19/11/27 21:11:28.68 a+X14gpa.net
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
501:現代数学の系譜 雑談
19/11/27 21:17:52.61 qnEhNItW.net
>>491 補足
すでに、このスレの>>91に示したように、
天才Zermeloが、シングルトンによる自然数の構成を与えた（1908年）
（”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.”）
そして、確かに、Zermeloの構成は批判され、その後ノイマン構成が採用された
だが、天才Zermeloのシングルトンによる自然数の構成が決して間違っていた訳では無い
無数の超準モデルの1つだよ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
そのことに無知な、落ちこぼれたちｗｗ（＾＾；
（>>91より再録）
URLﾘﾝｸ(plato.stanford.edu)
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Zermelo’s Axiomatization of Set Theory
First published Tue Jul 2, 2013
(抜粋)
3.2.1 Representing Ordinary Mathematics
The first obvious question concerns the representation of the ordinary number systems.
The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.
つづく
502:現代数学の系譜 雑談
19/11/27 21:18:14.05 qnEhNItW.net
>>501
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
(抜粋)
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
(抜粋)
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。また、0 := {{}}, suc(a) := a ∪ {a} と定義したならば、
0 := {{}}
1 := {{}, 0} = {{}, {{}}}
2 := {{}, 0, 1} = {{}, {{}}, {{},{{}}} }
3 := {{}, 0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{},{{}}}, {{},{{}},{{},{{}}}} }
のような多少複雑な自然数になる。
(引用終り)
以上
503:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/11/27 22:01:11 qnEhNItW.net
>>491 補足
(引用開始)
無限集合を擁護する数学者にとっても、ある重要な文脈では、有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。
これはゲーデルの不完全性定理に端を発している。
遺伝的有限集合はペアノ算術で解釈でき（逆もまた同様）、従ってペアノの理論体系の不完全性は遺伝的有限集合の理論にも存在することが暗に示されている。
特に、どちらの理論にもいわゆる非標準モデルの過剰が存在する。
見かけ上のパラドックスとして、遺伝的有限集合の非標準モデルは無限集合を含んでいるが、
それら無限集合はそのモデル内では有限に見える（これは、それら集合の無限性を証明するのに必要な集合や関数をモデルが持たない場合に生じる）。
不完全性定理があるため、一階述語論理やその再帰的適用では、そのようなモデルすべての標準部分を特徴付けることができない。
従って、一階述語論理の観点からは、有限性をおおよそ特徴付けることしか望めない。
(引用終り)
てこと
一階述語論理か
それ以上の高階述語論理なのかに無自覚ならば
所詮、有限と無限とをきちんと区別できない
それを知らずに議論するあわれな落ちこぼれたち
あわれな”なんとかさん”と同類じゃね！？ｗ（＾＾；
504:現代数学の系譜 雑談
19/11/27 22:09:56.09 qnEhNItW.net
>>491
＞基礎付け問題
これは、下記が、元記事だな（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Finite set
(抜粋)
Contents
1 Definition and terminology
2 Basic properties
3 Necessary and sufficient conditions for finiteness
4 Foundational issues
5 Set-theoretic definitions of finiteness
5.1 Other concepts of finiteness
Foundational issues
Georg Cantor initiated his theory of sets in order to provide a mathematical treatment of infinite sets. Thus the distinction between the finite and the infinite lies at the core of set theory.
Certain foundationalists, the strict finitists, reject the existence of infinite sets and thus recommend a mathematics based solely on finite sets.
Mainstream mathematicians consider strict finitism too confining, but acknowledge its relative consistency: the universe of hereditarily finite sets constitutes a model of Zermelo?Fraenkel set theory with the axiom of infinity replaced by its negation.
Even for those mathematicians who embrace infinite sets, in certain important contexts, the formal distinction between the finite and the infinite can remain a delicate matter.
The difficulty stems from Godel's incompleteness theorems. One can interpret the theory of hereditarily finite sets within Peano arithmetic (and certainly also vice versa), so the incompleteness of the theory of Peano arithmetic implies that of the theory of hereditarily finite sets.
In particular, there exists a plethora of so-called non-standard models of both theories. A seeming paradox is that there are non-standard models of the theory of hereditarily finite sets which contain infinite sets, but these infinite sets look finite from within the model.
つづく
505:現代数学の系譜 雑談
19/11/27 22:11:18.53 qnEhNItW.net
>>504
つづき
(This can happen when the model lacks the sets or functions necessary to witness the infinitude of these sets.)
On account of the incompleteness theorems, no first-order predicate, nor even any recursive scheme of first-order predicates, can characterize the standard part of all such models. So, at least from the point of view of first-order logic, one can only hope to describe finiteness approximately.
More generally, informal notions like set, and particularly finite set, may receive interpretations across a range of formal systems varying in their axiomatics and logical apparatus. The best known axiomatic set theories include Zermelo-Fraenkel set theory (ZF), Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice (ZFC),
Von Neumann?Bernays?Godel set theory (NBG), Non-well-founded set theory, Bertrand Russell's Type theory and all the theories of their various models. One may also choose among classical first-order logic, various higher-order logics and intuitionistic logic.
A formalist might see the meaning[citation needed] of set varying from system to system. Some kinds of Platonists might view particular formal systems as approximating an underlying reality.
Set-theoretic definitions of finiteness
In contexts where the notion of natural number sits logically prior to any notion of set, one can define a set S as finite if S admits a bijection to some set of natural numbers of the form {\displaystyle \{x\,|\,x<n\}}{\displaystyle \{x\,|\,x<n\}}.
Mathematicians more typically choose to ground notions of number in set theory, for example they might model natural numbers by the order types of finite well-ordered sets. Such an approach requires a structural definition of finiteness that does not depend on natural numbers.
つづく
506:現代数学の系譜 雑談
19/11/27 22:12:50.56 qnEhNItW.net
>>505
つづき
Various properties that single out the finite sets among all sets in the theory ZFC turn out logically inequivalent in weaker systems such as ZF or intuitionistic set theories. Two definitions feature prominently in the literature, one due to Richard Dedekind, the other to Kazimierz Kuratowski. (Kuratowski's is the definition used above.)
A set S is called Dedekind infinite if there exists an injective, non-surjective function {\displaystyle f:S\rightarrow S}f:S\rightarrow S.
Such a function exhibits a bijection between S and a proper subset of S, namely the image of f. Given a Dedekind infinite set S, a function f, and an element x that is not in the image of f, we can form an infinite sequence of distinct elements of S, namely {\displaystyle x,f(x),f(f(x)),...}x,f(x),f(f(x)),....
Conversely, given a sequence in S consisting of distinct elements {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},...}x_{1},x_{2},x_{3},..., we can define a function f such that on elements in the sequence {\displaystyle f(x_{i})=x_{i+1}}{\displaystyle f(x_{i})=x_{i+1}} and f behaves like the identity function otherwise.
Thus Dedekind infinite sets contain subsets that correspond bijectively with the natural numbers. Dedekind finite naturally means that every injective self-map is also surjective.
Kuratowski finiteness is defined as follows. Given any set S, the binary operation of union endows the powerset P(S) with the structure of a semilattice. Writing K(S) for the sub-semilattice generated by the empty set and the singletons, call set S
Kuratowski finite if S itself belongs to K(S).[8] Intuitively, K(S) consists of the finite subsets of S.
Crucially, one does not need induction, recursion or a definition of natural numbers to define generated by since one may obtain K(S) simply by taking the intersection of all sub-semilattices containing the empty set and the singletons.
つづく
507:現代数学の系譜 雑談
19/11/27 22:13:33.06 qnEhNItW.net
>>506
つづき
Readers unfamiliar with semilattices and other notions of abstract algebra may prefer an entirely elementary formulation. Kuratowski finite means S lies in the set K(S), constructed as follows. Write M for the set of all subsets X of P(S) such that:
・X contains the empty set;
・For every set T in P(S), if X contains T then X also contains the union of T with any singleton.
Then K(S) may be defined as the intersection of M.
In ZF, Kuratowski finite implies Dedekind finite, but not vice versa. In the parlance of a popular pedagogical formulation, when the axiom of choice fails badly, one may have an infinite family of socks with no way to choose one sock from more than finitely many of the pairs.
That would make the set of such socks Dedekind finite: there can be no infinite sequence of socks, because such a sequence would allow a choice of one sock for infinitely many pairs by choosing the first sock in the sequence. However, Kuratowski finiteness would fail for the same set of socks.
(引用終り)
以上
508:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 00:22:27.05 QdpmOFrx.net
>>504 追加
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Finite set
(抜粋)
Necessary and sufficient conditions for finiteness
In Zermelo?Fraenkel set theory without the axiom of choice (ZF), the following conditions are all equivalent:[citation needed]
2.(Kazimierz Kuratowski) S has all properties which can be proved by mathematical induction beginning with the empty set and adding one new element at a time. (See below for the set-theoretical formulation of Kuratowski finiteness.)
Set-theoretic definitions of finiteness
Various properties that single out the finite sets among all sets in the theory ZFC turn out logically inequivalent in weaker systems such as ZF or intuitionistic set theories.
Two definitions feature prominently in the literature, one due to Richard Dedekind, the other to Kazimierz Kuratowski. (Kuratowski's is the definition used above.)
つづく
509:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 00:24:40.66 QdpmOFrx.net
>>508
つづき
Kuratowski finiteness is defined as follows. Given any set S, the binary operation of union endows the powerset P(S) with the structure of a semilattice.
Writing K(S) for the sub-semilattice generated by the empty set and the singletons, call set S Kuratowski finite if S itself belongs to K(S).[8] Intuitively,
K(S) consists of the finite subsets of S. Crucially, one does not need induction, recursion or a definition of natural numbers to define generated by since one may obtain K(S) simply by taking the intersection of all sub-semilattices containing the empty set and the singletons.
Readers unfamiliar with semilattices and other notions of abstract algebra may prefer an entirely elementary formulation.
Kuratowski finite means S lies in the set K(S), constructed as follows. Write M for the set of all subsets X of P(S) such that:
X contains the empty set;
For every set T in P(S), if X contains T then X also contains the union of T with any singleton.
Then K(S) may be defined as the intersection of M.
In ZF, Kuratowski finite implies Dedekind finite, but not vice versa.
