19/10/20 17:53:10.38 f+LcfVi/.net
>>68
つづき
これに簡単に「こっちがイイ！」と答えられるのであれば
どっちかの表現は不要かもしれません．
けど・・・大抵はどっちも必要なんです．
理論を展開するには「x+y」だけのほうがきっとシンプルなことが多い．
けど，次数とか要素を具体的に計算するのはきっと「x,y」のほうがシンプルなことが多いです．
ついでにいうと，
同一の対象を二通り（以上）で表現してなんかやるのはお約束のパターンだから
表現方法は複数あったほうがうれしいだろうということもあります
ここらへんは，もうちょっと先にいけばみえてくるはずだと思う．
＃ぶっちゃけた話・・x=2^{1/2}, y=3^{1/2}がサンプル
以上
75:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:54:55.87 EgVBmu6J.net
一行問題スレのこれはどう？
95 １３２人目の素数さん[sage] 2019/10/20(日) 15:54:50.40 ID:RgyjcwSx
>>41の問題をこの方向で解くだけでいいなら
[Q(tan2π/n):Q(cos4π/n)]=1,2と比較的簡単に証明できる[Q(cos(2π/n)):Q]などをうまく使えば出来る。
しかしどうせなら気分良く[Q(tan2π/n):Q]を明示的に求めたいものだ。
[Q(tan2π/n):Q]求めよ。
ガロア理論のいい演習問題だと思うけど。
76:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/20 18:08:37 f+LcfVi/.net
>>65
(引用開始)
Gal(L/Q)=F_20 なる可解5次方程式の分解体LとQの中間体として、Gal(M/Q)=C_4
となる中間体Mが存在しますが、逆にGal(F/Q)=C_4 なるFがあるとき、Fは上記のMとして実現するか？
という問題です。
(引用終り)
その話だと、いわゆるガロア対応で、体の拡大と正規部分群との対応じゃないですか？（下記）
答えは、YES
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論の基本定理
(抜粋)
数学において、ガロア理論の基本定理 (英: fundamental theorem of Galois theory) とは、ある種の体の拡大がなす構造を記述する結果である。
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができるという、エミール・アルティンによる幾分繊細な結果である。
ガロア拡大 K/F の自己同型写像は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。
原始元定理を使うかなり簡単な証明もあるが、有限体の場合に異なる（しかしより簡単な）証明をする必要があるため、現代的な取扱いではほとんど用いられない[1]。
抽象的な言葉では「ガロア対応（英語版）が存在する」と述べられる。その多くの性質は単に形の上でのことであるが、実際の順序集合の同型写像を記述するにはいくらか作業を要する。
つづく
77:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/20 18:09:36 f+LcfVi/.net
>>71
つづき
対応の明示的な記述
有限拡大に対し、対応は次のように明示的に述べることができる。
・Gal(E/F) の任意の部分群 H に対し、対応する体は普通 E^H と書かれ、これは全ての H の自己同型により固定される E の元の集合である。
・E/F の任意の中間体 K に対し、対応する部分群は、単に Aut(E/K) であり、これは全ての K の元を固定する Gal(E/F) に属する自己同型の集合である。
例えば、一番上の体 E は Gal(E/F) の自明な部分群に対応し、基礎体 F は Gal(E/F) の全体に対応する。
対応の性質
対応は次のような有益な性質を持っている。
包含関係を逆にする(inclusion-reversing)[2]。部分群の包含関係 H1 ⊆ H2 が成り立つことと体の包含関係 E^H1 ⊇ E^H2 が成り立つこととは同値。
拡大次数は包含関係を逆にするという性質と矛盾しない形で群の位数と関係する。具体的には H が Gal(E/F) の部分群であれば |H| = [E : E^H] であり |Gal(E/F)/H| = [E^H : F] である[3]。
体 EH は F の正規拡大（分離拡大の部分拡大は分離的だから、これはガロア拡大というのと同じ）であることと、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。
このとき Gal(E/F) の元の EH への制限は、Gal(E^H/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。
例
体 K = Q(√2, √3) = Q(√2)(√3) を考える。
略
非アーベル的な例
次の例はガロア群がアーベル群でない最も簡単な例である。
Q 上の多項式 x3?2 の分解体 K を考える。すなわち、K = Q (θ, ω) で、ここに θ は 2 の立方根であり、ω は 1 の立方根である（が 1 ではない）。
略
応用
この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
以上
78:
19/10/20 18:10:06 n9MZ9SCV.net
>>60
>対称群S7の部分群である位数42の群は
>２つの生成元から生成される
>その１つは(1234567)だ
>ではもう1つの生成元は？
なんだ、馬鹿はx→ ax+bまでわかってるのに
こんな簡単な質問に即答できないのか？
正真正銘の馬鹿だなｗ
79:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/20 18:13:38 f+LcfVi/.net
>>67
>ガロア逆問題って"解き方"が重要なんであって
>逆問題の解でも"質"というのがあるんじゃないかと思う。
>つまり、良質な解と、ともかく存在は示せたが応用はないなという解があるんじゃないかと。
そうだとは思うけれども
未解決問題だということの方が
重要じゃないですかね？
なにかめざましい結果だせば、,◯◯賞とかもらえるかもね（＾＾
80:
19/10/20 18:14:39 EgVBmu6J.net
>>74
さすがに君には無理だよ。
そのレベルにはとてもない。
81:
19/10/20 18:17:49 n9MZ9SCV.net
>>75
確かにコピペ馬鹿には無理ｗｗｗ
学部生でも即答できる問題に
答えられないんじゃねｗ
82:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 19:10:21.02 f+LcfVi/.net
>>66
どうも。スレ主です。
>ちなみにQ上とは限らず基礎体を任意の代数体に動かしてもいいなら、任意の有限群を
>ガロア群として持つガロア拡大が存在することは簡単に分かるんですよ。
分かりません（＾＾
例えば仮に、
「the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”」
が、反例として成立すると認めることにします
そして、有限の単拡大定理から、任意の代数的数αを添加した拡大体Q（α）をベースとして
拡大体Q（α）上から、ガロア群PSL(2,16)を持つ体の拡大が存在して
これを、単拡大定理から、代数的数β’として（Q上ではないので’を付けた）
Q上に限らないから、拡大体Q（α）（β’）が実現できる？
それって、なんかおかしくないですかね？（＾＾
83:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 19:13:22.44 f+LcfVi/.net
>>75
そりゃそうだ
おれが、いま考えてできる程度の問題なら、とっくに解かれているさ（＾＾
84:
19/10/20 19:26:33 hYEqVSqR.net
いや、多分これからも無理だよ。
とても真面目に勉強してるようには見えない。
ネット時代なんだから基本的な部分はショートカットして勉強してやろうという気分がレスにまで溢れかえってる。
学問に王道はない。
そんな気持ちで数学やっても行けるところなんてたかが知れてる。
85:１３２人目の素数さん
19/10/20 19:50:28.96 1gpHuTQE.net
>>77
何を言っているのか分かりません。
ヒント：
Q上S_nをガロア群として持つガロア拡大が存在することは比較的簡単に証明される。
一般方程式（係数が不定元）ではなく、数字方程式としてです。
これはガロア逆問題で最も基本的な結果です。
この事実を使ってよいものとします。
86:{}
19/10/20 20:12:23.39 n9MZ9SCV.net
スレ主はx→ ax+bという情報があっても
>>60の問題に答えられないｗ
答えは(243756)
要するに(Z/7Z)×の生成元を見つければいい
で、それは3
1→3→2(=9)→6→4(=18)→5(=12)→1(=15)
で、置換は1～7の元だったから、1足せば(243756)
ついでにいうとa(x+b)とax+bは等しくないから非可換だね
1234567
↓+1
2345671
↓×3
4736251
1234567
↓×3
1473625
↓+1
2514736
87:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 21:37:41.99 f+LcfVi/.net
>>80 何を言っているのか分かりません。 ヒント： １） https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem Inverse Galois problem (抜粋) Partial results All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5]. (引用終り) ここで、仮に”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”が成立していると認めることにする これは、over Qの結果なのですが ２） さて、>>66より 「ちなみにQ上とは限らず基礎体を任意の代数体に動かしてもいいなら、任意の有限群を ガロア群として持つガロア拡大が存在することは簡単に分かる」 でしたね では、任意の代数的数αを添加した拡大体Q（α）をベースとして、このベースに PSL(2,16)による体の拡大を実現する方法をどうぞ示してください ３） もし、ある代数的数αを添加した拡大体Q（α）上で、PSL(2,16)による体の拡大を実現する方法が示されたとします そうであれば、その手法はQ上でも、実現できるのでは？ そうであれば、”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”は否定されることになりそうですぜ 論文になるのでは？
89:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 21:42:43.63 f+LcfVi/.net
>>81
ご苦労さん
非可換の計算が出来るんだね
えらいえらい
だけどさ
その x→ ax+b とか、フロベニウスとか
情報は、全部おれが提供してんだけど？
だから、あんたは、学部のガロア理論レベルまでなんだよね
ガロアの第一論文の最終定理（素数ｐ次の代数方程式の可解条件）まで、到達できてなかったし、おそらくまだ到達できていなんじゃね？（＾＾；
90:
19/10/20 21:56:17 n9MZ9SCV.net
>>83
馬鹿の貴様は計算できないのか？ｗ
渡部一己氏の論文の情報を紹介したのは安達氏 貴様ではない
貴様は読んでないのか？
だいたいx→ ax+b が分かってたら
その瞬間非可換だと分かるだろ
だから貴様は底抜けの大馬鹿野郎なんだよｗ
「Q(ζn)のガロア群は巡回群Z/nZ」
とかほざいてる時点で、貴様は何も分かってないｗ
ガロア理論とかいう以前
ガウスなら貴様を見てこういうだろう
「縁なき衆生は度し難し」
91:
19/10/20 22:10:09 n9MZ9SCV.net
＞何を言っているのか分かりません。
馬鹿は数学分からないんだから、とっとと数学板から去れｗ
92:{}
19/10/20 22:39:30.69 n9MZ9SCV.net
馬鹿に餞別代りの宿題だ 読みやがれ
半直積
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
定義は直観的にやや分かりにくく、奇妙に見えるかもしれないが、
分かりやすい例として、n次元ユークリッド空間におけるアフィン変換群をあげることができる。
n次元アフィン変換は、n次元一般線型変換とn次元の並進変換を合成したものであり、
この変換の全体は群を成し、これをn 次元アフィン変換群と呼ぶ。
2つのアフィン変換(A1,b1)と(A2,b2)の合成変換を考えると、
(A1,b1)(A2,b2)=(A1A2,A1b2+b1)
となり、単純な直積群ではないことが分かる。
しかし一般線形変換群と並進変換群は共にアフィン変換群の部分群を成し、
とくに並進部分群は正規部分群になる。
このような関係をさらに一般化したものが半直積である。
93:１３２人目の素数さん
19/10/21 04:05:34.48 qT2QtwAU.net
>>82
スレ主は全然ガロア理論が分かってませんね。
ガロア対応の基本中の基本ですよ。
基礎体を特に定めなくてもいいなら
任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在が示せる。
kが予め固定されてないってのがミソです。
スレ主の考えでは、このようなK/kがあればそれを
うまく降下させれば、ガロア群Gを持つK'/Q
が得られると思ってるようだが、そうはいかないんですよ。
そこにガロア逆問題の難しさがあるんですよ。
94:１３２人目の素数さん
19/10/21 04:29:45 qT2QtwAU.net
>>86
その例は面白いですね。
G/N=H なるNとHがあるとき
NとHから代数的操作によって逆にGを
再構成する問題を群拡大の問題って
言うんじゃないですかね。
半直積は直積より少し複雑な構成を与える
群論を勉強したとき素晴らしい概念だなと思ったもんです。
95:{}
19/10/21 06:28:37.86 fwDtM7dP.net
>>88
群の拡大…面白そうですね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
96:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/21 07:31:55.79 P3acsak1.net
>>87
ID:qT2QtwAUさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
>任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在が示せる。
>kが予め固定されてないってのがミソです。
ええ、どうぞ示して下さい
「
97:任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在」を それで、「kが予め固定されてない」が、どう作用するのか分かるでしょうから >(ガロア拡大)K/kがあればそれを >うまく降下させれば、ガロア群Gを持つK'/Q >が得られると思ってるようだが、そうはいかないんですよ。 それって、ガロアの順問題でしょ？ ガロアの順問題に反例、即ち、「そうはいかない」例があると？ （>>45） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96 ガロア理論 (抜粋) 逆問題 与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、 与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
98:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/21 07:53:33.29 P3acsak1.net
>>81
＞答えは(243756)
（もとの問題は>>60-61）
注文つけて悪いが
下記の 卒業研究”S_3, S_4, S_5 の部分群の分類”の
P14 §4.13 S5 の位数 20 の部分群
と対比すると
１）問題の位数42の群が構成できることが示されていない
２）位数42の群が構成されたとして、構成された群がFrobenius group "x→ ax+b, a≠ 0"（下記） となることが示されていない
（∵ n>=3の 置換群自身は、当然非可換ですよね。非可換例1つで何が言いたい？ (Z/7Z)×とZ/7Zとで、部分群の位数42を示さなきゃ。そこが肝でしょ？（＾＾； ）
手を動かせとか言っていたよね（>>49）（＾＾；
どぞ
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
（>>51）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Frobenius group
(抜粋)
Examples
・For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group.
99:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/21 08:01:46.46 P3acsak1.net
>>91 訂正
（∵ n>=3の 置換群自身は、当然非可換ですよね
↓
（∵ n>=4の 置換群自身は、当然非可換ですよね
か(゜ロ゜;
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
交代群
(抜粋)
群 An が可換群となるのは、n ? 3 のときかつそのときに限る。また単純群となるのは n = 3 もしくは n ? 5 のときかつそのときに限る。A5 は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり[4]、最小の非可解群である。
群 A4 はクラインの4元群 V を真の正規部分群として持つ。V は {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} であり、列 V → A4 → A3 (= C3) は完全である。
ガロワ理論によればこの写像、あるいはこれに対応する S4 → S3 に、四次方程式のフェラリの解法における（三次の）ラグランジュ分解方程式（分解方程式の根によって四次方程式を解くことができる）が対応している。
100:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/21 08:03:15.52 P3acsak1.net
>>92 文字化け訂正
群 An が可換群となるのは、n ? 3 のときかつそのときに限る。また単純群となるのは n = 3 もしくは n ? 5 のときかつそのときに限る。A5 は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり[4]、最小の非可解群であ
↓
群 An が可換群となるのは、n >= 3 のときかつそのときに限る。また単純群となるのは n = 3 もしくは n >= 5 のときかつそのときに限る。A5 は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり[4]、最小の非可解群であ
101:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/21 10:13:12 /Sto70zx.net
age
新スレになると、コテハンとトリップ設定を入れないといけなので、そのためも兼ねて（＾＾
102:１３２人目の素数さん
19/10/21 15:37:04 55/7dvj1.net
スレ主ってほんとピエロだね
103:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/21 16:28:30 /Sto70zx.net
ありがとう（＾＾
104:{}
19/10/21 19:26:13.02 fwDtM7dP.net
>>91
>１）問題の位数42の群が構成できることが示されていない
群の公理を満たすことを自分で確かめてごらん
いい勉強だよｗ
>２）位数42の群が構成されたとして、構成された群が
> Frobenius group "x→ ax+b, a≠ 0"
> となることが示されていない
1,2,3,4,5,6,7を
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6 (ζ=cos(2π/7)+i*sin(2π/7))
として、
各元にζを掛ける操作で(ζ(x+1))
ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6,1
各元を^3する操作で（ζ^(3x))
1,ζ^3,ζ^6,ζ^2,ζ^5,ζ,ζ^4
となるね
あとは操作を結合させてζ(ax+b)になってることを確かめてごらん
いい勉強だよｗ
君は手を動かして計算しないから馬鹿のままなんだよ
計算しな 注文は自分自身につけな
自分を甘やかしたら負け�
105:｢のままだぜｗｗｗ
106:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/21 19:35:15 fwDtM7dP.net
>>97の追伸
M大の卒業研究で
F20の生成元が{(12345)(2354)}
とあったんで、どうやって作ったかピンと来たね
馬鹿は計算しないから勘も働かない
工学屋のクセして計算しないとかクソだなｗ
107:{}
19/10/21 19:51:41.55 fwDtM7dP.net
馬鹿がめんどくさがる計算ｗ
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
↓^3
1,ζ^3,ζ^6,ζ^2,ζ^5,ζ,ζ^4
↓^3
1,ζ^2,ζ^4,ζ^6,ζ,ζ^3,ζ^5
↓^3
1,ζ^6,ζ^5,ζ^4,ζ^3,ζ^2,ζ
↓^3
1,ζ^4,ζ,ζ^5,ζ^2,ζ^6,ζ^3
↓^3
1,ζ^5.ζ^3,ζ,ζ^6,ζ^4,ζ^2
↓
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
これで1を先頭とする６個の順列ができたから
あとはそれぞれぐるぐる回しすれば
６×７＝４２個の順列が出来上がりｗｗｗ
108:{}
19/10/21 19:59:27.11 fwDtM7dP.net
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6 →+1 ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6,1
↓^3 ↓^3
1,ζ^3,ζ^6,ζ^2,ζ^5,ζ,ζ^4 →+3 ζ^3,ζ^6,ζ^2,ζ^5,ζ,ζ^4,1
109:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/21 20:28:06 fwDtM7dP.net
こう書けば計算しない馬鹿にも分かるかｗ
1 →+1 ζ^1 →+1 ζ^2 →+1 ζ^3 →+1 ζ^4 →+1 ζ^5 →+1 ζ^6
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+3 ζ^3 →+3 ζ^6 →+3 ζ^2 →+3 ζ^5 →+3 ζ^1 →+3 ζ^4
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+2 ζ^2 →+2 ζ^4 →+2 ζ^6 →+2 ζ^1 →+2 ζ^3 →+2 ζ^5
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+6 ζ^6 →+6 ζ^5 →+6 ζ^4 →+6 ζ^3 →+6 ζ^2 →+6 ζ^1
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+4 ζ^4 →+4 ζ^1 →+4 ζ^5 →+4 ζ^2 →+4 ζ^6 →+4 ζ^3
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+5 ζ^5 →+5 ζ^3 →+5 ζ^1 →+5 ζ^6 →+5 ζ^4 →+5 ζ^2
110:１３２人目の素数さん
19/10/21 20:42:27.17 QnREEzq+.net
このスレもう3年以上前からやってるみたいだけど、いつまで数学科の学生なら半年で通り過ぎる様なレベルで足踏みするの？
もうこの惨状がググってコピペするなんて作業が数学力の向上になんの役にも立たないことを自ずと示してるようなもんだけど。
この不毛な作業ずっと続けるの？
まぁその人の人生どう使おうがその人の勝手なんだけど。
111:{}
19/10/21 20:50:56.46 fwDtM7dP.net
>>102
「諸君らが調教してくれたスレ主は全く上達しない！何故だ？」
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
112:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/21 20:59:43.42 P3acsak1.net
>>97-101
ぱち ぱち ぱち
さすがだね
あとさ、
あんたは分かっているんだろうが
もとは、置換群の話で
例えば、コーシーの２行に書く記法で
（>>98）巡回置換(2354)なら
(1,2,3,4,5)
(1,3,4,5,2)
って話で、ちょっと、つなぎを入れてやると
親切だろうな
それと、１のベキ根のべきの話
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
で、ζの指数で書くと
1=ζ^0,ζ^1,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
で、指数だけ取り出すと
(0,1,2,3,4,5,6)となって
各元にζを掛ける操作で(ζ(x+1))
ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6,1=ζ^0だと
指数だけ取り出すと
(1,2,3,4,5,6,0)となって
つまり
(0,1,2,3,4,5,6)
↓
(1,2,3,4,5,6,0)
コーシーの記法で
(0,1,2,3,4,5,6)
(1,2,3,4,5,6,0)
で、巡回置換の記法では
(1,2,3,4,5,6,0)と書くとか
まあ、ζ^n（n=0～6）の指数と、
順列 (0,1,2,3,4,5,6)が対応するとか
（常識といえば常識だけれど）
ここもつなぎがあると、大学1～2年くらいには親切だろうな
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
置換 (数学)
(抜粋)
記法について
有限集合 S の置換に対して、その記法は大きく三種類が存在する。
1815年、コーシーによって導入された[8]二行記法[訳語疑問点]は一行目に S の元を書き、その各元の下に置換による像を書いて二行目とするものである。
二行記法の下の行だけを書くのが一行記法[訳語疑問点]であり、先ほどの例であげた置換は一行記法だと 25431 で表される（成分が複数の文字、例えば二桁の数で表されるような場合には、成分の間にコンマを入れるのが典型的である）。
第三の記法として置換の巡回置換表現（英語版）[10]は、置換を続けて施す効果に焦点を当てたものになっている。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Permutation
(抜粋)
Notations
Two-line notation
One-line notation
Cycle notation
113:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/21 21:04:28 P3acsak1.net
>>102
ID:QnREEzq+さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
ID:QnREEzq+と、私スレ主に言っているのだろうが
おれは、”まぁその人の人生どう使おうがその人の勝手なんだけど”の通りですが
ID:QnREEzq+は、人生落ちこぼれで
このスレしか、自分の不遇な人生を慰める場所ないみたいだ
まあ、大目に見てやれよ
おれは、そうしている
114:１３２人目の素数さん
19/10/21 21:14:15 55/7dvj1.net
落ちこぼれピエロは相変わらず上から目線が大好きで勉強が大嫌い
115:１３２人目の素数さん
19/10/21 21:16:09 qT2QtwAU.net
それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
スレ主は検索で引っかからないような「自明すぎるから誰も問題にしていない
でも暗黙にはその分野のひとは皆当然分かってる」ような話に弱いですねｗ
116:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/21 21:17:23 P3acsak1.net
数学科の学生が半年で通り過ぎるレベルも、結構個人差があるみたいだがね
例えば、下記、東京大学数学科生であってもね
（”数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地”とか（＾＾； ）
URLﾘﾝｸ(hiroyukikojima.hate)<)
小島寛之
(抜粋)
略歴
小島 寛之（こじま ひろゆき、1958年 - ）
東京都生まれ[要出典]。東京大学理学部数学科卒業。
東京大学大学院理学系研究科数学専攻(現数理科学研究科)の大学院入試に3度落第したため、数学者への道を諦め
117:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/21 22:10:21.07 P3acsak1.net
>>107
＞それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
つー、>>90な
証明は、あんたとおっちゃんに任すぜｗ（＾＾
118:{}
19/10/21 22:14:45.69 fwDtM7dP.net
>>104
馬鹿はまた下らないコメントしてるなｗ
馬鹿は自分の馬鹿に向き合えないから
いつまでも馬鹿のままなんだよｗｗｗ
119:{}
19/10/21 22:21:06.49 fwDtM7dP.net
＞例えば、コーシーの２行に書く記法で
＞巡回置換(2354)なら
＞(1,2,3,4,5)
＞(1,3,4,5,2)
＞って話で
うわぁ、馬鹿丸出しｗ
お前、巡回置換表示も知らねぇのかよｗ
巡回置換表示で(2354)と書いたら
２→３→５→４→２
の意味だろが
これをコーシーの２行記法で書けば
(1,2,3,4,5)
(1,3,5,2,4)
だろが、ドアホｗ
120:{}
19/10/21 22:25:19.80 fwDtM7dP.net
巡回置換(2354)を反復適用した場合
(1,2,3,4,5)
→(1,3,5,2,4)
→(1,5,4,3,2)
→(1,4,2,5,3)
→(1,2,3,4,5)
121:１３２人目の素数さん
19/10/21 22:32:57.33 Equcgj9R.net
>>108
それでいいん？
3年もやってるんだからそれなりにガロア理論好きじゃないの？
このままだと四半世紀はおろか一生このままだよ？
3年も勉強していまのレベルなんだったら単に物わかりが悪いとかなんとかではないよ？
