19/10/14 10:45:21 w6tqRMw5.net
>>419
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
462:自然数 (抜粋) 形式的な定義 自然数の公理 集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。 空集合を 0 と定義する。 0:=Φ ={} 任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。 suc (a):=a ∪ {a} 0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。 自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。 以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。 例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、 0 := {} 1 := {0} = {{}} 2 := {1} = {{{}}} 3 := {2} = {{{{}}}} と非常に単純な自然数になる。 (引用終り) 以上
463:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/10/14 10:47:47 w6tqRMw5.net
>>418
＞ 2のすぐ下の元がないから、そもそも降下列にならないｗ
おまえの「降下列」の定義は？
おれは、上昇列の双対の意味で、「降下列」を使っている
だから、
降下列があれば、その双対で上昇列があり
上昇列があれば、その双対で降下列が存在する
464:Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM
19/10/14 10:52:06 llLaGKvq.net
>>419
＞＞∋で列をつくるんだからω’∋ａとなるａを示せなくては意味がない
＞その批判は、半分は正しい
貴様の文章は２か所間違ってる
まず批判ではなく指摘だ
そして半分ではなく全部正しい
＞だが、順序型の概念を使うことで回避できて、
何がどう回避できると妄想してるんだ？この馬鹿はｗ
＞ノイマンとツェルメロは、順序同型になる
ノイマンのωに対応するツェルメロのω’は存在する
しかしそれは貴様の考えるような形のものではなく
{{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},…}だ
貴様は馬鹿だから、suc(a) := {a}にとらわれて
ω’もsingletonの筈だ、と誤解してるだけｗ
465:
19/10/14 10:53:04 yDLeEzQX.net
誰か>>327の証明入りますか？
rankについての議論を使うのでスレ主にはちょっと無理かもしれませんが。
遊びに行くので今は無理ですが、興味ある人いれば書きます。
466:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/10/14 10:53:16 w6tqRMw5.net
>>421
補足
下記、
反対圏（=双対圏）の
例 ”半順序”な（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
反対圏
(抜粋)
圏論という数学の分野において，与えられた圏 C の反対圏（はんたいけん，英: opposite category），逆圏（ぎゃくけん）あるいは双対圏（そうついけん，英: dual category）Cop は射を逆にする，つまり，各射の始域と終域を交換することによって作られる．
逆にする操作を2回やるともとの圏になるので，逆圏の逆圏はもとの圏自身である．
記号で書けば， (C^op)^op=C である．
例
例の1つは半順序の不等式の向きを逆にして得られる．つまり X が集合で <= が半順序関係のとき，新しい半順序関係 <=new を
x <=new y ⇔ y <= x
によって定義できる．例えば，子と親，あるいは子孫と先祖という逆のペアがある．
467:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/10/14 10:53:47 w6tqRMw5.net
じゃｗ（＾＾
468:Mara Papiyas
19/10/14 10:54:42.41 llLaGKvq.net
>>421
＞おれは、上昇列の双対の意味で、「降下列」を使っている
降下列を定義するのは馬鹿の貴様ではないｗ
数学者がすでに定義している
理解できずに嘘定義をデッチあげる貴様が馬鹿ｗ
貴様、正規部分群の定義でやらかした
自分の恥ずかしい間違いから何も学んでないのか？ｗｗｗ
469:Mara Papiyas
19/10/14 10:56:33.59 llLaGKvq.net
>>425
二度と帰ってこなくていいぞ 馬鹿めｗｗｗ
470:Mara Papiyas
19/10/14 11:02:18.06 llLaGKvq.net
>>423
時間に余裕があるときに書き込むのがよいと思う
ただここの馬鹿相手に数学科学生レベルの説明をするのは無駄
そもそも定義も公理も理解してないし、
そこから論理的に推論しなければ
証明としての体を為さない
ということも全然分かってない
馬鹿はただ式を見て直感したことをわめいてるだけ
動物が信号刺激を受けて本能行動をやらかすのと同じ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
471:１３２人目の素数さん
19/10/14 11:06:08.75 yDLeEzQX.net
>>428
では気が向いたら書きます。
472:Mara Papiyas
19/10/14 11:27:30.16 llLaGKvq.net
>>429
その間、馬鹿を弄っときますｗ
473:１３２人目の素数さん
19/10/14 12:46:52 CsedbQse.net
>>420
例えば 3 := {2} = {{{{}}}} からは、
{{{{}}}}∋{{{}}}∋{{}}∋{}
と辿ることができるが（∈有限降下列）、
{{…}} からは、
{{…}}∋{{…}}∋…
と、有限回で{}へ辿り着くことはない（∈無限降下列）。
正則性公理は∈無限降下列の存在を禁じているので {{…}} はZF上の集合ですらない。
一方
{{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},…}
の任意の元は上記前者タイプなので、∈無限降下列は存在しない。
474:
19/10/15 02:38:43 l79/50AZ.net
>>420
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)
うん、どこにも ω={{…}} になるとは書かれてないねｗ
475:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/10/18 11:47:17 X/c9sPkS.net
グロタンディーク宇宙 U が以下のようなものを含む
”U の各元のすべてのシングルトン”ｗ（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
グロタンディーク宇宙
(抜粋)
グロタンディーク宇宙 U が以下のようなものを含むことが容易に証明される:
・U の各元のすべてのシングルトン。
・U の元によって添え字付られた U の元のすべての族のすべての積。
・U の元によって添え字付られたU の元のすべての族のすべての直和。
・U の元によって添え字付られたU の元のすべての族のすべての共通集合。
・U の2つの元の間のすべての関数。
・濃度が U の元となる U のすべての部分集合。
476:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/10/18 11:50:33 X/c9sPkS.net
”U の各元のすべてのシングルトン”ｗ（＾＾
シングルトンは、無制限
有限ではない(゜ロ゜;
477:１３２人目の素数さん
19/10/18 11:52:26.69 ospgeXvi.net
各元はではない。
各元のです。
478:Mara Papiyas
19/10/18 19:13:34.77 yJv1enDY.net
馬鹿がガロアスレで凹られて帰ってきたｗｗｗ
>>433
＞グロタンディーク宇宙 U が
おまえ、「グロタンディーク宇宙」って言いたいだけちゃうんけ？
※尾野真千子が演じた「カーネーション」の小原糸子を想像して読んでね
あぁぁ、あほくさｗ
479:Mara Papiyas
19/10/18 21:26:25.79 yJv1enDY.net
馬鹿がまたガロアスレ立てたらしいが
散々初歩的な間違いを繰り返したから
まともな奴は書き込まないだろう
480:現代数学の系譜 雑談
19/10/18 21:51:07.72 Zm+yHrIo.net
>>434
追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
グロタンディーク宇宙
(抜粋)
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
グロタンディーク宇宙の2つの簡単な例がある:
・空集合
・すべての遺伝的有限集合 の集合 V_{\omega }}V_\omega 。
他の例は構成がより困難である。
大まかに言うと、これはグロタンディーク宇宙が到達不能基数と同値なためである。
より形式的に言えば、次の2つの公理が同値である:
(U) すべての集合 x に対して、x ∈ U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。
(C) すべての基数 k に対して、k よりも巨大な強到達不能基数 λ が存在する。
任意のグロタンディーク宇宙はある k に対し u(k) の形となる。
これはグロタンディーク宇宙と強到達不能基数の間の別の同値性を与えるものである:
グロタンディーク宇宙 U に対して、|U| は零、 アレフ0、もしくは強到達不能基数のいずれかとなる。
また、k が零、 アレフ0、もしくは強到達不能基数ならば、グロタンディーク宇宙 u(k) が存在する。
さらに、u(|U|) = U かつ |u(k)| = k となる。
強到達不能基数の存在は ZFC からは証明できないため、空集合と Vω 以外の宇宙の存在はどれも ZFC から証明することができない。
481:現代数学の系譜 雑談
19/10/18 21:52:16.53 Zm+yHrIo.net
>>438 文字化け訂正
・すべての遺伝的有限集合 の集合 V_{\omega }}V_\omega 。
↓
・すべての遺伝的有限集合 の集合 Vω 。
482:Asura
19/10/19 07:08:31.13 x16MRUxI.net
グロタンディーク宇宙Uに{{…(無限個)…}}は存在しないよ
483:１３２人目の素数さん
19/10/19 15:25
484::08 ID:EHt0GXrI.net
485:◆y7fKJ8VsjM
19/10/19 16:31:58 x16MRUxI.net
勉強しない奴はネタがなんでも凹られるでしょｗ
486:{}
19/10/20 08:48:09.20 n9MZ9SCV.net
集合論ではもはや弁解の余地がないと観念したのか
ガロアスレで連投しまくってるね
ま、無駄なあがきだがｗｗｗ
487:
19/10/20 10:57:49 XNQw6tig.net
{{…(無限個)…}} が存在し得ないのはあくまで正則性の公理下だからコレを外すなら存在し得るかもしれない。
のでその意味ではユニバースを持ち出す意味はある。
しかしスレ主の主張はaccとdccの不理解から正則性の公理下でも存在し得ると言ってるのでこの話持ち出すのは筋違いないだな。
488:{} ◆y7fKJ8VsjM
19/10/20 11:26:50 n9MZ9SCV.net
>>444
おっしゃる通り、正則性公理を外した集合論なら存在してもかまわない
で、ここの馬鹿は「終わりがあればいいんだよ！」とか
いってるだけなので全然見当違い
馬鹿は考えずに直感したことを吠え続けるだけなので
いつまでたっても誤りに気づけない
489:１３２人目の素数さん
19/10/20 11:50:26.10 bfKlPWyu.net
X={{…}} を見て、X={X} が分からないってかなりヤバいと思う
490:現代数学の系譜 雑談
19/10/21 22:18:01.95 P3acsak1.net
>>446
コンピュータ言語の記法やね
「a=a+１」
いわゆる、再帰的な式な（＾＾
プログラミングが義務教育に入ったらしいね
（数学記法では、”a=a+１”はありえないだろうけどね）
URLﾘﾝｸ(ratan.dyndns.info)
C言語 forを使った繰り返し条件(ループ)
サンプル
変数【 a 】に整数『１』を代入し、【 a<=１０ 】で『１０』以下なら繰り返し【 a=a+１ 】で変数『a』に『１』を加え、そのつど『こんにちわ』を表示する。と言う繰り返し条件（ループ）です。
for(a=1; a<=10; a=a+1){
print("こんにちわ\n");
}
491:現代数学の系譜 雑談
19/10/21 22:24:07.99 P3acsak1.net
”The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo?Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals. ”
なので、”beyond the usual axioms of Zermelo?Fraenkel set theory”で、ZFを含んでいるでしょ（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
グロタンディーク宇宙
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Grothendieck universe
(抜粋)
The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo?Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.
