≠a3からd(a1,a2)>d(a2,a3)。
同様にして
d(a1,a2)>d(a2,a3)>‥>d(a(n-1),an)>d(an,a1)
矛盾。
510:１３２人目の素数さん
20/01/11 08:06:38.15 WefUHu6M.net
>>486
一個足りなかった。
d(a1,a2)>d(a2,a3)>‥>d(a(n-1),an)>d(an,a1)>d(a1,da2)
で矛盾ね。
511:１３２人目の素数さん
20/01/11 08:44:04.01 5mKskwfM.net
>>485
そう
512:１３２人目の素数さん
20/01/11 08:45:35.97 yGuVlJmI.net
観測されない星が必ず存在する
のと
観測されない星が存在する配置ができる
のは違う気がする
a->b b->a c->aだとcが観察されないけど
a->b b->c c->aだと全部観察されている。
513:１３２人目の素数さん
20/01/11 08:55:13.87 yGuVlJmI.net
直線上に０，１，３を配置すれば各々の観察は１，０，１で３を観察する人はいない
直線上い０，１，３，７を配置すれば各々の観察は１，０，１，３で７を観察する人はいない
偶数奇数に関係ないような気がしてきた。
514:１３２人目の素数さん
20/01/11 08:58:26.19 E/avb+h
515:p.net
516:１３２人目の素数さん
20/01/11 09:09:16.23 yGuVlJmI.net
>>491
そうですね。最短距離の星はお互いを観察するから、循環観察できませんね。
517:１３２人目の素数さん
20/01/11 09:15:02.60 yGuVlJmI.net
逆にすべての星が観察される配置ってどんなんだろう？
518:１３２人目の素数さん
20/01/11 09:36:49.15 yGuVlJmI.net
>>493
数軸上の点の例だと ０，１，４，６なら観察する星は１，０，６，４で全ての星が観察されている。
519:１３２人目の素数さん
20/01/11 09:41:05 yGuVlJmI.net
偶数だと 全ての星をペアで相互監視できるように 配置できるから、観測されない星が必ず存在する は偽だな。
観察されない星が存在するように配置することも可能だけど、必ず存在するは偽。
奇数だと相互監視からあぶれる星がでてきそう。
520:１３２人目の素数さん
20/01/11 11:43:35.85 kJ5ju2rK.net
>>495
そう？
絶対観測されない星出てくると思うけど。
>>486
521:１３２人目の素数さん
20/01/11 12:25:17.66 5mKskwfM.net
>>478
>このとき、「どの天文学者にも観測されない星が必ず存在する」は真か偽か。
すべての星が観測されているとする
d(p)=min{d(p,q)|q≠p}
d=max{d(p)}
n=#{p|d(p)=d}≧3とすると同じ星間距離が存在することになるためn=1,2
{p,q}={p|d(p)=d}とすると同じ星間距離が存在しないためd=d(p)=d(q)=d(p,q)
r≠p,qでd(r)<dであるためp,qはrからは観測されずお互いを観測している
よってこの2星を取り除いても他の星の観測状況特にd(r)の数値に変わりは無い
{p}={p|d(p)=d}のときr≠pでd(r)<dであるためpはｒからは観測されず仮定に反する
よってすべての星が観測されているとすれば2星を取り除いてもすべての星が観測されている
逆にすべての星が観測されているとするときd+1=d(p,q)である2星を他の星からd+1より遠くに配置することは可能であるので2星を追加することも可能である
この考察により
偶数個の星はすべてがお互い観測されている配置が存在し
奇数個の星はどのような配置であっても観測されない星が必ず存在する
522:１３２人目の素数さん
20/01/11 12:31:31.68 5mKskwfM.net
>>497
>d+1=d(p,q)である2星を他の星からd+1より遠くに配置
まちがい
m=max{d(p,q)}
としたとき
m+1=d(p,q)である2星を他の星からm+1より遠くに配置
523:１３２人目の素数さん
20/01/11 12:38:20.81 5mKskwfM.net
2nの星ですべてがお互い観測されている配置は
>>498の構成により観測し合う2星のペアn組が他から観測されず隔絶された配置のみ
524:１３２人目の素数さん
20/01/11 12:45:17.56 5mKskwfM.net
奇数個の星の配置では観測されない星が1つ以上存在するため