勉強に対する大切な何かがハズれてるんだよ。
わかっててやってるならいいけど単に物わかりが悪いだけ、そのうちなんとかなると思ってるなら多分間違ってるよ。
もしホントに数学を楽しみたいと思ってるなら思い切って路線変更すべきだと思う。
122:{}
19/10/21 22:36:53.98 fwDtM7dP.net
>>106
＞(馬鹿は)上から目線が大好きで勉強が大嫌い
全くだ
1は勉強しないくせに上から目線で馬鹿丸出しの初歩的間違い書くから嘲笑される
これから心からの侮蔑を込めて1をこう呼んでやろう
”Mount Idiot”（マウント馬鹿）
123:{}
19/10/21 22:47:06.67 fwDtM7dP.net
本日の大戦果
「馬鹿山1は巡回置換記法を誤解したまま線形変換群とかぶっこいてた」
こいつ何を理解したつもりになってたんだろうなｗｗｗｗｗｗｗ
124:{}
19/10/21 22:52:11.24 fwDtM7dP.net
1に捧ぐ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
海ゆかば 水漬く屍
山ゆかば 草むす屍
大君の 辺にこそ死なめ
顧みはせじ
125:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/21 23:57:05.17 P3acsak1.net
>>107
>それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
>スレ主は検索で引っかからないような「自明すぎるから誰も問題にしていない
>でも暗黙にはその分野のひとは皆当然分かってる」ような話に弱いですねｗ
「自明すぎるから誰も問題にしていない
でも暗黙にはその分野のひとは皆当然分かってる」
ええ、>>87
「ガロア対応の基本中の基本ですよ。
基礎体を特に定めなくてもいいなら
任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在が示せる。」
でしたね
そういうのは、一般に”存在定理”とかいうそうですよ
どぞ、証明を（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
存在定理
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Existence theorem
(抜粋)
In mathematics, an existence theorem is a theorem with a statement beginning 'there exist(s) ..', or more generally 'for all x, y, ... there exist(s) ...'. That is, in more formal terms of symbolic logic, it is a theorem with a prenex normal form involving the existential quantifier.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カラテオドリの存在定理
126:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 00:01:58.91 u309yKT7.net
>>113
自分のことを言っているのかね？（＾＾
このガロアスレは、もともとテンプレにもある通り（>>8 及び下記）
”大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ ”
(参考)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む64
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:9番)-
9 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/04/26(金) 13:55:26.20 ID:mF7ZEDvm [9/34]
大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ （ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾ ）
（ もしサイト移動などでリンク切れのときは、引用してある文章のキーワードによる検索をお願いします ）
以下過去スレより再掲
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:7番)
7 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、￥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな
127:再生は無理だろう そもそも、５ＣＨ（旧２ＣＨ）は、数学に向かない アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない 複数行に渡る記法ができない 複数行に渡る矢印や、図が描けない（ＡＡ（アスキーアート）で数学はできない） 大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを
128:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 00:05:09.44 u309yKT7.net
>>111
ども、訂正ありがとう
>巡回置換表示で(2354)と書いたら
> ２→３→５→４→２
>の意味だろが
That's right！
その通りでした（＾＾；
いいつっこみだ
129:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 00:18:04.84 u309yKT7.net
おさるも、バグ取り人として、存在価値があるかも
そういう気がしてきたな（＾＾
130:１３２人目の素数さん
19/10/22 01:00:49.20 a6x07kEZ.net
>>118
え？数学勉強する気は全然ないの？
にしては別スレではえらくトンチンカンな反論してくるじゃん？
数学の勉強する気あるの？ないの？
131:１３２人目の素数さん
19/10/22 06:15:59.34 t2rCNfO0.net
>>117
1.Q上対称群S_n（nは2以上の任意整数）をガロア群としてもつガロア拡大K/Q が存在する。
2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）
3.ガロア対応。S_nの任意の部分群Gに対してGの不変体をkとするとK/kはガロア拡大でGal(K/k)=G。
1.は>>80のヒントに書いた。決して自明ではなく、証明されるべきこと。
2.,3. は代数の常識。
132:１３２人目の素数さん
19/10/22 06:27:10.90 t2rCNfO0.net
別にQ上でなくても、"一般n次方程式"のガロア群はS_nなんだから
係数に"具体的な数"を入れてもほとんどの場合ガロア群はS_nになるだろうとは想像がつく。
それで2.,3.は常識だから、ともかく任意のGに対してそれをガロア群
として持つ拡大の存在であれば、一瞬で分かるはず。
それは自明だから問題にされない。
133:{}
19/10/22 06:50:28.79 DEgJ0Qgt.net
>>119
こいつ、絶対巡回置換記法の意味知らなかったっぽいな
なにしろ∈の意味も知らずに
{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}} だ
とか馬鹿書きまくってたくらいだからな
134:{}
19/10/22 06:53:10.57 DEgJ0Qgt.net
>>118
＞アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
＞複数行に渡る記法ができない
貴様が馬鹿なのは記号とか記法以前の問題
計算しないヤツが数学を理解できるわけがない
135:{}
19/10/22 06:54:39.07 DEgJ0Qgt.net
>>120
馬鹿の誤りはバグではなく病気ｗ
お前がここから失せろ
そうすればおれも書き込みせずに済む
お互いのためだ ぜひそうしろｗ
136:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 07:14:24.79 u309yKT7.net
>>121
？
これ、>>113のID:Equcgj9Rさんかな？
逆に質問するけど
あなたは、何のために、数学板にいるの？
ガロアスレで説教たれるためか？
いまの数学板で、まともなスレがいくつある？
（下記「数学：2ch勢いランキング」ご参照）
あなた、説教垂れるヒマがあったら、自分でスレ立てるかして、お手本を示したらどうですか？
あるいは、他のスレでも、このスレでも良いけど、自分で有益な書き込みをしたらどうですか？
参考
URLﾘﾝｸ(49.212.78.147)
数学：2ch勢いランキング 10月22日 7:05:28 更新
(抜粋)
順位 6H前比 スレッドタイトル レス数 勢い
1位 = 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 122 36
2位 = 0.99999……は１ではない その２ 438 35
3位 = 現代数学の系譜 カン
137:トル 超限集合論 453 27 4位 = 高校数学の質問スレPart401 957 21 5位 = 数学の本 第86巻 613 21 6位 = フェルマーの最終定理の簡単な証明 584 20 7位 = 【未解決問題】奇数の完全数が存在しないことの証明5 742 20 8位 = 分からない問題はここに書いてね456 842 19 9位 = Inter-universal geometry と ABC予想 41 955 16 10位 = フェルマー最終定理について 303 15 11位 = 文理融合のための数学教育 90 7 12位 = 現代数学はインチキのデパート 102 6
138:{}
19/10/22 07:27:11.60 DEgJ0Qgt.net
>>127
＞いまの数学板で、まともなスレがいくつある？
なんか馬鹿はおかしな言い訳するよねｗ
そりゃ世の中には
「0.99999……は１ではない！」とか
「奇数の完全数が存在しないことを証明した！」とか
「フェルマーの最終定理を初等的に証明した！」とか
訳の分からんことをほざく奴がいるよ
しかし、そういう奴らがいるからって
「{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}」とか
「Qに1の原始n乗根を添加した体のガロア群はZ/nZ」とか
初等的なボケかましていい理由にはならんよなｗ
つーか、数学板で書き込みするなら
巡回置換記法の意味くらい自分で勉強しろよ
こんなん間違えるヤツとか初めてみたｗ
おまえどこの高校の卒業だ？もしかして中卒か？
139:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 07:51:45.17 u309yKT7.net
>>122-123
> 2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）
それって、ケーリー（Cayley）の定理でしょ？
いま問題にしているのは "ガロアの逆問題"（下記）で、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題ですよ
ちょっと違うんじゃない？
つまり"ガロアの逆問題"は、与えられた群Gを含む大きなガロア群（例えば大きなSn）を見つける問題ではなく、「群Gそのものがガロア群になる体の拡大が存在するかどうか」という問題でしょ？
参考
URLﾘﾝｸ(okwave.jp)
任意の有限群は、適当な置換群 Sn(N) の部分群？ loboskobay OKWAVE 2009/09/05 質問No.5264057
(抜粋)
「任意の有限群は適当な置換群 Sn(N) の部分群である」
ベストアンサー zk43 2009/09/05
定理の名前でいえば、
ケーリー（Cayley）の定理といいます。
証明の概略としては、Gを位数nの有限群として、
a∈Gを一つ取り、x→ax（x∈G）で写像fa:G→G
を定めると、これは全単射であり、Gの置換を
引き起こします。Gの置換全体の集合をSGとすると、
明らかにSGとSnは同型です。
そして、a→faによって写像φ：G→SGを定めると、
これは単射準同型になるので、GはSGに埋め込まれる、
すなわち、GはSnの部分群と同型となる、といえます。
（>>45より）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
つづく
140:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 07:52:36.07 u309yKT7.net
>>129
つづき
英文だが
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cayley's theorem
(抜粋)
In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group acting on G.[1] This can be understood as an example of the group action of G on the elements of G.[2]
A permutation of a set G is any bijective function taking G onto G. The set of all permutations of G forms a group under function composition, called the symmetric group on G, and written as Sym(G).[3]
Cayley's theorem puts all groups on the same footing, by considering any group (including infinite groups such as (R,+)) as a permutation group of some underlying set.