In the parlance of a popular pedagogical formulation, when the axiom of choice fails badly, one may have an infinite family of socks with no way to choose one sock from more than finitely many of the pairs.
That would make the set of such socks Dedekind finite: there can be no infinite sequence of socks, because such a sequence would allow a choice of one sock for infinitely many pairs by choosing the first sock in the sequence.
However, Kuratowski finiteness would fail for the same set of socks.
510:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 00:30:28.71 QdpmOFrx.net
>>508-509
＞ 2.(Kazimierz Kuratowski) S has all properties which can be proved by mathematical induction beginning with the empty set and adding one new element at a time. (See below for the set-theoretical formulation of Kuratowski finiteness.)
＞Kuratowski finite means S lies in the set K(S), constructed as follows. Write M for the set of all subsets X of P(S) such that:
＞X contains the empty set;
＞For every set T in P(S), if X contains T then X also contains the union of T with any singleton.
＞Then K(S) may be defined as the intersection of M.
なるほど
”Kuratowski finiteness”の定義では、
CやRやQやNのシングルトン
{C}や{R}や{Q}や{N} 達は
有限集合にはならんな！
思った通りだったな！ｗｗ（＾＾；
511:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 00:37:22.52 QdpmOFrx.net
>>509
>Writing K(S) for the sub-semilattice generated by the empty set and the singletons, call set S Kuratowski finite if S itself belongs to K(S).[8] Intuitively,
>K(S) consists of the finite subsets of S. Crucially, one does not need induction, recursion or a definition of natural numbers to define generated by since one may obtain K(S) simply by taking the intersection of all sub-semilattices containing the empty set and the singletons.
もし、singleton が、ZFCの中で正則性公理により有限に留まらざるを得ないならば、話は単純だが
しかし、そうではないからこそ、Kuratowski先生も苦労して、”Kuratowski finiteness”を定義している
かつ、それでこそ、Kuratowskiの論文の値打ちもあろうというものよｗｗ（＾＾；
512:１３２人目の素数さん
19/11/28 05:57:45.12 rkIRfVWh.net
>>501
>天才Zermeloのシングルトンによる自然数の構成が決して間違っていた訳では無い
>無数の超準モデルの1つだよ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
ｗｗｗｗｗｗｗ
こいつほんと馬鹿だな
513:１３２人目の素数さん
19/11/28 06:10:50.95 rkIRfVWh.net
>>510
＞”Kuratowski finiteness”の定義では、
＞CやRやQやNのシングルトン
＞{C}や{R}や{Q}や{N} 達は
＞有限集合にはならんな！
こいつまた馬鹿な読み間違いしてるな
英語が読めないのか、それとも日本語でも読めないのか
馬鹿に初歩的質問だ
｛C｝,｛R},｛Q｝,｛N}
のべき集合は何か？
514:１３２人目の素数さん
19/11/28 06:21:31.72 rkIRfVWh.net
>>511
＞singleton が、ZFCの中で正則性公理により
＞有限に留まらざるを得ないならば、話は単純だが
正則性公理は全然関係ないが
こいつホント馬鹿だな
＞しかし、そうではないからこそ、
＞Kuratowski先生も苦労して、
＞”Kuratowski finiteness”を定義している
定義と結論の順序を取り違える馬鹿ｗ
まず、以下の問題に答えてみ？
「｛C｝,｛R},｛Q｝,｛N}のべき集合は何か？」
515:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 17:44:54.72 rRA3+Jnq.net
>>512-514
おサルが言いつくろいに必死ｗｗ(゜ロ゜;
516:１３２人目の素数さん
19/11/28 18:15:43.48 Cyde5vCH.net
キチガイサイコパスはべき集合も知らんのか？
知ってたら一瞬で答えられるだろ
517:１３２人目の素数さん
19/11/28 19:11:54.19 rkIRfVWh.net
>>516
まったくだｗ
｛C}のべき集合 {{},{C}}
｛R}のべき集合 {{},{R}}
｛Q}のべき集合 {{},{Q}}
｛N}のべき集合 {{},{N}}
数学のスの字も分からん工学馬鹿への注ｗ
Cは{C}の部分集合ではない
Rは{R}の部分集合ではない
Qは{Q}の部分集合ではない
Nは{N}の部分集合ではない
518:１３２人目の素数さん
19/11/28 19:13:53.96 rkIRfVWh.net
馬鹿◆e.a0E5TtKEの恥ずかしい間違いｗ
{{}}⊂{{{}}}
N⊂{N}
もう人間とは思えない馬鹿っぷりだなｗ
519:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 21:01:57.22 QdpmOFrx.net
>>501-502 補足
(引用開始)
天才Zermeloが、シングルトンによる自然数の構成を与えた（1908年）
（”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.”）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)
さて
・上記のように、シングルトンは、有限には限らない
（これは自明だが以下説明する）
・数学では、可算無限を考えることは、頻繁にある
・例えば、下記の時枝記事は”可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる”という記載から始まる
・あるいは、下記の形式的冪級数の各項の係数が、”箱が可算無限個ある”ことに相当するだろう
・また、下記のヒルベルトの無限ホテルのパラドックスでは、”客室が無限にあるホテルを考える”となる
・さて、可算無限個ある箱に、縦棒”|”を入れるとする。”|||・・・”となる
これを、利用して、・・・|||Φ|||・・・、
つまりΦを真ん中にして、左右に”|||・・・”を配置する
・ここで、縦棒”|”を左カッコ{ や、右カッコ ｝に取り替える。即ち
左の・・・|||→・・・{{{ に
右の|||・・・→{{{・・・ に 取り替えると
・・・{{{Φ}}}・・・となる
ここで、Φを取り除けば、・・・{{{ }}}・・・
ここでΦ＝{ }を替えれば、・・・{{{{ }}}}・・・となる
・ヒルベルトの無限ホテルや形式的冪級数の存在が、否定できない（当然できないよね）
とすれば、”|||・・・”の存在も否定できない
・従って、・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）の存在も否定できない
QED
つづく
520:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 21:02:25.19 QdpmOFrx.net
>>519
つづき
（参考）
ガロア過去スレ20 再録 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:2-7番)
１．時枝問題（数学セミナー201511月号＊）の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
＊）訂正：原文201611月号→201511月号
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
数学セミナー 2015年11月号
箱入り無数目────────時枝 正 36
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
形式的冪級数
(抜粋)
多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
(抜粋)
パラドックスの内容
客室が無限にあるホテルを考える。
(引用終り)
以上
521:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 21:05:05.29 QdpmOFrx.net
>>519 タイポ訂正
右の|||・・・→{{{・・・ に 取り替えると
↓
右の|||・・・→}}}・・・ に 取り替えると
分かると思うが（＾＾；
522:１３２人目の素数さん
19/11/28 21:12:18.04 Cyde5vCH.net
相変わらずのバカ丸出し
523:１３２人目の素数さん
19/11/28 22:39:43.56 lvt0VL8R.net
3945
しろ@hu_corocoro 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
524:１３２人目の素数さん
19/11/29 01:50:51.45 qxx6pnyn.net
未だに正則性公理が理解できないアホバカ
525:１３２人目の素数さん
19/11/29 06:26:54 RLRDCvDR.net
>>519
＞・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）の存在も否定できない
で、その・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）の要素は？
ここで、自分の馬鹿に気づけよｗ ◆e.a0E5TtKE
>>521
＞分かると思うが
ウソを分かる馬鹿◆e.a0E5TtKE
526:１３２人目の素数さん
19/11/29 06:35:59 RLRDCvDR.net
>>519
＞・ヒルベルトの無限ホテルや形式的冪級数の存在が、
＞ 否定できない（当然できないよね）とすれば、
＞ ”|||・・・”の存在も否定できない
非論理的な主張を絶叫する馬鹿 ◆e.a0E5TtKE
527:１３２人目の素数さん
19/11/29 06:53:54 RLRDCvDR.net
◆e.a0E5TtKEがクラトフスキ有限の話をやめたのは
R⊂｛R}という馬鹿丸出しの誤解をしていると指摘されて
全く反論できなかったから
◆e.a0E5TtKEは集合に関して安達弘志と同レベルｗｗｗｗｗｗｗ
528:現代数学の系譜 雑談
19/11/29 07:52:02.67 KnsCfpdu.net
>>523
ご苦労様です
おめでとうございます（＾＾
頑張ってださい
529:現代数学の系譜 雑談
19/11/29 08:00:44.36 KnsCfpdu.net
>>510
追加引用ｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有限集合
(抜粋)
有限性の必要十分条件
ツェルメロ＝フレンケルの集合論 (ZF) では、以下の条件は全て等価である。
1. S は有限集合である。すなわち、S の元はある特定の自然数未満の自然数の集合の元と一対一対応する。
2. S は、空集合を始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法で証明可能な全属性を持つ。（カジミェシュ・クラトフスキ）
基礎付け問題
興味深いことに、ZFCにおいて有限集合を集合全般から区別する様々な特性は、より弱い体系であるZFや直観主義的集合論の場合とは論理的に等価ではないことが判っている。
よく知られている有限性の定義として、リヒャルト・デーデキントの定義とカジミェシュ・クラトフスキの定義がある。
クラトフスキの有限性の定義は次の通りである。
任意の集合 S について、和集合の二項演算は冪集合 P(S) に半束構造を与える。
空集合と単集合から生成した半束を K(S) と記し、S が K(S) に属する場合、S をクラトフスキ有限集合と呼ぶ。
直観的に K(S) には S の有限な部分集合が含まれる。
重要なのは、この定義では自然数による帰納も再帰も必要とせず、K(S) は単に空集合と単集合を含む全ての半束構造の積集合として得られる点である。
ZFでは、クラトフスキ有限はデデキント有限を包含するが、逆は真ではない。
(引用終り)
530:現代数学の系譜 雑談
19/11/29 08:02:43.61 KnsCfpdu.net
>>529 補足
＞空集合と単集合から生成した半束を K(S) と記し、S が K(S) に属する場合、S をクラトフスキ有限集合と呼ぶ。
単集合＝シングルトンですな ｗ（＾＾；
531:現代数学の系譜 雑談
19/11/29 08:05:01.19 KnsCfpdu.net
>>530
（>>510より）
なるほど
”Kuratowski finiteness”の定義では、
CやRやQやNのシングルトン
{C}や{R}や{Q}や{N} 達は
有限集合にはならんな！
思った通りだったな！ｗｗ（＾＾；
そして、
（>>529より）
有限性の必要十分条件
ツェルメロ＝フレンケルの集合論 (ZF) では、以下の条件は全て等価である。
1. S は有限集合である。すなわち、S の元はある特定の自然数未満の自然数の集合の元と一対一対応する。
2. S は、空集合を始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法で証明可能な全属性を持つ。（カジミェシュ・クラトフスキ）
532:１３２人目の素数さん
19/11/29 19:27:08.64 RLRDCvDR.net
>>531
この馬鹿なにウソ読みしてんだ ●違いか？
｛R}は｛｝とシングルトン｛R}の合併
典型的なクラトフスキ有限ｗｗｗｗｗｗｗ
533:１３２人目の素数さん
19/11/30 08:22:17.67 80qUAbW7.net
◆e.a0E5TtKEは宇宙際順序数論（ｗ）で
・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）
が正当化できると思ってる正真正銘の馬鹿ｗ
フォン・ノイマンだろうがツェルメロだろうが
＋１とlimは全然異なる
ｘ＋１
フォン・ノイマン ｘ∪｛ｘ｝
ツェルメロ ｛ｘ｝
lim ｘ＿ｎ
フォン・ノイマン ∪｛ｘ_ｎ｝
ツェルメロ ∪｛ｘ_ｎ｝
だから、
フォン・ノイマンのωに対応する
ツェルメロのΩはシングルトンではない
534:１３２人目の素数さん
19/11/30 08:40:10.29 80qUAbW7.net
◆e.a0E5TtKEは、安達と同じく「素朴」集合論でしか考えてない
対象：○、□、◇、☆、・・・
