19/10/19 12:10:38.11 S/ONPb/G.net
前スレの話の続き。
ζを1の原始5乗根とする。
Q上（Q(ζ)上としてもほぼ同じ）の可解5次方程式f(x)=0 は2項5次方程式に帰着するか？
位数20の場合を考える。
方程式の分解体をLとするとGal(L/Q)=F_20.
このとき Gal(M/Q)=C_4 なる中間体Mがある。C_4 同型 F_20/C_5.
f(x)の分解体が2項5次方程式の分解体と一致⇔M=Q(ζ).
つまりM=Q(ζ)は一般的なことなのか？ が問題となる。
Gal(F/Q)=C_4 をみたすFには一般的にどんなものがあるか？
ここで、「Q上のアーベル拡大はすべて円分体の部分体である」
というクロネッカー・ウェーバーの定理より
Fは円分体の部分体であることが分かる。
pを4n+1型の素数とするときQ(e^{2πi/p})の部分体として、p=5以外にも
無数に多くのFが存在することが分かる。
それゆえp≠5のとき、Fが実際に中間体Mとして実現する可解5次方程式f(x)=0の存在を示せば反例となる。
17:１３２人目の素数さん
19/10/19 12:58:07.81 S/ONPb/G.net
2つの異なるF、F_1,F_2 があるときそれらの合成体の部分体としてさらに別の（F_1,F_2と異なる）Fが存在することも分かる。
実際の例は
URLﾘﾝｸ(repository.hyogo-u.ac.jp)
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著
を参照のこと。5乗根の中に√5が含まれてる例が多いのが気になっていたが
だからと言って中間体がQ(ζ)（及びその部分体）とは限らないんだな。
18:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/19 19:25:01.03 ti2BclkQ.net
S5の位数20の部分群
URLﾘﾝｸ(groupprops.subwiki.org)(1,5)
General affine group:GA(1,5)
(抜粋)
As GA(1,q), q = 5: q(q - 1) = 5(5 - 1) = 20
As holomorph of cyclic group:Z5: |Z5||Aut(Z5)| = 5・4 = 20
As Sz(q), q = 2: q^2(q^2 + 1)(q - 1) = 2^2(2^2 + 1)(2 - 1) = 4・5・1 = 20
Group properties
Function Value
abelian group No
nilpotent group No
metacyclic group Yes
supersolvable group Yes
solvable group Yes
Frobenius group Yes
Camina group Yes
URLﾘﾝｸ(people.maths.bris.ac.uk)
Tim Dokchitser Arithmetic/Algebraic Geometry University of Bristol
URLﾘﾝｸ(people.maths.bris.ac.uk)
G = F5? order 20 = 2^2・5 Frobenius group Tim Dokchitser
URLﾘﾝｸ(groupprops.subwiki.org)
General affine group of degree one
GA(1,K) = K semix K^*
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アフィン群
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Frobenius group
(抜粋)
In mathematics, a Frobenius group is a transitive permutation group on a finite set, such that no non-trivial element fixes more than one point and some non-trivial element fixes a point. They are named after F. G. Frobenius.
Structure
A subgroup H of a Frobenius group G fixing a point of the set X is called the Frobenius complement.
The identity element together with all elements not in any conjugate of H form a normal subgroup called the Frobenius kernel K.
(This is a theorem due to Frobenius (1901); there is still no proof of this theorem that does not use character theory, although see [1].)
The Frobenius group G is the semidirect product of K and H:
G=K semix H
つづく
19:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/19 19:25:28.89 ti2BclkQ.net
>>18
つづき
(スレ77 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:884番)- より)
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
(抜粋)
P3
S5の部分群
位数20： < (12345), (2354) > S5中の共役な群6個
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類
(抜粋)
P3
位数20 5個；
アーベル：C4 × C5, C2 × C2 × C5 ２個,
非アーベル： C5 semix C4, Q20, D20 ３個
P16
11 位数 20 の群の分類
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
List of small groups
(抜粋)
List of small abelian groups
位数20
51 G202 Z20 = Z5 × Z4 Z10, Z5, Z4, Z2 GroupDiagramMiniC20.svg Cyclic. Product.
54 G205 Z10 × Z2 = Z5 × Z22 Z5, Z2 GroupDiagramMiniC2C10.png Product.
List of small non-abelian groups
位数20
50 G201 Q20 = Dic5 = <5,2,2> GroupDiagramMiniQ20.png Binary dihedral group
52 G203 Z5 semix Z4 GroupDiagramMiniC5semiprodC4.png Frobenius group
53 G204 Dih10 = Dih5 × Z2 = D20 GroupDiagramMiniD20.png Dihedral group, product
(引用終り)
以上
20:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/19 19:29:19.25 ti2BclkQ.net
>>15
おっちゃん、どうも、スレ主です。
真面目なレスありがとう
私に対する誹謗中傷は許す。というか、ひょっとして私の側にも、おっちゃんに対する誹謗中傷があったかも。その場合はご容赦くださいm(＿ ＿)m
21:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/19 19:34:42.00 ti2BclkQ.net
>>19 追加
＞非アーベル： C5 semix C4, Q20, D20 ３個
S5の位数20の部分群は、
非アーベル： C5 semix C4 （Ｃ5とＣ4の半直積）
（>>18より）
abelian group No
nilpotent group No
metacyclic group Yes
supersolvable group Yes
solvable group Yes
Frobenius group Yes
ということです
おっと、General affine group:GA(1,5) （線形群でもあります）
鈴木群 Sz(q), q = 2: q^2(q^2 + 1)(q - 1) = 2^2(2^2 + 1)(2 - 1) = 4・5・1 = 20 （>>18）
なんだって（＾＾；
22:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/19 19:40:25.78 ti2BclkQ.net
>>21
追加参考
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Suzuki groups
(抜粋)
Constructions
Suzuki
Suzuki (1960) originally constructed the Suzuki groups as subgroups of SL4(F22n+1) generated by certain explicit matrices.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Suzuki group
(抜粋)
In the mathematical discipline known as group theory, the phrase Suzuki group refers to:
・The Suzuki sporadic group, Suz or Sz is a sporadic simple group of order 213 ・ 37 ・ 52 ・ 7 ・ 11 ・ 13 = 448,345,497,600 discovered by Suzuki in 1969
・One of an infinite family of Suzuki groups of Lie type discovered by Suzuki
23:
19/10/19 20:26:01 ti2BclkQ.net
>>16-17
ID:S/ONPb/Gさん、どうも。スレ主です。
>Q上（Q(ζ)上としてもほぼ同じ）の可解5次方程式f(x)=0 は2項5次方程式に帰着するか？
ここ、下記 松田 修 のべき根拡大 定理 61 があるのです
つまり、体 K が 1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして、
べき根拡大 ←→ 巡回群
が成立つ
これは、小島寛之のガロア本（下記）の
P208 べき根拡大の定理1と（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群）
P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大）
と同じです
これ、方程式のガロア理論では、多分頻出です
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
Matsuda’s Web Page 松田 修
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
TSUYAMA E-MATH BOOKS
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
PDF ガロア理論を理解しよう Osamu MATSUDA 津山高専 2018/11/16
(抜粋)
P76
10.2 べき根拡大
定理 61
体 K が 1 の原始 n 乗根 ζ （ζ≠ 1 (1 <= r <= n-1), ζn = 1）を含むとする．
(1) L が K の n 次巡回拡大であれば，L = K(α), Irr(α, K) = X^n - a となる α が存在する．
(2) もし L = K(α), α^n = a ∈ K であれば，L は K の巡回拡大である．
証明
略
URLﾘﾝｸ(gihyo.jp)
知の扉
【完全版】天才ガロアの発想力
―対称性と群が明かす方程式の秘密―
著者
小島寛之 著
発売日
2019年7月6日
(抜粋)
2010 年に刊行した『天才ガロアの発想力』を大幅加筆しました。
これまでにないガロアの定理の完全解説本です。
第7章 5次以上の方程式が解けないからくり
ガロアの基本定理1の証明
解けない方程式の「からくり」はこうだ（それなり版証明）
P208 べき根拡大の定理1（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群）
解ける方程式の「からくり」はこうだ
P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大）
24:
19/10/19 20:47:10 ti2BclkQ.net
>>23 つづき
もし、体 K に 1 の原始 n 乗根 ζが添加されていない場合は
単純に、「べき根拡大 ←→ 巡回群」は言えない
例えば、下記 元吉 文男
f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1
のガロア群は、巡回群になるそうです
（詳しくは下記）
（参考）
スレ77 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:942番)-
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
巡回群をガロア群に持つ5次方程式の判別とその解法(数式処理と数学研究への応用)
元吉 文男
数理解析研究所講究録 (1990), 722: 17-20
(抜粋)
P17
§1. ガロア群が巡回群かどうかの判定
fのQ上の最小多項式はfであるのでfの 1 根をα としたとき にfを Q(α)で因数分解して、
根がすべて分離できれば巡回群である。
P18
§3. 例
f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1
を解くことにする。α をf(x)=0の根とする。
f(x)=(x-α)h(x,α)
=(x-α)(x-(α^4-4α^2+2))(x-(α^3-3α))(x-(α^2-2))(x-(-α^4-α^3+3α^2+2α-1))
となって因数分解ができ、 fのQでのガロア群が巡回群であることがわかる。
f(x) の代数的解法
上の因数分解から
θ(α)=α^2-2
とする。 これより
θ^2(α)=α^4-4α^2+2
θ^3(α)=α^3-3α
θ^4(α)=-α^5-α^4+3α^3+2α-1
となる。
略（原文を見よ）
(実はα はω_{11} を 1 の原始 n 乗根として
α=ω_{11}+ω_{11}^10
と表すことができる。)
25:
19/10/19 20:57:02 ti2BclkQ.net
>>23-24 追加
(引用開始)
松田 修 のべき根拡大 定理 61 があるのです
つまり、体 K が 1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして、
べき根拡大 ←→ 巡回群
が成立つ
(引用終り)
なので
１）方程式のガロア理論的の教育というか学習としては、「1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして」考えると