492:１３２人目の素数さん
19/10/21 22:43:12.98 trztql4C.net
だからそもそも文章読み間違ってるって。
Uの各元はシングルトンではなく、Uの各元のシングルトンはUの元だよ？
考えもせずにシングルトンって言う単語だけに反応してるから意味が取れないんだよ。
493:{}
19/10/21 22:58:17.59 fwDtM7dP.net
>>449
1はだいたい粗雑なんだよ
Ｇスレでもまさかの巡回置換記法誤解が露見したしｗ
こんなヤツが阪大卒とか絶対嘘だろｗｗｗ
494:１３２人目の素数さん
19/10/21 23:17:18.71 55/7dvj1.net
>>447
なにをトンチンカンなこと言ってるのやらｗ
プログラミング言語の"="は、左辺の変数に右辺の値を代入するという指示であり、数学の"="とは全く別物ｗ
頭に蛆でも湧いてんのか？ｗ
495:現代数学の系譜 雑談
19/10/22 00:28:15.22 u309yKT7.net
>>449
>Uの各元はシングルトンではなく、Uの各元のシングルトンはUの元だよ？
?？
・空集合から出発して、φ＝{}→{φ}→{{φ}}→{{{φ}}}→・・・
・可算無限から出発して、N→{N}→{{N}}→{{{N}}}→・・・
・連続無限から出発して、R→{R}→{{R}}→{{{R}}}→・・・
ケーキを食べ尽くすことはできないから、
上記のシングルトンは有限に留まるですかね？（＾＾
なんか、聞いたセリフだなｗ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
グロタンディーク宇宙
(抜粋)
・U の各元のすべてのシングルトン。
496:１３２人目の素数さん
19/10/22 00:56:52 81NNHuB4.net
ホントにわかってないな？
Uの各元のシングルトンはまたUの元だよ？
Uにはシングルトンでない元も山ほど入ってるんだよ？
君が今存在してるって言ってるΩは
Ω∋x1∋x2‥∋xnとだどって行っていつまでもシングルトンしか出てこないものでしょ？
Uにはシングルトンでも何でもないものもいっぱいはいってるし、そもそもU自体シングルトンじゃないでしょ？
別スレ見ててもわかるけどとても他人と数学議論ができるレベルにないよ。
497:{}
19/10/22 07:36:14.63 DEgJ0Qgt.net
>>453
ああ、この馬鹿はとことん勉強嫌いだから
数学科の学生ならみな知ってる基本知識すらない
だから↓こんな馬鹿なことを平気で書いて恥ずる色もないｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:104番)
>例えば、コーシーの２行に書く記法で
>巡回置換(2354)なら
>(1,2,3,4,5)
>(1,3,4,5,2)
>って話で
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:111番)
>>巡回置換表示で(2354)と書いたら
>> ２→３→５→４→２
>>の意味だろが
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:119番)
>That's right！
>その通りでした（＾＾；
>いいつっこみだ
498:現代数学の系譜 雑談
19/10/22 09:06:44.58 u309yKT7.net
>>454
ぼくちゃん、話題そらしに必死ｗ（＾＾
499:{}
19/10/22 09:15:59.56 DEgJ0Qgt.net
>>455
1の坊やが何ほざいてんだ？ｗ
{{…(無限個)…}}なんて、正則性公理と矛盾するんだよ
無限降下列が存在するからなｗ
ツェルメロの構成法での「ω」はシングルトンじゃなく
{{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},…}
だな。これなら無限降下列は存在しない
どの要素をとっても有限回で{}に行きつくから
500:現代数学の系譜 雑談
19/10/22 09:28:24.35 u309yKT7.net
>>453
ホントにわかってないな
（>>452）
・空集合から出発して、φ＝{}→{φ}→{{φ}}→{{{φ}}}→・・・
・可算無限から出発して、N→{N}→{{N}}→{{{N}}}→・・・
・連続無限から出発して、R→{R}→{{R}}→{{{R}}}→・・・
のように、ある元から、シングルトンの生成を繰返して、無限の上昇列を構成することは可能だ
だが、このような、無限上昇列は、正則性公理では禁止されていない
当然、このような上昇列を逆に辿る無限降下列は、（最小元が存在するため）禁止されていないので、存在しうる
禁止されているのは、空集合以外で、「∈ に関して極小となる元 z ∈ x がない」集合（坪井）だ
禁止されているのは、”無限下降列である x∋x_1∋x_2∋...”（wikipedia）のように、底なしの無限下降列ですよ（必ず「 x∋x_1∋x_2∋...」と、底なしを示す添え書きがあるよ）
参考
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理論理学II 坪井 明人 筑波大学
(抜粋)
1.1.10 基礎の公理（正則性公理） . . . . . . . . . . . . . . . . 9
空でない集合 x には ∈ に関して極小となる元 z ∈ x があること，を直観的には
意味している．基礎の公理は，それがなくても数学が展開できるので，ある意
味で技術的な公理である．しかし，基礎の公理を仮定した方が議論が展開しや
すくなるので，通常は集合論の公理として加える．
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理
(抜粋)
・∀xについて、無限下降列である x∋x_1∋x_2∋...
501:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:30:53.38 2aqzX71c.net
だから存在し得ると言うのと存在するのはべつなんだよ？
存在しない事が証明できるものは存在しないんだよ？
存在しない事の証明与えてるでしょ？
君証明読めないの？
502:{}
19/10/22 09:39:20.11 DEgJ0Qgt.net
>>457
＞・空集合から出発して、φ＝{}→{φ}→{{φ}}→{{{φ}}}→・・・
＞当然、このような上昇列を逆に辿る無限降下列は、・・・
馬鹿に質問
503:だｗ どこから逆に辿れば無限降下列になるんだ どの集合も{}から有限ステップで到達するぞ どこから逆に辿っても有限ステップで{}に戻る 「無限上昇列を逆に辿る」といくら口でいっても 肝心の出発点がとれなきゃ無意味ｗ さすが 「ペアノの公理から自然数∞の存在が導ける！」 と豪語した馬鹿だけのことはあるｗ
504:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:44:48.63 gclLY16S.net
>>457
どこがわからないかわからないと堂々巡りになるから確認。
仮定はZFC。
主張1)
∀X ∃Y s.t.
∀a seq. (a1∋a2∋‥∋an, a1=X)⇔an∈Y
外延性の公理からYは存在すれば一意なのでコレをF(X)と書く。
主張2)は諦めて
主張3)
∀x∈F(X) x are singleton ⇒ rank(X) <∞
どれがわからん、知らん、納得いかない？
505:１３２人目の素数さん
19/10/22 11:00:49.36 3X6qtZsf.net
>>460
主張1)の訂正。
∀X ∃Y s.t.
∀x(∃a seq. s.t. a1∋a2∋‥∋an, a1=X,n=x)⇔x∈Y
もしかして数列の定義がダメなん？
s:sequence :⇔ ∃x s.t.
