19/10/08 07:34:10.71 3SQHWkr4.net
>>211 追加引用
下記の和積が、通常の演算と同じなんでしょうね、多分（＾＾
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順序型
(抜粋)
5 順序型の演算
5.1 和
5.2 積
順序型の演算
順序型には和と積の演算を定義することができる。
和
ρ, σ を順序型とする。 全順序集合 (A, <A), (B, <B) を type(A, <A) = ρ, type(B, <B) = σ, A ∩ B = Φ をみたすように取り、A ∪ B 上の関係 <A +* <B を、
x (<A +* <B) y ⇔ x <A y または x <B y または <x, y> ∈ A × B
によって定義すれば、(A ∪ B, <A +* <B) は全順序集合であり、その順序型は (A, <A), (B, <B) の特定の取り方によらず一定である。そこで type(A ∪ B, <A +* <B) を ρ と σ の和といい、これを ρ + σ で表す。
直観的には、ρ + σ というのは (A, <A) の後ろに (B, <B) を並べてできる全順序集合の順序型である。
積
ρ, σ を順序型とする。 全順序集合 (A, <A), (B, <B) を type(A, <A) = ρ, type(B, <B) = σ をみたすように取り、A × B 上の関係 <A x* <B を、
<x1, y1> (<A x* <B) <x2, y2> ⇔ y1 <B y2 または （y1 = y2 かつ x1 <A x2）
によって定義すれば、(A × B, <A x* <B) は全順序集合であり、その順序型は (A, <A), (B, <B) の特定の取り方によらず一定である。そこで type(A × B, <A x* <B) を ρ と σ の積といい、これを ρ ・ σ で表す。
順序型の和と積について次が成り立つ：
1.(ρ + σ) + τ = ρ + (σ + τ) 。
2.(ρ ・ σ) ・ τ = ρ ・ (σ ・ τ) 。
3.ρ + 0 = 0 + ρ = ρ 。
4.ρ ・ 1 = 1 ・ ρ = ρ 。
5.ρ ・ 0 = 0 ・ ρ = 0 。
6.ρ ・ (σ + τ) = (ρ ・ σ) + (ρ ・ τ) 。
7.任意の順序数 α , β に対して、α + β = α + β かつ α ・ β = α ・ β 。 したがって整列順序型同士の和、積は整列順序型である。
(引用終り)