19/10/22 07:27:11.60 DEgJ0Qgt.net
>>127
＞いまの数学板で、まともなスレがいくつある？
なんか馬鹿はおかしな言い訳するよねｗ
そりゃ世の中には
「0.99999……は１ではない！」とか
「奇数の完全数が存在しないことを証明した！」とか
「フェルマーの最終定理を初等的に証明した！」とか
訳の分からんことをほざく奴がいるよ
しかし、そういう奴らがいるからって
「{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}」とか
「Qに1の原始n乗根を添加した体のガロア群はZ/nZ」とか
初等的なボケかましていい理由にはならんよなｗ
つーか、数学板で書き込みするなら
巡回置換記法の意味くらい自分で勉強しろよ
こんなん間違えるヤツとか初めてみたｗ
おまえどこの高校の卒業だ？もしかして中卒か？
139:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 07:51:45.17 u309yKT7.net
>>122-123
> 2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）
それって、ケーリー（Cayley）の定理でしょ？
いま問題にしているのは "ガロアの逆問題"（下記）で、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題ですよ
ちょっと違うんじゃない？
つまり"ガロアの逆問題"は、与えられた群Gを含む大きなガロア群（例えば大きなSn）を見つける問題ではなく、「群Gそのものがガロア群になる体の拡大が存在するかどうか」という問題でしょ？
参考
URLﾘﾝｸ(okwave.jp)
任意の有限群は、適当な置換群 Sn(N) の部分群？ loboskobay OKWAVE 2009/09/05 質問No.5264057
(抜粋)
「任意の有限群は適当な置換群 Sn(N) の部分群である」
ベストアンサー zk43 2009/09/05
定理の名前でいえば、
ケーリー（Cayley）の定理といいます。
証明の概略としては、Gを位数nの有限群として、
a∈Gを一つ取り、x→ax（x∈G）で写像fa:G→G
を定めると、これは全単射であり、Gの置換を
引き起こします。Gの置換全体の集合をSGとすると、
明らかにSGとSnは同型です。
そして、a→faによって写像φ：G→SGを定めると、
これは単射準同型になるので、GはSGに埋め込まれる、
すなわち、GはSnの部分群と同型となる、といえます。
（>>45より）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
つづく
140:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 07:52:36.07 u309yKT7.net
>>129
つづき
英文だが
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cayley's theorem
(抜粋)
In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group acting on G.[1] This can be understood as an example of the group action of G on the elements of G.[2]
A permutation of a set G is any bijective function taking G onto G. The set of all permutations of G forms a group under function composition, called the symmetric group on G, and written as Sym(G).[3]
Cayley's theorem puts all groups on the same footing, by considering any group (including infinite groups such as (R,+)) as a permutation group of some underlying set.
Thus, theorems that are true for
141: subgroups of permutation groups are true for groups in general. Nevertheless, Alperin and Bell note that "in general the fact that finite groups are imbedded in symmetric groups has not influenced the methods used to study finite groups".[4] The regular action used in the standard proof of Cayley's theorem does not produce the representation of G in a minimal-order permutation group. For example, {\displaystyle S_{3}}S_{3}, itself already a symmetric group of order 6, would be represented by the regular action as a subgroup of {\displaystyle S_{6}}S_{6} (a group of order 720).[5] The problem of finding an embedding of a group in a minimal-order symmetric group is rather more difficult.[6][7] (引用終り) 以上
142:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 08:17:24.55 u309yKT7.net
>>81
>x→ ax+b
>要するに(Z/7Z)×の生成元を見つければいい
それ結構センスいいね
ちょっと違うけど、類似のことを考えていた
前スレのBrent Everitt先生 P77を見て、思いついたんだが
前スレの「分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3.
ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では
Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。」
という議論を、Brent Everitt先生 P77を適用すれば
P77のx^5-2=0のクンマー拡大の群から、位数20＝5x4の群が求まって、その群は1の原始n乗根ωが添加されない一般の位数20の群と同じ
それを、素数p次 x^p-2=0 で考えると、ガロアの第一論文の最終命題のFrobenius group（>>51）が得られるね
スレ77 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:875番)-
875 自分返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/10/16(水) 07:54:22.35 ID:OrOarbJT [5/12]
(抜粋)
(Brent Everitt先生、これお薦めです。カラーの絵が豊富で分り易い。（練習問題の解答が無くなっているね（＾＾ ））
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Galois Theory - a first course
Brent Everitt
(Submitted on 12 Apr 2018)
These notes are a self-contained introduction to Galois theory, designed for the student who has done a first course in abstract algebra.
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
スレ77 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:938番)-
(抜粋)
938 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/10/17(木) 20:14:37.67 ID:rXxqe236 [7/8]
aを3乗数でない整数とすると、x^3-aはQ上既約。
分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3.
ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では
Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。これが一般3次方程式との違い。
つまり、一般3次方程式は最初に2次方程式を解いたあとωを添加して3次クンマー拡大でべき根表示が得られる
（分解体Kにωが含まれることを必ずしも意味しない）わけですが
最初の2次拡大とQ(ω)/Qが一致する特殊ケースが2項方程式（及びそれと同値な方程式）なわけです。
わたしが指摘したのは、この類似が5次方程式でも成立してるよねってことです。
以上
143:{}
19/10/22 08:40:16.55 DEgJ0Qgt.net
>>131
>>x→ ax+b
>>要するに(Z/7Z)×の生成元を見つければいい
>それ結構センスいいね
いや、速攻３秒で気づくだろｗ
こんなことで褒められても全然嬉しくねぇわ、ボケｗ
>ちょっと違うけど、類似のことを考えていた
言い訳すんなｗ
巡回置換記法も知らんでガロア理論がーとかほざいてた
バカ アホ タワケ
ダラズ ホンジナシ タクランケｗ
144:{}
19/10/22 08:44:02.67 DEgJ0Qgt.net
>>132
＞バカ アホ タワケ
＞ダラズ ホンジナシ タクランケｗ
しかし、ここの１を表す最も適当な言葉はこれだろう
ハンカクサイ(半可臭い)…半分OK程度の人
いや半分どころか１割もないけどｗ
145:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 08:56:43.34 u309yKT7.net
>>128
＞巡回置換記法の意味くらい自分で勉強しろよ
すまん、すまん
矢ヶ部を思い出したよ
「矢ヶ部 巌：数Ⅲ方式 ガロアの理論」で、S5の部分群を出すところがあって
そのときに、位数20群を扱っていて「F20の生成元が{(12345)(2354)}」（>>98）
と書いてあって、その意味も、解説されていたことを思い出した
スレ77 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:773番)-
773 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/10/10(木) 10:32:57.70 ID:K6AlmfoH [1/3]
種本でもないけど、お薦めは、下記「矢ヶ部 巌：数Ⅲ方式 ガロアの理論」
これ分かり易かった。大学教程のガロア理論を学んだ人なら、一日で読めるでしょう
URLﾘﾝｸ(www.ne.jp)
矢ヶ部 巌：数Ⅲ方式 ガロアの理論 まりんきょ学問所 数学の部屋 MARUYAMA Satosi 最終更新日：2019-08-23
概要
３人の対話により、ガロアの理論を紹介している。副題は「アイデアの変遷を追って」
感想
初版は 1976 年、第 9 刷は 2002 年に出ている。その後入手困難となっていたが、 2016 年に新装版が出た。
(引用終り)
146:１３２人目の素数さん
19/10/22 08:57:02.75 t2rCNfO0.net
スレ主は多分、ほとんど自分の頭で考えることができない
どこに何が書いてあったかとかは知っていて
それを切り貼りしているだけ。
情報の信憑性を天秤にかけて真偽を推定している感じ。
バカという言葉では言い表されない特異な脳の持ち主なのかもしれない。
勿論、数学板からは去ってほしいｗ
147:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 09:05:18.91 u309yKT7.net
>>135
>>129より
”ちょっと違うんじゃない？
つまり"ガロアの逆問題"は、与えられた群Gを含む大きなガロア群（例えば大きなSn）を見つける問題ではなく、「群Gそのものがガロア群になる体の拡大が存在するかどうか」という問題でしょ？”
どぞ
148:{}
19/10/22 09:09:34.87 DEgJ0Qgt.net
>>135
1は「知識の外部化」が甚だしい
思考すら外部化しちゃってる感じｗ
しかし思考しないんだったら数学学ぶ意味ないだろ
＞（他人の文章を）切り貼りしているだけ。
＞情報の信憑性を天秤にかけて真偽を推定している
肝心の基本的な記号（∈等）、記法（(2354)等）の
意味を確認せず、自分勝手な解釈で誤解してるから
何を引用しても見当違いだけどなｗ
＞バカという言葉では言い表されない
＞特異な脳の持ち主なのかもしれない。
いや、やっぱりバカなんでしょう
勉強せずにリコウぶる「マウンティング」をやるには
人の書いた文章を引用すりゃいい、と思ったんでしょう
まったく馬鹿丸出しな発想
＞勿論、数学板からは去ってほしいｗ
極論をいえば、この世から去ってほしいけどね
こんな軽薄なヤツ、会社でも持て余してると思うんだよな
工学屋のくせに計算サボるとか自爆行為じゃんｗ
工学屋なんて計算しか能がないんだからさｗ
こいつ部下にもっともらしいこというだけで
自分は全然仕事しないタイプだな
ま そんなヤツ珍しくないけどねｗ
149:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:14:15.06 t2rCNfO0.net
>>136
「ガロア逆問題」は「Q上」という条件が付いている。
そして、Q上とは限らず、ともかくGをガロア群として持つガロア拡大K/kが存在するか？
という問題だと存在は自明になってしまう。だから問題にされないんですよ。
証明は>>122に書いてある通りです。
150:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:14:45.87 wdQutmDL.net
>>129
3年もガロア理論勉強してコレだもん。
ほとんど何もわかってないなとしか見えない。
ヨコなのであんまり詳しくは書かないけど、とにかく話を数式に起こしてキッチリ考えてみなよ？
問題は
1)
∀G finite gp. ∃ K/k fileds s.t.
・K/k galois ext.