(x∈ω ∨ x=ω) ∧ (t∈s⇔∃! n∈x ∃y s.t. t=<n,y>)
論理式、数式が出てくると途端にレスしなくなるけど、レスすると完全に間違いが確定して "負け" につながる恐れがあるからレスしないの？
それともホントにわかんないの？
506:１３２人目の素数さん
19/10/22 11:33:10.48 nYvyjN1O.net
あ、∃！の位置間違えたけどわかるよね？
あとtの束縛忘れてるけどわかるよね？
要は{0,1,2,‥n-1} または ω 全体を定義域とする関数。
"関数である" の論理式に定義域を限定するための論理式を追加してるだけ。
507:{}
19/10/22 12:30:50.40 DEgJ0Qgt.net
>>461
＞論理式、数式が出てくると途端にレスしなくなるけど、
＞・・・ホントにわかんないの？
1はマジで論理式読めないんじゃね？
工学部じゃ一生目にすることないからｗ
巡回置換記法すら誤解する馬鹿だからな
あれは恐れ入った
508:１３２人目の素数さん
19/10/22 15:56:11.71 CwCP0Vgx.net
>>455
間違いを誤魔化そうと必死なのおまえじゃんｗ
509:１３２人目の素数さん
19/10/22 16:00:20.78 CwCP0Vgx.net
>>457
>当然、このような上昇列を逆に辿る無限降下列は、（最小元が存在するため）禁止されていないので、存在しうる
じゃあ存在を証明してみ？
ωの”一つ前”が存在しないのにどうやって逆に辿るのか示してもらいましょ？
510:１３２人目の素数さん
19/10/22 16:01:52.38 nYvyjN1O.net
ガロア理論勉強するだけなら一応論理式知らないでも勉強できなくはない。
一応数学の論文や教科書は論理式ではなく素の日本語、英語で書くのが原則だから。
でも理学部数学科の教程の中にほぼ例外なく論理式の理解が入ってくるのは、やはりコレガキチンと分かってる人間とそうでない人間では理解の正確さが段違いに変わってくるからだからなぁ。
ましてや集合論になったら論理式がキチンと理解できるのはほぼ必須と言っていいし。
正直論理式読めない状態で数学の勉強するって何考えてんのとしか思えないんだけど。
511:{}
19/10/22 16:21:30.87 DEgJ0Qgt.net
>>466
>＊＊理論勉強するだけなら一応論理式知らないでも勉強できなくはない。
>一応数学の論文や教科書は論理式ではなく
>素の日本語、英語で書くのが原則だから。
そこは否定しないよ、というかできないよｗ
ただバックグラウンドには論理があるからね
例えば
「任意の○○に対してある●●が存在し性質Pを満たす」
といえば
「∀ｘ∈○○∃ｙ∈●●．Ｐ（ｙ）」
のことだなと思うほうが都合がいいｗ
>集合論になったら論理式がキチンと理解できるのはほぼ必須と言っていい
>正直論理式読めない状態で数学の勉強するって何考えてんのとしか思えない
百歩譲って論理式が読めなくてもいいとしても
巡回置換記法を知らずして対称群を語るとかあり得ねぇｗｗｗ
512:１３２人目の素数さん
19/10/22 17:21:08.95 nYvyjN1O.net
数学科では早い
513:トコでは一回生の土頭から論理式読む練習するしな。 というかオレのいた大学では工学部でも土頭で論理式の読み方やってたハズなんだけどな。 理学部数学科のある大学なら大概般教の数学の授業は数学科の教官担当してるし、一応イプシロンデルタは絶対やるからな。 大学の授業寝てたんかな？
514:{}
19/10/22 18:15:25.95 DEgJ0Qgt.net
>>468
論理式の読み方なんて、英語に比べたら全然簡単だけどな
ただ初心者は∃x∀yと∀y∃xの違いが分からんでつまづいたりする
そういうのは必要なつまづきなので、避けて通ると1みたいな馬鹿になるｗ
＞大学の授業寝てたんかな？
正直数学興味ないんだろ
単にマウンティングのツールとして
ガロアとかグロタンディクとかいってるだけ
もっとも全然分かってないから只痛々しいだけ
おそらく現状は完全な窓際族なんだろう
職場から５ｃｈに書き込みしても全然怒られないとか
完全に見放されてる証拠ｗ
515:{}
19/10/25 19:40:15.65 QMdkwxsn.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:627番)
>{1,2},{3,4}は{{1,2},{3,4}}の部分集合であって元ではない
誤り
{1,2},{3,4}は{1,2,3,4}の部分集合であるが{{1,2},{3,4}}の部分集合ではない
この点については安達はGスレ1と同レベルの馬鹿
516:現代数学の系譜 雑談
19/10/27 20:15:07.03 EUeYkluT.net
これ、なかなか面白いわ（＾＾
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
MathOverflow
Where did Zermelo first model the natural numbers by iterates of the singleton operator, and have the definitions been compared by himself? asked Jun 29 '17 at 15:32 Peter Heinig
517:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/10/27 20:54:28 EUeYkluT.net
ほいよ
URLﾘﾝｸ(scholarpublishing.org)
Services for Science and Education Ltd
URLﾘﾝｸ(scholarpublishing.org)
Satoko Titani
Global Set Theory
Society for Science and Education (United Kingdom)
Dedicated to Professor Gaisi Takeuti (1925 ? 2017)
Contents
1 Basic set theory 11
1.1 Naive set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Formal system of set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Gentzen’s formal system of logic . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Inference rules of LK and LJ . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3 Axioms of set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Construction of mathematics in ZFC . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Definition of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 Ordered pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.3 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.4 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.5 Equivalence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.6 Natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.7 Operations on the natural numbers . . . . . . . . . . . 32
1.3.8 Ordinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.9 Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.10 Rational number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.11 Real number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.12 Complex number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.13 Universe of ZFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
518:現代数学の系譜 雑談
19/10/27 23:44:36.69 EUeYkluT.net
>>472 補足
URLﾘﾝｸ(scholarpublishing.org)
Services for Science and Education Ltd
Global Set Theory
Satoko Titani
Professor Emeritus of Chubu University, Japan.
Our reasoning is based on dichotomous logic. That is, we are naturally convinced that a statement is either true or false exclusively. We accept the dichotomy as axiom.
The dichotomous logic is a language of mathematics in which science is described. Set theory, which is the base of mathematics, is formulated into a formal system of a logic with set theoretical axioms. A logic provided with globalization or basic implication is called a global logic.
A set theory based on the global logic is called a global set theory. Global set theory comprehends the meta-theory of set theory.
By introducing the globalization into a set theory, we can express the truth value set and also express the universe of the set theory in the set theory. That is, global set theory is nested in the global set theory.
It follows that we can prove the completeness of global set theories such as lattice valued set theory and quantum set theory.
Logical science is founded on the base of global classical logic. Each classical statement is either true or false, and these outcomes are mutually exclusive. Thereby, the global classical theory determines true-or-false definitely.
The logical science gives us very fruitful information, even though it covers only a bounded aspect of nature that falls within the realm of logic. We see that our logic is not absolute and is in fact determined by the establishment of a truth value set, which depends on object world.
Nature in its entirety is far beyond the scope of logic. Therefore, logical science is unable to describe the entire natural universe, in the same way as a net is unable to scoop up everything in its path.
DOI: 10.14738/tnc.092018.1
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519:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/10/27 23:52:26 EUeYkluT.net
>>473 補足の補足
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
研究者氏名
千谷 慧子
チタニ サトコ
所属
旧所属 中部大学 工学部 理学教室
職名
教授
学位
理学博士(東京大学), 理学修士
学歴
テキストで表示
- 1965年
東京大学 数物系研究科 数学
- 1957年
東京大学 理学部 数学科
URLﾘﾝｸ(link.springer.com)
International Journal of Theoretical Physics
November 2003, Volume 42, Issue 11, pp 2575?2602| Cite as
Quantum Set Theory
Authors and affiliations
Satoko TitaniHaruhiko Kozawa
Springer Nature Switzerland AG
520:１３２人目の素数さん
19/10/31 14:51:48.52 hCUXuggb.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
521:現代数学の系譜 雑談
19/11/26 07:52:14.65 oYs7jyeH.net
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79 より
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:169番)-
169 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/11/26(火) 00:26:15.90 ID:oYs7jyeH [3/5]
(抜粋)
シングルトンの可算多重カッコ（ {{{・・・{{{ }}}・・・}}} ←{ }が多重になったもの)
が理解できない落ちこぼれさんたち多数居たなｗｗ（＾＾；
(引用終り)
英文法では、数と序数詞が区別されるんだ
日本語では、助数詞で「‐番目」「-回目」「-人目」「‐位（順位）」を使うだよね
で�
522:A本題だが 数 ：1 ,2 ,3 ,4 ,・・・,n ,・・・∞ 順序数 ：1st,2nd ,3rd ,4th ,・・・,nth ,・・・ω （１対１対応） ↓↑ ｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ：{} ,{{}} ,{{{}}} ,{{{{}}}} ,・・・,{・・{}・・}n ,・・・{・・{}・・}∞ （注：{・・{}・・}nは、カッコ{}がn重、{・・{}・・}∞は、同∞重のｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ） ちゃんと、可算の範囲で、全部対応が付きますがなｗ（＾＾； https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8F%E6%95%B0%E8%A9%9E 序数詞 (抜粋) 序数詞（じょすうし）、順序数詞（じゅんじょすうし）とは物事の順序・順番（序数）を表す数詞である。これに対し、物事の数量を表す数詞は基数詞と呼ばれる。 同音の助数詞との混同に注意。 欧州の言語において序数詞は、日付（日）や世紀、分数の分母、また1世、2世、3世…といった同名の人物の世代数などにも用いられる。 2.3 序数詞の発達していない言語 2.3.1 中国語 2.3.2 日本語 2.3.3 朝鮮語 日本語 日本語は単独の序数詞を持たず、「‐番目」「-回目」「-人目」「‐位（順位）」といった接尾辞や、「第‐」といった接頭辞を付けて順番・順序などの序数を表現する。 つづく
523:現代数学の系譜 雑談
19/11/26 07:53:09.46 oYs7jyeH.net
>>476
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
助数詞（じょすうし）は、数を表す語の後ろに付けてどのような事物の数量であるかを表す語要素である。数詞を作る接尾辞の一群。類別詞の一種である。
