19/10/26 10:55:16.75 fHUQGPHQ.net
>>198
ID:QC0xCFfPさん、どうも。スレ主です。
ありがとう ありがとう
了解です
あなたの言っているのは、
自由度を上げると解けるって話ですね
元は
"ガロアの逆問題" （下記）：
基礎体Fと群G（非可換の場合も）が与えられたとき、拡大体Eを構成せよ
対して、
あなたの変形した問題：
群G（非可換の場合も）が与えられたとき、ある基礎体Fと拡大体Eの組が存在するか
あなたの変形した問題では、自由度が上がって、基礎体Fと拡大体Eの組合わせが1つあれば良い
それは、>>176に示したように、ガロア理論の基本定理と
ケーリー（Cayley）の定理（>>129）から、
Snを十分大きく取れば、
任意の群Gに対して、
Gal(E/F) ＝Sn （n次対称群）
体：Q ⊆ F ⊆ K ⊆ E
↓↑（ガロア対応）
群：S'⊇ Sn⊇ G ⊇{e}
から、「 K ⊆ E」の存在が示せるってことですね
”自由度を上げる”というのは、数学では、他にもいろいろありますね
整数解を求める前に、有理数解を求めるとか、代数的整数の解を求めてみるとかね
（>>45より）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
239:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:03:50.06 fHUQGPHQ.net
>>190
Fesenko先生、下記 渡邉崇
”高次元局所類体論の諸定理を I.B.Fesenko([F2]) の方法で示した”か
で、ところで、下記はOpenなのか
”今のところ素体 (有理数体 Q および有限体) に関係する体において、扱いやすい形で
Abel 拡大における Galois 群を近似する方法・すなわち類体論がいくつか知られているわ
けだが、素体によらない体で、類体論が構成され得るのか? また１世紀以上過ぎても依然
として Hilbert23 の問題の未解決問題として残っている類体の構成問題は、類体論が証明
されているすべての体上で解決できる問題なのか? など代数体の類体論が完成して、一世
紀弱が経過しているが、類体論について考えるべき問題が依然として多く残されている.”
類体論を、ガロアの逆問題（>>45）として見たとき
ガロア群がアーベルの場合は、類体論が役に立つ
では、
・ガロア群がアーベルの場合には、類体論で全て尽くされているのかどうか？
・ガロア群が非アーベルの場合は、どこまで解明されたのか？
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
雪江明彦のホームページ
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
Parshin による高次元局所類体論の構成について M2 渡邉 崇 2007年修士卒業 東北大学
目次
2 高次元局所体 7
2.1 諸定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 高次元局所体の位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 序文
1.1 概略
本修士論文は A.N.Parshin([P1]) による高次元局所類体論の主定理の証明の紹介と、そ
の論文の中で示されていない高次元局所類体論の諸定理を I.B.Fesenko([F2]) の方法で示
した、標数 p (> 0) の高次元局所類体論の証明である. 主にこの論文通じて示したいこと
は次の主定理と類体論の諸定理である.
定理 1.1 (高次元局所類体論の主定理). F を標数 p (> 0) が n 次元局所体. Ktop
n (F) を
位相的 n 次 Milnor K-group とするとき
ψF : Ktopn(F) → Gal(Fab/F)
単射連続な準同型 ψF でその image が dense となるものが存在する.
つづく
240:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:05:14.09 fHUQGPHQ.net
>>215
つづき
本論文では、まず §2 で高次元局所体の性質、§3 で K 群の性質を述べた後に、§4 で
主定理の証明方法の方針を示す. そして主定理の証明に決定的な役割を果たす Kummer
pairing（§5) と
241:Artin-Schreier-Witt pairing(§7) の非退化性を示し、最後に §8 主定理の 証明と、他の重要な存在定理などを述べる. 1.2 歴史 高次元局所類体論について、類体論の歴史について概観しながら見ていくことにする. Hilbert・高木貞治、最終的に 1925 年の E.Artin による相互写像の写像の証明によ り、まず代数体の類体論 (大域類体論) が完成した. その後解析を使わない類体論の算 術的な証明の研究が進み、Chevalley により イデールが導入され算術的類体論の証明が 完成した. その当時局所類体論は大域類体論の系として得られていたが、大域類体論と は独立して局所類体論を証明する動きが起こり、中山正・Hochschild・Tate らによる 有限群の Galois Cohomology の研究により Cohomology を用いて局所類体論が証明さ れた。またその結果を利用して局所類体論を証明してから、大域類体論を証明する方法 も見出された. その後 Cohomology を使わない局所類体論の証明方法の研究がなされ、 M.Hazewinkle([H1],[I1]) の方法. Neukirch([NE1]) の方法. Lubin-Tate([LT1]) による formal group を用いる証明方法. と現在様々な局所類体論の証明方法が知られている. (大 域類体論と局所類体論全般については例えば [KKS1]、また歴史については [A.M1] を参 照されたい.) 高次元局所体は伊原康隆による 1968 年京大数理解析研究所講究録の 「ある p 進完備な 関数体についての問題」([IH1]) の中に最初に現れたといわれている. 彼の仕事に刺激を受 けた加藤和也によって 1978 年ごろに高次元局所類体論が完成された.([K1, K2, K3]) 高次 元局所類体論の要点は、主定理が表しているように最大 Abel 拡大の Galois 群が Milnor K-group で近似されることである. 一方 A.N.Parshin は Z 上有限型既約スキームの研究 ([P2]) をしているなかで、高次元局所体が現れることを見出し、加藤和也とは独立して ほぼ同時期に高次元局所類体論を完成させたといわれている. つづく
242:{}
19/10/26 11:05:15.78 z6TBbHYr.net
>>214
＞群G（非可換の場合も）
わざわざ「非可換の場合も」と書く意味がわからん
馬鹿の考えることは人間には理解できないｗ
243:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:06:38.38 fHUQGPHQ.net
>>216
つづき
Parshin による類体論の証明方法 ([P1]) は、河田・佐竹による標数 p (> 0) の局所類体論の証明方法 ([KS1]) を応
用したものである. この論文で述べることであるが、Parshin による証明は主定理の証明
において表面上は Cohomology を使用しない類体論の証明方法である. 加藤と Parshin
の証明の大きな違いを述べると、Parshin の方法は K 群から最大 Galois 群の p-part へ
の写像の構成が、加藤の証明方法のように de Rham-Witt Complex を用いたりせず、
Artin-Schreier-Witt pairing を用いて、比較的容易にできる点である. その後も高次元
局所類体論について研究がなされ、Neukirch の方法を応用した I.B.Fesenko([F1, F2] に
よる方法、modified hypercohomology を用いた小屋 ([Ko1]) による方法が知られている.
(高次元局所体・高次元局所類体論全般については [F1] や [FK1] を参照のこと.)
局所類体論の証明方法またはそのアイディアを応用して、Parshin や Fesenko など高次
元局所類体論がいくつか証明されており、局所類体論の方法で高次元局所類体論が証明で
きるのではと期待されるのだが、Lubin-Tate による方法などの応用は、今のところ良い
結果が知られておらず ([V.Z1]) 同様にして証明できるか否か不明である.
一方で局所体に対して大域体と上位の概念があるように、高次元局所体に対して高次元
大域体というものがあり、加藤和也・斎藤秀司によって高次元大域類体論が完成されてい
る. 大域類体論と局所類体論の関係のようにして、高次元大域類体論を証明した後に、そ
の系として高次元局所類体論を得るということも考えられるが、高次元局所類体論の結
果を用いずに、高次元大域類体論を証明する方法はまだ知られておらず、大域類体論の
時のように、高次元大域類体論を最初に証明してから、高次元局所類体論を証明できる
かどうかも現在わかっていない. (高次元局所類体論と高次元大域類体論全般については
[RA],[IS1],[KA1],[KA2] を参照.)
つづく
244:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:07:05.96 fHUQGPHQ.net
>>218
つづき
今のところ素体 (有理数体 Q および有限体) に関係する体において、扱いやすい形で
Abel 拡大における Galois 群を近似する方法・すなわち類体論がいくつか知られているわ
けだが、素体によらない体で、類体論が構成され得るのか? また１世紀以上過ぎても依然
として Hilbert23 の問題の未解決問題として残っている類体の構成問題は、類体論が証明
されているすべての体上で解決できる問題なのか? など代数体の類体論が完成して、一世
紀弱が経過しているが、類体論について考えるべき問題が依然として多く残されている.
(引用終り)
つづく
245:{}
19/10/26 11:07:27.79 z6TBbHYr.net
>>215
馬鹿のトンチンカン発言↓
＞類体論を、ガロアの逆問題として見たとき
＞ガロア群がアーベルの場合は、類体論が役に立つ
246:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:08:39.45 fHUQGPHQ.net
>>219
つづき
河田 敬義先生 数学1954年
「§7.結び
もともと類体論はHilbertによつて示唆
されたように,代数函数体の不分岐拡大の理論の
整数論における類似を求めようという企てから出
発した.
しかし高木先生およびArtinによつてで
き上つた類体論は,Hilbertの示唆をはるかにこ
えて,一般アーベル拡大の理論が含まれてしまつ
た.従つて代数函数体の理論との類似は必ずしも
密接ではなくなつてしまつた.しかし類構造の立
場からここに再び両者の関係をつけることができ
た.この類似から見ると,いくつかの問題がおこる.」
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学/6 巻 (1954-1955) 3 号/書誌
種々のアーベル拡大の理論と類体論との関係について 河田 敬義
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
論説
種々のアーベル拡大の理論と類体論との関係について
東京大学 河田 敬義 数学1954 年 6 巻 3 号 p. 129-150
(抜粋)
類体論を新らしい立場から,特にコホモロジー
論を利用して再構成しようという企ては,多くの
人々(Artin, Chevalley, Hochschild,中山,
Tateら)によつてなされた.これはすでに本誌に
おいて論ぜられたことである(中山[13]).Artin
はPrincetol1大学における講義(1952-3)で,
大局的および局所的類体論の或る部分がコホモ戸
ジー論によつて統一的に論ぜられることを指摘
し,類構造(class formation)の理論を展開し
た(Artin-Tate[2]).一方アーベル拡大の理論
は,類体論の他に,Kummer拡大の理論,標数
力の体の力拡大の理論(Witt[19]),古典的1変
数代数函数体の不分岐拡大の理論(Wey1[18])な
どが知られている.そこで当然これらの理論がす
べて共通の立場から論ぜられないかという問題が
生じる.本論説の目標は,類構造の理論を中心
に,すべてのアーベル拡大の理論を統一的に論じ
ようということである。
つづく
247:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:09:19.12 fHUQGPHQ.net
>>221
つづき
以下まず類構造の一般論
を述べ(§1),Kummer拡大およびρ 拡大
(§2),および古典的代数函数体(§3)の場合に
あてはめる.次にWei1[17]が整数論において考
察したいわゆるWei1群の理論を一般の類構造
において論し(§4),これを古典的代数函数体の
不分岐拡大の場合に適用する(§5).さらにWei1
[17]で示唆された普遍Weil群の理論を,代数
函数体の場合に考察する(§6).'以上の考察から
さらに新な問題に直面する。最後にそれらについ
て述べたい.
§7.結び
(i)類体論は,数学における最も美しい理論
の一つとして,その理論の構成にも,証明におい
ても,種々の改良が企てられていることは初めに
述べた。もともと類体論はHilbertによつて示唆
されたように,代数函数体の不分岐拡大の理論の
整数論における類似を求めようという企てから出
発した.
