19/10/27 13:26:32.49 Y1bY1Qu4.net
おっちゃんです。
>>212の
>ガロアの逆問題のことが書かれているテキストも全く知らない。
について、再度調べたらスレ主の Cox の本があったようだが、これは持っていない。
この Cox の本のことが出て来てスレ主と語っていたとき、無意識に古典的ガロア理論について語ったかもは知れないが、
これを除くと意識的に古典的ガロア理論を語った覚えや記憶は殆どない。
>>205で題名は伏せたが、現時点で私が読んだことがある環や体の代数の本は主に現代数学概説Ⅰ。
内容的には集合論なども含めて、古典的ガロア理論を除けば、大まかな代数のことがまとまっていていい本だ。
ただ、現代的に見たら、代数の詳細なことは書かれていない。
まあ、最近の数論は細分化していて、研究も代数的手法が絶対的とは限らないようだが。
1次元ルベーグ測度が+∞の実数体Rや2次元ルベーグ測度が+∞の複素数体Cの数論的な研究に、
古典的ガロア理論が使えるとは余り思えない。実数か複素数に収束するベキ級数
f(X)＝Σ_{k=0,1,2,…,+∞}( a_k・X^k ) ( (∀k∈N a_k∈R)∨(∀k∈N a_k∈C) )
についての方程式 f(X)＝0 のガロア理論を古典的ガロア理論と同様に作れればいいが、
有限と無限は違うから、単純に古典的ガロア理論をきれいな形に拡張出来るとも思えない。
単に代数だけでなく、必ずしも古典的解析に限らず、実解析などの近代的解析も含めた解析的手法、
或いは(少なくとも数論幾何の意味ではない)幾何的手法は欠かせないだろうな。
311:{}
19/10/27 15:20:59.05 tnQkUbav.net
>>272
>「正規部分群を理解していない」
>「円分体のガロア群を誤解している」
>「ガロアの基本定理さえ理解していない」
>という話
全部事実
「部分群Ｈ
312:がgHg-1と同型なら正規部分群」 （任意の部分群が正規部分群ｗ） 「次数ｎの円分多項式のガロア群はZ/nZ」 （乗法と加法を取り違えｗ） 「HがGal(L/K)の部分群だからといって H=Gal(L/M)となる体Mが存在するとは限らない」 （ガロア理論の基本定理を全面否定ｗ） こんなテイタラクでルイタイロンなんか到底無理ｗ
313:{}
19/10/27 15:23:03.57 tnQkUbav.net
>>273
＞私ら、素人ですから、（数学は）物理や化学と横並びです
数学で初歩的な間違いを繰り返すようじゃ
物理や化学の知識も大いにあやしいもんだｗ
相対論とか真っ向から否定しそうだｗｗｗ
314:{}
19/10/27 15:24:47.37 tnQkUbav.net
>>274
>そう慌てないで
この言葉がでたら1が理解できる範囲を超えてきた証拠ｗ
315:{}
19/10/27 15:30:04.30 tnQkUbav.net
>>275
馬鹿の1相手に数学の話をするヤツはいないよｗ
馬鹿が知ったかぶりで書くことの
揚げ足（初歩的であればあるほどいい）をとるのが
このスレッドの楽しみ
馬鹿だけがわかってない
なんたって４大トンデモスレの筆頭だからな
他は統合失調症（病気じゃ仕方ない）とか
文系（そもそも算数レベルの知識しかない）とかだから
情状酌量の余地があるが、
ここの1は国立大学の工学部卒（自称）で
このテイタラクだからヒドすぎるｗｗｗ
316:{}
19/10/27 15:36:01.81 tnQkUbav.net
>>276
オツには誰も訊いてない
317:{}
19/10/27 15:45:32.87 tnQkUbav.net
形式概念分析は
「集合はオブジェクトの集まり」（｛｝は一重）
くらいのナイーブな理解しかない奴でも分かる点で
ここの1や安達にはいいネタだろう
ついでにいえば文系・理系に限らず
論理学について知っとくことは悪くない
とくにタブローの方法を知ることはお勧めだ
証明可能な論理式はこの方法で証明できる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
注：述語論理においてタブローの方法が証明「アルゴリズム」でないのは
証明できない論理式の場合、手続きが終了しないことがあるからである
318:１３２人目の素数さん
19/10/27 16:25:07.90 O7bovX6U.net
>>274
>そもそも、大学でも、半年から１年かけるでのでしょ
>そう慌てないで
最初のガロアスレ立ててから何年になると思ってるんだｗ
当時の中学生でさえもう理解してるぞｗ
319:{}
19/10/27 16:34:01.10 tnQkUbav.net
>>272
＞まずは基礎からでしょう。それをやらずに高度な話を試みても虚しいでしょ？
基礎で面白がれない１は、高度な話の面白みもわからない
(Z/nZ)×とか、算数レベルでも面白いけどな
n=10の場合とか
九九
1の段の1桁目 1,2,3,4,5,6,7,8,9
3の段の1桁目 3,6,9,2,5,8,1,4,7
9の段の1桁目 9,8,7,6,5,4,3,2,1
7の段の1桁目 7,4,1,8,5,2,9,6,3
1の段と9の段、3の段と7の段が、倒置になってる
他の段は当たり前だが1~9までそろわない
2の段の1桁目 2,4,6,8,0,2,4,6,8
4の段の1桁目 4,8,2,6,0,4,8,2,6
8の段の1桁目 8,6,4,2,0,8,6,4,2
6の段の1桁目 6,2,8,4,0,6,2,8,4
5の段の1桁目 5,0,5,0,5,0,5,0,5
320:{}
19/10/27 16:36:14.64 tnQkUbav.net
>>283
３年間くらいサボってたからね
あれは１にとって全く無駄な時間だった
321:{}
19/10/27 16:46:02.50 tnQkUbav.net
１はまず身の丈にあった数学について語ろう
例えば自分の仕事で使った数学とか
ガロア理論は忘れろ どうせ仕事でも使ったことなかろうｗ
322:１３２人目の素数さん
19/10/27 20:42:27 ek6S6+eD.net
>>259
>Wikipedia で非存在が予想(?)されている例は
よく読んだら
"known
323: to be realizable over Q" の否定だから、非存在を予想してるわけじゃなくて 「多分、（現時点で計算上）存在が知られていない」 くらいの意味でしょうかね。 失礼しました。m(__)m もともとスレ主が言い始めた話ですけどね。
324:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/27 20:48:56 tnQkUbav.net
>>287
1は英語はもとより日本語も正しく読めない馬鹿だからｗ
325:１３２人目の素数さん
19/10/27 20:57:27 ek6S6+eD.net
いやでも may not be realizable の意味なら、非存在を予想してるのかな？
326:１３２人目の素数さん
19/10/27 21:01:05 ek6S6+eD.net
>>288
どう思われます？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
327:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/27 21:03:09 tnQkUbav.net
予想は所詮予想
328:１３２人目の素数さん
19/10/27 21:06:00 ek6S6+eD.net
非存在が証明できれば結構な論文にはなりますね。
多分、もう誰か挑戦してるかもしれませんが。
クロネッカーウェーバーの定理の証明は読まされたことありますが
分岐素数の集合が持つべき性質から拡大体が限定される
（円分体と一致せざるを得ない）というような
精密な議論を要するかなり大変な証明でしたよ。
非存在を証明するというのも、同じような、それ以上の
大変な証明になるのでは。
329:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/27 21:07:45 tnQkUbav.net
>>292
＞クロネッカーウェーバーの定理の証明・・・
円分多項式のガロア体の自己同型も
わかってない馬鹿には到底無理
330:１３２人目の素数さん
19/10/27 21:12:58.02 ek6S6+eD.net
わたしは脱ガロア理論で行こうと思います。
ガロア理論を使って導ける ガロア理論を使わなくても導ける
ことがあるとして、それは結局背後ではつながってるのだろうけど
使わない側から接近した方がいいことだってあるかもしれない。
331:１３２人目の素数さん
19/10/27 22:10:00.68 ek6S6+eD.net
簡単な例を一つ挙げますか。
ピタゴラス三角形（a^2+b^2=c^2をみたす整数辺を持つ直角三角形）
の鋭角が無理数度であることは
(a/c+bi/c)^n=1をみたす自然数nが存在するような
a/c+bi/c∈Q(i)は(1の4乗根を除いては）存在しない
ということと同値で、それは円分体のガロア群の計算から導ける
ということを半年くらい前に書きましたが
考えてみるともっと単純に、1のn乗根は代数的整数だが
a/c+bi/cは代数的整数ではない、ということだけから分かることですね。
既約分数の形にしたとき分母に自明でないイデアルが現れるので、いくらかけても消えようがない。
背後ではどうつながってるのか？
円分体のガロア群の計算には円分多項式のQ上での既約性を使いますが
その証明にはEisensteinの規準を使い
それは結局整数性・素数の性質を使っている
という点でつながってると言えるだろう。
つまらなかったらすみません。
332:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:32:36.16 ivC57rPE.net
>>260 補足
一応、URLだけでなく、キーワード検索にかかるように、主要な事項を引用しておく
私は、そういう主義なので
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学/11 巻 (1959-1960) 4 号/書誌
保型函数と整数論I
志村 五郎
(抜粋)
§1.まえがき.
虚数乗法論の歴史をふりかえってみるとぎ,わ
れわれは大体次のような図式を書くことができ
る1).
円分体の整数論
↓
楕円函数の虚数乗法論
↓
類体論
↓
高次元Abe1多様体の虚数乗法論
↓
?
この図式の意味は次のごとくである.類体論は,
円分体の理論や楕円函数の虚数乗法論をVorbild
として完成されたのであるが,類体論以後の,高
次元Abel多様体の虚数乗法論は,何を産み出す
であろうか.それを疑問符?で表わしたのである.
われわれは,より単純に,‘ 虚数乗法論とは何か'
という質問を発することができる.代数体のAbe
拡大を解析函数の特殊値で生成する理論でlあると
一応いうことはできる.それは誰でも知っている。
しかし,‘Abe1体を構成する'とはいったいどう
いう意義をもつか?この意義は案外理解されに
くいことかもしれない.実際‘構成する'ことの
内容はいろいろあって,一口にはいえないのであ
るが,ここではただ,‘ いかに構成しているかとい
う機構'の中に多分に重要性があるということに
注意したい.このことは,将来への発展を考える
ときによりよく理解されるであろう.すなわち,
その機構のわれわれに暗示するものが重要なので
ある8ここにわれわれは,類体論の枠を越えたも
のをも発見しうるはずである.この暗示の最もよ
い一例は谷山[4]である.そこでは,虚数乗法と,
多様体のζ函数の理論との切り離せない関係の中
において,量指標のL函数が全く新しい立場で研
究されている.しかも,問題をAbel多様体とは
独立に定式化する試みがなされているのである．
これは虚数乗法論の暗示している未知の大きな領
域への一つの道である.