・Gal(K/k) &
151:#8773; G だよ？ で自分で証明できるかどうかはともかくとして 2) ∀n natural num. ∃ K/k fileds s.t. ・K/k galois ext. ・Gal(K/k) ≅ S_n は知ってるんだよね？ コレはわかる？ 3) ∀G finite gp. ∃n natural number ∃H ⊂ S_n sub gp. s.t. ・G ≅ H。 2) と3)が証明できるなら1)も証明できるハズだけど？ どっちかできないの？
152:{}
19/10/22 09:20:56.37 DEgJ0Qgt.net
>>139
1は、実際には3年間、別の問題に逃げて、
ガロア理論は勉強してなかったけどなｗ
>とにかく話を数式に起こしてキッチリ考えてみなよ？
ダメダメ、こいつ具体的な計算は
何一つしない（というかできない）から
だって巡回置換記法も誤解してたんだぜｗｗｗ
普通、計算してる奴なら速攻で誤りに気付くだろ
だって教科書と答えが合わないんだから
1はとにかく間違いを恐れるチキンだから
そういう羽目に陥ることは一切しない
計算すれば誤る可能性が大だからなｗ
過ちから学ぶのは基本、
誤らないヤツに物事は学べないよｗ
153:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:26:48.60 ej5w1kbH.net
時々いる
間違い認める＝負ける
理論の人かな？
そう言う人も学問向かないんだよな。
154:{}
19/10/22 09:35:10.35 DEgJ0Qgt.net
>>141
何でも勝ち負けだと思う人って
そもそもこの世に負けてるｗｗｗ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
／": : : : : : : : ＼
/-─-,,,_: : : : : : : : :＼
/ '''-,,,: : : : : : : :i
/、 /: : : : : : : : i ＿＿＿＿＿＿＿＿
r-、 ,,,,,,,,,,、 /: : : : : : : : : :i ／
L_, , 、 ＼: : : : : : : : :i ／ 間違ったら
/●) (●> |: :__,=-、: / ＜ 負けかなと思ってる
l ｲ '- |:/ tbﾉﾉ ＼
l ,`-=-'＼ `l ι';/ ＼ １（いい齢・男性）
ヽﾄｪ-ｪｪ-:） -r' ￣￣￣￣￣￣￣￣
ヾ＝-' ／ /
＿＿＿_ヽ::::... ／ ::::|
／￣ ::::::::::::::l `─'''' :::|
155:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:49:10.45 R+uGObSK.net
そうなんだよな。
そういう人って学問向かないだけじゃなくて何やってもダメなんだよな。
156:{}
19/10/22 10:22:40.71 DEgJ0Qgt.net
＞そういう人って…何やってもダメなんだよな。
でも、なまじカワイイと世間がもてはやすので反省しないｗ
URLﾘﾝｸ(www.nikkan-gendai.com)
157:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 10:34:18.61 u309yKT7.net
>>131
Brent Everitt先生のガロア理論の表紙に、綺麗な絵のいわゆるサッカーボール 切頂20面体があるのですが
（ URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Galois Theory - a first course Brent Everitt (Submitted on 12 Apr 2018)）
数学セミナー 2019年11月号で
数学トラヴァース 戸村浩氏がP55の写真で手に持っているがそれですね
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
数学セミナー 2019年11月号
(抜粋)
・数学トラヴァース／数理造形はブドウ酒の味がする／
戸村浩氏（造形美術家）にきく…… 54
URLﾘﾝｸ(polyhedra.cocolog-nifty.com)
切頂20面体（もどき）展開図（ペーパークラフト）
URLﾘﾝｸ(polyhedra.cocolog-nifty.com)
正多面体クラブ
2014年9月 7日 (日)
切頂20面体（もどき）展開図（ペーパークラフト）
つづく
158:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 10:34:51.47 u309yKT7.net
>>145
つづき
URLﾘﾝｸ(polyhedra.cocolog-nifty.com)
正多面体クラブ
2017年11月13日 (月)
URLﾘﾝｸ(polyhedra.cocolog-nifty.com)
正20面体・サッカーボール
URLﾘﾝｸ(polyhedra.cocolog-nifty.com)
正20面体の展開図と一緒にあるサッカーボールの
159:出来上がりは、こんな形。 サッカーボールは「切頂20面体」といって、正20面体の頂点を切り落とした形です。切り落としたところを正５角形でふさぐのは（すご～く）大変なので、穴の空いたままです。 ※JAXA（宇宙航空研究開発機構）のサイトに「サッカーボール型木星儀ペーパークラフト」があります。こちらは５角形のところが穴あきじゃないです。（でも作るの大変そう～）元気のある人は、作るの挑戦してみてください。 (引用終り) 以上
160:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 10:35:21.88 u309yKT7.net
>>144
そう、あせるな
病気が悪化するぞ
161:{}
19/10/22 10:44:01.24 DEgJ0Qgt.net
>>147
貴様、今度オレから責められて反論不能だったら
このセリフを口にしたらどうだ？ｗ
URLﾘﾝｸ(www.oricon.co.jp)
『私はマイメロだよ～☆
難しいことはよくわかんないし
イチゴ食べたいでーす』
ギャハハハハハハ！！！
・・・あいつ、●Ｖに堕ちねぇかな（極悪）
162:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 10:53:50.77 u309yKT7.net
>>138-139
？
ケーリー（Cayley）の定理（>>129）より
任意の群Gは、置換群による表現を持ち、ある大きな対称群Snに含まれる
そして、ある体E上で、対称群Snをもつ一般方程式（それはn次になる）が存在して、代数拡大F/Eが得られる
これは、Q上でも同じ
それで良いなら、
ガロア逆問題
”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”
なんてことにはならないでしょ？ なんで、”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”なの？
ある体E上で、PSL(2,16)を使って、拡大体Fがどうなるか？
どぞ、PSL(2,16)の拡大体Fを示してください
>>46
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Inverse Galois problem
(抜粋)
( unsolved problems in mathematics)
Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数拡大
(抜粋)
抽象代数学において、体の拡大 L/K は次を満たすときに代数的（英: algebraic）であると言う。
L のすべての元は K 上代数的である、すなわち、L のすべての元は K 係数のある 0 でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。
例えば、体の拡大 R/Q, すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。ここで C は複素数体である。
すべての超越拡大は無限次元の拡大である。言い換えるとすべての有限次拡大は代数的ということになる[1]。しかしながら逆は正しくない。無限次代数拡大が存在する。例えば、代数的数体は有理数体の無限次代数拡大である。
a が K 上代数的であれば、K 係数の a による多項式全体の集合 K[a] は環であるだけでなく体である：K 上有限次の K の代数拡大である。逆もまた正しく、K[a] が体ならば a は K 上代数的である。特別な場合として、K = Q が有理数体のときは、Q[a] は代数体の例である。
163:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 10:54:53.97 u309yKT7.net
>>148
落ち着いて、治療した方がいいぞ
164:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/22 10:56:47.41 u309yKT7.net
>>149 補足
＞どぞ、PSL(2,16)の拡大体Fを示してください
ああ、好きに基礎体Eを選んで良いよ
165:１３２人目の素数さん
19/10/22 11:08:09.27 t2rCNfO0.net
証明は>>122で示しましたよ。不備があるなら言って下さい。
補足しますよ。具体例は自分で計算してください。
166:１３２人目の素数さん
19/10/22 11:13:12.31 t2rCNfO0.net
基礎体を任意に
167:選んでいいならガロア逆問題じゃないです。 Wikipediaで存在しないんかもね？と言われてるのはQ上の話です。 Q上で存在しないとしてもある代数体k上では存在するとしても何の矛盾もありません。
168:{}
19/10/22 11:14:25.07 DEgJ0Qgt.net
1は数学板のＵ．Ｍ．ってことでｗ
『オレはこのスレッドの主だぜ ｜ｍ｜
難しいこたぁよくわかんねぇし
ああスタ丼食いてぇ』
・・・うぜぇぇぇぇぇぇｗｗｗ
｜ｍ｜はメロイックサインねｗ
169:１３２人目の素数さん
19/10/22 11:15:56.79 4TZy/f/c.net
>>149
> >>138-139
> ？
> ケーリー（Cayley）の定理（>>129）より
> 任意の群Gは、置換群による表現を持ち、ある大きな対称群Snに含まれる
> そして、ある体E上で、対称群Snをもつ一般方程式（それはn次になる）が存在して、代数拡大F/Eが得られる
> これは、Q上でも同じ
ここまではわかるの？
つまり
3)
∀G finite gp. ∃n natural num. ∃H sub gp. of S_n s.t.
G ≅ H
2)
∀n∃K/Q s.t.
K/Q galois ext.
Gal(K/Q) ≅ S_n
の二つはわかるんだな？
じゃあこの二つを組み合わせたら
1)
∀G finite gp. ∃K/k/Q s.t.
K/k Galois ext.
Gal(K/k) ≅ G
が出るのわからん？
そしてコレからは直ちに
4)
∀G finite gp. ∃K/Q s.t.
K/W Galois ext.
