211:第六天魔王
19/10/07 19:03:04.28 rpPbPz0q.net
やれやれ
「ハゲネズミ」の由来について、HPのリンク張ろうとしたら
NGワードで規制食らってやっと復活したぜｗ
>>161
>ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい
>>163 馬鹿曰く
>その質問は、哀れな素人さんの無限に関する質問に類似
安達の「最後の自然数は存在しない」という主張のことなら、全く間違ってない
>>164 馬鹿曰く
>ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含む
上記の文で何をいいたいのか？
貴様の{・・{Φ}・・}では、どの自然数ｎも要素にならんから無意味
>>165 馬鹿、恒例のコピペ
(整礎関係 wikipedia)
>ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。
>なんとなれば、任意の正整数 n に対して
>ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
>という鎖は長さ n を持つ。
「長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。」としか書いてないぞ
そこから「長さ無限の降鎖列がとれる」と思うのは正真正銘の馬鹿
212:第六天魔王
19/10/07 19:05:28.52 rpPbPz0q.net
>>185 馬鹿の逆質問
>１）下記の、順序数の列
> 0, 1, 2, 3, . . . , ω を認めますか？ Y/N
>２）もし、Yesの場合
> 0, 1, 2, 3, . . . , ω で、ωの一つ左の順序数は、何ですか？ あなた、答えられますか？ｗ
>３） もし、Noの場合、現代数学の無限の概念を認めないということですか？ Y/N
１）認める
２）存在しない
３）ωの存在を認める
云っとくが
0, 1, 2, 3, . . . , ω は、ただ要素を順番に並べただけ
降鎖列は要素間に必ず∋が入ってる
したがって「ω∋」と書いたら
その右には必ずある要素を書く必要がある
無限公理のωや
ツェルメロの自然数全体の集合ω’＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}
なら、任意の自然数を要素に持つ
（それぞれ自然数を表す集合は異なるが）
しかし、馬鹿が主張している
Ω＝{・・{Φ}・・}
では、どの自然数も要素にならん
したがって、まず
ω∋n - 1∋n - 2, ..., 2∋1
は構成できない
また、もし
Ω∋Ω’∋Ω’’・・・
と要素がとれたとしても
いつまでたっても自然数ｎには
たどり着かんから底抜けｗ
逆に有限回で自然数にたどり着いたら
Ωは自然数だということになるｗ
相変わらず底抜けの馬鹿っぷりだなｗｗｗｗｗｗｗ
213:第六天魔王
19/10/07 19:06:50.64 rpPbPz0q.net
>>192
>Ordの元xに対し
>ツェルメロ構成によるx番目の順序数をZ(x)として
>これを定めるなら、
>Z(0)=0,
>Z(x+1)={Z(x)}
>としてx<ωまではいいでしょう。
>問題はx=ωのとき、すなわちΩ=Z(ω)の定義です。
>これはどうするんですか？
いい質問だ
ここで、賢いヤツなら
Z(ω)=∪(ω>n)Z(n)
とせざるを得ず、したがって(0={}として)
Z(ω)={{},{{}},{{{}}},…}
とならざるを得ないと観念する
決して{…{}…}なんて形にはならない
しかし馬鹿はここで質問に答えない
だから自分の誤りに気づけない
「縁なき衆生は度し難し」
214:第六天魔王
19/10/07 19:12:33.19 rpPbPz0q.net
>>193
>１）ツェルメロ構成での任意aの後者関数；
> suc(a) := {a}による構成は、正則性公理に反しない
> たとえ、それで無限上昇列が出来ても、ということは認めますか？ Y/N
Y
>２）ツェルメロ構成での任意aの後者関数；suc(a) := {a}による構成で、
> 無限公理を適用して、自然数ｎをすべて含む無限集合が出来たとき、
> そ�
215:黷ﾍいわゆる自然数Nよりも、余計な元、 > 即ち、超限順序数に属するべき（有限でない）元が > 生成され、含まれていることに同意しますか？ Y/N Y >>195 >では、この超限順序数に属するべき（有限でない）元とは、何なのでしょうか？ 馬鹿が考えるような{…{}…}ではないけどな >ツェルメロ構成でできる集合は、任意aの後者関数；suc(a) := {a}以外は無いですね 相変わらず底抜けの馬鹿だな、貴様はｗｗｗｗｗｗｗ {}∈X∧(∀x∈X⇒{x}∈X) （Xは空集合を要素とし、xがXの要素なら{x}もXの要素である） という条件を満たすXについて 「ｙがXの要素なら、yは空集合か y={x}で、Xの要素となるxが存在する」 ∀y.((y∈X⇒y={}∨∃x.({x}=y∧x∈X)) とか思ってるだろ？ｗ そこが馬鹿だというんだよｗｗｗ 実際には 「Xの空集合でないyで、 Xのいかなる要素xについても {x}=yとならないものが存在する」 ∃y.(y∈X∧￢(y={})∧∀x.(x∈X⇒￢({x}=y)) が成立しても矛盾はない つまり >超限順序数に属するべき（有限でない）元、それは、消去法で、 >超限回の空集合Φに対する後者関数による超限多重集合 {・・{Φ}・・}（ω＋アルファ回{}多重） >でなければならない なんてことはいえない 「縁なき衆生は度し難し」 >それはお認めになるんですよね？ 認めねぇよ この大馬鹿者めｗｗｗｗｗｗｗ
216:第六天魔王
19/10/07 19:21:42.49 rpPbPz0q.net
>>201でいってるのは、
{}∈X∧(∀x∈X⇒{x}∈X)
を満たす集合が、
空集合でも単一要素の集合でもない集合を
要素としても全然問題ない、ということ
例えばa={{{}},{{{}}}}を要素としてもいい
但し、もしaを要素とするなら{a}も{{a}}も要素とせねばならない
そういうこと
では、もし
{}∈X∧(∀x∈X⇒{x}∈X) かつ
∀y.((y∈X⇒y={}∨∃x.({x}=y∧x∈X))
だったら、Xは、馬鹿のいう
{・・{Φ}・・} （無限重）
を要素にもつのか？
しかし、正則性公理の元ではそれはありそうもない
217:第六天魔王
19/10/07 19:35:17.30 rpPbPz0q.net
さて、今日の一曲は・・・これだ！
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
Emperor 最高だぜ！
218:第六天魔王
19/10/07 19:49:46.87 rpPbPz0q.net
そして、これも名曲
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
219:１３２人目の素数さん
19/10/07 22:31:57.78 cEmWDLJd.net
>>197
> それ、どこかで聞いたセリフかもね
> ツェルメロ以降の現代数学の100年前からの議論を、繰り返したいのですか？
そんな事はありません。
証明の全てを書く必要はありません。
そんな論文はなかなかありません。
たの論文なり教科書に載ってる結果を引用したいのなら構いません。
ただしその場合には数学の引用のルールに従って下さい。
引用する結果は
仮定 xがP(x)という条件が満たしているときQ(x)という条件がせいりつする。
の形の命題がxxxという論文、教科書等(この際websiteでもよし)で確認されている事が客観的に確認できる状況において
この命題をx=aについてapplyすればP(a)が確かに確認できるのでQ(a)を使う。
という形までしか許されません。私の>>18を見て下さい。
全部が全部証明はしてないでしょ？
220:現代数学の系譜 雑談
19/10/08 00:10:14.67 3SQHWkr4.net
>>205
＞という形までしか許されません。私の>>18を見て下さい。
ああ、>>18をアップした人だったのかい？（＾＾
>たの論文なり教科書に載ってる結果を引用したいのなら構いません。
まあ、探してみるけどね
おれさ、おっちゃんみたいに、こんなバカ数学板に、ぐだぐだ記号で証明書く趣味ないんだよね
そもそもがさ、書かれた証明が初出なら、タイポとかありうるでしょ
で、真剣に読んだら、あっちにタイポ、こっちにタイポじゃ、赤ペン先生の添削やっているのと変わらんでしょ
まあ、自分が書いたら、もっと非道いだろうけどね（＾＾；
えーと、それで>>197に書いたけど
(引用開始)
じゃあ、それ、通常の自然数で、N⊂E かつ N≠Eですね
つまり、EはNに対して、真に大きい
つまり、EはNに対して、余分な元を含む
つまり、Nは全ての有限の元を含むので、任意ｎの空集合Φに対する後者関数による{}多重の集合 {・・{Φ}・・}（n回{}多重）を含むので、それ以外の余分な元を含む
それは、消去法で、有限でない元、つまり超限なる（整列したときに超限順序に属する）元ですよね
(引用終り)
これは、認めるんだね
念を押しておくよ
「EはNに対して、余分な元を含む」
「Nは全ての有限の元を含むので、任意ｎの空集合Φに対する後者関数による{}多重の集合 {・・{Φ}・・}（n回{}多重）を含むので、それ以外の余分な元を含む」
「それは、消去法で、有限でない元、つまり超限なる（整列したときに超限順序に属する）元です」
ってことな
221:１３２人目の素数さん
19/10/08 00:39:42.53 86YyLDZA.net
>>206
> (引用開始)
> じゃあ、それ、通常の自然数で、N⊂E かつ N≠Eですね
> つまり、EはNに対して、真に大きい
> つまり、EはNに対して、余分な元を含む
認められるのはここまでです。
> つまり、Nは全ての有限の元を含むので、
Nが全ての有限集合を含むわけないでしょ？
しかし
>任意ｎの空集合Φに対する後者関数による{}多重の集合 {・・{Φ}・・}（n回{}多重）を含むので、それ以外の余分な元を含む
多分これはEが>>192で定めたZ(n)を全て
222:含むという意味なら成立しません。 しかし置換公理をうまく使ってZ(n)を全て含むFを再構成はできるのでそれは認めましょう。 しかし > それは、消去法で、有限でない元、つまり超限なる（整列したときに超限順序に属する）元ですよね ここがダメです。 ノイマンの方法ではEの中で順序数出ないもの、有限集合でないものを除けば求めるωが構成できました。 しかしこのFに同じ要領で {x∈F|xはある有限ツェルメロ順序数} と定めていらないものをカットしようとしても得られるものは {Z(0),Z(1),‥} にしかなりません。 ノイマンの方法を流用してもあなたの求めるΩにはなりません。
223:第六天魔王
19/10/08 05:27:55.24 bC9PKbug.net
>>206
>おれさ、おっちゃんみたいに、こんなバカ数学板に、
>ぐだぐだ記号で証明書く趣味ないんだよね
馬鹿はつたない日本語で数学的ウソを書く悪い趣味があるｗｗｗ
それにしても>>206の日本語はヒドイな
貴様、マジで朝鮮人じゃないのか？
224:第六天魔王
19/10/08 05:34:53.89 bC9PKbug.net
Nat(x) xがツェルメロの自然数のとき真となる述語
Nat(x)≡x={}∨(x={y}∧Nat(y))
＝x={}∨(x={y}∧(y={}∨(y={z}∧Nat(z)))
＝…
Fool(x) xが馬鹿のいうΩとやらのとき真となる述語ｗ
Fool(x)≡x={y}∧Fool(y)
＝x={y}∧y={z}∧Fool(z)
…
xから要素、その要素と、際限なく取れるが、決して{}にたどり着かないｗ
225:現代数学の系譜 雑談
19/10/08 07:22:51.63 3SQHWkr4.net
>>207
>> つまり、Nは全ての有限の元を含むので、
>Nが全ての有限集合を含むわけないでしょ？
？
あなたは、>>127で
(引用開始)
ω' を
0∈ω' 、n∈ω' ⇒ n+1∈ω'
を満たすものに取れる。(∵無限公理)
ωを
ω={x∈ω' | xは有限集合かつ順序数}
と置くとωは自然数全体からなる集合となる。(∵分出公理)
QED.