それら観測されない星を取り除いた残りはお互い観測されている配置となる
よって
奇数個の星の配置は
>>499の偶数個の星の配置から初めて
m=max{d(p,q)}にmより遠くに星を1つずつ配置していくことで得られるもののみ
525:１３２人目の素数さん
20/01/11 12:49:31.43 5mKskwfM.net
>>499,500
すなわち3星以上で循環的に観測が起こるような配置は存在しない
526:１３２人目の素数さん
20/01/11 13:15:32 5mKskwfM.net
>>500
>m=max{d(p,q)}にmより遠くに星を1つずつ配置していくことで得られるもののみ
まちがいだけれども戦略は単純で
追加する前の星から観測されない距離に配置していくというだけ
527:イナ
20/01/11 15:13:43.52 oekFC6rM.net
前>>484問題>>364
a=√{(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}
にt=1/2を代入すると、
a=√[{(1/2)^2-(1/2)+3}/{(1/2)^4-2(1/2)^3+3(1/2)^2-2(1/2)+1)}]
=√[{(11/4)/{(1/4)^2-(1/4)+3/4-1+1}]
=√{11/(1/4-1+3)}
=√{11/(9/4)}
=2√11/3
=2.21108319……
2.23には及ばないけど、これが今のところ最大値。
528:イナ
20/01/11 16:48:12.21 oekFC6rM.net
前>>503
>>364
ピタゴラスの定理で検証する。
t=1/2のときBC,CDの中点P,Qは△ABC,△ACDの頂点Aから下ろした垂線の足になる。
ピタゴラスの定理によらずともAP=AQ=a√3/2
PQ=a/2だからPH=HQ=a/4
△APHにおいてピタゴラスの定理より、
AH=√(AP^2-PH^2)
=√{(a√3/2)^2-(a/4)^2}
=a√(3/4-1/16)
=a√11/4
△OPHにおいてピタゴラスの定理より、
OH=√(OP^2-PH^2)
=√{1-(a/4)^2}
=√(1-a^2/16)
AO+OH=AHだから、
1+√(1-a^2/16)=a√11/4
辺々二乗し、
1+2√(1-a^2/16)+1-a^2/16=11a^2/16
2+2√(1-a^2/16)=3a^2/4
8+8√(1-a^2/16)=3a^2
8+2√(16-a^2)=3a^2
4(16-a^2)=(3a^2-8)^2
64-4a^2=9a^4-48a^2+64
9a^2=44
3a=2√11
a=2√11/3=2.21108319……
529:１３２人目の素数さん
20/01/11 18:07:34 5mKskwfM.net
>>500
奇数の場合の配置の考察間違っているけど
>>501は正しい
観測されない星を取り除いて
新たに観測されない星が出て来ればそれも取り除いて
と順に繰り返せばすべてが観測されるペアで構成される偶数個の
530:配置に至るから
531:１３２人目の素数さん
20/01/11 18:11:04 5mKskwfM.net
結局は偶数奇数にかかわらず
星の配置はペア構成の偶数個を元にして
そこを観測する星が加わり
加えた星を観測する星が加わりと
枝分かれして繁茂することになる
最初のペアごとに枝が茂るような
532:イナ
20/01/11 19:40:46.69 oekFC6rM.net
前>>504
>>396
三角形APQ (辺の長さはAP=AQ=a√(1-t+t^2), PQ=at) が単位円に内接するときの
三辺の長さと内接円半径の関係式を求めると
a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)
>>469
a=√{(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}
なにが違うのかと思ったらaの値が違うのか。形は似てるんだけどなぁ。
t=0.39のときはa=2.18……を増加中で気づかなんだ。
533:１３２人目の素数さん
20/01/11 22:22:24.81 mJt/HuQ5.net
これで証明になってますか？
すべての星が観察されている配置が存在するとして、その星の集合をAとする。
Aからa->b b<-aのように相互監視されている星を除く集合をBとする。
Bの要素が1つの星であればその星はどこからも観察されていないからAの前提に反する。
Bの要素が2つの星であればその星は相互監視されるからBの前提に反する。
Bの要素が3個以上あるとすると星間の距離が最短の2個の星は相互監視していることになりBの前提に反する。
