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>>332 追加
”ガロア群Gal(Fp^n/Fp)の構造”、”Frobenius自己同型”、Frobenius写像か
URLﾘﾝｸ(biteki-math.hatena)（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
美的数学のすすめ id:TSKi
2015-05-09
有限体の構造
(抜粋)
有限体の構造といっても、その多くは、Z/pZ（pは素数）の性質を一般化したものです。したがって、よく慣れ親しんでいるものだと思います。
位数pの有限体
Z/pZは、位数pの有限体です。逆に、位数pの有限体は全てZ/pZと同型であることが知られています。
同型を除いて一つに定まる位数pの有限体をFpと記します。また、そのうち0以外の元からなる集合をF×pと記します。F×pは乗法に関して群をなします。
ガロア群Gal(Fp^n/Fp)の構造
Fp^nからFp^nへ写像として次のものを考えます。
Φ : Fp^n∋x→xp∈Fp^n
ここで、x,y∈Fp^nに対してΦ(x+y)=Φ(x)+Φ(y)が成立します。
Φは、ガロア群Gal(Fp^n/Fp)に含まれていることが分かりました。
この自己同型ΦをFrobenius自己同型といいます。そしてガロア群Gal(Fp^n/Fp)はFrobenius自己同型により生成されることが知られています。
Gal(Fp^n/Fp)={Φ,Φ2,?,Φn=1}
つまり、ガロア群Gal(Fp^n/Fp)は、位数nの巡回群であり、Frobenius自己同型がその生成元となります。
ここまで、位数がpの有限体のn次拡大を見てきましたが、位数がpmの有限体のn次拡大に関しても、上とまったく同じ議論が成り立ちます。
(引用終り)
以上