19/10/06 10:54:12.47 d8OQiN+r.net
>>112 参考
先のPDFは2 学期で、下記のPDF１学期の続きだな
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
集合入門 坪井明人 筑波大
(抜粋)
１学期
1. 高校の復習など
2. ベキ集合，直積集合
3. ２項関係その１（同値関係，同値類，分割）
4. ２項関係その２（擬順序，順序）
5. 関数その１
6. 関数その２
7. 全順序集合
8. 数の構成その１（N から Z を構成する）
9. 数の構成その２（Z から Q を構成する）
10. 数の構成その３（時間があれば Q から R の
構成）
2 学期
1. 整列集合，辞書式順序
2. 超限帰納法
3. 選択公理
4. Zorn の補題
5. 整列可能性定理
6. ベルンシュタインの定理
7. 可算集合
8. 対角線論法
9. 集合の大きさと濃度
以上が２学期間で講義するおおまかな内容を列挙し
たものである．
151:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 11:23:00.82 d8OQiN+r.net
>>110 補足
>Infinity
>This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}.
> (Thus, this infinite set must contain Φ, {Φ}, {{Φ}}, ….)
で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど
無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki）
(引用終り)
ツェルメロ構成で、aの後者関数：suc(a) := {a} なので
上記、set a に対して set {a}が必ず属するという、無限公理の規定の仕方をしているのかな？
（原典まで確認していないが）
ノイマン流では、で、aの後者関数：suc(a) := a∪{a} なので
この場合の無限公理は、set a に対して a∪{a}が必ず属すると規定される
まあ、自然数ｎに対しその後者ｎ＋１が必ず属する集合Nが存在という意味だな
このNは、我々の望む自然数ｎ以上のものを含む。というか、含んでも無限公理上はしかたない
だから、あとから不要なもの（後者）を排除するしかない
では、不要なもの（後者）とは何か？ 我々の望むものは、自然数ｎ（有限）のすべて
だから、不要なもの（後者）とは、有限を超えたものであって、真に無限のもの
ツェルメロ構成では、真に無限の{・・・{Φ}・・・}なる無限多重カッコ{}の集合たちですね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
・
・
と非常に単純な自然数になる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無限公理
(抜粋)
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃A(Φ∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A))
152:１３２人目の素数さん
19/10/06 11:34:36.37 1g2Hn04k.net
>>151
> では、不要なもの（後者）とは何か？ 我々の望むものは、自然数ｎ（有限）のすべて
> だから、不要なもの（後者）とは、有限を超えたものであって、真に無限のもの
> ツェルメロ構成では、真に無限の{・・・{Φ}・・・}なる無限多重カッコ{}の集合たちですね
>
違いますよ。もし
n+1:={n}
と定義した場合は無限公理が保証してくれる無限集合をω'とした時、これは
n∈ω'⇒n+1∈ω'
を満たしていないからさらに議論が難しくなります。
それでも自然数全体を定義し、存在する事を証明する事はできますが、しかしそれはあくまで{0,1,2,‥‥}であって、あなたの求めるΩではありません。
証明をがどうこう考える以前にそもそもΩとは何かが定義されてないのに、それが存在する証明ができるはずありません。
153:１３２人目の素数さん
19/10/06 11:52:13.47 9PvOfF3Z.net
>>151
>まあ、自然数ｎに対しその後者ｎ＋１が必ず属する集合Nが存在という意味だな
>このNは、我々の望む自然数ｎ以上のものを含む。というか、含んでも無限公理上はしかたない
>だから、あとから不要なもの（後者）を排除するしかない
>では、不要なもの（後者）とは何か？ 我々の望むものは、自然数ｎ（有限）のすべて
>だから、不要なもの（後者）とは、有限を超えたものであって、真に無限のもの
>ツェルメロ構成では、真に無限の{・・・{Φ}・・・}なる無限多重カッコ{}の集合たちですね
これは酷い
154:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 12:48:48.24 d8OQiN+r.net
>>151 追加
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N
が出来る
無限公理によりできる集合N’には、自然数N以上の無限大の後者が含まれている
そこから、不要元をそぎ落として、自然数Nにする
集合N’が、正則性公理に反するだと？(゜ロ゜;
（参考）
URLﾘﾝｸ(hc3.seikyou.ne.jp)
平成26年度教員免許状更新講習テキスト
「数の体系」講師：牧野 哲 （山口大学工学部教授）2014 年 6 月 22 日
(抜粋)
P3
1.3 自然数系の（本質的）一意性
自然数系の標準的な代表として用いることにして，これを N と記す。
他の自然数系はみな，N に同型である。
P4
集合論から自然数系を構成する方法としては，
von Neumann の方法が知られている。
これは，
0 := Φ(空集合), 1 := {Φ}, 2 := {Φ, {Φ}}, ・ ・ ・ , s(n) := {0, 1, 2, ・ ・ ・ , n}, ・ ・ ・
とする。
また，Zermero の方法は，
0 := Φ, 1 := {Φ}, 2 := {{Φ}}, ・ ・ ・ , s(n) = {n}, ・ ・ ・
とする。
前者では，たとえば，3 ∈ 5 であるが，
後者では 3 not∈ 5 となり，
同じではないが，
どちらが優れているとも云いがたい。
(引用終り)
155:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 13:05:38.30 d8OQiN+r.net
>>154 追加
さて、上記von Neumannで、自然数Nが構成できる
無限降下列
0∈1∈2・・∈N・・∈N’
とでも書きますかね
0∈1∈2・・∈N・・∈N’の部分は無限長
0∈1∈2・・∈N’の部分も無限長
上段が、正則性公理でだめなら
下段も、正則性公理でだめ（＾＾
そもそも、順序数は無限なのだから、正則性公理で規制されるものではない
ところで、下記の「濃度と順序数 fujidig」では
”無限強単調減少列
x0 > x1 > x2 > . . . ”
という用語を使っています（＾＾
この用語が適切かどうか不明だが
「濃度と順序数 fujidig」では、最小元を持たない無限単調減少列という意味でしょう
（文学的表現では、底抜けってことですね）
一方、順序数での数列には、必ず最小元を持つ。それが、無限列であっても
正則性公理で禁止しているのは、明らかに、底抜けの最小元を持たない無限単調減少列です
最小元を持つ、上昇する無限列を禁止するものではない！（＾＾
URLﾘﾝｸ(fujidig.github.io)
でぃぐのページ ハンドルネーム: fujidig
URLﾘﾝｸ(fujidig.github.io)
濃度と順序数 fujidig
June 21, 2016
(抜粋)
P15
順序数というのは自然数が持つ「番号を振る」という目的を無限方向に拡張したものだといえる．
P16
・整列集合 N の型は ω と書かれる．これは最小の無限順序数である．
・順序数を小さい方から順に並べると
0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, . . . , ω2, ω2 + 1, . . . となる
・今並べたのは順序数のうちほんの小さい部分にすぎない．もっと大きい順序数がまだまだある
P17
命題 4
整列集合 X から無限強単調減少列
x0 > x1 > x2 > . . . はとれない．
証明.