しかし高木先生およびArtinによつてで
き上つた類体論は,Hilbertの示唆をはるかにこ
えて,一般アーベル拡大の理論が含まれてしまつ
た.従つて代数函数体の理論との類似は必ずしも
密接ではなくなつてしまつた.しかし類構造の立
場からここに再び両者の関係をつけることができ
た.この類似から見ると,いくつかの問題がおこ
る.例えば,Kummer体の場合にせよ,代数函
数体の場合にせよ,A(k)は或る群の指標群の形
でかなり自然に導びかれている。一方(例えば)局
所類体論ではA(k)=k*であるが,何故にA(k)
としてk*を取るかという解釈がほしいものであ
る.またKummer体などの場合に公理F5は
二つの完全系列によつて簡単に証明される。しか
るにF5の証明は,類体論において極めて厄介で
ある.(局所)類体論の証明において,いま一段の
簡易化はできないものであろうか?
また代数数体においても,普遍Wei1群WΩ,k
を構成することはできるが,それの構造は簡単な
ものとはいえない.§6,定理13に対応して,
WΩ,kの簡単な意味づけはできないものであろう
か?
つづく
248:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:09:50.90 fHUQGPHQ.net
>>222
つづき
(ii)すでに知られたアーベル拡大でも,いま
だ類構造の形で述べられないものがある。例えば
(イ)標数pの代数的閉体を係数体とする1変数
代数函数体kの不分岐p拡大の場合にはSafarevic
の結果より, G(Ω/k)は自由群のp完備とな
るので,§2の理論と並行したものが予想される
が,まだA(k)がうまく求められない。それより
も(官) 多変数代数函数体の場合の不分岐拡大
の理論が重要であろう.すなわち射影空間の中
の,或るnon-singularな代数多様体Vの上の
有理型函数の作る函数体をkとする。Vの有限被
覆多様体V'はまた或る別の射影室間内のnonsil1gular
な代数的多様体として表わされ,そこ
での有理型函数体Kはkの有限拡大となり,1変
数の場合との類似が成り立つ(小平邦彦,Ann.
of Math.59(1954),§12)。この場合に因子の
理論はPicard varietyの理論として,いろい
ろと研究されている(井草準一,Amer. J.
Math.,74(1952),他Chow, Wei1,小平).
さらにRiemann-Rochの定理もn変数の場合
に拡張された(Hirzebruch等).これらの材料
を用いて不分岐アーベル拡大の理論を類構造の形
に表わすことができないであろうか?
(iii)類体論をnon-abelianな理論に拡張す
ることは,多くの人々の唱えるところである。し
かし具体的な形は予想されていない.一体類構造
の理論が,アーベル拡大でない場合への同型定理
の拡張を含んで,一般の場合に拡張できるもので
あろうか?
ところで古典代数函数体の場合には,Wei1(J.
d.math..17(1938), 遠山啓(Bu11.Tokyo
Inst。 Tech。 No。4(1950))のnon-abelianな
理論が存在する.これを§3の形と類似のものに
表現できないであろうか?
さらに整数論にその類似を求めることもできな
いであろうか?
(引用終り)
つづく
249:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:11:36.20 fHUQGPHQ.net
>>223
つづき
加藤 和也先生（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学/40 巻 (1988) 4 号/書誌
類体論の一般化
加藤 和也
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
類体論の一般化
加藤 和也 数学/40 巻 (1988)
(抜粋)
有理数体の有限次拡大,いわゆる有限次代数体を,以下,代数体と称する.
代数体の類体論を,素体上(有限次に限らず)有限生成な体に一般化すること,一般化した時に生
じてくる様々の新しい問題や研究テーマについて述べたい。
代数体が整数論において研究の対象とされる理由は,ひとつには有理数体が昔から人間にとつて
親しみ深い対象であり,有理数体を考察していけば自然にその有限次拡大である代数体に考察が及
んだからであるが,もうひとつには.代数体は考察の対象とするに足る特別に豊かな理論をもつ体
であるということがある:
代数体
=整数論の対象となる体
=特別に豊かな理論をもつ体
=人間にとって身近な体.
等号(2)の存在は整数論研究者の信ずる所であると思うし,等号(3)の存在はふしぎな事で理由は
わからないけれども確かな事である.そして近年の整数論の発展を見れば,等号(1)の左側が
素体上有限生成な体=
と置きかわるようになっていくものと思われる.(例えばゼータ関数は代数体だけでなく素体上有
限生成な体に対して考察されている.)
類体論は代数体のアーベル拡大の理論であるが,それが素体上有限生成な体のア.__.ベル拡大論と
して一般化できると思うと,心に浮かぶ事は多い.
最初から夢想を書いて恐縮であるが,
そのような代数多様体の整数論に,もし一般化された類体論が活躍することができれば,どん
なにかすばらしいであろう.整数論の書物にある,類体論に関係した諸結果,諸問題はみな,こう
した素体上有限生成な体に拡張されるはずである.そしてまた,代数体に関する
250:事の一般化だけで なく,代数体の場合にはなかった新しい興味深い問題が生じてくる.例えば,.各アーベル拡大体に おいて,整数環上のその体のモデルにどのような特異点が現われるか,モデルはどのくらい900d reductionから遠いか,などを類体論的に考える問題がそれである. つづく
251:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:12:39.29 fHUQGPHQ.net
>>224
つづき
そうしたいろいろな問題に,
昔からの類体論の伝統的手法や見方が.定式化を適切にすれば適用できると信ずることは楽しい.
その報文で,アーベル拡大の理論には多くの宝が蔵されていると述べたHilbertの言葉は,今も真
理であると考えたい.
筆者が類体論に志したのは,河田敬義・伊原康隆両先生のおすすめによるものである.([6]に提
出された,あるρ 進完備な関数体の類体論をつくる問題を,修士論文の目標とした・)両先生と共同
研究者斉藤秀司氏,影響をうけた先輩三木博雄氏にお礼を申しあげたい.
以下§1で代数体の類体論を復習し,§2でその一般化を述べ,§3に§2の補足を,§4に分岐理
論を述べる.
§1.代数体の類体論
代数体の類体論の要約を述べる.専門外のかたにも読んでいただけるようにすること,類体論の
抽象的な定理が,どのように`平方剰余の相互法則,などの古くから知られてきた整数論の定理を
含んでいるかを説明すること,そして,類体論の主精神は次の(1.0.1)のようなものであると思う
ので,その精神を強調することに力点をおいた.
(1.0.1)代数体のアーベル拡大がどのように存在するか,また代数体の各アーベル拡大において
どのようなことがおこるかは,手に取るようによくわかるものである.
この`どのようなことがおこるかがよくわかる,ことの内容として,次の§1.ユに述べるような,
アーベル拡大における簡明な‘分解法則,の存在がある.§1.1に述べる事柄や平方剰余の相互法則
は類体論以前から知られていた‘類体論のあらわれ'であつたのであり,類体論から説明できるの
である(§1.3).
つづく
252:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:13:05.02 fHUQGPHQ.net
>>225
つづき
§4.3.D加群との類似
この§4.3では,D加群の理論との類似を追いながら,定理(4.2.1)のC(ρ)を定義する.D加群
の理論では,cotangent bundle上に定義されるD加群のcharacteristic cycleと, cotangent
bundleの0-sectionめ交わりとして,重要なo-cycle classが定義されるので,それをまねるので
ある.
素体上有限生成な体のアーベル拡大についての情報は,そのK理論的idele類群の中に原理的に
はすべて蔵されているわけである.この§4で述べた事は,§3.3末(五)の例に記述したような,
Milnor K群のfi1trationのgrの様子,大域体のidele類群が内蔵する微分の海にwildな分岐がも
,たらす嵐の様子,を読みとろうとしたものである.K群の語る言葉に耳をかたむければ,特異点の
ことも含め,高次元でも,(1.0.1)に述べた類体論の主精神のように‘アーベル拡大において何がお
こるかは手にとるようにわかる,ようになるはずだと考えている。
(引用終り)
つづく
253:{}
19/10/26 11:13:46.83 z6TBbHYr.net
馬鹿がガロア理論の理解を完全に諦めたのは結構だが
マウンティングのためだけに類体論に食いついたのは
身の程知らずｗｗｗ
貴様は山で金鉱でも探せｗ
254:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:15:37.89 fHUQGPHQ.net
>>226
つづき
非可換の場合（＾＾；
URLﾘﾝｸ(deepblueibm.hatena)（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
All arts is quite useless
2017-03-24
非可換類体論とは
ブログの記事にある今や数論の中心に位置する一大プロジェクト保型形式とゼータ関数の不思議な関係、非可換類体論についてわかったことをまとめます。
255:まだまだ整数論初心者なので逆に非可換類体論について教えてくれる人は教えてください。 1.類体論とは？ 「ガロア群が可換」の場合しか示されてないんですね。その意味では人類はまだ類体論を攻略してません。 2.志村谷山予想とは？ フェルマーの最終定理と関係する予想(定理)として有名な志村谷山予想がありますがそれは実は2次元の非可換類体論だと考えることができます。 これを数学的に定式化すると、楕円関数のゼータ関数が必要になってきます。これは二次元のゼータ関数で 略 こういう式になります。 3.表現論とは 結論から言うと現代数論ではゼータ関数が重要なものでいかにしてゼータという対象に帰着できるかにかかってます。志村谷山予想もそうですが問題をゼータに直してわかりやすくしています。 ということは古典的な類体論もゼータ関数にまとめられるのではないか？という考えが思い浮かんでも不思議では無いでしょう。その等式を作るのがここで言う表現論の役割です。 ここで古典類体論を統一的なゼータ関数や表現論的なperspectiveで考えてみたいと思います。まずQ上の整数論を考えてみます。 ここで言う表現とは指標のことです。指標とは群から体への写像のことでここでは単位的な指標のみを扱うこととします。 Ｑの最大アーベル拡大のガロア群をＧ→Ｋ(これはＫの単数群)だとしたらこれを一次元ガロア表現と言います(単数群はその体の自己同型写像)。 有理数体はＱの最大アーベル拡大はクロネッカーウェイバーの定理によってＱ(μ)の集合と同型と考えれます。 そのＱ(μN)は(Ｚ/N)の単数群の集合と同型(円分体の基本定理)。 つづく
256:{}
19/10/26 11:16:47.88 z6TBbHYr.net
だいたい円分体の同型写像も構成できずガロア群も間違う馬鹿が
類体論を理解できるわけなかろうが
257:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:23:29.27 fHUQGPHQ.net
>>228
つづき
なので最大アーベル拡大は整数環の副有限完備化の単数群と同型ですが、整数環に定義される指標といえばディリクレ指標なのでこの関係式は「ガロア群の表現とディリクレ指標の一対一対応」と考えることができます。
詳しく言うとΠ1/1?(a/p)p=Σλ(n)/n^nが二次体のガロア表現と保型表現の対応になるみたいです。
類体論の骨組みは代数体上アーベル拡大のガロア群がイデール類群と同型になるような写像を作れるということでした。
(イデールはアデールの可逆元の集合でアデールはある体のp進付値で完備化したものをぜんぶくっつけたものです。
よくわからないならZに対するRみたいなもので(イメージは全然違いますが任意の体に(位相的に見てZとRの関係性に似たような関係を持つ)体を定義したようなものです。)
とにかくデカイ体だということを認識してくれたら大丈夫です。物理的にも重要な環らしいです。通常)。