つづく
333:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:33:07.07 ivC57rPE.net
>>296
つづき
さて,この未知の領域へのもう一つの道がある。
それが‘modular対応の理論'である.この理論
の内容とする所もまた広いのであるが,たとえば
‘非Abe1的なGalois拡大における相互律'を暗
示するものをその中に見出すことができる.この
論説の目的は,modular対応の理論を中心とし
て,関連する多くの問題についての解説と展望で
ある.上の疑問符?に対する一つの出発点を与え
ようという意図にほかならない.
Modular対応の理論は,それのみを解説する
こともできるが,やはり虚数乗法論を背景とした
とぎに,よりよく理解されると思われるので,わ
れわれは,一般的な考察に次いで,まず虚数乗法
論を概観することにする.それがこの第1部の内
容である。
つづく
334:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:33:32.27 ivC57rPE.net
>>297
つづき
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学/13 巻 (1961-1962) 2 号/書誌
保型函数と整数論II
志村 五郎
(抜粋)
この標題で1を書いてから,大分時間がたった.
その間に,筆者の基本的な考え方に変化はなかつ
たが,これからの話の進め方は全然あらためるこ
とにした.はじめの予定では,1に続いて,虚数乗
法をもつ楕円曲線のζ 函数が量指標をもつ五函
数で表わされることを示し,それから保型函数に
うつるつもりであったが,そのように書いていて
は,多くの紙数を費やして,読者が最後の目標に
達する前に疲れてしまうということがあるかもし
れない.それゆえ,虚数乗法については,1の範
囲で打ち切って,ただちに保型函数の一般論から
modular対応の理論にはいることにする1).そし
て,`証明'はなるべくはぶいて,重要な問題と考
え方をのべることを主眼とした.したがって,1
とは調子も変わり,そのために,不親切で非教育
的であるとのそしりを受けるかもしれないが,そ
れもやむを得ない.読者のおゆるしをこう次第で
ある.
§8. 保型函数.
§10. Modular対応.
§11. 代数対応としてのmodular対応.
§12. Modular対応の合同関係式12).
§13. GNのζ 函数.
§15. Galois拡大における相互律.
§16.数論的なFuchs群.
§17. 高次の尖点形式.
つづく
335:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:33:56.23 ivC57rPE.net
>>298
つづき
§18. 多変数の保型函数,保型型式一むすび.
これまで語つて来たのは,すべて,複素1次元
の上半平面のFuchs群に関する話である.多変
数の保型函数や保型�
336:`式を考えるならば,1変数 のときの問題はすべて多変数の場合においても問 題になる.ここで,われわれの対象とする範囲は, ほとんど限りなく広がっていく.その枠を一応広 い意味での‘ 代数群の数論'という言葉でよぶこ ともできるであろう.それでは不明確であるとい うならば,‘ 代数群に関連するあらゆる種類のζ 函数を問題にすること'といういい方も考えられ る21).より広い意味の‘ 代数群の数論'について は,新たな論説に期待して,ここでは,今まで考 えて来た思想に近い範囲だけを問題にしよう. たとえばK3 曲面と呼ばれているものなどである26)。それらに 対しては,まず,虚数乗法論の類似を求めること が第一の問題となる.それからもちろん,今まで 考えて来た種類の問題も. われわれは,この論説を,類体論的発想からは じめて,それをかなり強く意識しながら書いて来 た.その理由の一つは,そこから出発しても,‘ 自 然に'ここにのべた領域にはいつて来るというこ とを示したかつたからであるが,いまや,ここに 開けている数論の広大な領域を,そのような発想 の枠の中に収めることは不可能である.われわれ がのべたのは,単なる一つのプログラムに過ぎず, 関連する多くの興味ある話題27)にふれなかつたこ とを思えばなおさらである.しかも,その一つの プログラムの範囲においても,われわれは,数論 の一つの重要な発展を期待してよいと思われる. そして,重要さにほとんどつねにつきまとうかの 如く考えられている困難を恐れて,この可能性を ただ遠くからのみ眺めているべきではないのであ る. (引用終り) 以上
337:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:43:03.75 ivC57rPE.net
>>289
>いやでも may not be realizable の意味なら、非存在を予想してるのかな？
当然、そう読みました
おそらく、手計算を越えて、
コンピュータの群論計算の探索で
かなり大きな領域まで見つかっていないのでしょうね
あと、なにか非存在を予想させる兆候があるのかもしれませんね
存在は1つ例を挙げればいいが、非存在を示すには、それなりの理論が必要になります
よくあるのが、なにか指標を作って、非存在を示す例では、その指標の理論に合わないみたいな
（因みに、よくある「ｙｙの存在定理」というのは、「ｘｘの条件で、ｙｙが存在する」みたいな記述ですね）
338:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 08:06:42.18 ivC57rPE.net
>>295
ID:ek6S6+eDさん、どうも。スレ主です。
(引用開始)
背後ではどうつながってるのか？
円分体のガロア群の計算には円分多項式のQ上での既約性を使いますが
その証明にはEisensteinの規準を使い
それは結局整数性・素数の性質を使っている
という点でつながってると言えるだろう。
(引用終り)
いや、面白そうですね
そういうのは、コテコテの抽象化された現代風の数学ではなく
アマからセミプロレベルのどこかで、報文にまとめて発表されるのが良いのでは？
ようするに、背後に存在する”数学的な構造”を、どういう”視点”あるいは”切り口”で理解するかという問題だと思います
昔いわれたのが、”牛刀を用いてニワトリを裂く”みたいなこと
大げさな抽象化されたガロア理論＝牛刀でなく、もう少し具体的な手法で”数学的な構造”を見たらどうなるか？
いまの５ＣＨ数学板は、そういう議論には向きませんね
そもそも、ちょっと複雑になると、普通に数学記号が書けない
（例：右肩のベキとか添え字、下つきの添え字も。行列もそうです）
例にはならないかもしれないが、飯高 茂先生が”友愛数”について書かれています。現代風の抽象数学とは違った視点で
URLﾘﾝｸ(www.gensu.jp)現代数学%e3%80%802019年9月号/
現代数学 2019年9月号
(抜粋)
数学の研究をはじめよう／友愛数の平行移動 前編 オイラーによる友愛数の公式 飯高 茂
339:１３２人目の素数さん
19/10/28 1
340:9:20:31 ID:oKdDSbck.net
341:１３２人目の素数さん
19/10/28 23:38:52.11 REGuTzcQ.net
>>289
>いやでも may not be realizable の意味なら、非存在を予想してるのかな？
may not be known to be realizable は意味的におかしいので
may not be realizable でしょうね。
ただ、予想とまで言えるほどのものかは読み取れませんが。
342:１３２人目の素数さん
19/10/29 10:50:50 wEoW+rwB.net
>>302
それな、もとのPDFのOCRの原文からのコピーなのよ
つまり、原文がAbe1多様体であり、五函数でありなんだよね
人は原文PDFを読めばいい
検索用には、大目に文章をコピー貼り付けしておけば
正しい術語もあるから、検索用の目的は達しているってことな
343:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/29 10:59:07 wEoW+rwB.net
コテハンが抜けたか（＾＾
>>300 追加
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Partial results
(抜粋)
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
All 13 non-Abelian simple groups smaller than PSL(2,25) (order 7800) are known to be realizable over Q. [6]
(引用終り)
なので、
” the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be be realizable over Q.”が素直な解釈では？
なお、PSL(2,16):2の何がそんなに難しいのか、さっぱり理解できませんが（＾＾；
[5] PSL(2,16)下記「not solvable, primitive, simple, irreducible, 」か
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de) A Database for Number Fields
Technische Universitat Kaiserslautern
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups of degree 17
(抜粋)
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
17T6 L(17)=PSL(2,16) 4080 24 ・ 3 ・ 5 ・ 17 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 3
さらに「"PSL(2,16)" math group」で検索すると
約 77 件 （0.47 秒）ヒットで
TOPが下記
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)
ResearchGate
A New Characterization of PSL(2, q) for Some q
Article (PDF Available)?in?Ukrainian Mathematical Journal 67(9) ・ March 2016?with?163 Reads?
Alireza Khalili Asboei
15.16University of Farhangian
seyed sadegh Salehi
10Islamic Azad University - Babol
Ali Iranmanesh
35.9Tarbiat Modares University
Download full-text PDF
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)
(抜粋)
3.1. Characterizability of the Group PSL(2, 16) by NSE. Let G be a group such that
nse (G) = nse (PSL(2, 16)) = {1, 255, 272, 544, 1088, 1920}.
344:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 11:00:28.18 wEoW+rwB.net
>>304 タイポ訂正
検索用には、大目に文章をコピー貼り付けしておけば
↓
検索用には、多目に文章をコピー貼り付けしておけば
345:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 11:03:05.33 wEoW+rwB.net
>>305 追加
参考
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
University of Kaiserslautern
(抜粋)
The University of Kaiserslautern (German: Technische Universitat Kaiserslautern, commonly referred to as TU Kaiserslautern or simply TUK, unofficially Techni
346:cal University of Kaiserslautern) is a research university in Kaiserslautern, Germany.
347:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 14:42:35.94 wEoW+rwB.net
>>305 追加
検索
「Inverse Galois problem group PSL(2,16):2 of degree 17」
約 64 件 （0.70 秒）
下記以外にも面白そうなのがあるが
下記は、”Ihara/Ribet/Serre (eds.)”と”Noriko Yui”が目にとまったので
PDF This book describes a constructive approach to the inverse ...
library.msri.org ? books ? Book45 ? files ? book45
15. Hochster/Huneke/Sally (eds.): Commutative Algebra. 16. Ihara/Ribet/Serre (eds.): Galois Groups over q. 17 ... 17. 1.2. Resolvent Polynomials. 23. Exercises. 26. Chapter 2. Groups of Small Degree. 29. 2.1. Groups of Degree 3. 30. 2.2. Groups ....
The classical Inverse Problem of Galois Theory is the existence problem for ...... PSL2(Fq): the projective special linear group of 2 × ...
Mathematical Sciences Research Institute
Publications
45 Generic Polynomials Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem
Mathematical Sciences Research Institute 2002
Christian U. Jensen
University of Copenhagen
Arne Ledet
Texas Tech University
Noriko Yui
Queen’s University, Kingston, Ontario
P4/268
Mathematical Sciences Research Institute Publications
16 Ihara/Ribet/Serre (eds.): Galois Groups over
P16
Methods of Ihara, Schneps, etc. There is an excellent MSRI Conference
Proceedings Galois Groups over Q, [IR&S], edited by Ihara, Ribet and Serre.
There the absolute Galois groups acting on algebraic fundamental groups were
extensively discussed.