x0 > x1 > x2 > . . . がとれると仮定する．
すると X の部分集合
{x0, x1, x2, . . . } には最小元がないため整列性に反する．
P18
命題 5
順序集合 X ≠ Φ が整列集合であるために
は，全順序集合であって無限強単調減少列
x0 > x1 > x2 > . . . がとれないことが
必要十分．
156:１３２人目の素数さん
19/10/06 13:12:10.67 9PvOfF3Z.net
>>154
これは酷い
157:１３２人目の素数さん
19/10/06 13:12:53.23 9PvOfF3Z.net
>>155
これは酷い
158:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 13:15:33.50 d8OQiN+r.net
>>128
どうも、ガロアスレのスレ主です（＾＾
(引用開始)
＞いい年してベビーメタルの大ファンで、
安達、いいタイミングでいってくれたな
(引用終り)
なるほど
おサルさんか（＾＾
159:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 13:21:36.72 d8OQiN+r.net
>>155 補足
>この用語が適切かどうか不明だが
>「濃度と順序数 fujidig」では、最小元を持たない無限単調減少列という意味でしょう
>（文学的表現では、底抜けってことですね）
そういう目で見ると
>>112 坪井明人 筑波大 11 整列集合
”定理 93 (X, <) を順序集合とする．このとき次は同値である：
1. (X, <) は整列集合である；
2. (X, <) は全順序集合で，なおかつ無限降下列を持たない．”
の証明を読むと、明らかに、無限降下列＝底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味ですね
もちろん、>>155 「濃度と順序数 fujidig」さんのP17 命題 4
”整列集合 X から無限強単調減少列”もこの意味
証明で
”x0 > x1 > x2 > . . . がとれると仮定する．
すると X の部分集合
{x0, x1, x2, . . . } には最小元がないため整列性に反する．”と書いてありますからね（＾＾
160:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 13:26:06.86 d8OQiN+r.net
>>159 つづき
なので、正則性公理にいう
”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味ですね（＾＾
これを、取り違えて
最小元を持つ、順序数の無限列に適用して、
「正則性公理に反する」とかは、いけませんね（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理
(抜粋)
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない。
(引用終り)
161:１３２人目の素数さん
19/10/06 13:29:03.29 9PvOfF3Z.net
ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい
162:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 13:38:42.40 d8OQiN+r.net
>>151 補足
ツェルメロの自然数構成で
0：Φ
1：{Φ}
2：{{Φ}}
・
・
n：{・・{Φ}・・} n重
これで、全ての有限の自然数は構成できる
無限公理で、Nとωが出来たあとに、
ω：{・・{Φ}・・} ω重 （ωは、下記のwikipedia定義に従う）
と定義すれば良い
下記、順序数「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」
但し、下記”順序型というアイデア”を使う
QED
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序数
(抜粋)
次が成り立つ：
5.順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
注釈
^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という "同値関係" によって類別したとき、順序集合 (A, <) の "同値類" を (A, <) の順序型（order type）と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。
したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。
これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。
(引用終り)
163:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 13:42:28.53 d8OQiN+r.net
>>161
＞ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい
その質問は、哀れな素人さんの無限に関する質問に類似
ノイマン構成が理解でていませんね
どうぞ、大学教員に質問願います
高校教員でもいいかもね（>>154 平成26年度教員免許状更新講習テキスト 「数の体系」講師：牧野 哲）
164:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 13:53:05.04 d8OQiN+r.net
>>163 補足
＞ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい
(>>154より）
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N
ノイマン構成では、N＝ωです
ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含むということを、ご理解ください
特に、”任意の近傍が S の点を無限に含む”が理解できないのかな？
（参考）
URLﾘﾝｸ(hc3.seikyou.ne.jp)
平成26年度教員免許状更新講習テキスト
「数の体系」講師：牧野 哲 （山口大学工学部教授）2014 年 6 月 22 日
(抜粋)
P4
集合論から自然数系を構成する方法としては，
von Neumann の方法が知られている。
これは，
0 := Φ(空集合), 1 := {Φ}, 2 := {Φ, {Φ}}, ・ ・ ・ , s(n) := {0, 1, 2, ・ ・ ・ , n}, ・ ・ ・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
極限順序数
(抜粋)
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
集積点/極限点
(抜粋)
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
T1空間
(抜粋)
X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う
(引用終り)
165:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 13:59:06.45 d8OQiN+r.net
>>164 追加
（参考）
現代数学はインチキだらけ より
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:882番)-
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
整礎関係
(抜粋)
その他の性質
(X, <) が整礎関係で x が X の元ならば、x から始まる降鎖列は必ず長さ有限だが、これはこのような降鎖の長さが有界であるということを意味しない。
以下のような例を考えよう。X は正の整数全体の成す集合に、どの整数よりも大きな 整数ではない新しい元 ω を付け加えた集合とする。
このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して
ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
という鎖は長さ n を持つ。
モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる。
(引用終り)
（英語版）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Well-founded relation
(抜粋)
Other properties
If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded.
Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1 has length n for any n.
The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X, R) is isomorphic to (C, ∈).
(引用終り)
166:１３２人目の素数さん
19/10/06 14:06:26.50 9PvOfF3Z.net
>>164
質問は「ωの次の項は何か？」です
講釈は要らないので単純に端的にωの次の項を答えて下さい
167:１３２人目の素数さん
19/10/06 14:13:31.28 9PvOfF3Z.net
>>163
ωから始まる∈無限降下列が存在すると主張しているのはあなたですから、質問に答えるべきもあなたです
答えられないからといって教員に聞けとか変なこと言わないで下さいね
168:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 14:42:39.60 d8OQiN+r.net
>>166
√5 ＝～ 2.2360679・・・・・ 富士山麓オーム鳴く［ふじさんろくおーむなく］
この数列の最後の数字は、0～9のどれでしょうか？
これと類似の質問では？
URLﾘﾝｸ(www.shinko-keirin.co.jp)
数学トピックQ&A
無理数の語呂合わせ
√5 ＝～ 2.2360679・・・・・ 富士山麓オーム鳴く［ふじさんろくおーむなく］
169:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 14:44:12.72 d8OQiN+r.net
むかし、２Chと言っていた時代に
新聞だったかに、書かれていたのが
「大人だと思って書いていたら、相手は子供だった」という記述があるのを思い出しました
170:１３２人目の素数さん
19/10/06 14:58:43.61 9PvOfF3Z.net
>>168
これは酷い
数列 an には最後の項 a∞ はありません
一方第2項 a2 はあります
あなた基本的なことが全く分かってないですね
171:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 15:34:34.04 d8OQiN+r.net
>>170
>数列 an には最後の項 a∞ はありません
>一方第2項 a2 はあります
これは酷い
>>165より
”(X, <) が整礎関係で x が X の元ならば、x から始まる降鎖列は必ず長さ有限だが、これはこのような降鎖の長さが有界であるということを意味しない。
以下のような例を考えよう。X は正の整数全体の成す集合に、どの整数よりも大きな 整数ではない新しい元 ω を付け加えた集合とする。
このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して
ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
という鎖は長さ n を持つ。”
意味分かりますか？
>>164より
(>>154より）
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N
ノイマン構成では、N＝ωです
ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含むということを、ご理解ください
特に、”任意の近傍が S の点を無限に含む”が理解できないのかな？
意味分かりますか？
ええ、上記いずれの場合も、第1項 a1＝ω はありますよ
172:１３２人目の素数さん
19/10/06 15:41:09.34 9PvOfF3Z.net
>>171
単純に端的に第2項だけ答えて下さい
講釈は結構だと言ったはずですよ？
>ええ、上記いずれの場合も、第1項 a1＝ω はありますよ
私が聞いてるのは第2項ですｗ
173:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 15:56:48.05 d8OQiN+r.net
>>154 追加
URLﾘﾝｸ(unaguna.jp)
U-naguna
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) >
集合論の言葉による自然数の表現
(抜粋)
n の次の自然数を n∪{n} とする利点としては
・自然数 n に属するモノの個数は n となる
・自然数の大小関係 n<m が n∈m に一致する
ことが挙げられる。1つ目の方は後の記事で「個数とは何か」や「個数を数える (counting) とは何か」を定義する際に役立つ (今までなんとなく個数を数えてきたが、集合論の言葉でもう少しかっちりと定義することができる)。2つ目の方は、大小関係が集合論の記号だけで簡潔に表せるようになるという点で良い。
すべての自然数が属する集合
公理 2 (無限公理).