アデール群の一般線形群が保型表現では重要になりますが1次元の場合はイデール群となりラングランズ予想で出て来るアデールの一般線形群と一次元類体論と整合がつきます。
通常のイデール群はQの可逆元の集合、Zの副有限完備化の可逆元の集合、R>0の可逆元の集合に直積分解でき、類体論の基本定理はイデール群のQとR>0の可逆元の剰余群(イデール類群)に最大アーベル拡大は同型だという主張のことです。
イデール類群のCの可逆元のへの指標の集合をヘッケ指標だと言い、これがさっき注意したZの副有限完備化の単数群の集合を経由する場合にはディリクレ指標になります。
l進ガロア群の重要さは古典的アーベル拡大の理論から来てるのだと思います。自然にl進数に射影できるし
4.ラングランズ予想とは
Langlands予想とは簡単に言えば「n次の良いEuler積は全てGLnの保型L関数である。という予想であって、ここで良いとは全s平面に有理型に解析接続できてs⇔1-sという型の関数等式をもつこと」らしい(数論Ⅱより)。このGL群はアデール上の一般線形群のことを指すのだと思います。
保型形式論では行列群の整数係数部分群、所謂モジュラー群が
258:重要になって来るんですが、ラングランズ予想は一般の体係数の行列群をそのモジュラー群と見てアデール上の保型形式を考えること、そのアデール係数行列群からの右正則表現の部分表現のことらしいです。 つづく
259:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:24:36.40 fHUQGPHQ.net
>>230
つづき
(どんな部分表現かは理解してません。英語のpdfでも探してみてください。
一方ガロア表現の定義はK を体とし，GK を K の絶対 Galois 群E を 複素数体 C，p進体（Qp の有限次拡大、有限体のいずれかとし、V を体 E 上の有限 次元ベクトル空間として、K の Galois 表現とは，連続準同形 ρ: Gal(K/K) ?→ GL(V ) のことです。
そしてなぜ志村谷山予想がラングランズプログラムの一部かというと楕円曲線Eのl分点の群E［l］をQの絶対ガロア群の表現として考えて保形形式と結びつけて考えたからみたいです。
これは僕の考察ですがKを標数pの体としてE→Eの自己同型写像を整数Nに対してN倍写像と定義されていているのでl^n分点アーベル群を逆極限とった加群がTate加群ってことなのかな？
おそらくだけど楕円曲線は「いい素数」だけを見たくて、そのいい素数の集合で考えるのが便利との発想でl進数で考えてるのかな？
5.非可換類体論とは
予想ですけど多分楕円曲線ガロア群が得られてmodpの解をモジュラー関数の係数(母関数だと）見たのと同じように、最小多項式をモジュラー関数の係数だと考えればmodpでイデアルの分岐の様子がわかるのが非可換類体論だということじゃないでしょうか？
まだ保形形式の係数にどういう数学的意味が含まれているか僕はわかりませんが、実際に非可換なガロア群と対応できる保形形式は見つかってるそうです。ということはこれがラングランズの応用。非可換なアーベル群の文化の様子を調べる理論ってことじゃないでしょうか？？？
（勉強したことをまとめた上での推測です
(引用終り)
つづく
260:{}
19/10/26 11:26:40.62 z6TBbHYr.net
馬鹿、ガロア理論の基本定理すら理解できてなかったと露見して発狂中ｗｗｗ
261:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:29:20.89 fHUQGPHQ.net
>>231
つづき
可換類体論のまとめ（＾＾
URLﾘﾝｸ(lemniscus.hatena)（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
再帰の反復blog
2014-07-06
類体論についてのメモ
(抜粋)
3. 類体論の主な定理
類体とは次のようなものだった。
類体についての3種類の説明:
(1)類体とは、あるmで [Im(K):Hm(L/K)]=[L:K] となるような拡大体L/Kのことである。
(2)類体とは、素イデアル(≒素数)の分解の仕方が、合同イデアル群Hによって(≒ あるmで割ったときの「余り」による類別で)判るような拡大体L/Kのことである。
(3)類体とは、アーベル拡大体L/Kのことである。
もっと短く言えば、類体とは、(1)ある等式をみたす拡大体のことであり、(2)素イデアルの分解の仕方が「余り」で判る拡大体のことであり、(3)アーベル拡大体のことである。
類体論を証明する上では、(1)を類体の定義として、
・基本定理: アーベル拡大体は類体である。
・分解定理: 類体では、素イデアルの分解の仕方は合同イデアル群Hm(L/K)によって定まる。
(特に合同イデアル群に含まれる素イデアルp∈Hm(L/K)は「完全分解」する(体の拡大次数個の異なる素イデアルに分解する))
が証明される(さらに類体論の他の結果も使って(1)と(2)と(3)が同値性が示される)。
類体は、他にもいろいろな性質を持っている。
特に重要(で証明がたいへん)なのは、同型定理、一般相互法則、存在定理など。
4. エルブランの補題の使われるところエルブランの補題は、基本定理「アーベル拡大は類体である」を証明するときに使われる。
類体の定義に戻れば、基本定理は次のような主張になる。
L/Kがアーベル拡大なら、あるmで
[Im(K):Hm(L/K)]=[L:K]
となる。
つづく
262:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/26 11:31:02 fHUQGPHQ.net
>>233
つづき
類体論の源流クロネッカー（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
類体論の源流
三宅克哉 (東京都立大学理学研究科) 数理解析研究所講究録 1060 巻 1998 年 185-209
(抜粋)
§ 1 源流クロネッカー (1823-1891)
類体論の直接の源流はクロネッカーである. 彼は特にアーベルとクムマーの影響下で
2 種類の問題を提示した : 「アーベル多項式の特徴付け」 と, いわゆる 「単項化定理」
である.
1853 年, 29 歳のクロネッカーは短い論文 [Kr-18531 で次の主張を提示した.
クロネッ朝 $-$ ーヴエ一バーの定理 : 有理整数係数のアーベル方程式の根は必ず 1 の
罵乗根の有理整数係数の有理関数として表される.
ただし, この時点では, クロネッカーはガロア群が巡回群であるような代数方程式を
「アーベル方程式」 と呼んでおり, 後に [Kr-18771 ではこれを [単純アーベル方程式
またガロア群が可換群であるものを 「アーベル方程式」 と呼ぶことにした. この論文で
説明されているように, どちらの定義を取ってもこの定理の含むところは変わらない.
彼はこの定理を ttSatztt と呼んでいるが, 証明は結局は ${}^{\mathrm{t}}\mathrm{i}\grave{7^{\backslash }}i\mathrm{L}^{-}$ バーの論文「We-18871 を待
つことになる.
1857 年になると, 短いが?段と楕円関数に踏み込んだ論文 [虚数乗
法が生じる楕円関数につい $\text{て}4$ ([Kr-1857a]) を著している. これと, この年にディリ
シュレに宛てた手紙 [Kr-1857b1 からみて, いわゆる 「クロネッカ一の青春の夢」 がこの
頃に描かれたものと思われる. 数学上の予想ないし研究課題としての 「クロネッカ $-$ の
青春の夢」 は, 彼がデデキントに宛てた 1880 年の手紙 ( $[\mathrm{K}\mathrm{r}- 1880\mathrm{b}]\rangle$ のなかで, 彼が
「私のいちばんのお気に入りの青春の夢」 $\langle$
... um meinen liebsten Jugendtraum, $\ldots\rangle$ と呼
んだ, おおむね次のような数学の問題 (予想) を指す :
クロネッカーの青春の夢 : 虚 2 次体上のアーベル多項式の根は, その 2 次体を虚数乗
法に持つ楕円関数の「特異モデュライ」 と周期の等分点での値ですべて与えられる.
つづく
263:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/26 11:32:32 fHUQGPHQ.net
>>234
つづき
類体論の源流クロネッカー（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
類体論の源流
三宅克哉 (東京都立大学理学研究科) 数理解析研究所講究録 1060 巻 1998 年 185-209
(抜粋)
§ 1 源流クロネッカー (1823-1891)
類体論の直接の源流はクロネッカーである. 彼は特にアーベルとクムマーの影響下で
2 種類の問題を提示した : 「アーベル多項式の特徴付け」 と, いわゆる 「単項化定理」
である.
1853 年, 29 歳のクロネッカーは短い論文 [Kr-18531 で次の主張を提示した.
クロネッ朝 $-$ ーヴエ一バーの定理 : 有理整数係数のアーベル方程式の根は必ず 1 の
罵乗根の有理整数係数の有理関数として表される.
ただし, この時点では, クロネッカーはガロア群が巡回群であるような代数方程式を
「アーベル方程式」 と呼んでおり, 後に [Kr-18771 ではこれを [単純アーベル方程式
またガロア群が可換群であるものを 「アーベル方程式」 と呼ぶことにした. この論文で
説明されているように, どちらの定義を取ってもこの定理の含むところは変わらない.
彼はこの定理を ttSatztt と呼んでいるが, 証明は結局は ${}^{\mathrm{t}}\mathrm{i}\grave{7^{\backslash }}i\mathrm{L}^{-}$ バーの論文「We-18871 を待
つことになる.
1857 年になると, 短いが?段と楕円関数に踏み込んだ論文 [虚数乗
法が生じる楕円関数につい $\text{て}4$ ([Kr-1857a]) を著している. これと, この年にディリ
シュレに宛てた手紙 [Kr-1857b1 からみて, いわゆる 「クロネッカ一の青春の夢」 がこの
頃に描かれたものと思われる.
つづく
264:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/26 11:34:11 fHUQGPHQ.net
>>235
つづき
数学上の予想ないし研究課題としての 「クロネッカ $-$ の
青春の夢」 は, 彼がデデキントに宛てた 1880 年の手紙 ( $[\mathrm{K}\mathrm{r}- 1880\mathrm{b}]\rangle$ のなかで, 彼が
「私のいちばんのお気に入りの青春の夢」 $\langle$
... um meinen liebsten Jugendtraum, $\ldots\rangle$ と呼
んだ, おおむね次のような数学の問題 (予想) を指す :
クロネッカーの青春の夢 : 虚 2 次体上のアーベル多項式の根は, その 2 次体を虚数乗
法に持つ楕円関数の「特異モデュライ」 と周期の等分点での値ですべて与えられる.
虚数乗法についてはワイエルシュトラスの $\wp$ 関数に基づく説明を次の節で簡単に与え
る. ここではアーベルやクロネッカー [Kr-1857a1 が扱った楕円関数とそのモデュライに
触れておく.
アーベルは, まず楕円積分が特に対数関数で積分されてしまう場合を連分数に基づく
手法で決定した $\langle_{[6}\mathrm{A}\mathrm{b}- 182\mathrm{b}$]) が, 次の瞬間には, 素直に楕円積分の逆関数に注目し,
またコーシーが展開していた複素線積分を取り入れ, たちまち 「楕円関数論」 を構築してしまう.
§3 デデキント $(1831-1916\rangle$
デデキントは, ガウスに倣ったわけでもないのだろうが, 理論的な枠組みが明快にな
るまでは不用意な公表をひかえていたように見受けられる. この点は 「預言者」 と呼ば
れたクロネッカーと著しく異なっている. したがって彼が実際に何を見, 何を意図して
いたのかを, 整った論文のなかに見いだすことは容易ではない. 第 1 項については, 特
に『ディリシュレの数論講義への補足\sim の最終版 [De-18931 の完成度が高い ; しかも
[De-1871], [De-1877a1, [De-1879], $[\mathrm{D}\mathrm{e}- 18\mathfrak{B}]$ と順を追って成熟していく様子が見られ
る. このようなことから, [De-18931 こそが彼の最終目的であったと見倣されるかもし
れない.