P249
[IR&S] Y. Ihara, K. Ribet & J.-P. Serre (eds.), Galois Groups over
, Mathematical Sciences
Research Institute Publications 16, Springer-Verlag, 1987
348:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 15:53:35.79 wEoW+rwB.net
>>305 訂正補足
失礼しました
”PSL(2,16):2 of degree 17”に相当するのは、
下記の 17T7 ”L(17):2=<PZL(2,16)”の方ですね（＾＾；
（PSL(2,16)の２倍の群。”=<”とは？ どういうつもりかな？ ）
で
17T7の方は、#fields＝0
17T6の方は、#fields＝3
ですね。詳しくは、下記のURLをどうぞ（＾＾
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de) A Database for Number Fields
Technische Universitat Kaiserslautern
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups of degree 17
(抜粋)
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
17T6 L(17)=PSL(2,16) 4080 24 ・ 3 ・ 5 ・ 17 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 3
17T7 L(17):2=<PZL(2,16) 8160 25 ・ 3 ・ 5 ・ 17 1 not solvable, primitive, irreducible, even 0
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Group 17T7
URLﾘﾝｸ(www.lmfdb.org)
LMFDB
Galois Group: 17T7
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Group 17T6
URLﾘﾝｸ(www.lmfdb.org)
LMFDB
Galois Group: 17T6
349:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 17:11:16.31 wEoW+rwB.net
>>309 補足
degree 18、19のリストから下記抜粋
リストを眺めていたが、確かに、#fieldsの規則性を見つけることができなかった
でも、なにか規則があるかもしれない
確かに、17T7の#fields＝0は例外で
degree 18、19には、”#fields＝0”になる例は無かった
そして、おそらくこの表は、コンピュータの計算結果でしょう（数字の桁が大きいから）
多分、「17T7の#fields＝0」も、”コンピュータの計算結果では”という注釈付きで、証明がないのでは？（＾＾；
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups
Groups are ordered by their degree. Click on one of the boxes below to choose the displayed degree.
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups of degree 18
(抜粋)
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
18T377 PSL(2, 17) 2448 24 ・ 32 ・ 17 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 1
18T897 t18n897 508032 27 ・ 34 ・ 72 1 not solvable, irreducible 1
18T938 t18n938 1524096 27 ・ 35 ・ 72 1 not solvable, irreducible 2
18T952 t18n952 4572288 27 ・ 36 ・ 72 1 not solvable, irreducible 2
18T982 Alt(18) 3201186852864000 215 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 3
18T983 Sym(18) 6402373705728000 216 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17 1 not solvable, primitive, irreducible 55
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups of degree 19
(抜粋)
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
19T5 F171(19)=19:9 171 32 ・ 19 1 solvable, primitive, semiabelian, even 1
19T7 A19 60822550204416000 215 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17 ・ 19 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 8
19T8 S19 121645100408832000 216 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17 ・ 19 1 not solvable, primitive, irreducible 42
350:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 17:14:10.09 wEoW+rwB.net
>>310
> 18T982 Alt(18)
> 18T983 Sym(18)
> 19T7 A19
> 19T8 S19
交代群と対称群の表記が統一されていないが
おそらく、複数の人で手分けして作ったのかな？ （＾＾；
351:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 17:24:39.75 wEoW+rwB.net
>>310 補足
>リストを眺めていたが、確かに、#fieldsの規則性を見つけることができなかった
>でも、なにか規則があるかもしれない
>
>確かに、17T7の#fields＝0は例外で
>degree 18、19には、”#fields＝0”になる例は無かった
・#fields≠0は、一つ例を出せば良い
・しかし、#fields＝0を示すには、下記のケーニヒスベルクの「一筆書き」の不可能証明みたく、なにか理論がいるのでしょうね
でも、まだ、そういう理論は、構築されていないのでしょう（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一筆書き
(抜粋)
目次
1 ケーニヒスベルクの七つの橋問題
1.1 問題
1.2 グラフ理論との関連
1.3 他の解法
2 一筆書き可能かどうかの判定法
3 一筆書きの解法
一筆書き可能かどうかの判定法
ある連結グラフが一筆書き可能な場合の必要十分条件は、以下の条件のいずれか一方が成り立つことである（オイラー路参照）。
・すべての頂点の次数（頂点につながっている辺の数）が偶数 →運筆が起点に戻る場合（閉路）
・次数が奇数である頂点の数が2で、残りの頂点の次数は全て偶数 →運筆が起点に戻らない場合（閉路でない路）
352:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/30 07:24:58.73 Geuy+jOC.net
>>310 補足
このデータベース URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
の中に、下記のSearchのページがあって
それを使うと、最小多項式が出せる
やってみたのが下記の３例
１）は、5次でorder is = 20の例。x^5 - 2とx^5 - 10x^3 + 20x - 4などがある
２）３）は、17次でorder is = 4080とorder is = 16320の場合
”Showing 3 matches (no more matches exist in database)”などとある
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Search
(抜粋)
Specify your search using the fields below. The attributes are presented in a hierarchy (from left to right).
If you don't want to specify an attribute, just leave the field empty (max results per page will default to 1000).
１）
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Searchresults
Parameters
Group degree is = 5
order is = 20
Showing 281 matches (no more matches exist in database)
(抜粋)
Group Sigr Discriminant Factorization Polynomial
5T3 5 2450000 24 ・ 55 ・ 72 x^5 - 10x^3 + 20x - 4
5T3 1 50000 24 ・ 55 x^5 - 2
２）
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Group degree is = 17
order is = 4080
Showing 3 matches (no more matches exist in database)
(抜粋)
Group Sigr Discriminant Factorization Polynomial
17T6 1 13324913767812132... (27 digits) 230 ・ 1378 x^17 - 3x^16 - 4x^14 + 12x^13 + 24x^12 + 12x^11 - 28x^10 - 90x^9 - 74x^8 + 116x^6 + 132x^5 + 72x^4 + 28x^3 + 12x^2 + 5x + 1
３）
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Group degree is = 17
order is = 16320
Showing 5 matches (no more matches exist in database)
(抜粋)
Group Sigr Discriminant Factorization Polynomial
17T8 5 69450042659737600... (33 digits) 228 ・ 518 ・ 714 x^17 + 8x^16 - 24x^15 - 240x^14 + 350x^13 + 2912x^12 - 3724x^11 - 18728x^10 + 29285x^9 + 55120x^8 - 125812x^7 - 11816x^6 + 213248x^5 - 324520x^4 + 431680x^3 - 378416x^2 + 126212x + 4864
353:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/30 07:33:44 Geuy+jOC.net
>>309 補足
(抜粋)
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups of degree 17
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
17T7 L(17):2=<PZL(2,16) 8160 25 ・ 3 ・ 5 ・ 17 1 not solvable, primitive, irreducible, even 0
(引用終り)
これについて、Search（>>313）を使ってみると
下記で、群「L(17):2=<PZL(2,16)」では”Showing 0 matches (no more matches exist in database)
- no matching entries found:”
つまり、彼らの探した範囲では、最小多項式が見つからなかったようだ
問題は、探索した範囲なのだが、
かなり大きな範囲だと思うが、私はまだ探索範囲の記載に辿り着いていない
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Group degree is = 17
order is = 8160
Showing 0 matches (no more matches exist in database)
- no matching entries found:
354:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/30 07:40:45 Geuy+jOC.net
>>314
>問題は、探索した範囲なのだが、
>かなり大きな範囲だと思うが、私はまだ探索範囲の記載に辿り着いていない
下記がそれに近いかもしれないが
要するに、多項式の係数として、
例えば、群「L(17):2=<PZL(2,16)」で
何桁までの係数の式を調べたのか？
そこが分からない
それとあと、どういう数式ソフトのどういうアルゴリズムを使ったのかとかが、不明だ（＾＾；
でも、面白いサイトであることは確かだね
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Database Statistics
Missing polynomials
Here you can get a list of all missing polynomials. You can search on different levels:
Polynomials missing for a complete group
Polynomials with a special complex conjugation class missing
Table sizes
This is a list of all relevant tables and their current row count.
Ambiguous classes: 49.243
Blocks: 15.109
Polynomials: 4.902.274
Polynomial Coeffs: 88.894.287
Polynomial Disc Facts: 18.285.485
Quotients: 1.064.147
Groups: 4.952
Wreath Products: 2.441
Wreath Product Quots: 9.086
355:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/30 07:54:21.81 Geuy+jOC.net
>>99
> ６×７＝４２個の順列が出来上がりｗｗｗ
ご苦労さん
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups of degree 7
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
7T4 F42(7) = 7:6 42 2 ・ 3 ・ 7 1 solvable, primitive, semiabelian 105 38014691
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Group 7T4
LMFDB Link: URLﾘﾝｸ(www.lmfdb.org)
Transitive groups page of 7T4 on LMFDB
Generators:
(1,3,2,6,4,5)
(1,2,3,4,5,6,7)
Products:
Quotient of wreath products:
7T1 Xw 6T1
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Group degree is = 7
order is = 42
Showing 105 matches (no more matches exist in database)
Group Sigr Discriminant Factorization Polynomial
7T4 7 177885288000 26 ・ 33 ・ 53 ・ 77 x^7 - 14x^6 + 28x^4 - 14x^2 + 2
7T4 1 -52706752 -26 ・ 77 x^7 - 2
356:１３２人目の素数さん
19/10/30 16:56:53.83 7Ir4b7+H.net
スレ主はPSL(2,16)の意味は分かってる？
これは射影特殊線形群というやつだね。
モジュラー群 PSL(2,Z)とかと同じく
(az+b)/(cz+d)の形で作用する。
16は位数16の有限体F_16を意味する。
なんでPSL(2,16)が対称群S_17の
部分群として現れるか分かる？
16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
自分は分かったｗ
357:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/30 17:11:54.41 xePUfid4.net
>>308 追加
下記
”generic polynomials”
”Theorem 0.5.1. (Brumer) A generic polynomial for the dihedral group D5
of degree 5 over an arbitrary field K is given as follows:
f(s, t,X) = X^5 + (t ? 3)X^4 + (s ? t + 3)X^3 + (t2 ? t ? 2s ? 1)X^2 + sX + t
over K(s, t) where s and t are indeterminates.”
は、興味深いね
URLﾘﾝｸ(library.msri.org)
Mathematical Sciences Research Institute
Publications 45
Generic Polynomials
Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem
Christian U. Jensen
University of Copenhagen
Arne Ledet
Texas Tech University
Noriko Yui
Queen’s University, Kingston, Ontario
university of cambridge
Mathematical Sciences Research Institute 2002
(抜粋)
0.5. Description of Each Chapter ・・・P9
We also exhibit generic polynomials for the groups of degree 3, 4 and 5. For instance, we
have the following result:
Theorem 0.5.1. (Brumer) A generic polynomial for the dihedral group D5
of degree 5 over an arbitrary field K is given as follows:
f(s, t,X) = X^5 + (t ? 3)X^4 + (s ? t + 3)X^3 + (t2 ? t ? 2s ? 1)X^2 + sX + t
over K(s, t) where s and t are indeterminates.