集合：｛｝、{○}、{□}、{◇}、{☆}、・・・
{○、□}、{○、◇}、{○、☆)、・・・
{□、◇}、{□、☆}、・・・
{◇、☆｝、・・・
{○、□、◇}、{○、□、☆}・・・
{○、◇、☆}、・・・
{□、◇、☆}、・・・
{○、□、◇、☆」、・・・
どうせ、対象がｎ個なら集合は２＾ｎとかいうレベルでしか考えてないｗ
だから｛N｝は無限集合、とか馬鹿丸出しのことを平気でいう
（バカだから、Nの要素が”集合でない対象”だと思ってるｗ）
535:１３２人目の素数さん
19/11/30 08:57:33 80qUAbW7.net
今の集合論は反復的集合観に基づいてる
まず、集合でない対象は存在しない。すべて集合ｗ
空集合{}から始め、順々にベキ集合をつくっていく
第０段階 {}
（１個）
第１段階 {}、{{}}
（２＾１＝２個）
第２段階 {}、{{}}、{{{}}}、{{},{{}}}
（２＾（２＾１）＝４個）
第３段階 {}、{{}}、{{{}}}、{{{{}}}}、{{{},{{}}}}、
{{},{{}}}、{{},{{{}}}}、{{},{{},{{}}}}、
{{{}},{{{}}}}、{{{}},{{},{{}}}}、{{{}}},{{},{{}}}}、
{{},{{}},{{{}}}}、{{},{{}},{{},{{}}}}、
{{},{{{}}},{{},{{}}}}、{{{}},{{{}}},{{},{{}}}}、
{{},{{}},{{{}}}},{{},{{}}}}
（２＾（２＾（２＾１））＝１６個）
・・・
有限段階の反復的集合を全部合わせたものが遺伝的有限集合（可算個）
見ればわかるが、第ｎ段階で、
フォン・ノイマンの順序数ｎも
ツェルメロの順序数ｎも生成される
536:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 20:49:01.04 4Ujjq2jv.net
>>508 追加
Kuratowsk有限(1920),iは、仏文らしいね（＾＾；
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Finite set
(抜粋)
References
・Kuratowski, Kazimierz (1920), "Sur la notion d'ensemble fini" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1: 129?131
URLﾘﾝｸ(matwbn.icm.edu.pl)
URLﾘﾝｸ(pldml.icm.edu.pl)
Fundamenta Mathematicae
1920 | 1 | 1 | 129-131
Sur la notion d'ensemble fini
Kazimierz KuratowskiJ?zyki publikacji FR
Abstrakty
FR
Le but de cette note est d'introduire une definition d'un ensemble fini et de demontrer son equivalence avec la definition donnee par Wac?aw Sierpi?ski.
つづく
537:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 20:49:47.21 4Ujjq2jv.net
つづき
（PDFからOCRして手直し引用）
Sur la notion d'ensemble fini.
Par
Casimir Kuratowski (Warszawa).
M. W.Sierpinski a donne dans son ouvrage L'axiome de M. Zermelo et son role dans la Theorie des Ensembles et l'Analyse 1) une nouvelle definition de l'ensemble fini.
Cette definition se distingue essentiellement par ce fait qu'elle ne depend ni de la notion de nombre naturel ni de la notion generale de fonction, qui entre d'habitude dans les definitions faisant usaged de la notion de correspondance.
La definition en question est la suivante:
"Considerons des classes K d'ensembles dont chacune satisfait aux ,conditions suivante:
1° tout ensemble contenant un seul element appartient a la classe K,
2° si.A. et B sont deux ensembles appartenant a la classe K,
leur ensemble-somme A + B appartient aussi a K.
Appelons fini tout ensemble qui appartient a chacune des
classes K satisfaisant aux conditions 1°et 2°".
つづく
538:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 20:50:04.16 4Ujjq2jv.net
>>537
つづき
Comme on sait, l'ensemble de tous les objets (s'il existe) jouit des proprietes paradoxales : contrairement a un theoreme connu de G. Cantor, la puissance, de cet ensemble ne serait point inferieure a celle de la classe de tous ses sous-ensembles.
Il en est de meme de la classe composee de tous les ensembles
contenant un seul element; donc, les classes K ne verifient pas, le theoreme de Cantor.
En tenant compte de ce fait, on pourrait mettre en doute l'existence meme des classes K.
En modifiant la definition de M. Sierpinski de facon a en supprimer cet inconvenient, j'obtiens la definition suivante:
L'ensemble M est fini, lorsque la classe de tous ses sousensembles
(non vides) est l'unique classe satisfaisant aux conditions:
1. ses elements sont des sous-ensembles (non vides) de M;
2. tout ensemble contenant un seul element de M appartient a cette classe;
3. si A et B sont deux ensembles appartenant a cette classe, leur ensemble-sornme A+B lui appartient aussi.
つづく
539:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 20:50:25.23 4Ujjq2jv.net
>>538
つづき
Nous allors demontrer qu'un ensemble fini d'apres cette definition l'est aussi au sens ordinaire et reciproquement.
En d'autres termes: pour qu'un ensemble soit fini d'apres la definition proposee, il faut et il suffit que le nombre de ses elements puisse etre exprime par un nombre naturel (la notion de nombre naturel etant supposee connue).
En effet,soit M un ensemble dont le nombre d'elements peut etre exprime par un nombre naturel; soit Z une classe quelconque satisfaisant aux conditions 1-3.
Nous allons montrer que tout sous-ensemble de M appartient a Z.
Il en est ainsi - en vertu de la condition 2 - des sous-ensembles composes d'un seul element; en meme temps, s'il en est ainsi des sous-ensembles contenant n elements, il en est de meme - d'apres 3 - de ceux qui en contiennent n+l.
Comme le nombre d'elements de chaque sous-ensemble de M se laisse exprimer par un nombre naturel, il en resulte par induction que Z contient tous les sous-ensembles de M.
Donc, la classe Z etant necessairement identique a celle de tous les sous-ensembles de M, elle est l'unique classe satisfaisant aux conditions 1-3.
Ainsi, tout ensemble dont le nombre d'elements peut etre exprime par un nombre naturel est un ensemble fini dans notre sens.
Supposons, d'autre part, que le nombre d'elements d'un ensemble donne M ne se laisse pas exprimer par un nombre naturel.
Designons par Z la classe de tous les sous-ensembles de M dont le nombre d'elenlents peut etre exprime par un nombre naturel.
Cette classe satisfait evidemment aux conditions 1-3; en meme temps, d'apres l'hypothese, M n'appartient pas a Z et, par suite, Z n'est pas identique a la classe de tous les sous-ensembles de M; donc, la classe de tous les sous-ensembles de M n'est pas l'unique classe satisfaisant aux conditions 1-3 et M n'est pas fini dans notre sens, c. q. f. d.
(引用終り)
以上
540:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 20:55:01.03 4Ujjq2jv.net
>>537 機械英訳してみた（＾＾
（Google 仏→英訳）
On the notion of finite set.
Through
Casimir Kuratowski (Warszawa).
Mr. W.Sierpinski gave in his book The axiom of Mr. Zermelo and his role in the Theory of Ensembles and Analysis 1) a new definition of the finite set.
This definition is essentially distinguished by the fact that it does not depend either on the notion of natural number or on the general notion of function, which usually enters into the definitions that make use of the notion of correspondence.
The definition in question is as follows:
"Consider classes K sets each of which satisfies the following conditions:
1 ° any set containing a single element belongs to class K,
2 ° si.A. and B are two sets belonging to the class K,
their set-sum A + B also belongs to K.
Let's call finite everything that belongs to each of
classes K satisfying conditions 1 ° and 2 ° ".
つづく
541:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 20:55:23.24 4Ujjq2jv.net
>>540
つづき
?As we know, the set of all objects (if it exists) enjoys paradoxical properties: unlike a theorem known to G. Cantor, the power of this set would not be inferior to that of the class of all its subassemblies.
It is the same of the class composed of all the sets
containing a single element; therefore, K classes do not check, Cantor's theorem.
?Taking this fact into account, one could question the very existence of classes K.
By modifying Mr. Sierpinski's definition so as to remove that drawback, I get the following definition:
The set M is finite, when the class of all its subsets
(not empty) is the only class satisfying the conditions:
1. its elements are subsets (not empty) of M;
2. any set containing a single element of M belongs to this class;
3. if A and B are two sets belonging to this class, their set -sorn A + B also belongs to it.