つづく
265:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 11:35:03 z6TBbHYr.net
馬鹿はコピペしただけで自分が賢くなったと思い込む悪癖がある
だから平気で
「ｎ次の円分多項式のガロア群は(Z/nZ)！」
とか壮烈な馬鹿発言で炎上死するｗｗｗ
266:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/26 11:36:18 fHUQGPHQ.net
>>236
つづき
しかし, 彼の代数的数論における 「研究計画」 は, 必ずしも 「代数的整数
「モデュール」 , 「オーダー」 , 「イデアル」等の概念め抽出とか, それらによる代数
的数論の骨格の基礎づけに最大の主眼があったわけではなかった. 彼にはもっと明確な
数論らしい問題意識があった. 純 3 次体に対する類数公式の探求が彼を強く動機づけて
いたものと思われる.
§5 クロネッカーの仕事について
そう単純に 「ヤマ」 などという言葉づかい
に乗ってしまうわけには行かない.
また数学史からの観点からすれば, そのように端的に切り捨てるわけには行かない.
例えば「厳密な証明」 にしても, それは当然その時点での数学界のレヴェルと相対的で
しかありえない. 高木も 「この予言者の名を冠して [クロネッケル』$\sim$ 式密度の称呼を用
いたのであ」 り, クロネッカーを単に 「数学」 の観点からアッサリと切り捨てられるわ
けではなかった.
とはいえ, クロネッカーの論文の多くは, 特に彼がその構築をライフワークとした代
数的数論に関するものについては, 現代から見れば, 十分に 「数学的」 に書かれている
と言えるものではないかもしれない ; 恐らく当時の常識からしても. しかし, 例えば現
代の物理学者達の論文と対比して見ればわかりやすい. クロネッカーは, いまだ定義も,
概念すらはっきりとはしていない, しかし彼にとって現代の物理学者達の見るものより
も遥かに厳然, 確固として存在する 「数学的な事実」 を発見し, それを報告しようとし
た. 彼が見たもの自体は, 例えば「一般的な関数」 , 「一般的な無限級数」 と言ったあ
やふやな, 捉え所のない新参者とは異なり, 新しいとはいえ, どこから見ても伝統的で
歴とした数学であった. 彼はそこに新しく驚嘆すべきものを発見し, それを, 書き方と
しては 「数学的」 ではな $\vee\supset$ かたにせよ, なんとか報告したのであった. そこに自身の数
学者としての全身の重みをかけていた.
つづく
267:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/26 11:37:00 fHUQGPHQ.net
>>238
つづき
例えば, 有理数体上のアーベル多項式の根が 1 の累乗根の有理整数係数の有理式とし
て表わされることを 「発見」 して, 躊躇わずにそれを 「定理 $\langle \mathrm{s}_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{Z}}\rangle$ 」 として報告した
$\langle_{15}\mathrm{K}\mathrm{r}- 183$ ]). 有限体の扱い方を例にとれば, 彼は決してガロア流を採らず, あくまで
もガウス流にこだわり続けたろう. それは, 彼の代数体における因子論 ([Kr-lae21; 高
木 [T-19481, 附録 (三) 参照) からも想像がつく. 例えば彼は, 師でもあったクムマー
の理想数の与え方 (lKu-1845, -18471) に満足せず, そのように本質的なものは「明確な
数学的なもの」 によって表示すべきであるとした ; (そしてその嗅覚は確かであった) ’
まず虚 2 次体について, それを虚数乗法として持つ楕円関数の 「特異モデュライ」から
得られる本物の数として虚 2 次体の理想数を具現すること, および, それらの数によ
る虚 2 次体の拡大が不分岐であること, を発見した $\langle_{[\mathrm{a},18}\mathrm{K}\mathrm{r}- 1857-
268:62]\rangle$ ; さらに 「単項化定理」 に基づく 「類体」の存在を信じて彼の代数的数論構築ひとつの大きな指針と し, 一般の代数的数体に対して 「単項化定理」 を彼の流儀で定式化した $([\mathrm{K}\mathrm{r}- 1\Re 2])$. クロネッカ $-$ は, デデキントに比べれば, たしかに明蜥さにおいて遅れをとる. しかし, ヒルベルトがそこから出発して彼の頭体論の構想へと進んだことは明らかである. しか もまた, $\text{ウ_{ェ}^{}\backslash }-$バーも高木も, 先ず「クロネッカーの青春の夢」 に惹付けられたのであっ た $([\mathrm{M}- 1994]\rangle$. (引用終り) 以上 ではまた（＾＾；
269:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 11:38:12 z6TBbHYr.net
＞ではまた（＾＾；
もう書くな、コピペマウント猿ｗｗｗ
270:{}
19/10/26 11:41:21.92 z6TBbHYr.net
今日の感想
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::。:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::。::::::...... ... --─- :::::::::::::::::::: ..::::: . ..::::::::
:::::::::::::::::...... ....:::::::゜::::::::::.. （___ ）（___ ） ::::。::::::::::::::::: ゜.::::::::::::
:. .:::::。:::........ . .::::::::::::::::: _ i/ ＝ ＝ヽi :::::::::::::。::::::::::: . . . ..::::
:::: :::::::::.....:☆彡:::: ／/[|| 」 ||] ::::::::::゜:::::::::: ...:: :::::
:::::::::::::::::: . . . ..: :::: / ﾍ | | ____,ヽ | | :::::::::::.... .... .. .::::::::::::::
::::::...゜ . .::::::::: ／ヽ ﾉ ヽ＿＿/ ....... . .::::::::::::........ ..::::
:.... .... .. . く / 三三三∠⌒＞:.... .... .. .:.... .... ..
:.... .... ..:.... .... ..... .... .. .:.... .... .. ..... .... .. ..... ............. .. . ........ ......
:.... . ∧∧ ∧∧ ∧∧ ∧∧ .... .... .. .:.... .... ..... .... .. .
... ..:（ ）ゝ （ ）ゝ（ ）ゝ（ ）ゝ無茶しやがって… ..........
.... i⌒ / i⌒ / i⌒ / i⌒ / .. ..... ................... .. . ...
.. 三 | 三 | 三 | 三 | ... ............. ........... . .....
... ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ............. ............. .. ........ ...
三三 三三 三三 三三
三三 三三 三三 三三
271:{}
19/10/26 11:42:44.71 z6TBbHYr.net
1に伝えたい授業
ありのままで
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
272:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 12:12:22 z6TBbHYr.net
数学板 ４大トンデモスレｗ
「0.99999……は１ではない」 （安達弘志）
「フェルマーの最終定理の簡単な証明」 （日高）
「【未解決問題】奇数の完全数が存在しないことの証明」 （高木宏兒）
「現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む」 （雑談 ◆e.a0E5TtKE）
一匹だけ匿名ｗｗｗｗｗｗｗ
273:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 12:16:15 z6TBbHYr.net
今日の情報
URLﾘﾝｸ(gekirock.com)
本格的だがそそられない
何故だ・・・そうか、ヴィジュアルか（をひこら）
【結論】BABYMETALはヴィジュアルこそ無敵(￣ー￣)
274:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 12:22:34 z6TBbHYr.net
聴け
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
275:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 12:34:38 z6TBbHYr.net
Gスレ 冬の時代に突入
276:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 12:35:42 z6TBbHYr.net
「1って何もわかってないじゃないか」という読者の失望
277:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 12:37:26 z6TBbHYr.net
1は掘る山を間違えた
278:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 12:38:02 z6TBbHYr.net
ここには1が求める金鉱はない
279:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 21:50:11.08 fHUQGPHQ.net
>>215
追加
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学/67 巻 (2015) 3 号/書誌
論説
高次元類体論の現在
??非アーベル化への展望と高次元Hasse原理??
斎藤 秀司
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
論説 高次元類体論の現在 非アーベル化への展望と高次元Hasse 斎藤秀司 数学 ?2015
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
斎藤 秀司（さいとう しゅうじ、1957年10月16�
280:� - ）は、日本の数学者。東京工業大学理工学研究科理学研究流動機構教授。専門は数論幾何、代数幾何。 経歴 1981年東京大学大学院修士課程修了。1985年博士号を取得。東京大学助教授、東京工業大学教授、名古屋大学教授、東京大学教授を経て、東京工業大学理工学研究科理学研究流動機構教授。 師は伊原康隆、加藤和也。 加藤和也との共同研究である高次元類体論の一般化は広く知られている。アーベルの定理の高次元化、代数的サイクル、高次元アーベル=ヤコビ写像などの研究もある。 受賞 1996年 - 日本数学会春季賞：類体論の一般化および代数的サイクルの研究 https://twitter.com/unaoya/status/724570367293952000 りす. ?@riss_gendarmery 2016年4月23日 高次元類体論 ってなにが高次元なんだろう…wiki見ると高次元大域体とかあったけどそれがなんなのかからわからない 梅崎直也 @unaoya 2016年4月25日 普通の類体論が代数体の整数環とか有限体上の曲線とか1次元のスキームを調べるのに対して（Z上有限生成な）次元の高いスキームを考える感じです。Galois側は基本群とかその表現とかで、アデール側はK群とかチャウ群とかを使います。 りす. @riss_gendarmery 2016年4月25日 なるほど！スキームの次元が高いということだったんですね！ありがとうございます！ 梅崎直也@unaoya 2016年4月25日 高次元大域体というのは素体上有限生成な体ぐらいの意味だと思います。そのようなものを関数体にもつスキームを考えるかんじです。 つづく (deleted an unsolicited ad)
281:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 21:51:03.53 fHUQGPHQ.net
>>250
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数体
(抜粋)
数学の体論・代数的整数論における代数体（だいすうたい、英: algebraic number field[注 1]）とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 K の有理数体上の拡大次数 [K:Q]を、K の次数といい、次数が n である代数体を、n 次の代数体という。 特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。
K を n 次の代数体とすると、K は単拡大である。つまり、K の元 θ が存在して、K の任意の元 α は、以下の様に表される。
α =a_0+a_1θ +・・・ +a_n-1θ^n-1。
但し、 a_0, a_1,・・・, a_n-1 は有理数。
このとき θ は n 次の代数的数であるので、K を Q 上のベクトル空間とみたとき、1, θ ,・・・ , θ^n-1 は基底となる。
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
拡大体
(抜粋)
ある体 F に，幾つかの元を付け足すことで， F を含む体 E を作れるとき， E を F の 拡大体 (もしくは単に 拡大 )と呼びます．
体 F の拡大体 E は， F 上のベクトル空間になっています．
F 上のベクトル空間と見たときの E の次元を EのF上の次数 もしくは 拡大次数 と呼び， [E:F] と書きます． [E:F] が有限のとき E を 有限次拡大体 ,無限のとき 無限次拡大体 と呼びます．
素体
逆に，部分体を考えて行くとき，これ以上小さな部分体が取れない(部分体は体自身のみ)となる体を 素体 と呼びます．有理数体は素体です．
有理数体 Q は素体です．
素数 p の剰余体 Z_p は素体です．
実は『全ての素体は， Q か Z_p と同型である』と言えるのです．後ほど 素体 の記事で証明します．
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
素体
(抜粋)
有理数体と剰余体は，それぞれ素体であることを 拡大体 で示しました．実は，逆に全ての素体は有理数体か剰余体のどちらかに同型であることが言えるのです．
全ての素体は，有理数体 Q か剰余体 Z_p に同型です．
証明には準同型定理と商体の知識が必要です．イデアルも少し出てきます．少し長いですが，証明を掲げておきます．
次の定理も重要です．
任意の体 F は，ただ一つの素体を含みます．
282:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 22:05:41.47 fHUQGPHQ.net
>>251 追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二次体
(抜粋)
二次体 (にじたい、英: quadratic field) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 d を用いて、Q(√d)と表現される。
もし、d > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、d < 0 の場合、虚二次体 (imaginary quadratic field) という。