”べき根拡大 ←→ 巡回群”が成立つので、理論的にはすっきりしています
２）>>24 の 元吉 文男さんなどが研究されているのは（>>17の兵庫教育大学 大迎規宏 著）もそうかも知れないが
数式処理等にのせるには、「1 の原始 n 乗根 ζが添加されている」という仮定は、かえってコンピュータの処理に乗せにくい部分があるのでしょう
数体はQ（実際には整数ベース）として、数式処理の乗せる方が、素直なような気がします
（数式処理ソフトは、あまり使っていないので、ここは外しているかも知れませんが）
なので、上記１）と２）の立場をうまく使い分けるのが良いと思います
26:
19/10/19 20:59:15 ti2BclkQ.net
>>25 タイポ訂正
方程式のガロア理論的の教育というか
↓
方程式のガロア理論の教育というか
（>>17の兵庫教育大学 大迎規宏 著）もそうかも知れないが
↓
（>>17の兵庫教育大学 大迎規宏 著もそうかも知れないが）
分かると思うが、念のため（＾＾；
27:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/19 21:31:14.45 ti2BclkQ.net
>>25 補足
方程式のガロア理論的の教育というか学習としては
↓
一般5次方程式のガロア理論的の教育というか学習としては
という意味ね
つまり、2次方程式、3次方程式、4次方程式ときて
果たして、5次方程式（あるいはそれ以上の次数の）に、べき根による根の公式が存在するか否かの問題ってこと
円分体とか、あるいはレムニスケートや楕円の等分点を求める方程式の解法については、
基礎体ｋに、どういう値が添加されているべきかという視点になります
（参考）
URLﾘﾝｸ(reuler.blo)（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
日々のつれづれ Author:オイラー研究所の所長 高瀬正仁
ガウスの数学日記57 レムニスケート曲線の5等分
2012-06-19
(抜粋)
第62項目の話題はレムニスケート曲線の5等分ですが、ここでガウスが語っているのはただの5等分ではなく、「幾何学的な」5等分です。すなわち、定規とコンパスのみを用いて5等分点を指定することができるという事実です。
定規は直線を引くのに使い、コンパスは円を描くのに使います。直線と円という簡単な図形のみを手持ちにして、複雑な図形を描こうとするところにヨーロッパの数学の顕著な特徴が見られます。
これを代数の言葉に移すと、レムニスケート曲線の5等分方程式（その次数は25になります）の根を平方根のみを用いて表示することができるという言明になります。
62.［レムニスケート曲線］（1797年3月21日）
レムニスケート［曲線］は幾何学的に五つの部分に分けられる。
[1797年]3月21日 [ゲッチンゲン]
つづく
28:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/19 21:32:07.48 ti2BclkQ.net
>>27
つづき
レムニスケート曲線の等分については高木先生の『近世数学史談』にも詳しく紹介されています。この方面のことでしたらファニャノの論文に言及しなければなりませんし、
ファニャノの影響を受けて書かれたオイラーの二論文も重要です。というのは、そこが楕円関数論の源泉だからです。
ガウスはオイラーの論文は知っていたと思いますが、ファニャノの論文については何も語っていません。
オイラーの論文にはファニャノ名前が出ていますから、ガウスが知らなかったはずはなく、しかもレムニスケート曲線の等分はファニャノの創意です。
オイラーは微分方程式の代数的積分を求めようとする視点からファニャノの研究に注目し、等分そのものには関心を示していません。それにもかかわらずガウスがファニャノを語らないのはいかにも不審です。
ガウスはレムニスケート曲線の等分問題を公表しませんでしたが、『アリトメチカ研究』の中でごくわずかにヒントを書き留めました。
それを受けてレムニスケート曲線のみならず一般に楕円関数の等分理論を構築したのはアーベルです。
(引用終り)
以上
29:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/19 21:35:25.42 ti2BclkQ.net
>>24 タイポ訂正
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
↓
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
最後のfが抜けていた（＾＾；
30:
19/10/19 22:02:00 ti2BclkQ.net
メモ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Projective linear group
(抜粋)
PGL(V) = GL(V)/Z(V)
where GL(V) is the general linear group of V and Z(V) is the subgroup of all nonzero scalar transformations of V
PSL(V) = SL(V)/SZ(V)
where SL(V) is the special linear group over V and SZ(V) is the subgroup of scalar transformations with unit determinant.
PGL and PSL are some of the fundamental groups of study, part of the so-called classical groups, and an element of PGL is called projective linear transformation, projective transformation or homography.
If V is the n-dimensional vector space over a field F, namely V = Fn, the alternate notations PGL(n, F) and PSL(n, F) are also used.
there are other exceptional isomorphisms between projective special linear groups and alternating groups (these groups are all simple, as the alternating group over 5 or more letters is simple):
L_2(4) ＝～ A_5
L_2(5) ＝～ A_5 (see here for a proof)
つづく
31:
19/10/19 22:02:50 ti2BclkQ.net
>>30
つづき
The groups over F5 have a number of exceptional isomorphisms:
PSL(2, 5) ＝～ A5 ＝～ I, the alternating group on five elements, or equivalently the icosahedral group;
PGL(2, 5) ＝～ S5, the symmetric group on five elements;
SL(2, 5) ＝～ 2 ・ A5 ＝～ 2I the double cover of the alternating group A5, or equivalently the binary icosahedral group.
They can also be used to give a construction of an exotic map S5 → S6, as described below. Note however that GL(2, 5) is not a double cover of S5, but is rather a 4-fold cover.
・PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S5, of order 60, yielding the alternating group A5.
・PSL(2, 5) < PGL(2, 5) → S6, of orders 60 and 120, which yields an embedding of S5 (respectively, A5) as a transitive subgroup of S6 (respectively, A6).
This is an example of an exo
32:tic map S5 → S6, and can be used to construct the exceptional outer automorphism of S6.[6] Note that the isomorphism PGL(2, 5) ＝～ S5 is not transparent from this presentation: there is no particularly natural set of 5 elements on which PGL(2, 5) acts. ・L_2(5) ＝～ A_5. To construct such an isomorphism, one needs to consider the group L2(5) as a Galois group of a Galois cover a5: X(5) → X(1) = P1, (引用終り) 以上
33:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/19 23:27:41.08 ti2BclkQ.net
メモ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
中心化群と正規化群
(抜粋)
群 G の部分集合 S の中心化群とは、S の各元と可換な G の元全体からなる集合であり、S の正規化群とは、「全体で」S と可換な G の元全体からなる集合である。S の中心化群と正規化群は G の部分群であり、G の構造について知る手掛かりを得られる。
（正規化群）
中心化群の定義と似ているが同じではない。g が S の中心化群の元で s が S の元であれば、gs = sg でなければならないが、g が正規化群の元であれば、s とは異なってもよい t ∈ S に対して gs = tg である。
性質
下記の性質は Isaacs 2009, Chapters 1?3 による。
・S の中心化群と正規化群はともに G の部分群である。
・明らかに、CG(S) ⊆ NG(S) である。実は、CG(S) は必ず NG(S) の正規部分群である。
・CG(CG(S)) は S を含むが、CG(S) は S を含むとは限らない。S のすべての元 s, t に対して st = ts であれば含む。なので・もちろん H が G の可換な部分群であれば CG(H) は H を含む。
・S が G の部分半群であれば、NG(S) は S を含む。
・H が G の部分群であれば、H を正規部分群として含むような最大の G の部分群が NG(H) である。
・元 a ∈ G の属する共役類の大きさと中心化群の指数 [G : CG(a)] は等しい。
・群 G の部分群 H と共役な部分群の数と正規化群の指数 [G : NG(H)] は等しい。
・G の部分群 H は、NG(H) = H であるときに、G の自己正規化部分群と呼ばれる。
・G の中心はちょうど CG(G) であり、G がアーベル群であることと CG(G) = Z(G) = G は同値である。
・単集合に対して、CG(a) = NG(a) である。
・対称性により、S と T が G の 2 つの部分集合であれば、T ⊆ CG(S) と S ⊆ CG(T) は同値である。
・群 G の部分群 H に対して、N/C定理は、剰余群 NG(H)/CG(H) は H の自己同型群 Aut(H) の部分群に同型であるという定理である。NG(G) = G および CG(G) = Z(G) であるから、N/C theorem は、G/Z(G) は、G のすべての内部自己同型からなる、Aut(G) の部分群 Inn(G) に同型であるということも意味している。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Centralizer and normalizer
34:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/19 23:33:29.80 ti2BclkQ.net
>>32 追加
＞中心化群と正規化群
これ、>>17の大迎規宏で”正規化群”が出てくるので、�
35:ｲべた http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著
36:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/19 23:49:57.42 ti2BclkQ.net
メモ
成川淳（なるかわあつし）
”[4] 群と群から群を作る話
群の直積・半直積を包括する bicrossed product という概念について紹介しています。 左作用・右作用が同等に扱われる定義が美しいです。”
URLﾘﾝｸ(www.ac.cyberhome.ne.jp)
群と群から群を作る話
成川淳（なるかわあつし）
(抜粋)
数学の世界ではしばしば、2 つの群から 1 つの群を作る場面があります。方法としては、
「直積」という概念が最も自然で、最も頻繁に見かけるのですが、少し複雑な「半直積」とい
う概念も頻繁に見かけます。しかし、半直積の定義は 2 つの群それぞれの役割が非対称で、
気持ち悪いなという印象が私にはありました。その気持ち悪さを解消し、直積・半直積を包
括する概念として、群の Bicrossed Product というものがあります。この概念を知って感心
した覚えがあるので、ここで紹介することにしました。本稿では群の定義と直積の定義は省
略して、作用という概念の紹介から話を進めます。
5 最後に
私は半直積という非対称な概念が嫌いでした。しかし、一度 Bicrossed Product という概
念を知り、対称性の高さに感心しつつも厳しい条件 (11)-(14) を考えると、逆に半直積の有
用性が理解できました。半直積が素晴らしいのは、(13) が退化した (5) が「準同型」という
扱いやすい性質だからです。逆に (5) を仮定するためには、H の K への右作用が自明でな
ければなりません。つまり、半直積は二項演算としての対称性を犠牲にしつつも、扱いやす
い別の対称性を構成する手段と言えます。実用的ではなさそうな群の Bicrossed Product で
すが、半直積の特殊性を浮き彫りにできるだけでも、価値のある概念だと私は思います。
(引用終り)
つづく
37:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/19 23:50:30.29 ti2BclkQ.net
>>34
つづき
URLﾘﾝｸ(www.ac.cyberhome.ne.jp)
成川淳の文書集へようこそ！
(抜粋)
純粋数学関連の文書
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
[1] The modular properties and the integral representations of the multiple elliptic gamma functions (Advances in Math. 189 (2) (2004) 247-267,math.QA/0306164).
