現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78at MATH

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78 - 暇つぶし2ch948:面に1から5までの数を振る. 括弧は背面の数. 各頂点のまわりに1から5まですべて集まるようになっている. 　この展開図を次の2通りの方法で描く. https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/s/shironetsu/20180210/20180210224136.png 頂点と中心を結ぶ軸まわりに回転させると(12345)の置換. https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/s/shironetsu/20180210/20180210224148.png 　面心と中心を結ぶ軸回りに回転させると(254)の置換. 　I, またはA5全体はこのふたつから生成される. 5次元表現　Hと呼ばれる表現. 　まず6次対称群への準同型から置換行列によって6次元表現を作る(6次対称群の外部自己同型に関係している). 　正20面体の中心を通る対角線は全部で6本. 正20面体の回転はそれらの置換になるから, ラベリングすれば6次対称群の部分群との同型が得られる. 展開図を再掲. 新たに各頂点に割り当てた色は6つの対角線に対応. 内訳は (0,±1,±τ,±τ?1)を偶置換で入れ替えたもの合計96個, (±1,±1,±1,±1)で16個, (±1,0,0,0)の巡回置換8個となっている. これを使って数式処理ソフトによって力任せにA基底を求める. まとめ　正20面体群の既約表現を求め, SO(3)の部分群としてWigner D行列による表現を直和分解した. そこから自明な1次元表現Aの基底への射影演算子によって不変な成分を見つけた. その過程で数式処理ソフトを用いたが, 手計算できる程度にまで問題を落としたい. (引用終り) 以上

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