略
すなわち、「すべての自然数が属する集合」が存在する。
ここで注意すべきは、この公理で存在が証明されるのは「すべての自然数が属する集合」であって、「すべての自然数が属して、それ以外のモノが属さない集合」ではない。あくまで「すべての自然数が属する集合」が1つは存在すると言っているのである。
以降では「すべての自然数が属して、それ以外のモノが属さない集合」を「自然数集合」と呼び ω と書くことにする (文脈によっては N で表すことも多いだろう)。
つづく
174:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 15:57:33.13 d8OQiN+r.net
>>173
つづき
数学的帰納法
さて、ここで1つ根本的な問いとして「今作った ω は自然数集合として機能するのか」を問うてみる。言い換えると、「ω に属するモノだけで作られる自然数と言う構造が、素朴な意味で自然数と呼んでいるモノが担っていた役割をすべてこなせるのか」ということだ。
ただ、この問題にまじめに解答しようとしたら、先ほど棚上げした ω の存在証明に触れなくてはならない。そこで、ここでもやはり理屈を抜きにして「ω は自然数が果たすべき役割をひととおり果たせる」と結論だけ述べる。
余談
ここで用いられている自然数の定義はよく知られ用いられている。それを前提として下の記述を見てみよう。
1∈3
高校数学の知識では「3は集合ではないので ∈ の右側に 3 を書くのはおかしい」となるのであろうが、我々が採用した「すべてのモノは集合である」論理では 3 も集合として定義しているのでその指摘は当たらない。
しかも、3 は {0,1,2} (0と1と2だけが属する集合) と定義されているので 1∈3 (1は3に属する) は正しい。
この点で微妙に高校数学の集合論と公理的集合論 (とりわけ ZF 公理系や ZFC 公理系を採用する集合論) には違いがある。
(引用終り)
175:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 16:07:45.71 d8OQiN+r.net
>>102 追加
＞(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member; and
この”for any object a, of the singleton set {a}”
は、ZFCでは、対の公理だね
a → {a}が言える
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対の公理
(抜粋)
性質
外延性の公理により、任意のx,yに対しその対が一意に定まる。その集合のことを{x,y}と記す。 また同じく外延性より、x=yの場合における対{x,x}は一元集合{x}に等しいので、単集合の存在も導くことができる。
他の公理との関係
対の公理はZF公理系の他の公理と独立ではない。すなわち、置換公理および「濃度が2以上の集合の存在」から、任意のx,yに対する対{x,y}の存在を導ける（濃度が2以上の集合の存在については、無限公理、あるいは空集合の公理と冪集合の公理の組み合わせから導くことができる）。 そのため対の公理は、公理系を記述する際に省略されることもある。
URLﾘﾝｸ(unaguna.jp)
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) >
外延的記法 (対の公理と和集合の公理)
対の公理
公理 1 (対の公理).
∀x∀y∃z∀w[w∈z←→w=x∨w=y]
すなわち、いかなるモノ (集合) x, y についても、「x と y だけが属する集合」が存在する。
まさに書いてあるとおりで、この対の公理によって上で挙げた「1と2だけが属する集合」が存在するのである。この対の公理を使うことで、2つのモノ (集合) だけが属する集合はひととおり存在が証明される。
また、1つのモノ (集合) だけが属する集合の存在も対の公理から証明できる。というのも、対の公理では x と y が同じでないことは要求してないので、たとえば「3と3だけが属する集合」である {3,3} も対の公理により存在する。
そしてこの {3,3} と「3だけが属する集合」である {3} を比較すると、3が両方の集合に属していてそれ以外のモノはいずれにも属していないので、どちらか一方にしか属していないモノは存在しない。
よって外延性の公理より {3,3} と {3} は同じ集合である。
したがって、対の公理により {3,3} の存在が示されるということは、{3} の存在が示されるということと同義である。
(引用終り)
176:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 16:13:20.37 d8OQiN+r.net
>>175 補足
ツェルメロの the singleton set {a} の公理
あるいは
ZFCの対の公理より
任意のaから、{}を一つ加えた集合{a}の存在が言える
これは、当たり前のことだが、公理だから、普通に考えて、無制限（＾＾
正則性公理の無限降下列に反するだ～？
無限降下列の意味を取り違えているでしょ！（>>160より）
177:１３２人目の素数さん
19/10/06 16:32:18.72 9PvOfF3Z.net
思った通り逃げましたねｗ
いいですよ？逃げても
その代わり「ωから始まる∈無限降下列の存在」は間違いだったと認めて下さいね
第2項は答えないが間違いも認めない は駄々っ子のすることです
幼稚園からやり直しますか？
178:１３２人目の素数さん
19/10/06 18:31:31.23 Gc2q5hFd.net
>>162
> >>151 補足
> ツェルメロの自然数構成で
> 0：Φ
> 1：{Φ}
> 2：{{Φ}}
> ・
> ・
> n：{・・{Φ}・・} n重
> これで、全ての有限の自然数は構成できる
> 無限公理で、Nとωが出来たあとに、
> ω：{・・{Φ}・・} ω重 （ωは、下記のwikipedia定義に従う）
> と定義すれば良い
> 下記、順序数「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」
> 但し、下記”順序型というアイデア”を使う
> QED
と定義すれば良いって定義になってないでしょ？
この場合
X∈Ω
と同値であるXについての条件を書き下さねばなりません。
それはなんですか？
アイデアがあるならそれに従って定義を書き下してください。このアイデアにそってやればできるなんて証明は通用しません。
179:１３２人目の素数さん