Gal(K/Q) ≅ G
が導出されないのはわかる？
ホントに分からんの？
それともわかったと認めるのは負けを認めることになるからプライドが許さないの？
170:１３２人目の素数さん
19/10/22 11:17:59.86 t2rCNfO0.net
Gal(K/k)=PSL(2,16)となるK/kが存在する。
それは、Kがk上のある代数方程式の分解体だということです。
Q上の代数方程式で同じガロア群を持つ方程式が存在することを意味しません。
171:{}
19/10/22 18:51:07.65 DEgJ0Qgt.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:455番)
>ガロアスレに今日サル石がこんな投稿をしていた
名前が違うな 安達君
｛｝だよ 覚えてくれたまえ
>>そりゃ世の中には
>>「0.99999……は１ではない！」とか
>>訳の分からんことをほざく奴がいるよ
>これを見ると今でも0.99999……＝１だと思っているらしい
実数論の公理を前提すれば
無限小数0.99999……が存在し
0.99999……＝１が導かれる
別に実数論の公理を信仰してるわけではない
実数論の公理から矛盾が導けるのなら
是非証明していただきたい
きっとフィールズ賞が獲れるだろう
（注：冗談ではなく真面目なコメントである）
172:１３２人目の素数さん
19/10/22 19:58:41.99 0jZI4t6q.net
こっちのスレはあんまりのぞいてないんですけど、なんで中学レベルすらわかってない安達さんがこんな難しいスレにいるんですか？
173:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/23 22:52:07 Ro3lha8R.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
グーグル、量子計算機で「超計算」成功と発表
2019/10/23 18:07日本経済新聞 電子版
米グーグルが開発した量子コンピューター用のチップ「シカモア」=同社提供
米グーグルは23日、量子コンピューターを使い、複雑な計算問題を最先端のスーパーコンピューターよりも極めて短い時間で解くことに成功したと発表した。理論上、量子コンピューターはスパコンを上回る性能を持つと考えられてきたが、世界で初めて実験で証明した。
人工知能（AI）などに続く革新的技術として期待される量子コンピューターの実用化へ、大きく前進する。
同日付の英科学誌「ネイチャー」で成果を報告した。
発表によると、同社の量子コンピューターが従来のコンピューターでは困難な問題を解く性能を示す「量子超越」を達成した。乱数をつくる計算問題を用意して検証したところ、最先端のスパコンが約1万年かかるのに対し、量子コンピューターは3分20秒で解くことができたという。一般的に乱数は暗号技術などで使われることが多い。
量子コンピューターは
174:「量子力学」と呼ぶ物理法則に従って動く。従来のコンピューターが「0」か「1」かで情報を表すのに対し、量子コンピューターは「0であり、かつ1でもある」という特殊な状態を利用して大量の情報を一度に処理できるのが特徴だ。計算の回数が減り、時間も大幅に短縮できる。 グーグルは2013年に量子人工知能研究所を設置。米カリフォルニア大学サンタバーバラ校の研究グループを迎えるなどして、量子コンピューターの開発に力を入れてきた。今回、0と1を重ね合わせた53個の「量子ビット」を利用し、スパコン超えの性能を実証した。 量子超越の達成により、コンピューターの開発の歴史に新たな一歩が刻まれることになる。幅広い計算に対応する量子コンピューターの実現にはなお時間がかかるが、AIの計算や金融リスクの予測、化学実験など幅広い用途が見込まれ、具体的な活用法の研究も加速する見通しだ。 電子版の記事がすべて読める有料会員のお申し込みはこちら
175:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:56:55 AP7TCWkP.net
1 ガロア理論と無関係の書き込みで誤魔化すｗ
176:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/23 23:01:06 Ro3lha8R.net
>>159 追加
この批判は、結構面白いね
C++さんの世界かもしれん（＾＾；
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
[FT]IBM、グーグルの「量子超越」達成は「大げさ」
2019/10/23 日経 by Richard Waters （2019年10月22日付 英フィナンシャル・タイムズ電子版 URLﾘﾝｸ(www.ft.com)）
(抜粋)
IBMの研究者5人は21日に発表した論文で、グーグルの量子コンピューターが最先端のスーパーコンピューターの性能をはるかに上回るという主張は大げさだと述べた。
グーグルのこうした主張は、英紙フィナンシャル・タイムズ（FT）が9月、他社に先駆けて報じた未発表の研究論文に書かれていた。
グーグルは自社の量子コンピューターについて、米エネルギー省のスパコン「サミット」で1万年かかる計算を3分20秒で完了したと報告した。
これを「量子プロセッサーにしかできないコンピューター計算の初めての例」と位置づけ、「コンピューター計算で待ち望まれていたパラダイムの到来を告げる」とした。
■「将来的に従来コンピューターと併用」
しかしIBMの研究者は、独自の方法を用いて同じ計算問題をスパコンで解いてみたところ、2日半しかかからなかったと明らかにした。
グーグルに対しては、スパコンの性能がシステムメモリーに保存できるデータ量によって制限されると想定したことが間違いだとし、このような足かせを乗り越えられる「豊富なディスク容量を考慮しなかった」と指摘した。
さらに、その他のハードウエアやソフトウエアの発展にも言及し、IBMでの計算に要した2日半という結果はどちらかと言えば「控えめで、最悪ケースの見積もり」だと付け加えた。
量子コンピューターの実現をグーグルと競い合うIBMは、グーグルが「量子超越」を標榜しようとしたことにも反発している。
量子コンピューターと従来のコンピューターには大きな違いがあるため、将来的に「併用される」見通しだと説明したうえで、今回の一連の報道はあたかもコンピューターの新時代が到来したかのような「誤解を世間に必ず与える」と非難した。
IBMは既に、グーグルの主張に対する批判を公に表明している。
新たなプログラミング方法で従来のコンピューターの性能が追い付く可能性もあり、量子コンピューターとの競争に決着がついたわけではないという声もある。
177:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/23 23:03:04.37
178:Ro3lha8R.net
179:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:04:00.12 AP7TCWkP.net
1 ガロア理論と無関係の書き込みで誤魔化すｗ
180:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:05:12.26 AP7TCWkP.net
1＝乞食
181:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:19:10 raXhEItc.net
スレ主さんは論理式読めるの？
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. K/k Galois ext. Gal(K/k)=H
と
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. k/Q Galois ext. Gal(k/Q)=H
のちがいはわかりますか？
どちらかは確実に合っててどちらかは私の知る限り未解決問題なんですがどちらが正しくてどちらが未解決問題かわかりますか？
正しい方がわかるならもう一方が未解決問題の方です。
182:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/24 00:53:07 G70Rid0Q.net
>>158
>こっちのスレはあんまりのぞいてないんですけど、なんで中学レベルすらわかってない安達さんがこんな難しいスレにいるんですか？
どうも。スレ主です
安達さんは、スレ18（2016年）（下記）からの古参の人だよ
当時、ガロア理論の質問をしてきてね
私スレ主が説明したけど（他に説明した人は、いなかったのだが）、納得できないといってね（＾＾
自分で解説を考えて、それを書いて本に入れたという
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.v2-solution.com)
V2-Solution Inc. 書籍紹介
相対性理論はペテンである／無限小数は数ではない
安達 弘志 著
発売日20190701
(抜粋)
内容紹介
「ガロア第一論文のシンプル解説」現代の抽象代数学の用語を一切用いない、シンプルで、深い、最良の解説書
ガロアスレ18 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:179番)-
(抜粋)
179 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/02/20(土) 10:38:56.58 ID:ue3tj7XN [1/3]
どうもスレ主は私の言っていることの意味が分かってないようだが、ま、いいか（笑
私は理系ではなく、ましてや数学をを専攻したような人間ではない。
ただ五次方程式が解けないことをガロアが群という考えを用いて証明した、
ということを知って興味を持って調べているだけである。
で、何の予備知識もなくいきなり「群と代数方程式」を買って読んでみたが、
書いてあることの意味自体が理解できなかった（笑
で、解説書も少し読んでみて、何となく分ったような気になったが、
よく考えるとやはり分らない（笑
そこで「ガロアを読む」を買って今読んでいるのだが、
これも数学専攻学生のために書かれたような本で、
こんなものを読んでも素人には本質的なことは何も分らない。
で、今、図書館で「13歳の娘に語るガロアの数学」をリクエストしてきた。
180 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/02/20(土) 11:07:17.65 ID:ue3tj7XN [2/3]
補題４が分ったと書いたが、100%理解できたというわけでもない。
V´がVの根を置換したものだということは分る。
しかし根ａがf(V)で表わされるなら他の根ｂはf(V´)で表わされる、
ということの厳密な証明がない。
183:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/24 00:59:24 G70Rid0Q.net
>>165
「K/k Galois ext. Gal(K/k)=H」の定義は？
184:１３２人目の素数さん
19/10/24 01:07:53.77 9DQGDl/5.net
>>167
Kはkのガロア拡大体でそのガロア群はHに一致する。
です。
185:読んでる教科書にこの記号載ってない？ どちらかは正しい事が確実に示せます。 わかりますか？
186:１３２人目の素数さん
19/10/24 06:54:35.13 POF9ONA6.net
>>166
そうだったんですね
論理式の一つもわからなかった安達さんがなぜこんな話題に興味を持つのかとても興味深いですね
187:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/24 07:55:14.12 G70Rid0Q.net
>>168
ID:9DQGDl/5さん、どうも。スレ主です。
夜遅く、回答ありがとう
さて、ガロア理論で、体のガロア拡大とガロア群の対応を考えるとき
・体のガロア拡大は、正規かつ分離
・拡大体と群のガロア対応は、あきらかに包含関係を逆にしている
この２つは、重要だよね
（下記「ガロア理論の基本定理」及び「ガロア理論」）
で、定義を聞いた
>>165で
ガロア対応は、”H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. K/k Galois ext. Gal(K/k)=H”ですね
こちらが、合っている
ところで、ガロア群Gal(K/k)が既に存在するときは良いが、
逆に、ある群Hが与えられたときに、
群Hを、ガロア群とする体のガロア拡大（＝正規かつ分離）が、
必ず存在するかどうか
それが、ガロアの逆問題でしょ（>>45 ＆ >>149）
で、念押しだが現代数学の「ガロア理論の基本定理」（ガロア対応）は、基礎体k（下記ではF）に依存しないでしょ？
基礎体は、Qに限定されない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論の基本定理
ガロア理論の基本定理 (英: fundamental theorem of Galois theory) とは、ある種の体の拡大がなす構造を記述する結果である。
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）
この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
(抜粋)
証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができるという、エミール・アルティンによる幾分繊細な結果である。
ガロア拡大 K/F の自己同型写像は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。
つづく
188:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/24 07:56:20.51 G70Rid0Q.net
>>170
つづき
対応の明示的な記述
有限拡大に対し、対応は次のように明示的に述べることができる。
・Gal(E/F) の任意の部分群 H に対し、対応する体は普通 E^H と書かれ、これは全ての H の自己同型により固定される E の元の集合である。
・E/F の任意の中間体 K に対し、対応する部分群は、単に Aut(E/K) であり、これは全ての K の元を固定する Gal(E/F) に属する自己同型の集合である。
例えば、一番上の体 E は Gal(E/F) の自明な部分群に対応し、基礎体 F は Gal(E/F) の全体に対応する。
対応の性質
対応は次のような有益な性質を持っている。
・包含関係を逆にする(inclusion-reversing)[2]。部分群の包含関係 H1 ⊆ H2 が成り立つことと体の包含関係 E^H1 ⊇ E^H2 が成り立つこととは同値。
・拡大次数は包含関係を逆にするという性質と矛盾しない形で群の位数と関係する。具体的には H が Gal(E/F) の部分群であれば |H| = [E : E^H] であり |Gal(E/F)/H| = [E^H : F] である[3]。
・体 E^H は F の正規拡大（分離拡大の部分拡大は分離的だから、これはガロア拡大というのと同じ）であることと、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。
このとき Gal(E/F) の元の E^H への制限は、Gal(E^H/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論
(抜粋)
ガロア理論（ガロアりろん、Galois theory）は、代数方程式や体の構造を "ガロア群
189:" と呼ばれる群を用いて記述する理論。 1830年代のエヴァリスト・ガロアによる代数方程式の冪根による可解性などの研究が由来。ガロアは当時、まだ確立されていなかった群や体の考えを方程式の研究に用いていた。 ガロア理論によれば、“ガロア拡大”と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。 一般に、体の拡大において、ある体上で既約な多項式の分解体となるという性質を正規性といい、中間体の正規性はガロア群の部分群が正規部分群に対応している。 つづく
190:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/24 07:56:48.75 G70Rid0Q.net
>>171
つづき
例えば、L の正規部分拡大のうちで K の特定の元のべき根によって生成されるもの M の対称性を表す群
Gal (M/K)= Gal (L/K)/ Gal (L/M)
は巡回群になる。
L が K のべき根拡大になっているかどうかは群 Gal(L/K) が可解群になっているかどうか。
このようにして分解体の自己同型を調べることで方程式の可解性について考察することができる。
より発展的な定式化
抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。
上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。
この二つを満たすような拡大は ガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれる。
ガロア理論の基本定理
詳細は「ガロア理論の基本定理」を参照
体 L を体 K の有限次ガロア拡大とする。L と K の中間体 M と Gal(L/K) の部分群 H について次の式が成立つ。
M=L^Gal(L/M)},H= Gal(L/L^H).