修士論文を英訳したものです。 テータ関数のモジュラー変換式を、多重楕円ガンマ関数の性質として一般化するとともに、 多重サイン関数との関係を明らかにしています。 著名な数学者、物理学者（黒川信重氏、カムラン・バッファ氏等）にも 参照されて いるようです。
URLﾘﾝｸ(www.ac.cyberhome.ne.jp)
[2] 多重化展覧会
ゼータ関数、ガンマ関数、サイン関数、対数関数、ベルヌーイ多項式、テータ関数の 多重化の概念を紹介するとともに、私の学生時代の研究結果を紹介しています。
(引用終り)
以上
38:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 00:45:16.80 f+LcfVi/.net
>>24
(引用開始)
ガロア群が巡回群
(実はα はω_{11} を 1 の原始 n 乗根として
α=ω_{11}+ω_{11}^10
と表すことができる。)
(引用終り)
巡回群はアーベルだから、クロネッカー・ウェーバーの定理から、 1 の原始 n 乗根で表わすことができるってことだね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
巡回群
(抜粋)
任意の巡回群はアーベル群となるので、しばしば加法的に記される。またそのとき、位数 n の巡回群を Zn で表すこともあるが、この記号は数論的な文脈では p-進整数環や素イデアルによる環の局所化の記法と衝突するので問題となりうる。
他の標準的な記号としては剰余群の記法に従って Z/nZ, Z/n, Z/(n) などが用いられる。
位数 n の巡回群（n は無限大でもよい）G と G の任意の元 g について、以下のようなことが言える。
・G はアーベル群である[2]。つまり、任意の h ∈ G に対して gh = hg が成り立つ。これは g + h ≡ h + g (mod n) の成立から従う。
有限生成アーベル群の基本定理は、任意の有限生成アーベル群 A が有限個の（有限）基本巡回群と有限個の無限巡回群との直積になることを主張するものである[7]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クロネッカー・ウェーバーの定理
(抜粋)
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker?Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。
言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。
体論的定式化
クロネッカー・ウェーバーの定理は、体と体の拡大のことばで記述することができる。それは、有理数体 Q の有限アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという定理である。
つまり、Q 上のガロア群がアーベル群である代数体は、ある1のべき根を有理数体Qに添加して得られる体の部分体である。
39:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 00:54:28.50 f+LcfVi/.net
>>21
(引用開始)
S5の位数20の部分群は、
非アーベル： C5 semix C4 （Ｃ5とＣ4の半直積）
abelian group No
nilpotent group No
metacyclic group Yes
supersolvable group Yes
solvable group Yes
Frobenius group Yes
(引用終り)
なるほどね
非アーベルか
（>>36より）
”有限生成アーベル群の基本定理は、任意の有限生成アーベル群 A が有限個の（有限）基本巡回群と有限個の無限巡回群との直積になることを主張するものである”
から、成川淳氏の 「半直積の定義は 2 つの群それぞれの役割が非対称」ってことで、これを使わないとまずいよと
直積だと、「 2 つの群それぞれの役割が対称」ってことで、対称な2つの群の直積は対称になるので、非対称の群を構成することができない
だから、対称性を崩すために半直積使うってこと
S5の位数20の部分群が、非可換ということは、置換の積から直接確かめられるだろうね（やってないけど（＾＾； ）
40:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 01:05:03.68 f+LcfVi/.net
>>19
補足
位数20から
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類
に書いてあるけど
P16
5-シロー部分群の数 n5 が存在して
これは、当然素数5の群だから巡回群C5だが
アーベルと、非アーベルに分けて
非アーベルの場合で
20＝5ｘ4 で、5で割った残りの位数4の群を場合分けして、S5の部分群の候補が出るけど
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
に書いてあるような手法で、絞り込んで
（非アーベル）の 「C5 semix C4」に決めることができるってことだね
41:１３２人目の素数さん
19/10/20 06:56:57.13 1gpHuTQE.net
>>38
>これは、当然素数5の群だから巡回群C5だが
>アーベルと、非アーベルに分けて
いやいや、C_5は唯一つしか存在しませんよ。当然アーベル群です。
C_5もC_4もアーベル群だが、（直積ではない）半直積を取ると非アーベル群になるんですよ。
ちなみにこれはC_3とC_2半直積がS_3になってることと類似。
42:１３２人目の素数さん
19/10/20 07:01:04.20 1gpHuTQE.net
S_5の部分群を分類しても、それが実際に既約5次方程式のガロア群になりうるかはまた別の話。
素数次の既約方程式が可解なときそのガロア群がフロベニウス群になることはガロア第一論文に出てくる。
200年前の結果。
43:１３２人目の素数さん
19/10/20 07:08:16.98 1gpHuTQE.net
>>16
可解5次方程式の古い論文見てたら、解の5乗根の中に√17や√65=√5×√13
が現れてる例が載ってたから、やはり予想通り中間体として
1の13乗根や17乗根の部分体を含むケースがあるのだろう。
なので、2項方程式に帰着する？という話は明確に否定される。
44:１３２人目の素数さん
19/10/20 07:25:58.42 1gpHuTQE.net
前スレID:ospgeXvi氏が可解5次方程式を「分類する」という
問題意識を持っていたが、単に分類するだけでは面白くない。
むしろ「パラメトライズする」ような数学構造を見つけることが重要なのでは。
それでたとえば、中間体MとしてQ上ガロア群C_4またはC_2を持つ
任意の体が生じうるか？ とか、生じるなら係数によってどうパラメトライズされる
45:か とかは結構重要に思うが、そういう大事な問題に答えている論文が見当たらない。 つまりまともな数学者からは終わってると看做されている領域で 実際終わってるのかもしれないが、しかし現在新たに書いてるひとたちもいて それはちょっと数学者のレベルではない、100年以上前の話を電子計算などに絡めて蒸し返しているだけの感じ。
46:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 07:39:37.71 f+LcfVi/.net
>>39
ID:1gpHuTQEさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
(引用開始)
>これは、当然素数5の群だから巡回群C5だが
>アーベルと、非アーベルに分けて
いやいや、C_5は唯一つしか存在しませんよ。当然アーベル群です。
(引用終り)
失礼しました
ここ、舌足らずだが、>>38の冒頭の「位数20」ってことですね、コンテキスト（文脈）として
「位数20」の群を、”アーベルと、非アーベルの場合に分けて”ということです
当然、位数が素数（例えば5）の群は、巡回群しかなく（下記）、巡回群はアーベルですから
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有限群
(抜粋)
与えられた位数を持つ群の個数
位数が素数 p である群は巡回群である:これはラグランジュの定理からわかるように、単位元でない任意の元は位数が p であるので、それによって生成される巡回群はそれ自身に一致するためである。
（>>36より）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
巡回群
(抜粋)
任意の巡回群はアーベル群となるので、しばしば加法的に記される。
47:{}
19/10/20 07:53:52.94 n9MZ9SCV.net
>>38
>>>これは、当然素数5の群だから巡回群C5だが
>>>アーベルと、非アーベルに分けて
>>39
>>いやいや、C_5は唯一つしか存在しませんよ。当然アーベル群です。
>>43
>ここ、舌足らずだが・・・
足らないのは舌じゃなくオツムだろｗ
>・・・「位数20」ってことですね
そもそも何がしたいのかワケワカラン
48:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 07:56:51.04 f+LcfVi/.net
>>40
>S_5の部分群を分類しても、それが実際に既約5次方程式のガロア群になりうるかはまた別の話。
"ガロアの逆問題" ですね
”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”
なので、S_5の場合は、答えは”Yes”ですね
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Galois theory
(抜粋)
Contents
6 Inverse Galois problem
Inverse Galois problem
Main article: Inverse Galois problem
The inverse Galois problem is to find a field extension with a given Galois group
As long as one does not also specify the ground field, the problem is not very difficult, and all finite groups do occur as Galois groups. For showing this, one may proceed as follows.
つづく
49:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 07:57:23.19 f+LcfVi/.net
>>45
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Inverse Galois problem
(抜粋)
Question, Web Fundamentals.svg Unsolved problem in mathematics:
Is every finite group the Galois group of a Galois extension of the rational numbers?