19/10/06 19:15:09.85 9PvOfF3Z.net
> ω：{・・{Φ}・・} ω重 （ωは、下記のwikipedia定義に従う）
↑
自分で何言ってるか分かってる？
180:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 20:18:43.44 d8OQiN+r.net
>>175
商集合は、分出公理を使うのか
URLﾘﾝｸ(unaguna.jp)
U-naguna
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) > 同値関係と同値類
(抜粋)
同値類
例として「偶奇という点で同じ」ことを表す同値関係を定義しよう。その場合たとえば
M={?x,y?∈ω×ω?∃z∃w[x+2z=y+2w]}
と定義すればよい (
この定義の下では xMy であることと、x+2z=y+2w を満たす自然数 z, w が存在すること (x と y が2の倍数加算の違いを除いて一致すること) が一致する。
定理 2.上で定義した関係 M は同値関係である。
M の定義文の中の 2 の部分を他の非零自然数 n に変えることで「n で割った時の余りという点で同じ」ことを表す関係も作れる。自然数同士のそのような関係は n を法とする合同関係と呼ばれる。
2 の部分を 0 にすると、aMb と a=b が一致するので、通常の「等しい・同じ」を表す関係になる。
同値類
同値類は同値関係 R によって同じと見なされるモノだけがすべて属する集合である。例えば上で例示した ω 上の同値関係 M の同値類を考えると
Mo={1,3,5,7,9,…}
Me={0,2,4,6,8,…}
という二つの同値類がある。たとえば 1M3 だから 1 と 3 は同じ同値類に属し、2M3 ではないから 2 と 3 は異なる同値類に属する。
同値類は、それに属する1つの元を用いて表すことができる。R を x 上の同値関係としたとき、「a と同値なモノがすべて属し、そうでないモノは属さない集合」である
{y∈x?yRa}
は a の同値類と呼ばれ、[a] や [a]R と書く。
例えば上の Mo は「1が属する同値類」という意味で [1] とも表現する。
1が属する同値類と3が属する同値類は同じ Mo を指しているので [1]=[3] である。
この例の 1 や 3 のように同値類に属するモノのうち同値類の表現に使われたモノをその同値類の代表元とよぶ。
原則としてどのモノを代表元に選んでもよい。
商集合
商集合は、同値関係 R による同値類だけがすべて属する集合のことである。
つづく
181:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 20:20:14.94 d8OQiN+r.net
>>180
つづき
定義 5 (商集合).R を x 上の同値関係とする。このとき、「R による同値類がすべて属し、それ以外のモノが属さない集合」である
{y∈P(x)?∃a[a∈x∧y=[a]R]}
を商集合とよび x/R と書く。
商集合は直感的な内包的記法を使えば
{[a]⊂x?a∈x}
とも書けるだろう。こう書くほうがどのような集合かわかりやすいかもしれない (分出公理によって存在が保障されることはわかりにくいが)。
上で例示した ω 上の同値関係 M について考えると、その同値類は Mo と Me の2つであったので、商集合は
ω/M={Mo,Me}
となる。適当に代表元を定めて
ω/M={[0],[1]}
とも書ける。
URLﾘﾝｸ(home.p07.itscom.net)
数学の基礎
19．素朴集合論とZF集合論
さて、集合の概念で、最も便利な性質、すなわち任意に命題 P が与えられたとき、P を満たす x 全体の集合、というものを考えたいのですが、これをそのまま公理にしたのでは、Russellのパラドクスにより矛盾が生じてしまいます。
そこで、通常の数学で、このような集合を考えたいときには、いつもどのような状況にあるかということを考えると、既に集合であることがわかっている a の元のうち、P を満たすようなもの全体からなる集合、というものを考えていることがわかります。そこで、分出公理：
∀a ∃b ∀x [ x∈b U ( x∈a ∧ P ) ]
を仮定しよう、という考え方があります。このような集合 b は、外延性公理により唯一つであることが証明できますから、これを { x∈a | P } と書きます。なお、ここで素直に「仮定します」と言わなかったのは、次のような、別の場面で必要となる公理があり、この分出公理はそこから導出できるからです。
つづく
182:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 20:20:45.85 d8OQiN+r.net
>>181
つづき
数学の議論では、変数 i を含む項 T と、集合 I があるとき、i∈I に対する T 全体からなる“集合”を考える、ということがしばしばあります。
大抵の場合、i∈I のとき、T は i に無関係なある集合 A に属しているので、これを集合と見なすことは分出公理により正当化されるのですが、順序数の議論のような、集合論として“きわどい分野”での議論を行うときは、このような条件が成り立っていない場合があります。
ところで、この場合の項 T は、集合 I の元 i に対してある対象 T を表しており、i に T を対応させる関数が与えられたとみなすことができます。
そこで、集合 I の関数による像 { T | i∈I } となる集合が存在すると言う意味の置換公理：
[∀x ∀y ∀z ( ( P(x, y) ∧ P(x, z) ) → y = z ) ] → ∀a ∃b ∀y [ y∈b ⇔ ∃x ( x∈a ∧ P(x, y) )]
を仮定します。
この公理は一見わかりにくい形をしていますが、左辺の ∀x ∀y ∀z ( ( P(x, y) ∧ P(x, z) ) → y = z ) というのは、x と y に関する関係 P(x, y) が一価関係であるということ、言い換えると、与えられた x に対して P(x, y) を満たす y を対応させる対応が x の関数になっていることを意味します。
従って、上の置換公理の述べるところは、一価関係 P が表す関数による集合 a の像となる集合が存在する、ということを意味しています。このような集合 b は、外延性公理により唯一つであることが証明できます。
さて、この置換公理を仮定すると、変数 y を含まない任意の命題 R に対して R ∧ x = y という命題を P(x, y) と書けば、これは明らかに一価関係です。