日本語のほか、中国語・韓国語など東アジア・東南アジアの多くの言語、またアメリカ大陸先住民の言語などにある。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序数
(抜粋)
順序数（じゅんじょすう、英: ordinal number）とは、整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。
だがそれで終わりではない。無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
(引用終り)
以上
524:現代数学の系譜 雑談
19/11/26 08:10:27.12 oYs7jyeH.net
>>476 補足
＞ｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ：{} ,{{}} ,{{{}}} ,{{{{}}}} ,・・・,{・・{}・・}n ,・・・{・・{}・・}∞
１対１対応なので
ｼﾝｸﾞﾙﾄﾝの可算列が、正則性公理に反するならば、順序数も数も正則性公理に反するｗ（＾＾
525:現代数学の系譜 雑談
19/11/26 10:58:08.19 0n45lsJu.net
>>476 訂正
ｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ：{} ,{{}} ,{{{}}} ,{{{{}}}} ,・・・,{・・{}・・}n ,・・・{・・{}・・}∞
↓
ｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ：{} ,{{}} ,{{{}}} ,{{{{}}}} ,・・・,{・・{}・・}n ,・・・{・・{}・・}ω
（注：{・・{}・・}nは、カッコ{}がn重、{・・{}・・}∞は、同∞重のｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ）
↓
（注：{・・{}・・}nは、カッコ{}がn重、{・・{}・・}∞は、同ω重のｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ）
こっちの方が適切かもな（＾＾；
526:現代数学の系譜 雑談
19/11/26 10:59:25.06 0n45lsJu.net
>>479 追加訂正
（注：{・・{}・・}nは、カッコ{}がn重、{・・{}・・}∞は、同∞重のｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ）
↓
（注：{・・{}・・}nは、カッコ{}がn重、{・・{}・・}ωは、同ω重のｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ）
527:１３２人目の素数さん
19/11/26 19:23:58.66 XexXmVbj.net
>>476
>数 ：1 ,2 ,3 ,4 ,・・・,n ,・・・∞
>順序数 ：1st,2nd ,3rd ,4th ,・・・,nth ,・・・ω
>（１対１対応） ↓↑
>ｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ：{} ,{{}} ,{{{}}} ,{{{{}}}} ,・・・,{・・{}・・}n ,・・・,{・・{}・・}∞
>（注：{・・{}・・}nは、カッコ{}がn重、{・・{}・・}∞は、同∞重のｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ）
>ちゃんと、可算の範囲で、全部対応が付きますがなｗ（＾＾；
数、フォン・ノイマンの順序数、ツェルメロの順序数
0,{},{}
1,{{}},{{}}
2,{{},{{}}},{{{}}}
…
∞,ω,Ω
で、Ωははたして、数学白痴◆e.a0E5TtKEのいう
{・・{}・・}∞（∞重のｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ）となるのかｗ
528:１３２人目の素数さん
19/11/26 19:35:45.79 XexXmVbj.net
>>478
>ｼﾝｸﾞﾙﾄﾝの可算列が、正則性公理に反するならば、
>順序数も数も正則性公理に反するｗ（＾＾
飛んで火にいる夏の馬鹿ｗ
フォンノイマンのωは、ωー１というすぐ下の数を持たない
任意の自然数ｎについて、ｎ∈ωであり、
ｎは正則性公理を満たすから、ωも正則性公理を満たす
ω∋ｎ∋・・・∋0は、有限長だからである
一方、馬鹿のいう{・・{}・・}∞は、
いかなる,{・・{}・・}nも要素としてもたない
要素を持つとすれば、それは
{・・{}・・}(∞-1)
に限られる。
で
∞∋∞ー1∋∞ー2∋…
と下がっていった場合、いつまでたっても終わらない
なぜならいかなる自然数ｎについても
∞ーｎは自然数にならないから
（もし、自然数ｍだとしたら、∞はｍ＋ｎという自然数になってしまうからｗ）
もし、ωに対応する形で、ツェルメロのΩを考えるなら、それは
{{},{{}},{{{}}},…}
というすべてのツェルメロ自然数を要素とする無限集合
(シングルトンに非ず！）でなければならない
馬鹿の直感は間違いだらけ
馬鹿の素朴な直感は絶対悪ｗ
529:１３２人目の素数さん
19/11/26 20:36:54.08 mgeF/V4N.net
バカはまさに今「∞∈N」って言ってるんだよ
わからん？ バカだからね
530:１３２人目の素数さん
19/11/26 20:40:45.80 mgeF/V4N.net
集合列 {}, {{}}, {{{}}},… のどの項も有限個のカッコしか無い。
ところがバカは {・・{}・・}∞ という項があると言う。
これがまさに ∞∈N という主張に他ならない。
バカに数学は無理。
531:現代数学の系譜 雑談
19/11/26 21:20:35.78 oYs7jyeH.net
>>481-484
おまえら、あたま腐っているのか？
公理的に禁止や矛盾が生じない限り、数学的には存在しうるぜ
532:１３２人目の素数さん
19/11/26 21:37:34.87 mgeF/V4N.net
>>485
いやだから禁じられてるんだがｗ
正則性公理によってｗ
バカ？ｗ
533:１３２人目の素数さん
19/11/26 22:10:25.87 XexXmVbj.net
>>485
{・・{}・・}∞は正則性公理と矛盾するから
正則性公理の下では存在しない
アタマ腐ってるのは数学白痴の馬鹿◆e.a0E5TtKE
534:１３２人目の素数さん
19/11/26 22:12:48.15 XexXmVbj.net
さすが
{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}
と大ウソつく馬鹿だけのことはある
きっと馬鹿は
「{・・{}・・}∞は{}も{{}}も{{{}}}も要素とする」
とウソつき続けるんだろう
正真正銘の●違いだな
535:１３２人目の素数さん
19/11/27 00:30:39.75 XbJqzo/6.net
P(∞)=真を唐突とか言ってたが、まさに自分で∞∈Nって言ってるじゃんｗ
無自覚バカｗ
536:１３２人目の素数さん
19/11/27 06:12:07.53 a+X14gpa.net
もう◆e.a0E5TtKEは数学板で書かないほうがいいな
口を開けば間違いだらけのウソばかり
537:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/11/27 20:58:14 qnEhNItW.net
>>485
どこかで読んだのだが、厳密性とは、所詮その時代の水準のものでしかないとか言われていた
昔（20世紀前半）は、一階述語論理が重視されたが
20世紀後半からは、一階述語論理偏重を見直す動きがある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有限集合
(抜粋)
基礎付け問題
無限集合を擁護する数学者にとっても、ある重要な文脈では、有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。
これはゲーデルの不完全性定理に端を発している。遺伝的有限集合はペアノ算術で解釈でき（逆もまた同様）、従ってペアノの理論体系の不完全性は遺伝的有限集合の理論にも存在することが暗に示されている。
特に、どちらの理論にもいわゆる非標準モデルの過剰
538:が存在する。見かけ上のパラドックスとして、遺伝的有限集合の非標準モデルは無限集合を含んでいるが、それら無限集合はそのモデル内では有限に見える（これは、それら集合の無限性を証明するのに必要な集合や関数をモデルが持たない場合に生じる）。 不完全性定理があるため、一階述語論理やその再帰的適用では、そのようなモデルすべての標準部分を特徴付けることができない。 従って、一階述語論理の観点からは、有限性をおおよそ特徴付けることしか望めない。 興味深いことに、ZFCにおいて有限集合を集合全般から区別する様々な特性は、より弱い体系であるZFや直観主義的集合論の場合とは論理的に等価ではないことが判っている。 よく知られている有限性の定義として、リヒャルト・デーデキントの定義とカジミェシュ・クラトフスキの定義がある。 つづく
539:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/11/27 20:59:01 qnEhNItW.net
>>491
つづき
単射だが全射ではない関数 f: S → S が存在するとき、集合 S をデデキント無限集合と呼ぶ。そのような関数は S と S の真部分集合（f の像）との間の全単射を表している。
デデキント無限集合 S の元 x が f の像に属さないとき、x, f(x), f(f(x)), ... のようにして S の異なる元の無限の列を得ることができる。逆に S の元の列 x1, x2, x3, ... があるとき、この列上の元に対しては {\displaystyle f(x_{i})=x_{i+1}}f(x_{i})=x_{{i+1}} となり、それ以外の元については恒等関数として振舞う関数 f を定義できる。
従って、デデキント無限集合には自然数と全単射的に対応する部分集合が含まれる。デデキント有限集合とは、全ての単射自己写像が全射でもある場合を指す。
クラトフスキの有限性の定義は次の通りである。任意の集合 S について、和集合の二項演算は冪集合 P(S) に半束構造を与える。
空集合と単集合から生成した半束を K(S) と記し、S が K(S) に属する場合、S をクラトフスキ有限集合と呼ぶ。直観的に K(S) には S の有限な部分集合が含まれる。
重要なのは、この定義では自然数による帰納も再帰も必要とせず、K(S) は単に空集合と単集合を含む全ての半束構造の積集合として得られる点である。
ZFでは、クラトフスキ有限はデデキント有限を包含するが、逆は真ではない。
つづく
540:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/11/27 21:00:00 qnEhNItW.net
>>492
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一階述語論理
(抜粋)
一階述語論理に関する定理
以下、健全性定理と完全性定理以外の重要な定理を列挙する。
2.レーヴェンハイム・スコーレムの定理 ： κ を無限基数とする。論理式全体の集合の濃度が κ であるような一階の言語における文の集合がモデルを持つなら、それは濃度 κ 以下のモデルも持つ。
他の論理との比較
・無限論理は無限に長い文を許す。例えば無限個の論理式の連言や選言が許されたり、無限個の変項を量化できたりする。
こうした論理の多くは、一階述語論理の何らかの拡張と言える。これらは、一階述語論理の論理演算子と量化子を全て含んでいて、それらの意味も同じである。
リンドストレムは、一階述語論理の拡張には、レーヴェンハイム・スコーレムの下降定理とコンパクト性定理の両方を満足するものが存在しないことを示した。
この定理の内容を精確に述べるには、論理が満たしていなければならない条件を数ページにわたって列挙する必要がある。
例えば、言語の記号を変更しても各文の真偽が基本的に変わらないようになっていなければならない。
一階述語論理のいくぶんエキゾチックな等価物には、次のものがある。
順序対構成をもつ一階述語論理は、特別な関係として順序対の射影を持つ関係代数（これはタルスキと Givant
541: によって構築された）と精確に等価である。 つづく
542:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/11/27 21:00:46 qnEhNItW.net
>>493
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
例と帰結
自然数を N、実数を R とする。この定理によれば、(N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、(R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。
もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。レーヴェンハイム?スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。
例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。
つづく
543:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/11/27 21:01:27 qnEhNItW.net
>>494
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無限論理
(抜粋)
数理論理学または順序数の概念に詳しくない者はまずそちらの記事を参考にすることが推奨される。
無限論理 (むげんろんり、英: infinitary logic) は、無限に長い言明および／または無限に長い証明を許す論理である。
目次
1 概要
2 表記法に関する語および選択公理
3 ヒルベルト型無限論理の定義
4 完全性、コンパクト性、そして強い完全性
概要
いくつかの無限論理は標準的な一階述語論理とは異なる性質を持つ。特に、無限論理はコンパクト性や完全性を満たさないことが多い。
コンパクト性や完全性の概念は、有限論理においては等価であることもあるが、無限論理においてはそうではない。無限論理においては強いコンパクト性や強い完全性の概念が定義される。
この記事では、ヒルベルト型無限論理について主に述べる。
この型はかなり研究されてきており、有限論理の最も直接的な拡張を構成している。しかしながら、これらは形式化されているまたは研究対象となっている唯一の無限論理ではない。
表記法に関する語および選択公理
選択公理は（無限論理が議論されたときによくなされるのだが）実用的な分配性法則を持つために必須であるとして仮定される。
(引用終り)
以上
544:１３２人目の素数さん
19/11/27 21:05:59 a+X14gpa.net
馬鹿◆e.a0E5TtKEが発●中
545:１３２人目の素数さん
19/11/27 21:07:03.39 a+X14gpa.net
◆e.a0E5TtKEが数学の初歩から間違う
正真正銘の白痴であることは
今や数学板の読者全員が承知している
546:１３２人目の素数さん
19/11/27 21:09:29.27 a+X14gpa.net
◆e.a0E5TtKEの発言は数学的に誤りであるから
◆e.a0E5TtKEは完全な数学板荒らしである
547:１３２人目の素数さん
19/11/27 21:10:17.84 a+X14gpa.net
R.I.P ◆e.a0E5TtKE
548:１３２人目の素数さん
19/11/27 21:11:28.68 a+X14gpa.net
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
549:現代数学の系譜 雑談
19/11/27 21:17:52.61 qnEhNItW.net
>>491 補足
すでに、このスレの>>91に示したように、
天才Zermeloが、シングルトンによる自然数の構成を与えた（1908年）
（”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.”）
そして、確かに、Zermeloの構成は批判され、その後ノイマン構成が採用された
だが、天才Zermeloのシングルトンによる自然数の構成が決して間違っていた訳では無い
無数の超準モデルの1つだよ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
そのことに無知な、落ちこぼれたちｗｗ（＾＾；
（>>91より再録）
URLﾘﾝｸ(plato.stanford.edu)
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Zermelo’s Axiomatization of Set Theory
First published Tue Jul 2, 2013
(抜粋)
3.2.1 Representing Ordinary Mathematics
The first obvious question concerns the representation of the ordinary number systems.
