19/10/11 10:29:27.72 RRsRScoq.net
>>251
メモ：現代数学の”無限”のランドスケープ
追加
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デデキント無限
(抜粋)
ZFにおけるデデキント無限
次の4条件は、ZF上同値である。特に、これらの同値性はACを用いないで証明できることに注意せよ。
・A はデデキント無限である。
・全射ではないが単射であるようなA からA への関数が存在する。
・自然数の集合N からA への単射が存在する。
・A は可算無限な部分集合を持つ。
どのようなデデキント無限集合A も以下の条件を満たす。
・単射ではないが全射の、A からA への関数が存在する。
このことを、“A は双対デデキント無限である”という。A が双対デデキント無限であるならばA がデデキント無限であるということは（ACを除いたZF上で）証明可能でない。
どのような双対デデキント無限集合も次の（同値な）条件を満たす、ということがZF上で証明できる。
・A から可算無限集合への全射が存在する。
・A の冪集合がデデキント無限である。
（この条件を満たすことを、弱デデキント無限(weakly Dedekind infinite)であるということがある。）
弱デデキント無限であるならば無限であることはZFにおいて証明されている。
また、整列無限集合はデデキント無限であることもZFにおいて示されている。
つづく