ゆえに、置換公理によって ∀a ∃b ∀y [ y∈b ⇔ ∃x ( x∈a ∧ R ∧ x = y ) ] すなわち ∀a ∃b ∀x [ x∈b ⇔ ( x∈a ∧ R ) ] となって、これは分出公理に他なりません。すなわち分出公理は置換公理から導出できるのです。
(引用終り)
以上
183:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 20:24:47.04 d8OQiN+r.net
>>181 補足
> さて、集合の概念で、最も便利な性質、すなわち任意に命題 P が与えられたとき、P を満たす x 全体の集合、というものを考えたいのですが、これをそのまま公理にしたのでは、Russellのパラドクスにより矛盾が生じてしまいます。
> そこで、通常の数学で、このような集合を考えたいときには、いつもどのような状況にあるかということを考えると、既に集合であることがわかっている a の元のうち、P を満たすようなもの全体からなる集合、というものを考えていることがわかります。そこで、分出公理：
思うに、分出公理とか置換公理を、あまり強力にして、なんでもできることにすると、
Russellのパラドクスのようなことを生じるおそれがある
だが、分出公理とか置換公理の力を制限すると、
選択公理のように、無限の集合を扱う公理を必要とするということだろうね（＾＾
184:１３２人目の素数さん
19/10/06 20:30:12.60 Gc2q5hFd.net
>>182
以上ってまさかこれで>>162の証明の不足部分が補えたという意味？
ではないよね？
185:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 20:32:21.54 d8OQiN+r.net
>>172
>>ええ、上記いずれの場合も、第1項 a1＝ω はありますよ
>私が聞いてるのは第2項ですｗ
質問に対して、質問を返して悪いが（＾＾
１）下記の、順序数の列
0, 1, 2, 3, . . . , ω を認めますか？ Y/N
２）もし、Yesの場合
0, 1, 2, 3, . . . , ω で、ωの一つ左の順序数は、何ですか？ あなた、答えられますか？ｗ
３） もし、Noの場合、現代数学の無限の概念を認めないということですか？ Y/N
(参考)
URLﾘﾝｸ(fujidig.github.io)
濃度と順序数 fujidig
June 21, 2016
(抜粋)
P15
順序数というのは自然数が持つ「番号を振る」という目的を無限方向に拡張したものだといえる．
P16
・整列集合 N の型は ω と書かれる．これは最小の無限順序数である．
・順序数を小さい方から順に並べると
0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, . . . , ω2, ω2 + 1, . . . となる
・今並べたのは順序数のうちほんの小さい部分にすぎない．もっと大きい順序数がまだまだある
186:現代数学の系譜 雑談
19/10/06 20:33:41.49 d8OQiN+r.net
>>184
>>185
187:１３２人目の素数さん
19/10/06 20:41:51.10 Gc2q5hFd.net
>>186
え？>>185がなんですか？
>>162の証明の不足部分はまだ一つも埋められてませんよ？
188:現代数学の系譜 雑談
19/10/07 06:00:05.83 2lTTrhZd.net
>>187
ええ、どうぞ、>>185にお答え下さい
それに合わせて、>>162の補足説明を、させて頂きます
それまでは、質問者には、常に>>185の逆質問があることを、ご了承ください
189:現代数学の系譜 雑談
19/10/07 06:37:17.06 2lTTrhZd.net
まとめます
１）正則性公理は、無限降下列を禁止するが、その無限降下列の意味は、
”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味です
ノイマンの自然数構成のような∈関係の無限上昇列を禁止するものではないのです
（>>159-160ご参照）
２）空集合から、後者関数を適用し、それに無限公理を適用して、自然数Nを構成する
このとき、無限公理を適用しただけでは、
我々の必要とする自然数N（全ての有限ｎたちのみを含む集合）より大きな集合が出来てしまう
それを、自然数Nに絞り込む操作を必要とする
つまり、無限公理により、全ての有限ｎたちを超える元が出来てしまう
そのような元たちは、１）で述べたように、正則性公理に反しないのです
（>>110-112）
３）ツェルメロ構成では、aの後者関数；suc(a) := {a} なので
この自然数構成で、全ての有限ｎたちを超える元が出来てしまう
そのような元たちを絞って、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}と、自然数の集合Nができる
そこで、全ての有限ｎたちを超える元たちの中で、最小の元が、ツェルメロ構成でのωに相当します（定義）
（>>110>>151）
４）ところで、正式な順序数ωの定義は、本来は、下記”整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法”による
ノイマン構成では、この定義がそのまま適用できる
ツェルメロ構成では、下記”順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できる”ので
その方法により、ωを定義した上で、３）のツェルメロ構成でのωを再定義すれば良い
QED
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序数
(抜粋)
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
略
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............
つづく
190:現代数学の系譜 雑談
19/10/07 06:37:39.24 2lTTrhZd.net
>>189
つづき
注釈
^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という "同値関係" によって類別したとき、順序集合 (A, <) の "同値類" を (A, <) の順序型（order type）と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。
したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。
これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。
(引用終り)
以上
191:１３２人目の素数さん
19/10/07 08:34:01.82 3bkiY8iJ.net
>>189-190
全く証明になってないですね。
結局Ωは何になるんですか？
192:１３２人目の素数さん
19/10/07 08:54:36.76 3bkiY8iJ.net
もう少し具体的に聞きましょう。
確かに順序数とは整列順序集合の同値類の完全代表系の一つであります。
まず通常のノイマンの構成による順序数全体をOrdとします。
Ordの元xに対しツェルメロ構成によるx番目の順序数をZ(x)としてこれを定めるなら、
Z(0)=0,
Z(x+1)={Z(x)}
としてx<ωまではいいでしょう。
問題はx=ωのとき、すなわちΩ=Z(ω)の定義です。
これはどうするんですか？
これを定めないと超限帰納法は完成しませんよ？
193:現代数学の系譜?雑談
19/10/07 14:21:44.40 ez50Rnmf.net
>191-192
（>>189に関連して）
１）ツェルメロ構成での任意aの後者関数；suc(a) := {a}による構成は、正則性公理に反しない
たとえ、それで無限上昇列が出来ても、ということは認めますか？ Y/N
２）ツェルメロ構成での任意aの後者関数；suc(a) := {a}による構成で、
無限公理を適用して、自然数ｎをすべて含む無限集合が出来たとき、
それはいわゆる自然数Nよりも、余計な元、
即ち、超限順序数に属するべき（有限でない）元が
生成され、含まれていることに同意しますか？ Y/N
194:１３２人目の素数さん
19/10/07 15:17:51.91 3bkiY8iJ.net
>>193
1) 無限上昇列が正則性公理に反しないでしょ？
そんな事私は主張した事ないですよ？
2) もちろん認めてますよ？というか私自身が可能である事の証明載せましたけど？
それと同じことをツェルメロ構成でも出来る事を示して下さいと言ってるんですけど？
195:現代数学の系譜?雑談
19/10/07 16:08:49.45 ez50Rnmf.net
>>194
(引用開始)
1) 無限上昇列が正則性公理に反しないでしょ？
そんな事私は主張した事ないですよ？
2) もちろん認めてますよ？というか私自身が可能である事の証明載せましたけど？
(引用終り)
なるほど、ID:Gc2q5hFdさんの >>127 のことですかね
ワッチョイがないと、IDは日替わりで、連続性がないので、だれがだれか不明なのですよね
（せめて、コテハンがあれば、分かり易い。コテハンないと、ROMの第三者はなおさら分からないでしょうね）
で、>>127の証明に関して、念押しですけど、
（>>193より）
いわゆる自然数Nよりも、余計な元、
即ち、超限順序数に属するべき（有限でない）元が
生成され、含まれていることに同意しますか？ Y/N
に対して、Yだと回答されたということですね
では、この超限順序数に属するべき（有限でない）元とは、何なのでしょうか？
ツェルメロ構成でできる集合は、任意aの後者関数；suc(a) := {a}以外は無いですね
そして、有限回任意ｎの空集合Φに対する後者関数による{}多重の集合 {・・{Φ}・・}（n回{}多重）は、自然数Nに属します
これは、いま議論している、超限順序数に属するべき（有限でない）元では、当然ないですよね
だから、くどいですが、超限順序数に属するべき（有限でない）元、
それは、消去法で、超限回の空集合Φに対する後者関数による超限多重集合 {・・{Φ}・・}（ω＋アルファ回{}多重）
でなければならない
それはお認めになるんですよね？
ここ良いですか？
この論点がクリアーできないと、議論が進みませんので
196:１３２人目の素数さん
19/10/07 18:01:30.93 cEmWDLJd.net
> いわゆる自然数Nよりも、余計な元、
>、超限順序数に属するべき（有限でない）元が
> 生成され、含まれていることに同意しますか？ Y/N
> に対して、Yだと回答されたということですね
いわゆる無限公理によって条件
0∈E、∀x (x∈E⇒x∪{x}∈E)
を満たすEの存在は認めます。
> では、この超限順序数に属するべき（有限でない）元とは、何なのでしょうか？
このってどのですか？
それが分からないので以下はわかりません。
このEからΩを作るんですよね？
なら言葉ではなく例えばノイマンのωのように
ω={x∈E | x:ordered number, x:finite}
のように数式,論理式で示して下さい。
(:ordered number (in the sence of Neumann)と:finiteがどういう論理式で表されるかは>>18で示しています。)
数学である以上、数式で表現できず、その存在が証明できないものの存在なんて認めることはできません。
197:現代数学の系譜 雑談
19/10/07 18:56:54.72 ez50Rnmf.net
>>196
まず、ID:cEmWDLJdさん、レスありがとう
だが、>>194の ID:3bkiY8iJと、ID変わっていますよね
まあ、同一人物らしいとは思うけれど、自覚されてますか？
さて
(引用開始)
> いわゆる自然数Nよりも、余計な元、
>、超限順序数に属するべき（有限でない）元が
> 生成され、含まれていることに同意しますか？ Y/N
> に対して、Yだと回答されたということですね
いわゆる無限公理によって条件
0∈E、∀x (x∈E⇒x∪{x}∈E)
を満たすEの存在は認めます。
(引用終り)
じゃあ、それ、通常の自然数で、N⊂E かつ N≠Eですね
つまり、EはNに対して、真に大きい
つまり、EはNに対して、余分な元を含む
つまり、Nは全ての有限の元を含むので、任意ｎの空集合Φに対する後者関数による{}多重の集合 {・・{Φ}・・}（n回{}多重）を含むので、それ以外の余分な元を含む
それは、消去法で、有限でない元、つまり超限なる（整列したときに超限順序に属する）元ですよね
ここで、>>4に書いておいたけど、「議論の前提として、ある程度、標準的に認められている現代数学の成果」、これは認めましょうよ
そうしないと、どこかの素人談義と同じになりますぜ
それは、時間と余白の無駄ですよ
>数学である以上、数式で表現できず、その存在が証明できないものの存在なんて認めることはできません。
それ、どこかで聞いたセリフかもね
