19/10/26 11:34:11 fHUQGPHQ.net
>>235
つづき
数学上の予想ないし研究課題としての 「クロネッカ $-$ の
青春の夢」 は, 彼がデデキントに宛てた 1880 年の手紙 ( $[\mathrm{K}\mathrm{r}- 1880\mathrm{b}]\rangle$ のなかで, 彼が
「私のいちばんのお気に入りの青春の夢」 $\langle$
... um meinen liebsten Jugendtraum, $\ldots\rangle$ と呼
んだ, おおむね次のような数学の問題 (予想) を指す :
クロネッカーの青春の夢 : 虚 2 次体上のアーベル多項式の根は, その 2 次体を虚数乗
法に持つ楕円関数の「特異モデュライ」 と周期の等分点での値ですべて与えられる.
虚数乗法についてはワイエルシュトラスの $\wp$ 関数に基づく説明を次の節で簡単に与え
る. ここではアーベルやクロネッカー [Kr-1857a1 が扱った楕円関数とそのモデュライに
触れておく.
アーベルは, まず楕円積分が特に対数関数で積分されてしまう場合を連分数に基づく
手法で決定した $\langle_{[6}\mathrm{A}\mathrm{b}- 182\mathrm{b}$]) が, 次の瞬間には, 素直に楕円積分の逆関数に注目し,
またコーシーが展開していた複素線積分を取り入れ, たちまち 「楕円関数論」 を構築してしまう.
§3 デデキント $(1831-1916\rangle$
デデキントは, ガウスに倣ったわけでもないのだろうが, 理論的な枠組みが明快にな
るまでは不用意な公表をひかえていたように見受けられる. この点は 「預言者」 と呼ば
れたクロネッカーと著しく異なっている. したがって彼が実際に何を見, 何を意図して
いたのかを, 整った論文のなかに見いだすことは容易ではない. 第 1 項については, 特
に『ディリシュレの数論講義への補足\sim の最終版 [De-18931 の完成度が高い ; しかも
[De-1871], [De-1877a1, [De-1879], $[\mathrm{D}\mathrm{e}- 18\mathfrak{B}]$ と順を追って成熟していく様子が見られ
る. このようなことから, [De-18931 こそが彼の最終目的であったと見倣されるかもし
れない.
つづく
265:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 11:35:03 z6TBbHYr.net
馬鹿はコピペしただけで自分が賢くなったと思い込む悪癖がある
だから平気で
「ｎ次の円分多項式のガロア群は(Z/nZ)！」
とか壮烈な馬鹿発言で炎上死するｗｗｗ
266:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/26 11:36:18 fHUQGPHQ.net
>>236
つづき
しかし, 彼の代数的数論における 「研究計画」 は, 必ずしも 「代数的整数
「モデュール」 , 「オーダー」 , 「イデアル」等の概念め抽出とか, それらによる代数
的数論の骨格の基礎づけに最大の主眼があったわけではなかった. 彼にはもっと明確な
数論らしい問題意識があった. 純 3 次体に対する類数公式の探求が彼を強く動機づけて
いたものと思われる.
§5 クロネッカーの仕事について
そう単純に 「ヤマ」 などという言葉づかい
に乗ってしまうわけには行かない.
また数学史からの観点からすれば, そのように端的に切り捨てるわけには行かない.
例えば「厳密な証明」 にしても, それは当然その時点での数学界のレヴェルと相対的で
しかありえない. 高木も 「この予言者の名を冠して [クロネッケル』$\sim$ 式密度の称呼を用
いたのであ」 り, クロネッカーを単に 「数学」 の観点からアッサリと切り捨てられるわ
けではなかった.
とはいえ, クロネッカーの論文の多くは, 特に彼がその構築をライフワークとした代
数的数論に関するものについては, 現代から見れば, 十分に 「数学的」 に書かれている
と言えるものではないかもしれない ; 恐らく当時の常識からしても. しかし, 例えば現
代の物理学者達の論文と対比して見ればわかりやすい. クロネッカーは, いまだ定義も,
概念すらはっきりとはしていない, しかし彼にとって現代の物理学者達の見るものより
も遥かに厳然, 確固として存在する 「数学的な事実」 を発見し, それを報告しようとし
た. 彼が見たもの自体は, 例えば「一般的な関数」 , 「一般的な無限級数」 と言ったあ
やふやな, 捉え所のない新参者とは異なり, 新しいとはいえ, どこから見ても伝統的で
歴とした数学であった. 彼はそこに新しく驚嘆すべきものを発見し, それを, 書き方と
しては 「数学的」 ではな $\vee\supset$ かたにせよ, なんとか報告したのであった. そこに自身の数
学者としての全身の重みをかけていた.
つづく
267:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/26 11:37:00 fHUQGPHQ.net
>>238
つづき
例えば, 有理数体上のアーベル多項式の根が 1 の累乗根の有理整数係数の有理式とし
て表わされることを 「発見」 して, 躊躇わずにそれを 「定理 $\langle \mathrm{s}_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{Z}}\rangle$ 」 として報告した
$\langle_{15}\mathrm{K}\mathrm{r}- 183$ ]). 有限体の扱い方を例にとれば, 彼は決してガロア流を採らず, あくまで
もガウス流にこだわり続けたろう. それは, 彼の代数体における因子論 ([Kr-lae21; 高
木 [T-19481, 附録 (三) 参照) からも想像がつく. 例えば彼は, 師でもあったクムマー
の理想数の与え方 (lKu-1845, -18471) に満足せず, そのように本質的なものは「明確な
数学的なもの」 によって表示すべきであるとした ; (そしてその嗅覚は確かであった) ’
まず虚 2 次体について, それを虚数乗法として持つ楕円関数の 「特異モデュライ」から
得られる本物の数として虚 2 次体の理想数を具現すること, および, それらの数によ
る虚 2 次体の拡大が不分岐であること, を発見した $\langle_{[\mathrm{a},18}\mathrm{K}\mathrm{r}- 1857-
268:62]\rangle$ ; さらに 「単項化定理」 に基づく 「類体」の存在を信じて彼の代数的数論構築ひとつの大きな指針と し, 一般の代数的数体に対して 「単項化定理」 を彼の流儀で定式化した $([\mathrm{K}\mathrm{r}- 1\Re 2])$. クロネッカ $-$ は, デデキントに比べれば, たしかに明蜥さにおいて遅れをとる. しかし, ヒルベルトがそこから出発して彼の頭体論の構想へと進んだことは明らかである. しか もまた, $\text{ウ_{ェ}^{}\backslash }-$バーも高木も, 先ず「クロネッカーの青春の夢」 に惹付けられたのであっ た $([\mathrm{M}- 1994]\rangle$. (引用終り) 以上 ではまた（＾＾；
269:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 11:38:12 z6TBbHYr.net
＞ではまた（＾＾；
もう書くな、コピペマウント猿ｗｗｗ
270:{}
19/10/26 11:41:21.92 z6TBbHYr.net
今日の感想
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::。:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::。::::::...... ... --─- :::::::::::::::::::: ..::::: . ..::::::::
:::::::::::::::::...... ....:::::::゜::::::::::.. （___ ）（___ ） ::::。::::::::::::::::: ゜.::::::::::::
:. .:::::。:::........ . .::::::::::::::::: _ i/ ＝ ＝ヽi :::::::::::::。::::::::::: . . . ..::::
:::: :::::::::.....:☆彡:::: ／/[|| 」 ||] ::::::::::゜:::::::::: ...:: :::::
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::::::...゜ . .::::::::: ／ヽ ﾉ ヽ＿＿/ ....... . .::::::::::::........ ..::::
:.... .... .. . く / 三三三∠⌒＞:.... .... .. .:.... .... ..
:.... .... ..:.... .... ..... .... .. .:.... .... .. ..... .... .. ..... ............. .. . ........ ......
:.... . ∧∧ ∧∧ ∧∧ ∧∧ .... .... .. .:.... .... ..... .... .. .
... ..:（ ）ゝ （ ）ゝ（ ）ゝ（ ）ゝ無茶しやがって… ..........
.... i⌒ / i⌒ / i⌒ / i⌒ / .. ..... ................... .. . ...
.. 三 | 三 | 三 | 三 | ... ............. ........... . .....
... ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ............. ............. .. ........ ...
三三 三三 三三 三三
三三 三三 三三 三三
271:{}
19/10/26 11:42:44.71 z6TBbHYr.net
1に伝えたい授業
ありのままで
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
272:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 12:12:22 z6TBbHYr.net
数学板 ４大トンデモスレｗ
「0.99999……は１ではない」 （安達弘志）
「フェルマーの最終定理の簡単な証明」 （日高）
「【未解決問題】奇数の完全数が存在しないことの証明」 （高木宏兒）
「現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む」 （雑談 ◆e.a0E5TtKE）
一匹だけ匿名ｗｗｗｗｗｗｗ
273:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 12:16:15 z6TBbHYr.net
今日の情報
URLﾘﾝｸ(gekirock.com)
本格的だがそそられない
何故だ・・・そうか、ヴィジュアルか（をひこら）
【結論】BABYMETALはヴィジュアルこそ無敵(￣ー￣)
274:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 12:22:34 z6TBbHYr.net
聴け
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
275:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 12:34:38 z6TBbHYr.net
Gスレ 冬の時代に突入
276:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 12:35:42 z6TBbHYr.net
「1って何もわかってないじゃないか」という読者の失望
277:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 12:37:26 z6TBbHYr.net
1は掘る山を間違えた
278:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 12:38:02 z6TBbHYr.net
ここには1が求める金鉱はない
279:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 21:50:11.08 fHUQGPHQ.net
>>215
追加
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学/67 巻 (2015) 3 号/書誌
論説
高次元類体論の現在
??非アーベル化への展望と高次元Hasse原理??
