19/10/10 03:44:50.32 64e05J/b.net
>>324
違います。
Zermelo ordinal number なるものが何かまだ誰も定義していません。
Z(0)=0, Z(1)={0}, Z(2)={{}},‥‥
はいいでしょう。
そのように定義したいなら定義してもいいでしょう。
ただしコレもキチンと論理式で定義しないとだめなんですよ。
しかしココまでは難しいけどできるのは確認済みです。
問題になっているのはω番目以降です。
まだだれも
Z(ω), Z(ω+1),‥‥
を定義した人はいません。
基数の全体cardinal numberについては
x:cardinal number :⇔ x:ordinal number ∧ ∀y<x(#y≠#x)
と定義され、
よつて整列順序クラスOrdの部分クラスなので自然に整列順序集合となり、
整列写像: ℵ:Ord→Cardが定義されます。
この対応からCardの超限帰納法を用いる定義
ℵ(0) :=0
ℵ(a+1) := min{x ∈Ord | #x>#a}
ℵ(a) := min{x ∈Ord | #x>#a} (if a is a limit number)
が誘導される事がわかります。
のでこれを定義に用いる事も出来ます。
どちらも大して難しい定義ではないのでどちらを定義に採用する事もあるとは思いますが、
ポイントは超限帰納法で定義するなら後者ℵ(a+1)をℵ(x) (x≦a)で表現するだけではダメでaがlimit numberのときのℵ(a)を定めないと超限帰納法は完成しません。
あなたはaがlimit numberの場合のΩ(a)を論理式を用いて定義しなければなりません。