The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.
つづく
550:現代数学の系譜 雑談
19/11/27 21:18:14.05 qnEhNItW.net
>>501
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
(抜粋)
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
(抜粋)
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。また、0 := {{}}, suc(a) := a ∪ {a} と定義したならば、
0 := {{}}
1 := {{}, 0} = {{}, {{}}}
2 := {{}, 0, 1} = {{}, {{}}, {{},{{}}} }
3 := {{}, 0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{},{{}}}, {{},{{}},{{},{{}}}} }
のような多少複雑な自然数になる。
(引用終り)
以上
551:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/11/27 22:01:11 qnEhNItW.net
>>491 補足
(引用開始)
無限集合を擁護する数学者にとっても、ある重要な文脈では、有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。
これはゲーデルの不完全性定理に端を発している。
遺伝的有限集合はペアノ算術で解釈でき（逆もまた同様）、従ってペアノの理論体系の不完全性は遺伝的有限集合の理論にも存在することが暗に示されている。
特に、どちらの理論にもいわゆる非標準モデルの過剰が存在する。
見かけ上のパラドックスとして、遺伝的有限集合の非標準モデルは無限集合を含んでいるが、
それら無限集合はそのモデル内では有限に見える（これは、それら集合の無限性を証明するのに必要な集合や関数をモデルが持たない場合に生じる）。
不完全性定理があるため、一階述語論理やその再帰的適用では、そのようなモデルすべての標準部分を特徴付けることができない。
従って、一階述語論理の観点からは、有限性をおおよそ特徴付けることしか望めない。
(引用終り)
てこと
一階述語論理か
それ以上の高階述語論理なのかに無自覚ならば
所詮、有限と無限とをきちんと区別できない
それを知らずに議論するあわれな落ちこぼれたち
あわれな”なんとかさん”と同類じゃね！？ｗ（＾＾；
552:現代数学の系譜 雑談
19/11/27 22:09:56.09 qnEhNItW.net
>>491
＞基礎付け問題
これは、下記が、元記事だな（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Finite set
(抜粋)
Contents
1 Definition and terminology
2 Basic properties
3 Necessary and sufficient conditions for finiteness
4 Foundational issues
5 Set-theoretic definitions of finiteness
5.1 Other concepts of finiteness
Foundational issues
Georg Cantor initiated his theory of sets in order to provide a mathematical treatment of infinite sets. Thus the distinction between the finite and the infinite lies at the core of set theory.
Certain foundationalists, the strict finitists, reject the existence of infinite sets and thus recommend a mathematics based solely on finite sets.
Mainstream mathematicians consider strict finitism too confining, but acknowledge its relative consistency: the universe of hereditarily finite sets constitutes a model of Zermelo?Fraenkel set theory with the axiom of infinity replaced by its negation.
Even for those mathematicians who embrace infinite sets, in certain important contexts, the formal distinction between the finite and the infinite can remain a delicate matter.
The difficulty stems from Godel's incompleteness theorems. One can interpret the theory of hereditarily finite sets within Peano arithmetic (and certainly also vice versa), so the incompleteness of the theory of Peano arithmetic implies that of the theory of hereditarily finite sets.
In particular, there exists a plethora of so-called non-standard models of both theories. A seeming paradox is that there are non-standard models of the theory of hereditarily finite sets which contain infinite sets, but these infinite sets look finite from within the model.
つづく
553:現代数学の系譜 雑談
19/11/27 22:11:18.53 qnEhNItW.net
>>504
つづき
(This can happen when the model lacks the sets or functions necessary to witness the infinitude of these sets.)
On account of the incompleteness theorems, no first-order predicate, nor even any recursive scheme of first-order predicate
554:s, can characterize the standard part of all such models. So, at least from the point of view of first-order logic, one can only hope to describe finiteness approximately. More generally, informal notions like set, and particularly finite set, may receive interpretations across a range of formal systems varying in their axiomatics and logical apparatus. The best known axiomatic set theories include Zermelo-Fraenkel set theory (ZF), Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice (ZFC), Von Neumann?Bernays?Godel set theory (NBG), Non-well-founded set theory, Bertrand Russell's Type theory and all the theories of their various models. One may also choose among classical first-order logic, various higher-order logics and intuitionistic logic. A formalist might see the meaning[citation needed] of set varying from system to system. Some kinds of Platonists might view particular formal systems as approximating an underlying reality. Set-theoretic definitions of finiteness In contexts where the notion of natural number sits logically prior to any notion of set, one can define a set S as finite if S admits a bijection to some set of natural numbers of the form {\displaystyle \{x\,|\,x<n\}}{\displaystyle \{x\,|\,x<n\}}. Mathematicians more typically choose to ground notions of number in set theory, for example they might model natural numbers by the order types of finite well-ordered sets. Such an approach requires a structural definition of finiteness that does not depend on natural numbers. つづく
555:現代数学の系譜 雑談
19/11/27 22:12:50.56 qnEhNItW.net
>>505
つづき
Various properties that single out the finite sets among all sets in the theory ZFC turn out logically inequivalent in weaker systems such as ZF or intuitionistic set theories. Two definitions feature prominently in the literature, one due to Richard Dedekind, the other to Kazimierz Kuratowski. (Kuratowski's is the definition used above.)
A set S is called Dedekind infinite if there exists an injective, non-surjective function {\displaystyle f:S\rightarrow S}f:S\rightarrow S.
Such a function exhibits a bijection between S and a proper subset of S, namely the image of f. Given a Dedekind infinite set S, a function f, and an element x that is not in the image of f, we can form an infinite sequence of distinct elements of S, namely {\displaystyle x,f(x),f(f(x)),...}x,f(x),f(f(x)),....
Conversely, given a sequence in S consisting of distinct elements {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},...}x_{1},x_{2},x_{3},..., we can define a function f such that on elements in the sequence {\displaystyle f(x_{i})=x_{i+1}}{\displaystyle f(x_{i})=x_{i+1}} and f behaves like the identity function otherwise.
Thus Dedekind infinite sets contain subsets that correspond bijectively with the natural numbers. Dedekind finite naturally means that every injective self-map is also surjective.
Kuratowski finiteness is defined as follows. Given any set S, the binary operation of union endows the powerset P(S) with the structure of a semilattice. Writing K(S) for the sub-semilattice generated by the empty set and the singletons, call set S
Kuratowski finite if S itself belongs to K(S).[8] Intuitively, K(S) consists of the finite subsets of S.
Crucially, one does not need induction, recursion or a definition of natural numbers to define generated by since one may obtain K(S) simply by taking the intersection of all sub-semilattices containing the empty set and the singletons.
つづく
556:現代数学の系譜 雑談
19/11/27 22:13:33.06 qnEhNItW.net
>>506
つづき
Readers unfamiliar with semilattices and other notions of abstract algebra may prefer an entire
557:ly elementary formulation. Kuratowski finite means S lies in the set K(S), constructed as follows. Write M for the set of all subsets X of P(S) such that: ・X contains the empty set; ・For every set T in P(S), if X contains T then X also contains the union of T with any singleton. Then K(S) may be defined as the intersection of M. In ZF, Kuratowski finite implies Dedekind finite, but not vice versa. In the parlance of a popular pedagogical formulation, when the axiom of choice fails badly, one may have an infinite family of socks with no way to choose one sock from more than finitely many of the pairs. That would make the set of such socks Dedekind finite: there can be no infinite sequence of socks, because such a sequence would allow a choice of one sock for infinitely many pairs by choosing the first sock in the sequence. However, Kuratowski finiteness would fail for the same set of socks. (引用終り) 以上
558:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 00:22:27.05 QdpmOFrx.net
>>504 追加
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Finite set
(抜粋)
Necessary and sufficient conditions for finiteness
In Zermelo?Fraenkel set theory without the axiom of choice (ZF), the following conditions are all equivalent:[citation needed]
2.(Kazimierz Kuratowski) S has all properties which can be proved by mathematical induction beginning with the empty set and adding one new element at a time. (See below for the set-theoretical formulation of Kuratowski finiteness.)
Set-theoretic definitions of finiteness
Various properties that single out the finite sets among all sets in the theory ZFC turn out logically inequivalent in weaker systems such as ZF or intuitionistic set theories.
Two definitions feature prominently in the literature, one due to Richard Dedekind, the other to Kazimierz Kuratowski. (Kuratowski's is the definition used above.)
つづく
559:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 00:24:40.66 QdpmOFrx.net
>>508
つづき
Kuratowski finiteness is defined as follows. Given any set S, the binary operation of union endows the powerset P(S) with the structure of a semilattice.
Writing K(S) for the sub-semilattice generated by the empty set and the singletons, call set S Kuratowski finite if S itself belongs to K(S).[8] Intuitively,
K(S) consists of the finite subsets of S. Crucially, one does not need induction, recursion or a definition of natural numbers to define generated by since one may obtain K(S) simply by taking the intersection of all sub-semilattices containing the empty set and the singletons.
Readers unfamiliar with semilattices and other notions of abstract algebra may prefer an entirely elementary formulation.