ただし、Gal(L/M) は拡大 L/M のガロア群であり、LH は L の元のうちで H の下で不変になっているもののなす L の部分拡大を指す。
したがって、L の中間体 M とガロア群 Gal(L/K) の部分群 H の間の対応
φ:M→H= Gal(L/M),ψ:M=L^H←H
は互いに逆で、これらは全単射になることがわかる。
また、この対応はあきらかに包含関係を逆にしている。
つまり、M1 ⊃ M2 ならば φ(M1) ⊂ φ(M2), G1 ⊃ G2 なら ψ(G1) ⊂ ψ(G2) となる。
(引用終り)
以上
191:１３２人目の素数さん
19/10/24 09:31:00 V4UM6AG2.net
>>170
> ところで、ガロア群Gal(K/k)が既に存在するときは良いが、
> 逆に、ある群Hが与えられたときに、
> 群Hを、ガロア群とする体のガロア拡大（＝正規かつ分離）が、
> 必ず存在するかどうか
> それが、ガロアの逆問題でしょ（>>45 ＆ >>149）
>
このあたりからもう理解が、ガタガタなんですよ。
1)
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. K/k Galois ext. Gal(K/k)=H
2)
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. k/Q Galois ext. Gal(k/Q)=H
が違うのはわかっていて1)の方は簡単に証明できる話だというのは一応わかってるのね？
ところが問題なのは1)と2)はとてもよく似ていて実際、日本語の文章にするとどっちの意味なのか迷ってしまうことがあります。今回の逆問題の説明などまさにそれです。
例えば次の文章はこの部分だけ見ると1)の意味にとってしまっても不思議はありません。
More generally, let G be a given finite group, and let K be a field. Then the question is this: is there a Galois extension field L/K such that the Galois group of the extension is isomorphic to G?
これがキチンと数学の文章を全体を通じて意味を理解しないと危ない部分なんですよ。
この部分 "だけ" を切り出してしまうと1)の意味のようにKとkの両方を動かしていいと思ってしまう可能性はなくはありません。
しかし前段にある文章
In Galois theory, the inverse Galois problem concerns whether or not every finite group appears as the Galois group of some Galois extension of the rational numbers Q
192:. を見ると2)の意味であろうと推察できます。 これなんか論理式で書くと明白に違いがわかる文章でも我々が普段使っている言語に直してしまうとどちらの意味にでもとれてしまう "怖さ" があるんですよ。
193:１３２人目の素数さん
19/10/24 09:31:15 V4UM6AG2.net
あなたが批判されてるのはこういう文書の一部だけを切り出して勝手に誤解してることが多々あるからです。
数学の文章を引用するなら最低でも流し読みでもいいのでキチンと全体を読んで意味が複数とれる場合などはどちらの意味なのか考えないとダメです。
また長い文章を引用するなら部分的に読むとどちらにもとれるような場合には必要な部分全体を切り出すか一言二言注意を促して引用しないとダメです。
もう一つはそれでもちゃんと数学を勉強した人間なら "逆問題" の意味を1)と勘違いする事はありません。
サラッと流し読みしてて万が一一瞬1)の意味にとってしまったとしても「アレ？おかしい？こんなのいつでも存在するじゃん？」と意味を取り違えている事をすぐ認識できるからです。
そしてみんながあなたの数学力をバカにしてるのはそういう数学を勉強した人間なら当たり前に出来る事が一切できてないからですよ。
3年もガロア理論勉強したなら1)がさほど難しくなく数秒で証明できてしまうはずの問題なのにそれがwikiediaの項目として扱われるハズなんかないと気付く事ができて当たり前だからです。
なので論理式を持ち出してるんですよ。
そういう誤解を防ぐために数学の世界では論理式を用いて基礎論の数学者が研究のために使う "論理式" に直してみるとその手の誤解を防ぐ事ができるからです。
数学科では一回生、二回生くらいまでで文書を論理式に書いてみたり、その逆をやってみたりでその手の誤解をしないような、そしてその手の誤解を読者に与える文章を避ける事を心がけるための訓練をしっかりやるんですよ。
そしてあなたは正にその能力が全然育ってません。
今からでも遅くないのでその手の練習はしっかりやらないとダメです。
もしかしてイプシロンデルタで論理式には苦手意識持ってますか？
しかし正確な論理展開をしていくためにも論理式は絶対避けられません。
数学を例え趣味でも勉強していくつもりならここはさけられませんよ？
194:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/24 12:41:59.20 zndIMm6S.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.asahi.com)
６０年解けなかった数学の難題 世界中のＰＣつなぎ解決 石倉徹也 朝日新聞 2019年10月24日07時05分
世界中のパソコン５０万台をネットワークでつなぎ、スーパーコンピューターをも超える能力で計算させることで、未解明だった数学の難問を解決することに欧米の数学者が成功した。ある整数を３乗した数（立方数）を三つ、足したり引いたりして１～１００を作る問題で、最後まで残っていた４２となる三つの組み合わせが６４年目にしてついに見つかった。
この問題は１９５０年代、英国の数学者ルイス・モーデルが考え出した。例えば、１の３乗＋１の３乗＋１の３乗は３になる。４、４、－５の組み合わせでもそれぞれ３乗して足すと、６４＋６４－１２５となって合計は３になる。モーデルは論文で「この２通り以外に３をつくれる組み合わせがあるのか、私には分からない。見つけるのは非常に難しいに違いない」と記した。
５５年には、３だけでなく、三つの数字を組み合わせて１～１００の数をすべてつくれるか、という問題に発展した。整数論の重要な定理「モーデル予想」を提案した大数学者の問いかけとあって、世界中の数学者が色めき立って考え始めた。
手計算で
195:手に負えなくなると、コンピューターによって手当たり次第に探されるようになり、２０１６年までに３３と４２を除くすべての答えが出た。１３や１４のように、９で割って余りが４か５になる数には答えがないこともわかった。 そして今春、英ブリストル大の… 有料会員限定記事こちらは有料会員限定記事です。有料会員になると続きをお読みいただけます。 残り：1087文字／全文：1642文字
196:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/24 17:13:36.82 zndIMm6S.net
>>173
ID:V4UM6AG2さん、どうもスレ主です。
あなたは、かなり勉強されているみたいだから、もう少し教えてもらえますか？
少し、記号を整備しましょう。
下記、ガロア理論の基本定理にならいます。
基礎体F、拡大体E、中間体K、有理数体Q
体の有限次ガロア拡大 E/Fのガロア群 Gal(E/F)
基礎体F上、F係数の一般ｎ次方程式による体の拡大を考えて、拡大体Eが得られたとする
（簡単のために、FはQ上の代数拡大体とする）
Gal(E/F) ＝Sn （n次対称群）
体：Q ⊆ F ⊆ K ⊆ E
↓↑（ガロア対応）
群：S'⊇ Sn⊇ G ⊇{e}
ここに、GはSnの部分群で、S'はSnを含む群、 {e}は単位元からなる自明な群
（そして、ケーリー（Cayley）の定理（>>129）から、Snを十分大きく取れば、任意の群Gに対して、”Sn⊇ G”成立）
で、あなたは、
体：F ⊆ K ⊆ E
↓↑（ガロア対応）
群：Sn⊇ G ⊇{e}
なら、作れるといったわけですよね（>>80）
（体 F、K、E を自由に選んで良いなら、自由度が上がっている？ ）
でも、ガロア逆問題は
体：Q ⊆ K
↓↑（ガロア対応）
群：G ⊇{e}
となる体：Q ⊆ K （Q上の拡大体K）が存在するかどうか（あるいは見つける）ですよね（あなたの言葉を借りれば）
そういう理解で良いですかね？
なるほど
しかし、Qに限らないのでは？ 自由度の問題では？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論の基本定理
(抜粋)
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）
つづく
197:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/24 17:14:14.50 zndIMm6S.net
>>176
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対称群
(抜粋)
6.1 一般多項式のガロア群
多項式のガロア群とは、多項式の根の全体からなる集合上の置換群のことをいう。
n-次対称群 Sn は有理数体 Q 上の n-次の一般多項式（係数の間に何らの代数的な関係式も成立しないような多項式）
のガロア群であることが示される。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自明群
(抜粋)
自明群、自明な群 (trivial group)、単位群 はただ1つの元からなる群である。
自明群のただ1つの元は単位元である
(引用終り)
以上
198:１３２人目の素数さん
19/10/24 17:37:34.99 TFjX0kgg.net
十分大きく
十分小さく
などは証明ではない
199:１３２人目の素数さん
19/10/24 18:13:01.45 dI8bXOuQ.net
>>176
やはりまずはきっちり問題をまず論理式で書いて下さい。
変数はL,K,Gとして条件は
L/K Galois ext ∧ G≅Gal(L/K)
で束縛されているのはGとLで
∀G∃L s.t. L/K Galois ext ∧ G≅Gal(L/K)
の形、すなわちKは自由変数でその値によって真偽値が確定します。
例えばK=C(複素数体)のときはGとして現れうるのは単位群のみなので偽である事が確定します。
K=R(実数体)のときも偽です。
K=Rの場合が大元の逆問題で現時点で真偽不明です。
おそらくQ上の有限次代数拡大Kで真偽が確定している体は一つもないと思います。
私は専門家ではないのですが知り合いの得意な人に2000年の時点で質問した時は知らないと言ってました。
少なくともその時点ではオープンプロブレムだったハズです。
200:１３２人目の素数さん
19/10/24 18:22:47.31 VtUUj/v5.net
>>176
わたし（>>122）とID:V4UM6AG2さんは別人ですよ。
>>117に対する回答が>>122です。
この回答に誤りがあるなら言ってください。
（わたしはないと思ってます。
そして何度も言っているように自明・トリヴィアルな話。）
「
201:基礎体は固定されておらず動かしてもいい」 ということも最初から言っています。 貴方は何年間もガロア理論を勉強されてきて こんなことも分からないほどモノになっていない ことを自覚して下さい。 貴方はまずは「不明だったのはは自分でした」 と認めて下さい。
202:１３２人目の素数さん
19/10/24 18:28:05.08 w7946dE3.net
私がID:V4UM6AG2です。
私がヨコ入れたので混乱しそうなのでしばらくはロムってます。
まずは最初議論始めたお二人でどうぞ。
ヨコレス失礼しました。
203:１３２人目の素数さん
19/10/24 18:40:44.18 VtUUj/v5.net
最初に与えられた既約方程式が素数次数であれば
分解体に到達するまでのどの中間体でも既約のままで
ガロア群のみが変わるということが起こります。
それはx^3-2=0という方程式のガロア群はQ上ではS_3だが
1の原始3乗根ωを添加したQ(ω)上ではC_3になることからも
類推できるでしょう。
素数次数p次のS_pをガロア群として持つ既約方程式の場合
まさにそれと同じことが起こります。
基礎体を変えることで、方程式はそのままで
ガロア群としてS_pのすべての部分群が生じます。
204:１３２人目の素数さん
19/10/24 18:46:24.19 VtUUj/v5.net
>>181
わたしはスレ主と議論するつもりはないですね笑
それはもう一人いらっしゃった方も同じだと思います。
コピペバカに「おかしいね」とツッコミを入れる感じです笑
スレ主の相手をしてくださったのは有難かったですm(__)m
いつでもご自由にご参加下さい。