Thus, theorems that are true for
141: subgroups of permutation groups are true for groups in general. Nevertheless, Alperin and Bell note that "in general the fact that finite groups are imbedded in symmetric groups has not influenced the methods used to study finite groups".[4] The regular action used in the standard proof of Cayley's theorem does not produce the representation of G in a minimal-order permutation group. For example, {\displaystyle S_{3}}S_{3}, itself already a symmetric group of order 6, would be represented by the regular action as a subgroup of {\displaystyle S_{6}}S_{6} (a group of order 720).[5] The problem of finding an embedding of a group in a minimal-order symmetric group is rather more difficult.[6][7] (引用終り) 以上
142:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 08:17:24.55 u309yKT7.net
>>81
>x→ ax+b
>要するに(Z/7Z)×の生成元を見つければいい
それ結構センスいいね
ちょっと違うけど、類似のことを考えていた
前スレのBrent Everitt先生 P77を見て、思いついたんだが
前スレの「分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3.
ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では
Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。」
という議論を、Brent Everitt先生 P77を適用すれば
P77のx^5-2=0のクンマー拡大の群から、位数20＝5x4の群が求まって、その群は1の原始n乗根ωが添加されない一般の位数20の群と同じ
それを、素数p次 x^p-2=0 で考えると、ガロアの第一論文の最終命題のFrobenius group（>>51）が得られるね
スレ77 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:875番)-
875 自分返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/10/16(水) 07:54:22.35 ID:OrOarbJT [5/12]
(抜粋)
(Brent Everitt先生、これお薦めです。カラーの絵が豊富で分り易い。（練習問題の解答が無くなっているね（＾＾ ））
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Galois Theory - a first course
Brent Everitt
(Submitted on 12 Apr 2018)
These notes are a self-contained introduction to Galois theory, designed for the student who has done a first course in abstract algebra.
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
スレ77 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:938番)-
(抜粋)
938 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/10/17(木) 20:14:37.67 ID:rXxqe236 [7/8]
aを3乗数でない整数とすると、x^3-aはQ上既約。
分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3.
ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では
Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。これが一般3次方程式との違い。
つまり、一般3次方程式は最初に2次方程式を解いたあとωを添加して3次クンマー拡大でべき根表示が得られる
（分解体Kにωが含まれることを必ずしも意味しない）わけですが
最初の2次拡大とQ(ω)/Qが一致する特殊ケースが2項方程式（及びそれと同値な方程式）なわけです。
わたしが指摘したのは、この類似が5次方程式でも成立してるよねってことです。
以上
143:{}
19/10/22 08:40:16.55 DEgJ0Qgt.net
>>131
>>x→ ax+b
>>要するに(Z/7Z)×の生成元を見つければいい
>それ結構センスいいね
いや、速攻３秒で気づくだろｗ
こんなことで褒められても全然嬉しくねぇわ、ボケｗ
>ちょっと違うけど、類似のことを考えていた
言い訳すんなｗ
巡回置換記法も知らんでガロア理論がーとかほざいてた
バカ アホ タワケ
ダラズ ホンジナシ タクランケｗ
144:{}
19/10/22 08:44:02.67 DEgJ0Qgt.net
>>132
＞バカ アホ タワケ
＞ダラズ ホンジナシ タクランケｗ
しかし、ここの１を表す最も適当な言葉はこれだろう
ハンカクサイ(半可臭い)…半分OK程度の人
いや半分どころか１割もないけどｗ
145:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 08:56:43.34 u309yKT7.net
>>128
＞巡回置換記法の意味くらい自分で勉強しろよ
すまん、すまん
矢ヶ部を思い出したよ
「矢ヶ部 巌：数Ⅲ方式 ガロアの理論」で、S5の部分群を出すところがあって
そのときに、位数20群を扱っていて「F20の生成元が{(12345)(2354)}」（>>98）
と書いてあって、その意味も、解説されていたことを思い出した
スレ77 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:773番)-
773 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/10/10(木) 10:32:57.70 ID:K6AlmfoH [1/3]
種本でもないけど、お薦めは、下記「矢ヶ部 巌：数Ⅲ方式 ガロアの理論」
これ分かり易かった。大学教程のガロア理論を学んだ人なら、一日で読めるでしょう
URLﾘﾝｸ(www.ne.jp)
矢ヶ部 巌：数Ⅲ方式 ガロアの理論 まりんきょ学問所 数学の部屋 MARUYAMA Satosi 最終更新日：2019-08-23
概要
３人の対話により、ガロアの理論を紹介している。副題は「アイデアの変遷を追って」
感想
初版は 1976 年、第 9 刷は 2002 年に出ている。その後入手困難となっていたが、 2016 年に新装版が出た。
(引用終り)
146:１３２人目の素数さん
19/10/22 08:57:02.75 t2rCNfO0.net
スレ主は多分、ほとんど自分の頭で考えることができない
どこに何が書いてあったかとかは知っていて
それを切り貼りしているだけ。
情報の信憑性を天秤にかけて真偽を推定している感じ。
バカという言葉では言い表されない特異な脳の持ち主なのかもしれない。
勿論、数学板からは去ってほしいｗ
147:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 09:05:18.91 u309yKT7.net
>>135
>>129より
”ちょっと違うんじゃない？
つまり"ガロアの逆問題"は、与えられた群Gを含む大きなガロア群（例えば大きなSn）を見つける問題ではなく、「群Gそのものがガロア群になる体の拡大が存在するかどうか」という問題でしょ？”
どぞ
148:{}
19/10/22 09:09:34.87 DEgJ0Qgt.net
>>135
1は「知識の外部化」が甚だしい
思考すら外部化しちゃってる感じｗ
しかし思考しないんだったら数学学ぶ意味ないだろ
＞（他人の文章を）切り貼りしているだけ。
＞情報の信憑性を天秤にかけて真偽を推定している
肝心の基本的な記号（∈等）、記法（(2354)等）の
意味を確認せず、自分勝手な解釈で誤解してるから
何を引用しても見当違いだけどなｗ
＞バカという言葉では言い表されない
＞特異な脳の持ち主なのかもしれない。
いや、やっぱりバカなんでしょう
勉強せずにリコウぶる「マウンティング」をやるには
人の書いた文章を引用すりゃいい、と思ったんでしょう
まったく馬鹿丸出しな発想
＞勿論、数学板からは去ってほしいｗ
極論をいえば、この世から去ってほしいけどね
こんな軽薄なヤツ、会社でも持て余してると思うんだよな
工学屋のくせに計算サボるとか自爆行為じゃんｗ
工学屋なんて計算しか能がないんだからさｗ
こいつ部下にもっともらしいこというだけで
自分は全然仕事しないタイプだな
ま そんなヤツ珍しくないけどねｗ
149:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:14:15.06 t2rCNfO0.net
>>136
「ガロア逆問題」は「Q上」という条件が付いている。
そして、Q上とは限らず、ともかくGをガロア群として持つガロア拡大K/kが存在するか？
という問題だと存在は自明になってしまう。だから問題にされないんですよ。
証明は>>122に書いてある通りです。
150:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:14:45.87 wdQutmDL.net
>>129
3年もガロア理論勉強してコレだもん。
ほとんど何もわかってないなとしか見えない。
ヨコなのであんまり詳しくは書かないけど、とにかく話を数式に起こしてキッチリ考えてみなよ？
問題は
1)
∀G finite gp. ∃ K/k fileds s.t.
・K/k galois ext.