Kuratowski finite means S lies in the set K(S), constructed as follows. Write M for the set of all subsets X of P(S) such that:
X contains the empty set;
For every set T in P(S), if X contains T then X also contains the union of T with any singleton.
Then K(S) may be defined as the intersection of M.
In ZF, Kuratowski finite implies Dedekind finite, but not vice versa.
In the parlance of a popular pedagogical formulation, when the axiom of choice fails badly, one may have an infinite family of socks with no way to choose one sock from more than finitely many of the pairs.
That would make the set of such socks Dedekind finite: there can be no infinite sequence of socks, because such a sequence would allow a choice of one sock for infinitely many pairs by choosing the first sock in the sequence.
However, Kuratowski finiteness would fail for the same set of socks.
560:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 00:30:28.71 QdpmOFrx.net
>>508-509
＞ 2.(Kazimierz Kuratowski) S has all properties which can be proved by mathematical induction beginning with the empty set and adding one new element at a time. (See below for the set-theoretical formulation of Kuratowski finiteness.)
＞Kuratowski finite means S lies in the set K(S), constructed as follows. Write M for the set of all subsets X of P(S) such that:
＞X contains the empty set;
＞For every set T in P(S), if X contains T then X also contains the union of T with any singleton.
＞Then K(S) may be defined as the intersection of M.
なるほど
”Kuratowski finiteness”の定義では、
CやRやQやNのシングルトン
{C}や{R}や{Q}や{N} 達は
有限集合にはならんな！
思った通りだったな！ｗｗ（＾＾；
561:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 00:37:22.52 QdpmOFrx.net
>>509
>Writing K(S) for the sub-semilattice generated by the empty set and the singletons, call set S Kuratowski finite if S itself belongs to K(S).[8] Intuitively,
>K(S) consists of the finite subsets of S. Crucially, one does not need induction, recursion or a definition of natural numbers to define generated by since one may obtain K(S) simply by taking the intersection of all sub-semilattices containing the empty set and the singletons.
もし、singleton が、ZFCの中で正則性公理により有限に留まらざるを得ないならば、話は単純だが
しかし、そうではないからこそ、Kuratowski先生も苦労して、”Kuratowski finiteness”を定義している
かつ、それでこそ、Kuratowskiの論文の値打ちもあろうというものよｗｗ（＾＾；
562:１３２人目の素数さん
19/11/28 05:57:45.12 rkIRfVWh.net
>>501
>天才Zermeloのシングルトンによる自然数の構成が決して間違っていた訳では無い
>無数の超準モデルの1つだよ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
ｗｗｗｗｗｗｗ
こいつほんと馬鹿だな
563:１３２人目の素数さん
19/11/28 06:10:50.95 rkIRfVWh.net
>>510
＞”Kuratowski finiteness”の定義では、
＞CやRやQやNのシングルトン
＞{C}や{R}や{Q}や{N} 達は
＞有限集合にはならんな！
こいつまた馬鹿な読み間違いしてるな
英語が読めないのか、それとも日本語でも読めないのか
馬鹿に初歩的質問だ
｛C｝,｛R},｛Q｝,｛N}
のべき集合は何か？
564:１３２人目の素数さん
19/11/28 06:21:31.72 rkIRfVWh.net
>>511
＞singleton が、ZFCの中で正則性公理により
＞有限に留まらざるを得ないならば、話は単純だが
正則性公理は全然関係ないが
こいつホント馬鹿だな
＞しかし、そうではないからこそ、
＞Kuratowski先生も苦労して、
＞”Kuratowski finiteness”を定義している
定義と結論の順序を取り違える馬鹿ｗ
まず、以下の問題に答えてみ？
「｛C｝,｛R},｛Q｝,｛N}のべき集合は何か？」
565:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 17:44:54.72 rRA3+Jnq.net
>>512-514
おサルが言いつくろいに必死ｗｗ(゜ロ゜;
566:１３２人目の素数さん
19/11/28 18:15:43.48 Cyde5vCH.net
キチガイサイコパスはべき集合も知らんのか？
知ってたら一瞬で答えられるだろ
567:１３２人目の素数さん
19/11/28 19:11:54.19 rkIRfVWh.net
>>516
まったくだｗ
｛C}のべき集合 {{},{C}}
｛R}のべき集合 {{},{R}}
｛Q}のべき集合 {{},{Q}}
｛N}のべき集合 {{},{N}}
数学のスの字も分からん工学馬鹿への注ｗ
Cは{C}の部分集合ではない
Rは{R}の部分集合ではない
Qは{Q}の部分集合ではない
Nは{N}の部分集合ではない
568:１３２人目の素数さん
19/11/28 19:13:53.96 rkIRfVWh.net
馬鹿◆e.a0E5TtKE�
569:ﾌ恥ずかしい間違いｗ {{}}⊂{{{}}} N⊂{N} もう人間とは思えない馬鹿っぷりだなｗ
570:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 21:01:57.22 QdpmOFrx.net
>>501-502 補足
(引用開始)
天才Zermeloが、シングルトンによる自然数の構成を与えた（1908年）
（”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.”）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)
さて
・上記のように、シングルトンは、有限には限らない
（これは自明だが以下説明する）
・数学では、可算無限を考えることは、頻繁にある
・例えば、下記の時枝記事は”可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる”という記載から始まる
・あるいは、下記の形式的冪級数の各項の係数が、”箱が可算無限個ある”ことに相当するだろう
・また、下記のヒルベルトの無限ホテルのパラドックスでは、”客室が無限にあるホテルを考える”となる
・さて、可算無限個ある箱に、縦棒”|”を入れるとする。”|||・・・”となる
これを、利用して、・・・|||Φ|||・・・、
つまりΦを真ん中にして、左右に”|||・・・”を配置する
・ここで、縦棒”|”を左カッコ{ や、右カッコ ｝に取り替える。即ち
左の・・・|||→・・・{{{ に
右の|||・・・→{{{・・・ に 取り替えると
・・・{{{Φ}}}・・・となる
ここで、Φを取り除けば、・・・{{{ }}}・・・
ここでΦ＝{ }を替えれば、・・・{{{{ }}}}・・・となる
・ヒルベルトの無限ホテルや形式的冪級数の存在が、否定できない（当然できないよね）
とすれば、”|||・・・”の存在も否定できない
・従って、・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）の存在も否定できない
QED
つづく
571:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 21:02:25.19 QdpmOFrx.net
>>519
つづき
（参考）
ガロア過去スレ20 再録 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:2-7番)
１．時枝問題（数学セミナー201511月号＊）の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
＊）訂正：原文201611月号→201511月号
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
数学セミナー 2015年11月号
箱入り無数目────────時枝 正 36
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
形式的冪級数
(抜粋)
多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
(抜粋)
パラドックスの内容
客室が無限にあるホテルを考える。
(引用終り)
以上
572:現代数学の系譜 雑談
19/11/28 21:05:05.29 QdpmOFrx.net
>>519 タイポ訂正
右の|||・・・→{{{・・・ に 取り替えると
↓
右の|||・・・→}}}・・・ に 取り替えると
分かると思うが（＾＾；
573:１３２人目の素数さん
19/11/28 21:12:18.04 Cyde5vCH.net
相変わらずのバカ丸出し
574:１３２人目の素数さん
19/11/28 22:39:43.56 lvt0VL8R.net
3945
しろ@hu_corocoro 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
575:１３２人目の素数さん
19/11/29 01:50:51.45 qxx6pnyn.net
未だに正則性公理が理解できないアホバカ
576:１３２人目の素数さん
19/11/29 06:26:54 RLRDCvDR.net
>>519
＞・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）の存在も否定できない
で、その・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）の要素は？
ここで、自分の馬鹿に気づけよｗ ◆e.a0E5TtKE
>>521
＞分かると思うが
ウソを分かる馬鹿◆e.a0E5TtKE
577:１３２人目の素数さん
19/11/29 06:35:59 RLRDCvDR.net
>>519
＞・ヒルベルトの無限ホテルや形式的冪級数の存在が、
＞ 否定できない（当然できないよね）とすれば、
＞ ”|||・・・”の存在も否定できない
非論理的な�
578:蜥｣を絶叫する馬鹿 ◆e.a0E5TtKE
579:１３２人目の素数さん
19/11/29 06:53:54 RLRDCvDR.net
◆e.a0E5TtKEがクラトフスキ有限の話をやめたのは
R⊂｛R}という馬鹿丸出しの誤解をしていると指摘されて
全く反論できなかったから
◆e.a0E5TtKEは集合に関して安達弘志と同レベルｗｗｗｗｗｗｗ
580:現代数学の系譜 雑談
19/11/29 07:52:02.67 KnsCfpdu.net
>>523
ご苦労様です
おめでとうございます（＾＾
頑張ってださい
581:現代数学の系譜 雑談
19/11/29 08:00:44.36 KnsCfpdu.net
>>510
追加引用ｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有限集合
(抜粋)
有限性の必要十分条件
ツェルメロ＝フレンケルの集合論 (ZF) では、以下の条件は全て等価である。
1. S は有限集合である。すなわち、S の元はある特定の自然数未満の自然数の集合の元と一対一対応する。
2. S は、空集合を始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法で証明可能な全属性を持つ。（カジミェシュ・クラトフスキ）
基礎付け問題
興味深いことに、ZFCにおいて有限集合を集合全般から区別する様々な特性は、より弱い体系であるZFや直観主義的集合論の場合とは論理的に等価ではないことが判っている。
よく知られている有限性の定義として、リヒャルト・デーデキントの定義とカジミェシュ・クラトフスキの定義がある。
クラトフスキの有限性の定義は次の通りである。
任意の集合 S について、和集合の二項演算は冪集合 P(S) に半束構造を与える。
空集合と単集合から生成した半束を K(S) と記し、S が K(S) に属する場合、S をクラトフスキ有限集合と呼ぶ。
直観的に K(S) には S の有限な部分集合が含まれる。
重要なのは、この定義では自然数による帰納も再帰も必要とせず、K(S) は単に空集合と単集合を含む全ての半束構造の積集合として得られる点である。
ZFでは、クラトフスキ有限はデデキント有限を包含するが、逆は真ではない。
(引用終り)
582:現代数学の系譜 雑談
19/11/29 08:02:43.61 KnsCfpdu.net
>>529 補足
＞空集合と単集合から生成した半束を K(S) と記し、S が K(S) に属する場合、S をクラトフスキ有限集合と呼ぶ。
単集合＝シングルトンですな ｗ（＾＾；
583:現代数学の系譜 雑談
19/11/29 08:05:01.19 KnsCfpdu.net
>>530
（>>510より）
なるほど
”Kuratowski finiteness”の定義では、
CやRやQやNのシングルトン
{C}や{R}や{Q}や{N} 達は
有限集合にはならんな！
思った通りだったな！ｗｗ（＾＾；
そして、
（>>529より）
有限性の必要十分条件
ツェルメロ＝フレンケルの集合論 (ZF) では、以下の条件は全て等価である。
1. S は有限集合である。すなわち、S の元はある特定の自然数未満の自然数の集合の元と一対一対応する。
2. S は、空集合を始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法で証明可能な全属性を持つ。（カジミェシュ・クラトフスキ）
584:１３２人目の素数さん