205:１３２人目の素数さん
19/10/24 19:13:52.68 VtUUj/v5.net
>>182
ここで言うガロア群とはGal(K/k)のこと。
たとえばQがこの方程式の係数体で
Kが分解体、kを中間体とするとき
K/kはガロア拡大だが、k/Qがそうとは限らない。
k/Qがガロア拡大となるのはGal(K/k)=Nが正規部分群のときのみ。
そのときGal(k/Q)=S_p/Nだが、S_p/Nとして生じるガロア群は
非常に限定されていることが分かる。
206:{}
19/10/24 19:28:10.41 D1dAD1u7.net
>>176
馬鹿に質問だ
体 L を体 K の有限次ガロア拡大とし
Gal(L/K)を拡大L/Kのガロア群とする
そしてHをGal(L/K)の部分群とする
貴様は L の元のうちで H の下で不変になっているものの全体である
Lの部分体L^Hが必ず存在するとはいえない、といいたいのか？
207:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/24 19:45:47 D1dAD1u7.net
>>176
要するに馬鹿は
体：F ⊆ E^G ⊆ E
↓↑（ガロア対応）
群：Sn⊇ G ⊇{e}
となるE^Gが常に存在するとは限らない、といいたいのか
208:１３２人目の素数さん
19/10/24 19:47:23 VtUUj/v5.net
>>182
>基礎体を変えることで、方程式はそのままで
>ガロア群としてS_pのすべての部分群が生じます。
大間違い。
方程式はそのままじゃなくて分解することもありますね。
p個の根に可移的に作用しない部分群もあるので。
209:１３２人目の素数さん
19/10/24 19:51:09 VtUUj/v5.net
たとえ間違っても自分で考えるのが楽しいんですよ
コピペバカには分からんでしょうがな笑
210:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/24 19:51:26 D1dAD1u7.net
1と議論する馬鹿はいないｗ
議論というのは主張の正しさが明らかでない同士の間で成立する
1は常に間違ってることが明らかであるから
1との対話は議論ではなく馬鹿に対する指導であるｗ
211:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/25 18:50:08.96 xcx18NtP.net
>>176
なるほど なるほど
分かりました 分かりました
"ガロアの逆問題"：
「ある基礎体Eに対して、群Gを与えたとき、拡大体Fを求めよ」という問題ですね
で、この視点から、これを広く解釈すれば、類体論もこの類の問題になる（後述）
１）可換の場合
・基礎体Q、1 の冪根（円関数）で、クロネッカー?ヴェーバーの定理
・有理数体の虚二次拡大体の場合、高木類体論（楕円曲線の虚数乗法）
・一般の基礎体Fなら、ノイキルヒの本らしい
２）非可換の場合
・ラングランズ対応
３）これ以外で、数論幾何における高次局所体および高次大域体のアーベル
212:拡大 ・A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司ら とか書かれていますね（下記） イヴァン・フェセンコ先生は、例のIUTで望月先生を支持している方かな？ ではまた（＾＾ （参考） （>>45-46） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96 ガロア理論 (抜粋) 逆問題 与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。 https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem Inverse Galois problem https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%B3 イヴァン・フェセンコ（Ivan Fesenko）は、数論および現代数学での他分野との（数論の）相互作用を研究している、ロシアの数学者である。 (抜粋) フェセンコは、望月新一の宇宙際タイヒミューラー理論（英語版）(Inter-universal Teichmuller theory、IUT)の研究を整頓するうえで積極的な役割を果たした。 つづく
213:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/25 18:51:12.59 xcx18NtP.net
>>190
つづき
フェセンコは同研究のサーベイ論文[pub 19]及び一般論説[pub 20]の著者であり、数学界の難問ABC予想を証明できたとする望月の論文（2012年）に関して「証明内容に誤りは無い」と後押しする主張を行った数学者の1人である[4]。
フェセンコは、IUTに関する（同理論を理解したいと考える数学者に向けて内容を説明する）2つの国際ワークショップを共同開催した[pub 21][pub 22]。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Class field theory
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
類体論
(抜粋)
数学における類体論（るいたいろん、英: class field theory, 独: Klassenkorpertheorie）は、有限体上の曲線の函数体や数体のアーベル拡大について、およびそのようなアーベル拡大に関する数論的性質について研究する、代数的整数論の一大分野である。
理論の対象となる体は、一般に大域体もしくは一次元大域体と呼ばれるものである。
与えられた大域体の有限次アーベル拡大と、その体の適当なイデアル類もしくはその体のイデール類群の開部分群との間に一対一対応が取れるという事実によって、類体論の名がある。
例えば、数体の最大不分岐アーベル拡大であるヒルベルト類体は、非常に特別なイデアル類に対応する。類体論は、大域体のイデール類群（即ち、体の乗法群によるイデールの商）によってその大域体の最大アーベル拡大のガロワ群へ作用する相互律準同型 (reciprocity homomorphism) を含む。
大域体のイデール類群の各開部分群は、対応する類体拡大からもとの大域体へ落ちるノルム写像の像になっているのである。
標準的な方法論は、1930年代以降発達した局所類体論（英語版）で、これは大域体の完備化である局所体のアーベル拡大を記述するものであり、これを用いて大域類体論が構築される。
つづく
214:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/25 18:51:31.99 xcx18NtP.net
>>191
つづき
目次
1 現代的な定式化
2 素イデアル
3 類体論の一般化
4 歴史
5 脚注
6 参考文献
7 関連項目
現代的な定式化
現代的な言葉で言えば、基礎体 K の最大アーベル拡大 A は存在して、その拡大次数は K 上無限大となり得るから、その時 A に対応するガロワ群 G は副有限群となり、従ってコンパクト位相群かつまたアーベル群になる。
類体論の中心定な目的は、この群 G を基礎体 K の言葉で記述することである。特に、K の有限次アーベル拡大と K に対する適当な（有限な剰余体を持つ局所体の場合の乗法群や大域体の場合のイデール類群のような）対象におけるノルム群との間の一対一対応を確立し、それらのノルム群を（例えば、指数有限な開部分群といったように）直截的に記述することである。
そのような部分群に対応する有限次アーベル拡大を類体と呼び、これが理論の名称の由来となっている。
類体論の基本的な結果は「最大アーベル拡大のガロワ群 G は、基礎体 K のイデール類群 CK の（基礎体 K の特定の構造に関係して CK に入る自然な位相に関する）副有限完備化に自然同型である」ことを主張する。
同じことだが、K の任意の有限次ガロワ拡大 L に対し、この拡大のガロワ群の最大アーベル商（アーベル化）と、K のイデール類群を L のイデール類群のノルム写像による像で割ったものとの間に、同型
Gal(L / K)ab → CK / NL/K CL
が存在する[1]。
つづく
215:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/25 18:51:52.53 xcx18NtP.net
>>192
つづき
幾つかの小さい体、例えば有理数体 Q やその虚二次拡大体については、もっとたくさんの情報が得られる詳細な理論が存在する。
例えば、Q のアーベル化絶対ガロワ群 G は、全ての素数に亙って取った p-進整数環の単元群の無限直積（に自然同型）であり、対応する Q の最大アーベル拡大は 1 の冪根全てによって生成された体となる。
このことは、もとはレオポルト・クロネッカーの予想であったクロネッカー?ヴェーバーの定理として知られる。
この場合の、類体論の相互律同型（あるいはアルティンの相互律写像）も同定理に従って具体的に書くことができる。
1 の全ての冪根からなる群を
μ_∞(⊃C^X)
と書くことにする（円周群C^×のねじれ部分群）と、アルティンの相互律写像はそれが数論的正規化されているならば
＾Z^X→G_Q^ab=Gal(Q(μ_∞)/Q);x→(ζ→ζ^x)
によって、あるいはそれが幾何学的正規化されているならば
＾Z^X→G_Q^ab=Gal(Q(μ_∞)/Q);x→(ζ→ζ^-x)＾
によって与えられる。
しかし、このような小さな代数体に対する詳細理論の主要な構成法は一般の代数体の場合にまで拡張することはできないし、一般類体論で用いられるのはもっと違った概念的原理である。
相互律準同型を構成する標準的な方法は、まず大域体の完備化の乗法群からその最大アーベル拡大のガロワ群への局所相互律同型を構成し（ここまでは局所類体論の範疇でできる）、それからそれらすべての局所相互律写像の積を大域体のイデール群上で定義するとき、その積が大域体の乗法群の像の上で自明となることを示すことで行われる。
最後のところのこの性質を大域相互律 (global reciprocity law) と言い、これはガウスの二次の相互律の広汎な一般化になっている。
相互律準同型を構成するのに類構造（英語版）を用いる方法もある。
コホモロジー群（特にブラウアー群）を用いる方法や、コホモロジーを用いずに非常に明示的で応用が利く方法などもある。
つづく
216:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/25 18:52:13.24 xcx18NtP.net
>>192
つづき
素イデアル
G の抽象的な記述だけではなくて、そのアーベル拡大においてどのように素イデアルが分解するかを理解することが数論の目的にとってより本質的である。
この記述はフロベニウス元を用いて、二次体における素数の因数分解の様子を完全に与える二次の相互律を非常に広範に一般化するものである。
つまり、類体論の内容には、（三次の相互律といったような）より高次の「冪剰余の相互律」についての理論が含まれるのである。
類体論の一般化
数論における一つの自然な展開は、大域体の（アーベルとは限らない）一般のガロワ拡大に対する情報を与える非可換類体論の構成と理解を行うことである。
ラングランズ対応が非可換類体論と見做されることが多く、そして実際にラングランズ対応が確立されたときには大域体の非可換ガロワ拡大に関する非常に豊かな理論を含むことになるのだが、しかしラングランズ対応はアーベル拡大の場合の類体論が持っていた有限次ガロワ拡大についての数論的情報のほとんどを含んでいないのである。
しかもラングランズ対応は類体論の存在定理に対応するものも含んでいない、即ち、ラングランズ対応における類体の概念は存在しないのである。
局所および大域の非可換類体論はいくつか存在し、それらはラングランズ対応の観点に対する別の選択肢を与えてくれる。
もうひとつ、数論幾何における自然な展開は、高次局所体および高次大域体のアーベル拡大を構成及び理解することである。
後者の高次大域体は、整数環上の有限型スキームの函数体およびその適当な局所化や完備化として生じる。
「高次局所および大域類体論」は代数的 K-理論や、一次元類体論で用いられる K1 の代わりに適当なミルナー K-群を用いる。高次局所および大域類体論は、A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司らの数学者が展開した。
代数的 K-理論を用いずに高次大域類体論を展開しようとする試みもある (G. Wiesend) が、このやり方は高次局所類体論を含むものではなく、また局所理論と大域理論との間に互換性がない。
つづく
217:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/25 18:52:42.76 xcx18NtP.net
>>194
つづき
歴史
詳細は「類体論の歴史（英語版）」を参照