つづく
542:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 20:55:39.85 4Ujjq2jv.net
>>541
つづき
?We can show that a finite set according to this definition is also in the ordinary sense and reciprocally.
In other words: for a set to be finite according to the proposed definition, it is necessary and sufficient that the number of its elements can be expressed by a natural number (the notion of natural number being assumed to be known).
?Indeed, let M be a set whose number of elements can be expressed by a natural number; let Z be any class satisfying the conditions 1-3.
We will show that every subset of M belongs to Z.
This is - under condition 2 - subsets composed of a single element; at the same time, if this is so subsets containing n elements, it is the same - according to 3 - of those which contain n + 1.
Since the number of elements of each subset of M is expressed by a natural number, it follows by induction that Z contains all the subsets of M.
Therefore, since the class Z is necessarily identical to that of all the subsets of M, it is the only class satisfying the conditions 1-3.
Thus, any set whose number of elements can be expressed by a natural number is a finite set in our sense.
?Suppose, on the other hand, that the number of elements of a set gives M does not let itself be expressed by a natural number.
Let Z be the class of all the subsets of M whose number of elements can be expressed by a natural number.
This class obviously satisfies conditions 1-3; at the same time, according to the hypothesis, M does not belong to Z and, consequently, Z is not identical to the class of all the subsets of M; therefore, the class of all subsets of M is not the only class satisfying the conditions 1-3 and M is not finite in our sense, c. q. f. d.
(引用終り)
以上
543:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 21:00:02.37 4Ujjq2jv.net
>>542 補足
?We can show that a finite set according to this definition is also in the ordinary sense and reciprocally.
↑
？は、先頭のブランクが、文字化けしているんだ
Google翻訳の仕様なのでしょうね
目で見ると、ブランクで通常と変わりないが、５CH板に貼ると化けるんだ（＾＾；
544:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 21:01:00.40 4Ujjq2jv.net
>>540
（Google 仏→日本語訳）
有限集合の概念について。
によって
Casimir Kuratowski（ワルシャワ）。
W.Sierpinski氏は彼の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」1）有限集合の新しい定義を与えました。
この定義は、自然数の概念にも機能の一般的な概念にも依存しないという事実によって本質的に区別されます。通常は、対応の概念を利用する定義に入ります。
問題の定義は次のとおりです。
「クラスKセットのそれぞれが次の条件を満たすことを検討してください。
1°単一の要素を含むセットはクラスKに属し、
2°si.A。とBはクラスKに属する2つのセットです。
それらの集合和A + BもKに属します。
それぞれに属する有限のすべてを呼び出しましょう
条件1°および2°を満たすクラスK。
つづく
545:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 21:01:38.15 4Ujjq2jv.net
>>544
つづき
私たちが知っているように、すべてのオブジェクトのセット（存在する場合）は逆説的な特性を享受します。サブアセンブリ。
すべてのセットで構成されるクラスと同じです
単一の要素を含む;したがって、Kクラスはチェックしません、カントールの定理。
?この事実を考慮して、クラスKの存在そのものに疑問を投げかけることができます。
その欠点を取り除くために、シェルピンスキー氏の定義を修正することで、次の定義が得られます。
すべてのサブセットのクラスが
（空ではない）が条件を満たす唯一のクラスです：
1.その要素は、Mのサブセット（空ではない）です。
2. Mの単一要素を含むセットは、このクラスに属します。
3. AとBがこのクラスに属する2つのセットである場合、それらのセット-sorn A + Bもそれに属します。
つづく
546:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 21:02:27.12 4Ujjq2jv.net
>>545
つづき
この定義に従った有限集合も通常の意味で相互に関係していることを示すことができます。
言い換えれば、提案された定義に従ってセットが有限であるためには、その要素の数を自然数で表現できることが必要かつ十分です（自然数の概念は既知であると想定されています）。
?実際、Mを要素の数を自然数で表現できるセットとします。 Zを条件1-3を満たす任意のクラスとします。
MのすべてのサブセットがZに属することを示します。
これは-条件2で-単一の要素で構成されるサブセットです。同時に、これがn個の要素を含むサブセットである場合、n + 1を含むものの3つによると同じです。
Mの各サブセットの要素の数は自然数で表されるため、ZにはMのすべてのサブセットが含まれることが帰納法に従います。
したがって、クラスZは必然的にMのすべてのサブセットのクラスと同一であるため、条件1?3を満たす唯一のクラスです。
したがって、要素の数が自然数で表現できるセットは、私たちの意味では有限のセットです。
一方、集合の要素数がMを与える場合、それ自体を自然数で表現しないと仮定します。
Zを、要素の数を自然数で表現できるMのすべてのサブセットのクラスとします。
このクラスは明らかに条件1?3を満たします。同時に、仮説によれば、MはZに属しておらず、その結果、ZはMのすべてのサブセットのクラスと同一ではありません。したがって、Mのすべてのサブセットのクラスは条件1?3を満たす唯一のクラスではなく、Mは私たちの意味では有限ではありません。 Q。 F。 D。
(引用終り)
以上
547:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 21:05:16.01 4Ujjq2jv.net
>>546 補足
条件1?3を満たす唯一のクラスではなく、Mは私たちの意味では有限ではありません。 Q。 F。 D。
↑
conditions 1-3と英文では、化けないのに
和文訳では化けるか（＾＾；
あと、やっぱり和文は訳がおかしく感じるところが多いね
英訳の方が、意味が取りやすい（＾＾
548:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/11/30 21:11:38 4Ujjq2jv.net
>>540
>Mr. W.Sierpinski
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヴァツワフ・シェルピニスキ
(抜粋)
ヴァツワフ・シェルピンスキ（Wac?aw Franciszek Sierpi?ski、シェルピンスキー、1882年3月14日 - 1969年10月21日）とは、ワルシャワで生没したポーランドの数学者である。彼は集合論（選択公理や連続体仮説に関する研究）や数論、関数論、位相幾何学に対する多大な貢献をしたことで知られている。
彼は、700部を越す論文と、50冊の本を出版した（そのうちの 2 つ、『一般位相数学入門』Introduction to General Topology ,1934 と 『一般位相数学』General Topology,1952は、カナダの数学者 セシリア・クリューガーによって英訳されている）。
3 つの有名なフラクタルが、彼の名にちなんでいる（シェルピンスキーの三角形、シェルピンスキーのカーペット、シェルピンスキー曲線）。
数学への貢献
シェルピンスキが集合論に関心を持ったのは、「平面上にある（複数の）点は一つの座標で定義可能である」という定理に遭遇したからであった。その証明について当時ゲッティンゲンにいた数学者タデウシュ・バナヒェヴィチに質問したところ、彼の回答は一言カントールだけであった。
これを契機に集合論の研究を本格的に始める。リヴィウ大学に奉職して6年の間に数多くの論文を発表し、数論に関する3冊の本を公刊するまでに至った。
第一次世界大戦が勃発すると、迫害を避けるために家族と共にロシアに移り、ニコライ・ルージンと共に集合論の研究を継続。
終戦と共に復職するが、間も無くワルシャワ大学に移籍。ポーランド・ソビエト戦争ではポーランド軍参謀本部で作戦立案に携わる。
更にジグムント・ヤニシェフスキらと数学雑誌の立ち上げに参画しながら集合論の研究を進め、シェルピンスキ曲線として現在知られているものを発表している。
(引用終り)
以上
549:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 21:49:30.28 4Ujjq2jv.net
>>536
>・Kuratowski, Kazimierz (1920), "Sur la notion d'ensemble fini" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1: 129?131
1920は、2019から見れば、ほぼ100年前
>>544 補足
＞W.Sierpinski氏は彼の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」1）有限集合の新しい定義を与えました。
Kuratowskiは、Sierpinski氏の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」の有限集合の新しい定義を改良したわけです
1920年当時、（20世紀初頭までの）数学を公理的に扱えるようにするというのが、最先端の研究だった時代
「Zermeloの公理」が出ていたんだ
で、みなさんご存知のように、Zermeloはまずは、自然数N （可算無限）を、彼の公理から、構成した
（>>519ご参照）
で、当時既に知られていたようだが、自然数の構成は１通りではない
2019年では、ノイマンの構成が一番有名だが、
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 自然数 などをご参照
で、有限と無限の定義が、このような自然数の構成に依存するのは、まずいと思ったのだろう
まずは、Sierpinski氏が考えて、それをKuratowskiを改良した
だから、SierpinskiやKuratowskiは、無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)みないなのは、想定外
（まずは、素朴に無限と有限を分けましょうということだったろう）
また、1920年当時、無限集合のシングルトンを言い出したら、そもそも「有限とは？」「無限とは？」の議論が収束していないとき、混乱に輪を掛ける
（まあ、2019年の現代でも、可算多重シングルトン{・・・{}・・・}の存在を否定する数学おサルがいるくらいですし。まあ、もう1月で2020年になりますけどね（＾＾；）