(more unsolved problems in mathematics)
Contents
1 Partial results
2 A simple example: cyclic groups
2.1 Worked example: the cyclic group of order three
3 Symmetric and alternating groups
3.1 Alternating groups
3.1.1 Odd Degree
3.1.2 Even Degree
4 Rigid groups
5 A construction with an elliptic modular function
Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
All 13 non-Abelian simple groups smaller than PSL(2,25) (order 7800) are known to be realizable over Q. [6]
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Permutation group
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
置換 (数学)
以上
50:{}
19/10/20 07:58:58.75 n9MZ9SCV.net
>>40
>素数次の既約方程式が可解なとき
>そのガロア群がフロベニウス群になることは
>ガロア第一論文に出てくる。
それ、安達氏も言ってたな。
位数はｐ（ｐ－１）で非可換群
51:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 08:00:05.28 f+LcfVi/.net
>>44
なんだ、おさる の ぼくちゃん かいｗ（＾＾
＞そもそも何がしたいのかワケワカラン
そりゃ、わからんだろう、あんたにはｗ
52:{}
19/10/20 08:27:57.26 n9MZ9SCV.net
>>37
＞S5の位数20の部分群が、非可換ということは、
＞置換の積から直接確かめられるだろうね
＞（やってないけど
やれよｗ まっさきに
馬鹿がダメなのは、手を動かして計算しないこと
53:{}
19/10/20 08:44:32.11 n9MZ9SCV.net
>>38
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
散々引用してるけど、実は全然読めてないだろｗ
例えば、
S4の部分群で、位数6のものはS3だけしか出てこないが
S5の部分群で、位数6のものとしてS3のほかにC3×C2ともう一つ出てくること
に気づいてたか？
気付いてないだろ だから
＞「位数20」の群を、”アーベルと、非アーベルの場合に分けて”
みたいなトンチンカンなこというんだよｗ
ついでにいうと、
対称群Snの位数20の部分群でC5×C4が現れることはあるよ
nがいくつなら確実に現れる、と言い切れるか？
ヒントはこのコメントの中にあるよ
ああ、俺ってホント親切だなｗｗｗ
54:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 09:29:59.52 f+LcfVi/.net
>>47
無理しなくていいぞ
>位数はｐ（ｐ－１）で非可換群
位数がｐ（ｐ－１）だから非可換とは言えないだろう？
例えば、P=7で、ｐ（ｐ－１）＝42＝7x3x2
と分解して、各巡回群の直積
C7xC3xC2 を考えたら
明らかに、位数42で、アーベルだから
じゃ、位数42で非可換という条件なら？
下記、脇克志 フリーソフトのGAP使えば、すぐ出るらしい（＾＾
そのうちやってみるかｗ
でな
下記wiki”For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group. ”ってことよ
「 x→ ax+b」が、ガロア第一論文に出てくる
ガロア第一論文読んでないやつには、分からん話だよ
（参考）
URLﾘﾝｸ(fe.math.kobe-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(fe.math.kobe-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.math.kobe-u.ac.jp)
計算による数理科学の展開 (URLﾘﾝｸ(www.math.kobe-u.ac.jp))
URLﾘﾝｸ(www.math.kobe-u.ac.jp)
講義, 講演等のビデオを公開するプロジェクト
URLﾘﾝｸ(fe.math.kobe-u.ac.jp)
- 計算による数理科学の展開, Video Archives -
講演: 脇克志
内容: GAPを利用した有限群論
予備知識: 代数の初歩
ソース: 数学ソフトウェアとフリードキュメント 5 , 2007年9月20日（木), 東北大学
要約: KNOPPIX/MATH にも収録されている 代数計算ソフト GAPを使った有限群論を教える試みを紹介します。GAPを利用して有限群を実感させる講義を行った時の成功と失敗を通して、教育ツールとしてのGAPの利用方法を考えて行きます。
URLﾘﾝｸ(fe.math.kobe-u.ac.jp)
- 計算による数理科学の展開, Video Archives -
講演: 脇克志 数学ソフトウェアとフリードキュメント 5 , 2007年9月20日（木), 東北大学
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Frobenius group
(抜粋)
Examples
・For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group.
55:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 09:39:46.10 f+LcfVi/.net
>>49
＞やれよｗ まっさきに
＞馬鹿がダメなのは、手を動かして計算しないこと
何年か前に、このガロアスレを立ち上げる前に
５次の交代群の置換の表は、手で作った
位数20の置換の表も作った
（エクセルに打ち込んだのだが）
ただし、積の表まではやらなかった（＾＾；
それを、探せば、置換の積で、非可換はすぐ確認できるよ
（そのうち、GAPもやってみるかな
この自主ゼミが一段落するか、あるいは自主ゼミ中に時間取って）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%BC%8F%E5%87%A6%E7%90%86%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0)
GAP (数式処理システム)
56:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 09:46:12.33 f+LcfVi/.net
>>42
(引用開始)
前スレID:ospgeXvi氏が可解5次方程式を「分類する」という
問題意識を持っていたが、単に分類するだけでは面白くない。
むしろ「パラメトライズする」ような数学構造を見つけることが重要なのでは。
それでたとえば、中間体MとしてQ上ガロア群C_4またはC_2を持つ
任意の体が生じうるか？ とか、生じるなら係数によってどうパラメトライズされるか
とかは結構重要に思うが、そういう大事な問題に答えている論文が見当たらない。
(引用終り)
それって、まさに>>45の"ガロアの逆問題"と思うけど
で、>>46 ”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].” なので、S_5の場合は、答えは”Yes” 但し、"ガロアの逆問題"自身は、Unsolved problem（>>46） まあ、https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem を覗いてみたら？
58:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 09:49:54.22 f+LcfVi/.net
>>53
＞the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”
”may not be”だから、多分だめってこと
それは、この部分でさえ、未決着か(゜ロ゜;
まあ、”可能”を証明するのは、例を1つ出せば良い
だが、不可能を証明するのは、簡単じゃないんだね（＾＾；
59:{}
19/10/20 09:51:19.85 n9MZ9SCV.net
>>51
>>位数はｐ（ｐ－１）で非可換群
>位数がｐ（ｐ－１）だから非可換とは言えないだろう？
対称群Spの部分群で位数がｐ（ｐ－１）なら非可換群
嘘だと思うなら置換から計算して確かめてごらん
貴様こそ底抜けの馬鹿なんだから無理してリコウぶるなｗｗｗ
対称群Snで、位数がｐ（ｐ－１）の巡回群が部分群となるには
ｎがいくつ以上なら十分か、理解してから書き込みやがれ
60:{}
19/10/20 09:55:36.57 n9MZ9SCV.net
殆ど答え同然のヒント
S5の位数6の部分群でC3×C2になるのは< (123)(45) >
61:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/20 13:00:29 f+LcfVi/.net
>>51 補足
＞無理しなくていいぞ
おさる の ぼくちゃん
前スレで（下記）「自分の頭を通して書いている」なんて言われていたが（＾＾
＜おれの推定＞
１）まあ、学部レベルで一通り、一般レベルの方程式のガロア理論はやったんだろう
だが、その学部レベルとは、たいていは、アルティンの本レベルで、
ガロア群を導入してガロア対応から5次以上の一般方程式がベキ根で解けないことを示して終りだね
２）しかし、ガロアの第一論文の最後は、
「素数p次の代数方程式が解ける条件＝ガロア群が位数p(p-1)になるとき」という定理と
5次の場合に具体的に位数20の群を例示して終わっているのだが
それは、普通は、学部レベルには入っていないのです
（和書の学部教科書でこれを取り上げているのは、寡聞にして知らない）
３）ガロアの第一論文を取り上げている和書は、過去、守屋本、倉田本などがあったけど
（最近は、英文でCoxのガロア理論が出て、訳本も出たけど）
４）で、ぼくちゃん、「自分の頭を通して」というよりも、
おっさんになって、ほとんど忘れかけている学部の講義の記憶を「思い出しながら」じゃね？ｗ（＾＾
５）なので、ぼくちゃんの一般学部レベルのガロア理論だと、
いましている”ガロアの第一論文”の議論には、ちょっと足りない
まあ、代数の群・環・体は、一通りはやったらしいということは、認めるけれどもね
だから、”無理しなくていいぞ”ってことｗ（＾＾；
前スレ77 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:915番)- より
915 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/10/17(木) 08:11:30.07 ID:rXxqe236
(抜粋)
Mara Papiyas（ ◆y7fKJ8VsjM ）さんも勉強しながら書かれてる感じですが、スレ主さんとは違って
自分の頭を通して書いているなというのが分かります
(引用終り)
62:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/20 13:28:47 f+LcfVi/.net
>>18
Terence TaoのFrobenius group追加
URLﾘﾝｸ(terrytao.wordpress.com)
What's new
Updates on my research and expository papers, discussion of open problems, and other maths-related topics. By Terence Tao
Tag Archive
You are currently browsing the tag archive for the ‘Frobenius groups’ tag.
The theorems of Frobenius and Suzuki on finite groups
12 April, 2013 in expository, math.GR, math.RT | Tags: CA groups, characters, classification of finite simple groups, Fourier transform, Frobenius groups, Frobenius theorem, induced representations, integrality gap, Suzuki theorem
略
3 June, 2013 at 1:03 pm
Terence Tao
Yes, this is something I would like to understand better myself.