We also
358:demonstrate the non-existence of a generic C8-polynomial over Q, and as a consequence get the following two examples of fixed subfields of the function field Q(s, t, u) in three indeterminates s, t, u, both with a C4-action, where one is rational and the other not: Theorem 0.5.2. (a) Let be the automorphism on Q(s, t, u) given by 略 (引用終り) 以上
359:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/30 17:20:16.66 xePUfid4.net
>>317
ID:7Ir4b7+Hさん、どうもスレ主です。
>スレ主はPSL(2,16)の意味は分かってる？
自慢じゃないが、深いところは分かっていない（＾＾；
>これは射影特殊線形群というやつだね。
>モジュラー群 PSL(2,Z)とかと同じく
>(az+b)/(cz+d)の形で作用する。
なんか聞いたことがあるような無いような
高木先生の本に書いてなかったかな？
ガウスが、楕円関数論で、モジュラーに気付いていたとか
> 16は位数16の有限体F_16を意味する。
>なんでPSL(2,16)が対称群S_17の
>部分群として現れるか分かる？
> 16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
>自分は分かったｗ
そこらの深いところは分からないが
直感的には、17が素数であって
対称群S_17に、交代群A17が正規部分群として入っていて
それとの関係かなー？
360:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/30 17:29:42.26 xePUfid4.net
>>318 文字化け注意
f(s, t,X) = X^5 + (t ? 3)X^4 + (s ? t + 3)X^3 + (t2 ? t ? 2s ? 1)X^2 + sX + t
↓
? の部分は、”－”記号なのだが、文字コードの関係で、アスキー以外が使われていたんだろう
なかなか目視では見つからないんだ
投稿前にビューをチェックすれば良いのだが
なかなかそこまで気が回らないのよ（＾＾；
361:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/30 17:38:40.83 xePUfid4.net
>>319 追加
ああ、こんなのがあるね。これか！（＾＾；
URLﾘﾝｸ(shironetsu.hatenadiary.com)
Shironetsu Blog
2018-08-14
小さな非可換単純群 - PSL(2,p)
(抜粋)
イントロ
2番目に/小さい非可換/単純群
はじめのいくつかの単純群
有限体上の特殊射影線形群 PSL(n,p)
定義
ガロアの最期の手紙
PSL(2,p)の位数
共役類を数える
単純性
まとめとこれから
有限体上の特殊射影線形群 PSL(n,p)
定義
さて順序が前後したがPSL(n,q)を定義する. 記号Ln(q)で表されることもある.
PはProjective, SがSpecial, LがLinear. nは行列のサイズでqは有限体Fq上にあることを意味する. 行列式1の行列全体のなす群SL(n,q)の中心による剰余群がこの群PSL(n,q)である.
一般論に踏み込むことはできないのでここからは専らPSL(2,p)を考える. pは奇素数としておく. この場合話は早くて, P1(Fp)＝～Fp∪{∞}に対する, 行列式が1の1次分数変換全体のなす群と考えるとよい.
たとえばp=7で
置換の巡回記法で表すとそれぞれ
fg=(04)(12)(36)(5∞)=(0426)(135∞)
になっている.
PSL(2,p)はP1(Fp)への推移的な作用で(p+1)次対称群に埋め込めるということ.
ガロアの最期の手紙
ではそれより小さい対称群への埋め込みが存在するか, というと, これこそガロアが死の直前に友人オーギュスト・シュヴァリエに宛てた手紙の中で述べた命題の内容で,
p=5,7,11の場合にしかp次対称群への埋め込みは存在しない
(位数pの元が存在することからそれ未満は不可能だとすぐに分かる.).
Galois' last letter
URLﾘﾝｸ(www.neverendingbooks.org)
一応この3つ組を調べること, 特に指標表を書くこと(PSL(2,5)は5次交代群なのですでにやったが)を目標として書き始めたのがこの記事. これもまたマッカイ対応のひとつらしい.
保形形式の理論をはじめ, すごい数学がここから広がっているらしいが地道に始める.
PSL(2,p)のよいところは簡単な数論で調べられるところ.
PSL(2,p)の位数
略
(引用終り)
以上
362:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/30 18:00:20.75 xePUfid4.net
>>321 補足
＞たとえばp=7で
＞PSL(2,p)はP1(Fp)への推移的な作用で(p+1)次対称群に埋め込めるということ.
＞p=5,7,11の場合にしかp次対称群への埋め込みは存在しない
＞(位数pの元が存在することからそれ未満は不可能だとすぐに分かる.).
このアナロジーでいうと
pは奇素数として
一つずらして
”PSL(2,p-1)はP1(Fp-1)への推移的な作用で(p)次対称群に埋め込める”
が、言えるのかな？
363:１３２人目の素数さん
19/10/30 19:01:20.08 w7bYM9gZ.net
17か素数であることに意味はない
16が2のベキであることに意味はある
364:１３２人目の素数さん
19/10/30 20:13:24.01 fouiZRdR.net
>>317
>なんでPSL(2,16)が対称群S_17の部分群として現れるか分かる？
>16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
射影直線の位数
２次射影線形群は、１次元射影空間（＝射影直線）に作用する
16元からなる有限体 F16 上の射影直線は 16 + 1 点からなる。
＋１の分は無限遠点
>>319
＞そこらの深いところは分からないが
全然深くねぇよ、馬鹿ｗｗｗ
365:１３２人目の素数さん
19/10/30 20:23:21.57 fouiZRdR.net
>>322
>pは奇素数として
>”PSL(2,p-1)はP1(Fp-1)への推移的な作用で(p)次対称群に埋め込める”
正真正銘の馬鹿ｗ
「qを有限体の位数として
PSL(2,q)はP1(Fq)への推移的な作用で
P1(Fq)の位数はq+1だから
PSL(2,q)はq+1次対称群に埋め込める」
が正しい
>>323
＞16が2のベキであることに意味はある
有限体の位数は素数のベキ
馬鹿はこんな基本的なことも知らないｗｗｗ
366:１３２人目の素数さん
19/10/30 21:06:31.70 7Ir4b7+H.net
>>324
それで正解ですね。
位数2倍、4倍の群
PSL(2,16):2, PSL(2,16):4 の意味がまだ分からんのですが。
367:１３２人目の素数さん
19/10/30 21:41:18.54 7Ir4b7+H.net
有限体の項目を見たらフロベニウス自己同型群の位数は
q=p^e のとき位数eの巡回群とあるから、これと関係あるかな？
16=2^4だからぴったり4次の巡回群。
フロベニウス自己同型との合成も含めるということかな？
368:１３２人目の素数さん
19/10/30 22:34:09.73 w7bYM9gZ.net
>>327
多分それでしょ？
G:Hは大概半直積をあらわす記号。
Hの方がGに作用して交換関係を決める。
当然その作用を明示しないと意味通じないけど、空気よめばわかる時は明示しないで群の位数だけ書いたりする。
今回は位数4の群のPSL(2,16)への空気よめばわかる有名な作用なんてGal(F(16)/F(2))の作用しかない希ガス。
だいぶ遠いジャンルからのカキコであてにはならないですけど。
369:１３２人目の素数さん
19/10/30 22:53:06.65 7Ir4b7+H.net
正確に言うと、フロベニウス写像（p乗写像）は
ガロア群Gal(F_q/F_p)の生成元ですね。
G=Gal(F_16/F_2)は位数4の巡回群。
γ∈PSL(2,16),z∈P^1(F_16)
に対して、γ(z)=(az+b)/(cz+d)と作用する。
a,b,c,d∈F_16 にはガロア群Gの元σが作用し
したがって、PSL(2,16)にも作用する。
γ^σ(z)=(σ(a)z+σ(b))/(σ(c)z+σ(d))
と定めると、σ(γ(z))=γ^σ(σ(z)).
つまり（左の元を先に作用させる意味とすると）
γσ=σγ^σ が成立する。
ということから
PSL(2,16)とGal(F_16/F_2)（及びその位数2の部分群）
との半直積として、位数が4倍、2倍の群がそれぞれ得られる。
それらが
PSL(2,16):4, PSL(2,16):2 だと思う。
370:１３２人目の素数さん
19/10/30 22:54:15.99 7Ir4b7+H.net
>>328
コメントあざます。
371:１３２人目の素数さん
19/10/31 14:50:25.18 hCUXuggb.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
372:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 07:28:56.41 rcKeDs9u.net
>>325
どうも。スレ主です。
ありがとう、これか（＾＾；
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
高校数学の美しい物語 最終更新:2016/05/01
有限体（ガロア体）の基本的な話
(抜粋)
位数（要素数）が q の有限体が存在する ←→ ある素数 p と正の整数 n が存在して
373:q=p^n 有限体とは 位数が有限である体を有限体（またはガロア体）と言います。大雑把に言うと，四則演算ができる有限集合のことです。 位数が q である有限体（実は，同型を除いて一通りに定まる）を Fq，GF(q) などと表記します。 一般に，位数が素数のべき乗である有限体は，既約多項式というものを用いて構成することができます。 また，位数が素数のべき乗でないような有限体は存在しません。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%BD%93 有限体 (抜粋) 有限体（ゆうげんたい、英語：finite field）とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。 主に計算機関連の分野においては、発見者であるエヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ[1]。 有限体においては、体の定義における乗法の可換性についての条件の有無は問題にはならない。実際、ウェダーバーンの小定理と呼ばれる以下の定理 「有限斜体は可換体である」 が成り立つことが知られている。別な言い方をすれば、有限体において乗法の可換性は、体の有限性から導かれるということである。 目次 1 構成例 2 構造 3 応用 つづく
374:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 07:29:48.96 rcKeDs9u.net
>>332
つづき
構造
K を含む Fp の代数閉包を (Fp)^ とする。このとき K は、 (Fp)^ の元で、重根を持たない方程式 x^q ? x = 0 を満たすものの全体として特徴付けられる。特に位数が p^n の有限体は同型を除いて唯一つ存在する[1]。
この一意性により、位数 q の有限体を Fq または GF(q) などと表すことがある。
また、有限体 Fq と自然数 m に対し Fq の m 次拡大体は唯一つ存在し、Fq^m と同型であるということもわかる。さらに Fq^m の各元の Fq 上の最小多項式は x^q^m ? x を割り切るので、有限体の拡大はすべて分離的である。
つまり有限体は完全体である。さらに q 乗フロベニウス写像とよばれる自己同型写像
σ ： Ｆ_{q^m}→ Ｆ_{q^m}; a→ a^q
を考えると、拡大 Fq^m/Fq のガロア群 Gal(Fq^m/Fq) = AutFq(Fq^m) はフロベニウス写像で生成される。つまり、
Gal (Ｆ_{q^m}/Ｆ_q)=< σ > ={ id _Ｆ_{q^m},σ ,σ ^2,ldots ,σ ^m-1}
と表される[2]。したがって、有限体の拡大はすべて巡回拡大であるガロア拡大である。
有限体は代数的閉体でありえない。
有限体 Fq^m の元 α, αq, …, αq^m ? 1 が Fq 上のベクトル空間 Fq^m の基底をなすとき，この基底を正規基底という。正規基底は常に存在する[3]。
応用
・リード・ソロモン符号など基本的なものを含む多くの誤り検出・訂正は、GF(2)、GF(22)、GF(24)、GF(28)、GF(216) などを使う。
・AES、Camelliaなど、2000年代以降の共通鍵暗号の多くは、SボックスにGF(28) を使う。
・楕円曲線暗号は、きわめて大きな位数の有限体、たとえばGF(2400) などを使う。
(引用終り)
以上
375:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 07:37:14.61 rcKeDs9u.net
>>332 追加
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Finite field
(抜粋)
Contents
1 Properties
2 Existence and uniqueness
3 Explicit construction
3.1 Non-prime fields
3.2 Field with four elements
3.3 GF(p2) for an odd prime p
3.4 GF(8) and GF(27)
3.5 GF(16)
4 Multiplicative structure
4.1 Discrete logarithm
4.2 Roots of unity
4.3 Example: GF(64)
5 Frobenius automorphism and Galois theory
6
376: Polynomial factorization 6.1 Irreducible polynomials of a given degree 6.2 Number of monic irreducible polynomials of a given degree over a finite field 7 Applications 8 Extensions 8.1 Algebraic closure 8.1.1 Quasi-algebraic closure 8.2 Wedderburn's little theorem 8.3 Relationship to other commutative ring classes 9 See also Existence and uniqueness Let q = p^n be a prime power, and F be the splitting field of the polynomial Explicit construction Non-prime fields Given a prime power q = pn with p prime and n > 1, the field GF(q) may be explicitly constructed in the following way. One chooses first an irreducible polynomial P in GF(p)[X] of degree n (such an irreducible polynomial always exists). Then the quotient ring Relationship to other commutative ring classes Finite fields appear in the following chain of inclusions: commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ GCD domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ finite fields See also Quasi-finite field Field with one element Finite field arithmetic Finite ring Finite group Elementary abelian group Hamming space (引用終り)
377:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 07:57:00.74 rcKeDs9u.net
>>334 追加
URLﾘﾝｸ(fr.wikipedia.org)
Corps fini
(抜粋)
4 Histoire
4.1 Congruences et imaginaires de Galois
4.3 Applications theoriques
（google 英訳）
History
The theory of finite fields first develops, like the study of congruences, on integers and on polynomials, then from the very end of the nineteenth century, as part of a general theory of commutative bodies.