斎藤 秀司
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
論説 高次元類体論の現在 非アーベル化への展望と高次元Hasse 斎藤秀司 数学 ?2015
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
斎藤 秀司（さいとう しゅうじ、1957年10月16�
280:� - ）は、日本の数学者。東京工業大学理工学研究科理学研究流動機構教授。専門は数論幾何、代数幾何。 経歴 1981年東京大学大学院修士課程修了。1985年博士号を取得。東京大学助教授、東京工業大学教授、名古屋大学教授、東京大学教授を経て、東京工業大学理工学研究科理学研究流動機構教授。 師は伊原康隆、加藤和也。 加藤和也との共同研究である高次元類体論の一般化は広く知られている。アーベルの定理の高次元化、代数的サイクル、高次元アーベル=ヤコビ写像などの研究もある。 受賞 1996年 - 日本数学会春季賞：類体論の一般化および代数的サイクルの研究 https://twitter.com/unaoya/status/724570367293952000 りす. ?@riss_gendarmery 2016年4月23日 高次元類体論 ってなにが高次元なんだろう…wiki見ると高次元大域体とかあったけどそれがなんなのかからわからない 梅崎直也 @unaoya 2016年4月25日 普通の類体論が代数体の整数環とか有限体上の曲線とか1次元のスキームを調べるのに対して（Z上有限生成な）次元の高いスキームを考える感じです。Galois側は基本群とかその表現とかで、アデール側はK群とかチャウ群とかを使います。 りす. @riss_gendarmery 2016年4月25日 なるほど！スキームの次元が高いということだったんですね！ありがとうございます！ 梅崎直也@unaoya 2016年4月25日 高次元大域体というのは素体上有限生成な体ぐらいの意味だと思います。そのようなものを関数体にもつスキームを考えるかんじです。 つづく (deleted an unsolicited ad)
281:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 21:51:03.53 fHUQGPHQ.net
>>250
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数体
(抜粋)
数学の体論・代数的整数論における代数体（だいすうたい、英: algebraic number field[注 1]）とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 K の有理数体上の拡大次数 [K:Q]を、K の次数といい、次数が n である代数体を、n 次の代数体という。 特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。
K を n 次の代数体とすると、K は単拡大である。つまり、K の元 θ が存在して、K の任意の元 α は、以下の様に表される。
α =a_0+a_1θ +・・・ +a_n-1θ^n-1。
但し、 a_0, a_1,・・・, a_n-1 は有理数。
このとき θ は n 次の代数的数であるので、K を Q 上のベクトル空間とみたとき、1, θ ,・・・ , θ^n-1 は基底となる。
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
拡大体
(抜粋)
ある体 F に，幾つかの元を付け足すことで， F を含む体 E を作れるとき， E を F の 拡大体 (もしくは単に 拡大 )と呼びます．
体 F の拡大体 E は， F 上のベクトル空間になっています．
F 上のベクトル空間と見たときの E の次元を EのF上の次数 もしくは 拡大次数 と呼び， [E:F] と書きます． [E:F] が有限のとき E を 有限次拡大体 ,無限のとき 無限次拡大体 と呼びます．
素体
逆に，部分体を考えて行くとき，これ以上小さな部分体が取れない(部分体は体自身のみ)となる体を 素体 と呼びます．有理数体は素体です．
有理数体 Q は素体です．
素数 p の剰余体 Z_p は素体です．
実は『全ての素体は， Q か Z_p と同型である』と言えるのです．後ほど 素体 の記事で証明します．
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
素体
(抜粋)
有理数体と剰余体は，それぞれ素体であることを 拡大体 で示しました．実は，逆に全ての素体は有理数体か剰余体のどちらかに同型であることが言えるのです．
全ての素体は，有理数体 Q か剰余体 Z_p に同型です．
証明には準同型定理と商体の知識が必要です．イデアルも少し出てきます．少し長いですが，証明を掲げておきます．
次の定理も重要です．
任意の体 F は，ただ一つの素体を含みます．
282:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 22:05:41.47 fHUQGPHQ.net
>>251 追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二次体
(抜粋)
二次体 (にじたい、英: quadratic field) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 d を用いて、Q(√d)と表現される。
もし、d > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、d < 0 の場合、虚二次体 (imaginary quadratic field) という。
性質
体論・環論
・任意の二次体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は巡回群となる。
・その整数環がユークリッド整域となる二次体 Q (√d) は、d = ?11, ?7, ?3, ?2, ?1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 だけである。
・その整数環が一意分解整域となる虚二次体 Q(√d)は、d = ?1, ?2, ?3, ?7, ?11, ?19, ?43, ?67, ?163 だけである。
・任意の二次体K に対して、有理素数 p は、以下のいずれかを満たす。
1. (p)= p_1 p_2 ( p_1, p_2 は、相異なるK の素イデアル)。 (このとき、p は、K で完全分解であるという。)
2. (p)= p^2 ( p は、K の素イデアル)。(このとき、p は、K で不分解であるという。)
3. (p)は、K の素イデアルである。(このとき、p は、K で不分岐であるという。)
二次体と円分体
・任意の二次体 K に対して、ある整数 n が存在して、K⊂ Q (ζ_n) 。
ここで、 ζ_n は、1 の原始 n 乗根である[4]。
特に、n = 2q (q ? 3) とすれば、円分体 Q (ζ_n) には、 Q (√-1), Q (√2), Q (√-2) が含まれる。
・上記のことは、クロネッカー＝ウェーバーの定理の特別な場合である。
さらに、基礎体を有理数体ではなく、虚二次体にしたときに同様なことが言えるかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢(の特別な場合)である。
(引用終り)
283:{}
19/10/26 22:14:44.97 z6TBbHYr.net
馬鹿発狂ｗ
284:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 23:38:15.11 fHUQGPHQ.net
>>214
(引用開始)
自由度を上げると解けるって話ですね
元は
"ガロアの逆問題" （下記）：
基礎体Fと群G（非可換の場合も）が与えられたとき、拡大体Eを構成せよ
対して、
あなたの変形した問題：
群G（非可換の場合も）が与えられたとき、ある基礎体Fと拡大体Eの組が存在するか
(引用終り)
これ、数学センス良いですね
数学で結構ある話ですが、例えば、ベースを実数から複素数に拡張する
そうすると、「有理数係数のｎ次代数方程式には、必ず複素数解が存在する」となる
因みに
ガロア対応：(正規かつ分離の)有限次代数拡大E/F vs ガロア群Gal(E/F)
みたいな話、結構数学ではある
微分方程式を、
フーリエ変換した空間に移して、
代数方程式にして解いて（圧倒的に解きやすい）、
その解を逆フーリエ変換して、微分方程式の解を求めることに似ている
（ガロア対応は、体の拡大を、より扱い易い群の理論に移すということ）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フーリエ変換
(抜粋)
応用
微分方程式の解析学
フーリエ変換および近い関係にあるラプラス変換は微分方程式の解法において広く用いられる。
f(x) を可微分函数で、
そのフーリエ変換を ^f(ξ) とすると、
導函数のフーリエ変換が 2πiξ^f(ξ)
で与えられるという意味でフーリエ変換と微分作用素は両立する。
このことを用いて微分方程式を代数方程式に変換することができる。
ただし、この手法は定義域が実数全体である場合にしか適用できないことに注意が必要である。
これを拡張�
285:ｵて、定義域が Rn であるような多変数函数に関する偏微分方程式を代数方程式に書き換えることもできる。 (引用終り) 以上
286:{}
19/10/27 08:11:28.98 tnQkUbav.net
相変わらず支離滅裂な連想だけでトンチンカンなこといってるね
287:{}
19/10/27 08:25:28.02 tnQkUbav.net
>>254
フーリエ変換は、ガロア対応ではないな
ガロア対応の一般化については以下をよまれたい
ガロア接続
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
288:{}
19/10/27 08:32:18.72 tnQkUbav.net
ガロア対応に関連して
昔、ある研究者から聞いた情報
形式概念分析
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
289:{}
19/10/27 08:39:03.23 tnQkUbav.net
形式概念分析は大して難しい話ではない
ガロア理論における体をオブジェクト、自己変換群を属性と一般化したと思えばいい
日本語の論文
URLﾘﾝｸ(www.kochi-tech.ac.jp)
ｐ６~８の例が個人的にはツボｗ
だれかアイドルで同じ分析やってくれんかなｗ
290:１３２人目の素数さん
19/10/27 10:01:19.82 ek6S6+eD.net
K/kを有限次ガロア拡大とすると任意のαに対してK(α)/k(α)もガロア拡大で
Gal(K(α)/k(α))=Gal(K/K∩k(α)).
もしK∩k(α)=kであれば、Gal(K(α)/k(α))=Gal(K/k).
（そしてほとんどのαに対しては、K∩k(α)=kだろう。）
つまり小さい基礎体で与えられたガロア群を持つ拡大の存在が言えれば
それを拡大しても際限なく同じガロア群を持つ拡大が得られる。
それで「小さい基礎体上で構成した方が価値が高い」
という考えが生まれ、「Q上で構成する」という問題意識が生まれたのではなかろうか？
しかし、もしQ上で存在しない解があるとすれば、そもそも問題設定が人工的だったことになる。
Wikipedia で非存在が予想(?)されている例は
PSL(2,16)ではなくPSL(2,16):2という位数8160の群ですね。
これは S_17の部分群で、17個の元に推移的に作用する群。
291:１３２人目の素数さん
19/10/27 10:16:52.35 ek6S6+eD.net
ラングランズだとか非可換類体論だとか散々言い古されてきた話ですね。
このような問題を最も熱心に発展させてきた数学者こそ最近亡くなられた志村五郎氏。
約60年前の論説
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
には、気鋭の数学者の問題意識・見通しが書かれてある。
しかし、志村氏のちくまの本に書いてあったと思うが、単にアーベル拡大であっても
構成はそんなにうまくはいかない、問題も自然じゃないから「すべて」には拘らなくなったとのこと。
そもそも最も心血を注いできた問題にはラングランズの名が冠されている
（その経緯など詳しいことは知らないが）いわばおいしいところを
持っていかれた形であり、それは今後ラングランズ・プログラムを完成させることになる
研究者にしても同じだろう。
自分の先生は、「ラングランズなんて」「あんなセンスのない数学者」「見た目は立派だが」
みたいに悪印象で語っていた笑
292:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:05:56.30 EUeYkluT.net
>>250 追加
類体論の一般化には、下記３つあって
1つは、the Langlands correspondence
1つは、anabelian geometry
1つは、higher class field theory
anabelian geometry が出てくるのが面白。IUTに関連
Langlands programは、
”・・to non-abelian extensions. This generalization is mostly still conjectural. For number fields, class field theory and the results related to the modularity theorem are the only cases known.”
とあるね。the modularity theorem＝谷山?志村予想だね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Modularity theorem
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
谷山?志村予想
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Class field theory
(抜粋)
In mathematics, class field theory is the branch of algebraic number theory concerned with the abelian extensions of number fields, global fields of positive characteristic, and local fields.
The theory had its origins in the proof of quadratic reciprocity by Gauss at the end of 18th century. These ideas were developed over the next century, giving rise to a set of conjectures by Hilbert that were subsequently proved by Takagi and Artin.
These conjectures and their proofs constitute the main body of class field theory.