One of the funny things coming out of Suzuki’s analysis is that to every (Weyl group conjugacy class of a) character \xi_{i,a} on a (conjugacy class of a) maximal abelian subgroup H_i of G there is associated an “exceptional character” \xi^*_{i,a} of G which is a component of the induced representation of G coming from the character of H_i (or sometimes, a bit weirdly,
it is an “anti-component”, if the sign \epsilon_i is negative), and略
27 June, 2013 at 12:19 pm
Terence Tao
The original reference is
G. Frobenius, “Ueber auflosbare Gruppen IV” Sitzungsber. Preuss. Akad. Wissenschaft. (1901) pp. 1216?1230
but it may be difficult to locate (see URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com) for some related discussion). A somewhat more modern reference is
I.M. Isaacs, “Character theory of finite groups” , Acad. Press (1976)
63:１３２人目の素数さん
19/10/20 13:56:16.48 bfKlPWyu.net
相変わらずバカ丸出し
64:{}
19/10/20 15:23:17.49 n9MZ9SCV.net
>>57
＞”無理しなくていいぞ”
円分体の同型変換も分かってなかったくせに
ガロアの第一論文を理解してるつもりの
無理無理馬鹿に質問だｗ
対称群S7の部分群である位数7*6の群は
２つの生成元から生成される
その１つは(1234567)だ
ではもう1つの生成元は？
注：生成元となりうる元は複数あるが、どれか１つ挙げればよしとしてやろうｗ
65:{}
19/10/20 16:01:08.63 n9MZ9SCV.net
>>60のヒント？
馬鹿が>>51に自慢気に書いた式「x→ ax+b」(￣ー￣)
(1234567)のところが「+b」に関わる生成元だな
(1234567)じゃなくて(0123456)にしたほうが分かりやすいかもな
ということで「a×」に関わる生成元を書けばいい
ここまで教えてやったのに答えられないようじゃ
要するにガロア第一論文が全然分かってない証拠だぞ(￣ー￣)
66:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/20 17:30:44 f+LcfVi/.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
原始元定理
(抜粋)
体論において、原始元定理 (primitive element theorem) あるいは原始元に関するアルティンの定理 (Artin's theorem on primitive elements) は原始元 (primitive element) をもつ有限次体拡大すなわち単拡大を特徴づける結果である。定理は有限次拡大が単拡大であることと中間体が有限個しかないことが同値であるというものである。とくに、有限次分離拡大は単拡大である。
存在の主張
定理の解釈は 1930 年頃エミール・アルティンの理論の定式化で変わった。ガロワの時代から、原始元の役割は分解体をただ1つの元で生成されるものとして表現することだった。そのような元のこの（任意の）選択は Artin の扱いにおいて避けられる[1]。同時に、そのような元の構成の考慮は退く：定理は存在定理 になる。
すると以下のアルティンの定理は古典的な原始元定理に取って代わる。
定理
E⊃＝ Fを有限次体拡大とする。このときある元 α ∈ E に対して E=F(α)であることと E⊃＝ K⊃＝ F なる中間体 K が有限個しか存在しないことは同値である。
すると定理の系はより古風な意味での原始元定理（分離性は通常暗黙に仮定された）である：
系
E⊃＝ F} E⊃＝ F} を有限次分離拡大とする。このときある α ∈ E に対して E=F(α)である。
系は代数体、すなわち有理数体 Q の有限拡大に応用する、なぜならば Q は標数 0 ゆえ任意の拡大が分離的だからである。
つづく
67:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 17:31:37.57 f+LcfVi/.net
>>62
つづき
構成的結果
一般に、有限分離拡大 L / K に対するすべての原始元からなる集合は L の真の K-部分空間すなわち中間体の有限の集まりの補集合である。このステートメントは有限体のケースについては何も言っていない。
有限体に対しては体の乗法群（巡回群）の生成元、これは当然原始元である、を見つけるために捧げられた計算理論が存在する。K が無限のときは、鳩ノ巣原理により証明できる。2元で生成された線型部分空間を考えると、c を K の元とする線型結合
γ =α +cβ
は有限個しかなく両方の元を含む部分体を生成できないことが証明される。
これはアルティンの結果から古典的な結果がどのように導かれるかを示す方法としてほとんどすぐであり、中間体の個数の言葉での例外的な c の個数が有界であることが得られる（この数はガロワ理論によってアプリオリにそれ自身制限されるものである）。
したがってこのケースにおいて trial-and-error は原始元を見つける実際的な手法となることができる。例を見よ。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単拡大
(抜粋)
数学、より正確には代数学において、可換体の理論の枠組みで、体 K の拡大 L は、L のある元 α が存在して L が K(α) と等しいときに単拡大あるいは単純拡大 (simple extension) という。
単拡大 K(α) が有限拡大であることと α が K 上代数的であることは同値である。K の（同型の違いを除いて）唯一の無限単拡大は有理関数体 K(X) である。
原始元定理はすべての有限分離拡大が単拡大であることを保証する。
つづく
68:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 17:32:55.41 f+LcfVi/.net
>>63
つづき
準備的注意
単拡大の概念は、主に次の二つの点から数学上の興味を集めている。
・単拡大は分類が完了している体拡大である。拡大の生成元が K 上超越的なら無限次拡大で有理関数体に同型（フランス語版）であり、 生成元 α が代数的なら拡大は有限で、α の K 上の最小多項式の根体に同型である。
・原始元の定理はすべての有限次分離拡大が単拡大であることを保証する。代数拡大はそのすべての元の最小多項式が重根をもたないときに分離的という。
有限拡大の分離性のいろいろな同値条件に加えて、代数拡大が分離的であるための十分条件は基礎体が完全体（例えば標数 0 あるいは有限体）であることである。
定義
L を K の体拡大とする。
拡大 L が単 (simple) 拡大であるとは、L のある元 α が存在して、α で生成された L の部分 K 拡大 K(α) が L に等しいことである。
L が単拡大とし g を L の元で L が K(g) に等しいとする。このとき g は L の K 上の生成元 (generating element) と呼ばれる。
URLﾘﾝｸ(peng225.hatena)（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ペンギンは空を飛ぶ
2016-11-26
有限次分離拡大が単拡大となることの具体例を愚直に計算してみる
(抜粋)
体の拡大L/Kが有限次分離拡大であるとき、この拡大は単拡大になることが知られている。私が使っている教科書にもこの定理は載っており、具体例としてQ(2?√,3?√)=Q(2?√+3?√)が取り上げられていた。
しかし、その説明が私にはエレンガント過ぎて、なんともピンとこなかった。
私がとにかく疑問だったのは、一体Q(2?√+3?√)の元の四則演算でどうやって2?√や3?√を生み出せるのか、その具体的な計算手順は何かということだ。
タネが分かった今となっては難しくもなんとも無いが、同じ疑問でハマる人がいないとも限らないので、本稿を書いてみることにした。
手順はとても簡単だ。まず、2?√+3?√∈Q(2?√+3?√)である。これを3乗すると以下のようになる。
以上
69:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:37:49.31 1gpHuTQE.net
>>53
広い意味でガロア逆問題と言えなくもないですが、ガロア逆問題でもとにかく存在するかを問う問題であれば該当しません。
この場合存在自体は分かってるんですよ。いいですか？
Gal(L/Q)=F_20 なる可解5次方程式の分解体LとQの中間体として、Gal(M/Q)=C_4
となる中間体Mが存在しますが、逆にGal(F/Q)=C_4 なるFがあるとき、Fは上記のMとして実現するか？
という問題です。
70:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:42:49.56 1gpHuTQE.net
>>54
存在しなさそうな例があるというのは初めて知りました。しかしよく見つけてきますね笑
ま、"Q上"という設定がやや人工的ですからね。
ちなみにQ上とは限らず基礎体を任意の代数体に動かしてもいいなら、任意の有限群を
ガロア群として持つガロア拡大が存在することは簡単に分かるんですよ。
なぜだか分かりますか？
71:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:48:43.06 1gpHuTQE.net
ガロア逆問題って"解き方"が重要なんであって
逆問題の解でも"質"というのがあるんじゃないかと思う。
つまり、良質な解と、ともかく存在は示せたが応用はないなという解があるんじゃないかと。
72:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 17:52:29.06 f+LcfVi/.net
>>62
メモ
”ガロア理論:単拡大定理の意義”
URLﾘﾝｸ(qa.itmedia.co.jp)
ガロア理論:単拡大定理の意義 ITmedia 解決済みの質問 投稿日時 - 2012-11-24
(抜粋)
ガロア理論で,有理数体を係数体として,その根をx1,x2,...xnとしたとき,これらの根を添加した体Q(x1,x2,...xn)と単拡大定理を使った拡大Q(V(x1,x2,...xn)とはどこが違うのでしょうか.もちろん表現として違うことはわかりますが,この根を変数とするパラメータVが存在することによって,体を扱う上で何が違うのでしょうか.単拡大定理の存在理由が今一つわからないので,教えてください.
質問者が選んだベストアンサー kabaokaba 投稿日時 - 2012-11-25 09:00:26
たぶん，「有限次分離拡大は単拡大」の定理のことだと思うけど，
そういうときは，ちょっと保留して
先の議論を眺めるというのがよい方策でしょう．
わざわざ偉大なる先人達が「定理」として残しているからには
今は見えなくても何か裏があるものです．
ましてやGalois理論ですから，もうよってたかって整理されまくって
基礎的なところはとんでもなくすっきりしてるわけですので
＃私なんかは「Artinの教科書」には感動しましたよ・・線型代数すげーって＜なんか方向違う
＃＃いや。。実際はArtinすげーなんですけどね
とはいえ・・・これじゃあなんだから
例えば，記号の定義はなあなあにして
Q(x,y)が有限次分離拡大だとして，Q(x,y)=Q(x+y)なんてふうに
x+yによる単拡大になったとしましょう．
話が面倒だから・・・xもyもとりあえず二次にしちゃいましょう
そうすると
Q(x,y)の要素は形式的には 1,x,y,xy の四つで表現できる．
Q(x+y)だと x+y だけで表現できる．
この二つ・・・同じものだとしたら，ど
73:っちが「簡単」に見えますか？ つまり Q(x,y)=Q(x+y)の要素zが z=a+bx+cy+dxy = e+f(x+y) と表した場合ですね，どっちが簡単かです つづく
74:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 17:53:10.38 f+LcfVi/.net
>>68
つづき
これに簡単に「こっちがイイ！」と答えられるのであれば
どっちかの表現は不要かもしれません．
けど・・・大抵はどっちも必要なんです．
理論を展開するには「x+y」だけのほうがきっとシンプルなことが多い．
けど，次数とか要素を具体的に計算するのはきっと「x,y」のほうがシンプルなことが多いです．
ついでにいうと，
同一の対象を二通り（以上）で表現してなんかやるのはお約束のパターンだから
表現方法は複数あったほうがうれしいだろうということもあります
ここらへんは，もうちょっと先にいけばみえてくるはずだと思う．
＃ぶっちゃけた話・・x=2^{1/2}, y=3^{1/2}がサンプル
以上
75:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:54:55.87 EgVBmu6J.net
一行問題スレのこれはどう？
95 １３２人目の素数さん[sage] 2019/10/20(日) 15:54:50.40 ID:RgyjcwSx
>>41の問題をこの方向で解くだけでいいなら
[Q(tan2π/n):Q(cos4π/n)]=1,2と比較的簡単に証明できる[Q(cos(2π/n)):Q]などをうまく使えば出来る。
しかしどうせなら気分良く[Q(tan2π/n):Q]を明示的に求めたいものだ。
[Q(tan2π/n):Q]求めよ。
ガロア理論のいい演習問題だと思うけど。
76:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/20 18:08:37 f+LcfVi/.net
>>65
(引用開始)
Gal(L/Q)=F_20 なる可解5次方程式の分解体LとQの中間体として、Gal(M/Q)=C_4
となる中間体Mが存在しますが、逆にGal(F/Q)=C_4 なるFがあるとき、Fは上記のMとして実現するか？
という問題です。
(引用終り)
その話だと、いわゆるガロア対応で、体の拡大と正規部分群との対応じゃないですか？（下記）
答えは、YES
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論の基本定理
(抜粋)