Congruences and imaginations of Galois
The study of the first finite fields is systematically treated, in the form of congruences, by Gauss in his Disquisitiones arithmeticae published in 1801,
but many of these properties had already been established by Fermat, Euler, Lagrange and Legendre, among others.
In 1830 Evariste Galois published28 what is considered as the founding article of the general theory of finite bodies. Galois, who claims to be inspired by Gauss's work on entire congruences, deals with polynomial congruences, for an irreducible polynomial with coefficients taken themselves modulo a prime number p.
More precisely, Galois introduces an imaginary root of a congruence P (x) = 0 modulo a prime number p, where P is an irreducible polynomial modulo p. He notes i this root and works on expressions:
a + a1 i + a2 i2 + ... + an-1 in-1 where n is the degree of P.
Retraduced in modern terms, Galois shows that these expressions form a cardinality body pn, and that the multiplicative group is cyclic (Kleiner 1999,).
He also notes that an irreducible polynomial that has a root in this body, has all its roots in it, that is, it is a normal extension of its first subfield ( Lidl and Niederreiter 1997).
He uses the identity given by what has been called since the Frobenius automorphism (Van der Waerden 1985).
In 1846, Liouville, at the same time as he published Galois' famous memoir on the resolution of polynomial equations, republished this article in his Journal
378:of Pure and Applied Mathematics. (引用終り)
379:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/11/01 07:59:45 rcKeDs9u.net
>>335
補足
仏語wikipediaだけど
commutative bodies. は、可換体
Corpsを、google 英訳では、bodiesと訳すみたい（＾＾；
380:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 08:29:03.93 rcKeDs9u.net
>>332 追加
”ガロア群Gal(Fp^n/Fp)の構造”、”Frobenius自己同型”、Frobenius写像か
URLﾘﾝｸ(biteki-math.hatena)（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
美的数学のすすめ id:TSKi
2015-05-09
有限体の構造
(抜粋)
有限体の構造といっても、その多くは、Z/pZ（pは素数）の性質を一般化したものです。したがって、よく慣れ親しんでいるものだと思います。
位数pの有限体
Z/pZは、位数pの有限体です。逆に、位数pの有限体は全てZ/pZと同型であることが知られています。
同型を除いて一つに定まる位数pの有限体をFpと記します。また、そのうち0以外の元からなる集合をF×pと記します。F×pは乗法に関して群をなします。
ガロア群Gal(Fp^n/Fp)の構造
Fp^nからFp^nへ写像として次のものを考えます。
Φ : Fp^n∋x→xp∈Fp^n
ここで、x,y∈Fp^nに対してΦ(x+y)=Φ(x)+Φ(y)が成立します。
Φは、ガロア群Gal(Fp^n/Fp)に含まれていることが分かりました。
この自己同型ΦをFrobenius自己同型といいます。そしてガロア群Gal(Fp^n/Fp)はFrobenius自己同型により生成されることが知られています。
Gal(Fp^n/Fp)={Φ,Φ2,?,Φn=1}
つまり、ガロア群Gal(Fp^n/Fp)は、位数nの巡回群であり、Frobenius自己同型がその生成元となります。
ここまで、位数がpの有限体のn次拡大を見てきましたが、位数がpmの有限体のn次拡大に関しても、上とまったく同じ議論が成り立ちます。
(引用終り)
以上
381:１３２人目の素数さん
19/11/01 08:33:36.58 rOflXXE6.net
ひどい説明www
382:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 12:12:58.78 jBvN9kSg.net
ひどい？（＾＾；
383:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 12:28:10.24 jBvN9kSg.net
>>335
独語 有限体
URLﾘﾝｸ(de.wikipedia.org)
Endlicher Korper
(抜粋)
Inhaltsverzeichnis
1 Beispiel: Der Korper mit 2 Elementen
2 Klassifikation endlicher Korper
3 Multiplikative Gruppe und diskreter Logarithmus
4 Weitere Beispiele
4.1 Der Korper mit 4 Elementen
4.2 Der Korper mit 49 Elementen
4.3 Der Korper mit 25 Elementen
5 Zur historischen Entwicklung
Zur historischen Entwicklung
Dass man mit Zahlen modulo einer Primzahl ?wie mit rationalen Zahlen“ rechnen kann, hatte bereits Gaus gezeigt.[1]
Galois fuhrte in die Rechnung modulo p imaginare Zahlgrosen ein, ganz so wie die imaginare Einheit {i} in den komplexen Zahlen.
Damit hat er wohl als erster Korpererweiterungen von {F}_{p} betrachtet ? wenn auch der abstrakte Korperbegriff erst 1895 durch Heinrich Weber eingefuhrt wurde und Frobenius als Erster diesen 1896 auf endliche Strukturen ausdehnte.
Daneben bzw. zuvor hat offenbar Eliakim Hastings Moore 1893 bereits endliche Korper studiert und den Namen Galois field eingefuhrt.[2]
（google 英訳）
On the historical development
Gauss had already shown that one can count on numbers modulo a prime "as with rational numbers". [1] Galois introduced into the calculation modulo p imaginary numbers, much like the imaginary unit {i} in the complex numbers.
He was probably the first body extension of {F}_{p} - although the abstract concept of the body was first introduced by Heinrich Weber in 1895 and Frobenius was the first to introduce it in 1896 extended to finite structures.
In addition, or before apparently Eliakim Hastings Moore 1893 already studied finite body and introduced the name Galois field.