(引用終り)
と書かれたでしょ？
N：自然数全体からなる集合ω
でしょ？
Nには、全ての自然数ｎが含まれるでしょ？
さてそこで
ノイマン構成で、任意aの後者関数；suc(a) :=a∪{a}と定め、また、現代数学の整列順序型（下記）を借用しましょう
整列順序型E：0,1,2,・・,n,・・,ω,ω+1,ω+2,・・,ω+n,・・
整列順序型N：0,1,2,・・,n,・・
ここに、Eは>>196での無限公理によって生成された自然数以外を含む集合を表わす記号から、Nは自然数の集合を表わす記号から
整列順序型E、Nたちは、各集合の元を整列させた順序列です（なお、ω+1などは、ωの後者ですが、略記させて頂きました。以下同じ）
同じことを、ツェルメロ構成で行います。任意aの後者関数；suc(a) :={a}と定めます
整列順序型E’：0,1,2,・・,n,・・,Ω,Ω+1,Ω+2,・・,Ω+n,・・
整列順序型N’：0,1,2,・・,n,・・
E’,Ωは、上記E,ωに対応します。N’も同様
但し、ツェルメロ構成の”0,1,2,・・,n”たちは、ノイマン構成とは後者関数が違います。が、記号の濫用です
つづく
226:現代数学の系譜 雑談
19/10/08 07:23:36.89 3SQHWkr4.net
>>210
つづき
ここで、現代数学の順序同型（下記）を借用しましょう
”整列順序型N’：0,1,2,・・,n,・・” は、ちょうど自然数N全体を渡り、自然数Nと順序同型です
これを認めれば、ツェルメロの整列順序型E’とノイマンの整列順序型Eとは、順序同型
全単射で、ツェルメロのΩが、ノイマンのωに対応する
よろしいでしょうか？
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序型
(抜粋)
整列順序型と順序数
整列集合の順序型を特に整列順序型と呼ぶ。α を順序数とし ∈α を α 上の所属関係とすると、(α, ∈α) は整列集合なので type(α, ∈α) は整列順序型である。逆に、任意の整列集合は必ずある順序数 α に対する (α, ∈α) と同型なので、整列順序型は必ずある順序数 α に対する type(α, ∈α) の形で表すことができる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
整列集合
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序集合
写像と順序
定義
S, T を順序集合とし、f: S → T を写像とする。このとき
・f が順序同型写像（英語版）であるとは、f が順序埋め込みな全単射である事を言う。
順序同型 f: S → T が存在するとき、S と T は順序同型あるいは単に同型であるという。
つづく
227:現代数学の系譜 雑談
19/10/08 07:24:16.96 3SQHWkr4.net
>>211
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序数
(抜粋)
順序数の大小関係に関して次が成り立つ：
5.順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
(引用終り)
以上
228:現代数学の系譜 雑談
19/10/08 07:34:10.71 3SQHWkr4.net
>>211 追加引用
下記の和積が、通常の演算と同じなんでしょうね、多分（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序型
(抜粋)
5 順序型の演算
5.1 和
5.2 積
順序型の演算
順序型には和と積の演算を定義することができる。
和
ρ, σ を順序型とする。 全順序集合 (A, <A), (B, <B) を type(A, <A) = ρ, type(B, <B) = σ, A ∩ B = Φ をみたすように取り、A ∪ B 上の関係 <A +* <B を、
x (<A +* <B) y ⇔ x <A y または x <B y または <x, y> ∈ A × B
によって定義すれば、(A ∪ B, <A +* <B) は全順序集合であり、その順序型は (A, <A), (B, <B) の特定の取り方によらず一定である。そこで type(A ∪ B, <A +* <B) を ρ と σ の和といい、これを ρ + σ で表す。
直観的には、ρ + σ というのは (A, <A) の後ろに (B, <B) を並べてできる全順序集合の順序型である。
積
ρ, σ を順序型とする。 全順序集合 (A, <A), (B, <B) を type(A, <A) = ρ, type(B, <B) = σ をみたすように取り、A × B 上の関係 <A x* <B を、
<x1, y1> (<A x* <B) <x2, y2> ⇔ y1 <B y2 または （y1 = y2 かつ x1 <A x2）
によって定義すれば、(A × B, <A x* <B) は全順序集合であり、その順序型は (A, <A), (B, <B) の特定の取り方によらず一定である。そこで type(A × B, <A x* <B) を ρ と σ の積といい、これを ρ ・ σ で表す。
順序型の和と積について次が成り立つ：
1.(ρ + σ) + τ = ρ + (σ + τ) 。
2.(ρ ・ σ) ・ τ = ρ ・ (σ ・ τ) 。
3.ρ + 0 = 0 + ρ = ρ 。
4.ρ ・ 1 = 1 ・ ρ = ρ 。
5.ρ ・ 0 = 0 ・ ρ = 0 。
6.ρ ・ (σ + τ) = (ρ ・ σ) + (ρ ・ τ) 。
7.任意の順序数 α , β に対して、α + β = α + β かつ α ・ β = α ・ β 。 したがって整列順序型同士の和、積は整列順序型である。
(引用終り)
229:１３２人目の素数さん
19/10/08 09:37:02.76 ofPIORDH.net
>>210
>>211
> >>210
> つづき
>
> ここで、現代数学の順序同型（下記）を借用しましょう
> ”整列順序型N’：0,1,2,・・,n,・・” は、ちょうど自然数N全体を渡り、自然数Nと順序同型です
> これを認めれば、ツェルメロの整列順序型E’とノイマンの整列順序型Eとは、順序同型
> 全単射で、ツェルメロのΩが、ノイマンのωに対応する
>
> よろしいでしょうか？
>
ダメです。
あなたはωから先にダッシュをつけて区別しますが2以降はツェルメロ構成とノイマン構成では違うものでしょ？
なのでもうここから区別しないとダメです。
ノイマンの構成ではまず
0,1,2,3,‥‥
が順に構成され、それと無限公理から存在が保証されている
E= {0,1,2,‥‥} ∪ {いらないもの}
の存在が保証されています。
ここから分出公理で
{x∈E | x: finite, x: ordered inthe sence of Neumann}
という集合がとれますがコレでいらないもが削ぎ落とされて
求めるωがとれたのでした。
あなたが同様にというならこの
x: finite, x: ordered inthe sence of Neumann
の部分を何に書き換えるのかを明示しないと何をやってもダメです。
230:第六天魔王
19/10/08 19:42:24.18 bC9PKbug.net
馬鹿は根本的に分かってないなｗ
だいたい、無限公理のωが
suc(a) :=a∪{a}の繰り返しだけで
出来てると思うのが馬鹿ｗｗｗ
その証拠に
ω＝a∪{a}
となるaは存在しないだろ
ω＝∪nなんだからさ
そういう意味でいえばツェルメロの構成法でも
ω’＝∪n' (n'はツェルメロの自然数)
とせざるを得ないんで、馬鹿のいうような
{…{}…}
にはなりようがないｗ
231:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 11:48:43.65 nHmzRvjt.net
>>214
”ここから分出公理で
{x∈E | x: finite, x: ordered inthe sence of Neumann}
という集合がとれますがコレでいらないもが削ぎ落とされて
求めるωがとれたのでした。”
↓
E''＝E'＼N ＝ { x∈E' | x: transfinite, x: ordered in the sence of Zermelo }
という集合がとれます
コレでいらない自然数Nの元（finiteな元）が削ぎ落とされて
E'のZermelo構成の最小元として
求めるωがとれたのでした
（ここに、E'とNとは、>>211をご参照）
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Transfinite number
(抜粋)
Transfinite numbers are numbers that are "infinite" in the sense that they are larger than all finite numbers, yet not necessarily absolutely infinite. The term transfinite was coined by
232:Georg Cantor, who wished to avoid some of the implications of the word infinite in connection with these objects, which were, nevertheless, not finite. Few contemporary writers share these qualms; it is now accepted usage to refer to transfinite cardinals and ordinals as "infinite". However, the term "transfinite" also remains in use. Definition Any finite number can be used in at least two ways: as an ordinal and as a cardinal. Cardinal numbers specify the size of sets (e.g., a bag of five marbles), whereas ordinal numbers specify the order of a member within an ordered set (e.g., "the third man from the left" or "the twenty-seventh day of January"). When extended to transfinite numbers, these two concepts become distinct. A transfinite cardinal number is used to describe the size of an infinitely large set, while a transfinite ordinal is used to describe the location within an infinitely large set that's ordered. The most notable ordinal and cardinal numbers are, respectively: つづく
233:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 11:52:12.46 nHmzRvjt.net
>>216
つづき
・ω (omega) is defined as the lowest transfinite ordinal number and is the order type of the natural numbers under their usual linear ordering.