性質
体論・環論
・任意の二次体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は巡回群となる。
・その整数環がユークリッド整域となる二次体 Q (√d) は、d = ?11, ?7, ?3, ?2, ?1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 だけである。
・その整数環が一意分解整域となる虚二次体 Q(√d)は、d = ?1, ?2, ?3, ?7, ?11, ?19, ?43, ?67, ?163 だけである。
・任意の二次体K に対して、有理素数 p は、以下のいずれかを満たす。
1. (p)= p_1 p_2 ( p_1, p_2 は、相異なるK の素イデアル)。 (このとき、p は、K で完全分解であるという。)
2. (p)= p^2 ( p は、K の素イデアル)。(このとき、p は、K で不分解であるという。)
3. (p)は、K の素イデアルである。(このとき、p は、K で不分岐であるという。)
二次体と円分体
・任意の二次体 K に対して、ある整数 n が存在して、K⊂ Q (ζ_n) 。
ここで、 ζ_n は、1 の原始 n 乗根である[4]。
特に、n = 2q (q ? 3) とすれば、円分体 Q (ζ_n) には、 Q (√-1), Q (√2), Q (√-2) が含まれる。
・上記のことは、クロネッカー＝ウェーバーの定理の特別な場合である。
さらに、基礎体を有理数体ではなく、虚二次体にしたときに同様なことが言えるかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢(の特別な場合)である。
(引用終り)
283:{}
19/10/26 22:14:44.97 z6TBbHYr.net
馬鹿発狂ｗ
284:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 23:38:15.11 fHUQGPHQ.net
>>214
(引用開始)
自由度を上げると解けるって話ですね
元は
"ガロアの逆問題" （下記）：
基礎体Fと群G（非可換の場合も）が与えられたとき、拡大体Eを構成せよ
対して、
あなたの変形した問題：
群G（非可換の場合も）が与えられたとき、ある基礎体Fと拡大体Eの組が存在するか
(引用終り)
これ、数学センス良いですね
数学で結構ある話ですが、例えば、ベースを実数から複素数に拡張する
そうすると、「有理数係数のｎ次代数方程式には、必ず複素数解が存在する」となる
因みに
ガロア対応：(正規かつ分離の)有限次代数拡大E/F vs ガロア群Gal(E/F)
みたいな話、結構数学ではある
微分方程式を、
フーリエ変換した空間に移して、
代数方程式にして解いて（圧倒的に解きやすい）、
その解を逆フーリエ変換して、微分方程式の解を求めることに似ている
（ガロア対応は、体の拡大を、より扱い易い群の理論に移すということ）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フーリエ変換
(抜粋)
応用
微分方程式の解析学
フーリエ変換および近い関係にあるラプラス変換は微分方程式の解法において広く用いられる。
f(x) を可微分函数で、
そのフーリエ変換を ^f(ξ) とすると、
導函数のフーリエ変換が 2πiξ^f(ξ)
で与えられるという意味でフーリエ変換と微分作用素は両立する。
このことを用いて微分方程式を代数方程式に変換することができる。
ただし、この手法は定義域が実数全体である場合にしか適用できないことに注意が必要である。
これを拡張�
285:ｵて、定義域が Rn であるような多変数函数に関する偏微分方程式を代数方程式に書き換えることもできる。 (引用終り) 以上
286:{}
19/10/27 08:11:28.98 tnQkUbav.net
相変わらず支離滅裂な連想だけでトンチンカンなこといってるね
287:{}
19/10/27 08:25:28.02 tnQkUbav.net
>>254
フーリエ変換は、ガロア対応ではないな
ガロア対応の一般化については以下をよまれたい
ガロア接続
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
288:{}
19/10/27 08:32:18.72 tnQkUbav.net
ガロア対応に関連して
昔、ある研究者から聞いた情報
形式概念分析
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
289:{}
19/10/27 08:39:03.23 tnQkUbav.net
形式概念分析は大して難しい話ではない
ガロア理論における体をオブジェクト、自己変換群を属性と一般化したと思えばいい
日本語の論文
URLﾘﾝｸ(www.kochi-tech.ac.jp)
ｐ６~８の例が個人的にはツボｗ
だれかアイドルで同じ分析やってくれんかなｗ
290:１３２人目の素数さん
19/10/27 10:01:19.82 ek6S6+eD.net
K/kを有限次ガロア拡大とすると任意のαに対してK(α)/k(α)もガロア拡大で
Gal(K(α)/k(α))=Gal(K/K∩k(α)).
もしK∩k(α)=kであれば、Gal(K(α)/k(α))=Gal(K/k).
（そしてほとんどのαに対しては、K∩k(α)=kだろう。）
つまり小さい基礎体で与えられたガロア群を持つ拡大の存在が言えれば
それを拡大しても際限なく同じガロア群を持つ拡大が得られる。
それで「小さい基礎体上で構成した方が価値が高い」
という考えが生まれ、「Q上で構成する」という問題意識が生まれたのではなかろうか？
しかし、もしQ上で存在しない解があるとすれば、そもそも問題設定が人工的だったことになる。
Wikipedia で非存在が予想(?)されている例は
PSL(2,16)ではなくPSL(2,16):2という位数8160の群ですね。
これは S_17の部分群で、17個の元に推移的に作用する群。
291:１３２人目の素数さん
19/10/27 10:16:52.35 ek6S6+eD.net
ラングランズだとか非可換類体論だとか散々言い古されてきた話ですね。
このような問題を最も熱心に発展させてきた数学者こそ最近亡くなられた志村五郎氏。
約60年前の論説
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
には、気鋭の数学者の問題意識・見通しが書かれてある。
しかし、志村氏のちくまの本に書いてあったと思うが、単にアーベル拡大であっても
構成はそんなにうまくはいかない、問題も自然じゃないから「すべて」には拘らなくなったとのこと。
そもそも最も心血を注いできた問題にはラングランズの名が冠されている
（その経緯など詳しいことは知らないが）いわばおいしいところを
持っていかれた形であり、それは今後ラングランズ・プログラムを完成させることになる
研究者にしても同じだろう。
自分の先生は、「ラングランズなんて」「あんなセンスのない数学者」「見た目は立派だが」
みたいに悪印象で語っていた笑
292:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:05:56.30 EUeYkluT.net
>>250 追加
類体論の一般化には、下記３つあって
1つは、the Langlands correspondence
1つは、anabelian geometry
1つは、higher class field theory
anabelian geometry が出てくるのが面白。IUTに関連
Langlands programは、
”・・to non-abelian extensions. This generalization is mostly still conjectural. For number fields, class field theory and the results related to the modularity theorem are the only cases known.”
とあるね。the modularity theorem＝谷山?志村予想だね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Modularity theorem
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
谷山?志村予想
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Class field theory
(抜粋)
In mathematics, class field theory is the branch of algebraic number theory concerned with the abelian extensions of number fields, global fields of positive characteristic, and local fields.
The theory had its origins in the proof of quadratic reciprocity by Gauss at the end of 18th century. These ideas were developed over the next century, giving rise to a set of conjectures by Hilbert that were subsequently proved by Takagi and Artin.
These conjectures and their proofs constitute the main body of class field theory.
つづく
293:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:17:51.39 EUeYkluT.net
>>259
ID:ek6S6+eDさん、どうも。スレ主です。
(引用開始)
つまり小さい基礎体で与えられたガロア群を持つ拡大の存在が言えれば
それを拡大しても際限なく同じガロア群を持つ拡大が得られる。
それで「小さい基礎体上で構成した方が価値が高い」
という考えが生まれ、「Q上で構成する」という問題意識が生まれたのではなかろうか？
(引用終り)
どうも
専門的になると、私ら素人にはよく分かりませんが
ともかく、Ｑ上というのは基本というか、Ｑが応用上も大事な話ですよね
「類体論の一般化
加藤 和也 数学/40 巻 (1988)」
”代数体が整数論において研究の対象とされる理由は,ひとつには有理数体が昔から人間にとつて
親しみ深い対象であり,有理数体を考察していけば自然にその有限次拡大である代数体に考察が及
んだからである”
(引用開始)
Wikipedia で非存在が予想(?)されている例は
PSL(2,16)ではなくPSL(2,16):2という位数8160の群ですね。
これは S_17の部分群で、17個の元に推移的に作用する群。
(引用終り)
なるほどね
これ（もし非存在だとして）の証明は
5次方程式に解の公式がないという話の類似かもしれませんね
294:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:28:43.70 EUeYkluT.net
>>260
ID:ek6S6+eDさん、どうも。スレ主です。
>ラングランズだとか非可換類体論だとか散々言い古されてきた話ですね。
>このような問題を最も熱心に発展させてきた数学者こそ最近亡くなられた志村五郎氏。
なるほど
(引用開始)
約60年前の論説
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
には、気鋭の数学者の問題意識・見通しが書かれてある。
しかし、志村氏のちくまの本に書いてあったと思うが、単にアーベル拡大であっても
構成はそんなにうまくはいかない、問題も自然じゃないから「すべて」には拘らなくなったとのこと。
(引用終り)
”単にアーベル拡大であっても 構成はそんなにうまくはいかない”
”問題も自然じゃないから「すべて」には拘らなくなった”
ですか。
私ら、素人のヤジウマですが、でも、プロはそれがメシの種なんでしょうね
>そもそも最も心血を注いできた問題にはラングランズの名が冠されている
>（その経緯など詳しいことは知らないが）いわばおいしいところを
>持っていかれた形であり、それは今後ラングランズ・プログラムを完成させることになる
>研究者にしても同じだろう。
まあ、経緯は、私ら素人には、分かりませんが（＾＾
>自分の先生は、「ラングランズなんて」「あんなセンスのない数学者」「見た目は立派だが」
>みたいに悪印象で語っていた笑
なるほどね
でも、ラングランズ先生も証明なしの大風呂敷だけを吹きまくるみたいなところでしょうかね？
佐藤幹夫先生みたく、証明を付けるお弟子さんがいればよかったのかも
外からみれば、プロのメシの種として、ラングランズ先生のほら話（そういうホラの数学者は少ないし）に喜んで乗ったのでは？（＾＾
295:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:30:17.87 EUeYkluT.net
>>261
つづき
Generalizations of class field theory
There are three main generalizations, each of great interest on its own. They are: the Langlands program, anabelian geometry, and higher class field theory.
Often, the Langlands correspondence is viewed as a nonabelian class field theory. If/when fully established, it would contain a certain theory of nonabelian Galois extensions of global fields.
However, the Langlands correspondence does not include as much arithmetical information about finite Galois extensions as class field theory does in the abelian case.
It also does not include an analog of the existence theorem in class field theory, i.e. the concept of class fields is absent in the Langlands correspondence.
There are several other nonabelian theories, local and global, which provide alternative to the Langlands correspondence point of view.
Another generalization of class field theory is anabelian geometry which studies algorithms to restore the original object (e.g. a number field or a hyperbolic curve over it) from the knowledge of its full absolute Galois group of algebraic fundamental group.[3]
Another natural generalization is higher class field theory. It describes abelian extensions of higher local fields and higher global fields.
The latter come as function fields of schemes of finite type over integers and their appropriate localization and completions.
