19/10/06 20:20:14.94 d8OQiN+r.net
>>180
つづき
定義 5 (商集合).R を x 上の同値関係とする。このとき、「R による同値類がすべて属し、それ以外のモノが属さない集合」である
{y∈P(x)?∃a[a∈x∧y=[a]R]}
を商集合とよび x/R と書く。
商集合は直感的な内包的記法を使えば
{[a]⊂x?a∈x}
とも書けるだろう。こう書くほうがどのような集合かわかりやすいかもしれない (分出公理によって存在が保障されることはわかりにくいが)。
上で例示した ω 上の同値関係 M について考えると、その同値類は Mo と Me の2つであったので、商集合は
ω/M={Mo,Me}
となる。適当に代表元を定めて
ω/M={[0],[1]}
とも書ける。
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数学の基礎
19．素朴集合論とZF集合論
さて、集合の概念で、最も便利な性質、すなわち任意に命題 P が与えられたとき、P を満たす x 全体の集合、というものを考えたいのですが、これをそのまま公理にしたのでは、Russellのパラドクスにより矛盾が生じてしまいます。
そこで、通常の数学で、このような集合を考えたいときには、いつもどのような状況にあるかということを考えると、既に集合であることがわかっている a の元のうち、P を満たすようなもの全体からなる集合、というものを考えていることがわかります。そこで、分出公理：
∀a ∃b ∀x [ x∈b U ( x∈a ∧ P ) ]
を仮定しよう、という考え方があります。このような集合 b は、外延性公理により唯一つであることが証明できますから、これを { x∈a | P } と書きます。なお、ここで素直に「仮定します」と言わなかったのは、次のような、別の場面で必要となる公理があり、この分出公理はそこから導出できるからです。
つづく