類体論の起源はガウスによって与えられた平方剰余の相互律にある。
それが一般化されるまでには長きに亙る歴史的な取り組み、たとえば二次形式とその「種の理論」、クンマー・クロネッカー・ヘンゼルなどのイデアルおよび完備化に関する業績、円分体およびクンマー拡大の理論などがあった。
最初の二つの類体論は、非常にはっきりした円分類体論と虚数乗法類体論である。
これらは付加的な構造（有理数体の場合には 1 の冪根、有理数体の虚二次拡大体の場合には楕円曲線が虚数乗法を持つことと位数有限であること）が利用できる。
随分後になって、志村の理論は代数的数体のクラスに対する非常に明示的な新たな類体論を与えた。これらは基礎体の具体的な構造を非常に陽に用いる理論であって、勝手な数体に対してもうまくいくように拡張することはできない。
正標数 p の体に関しては、河田と佐武がヴィット双対性を用いて相互律準同型の p-成分の非常に平易な記述を得ている。
しかし、一般類体論はこういったものとは異なる概念を用い、その構成法が任意の大域体に対してうまく機能するようにしなければならない。
ヒルベルトの有名な問題が更なる発展の刺激となって、高木貞治、フィリップ・フルトヴェングラー、エミール・アルティン、ヘルムート・ハッセほか多数による種々の相互律が導かれることとなった。
つづく
218:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/25 18:53:08.68 xcx18NtP.net
>>195
つづき
著しく重要な高木の存在定理が1920年に知られ、全ての主要な結果は1930年ごろまでには出そろっていた。
証明されるべき古典的な予想の最後の一つは単項化定理（英語版）であった。類体論の最初の証明には、頑強な解析学的手法が用いられた。
1930年代以降は、無限次元拡大とそのガロワ群に関するヴォルフガンク・クルルの理論が有効であることが次第に認められていく。
この理論はポントリャーギン双対性と結びついて、中心的な結果であるアルティンの相互律のより抽象的な定式化が分かり易くなった。
重要な段階は、1930年代にクロード・シュヴァレーによってイデールが導入されたことである。
イデールをイデアル類の代わりに用いることで、大域体のアーベル拡大を記述する構造は本質的に明確化および単純化され、中心的な結果のほとんどが1940年までに証明された。
この結果の後には、群コホモロジーの言葉を使った定式化がなされ、それが何世代かの数論学者が類体論を学ぶ際の標準となったが、コホモロジーを用いる方法の難点の一つは、それがあまり具体的でないことである。
ベルナルド・ドワーク、ジョン・テイト、ミッシェル・ハゼウィンケルによる局所理論への貢献、およびユルゲン・ノイキルヒによる局所および大域理論の再解釈の結果として、あるいは多くの数学者による明示的な相互公式に関する業績と関連して、1990年代にはコホモロジーを用いない非常に明確な類体論の表現が確立された。
このあたりの詳細は、例えばノイキルヒの本を参照せよ。
(引用終り)
以上
219:{}
19/10/25 19:06:08.14 QMdkwxsn.net
馬鹿のダメなところ
・自分がどこをどう間違ったか決して認めない（つまり反省できない）
・無暗に自分が理解できてない難しいことを言いたがる（つまり見栄を張りたがる）
220:１３２人目の素数さん
19/10/25 19:45:02.98 QC0xCFfP.net
スレ主は>>117の問題は自明だということは分かりましたか？
そんな簡単な問題にさえ自答できない
古典的ガロア理論も全然身に付いてないのに
そんな難しい話をコピペしても無意味でしょう
自分でおかしいと思わない�
221:ﾅすか？
222:１３２人目の素数さん
19/10/25 19:49:31.35 QC0xCFfP.net
コピペ・マウンティングというのは本当にその通りなのかも
かつては"おっちゃん"という迷コンビがいて
互いに全然理解できてない話で意気投合してましたがｗ
223:１３２人目の素数さん
19/10/25 20:10:31.04 QC0xCFfP.net
>なるほど なるほど
>分かりました 分かりました
スレ主は、権威ある本に書いてあるとか偉い先生のお墨付きがあるとなれば、自分が理解できてないことでも納得する。
逆に明らかな証明であっても、自分の知性だけで正しさを判断しなければならないことには納得しない。
そのような態度は、グロタンディークを含め多くの数学者の最も軽蔑する態度である。
224:１３２人目の素数さん
19/10/25 20:46:31.98 rGW1+gxr.net
でもwikipediaは無条件に信じてるんだよな。
結構ウソも混じってるんだけどね。
225:{}
19/10/25 21:14:45.18 QMdkwxsn.net
>>200
>権威ある本に書いてあるとか偉い先生のお墨付きがあるとなれば、
>自分が理解できてないことでも納得する。
権威に屈服しただけで、納得してるわけではないだろうな
ヤツはイヌなんだよ
>逆に明らかな証明であっても、自分の知性だけで
>正しさを判断しなければならないことには納得しない。
知性がないから権威に従うしかない
ヤツは人間じゃなくてイヌなんだよ
>>201
wikipediaならオレも書いたよ
数学の記事だが、何について書いたかは秘密
ガロア理論関係ではない
226:{}
19/10/25 21:18:10.89 QMdkwxsn.net
ま、馬鹿を従わせるのに権威が有効なのは確か
BABYMETALの曲のすばらしさを理解するには音楽のセンスが必要だが
誰もがそんなセンスを有しているわけではない
センスのない馬鹿には
「BABYMETALの新アルバム、Billboard200で13位になったんだぜ」
というのが一番
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
227:{}
19/10/25 21:22:09.70 QMdkwxsn.net
>>198-199
馬鹿は「類体論」という言葉で他人を威圧したいだけ
なにしろマウント馬鹿だから 自分が全然理解してなくても恥ずる色もない
ま、老先短い窓際族の爺ィの戯言だからほっとくのが一番ｗｗｗ
228:１３２人目の素数さん
19/10/26 03:09:50 PL8cog31.net
おっちゃんです。
>>198-199
>かつては"おっちゃん"という迷コンビがいて
>互いに全然理解できてない話で意気投合してましたがｗ
私が読んだことがある代数の本には残念ながらガロア理論は抜けていて、
かつて薦められたガロア理論の本も分厚く、どちらかといえば時間がかかる。
現時点でも、まだ古典的ガロア理論の内容は知らない。勿論、まだ類体論のことも知らない。
私は、代数的ガロア理論或いは類体論のことでスレ主と意気投合した覚えや記憶はない。
229:１３２人目の素数さん
19/10/26 04:40:07.32 PL8cog31.net
やっぱり、スレ主と古典的ガロア理論の話で盛り上がったことは思い出せない。
まあ、最近はかなり複雑で膨大な解析をしている途中なんで。
230:{}
19/10/26 06:26:36.61 z6TBbHYr.net
>>206
＞最近はかなり複雑で膨大な解析をしている途中なんで。
「成果」は自分でスレッド立てて書いてくれ
１スレッドに２匹のトンデモは要らない
231:１３２人目の素数さん
19/10/26 06:40:01.34 PL8cog31.net
>>207
自然現象に関する古典的な解析を厳密に試みてみるといい。
複雑で膨大な計算や解析をすることになる。
232:{}
19/10/26 07:19:31.25 z6TBbHYr.net
女々しい言い訳は要らない
233:１３２人目の素数さん
19/10/26 07:32:11.39 PL8cog31.net
>>209
有名な寺寛を厳密に読もうと試みたことないのか？
234:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/26 08:17:40 z6TBbHYr.net
>>210
ここでその話をするな
自分でスレ立てろ
このスレにトンデモ二匹はいらない
235:１３２人目の素数さん
19/10/26 08:29:58.87 PL8cog31.net
>>211
まあ、現在は古典的ガロア理論のことではトンデモと思ってもよい。
ガロアの逆問題のことが書かれているテキストも全く知らない。
236:{}
19/10/26 10:28:15.41 z6TBbHYr.net
正直言って、�
237:｡の数学板は 「0.99999……は１ではない」 （安達弘志） 「フェルマーの最終定理の簡単な証明」 （日高） 「【未解決問題】奇数の完全数が存在しないことの証明」 （高木宏兒） 「現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む」 （雑談 ◆e.a0E5TtKE） といったトンデモスレであふれかえっているので 新しいスレを立てても固定読者がつくとは限らないｗ
238:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 10:55:16.75 fHUQGPHQ.net
>>198
ID:QC0xCFfPさん、どうも。スレ主です。
ありがとう ありがとう
了解です
あなたの言っているのは、
自由度を上げると解けるって話ですね
元は
"ガロアの逆問題" （下記）：
基礎体Fと群G（非可換の場合も）が与えられたとき、拡大体Eを構成せよ
対して、
あなたの変形した問題：
群G（非可換の場合も）が与えられたとき、ある基礎体Fと拡大体Eの組が存在するか
あなたの変形した問題では、自由度が上がって、基礎体Fと拡大体Eの組合わせが1つあれば良い
それは、>>176に示したように、ガロア理論の基本定理と
ケーリー（Cayley）の定理（>>129）から、
Snを十分大きく取れば、
任意の群Gに対して、
Gal(E/F) ＝Sn （n次対称群）
体：Q ⊆ F ⊆ K ⊆ E
↓↑（ガロア対応）
群：S'⊇ Sn⊇ G ⊇{e}
から、「 K ⊆ E」の存在が示せるってことですね
”自由度を上げる”というのは、数学では、他にもいろいろありますね
整数解を求める前に、有理数解を求めるとか、代数的整数の解を求めてみるとかね
（>>45より）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
239:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:03:50.06 fHUQGPHQ.net
>>190
Fesenko先生、下記 渡邉崇
”高次元局所類体論の諸定理を I.B.Fesenko([F2]) の方法で示した”か
で、ところで、下記はOpenなのか
”今のところ素体 (有理数体 Q および有限体) に関係する体において、扱いやすい形で
Abel 拡大における Galois 群を近似する方法・すなわち類体論がいくつか知られているわ
けだが、素体によらない体で、類体論が構成され得るのか? また１世紀以上過ぎても依然
として Hilbert23 の問題の未解決問題として残っている類体の構成問題は、類体論が証明
されているすべての体上で解決できる問題なのか? など代数体の類体論が完成して、一世
紀弱が経過しているが、類体論について考えるべき問題が依然として多く残されている.”
類体論を、ガロアの逆問題（>>45）として見たとき
ガロア群がアーベルの場合は、類体論が役に立つ
では、
・ガロア群がアーベルの場合には、類体論で全て尽くされているのかどうか？
・ガロア群が非アーベルの場合は、どこまで解明されたのか？
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
雪江明彦のホームページ
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
Parshin による高次元局所類体論の構成について M2 渡邉 崇 2007年修士卒業 東北大学
目次
2 高次元局所体 7
2.1 諸定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 高次元局所体の位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 序文
1.1 概略
本修士論文は A.N.Parshin([P1]) による高次元局所類体論の主定理の証明の紹介と、そ
の論文の中で示されていない高次元局所類体論の諸定理を I.B.Fesenko([F2]) の方法で示
した、標数 p (> 0) の高次元局所類体論の証明である. 主にこの論文通じて示したいこと
は次の主定理と類体論の諸定理である.
定理 1.1 (高次元局所類体論の主定理). F を標数 p (> 0) が n 次元局所体. Ktop
n (F) を
位相的 n 次 Milnor K-group とするとき
ψF : Ktopn(F) → Gal(Fab/F)
単射連続な準同型 ψF でその image が dense となるものが存在する.