・Gal(K/k) &
151:#8773; G だよ？ で自分で証明できるかどうかはともかくとして 2) ∀n natural num. ∃ K/k fileds s.t. ・K/k galois ext. ・Gal(K/k) ≅ S_n は知ってるんだよね？ コレはわかる？ 3) ∀G finite gp. ∃n natural number ∃H ⊂ S_n sub gp. s.t. ・G ≅ H。 2) と3)が証明できるなら1)も証明できるハズだけど？ どっちかできないの？
152:{}
19/10/22 09:20:56.37 DEgJ0Qgt.net
>>139
1は、実際には3年間、別の問題に逃げて、
ガロア理論は勉強してなかったけどなｗ
>とにかく話を数式に起こしてキッチリ考えてみなよ？
ダメダメ、こいつ具体的な計算は
何一つしない（というかできない）から
だって巡回置換記法も誤解してたんだぜｗｗｗ
普通、計算してる奴なら速攻で誤りに気付くだろ
だって教科書と答えが合わないんだから
1はとにかく間違いを恐れるチキンだから
そういう羽目に陥ることは一切しない
計算すれば誤る可能性が大だからなｗ
過ちから学ぶのは基本、
誤らないヤツに物事は学べないよｗ
153:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:26:48.60 ej5w1kbH.net
時々いる
間違い認める＝負ける
理論の人かな？
そう言う人も学問向かないんだよな。
154:{}
19/10/22 09:35:10.35 DEgJ0Qgt.net
>>141
何でも勝ち負けだと思う人って
そもそもこの世に負けてるｗｗｗ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
／": : : : : : : : ＼
/-─-,,,_: : : : : : : : :＼
/ '''-,,,: : : : : : : :i
/、 /: : : : : : : : i ＿＿＿＿＿＿＿＿
r-、 ,,,,,,,,,,、 /: : : : : : : : : :i ／
L_, , 、 ＼: : : : : : : : :i ／ 間違ったら
/●) (●> |: :__,=-、: / ＜ 負けかなと思ってる
l ｲ '- |:/ tbﾉﾉ ＼
l ,`-=-'＼ `l ι';/ ＼ １（いい齢・男性）
ヽﾄｪ-ｪｪ-:） -r' ￣￣￣￣￣￣￣￣
ヾ＝-' ／ /
＿＿＿_ヽ::::... ／ ::::|
／￣ ::::::::::::::l `─'''' :::|
155:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:49:10.45 R+uGObSK.net
そうなんだよな。
そういう人って学問向かないだけじゃなくて何やってもダメなんだよな。
156:{}
19/10/22 10:22:40.71 DEgJ0Qgt.net
＞そういう人って…何やってもダメなんだよな。
でも、なまじカワイイと世間がもてはやすので反省しないｗ
URLﾘﾝｸ(www.nikkan-gendai.com)
157:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 10:34:18.61 u309yKT7.net
>>131
Brent Everitt先生のガロア理論の表紙に、綺麗な絵のいわゆるサッカーボール 切頂20面体があるのですが
（ URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Galois Theory - a first course Brent Everitt (Submitted on 12 Apr 2018)）
数学セミナー 2019年11月号で
数学トラヴァース 戸村浩氏がP55の写真で手に持っているがそれですね
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
数学セミナー 2019年11月号
(抜粋)
・数学トラヴァース／数理造形はブドウ酒の味がする／
戸村浩氏（造形美術家）にきく…… 54
URLﾘﾝｸ(polyhedra.cocolog-nifty.com)
切頂20面体（もどき）展開図（ペーパークラフト）
URLﾘﾝｸ(polyhedra.cocolog-nifty.com)
正多面体クラブ
2014年9月 7日 (日)
切頂20面体（もどき）展開図（ペーパークラフト）
つづく
158:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 10:34:51.47 u309yKT7.net
>>145
つづき
URLﾘﾝｸ(polyhedra.cocolog-nifty.com)
正多面体クラブ
2017年11月13日 (月)
URLﾘﾝｸ(polyhedra.cocolog-nifty.com)
正20面体・サッカーボール
URLﾘﾝｸ(polyhedra.cocolog-nifty.com)
正20面体の展開図と一緒にあるサッカーボールの
159:出来上がりは、こんな形。 サッカーボールは「切頂20面体」といって、正20面体の頂点を切り落とした形です。切り落としたところを正５角形でふさぐのは（すご～く）大変なので、穴の空いたままです。 ※JAXA（宇宙航空研究開発機構）のサイトに「サッカーボール型木星儀ペーパークラフト」があります。こちらは５角形のところが穴あきじゃないです。（でも作るの大変そう～）元気のある人は、作るの挑戦してみてください。 (引用終り) 以上
160:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 10:35:21.88 u309yKT7.net
>>144
そう、あせるな
病気が悪化するぞ
161:{}
19/10/22 10:44:01.24 DEgJ0Qgt.net
>>147
貴様、今度オレから責められて反論不能だったら
このセリフを口にしたらどうだ？ｗ
URLﾘﾝｸ(www.oricon.co.jp)
『私はマイメロだよ～☆
難しいことはよくわかんないし
イチゴ食べたいでーす』
ギャハハハハハハ！！！
・・・あいつ、●Ｖに堕ちねぇかな（極悪）
162:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 10:53:50.77 u309yKT7.net
>>138-139
？
ケーリー（Cayley）の定理（>>129）より
任意の群Gは、置換群による表現を持ち、ある大きな対称群Snに含まれる
そして、ある体E上で、対称群Snをもつ一般方程式（それはn次になる）が存在して、代数拡大F/Eが得られる
これは、Q上でも同じ
それで良いなら、
ガロア逆問題
”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”
なんてことにはならないでしょ？ なんで、”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”なの？
ある体E上で、PSL(2,16)を使って、拡大体Fがどうなるか？
どぞ、PSL(2,16)の拡大体Fを示してください
>>46
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Inverse Galois problem
(抜粋)
( unsolved problems in mathematics)
Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数拡大
(抜粋)
抽象代数学において、体の拡大 L/K は次を満たすときに代数的（英: algebraic）であると言う。
L のすべての元は K 上代数的である、すなわち、L のすべての元は K 係数のある 0 でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。
例えば、体の拡大 R/Q, すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。ここで C は複素数体である。
すべての超越拡大は無限次元の拡大である。言い換えるとすべての有限次拡大は代数的ということになる[1]。しかしながら逆は正しくない。無限次代数拡大が存在する。例えば、代数的数体は有理数体の無限次代数拡大である。
a が K 上代数的であれば、K 係数の a による多項式全体の集合 K[a] は環であるだけでなく体である：K 上有限次の K の代数拡大である。逆もまた正しく、K[a] が体ならば a は K 上代数的である。特別な場合として、K = Q が有理数体のときは、Q[a] は代数体の例である。
163:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 10:54:53.97 u309yKT7.net
>>148
落ち着いて、治療した方がいいぞ
164:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 10:56:47.41 u309yKT7.net
>>149 補足
＞どぞ、PSL(2,16)の拡大体Fを示してください
ああ、好きに基礎体Eを選んで良いよ
165:１３２人目の素数さん
19/10/22 11:08:09.27 t2rCNfO0.net
証明は>>122で示しましたよ。不備があるなら言って下さい。
補足しますよ。具体例は自分で計算してください。
166:１３２人目の素数さん
19/10/22 11:13:12.31 t2rCNfO0.net
基礎体を任意に
167:選んでいいならガロア逆問題じゃないです。 Wikipediaで存在しないんかもね？と言われてるのはQ上の話です。 Q上で存在しないとしてもある代数体k上では存在するとしても何の矛盾もありません。
168:{}
19/10/22 11:14:25.07 DEgJ0Qgt.net
1は数学板のＵ．Ｍ．ってことでｗ
『オレはこのスレッドの主だぜ ｜ｍ｜
難しいこたぁよくわかんねぇし
ああスタ丼食いてぇ』
・・・うぜぇぇぇぇぇぇｗｗｗ
｜ｍ｜はメロイックサインねｗ
169:１３２人目の素数さん
19/10/22 11:15:56.79 4TZy/f/c.net
>>149
> >>138-139
> ？
> ケーリー（Cayley）の定理（>>129）より
> 任意の群Gは、置換群による表現を持ち、ある大きな対称群Snに含まれる
> そして、ある体E上で、対称群Snをもつ一般方程式（それはn次になる）が存在して、代数拡大F/Eが得られる
> これは、Q上でも同じ
ここまではわかるの？
つまり
3)
∀G finite gp. ∃n natural num. ∃H sub gp. of S_n s.t.
G ≅ H
2)
∀n∃K/Q s.t.
K/Q galois ext.
Gal(K/Q) ≅ S_n
の二つはわかるんだな？
じゃあこの二つを組み合わせたら
1)
∀G finite gp. ∃K/k/Q s.t.
K/k Galois ext.
Gal(K/k) ≅ G
が出るのわからん？
そしてコレからは直ちに
4)
∀G finite gp. ∃K/Q s.t.
K/W Galois ext.