つづく
293:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:17:51.39 EUeYkluT.net
>>259
ID:ek6S6+eDさん、どうも。スレ主です。
(引用開始)
つまり小さい基礎体で与えられたガロア群を持つ拡大の存在が言えれば
それを拡大しても際限なく同じガロア群を持つ拡大が得られる。
それで「小さい基礎体上で構成した方が価値が高い」
という考えが生まれ、「Q上で構成する」という問題意識が生まれたのではなかろうか？
(引用終り)
どうも
専門的になると、私ら素人にはよく分かりませんが
ともかく、Ｑ上というのは基本というか、Ｑが応用上も大事な話ですよね
「類体論の一般化
加藤 和也 数学/40 巻 (1988)」
”代数体が整数論において研究の対象とされる理由は,ひとつには有理数体が昔から人間にとつて
親しみ深い対象であり,有理数体を考察していけば自然にその有限次拡大である代数体に考察が及
んだからである”
(引用開始)
Wikipedia で非存在が予想(?)されている例は
PSL(2,16)ではなくPSL(2,16):2という位数8160の群ですね。
これは S_17の部分群で、17個の元に推移的に作用する群。
(引用終り)
なるほどね
これ（もし非存在だとして）の証明は
5次方程式に解の公式がないという話の類似かもしれませんね
294:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:28:43.70 EUeYkluT.net
>>260
ID:ek6S6+eDさん、どうも。スレ主です。
>ラングランズだとか非可換類体論だとか散々言い古されてきた話ですね。
>このような問題を最も熱心に発展させてきた数学者こそ最近亡くなられた志村五郎氏。
なるほど
(引用開始)
約60年前の論説
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
には、気鋭の数学者の問題意識・見通しが書かれてある。
しかし、志村氏のちくまの本に書いてあったと思うが、単にアーベル拡大であっても
構成はそんなにうまくはいかない、問題も自然じゃないから「すべて」には拘らなくなったとのこと。
(引用終り)
”単にアーベル拡大であっても 構成はそんなにうまくはいかない”
”問題も自然じゃないから「すべて」には拘らなくなった”
ですか。
私ら、素人のヤジウマですが、でも、プロはそれがメシの種なんでしょうね
>そもそも最も心血を注いできた問題にはラングランズの名が冠されている
>（その経緯など詳しいことは知らないが）いわばおいしいところを
>持っていかれた形であり、それは今後ラングランズ・プログラムを完成させることになる
>研究者にしても同じだろう。
まあ、経緯は、私ら素人には、分かりませんが（＾＾
>自分の先生は、「ラングランズなんて」「あんなセンスのない数学者」「見た目は立派だが」
>みたいに悪印象で語っていた笑
なるほどね
でも、ラングランズ先生も証明なしの大風呂敷だけを吹きまくるみたいなところでしょうかね？
佐藤幹夫先生みたく、証明を付けるお弟子さんがいればよかったのかも
外からみれば、プロのメシの種として、ラングランズ先生のほら話（そういうホラの数学者は少ないし）に喜んで乗ったのでは？（＾＾
295:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:30:17.87 EUeYkluT.net
>>261
つづき
Generalizations of class field theory
There are three main generalizations, each of great interest on its own. They are: the Langlands program, anabelian geometry, and higher class field theory.
Often, the Langlands correspondence is viewed as a nonabelian class field theory. If/when fully established, it would contain a certain theory of nonabelian Galois extensions of global fields.
However, the Langlands correspondence does not include as much arithmetical information about finite Galois extensions as class field theory does in the abelian case.
It also does not include an analog of the existence theorem in class field theory, i.e. the concept of class fields is absent in the Langlands correspondence.
There are several other nonabelian theories, local and global, which provide alternative to the Langlands correspondence point of view.
Another generalization of class field theory is anabelian geometry which studies algorithms to restore the original object (e.g. a number field or a hyperbolic curve over it) from the knowledge of its full absolute Galois group of algebraic fundamental group.[3]
Another natural generalization is higher class field theory. It describes abelian extensions of higher local fields and higher global fields.
The latter come as function fields of schemes of finite type over integers and their appropriate localization and completions.
The theory is referred to as higher local class field theory and higher global class field theory. It uses algebraic K-theory and appropriate Milnor K-groups replace K_{1}}K_{1} which is in use in one-dimensional class field theory.
(引用終り)
つづく
296:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:30:44.74 EUeYkluT.net
>>264
つづき
”The inverse Galois problem asks what groups can arise as fundamental groups (or Galois groups of field extensions).
Anabelian geometry, for example Grothendieck's section conjecture, seeks to identify classes of varieties which are determined by their fundamental groups.[5]”
だとか
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Etale fundamental group
(抜粋)
The etale or algebraic fundamental group is an analogue in algebraic geometry, for schemes, of the usual fundamental group of topological spaces.
Contents
1 Topological analogue/informal discussion
2 Formal definition
3 Examples and theorems
3.1 Schemes over a field of characteristic zero
3.2 Schemes over a field of positive characteristic and the tame fundamental group
3.3 Further topics
Further topics
From a category-theoretic point of view, the fundamental group is a functor
{Pointed algebraic varieties} → {Profinite groups}.
The inverse Galois problem asks what groups can arise as fundamental groups (or Galois groups of field extensions).
Anabelian geometry, for example Grothendieck's section conjecture, seeks to identify classes of varieties which are determined by their fundamental groups.[5]
つづく
297:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:32:42.26 EUeYkluT.net
つづき
分岐（Ramification）の話
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Algebraic number field
(抜粋)
In mathematics, an algebraic number field (or simply number field) F is a finite degree (and hence algebraic) field extension of the field of rational numbers Q. Thus F is a field that contains Q and has finite dimension when considered as a vector space over Q.
The study of algebraic number fields, and, more generally, of algebraic extensions of the field of rational numbers, is the central topic of algebraic number theory.
Ramification
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
Schematic depiction of ramification: the fibers of almost all points in Y below consist of three points, except for two points in Y marked with dots, where the fibers consist of one and two points (marked in black), respectively. The map f is said to be ramified in these points of Y.
Ramification, generally speaking, describes a geometric phenomenon that can occur with finite-to-one maps (that is, maps f: X → Y such that the preimages of all points y in Y consist only of finitely many points): the cardinality of the fibers f-1(y) will generally have the same number of points, but it occurs that, in special points y, this number drops. For example, the map
C → C, z → zn
has n points in each fiber over t, namely the n (complex) roots of t, except in t = 0, where the fiber consists of only one element, z = 0.
One says that the map is "ramified" in zero. This is an example of a branched covering of Riemann surfaces.
つづく
298:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:33:18.76 EUeYkluT.net
つづき
This intuition also serves to define ramification in algebraic number theory. Given a (necessarily finite) extension of
299:number fields F / E, a prime ideal p of OE generates the ideal pOF of OF. This ideal may or may not be a prime ideal, but, according to the Lasker?Noether theorem (see above), always is given by pOF = q1e1 q2e2 ... qmem with uniquely determined prime ideals qi of OF and numbers (called ramification indices) ei. Whenever one ramification index is bigger than one, the prime p is said to ramify in F. The connection between this definition and the geometric situation is delivered by the map of spectra of rings Spec OF → Spec OE. In fact, unramified morphisms of schemes in algebraic geometry are a direct generalization of unramified extensions of number fields. Ramification is a purely local property, i.e., depends only on the completions around the primes p and qi. The inertia group measures the difference between the local Galois groups at some place and the Galois groups of the involved finite residue fields. つづく
300:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:34:53.72 EUeYkluT.net
>>266
つづき
An example
The following example illustrates the notions introduced above. In order to compute the ramification index of Q(x), where
f(x) = x^3 - x - 1 = 0,
at 23, it suffices to consider the field extension Q23(x) / Q23. Up to 529 = 232 (i.e., modulo 529) f can be factored as
f(x) = (x + 181)(x^2 - 181x - 38) = gh.
Substituting x = y + 10 in the first factor g modulo 529 yields y + 191, so the valuation |?y?|g for y given by g is |?-191?|23 = 1. On the other hand, the same substitution in h yields y2 - 161y - 161 modulo 529. Since 161 = 7?×?23,
|y|h = √?161?23 = 1 / √23.
Since possible values for the absolute value of the place defined by the factor h are not confined to integer powers of 23, but instead are integer powers of the square root of 23, the ramification index of the field extension at 23 is two.
The valuations of any element of F can be computed in this way using resultants. If, for example y = x^2 - x - 1, using the resultant to eliminate x between this relationship and f = x^3 - x - 1 = 0 gives y^3 - 5y^2 + 4y - 1 = 0.
If instead we eliminate with respect to the factors g and h of f, we obtain the corresponding factors for the polynomial for y, and then the 23-adic valuation applied to the constant (norm) term allows us to compute the valuations of y for g and h (which are both 1 in this instance.)
つづく
301:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:35:37.30 EUeYkluT.net
つづき
Dedekind discriminant theorem
Much of the significance of the discriminant lies in the fact that ramified ultrametric places are all places obtained from factorizations in Qp where p divides the discriminant.
This is even true of the polynomial discriminant; however the converse is also true, that if a prime p divides the discriminant, then there is a p-place which ramifies.
For this converse the field discriminant is needed. This is the Dedekind discriminant theorem. In the example above, the discriminant of the number field Q(x) with x^3 - x - 1 = 0 is -23, and as we have seen the 23-adic place ramifies.