故に、Bは空集合である。
すべての星が観察されている配置は相互監視されている配置のみである。
534:１３２人目の素数さん
20/01/11 22:41:50.59 5mKskwfM.net
>>508
>Bの要素が3個以上あるとすると星間の距離が最短の2個の星は相互監視していることになりBの前提に反する。
NG
他の星を取り除いているからその2個が元々相互観察しているとは限らない
残りが2つの場合は
元々相互観察していたか
その2つともが取り除いた星を観察していたか
一方がもう一方を観察し観察されている方は取り除いた星を観察しているかの3通りしか有り得ず
相互観察以外は元々すべての星が観察されているという仮定に反するので
考察の通り相互観察と結論してよい
535:１３２人目の素数さん
20/01/11 22:46:43.87 kJ5ju2rK.net
>>508
> Bの要素が2つの星であればその星は相互監視されるからBの前提に反する。
コレはダメでしょ？
0467の場合
0→4→6⇔7
なので
B={0,4}
しかし0,4は相互監視してるわけではない。
536:１３２人目の素数さん
20/01/11 22:54:26.45 5mKskwfM.net
>>510
>0→4→6⇔7
>>508の考察の前提はすべての星が観察されていることであり上記の配置は考察の対象ではない
537:１３２人目の素数さん
20/01/11 23:12:34.54 MMDEJiom.net
n個の星があるので、n(n+1)/2通りの距離がある。この中で最も小さい距離に
あたるのが、星Aと星Bの距離であるとする。
当然、星Aの天文学者は星Bを、星Bの天文学者は星Aを見ている。
星Aと星Bを除く、n-2個の星の中で、この二つの星を見ている天文学者がいなければ、
星Aと星Bが最初から無いものとし、n-2個の星で、同じ議論を行えばよい。
いずれ、二個か、三個になる事もあろうが、二個なら相互観測可能、三個なら相互観測が不可能なのは、自明。
星Aと星Bを除く、n-2個の星の中で、この二つの星のいずれかを見ている天文学者がk人(k>0)居たとする。
このn-2個の星の中にいる天文学者の数はn-2人。星Aも星Bも見ていない天文学者はn-2-k人。
星Aと星B以外のn-2個の星全てを、n-2-k人の天文学者で観測することはできない。
538:１３２人目の素数さん
20/01/11 23:13:06.17 mJt/HuQ5.net
>>509
ご指摘ありがとうございます。
取り除いた星を観察している場合を考慮していませんでした。
539:１３２人目の素数さん
20/01/11 23:25:37.51 MMDEJiom.net
間違った。n(n+1)/2 ではなく、n(n-1)/2通り。
あと、三個で、相互といのは、不適当ぽい。三すくみ状態の観測が不可能と修正します。
540:１３２人目の素数さん
20/01/11 23:50:48.29 mJt/HuQ5.net
これでどうでしょう？
すべての星が観察されている配置が存在するとして、その星の集合をAとする。
Aからa->b b<-aのように相互監視されている星を除く集合をBとする。
除かれた星の集合をCと呼ぶ。
Bの要素が1つの星であればその星はどこからも観察されていないからAの前提に反する。
Bの要素の数をｂとする。b人のうち一人でもCに属する星を観察しているとBの中に観察されない星が出現する。
それはAの前提に反するから、b人はすべてBに属する星を観察していることになる。
Bに属する星で星間の距離が最短の2個の星は相互監視していることになりBの前提に反する。
ゆえにBは空集合である。
541:１３２人目の素数さん
20/01/12 00:30:19.97 K5TiA6Ma.net
>>512やおそらく暗黙のうち>>486が依拠している
星の数が有限なので観測者の居る星から観測している星への写像が全射であれば単射すなわち置換になっているということと
>>512のように最短距離の2星は相互に観測していることから
この置換の軌道はすべて互換と結論するのが簡明
542:イナ
20/01/12 02:36:19.74 cCWTnFDc.net
前>>507
>>396
PQ=atはわかった。
内分する点は同じ頂点Bからatの地点にあることもわかった。
aをtで表して微分する方針は同じで、
a=√(4-4t+3t^2)/1-t+t^2
までできた。aを微分し、
a'=0よりその分子は、
(1/2)(4-4t+3t^2)^(-1/2)(6t-4)(1-t+t^2)-(4-4t+3t^2)^(1/2)(2t-1)=0
