19/10/18 21:51:07.72 Zm+yHrIo.net
>>434
追加
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グロタンディーク宇宙
(抜粋)
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
グロタンディーク宇宙の2つの簡単な例がある:
・空集合
・すべての遺伝的有限集合 の集合 V_{\omega }}V_\omega 。
他の例は構成がより困難である。
大まかに言うと、これはグロタンディーク宇宙が到達不能基数と同値なためである。
より形式的に言えば、次の2つの公理が同値である:
(U) すべての集合 x に対して、x ∈ U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。
(C) すべての基数 k に対して、k よりも巨大な強到達不能基数 λ が存在する。
任意のグロタンディーク宇宙はある k に対し u(k) の形となる。
これはグロタンディーク宇宙と強到達不能基数の間の別の同値性を与えるものである:
グロタンディーク宇宙 U に対して、|U| は零、 アレフ0、もしくは強到達不能基数のいずれかとなる。
また、k が零、 アレフ0、もしくは強到達不能基数ならば、グロタンディーク宇宙 u(k) が存在する。
さらに、u(|U|) = U かつ |u(k)| = k となる。
強到達不能基数の存在は ZFC からは証明できないため、空集合と Vω 以外の宇宙の存在はどれも ZFC から証明することができない。