The theory is referred to as higher local class field theory and higher global class field theory. It uses algebraic K-theory and appropriate Milnor K-groups replace K_{1}}K_{1} which is in use in one-dimensional class field theory.
(引用終り)
つづく
296:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:30:44.74 EUeYkluT.net
>>264
つづき
”The inverse Galois problem asks what groups can arise as fundamental groups (or Galois groups of field extensions).
Anabelian geometry, for example Grothendieck's section conjecture, seeks to identify classes of varieties which are determined by their fundamental groups.[5]”
だとか
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Etale fundamental group
(抜粋)
The etale or algebraic fundamental group is an analogue in algebraic geometry, for schemes, of the usual fundamental group of topological spaces.
Contents
1 Topological analogue/informal discussion
2 Formal definition
3 Examples and theorems
3.1 Schemes over a field of characteristic zero
3.2 Schemes over a field of positive characteristic and the tame fundamental group
3.3 Further topics
Further topics
From a category-theoretic point of view, the fundamental group is a functor
{Pointed algebraic varieties} → {Profinite groups}.
The inverse Galois problem asks what groups can arise as fundamental groups (or Galois groups of field extensions).
Anabelian geometry, for example Grothendieck's section conjecture, seeks to identify classes of varieties which are determined by their fundamental groups.[5]
つづく
297:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:32:42.26 EUeYkluT.net
つづき
分岐（Ramification）の話
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Algebraic number field
(抜粋)
In mathematics, an algebraic number field (or simply number field) F is a finite degree (and hence algebraic) field extension of the field of rational numbers Q. Thus F is a field that contains Q and has finite dimension when considered as a vector space over Q.
The study of algebraic number fields, and, more generally, of algebraic extensions of the field of rational numbers, is the central topic of algebraic number theory.
Ramification
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
Schematic depiction of ramification: the fibers of almost all points in Y below consist of three points, except for two points in Y marked with dots, where the fibers consist of one and two points (marked in black), respectively. The map f is said to be ramified in these points of Y.
Ramification, generally speaking, describes a geometric phenomenon that can occur with finite-to-one maps (that is, maps f: X → Y such that the preimages of all points y in Y consist only of finitely many points): the cardinality of the fibers f-1(y) will generally have the same number of points, but it occurs that, in special points y, this number drops. For example, the map
C → C, z → zn
has n points in each fiber over t, namely the n (complex) roots of t, except in t = 0, where the fiber consists of only one element, z = 0.
One says that the map is "ramified" in zero. This is an example of a branched covering of Riemann surfaces.
つづく
298:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:33:18.76 EUeYkluT.net
つづき
This intuition also serves to define ramification in algebraic number theory. Given a (necessarily finite) extension of
299:number fields F / E, a prime ideal p of OE generates the ideal pOF of OF. This ideal may or may not be a prime ideal, but, according to the Lasker?Noether theorem (see above), always is given by pOF = q1e1 q2e2 ... qmem with uniquely determined prime ideals qi of OF and numbers (called ramification indices) ei. Whenever one ramification index is bigger than one, the prime p is said to ramify in F. The connection between this definition and the geometric situation is delivered by the map of spectra of rings Spec OF → Spec OE. In fact, unramified morphisms of schemes in algebraic geometry are a direct generalization of unramified extensions of number fields. Ramification is a purely local property, i.e., depends only on the completions around the primes p and qi. The inertia group measures the difference between the local Galois groups at some place and the Galois groups of the involved finite residue fields. つづく
300:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:34:53.72 EUeYkluT.net
>>266
つづき
An example
The following example illustrates the notions introduced above. In order to compute the ramification index of Q(x), where
f(x) = x^3 - x - 1 = 0,
at 23, it suffices to consider the field extension Q23(x) / Q23. Up to 529 = 232 (i.e., modulo 529) f can be factored as
f(x) = (x + 181)(x^2 - 181x - 38) = gh.
Substituting x = y + 10 in the first factor g modulo 529 yields y + 191, so the valuation |?y?|g for y given by g is |?-191?|23 = 1. On the other hand, the same substitution in h yields y2 - 161y - 161 modulo 529. Since 161 = 7?×?23,
|y|h = √?161?23 = 1 / √23.
Since possible values for the absolute value of the place defined by the factor h are not confined to integer powers of 23, but instead are integer powers of the square root of 23, the ramification index of the field extension at 23 is two.
The valuations of any element of F can be computed in this way using resultants. If, for example y = x^2 - x - 1, using the resultant to eliminate x between this relationship and f = x^3 - x - 1 = 0 gives y^3 - 5y^2 + 4y - 1 = 0.
If instead we eliminate with respect to the factors g and h of f, we obtain the corresponding factors for the polynomial for y, and then the 23-adic valuation applied to the constant (norm) term allows us to compute the valuations of y for g and h (which are both 1 in this instance.)
つづく
301:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:35:37.30 EUeYkluT.net
つづき
Dedekind discriminant theorem
Much of the significance of the discriminant lies in the fact that ramified ultrametric places are all places obtained from factorizations in Qp where p divides the discriminant.
This is even true of the polynomial discriminant; however the converse is also true, that if a prime p divides the discriminant, then there is a p-place which ramifies.
For this converse the field discriminant is needed. This is the Dedekind discriminant theorem. In the example above, the discriminant of the number field Q(x) with x^3 - x - 1 = 0 is -23, and as we have seen the 23-adic place ramifies.
The Dedekind discriminant tells us it is the only ultrametric place which does. The other ramified place comes from the absolute value on the complex embedding of F.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
分岐 (数学)
(抜粋)
数学における分岐 (ramification) とは、例えば多価関数としての平方根が零点から符号の異なる二つの枝に分かれているような意味で、「枝分かれ」することをいう。
またその逆に、例えばある点で退化しているような被
302:覆写像により複数のファイバーが合流するような場合も（逆の視点から見れば枝分かれしているので）分岐という。 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Schematic_depiction_of_ramification.svg/320px-Schematic_depiction_of_ramification.svg.png 系統的に分岐を図示：Y 上のほとんど全ての点のファイバーは、3個の点から構成される。 しかし例外は、Y のドットでマークした 2か所の点では、ファイバーがそれぞれ 1つと 2つの点からなる。 写像 f は Y のこれらの点で分岐するといわれる。 目次 1 複素解析 2 代数トポロジー 3 代数的整数論 3.1 Q の代数拡大 3.2 局所体 4 代数学 5 代数幾何学 つづく
303:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:36:12.54 EUeYkluT.net
>>269
つづき
代数的整数論
Q の代数拡大
「ガロア拡大での素イデアルの分解」も参照
代数的整数論での分岐は、ある素イデアルへの素数の繰り返しの分解を意味する。R を代数体 K の整数環とし、P を R の素イデアルとする。各々の K の体の拡大 L に対し、L の中の T の整閉包 S と S のイデアル PS とを考えることができる。PS は素であるかどうか分からないが、[L:K] を有限とすると、素イデアルの積
P1e(1) ? Pke(k)
となる。ここに Pi はそれぞれ S の異なる素イデアルである。すると P が L で分岐しているとは、ある i に対して e(i) > 1 であるときとを言う。言い換えると、P が L で分岐するとは、分岐指数 e(i) が 1 より大きな Pi が存在することを言う。全ての i に対して、e(i) = 1 の場合を不分岐と言う。