・Aleph-naught, アレフ_{0}, is defined as the first transfinite cardinal number and is the cardinality of the infinite set of the natural numbers. If the axiom of choice holds, the next higher cardinal number is aleph-one, アレフ_{1}.
If not, there may be other cardinals which are incomparable with aleph-one and larger than aleph-naught. But in any case, there are no cardinals between aleph-naught and aleph-one.
The continuum hypothesis states that there are no intermediate cardinal numbers between aleph-null and the cardinality of the continuum (the set of real numbers): that is to say, aleph-one is the cardinality of the set of real numbers. (If Zermelo?Fraenkel set theory (ZFC) is consistent, then neither the continuum hypothesis nor its negation can be proven from ZFC.)
(引用終り)
以上
注：「アレフ_{0}」などは、例のアレフ記号なのだが、文字化けするのです。Alephと書くと、記号でないAlephと区別できなので、カナ書きにした(゜ロ゜;。まあ、原文読んでください（＾＾
234:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 11:54:54.56 nHmzRvjt.net
>>216 タイポ訂正
E'のZermelo構成の最小元として
↓
E'’のZermelo構成の最小元として
235:１３２人目の素数さん
19/10/09 12:08:47.55 0zG6excl.net
てす
236:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 12:16:17.12 nHmzRvjt.net
おつ
237:１３２人目の素数さん
19/10/09 12:34:45.34 rFFSRADX.net
>>216
ダメですね。
まず
x: ordered number in the sence of Zermelo
が論理式として定義されていません。
>>18の定義にある通り、そここそがNeumannのordered numberのすごいところで多くの基礎論における順序数の構成でNeumannのスタイルが採用される所以です。
まぁ仮にそこがなんとかなったとしても
E'={0',1',2'‥‥}∪{他の元}
からZermelo ordered number以外を切り落としてもえられるのは
{0',1',2',‥}
の形にしかなりません。
コレはΩではないですよね？
238:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 15:22:44.61 nHmzRvjt.net
>>216
＞E''＝E'＼N
＼：差集合（下記）の記号
まあ、大学では普通で、みな知っているけど
不思議に、「B － A」は使わない
多分、和集合がに、∪（カップとか読む
239:）をつかうことから（＋を使わない）、それとのバランスでしょうね（＾＾ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%AE%E9%9B%86%E5%90%88 差集合 (抜粋) 差集合（さしゅうごう、英: set difference）とは、ある集合の中から別の集合に属する要素を取り去って得られる集合のことである。特に、全体集合 U を固定して、U からその部分集合 A の要素を取り去って得られる集合を A の補集合という。 定義 集合 B から集合 A に属する元を間引いて得られる集合を B＼A または B － A と表現し、B から A を引いた差、差集合あるいは B における A の（相対）補集合と呼ぶ。 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Venn0010.svg/330px-Venn0010.svg.png 差集合 B － A のベン図による視覚化（左がA、右がB。）: B＼A＝A^c∪B https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Venn0100.svg/330px-Venn0100.svg.png 差集合 A － B のベン図による視覚化（左がA、右がB。）: A＼B＝A∪B^c
240:１３２人目の素数さん
19/10/09 19:21:01.16 PFECpNHL.net
自分の言いたいことだけ言って指摘は見て見ぬふりですか やれやれ
241:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 23:51:22.16 2o5RsZjT.net
>>221
議論の前提として、ある程度、標準的に認められている現代数学の成果は、認めることにしましょうね（＾＾
ツェルメロから、ノイマンへ至道、それは幾人もの希代の天才たちが、十年以上の歳月をかけた思考の結晶だ
こんなバカ板のバカスレで、１からの数学ゼミやったら、100年かかっても少しも進みませんぜｗ(゜ロ゜;
ツェルメロ構成は、順序数（3.2.2 Ordinality）については、モストフスキー崩壊理論で、一応成立（OKってこと）
但し、基数（3.2.3 Cardinality）については、これじゃだめということですよ
それ、下記の”Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett”に書いてあるよ
繰返すが、ωについては順序数の話（OKの方）ですよ（＾＾
（基数は、アレフの方の話で別ですよ。当然、お分かりでしょうけど）
URLﾘﾝｸ(plato.stanford.edu)
URLﾘﾝｸ(plato.stanford.edu)
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett
First published Tue Jul 2, 2013
(抜粋)
3. The Major Problems with Zermelo's System
3.1 Separation
3.2 Completeness
3.2.1 Representing Ordinary Mathematics
3.2.2 Ordinality
3.2.3 Cardinality
3.2.4 Ordinals
242:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 23:54:00.34 2o5RsZjT.net
>>224
Stanford Encyclopedia of Philosophyがダブッたな
まあ、ご愛敬（＾＾
243:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 23:56:05.81 2o5RsZjT.net
>>224
3.2.2 Ordinality
Thus, many of the representational problems faced by Zermelo's theory are solved at a stroke by Kuratowski's work, building as it does on Zermelo's own.
って話な（＾＾
244:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 00:04:50.39 JCH5uyU5.net
>>224 訂正します
ツェルメロ構成は、順序数（3.2.2 Ordinality）については、モストフスキー崩壊理論で、一応成立（OKってこと）
↓
ツェルメロ構成は、順序数（3.2.2 Ordinality）については、Kuratowskで、一応成立（OKってこと）
（>>226より）
ｘｘスキーとか、紛らわしいな って、オイオイ(゜ロ゜;
下記の人だろうね（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カジミェシュ・クラトフスキ
(抜粋)
カジミェシュ・クラトフスキ（Kazimierz Kuratowski, 1896年2月2日 - 1980年6月18日）はポーランドの数学者。
概要
ロシア帝国領（当時）のワルシャワに生まれ、グラスゴー大学で工学を、ワルシャワ大学で数学を学ぶ。
ワルシャワ大学�
245:ﾉて博士号を取得後、1927年にルヴフ工科大学教授に就任。 ルヴフ（現ウクライナ・リヴィウ）ではステファン・バナフ、スタニスワフ・ウラムらとともに測度論に関する研究を行う。 1934年にはワルシャワ大学数学科教授に就任。第二次世界大戦後はポーランド科学アカデミー副理事長等の要職を歴任し、ポーランド数学界の復興に尽力した。 位相空間論・集合論において多大な業績を残し、特に二巻本の大著『トポロジー Topologie』（第1巻1933年刊、第2巻1950年刊）は、ポーランド学派点集合トポロジーの金字塔である。 業績 ・クラトフスキ・ツォルンの補題の発見 ・順序対 (x,y)と集合 {{x},{x,y}}との同一性。
246:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 00:09:05.45 JCH5uyU5.net
>>227
バナフは、バナッハ空間論の人。ウラムは、物理とも関連したいたと思うよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ステファン・バナフ
(抜粋)
ステファン・バナフ[1]（Stefan Banach, 1892年3月30日 - 1945年8月31日）はポーランドの数学者。バナッハ空間論、実解析論、関数解析学、数学基礎論などで多大な業績をのこした。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
スタニスワフ・ウラム
(抜粋)
スタニスワフ・マルチン・ウラム（Stanis?aw Marcin Ulam, 1909年4月3日 - 1984年5月13日）は、アメリカ合衆国の数学者。ポーランド出身。数学の多くの分野に貢献しており、また水爆の機構の発案者としてその名を残している。
247:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 00:14:03.18 JCH5uyU5.net
>>228
ウラム先生は、ソリトンの切っ掛けになった数値実験をした人ですね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フェルミ・パスタ・ウラムの問題
(抜粋)
フェルミ・パスタ・ウラムの問題（ふぇるみ・ぱすた・うらむのもんだい、英: Fermi?Pasta?Ulam problem）とは、物理学における非線形な相互作用を有する格子模型におけるエネルギー分配の問題。FPU の問題とも呼ばれる。1950年代に、ロスアラモス研究所で電子計算機を用いてこの問題に取り組んだ 3 人の数理物理学者エンリコ・フェルミ、ジョン・パスタ（英語版）、スタニスワフ・ウラムに名に因む。
当初の予想では相互作用が非線形な系ではエルゴード性（英語版）によって、長時間経過後に各モードにエネルギーが等分配された熱力学的平衡状態に達するはずであったが、計算機実験の結果はそれに反し、初期状態のモードに戻る再帰現象が観測された。
後に、この再帰現象はKdV方程式の研究から可積分系におけるソリトンと関連した現象であることが明らかにされた。なお、電子計算機が物理学の研究に活用された初期の事例としても有名である。
ソリトン現象との関係
後に、ザブスキーとクルースカルは非線形波動の研究において、この再帰現象はソリトンの性質によるものであることを示した。
1965年に彼らは連続体近似を行ったモデルであるKdV方程式で数値計算を行い、ソリトンと呼ばれる孤立波解が存在し、複数個のソリトン同士が衝突する場合にも、波形が崩れず伝播することを示した。初期条件に余弦波を与
248:えた場合には、複数の孤立波が出現し、衝突を繰り返すも、その性質を保ちつつ伝播し、一定時間経過後に初期状態に戻る現象が観測された。 上記のフェルミらが観測した再帰現象は、非線形性がある場合にも、KdV方程式のような可積分系に近い系の性質によって、再帰が起きたと理解される。
249:１３２人目の素数さん
19/10/10 03:44:50.32 64e05J/b.net
>>324
違います。
Zermelo ordinal number なるものが何かまだ誰も定義していません。