(4-4t+3t^2)^(1/2)を辺々掛けて、
(3t-2)(1-t+t^2)-(4-4t+3t^2)(2t-1)=0
3t(1-t+t^2)-2(1-t+t^2)-2t(4-4t+3t^2)-(4-4t+3t^2)=0
3t-3t^2+3t^3-2+2t-2t^2-8t+8t^2-6t^3-4+4t-3t^2=0
-3t^3+t-6=0
3t^3-t+6=0
どこが違いますか？
中の微分(6t-4)を掛けるんだと思ったけどそこが違いますか？
543:１３２人目の素数さん
20/01/12 05:32:20 4MREAxiq.net
次の条件を満たす空でない自然数の集合Mを考える。
【n∈M ⇒ 2020n∈M かつ [√n]∈M】
ただし、[ ]はガウス記号とする。
このとき、Mは自然数全体の集合に他ならないことを示せ。
544:１３２人目の素数さん
20/01/12 08:00:37.93 shLoIsvP.net
>>518
M=R（実数全体）が条件を満たすことを示す
n∈Rと仮定すると
2020n∈R
[√n]∈R
よってRは条件を満たす
したがって命題は偽
545:１３２人目の素数さん
20/01/12 08:04:35 shLoIsvP.net
>>519
Mは自然数の集合って書いてあったわ(´・ω・｀)
546:１３２人目の素数さん
20/01/12 13:24:07.75 we0BMqxn.net
>>518
Mは空でないから、あるm∈Mに対して[√m]をとり続ければいつか1にたどり着くので、1∈Mがわかる。
整数n≧1を任意にとる。整数pを十分大きくとれば
2020 < ((n+1)/n)^(2^p)
が成り立つので、このようなpに対して
n^(2^p) ≦ 2020^q (∈M)
を満たす最小の整数qをとれば
2020^q < (n+1)^(2^p)
が成り立つので、Nに対して[√N]をとる操作を2020^qにp回適用することでn∈Mが導かれる。
nは任意であったからMは正の整数全体。
547:イナ
20/01/12 13:27:31.30 cCWTnFDc.net
前>>517
>>364
√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)を微分せよ。
548:１３２人目の素数さん
20/01/12 14:20:35 N37KH+Ag.net
すべての星間の距離は異なる、最も近い星を観察している、すべての星が観察されているという条件を満たすように 乱数発生させて数直線上に配置するシミュレーションをしてみた。
sim(n,N) ｎ個の星を数直線1,2,3,,,Nに配置する
> sim(4,16)
[1] 8 9 13 16
> sim(4,16)
[1] 3 5 11 12
> sim(6,24)
[1] 1 2 12 16 21 24
> sim(8,64)
[1] 5 6 33 36 40 42 50 55
> sim(10,128)
[1] 2 6 16 17 41 44 53 60 112 125
nが偶数のときは、星の配置を返してくれるけど
奇数にすると処理が終わらない。
549:１３２人目の素数さん
20/01/12 16:09:43.94 C8wJOR09.net
[1-1]
f(x)は3次関数。αを定数として、3次方程式 f(x)=α は、
0<α<4 の時は、実数解を3つ持ち、α<0 または、4<α の時は 実数解を一つだけ持つ。
このような性質を持つf(x) を一つ求めよ。
[1-2]
F(x)は9次関数。αを定数として、9次方程式 F(x)=α は、
0<α<4 の時は、9実数解を持ち、α<0 または、4<α の時は 実数解を一つだけ持つ。
このような性質を持つF(x) を一つ求めよ。
[2]
G(x)は8次関数。αを定数として、8次方程式 G(x)=α は、
0<α<4 の時は、8実数解を持ち、α<0 の時は、実数解を持たず、4<α の時は 実数解を二つ持つ。
このような性質を持つG(x) を一つ求めよ。
[3]
H(x)は11次関数。αを定数として、11次方程式 H(x)=α は、
0<α<4 の時は、11実数解を持ち、α<0 または、4<α の時は 実数解を一つだけ持つ。
このような性質を持つH(x) を一つ求めよ。
550:１３２人目の素数さん
20/01/12 16:50:02.10 N37KH+Ag.net
>>523
数直線でなく複素平面上に条件を満たすように星を配置してみた。
星１６個の場合
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> sim(16,256)