19/11/29 19:27:08.64 RLRDCvDR.net
>>531
この馬鹿なにウソ読みしてんだ ●違いか？
｛R}は｛｝とシングルトン｛R}の合併
典型的なクラトフスキ有限ｗｗｗｗｗｗｗ
585:１３２人目の素数さん
19/11/30 08:22:17.67 80qUAbW7.net
◆e.a0E5TtKEは宇宙際順序数論（ｗ）で
・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）
が正当化できると思ってる正真正銘の馬鹿ｗ
フォン・ノイマンだろうがツェルメロだろうが
＋１とlimは全然異なる
ｘ＋１
フォン・ノイマン ｘ∪｛ｘ｝
ツェルメロ ｛ｘ｝
lim ｘ＿ｎ
フォン・ノイマン ∪｛ｘ_ｎ｝
ツェルメロ ∪｛ｘ_ｎ｝
だから、
フォン・ノイマンのωに対応する
ツェルメロのΩはシングルトンではない
586:１３２人目の素数さん
19/11/30 08:40:10.29 80qUAbW7.net
◆e.a0E5TtKEは、安達と同じく「素朴」集合論でしか考えてない
対象：○、□、◇、☆、・・・
集合：｛｝、{○}、{□}、{◇}、{☆}、・・・
{○、□}、{○、◇}、{○、☆)、・・・
{□、◇}、{□、☆}、・・・
{◇、☆｝、・・・
{○、□、◇}、{○、□、☆}・・・
{○、◇、☆}、・・・
{□、◇、☆}、・・・
{○、□、◇、☆」、・・・
どうせ、対象がｎ個なら集合は２＾ｎとかいうレベルでしか考えてないｗ
だから｛N｝は無限集合、とか馬鹿丸出しのことを平気でいう
（バカだから、Nの要素が”集合でない対象”だと思ってるｗ）
587:１３２人目の素数さん
19/11/30 08:57:33 80qUAbW7.net
今の集合論は反復的集合観に基づいてる
まず、集合でない対象は存在しない。すべて集合ｗ
空集合{}から始め、順々にベキ集合をつくっていく
第０段階 {}
（１個）
第１段階 {}、{{}}
（２＾１＝２個）
第２段階 {}、{{}}、{{{}}}、{{},{{}}}
（２＾（２＾１）＝４個）
第３段階 {}、{{}}、{{{}}}、{{{{}}}}、{{{},{{}}}}、
{{},{{}}}、{{},{{{}}}}、{{},{{},{{}}}}、
{{{}},{{{}}}}、{{{}},{{},{{}}}}、{{{}}},{{},{{}}}}、
{{},{{}},{{{}}}}、{{},{{}},{{},{{}}}}、
{{},{{{}}},{{},{{}}}}、{{{}},{{{}}},{{},{{}}}}、
{{},{{}},{{{}}}},{{},{{}}}}
（２＾（２＾（２＾１））＝１６個）
・・・
有限段階の反復的集合を全部合わせたものが遺伝的有限集合（可算個）
見ればわかるが、第ｎ段階で、
フォン・ノイマンの順序数ｎも
ツェルメロの順序数ｎも生成される
588:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 20:49:01.04 4Ujjq2jv.net
>>508 追加
Kuratowsk有限(1920),iは、仏文らしいね（＾＾；
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Finite set
(抜粋)
References
・Kuratowski, Kazimierz (1920), "Sur la notion d'ensemble fini" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1: 129?131
URLﾘﾝｸ(matwbn.icm.edu.pl)
URLﾘﾝｸ(pldml.icm.edu.pl)
Fundamenta Mathematicae
1920 | 1 | 1 | 129-131
Sur la notion d'ensemble fini
Kazimierz KuratowskiJ?zyki publikacji FR
Abstrakty
FR
Le but de cette note est d'introduire une definition d'un ensemble fini et de demontrer son equivalence avec la definition donnee par Wac?aw Sierpi?ski.
つづく
589:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 20:49:47.21 4Ujjq2jv.net
つづき
（PDFからOCRして手直し引用）
Sur la notion d'ensemble fini.
Par
Casimir Kuratowski (Warszawa).
M. W.Sierpinski a donne dans son ouvrage L'axiome de M. Zermelo et son role dans la Theorie des Ensembles et l'Analyse 1) une nouvelle definition de l'ensemble fini.
Cette definition se distingue essentiellement par ce fait qu'elle ne depend ni de la notion de nombre naturel ni de la notion generale de fonction, qui entre d'habitude dans les definitions faisant usaged de la notion de correspondance.
La definition en question est la suivante:
"Considerons des classes K d'ensembles dont chacune satisfait aux ,conditions suivante:
1° tout ensemble contenant un seul element appartient a la classe K,
2° si.A. et B sont deux ensembles appartenant a la classe K,
leur ensemble-somme A + B appartient aussi a K.
Appelons fini tout ensemble qui appartient a chacune des
classes K satisfaisant aux conditions 1°et 2°".
つづく
590:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 20:50:04.16 4Ujjq2jv.net
>>537
つづき
Comme on sait, l'ensemble de tous les objets (s'il existe) jouit des proprietes paradoxales : contrairement a un theoreme connu de G. Cantor, la puissance, de cet ensemble ne serait point inferieure a celle de la classe de tous ses sous-ensembles.
Il en est de meme de la classe composee de tous les ensembles
contenant un seul element; donc, les classes K ne verifient pas, le theoreme de Cantor.
En tenant compte de ce fait, on pourrait mettre en doute l'existence meme des classes K.
En modifiant la definition de M. Sierpinski de facon a en supprimer cet inconvenient, j'obtiens la definition suivante:
L'ensemble M est fini, lorsque la classe de tous ses sousensembles
(non vides) est l'unique classe satisfaisant aux conditions:
1. ses elements sont des sous-ensembles (non vides) de M;
2. tout ensemble contenant un seul element de M appartient a cette classe;
3. si A et B sont deux ensembles appartenant a cette classe, leur ensemble-sornme A+B lui appartient aussi.
つづく
591:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 20:50:25.23 4Ujjq2jv.net
>>538
つづき
Nous allors demontrer qu'un ensemble fini d'apres cette definition l'est aussi au sens ordinaire et reciproquement.
En d'autres termes: pour qu'un ensemble soit fini d'apres la definition proposee, il faut et il suffit que le nombre de ses elements puisse etre exprime par un nombre naturel (la notion de nombre naturel etant supposee connue).
En effet,soit M un ensemble dont le nombre d'elements peut etre exprime par un nombre naturel; soit Z une classe quelconque satisfaisant aux conditions 1-3.
Nous allons montrer que tout sous-ensemble de M appartient a Z.
Il en est ainsi - en vertu de la condition 2 - des sous-ensembles composes d'un seul element; en meme temps, s'il en est ainsi des sous-ensembles contenant n elements, il en est de meme - d'apres 3 - de ceux qui en contiennent n+l.
Comme le nombre d'elements de chaque sous-ensemble de M se laisse exprimer par un nombre naturel, il en resulte par induction que Z contient tous les sous-ensembles de M.
Donc, la classe Z etant necessairement identique a celle de tous les sous-ensembles de M, elle est l'unique classe satisfaisant aux conditions 1-3.
A
592:insi, tout ensemble dont le nombre d'elements peut etre exprime par un nombre naturel est un ensemble fini dans notre sens. Supposons, d'autre part, que le nombre d'elements d'un ensemble donne M ne se laisse pas exprimer par un nombre naturel. Designons par Z la classe de tous les sous-ensembles de M dont le nombre d'elenlents peut etre exprime par un nombre naturel. Cette classe satisfait evidemment aux conditions 1-3; en meme temps, d'apres l'hypothese, M n'appartient pas a Z et, par suite, Z n'est pas identique a la classe de tous les sous-ensembles de M; donc, la classe de tous les sous-ensembles de M n'est pas l'unique classe satisfaisant aux conditions 1-3 et M n'est pas fini dans notre sens, c. q. f. d. (引用終り) 以上
593:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 20:55:01.03 4Ujjq2jv.net
>>537 機械英訳してみた（＾＾
（Google 仏→英訳）
On the notion of finite set.
Through
Casimir Kuratowski (Warszawa).
Mr. W.Sierpinski gave in his book The axiom of Mr. Zermelo and his role in the Theory of Ensembles and Analysis 1) a new definition of the finite set.
This definition is essentially distinguished by the fact that it does not depend either on the notion of natural number or on the general notion of function, which usually enters into the definitions that make use of the notion of correspondence.
The definition in question is as follows:
"Consider classes K sets each of which satisfies the following conditions:
1 ° any set containing a single element belongs to class K,
2 ° si.A. and B are two sets belonging to the class K,
their set-sum A + B also belongs to K.
Let's call finite everything that belongs to each of
classes K satisfying conditions 1 ° and 2 ° ".
つづく
594:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 20:55:23.24 4Ujjq2jv.net
>>540
つづき
?As we know, the set of all objects (if it exists) enjoys paradoxical properties: unlike a theorem known to G. Cantor, the power of this set would not be inferior to that of the class of all its subassemblies.