また、2019年の現代でも、無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)などを数学で使う需要は少ない
もちろん、シングルトンなのだから、定義から、その集合の要素はただ1つ
但し、無限集合のシングルトンは、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)達は、その要素が、非可算無限集合であったり、あるいは可算無限集合
550:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 21:52:23.86 4Ujjq2jv.net
>>549 補足
無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)
のような、要素に無限集合を含むが、要素の数では有限なる集合は
哲学的には”疑似有限”とでも呼ぶ方が適切なような気がする
551:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 22:01:06.91 4Ujjq2jv.net
>>252
＞レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。
>>502
＞ペアノの公理
＞(抜粋)
＞一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
一階とそうでないものの区別がついていない者達が、無限だ有限だと喚くスレ
こことか、哀れな素人スレ 0.99999……は１ではない その３
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)-
ろくな議論になってないね（＾＾；
552:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 22:34:05.62 4Ujjq2jv.net
>>531 補足
＞ 2. S は、空集合を始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法で証明可能な全属性を持つ。（カジミェシュ・クラトフスキ）
多分、公理的集合論と、素朴集合論の区別がついていない人が多いと思うが
公理的集合論で、”空集合を始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法で証明可能”
Zermeloの 可算多重シングルトン{・・・{}・・・}（>>549）
これは、”空集合を始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法で証明可能”ではない
無限公理の適用を必要とするのだ
無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)(>>550)
も同じ
553:１３２人目の素数さん
19/12/01 00:54:22 M/Nwc0Bq.net
バカ丸出し
554:現代数学の系譜 雑談
19/12/01 07:53:15.16 id6ENHqe.net
>>503 補足
>一階述語論理か
>それ以上の高階述語論理なのかに無自覚ならば
>所詮、有限と無限とをきちんと区別できない
>それを知らずに議論するあわれな落ちこぼれたち
>あわれな”なんとかさん”と同類じゃね！？ｗ（＾＾；
（まとめ引用）ｗ（＾＾
>>251より
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム-スコーレムの定理（英: Lowenheim-Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。
レーヴェンハイム-スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。
例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。
>>491より
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有限集合
(抜粋)
基礎付け問題
無限集合を擁護する数学者にとっても、ある重要な文脈では、有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。
これはゲーデルの不完全性定理に端を発している。遺伝的有限集合はペアノ算術で解釈でき（逆もまた同様）、従ってペアノの理論体系の不完全性は遺伝的有限集合の理論にも存在することが暗に示されている。
つづく
555:現代数学の系譜 雑談
19/12/01 07:53:36.65 id6ENHqe.net
>>554
つづき
特に、どちらの理論にもいわゆる非標準モデルの過剰が存在する。見かけ上のパラドックスとして、遺伝的有限集合の非標準モデルは無限集合を含んでいるが、それら無限集合はそのモデル内では有限に見える（これは、それら集合の無限性を証明するのに必要な集合や関数をモデルが持たない場合に生じる）。
不完全性定理があるため、一階述語論理やその再帰的適用では、そのようなモデルすべての標準部分を特徴付けることができない。
従って、一階述語論理の観点からは、有限性をおおよそ特徴付けることしか望めない。
(引用終り)
以上
556:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/12/01 08:00:52 id6ENHqe.net
>>554-555
(抜粋)
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
有限集合
有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。
これはゲーデルの不完全性定理に端を発している。遺伝的有限集合はペアノ算術で解釈でき（逆もまた同様）、従ってペアノの理論体系の不完全性は遺伝的有限集合の理論にも存在することが暗に示されている。
特に、どちらの理論にもいわゆる非標準モデルの過剰が存在する。見かけ上のパラドックスとして、遺伝的有限集合の非標準モデルは無限集合を含んでいるが、それら無限集合はそのモデル内では有限に見える（これは、それら集合の無限性を証明するのに必要な集合や関数をモデルが持たない場合に生じる）。
不完全性定理があるため、一階述語論理やその再帰的適用では、そのようなモデルすべての標準部分を特徴付けることができない。
従って、一階述語論理の観点からは、有限性をおおよそ特徴付けることしか望めない。
(引用終り)
だから、一階なのか高階なのかが重要なんだ
あんまりみんな意識していない
だが、意識しないと議論が噛み合わないこともある
例えば 0.99999……は１ではない その２ ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
哀れな素人さん相手に、一階なのか高階なのか、なんて議論できるわけないでしょ？
だから、おれは参加しない
557:１３２人目の素数さん
19/12/01 08:14:55 go6lPTYO.net
>>550
>要素に無限集合を含むが、要素の数では有限なる集合は
>哲学的には”疑似有限”とでも呼ぶ方が適切なような気がする
何つまんないことにこだわってるんだこの馬鹿ｗ
数痴の貴様の”新興宗教”なんか、誰も興味ねぇよｗ
558:１３２人目の素数さん
19/12/01 08:16:34 go6lPTYO.net
>>551
＞一階とそうでないものの区別がついていない者達
日のあたる場所にも出られず
地下でわめく地獄の亡者が
何いっとるかｗ
559:１３２人目の素数さん
19/12/01 08:19:03 go6lPTYO.net
>>552
＞空集合を始点として元を1つずつ追加していく
＞数学的帰納法で証明可能な全属性を持つ。
上記の「元」はどんなものでもいいのであって、
元が無限集合だからダメだとかいう奴は
正真正銘の馬鹿ｗ
560:１３２人目の素数さん
19/12/01 08:23:52.04 go6lPTYO.net
>>554
＞基礎付け問題
＞無限集合を擁護する数学者にとっても、ある重要な文脈では、
＞有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。
＞これはゲーデルの不完全性定理に端を発している。
＞遺伝的有限集合はペアノ算術で解釈でき（逆もまた同様）、
＞従ってペアノの理論体系の不完全性は
＞遺伝的有限集合の理論にも存在することが
＞暗に示されている。
上記と、数痴馬鹿のいう
・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）
の問題は全然無関係
正則性公理も理解できない数痴は数学板から去れｗ
561:１３２人目の素数さん
19/12/01 08:30:05.36 go6lPTYO.net
>>556
＞一階なのか高階なのかが重要なんだ
地下の亡者、数痴馬鹿は
「俺のいう無限は、実は非標準的有限なんだ！」
という言葉で誤魔化そうとしているようだｗｗｗ
標準だろうが非標準だろうが、有限でない無限集合ωは存在する
そしてフォン・ノイマンのωに対応するツェルメロのΩは何か？
というのが問題
数痴は「Ωもシングルトンだ！」といってるが、
limの定義からすれば、Ωは{},{{}},{{{}}}・・・
という”有限重シングルトン”の全てを要素とするので
シングルトンたりえない
limの定義も読まぬ数痴馬鹿には死んでも分かるまいがなｗ
562:１３２人目の素数さん
19/12/01 08:33:37.38 go6lPTYO.net
>>556
＞例えば 0.99999……は１ではない その２
＞哀れな素人さん相手に、一階なのか高階なのか、
＞なんて議論できるわけないでしょ？
数痴の馬鹿の貴様に、高階どころか一階論理も理解できるわけがない（嘲）
そもそも 「0.99999……＝１」問題は
「デデキントやカントルの実数の定義を受け入れるか否か」
の宗教問題でしかない
このことがわからない数痴には数学は無理だから数学板から去れｗ
563:現代数学の系譜 雑談
19/12/01 09:03:00.56 id6ENHqe.net
>>552 補足
下記順序数”0, 1, 2, 3, ............, ω， S(ω)（＝ω+1）”を数直線に埋め込んでみよう
数直線の区間[0,2]で
n→1-(1/(1+n))＝n/(1+n)
と変換すると
0→1-1/1＝0
1→1-1/2＝1/2
2→1-1/3＝2/3
3→1-1/4＝3/4
・
・
ω→1-1/(1+ω)＝1
となって、”0, 1, 2, 3, ............, ω”
は、区間[0,1]に埋め込める
そこから、 S(ω)（＝ω+1）は
ω+1→1+1/2となって、区間[1,2]の中央の点に対応する
そして、上記が繰返される
（>>552の）Zermeloの自然数構成では、可算多重シングルトン{・・・{}・・・}＝ωであり
これは、区間[0,1]の点[1,1]に相当する
これで、可算多重シングルトン{・・・{}・・・}＝ωのモデルが存在することが分かった
QED
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序数
(抜粋)
順序数の大小関係
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
(引用終り)
以上
564:１３２人目の素数さん
19/12/01 09:09:51.24 go6lPTYO.net
>>563
こいつ、統失か？ｗ
幻聴と妄想の真っ只中にいる●違いに質問だ
{} → {}
{{}} → {{}}
{{},{{}}} → {{{}}}
・・・
という写像で
ω＝{{},{{}},{{{}}},…} の行先は何？
注）ωで「一番右側の元」は存在しない
565:１３２人目の素数さん
19/12/01 09:11:49 go6lPTYO.net
>>564
訂正
{} → {}
{{}} → {{}}
{{},{{}}} → {{{}}}
・・・
という写像で
ω＝{{},{{}},{{},{{}}},…} の行先は何？
（※{{{}}}を{{},{{}}}に訂正）
注）ωで「一番右側の元」は存在しない
566:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/12/01 10:22:17 id6ENHqe.net
>>564-565
おサルの力量は、良く分かったよ
おまえは、確かに落ちこぼれだわ
おまえには、哀れな素人相手が適当だよ
がんばれよ
567:１３２人目の素数さん
19/12/01 11:29:32 go6lPTYO.net
>>566
馬鹿の力量は
{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}
で先刻ご承知
お前、自分が安達より賢いと思ってんの？
んなわけないじゃんｗｗｗｗｗｗｗ
結論 ◆e.a0E5TtKE はまた馬鹿晒す
モストフスキの次はクラトフスキ
お前ナントカフスキが好きだなｗ
ポーランドマニアかｗ
568:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/12/01 14:40:06 id6ENHqe.net
>>563 補足
>下記順序数”0, 1, 2, 3, ............, ω， S(ω)（＝ω+1）”を数直線に埋め込んでみよう
順序数”0, 1, 2, 3, ............, ω， S(ω)（＝ω+1）”に対応する点列を数直線上に構成した
0,1/2,2/3,3/4,・・,1（←ω）,1+1/2（←ω+1）
さて、これらの点列に合わせて、縦棒｜を配置する
|,|,|,|,・・,|,|
上記を左右反転する