The Dedekind discriminant tells us it is the only ultrametric place which does. The other ramified place comes from the absolute value on the complex embedding of F.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
分岐 (数学)
(抜粋)
数学における分岐 (ramification) とは、例えば多価関数としての平方根が零点から符号の異なる二つの枝に分かれているような意味で、「枝分かれ」することをいう。
またその逆に、例えばある点で退化しているような被
302:覆写像により複数のファイバーが合流するような場合も（逆の視点から見れば枝分かれしているので）分岐という。 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Schematic_depiction_of_ramification.svg/320px-Schematic_depiction_of_ramification.svg.png 系統的に分岐を図示：Y 上のほとんど全ての点のファイバーは、3個の点から構成される。 しかし例外は、Y のドットでマークした 2か所の点では、ファイバーがそれぞれ 1つと 2つの点からなる。 写像 f は Y のこれらの点で分岐するといわれる。 目次 1 複素解析 2 代数トポロジー 3 代数的整数論 3.1 Q の代数拡大 3.2 局所体 4 代数学 5 代数幾何学 つづく
303:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:36:12.54 EUeYkluT.net
>>269
つづき
代数的整数論
Q の代数拡大
「ガロア拡大での素イデアルの分解」も参照
代数的整数論での分岐は、ある素イデアルへの素数の繰り返しの分解を意味する。R を代数体 K の整数環とし、P を R の素イデアルとする。各々の K の体の拡大 L に対し、L の中の T の整閉包 S と S のイデアル PS とを考えることができる。PS は素であるかどうか分からないが、[L:K] を有限とすると、素イデアルの積
P1e(1) ? Pke(k)
となる。ここに Pi はそれぞれ S の異なる素イデアルである。すると P が L で分岐しているとは、ある i に対して e(i) > 1 であるときとを言う。言い換えると、P が L で分岐するとは、分岐指数 e(i) が 1 より大きな Pi が存在することを言う。全ての i に対して、e(i) = 1 の場合を不分岐と言う。
同値な条件としては、S/PS が零でない冪零元を持つことである。べき零元は有限体の積ではない。リーマン面との類似は、19世紀に既にリヒャルト・デーデキント (Richard Dedekind) とハインリッヒ・ウェーバー（英語版） (Heinrich M. Weber) が指摘していた。
つづく
304:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:36:45.86 EUeYkluT.net
>>269
つづき
分岐は、相対判別式（英語版）(relative discriminant)により K にエンコードされ、相対差イデアル（英語版）(relative different)により L にエンコードされる。相対判別式は K の整数環のイデアルであり、P で割りきれることと、P を割る S のイデアル Pi が存在し分岐することをは同値である。
相対差イデアルは L の整数環のイデアルであり、Pi が分岐するとき、S の素イデアル Pi で割り切れる。
分岐指数 e(i) が全て P の標数 p と互いに素であるときを、分岐が順 (tame) と言い、そうでない場合を激 (wild) と言う。この条件はガロア加群の理論に重要である。デデキント整域の有限生成なエタール拡大 B/A が順であることと、トレース Tr: B → A が全射であることとは同値である。
局所体
詳細は「局所体の分岐（英語版）」を参照
数体での分岐のさらに詳しい分析は、局所的な問題であるので、p-進数の拡大を使い進めることができる。局所的な場合には、基本的にはどのくらいガロア群が計量から動くかを問うことで、分岐を測る量がガロア拡大に対して定義される。
分岐群（英語版）の列が定義され、とりわけ、暴 (wild) 分岐が具体化される。つまり、幾何学的な類似を超えた意味を持っている。
(引用終り)
以上
305:１３２人目の素数さん
19/10/27 12:44:29.56 ek6S6+eD.net
スレ主さんは貼りまくってるけど
「正規部分群を理解していない」「円分体のガロア群を誤解している」
「ガロアの基本定理さえ理解していない」という話が出てますね。
まずは基礎からでしょう。それをやらずに高度な話を試みても虚しいでしょ？
>>243では4大トンデモスレの一つに認定されちゃってますよ。
306:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:53:02.02 EUeYkluT.net
>>263 補足
>でも、ラングランズ先生も証明なしの大風呂敷だけを吹きまくるみたいなところでしょうかね？
>佐藤幹夫先生みたく、証明を付けるお弟子さんがいればよかったのかも
>外からみれば、プロのメシの種として、ラングランズ先生のほら話（そういうホラの数学者は少ないし）に喜んで乗ったのでは？（＾＾
私ら、アマですから、論文書いてそれでメシを食うという立場にはない
まあ、このスレに来ている人も、ほとんど�
307:ﾍそれでしょう 「論文書いてそれでメシを食う」： ・もちろん、未解決の有名問題を解決するホームラン論文なら問題ないでしょうけど （なんとか賞を貰えるとかの） ・論文の大半は、ある分野のニッチな結果だと思うのですが そういう論文を人に評価してもらおうとすると、「”ラングランズ”（とか分り易いキーワード）と関連しています」という説明が分り易い ・それで、みなさん、”ラングランズ”の名前に乗ったのかも 余談ですが、私ら、素人ですから、数学だけを特別視するつもりもないのです 物理や化学と横並びです ですが、物理や化学の基礎が数学でもあるのです 別に、おっちゃんみたく、数学の論文を書くつもりもない 趣味と実益を兼ねては居ます ちょっと上のレベルまでやっておけば、下のレベルの話は理解しやすい 逆もまた真で、下のレベルのみが必要だとしても、少し上のレベルまでやっておく方が、見通しもよく応用もきく 昔、”猫”さんというコテハンの人が、意識が高く「自分の数学を作る」みたいなことを、このスレで言われていましたが 私ら、素人ですから、意識のレベルが違いましたね まあ、そういう人もいるのでしょうね（プロとして、「自分の数学を作」って、論文書いて、それをメシの種にしていくという人も）
308:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:56:15.31 EUeYkluT.net
>>272
そう慌てないで
それもやりますよ
ガロア理論に関連したところ
但し、自分の趣味主体でね
そもそも、大学でも、半年から１年かけるでのでしょ
そう慌てないで
309:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 13:10:53.74 EUeYkluT.net
>>272
ID:ek6S6+eDさん、あなたはレベル高そうだがから
人に要求してばかりじゃなく、自分の書きたいことを書いて見てはいかが？
そもそも、５ＣＨには、スレ主（管理者）がいないのが基本だし
310:１３２人目の素数さん
19/10/27 13:26:32.49 Y1bY1Qu4.net
おっちゃんです。
>>212の
>ガロアの逆問題のことが書かれているテキストも全く知らない。
について、再度調べたらスレ主の Cox の本があったようだが、これは持っていない。
この Cox の本のことが出て来てスレ主と語っていたとき、無意識に古典的ガロア理論について語ったかもは知れないが、
これを除くと意識的に古典的ガロア理論を語った覚えや記憶は殆どない。
>>205で題名は伏せたが、現時点で私が読んだことがある環や体の代数の本は主に現代数学概説Ⅰ。
内容的には集合論なども含めて、古典的ガロア理論を除けば、大まかな代数のことがまとまっていていい本だ。
ただ、現代的に見たら、代数の詳細なことは書かれていない。
まあ、最近の数論は細分化していて、研究も代数的手法が絶対的とは限らないようだが。
1次元ルベーグ測度が+∞の実数体Rや2次元ルベーグ測度が+∞の複素数体Cの数論的な研究に、
古典的ガロア理論が使えるとは余り思えない。実数か複素数に収束するベキ級数
f(X)＝Σ_{k=0,1,2,…,+∞}( a_k・X^k ) ( (∀k∈N a_k∈R)∨(∀k∈N a_k∈C) )
についての方程式 f(X)＝0 のガロア理論を古典的ガロア理論と同様に作れればいいが、
有限と無限は違うから、単純に古典的ガロア理論をきれいな形に拡張出来るとも思えない。
単に代数だけでなく、必ずしも古典的解析に限らず、実解析などの近代的解析も含めた解析的手法、
或いは(少なくとも数論幾何の意味ではない)幾何的手法は欠かせないだろうな。
311:{}
19/10/27 15:20:59.05 tnQkUbav.net
>>272
>「正規部分群を理解していない」
>「円分体のガロア群を誤解している」
>「ガロアの基本定理さえ理解していない」
>という話
全部事実
「部分群Ｈ
312:がgHg-1と同型なら正規部分群」 （任意の部分群が正規部分群ｗ） 「次数ｎの円分多項式のガロア群はZ/nZ」 （乗法と加法を取り違えｗ） 「HがGal(L/K)の部分群だからといって H=Gal(L/M)となる体Mが存在するとは限らない」 （ガロア理論の基本定理を全面否定ｗ） こんなテイタラクでルイタイロンなんか到底無理ｗ
313:{}
19/10/27 15:23:03.57 tnQkUbav.net
>>273
＞私ら、素人ですから、（数学は）物理や化学と横並びです
数学で初歩的な間違いを繰り返すようじゃ
物理や化学の知識も大いにあやしいもんだｗ
相対論とか真っ向から否定しそうだｗｗｗ
314:{}
19/10/27 15:24:47.37 tnQkUbav.net
>>274
>そう慌てないで
この言葉がでたら1が理解できる範囲を超えてきた証拠ｗ
315:{}
19/10/27 15:30:04.30 tnQkUbav.net
>>275
馬鹿の1相手に数学の話をするヤツはいないよｗ
馬鹿が知ったかぶりで書くことの
揚げ足（初歩的であればあるほどいい）をとるのが
このスレッドの楽しみ
馬鹿だけがわかってない
なんたって４大トンデモスレの筆頭だからな
他は統合失調症（病気じゃ仕方ない）とか
文系（そもそも算数レベルの知識しかない）とかだから
情状酌量の余地があるが、
ここの1は国立大学の工学部卒（自称）で
このテイタラクだからヒドすぎるｗｗｗ
316:{}
19/10/27 15:36:01.81 tnQkUbav.net
>>276
オツには誰も訊いてない
317:{}
19/10/27 15:45:32.87 tnQkUbav.net
形式概念分析は
「集合はオブジェクトの集まり」（｛｝は一重）
くらいのナイーブな理解しかない奴でも分かる点で
ここの1や安達にはいいネタだろう
ついでにいえば文系・理系に限らず
論理学について知っとくことは悪くない
とくにタブローの方法を知ることはお勧めだ
証明可能な論理式はこの方法で証明できる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
注：述語論理においてタブローの方法が証明「アルゴリズム」でないのは
証明できない論理式の場合、手続きが終了しないことがあるからである
318:１３２人目の素数さん
19/10/27 16:25:07.90 O7bovX6U.net
>>274
>そもそも、大学でも、半年から１年かけるでのでしょ
>そう慌てないで
最初のガロアスレ立ててから何年になると思ってるんだｗ
当時の中学生でさえもう理解してるぞｗ
319:{}
19/10/27 16:34:01.10 tnQkUbav.net
>>272
＞まずは基礎からでしょう。それをやらずに高度な話を試みても虚しいでしょ？
基礎で面白がれない１は、高度な話の面白みもわからない
(Z/nZ)×とか、算数レベルでも面白いけどな
n=10の場合とか
九九
1の段の1桁目 1,2,3,4,5,6,7,8,9
3の段の1桁目 3,6,9,2,5,8,1,4,7
9の段の1桁目 9,8,7,6,5,4,3,2,1
7の段の1桁目 7,4,1,8,5,2,9,6,3
1の段と9の段、3の段と7の段が、倒置になってる
他の段は当たり前だが1~9までそろわない
2の段の1桁目 2,4,6,8,0,2,4,6,8
4の段の1桁目 4,8,2,6,0,4,8,2,6
8の段の1桁目 8,6,4,2,0,8,6,4,2
6の段の1桁目 6,2,8,4,0,6,2,8,4
5の段の1桁目 5,0,5,0,5,0,5,0,5
320:{}
19/10/27 16:36:14.64 tnQkUbav.net
>>283
３年間くらいサボってたからね
あれは１にとって全く無駄な時間だった
321:{}
19/10/27 16:46:02.50 tnQkUbav.net
１はまず身の丈にあった数学について語ろう
例えば自分の仕事で使った数学とか
ガロア理論は忘れろ どうせ仕事でも使ったことなかろうｗ
322:１３２人目の素数さん
19/10/27 20:42:27 ek6S6+eD.net
>>259
>Wikipedia で非存在が予想(?)されている例は
よく読んだら
"known
323: to be realizable over Q" の否定だから、非存在を予想してるわけじゃなくて 「多分、（現時点で計算上）存在が知られていない」 くらいの意味でしょうかね。 失礼しました。m(__)m もともとスレ主が言い始めた話ですけどね。
324:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/27 20:48:56 tnQkUbav.net
>>287
1は英語はもとより日本語も正しく読めない馬鹿だからｗ
325:１３２人目の素数さん
19/10/27 20:57:27 ek6S6+eD.net
いやでも may not be realizable の意味なら、非存在を予想してるのかな？
326:１３２人目の素数さん
19/10/27 21:01:05 ek6S6+eD.net
>>288
どう思われます？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
327:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/27 21:03:09 tnQkUbav.net
予想は所詮予想
328:１３２人目の素数さん
19/10/27 21:06:00 ek6S6+eD.net
非存在が証明できれば結構な論文にはなりますね。
多分、もう誰か挑戦してるかもしれませんが。
クロネッカーウェーバーの定理の証明は読まされたことありますが
分岐素数の集合が持つべき性質から拡大体が限定される
（円分体と一致せざるを得ない）というような
精密な議論を要するかなり大変な証明でしたよ。
非存在を証明するというのも、同じような、それ以上の
大変な証明になるのでは。
329:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/27 21:07:45 tnQkUbav.net
>>292
＞クロネッカーウェーバーの定理の証明・・・
円分多項式のガロア体の自己同型も
わかってない馬鹿には到底無理
330:１３２人目の素数さん
19/10/27 21:12:58.02 ek6S6+eD.net
わたしは脱ガロア理論で行こうと思います。
ガロア理論を使って導ける ガロア理論を使わなくても導ける
ことがあるとして、それは結局背後ではつながってるのだろうけど
使わない側から接近した方がいいことだってあるかもしれない。
331:１３２人目の素数さん
19/10/27 22:10:00.68 ek6S6+eD.net
簡単な例を一つ挙げますか。
ピタゴラス三角形（a^2+b^2=c^2をみたす整数辺を持つ直角三角形）
の鋭角が無理数度であることは
(a/c+bi/c)^n=1をみたす自然数nが存在するような
a/c+bi/c∈Q(i)は(1の4乗根を除いては）存在しない
ということと同値で、それは円分体のガロア群の計算から導ける
ということを半年くらい前に書きましたが
考えてみるともっと単純に、1のn乗根は代数的整数だが
a/c+bi/cは代数的整数ではない、ということだけから分かることですね。
既約分数の形にしたとき分母に自明でないイデアルが現れるので、いくらかけても消えようがない。
背後ではどうつながってるのか？
円分体のガロア群の計算には円分多項式のQ上での既約性を使いますが
その証明にはEisensteinの規準を使い
それは結局整数性・素数の性質を使っている
という点でつながってると言えるだろう。
つまらなかったらすみません。
332:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:32:36.16 ivC57rPE.net
>>260 補足
一応、URLだけでなく、キーワード検索にかかるように、主要な事項を引用しておく
私は、そういう主義なので
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学/11 巻 (1959-1960) 4 号/書誌
保型函数と整数論I
志村 五郎
(抜粋)
§1.まえがき.