Z(0)=0, Z(1)={0}, Z(2)={{}},‥‥
はいいでしょう。
そのように定義したいなら定義してもいいでしょう。
ただしコレもキチンと論理式で定義しないとだめなんですよ。
しかしココまでは難しいけどできるのは確認済みです。
問題になっているのはω番目以降です。
まだだれも
Z(ω), Z(ω+1),‥‥
を定義した人はいません。
基数の全体cardinal numberについては
x:cardinal number :⇔ x:ordinal number ∧ ∀y<x(#y≠#x)
と定義され、
よつて整列順序クラスOrdの部分クラスなので自然に整列順序集合となり、
整列写像: ℵ:Ord→Cardが定義されます。
この対応からCardの超限帰納法を用いる定義
ℵ(0) :=0
ℵ(a+1) := min{x ∈Ord | #x>#a}
ℵ(a) := min{x ∈Ord | #x>#a} (if a is a limit number)
が誘導される事がわかります。
のでこれを定義に用いる事も出来ます。
どちらも大して難しい定義ではないのでどちらを定義に採用する事もあるとは思いますが、
ポイントは超限帰納法で定義するなら後者ℵ(a+1)をℵ(x) (x≦a)で表現するだけではダメでaがlimit numberのときのℵ(a)を定めないと超限帰納法は完成しません。
あなたはaがlimit numberの場合のΩ(a)を論理式を用いて定義しなければなりません。
250:１３２人目の素数さん
19/10/10 04:16:23.27 64e05J/b.net
訂正
ℵ(a)=min{x| ∀y<a #x>#ℵ(y)}
です。
超限帰納法は多くの場合、後者順序数(successor ordinal number) と極限数(limit number)について別途定める必要があります。
Zermelo ordinal numberは後者順序数の場合しか定められていません。
251:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 10:48:34.46 K6AlmfoH.net
>>230
そんな思考をしていたら、百年経っても、ノイマンを抜けないよ
もっと、巨人の肩に乗ることを考えないと
伊能 忠敬が、昔全国を回って測量し日本地図を作った
それは確かに偉業ではある
でも、我々はグーグルマップを使えば良い
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「巨人の肩の上にのる矮人」（きょじんのかたのうえにのるわいじん、ラテン語: nani gigantum umeris insidentes [1]）という言葉は、西洋のメタファーであり、現代の解釈では、先人の積み重ねた発見に基づいて何かを発見することを指す。
「巨人の肩の上に立つ」、「巨人の肩に座る」、「巨人の肩に登る」、「巨人の肩に乗る小人」、「巨人の肩に立つ侏儒」などの形でも使われる。
科学者アイザック・ニュートンが1676年にロバート・フックに宛てた書簡で用いた、[2]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
伊能 忠敬（いのう ただたか[注釈 1]、延享2年2月11日（1745年2月11日） - 文化15年4月13日（1818年5月17日））は、江戸時代の商
252:人・天文学家である。通称は三郎右衛門、勘解由（かげゆ）。字は子斉、号は東河。 寛政12年（1800年）から文化13年（1816年）まで、17年をかけて日本全国を測量して『大日本沿海輿地全図』を完成させ、国土の正確な姿を明らかにした。
253:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 10:58:25.27 K6AlmfoH.net
>>230
念押ししておきたいが
１）おれが、定義を書けるかどうかと、
大学以上の数学として、その数学概念が確立されているかどうかは別
判断基準間違っているよ
そんな判断基準なら、現代数学の99％は消滅するじゃないｗ(゜ロ゜;
２）逆に、おれは、あなたを基準にしていない
あなたが、納得するかどうか？ 理解できるかどうかを基準にしていない
あなたが、基準にならないことは、１）に同じだ
254:１３２人目の素数さん
19/10/10 11:19:21.50 64e05J/b.net
>>232
もちろん過去の偉人が証明した結果はいくらでも利用してください。
その事を非難した事はありません。
既に証明されている事実はいくら使っても結構です。
その上でΩを構成してください。
255:１３２人目の素数さん
19/10/10 11:35:00.35 64e05J/b.net
>>233
結構ですよ。
証明はわからないがこんな結果はあるというなら使っていただいて結構です。
少なくとも私は順序数に符合付ける方法
Z(0),Z(1),‥,Z(ω),Z(ω+1),‥
で
Z(0)=0
Z(x+1)={Z(x)}
を満たすものの存在は否定しません。
それは超限帰納法を用いれば簡単に出来る事だし、それは学部の一回で習う当たり前の事です。
問題にしてるのはあなたが引用している内容何を使っても自動的にΩ=Z(ω)が定められたりはしないという事です。
もちろんあなた自身がそれをできなくても絶対できないというつもりはありません。
できる事の証明されはできてもできない事の証明は一般にはとても難しいからです。
ので私はΩが存在できない事を主張した事はありませんし、それをしようとも思いません。
ただこうやればできると主張する人の主張に間違いがあれば指摘はします。
もっか私はしばし待てば定義を与えるというあなたの言に従って待っている状態です。
256:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 18:39:11.25 K6AlmfoH.net
>>233 補足
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
デデキント無限
(抜粋)
数学において、集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。
デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない[1]。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。
目次
1 通常の無限集合の定義との比較
2 ZFにおけるデデキント無限
3 歴史
4 選択公理との関係
5 可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明
6 一般化
7 引用文献
8 参考文献
通常の無限集合の定義との比較
デデキントの意味での“無限集合”は、普通の意味での無限集合と比較されるべきであろう:
集合A が無限であるとは、どのような自然数 n に対しても、{0,1,2,..., n -1}（有限順序数）と A との間に全単射が存在しないことである。
無限とは、全単射が存在しないという意味で文字通り有限でないという集合である。
19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。しかし実際は、選択公理（“AC”）を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系（通常、“ZF”と表記される）からは、その同値性は証明され�
257:ｦない。弱いACを使うことで証明でき、フルの強さは要求されない。その同値性は、可算選択公理（“CC”）より真に弱い形で証明できる。 つづく
258:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 18:40:50.86 K6AlmfoH.net
>>236
つづき
一般化
圏論的な言葉で表現すれば、集合 A は集合の圏においてすべてのモノ射 f: A → A が同型射であるときにデデキント有限である。フォン・ノイマン正則環 R が（左あるいは右）R-加群の圏において同様の性質を持つことと、R において xy = 1 ならば yx = 1 が成り立つことは同値である。
より一般に、デデキント有限環 (Dedekind-finite ring) は、この条件（xy = 1 ならば yx = 1）を満たす環のことである。台集合がデデキント無限であっても環はデデキント有限となりうることに注意。例えば整数環。正則加群 RR がホップ的（すなわち任意の全射自己準同型が同型）であることと R がデデキント有限であることは同値である。
URLﾘﾝｸ(ring-theory-japan.com)
VON NEUMANN REGULAR RINGS WITH COMPARABILITY MAMORU KUTAMI Yamaguchi University 久田見 守（山口大学）第３９回環論および表現論シンポジウム（２００６年）
(抜粋)
1. 正則環における比較可能性と有限性
正則環は1936 年ノイマンによって連続幾何学の研究から見出された環であり、1950 年
代から1960 年代にかけての内海による商環の存在性の考察により、多数の正則環が存在
することが知られるようになった。そして、1960 年代後半に入り、有限条件と呼ばれる
ダイレクト・ファイナイト性やユニット正則性の研究が始められるようになった。ダイレ
クト・ファイナイト性はノイマン有限性或いはデデキント有限性とも呼ばれており、可換
環やネーター環及びアルチン環がダイレクト・ファイナイト環であることはよく知られて
いる。ユニット正則性は1968 年G.Ehrich によって与えられた概念である。ユニット正
則性やダイレクト・ファイナイト性は、正則環研究における重要な有限条件と呼ばれてい
る。何故これらの概念が有限性と呼ばれるかは、次の定理3 の性質を持つからであると推察される。
(引用終り)
つづく
259:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 18:41:43.06 K6AlmfoH.net
>>237
つづき
上記の出どころ
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
久田見 守 researchmap
URLﾘﾝｸ(ring-theory-japan.com)
環論ホームページ
URLﾘﾝｸ(ring-theory-japan.com)
国内会議案内（２００６年終了分）
第３９回環論および表現論シンポジウム（２００６年）
期間：２００６年９月１６日（土）ー１８日（月）
会場： 広島大学学士会館レセプションホール会議室１
(引用終り)
以上
260:１３２人目の素数さん
19/10/10 19:13:34.84 67UjvVEp.net
>しばし待てば定義を与える
詐欺師が約束守る訳ないじゃんｗ
この詐欺師、今まで何度約束を破ったことかｗ
261:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 20:21:05.62 JCH5uyU5.net
>>239
(引用開始)
>しばし待てば定義を与える
詐欺師が約束守る訳ないじゃんｗ
この詐欺師、今まで何度約束を破ったことかｗ
(引用終り)
？
「しばし待てば定義を与える」？
おれの言葉じゃないでしょ、それ（>>235）
約束もクソもない
1)おれは、定義書いたけど、相手が勝手に、ダメ出ししているんだけなのだが、とっくに約束は果たしているぞ！ｗ（＾＾
2)”Zermelo ordinal number”の定義？（>>230）?
おれが引用した Stanford Encyclopedia of Philosophy Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett Tue Jul 2, 2013
URLﾘﾝｸ(plato.stanford.edu)
を読めば良いんじゃ無いの？（＾＾
そもそも、”Zermelo ordinal number”なんて、おれが勝手に定義するものではない！ｗ（＾＾
知りたけ�
262:黷ﾎ、Zermelo先生の原論文嫁めよｗ
263:１３２人目の素数さん
19/10/10 20:31:25.82 JxHMvoEF.net
>>224
＞それ、下記の”Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett”に書いてあるよ
英語読めてる？
>VII.Infinity
>This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set,
>and for each set a that it contains, also contains the set {a}.
> (Thus, this infinite set must contain ∅, {∅}, {{∅}}, ….)
>The natural numbers are represented by Zermelo as by ∅, {∅}, {{∅}}, …,
>and the Axiom of Infinity gives us a set of these.
