20/04/07 08:23:14 18gt0abs.net
k = ℚの場合
K = ℚ(ζ_m) (ζ_m := exp(2πi/m))
p = (p)⊂ℤ (p:奇素数)
とする。このとき、((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))は、
((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))(ζ_m) = (ζ_m)^p
で定まる自己同型である。
K: 代数体
K/ℚ: Abel拡大
とする。
Kronecker-Weberの定理より、あるmがあって、
ℚ⊂K⊂ℚ(ζ_m)
となる。対応する群は、
Gal(ℚ(ζ_m)/ℚ)⊃Gal(K/ℚ)⊃{e}
であり、
Gal(K/ℚ) ～ Gal(ℚ(ζ_m)/ℚ)/Gal(K/ℚ).
よって、p: 奇素数に対し、
(p)がKで完全分解 ⇔ ((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))のKへの制限が恒等写像