虚数乗法論の歴史をふりかえってみるとぎ,わ
れわれは大体次のような図式を書くことができ
る1).
円分体の整数論
↓
楕円函数の虚数乗法論
↓
類体論
↓
高次元Abe1多様体の虚数乗法論
↓
?
この図式の意味は次のごとくである.類体論は,
円分体の理論や楕円函数の虚数乗法論をVorbild
として完成されたのであるが,類体論以後の,高
次元Abel多様体の虚数乗法論は,何を産み出す
であろうか.それを疑問符?で表わしたのである.
われわれは,より単純に,‘ 虚数乗法論とは何か'
という質問を発することができる.代数体のAbe
拡大を解析函数の特殊値で生成する理論でlあると
一応いうことはできる.それは誰でも知っている。
しかし,‘Abe1体を構成する'とはいったいどう
いう意義をもつか?この意義は案外理解されに
くいことかもしれない.実際‘構成する'ことの
内容はいろいろあって,一口にはいえないのであ
るが,ここではただ,‘ いかに構成しているかとい
う機構'の中に多分に重要性があるということに
注意したい.このことは,将来への発展を考える
ときによりよく理解されるであろう.すなわち,
その機構のわれわれに暗示するものが重要なので
ある8ここにわれわれは,類体論の枠を越えたも
のをも発見しうるはずである.この暗示の最もよ
い一例は谷山[4]である.そこでは,虚数乗法と,
多様体のζ函数の理論との切り離せない関係の中
において,量指標のL函数が全く新しい立場で研
究されている.しかも,問題をAbel多様体とは
独立に定式化する試みがなされているのである．
これは虚数乗法論の暗示している未知の大きな領
域への一つの道である.
つづく
333:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:33:07.07 ivC57rPE.net
>>296
つづき
さて,この未知の領域へのもう一つの道がある。
それが‘modular対応の理論'である.この理論
の内容とする所もまた広いのであるが,たとえば
‘非Abe1的なGalois拡大における相互律'を暗
示するものをその中に見出すことができる.この
論説の目的は,modular対応の理論を中心とし
て,関連する多くの問題についての解説と展望で
ある.上の疑問符?に対する一つの出発点を与え
ようという意図にほかならない.
Modular対応の理論は,それのみを解説する
こともできるが,やはり虚数乗法論を背景とした
とぎに,よりよく理解されると思われるので,わ
れわれは,一般的な考察に次いで,まず虚数乗法
論を概観することにする.それがこの第1部の内
容である。
つづく
334:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:33:32.27 ivC57rPE.net
>>297
つづき
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学/13 巻 (1961-1962) 2 号/書誌
保型函数と整数論II
志村 五郎
(抜粋)
この標題で1を書いてから,大分時間がたった.
その間に,筆者の基本的な考え方に変化はなかつ
たが,これからの話の進め方は全然あらためるこ
とにした.はじめの予定では,1に続いて,虚数乗
法をもつ楕円曲線のζ 函数が量指標をもつ五函
数で表わされることを示し,それから保型函数に
うつるつもりであったが,そのように書いていて
は,多くの紙数を費やして,読者が最後の目標に
達する前に疲れてしまうということがあるかもし
れない.それゆえ,虚数乗法については,1の範
囲で打ち切って,ただちに保型函数の一般論から
modular対応の理論にはいることにする1).そし
て,`証明'はなるべくはぶいて,重要な問題と考
え方をのべることを主眼とした.したがって,1
とは調子も変わり,そのために,不親切で非教育
的であるとのそしりを受けるかもしれないが,そ
れもやむを得ない.読者のおゆるしをこう次第で
ある.
§8. 保型函数.
§10. Modular対応.
§11. 代数対応としてのmodular対応.
§12. Modular対応の合同関係式12).
§13. GNのζ 函数.
§15. Galois拡大における相互律.
§16.数論的なFuchs群.
§17. 高次の尖点形式.
つづく
335:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:33:56.23 ivC57rPE.net
>>298
つづき
§18. 多変数の保型函数,保型型式一むすび.
これまで語つて来たのは,すべて,複素1次元
の上半平面のFuchs群に関する話である.多変
数の保型函数や保型�
336:`式を考えるならば,1変数 のときの問題はすべて多変数の場合においても問 題になる.ここで,われわれの対象とする範囲は, ほとんど限りなく広がっていく.その枠を一応広 い意味での‘ 代数群の数論'という言葉でよぶこ ともできるであろう.それでは不明確であるとい うならば,‘ 代数群に関連するあらゆる種類のζ 函数を問題にすること'といういい方も考えられ る21).より広い意味の‘ 代数群の数論'について は,新たな論説に期待して,ここでは,今まで考 えて来た思想に近い範囲だけを問題にしよう. たとえばK3 曲面と呼ばれているものなどである26)。それらに 対しては,まず,虚数乗法論の類似を求めること が第一の問題となる.それからもちろん,今まで 考えて来た種類の問題も. われわれは,この論説を,類体論的発想からは じめて,それをかなり強く意識しながら書いて来 た.その理由の一つは,そこから出発しても,‘ 自 然に'ここにのべた領域にはいつて来るというこ とを示したかつたからであるが,いまや,ここに 開けている数論の広大な領域を,そのような発想 の枠の中に収めることは不可能である.われわれ がのべたのは,単なる一つのプログラムに過ぎず, 関連する多くの興味ある話題27)にふれなかつたこ とを思えばなおさらである.しかも,その一つの プログラムの範囲においても,われわれは,数論 の一つの重要な発展を期待してよいと思われる. そして,重要さにほとんどつねにつきまとうかの 如く考えられている困難を恐れて,この可能性を ただ遠くからのみ眺めているべきではないのであ る. (引用終り) 以上
337:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:43:03.75 ivC57rPE.net
>>289
>いやでも may not be realizable の意味なら、非存在を予想してるのかな？
当然、そう読みました
おそらく、手計算を越えて、
コンピュータの群論計算の探索で
かなり大きな領域まで見つかっていないのでしょうね
あと、なにか非存在を予想させる兆候があるのかもしれませんね
存在は1つ例を挙げればいいが、非存在を示すには、それなりの理論が必要になります
よくあるのが、なにか指標を作って、非存在を示す例では、その指標の理論に合わないみたいな
（因みに、よくある「ｙｙの存在定理」というのは、「ｘｘの条件で、ｙｙが存在する」みたいな記述ですね）
338:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 08:06:42.18 ivC57rPE.net
>>295
ID:ek6S6+eDさん、どうも。スレ主です。
(引用開始)
背後ではどうつながってるのか？
円分体のガロア群の計算には円分多項式のQ上での既約性を使いますが
その証明にはEisensteinの規準を使い
それは結局整数性・素数の性質を使っている
という点でつながってると言えるだろう。
(引用終り)
いや、面白そうですね
そういうのは、コテコテの抽象化された現代風の数学ではなく
アマからセミプロレベルのどこかで、報文にまとめて発表されるのが良いのでは？
ようするに、背後に存在する”数学的な構造”を、どういう”視点”あるいは”切り口”で理解するかという問題だと思います
昔いわれたのが、”牛刀を用いてニワトリを裂く”みたいなこと
大げさな抽象化されたガロア理論＝牛刀でなく、もう少し具体的な手法で”数学的な構造”を見たらどうなるか？
いまの５ＣＨ数学板は、そういう議論には向きませんね
そもそも、ちょっと複雑になると、普通に数学記号が書けない
（例：右肩のベキとか添え字、下つきの添え字も。行列もそうです）
例にはならないかもしれないが、飯高 茂先生が”友愛数”について書かれています。現代風の抽象数学とは違った視点で
URLﾘﾝｸ(www.gensu.jp)現代数学%e3%80%802019年9月号/
現代数学 2019年9月号
(抜粋)
数学の研究をはじめよう／友愛数の平行移動 前編 オイラーによる友愛数の公式 飯高 茂
339:１３２人目の素数さん
19/10/28 1
340:9:20:31 ID:oKdDSbck.net
341:１３２人目の素数さん
19/10/28 23:38:52.11 REGuTzcQ.net
>>289
>いやでも may not be realizable の意味なら、非存在を予想してるのかな？
may not be known to be realizable は意味的におかしいので
may not be realizable でしょうね。
ただ、予想とまで言えるほどのものかは読み取れませんが。
342:１３２人目の素数さん
19/10/29 10:50:50 wEoW+rwB.net
>>302
それな、もとのPDFのOCRの原文からのコピーなのよ
つまり、原文がAbe1多様体であり、五函数でありなんだよね
人は原文PDFを読めばいい
検索用には、大目に文章をコピー貼り付けしておけば
正しい術語もあるから、検索用の目的は達しているってことな
343:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/29 10:59:07 wEoW+rwB.net
コテハンが抜けたか（＾＾
>>300 追加
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Partial results
(抜粋)
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
All 13 non-Abelian simple groups smaller than PSL(2,25) (order 7800) are known to be realizable over Q. [6]
(引用終り)
なので、
” the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be be realizable over Q.”が素直な解釈では？
なお、PSL(2,16):2の何がそんなに難しいのか、さっぱり理解できませんが（＾＾；
[5] PSL(2,16)下記「not solvable, primitive, simple, irreducible, 」か
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de) A Database for Number Fields
Technische Universitat Kaiserslautern
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups of degree 17
(抜粋)
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
17T6 L(17)=PSL(2,16) 4080 24 ・ 3 ・ 5 ・ 17 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 3
さらに「"PSL(2,16)" math group」で検索すると
約 77 件 （0.47 秒）ヒットで
TOPが下記
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)
ResearchGate
A New Characterization of PSL(2, q) for Some q
Article (PDF Available)?in?Ukrainian Mathematical Journal 67(9) ・ March 2016?with?163 Reads?