ツェルメロの自然数における無限公理は
{∅, {∅}, {{∅}}, …, }
の存在を述べているだけ
{…{∅}…}なんて全然出てこないけどな
264:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 20:36:49.74 JCH5uyU5.net
>>236-237
そもそも、>>235って、論点ずれていると思うよ
>>236-237に引用したように
１）そもそも、無限にもいろいろありましてｗ
無限を扱う公理の強さによって、多種の無限が生じ、区別ができないこともある
２）その中で、ZFCのフルパワー選択公理を採用すれば
デデキント無限などで、可算無限は、一意に決まるのです（整列可能定理でもありますし）
３）しかし、アレフ0の次にカントールが導入したアレフ１について
連続体仮説では、アレフ0とアレフ１との中間には、濃度としての無限はないのだという
これは、ZFCとは独立なので、ZFC中では、アレフ0とアレフ１との中間の濃度は否定できない
４）要するに、論点は、まずは、無限を扱う公理の強さ、フルパワー選択公理を採用するかどうか？
そして、ZFCのフルパワー選択公理を採用したら、可算無限は、一意に決まるってことですよ
可算無限については、”Zermelo ordinal number”の定義の仕方で左右されるとかうんぬんとかの話じゃないでしょｗ（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
連続体仮説
連続体仮説の表現
自然数より真に大きく、実数より真に小さいサイズの集合がない、ということを連続体仮説は述べている。
もう少し正確には連続体仮説は「自然数を含むような任意の実数の部分集合は、実数との間に全単射が存在するか、自然数との間に全単射が存在するかのいずれかである」とも言い表せる。
公理的な立場から重要なことは、ZFC と連続体仮説は独立であるということである。
つまり ZFC に連続体仮説を付け加えた公理系も無矛盾であり、ZFC に連続体仮説の否定を付け加えた公理系も無矛盾である。連続体仮説は ZFC においては真としても偽としてもよいともいえる。
1963年、ポール・コーエンは強制法と呼ばれる新しい手法を用いて「ZFC から連続体仮説を証明することは出来ない」ことを示した。
コーエンはこの業績により、1966 年にフィールズ賞を受賞している。
265:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 20:42:13.48 JCH5uyU5.net
>>241
(引用開始)
ツェルメロの自然数における無限公理は
{∅, {∅}, {{∅}}, …, }
の存在を述べているだけ
{…{∅}…}なんて全然出てこないけどな
(引用終り)
そこの論点は終わっているよ
>>193にも書いたけど
無限公理で出来るのは、自然数Nよりも大きな集合です
自然数Nには、有限の元ｎ達が全部含まれている
それを超える元を、無限公理は許容しているのです
では、有限を超える元とは？
「ツェルメロ構成での任意aの後者関数；suc(a) := {a}」
これしかない
これに尽きる
じゃ、「ツェルメロ構成での任意aの後者関数；suc(a) := {a}」で有限でないなら
なんだ？
自明でしょｗ（＾＾
266:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 20:46:04.01 JCH5uyU5.net
「ツェルメロ構成での任意aの後者関数；suc(a) := {a}」
これを超限回（あるいは可算無限回と言っても良いだろう）繰返した存在
それ以外に何がある？
ノイマン構成に同じ
ただ、後者関数の定義が違うのみ
267:１３２人目の素数さん
19/10/10 20:52:30.24 JxHMvoEF.net
>>243
なんか、全然見当違いな方向に暴走してない？
Zermeloの自然数の延長としてωを構成すると
{∅, {∅}, {{∅}}, …, }になるって書いてある
君のいう超限回（可算無限回）繰返しなんて全然出てこない
＞自然数Nには、有限の元ｎ達が全部含まれている
＞それを超える元を、無限公理は許容しているのです
君が勝手に間違った思い込みしてるだけ
余計な元を含む、としか言えない <
268:１３２人目の素数さん
19/10/10 20:58:10.77 JxHMvoEF.net
質問
超限回（可算無限回）繰返しっていうけど
それで出来た集合Xって
X＝{x}となるxを持つの？
269:１３２人目の素数さん
19/10/10 23:14:56.74 64e05J/b.net
これは>>245さんが正しいね
> (Thus, this infinite set must contain ∅, {∅}, {{∅}}, ….)
>The natural numbers are represented by Zermelo as by ∅, {∅}, {{∅}}, …,
>and the Axiom of Infinity gives us a set of these.
この文章は
{∅, {∅}, {{∅}}, …, }
という集合が存在することが無限公理から証明できるという意味にしか取れないね。
270:１３２人目の素数さん
19/10/11 02:03:22.87 HNYXw+8U.net
数学も英語もできない工業高校卒
271:１３２人目の素数さん
19/10/11 03:40:34.98 HNYXw+8U.net
（よってこの無限集合は ∅, {∅}, {{∅}}, … を含んでいなければならない。）
ツェルメロにより自然数は ∅, {∅}, {{∅}}, … と表わされおり、無限公理は
これらのうちの一つの集合を我々に与える。
{…{∅}…}？ はぁ？ また妄想？
272:第六天魔王
19/10/11 06:47:25.80 6s83KSTC.net
>>249
＞ツェルメロにより自然数は ∅, {∅}, {{∅}}, … と表わされおり、
＞無限公理はこれらのうちの一つの集合を我々に与える。
「ツェルメロにより自然数は ∅, {∅}, {{∅}}, … と表わされおり、
無限集合はこれらの集合を我々に与える」
でいいだろ
273:現代数学の系譜 雑談
19/10/11 06:49:54.09 aKfhohl9.net
>>242
メモ：現代数学の”無限”のランドスケープ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
正確な記述
ある構造がより小さい濃度の初等部分構造を持つとする定理の部分を下方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。
ある構造がより大きい濃度の初等拡張を持つとする定理の部分を上方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
この事実を定理の一部とする場合もある。
例と帰結
自然数を N、実数を R とする。
この定理によれば、
(N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、
(R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。
もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。
レーヴェンハイム?スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。
例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。
つづく
274:現代数学の系譜 雑談
19/10/11 06:50:20.34 aKfhohl9.net
>>251
つづき
理論が範疇的 categorical であるとは、同型の違いを除いて唯一のモデルを持つことを意味する。
この用語は1904年、オズワルド・ヴェブレンが考案したもの[1]で、その後しばらくの間、数学者らは集合論を範疇的な一階の理論で記述することで、数学の堅固な基盤を築けると考えていた。
レーヴェンハイム-スコーレムの定理はこの希望への最初の打撃となった。
なぜなら、その定理によれば無限のモデルを持つ一階の理論は範疇的にはなり得ないからである。
さらに1931年、ゲーデルの不完全性定理によって希望は完全に打ち砕かれた。
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。
例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。
さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。
それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。
この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している。
歴史
以下の記述は主に Dawson (1993) に基づいている。
モデル理論の初期の歴史を理解するには、統語論的整合性（一階論理の推論規則を使って導かれるものには矛盾がないこと）と充足可能性（satisfiability、モデルがあること）を区別しなければならない。
いくぶんか驚くべきことに、ゲーデルの完全性定理がこの区別を不要とする以前でさえも、整合性 (consistency) という用語は場合によって違う意味で使われていた。
「トアルフ・スコーレムは亡くなる直前まで、この定理に彼の名が冠せられていることに憤慨していたという。彼は非可算集合の存在そのものが不合理であるとし、実在しないと考えていた」 - Poizat (2000)
(引用終り)
以上
275:第六天魔王
19/10/11 06:53:48.16 6s83KSTC.net
>>250-252
それ、安達のスレで書けよ
奴は、可算無限はともかく、非可算無限を認めたくないみたいだから
276:１３２人目の素数さん
19/10/11 06:59:23.02 6s83KSTC.net
{…{∅}…}（無限個の｛｝）を正当化するのに
ノンスタンダードモデルを持ち出したのなら
見当違いも甚だしいな
そのモデルにおいては自然数、つまり「有限」だろう？
>>235は、ツェルメロの自然数n’の延長として
極限順序数ω’を、{…{∅}…}として構成するなら
どうやって定義するのか、尋ねてる
馬鹿の貴様が相変わらず、何も考えずに
「超限回の繰り返し」とか中身のない妄想を
ほざいてるってわけだ 恥を知れよ(￣ー￣)
277:第六天魔王
19/10/11 07:03:15.94 6s83KSTC.net
余談
BABYMETALのDa Da Dance すげぇｗ
URLﾘﾝｸ(babymetalmatome.com)
でもBxMxCはやっぱ変態だｗ
URLﾘﾝｸ(babymetalmatome.com)
278:現代数学の系譜 雑談
19/10/11 07:03:26.99 aKfhohl9.net
>>252
(引用開始)
歴史
以下の記述は主に Dawson (1993) に基づいている。
モデル理論の初期の歴史を理解するには、統語論的整合性（一階論理の推論規則を使って導かれるものには矛盾がないこと）と充足可能性（satisfiability、モデルがあること）を区別しなければならない。
いくぶんか驚くべきことに、ゲーデルの完全性定理がこの区別を不要とする以前でさえも、整合性 (consistency) という用語は場合によって違う意味で使われていた。
(引用終り)
↓
ここ、日本語では意味が取りにくい
英語版は下記で、こちらがまだ分り易いだろう
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Lowenheim?Skolem theorem
(抜粋)
Historical notes
This account is based mainly on Dawson (1993).
To understand the early history of model theory one must distinguish between syntactical consistency (no contradiction can be derived using the deduction rules for first-order logic) and satisfiability (there is a model).
Somewhat surprisingly, even before the completeness theorem made the distinction unnecessary,
the term consistent was used sometimes in one sense and sometimes in the other.