Gal(K/Q) ≅ G
が導出されないのはわかる？
ホントに分からんの？
それともわかったと認めるのは負けを認めることになるからプライドが許さないの？
170:１３２人目の素数さん
19/10/22 11:17:59.86 t2rCNfO0.net
Gal(K/k)=PSL(2,16)となるK/kが存在する。
それは、Kがk上のある代数方程式の分解体だということです。
Q上の代数方程式で同じガロア群を持つ方程式が存在することを意味しません。
171:{}
19/10/22 18:51:07.65 DEgJ0Qgt.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:455番)
>ガロアスレに今日サル石がこんな投稿をしていた
名前が違うな 安達君
｛｝だよ 覚えてくれたまえ
>>そりゃ世の中には
>>「0.99999……は１ではない！」とか
>>訳の分からんことをほざく奴がいるよ
>これを見ると今でも0.99999……＝１だと思っているらしい
実数論の公理を前提すれば
無限小数0.99999……が存在し
0.99999……＝１が導かれる
別に実数論の公理を信仰してるわけではない
実数論の公理から矛盾が導けるのなら
是非証明していただきたい
きっとフィールズ賞が獲れるだろう
（注：冗談ではなく真面目なコメントである）
172:１３２人目の素数さん
19/10/22 19:58:41.99 0jZI4t6q.net
こっちのスレはあんまりのぞいてないんですけど、なんで中学レベルすらわかってない安達さんがこんな難しいスレにいるんですか？
173:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/23 22:52:07 Ro3lha8R.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
グーグル、量子計算機で「超計算」成功と発表
2019/10/23 18:07日本経済新聞 電子版
米グーグルが開発した量子コンピューター用のチップ「シカモア」=同社提供
米グーグルは23日、量子コンピューターを使い、複雑な計算問題を最先端のスーパーコンピューターよりも極めて短い時間で解くことに成功したと発表した。理論上、量子コンピューターはスパコンを上回る性能を持つと考えられてきたが、世界で初めて実験で証明した。
人工知能（AI）などに続く革新的技術として期待される量子コンピューターの実用化へ、大きく前進する。
同日付の英科学誌「ネイチャー」で成果を報告した。
発表によると、同社の量子コンピューターが従来のコンピューターでは困難な問題を解く性能を示す「量子超越」を達成した。乱数をつくる計算問題を用意して検証したところ、最先端のスパコンが約1万年かかるのに対し、量子コンピューターは3分20秒で解くことができたという。一般的に乱数は暗号技術などで使われることが多い。
量子コンピューターは
174:「量子力学」と呼ぶ物理法則に従って動く。従来のコンピューターが「0」か「1」かで情報を表すのに対し、量子コンピューターは「0であり、かつ1でもある」という特殊な状態を利用して大量の情報を一度に処理できるのが特徴だ。計算の回数が減り、時間も大幅に短縮できる。 グーグルは2013年に量子人工知能研究所を設置。米カリフォルニア大学サンタバーバラ校の研究グループを迎えるなどして、量子コンピューターの開発に力を入れてきた。今回、0と1を重ね合わせた53個の「量子ビット」を利用し、スパコン超えの性能を実証した。 量子超越の達成により、コンピューターの開発の歴史に新たな一歩が刻まれることになる。幅広い計算に対応する量子コンピューターの実現にはなお時間がかかるが、AIの計算や金融リスクの予測、化学実験など幅広い用途が見込まれ、具体的な活用法の研究も加速する見通しだ。 電子版の記事がすべて読める有料会員のお申し込みはこちら
175:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:56:55 AP7TCWkP.net
1 ガロア理論と無関係の書き込みで誤魔化すｗ
176:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/23 23:01:06 Ro3lha8R.net
>>159 追加
この批判は、結構面白いね
C++さんの世界かもしれん（＾＾；
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
[FT]IBM、グーグルの「量子超越」達成は「大げさ」
2019/10/23 日経 by Richard Waters （2019年10月22日付 英フィナンシャル・タイムズ電子版 URLﾘﾝｸ(www.ft.com)）
(抜粋)
IBMの研究者5人は21日に発表した論文で、グーグルの量子コンピューターが最先端のスーパーコンピューターの性能をはるかに上回るという主張は大げさだと述べた。
グーグルのこうした主張は、英紙フィナンシャル・タイムズ（FT）が9月、他社に先駆けて報じた未発表の研究論文に書かれていた。
グーグルは自社の量子コンピューターについて、米エネルギー省のスパコン「サミット」で1万年かかる計算を3分20秒で完了したと報告した。
これを「量子プロセッサーにしかできないコンピューター計算の初めての例」と位置づけ、「コンピューター計算で待ち望まれていたパラダイムの到来を告げる」とした。
■「将来的に従来コンピューターと併用」
しかしIBMの研究者は、独自の方法を用いて同じ計算問題をスパコンで解いてみたところ、2日半しかかからなかったと明らかにした。
グーグルに対しては、スパコンの性能がシステムメモリーに保存できるデータ量によって制限されると想定したことが間違いだとし、このような足かせを乗り越えられる「豊富なディスク容量を考慮しなかった」と指摘した。
さらに、その他のハードウエアやソフトウエアの発展にも言及し、IBMでの計算に要した2日半という結果はどちらかと言えば「控えめで、最悪ケースの見積もり」だと付け加えた。
量子コンピューターの実現をグーグルと競い合うIBMは、グーグルが「量子超越」を標榜しようとしたことにも反発している。
量子コンピューターと従来のコンピューターには大きな違いがあるため、将来的に「併用される」見通しだと説明したうえで、今回の一連の報道はあたかもコンピューターの新時代が到来したかのような「誤解を世間に必ず与える」と非難した。
IBMは既に、グーグルの主張に対する批判を公に表明している。
新たなプログラミング方法で従来のコンピューターの性能が追い付く可能性もあり、量子コンピューターとの競争に決着がついたわけではないという声もある。
177:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/23 23:03:04.37
178:Ro3lha8R.net
179:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:04:00.12 AP7TCWkP.net
1 ガロア理論と無関係の書き込みで誤魔化すｗ
180:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:05:12.26 AP7TCWkP.net
1＝乞食
181:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:19:10 raXhEItc.net
スレ主さんは論理式読めるの？
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. K/k Galois ext. Gal(K/k)=H
と
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. k/Q Galois ext. Gal(k/Q)=H
のちがいはわかりますか？
どちらかは確実に合っててどちらかは私の知る限り未解決問題なんですがどちらが正しくてどちらが未解決問題かわかりますか？
正しい方がわかるならもう一方が未解決問題の方です。
182:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/24 00:53:07 G70Rid0Q.net
>>158
>こっちのスレはあんまりのぞいてないんですけど、なんで中学レベルすらわかってない安達さんがこんな難しいスレにいるんですか？
どうも。スレ主です
安達さんは、スレ18（2016年）（下記）からの古参の人だよ
当時、ガロア理論の質問をしてきてね
私スレ主が説明したけど（他に説明した人は、いなかったのだが）、納得できないといってね（＾＾
自分で解説を考えて、それを書いて本に入れたという
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.v2-solution.com)
V2-Solution Inc. 書籍紹介
相対性理論はペテンである／無限小数は数ではない
安達 弘志 著
発売日20190701
(抜粋)
内容紹介
「ガロア第一論文のシンプル解説」現代の抽象代数学の用語を一切用いない、シンプルで、深い、最良の解説書
ガロアスレ18 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:179番)-
(抜粋)
179 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/02/20(土) 10:38:56.58 ID:ue3tj7XN [1/3]
どうもスレ主は私の言っていることの意味が分かってないようだが、ま、いいか（笑
私は理系ではなく、ましてや数学をを専攻したような人間ではない。
ただ五次方程式が解けないことをガロアが群という考えを用いて証明した、
ということを知って興味を持って調べているだけである。
で、何の予備知識もなくいきなり「群と代数方程式」を買って読んでみたが、
書いてあることの意味自体が理解できなかった（笑
で、解説書も少し読んでみて、何となく分ったような気になったが、
よく考えるとやはり分らない（笑
そこで「ガロアを読む」を買って今読んでいるのだが、
これも数学専攻学生のために書かれたような本で、
こんなものを読んでも素人には本質的なことは何も分らない。
で、今、図書館で「13歳の娘に語るガロアの数学」をリクエストしてきた。
180 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/02/20(土) 11:07:17.65 ID:ue3tj7XN [2/3]
補題４が分ったと書いたが、100%理解できたというわけでもない。
V´がVの根を置換したものだということは分る。
しかし根ａがf(V)で表わされるなら他の根ｂはf(V´)で表わされる、
ということの厳密な証明がない。
183:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/24 00:59:24 G70Rid0Q.net
>>165
「K/k Galois ext. Gal(K/k)=H」の定義は？
184:１３２人目の素数さん
19/10/24 01:07:53.77 9DQGDl/5.net
>>167
Kはkのガロア拡大体でそのガロア群はHに一致する。
です。
185:読んでる教科書にこの記号載ってない？ どちらかは正しい事が確実に示せます。 わかりますか？
186:１３２人目の素数さん
19/10/24 06:54:35.13 POF9ONA6.net
>>166
そうだったんですね
論理式の一つもわからなかった安達さんがなぜこんな話題に興味を持つのかとても興味深いですね
187:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/24 07:55:14.12 G70Rid0Q.net
>>168
ID:9DQGDl/5さん、どうも。スレ主です。
夜遅く、回答ありがとう
さて、ガロア理論で、体のガロア拡大とガロア群の対応を考えるとき
・体のガロア拡大は、正規かつ分離
・拡大体と群のガロア対応は、あきらかに包含関係を逆にしている
この２つは、重要だよね
（下記「ガロア理論の基本定理」及び「ガロア理論」）
で、定義を聞いた
>>165で
ガロア対応は、”H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. K/k Galois ext. Gal(K/k)=H”ですね
こちらが、合っている
ところで、ガロア群Gal(K/k)が既に存在するときは良いが、
逆に、ある群Hが与えられたときに、
群Hを、ガロア群とする体のガロア拡大（＝正規かつ分離）が、
必ず存在するかどうか
それが、ガロアの逆問題でしょ（>>45 ＆ >>149）
で、念押しだが現代数学の「ガロア理論の基本定理」（ガロア対応）は、基礎体k（下記ではF）に依存しないでしょ？
基礎体は、Qに限定されない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論の基本定理
ガロア理論の基本定理 (英: fundamental theorem of Galois theory) とは、ある種の体の拡大がなす構造を記述する結果である。
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）
この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
(抜粋)
証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができるという、エミール・アルティンによる幾分繊細な結果である。
ガロア拡大 K/F の自己同型写像は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。
つづく
188:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/24 07:56:20.51 G70Rid0Q.net
>>170
つづき
対応の明示的な記述
有限拡大に対し、対応は次のように明示的に述べることができる。
・Gal(E/F) の任意の部分群 H に対し、対応する体は普通 E^H と書かれ、これは全ての H の自己同型により固定される E の元の集合である。
・E/F の任意の中間体 K に対し、対応する部分群は、単に Aut(E/K) であり、これは全ての K の元を固定する Gal(E/F) に属する自己同型の集合である。
例えば、一番上の体 E は Gal(E/F) の自明な部分群に対応し、基礎体 F は Gal(E/F) の全体に対応する。
対応の性質
対応は次のような有益な性質を持っている。
・包含関係を逆にする(inclusion-reversing)[2]。部分群の包含関係 H1 ⊆ H2 が成り立つことと体の包含関係 E^H1 ⊇ E^H2 が成り立つこととは同値。
・拡大次数は包含関係を逆にするという性質と矛盾しない形で群の位数と関係する。具体的には H が Gal(E/F) の部分群であれば |H| = [E : E^H] であり |Gal(E/F)/H| = [E^H : F] である[3]。
・体 E^H は F の正規拡大（分離拡大の部分拡大は分離的だから、これはガロア拡大というのと同じ）であることと、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。
このとき Gal(E/F) の元の E^H への制限は、Gal(E^H/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論
(抜粋)
ガロア理論（ガロアりろん、Galois theory）は、代数方程式や体の構造を "ガロア群
189:" と呼ばれる群を用いて記述する理論。 1830年代のエヴァリスト・ガロアによる代数方程式の冪根による可解性などの研究が由来。ガロアは当時、まだ確立されていなかった群や体の考えを方程式の研究に用いていた。 ガロア理論によれば、“ガロア拡大”と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。 一般に、体の拡大において、ある体上で既約な多項式の分解体となるという性質を正規性といい、中間体の正規性はガロア群の部分群が正規部分群に対応している。 つづく
190:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/24 07:56:48.75 G70Rid0Q.net
>>171
つづき
例えば、L の正規部分拡大のうちで K の特定の元のべき根によって生成されるもの M の対称性を表す群
Gal (M/K)= Gal (L/K)/ Gal (L/M)
は巡回群になる。
L が K のべき根拡大になっているかどうかは群 Gal(L/K) が可解群になっているかどうか。
このようにして分解体の自己同型を調べることで方程式の可解性について考察することができる。
より発展的な定式化
抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。
上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。
この二つを満たすような拡大は ガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれる。
ガロア理論の基本定理
詳細は「ガロア理論の基本定理」を参照
体 L を体 K の有限次ガロア拡大とする。L と K の中間体 M と Gal(L/K) の部分群 H について次の式が成立つ。
M=L^Gal(L/M)},H= Gal(L/L^H).