|,|,・・,|,|,|,|
間にΦを挟むと
|,|,・・,|,|,|,|Φ|,|,|,|,・・,|,|
左の｜を{ に、右の｜を} に 取り替える
{,{,・・,{,{,{,{Φ},},},},・・,},}
あーら不思議、可算無限ω+1重シングルトンのできあがり
中央のΦを抜けば、
{,{,・・,{,{,{,{ },},},},・・,},}
これぞ、天才Zermeloの考えた自然数構成（及び順序数ω）のシングルトン（>>549）なり～！ｗ（＾＾
正則性公理に反するだぁ～？
そういうやつは、あまた腐っているよｗ
天才Zermeloをなめているのか？ｗ（＾＾；
天才Zermeloがそんな間違いするわけない
569:１３２人目の素数さん
19/12/01 14:56:06.92 M/Nwc0Bq.net
バカ丸出し
570:１３２人目の素数さん
19/12/01 15:03:05.76 go6lPTYO.net
>>568
こいつ・・・正真正銘の馬鹿だなｗ
馬鹿の構成した「馬鹿シングルトン」
{,{,・・,{,{,{,{ },},},},・・,},}
の要素は
{,・・,{,{,{,{ },},},},・・,}
でそのまた要素は
・・,{,{,{,{ },},},},・・
で、
ここで馬鹿は詰むｗ
ここで馬鹿は死ぬｗ
もう、要素が取れない
正則性公理とかいう以前に、そもそも集合じゃないｗ
最初っから、馬鹿のやり方で
「順序数”0, 1, 2, 3, ............, ω”に対応する点列を
数直線上に構成する
0,1/2,2/3,3/4,…」
とすれば、外側に{}がない
「似非シングルトン」ができて
馬鹿は速攻引火して灰も残さず丸焼け
だからそんな非数学的な
三歳児のお絵かきじゃダメだって
何べんやったって死ぬって
何べん死んだら気が済むんだってｗ
571:１３２人目の素数さん
19/12/01 15:06:28.51 go6lPTYO.net
そもそもツェルメロは自分のやり方による
最初の超限順序数がシングルトンになるなんて
一言もいってない
馬鹿が勝手に妄想しただけｗ
むしろフォンノイマンのときと同じやり方で極限とったら
{{},{{}},{{{}}},…}
となるから、シングルトンになりようがないｗ
なんで馬鹿は定義確認せずに自分勝手にウソ定義デッチあげるの？
自分が数学の主だとか自惚れてるわけ？そんなわけないだろｗ
572:１３２人目の素数さん
19/12/01 15:13:55.01 go6lPTYO.net
＞天才Zermeloをなめているのか？
＞天才Zermeloがそんな間違いするわけない
”天才”Zermeloは、ゲーデルの不完全性定理を理解できなかった
不完全性定理は、ラッセルの逆理と同様のパラドックスだと誤解していた
おそらく、証明可能性と真理性を混同していたのだろう
…ということで、どんな有名な数学者も、間違うことはあります
しかも、「今時学生でもこんな間違いしないだろ」というところで
間違いつづけたままくたばることも間々あります
最近だと、アティヤ氏のリーマン予想解決か
多分、老人性の●●症によるものでしょう
数学者も年齢には勝てません
573:１３２人目の素数さん
19/12/02 12:20:27.47 /HOpH6/I.net
いや、この問題でZermeloは間違ってない。
スレ主が曲解してるだけ。
574:現代数学の系譜 雑談
19/12/03 00:04:55.04 BRqy0upZ.net
>>568 補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
より
Zermelo 構成（0 := {}, suc(a) := {a} と定義）
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
4 := {3} = {{{{{}}}}}
・
・
n := {n-1} = {・・{{}}・・}（0 := {}の外がn重）
・
ω := {・・・{{}}・・・} (0 := {}の外がω重）
一方、ノイマン 構成（0 := {}, suc(a) := a∪{a} と定義）
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = {{}, {{}}}
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
4 := suc(3) = {0, 1, 2, 3} = {0, {0}, {0, {0}},{0, {0}, {0, {0}}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},{{}, {{}}, {{}, {{}}}}}
・
・
n := suc(n-1) = {0, 1, 2, 3,・・,n-1} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},・・,{{}, {{}},・・, {{}}・・}}
・
・
ω := {0, 1, 2, 3,・・,n・・・} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},・・・,{{}, {{}},・・・, {{}}・・・}}
さてここで
ノイマン 構成から、一番右の要素のみを残して、他の元を抜くと、Zermelo 構成になる
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = {{}, {{}}}
↓(0,を抜く)
2 := {{{}}} (Zermelo 構成)
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
↓(0, 1,を抜く)
3 := {{{{}}}} (Zermelo 構成)
4 := suc(3) = {0, 1, 2, 3} = {0, {0}, {0, {0}},{0, {0}, {0, {0}}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},{{}, {{}}, {{}, {{}}}}}
↓(0, 1, 2, 3,を抜く)
4 := {{{{{}}}}} (Zermelo 構成)
・
・
n := suc(n-1) = {0, 1, 2, 3,・・,n-1} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},・・,{{}, {{}},・・, {{}・・}
↓(0, 1, 2, 3,・・, n-1,を抜く)
n := {・・{{}}・・} (Zermelo 構成)
・
・
ω := {0, 1, 2, 3,・・,n・・・} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},・・・,{{}, {{}},・・・, {{}}・・・}}
↓(0, 1, 2, 3,・・, n,・・を抜く)
ω := {・・・{{}}・・・} (0 := {}の外がω重）(Zermelo 構成)
つづく
575:現代数学の系譜 雑談
19/12/03 00:09:38.61 BRqy0upZ.net
>>574
つづき
ノイマン 構成から、Zermelo 構成を抽出する集合の操作は
分出公理を使えば可
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理的集合論
(抜粋)
分出公理
置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである（1922年）。分出公理は上に述べた ZF の公理から示すことができる。
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。
論理式 ψ を決めたとき、X に対して分出公理が存在を主張する集合はただ一つであることが外延性の公理から言えるので、これを {\displaystyle \{x\in X\mid \psi (x)\}}\{x\in X\mid \psi(x)\} で表す。
{\displaystyle \{x\in X\mid x\in Y\}}\{x\in X\mid x\in Y\} を {\displaystyle X\cap Y}X\cap Y で表す。
576:現代数学の系譜 雑談
19/12/03 00:15:26.23 BRqy0upZ.net
>>575 補足
なお、順序数ωの数直線におけるモデルは、
>>563で示した。なお>>568もご参照
以上
正則性公理？
Zermelo 構成がだめだと？ｗ
だったら、ノイマン 構成もダメになるぞ
それは矛盾であるｗｗ（＾＾；
577:１３２人目の素数さん
19/12/03 00:30:12 y1kRHc8p.net
バカ丸出し
578:１３２人目の素数さん
19/12/03 06:15:31.82 2OK0+uPO.net
>>573
確かに
ω := {・・・{{}}・・・} (0 := {}の外がω重）
なんて馬鹿いってるのは◆e.a0E5TtKEであって
Zermeloではない
579:１３２人目の素数さん
19/12/03 06:20:07.17 2OK0+uPO.net
◆e.a0E5TtKEが
「{}∈{{}},{{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}」
につづく馬鹿発言をやらかしたｗ
>>574
＞ノイマン 構成から、一番右の要素のみを残して、
＞他の元を抜くと、Zermelo 構成になる
ギャハハハハハハ ハハハハハハハ！！！
「ωには一番右の要素がある」と？
馬鹿か？●違いか？ｗ
大体 ω＝ｘ∪｛ｘ｝となるようなｘがあると思ってるのか？馬鹿めｗ
ω＝∪ｘ （有限のｘの合併）
だぞｗ
580:１３２人目の素数さん
19/12/03 06:22:00.19 2OK0+uPO.net
>>575
＞ノイマン 構成から、Zermelo 構成を抽出する
＞集合の操作は分出公理を使えば可
じゃ、やってみせてくれ
ありもしない「ωの一番右側の元」から
◆e.a0E5TtKEのいうZermelo構成の
ウソΩとやらをどうやってデッチあげるのかね（嘲）
581:１３２人目の素数さん
19/12/03 06:25:50.83 2OK0+uPO.net
>>576
＞Zermelo 構成がだめだと？ｗ
こいつ 頭悪いな
貴様のいうZermelo構成のΩ
{・・・{{}}・・・} (0 := {}の外がω重）
は誤りだといっている。
正しいZermelo構成のΩは以下
{{},{{}},{{{}}},…}
＞だったら、ノイマン 構成もダメになるぞ
＞それは矛盾である
貴様の構成が、極限の手続きに沿わないウソ構成だから矛盾する
正しい極限の手続き（有限の順序数の合併）に沿えば、正しい答えが出る
582:１３２人目の素数さん
19/12/03 06:28:18.84 2OK0+uPO.net
>>577
◆e.a0E5TtKEのおバカ発言ｗｗｗ
１．{}∈{{}},{{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}
２．ωには一番右の要素がある
もう一つ馬鹿発言やらかせば、スリーアウト
トンデモ殿堂入りｗｗｗ
583:１３２人目の素数さん
19/12/03 18:31:19.35 y1kRHc8p.net
>>574
＞ノイマン 構成から、一番右の要素のみを残して、
＞他の元を抜くと、Zermelo 構成になる
これって時枝問題で無限列に最後の項があるって言ってたのと同じ間違いだね。
有限と無限の違いが決定的に分かってない。
584:１３２人目の素数さん
19/12/03 19:16:03.40 2OK0+uPO.net
>>583
安達「自然数の全体には最後の数がないから集合にならない」
正常な人「最後の数がなくても集合になる」
◆e.a0E5TtKE「いや、最後の自然数はある！だ・か・ら集合になる！」
実は安達と◆e.a0E5TtKEは同じ誤りを犯す馬鹿ｗｗｗｗｗｗｗ
585:現代数学の系譜 雑談
19/12/03 21:00:03.01 BRqy0upZ.net
>>583-584
おいおい
おまいら、まだ時枝記事不成立が分かっていないのかい？ｗ（＾＾
やれやれだなｗｗ（＾＾；
586:１３２人目の素数さん
19/12/03 21:10:06.59 y1kRHc8p.net
と、∞∈N の妄想が止まらないキチガイが申しております
587:１３２人目の素数さん
19/12/04 00:02:49 Gpiz7JDy.net
時枝記事？
あれは大学2年レベルの学力があれば理解できる。
アホ主くんは選択公理も同値類も、いやその前に自然数から分かってない。だから理解できない。
それだけのこと。
588:１３２人目の素数さん
19/12/04 06:48:56.18 2LqSA9Bj.net
>>585
●●記事とは無関係に、◆e.a0E5TtKEは∞を誤解してる
「ωには一番右の要素がある」と言い切った瞬間
◆e.a0E5TtKEは最低最悪のトンデモに成り下がったｗｗｗ
589:現代数学の系譜 雑談
19/12/04 07:20:44.65 f2GnDeIi.net
>>587-588
時枝記事は、大学4年くらいの確率過程論を学べば、不成立はすぐ分かる
時枝記事の後半にある通り、確率変数の族で、独立な可算無限族を考えれば、時枝記事の解法は独立の定義に反するから
それは、大学2年レベルの学力では、分からない人もいるかも知れないねｗ（＾＾；
590:１３２人目の素数さん
19/12/04 07:23:17.29 2LqSA9Bj.net
>>589
貴様には●●記事は無理ｗ
ωに最大元があると思ってる時点でアウトだからｗｗｗｗｗｗｗ
こんな馬鹿に支持されるＭも災難だなｗｗｗｗｗｗｗ
591:現代数学の系譜 雑談
19/12/04 09:45:00.48 vhgyVZ6r.net