つづく
240:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:05:14.09 fHUQGPHQ.net
>>215
つづき
本論文では、まず §2 で高次元局所体の性質、§3 で K 群の性質を述べた後に、§4 で
主定理の証明方法の方針を示す. そして主定理の証明に決定的な役割を果たす Kummer
pairing（§5) と
241:Artin-Schreier-Witt pairing(§7) の非退化性を示し、最後に §8 主定理の 証明と、他の重要な存在定理などを述べる. 1.2 歴史 高次元局所類体論について、類体論の歴史について概観しながら見ていくことにする. Hilbert・高木貞治、最終的に 1925 年の E.Artin による相互写像の写像の証明によ り、まず代数体の類体論 (大域類体論) が完成した. その後解析を使わない類体論の算 術的な証明の研究が進み、Chevalley により イデールが導入され算術的類体論の証明が 完成した. その当時局所類体論は大域類体論の系として得られていたが、大域類体論と は独立して局所類体論を証明する動きが起こり、中山正・Hochschild・Tate らによる 有限群の Galois Cohomology の研究により Cohomology を用いて局所類体論が証明さ れた。またその結果を利用して局所類体論を証明してから、大域類体論を証明する方法 も見出された. その後 Cohomology を使わない局所類体論の証明方法の研究がなされ、 M.Hazewinkle([H1],[I1]) の方法. Neukirch([NE1]) の方法. Lubin-Tate([LT1]) による formal group を用いる証明方法. と現在様々な局所類体論の証明方法が知られている. (大 域類体論と局所類体論全般については例えば [KKS1]、また歴史については [A.M1] を参 照されたい.) 高次元局所体は伊原康隆による 1968 年京大数理解析研究所講究録の 「ある p 進完備な 関数体についての問題」([IH1]) の中に最初に現れたといわれている. 彼の仕事に刺激を受 けた加藤和也によって 1978 年ごろに高次元局所類体論が完成された.([K1, K2, K3]) 高次 元局所類体論の要点は、主定理が表しているように最大 Abel 拡大の Galois 群が Milnor K-group で近似されることである. 一方 A.N.Parshin は Z 上有限型既約スキームの研究 ([P2]) をしているなかで、高次元局所体が現れることを見出し、加藤和也とは独立して ほぼ同時期に高次元局所類体論を完成させたといわれている. つづく
242:{}
19/10/26 11:05:15.78 z6TBbHYr.net
>>214
＞群G（非可換の場合も）
わざわざ「非可換の場合も」と書く意味がわからん
馬鹿の考えることは人間には理解できないｗ
243:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:06:38.38 fHUQGPHQ.net
>>216
つづき
Parshin による類体論の証明方法 ([P1]) は、河田・佐竹による標数 p (> 0) の局所類体論の証明方法 ([KS1]) を応
用したものである. この論文で述べることであるが、Parshin による証明は主定理の証明
において表面上は Cohomology を使用しない類体論の証明方法である. 加藤と Parshin
の証明の大きな違いを述べると、Parshin の方法は K 群から最大 Galois 群の p-part へ
の写像の構成が、加藤の証明方法のように de Rham-Witt Complex を用いたりせず、
Artin-Schreier-Witt pairing を用いて、比較的容易にできる点である. その後も高次元
局所類体論について研究がなされ、Neukirch の方法を応用した I.B.Fesenko([F1, F2] に
よる方法、modified hypercohomology を用いた小屋 ([Ko1]) による方法が知られている.
(高次元局所体・高次元局所類体論全般については [F1] や [FK1] を参照のこと.)
局所類体論の証明方法またはそのアイディアを応用して、Parshin や Fesenko など高次
元局所類体論がいくつか証明されており、局所類体論の方法で高次元局所類体論が証明で
きるのではと期待されるのだが、Lubin-Tate による方法などの応用は、今のところ良い
結果が知られておらず ([V.Z1]) 同様にして証明できるか否か不明である.
一方で局所体に対して大域体と上位の概念があるように、高次元局所体に対して高次元
大域体というものがあり、加藤和也・斎藤秀司によって高次元大域類体論が完成されてい
る. 大域類体論と局所類体論の関係のようにして、高次元大域類体論を証明した後に、そ
の系として高次元局所類体論を得るということも考えられるが、高次元局所類体論の結
果を用いずに、高次元大域類体論を証明する方法はまだ知られておらず、大域類体論の
時のように、高次元大域類体論を最初に証明してから、高次元局所類体論を証明できる
かどうかも現在わかっていない. (高次元局所類体論と高次元大域類体論全般については
[RA],[IS1],[KA1],[KA2] を参照.)
つづく
244:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:07:05.96 fHUQGPHQ.net
>>218
つづき
今のところ素体 (有理数体 Q および有限体) に関係する体において、扱いやすい形で
Abel 拡大における Galois 群を近似する方法・すなわち類体論がいくつか知られているわ
けだが、素体によらない体で、類体論が構成され得るのか? また１世紀以上過ぎても依然
として Hilbert23 の問題の未解決問題として残っている類体の構成問題は、類体論が証明
されているすべての体上で解決できる問題なのか? など代数体の類体論が完成して、一世
紀弱が経過しているが、類体論について考えるべき問題が依然として多く残されている.
(引用終り)
つづく
245:{}
19/10/26 11:07:27.79 z6TBbHYr.net
>>215
馬鹿のトンチンカン発言↓
＞類体論を、ガロアの逆問題として見たとき
＞ガロア群がアーベルの場合は、類体論が役に立つ
246:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:08:39.45 fHUQGPHQ.net
>>219
つづき
河田 敬義先生 数学1954年
「§7.結び
もともと類体論はHilbertによつて示唆
されたように,代数函数体の不分岐拡大の理論の
整数論における類似を求めようという企てから出
発した.
しかし高木先生およびArtinによつてで
き上つた類体論は,Hilbertの示唆をはるかにこ
えて,一般アーベル拡大の理論が含まれてしまつ
た.従つて代数函数体の理論との類似は必ずしも
密接ではなくなつてしまつた.しかし類構造の立
場からここに再び両者の関係をつけることができ
た.この類似から見ると,いくつかの問題がおこる.」
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学/6 巻 (1954-1955) 3 号/書誌
種々のアーベル拡大の理論と類体論との関係について 河田 敬義
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
論説
種々のアーベル拡大の理論と類体論との関係について
東京大学 河田 敬義 数学1954 年 6 巻 3 号 p. 129-150
(抜粋)
類体論を新らしい立場から,特にコホモロジー
論を利用して再構成しようという企ては,多くの
人々(Artin, Chevalley, Hochschild,中山,
Tateら)によつてなされた.これはすでに本誌に
おいて論ぜられたことである(中山[13]).Artin
はPrincetol1大学における講義(1952-3)で,
大局的および局所的類体論の或る部分がコホモ戸
ジー論によつて統一的に論ぜられることを指摘
し,類構造(class formation)の理論を展開し
た(Artin-Tate[2]).一方アーベル拡大の理論
は,類体論の他に,Kummer拡大の理論,標数
力の体の力拡大の理論(Witt[19]),古典的1変
数代数函数体の不分岐拡大の理論(Wey1[18])な
どが知られている.そこで当然これらの理論がす
べて共通の立場から論ぜられないかという問題が
生じる.本論説の目標は,類構造の理論を中心
に,すべてのアーベル拡大の理論を統一的に論じ
ようということである。
つづく
247:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:09:19.12 fHUQGPHQ.net
>>221
つづき
以下まず類構造の一般論
を述べ(§1),Kummer拡大およびρ 拡大
(§2),および古典的代数函数体(§3)の場合に
あてはめる.次にWei1[17]が整数論において考
察したいわゆるWei1群の理論を一般の類構造
において論し(§4),これを古典的代数函数体の
不分岐拡大の場合に適用する(§5).さらにWei1
[17]で示唆された普遍Weil群の理論を,代数
函数体の場合に考察する(§6).'以上の考察から
さらに新な問題に直面する。最後にそれらについ
て述べたい.
§7.結び
(i)類体論は,数学における最も美しい理論
の一つとして,その理論の構成にも,証明におい
ても,種々の改良が企てられていることは初めに
述べた。もともと類体論はHilbertによつて示唆
されたように,代数函数体の不分岐拡大の理論の
整数論における類似を求めようという企てから出
発した.
しかし高木先生およびArtinによつてで
き上つた類体論は,Hilbertの示唆をはるかにこ
えて,一般アーベル拡大の理論が含まれてしまつ
た.従つて代数函数体の理論との類似は必ずしも
密接ではなくなつてしまつた.しかし類構造の立
場からここに再び両者の関係をつけることができ
た.この類似から見ると,いくつかの問題がおこ
る.例えば,Kummer体の場合にせよ,代数函
数体の場合にせよ,A(k)は或る群の指標群の形
でかなり自然に導びかれている。一方(例えば)局
所類体論ではA(k)=k*であるが,何故にA(k)
としてk*を取るかという解釈がほしいものであ
る.またKummer体などの場合に公理F5は
二つの完全系列によつて簡単に証明される。しか
るにF5の証明は,類体論において極めて厄介で
ある.(局所)類体論の証明において,いま一段の
簡易化はできないものであろうか?
また代数数体においても,普遍Wei1群WΩ,k
を構成することはできるが,それの構造は簡単な
ものとはいえない.§6,定理13に対応して,
WΩ,kの簡単な意味づけはできないものであろう
か?
つづく
248:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:09:50.90 fHUQGPHQ.net
>>222
つづき
(ii)すでに知られたアーベル拡大でも,いま
だ類構造の形で述べられないものがある。例えば
(イ)標数pの代数的閉体を係数体とする1変数
代数函数体kの不分岐p拡大の場合にはSafarevic
の結果より, G(Ω/k)は自由群のp完備とな
るので,§2の理論と並行したものが予想される
が,まだA(k)がうまく求められない。それより
も(官) 多変数代数函数体の場合の不分岐拡大
の理論が重要であろう.すなわち射影空間の中
の,或るnon-singularな代数多様体Vの上の
有理型函数の作る函数体をkとする。Vの有限被
覆多様体V'はまた或る別の射影室間内のnonsil1gular
な代数的多様体として表わされ,そこ
での有理型函数体Kはkの有限拡大となり,1変
数の場合との類似が成り立つ(小平邦彦,Ann.
of Math.59(1954),§12)。この場合に因子の
理論はPicard varietyの理論として,いろい
ろと研究されている(井草準一,Amer. J.
Math.,74(1952),他Chow, Wei1,小平).
さらにRiemann-Rochの定理もn変数の場合
に拡張された(Hirzebruch等).これらの材料
を用いて不分岐アーベル拡大の理論を類構造の形
に表わすことができないであろうか?
(iii)類体論をnon-abelianな理論に拡張す
ることは,多くの人々の唱えるところである。し
かし具体的な形は予想されていない.一体類構造
の理論が,アーベル拡大でない場合への同型定理
の拡張を含んで,一般の場合に拡張できるもので
あろうか?
ところで古典代数函数体の場合には,Wei1(J.
d.math..17(1938), 遠山啓(Bu11.Tokyo
Inst。 Tech。 No。4(1950))のnon-abelianな
理論が存在する.これを§3の形と類似のものに
表現できないであろうか?
さらに整数論にその類似を求めることもできな
いであろうか?
(引用終り)
つづく
249:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:11:36.20 fHUQGPHQ.net
>>223
つづき
加藤 和也先生（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学/40 巻 (1988) 4 号/書誌
類体論の一般化
加藤 和也
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
類体論の一般化
加藤 和也 数学/40 巻 (1988)
(抜粋)
有理数体の有限次拡大,いわゆる有限次代数体を,以下,代数体と称する.