数学において、ガロア理論の基本定理 (英: fundamental theorem of Galois theory) とは、ある種の体の拡大がなす構造を記述する結果である。
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができるという、エミール・アルティンによる幾分繊細な結果である。
ガロア拡大 K/F の自己同型写像は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。
原始元定理を使うかなり簡単な証明もあるが、有限体の場合に異なる（しかしより簡単な）証明をする必要があるため、現代的な取扱いではほとんど用いられない[1]。
抽象的な言葉では「ガロア対応（英語版）が存在する」と述べられる。その多くの性質は単に形の上でのことであるが、実際の順序集合の同型写像を記述するにはいくらか作業を要する。
つづく
77:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/20 18:09:36 f+LcfVi/.net
>>71
つづき
対応の明示的な記述
有限拡大に対し、対応は次のように明示的に述べることができる。
・Gal(E/F) の任意の部分群 H に対し、対応する体は普通 E^H と書かれ、これは全ての H の自己同型により固定される E の元の集合である。
・E/F の任意の中間体 K に対し、対応する部分群は、単に Aut(E/K) であり、これは全ての K の元を固定する Gal(E/F) に属する自己同型の集合である。
例えば、一番上の体 E は Gal(E/F) の自明な部分群に対応し、基礎体 F は Gal(E/F) の全体に対応する。
対応の性質
対応は次のような有益な性質を持っている。
包含関係を逆にする(inclusion-reversing)[2]。部分群の包含関係 H1 ⊆ H2 が成り立つことと体の包含関係 E^H1 ⊇ E^H2 が成り立つこととは同値。
拡大次数は包含関係を逆にするという性質と矛盾しない形で群の位数と関係する。具体的には H が Gal(E/F) の部分群であれば |H| = [E : E^H] であり |Gal(E/F)/H| = [E^H : F] である[3]。
体 EH は F の正規拡大（分離拡大の部分拡大は分離的だから、これはガロア拡大というのと同じ）であることと、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。
このとき Gal(E/F) の元の EH への制限は、Gal(E^H/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。
例
体 K = Q(√2, √3) = Q(√2)(√3) を考える。
略
非アーベル的な例
次の例はガロア群がアーベル群でない最も簡単な例である。
Q 上の多項式 x3?2 の分解体 K を考える。すなわち、K = Q (θ, ω) で、ここに θ は 2 の立方根であり、ω は 1 の立方根である（が 1 ではない）。
略
応用
この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
以上
78:
19/10/20 18:10:06 n9MZ9SCV.net
>>60
>対称群S7の部分群である位数42の群は
>２つの生成元から生成される
>その１つは(1234567)だ
>ではもう1つの生成元は？
なんだ、馬鹿はx→ ax+bまでわかってるのに
こんな簡単な質問に即答できないのか？
正真正銘の馬鹿だなｗ
79:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/20 18:13:38 f+LcfVi/.net
>>67
>ガロア逆問題って"解き方"が重要なんであって
>逆問題の解でも"質"というのがあるんじゃないかと思う。
>つまり、良質な解と、ともかく存在は示せたが応用はないなという解があるんじゃないかと。
そうだとは思うけれども
未解決問題だということの方が
重要じゃないですかね？
なにかめざましい結果だせば、,◯◯賞とかもらえるかもね（＾＾
80:
19/10/20 18:14:39 EgVBmu6J.net
>>74
さすがに君には無理だよ。
そのレベルにはとてもない。
81:
19/10/20 18:17:49 n9MZ9SCV.net
>>75
確かにコピペ馬鹿には無理ｗｗｗ
学部生でも即答できる問題に
答えられないんじゃねｗ
82:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 19:10:21.02 f+LcfVi/.net
>>66
どうも。スレ主です。
>ちなみにQ上とは限らず基礎体を任意の代数体に動かしてもいいなら、任意の有限群を
>ガロア群として持つガロア拡大が存在することは簡単に分かるんですよ。
分かりません（＾＾
例えば仮に、
「the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”」
が、反例として成立すると認めることにします
そして、有限の単拡大定理から、任意の代数的数αを添加した拡大体Q（α）をベースとして
拡大体Q（α）上から、ガロア群PSL(2,16)を持つ体の拡大が存在して
これを、単拡大定理から、代数的数β’として（Q上ではないので’を付けた）
Q上に限らないから、拡大体Q（α）（β’）が実現できる？
それって、なんかおかしくないですかね？（＾＾
83:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 19:13:22.44 f+LcfVi/.net
>>75
そりゃそうだ
おれが、いま考えてできる程度の問題なら、とっくに解かれているさ（＾＾
84:
19/10/20 19:26:33 hYEqVSqR.net
いや、多分これからも無理だよ。
とても真面目に勉強してるようには見えない。
ネット時代なんだから基本的な部分はショートカットして勉強してやろうという気分がレスにまで溢れかえってる。
学問に王道はない。
そんな気持ちで数学やっても行けるところなんてたかが知れてる。
85:１３２人目の素数さん
19/10/20 19:50:28.96 1gpHuTQE.net
>>77
何を言っているのか分かりません。
ヒント：
Q上S_nをガロア群として持つガロア拡大が存在することは比較的簡単に証明される。
一般方程式（係数が不定元）ではなく、数字方程式としてです。
これはガロア逆問題で最も基本的な結果です。
この事実を使ってよいものとします。
86:{}
19/10/20 20:12:23.39 n9MZ9SCV.net
スレ主はx→ ax+bという情報があっても
>>60の問題に答えられないｗ
答えは(243756)
要するに(Z/7Z)×の生成元を見つければいい
で、それは3
1→3→2(=9)→6→4(=18)→5(=12)→1(=15)
で、置換は1～7の元だったから、1足せば(243756)
ついでにいうとa(x+b)とax+bは等しくないから非可換だね
1234567
↓+1
2345671
↓×3
4736251
1234567
↓×3
1473625
↓+1
2514736
87:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 21:37:41.99 f+LcfVi/.net
>>80 何を言っているのか分かりません。 ヒント： １） https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem Inverse Galois problem (抜粋) Partial results All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5]. (引用終り) ここで、仮に”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”が成立していると認めることにする これは、over Qの結果なのですが ２） さて、>>66より 「ちなみにQ上とは限らず基礎体を任意の代数体に動かしてもいいなら、任意の有限群を ガロア群として持つガロア拡大が存在することは簡単に分かる」 でしたね では、任意の代数的数αを添加した拡大体Q（α）をベースとして、このベースに PSL(2,16)による体の拡大を実現する方法をどうぞ示してください ３） もし、ある代数的数αを添加した拡大体Q（α）上で、PSL(2,16)による体の拡大を実現する方法が示されたとします そうであれば、その手法はQ上でも、実現できるのでは？ そうであれば、”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”は否定されることになりそうですぜ 論文になるのでは？
89:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/20 21:42:43.63 f+LcfVi/.net
>>81
ご苦労さん
非可換の計算が出来るんだね
えらいえらい
だけどさ
その x→ ax+b とか、フロベニウスとか
情報は、全部おれが提供してんだけど？
だから、あんたは、学部のガロア理論レベルまでなんだよね
ガロアの第一論文の最終定理（素数ｐ次の代数方程式の可解条件）まで、到達できてなかったし、おそらくまだ到達できていなんじゃね？（＾＾；
90:
19/10/20 21:56:17 n9MZ9SCV.net
>>83
馬鹿の貴様は計算できないのか？ｗ
渡部一己氏の論文の情報を紹介したのは安達氏 貴様ではない
貴様は読んでないのか？
だいたいx→ ax+b が分かってたら
その瞬間非可換だと分かるだろ
だから貴様は底抜けの大馬鹿野郎なんだよｗ
「Q(ζn)のガロア群は巡回群Z/nZ」
とかほざいてる時点で、貴様は何も分かってないｗ
ガロア理論とかいう以前
ガウスなら貴様を見てこういうだろう
「縁なき衆生は度し難し」
91:
19/10/20 22:10:09 n9MZ9SCV.net
＞何を言っているのか分かりません。
馬鹿は数学分からないんだから、とっとと数学板から去れｗ
92:{}
19/10/20 22:39:30.69 n9MZ9SCV.net
馬鹿に餞別代りの宿題だ 読みやがれ
半直積
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
定義は直観的にやや分かりにくく、奇妙に見えるかもしれないが、
分かりやすい例として、n次元ユークリッド空間におけるアフィン変換群をあげることができる。
n次元アフィン変換は、n次元一般線型変換とn次元の並進変換を合成したものであり、
この変換の全体は群を成し、これをn 次元アフィン変換群と呼ぶ。
2つのアフィン変換(A1,b1)と(A2,b2)の合成変換を考えると、
(A1,b1)(A2,b2)=(A1A2,A1b2+b1)
となり、単純な直積群ではないことが分かる。
しかし一般線形変換群と並進変換群は共にアフィン変換群の部分群を成し、
とくに並進部分群は正規部分群になる。
このような関係をさらに一般化したものが半直積である。
93:１３２人目の素数さん
19/10/21 04:05:34.48 qT2QtwAU.net
>>82
スレ主は全然ガロア理論が分かってませんね。
ガロア対応の基本中の基本ですよ。
基礎体を特に定めなくてもいいなら
任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在が示せる。
kが予め固定されてないってのがミソです。
スレ主の考えでは、このようなK/kがあればそれを
うまく降下させれば、ガロア群Gを持つK'/Q
が得られると思ってるようだが、そうはいかないんですよ。
そこにガロア逆問題の難しさがあるんですよ。
94:１３２人目の素数さん
19/10/21 04:29:45 qT2QtwAU.net
>>86
その例は面白いですね。
G/N=H なるNとHがあるとき
NとHから代数的操作によって逆にGを
再構成する問題を群拡大の問題って
言うんじゃないですかね。
半直積は直積より少し複雑な構成を与える
群論を勉強したとき素晴らしい概念だなと思ったもんです。
95:{}
19/10/21 06:28:37.86 fwDtM7dP.net
>>88
群の拡大…面白そうですね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
96:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/21 07:31:55.79 P3acsak1.net
>>87
ID:qT2QtwAUさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
>任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在が示せる。
>kが予め固定されてないってのがミソです。
ええ、どうぞ示して下さい
「
97:任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在」を それで、「kが予め固定されてない」が、どう作用するのか分かるでしょうから >(ガロア拡大)K/kがあればそれを >うまく降下させれば、ガロア群Gを持つK'/Q >が得られると思ってるようだが、そうはいかないんですよ。 それって、ガロアの順問題でしょ？ ガロアの順問題に反例、即ち、「そうはいかない」例があると？ （>>45） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96 ガロア理論 (抜粋) 逆問題 与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、 与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
98:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/21 07:53:33.29 P3acsak1.net
>>81
＞答えは(243756)
（もとの問題は>>60-61）
注文つけて悪いが
下記の 卒業研究”S_3, S_4, S_5 の部分群の分類”の
P14 §4.13 S5 の位数 20 の部分群
と対比すると
１）問題の位数42の群が構成できることが示されていない
２）位数42の群が構成されたとして、構成された群がFrobenius group "x→ ax+b, a≠ 0"（下記） となることが示されていない
（∵ n>=3の 置換群自身は、当然非可換ですよね。非可換例1つで何が言いたい？ (Z/7Z)×とZ/7Zとで、部分群の位数42を示さなきゃ。そこが肝でしょ？（＾＾； ）
手を動かせとか言っていたよね（>>49）（＾＾；
どぞ
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
（>>51）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Frobenius group
(抜粋)
Examples
・For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group.
99:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/21 08:01:46.46 P3acsak1.net
>>91 訂正
（∵ n>=3の 置換群自身は、当然非可換ですよね
↓
（∵ n>=4の 置換群自身は、当然非可換ですよね
か(゜ロ゜;
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
交代群
(抜粋)
群 An が可換群となるのは、n ? 3 のときかつそのときに限る。また単純群となるのは n = 3 もしくは n ? 5 のときかつそのときに限る。A5 は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり[4]、最小の非可解群である。
群 A4 はクラインの4元群 V を真の正規部分群として持つ。V は {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} であり、列 V → A4 → A3 (= C3) は完全である。
ガロワ理論によればこの写像、あるいはこれに対応する S4 → S3 に、四次方程式のフェラリの解法における（三次の）ラグランジュ分解方程式（分解方程式の根によって四次方程式を解くことができる）が対応している。
100:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/21 08:03:15.52 P3acsak1.net
>>92 文字化け訂正
群 An が可換群となるのは、n ? 3 のときかつそのときに限る。また単純群となるのは n = 3 もしくは n ? 5 のときかつそのときに限る。A5 は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり[4]、最小の非可解群であ
↓
群 An が可換群となるのは、n >= 3 のときかつそのときに限る。また単純群となるのは n = 3 もしくは n >= 5 のときかつそのときに限る。A5 は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり[4]、最小の非可解群であ
101:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/21 10:13:12 /Sto70zx.net
age
新スレになると、コテハンとトリップ設定を入れないといけなので、そのためも兼ねて（＾＾
102:１３２人目の素数さん
19/10/21 15:37:04 55/7dvj1.net
スレ主ってほんとピエロだね
103:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/21 16:28:30 /Sto70zx.net
ありがとう（＾＾
104:{}
19/10/21 19:26:13.02 fwDtM7dP.net
>>91
>１）問題の位数42の群が構成できることが示されていない
群の公理を満たすことを自分で確かめてごらん
いい勉強だよｗ
>２）位数42の群が構成されたとして、構成された群が
> Frobenius group "x→ ax+b, a≠ 0"
> となることが示されていない
1,2,3,4,5,6,7を
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6 (ζ=cos(2π/7)+i*sin(2π/7))
として、
各元にζを掛ける操作で(ζ(x+1))
ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6,1
各元を^3する操作で（ζ^(3x))
1,ζ^3,ζ^6,ζ^2,ζ^5,ζ,ζ^4
となるね
あとは操作を結合させてζ(ax+b)になってることを確かめてごらん
いい勉強だよｗ
君は手を動かして計算しないから馬鹿のままなんだよ
計算しな 注文は自分自身につけな
自分を甘やかしたら負け�
105:｢のままだぜｗｗｗ
106:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/21 19:35:15 fwDtM7dP.net
>>97の追伸
M大の卒業研究で
F20の生成元が{(12345)(2354)}
とあったんで、どうやって作ったかピンと来たね
馬鹿は計算しないから勘も働かない
工学屋のクセして計算しないとかクソだなｗ
107:{}
19/10/21 19:51:41.55 fwDtM7dP.net
馬鹿がめんどくさがる計算ｗ
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
↓^3
1,ζ^3,ζ^6,ζ^2,ζ^5,ζ,ζ^4
↓^3
1,ζ^2,ζ^4,ζ^6,ζ,ζ^3,ζ^5
↓^3
1,ζ^6,ζ^5,ζ^4,ζ^3,ζ^2,ζ
↓^3
1,ζ^4,ζ,ζ^5,ζ^2,ζ^6,ζ^3
↓^3
1,ζ^5.ζ^3,ζ,ζ^6,ζ^4,ζ^2
↓
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
これで1を先頭とする６個の順列ができたから
あとはそれぞれぐるぐる回しすれば
６×７＝４２個の順列が出来上がりｗｗｗ
108:{}
19/10/21 19:59:27.11 fwDtM7dP.net
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6 →+1 ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6,1
↓^3 ↓^3
1,ζ^3,ζ^6,ζ^2,ζ^5,ζ,ζ^4 →+3 ζ^3,ζ^6,ζ^2,ζ^5,ζ,ζ^4,1
109:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/21 20:28:06 fwDtM7dP.net
こう書けば計算しない馬鹿にも分かるかｗ
1 →+1 ζ^1 →+1 ζ^2 →+1 ζ^3 →+1 ζ^4 →+1 ζ^5 →+1 ζ^6
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+3 ζ^3 →+3 ζ^6 →+3 ζ^2 →+3 ζ^5 →+3 ζ^1 →+3 ζ^4
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+2 ζ^2 →+2 ζ^4 →+2 ζ^6 →+2 ζ^1 →+2 ζ^3 →+2 ζ^5
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+6 ζ^6 →+6 ζ^5 →+6 ζ^4 →+6 ζ^3 →+6 ζ^2 →+6 ζ^1
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+4 ζ^4 →+4 ζ^1 →+4 ζ^5 →+4 ζ^2 →+4 ζ^6 →+4 ζ^3
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+5 ζ^5 →+5 ζ^3 →+5 ζ^1 →+5 ζ^6 →+5 ζ^4 →+5 ζ^2
110:１３２人目の素数さん
19/10/21 20:42:27.17 QnREEzq+.net
このスレもう3年以上前からやってるみたいだけど、いつまで数学科の学生なら半年で通り過ぎる様なレベルで足踏みするの？
もうこの惨状がググってコピペするなんて作業が数学力の向上になんの役にも立たないことを自ずと示してるようなもんだけど。
この不毛な作業ずっと続けるの？
まぁその人の人生どう使おうがその人の勝手なんだけど。
111:{}
19/10/21 20:50:56.46 fwDtM7dP.net
>>102
「諸君らが調教してくれたスレ主は全く上達しない！何故だ？」
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
112:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/21 20:59:43.42 P3acsak1.net
>>97-101
ぱち ぱち ぱち
さすがだね
あとさ、
あんたは分かっているんだろうが
もとは、置換群の話で
例えば、コーシーの２行に書く記法で
（>>98）巡回置換(2354)なら
(1,2,3,4,5)
(1,3,4,5,2)
って話で、ちょっと、つなぎを入れてやると
親切だろうな
それと、１のベキ根のべきの話
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
で、ζの指数で書くと
1=ζ^0,ζ^1,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
で、指数だけ取り出すと
(0,1,2,3,4,5,6)となって
各元にζを掛ける操作で(ζ(x+1))
ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6,1=ζ^0だと
指数だけ取り出すと
(1,2,3,4,5,6,0)となって
つまり
(0,1,2,3,4,5,6)
↓
(1,2,3,4,5,6,0)
コーシーの記法で
(0,1,2,3,4,5,6)
(1,2,3,4,5,6,0)
で、巡回置換の記法では
(1,2,3,4,5,6,0)と書くとか
まあ、ζ^n（n=0～6）の指数と、
順列 (0,1,2,3,4,5,6)が対応するとか
（常識といえば常識だけれど）
ここもつなぎがあると、大学1～2年くらいには親切だろうな
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
置換 (数学)
(抜粋)
記法について
有限集合 S の置換に対して、その記法は大きく三種類が存在する。
1815年、コーシーによって導入された[8]二行記法[訳語疑問点]は一行目に S の元を書き、その各元の下に置換による像を書いて二行目とするものである。
二行記法の下の行だけを書くのが一行記法[訳語疑問点]であり、先ほどの例であげた置換は一行記法だと 25431 で表される（成分が複数の文字、例えば二桁の数で表されるような場合には、成分の間にコンマを入れるのが典型的である）。
第三の記法として置換の巡回置換表現（英語版）[10]は、置換を続けて施す効果に焦点を当てたものになっている。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Permutation
(抜粋)
Notations
Two-line notation
One-line notation
Cycle notation
113:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/21 21:04:28 P3acsak1.net
>>102
ID:QnREEzq+さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
ID:QnREEzq+と、私スレ主に言っているのだろうが
おれは、”まぁその人の人生どう使おうがその人の勝手なんだけど”の通りですが
ID:QnREEzq+は、人生落ちこぼれで
このスレしか、自分の不遇な人生を慰める場所ないみたいだ
まあ、大目に見てやれよ
おれは、そうしている
114:１３２人目の素数さん
19/10/21 21:14:15 55/7dvj1.net
落ちこぼれピエロは相変わらず上から目線が大好きで勉強が大嫌い
115:１３２人目の素数さん
19/10/21 21:16:09 qT2QtwAU.net
それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
スレ主は検索で引っかからないような「自明すぎるから誰も問題にしていない
でも暗黙にはその分野のひとは皆当然分かってる」ような話に弱いですねｗ
116:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/21 21:17:23 P3acsak1.net
数学科の学生が半年で通り過ぎるレベルも、結構個人差があるみたいだがね
例えば、下記、東京大学数学科生であってもね
（”数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地”とか（＾＾； ）
URLﾘﾝｸ(hiroyukikojima.hate)<)
小島寛之
(抜粋)
略歴
小島 寛之（こじま ひろゆき、1958年 - ）
東京都生まれ[要出典]。東京大学理学部数学科卒業。
東京大学大学院理学系研究科数学専攻(現数理科学研究科)の大学院入試に3度落第したため、数学者への道を諦め
117:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/21 22:10:21.07 P3acsak1.net
>>107
＞それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
つー、>>90な
証明は、あんたとおっちゃんに任すぜｗ（＾＾
118:{}
19/10/21 22:14:45.69 fwDtM7dP.net
>>104
馬鹿はまた下らないコメントしてるなｗ
馬鹿は自分の馬鹿に向き合えないから
いつまでも馬鹿のままなんだよｗｗｗ
119:{}
19/10/21 22:21:06.49 fwDtM7dP.net
＞例えば、コーシーの２行に書く記法で
＞巡回置換(2354)なら
＞(1,2,3,4,5)
＞(1,3,4,5,2)
＞って話で
うわぁ、馬鹿丸出しｗ
お前、巡回置換表示も知らねぇのかよｗ