(引用終り)
以上
384:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 12:36:17.34 jBvN9kSg.net
>>340
有限体
Endlicher Korper
（google 英訳）
finite body （＾＾；
Korperは、身体という意味があって
仏語のCorps（>>335）も、独語から来ている
英語では、Finite field。だれが、この訳語にしたのかな？（＾＾
日本語の用語”体”は、明治の数学者たちがドイツで学んだからの訳語でしょう
385:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 12:44:22.80 jBvN9kSg.net
>>335の仏版と>>340の独版を比べると
お国自慢が見えて面白ね
ロシア（旧ソ連）で、よくあるが
ロシアでも、ヨーロッパと同じころに
独自に考えていた人がいるという話しが、よく出てくる（＾＾
386:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 14:20:32.05 jBvN9kSg.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
「量子超越」社会変革も、Google成果 専門家に聞く
科学&新技術
2019/11/1 11:00日本経済新聞 電子版
(抜粋)
米グーグルが次世代計算機の量子コンピューターを使い、スーパーコンピューターよりも極めて短い時間で複雑な計算問題を解くことに成功した。
国内の量子コンピューター研究の第一人者で、英科学誌ネイチャーに掲載されたグーグルの論文の査読を担当した大阪大学の藤井啓祐教授は「新しい原理で計算するコンピューターの重要な一歩だ」と評価し、将来の社会変革につながる可能性があるとの認識を示した。
グーグルは今回、量子コンピューターが従来のコンピューターには困難な問題を解く「量子超越」を実証した。乱数をつくる問題を用意し、最先端のスパコンで約1万年かかるところを、3分20秒で解いたという。
藤井教授は「過去、何十年もの間にものすごい投資をして高性能なコンピューターが現在、実現している。それを超える物理的な仕組みのコンピューターは今までなかった」として、今回の成果を評価した。
グーグルは「0」と「1」を重ね合わせた53個の「量子ビット」を計算に利用した。量子ビットをつくるには高度な技術が必要で、5年ほど前の時点では5量子ビットにとどまっていた。藤井教授は規模を大きくできた背景として、直線的に並べていた量子ビットを2次元（面）的に並べる手法を実現したことなどを挙げ「順調すぎるぐらいの進展」だと述べた。
グーグルが用いた計算問題については米IBMが「スパコンでも2日半で解ける」と主張している。この点は「もっともな面がある」と認めつつ、なお「量子コンピューターの方が速い」と語った。近い将来の量子コンピューターの進化で、議論になっている優位性が確かなものになるとの考えを示した。
ただ、本格的な量子コンピューターの実現には時間がかかる。グーグルの成果はライト兄弟による有人初飛行に匹敵するとの評価もあるが「飛行機に例えると、究極的につくりたい量子コンピューターはさらに進化したロケットだ。（幅広く）役に立つ問題を解けるようになるには、量子ビットの数が100万～1億の単位で必要」という。
つづく
387:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 14:21:18.85 jBvN9kSg.net
>>343
つづき
1千量子ビットを超え規模を大きくする際に、配線などで新たな技術が必要になると指摘した。「現在不足している開発人材をどう確保するかが重要だ」とも述べた。
世界ではグーグルやIBM、中国のアリババ集団などが量子コンピューターの開発に力を入れる。日本も基礎的な研究で世界で注目される成果を挙げてきた経緯があり「（今後の開発は）20年かかるレース。今の段階で（研究を）手放してしまうのは完全なリスクだ」として、取り組みを進めるべきだと主張した。
「量子コンピューターで難しいのは制御のためのエレクトロニクスやマイクロ波の技術などだ。それらの技術を押さえればグーグルも使わざるを得なくなる」と述べ、周辺技術のほかソフトウエアの分野でも勝機があるとの認識を示した。
量子コンピューターの利用については、最先端の物性物理学や化学などの分野で「すぐにでも使われていくのではないか」と話した。将来のイメージとして「（量子コンピューターの活用を通じ）植物の光合成の仕組みが解明され、人工光合成が実現すれば、エネルギー問題の解決に向けて大きな選択肢となる」と期待を示した。
食料生産に欠かせないアンモニアの合成でも、省エネにつながる画期的な触媒などが実現する可能性があるという。量子コンピューターの普及が本格的に進めば通信のネットワークやセキュリティーなどに大きな影響を与えると考えられ「社会システムが変わっていく」と展望を語った。（生川暁、張耀宇）
▼量子コンピューター アインシュタインの相対性理論と並び、現代物理学の土台となっている「量子力学」の理論を応用したコンピューター。概念は1980年代に提唱され、90年代に実現に向けた研究が盛り上がりを見せた。2010年代に入ってIT大手やベンチャー企業による開発が活発になり、現在は「第2次ブーム」ともいわれる。
量子力学が扱う極微の世界では、日常の感覚では理解しがたい不思議な現象が起こりうる。量子コンピューターでは「0であり、かつ1でもある」という状態（量子ビット）をつくり出し、計算の単位とする。
従来のコンピューターが「0」か「1」のどちらかで情報を表すのに対し、量子ビットはどちらも同時に表して膨大なデータもひとまとめに計算できる。計算回数が大幅に減り、時間の短縮につながる。
(引用終り)
388:１３２人目の素数さん
19/11/01 15:05:56.76 cdPTpCCW.net
>>341
道理で中国語で体は域と訳されているわけですね
389:１３２人目の素数さん
19/11/01 16:46:53.49 +yJ1gbLY.net
おっちゃんです。
>>343-344
私が見る限り、最近の都市部のビル群の建築物は外からの景観をやたら飾るビル群が多くて、使用したり住んだりするにはダメ。
観察して見れば分かるだろうが、外に出て掃除するにあたり、
室外機置場などのように腰高窓から外に出て掃除しにくくなっている部分が多いマンションなどのビル群が増えて来ている。
また、そのような腰高窓から出るところの壁に限らず、掃き出し窓から出られるベランダの壁にも、
換気口などの四角いような形の突起物が付いているマンションなどのビル群が増えて来ている。
このようなマンションやビルの構造は、突起物にはドバトが止まれたり、ドバトが病原菌を含んだり害虫などのエサになる糞を好んでし易く、
大抵の場合は高層階に行く程ドバトの糞の害は大きくなる。都市部ではドバトの糞害はとても大きい。
一昨日、腰高窓から室外機置場に出て、エアコンの裏のドバトの糞掃除や、
10月の大型台風の後始末の掃除をしたりして、足の筋肉や体の横が痛くなった。
まあ、それでも紙に書いて数学は出来るからまだいいんだが。
最近の木造建築物ではない比較的新しい建築物は気密性が高く、壁で自動的に空気が抜ける構造にはなっていない。
その反面、一軒家は一軒家で、シロアリなどの害虫の被害や台風や大雨洪水に弱く、
床下浸水や床上浸水になる可能性があるなどという問題もある。
マンションなどのビルの建築物と一軒家とでは、住むにはどっちがいいんでしょうね。
390:１３２人目の素数さん
19/11/01 18:47:29.73 zXuwAN1C.net
>>346
うちもマンションだけど、ドバトは見かけないな
391:１３２人目の素数さん
19/11/01 19:10:52.81 zXuwAN1C.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ハロウィン、あるいはハロウィーン（英: Halloween または Hallowe'en）とは、
毎年10月31日に行われる、古代ケルト人が起源と考えられている祭のこと。
もともとは秋の収穫を祝い、悪霊などを追い出す宗教的な意味合いのある行事
であったが、現代では特にアメリカ合衆国で民間行事として定着し、祝祭本来
の宗教的な意味合いはほとんどなくなっている。
カボチャの中身をくりぬいて「ジャック・オー・ランタン」を作って飾ったり、
子どもたちが魔女やお化けに仮装して近くの家々を訪れてお菓子をもらったり
する風習などがある。
キリスト教の祭ではない。ハロウィンに対しては、本体キリスト教にとっては
異教徒の祭りであったことから、キリスト教教会においては、容認から否定まで
様々な見解がある。
392:１３２人目の素数さん
19/11/01 19:13:13.34 zXuwAN1C.net
>>348
ケルト人の1年の終わりは10月31日で、この夜は秋の終わりを意味し、
冬の始まりでもあり、死者の霊が家族を訪ねてくると信じられていた。
時期を同じくして出てくる有害な精霊や魔女から身を守るために仮面を被り、
魔除けの焚き火を焚いていた。
これに因み、31日の夜、カボチャ（アメリカ大陸の発見以前はカブが用いられた。
スコットランドではカブの一種ルタバガを用いる。）をくりぬいた中に
蝋燭を立てて「ジャック・オー・ランタン (Jack-o'-lantern)」を作り、
魔女やお化けに仮装した子供たちが近くの家を1軒ずつ訪ねては
「トリック・オア・トリート（Trick or treat. 「お菓子をくれないと悪戯するよ」
または「いたずらか、お菓子か」）」と唱える。家庭では、カボチャの菓子を作り、
子供たちはもらったお菓子を持ち寄り、ハロウィン・パーティを開いたりする。
お菓子がもらえなかった場合は報復の悪戯をしてもよい、とされている。
玄関のライトを点けていると訪問してもよいという意思表示になっており、
それにもかかわらず断る家主とは悪戯の攻防戦が繰り広げられる。
これはあくまでも電気が点いている家に対してであり、そうでない場合は
がっかりして立ち去るのが
393:ほとんどである。 カトリック教会の諸聖人の日がハロウィンに重なる形で設定されており、 これを「カトリック教会が（キリスト教からみて）異教の祭を取り込んだ」 とする見方と、「カトリック教会が（キリスト教からみて）異教の祭を潰すために 設定した」とする見方がある。いずれにしてもハロウィンは元々キリスト教の祭では 無かったことが両見解の前提となっている。
394:１３２人目の素数さん
19/11/01 19:15:13.52 zXuwAN1C.net
>>349
「Halloween」または「Hallowe'en」という単語はおおよそ1745年に遡り、
キリスト教徒起源である。単語「Hallowe'en」は「聖人達の夜」を意味する。
この単語は「All Hallows' Eve」（諸聖人の日〈All Hallows' Day〉の前夜）
を指すスコットランドの表現から来ている。スコットランド語では、
単語「eve」は「even」であり、これは「e'en」または「een」に短縮される。
時がたつにつれて、「(All) Hallow(s) E(v)en」が「Hallowe'en」へと変化した。
「All Hallows」という語句は古英語でも見られるものの、「All Hallows' Eve」
それ自身は1556年まで見られない。
395:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 19:15:52.21 jBvN9kSg.net
>>319 補足
「ガウス (az+b)/(cz+d) モジュラー」で検索
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モジュラー形式
目次
1 SL2(Z) のモジュラー形式
1.1 標準的な定義
1.2 格子上の函数としての扱い
1.3 モジュラー曲線上の函数としての扱い
3 モジュラー函数
4 一般レベルのモジュラー形式
4.1 リーマン面 Γ\H*
4.3 結果
4.4 q-展開
4.5 整形式とカスプ形式
4.6 保型因子とその他の一般化
5 一般化
6 歴史
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
メビウス変換
目次
1 概要
2 定義
3 基本的な変換への分解とかんたんな性質
3.1 角の保存と広義の円
3.2 複比の保存
4 射影行列表現
5 メビウス変換は三点で決まる
5.1 初期値を 0, 1, ∞ に移す変換を用いる方法
5.2 明示的な行列式公式を利用する方法
5.3 明示公式
6 分類
6.1 抛物型変換
6.2 特性定数
6.3 楕円型変換
6.4 双曲型変換
6.5 斜航型変換
6.6 一般の分類
6.7 実解析的な議論と語法についての注意
7 不動点
7.1 不動点の決定
7.2 位相幾何学的な証明
7.3 正規形
7.3.1 非抛物型の場合
7.3.2 抛物型の場合
8 特性定数の幾何学的解釈
8.1 楕円型変換
8.2 双曲型変換
8.3 斜航型変換
8.4 立体射影
9 変換の反復適用
10 変換の極
11 ローレンツ変換
12 双曲空間
URLﾘﾝｸ(www.th.phys.titech.ac.jp)
[PDF]第 2 章 1次分数変換
2.3 １次分数変換
2.3.1 １次分数変換
396:１３２人目の素数さん
19/11/01 19:18:49.08 zXuwAN1C.net
>>350
日本とハロウィン
1990年代後半より始まった東京ディズニーランドのイベントを筆頭として、
各地でのハロウィンイベントの開催が増えたこと、さらに2000年代後半より
菓子メーカーが相次いでハロウィン商戦に参入したことなどを契機としながら、
2010年代中盤にはソーシャル・ネットワーキング・サービス (SNS) の普及にも
後押しされて市場規模が拡大。同時期、店頭・街中でのハロウィン装飾が
見られるようになったほか、仮装・コスプレのイベントとして日本式に
アレンジされたハロウィンが行われている。近年では幼稚園や保育園の
恒例行事になっているほか、大人�
397:煢ｼ装をして参加するイベントが 大都市圏を中心に各地で行われている。ただし、後述のように様々な問題も 起きており、8割の人がハロウィンに関心を示していない、もしくは好まない という2016年のアンケート結果などもある。
398:１３２人目の素数さん
19/11/01 19:42:48.70 zXuwAN1C.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モジュラー群
目次
1 定義
2 数論的性質
3 群論的な性質
3.1 表示
3.2 ブレイド群
4 双曲幾何学との関係
4.1 双曲平面のタイル貼り
5 合同部分群
6 写像トーラス
7 ヘッケ群
8 歴史
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
j-不変量
目次
1 定義
2 基本領域
3 類体論と j-不変量
4 超越的性質
5 q-展開とムーンシャイン
5.1 ムーンシャイン
6 別の表現
7 テータ函数による表現
8 代数的定義
9 逆函数
10 π公式
11 特殊値
399:１３２人目の素数さん
19/11/01 19:56:29.83 zXuwAN1C.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モンストラス・ムーンシャイン
目次
1 歴史
2 モンスター加群
3 ボーチャーズの証明
4 一般化されたムーンシャイン
5 量子重力との予想される関係
6 マチュームーンシャイン
7 何故「モンストラス・ムーンシャイン」なのか？
400:１３２人目の素数さん
19/11/01 20:02:18.38 zXuwAN1C.net
密造酒（みつぞうしゅ）とは、政府等の公的機関の許可を得ないで製造された
アルコール飲料の総称である。本来、酒税の課税対象であるアルコール飲料を
無許可で製造するため、近代国家の多くでは、税制度への依存度が高まるに
つれ、これら密造酒製造には厳罰が科せられる傾向が強い。
自宅で簡単に製造、消費でき、摘発もされない点がしばしば問題視される。
アメリカ合衆国ではMoonshine（アメリカ英語: ムーンシャイン）と呼ばれ、
特にウィスキーの密造を指す場合が多い。
日本では密造酒と言うと、特にどぶろくを指す場合が多いなど、
密造酒の品種は各国で特色がある。
401:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 21:17:11.13 rcKeDs9u.net
>>353-354
どうも。スレ主です。
フォローありがとう（＾＾
402:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/11/01 21:28:22 rcKeDs9u.net
>>345
どうも。スレ主です。
フォローありがとう
追加参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
体 (数学)
(抜粋)
この代数的構造はリヒャルト・デーデキントとレオポルト・クロネッカーがそれぞれ独立に（そして極めて異なる方法で）導入したが、体という呼称は実数または複素数からなる四則演算に関して閉じている部分集合を表すものとしてドイツ語で体を意味する Korper を用いたのが由来である（それがゆえに、任意の体を表すのにしばしば K をプレースホルダとして用いる）。
URLﾘﾝｸ(zh.wikipedia.org)(%E6%95%B8%E5%AD%B8)
中国
域 数学
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
Field (mathematics)
(抜粋)
History
Historically, three algebraic disciplines led to the concept of a field: the question of solving polynomial equations, algebraic number theory, and algebraic geometry.[15] A first step towards the notion of a field was made in 1770 by Joseph-Louis Lagrange,
Vandermonde, also in 1770, and to a fuller extent, Carl Friedrich Gauss, in his Disquisitiones Arithmeticae (1801),
These gaps were filled by Niels Henrik Abel in 1824.[18] Evariste Galois, in 1832, devised necessary and sufficient criteria for a polynomial equation to be algebraically solvable, thus establishing in effect what is known as Galois theory today.