ただし、Gal(L/M) は拡大 L/M のガロア群であり、LH は L の元のうちで H の下で不変になっているもののなす L の部分拡大を指す。
したがって、L の中間体 M とガロア群 Gal(L/K) の部分群 H の間の対応
φ:M→H= Gal(L/M),ψ:M=L^H←H
は互いに逆で、これらは全単射になることがわかる。
また、この対応はあきらかに包含関係を逆にしている。
つまり、M1 ⊃ M2 ならば φ(M1) ⊂ φ(M2), G1 ⊃ G2 なら ψ(G1) ⊂ ψ(G2) となる。
(引用終り)
以上
191:１３２人目の素数さん
19/10/24 09:31:00 V4UM6AG2.net
>>170
> ところで、ガロア群Gal(K/k)が既に存在するときは良いが、
> 逆に、ある群Hが与えられたときに、
> 群Hを、ガロア群とする体のガロア拡大（＝正規かつ分離）が、
> 必ず存在するかどうか
> それが、ガロアの逆問題でしょ（>>45 ＆ >>149）
>
このあたりからもう理解が、ガタガタなんですよ。
1)
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. K/k Galois ext. Gal(K/k)=H
2)
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. k/Q Galois ext. Gal(k/Q)=H
が違うのはわかっていて1)の方は簡単に証明できる話だというのは一応わかってるのね？
ところが問題なのは1)と2)はとてもよく似ていて実際、日本語の文章にするとどっちの意味なのか迷ってしまうことがあります。今回の逆問題の説明などまさにそれです。
例えば次の文章はこの部分だけ見ると1)の意味にとってしまっても不思議はありません。
More generally, let G be a given finite group, and let K be a field. Then the question is this: is there a Galois extension field L/K such that the Galois group of the extension is isomorphic to G?
これがキチンと数学の文章を全体を通じて意味を理解しないと危ない部分なんですよ。
この部分 "だけ" を切り出してしまうと1)の意味のようにKとkの両方を動かしていいと思ってしまう可能性はなくはありません。
しかし前段にある文章
In Galois theory, the inverse Galois problem concerns whether or not every finite group appears as the Galois group of some Galois extension of the rational numbers Q
192:. を見ると2)の意味であろうと推察できます。 これなんか論理式で書くと明白に違いがわかる文章でも我々が普段使っている言語に直してしまうとどちらの意味にでもとれてしまう "怖さ" があるんですよ。
193:１３２人目の素数さん
19/10/24 09:31:15 V4UM6AG2.net
あなたが批判されてるのはこういう文書の一部だけを切り出して勝手に誤解してることが多々あるからです。
数学の文章を引用するなら最低でも流し読みでもいいのでキチンと全体を読んで意味が複数とれる場合などはどちらの意味なのか考えないとダメです。
また長い文章を引用するなら部分的に読むとどちらにもとれるような場合には必要な部分全体を切り出すか一言二言注意を促して引用しないとダメです。
もう一つはそれでもちゃんと数学を勉強した人間なら "逆問題" の意味を1)と勘違いする事はありません。
サラッと流し読みしてて万が一一瞬1)の意味にとってしまったとしても「アレ？おかしい？こんなのいつでも存在するじゃん？」と意味を取り違えている事をすぐ認識できるからです。
そしてみんながあなたの数学力をバカにしてるのはそういう数学を勉強した人間なら当たり前に出来る事が一切できてないからですよ。
3年もガロア理論勉強したなら1)がさほど難しくなく数秒で証明できてしまうはずの問題なのにそれがwikiediaの項目として扱われるハズなんかないと気付く事ができて当たり前だからです。
なので論理式を持ち出してるんですよ。
そういう誤解を防ぐために数学の世界では論理式を用いて基礎論の数学者が研究のために使う "論理式" に直してみるとその手の誤解を防ぐ事ができるからです。
数学科では一回生、二回生くらいまでで文書を論理式に書いてみたり、その逆をやってみたりでその手の誤解をしないような、そしてその手の誤解を読者に与える文章を避ける事を心がけるための訓練をしっかりやるんですよ。
そしてあなたは正にその能力が全然育ってません。
今からでも遅くないのでその手の練習はしっかりやらないとダメです。
もしかしてイプシロンデルタで論理式には苦手意識持ってますか？
しかし正確な論理展開をしていくためにも論理式は絶対避けられません。
数学を例え趣味でも勉強していくつもりならここはさけられませんよ？
194:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/24 12:41:59.20 zndIMm6S.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.asahi.com)
６０年解けなかった数学の難題 世界中のＰＣつなぎ解決 石倉徹也 朝日新聞 2019年10月24日07時05分
世界中のパソコン５０万台をネットワークでつなぎ、スーパーコンピューターをも超える能力で計算させることで、未解明だった数学の難問を解決することに欧米の数学者が成功した。ある整数を３乗した数（立方数）を三つ、足したり引いたりして１～１００を作る問題で、最後まで残っていた４２となる三つの組み合わせが６４年目にしてついに見つかった。
この問題は１９５０年代、英国の数学者ルイス・モーデルが考え出した。例えば、１の３乗＋１の３乗＋１の３乗は３になる。４、４、－５の組み合わせでもそれぞれ３乗して足すと、６４＋６４－１２５となって合計は３になる。モーデルは論文で「この２通り以外に３をつくれる組み合わせがあるのか、私には分からない。見つけるのは非常に難しいに違いない」と記した。
５５年には、３だけでなく、三つの数字を組み合わせて１～１００の数をすべてつくれるか、という問題に発展した。整数論の重要な定理「モーデル予想」を提案した大数学者の問いかけとあって、世界中の数学者が色めき立って考え始めた。
手計算で
195:手に負えなくなると、コンピューターによって手当たり次第に探されるようになり、２０１６年までに３３と４２を除くすべての答えが出た。１３や１４のように、９で割って余りが４か５になる数には答えがないこともわかった。 そして今春、英ブリストル大の… 有料会員限定記事こちらは有料会員限定記事です。有料会員になると続きをお読みいただけます。 残り：1087文字／全文：1642文字
196:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/24 17:13:36.82 zndIMm6S.net
>>173
ID:V4UM6AG2さん、どうもスレ主です。
あなたは、かなり勉強されているみたいだから、もう少し教えてもらえますか？
少し、記号を整備しましょう。
下記、ガロア理論の基本定理にならいます。
基礎体F、拡大体E、中間体K、有理数体Q
体の有限次ガロア拡大 E/Fのガロア群 Gal(E/F)
基礎体F上、F係数の一般ｎ次方程式による体の拡大を考えて、拡大体Eが得られたとする
（簡単のために、FはQ上の代数拡大体とする）
Gal(E/F) ＝Sn （n次対称群）
体：Q ⊆ F ⊆ K ⊆ E
↓↑（ガロア対応）
群：S'⊇ Sn⊇ G ⊇{e}
ここに、GはSnの部分群で、S'はSnを含む群、 {e}は単位元からなる自明な群
（そして、ケーリー（Cayley）の定理（>>129）から、Snを十分大きく取れば、任意の群Gに対して、”Sn⊇ G”成立）
で、あなたは、
体：F ⊆ K ⊆ E
↓↑（ガロア対応）
群：Sn⊇ G ⊇{e}
なら、作れるといったわけですよね（>>80）
（体 F、K、E を自由に選んで良いなら、自由度が上がっている？ ）
でも、ガロア逆問題は
体：Q ⊆ K
↓↑（ガロア対応）
群：G ⊇{e}
となる体：Q ⊆ K （Q上の拡大体K）が存在するかどうか（あるいは見つける）ですよね（あなたの言葉を借りれば）
そういう理解で良いですかね？
なるほど
しかし、Qに限らないのでは？ 自由度の問題では？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論の基本定理
(抜粋)
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）
つづく
197:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/24 17:14:14.50 zndIMm6S.net
>>176
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対称群
(抜粋)
6.1 一般多項式のガロア群
多項式のガロア群とは、多項式の根の全体からなる集合上の置換群のことをいう。
n-次対称群 Sn は有理数体 Q 上の n-次の一般多項式（係数の間に何らの代数的な関係式も成立しないような多項式）
のガロア群であることが示される。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自明群
(抜粋)
自明群、自明な群 (trivial group)、単位群 はただ1つの元からなる群である。
自明群のただ1つの元は単位元である
(引用終り)
以上
198:１３２人目の素数さん
19/10/24 17:37:34.99 TFjX0kgg.net
十分大きく
十分小さく
などは証明ではない
199:１３２人目の素数さん
19/10/24 18:13:01.45 dI8bXOuQ.net
>>176
やはりまずはきっちり問題をまず論理式で書いて下さい。
変数はL,K,Gとして条件は
L/K Galois ext ∧ G≅Gal(L/K)
で束縛されているのはGとLで
∀G∃L s.t. L/K Galois ext ∧ G≅Gal(L/K)
の形、すなわちKは自由変数でその値によって真偽値が確定します。
例えばK=C(複素数体)のときはGとして現れうるのは単位群のみなので偽である事が確定します。
K=R(実数体)のときも偽です。
K=Rの場合が大元の逆問題で現時点で真偽不明です。
おそらくQ上の有限次代数拡大Kで真偽が確定している体は一つもないと思います。
私は専門家ではないのですが知り合いの得意な人に2000年の時点で質問した時は知らないと言ってました。
少なくともその時点ではオープンプロブレムだったハズです。
200:１３２人目の素数さん
19/10/24 18:22:47.31 VtUUj/v5.net
>>176
わたし（>>122）とID:V4UM6AG2さんは別人ですよ。
>>117に対する回答が>>122です。
この回答に誤りがあるなら言ってください。
（わたしはないと思ってます。
そして何度も言っているように自明・トリヴィアルな話。）
「
201:基礎体は固定されておらず動かしてもいい」 ということも最初から言っています。 貴方は何年間もガロア理論を勉強されてきて こんなことも分からないほどモノになっていない ことを自覚して下さい。 貴方はまずは「不明だったのはは自分でした」 と認めて下さい。
202:１３２人目の素数さん
