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>>231
つづき
可換類体論のまとめ（＾＾
URLﾘﾝｸ(lemniscus.hatena)（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
再帰の反復blog
2014-07-06
類体論についてのメモ
(抜粋)
3. 類体論の主な定理
類体とは次のようなものだった。
類体についての3種類の説明:
(1)類体とは、あるmで [Im(K):Hm(L/K)]=[L:K] となるような拡大体L/Kのことである。
(2)類体とは、素イデアル(≒素数)の分解の仕方が、合同イデアル群Hによって(≒ あるmで割ったときの「余り」による類別で)判るような拡大体L/Kのことである。
(3)類体とは、アーベル拡大体L/Kのことである。
もっと短く言えば、類体とは、(1)ある等式をみたす拡大体のことであり、(2)素イデアルの分解の仕方が「余り」で判る拡大体のことであり、(3)アーベル拡大体のことである。
類体論を証明する上では、(1)を類体の定義として、
・基本定理: アーベル拡大体は類体である。
・分解定理: 類体では、素イデアルの分解の仕方は合同イデアル群Hm(L/K)によって定まる。
(特に合同イデアル群に含まれる素イデアルp∈Hm(L/K)は「完全分解」する(体の拡大次数個の異なる素イデアルに分解する))
が証明される(さらに類体論の他の結果も使って(1)と(2)と(3)が同値性が示される)。
類体は、他にもいろいろな性質を持っている。
特に重要(で証明がたいへん)なのは、同型定理、一般相互法則、存在定理など。
4. エルブランの補題の使われるところエルブランの補題は、基本定理「アーベル拡大は類体である」を証明するときに使われる。
類体の定義に戻れば、基本定理は次のような主張になる。
L/Kがアーベル拡大なら、あるmで
[Im(K):Hm(L/K)]=[L:K]
となる。
つづく