Both Abel and Galois worked with what is today called an algebraic number field, but conceived neither an explicit notion of a field, nor of a group.
In 1871 Richard Dedekind introduced, for a set of real or complex numbers that is closed under the four arithmetic operations, the German word Korper, which means "body" or "corpus" (to suggest an organically closed entity). The English term "field" was introduced by Moore (1893).[19]
つづく
403:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/11/01 21:31:23 rcKeDs9u.net
>>357
つづき
By a field we will mean every infinite system of real or complex numbers so closed in itself and perfect that addition, subtraction, multiplication, and division of any two of these numbers again yields a number of the system.
??Richard Dedekind, 1871[20]
In 1881 Leopold Kronecker defined what he called a domain of rationality, which is a field of rational fractions in modern terms.
Kronecker's notion did not cover the field of all algebraic numbers (which is a field in Dedekind's sense),
but on the other hand was more abstract than Dedekind's in that it made no specific assumption on the nature of the elements of a field. Kronecker interpreted a field such as Q(π) abstractly as the rational function field Q(X).
Prior to this, examples of transcendental numbers were known since Joseph Liouville's work in 1844, until Charles Hermite (1873) and Ferdinand von Lindemann (1882) proved the transcendence of e and π, respectively.[21]
The first clear definition of an abstract field is due to Weber (1893).[22]
In particular, Heinrich Martin Weber's notion included the field Fp. Giuseppe Veronese (1891) studied the field of formal power series, which led Hensel (1904) to introduce the field of p-adic numbers.
Steinitz (1910) synthesized the knowledge of abstract field theory accumulated so far. He axiomatically studied the properties of fields and defined many important field-theoretic concepts.
The majority of the theorems mentioned in the sections Galois theory, Constructing fields and Elementary notions can be found in Steinitz's work.
Artin & Schreier (1927) linked the notion of orderings in a field, and thus the area of analysis, to purely algebraic properties.[23]
Emil Artin redeveloped Galois theory from 1928 through 1942, eliminating the dependency on the primitive element theorem.
(引用終り)
以上
404:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/11/01 21:34:19 rcKeDs9u.net
>>351
>URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
>メビウス変換
複素平面の図形についてのメビウス変換
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
高校数学の美しい物語
最終更新:2015/11/19
一次分数変換（メビウス変換）と円円対応
(抜粋)
一次分数変換：
a,b,c,d を ad≠bc なる複素数とする。複素数値に対して複素数を返す関数で，
f(z)=(az+b)/(cz+d) という形のものを一次分数変換（またはメビウス変換）という。
一次分数関数は「複比を保つ」「等角写像」などいろいろな性質があります。過去の入試問題でもメビウス変換を背景とする問題が多く見られます。
この記事では円円対応を理解するのが目標です。
URLﾘﾝｸ(examist.jp)
受験の月 学校では教えてくれない受験のための数学・物理・化学
1次分数変換(メビウス変換) w=(αz+β
405:)/(γz+δ) による像
406:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 21:38:18.10 rcKeDs9u.net
>>359 追加
一方で、ゼータに対応する数論のメビウス変換（メビウスの反転公式）
これは、別のメビウス変換ですね
URLﾘﾝｸ(qiita.com)
Qiita
@convexineq
2019年09月30日に投稿
ゼータ変換・メビウス変換を理解する
要約
本記事では、競技プログラミングに頻出のゼータ変換・メビウス変換についてまとめました。
記事中のコードはpythonで記述されています。
URLﾘﾝｸ(sugarknri.hatena)<)（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
naoya_t@hatenablog
いわゆるチラシノウラであります
2018-07-02
高速ゼータ変換／高速メビウス変換
高速ゼータ変換・高速メビウス変換が気になっていたところにタイムリーに先日のARC 100のE問題が来て（ちゃんと解けなかったので）折角なのでこの機会にマスターしようと思い競プロ有識者の皆さんのブログやツイートを漁ってみました。
ゼータ関数とメビウス関数
Wikipediaを見てると
「（幾何学における平面上の）メビウス変換」と「数論的メビウス変換」があったり
「数論的メビウス関数」と「組合せ論的メビウス関数」があったり
でややこしいのだけれど、今ゼータ変換とかメビウス変換とか言ってるのは
隣接代数 (順序理論) - Wikipedia
とか
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
メビウスの反転公式 - Wikipedia
の辺りの話らしい。
407:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 21:38:53.33 rcKeDs9u.net
>>360
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
メビウスの反転公式
(抜粋)
整除関係によって順序付けられた自然数という古典的な場合に、別の局所有限半順序集合（英語版）が取って代わると、他のメビウス反転公式が得られる。説明は隣接代数を参照。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E9%A0%86%E5%BA%8F%E7%90%86%E8%AB%96)
隣接代数 (順序理論)
(抜粋)
任意の局所有限な半順序集合と単位元を持つ可換環に対して定義される結合多元環である。局所有界半順序集合の接続代数は、1964年のジャン・カルロ・ロタ(Gian-Carlo Rota)による論文[3]に始まり、多くの組合せ論研究者により発展した。
関連する概念
隣接代数は群代数に類する概念である。実際、（群および半順序集合を特別な種類の圏と見做すというのと同じ意味で）群代数および隣接代数は圏代数（英語版）の特別の場合になっている。
(引用終り)
以上
408:１３２人目の素数さん
19/11/01 21:54:24.80 zXuwAN1C.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ポワンカレの上半平面モデル
射影線型群 PGL(2,C) はリーマン球面に一次分数変換で作用する。
この群の部分群で上半平面 H を H 自身の上に移すものは、
すべての係数が実数であるような変換全体の成す群 PSL(2, R) で、
その作用は上半平面上推移的かつ等距ゆえ、
上半平面はこの作用に関する等質空間となる。
409:１３２人目の素数さん
19/11/01 22:28:04 zXuwAN1C.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フォードの円
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フ�
410:@レイ数列
411:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 23:15:51.46 rcKeDs9u.net
>>346
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾
412:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 23:22:05.80 rcKeDs9u.net
>>362
フォローありがとう
”ポワンカレの上半平面モデル”は、結構示唆に富んで重要だね
413:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/02 07:01:37.05 ZLEqKHqI.net
>>357
> The English term "field" was introduced by Moore (1893).[19]
E. H. Moore（1862 ? 1932)さん
("Robert Lee Moore (no relation) Topologist (1882 ? 1974) " は、別人ですね)
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
(抜粋)
Eliakim Hastings Moore (/??la??k?m/; January 26, 1862 ? December 30, 1932), usually cited as E. H. Moore or E. Hastings Moore, was an American mathematician.
Accomplishments
In 1902, he further showed that one of Hilbert's axioms for geometry was redundant. Independently,[2] during a course taught by G. B. Halsted, the twenty-year-old Robert Lee Moore (no relation) also proved this, but in a more elegant fashion than E. H. Moore used.
At Chicago, Moore supervised 31 doctoral dissertations, including those of George Birkhoff, Leonard Dickson, Robert Lee Moore (no relation), and Oswald Veblen. Birkhoff and Veblen went on to lead departments at Harvard and Princeton, respectively.
Dickson became the first great American algebraist and number theorist. Robert Moore founded American topology. According to the Mathematics Genealogy Project, as of December 2012, E. H. Moore had over 18,900 known "descendants."
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
(抜粋)
Robert Lee Moore (November 14, 1882 ? October 4, 1974) was an American mathematician who taught for many years at the University of Texas.
He is known for his work in general topology, for the Moore method of teaching university mathematics, and for his poor treatment of African-American mathematics students.
つづく
414:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/02 07:02:37.04 ZLEqKHqI.net
>>366
つづき
Topologist
According to the bibliography in Wilder (1976), Moore published 67 papers and one monograph, his 1932 Foundations of Point Set Theory.
He is primarily remembered for his work on the foundations of topology, a topic he first touched on in his Ph.D. thesis.
By the time Moore returned to the University of Texas, he had published 17 papers on point-set topology?a term he coined?including his 1915 paper "On a set of postulates which suffice to define a number-plane", giving an axiom system for plane topology.
The Moore plane, Moore's road space, Moore space, Moore's quotient theorem [ru] and the Moore space conjecture are named in his honor.