Alireza Khalili Asboei
15.16University of Farhangian
seyed sadegh Salehi
10Islamic Azad University - Babol
Ali Iranmanesh
35.9Tarbiat Modares University
Download full-text PDF
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)
(抜粋)
3.1. Characterizability of the Group PSL(2, 16) by NSE. Let G be a group such that
nse (G) = nse (PSL(2, 16)) = {1, 255, 272, 544, 1088, 1920}.
344:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 11:00:28.18 wEoW+rwB.net
>>304 タイポ訂正
検索用には、大目に文章をコピー貼り付けしておけば
↓
検索用には、多目に文章をコピー貼り付けしておけば
345:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 11:03:05.33 wEoW+rwB.net
>>305 追加
参考
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
University of Kaiserslautern
(抜粋)
The University of Kaiserslautern (German: Technische Universitat Kaiserslautern, commonly referred to as TU Kaiserslautern or simply TUK, unofficially Techni
346:cal University of Kaiserslautern) is a research university in Kaiserslautern, Germany.
347:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 14:42:35.94 wEoW+rwB.net
>>305 追加
検索
「Inverse Galois problem group PSL(2,16):2 of degree 17」
約 64 件 （0.70 秒）
下記以外にも面白そうなのがあるが
下記は、”Ihara/Ribet/Serre (eds.)”と”Noriko Yui”が目にとまったので
PDF This book describes a constructive approach to the inverse ...
library.msri.org ? books ? Book45 ? files ? book45
15. Hochster/Huneke/Sally (eds.): Commutative Algebra. 16. Ihara/Ribet/Serre (eds.): Galois Groups over q. 17 ... 17. 1.2. Resolvent Polynomials. 23. Exercises. 26. Chapter 2. Groups of Small Degree. 29. 2.1. Groups of Degree 3. 30. 2.2. Groups ....
The classical Inverse Problem of Galois Theory is the existence problem for ...... PSL2(Fq): the projective special linear group of 2 × ...
Mathematical Sciences Research Institute
Publications
45 Generic Polynomials Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem
Mathematical Sciences Research Institute 2002
Christian U. Jensen
University of Copenhagen
Arne Ledet
Texas Tech University
Noriko Yui
Queen’s University, Kingston, Ontario
P4/268
Mathematical Sciences Research Institute Publications
16 Ihara/Ribet/Serre (eds.): Galois Groups over
P16
Methods of Ihara, Schneps, etc. There is an excellent MSRI Conference
Proceedings Galois Groups over Q, [IR&S], edited by Ihara, Ribet and Serre.
There the absolute Galois groups acting on algebraic fundamental groups were
extensively discussed.
P249
[IR&S] Y. Ihara, K. Ribet & J.-P. Serre (eds.), Galois Groups over
, Mathematical Sciences
Research Institute Publications 16, Springer-Verlag, 1987
348:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 15:53:35.79 wEoW+rwB.net
>>305 訂正補足
失礼しました
”PSL(2,16):2 of degree 17”に相当するのは、
下記の 17T7 ”L(17):2=<PZL(2,16)”の方ですね（＾＾；
（PSL(2,16)の２倍の群。”=<”とは？ どういうつもりかな？ ）
で
17T7の方は、#fields＝0
17T6の方は、#fields＝3
ですね。詳しくは、下記のURLをどうぞ（＾＾
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de) A Database for Number Fields
Technische Universitat Kaiserslautern
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups of degree 17
(抜粋)
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
17T6 L(17)=PSL(2,16) 4080 24 ・ 3 ・ 5 ・ 17 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 3
17T7 L(17):2=<PZL(2,16) 8160 25 ・ 3 ・ 5 ・ 17 1 not solvable, primitive, irreducible, even 0
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Group 17T7
URLﾘﾝｸ(www.lmfdb.org)
LMFDB
Galois Group: 17T7
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Group 17T6
URLﾘﾝｸ(www.lmfdb.org)
LMFDB
Galois Group: 17T6
349:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 17:11:16.31 wEoW+rwB.net
>>309 補足
degree 18、19のリストから下記抜粋
リストを眺めていたが、確かに、#fieldsの規則性を見つけることができなかった
でも、なにか規則があるかもしれない
確かに、17T7の#fields＝0は例外で
degree 18、19には、”#fields＝0”になる例は無かった
そして、おそらくこの表は、コンピュータの計算結果でしょう（数字の桁が大きいから）
多分、「17T7の#fields＝0」も、”コンピュータの計算結果では”という注釈付きで、証明がないのでは？（＾＾；
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups
Groups are ordered by their degree. Click on one of the boxes below to choose the displayed degree.
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups of degree 18
(抜粋)
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
18T377 PSL(2, 17) 2448 24 ・ 32 ・ 17 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 1
18T897 t18n897 508032 27 ・ 34 ・ 72 1 not solvable, irreducible 1
18T938 t18n938 1524096 27 ・ 35 ・ 72 1 not solvable, irreducible 2
18T952 t18n952 4572288 27 ・ 36 ・ 72 1 not solvable, irreducible 2
18T982 Alt(18) 3201186852864000 215 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 3
18T983 Sym(18) 6402373705728000 216 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17 1 not solvable, primitive, irreducible 55
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups of degree 19
(抜粋)
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
19T5 F171(19)=19:9 171 32 ・ 19 1 solvable, primitive, semiabelian, even 1
19T7 A19 60822550204416000 215 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17 ・ 19 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 8
19T8 S19 121645100408832000 216 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17 ・ 19 1 not solvable, primitive, irreducible 42
350:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 17:14:10.09 wEoW+rwB.net
>>310
> 18T982 Alt(18)
> 18T983 Sym(18)
> 19T7 A19
> 19T8 S19
交代群と対称群の表記が統一されていないが
おそらく、複数の人で手分けして作ったのかな？ （＾＾；
351:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 17:24:39.75 wEoW+rwB.net
>>310 補足
>リストを眺めていたが、確かに、#fieldsの規則性を見つけることができなかった
>でも、なにか規則があるかもしれない
>
>確かに、17T7の#fields＝0は例外で
>degree 18、19には、”#fields＝0”になる例は無かった
・#fields≠0は、一つ例を出せば良い
・しかし、#fields＝0を示すには、下記のケーニヒスベルクの「一筆書き」の不可能証明みたく、なにか理論がいるのでしょうね
でも、まだ、そういう理論は、構築されていないのでしょう（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一筆書き
(抜粋)
目次
1 ケーニヒスベルクの七つの橋問題
1.1 問題
1.2 グラフ理論との関連
1.3 他の解法
2 一筆書き可能かどうかの判定法
3 一筆書きの解法
一筆書き可能かどうかの判定法
ある連結グラフが一筆書き可能な場合の必要十分条件は、以下の条件のいずれか一方が成り立つことである（オイラー路参照）。
・すべての頂点の次数（頂点につながっている辺の数）が偶数 →運筆が起点に戻る場合（閉路）
・次数が奇数である頂点の数が2で、残りの頂点の次数は全て偶数 →運筆が起点に戻らない場合（閉路でない路）
352:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/30 07:24:58.73 Geuy+jOC.net
>>310 補足
このデータベース URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
の中に、下記のSearchのページがあって
それを使うと、最小多項式が出せる
やってみたのが下記の３例
１）は、5次でorder is = 20の例。x^5 - 2とx^5 - 10x^3 + 20x - 4などがある
２）３）は、17次でorder is = 4080とorder is = 16320の場合
”Showing 3 matches (no more matches exist in database)”などとある
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Search
(抜粋)
Specify your search using the fields below. The attributes are presented in a hierarchy (from left to right).
If you don't want to specify an attribute, just leave the field empty (max results per page will default to 1000).
１）
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Searchresults
Parameters
Group degree is = 5
order is = 20
Showing 281 matches (no more matches exist in database)
(抜粋)
Group Sigr Discriminant Factorization Polynomial
5T3 5 2450000 24 ・ 55 ・ 72 x^5 - 10x^3 + 20x - 4
5T3 1 50000 24 ・ 55 x^5 - 2
２）
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Group degree is = 17
order is = 4080
Showing 3 matches (no more matches exist in database)
(抜粋)
Group Sigr Discriminant Factorization Polynomial
17T6 1 13324913767812132... (27 digits) 230 ・ 1378 x^17 - 3x^16 - 4x^14 + 12x^13 + 24x^12 + 12x^11 - 28x^10 - 90x^9 - 74x^8 + 116x^6 + 132x^5 + 72x^4 + 28x^3 + 12x^2 + 5x + 1
３）
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Group degree is = 17
order is = 16320
Showing 5 matches (no more matches exist in database)
(抜粋)
Group Sigr Discriminant Factorization Polynomial
17T8 5 69450042659737600... (33 digits) 228 ・ 518 ・ 714 x^17 + 8x^16 - 24x^15 - 240x^14 + 350x^13 + 2912x^12 - 3724x^11 - 18728x^10 + 29285x^9 + 55120x^8 - 125812x^7 - 11816x^6 + 213248x^5 - 324520x^4 + 431680x^3 - 378416x^2 + 126212x + 4864
353:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/30 07:33:44 Geuy+jOC.net
>>309 補足
(抜粋)
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups of degree 17
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
17T7 L(17):2=<PZL(2,16) 8160 25 ・ 3 ・ 5 ・ 17 1 not solvable, primitive, irreducible, even 0
(引用終り)
これについて、Search（>>313）を使ってみると
下記で、群「L(17):2=<PZL(2,16)」では”Showing 0 matches (no more matches exist in database)
- no matching entries found:”
つまり、彼らの探した範囲では、最小多項式が見つからなかったようだ
問題は、探索した範囲なのだが、
かなり大きな範囲だと思うが、私はまだ探索範囲の記載に辿り着いていない
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Group degree is = 17
order is = 8160
Showing 0 matches (no more matches exist in database)
- no matching entries found:
354:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/30 07:40:45 Geuy+jOC.net
>>314
>問題は、探索した範囲なのだが、
>かなり大きな範囲だと思うが、私はまだ探索範囲の記載に辿り着いていない
下記がそれに近いかもしれないが
要するに、多項式の係数として、
例えば、群「L(17):2=<PZL(2,16)」で
何桁までの係数の式を調べたのか？
そこが分からない
それとあと、どういう数式ソフトのどういうアルゴリズムを使ったのかとかが、不明だ（＾＾；
でも、面白いサイトであることは確かだね
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Database Statistics
Missing polynomials
Here you can get a list of all missing polynomials. You can search on different levels:
Polynomials missing for a complete group
Polynomials with a special complex conjugation class missing
Table sizes
This is a list of all relevant tables and their current row count.