It is the same of the class composed of all the sets
containing a single element; therefore, K classes do not check, Cantor's theorem.
?Taking this fact into account, one could question the very existence of classes K.
By modifying Mr. Sierpinski's definition so as to remove that drawback, I get the following definition:
The set M is finite, when the class of all its subsets
(not empty) is the only class satisfying the conditions:
1. its elements are subsets (not empty) of M;
2. any set containing a single element of M belongs to this class;
3. if A and B are two sets belonging to this class, their set -sorn A + B also belongs to it.
つづく
595:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 20:55:39.85 4Ujjq2jv.net
>>541
つづき
?We can show that a finite set according to this definition is also in the ordinary sense and reciprocally.
In other words: for a set to be finite according to the proposed definition, it is necessary and sufficient that the number of its elements can be expressed by a natural number (the notion of natural number being assumed to be known).
?Indeed, let M be a set whose number of elements can be expressed by a natural number; let Z be any class satisfying the conditions 1-3.
We will show that every subset of M belongs to Z.
This is - under condition 2 - subsets composed of a single element; at the same time, if this is so subsets containing n elements, it is the same - according to 3 - of those which contain n + 1.
Since the number of elements of each subset of M is expressed by a natural number, it follows by induction that Z contains all the subsets of M.
Therefore, since the class Z is necessarily identical to that of all the subsets of M, it is the only class satisfying the conditions 1-3.
Thus, any set whose number of elements can be expressed by a natural number is a finite set in our sense.
?Suppose, on the other hand, that the number of elements of a set gives M does not let itself be expressed by a natural number.
Let Z be the class of all the subsets of M whose number of elements can be expressed by a natural number.
This class obviously satisfies conditions 1-3; at the same time, according to the hypothesis, M does not belong to Z and, consequently, Z is not identical to the class of all the subsets of M; therefore, the class of all subsets of M is not the only class satisfying the conditions 1-3 and M is not finite in our sense, c. q. f. d.
(引用終り)
以上
596:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 21:00:02.37 4Ujjq2jv.net
>>542 補足
?We can show that a finite set according to this definition is also in the ordinary sense and reciprocally.
↑
？は、先頭のブランクが、文字化けしているんだ
Google翻訳の仕様なのでしょうね
目で見ると、ブランクで通常と変わりないが、５CH板に貼ると化けるんだ（＾＾；
597:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 21:01:00.40
598: ID:4Ujjq2jv.net
599:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 21:01:38.15 4Ujjq2jv.net
>>544
つづき
私たちが知っているように、すべてのオブジェクトのセット（存在する場合）は逆説的な特性を享受します。サブアセンブリ。
すべてのセットで構成されるクラスと同じです
単一の要素を含む;したがって、Kクラスはチェックしません、カントールの定理。
?この事実を考慮して、クラスKの存在そのものに疑問を投げかけることができます。
その欠点を取り除くために、シェルピンスキー氏の定義を修正することで、次の定義が得られます。
すべてのサブセットのクラスが
（空ではない）が条件を満たす唯一のクラスです：
1.その要素は、Mのサブセット（空ではない）です。
2. Mの単一要素を含むセットは、このクラスに属します。
3. AとBがこのクラスに属する2つのセットである場合、それらのセット-sorn A + Bもそれに属します。
つづく
600:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 21:02:27.12 4Ujjq2jv.net
>>545
つづき
この定義に従った有限集合も通常の意味で相互に関係していることを示すことができます。
言い換えれば、提案された定義に従ってセットが有限であるためには、その要素の数を自然数で表現できることが必要かつ十分です（自然数の概念は既知であると想定されています）。
?実際、Mを要素の数を自然数で表現できるセットとします。 Zを条件1-3を満たす任意のクラスとします。
MのすべてのサブセットがZに属することを示します。
これは-条件2で-単一の要素で構成されるサブセットです。同時に、これがn個の要素を含むサブセットである場合、n + 1を含むものの3つによると同じです。
Mの各サブセットの要素の数は自然数で表されるため、ZにはMのすべてのサブセットが含まれることが帰納法に従います。
したがって、クラスZは必然的にMのすべてのサブセットのクラスと同一であるため、条件1?3を満たす唯一のクラスです。
したがって、要素の数が自然数で表現できるセットは、私たちの意味では有限のセットです。
一方、集合の要素数がMを与える場合、それ自体を自然数で表現しないと仮定します。
Zを、要素の数を自然数で表現できるMのすべてのサブセットのクラスとします。
このクラスは明らかに条件1?3を満たします。同時に、仮説によれば、MはZに属しておらず、その結果、ZはMのすべてのサブセットのクラスと同一ではありません。したがって、Mのすべてのサブセットのクラスは条件1?3を満たす唯一のクラスではなく、Mは私たちの意味では有限ではありません。 Q。 F。 D。
(引用終り)
以上
601:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 21:05:16.01 4Ujjq2jv.net
>>546 補足
条件1?3を満たす唯一のクラスではなく、Mは私たちの意味では有限ではありません。 Q。 F。 D。
↑
conditions 1-3と英文では、化けないのに
和文訳では化けるか（＾＾；
あと、やっぱり和文は訳がおかしく感じるところが多いね
英訳の方が、意味が取りやすい（＾＾
602:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/11/30 21:11:38 4Ujjq2jv.net
>>540
>Mr. W.Sierpinski
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヴァツワフ・シェルピニスキ
(抜粋)
ヴァツワフ・シェルピンスキ（Wac?aw Franciszek Sierpi?ski、シェルピンスキー、1882年3月14日 - 1969年10月21日）とは、ワルシャワで生没したポ
603:ーランドの数学者である。彼は集合論（選択公理や連続体仮説に関する研究）や数論、関数論、位相幾何学に対する多大な貢献をしたことで知られている。 彼は、700部を越す論文と、50冊の本を出版した（そのうちの 2 つ、『一般位相数学入門』Introduction to General Topology ,1934 と 『一般位相数学』General Topology,1952は、カナダの数学者 セシリア・クリューガーによって英訳されている）。 3 つの有名なフラクタルが、彼の名にちなんでいる（シェルピンスキーの三角形、シェルピンスキーのカーペット、シェルピンスキー曲線）。 数学への貢献 シェルピンスキが集合論に関心を持ったのは、「平面上にある（複数の）点は一つの座標で定義可能である」という定理に遭遇したからであった。その証明について当時ゲッティンゲンにいた数学者タデウシュ・バナヒェヴィチに質問したところ、彼の回答は一言カントールだけであった。 これを契機に集合論の研究を本格的に始める。リヴィウ大学に奉職して6年の間に数多くの論文を発表し、数論に関する3冊の本を公刊するまでに至った。 第一次世界大戦が勃発すると、迫害を避けるために家族と共にロシアに移り、ニコライ・ルージンと共に集合論の研究を継続。 終戦と共に復職するが、間も無くワルシャワ大学に移籍。ポーランド・ソビエト戦争ではポーランド軍参謀本部で作戦立案に携わる。 更にジグムント・ヤニシェフスキらと数学雑誌の立ち上げに参画しながら集合論の研究を進め、シェルピンスキ曲線として現在知られているものを発表している。 (引用終り) 以上
604:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 21:49:30.28 4Ujjq2jv.net
>>536
>・Kuratowski, Kazimierz (1920), "Sur la notion d'ensemble fini" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1: 129?131
1920は、2019から見れば、ほぼ100年前
>>544 補足
＞W.Sierpinski氏は彼の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」1）有限集合の新しい定義を与えました。
Kuratowskiは、Sierpinski氏の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」の有限集合の新しい定義を改良したわけです
1920年当時、（20世紀初頭までの）数学を公理的に扱えるようにするというのが、最先端の研究だった時代
「Zermeloの公理」が出ていたんだ
で、みなさんご存知のように、Zermeloはまずは、自然数N （可算無限）を、彼の公理から、構成した
（>>519ご参照）
で、当時既に知られていたようだが、自然数の構成は１通りではない
2019年では、ノイマンの構成が一番有名だが、
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 自然数 などをご参照
で、有限と無限の定義が、このような自然数の構成に依存するのは、まずいと思ったのだろう
まずは、Sierpinski氏が考えて、それをKuratowskiを改良した
だから、SierpinskiやKuratowskiは、無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)みないなのは、想定外
（まずは、素朴に無限と有限を分けましょうということだったろう）
また、1920年当時、無限集合のシングルトンを言い出したら、そもそも「有限とは？」「無限とは？」の議論が収束していないとき、混乱に輪を掛ける
（まあ、2019年の現代でも、可算多重シングルトン{・・・{}・・・}の存在を否定する数学おサルがいるくらいですし。まあ、もう1月で2020年になりますけどね（＾＾；）
また、2019年の現代でも、無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)などを数学で使う需要は少ない
もちろん、シングルトンなのだから、定義から、その集合の要素はただ1つ
但し、無限集合のシングルトンは、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)達は、その要素が、非可算無限集合であったり、あるいは
605:可算無限集合
606:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 21:52:23.86 4Ujjq2jv.net
>>549 補足
無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)
のような、要素に無限集合を含むが、要素の数では有限なる集合は
哲学的には”疑似有限”とでも呼ぶ方が適切なような気がする
607:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 22:01:06.91 4Ujjq2jv.net
>>252
＞レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。
>>502
＞ペアノの公理
＞(抜粋)
＞一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
一階とそうでないものの区別がついていない者達が、無限だ有限だと喚くスレ
こことか、哀れな素人スレ 0.99999……は１ではない その３
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)-
ろくな議論になってないね（＾＾；
608:現代数学の系譜 雑談
19/11/30 22:34:05.62 4Ujjq2jv.net
>>531 補足
＞ 2. S は、空集合を始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法で証明可能な全属性を持つ。（カジミェシュ・クラトフスキ）
多分、公理的集合論と、素朴集合論の区別がついていない人が多いと思うが
公理的集合論で、”空集合を始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法で証明可能”
Zermeloの 可算多重シングルトン{・・・{}・・・}（>>549）
これは、”空集合を始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法で証明可能”ではない
無限公理の適用を必要とするのだ
無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)(>>550)
も同じ