巡回置換表示で(2354)と書いたら
２→３→５→４→２
の意味だろが
これをコーシーの２行記法で書けば
(1,2,3,4,5)
(1,3,5,2,4)
だろが、ドアホｗ
120:{}
19/10/21 22:25:19.80 fwDtM7dP.net
巡回置換(2354)を反復適用した場合
(1,2,3,4,5)
→(1,3,5,2,4)
→(1,5,4,3,2)
→(1,4,2,5,3)
→(1,2,3,4,5)
121:１３２人目の素数さん
19/10/21 22:32:57.33 Equcgj9R.net
>>108
それでいいん？
3年もやってるんだからそれなりにガロア理論好きじゃないの？
このままだと四半世紀はおろか一生このままだよ？
3年も勉強していまのレベルなんだったら単に物わかりが悪いとかなんとかではないよ？
勉強に対する大切な何かがハズれてるんだよ。
わかっててやってるならいいけど単に物わかりが悪いだけ、そのうちなんとかなると思ってるなら多分間違ってるよ。
もしホントに数学を楽しみたいと思ってるなら思い切って路線変更すべきだと思う。
122:{}
19/10/21 22:36:53.98 fwDtM7dP.net
>>106
＞(馬鹿は)上から目線が大好きで勉強が大嫌い
全くだ
1は勉強しないくせに上から目線で馬鹿丸出しの初歩的間違い書くから嘲笑される
これから心からの侮蔑を込めて1をこう呼んでやろう
”Mount Idiot”（マウント馬鹿）
123:{}
19/10/21 22:47:06.67 fwDtM7dP.net
本日の大戦果
「馬鹿山1は巡回置換記法を誤解したまま線形変換群とかぶっこいてた」
こいつ何を理解したつもりになってたんだろうなｗｗｗｗｗｗｗ
124:{}
19/10/21 22:52:11.24 fwDtM7dP.net
1に捧ぐ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
海ゆかば 水漬く屍
山ゆかば 草むす屍
大君の 辺にこそ死なめ
顧みはせじ
125:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/21 23:57:05.17 P3acsak1.net
>>107
>それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
>スレ主は検索で引っかからないような「自明すぎるから誰も問題にしていない
>でも暗黙にはその分野のひとは皆当然分かってる」ような話に弱いですねｗ
「自明すぎるから誰も問題にしていない
でも暗黙にはその分野のひとは皆当然分かってる」
ええ、>>87
「ガロア対応の基本中の基本ですよ。
基礎体を特に定めなくてもいいなら
任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在が示せる。」
でしたね
そういうのは、一般に”存在定理”とかいうそうですよ
どぞ、証明を（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
存在定理
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Existence theorem
(抜粋)
In mathematics, an existence theorem is a theorem with a statement beginning 'there exist(s) ..', or more generally 'for all x, y, ... there exist(s) ...'. That is, in more formal terms of symbolic logic, it is a theorem with a prenex normal form involving the existential quantifier.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カラテオドリの存在定理
126:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 00:01:58.91 u309yKT7.net
>>113
自分のことを言っているのかね？（＾＾
このガロアスレは、もともとテンプレにもある通り（>>8 及び下記）
”大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ ”
(参考)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む64
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:9番)-
9 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/04/26(金) 13:55:26.20 ID:mF7ZEDvm [9/34]
大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ （ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾ ）
（ もしサイト移動などでリンク切れのときは、引用してある文章のキーワードによる検索をお願いします ）
以下過去スレより再掲
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:7番)
7 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、￥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな
127:再生は無理だろう そもそも、５ＣＨ（旧２ＣＨ）は、数学に向かない アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない 複数行に渡る記法ができない 複数行に渡る矢印や、図が描けない（ＡＡ（アスキーアート）で数学はできない） 大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを
128:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 00:05:09.44 u309yKT7.net
>>111
ども、訂正ありがとう
>巡回置換表示で(2354)と書いたら
> ２→３→５→４→２
>の意味だろが
That's right！
その通りでした（＾＾；
いいつっこみだ
129:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 00:18:04.84 u309yKT7.net
おさるも、バグ取り人として、存在価値があるかも
そういう気がしてきたな（＾＾
130:１３２人目の素数さん
19/10/22 01:00:49.20 a6x07kEZ.net
>>118
え？数学勉強する気は全然ないの？
にしては別スレではえらくトンチンカンな反論してくるじゃん？
数学の勉強する気あるの？ないの？
131:１３２人目の素数さん
19/10/22 06:15:59.34 t2rCNfO0.net
>>117
1.Q上対称群S_n（nは2以上の任意整数）をガロア群としてもつガロア拡大K/Q が存在する。
2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）
3.ガロア対応。S_nの任意の部分群Gに対してGの不変体をkとするとK/kはガロア拡大でGal(K/k)=G。
1.は>>80のヒントに書いた。決して自明ではなく、証明されるべきこと。
2.,3. は代数の常識。
132:１３２人目の素数さん
19/10/22 06:27:10.90 t2rCNfO0.net
別にQ上でなくても、"一般n次方程式"のガロア群はS_nなんだから
係数に"具体的な数"を入れてもほとんどの場合ガロア群はS_nになるだろうとは想像がつく。
それで2.,3.は常識だから、ともかく任意のGに対してそれをガロア群
として持つ拡大の存在であれば、一瞬で分かるはず。
それは自明だから問題にされない。
133:{}
19/10/22 06:50:28.79 DEgJ0Qgt.net
>>119
こいつ、絶対巡回置換記法の意味知らなかったっぽいな
なにしろ∈の意味も知らずに
{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}} だ
とか馬鹿書きまくってたくらいだからな
134:{}
19/10/22 06:53:10.57 DEgJ0Qgt.net
>>118
＞アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
＞複数行に渡る記法ができない
貴様が馬鹿なのは記号とか記法以前の問題
計算しないヤツが数学を理解できるわけがない
135:{}
19/10/22 06:54:39.07 DEgJ0Qgt.net
>>120
馬鹿の誤りはバグではなく病気ｗ
お前がここから失せろ
そうすればおれも書き込みせずに済む
お互いのためだ ぜひそうしろｗ
136:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 07:14:24.79 u309yKT7.net
>>121
？
これ、>>113のID:Equcgj9Rさんかな？
逆に質問するけど
あなたは、何のために、数学板にいるの？
ガロアスレで説教たれるためか？
いまの数学板で、まともなスレがいくつある？
（下記「数学：2ch勢いランキング」ご参照）
あなた、説教垂れるヒマがあったら、自分でスレ立てるかして、お手本を示したらどうですか？
あるいは、他のスレでも、このスレでも良いけど、自分で有益な書き込みをしたらどうですか？
参考
URLﾘﾝｸ(49.212.78.147)
数学：2ch勢いランキング 10月22日 7:05:28 更新
(抜粋)
順位 6H前比 スレッドタイトル レス数 勢い
1位 = 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 122 36
2位 = 0.99999……は１ではない その２ 438 35
3位 = 現代数学の系譜 カン
137:トル 超限集合論 453 27 4位 = 高校数学の質問スレPart401 957 21 5位 = 数学の本 第86巻 613 21 6位 = フェルマーの最終定理の簡単な証明 584 20 7位 = 【未解決問題】奇数の完全数が存在しないことの証明5 742 20 8位 = 分からない問題はここに書いてね456 842 19 9位 = Inter-universal geometry と ABC予想 41 955 16 10位 = フェルマー最終定理について 303 15 11位 = 文理融合のための数学教育 90 7 12位 = 現代数学はインチキのデパート 102 6
138:{}
19/10/22 07:27:11.60 DEgJ0Qgt.net
>>127
＞いまの数学板で、まともなスレがいくつある？
なんか馬鹿はおかしな言い訳するよねｗ
そりゃ世の中には
「0.99999……は１ではない！」とか
「奇数の完全数が存在しないことを証明した！」とか
「フェルマーの最終定理を初等的に証明した！」とか
訳の分からんことをほざく奴がいるよ
しかし、そういう奴らがいるからって
「{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}」とか
「Qに1の原始n乗根を添加した体のガロア群はZ/nZ」とか
初等的なボケかましていい理由にはならんよなｗ
つーか、数学板で書き込みするなら
巡回置換記法の意味くらい自分で勉強しろよ
こんなん間違えるヤツとか初めてみたｗ
おまえどこの高校の卒業だ？もしかして中卒か？
139:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 07:51:45.17 u309yKT7.net
>>122-123
> 2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）
それって、ケーリー（Cayley）の定理でしょ？
いま問題にしているのは "ガロアの逆問題"（下記）で、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題ですよ
ちょっと違うんじゃない？
つまり"ガロアの逆問題"は、与えられた群Gを含む大きなガロア群（例えば大きなSn）を見つける問題ではなく、「群Gそのものがガロア群になる体の拡大が存在するかどうか」という問題でしょ？
参考
URLﾘﾝｸ(okwave.jp)
任意の有限群は、適当な置換群 Sn(N) の部分群？ loboskobay OKWAVE 2009/09/05 質問No.5264057
(抜粋)
「任意の有限群は適当な置換群 Sn(N) の部分群である」
ベストアンサー zk43 2009/09/05
定理の名前でいえば、
ケーリー（Cayley）の定理といいます。
証明の概略としては、Gを位数nの有限群として、
a∈Gを一つ取り、x→ax（x∈G）で写像fa:G→G
を定めると、これは全単射であり、Gの置換を
引き起こします。Gの置換全体の集合をSGとすると、
明らかにSGとSnは同型です。
そして、a→faによって写像φ：G→SGを定めると、
これは単射準同型になるので、GはSGに埋め込まれる、
すなわち、GはSnの部分群と同型となる、といえます。
（>>45より）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
つづく