Ambiguous classes: 49.243
Blocks: 15.109
Polynomials: 4.902.274
Polynomial Coeffs: 88.894.287
Polynomial Disc Facts: 18.285.485
Quotients: 1.064.147
Groups: 4.952
Wreath Products: 2.441
Wreath Product Quots: 9.086
355:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/30 07:54:21.81 Geuy+jOC.net
>>99
> ６×７＝４２個の順列が出来上がりｗｗｗ
ご苦労さん
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups of degree 7
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
7T4 F42(7) = 7:6 42 2 ・ 3 ・ 7 1 solvable, primitive, semiabelian 105 38014691
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Group 7T4
LMFDB Link: URLﾘﾝｸ(www.lmfdb.org)
Transitive groups page of 7T4 on LMFDB
Generators:
(1,3,2,6,4,5)
(1,2,3,4,5,6,7)
Products:
Quotient of wreath products:
7T1 Xw 6T1
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Group degree is = 7
order is = 42
Showing 105 matches (no more matches exist in database)
Group Sigr Discriminant Factorization Polynomial
7T4 7 177885288000 26 ・ 33 ・ 53 ・ 77 x^7 - 14x^6 + 28x^4 - 14x^2 + 2
7T4 1 -52706752 -26 ・ 77 x^7 - 2
356:１３２人目の素数さん
19/10/30 16:56:53.83 7Ir4b7+H.net
スレ主はPSL(2,16)の意味は分かってる？
これは射影特殊線形群というやつだね。
モジュラー群 PSL(2,Z)とかと同じく
(az+b)/(cz+d)の形で作用する。
16は位数16の有限体F_16を意味する。
なんでPSL(2,16)が対称群S_17の
部分群として現れるか分かる？
16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
自分は分かったｗ
357:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/30 17:11:54.41 xePUfid4.net
>>308 追加
下記
”generic polynomials”
”Theorem 0.5.1. (Brumer) A generic polynomial for the dihedral group D5
of degree 5 over an arbitrary field K is given as follows:
f(s, t,X) = X^5 + (t ? 3)X^4 + (s ? t + 3)X^3 + (t2 ? t ? 2s ? 1)X^2 + sX + t
over K(s, t) where s and t are indeterminates.”
は、興味深いね
URLﾘﾝｸ(library.msri.org)
Mathematical Sciences Research Institute
Publications 45
Generic Polynomials
Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem
Christian U. Jensen
University of Copenhagen
Arne Ledet
Texas Tech University
Noriko Yui
Queen’s University, Kingston, Ontario
university of cambridge
Mathematical Sciences Research Institute 2002
(抜粋)
0.5. Description of Each Chapter ・・・P9
We also exhibit generic polynomials for the groups of degree 3, 4 and 5. For instance, we
have the following result:
Theorem 0.5.1. (Brumer) A generic polynomial for the dihedral group D5
of degree 5 over an arbitrary field K is given as follows:
f(s, t,X) = X^5 + (t ? 3)X^4 + (s ? t + 3)X^3 + (t2 ? t ? 2s ? 1)X^2 + sX + t
over K(s, t) where s and t are indeterminates.
We also
358:demonstrate the non-existence of a generic C8-polynomial over Q, and as a consequence get the following two examples of fixed subfields of the function field Q(s, t, u) in three indeterminates s, t, u, both with a C4-action, where one is rational and the other not: Theorem 0.5.2. (a) Let be the automorphism on Q(s, t, u) given by 略 (引用終り) 以上
359:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/30 17:20:16.66 xePUfid4.net
>>317
ID:7Ir4b7+Hさん、どうもスレ主です。
>スレ主はPSL(2,16)の意味は分かってる？
自慢じゃないが、深いところは分かっていない（＾＾；
>これは射影特殊線形群というやつだね。
>モジュラー群 PSL(2,Z)とかと同じく
>(az+b)/(cz+d)の形で作用する。
なんか聞いたことがあるような無いような
高木先生の本に書いてなかったかな？
ガウスが、楕円関数論で、モジュラーに気付いていたとか
> 16は位数16の有限体F_16を意味する。
>なんでPSL(2,16)が対称群S_17の
>部分群として現れるか分かる？
> 16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
>自分は分かったｗ
そこらの深いところは分からないが
直感的には、17が素数であって
対称群S_17に、交代群A17が正規部分群として入っていて
それとの関係かなー？
360:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/30 17:29:42.26 xePUfid4.net
>>318 文字化け注意
f(s, t,X) = X^5 + (t ? 3)X^4 + (s ? t + 3)X^3 + (t2 ? t ? 2s ? 1)X^2 + sX + t
↓
? の部分は、”－”記号なのだが、文字コードの関係で、アスキー以外が使われていたんだろう
なかなか目視では見つからないんだ
投稿前にビューをチェックすれば良いのだが
なかなかそこまで気が回らないのよ（＾＾；
361:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/30 17:38:40.83 xePUfid4.net
>>319 追加
ああ、こんなのがあるね。これか！（＾＾；
URLﾘﾝｸ(shironetsu.hatenadiary.com)
Shironetsu Blog
2018-08-14
小さな非可換単純群 - PSL(2,p)
(抜粋)
イントロ
2番目に/小さい非可換/単純群
はじめのいくつかの単純群
有限体上の特殊射影線形群 PSL(n,p)
定義
ガロアの最期の手紙
PSL(2,p)の位数
共役類を数える
単純性
まとめとこれから
有限体上の特殊射影線形群 PSL(n,p)
定義
さて順序が前後したがPSL(n,q)を定義する. 記号Ln(q)で表されることもある.
PはProjective, SがSpecial, LがLinear. nは行列のサイズでqは有限体Fq上にあることを意味する. 行列式1の行列全体のなす群SL(n,q)の中心による剰余群がこの群PSL(n,q)である.
一般論に踏み込むことはできないのでここからは専らPSL(2,p)を考える. pは奇素数としておく. この場合話は早くて, P1(Fp)＝～Fp∪{∞}に対する, 行列式が1の1次分数変換全体のなす群と考えるとよい.
たとえばp=7で
置換の巡回記法で表すとそれぞれ
fg=(04)(12)(36)(5∞)=(0426)(135∞)
になっている.
PSL(2,p)はP1(Fp)への推移的な作用で(p+1)次対称群に埋め込めるということ.
ガロアの最期の手紙
ではそれより小さい対称群への埋め込みが存在するか, というと, これこそガロアが死の直前に友人オーギュスト・シュヴァリエに宛てた手紙の中で述べた命題の内容で,
p=5,7,11の場合にしかp次対称群への埋め込みは存在しない
(位数pの元が存在することからそれ未満は不可能だとすぐに分かる.).
Galois' last letter
URLﾘﾝｸ(www.neverendingbooks.org)
一応この3つ組を調べること, 特に指標表を書くこと(PSL(2,5)は5次交代群なのですでにやったが)を目標として書き始めたのがこの記事. これもまたマッカイ対応のひとつらしい.
保形形式の理論をはじめ, すごい数学がここから広がっているらしいが地道に始める.
PSL(2,p)のよいところは簡単な数論で調べられるところ.
PSL(2,p)の位数
略
(引用終り)
以上
362:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/30 18:00:20.75 xePUfid4.net
>>321 補足
＞たとえばp=7で
＞PSL(2,p)はP1(Fp)への推移的な作用で(p+1)次対称群に埋め込めるということ.
＞p=5,7,11の場合にしかp次対称群への埋め込みは存在しない
＞(位数pの元が存在することからそれ未満は不可能だとすぐに分かる.).
このアナロジーでいうと
pは奇素数として
一つずらして
”PSL(2,p-1)はP1(Fp-1)への推移的な作用で(p)次対称群に埋め込める”
が、言えるのかな？
363:１３２人目の素数さん
19/10/30 19:01:20.08 w7bYM9gZ.net
17か素数であることに意味はない
16が2のベキであることに意味はある
364:１３２人目の素数さん
19/10/30 20:13:24.01 fouiZRdR.net
>>317
>なんでPSL(2,16)が対称群S_17の部分群として現れるか分かる？
>16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？
射影直線の位数
２次射影線形群は、１次元射影空間（＝射影直線）に作用する
16元からなる有限体 F16 上の射影直線は 16 + 1 点からなる。
＋１の分は無限遠点
>>319
＞そこらの深いところは分からないが
全然深くねぇよ、馬鹿ｗｗｗ
365:１３２人目の素数さん
19/10/30 20:23:21.57 fouiZRdR.net
>>322
>pは奇素数として
>”PSL(2,p-1)はP1(Fp-1)への推移的な作用で(p)次対称群に埋め込める”
正真正銘の馬鹿ｗ
「qを有限体の位数として
PSL(2,q)はP1(Fq)への推移的な作用で
P1(Fq)の位数はq+1だから
PSL(2,q)はq+1次対称群に埋め込める」
が正しい
>>323
＞16が2のベキであることに意味はある
有限体の位数は素数のベキ
馬鹿はこんな基本的なことも知らないｗｗｗ
366:１３２人目の素数さん
19/10/30 21:06:31.70 7Ir4b7+H.net
>>324
それで正解ですね。
位数2倍、4倍の群
PSL(2,16):2, PSL(2,16):4 の意味がまだ分からんのですが。
367:１３２人目の素数さん
19/10/30 21:41:18.54 7Ir4b7+H.net
有限体の項目を見たらフロベニウス自己同型群の位数は
q=p^e のとき位数eの巡回群とあるから、これと関係あるかな？
16=2^4だからぴったり4次の巡回群。
フロベニウス自己同型との合成も含めるということかな？
368:１３２人目の素数さん
19/10/30 22:34:09.73 w7bYM9gZ.net
>>327
多分それでしょ？
G:Hは大概半直積をあらわす記号。
Hの方がGに作用して交換関係を決める。
当然その作用を明示しないと意味通じないけど、空気よめばわかる時は明示しないで群の位数だけ書いたりする。
今回は位数4の群のPSL(2,16)への空気よめばわかる有名な作用なんてGal(F(16)/F(2))の作用しかない希ガス。
だいぶ遠いジャンルからのカキコであてにはならないですけど。
369:１３２人目の素数さん
19/10/30 22:53:06.65 7Ir4b7+H.net
正確に言うと、フロベニウス写像（p乗写像）は
ガロア群Gal(F_q/F_p)の生成元ですね。
G=Gal(F_16/F_2)は位数4の巡回群。
γ∈PSL(2,16),z∈P^1(F_16)
に対して、γ(z)=(az+b)/(cz+d)と作用する。
a,b,c,d∈F_16 にはガロア群Gの元σが作用し
したがって、PSL(2,16)にも作用する。
γ^σ(z)=(σ(a)z+σ(b))/(σ(c)z+σ(d))
と定めると、σ(γ(z))=γ^σ(σ(z)).