今月の数学セミナー記事で
”∞圏／圏論を超えて”というのがあるけど
おまいらの∞の理解じゃ、題名からして理解できないだろうな
おサル
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:281番)-
281 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/12/04(水) 09:41:38.82 ID:vhgyVZ6r
メモ
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
日本評論社
数学セミナー 2019年12月号
(抜粋)
特集＝ 私が惹かれるこの概念
＊∞圏／圏論を超えて……阿部知行 43
592:現代数学の系譜 雑談
19/12/04 14:04:09.76 vhgyVZ6r.net
>>574 補足
１．言っていることは簡単なことで
各ｎについて、Zermelo 構成とノイマン 構成は、一対一に対応する
２．のみならず、お互いに変換できる
ノイマン 構成から、不要な要素を抜けば、Zermelo 構成になり
Zermelo 構成から、要素を追加していけば、ノイマン 構成になる
３．例えば、
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}（ノイマン 構成）
↓(0:= {}と,を抜く)
3 := {{{{}}}} (Zermelo 構成)
逆に、
3 := {{{{}}}} (Zermelo 構成)
↓(0:= {}と,を入れいく)
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}（ノイマン 構成）
とできる。
４．あと∞をどう自分なりに納得するのかは、各人の辿ってきた数学の履歴と実力に任せるが（おっと、おサルは除く。おサルは無理）
∞を極限から理解するなり、リーマン球面の無限遠点と考えるなり、拡張実数と考えるなり、どれでも良いだろう
要するに、現代数学においては、”∞∈N ”という些末なレベルで留まっているおサルは、落ちこぼれってことさ
21世紀の数学は、はるか先にあるんだ（例えば>>591）
もっと先へ進めば、これが理解できる（＾＾
593:現代数学の系譜 雑談
19/12/04 14:06:13.92 vhgyVZ6r.net
>>592 補足
要するに、Zermelo 構成とノイマン 構成は、一対一に対応するので
Zermelo 構成が、正則性公理で否定されるとすれば、ノイマン 構成も否定される
それは、矛盾であるｗ（＾＾；
QED
594:１３２人目の素数さん
19/12/04 14:06:39.75 Tpzu+ASU.net
そもそも超限帰納法理解できてない。
595:現代数学の系譜 雑談
19/12/04 14:07:48.48 vhgyVZ6r.net
だから？
論点ずらしでしょｗ（＾＾
596:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/12/04 14:19:31 vhgyVZ6r.net
超限帰納法なんて難しい話はしていない
可算無限の箱の列が存在する（例えば、数学的には形式的冪級数の係数とか、x^nの∞の項とかね。これは否定できないだろ。（時枝の記事の箱もそうだが））
で、箱の列があるなら、可算無限の棒｜の列もあるだろう
棒｜の列があるなら、カッコ”｝”の可算無限の列もあるだろう。例えば、｝｝・・・｝
カッコ”｛”の可算無限の列もあるだろう。上記の列を左右反転して、例えば、｛・・・｛｛ とする
これらを左右に配置すれば
｛・・・｛｛ Φ ｝｝・・・｝
が構成できる
Zermelo 構成なんて、単純な話だよ
超限帰納法なんて難しい話ではない
597:現代数学の系譜 雑談
19/12/04 14:22:08.34 vhgyVZ6r.net
>>596 補足
x^nの∞の項とかね
↓
x^n・・・の項の可算無限列とかね
にしておこうか
どちらでも、数学的には大差ないが
揚げ足を取られそうだからね（＾＾；
598:現代数学の系譜 雑談
19/12/04 14:24:43.15 vhgyVZ6r.net
>>596 補足
｛・・・｛｛ Φ ｝｝・・・｝
も
揚げ足取りされそうだな
分かり易く書いているだけのこと
と、補足しておく
両端のカッコがあるのないのと、おサルが騒ぎそうだなｗ（＾＾；
599:１３２人目の素数さん
19/12/04 14:29:05.77 TYKCHEeI.net
違う。
そもそも超限帰納法が理解できていない。
というより帰納的順序集合が理解できていない。
600:１３２人目の素数さん
19/12/04 19:24:50.22 2LqSA9Bj.net
>>596
馬鹿丸出しｗｗｗ
>>598
揚げ足取りと思うのが馬鹿
例えば
左のカッコを
-1,-1/2,-1/3,-1/4,…
右のカッコを
…,1/4,1/3,1/2,1
とすれば、いくら外のカッコを外しても
空集合にならず正則性公理に反する
◆e.a0E5TtKE 爆死ｗｗｗｗｗｗｗ
また
左のカッコを
…,-3/4,-2/3,-1/2
右のカッコを
1/2,2/3,3/4,…
とすれば、一番外側のカッコが存在せず集合にならない
◆e.a0E5TtKE 焼死ｗｗｗｗｗｗｗ
601:１３２人目の素数さん
19/12/04 19:31:26.21 2LqSA9Bj.net
>>592
＞ノイマン 構成から、不要な要素を抜けば、Zermelo 構成になり
＞Zermelo 構成から、要素を追加していけば、ノイマン 構成になる
そのやり方が成功するのは自然数の場合だけｗ
＞あと∞をどう自分なりに納得するのかは、
＞各人の辿ってきた数学の履歴と実力に任せるが
◆e.a0E5TtKEは大学一年の四月で落ちこぼれた後の履歴がゼロｗｗｗ
したがって実力も完全にゼロｗｗｗｗｗｗｗ
ノイマンのωの場合、各要素に対して不要な要素を抜く
逆にツェルメロのΩの場合、各要素に対して要素を追加する
「ツェルメロ構成は必ずシングルトンになる！」
と思ってるのは大学1年の４月で落ちこぼれて
数学の水深５ｃｍの沼で溺死したｗｗｗｗｗｗｗ
数痴の◆e.a0E5TtKEだけ
爺婆がオレオレ詐欺にひっかかるように
馬鹿◆e.a0E5TtKEもＩＵＴにひっかかる（嘲）
602:１３２人目の素数さん
19/12/04 23:23:30.02 Gpiz7JDy.net
バカは自分の間違いを認められない
だから自分への批判はすべて揚げ足取りであると妄想してしまう
603:現代数学の系譜 雑談
19/12/05 16:40:22.45 O0aFD/lt.net
>>599
＞そもそも超限帰納法が理解できていない。
＞というより帰納的順序集合が理解できていない。
超限帰納法は、論点ずらしでしょ
１）おれが言っているのは、Zermelo 構成は、現代数学の自然数のもう一つの（ノイマン構成以外の）構成として認められている（過去レスみてね）
２）自然数のZermelo 構成とノイマン構成とは、二階述語論理で同型だといわれる（過去レスみてね）
３）だったら、ノイマン構成について言えることはZermelo 構成にも言えるし、Zermelo 構成について言えることはノイマン構成にも言える
４）なので、ノイマン構成で順序数ωに相当する集合が構成できるとすれば、Zermelo 構成でもωに相当する集合が構成できるってこと
言っていることはこれだけのこと
”超限帰納法”うんぬんは論点ずらしでしょ
604:現代数学の系譜 雑談
19/12/05 16:48:55.02 O0aFD/lt.net
>>603 補足
Zermelo 構成であれノイマン構成であれ
自然数の形式的な定義ができれば
あとは加法と乗法の演算だが、
そのやり方は下記にある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
(抜粋)
3 形式的な定義
3.1 自然数の公理
3.2 加法と乗法
3.3 順序
3.4 除法
605:現代数学の系譜 雑談
19/12/05 17:16:34.60 O0aFD/lt.net
>>599
＞そもそも超限帰納法が理解できていない。
＞というより帰納的順序集合が理解できていない。
＜補足＞
・まあ、要するに、ZFC下で、空集合から始まって、後者関数を定義することで、順次集合を増やしていく
・一方で、無限公理で、全ての後者を含む集合が存在することを認める
・無限公理で認める無限集合は、自然数の集合Nを含むが、Nよりも大きな集合を許容する
・数学の要請として、ちょうどNの集合がほしい。そこで、できる無限集合の最小のものをNとする（共通部分を取るんだったね）
・ここまでは、後者関数にある程度の自由度があって、二階述語論理で同型になるそうだ（過去レスにある）
・もちろん、ノイマン構成が綺麗なので、好まれてデファクトスタンダードになっている
・だが、Zermelo 構成でも、数学的に同じことができる
・自然数の集合Nが構成されれば、そこから有理数Q、代数的数Q_A（可算集合らしい）、実数R、複素数Z、・・と順次構成可能
・一方で、カントールの唱えた順序数ωも同様に構成可能だ
・それは、Zermelo 構成に同じ
それだけのことでしょ
606:１３２人目の素数さん
19/12/05 17:33:12.88 XmEcuPHB.net
もちろんZermelo構成でも同じことができるしZermeloはやった。
普通に数学科の学部生レベルの知識があれば簡単に理解できる。
整列順序集合とはなにか、超限帰納法とはどのように行うのかがわかってればすぐわかる話。
607:１３２人目の素数さん
19/12/05 19:34:38.52 vEgJBXXW.net
>>603
＞超限帰納法は、論点ずらしでしょ
根本ですが
任意の順序数について無限降下列が存在しないから、超限帰納法が成立する
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
>>605
＞二階述語論理で同型
全然無関係
そもそも最初の超限順序数のZermelo構成の仕方が間違ってる
Zermelo構成でも最初の超限順序数は、シングルトンにはなりません
608:現代数学の系譜 雑談
19/12/06 00:18:11.68 eTcHIROk.net
>>607
１．ノイマン構成で、ノイマン構成の後者関数で、空集合から後者を順に作って行く
そうして、無限公理により、全ての後者を含む無限集合の存在を認める
この無限集合は、自然数Nより過剰の要素を含んでいるので、余分な後者、それは自然数の構成に必要な要素（＝有限な要素）以外の要素を除きます
従って、余分な後者とは、有限ではない要素ですよね
２．同じ事を、Zermelo 構成の後者関数で行う。空集合から後者を順に作って行く
そうして、無限公理により、全ての後者を含む無限集合の存在を認める
この無限集合は、自然数Nより過剰の要素を含んでいるので、余分な後者、それは自然数の構成に必要な要素（＝有限な要素）以外の要素を除きます
従って、余分な後者とは、有限ではない要素ですよね
３．で、Zermelo 構成の後者とは、つぎつぎと作られるシングルトンなんですよ。それ以外にはありえない
だから、Zermelo 構成で、全ての後者を含む無限集合に、自然数の構成には不要な要素があり、その中にはωに相当する要素があります
それは、シングルトンであり、かつ自然数Nの外の要素です（それは、当然有限ではない）
それだけのことです
609:１３２人目の素数さん
19/12/06 00:26:52.06 msoFieoC.net
後者関数だけで超限帰納法ができると思ってる時点で全く超限帰納法が理解できていないとわかる。
もちろん理解するつもりが最初からサラサラないようなのでいいんだろうけど。
610:１３２人目の素数さん
19/12/06 06:57:05.58 a5FaM1Ty.net
>>608
＞Zermelo 構成の後者とは、つぎつぎと作られるシングルトンなんですよ。
＞それ以外にはありえない
それが誤り
＞Zermelo 構成で、全ての後者を含む無限集合に、
＞ωに相当する要素があります
＞それは、シングルトンであり、かつ自然数Nの外の要素です
それが誤り
ωに相当する要素はない
Zermelo構成による最初の超限順序数は
全ての有限シングルトンのみを要素とする集合
であり、シングルトンではない
「有限順序数がシングルトンだから
最初の超限順序数もシングルトンだ」
というのは
「任意の自然数nについて(1+1/n)^nが有理数だから
lim(n→∞)(1+1/n)^nも有理数だ」
というのと同じくらい誤った主張です
611:１３２人目の素数さん
19/12/06 07:35:12.33 a5FaM1Ty.net
>>610
＞Zermelo 構成の後者とは、つぎつぎと作られるシングルトンなんですよ。
＞それ以外にはありえない
ここは「後者」についてしかいってないから「誤り」ではないか
「Zermelo 構成の順序数は、極限となるものもシングルトンなんですよ。」
というなら、それは誤り
612:現代数学の系譜 雑談
19/12/06 07:56:31.62 eTcHIROk.net
参考
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of infinity
(抜粋)
It was first published by Ernst Zermelo as part of his set theory in 1908.[1]
References
[1] Zermelo: Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre, 1907, in: Mathematische Annalen 65 (1908), 261-281; Axiom des Unendlichen p. 266f.