19/10/24 18:28:05.08 w7946dE3.net
私がID:V4UM6AG2です。
私がヨコ入れたので混乱しそうなのでしばらくはロムってます。
まずは最初議論始めたお二人でどうぞ。
ヨコレス失礼しました。
203:１３２人目の素数さん
19/10/24 18:40:44.18 VtUUj/v5.net
最初に与えられた既約方程式が素数次数であれば
分解体に到達するまでのどの中間体でも既約のままで
ガロア群のみが変わるということが起こります。
それはx^3-2=0という方程式のガロア群はQ上ではS_3だが
1の原始3乗根ωを添加したQ(ω)上ではC_3になることからも
類推できるでしょう。
素数次数p次のS_pをガロア群として持つ既約方程式の場合
まさにそれと同じことが起こります。
基礎体を変えることで、方程式はそのままで
ガロア群としてS_pのすべての部分群が生じます。
204:１３２人目の素数さん
19/10/24 18:46:24.19 VtUUj/v5.net
>>181
わたしはスレ主と議論するつもりはないですね笑
それはもう一人いらっしゃった方も同じだと思います。
コピペバカに「おかしいね」とツッコミを入れる感じです笑
スレ主の相手をしてくださったのは有難かったですm(__)m
いつでもご自由にご参加下さい。
205:１３２人目の素数さん
19/10/24 19:13:52.68 VtUUj/v5.net
>>182
ここで言うガロア群とはGal(K/k)のこと。
たとえばQがこの方程式の係数体で
Kが分解体、kを中間体とするとき
K/kはガロア拡大だが、k/Qがそうとは限らない。
k/Qがガロア拡大となるのはGal(K/k)=Nが正規部分群のときのみ。
そのときGal(k/Q)=S_p/Nだが、S_p/Nとして生じるガロア群は
非常に限定されていることが分かる。
206:{}
19/10/24 19:28:10.41 D1dAD1u7.net
>>176
馬鹿に質問だ
体 L を体 K の有限次ガロア拡大とし
Gal(L/K)を拡大L/Kのガロア群とする
そしてHをGal(L/K)の部分群とする
貴様は L の元のうちで H の下で不変になっているものの全体である
Lの部分体L^Hが必ず存在するとはいえない、といいたいのか？
207:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/24 19:45:47 D1dAD1u7.net
>>176
要するに馬鹿は
体：F ⊆ E^G ⊆ E
↓↑（ガロア対応）
群：Sn⊇ G ⊇{e}
となるE^Gが常に存在するとは限らない、といいたいのか
208:１３２人目の素数さん
19/10/24 19:47:23 VtUUj/v5.net
>>182
>基礎体を変えることで、方程式はそのままで
>ガロア群としてS_pのすべての部分群が生じます。
大間違い。
方程式はそのままじゃなくて分解することもありますね。
p個の根に可移的に作用しない部分群もあるので。
209:１３２人目の素数さん
19/10/24 19:51:09 VtUUj/v5.net
たとえ間違っても自分で考えるのが楽しいんですよ
コピペバカには分からんでしょうがな笑
210:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/24 19:51:26 D1dAD1u7.net
1と議論する馬鹿はいないｗ
議論というのは主張の正しさが明らかでない同士の間で成立する
1は常に間違ってることが明らかであるから
1との対話は議論ではなく馬鹿に対する指導であるｗ
211:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/25 18:50:08.96 xcx18NtP.net
>>176
なるほど なるほど
分かりました 分かりました
"ガロアの逆問題"：
「ある基礎体Eに対して、群Gを与えたとき、拡大体Fを求めよ」という問題ですね
で、この視点から、これを広く解釈すれば、類体論もこの類の問題になる（後述）
１）可換の場合
・基礎体Q、1 の冪根（円関数）で、クロネッカー?ヴェーバーの定理
・有理数体の虚二次拡大体の場合、高木類体論（楕円曲線の虚数乗法）
・一般の基礎体Fなら、ノイキルヒの本らしい
２）非可換の場合
・ラングランズ対応
３）これ以外で、数論幾何における高次局所体および高次大域体のアーベル
212:拡大 ・A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司ら とか書かれていますね（下記） イヴァン・フェセンコ先生は、例のIUTで望月先生を支持している方かな？ ではまた（＾＾ （参考） （>>45-46） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96 ガロア理論 (抜粋) 逆問題 与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。 https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem Inverse Galois problem https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%B3 イヴァン・フェセンコ（Ivan Fesenko）は、数論および現代数学での他分野との（数論の）相互作用を研究している、ロシアの数学者である。 (抜粋) フェセンコは、望月新一の宇宙際タイヒミューラー理論（英語版）(Inter-universal Teichmuller theory、IUT)の研究を整頓するうえで積極的な役割を果たした。 つづく
213:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/25 18:51:12.59 xcx18NtP.net
>>190
つづき
フェセンコは同研究のサーベイ論文[pub 19]及び一般論説[pub 20]の著者であり、数学界の難問ABC予想を証明できたとする望月の論文（2012年）に関して「証明内容に誤りは無い」と後押しする主張を行った数学者の1人である[4]。
フェセンコは、IUTに関する（同理論を理解したいと考える数学者に向けて内容を説明する）2つの国際ワークショップを共同開催した[pub 21][pub 22]。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Class field theory
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
類体論
(抜粋)
数学における類体論（るいたいろん、英: class field theory, 独: Klassenkorpertheorie）は、有限体上の曲線の函数体や数体のアーベル拡大について、およびそのようなアーベル拡大に関する数論的性質について研究する、代数的整数論の一大分野である。
理論の対象となる体は、一般に大域体もしくは一次元大域体と呼ばれるものである。
与えられた大域体の有限次アーベル拡大と、その体の適当なイデアル類もしくはその体のイデール類群の開部分群との間に一対一対応が取れるという事実によって、類体論の名がある。
例えば、数体の最大不分岐アーベル拡大であるヒルベルト類体は、非常に特別なイデアル類に対応する。類体論は、大域体のイデール類群（即ち、体の乗法群によるイデールの商）によってその大域体の最大アーベル拡大のガロワ群へ作用する相互律準同型 (reciprocity homomorphism) を含む。
大域体のイデール類群の各開部分群は、対応する類体拡大からもとの大域体へ落ちるノルム写像の像になっているのである。
標準的な方法論は、1930年代以降発達した局所類体論（英語版）で、これは大域体の完備化である局所体のアーベル拡大を記述するものであり、これを用いて大域類体論が構築される。
つづく
214:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/25 18:51:31.99 xcx18NtP.net
>>191
つづき
目次
1 現代的な定式化
2 素イデアル
3 類体論の一般化
4 歴史
5 脚注
6 参考文献
7 関連項目
現代的な定式化
現代的な言葉で言えば、基礎体 K の最大アーベル拡大 A は存在して、その拡大次数は K 上無限大となり得るから、その時 A に対応するガロワ群 G は副有限群となり、従ってコンパクト位相群かつまたアーベル群になる。
類体論の中心定な目的は、この群 G を基礎体 K の言葉で記述することである。特に、K の有限次アーベル拡大と K に対する適当な（有限な剰余体を持つ局所体の場合の乗法群や大域体の場合のイデール類群のような）対象におけるノルム群との間の一対一対応を確立し、それらのノルム群を（例えば、指数有限な開部分群といったように）直截的に記述することである。
そのような部分群に対応する有限次アーベル拡大を類体と呼び、これが理論の名称の由来となっている。
類体論の基本的な結果は「最大アーベル拡大のガロワ群 G は、基礎体 K のイデール類群 CK の（基礎体 K の特定の構造に関係して CK に入る自然な位相に関する）副有限完備化に自然同型である」ことを主張する。
同じことだが、K の任意の有限次ガロワ拡大 L に対し、この拡大のガロワ群の最大アーベル商（アーベル化）と、K のイデール類群を L のイデール類群のノルム写像による像で割ったものとの間に、同型
Gal(L / K)ab → CK / NL/K CL
が存在する[1]。
つづく
215:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/25 18:51:52.53 xcx18NtP.net
>>192
つづき
幾つかの小さい体、例えば有理数体 Q やその虚二次拡大体については、もっとたくさんの情報が得られる詳細な理論が存在する。
例えば、Q のアーベル化絶対ガロワ群 G は、全ての素数に亙って取った p-進整数環の単元群の無限直積（に自然同型）であり、対応する Q の最大アーベル拡大は 1 の冪根全てによって生成された体となる。
このことは、もとはレオポルト・クロネッカーの予想であったクロネッカー?ヴェーバーの定理として知られる。
この場合の、類体論の相互律同型（あるいはアルティンの相互律写像）も同定理に従って具体的に書くことができる。
1 の全ての冪根からなる群を
μ_∞(⊃C^X)
と書くことにする（円周群C^×のねじれ部分群）と、アルティンの相互律写像はそれが数論的正規化されているならば
＾Z^X→G_Q^ab=Gal(Q(μ_∞)/Q);x→(ζ→ζ^x)
によって、あるいはそれが幾何学的正規化されているならば
＾Z^X→G_Q^ab=Gal(Q(μ_∞)/Q);x→(ζ→ζ^-x)＾
によって与えられる。
しかし、このような小さな代数体に対する詳細理論の主要な構成法は一般の代数体の場合にまで拡張することはできないし、一般類体論で用いられるのはもっと違った概念的原理である。
相互律準同型を構成する標準的な方法は、まず大域体の完備化の乗法群からその最大アーベル拡大のガロワ群への局所相互律同型を構成し（ここまでは局所類体論の範疇でできる）、それからそれらすべての局所相互律写像の積を大域体のイデール群上で定義するとき、その積が大域体の乗法群の像の上で自明となることを示すことで行われる。
最後のところのこの性質を大域相互律 (global reciprocity law) と言い、これはガウスの二次の相互律の広汎な一般化になっている。
相互律準同型を構成するのに類構造（英語版）を用いる方法もある。
コホモロジー群（特にブラウアー群）を用いる方法や、コホモロジーを用いずに非常に明示的で応用が利く方法などもある。
つづく