(引用終り)
279:現代数学の系譜 雑談
19/10/11 07:11:35.27 aKfhohl9.net
>>253
『おっさんずラブ』ならぬ、おっさんずゼミか？(゜ロ゜;
おれは、そんな趣味ないよｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
おっさんずラブ
(抜粋)
『おっさんずラブ』は、2016年からテレビ朝日系列において放送されているテレビドラマシリーズである。同年12月31日（30日深夜）に『年の瀬 変愛ドラマ第3夜』として単発放送された[1][注釈 1]後、「土曜ナイトドラマ」枠で2018年に第1シリーズ[2]、2019年に第2シリーズが放送予定である。
概要
企画
徳尾は打ち合わせの際は男女の恋愛観の差が大きく表
280:れており、その恋愛観がまざった結果本作が出来上がったのではないかと述べている[4]。さらに、徳尾は幼少時から『ママレード・ボーイ』といった少女漫画や少年漫画に親しんでおり、本作の表現の中には少女漫画に影響を受けたところもある[4]。 その一方、意図せずに視聴者を傷つける可能性があるとして、本作ではLGBTの悩みや葛藤についての描写は避けられた[4]。執筆当初、徳尾は「この表現をいれたらまずいかな」と悩んだこともあったが、ある時「同性同士だから面白いのではなく、少女漫画的な表現におっさんが真摯に取り組んでいるから面白い」ということに気づいたと振り返っている[4]。 単発版は一つの作品として作り上げられたため、制作チームは続編を作るべきか、新しい物語を作るべきか悩んだものの、「春田とハセの恋」は単発で完結していたため、連続版の制作にあたっては、単発版では描き切れなかった登場人物の過去や成長を掘り下げるということになり、最終的に連続版は新しい物語として作られることとなった[3]。
281:第六天魔王
19/10/11 07:13:17.86 6s83KSTC.net
>>256
馬鹿「俺のいう無限回の{}を重ねた{…{∅}…}は超準的な自然数なんだよ（キリッ）」
利口「ふーん、でもそれ、あくまで自然数であって超限順序数じゃないじゃん（ワロス）」
282:第六天魔王
19/10/11 07:15:41.63 6s83KSTC.net
>>257
＞『おっさんずラブ』
意味がわからん
一言だけいっとくと、貴様、安達は自分より下だと思ってるみたいだけど
はっきりいって、貴様の数学の理解度は安達よりもはるかに下だよｗ
283:第六天魔王
19/10/11 07:20:11.75 6s83KSTC.net
安達は世間的な無限否定論者
馬鹿はオカルト的な無限肯定論者
ここでオカルト的と言ってるのは
「現代数学の無限とは全然異なる」
という意味ｗ
284:現代数学の系譜 雑談
19/10/11 10:29:27.72 RRsRScoq.net
>>251
メモ：現代数学の”無限”のランドスケープ
追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
デデキント無限
(抜粋)
ZFにおけるデデキント無限
次の4条件は、ZF上同値である。特に、これらの同値性はACを用いないで証明できることに注意せよ。
・A はデデキント無限である。
・全射ではないが単射であるようなA からA への関数が存在する。
・自然数の集合N からA への単射が存在する。
・A は可算無限な部分集合を持つ。
どのようなデデキント無限集合A も以下の条件を満たす。
・単射ではないが全射の、A からA への関数が存在する。
このことを、“A は双対デデキント無限である”という。A が双対デデキント無限であるならばA がデデキント無限であるということは（ACを除いたZF上で）証明可能でない。
どのような双対デデキント無限集合も次の（同値な）条件を満たす、ということがZF上で証明できる。
・A から可算無限集合への全射が存在する。
・A の冪集合がデデキント無限である。
（この条件を満たすことを、弱デデキント無限(weakly Dedekind infinite)であるということがある。）
弱デデキント無限であるならば無限であることはZFにおいて証明されている。
また、整列無限集合はデデキント無限であることもZFにおいて示されている。
つづく
285:現代数学の系譜 雑談
19/10/11 10:29:53.11 RRsRScoq.net
>>261
つづき
選択公理との関係
整列可能な任意の無限集合はデデキント無限である。ACは任意の集合が整列可能であることを述べた整列可能定理と同値であるから、ACから無限集合はデデキント無限集合であるということが簡単に導かれる。しかしながら、無限とデデキント無限の同値性はACよりもっと弱いものである。すなわちこの同値性を仮定してもACは導かれない。
とくに可算無限な部分集合を持たない無限集合の存在するようなZFのモデルが存在する。このモデルでは無限だがデデキント有限である集合が存在する。以上よりそのような集合はこのモデルにおいて整列不可能である。
可算選択公理CC（ACω）を仮定すればいかなる無限集合もデデキント無限であることが証明される。しかしながら、この同値性は、実際にはCCより真に弱い。（ZFの無矛盾性の仮定のもとで）CCは成立しないが2つの無限集合の定義の同値性が成り立つZFのモデルが存在する。すなわちこの同値性を仮定してもCCは導かれない。
可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明
デデキント無限集合が無限であることはZFで容易に証明される。実際、任意の
286:有限集合はある有限順序数と等濃であって、有限順序数がデデキント有限であることは帰納法により証明できる。 可算選択公理を用いることによって、その逆が証明できる。つまり、無限集合はデデキント無限であることを以下のように証明できる[2]。 (引用終り) 以上
287:現代数学の系譜 雑談
19/10/11 10:31:48.30 RRsRScoq.net
>>259
一言だけいっとくと、貴様、安達は自分より下だと思ってるみたいだけど
はっきりいって、貴様の数学の理解度は安達よりも上だとしても、ほんの少しだよｗ(゜ロ゜;
288:現代数学の系譜 雑談
19/10/11 10:48:25.45 RRsRScoq.net
>>262
念押しな（＾＾
(引用開始)
可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明
デデキント無限集合が無限であることはZFで容易に証明される。実際、任意の有限集合はある有限順序数と等濃であって、有限順序数がデデキント有限であることは帰納法により証明できる。
可算選択公理を用いることによって、その逆が証明できる。つまり、無限集合はデデキント無限である
(引用終り)
289:１３２人目の素数さん
19/10/11 11:02:38.27 YULRpgNc.net
>>264
からの何が言いたいん？
290:１３２人目の素数さん
19/10/11 16:13:44.59 YULRpgNc.net
そもそも
X={…{∅}…}
なんて集合を考えたら
F(X)={Y|∃x1∈ x2∈ x3∈‥xn Y=x1, X=xn}
とおくときF(X)には単元集合(singleton)しか許してもらえないんでは？
表記的に？
どこまで行っても単元集合しか出てこないとしか解釈できない希ガス。
291:第六天魔王
19/10/11 19:05:02.65 6s83KSTC.net
>>262 >>264
やれやれ、馬鹿は全然理解してないくせに
二言目には選択公理と絶叫する悪癖があるなｗ
だいたい、聞かれてるのはωにあたる
ツェルメロ構成の集合をどうやって
定義するかだろ
何の考えもなく
「超限回のくり返し！！！」
とかわめき続けてるのは
正真正銘の馬鹿の証拠ｗ
292:第六天魔王
19/10/11 19:08:16.67 6s83KSTC.net
馬鹿は
0’={}
1’={{}}
2’={{{}}}
…
だから
ω’も{…{}…}に違いない
と思い込む点で底抜けにアタマが悪いｗ
293:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 06:41:17.58 0oc9Ztsl.net
>>112 補足
∈の無限降下列と従属選択公理の話（下記）
ゼルプスト殿下 @tenapyonは、藤田博司先生愛媛大
URLﾘﾝｸ(togetter.com)
「従属選択公理」の検索結果 Togetter
URLﾘﾝｸ(togetter.com)
2014年12月23日 Togetter
【基礎の公理】∈の無限降下列を作るには従属選択公理ではなく可算選択公理があればよいか?
(抜粋)
はかり @mg_toHKR
正則公理と無限降下列の非存在が同値であることを示すのに使ったのは従属選択公理だけど、無限降下列作るなら別に可算無限でいいわけだし可算選択公理でも良いのでは
MarriageTheorem @MarriageTheorem
twitter.com/mg_toHKR/statu… これ、何となく違いそうな気がするけど実際どうなのでしたっけ
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@MarriageTheorem 「可算回の選択だから可算選択公理で十分では？」という考えの問題点を指摘するのは簡単ですが、反例があるかというと、それは基礎の公理が破れているのに∈-無限下降列が存在せずそのうえ可算選択公理が成立するモデルなので、容易には用意できませんね
ゼルプスト殿下 @tenapyon
フレンケル・モストフスキ・モデルの方法で基礎の公理の二つのバージョンが同値でないことは示せる気がするので、あとはそのモデルで可算選択公理とが成立しているかどうかですかね。
USB^800 @usb_usb
アイディア：ZF＋可算選択公理＋￢DCのモデルからスタート。<X,R>を￢DCのウィットネスとする。このXは外延的（xとyのpredessor全体が一致したらｘ＝ｙ）と思ってOK.