URLﾘﾝｸ(glossar.hs-augsburg.de)(1908):_Untersuchungen_%C3%BCber_die_Grundlagen_der_Mengenlehre
Datenschutz Uber GlossarWiki Lizenzbestimmungen
(抜粋)
Zermelo, E. (1908): Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre
Zermelo (1908b): Ernst Zermelo; Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre; in: Mathematische Annalen; Band: 65; Nummer: 2; Seite(n): 261?281;
URLﾘﾝｸ(gdz.sub.uni-goettingen.de)
（このサイトからPDFが落とせる）
Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre. I. Von E. ZERMELO in Gottingen. P261
を眺めているが、すぐには正直読めない
集合論の記号もちょっと違うんだ
無限公理がどこに書いてあるのか、それすら分からない
PDFをOCRして、表題だけGoogle翻訳すると
Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre. I.
Von
E. ZERMELO in Gottingen.
↓
Studies on the basics of set theory. I.
From
E. ZERMELO in Gottingen.
OCRは、ある程度読んでくれているのかな？（＾＾；
少しずつ、Google翻訳に喰わせるか
613:現代数学の系譜 雑談
19/12/06 07:58:52.44 eTcHIROk.net
>>609
超限帰納法は関係ないよ
だって、公理（無限公理で与件）だもの（＾＾；
614:１３２人目の素数さん
19/12/06 13:44:42.59 U5iqUuKj.net
>>613
何が関係あって何が関係ないかあなたの現時点での学力でわかるはずありません。
そもそもZermelo順序数が超限帰納法を用いて定義されている事すら理解できるはずありません。
それが何かわかってないんだから。
615:１３２人目の素数さん
19/12/06 23:10:49.52 AcrqIt0t.net
工業高校卒は数学語らない方がいい
616:１３２人目の素数さん
19/12/07 01:44:09.61 tI9fXlD+.net
いい、悪い、は何にとってなのかに言及しないと何も意味をなさないと、思うんです
読む方からしたら
工業高校卒は数学語らない方が(便秘対策に)いい
という意味かも知れないなと思ってしまう訳です
617:現代数学の系譜 雑談
19/12/07 08:42:52.69 H2e5WMAT.net
>>614
無理するな（＾＾
（>>612より）
URLﾘﾝｸ(gdz.sub.uni-goettingen.de)
（このサイトからPDFが落とせる）
Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre. I. Von E. ZERMELO in Gottingen. P261
(抜粋英訳)
P263
Axiom I. If every element of a set M is simultaneously an element of N and vice versa, that is, if M = E N and N = E M at the same time, then M = N is always M or shorter: every set is determined by its elements.
P266
But in order to secure the existence of "infinite" sets, we still need the following axiom, which derives from its essential content by Mr. R. Dedekind.
Axiom VII. The domain contains at least a set Z which contains the null set as an element and is such that each of its elements a is another element of the form {a}, or which with each of its elements a is also the corresponding set {a } as an element.
(Axiom of the infinite.)
14 VII. *) If Z is an arbitrary set of the properties required in VII, then for each of its subsets Z1 it is definite whether it possesses the same property. For if a is any element of Z1 ', it is definite whether {a} ∈ Z1,
and all the elements a of Z1 thus constituted form the elements of a subset Z1' for which it is definite whether Z1 '= Z1 or Not. Thus, all subsets Z1 of the considered property form the elements of a subset T = E UZ,
and the average corresponding to them (# 9) Z0 = DT is an amount of the same nature.
つづく
618:現代数学の系譜 雑談
19/12/07 08:43:56.92 H2e5WMAT.net
>>617
つづき
For once 0 is a common element of all elements Z1 of T, and on the other hand, if a is a common element of all these Z1, then also {a} is common to all and therefore also an element of Z0.
If Z 'is any other quantity of the nature required in the axiom, then in the same way as Z0 it corresponds to Z for a smallest subset Z0' of the property under consideration.
Now, however, the average [Z0, Z0 '], which is a common subset of Z and Z', must have the same properties as Z and Z and, as a subset of Z, the constituent Z0 and, as a subset of Z ', the constituent Z0 ' contain.
After I it follows that [Z0, Z0 '] = Z0 = Z0', and that Z0 is therefore the common component of all possible quantities, such as Z, although these do not need to form the elements of a set.
The set Z0 contains the elements 0, {0}, {{0}}, and so on, and may be called a "series of numbers" because their elements can represent the location of the numerals.
It is the simplest example of a "countless infinite" set (Nos. 36).
注：36節(Nos. 36 P280)で、ZERMELOは無限（"unendliche"）について論じている。
つづく
619:現代数学の系譜 雑談
19/12/07 08:44:56.93 H2e5WMAT.net
>>618
つづき
(ドイツ語原文)
P263
Axiom I. Ist jedes Element einer Menge M gleichzeitig Element von N und umgekehrt, ist also gleichzeitig M =E N und N =E M, so ist immer M = N. Oder kurzer: jede Menge ist durch ihre Elemente bestimmt.
P266
Um aber die Existenz "unendlicher" Mengen zu sichern, bedurfen wir noch des folgenden, seinem wesentlichen Inhalte von Herrn R. Dedekind**) herruhrenden Axiomes.
Axiom VII. Der Bereich enthalt mindestens eine Menge Z, welche die Nullmenge als Element enthalt und so beschaffen ist, das jedem ihrer Elemente a ein weiteres Element der Form {a} entspricht, oder welche mit jedem ihrer Elemente a auch die entsprechende Menge {a} als Element enthalt.
(Axiom des Unendlichen.)
14 VII. *) Ist Z eine beliebige Menge von der in VII geforderten Beschaffenheit, so ist fur jede ihrer Untermengen Z1 definit, ob sie die gleiche Eigenschaft besitzt. Denn ist a irgend ein Element von Z1' so ist definit, ob auch {a} ε Z1 ist,
und alle so beschaffenen Elemente a von Z1 bilden die Elemente einer Untermenge Z1', fur welche definit ist, ob Z1' = Z1 ist oder nicht. Somit bilden alle Untermengen Z1 von der betrachteten Eigenschaft die Elemente einer Untermenge T =E UZ,
und der ihnen entsprechende Durchschnitt (Nr. 9) Z0 = DT ist eine Menge von der gleichen Beschaffenheit.
つづく
620:現代数学の系譜 雑談
19/12/07 08:45:21.77 H2e5WMAT.net
>>619
つづき
Denn einmal ist 0 gemeinsames Element aller Elemente Z1 von T, und andererseits, wenn a gemeinsames Element aller dieser Z1 ist, so ist auch {a} allen gemeinsam und somit gleichfalls Element von Z0.
Ist nun Z' irgend eine andere Menge von der im Axiom gefordertenN Beschaffenheit, so entspricht ihr in gen au derselben Weise wie Z0 dem Z eine kleinste Untermenge Z0' von der betrachteten Eigenschaft.
Nun mus aber auch der Durchschnitt [Z0, Z0'] , welcher eine gemeinsame Untermenge von Z und Z' ist, die gleiche Beschaffenheit wie Z und Z haben und als Untermenge von Z den Bestandteil Z0, sowie als Untermenge von Z' den Bestandteil Z0' enthalten.
Nach I folgt also, das [Z0, Z0'] = Z0 = Z0' sein mus, und das somit Z0 der gemeinsame Bestandteil aller moglichen wie Z beschaff (men Mengen ist, obwohl diese nicht die Elemente einer Menge zu bilden brauchen.
Die Menge Z0 enthalt die Elemente 0, {0}, { {0} } usw. und moge als "Zahlenreihe" bezeichnet werden, weil ihre Elemente die Stelle der Zahlzeichen vertreten konnen.
Sie bildet das einfachste Beispiel einer "abzahl bar unendlichen" Menge (N r. 36).
(引用終り)
以上