同値な条件としては、S/PS が零でない冪零元を持つことである。べき零元は有限体の積ではない。リーマン面との類似は、19世紀に既にリヒャルト・デーデキント (Richard Dedekind) とハインリッヒ・ウェーバー（英語版） (Heinrich M. Weber) が指摘していた。
つづく
304:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:36:45.86 EUeYkluT.net
>>269
つづき
分岐は、相対判別式（英語版）(relative discriminant)により K にエンコードされ、相対差イデアル（英語版）(relative different)により L にエンコードされる。相対判別式は K の整数環のイデアルであり、P で割りきれることと、P を割る S のイデアル Pi が存在し分岐することをは同値である。
相対差イデアルは L の整数環のイデアルであり、Pi が分岐するとき、S の素イデアル Pi で割り切れる。
分岐指数 e(i) が全て P の標数 p と互いに素であるときを、分岐が順 (tame) と言い、そうでない場合を激 (wild) と言う。この条件はガロア加群の理論に重要である。デデキント整域の有限生成なエタール拡大 B/A が順であることと、トレース Tr: B → A が全射であることとは同値である。
局所体
詳細は「局所体の分岐（英語版）」を参照
数体での分岐のさらに詳しい分析は、局所的な問題であるので、p-進数の拡大を使い進めることができる。局所的な場合には、基本的にはどのくらいガロア群が計量から動くかを問うことで、分岐を測る量がガロア拡大に対して定義される。
分岐群（英語版）の列が定義され、とりわけ、暴 (wild) 分岐が具体化される。つまり、幾何学的な類似を超えた意味を持っている。
(引用終り)
以上
305:１３２人目の素数さん
19/10/27 12:44:29.56 ek6S6+eD.net
スレ主さんは貼りまくってるけど
「正規部分群を理解していない」「円分体のガロア群を誤解している」
「ガロアの基本定理さえ理解していない」という話が出てますね。
まずは基礎からでしょう。それをやらずに高度な話を試みても虚しいでしょ？
>>243では4大トンデモスレの一つに認定されちゃってますよ。
306:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:53:02.02 EUeYkluT.net
>>263 補足
>でも、ラングランズ先生も証明なしの大風呂敷だけを吹きまくるみたいなところでしょうかね？
>佐藤幹夫先生みたく、証明を付けるお弟子さんがいればよかったのかも
>外からみれば、プロのメシの種として、ラングランズ先生のほら話（そういうホラの数学者は少ないし）に喜んで乗ったのでは？（＾＾
私ら、アマですから、論文書いてそれでメシを食うという立場にはない
まあ、このスレに来ている人も、ほとんど�
307:ﾍそれでしょう 「論文書いてそれでメシを食う」： ・もちろん、未解決の有名問題を解決するホームラン論文なら問題ないでしょうけど （なんとか賞を貰えるとかの） ・論文の大半は、ある分野のニッチな結果だと思うのですが そういう論文を人に評価してもらおうとすると、「”ラングランズ”（とか分り易いキーワード）と関連しています」という説明が分り易い ・それで、みなさん、”ラングランズ”の名前に乗ったのかも 余談ですが、私ら、素人ですから、数学だけを特別視するつもりもないのです 物理や化学と横並びです ですが、物理や化学の基礎が数学でもあるのです 別に、おっちゃんみたく、数学の論文を書くつもりもない 趣味と実益を兼ねては居ます ちょっと上のレベルまでやっておけば、下のレベルの話は理解しやすい 逆もまた真で、下のレベルのみが必要だとしても、少し上のレベルまでやっておく方が、見通しもよく応用もきく 昔、”猫”さんというコテハンの人が、意識が高く「自分の数学を作る」みたいなことを、このスレで言われていましたが 私ら、素人ですから、意識のレベルが違いましたね まあ、そういう人もいるのでしょうね（プロとして、「自分の数学を作」って、論文書いて、それをメシの種にしていくという人も）
308:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 12:56:15.31 EUeYkluT.net
>>272
そう慌てないで
それもやりますよ
ガロア理論に関連したところ
但し、自分の趣味主体でね
そもそも、大学でも、半年から１年かけるでのでしょ
そう慌てないで
309:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/27 13:10:53.74 EUeYkluT.net
>>272
ID:ek6S6+eDさん、あなたはレベル高そうだがから
人に要求してばかりじゃなく、自分の書きたいことを書いて見てはいかが？
そもそも、５ＣＨには、スレ主（管理者）がいないのが基本だし
310:１３２人目の素数さん
19/10/27 13:26:32.49 Y1bY1Qu4.net
おっちゃんです。
>>212の
>ガロアの逆問題のことが書かれているテキストも全く知らない。
について、再度調べたらスレ主の Cox の本があったようだが、これは持っていない。
この Cox の本のことが出て来てスレ主と語っていたとき、無意識に古典的ガロア理論について語ったかもは知れないが、
これを除くと意識的に古典的ガロア理論を語った覚えや記憶は殆どない。
>>205で題名は伏せたが、現時点で私が読んだことがある環や体の代数の本は主に現代数学概説Ⅰ。
内容的には集合論なども含めて、古典的ガロア理論を除けば、大まかな代数のことがまとまっていていい本だ。
ただ、現代的に見たら、代数の詳細なことは書かれていない。
まあ、最近の数論は細分化していて、研究も代数的手法が絶対的とは限らないようだが。
1次元ルベーグ測度が+∞の実数体Rや2次元ルベーグ測度が+∞の複素数体Cの数論的な研究に、
古典的ガロア理論が使えるとは余り思えない。実数か複素数に収束するベキ級数
f(X)＝Σ_{k=0,1,2,…,+∞}( a_k・X^k ) ( (∀k∈N a_k∈R)∨(∀k∈N a_k∈C) )
についての方程式 f(X)＝0 のガロア理論を古典的ガロア理論と同様に作れればいいが、
有限と無限は違うから、単純に古典的ガロア理論をきれいな形に拡張出来るとも思えない。
単に代数だけでなく、必ずしも古典的解析に限らず、実解析などの近代的解析も含めた解析的手法、
或いは(少なくとも数論幾何の意味ではない)幾何的手法は欠かせないだろうな。
311:{}
19/10/27 15:20:59.05 tnQkUbav.net
>>272
>「正規部分群を理解していない」
>「円分体のガロア群を誤解している」
>「ガロアの基本定理さえ理解していない」
>という話
全部事実
「部分群Ｈ
312:がgHg-1と同型なら正規部分群」 （任意の部分群が正規部分群ｗ） 「次数ｎの円分多項式のガロア群はZ/nZ」 （乗法と加法を取り違えｗ） 「HがGal(L/K)の部分群だからといって H=Gal(L/M)となる体Mが存在するとは限らない」 （ガロア理論の基本定理を全面否定ｗ） こんなテイタラクでルイタイロンなんか到底無理ｗ
313:{}
19/10/27 15:23:03.57 tnQkUbav.net
>>273
＞私ら、素人ですから、（数学は）物理や化学と横並びです
数学で初歩的な間違いを繰り返すようじゃ
物理や化学の知識も大いにあやしいもんだｗ
相対論とか真っ向から否定しそうだｗｗｗ
314:{}
19/10/27 15:24:47.37 tnQkUbav.net
>>274
>そう慌てないで
この言葉がでたら1が理解できる範囲を超えてきた証拠ｗ
315:{}
19/10/27 15:30:04.30 tnQkUbav.net
>>275
馬鹿の1相手に数学の話をするヤツはいないよｗ
馬鹿が知ったかぶりで書くことの
揚げ足（初歩的であればあるほどいい）をとるのが
このスレッドの楽しみ
馬鹿だけがわかってない
なんたって４大トンデモスレの筆頭だからな
他は統合失調症（病気じゃ仕方ない）とか
文系（そもそも算数レベルの知識しかない）とかだから
情状酌量の余地があるが、
ここの1は国立大学の工学部卒（自称）で
このテイタラクだからヒドすぎるｗｗｗ
316:{}
19/10/27 15:36:01.81 tnQkUbav.net
>>276
オツには誰も訊いてない
317:{}
19/10/27 15:45:32.87 tnQkUbav.net
形式概念分析は
「集合はオブジェクトの集まり」（｛｝は一重）
くらいのナイーブな理解しかない奴でも分かる点で
ここの1や安達にはいいネタだろう
ついでにいえば文系・理系に限らず
論理学について知っとくことは悪くない
とくにタブローの方法を知ることはお勧めだ
証明可能な論理式はこの方法で証明できる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
注：述語論理においてタブローの方法が証明「アルゴリズム」でないのは
証明できない論理式の場合、手続きが終了しないことがあるからである
318:１３２人目の素数さん
19/10/27 16:25:07.90 O7bovX6U.net
>>274
>そもそも、大学でも、半年から１年かけるでのでしょ
>そう慌てないで
最初のガロアスレ立ててから何年になると思ってるんだｗ
当時の中学生でさえもう理解してるぞｗ
319:{}
19/10/27 16:34:01.10 tnQkUbav.net
>>272
＞まずは基礎からでしょう。それをやらずに高度な話を試みても虚しいでしょ？
基礎で面白がれない１は、高度な話の面白みもわからない
(Z/nZ)×とか、算数レベルでも面白いけどな
n=10の場合とか
九九
1の段の1桁目 1,2,3,4,5,6,7,8,9
3の段の1桁目 3,6,9,2,5,8,1,4,7
9の段の1桁目 9,8,7,6,5,4,3,2,1
7の段の1桁目 7,4,1,8,5,2,9,6,3
1の段と9の段、3の段と7の段が、倒置になってる
他の段は当たり前だが1~9までそろわない
2の段の1桁目 2,4,6,8,0,2,4,6,8
4の段の1桁目 4,8,2,6,0,4,8,2,6
8の段の1桁目 8,6,4,2,0,8,6,4,2
6の段の1桁目 6,2,8,4,0,6,2,8,4
5の段の1桁目 5,0,5,0,5,0,5,0,5
320:{}
19/10/27 16:36:14.64 tnQkUbav.net
>>283
３年間くらいサボってたからね
あれは１にとって全く無駄な時間だった
321:{}
19/10/27 16:46:02.50 tnQkUbav.net
１はまず身の丈にあった数学について語ろう
例えば自分の仕事で使った数学とか
ガロア理論は忘れろ どうせ仕事でも使ったことなかろうｗ
322:１３２人目の素数さん
19/10/27 20:42:27 ek6S6+eD.net
>>259
>Wikipedia で非存在が予想(?)されている例は
よく読んだら
"known
323: to be realizable over Q" の否定だから、非存在を予想してるわけじゃなくて 「多分、（現時点で計算上）存在が知られていない」 くらいの意味でしょうかね。 失礼しました。m(__)m もともとスレ主が言い始めた話ですけどね。
324:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/27 20:48:56 tnQkUbav.net
>>287
1は英語はもとより日本語も正しく読めない馬鹿だからｗ
325:１３２人目の素数さん
19/10/27 20:57:27 ek6S6+eD.net
いやでも may not be realizable の意味なら、非存在を予想してるのかな？
326:１３２人目の素数さん
19/10/27 21:01:05 ek6S6+eD.net
>>288
どう思われます？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
327:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/27 21:03:09 tnQkUbav.net
予想は所詮予想
328:１３２人目の素数さん
19/10/27 21:06:00 ek6S6+eD.net
非存在が証明できれば結構な論文にはなりますね。
多分、もう誰か挑戦してるかもしれませんが。
クロネッカーウェーバーの定理の証明は読まされたことありますが
分岐素数の集合が持つべき性質から拡大体が限定される
（円分体と一致せざるを得ない）というような
精密な議論を要するかなり大変な証明でしたよ。
非存在を証明するというのも、同じような、それ以上の
大変な証明になるのでは。
329:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/27 21:07:45 tnQkUbav.net
>>292
＞クロネッカーウェーバーの定理の証明・・・
円分多項式のガロア体の自己同型も
わかってない馬鹿には到底無理
330:１３２人目の素数さん
19/10/27 21:12:58.02 ek6S6+eD.net
わたしは脱ガロア理論で行こうと思います。
ガロア理論を使って導ける ガロア理論を使わなくても導ける
ことがあるとして、それは結局背後ではつながってるのだろうけど
使わない側から接近した方がいいことだってあるかもしれない。
331:１３２人目の素数さん
19/10/27 22:10:00.68 ek6S6+eD.net
簡単な例を一つ挙げますか。
ピタゴラス三角形（a^2+b^2=c^2をみたす整数辺を持つ直角三角形）
の鋭角が無理数度であることは
(a/c+bi/c)^n=1をみたす自然数nが存在するような
a/c+bi/c∈Q(i)は(1の4乗根を除いては）存在しない
ということと同値で、それは円分体のガロア群の計算から導ける
ということを半年くらい前に書きましたが
考えてみるともっと単純に、1のn乗根は代数的整数だが
a/c+bi/cは代数的整数ではない、ということだけから分かることですね。
既約分数の形にしたとき分母に自明でないイデアルが現れるので、いくらかけても消えようがない。
背後ではどうつながってるのか？
円分体のガロア群の計算には円分多項式のQ上での既約性を使いますが
その証明にはEisensteinの規準を使い
それは結局整数性・素数の性質を使っている
という点でつながってると言えるだろう。
つまらなかったらすみません。
332:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:32:36.16 ivC57rPE.net
>>260 補足
一応、URLだけでなく、キーワード検索にかかるように、主要な事項を引用しておく
私は、そういう主義なので
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学/11 巻 (1959-1960) 4 号/書誌
保型函数と整数論I
志村 五郎
(抜粋)
§1.まえがき.
虚数乗法論の歴史をふりかえってみるとぎ,わ
れわれは大体次のような図式を書くことができ
る1).
円分体の整数論
↓
楕円函数の虚数乗法論
↓
類体論
↓
高次元Abe1多様体の虚数乗法論
↓
?
この図式の意味は次のごとくである.類体論は,
円分体の理論や楕円函数の虚数乗法論をVorbild
として完成されたのであるが,類体論以後の,高
次元Abel多様体の虚数乗法論は,何を産み出す
であろうか.それを疑問符?で表わしたのである.
われわれは,より単純に,‘ 虚数乗法論とは何か'
という質問を発することができる.代数体のAbe
拡大を解析函数の特殊値で生成する理論でlあると
一応いうことはできる.それは誰でも知っている。
しかし,‘Abe1体を構成する'とはいったいどう
いう意義をもつか?この意義は案外理解されに
くいことかもしれない.実際‘構成する'ことの
内容はいろいろあって,一口にはいえないのであ
るが,ここではただ,‘ いかに構成しているかとい
う機構'の中に多分に重要性があるということに
注意したい.このことは,将来への発展を考える
ときによりよく理解されるであろう.すなわち,
その機構のわれわれに暗示するものが重要なので
ある8ここにわれわれは,類体論の枠を越えたも
のをも発見しうるはずである.この暗示の最もよ
い一例は谷山[4]である.そこでは,虚数乗法と,
多様体のζ函数の理論との切り離せない関係の中
において,量指標のL函数が全く新しい立場で研
究されている.しかも,問題をAbel多様体とは
独立に定式化する試みがなされているのである．
これは虚数乗法論の暗示している未知の大きな領
域への一つの道である.
つづく
333:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:33:07.07 ivC57rPE.net
>>296
つづき
さて,この未知の領域へのもう一つの道がある。
それが‘modular対応の理論'である.この理論
の内容とする所もまた広いのであるが,たとえば
‘非Abe1的なGalois拡大における相互律'を暗
示するものをその中に見出すことができる.この
論説の目的は,modular対応の理論を中心とし
て,関連する多くの問題についての解説と展望で
ある.上の疑問符?に対する一つの出発点を与え
ようという意図にほかならない.