[1] 7+198i 18+ 73i 36+ 16i 36+ 59i 43+212i 61+ 12i 80+102i 103+ 86i 105+127i
551: [10] 115+122i 140+230i 143+235i 194+ 39i 210+228i 219+ 85i 241+235i 相互監視している配置になるみたい。
552:１３２人目の素数さん
20/01/12 17:33:44.93 7WosHAht.net
Pn(x)を第一種チェビシェフ多項式とする。
nが偶数のとき方程式
Pn(x)=aはa>1のとき実数解の個数は２個、-1<a<1のときn個、a<-1のとき０個である。
nが奇数のとき方程式
Pn(x)=aはa>1のとき実数解の個数は1個、-1<a<1のときn個、a<-1のとき1個である。
553:１３２人目の素数さん
20/01/12 20:08:20.31 C8wJOR09.net
起承転結の問題で、いきなり結を答えられてしまった思いです。
f(x)は、極大値が4、極小値が0の三次関数なら全て当てはまります。
そのうち、f(x)=αの解が、区間(0,4)に収まるもの、つまり、x(x-3)^2 や、これを、x=2 で折り返した
(4-x)((4-x)-3)^2)=-(x-1)^2(x-4)をf(x)としたとき、F(x)=f(f(x)) 等が[1]の誘導に従順な答えです。
同様に、区間[0,4]で極小値0、両端で最大値4を取る二次関数g1(x)=(x-2)^2 あるいは、
極大値4、両端で最小値0を取る二次関数g2(x)=-x(x-4) を使って、G(x)=±g(g(g(x))) で定まる
8次関数が[2]の答えとなります。プラマイは、[0,4]区間外の挙動に整合するどちらかを選択してください。
gは、g1かg2のどちらかです。
では、11次関数ならどうすべきか？ 9=3^2、8=2^3 を利用して、[1]や[2]は簡単に表せたが、
11では、どうすべきか？ これを意地悪に問うた問題でした。
答えは、チェビシェフにあります。というか、三角関数の、ｎ倍角の公式の中にあります。
cos(nx) + i sin(nx) = (cos(x)+ i sin(x))^n を利用して、
cos(nx)は、cos(x)のn次関数として表せますが、ここを細工して問題にしました。
plot y=2 ChebyshevT[11,x/2-1] +2 ,x=-0.1 to 4.1
を某所に入力すれば、形状を確認できます。
554:１３２人目の素数さん
20/01/12 21:29:34 N37KH+Ag.net
>>525
星と観察矢印を追加してみた
アルゴリズムは
1 × 1の大きさの複素平面にN個の星を一様分布で発生させて
(1)星間距離不同 (2)最短星観察 (3)全星被観察
を満たすものが、みつかるまで繰り返す
N=16の場合
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
555:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:14:00.70 2k69YQBB.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
556:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:15:40.76 2k69YQBB.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
557:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:17:12.62 O/8hgIpk.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
558:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:26:27.84 O/8hgIpk.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
559:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:27:23.83 O/8hgIpk.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
560:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:28:04.05 O/8hgIpk.net
正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ
561:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:30:48.58 JM7pXrDp.net
t = ax+b (a≠0) として
f(x) = 2{1+P_3(t)}
F(x) = 2{1+P_9(t)} = 2{1+P3(P3(t))},
G(x) = 2{1+P_8(t)} = 1{1+P2(P2(P2(t)))},
H(x) = 2{1+P_11(t)},
562:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:32:31.60 2k69YQBB.net
書き込みエラーで二重投稿してしまった
すまん
563:１３２人目の素数さん
20/01/13 00:43:42.92 JM7pXrDp.net
>>535
P_n(t) はn次の第一種チェビシェフ多項式
P_1(t) = t,
P_2(t) = 2t^2 -1,
P_3(t) = 4t^3 -3t,
P_4(t) = P2(P2(t)) = 8t^4 -8t^2 +1,
P_8(t) = P2(P2(P2(t))) = 128t^8 -256t^6 +160t^4 -32t^2 +1,
P_9(t) = P3(P3(t)) = 256t^9 -576t^7 +432t^5 -120t^3 +9
564:t, P_11(t) = 1024t^11 -2816t^9 +2816t^7 -1232t^5 +220t^3 -11t,
565:１３２人目の素数さん
20/01/13 02:58:53.09 JM7pXrDp.net
(1)
nの素因数分解を
n = Π_i (p_i)^(e_i)
とすると
n ' = n･Σ_i (e_i/p_i)
(2)
Σ_i (e_i/p_i) = 1.
566:１３２人目の素数さん
20/01/13 03:30:55.57 6uFcIen4.net
1～100000までの自然数の中から、「どの3個を選んでも等差数列を成さない2020個の数」が選べることを示せ
567:イナ
20/01/13 05:00:42.13 PsQ8IZ2e.net
前>>522
>>396
三次方程式の解の公式は面白くないんで三次方程式の解の公式に行く前に、
a=√(4-4t+3t^2)/1-t+t^2 をゆっくり微分してもらえませんか？
568:１３２人目の素数さん
20/01/13 07:27:15.84 VTAeR0gZ.net
>>539
１，２，４から始めて、２０個の場合を探索してみた。
1 2 4 5 10 11 13 14 28 29 31 32 37 38 40 41 82 83 85 86
M=2020として最大値が10000を超えないことがわかればいいけど、マシンパワーが足りないから無理。
rm(list=ls())
p3c <- function(x){ # pick 3 numbers and check if arithmatic sequence
is.as3 <- function(x) diff(x)[1]==diff(x)[2] # 等差かを返す
is.as=function(y) is.as3(c(x[y[1]],x[y[2]],x[y[3]])) # 組み合わせのindexに相当する３個の数が等差か？
n=length(x)
any(combn(n,3,is.as)) # 等差の３つが選べるか
}
M=20
a=c(1,2,4)
i=5
AS=FALSE
while(length(a) < M){
a=append(a,i)
AS=p3c(a)
if(AS){
a=a[-length(a)]
}
i=i+1
}
a
569:１３２人目の素数さん
20/01/13 07:29:51.64 VTAeR0gZ.net
>>540
d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)×1/1 - t + t^2) = (6 t - 4)/(2 sqrt(3 t^2 - 4 t + 4)) + 2 t - 1
570:１３２人目の素数さん
20/01/13 08:01:32.45 VTAeR0gZ.net
>>541
100個でも朝食の時間に計算終わってた。
> a
[1] 1 2 4 5 10 11 13 14 28 29 31 32 37 38 40 41 82 83 85 86 91 92 94