(引用終り)
以上
415:１３２人目の素数さん
19/11/02 07:31:17.17 MFOPZ136.net
今日の一曲
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
コピペなんてアホでもできる
416:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/02 07:54:56.96 ZLEqKHqI.net
>>353 補足
モジュラー群の歴史で
和文：しかし、密接に関連する楕円曲線は、1785年にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ(Joseph Louis Lagrange)により研究され、
さらに楕円函数に関する結果は、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ(Carl Gustav Jakob Jacobi)とニールス・アーベル(Niels Henrik Abel)により1827年に出版された。
↑
英文：However, the closely related ellip
417:tic functions were studied by Joseph Louis Lagrange in 1785, and further results on elliptic functions were published by Carl Gustav Jakob Jacobi and Niels Henrik Abel in 1827. Joseph Louis Lagrange in 1785が、英文 elliptic functions 和文 楕円曲線に修正されている （＾＾； かなり専門的な人が手を入れたのだろうね （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%BE%A4 モジュラー群 (抜粋) 歴史 モジュラー群とその部分群は、最初に、詳細にリヒャルト・デーデキント (Richard Dedekind) とフェリックス・クライン (Felix Klein) により、1870年代に彼らのエルランゲン・プログラムの一部として研究された。 しかし、密接に関連する楕円曲線は、1785年にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ(Joseph Louis Lagrange)により研究され、 さらに楕円函数に関する結果は、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ(Carl Gustav Jakob Jacobi)とニールス・アーベル(Niels Henrik Abel)により1827年に出版された。 https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_group Modular group (抜粋) History The modular group and its subgroups were first studied in detail by Richard Dedekind and by Felix Klein as part of his Erlangen programme in the 1870s. However, the closely related elliptic functions were studied by Joseph Louis Lagrange in 1785, and further results on elliptic functions were published by Carl Gustav Jakob Jacobi and Niels Henrik Abel in 1827.
418:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/02 07:55:38.89 ZLEqKHqI.net
>>368
あんたはそれ以下
419:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/02 08:00:36.51 ZLEqKHqI.net
なにを言っているか分からない
自分が、数学の専門誌（レフェリー）に、論文を投稿したのか？
なら、ハナタカも結構だけどね
”おまえはコピペだけだが、おれは数学を深く理解している”とでも言いたいのか？
笑えるよ
自慢する場所を間違えているぜ
５ｃｈの数学板で、「おれは分かっている」とハナタカかい？ｗ（＾＾
とりなきさとのこうもり
URLﾘﾝｸ(ja.wiktionary.org)
鳥なき里の蝙蝠
鳥がいないところでは、ただ飛べるというだけでコウモリが偉そうにする、あるいは偉そうに見えることから、ある分野に関して、本当に優れた人がいないところでは、ちょっとその分野に知識等があるだけで、その道の権威然とすることのたとえ。「鳥なき島の蝙蝠」とも。
420:１３２人目の素数さん
19/11/02 09:08:54.94 MFOPZ136.net
>>371
＞なにを言っているか分からない
「部分群ＨがgHg-1と同型なら正規部分群」
「次数ｎの円分多項式のガロア群はZ/nZ」
「HがGal(L/K)の部分群だからといって
H=Gal(L/M)となる体Mが存在するとは限らない」
確かに何言ってるか分からんっ！
＞笑えるよ
確かに
ギャハハハハハハ！！！！！！！
421:１３２人目の素数さん
19/11/02 09:20:20.71 MFOPZ136.net
>>371
＿＿＿_
／ ＼ ／＼ ｷﾘｯ
. ／ （ー） （ー）＼
／ ⌒（__人__）⌒ ＼ ＜「鳥なき里の蝙蝠」
| |r┬-| | 鳥がいないところでは、ただ飛べるというだけで
＼ `ー'´ ／ コウモリが偉そうにする
ノ ＼
／´ ヽ
| ｌ ＼
ヽ -一''''''"～～｀`'ー--､ -一'''''''ー-､.
ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
＿＿＿_
／_ノ ヽ､_＼ ＜だっておｗｗｗ
ﾐ ﾐ ﾐ oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo ﾐ ﾐ ﾐ おまえ鳥のくせに飛べないニワトリじゃんｗ
/⌒)⌒)⌒. ::::::⌒（__人__）⌒:::＼ /⌒)⌒)⌒)
| / / / |r┬-| | (⌒)/ / / /／
| :::::::::::(⌒) | | | ／ ゝ :::::::::::/
| ノ | | | ＼ / ） /
ヽ / `ー'´ ヽ / ／
| | l||l 从人 l||l l||l 从人 l||l バ
ヽ -一''''''"～～｀`'ー--､ -一'''''''ー-､ ン
ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒)) バ
ン
422:１３２人目の素数さん
19/11/02 09:23:10.05 MFOPZ136.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ニワトリ
分類
界 : 動物界 Animalia
門 : 脊索動物門 Chordata
亜門 : 脊椎動物亜門 Vertebrata
綱 :
423:鳥綱 Aves 目 : キジ目 Galliformes 科 : キジ科 Phasianidae 亜科 : キジ亜科 属 : ヤケイ属Gallus 種 : セキショクヤケイgallus 亜種 : domesticus 学名 Gallus gallus domesticus L., 1758 和名 ニワトリ 英名 Chicken
424:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/02 10:29:23.42 ZLEqKHqI.net
>>325
(引用開始)
「qを有限体の位数として
PSL(2,q)はP1(Fq)への推移的な作用で
P1(Fq)の位数はq+1だから
PSL(2,q)はq+1次対称群に埋め込める」
が正しい
(引用終り)
多分、私の文献コピペの意図が分からなかったと思うが
”とりなきさとのこうもり”さんの上記の検証をしていたんだ
当方は、有限体は、あまり知識がなかったのでね
文献を漁っていたんだ
”こうもり”さんのは、下記引用が該当するな
・Projective linear group Finite fields Action on projective line
Some of the above maps can be seen directly in terms of the action of PSL and PGL on the associated projective line:
PGL(n, q) acts on the projective space Pn?1(q), which has (qn?1)/(q?1) points,
and this yields a map from the projective linear group to the symmetric group on (q^n?1)/(q?1) points.
For n = 2, this is the projective line P1(q) which has (q^2?1)/(q?1) = q+1 points,
so there is a map PGL(2, q) → Sq+1.
・The order of PGL(2, q) is
(q^2-1)(q^2-q)/(q-1)=q^3-q=(q-1)q(q+1);
the order of PSL(2, q) either equals this (if the characteristic is 2), or is half this (if the characteristic is not 2).
なので、正確には
・PGL(n, q) acts on the projective space Pn?1(q), which has (qn?1)/(q?1) points
・PSL(2, q) →PGL(2, q) → Sq+1
・The order of PGL(2, q) is
(q^2-1)(q^2-q)/(q-1)=q^3-q=(q-1)q(q+1)
・the order of PSL(2, q) either equals this (if the characteristic is 2), or is half this (if the characteristic is not 2).
が正解だな
いや、”とりなきさとのこうもり”さんの 回答としては、決して間違いではないですよ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Projective linear group
(抜粋)
4 Finite fields
4.1 History
4.2 Order
4.3 Exceptional isomorphisms
4.3.1 Action on projective line
4.3.2 Action on p points
つづく
425:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/02 10:30:30.40 ZLEqKHqI.net
>>375
つづき
Action on projective line
Some of the above maps can be seen directly in terms of the action of PSL and PGL on the associated projective line:
PGL(n, q) acts on the projective space Pn?1(q), which has (q^n?1)/(q?1) points,
and this yields a map from the projective linear group to the symmetric group on (q^n?1)/(q?1) points.
For n = 2, this is the projective line P1(q) which has (q^2?1)/(q?1) = q+1 points,
so there is a map PGL(2, q) → Sq+1.
To understand these maps, it is useful to recall these facts:
・The order of PGL(2, q) is
(q^2-1)(q^2-q)/(q-1)=q^3-q=(q-1)q(q+1);
the order of PSL(2, q) either equals this (if the characteristic is 2), or is half this (if the characteristic is not 2).
・The action of the projective linear group on the projective line is sharply 3-transitive (faithful and 3-transitive), so the map is one-to-one and has image a 3-transitive subgroup.
Thus the image is a 3-transitive subgroup of known order, which allows it to be identified. This yields the following maps:
・PSL(2, 2) = PGL(2, 2) → S3, of order 6, which is an isomorphism.
・The inverse map (a projective representation of S3) can be realized by the anharmonic group, and more generally yields an embedding S3 → PGL(2, q) for all fields.
・PSL(2, 3) < PGL(2, 3) → S4, of orders 12 and 24, the latter of which is an isomorphism, with PSL(2, 3) being the alternating group.
・The anharmonic group gives a partial map in the opposite direction, mapping S3 → PGL(2, 3) as the stabilizer of the point ?1.
・PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S5, of order 60, yielding the alternating group A5.
つづく
426:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/02 10:33:10.29 ZLEqKHqI.net
>>376
つづき
・PSL(2, 5) < PGL(2, 5) → S6, of orders 60 and 120, which yields an embedding of S5 (respectively, A5) as a transitive subgroup of S6 (respectively, A6). This is an example of an exotic map S5 → S6,
and can be used to construct the exceptional outer automorphism of S6.[6] Note that the isomorphism PGL(2, 5) =~ S5 is not transparent from this presentation: there is no particularly natural set of 5 elements on which PGL(2, 5) acts.
Action on p points
427:While PSL(n, q) naturally acts on (qn?1)/(q?1) = 1+q+...+qn?1 points, non-trivial actions on fewer points are rarer. I ndeed, for PSL(2, p) acts non-trivially on p points if and only if p = 2, 3, 5, 7, or 11; for 2 and 3 the group is not simple, while for 5, 7, and 11, the group is simple - further, it does not act non-trivially on fewer than p points.[note 5] This was first observed by Evariste Galois in his last letter to Chevalier, 1832.[7] This can be analyzed as follows; note that for 2 and 3 the action is not faithful (it is a non-trivial quotient, and the PSL group is not simple), while for 5, 7, and 11 the action is faithful (as the group is simple and the action is non-trivial), and yields an embedding into Sp. In all but the last case, PSL(2, 11), it corresponds to an exceptional isomorphism, where the right-most group has an obvious action on p points: ・ L2(2)=~ S3→ S2 via the sign map; ・ L2(3)=~ A_{4}→ A3=~ C3 via the quotient by the Klein 4-group; ・ L2(5)=~ A_{5}.To construct such an isomorphism, one needs to consider the group L2(5) as a Galois group of a Galois cover a5: X(5) → X(1) = P1, where X(N) is a modular curve of level N. This cover is ramified at 12 points. The modular curve X(5) has genus 0 and is isomorphic to a sphere over the field of complex numbers, and then the action of L2(5) on these 12 points becomes the symmetry group of an icosahedron. つづく