Modular対応の理論は,それのみを解説する
こともできるが,やはり虚数乗法論を背景とした
とぎに,よりよく理解されると思われるので,わ
れわれは,一般的な考察に次いで,まず虚数乗法
論を概観することにする.それがこの第1部の内
容である。
つづく
334:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:33:32.27 ivC57rPE.net
>>297
つづき
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学/13 巻 (1961-1962) 2 号/書誌
保型函数と整数論II
志村 五郎
(抜粋)
この標題で1を書いてから,大分時間がたった.
その間に,筆者の基本的な考え方に変化はなかつ
たが,これからの話の進め方は全然あらためるこ
とにした.はじめの予定では,1に続いて,虚数乗
法をもつ楕円曲線のζ 函数が量指標をもつ五函
数で表わされることを示し,それから保型函数に
うつるつもりであったが,そのように書いていて
は,多くの紙数を費やして,読者が最後の目標に
達する前に疲れてしまうということがあるかもし
れない.それゆえ,虚数乗法については,1の範
囲で打ち切って,ただちに保型函数の一般論から
modular対応の理論にはいることにする1).そし
て,`証明'はなるべくはぶいて,重要な問題と考
え方をのべることを主眼とした.したがって,1
とは調子も変わり,そのために,不親切で非教育
的であるとのそしりを受けるかもしれないが,そ
れもやむを得ない.読者のおゆるしをこう次第で
ある.
§8. 保型函数.
§10. Modular対応.
§11. 代数対応としてのmodular対応.
§12. Modular対応の合同関係式12).
§13. GNのζ 函数.
§15. Galois拡大における相互律.
§16.数論的なFuchs群.
§17. 高次の尖点形式.
つづく
335:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:33:56.23 ivC57rPE.net
>>298
つづき
§18. 多変数の保型函数,保型型式一むすび.
これまで語つて来たのは,すべて,複素1次元
の上半平面のFuchs群に関する話である.多変
数の保型函数や保型�
336:`式を考えるならば,1変数 のときの問題はすべて多変数の場合においても問 題になる.ここで,われわれの対象とする範囲は, ほとんど限りなく広がっていく.その枠を一応広 い意味での‘ 代数群の数論'という言葉でよぶこ ともできるであろう.それでは不明確であるとい うならば,‘ 代数群に関連するあらゆる種類のζ 函数を問題にすること'といういい方も考えられ る21).より広い意味の‘ 代数群の数論'について は,新たな論説に期待して,ここでは,今まで考 えて来た思想に近い範囲だけを問題にしよう. たとえばK3 曲面と呼ばれているものなどである26)。それらに 対しては,まず,虚数乗法論の類似を求めること が第一の問題となる.それからもちろん,今まで 考えて来た種類の問題も. われわれは,この論説を,類体論的発想からは じめて,それをかなり強く意識しながら書いて来 た.その理由の一つは,そこから出発しても,‘ 自 然に'ここにのべた領域にはいつて来るというこ とを示したかつたからであるが,いまや,ここに 開けている数論の広大な領域を,そのような発想 の枠の中に収めることは不可能である.われわれ がのべたのは,単なる一つのプログラムに過ぎず, 関連する多くの興味ある話題27)にふれなかつたこ とを思えばなおさらである.しかも,その一つの プログラムの範囲においても,われわれは,数論 の一つの重要な発展を期待してよいと思われる. そして,重要さにほとんどつねにつきまとうかの 如く考えられている困難を恐れて,この可能性を ただ遠くからのみ眺めているべきではないのであ る. (引用終り) 以上
337:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 07:43:03.75 ivC57rPE.net
>>289
>いやでも may not be realizable の意味なら、非存在を予想してるのかな？
当然、そう読みました
おそらく、手計算を越えて、
コンピュータの群論計算の探索で
かなり大きな領域まで見つかっていないのでしょうね
あと、なにか非存在を予想させる兆候があるのかもしれませんね
存在は1つ例を挙げればいいが、非存在を示すには、それなりの理論が必要になります
よくあるのが、なにか指標を作って、非存在を示す例では、その指標の理論に合わないみたいな
（因みに、よくある「ｙｙの存在定理」というのは、「ｘｘの条件で、ｙｙが存在する」みたいな記述ですね）
338:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/28 08:06:42.18 ivC57rPE.net
>>295
ID:ek6S6+eDさん、どうも。スレ主です。
(引用開始)
背後ではどうつながってるのか？
円分体のガロア群の計算には円分多項式のQ上での既約性を使いますが
その証明にはEisensteinの規準を使い
それは結局整数性・素数の性質を使っている
という点でつながってると言えるだろう。
(引用終り)
いや、面白そうですね
そういうのは、コテコテの抽象化された現代風の数学ではなく
アマからセミプロレベルのどこかで、報文にまとめて発表されるのが良いのでは？
ようするに、背後に存在する”数学的な構造”を、どういう”視点”あるいは”切り口”で理解するかという問題だと思います
昔いわれたのが、”牛刀を用いてニワトリを裂く”みたいなこと
大げさな抽象化されたガロア理論＝牛刀でなく、もう少し具体的な手法で”数学的な構造”を見たらどうなるか？
いまの５ＣＨ数学板は、そういう議論には向きませんね
そもそも、ちょっと複雑になると、普通に数学記号が書けない
（例：右肩のベキとか添え字、下つきの添え字も。行列もそうです）
例にはならないかもしれないが、飯高 茂先生が”友愛数”について書かれています。現代風の抽象数学とは違った視点で
URLﾘﾝｸ(www.gensu.jp)現代数学%e3%80%802019年9月号/
現代数学 2019年9月号
(抜粋)
数学の研究をはじめよう／友愛数の平行移動 前編 オイラーによる友愛数の公式 飯高 茂
339:１３２人目の素数さん
19/10/28 1
340:9:20:31 ID:oKdDSbck.net
341:１３２人目の素数さん
19/10/28 23:38:52.11 REGuTzcQ.net
>>289
>いやでも may not be realizable の意味なら、非存在を予想してるのかな？
may not be known to be realizable は意味的におかしいので
may not be realizable でしょうね。
ただ、予想とまで言えるほどのものかは読み取れませんが。
342:１３２人目の素数さん
19/10/29 10:50:50 wEoW+rwB.net
>>302
それな、もとのPDFのOCRの原文からのコピーなのよ
つまり、原文がAbe1多様体であり、五函数でありなんだよね
人は原文PDFを読めばいい
検索用には、大目に文章をコピー貼り付けしておけば
正しい術語もあるから、検索用の目的は達しているってことな
343:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/29 10:59:07 wEoW+rwB.net
コテハンが抜けたか（＾＾
>>300 追加
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Partial results
(抜粋)
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
All 13 non-Abelian simple groups smaller than PSL(2,25) (order 7800) are known to be realizable over Q. [6]
(引用終り)
なので、
” the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be be realizable over Q.”が素直な解釈では？
なお、PSL(2,16):2の何がそんなに難しいのか、さっぱり理解できませんが（＾＾；
[5] PSL(2,16)下記「not solvable, primitive, simple, irreducible, 」か
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de) A Database for Number Fields
Technische Universitat Kaiserslautern
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups of degree 17
(抜粋)
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
17T6 L(17)=PSL(2,16) 4080 24 ・ 3 ・ 5 ・ 17 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 3
さらに「"PSL(2,16)" math group」で検索すると
約 77 件 （0.47 秒）ヒットで
TOPが下記
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)
ResearchGate
A New Characterization of PSL(2, q) for Some q
Article (PDF Available)?in?Ukrainian Mathematical Journal 67(9) ・ March 2016?with?163 Reads?
Alireza Khalili Asboei
15.16University of Farhangian
seyed sadegh Salehi
10Islamic Azad University - Babol
Ali Iranmanesh
35.9Tarbiat Modares University
Download full-text PDF
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)
(抜粋)
3.1. Characterizability of the Group PSL(2, 16) by NSE. Let G be a group such that
nse (G) = nse (PSL(2, 16)) = {1, 255, 272, 544, 1088, 1920}.
344:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 11:00:28.18 wEoW+rwB.net
>>304 タイポ訂正
検索用には、大目に文章をコピー貼り付けしておけば
↓
検索用には、多目に文章をコピー貼り付けしておけば
345:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 11:03:05.33 wEoW+rwB.net
>>305 追加
参考
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
University of Kaiserslautern
(抜粋)
The University of Kaiserslautern (German: Technische Universitat Kaiserslautern, commonly referred to as TU Kaiserslautern or simply TUK, unofficially Techni
346:cal University of Kaiserslautern) is a research university in Kaiserslautern, Germany.
347:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 14:42:35.94 wEoW+rwB.net
>>305 追加
検索
「Inverse Galois problem group PSL(2,16):2 of degree 17」
約 64 件 （0.70 秒）
下記以外にも面白そうなのがあるが
下記は、”Ihara/Ribet/Serre (eds.)”と”Noriko Yui”が目にとまったので
PDF This book describes a constructive approach to the inverse ...
library.msri.org ? books ? Book45 ? files ? book45
15. Hochster/Huneke/Sally (eds.): Commutative Algebra. 16. Ihara/Ribet/Serre (eds.): Galois Groups over q. 17 ... 17. 1.2. Resolvent Polynomials. 23. Exercises. 26. Chapter 2. Groups of Small Degree. 29. 2.1. Groups of Degree 3. 30. 2.2. Groups ....
The classical Inverse Problem of Galois Theory is the existence problem for ...... PSL2(Fq): the projective special linear group of 2 × ...
Mathematical Sciences Research Institute
Publications
45 Generic Polynomials Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem
Mathematical Sciences Research Institute 2002
Christian U. Jensen
University of Copenhagen
Arne Ledet
Texas Tech University
Noriko Yui
Queen’s University, Kingston, Ontario
P4/268
Mathematical Sciences Research Institute Publications
16 Ihara/Ribet/Serre (eds.): Galois Groups over
P16
Methods of Ihara, Schneps, etc. There is an excellent MSRI Conference
Proceedings Galois Groups over Q, [IR&S], edited by Ihara, Ribet and Serre.
There the absolute Galois groups acting on algebraic fundamental groups were
extensively discussed.
P249
[IR&S] Y. Ihara, K. Ribet & J.-P. Serre (eds.), Galois Groups over
, Mathematical Sciences
Research Institute Publications 16, Springer-Verlag, 1987
348:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/29 15:53:35.79 wEoW+rwB.net
>>305 訂正補足
失礼しました
”PSL(2,16):2 of degree 17”に相当するのは、
下記の 17T7 ”L(17):2=<PZL(2,16)”の方ですね（＾＾；
（PSL(2,16)の２倍の群。”=<”とは？ どういうつもりかな？ ）
で
17T7の方は、#fields＝0
17T6の方は、#fields＝3
ですね。詳しくは、下記のURLをどうぞ（＾＾
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de) A Database for Number Fields
Technische Universitat Kaiserslautern
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Groups of degree 17
(抜粋)
G Name |G| |G| fact. |Z(G)| Properties of G #fields
17T6 L(17)=PSL(2,16) 4080 24 ・ 3 ・ 5 ・ 17 1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 3
17T7 L(17):2=<PZL(2,16) 8160 25 ・ 3 ・ 5 ・ 17 1 not solvable, primitive, irreducible, even 0
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Group 17T7
URLﾘﾝｸ(www.lmfdb.org)
LMFDB
Galois Group: 17T7
URLﾘﾝｸ(galoisdb.math.upb.de)
Transitive Group 17T6
URLﾘﾝｸ(www.lmfdb.org)
LMFDB
Galois Group: 17T6