19/10/06 15:56:48.05 d8OQiN+r.net
>>154 追加
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U-naguna
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) >
集合論の言葉による自然数の表現
(抜粋)
n の次の自然数を n∪{n} とする利点としては
・自然数 n に属するモノの個数は n となる
・自然数の大小関係 n<m が n∈m に一致する
ことが挙げられる。1つ目の方は後の記事で「個数とは何か」や「個数を数える (counting) とは何か」を定義する際に役立つ (今までなんとなく個数を数えてきたが、集合論の言葉でもう少しかっちりと定義することができる)。2つ目の方は、大小関係が集合論の記号だけで簡潔に表せるようになるという点で良い。
すべての自然数が属する集合
公理 2 (無限公理).
略
すなわち、「すべての自然数が属する集合」が存在する。
ここで注意すべきは、この公理で存在が証明されるのは「すべての自然数が属する集合」であって、「すべての自然数が属して、それ以外のモノが属さない集合」ではない。あくまで「すべての自然数が属する集合」が1つは存在すると言っているのである。
以降では「すべての自然数が属して、それ以外のモノが属さない集合」を「自然数集合」と呼び ω と書くことにする (文脈によっては N で表すことも多いだろう)。
つづく