代数体の類体論を,素体上(有限次に限らず)有限生成な体に一般化すること,一般化した時に生
じてくる様々の新しい問題や研究テーマについて述べたい。
代数体が整数論において研究の対象とされる理由は,ひとつには有理数体が昔から人間にとつて
親しみ深い対象であり,有理数体を考察していけば自然にその有限次拡大である代数体に考察が及
んだからであるが,もうひとつには.代数体は考察の対象とするに足る特別に豊かな理論をもつ体
であるということがある:
代数体
=整数論の対象となる体
=特別に豊かな理論をもつ体
=人間にとって身近な体.
等号(2)の存在は整数論研究者の信ずる所であると思うし,等号(3)の存在はふしぎな事で理由は
わからないけれども確かな事である.そして近年の整数論の発展を見れば,等号(1)の左側が
素体上有限生成な体=
と置きかわるようになっていくものと思われる.(例えばゼータ関数は代数体だけでなく素体上有
限生成な体に対して考察されている.)
類体論は代数体のアーベル拡大の理論であるが,それが素体上有限生成な体のア.__.ベル拡大論と
して一般化できると思うと,心に浮かぶ事は多い.
最初から夢想を書いて恐縮であるが,
そのような代数多様体の整数論に,もし一般化された類体論が活躍することができれば,どん
なにかすばらしいであろう.整数論の書物にある,類体論に関係した諸結果,諸問題はみな,こう
した素体上有限生成な体に拡張されるはずである.そしてまた,代数体に関する
250:事の一般化だけで なく,代数体の場合にはなかった新しい興味深い問題が生じてくる.例えば,.各アーベル拡大体に おいて,整数環上のその体のモデルにどのような特異点が現われるか,モデルはどのくらい900d reductionから遠いか,などを類体論的に考える問題がそれである. つづく
251:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:12:39.29 fHUQGPHQ.net
>>224
つづき
そうしたいろいろな問題に,
昔からの類体論の伝統的手法や見方が.定式化を適切にすれば適用できると信ずることは楽しい.
その報文で,アーベル拡大の理論には多くの宝が蔵されていると述べたHilbertの言葉は,今も真
理であると考えたい.
筆者が類体論に志したのは,河田敬義・伊原康隆両先生のおすすめによるものである.([6]に提
出された,あるρ 進完備な関数体の類体論をつくる問題を,修士論文の目標とした・)両先生と共同
研究者斉藤秀司氏,影響をうけた先輩三木博雄氏にお礼を申しあげたい.
以下§1で代数体の類体論を復習し,§2でその一般化を述べ,§3に§2の補足を,§4に分岐理
論を述べる.
§1.代数体の類体論
代数体の類体論の要約を述べる.専門外のかたにも読んでいただけるようにすること,類体論の
抽象的な定理が,どのように`平方剰余の相互法則,などの古くから知られてきた整数論の定理を
含んでいるかを説明すること,そして,類体論の主精神は次の(1.0.1)のようなものであると思う
ので,その精神を強調することに力点をおいた.
(1.0.1)代数体のアーベル拡大がどのように存在するか,また代数体の各アーベル拡大において
どのようなことがおこるかは,手に取るようによくわかるものである.
この`どのようなことがおこるかがよくわかる,ことの内容として,次の§1.ユに述べるような,
アーベル拡大における簡明な‘分解法則,の存在がある.§1.1に述べる事柄や平方剰余の相互法則
は類体論以前から知られていた‘類体論のあらわれ'であつたのであり,類体論から説明できるの
である(§1.3).
つづく
252:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:13:05.02 fHUQGPHQ.net
>>225
つづき
§4.3.D加群との類似
この§4.3では,D加群の理論との類似を追いながら,定理(4.2.1)のC(ρ)を定義する.D加群
の理論では,cotangent bundle上に定義されるD加群のcharacteristic cycleと, cotangent
bundleの0-sectionめ交わりとして,重要なo-cycle classが定義されるので,それをまねるので
ある.
素体上有限生成な体のアーベル拡大についての情報は,そのK理論的idele類群の中に原理的に
はすべて蔵されているわけである.この§4で述べた事は,§3.3末(五)の例に記述したような,
Milnor K群のfi1trationのgrの様子,大域体のidele類群が内蔵する微分の海にwildな分岐がも
,たらす嵐の様子,を読みとろうとしたものである.K群の語る言葉に耳をかたむければ,特異点の
ことも含め,高次元でも,(1.0.1)に述べた類体論の主精神のように‘アーベル拡大において何がお
こるかは手にとるようにわかる,ようになるはずだと考えている。
(引用終り)
つづく
253:{}
19/10/26 11:13:46.83 z6TBbHYr.net
馬鹿がガロア理論の理解を完全に諦めたのは結構だが
マウンティングのためだけに類体論に食いついたのは
身の程知らずｗｗｗ
貴様は山で金鉱でも探せｗ
254:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:15:37.89 fHUQGPHQ.net
>>226
つづき
非可換の場合（＾＾；
URLﾘﾝｸ(deepblueibm.hatena)（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
All arts is quite useless
2017-03-24
非可換類体論とは
ブログの記事にある今や数論の中心に位置する一大プロジェクト保型形式とゼータ関数の不思議な関係、非可換類体論についてわかったことをまとめます。
255:まだまだ整数論初心者なので逆に非可換類体論について教えてくれる人は教えてください。 1.類体論とは？ 「ガロア群が可換」の場合しか示されてないんですね。その意味では人類はまだ類体論を攻略してません。 2.志村谷山予想とは？ フェルマーの最終定理と関係する予想(定理)として有名な志村谷山予想がありますがそれは実は2次元の非可換類体論だと考えることができます。 これを数学的に定式化すると、楕円関数のゼータ関数が必要になってきます。これは二次元のゼータ関数で 略 こういう式になります。 3.表現論とは 結論から言うと現代数論ではゼータ関数が重要なものでいかにしてゼータという対象に帰着できるかにかかってます。志村谷山予想もそうですが問題をゼータに直してわかりやすくしています。 ということは古典的な類体論もゼータ関数にまとめられるのではないか？という考えが思い浮かんでも不思議では無いでしょう。その等式を作るのがここで言う表現論の役割です。 ここで古典類体論を統一的なゼータ関数や表現論的なperspectiveで考えてみたいと思います。まずQ上の整数論を考えてみます。 ここで言う表現とは指標のことです。指標とは群から体への写像のことでここでは単位的な指標のみを扱うこととします。 Ｑの最大アーベル拡大のガロア群をＧ→Ｋ(これはＫの単数群)だとしたらこれを一次元ガロア表現と言います(単数群はその体の自己同型写像)。 有理数体はＱの最大アーベル拡大はクロネッカーウェイバーの定理によってＱ(μ)の集合と同型と考えれます。 そのＱ(μN)は(Ｚ/N)の単数群の集合と同型(円分体の基本定理)。 つづく
256:{}
19/10/26 11:16:47.88 z6TBbHYr.net
だいたい円分体の同型写像も構成できずガロア群も間違う馬鹿が
類体論を理解できるわけなかろうが
257:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:23:29.27 fHUQGPHQ.net
>>228
つづき
なので最大アーベル拡大は整数環の副有限完備化の単数群と同型ですが、整数環に定義される指標といえばディリクレ指標なのでこの関係式は「ガロア群の表現とディリクレ指標の一対一対応」と考えることができます。
詳しく言うとΠ1/1?(a/p)p=Σλ(n)/n^nが二次体のガロア表現と保型表現の対応になるみたいです。
類体論の骨組みは代数体上アーベル拡大のガロア群がイデール類群と同型になるような写像を作れるということでした。
(イデールはアデールの可逆元の集合でアデールはある体のp進付値で完備化したものをぜんぶくっつけたものです。
よくわからないならZに対するRみたいなもので(イメージは全然違いますが任意の体に(位相的に見てZとRの関係性に似たような関係を持つ)体を定義したようなものです。)
とにかくデカイ体だということを認識してくれたら大丈夫です。物理的にも重要な環らしいです。通常)。
アデール群の一般線形群が保型表現では重要になりますが1次元の場合はイデール群となりラングランズ予想で出て来るアデールの一般線形群と一次元類体論と整合がつきます。
通常のイデール群はQの可逆元の集合、Zの副有限完備化の可逆元の集合、R>0の可逆元の集合に直積分解でき、類体論の基本定理はイデール群のQとR>0の可逆元の剰余群(イデール類群)に最大アーベル拡大は同型だという主張のことです。
イデール類群のCの可逆元のへの指標の集合をヘッケ指標だと言い、これがさっき注意したZの副有限完備化の単数群の集合を経由する場合にはディリクレ指標になります。
l進ガロア群の重要さは古典的アーベル拡大の理論から来てるのだと思います。自然にl進数に射影できるし
4.ラングランズ予想とは
Langlands予想とは簡単に言えば「n次の良いEuler積は全てGLnの保型L関数である。という予想であって、ここで良いとは全s平面に有理型に解析接続できてs⇔1-sという型の関数等式をもつこと」らしい(数論Ⅱより)。このGL群はアデール上の一般線形群のことを指すのだと思います。
保型形式論では行列群の整数係数部分群、所謂モジュラー群が
258:重要になって来るんですが、ラングランズ予想は一般の体係数の行列群をそのモジュラー群と見てアデール上の保型形式を考えること、そのアデール係数行列群からの右正則表現の部分表現のことらしいです。 つづく
259:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/26 11:24:36.40 fHUQGPHQ.net
>>230
つづき
(どんな部分表現かは理解してません。英語のpdfでも探してみてください。
一方ガロア表現の定義はK を体とし，GK を K の絶対 Galois 群E を 複素数体 C，p進体（Qp の有限次拡大、有限体のいずれかとし、V を体 E 上の有限 次元ベクトル空間として、K の Galois 表現とは，連続準同形 ρ: Gal(K/K) ?→ GL(V ) のことです。
そしてなぜ志村谷山予想がラングランズプログラムの一部かというと楕円曲線Eのl分点の群E［l］をQの絶対ガロア群の表現として考えて保形形式と結びつけて考えたからみたいです。
これは僕の考察ですがKを標数pの体としてE→Eの自己同型写像を整数Nに対してN倍写像と定義されていているのでl^n分点アーベル群を逆極限とった加群がTate加群ってことなのかな？
おそらくだけど楕円曲線は「いい素数」だけを見たくて、そのいい素数の集合で考えるのが便利との発想でl進数で考えてるのかな？
5.非可換類体論とは
予想ですけど多分楕円曲線ガロア群が得られてmodpの解をモジュラー関数の係数(母関数だと）見たのと同じように、最小多項式をモジュラー関数の係数だと考えればmodpでイデアルの分岐の様子がわかるのが非可換類体論だということじゃないでしょうか？
まだ保形形式の係数にどういう数学的意味が含まれているか僕はわかりませんが、実際に非可換なガロア群と対応できる保形形式は見つかってるそうです。ということはこれがラングランズの応用。非可換なアーベル群の文化の様子を調べる理論ってことじゃないでしょうか？？？
（勉強したことをまとめた上での推測です
(引用終り)
つづく