571: 95 109 [26] 110 112 113 118 119 121 122 244 245 247 248 253 254 256 257 271 272 274 275 280 281 283 284 325 326 [51] 328 329 334 335 337 338 352 353 355 356 361 362 364 365 730 731 733 734 739 740 742 743 757 758 760 [76] 761 766 767 769 770 811 812 814 815 820 821 823 824 838 839 841 842 847 848 850 851 973 974 976 977 >
572:１３２人目の素数さん
20/01/13 08:17:36.93 iAwpmWWr.net
>>533
n=Πpi^(ei)のとき定義からn'=Σeiである事が必要。
逆にそもそもこっちを定義にしとけばwell-definedである事は明らかなので要請された条件を満たす'は存在する。
573:１３２人目の素数さん
20/01/13 08:47:42.15 2k69YQBB.net
n=2^2,3^3,5^5,…のときn'=n
これは確認が容易だが、n'=n⇒n=p^pの証明はやや難しいと思う
574:１３２人目の素数さん
20/01/13 09:36:06.03 M9eolSOh.net
あ、ΣeiではなくΣeipi^(ei-1)ですな。
お詫びして訂正致しまする。
575:１３２人目の素数さん
20/01/13 10:13:53.20 6mVc9I1z.net
あ、まだダメ。
n'=nΣei/pi
だ。
Σei/pi=1になるにはpi進付値を考えてpi|eiが必要だからei=kipiとおける。
この時Σei/pi=1⇔Σki=1だから結局条件はどれか一個がei=piで残りは0。
576:１３２人目の素数さん
20/01/13 10:27:38.87 2k69YQBB.net
短い解答で
577:素晴らしいです 俺の書いた証明ではn =p^i*m(i=ord_p(n))とおいて証明するものでした 今考えてる問題は(n')'=nなるnが存在しないだろうというものですが、まだ証明できてません
578:１３２人目の素数さん
20/01/13 10:36:21.38 iOqXqrdi.net
>>525
>515の証明で完結ってこと？
579:１３２人目の素数さん
20/01/13 13:03:18.57 1fFyeDqE.net
>>539
３進法で表した時に各桁に0,1のみが出現し,なおかつ11桁以内になるような正の整数全体からなる集合をTとおく.
Tの元で最大のものは (3^11-1)/2=88573 だから 100000 を越さない.
Tの元の個数は 2^11-1=2047.
Tの三つの元 a,b,c がこの順で等差数列となるための条件である a+c=2b を満たすならば,
a+cの各桁が0または2となるためにはaとcの各桁が等しくならなければならないため,a=b=c.
以上より,Tから異なる2020個の整数を任意にとればそれが問題の条件を満たす.
580:イナ
20/01/13 15:39:14.02 PsQ8IZ2e.net
前>>540
>>542ありがとう。
sqrtはsquare rootの略、つまり平方根、√ですね？
ゆっくり=計算過程を示しながら
という意味なのに。
わざとですか。
考えろと。
581:１３２人目の素数さん
20/01/13 16:03:19.21 w0YO7O9z.net
平面上に、どの3点も同一直線上にないようにn個の点を配置するとき、それらの中の5点を頂点とする凸五角形が少なくとも1つ存在するためのnの最小値を求めよ。
例、n=6のとき
・ ・
・・
・ ・
のように配置すると、どこにも凸五角形ができないので、n=6は不適。
582:１３２人目の素数さん
20/01/13 16:20:21.31 I6P4Dv0P.net
エレガントな解答求むに出てきた÷配置だとどんな5点取ってきても凸五角形なんか出てこない希ガス。
583:１３２人目の素数さん
20/01/13 16:24:04.93 I6P4Dv0P.net
あ、どの三点も直線上に乗ってはいけないのか。
スマヌ
584:１３２人目の素数さん
20/01/13 16:27:16.92 SVhkrVyH.net
>>539
数字が重複してもいいとして３０個の場合は
> a
[1] 1 1 2 2 4 4 5 5 10 10 11 11 13 13 14 14 28 28 29 29 31 31 32 32 37 37 38 38 40
585:１３２人目の素数さん
20/01/13 17:25:10.51 2k69YQBB.net
>>548
追記
n≠n'でありn''=nとなるnは存在しないという問題です