USB^800 @usb_usb
permutationモデルでもOKだと思うけど、もっと簡単そうな旧版クーネン4章演習１８を使う。VからVへの写像FをXの要素ｘとそのpredessor全体をスワップ、ほかは動かさないようなものとして、aEb ⇔a ∈F(b)で定義する。
USB^800 @usb_usb
一般論として、＜V,E>はZF^-のモデルになる。後は本物の可算選択公理から<V,E>も可算選択公理をみたし、ついでにEの無限降下列は存在しないことがチェックできる、はず。
USB^800 @usb_usb
あ、あともちろん<V,E>では正則性はなりっていないこともチェックできる。
つづく
(deleted an unsolicited ad)
294:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 06:42:21.35 0oc9Ztsl.net
>>269
つづき
USB^800 @usb_usb
（もうちょっと発展させれば、修士論文あたりのネタにはできそう…）
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@usb_usb @MarriageTheorem あっ、もう詳細が書いてありましたね。俺の考えた筋は少し違ってて、木[0,1]^{<ω}を下向きの半順序だと思ってこれと同型な推移的集合Tが存在する集合論でWF(T)を作りTの節の後続者を入れ換える置換の群で置換モデルを作るの。
USB^800 @usb_usb
@tenapyon @MarriageTheorem ZF＋可算選択公理＋￢DCのモデル作るのに使うといえば使います。このモデルが得られちゃえば、あとはそこから非整礎モデルをつくる普通の方法で。
はかり @mg_toHKR
@tenapyon はじめまして。可算選択公理の話、もうただすごいなぁと思って見ていたのですが可算選択公理は選択公理を可算無限に制限したものではないのですか？
いきなり質問しちゃってすみませんがよろしければ・・・
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@mg_toHKR こんにちは 可算選択公理は可算個の集合が先に与えられているときに「こいつらから1個ずつ要素を取ってこい」って言われたらできますよ、っていうことですね。これに対して従属選択公理は、1人を倒してもそれより強い奴が無数にいる少年ジャンプの作品世界みたいな所で（続き
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@mg_toHKR 1人目はこいつ、2人目にそれより強いこいつ、3人目にさらにそれより強いこいつ、…、という無限列が取れますよということで、選択は確かに可算回ですが、選択されるものの範囲がそれまでに選択してきたものに依存しながら変わっていくところが違います。
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@mg_toHKR この違いが意外に大きいんです。∈無限下降列は、何か集合が決まらないと、その次に取る要素の範囲も決まらないから、従属選択が必要になってくるのです。
って説明でよろしいでしょうか？
つづく
295:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 06:42:42.57 0oc9Ztsl.net
>>270
つづき
はかり @mg_toHKR
@tenapyon わかりやすい説明ありがとうございます！
可算選択公理は最初から可算無限個の集合がないと使えないんですね・・・
本当にありがとうございます、勉強になりました。
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@mg_toHKR どういたしまして(^^)
集合論のこのあたりに詳しい人は日本ではまだまだ層が薄いので、興味を持ってくれる人がいると本当に嬉しいです。
(引用終り)
以上
296:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 07:50:14.04 0oc9Ztsl.net
>>266
ども、レスありがとう
>どこまで行っても単元集合しか出てこないとしか解釈できない希ガス。
同意です
補足説明します
普通の自然数N+ω：1,2,3,・・n,・・,ω
に対して（ωは極限順序数で>>164ご参照）
(>>210より)
ノイマン構成：1n,2n,3n,・・nn,・・,ωn
後者関数n；suc(a)n := a∪{a}
ツェルメロ構成：1e,2e,3e,・・ne,・・,ωe
後者関数e；suc(a)e := {a}
ここで、ノイマン構成同様に、ツェルメロ前者集合の和を取る
Σen＝{Φ,1e,2e,3e,・・n-1e}((簡便に表現した) なお、集合の濃度はn)
縦に並べると
1,1n,1e,Σe1
2,2n,2e,Σe2
3,3n,3e,Σe3
・
・
n,nn,ne,Σen
・
・
ω,ωn,ωe,Σeω
＜まとめ＞
・ωnは、ノイマンの極限順序数ω相当で、有限の前者関数nたちの和で、自然数N相当（区別のためにNnとでも）
・ωeは、ツェルメロの極限順序数ω相当で、有限の前者関数nの極限の単元集合(singleton)（順序型）
・Σeωが、ツェルメロの自然数N相当で、有限の前者関数eの和の極限の集合（濃度）
・なので、ノイマン構成では、順序型と濃度を一つの後者関数nで表現できている
対して、ツェルメロ構成での後者関数eでは、表現できるのは順序型のみ
297:濃度の議論には別の集合、例えば前者関数eの集合和Σenみたいなのが必要（これがツェルメロ構成の欠点） 以上
298:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 08:02:50.36 0oc9Ztsl.net
>>272
補足
縦に並べると
1,1n,1e,Σe1
2,2n,2e,Σe2
・
・
・
ω,ωn,ωe,Σeω
で
自然数N+ω、ノイマン自然数Nn+ωn、ツェルメロ自然数Ne+ωe、ツェルメロの前者の和集合Σen+Σeω
この４者の間に全単射が存在します
この一言を付け加えておきます
（蛇足みたいだが、もし試験答案で時間があるならなら一言書くべき。”分かっているよ”というアピールのために（答案が戻って来ない試験がある。減点されても、文句をいう機会がない場合がある））
299:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 08:07:46.82 0oc9Ztsl.net
>>272 追加
ここらは、全部下記の”Stanford Encyclopedia of Philosophy”に、類似のことが書かれていると思うよ
（>>224より）
URLﾘﾝｸ(plato.stanford.edu)
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett
First published Tue Jul 2, 2013
(抜粋)
3. The Major Problems with Zermelo's System
3.1 Separation
3.2 Completeness
3.2.1 Representing Ordinary Mathematics
3.2.2 Ordinality
3.2.3 Cardinality
3.2.4 Ordinals
300:１３２人目の素数さん
19/10/12 08:10:24.44 Ty9mG3gK.net
>>272
では
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
には最大値が存在してしまうのでは？
∵) 最大値がないとする。
任意にmをとるとき長さmの列
xmn‥∈ xm3∈ xm2∈xm1, Ω=xm1
が存在するが
全てのm,l≧1でΩ=xm1=xl1なのでこれをx1とおく。
全てのm≧2でxm2∈x1、x1はsingletonなのでxm2は共通。これをx2とおく。
全てのm≧3でxm3∈x2、x1はsingletonなのでxm3は共通。これをx3とおく。
‥‥
この時‥‥x3∈x2∈x1は無限降鎖列により正則性公理に矛盾。□
正則性公理は外せないけどもう少しうまくやればACも外せるし。
301:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 09:18:29.19 0oc9Ztsl.net
>>275
どうも。レスありがとう
>{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
>には最大値が存在してしまうのでは？
別に言い訳するつもりはないけど
>>272で同意したのは、
ツェルメロ構成では、「どこまで行っても単元集合しか出てこない」ということなのです
で、あなたの
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
に対して
>>266では
F(X)={Y|∃x1∈ x2∈ x3∈‥xn Y=x1, X=xn}
だったでしょ
つまり、順序が逆
例えば
1,2,3,・・・,n
は上昇列だが
-n,・・・,-3,-2,-1
降下列です
公理的集合論から、自然数N（0,1,2,3,・・・,n,・・）が得られた後に
整数Zを構成して、負数 -n,・・・,-3,-2,-1 なる降下列の構成（無限降下列も可）は、ありでしょう
いま、問題にしていることは、公理的集合論で
空集合Φから、後者関数のみを使って、作った集合で∈順序がどうなるか（無限降下列が存在するかどうか）？
それは、後者関数の作り方にもよるけど、選択公理（あるいは可算選択公理）にも関連しているらしい（>>269）（＾＾
（もちろん、正則性公理も重要）
そして、たとえ有限を扱っていても、青天井（いくらでも大きな）なら、
「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない」
（レーヴェンハイ-スコーレムの定理）みたいなことになる（>>251）
で、まとまらないけど、
要するに、負数 -n,・・・,-3,-2,-1 なる降下列は、今論じている∈順序とは別と思う（おそらく一般的な順序型の議論になる）
これ以上の細かい議論は、>>266 ID:YULRpgNc さんとよろしく
（もしあなたと同一人物ならご容赦）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
レーヴェンハイ-スコーレムの定理
(抜粋)
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
この事実を定理の一部とする場合もある。
302:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 09:26:43.89 0oc9Ztsl.net
>>276 タイポ訂正
レーヴェンハイ-スコーレムの定理
↓
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
（二箇所）
な（＾＾；
303:１３２人目の素数さん
19/10/12 09:26:58.57 9mz947Hb.net
>>276
>>275の証明中にでてくる集合にはF(Ω)しかでませんよ？
向き関係ありません。
まだ無限列は出てきてないし。
304:１３２人目の素数さん
19/10/12 09:30:11.84 9mz947Hb.net
集合の元ね。
F(Ω)の元しかありません。
もし>>275の証明に納得�
305:ｪいかないなら証明中の ××はsingletonであるから という下りのところがおかしいという説ですが、ここにF(Ω)の元しか出てこないのはわかりますか？
306:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 09:37:23.07 0oc9Ztsl.net
>>272-273 補足
ツェルメロ構成での前者関数eの集合和Σen は、
>>276との関連で言えば
包含関係での⊂順序にはなるが、
帰属関係の∈順序にはならない
それは、公理という視点では、問題でしょうね
（∵ ∈だけで話を済ますのが綺麗。⊂は、定義されていないのだから）
307:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
19/10/12 09:45:09 0oc9Ztsl.net
>>278-279
？
（>>272より）
ツェルメロ構成：
後者関数e；suc(a)e := {a} （aのシングルトン {a} ）
これで a∈ {a}
つまり、前者集合e ∈ 後者集合e
ですよ。逆転はない
308:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:00:47.57 9mz947Hb.net
いや、>>275の証明について行ってるんですよ。
では順に行きましょう。
xm1がΩなので共通なのはいいでしょ？
次にxm2(m≧2)について全てのmについて
xm2∈x1=Ω、かつΩがsingletonなのでxm2は共通。
すなわち
x22=x32=x42=‥‥
なのは認めますか？
309:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 10:06:43.68 0oc9Ztsl.net
>>269
＜補足参考＞
従属選択公理(axiom of dependent choice)は、ADCか
URLﾘﾝｸ(alg-d.com)
従属選択公理について 壱大整域 2013年10月25日
(抜粋)
定義 次の命題を従属選択公理(axiom of dependent choice)という．
非空集合 X 上の二項関係 R⊂X×X が「任意の x∈X に対してある y∈X が存在して xRy」を満たすとき，Xのある点列 { xn }n∈ωが存在して任意の n に対して xnRxn+1 となる．
命題1 選択公理 ⇒ 従属選択公理
命題2 従属選択公理 ⇒ 可算選択公理
定理 選択公理 ⇔ 任意の順序数αに対してDC(α)が成り立つ．
選択公理は、AC
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）
(抜粋)
なお、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）に一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できる[2]。
従って、一般連続体仮説と選択公理は何れもZFとは独立だが、前者の方がより強い主張であると言える。
可算選択公理は、ACCやACω
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
可算選択公理（英: Axiom of countable choice）ACωとも表記される
連続体仮説は、CH
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
連続体仮説（れんぞくたいかせつ、Continuum Hypothesis, CH）
決定性公理は、ADか
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
決定性公理 （けっていせいこうり、英: axiom of determinacy）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of determinacy
310:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 10:07:50.87 0oc9Ztsl.net
>>282
どうぞ、>>275の方とお願い致します。
311:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:12:11.17 fCB4Xy97.net
>>284
あれ？認められないの？
312:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:13:43.04 fCB4Xy97.net
なぜ？
313:１３２人目の素数さん
19/10/12 10:30:09.64 zrApsl4A.net
>>275みたいに全部数式だと無理なのかな？
長さに上限がないとすると各自然数に対して
Ω=x11
Ω=x21∋x22
Ω=x32∋x32∋x33
Ω=x41∋x42∋x43∋x44
‥‥
が取れる。
どの列も長さ有限。昇順も降順もない。
するとここに出てくるxijは>>266を認めると全部singletonになるので縦に並んでる元が全部同一になってしまう。
するとxiiを並べてできる列が
x11∋x22∋x33∋‥‥
を満たしてしまうんだけど？
314:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 11:56:57.56 0oc9Ztsl.net
>>287
申し訳ないが、意味が取れない
１）下記、Zermelo (1908b) ”(b) the existence, for any object a, of
315:the singleton set {a} which has a as its sole member” ２）これは、>>175の通り、ZFCでは、対の公理で「a → {a}」が言える ３）で、Zermelo (1908b)では正則性公理は、無かった（∵1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された） ４）しかし、ZFCの対の公理による「a → {a}」の the singleton set {a}生成 に、正則性公理からの規制（有限回に限られる？）があると、そういう話はないでしょ？ じゃ、ZFCの対の公理による「a → {a}」の the singleton set {a}生成が、これの超限回繰返しが可能なわけですよね （>>224より） https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/ Stanford Encyclopedia of Philosophy Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett First published Tue Jul 2, 2013 (抜粋) 1. The Axioms Given this, the one fundamental relation is that of set membership, ‘ε’ , which allows one to state that an object a belongs to, or is in, a set b, written ‘a ε b’.[4] Zermelo then laid down seven axioms which give a partial description of what is to be found in B. These can be described as follows: I.Extensionality This says roughly that sets are determined by the elements they contain. II.Axiom of Elementary Sets This asserts (a) the existence of a set which contains no members (denoted ‘0’ by Zermelo, now commonly denoted by ‘?’); (b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member; and (c) the existence, for any two objects a, b, of the unordered pair {a, b}, which has just a, b as its members. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。
316:１３２人目の素数さん
19/10/12 12:08:13.78 Ty9mG3gK.net
>>288
どの行がわからないですか？
仮定は降鎖列の長さに最大値が無いですね。
では長さ1の列があるからそれを
Ω=x11
とおくのはいいですよね？
次に長さ2の列もあるから
Ω=x21∋x22
もありますよね？
以下
Ω=x32∋x32∋x33
Ω=x41∋x42∋x43∋x44
といくらでも長いのがあるのでACであらかじめ取れますよね？(ほんとはACいらないけど、それは多分納得してもらえそうに無いので諦めます)
ここまでは理解できますか？
317:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 13:52:28.42 0oc9Ztsl.net
>>289
（>>287において）
１）定義が無い。 x11とは？ これは何ですか？
２）Ω=x11、Ω=x21∋x22？ これは何ですか？
「Ω=x11」と「Ω=x21∋x22」とで、二つのΩは別ものですよね、明らかに。これ、記号の濫用ですか？
３）x11∋x22∋x33∋‥‥？ これは何ですか？
例えば、「x11∋x22」の証明は？ 略証でもいいけど
318:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 13:59:45.75 0oc9Ztsl.net
>>288
> ２）これは、>>175の通り、ZFCでは、対の公理で「a → {a}」が言える
補足
繰返すが、どんな集合であれ、対の公理で「a → {a}」が言えるのです
これは、公理だから、無制限に成立します（有限に限らない）
aが、たとえ無限集合でも、まとめて、the singleton set {a} にできる
回数は、無制限です
１）例えば、aが実数の集合Rで非可算無限集合としても、{R}はシングルトンです
２）そこで分り易く、素朴集合論で、おもりに例えてみよう（分かり易さは人によるけど（＾＾ ）
おもりの列：1g,2g,3g,・・ng・・
これ、全部1元集合の列で、シングルトンの列。集合の濃度は１です
しかし、おもりは重さという指標をもっている
そして、順序列を成す
1g<2g<g3<・・<ng<・・ （可算自然数N内とします）
です
３）そして、重さという指標の順序列で、極限で極限順序数ωが可能
４）それには、>>287みたく二次元の指標 (x,y)を使えば良い（下記 直積集合上の順序「辞書式順序」 ご参照）
(0,1g)<(0,2g)<(0,3g)<・・<(0,ng)<・・<(
319:1,1g)<(1,2g)<(1,3g)<・・<(1,ng)<・・ とすれば良い この場合、(0,ng)<・・の後の、最初の(1,1g)がωに相当します。順序型という意味の対応でね （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88 順序集合 直積集合上の順序 ・辞書式順序: (a,b) <= (c,d) ⇔ a<c ∨ (a=c ∧ b<=d) つづく
320:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 14:00:58.59 0oc9Ztsl.net
>>291
つづき
（追加参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.okayama-u.ac.jp)
Prof. Dr. YUJI YOSHINO
Department of Mathematics
Faculty of Science
Okayama University
URLﾘﾝｸ(www.math.okayama-u.ac.jp)
Teaching (in Japanese) Old Lectures
URLﾘﾝｸ(www.math.okayama-u.ac.jp)
２００３年度「代数基礎」講義(２回生用）YUJI YOSHINO 岡山大
集合の記号になれる
(抜粋)
P11
3.2 順序数
? 各整列集合の同型類にひとつずつ「名前」をつける。与えられた整列集合が属する同型類の名前をその整列集合の順序数という。
? 有限整列集合 {1, 2, . . . , n} の順序数を n と書く。（心は nth の意味。）
? 整列集合 N の順序数を通常 ω で表す。
? 辞書式順序の定義。
? S と T が整列集合のとき，辞書式順序で S × T もまた整列集合である。
? 順序集合の合併。
? S と T が整列集合のとき，その合併 S + T もまた整列集合である。
? S と T が整列集合で，それぞれの順序数が α, β のとき，その和 α + β を S + T の順序数，その積
α ・ β を S × T の順序数として定義する。
例題 3.2.1 n ∈ N について，n + ω = ω である。一方， ω + n 6= ω である。理由を考えよ。
例題 3.2.2 n ∈ N について，n ・ ω 6= ω ・ n である。実際，ω ・ 2 = ω + ω, 2 ・ ω = ω である。
定理 3.2.3 (整列集合の比較定理) 二つの整列集合 S と T があるとき，つぎのどれかひとつだけが必ず
成立する。
(1) S と T は順序同型である。
(2) a ∈ S が存在して，S < a > と T は順序同型である。
(3) b ∈ T が存在して，S と T < b > は順序同型である。
? S と T の順序数がそれぞれ α, β であるとする。(1) ～ (3) の状況のとき，それぞれ α = β, α > β,
α < β と定義する。
系 3.2.4 (順序数の比較可能定理) α, β が順序数のとき，α = β, α > β, α < β のどれかひとつだけが必
ず成立する。
例題 3.2.5 1 < 2 < ・ ・ ・ < ω < ω + 1 < ・ ・ ・ < ω ・ 2 < ω ・ 2 + 1 < ・ ・ ・ < ω ・ 3 < ・ ・ ・ < ω ・ ω < ・ ・
321:１３２人目の素数さん
19/10/12 14:01:37.70 Ty9mG3gK.net
ではもう少し詳しく書きます。
仮定は
Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm
なる形の列の長さに上限がないですね。
この仮定の元に自然数mに対して
X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}
がいずれも空集合にならない事は理解できますか？
条件を満たすいくらでも長いものがある
⇒条件を満たす任意の長さのものがある
です。
322:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 14:30:59.97 0oc9Ztsl.net
>>292
> 有限整列集合 {1, 2, . . . , n} の順序数を n と書く。（心は nth の意味。）
そうそう、日本語では、基数詞（簡単には個数を数える）と序数詞（順番）との区別が、助数詞（個・番など）でなされる
前者は１個２個で、後者は１番２番など
数学においては、”nth”は略して書かないので、日本語記法に近い
が、ノイマンとかツェルメロとか、彼らの思考は基数詞（Cardinal）と序数詞(Ordinal)とが峻別されているのです、きっと（＾＾
だから、かれらの文書を読むとき、「Cardinalの話なのか、Ordinalの話なのか」を、日本人はしっかり意識しておかないと
迷走してしまいがちです
そして、いまの議論は、全部シングルトンだからCardinalは1だが
しかし、順序型(Ordinal)としてはωに相当する列のシングルトンの集合が存在しうるよということ
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
323:5%B0%E8%A9%9E 数詞（すうし）とは、数を表す語である。言語及び数詞の種類により、名詞、形容詞、限定詞などの下位の品詞に分類されるが、その性質は独特である。 (抜粋) 基数詞 基数詞（きすうし）とは、基数、すなわち分けて数えられるものの個数を表す数詞である。日本語の「いち」、「に」、「さん」は基数詞である。 序数詞 序数詞（じょすうし）あるいは順序数詞（じゅんじょすうし）とは、順序数、すなわち分けて数えられるものの順番を表す数詞である。 通常は基数詞から規則的に求められるが、小さい整数では不規則変化や補充形が見られる。例えば英語の序数詞は、first , second は補充形、third は不規則、fourth からは規則的（但し、21以降は一の位の数に従う）であり、フランス語では premier は補充形、deuxieme からは規則的である。 日本語では単独で序数詞を表すものはないが、「第-」を漢数詞（助数詞が付く場合は、算用数字で表すこともある）の前に付けるか、「-目」「-位」を助数詞の後に付けて表現される。 ・第二、第二回 ・二番目、二回目 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A9%E6%95%B0%E8%A9%9E 助数詞 (抜粋) 日本語の助数詞はバラエティに富んでおり、「個」、「匹」（動物）、「本」（細長いもの）、「枚」（平たいもの、厚みのないもの）など高頻度で多くの語に用いられる
324:現代数学の系譜 雑談
19/10/12 15:04:06.24 0oc9Ztsl.net
>>293
(引用開始)
仮定は
Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm
なる形の列の長さに上限がないですね。
(引用終り)
その記法は、混乱の元と思います
もし、有限長さｍならば
Ω=xm∋xm-1∋‥‥∋x2∋x1
と番号を付け直すべきですよ
そうしないと、大変混乱するでしょうね
正則性公理は、「空でない集合 x には ∈ に関して極小となる元 z ∈ x があること」ですからね
極小となる元を、１番にすべきですね
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
坪井明人
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
学群関係
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大
1.1.10 基礎の公理（正則性公理）
x ≠ Φ → ∃y(y ∈ x ∧ ￢∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y)).
空でない集合 x には ∈ に関して極小となる元 z ∈ x があること，
を直観的には意味している．
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理
(抜粋)
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない。
(引用終り)