つまり（左の元を先に作用させる意味とすると）
γσ=σγ^σ が成立する。
ということから
PSL(2,16)とGal(F_16/F_2)（及びその位数2の部分群）
との半直積として、位数が4倍、2倍の群がそれぞれ得られる。
それらが
PSL(2,16):4, PSL(2,16):2 だと思う。
370:１３２人目の素数さん
19/10/30 22:54:15.99 7Ir4b7+H.net
>>328
コメントあざます。
371:１３２人目の素数さん
19/10/31 14:50:25.18 hCUXuggb.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
372:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 07:28:56.41 rcKeDs9u.net
>>325
どうも。スレ主です。
ありがとう、これか（＾＾；
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
高校数学の美しい物語 最終更新:2016/05/01
有限体（ガロア体）の基本的な話
(抜粋)
位数（要素数）が q の有限体が存在する ←→ ある素数 p と正の整数 n が存在して
373:q=p^n 有限体とは 位数が有限である体を有限体（またはガロア体）と言います。大雑把に言うと，四則演算ができる有限集合のことです。 位数が q である有限体（実は，同型を除いて一通りに定まる）を Fq，GF(q) などと表記します。 一般に，位数が素数のべき乗である有限体は，既約多項式というものを用いて構成することができます。 また，位数が素数のべき乗でないような有限体は存在しません。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%BD%93 有限体 (抜粋) 有限体（ゆうげんたい、英語：finite field）とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。 主に計算機関連の分野においては、発見者であるエヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ[1]。 有限体においては、体の定義における乗法の可換性についての条件の有無は問題にはならない。実際、ウェダーバーンの小定理と呼ばれる以下の定理 「有限斜体は可換体である」 が成り立つことが知られている。別な言い方をすれば、有限体において乗法の可換性は、体の有限性から導かれるということである。 目次 1 構成例 2 構造 3 応用 つづく
374:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 07:29:48.96 rcKeDs9u.net
>>332
つづき
構造
K を含む Fp の代数閉包を (Fp)^ とする。このとき K は、 (Fp)^ の元で、重根を持たない方程式 x^q ? x = 0 を満たすものの全体として特徴付けられる。特に位数が p^n の有限体は同型を除いて唯一つ存在する[1]。
この一意性により、位数 q の有限体を Fq または GF(q) などと表すことがある。
また、有限体 Fq と自然数 m に対し Fq の m 次拡大体は唯一つ存在し、Fq^m と同型であるということもわかる。さらに Fq^m の各元の Fq 上の最小多項式は x^q^m ? x を割り切るので、有限体の拡大はすべて分離的である。
つまり有限体は完全体である。さらに q 乗フロベニウス写像とよばれる自己同型写像
σ ： Ｆ_{q^m}→ Ｆ_{q^m}; a→ a^q
を考えると、拡大 Fq^m/Fq のガロア群 Gal(Fq^m/Fq) = AutFq(Fq^m) はフロベニウス写像で生成される。つまり、
Gal (Ｆ_{q^m}/Ｆ_q)=< σ > ={ id _Ｆ_{q^m},σ ,σ ^2,ldots ,σ ^m-1}
と表される[2]。したがって、有限体の拡大はすべて巡回拡大であるガロア拡大である。
有限体は代数的閉体でありえない。
有限体 Fq^m の元 α, αq, …, αq^m ? 1 が Fq 上のベクトル空間 Fq^m の基底をなすとき，この基底を正規基底という。正規基底は常に存在する[3]。
応用
・リード・ソロモン符号など基本的なものを含む多くの誤り検出・訂正は、GF(2)、GF(22)、GF(24)、GF(28)、GF(216) などを使う。
・AES、Camelliaなど、2000年代以降の共通鍵暗号の多くは、SボックスにGF(28) を使う。
・楕円曲線暗号は、きわめて大きな位数の有限体、たとえばGF(2400) などを使う。
(引用終り)
以上
375:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 07:37:14.61 rcKeDs9u.net
>>332 追加
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Finite field
(抜粋)
Contents
1 Properties
2 Existence and uniqueness
3 Explicit construction
3.1 Non-prime fields
3.2 Field with four elements
3.3 GF(p2) for an odd prime p
3.4 GF(8) and GF(27)
3.5 GF(16)
4 Multiplicative structure
4.1 Discrete logarithm
4.2 Roots of unity
4.3 Example: GF(64)
5 Frobenius automorphism and Galois theory
6
376: Polynomial factorization 6.1 Irreducible polynomials of a given degree 6.2 Number of monic irreducible polynomials of a given degree over a finite field 7 Applications 8 Extensions 8.1 Algebraic closure 8.1.1 Quasi-algebraic closure 8.2 Wedderburn's little theorem 8.3 Relationship to other commutative ring classes 9 See also Existence and uniqueness Let q = p^n be a prime power, and F be the splitting field of the polynomial Explicit construction Non-prime fields Given a prime power q = pn with p prime and n > 1, the field GF(q) may be explicitly constructed in the following way. One chooses first an irreducible polynomial P in GF(p)[X] of degree n (such an irreducible polynomial always exists). Then the quotient ring Relationship to other commutative ring classes Finite fields appear in the following chain of inclusions: commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ GCD domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ finite fields See also Quasi-finite field Field with one element Finite field arithmetic Finite ring Finite group Elementary abelian group Hamming space (引用終り)
377:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 07:57:00.74 rcKeDs9u.net
>>334 追加
URLﾘﾝｸ(fr.wikipedia.org)
Corps fini
(抜粋)
4 Histoire
4.1 Congruences et imaginaires de Galois
4.3 Applications theoriques
（google 英訳）
History
The theory of finite fields first develops, like the study of congruences, on integers and on polynomials, then from the very end of the nineteenth century, as part of a general theory of commutative bodies.
Congruences and imaginations of Galois
The study of the first finite fields is systematically treated, in the form of congruences, by Gauss in his Disquisitiones arithmeticae published in 1801,
but many of these properties had already been established by Fermat, Euler, Lagrange and Legendre, among others.
In 1830 Evariste Galois published28 what is considered as the founding article of the general theory of finite bodies. Galois, who claims to be inspired by Gauss's work on entire congruences, deals with polynomial congruences, for an irreducible polynomial with coefficients taken themselves modulo a prime number p.
More precisely, Galois introduces an imaginary root of a congruence P (x) = 0 modulo a prime number p, where P is an irreducible polynomial modulo p. He notes i this root and works on expressions:
a + a1 i + a2 i2 + ... + an-1 in-1 where n is the degree of P.
Retraduced in modern terms, Galois shows that these expressions form a cardinality body pn, and that the multiplicative group is cyclic (Kleiner 1999,).
He also notes that an irreducible polynomial that has a root in this body, has all its roots in it, that is, it is a normal extension of its first subfield ( Lidl and Niederreiter 1997).
He uses the identity given by what has been called since the Frobenius automorphism (Van der Waerden 1985).
In 1846, Liouville, at the same time as he published Galois' famous memoir on the resolution of polynomial equations, republished this article in his Journal
378:of Pure and Applied Mathematics. (引用終り)
379:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/11/01 07:59:45 rcKeDs9u.net
>>335
補足
仏語wikipediaだけど
commutative bodies. は、可換体
Corpsを、google 英訳では、bodiesと訳すみたい（＾＾；
380:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 08:29:03.93 rcKeDs9u.net
>>332 追加
”ガロア群Gal(Fp^n/Fp)の構造”、”Frobenius自己同型”、Frobenius写像か
URLﾘﾝｸ(biteki-math.hatena)（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
美的数学のすすめ id:TSKi
2015-05-09
有限体の構造
(抜粋)
有限体の構造といっても、その多くは、Z/pZ（pは素数）の性質を一般化したものです。したがって、よく慣れ親しんでいるものだと思います。
位数pの有限体
Z/pZは、位数pの有限体です。逆に、位数pの有限体は全てZ/pZと同型であることが知られています。
同型を除いて一つに定まる位数pの有限体をFpと記します。また、そのうち0以外の元からなる集合をF×pと記します。F×pは乗法に関して群をなします。
ガロア群Gal(Fp^n/Fp)の構造
Fp^nからFp^nへ写像として次のものを考えます。
Φ : Fp^n∋x→xp∈Fp^n
ここで、x,y∈Fp^nに対してΦ(x+y)=Φ(x)+Φ(y)が成立します。
Φは、ガロア群Gal(Fp^n/Fp)に含まれていることが分かりました。
この自己同型ΦをFrobenius自己同型といいます。そしてガロア群Gal(Fp^n/Fp)はFrobenius自己同型により生成されることが知られています。
Gal(Fp^n/Fp)={Φ,Φ2,?,Φn=1}
つまり、ガロア群Gal(Fp^n/Fp)は、位数nの巡回群であり、Frobenius自己同型がその生成元となります。
ここまで、位数がpの有限体のn次拡大を見てきましたが、位数がpmの有限体のn次拡大に関しても、上とまったく同じ議論が成り立ちます。
(引用終り)
以上
381:１３２人目の素数さん
19/11/01 08:33:36.58 rOflXXE6.net
ひどい説明www
382:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 12:12:58.78 jBvN9kSg.net
ひどい？（＾＾；
383:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/11/01 12:28:10.24 jBvN9kSg.net
>>335
独語 有限体
URLﾘﾝｸ(de.wikipedia.org)
Endlicher Korper
(抜粋)
Inhaltsverzeichnis
1 Beispiel: Der Korper mit 2 Elementen
2 Klassifikation endlicher Korper
3 Multiplikative Gruppe und diskreter Logarithmus
4 Weitere Beispiele
4.1 Der Korper mit 4 Elementen
4.2 Der Korper mit 49 Elementen
4.3 Der Korper mit 25 Elementen
5 Zur historischen Entwicklung
Zur historischen Entwicklung
Dass man mit Zahlen modulo einer Primzahl ?wie mit rationalen Zahlen“ rechnen kann, hatte bereits Gaus gezeigt.[1]
Galois fuhrte in die Rechnung modulo p imaginare Zahlgrosen ein, ganz so wie die imaginare Einheit {i} in den komplexen Zahlen.
Damit hat er wohl als erster Korpererweiterungen von {F}_{p} betrachtet ? wenn auch der abstrakte Korperbegriff erst 1895 durch Heinrich Weber eingefuhrt wurde und Frobenius als Erster diesen 1896 auf endliche Strukturen ausdehnte.
Daneben bzw. zuvor hat offenbar Eliakim Hastings Moore 1893 bereits endliche Korper studiert und den Namen Galois field eingefuhrt.[2]
（google 英訳）
On the historical development
Gauss had already shown that one can count on numbers modulo a prime "as with rational numbers". [1] Galois introduced into the calculation modulo p imaginary numbers, much like the imaginary unit {i} in the complex numbers.
He was probably the first body extension of {F}_{p} - although the abstract concept of the body was first introduced by Heinrich Weber in 1895 and Frobenius was the first to introduce it in 1896 extended to finite structures.
In addition, or before apparently Eliakim Hastings Moore 1893 already studied finite body and introduced the name Galois field.
(引用終り)
以上