ツェルメロ以降の現代数学の100年前からの議論を、繰り返したいのですか？
上記に書いたことをお認めになるならば、考えてみますけど
でも、上記をお認めになるのが先ですよ、それが前提ですよ
198:第六天魔王
19/10/07 19:03:04.28 rpPbPz0q.net
やれやれ
「ハゲネズミ」の由来について、HPのリンク張ろうとしたら
NGワードで規制食らってやっと復活したぜｗ
>>161
>ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい
>>163 馬鹿曰く
>その質問は、哀れな素人さんの無限に関する質問に類似
安達の「最後の自然数は存在しない」という主張のことなら、全く間違ってない
>>164 馬鹿曰く
>ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含む
上記の文で何をいいたいのか？
貴様の{・・{Φ}・・}では、どの自然数ｎも要素にならんから無意味
>>165 馬鹿、恒例のコピペ
(整礎関係 wikipedia)
>ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。
>なんとなれば、任意の正整数 n に対して
>ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
>という鎖は長さ n を持つ。
「長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。」としか書いてないぞ
そこから「長さ無限の降鎖列がとれる」と思うのは正真正銘の馬鹿
199:第六天魔王
19/10/07 19:05:28.52 rpPbPz0q.net
>>185 馬鹿の逆質問
>１）下記の、順序数の列
> 0, 1, 2, 3, . . . , ω を認めますか？ Y/N
>２）もし、Yesの場合
> 0, 1, 2, 3, . . . , ω で、ωの一つ左の順序数は、何ですか？ あなた、答えられますか？ｗ
>３） もし、Noの場合、現代数学の無限の概念を認めないということですか？ Y/N
１）認める
２）存在しない
３）ωの存在を認める
云っとくが
0, 1, 2, 3, . . . , ω は、ただ要素を順番に並べただけ
降鎖列は要素間に必ず∋が入ってる
したがって「ω∋」と書いたら
その右には必ずある要素を書く必要がある
無限公理のωや
ツェルメロの自然数全体の集合ω’＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}
なら、任意の自然数を要素に持つ
（それぞれ自然数を表す集合は異なるが）
しかし、馬鹿が主張している
Ω＝{・・{Φ}・・}
では、どの自然数も要素にならん
したがって、まず
ω∋n - 1∋n - 2, ..., 2∋1
は構成できない
また、もし
Ω∋Ω’∋Ω’’・・・
と要素がとれたとしても
いつまでたっても自然数ｎには
たどり着かんから底抜けｗ
逆に有限回で自然数にたどり着いたら
Ωは自然数だということになるｗ
相変わらず底抜けの馬鹿っぷりだなｗｗｗｗｗｗｗ
200:第六天魔王
19/10/07 19:06:50.64 rpPbPz0q.net
>>192
>Ordの元xに対し
>ツェルメロ構成によるx番目の順序数をZ(x)として
>これを定めるなら、
>Z(0)=0,
>Z(x+1)={Z(x)}
>としてx<ωまではいいでしょう。
>問題はx=ωのとき、すなわちΩ=Z(ω)の定義です。
>これはどうするんですか？
いい質問だ
ここで、賢いヤツなら
Z(ω)=∪(ω>n)Z(n)
とせざるを得ず、したがって(0={}として)
Z(ω)={{},{{}},{{{}}},…}
とならざるを得ないと観念する
決して{…{}…}なんて形にはならない
しかし馬鹿はここで質問に答えない
だから自分の誤りに気づけない
「縁なき衆生は度し難し」
201:第六天魔王
19/10/07 19:12:33.19 rpPbPz0q.net
>>193
>１）ツェルメロ構成での任意aの後者関数；
> suc(a) := {a}による構成は、正則性公理に反しない
> たとえ、それで無限上昇列が出来ても、ということは認めますか？ Y/N
Y
>２）ツェルメロ構成での任意aの後者関数；suc(a) := {a}による構成で、
> 無限公理を適用して、自然数ｎをすべて含む無限集合が出来たとき、
> それはいわゆる自然数Nよりも、余計な元、
> 即ち、超限順序数に属するべき（有限でない）元が
> 生成され、含まれていることに同意しますか？ Y/N
Y
>>195
>では、この超限順序数に属するべき（有限でない）元とは、何なのでしょうか？
馬鹿が考えるような{…{}…}ではないけどな
>ツェルメロ構成でできる集合は、任意aの後者関数；suc(a) := {a}以外は無いですね
相変わらず底抜けの馬鹿だな、貴様はｗｗｗｗｗｗｗ
{}∈X∧(∀x∈X⇒{x}∈X)
（Xは空集合を要素とし、xがXの要素なら{x}もXの要素である）
という条件を満たすXについて
「ｙがXの要素なら、yは空集合か
y={x}で、Xの要素となるxが存在する」
∀y.((y∈X⇒y={}∨∃x.({x}=y∧x∈X))
とか思ってるだろ？ｗ
そこが馬鹿だというんだよｗｗｗ
実際には
「Xの空集合でないyで、
Xのいかなる要素xについても
{x}=yとならないものが存在する」
∃y.(y∈X∧￢(y={})∧∀x.(x∈X⇒￢({x}=y))
が成立しても矛盾はない
つまり
>超限順序数に属するべき（有限でない）元、それは、消去法で、
>超限回の空集合Φに対する後者関数による超限多重集合 {・・{Φ}・・}（ω＋アルファ回{}多重）
>でなければならない
なんてことはいえない
「縁なき衆生は度し難し」
>それはお認めになるんですよね？
認めねぇよ この大馬鹿者めｗｗｗｗｗｗｗ
202:第六天魔王
19/10/07 19:21:42.49 rpPbPz0q.net
>>201でいってるのは、
{}∈X∧(∀x∈X⇒{x}∈X)
を満たす集合が、
空集合でも単一要素の集合でもない集合を
要素としても全然問題ない、ということ
例えばa={{{}},{{{}}}}を要素としてもいい
但し、もしaを要素とするなら{a}も{{a}}も要素とせねばならない
そういうこと
では、もし
{}∈X∧(∀x∈X⇒{x}∈X) かつ
∀y.((y∈X⇒y={}∨∃x.({x}=y∧x∈X))
だったら、Xは、馬鹿のいう
{・・{Φ}・・} （無限重）
を要素にもつのか？
しかし、正則性公理の元ではそれはありそうもない
203:第六天魔王
19/10/07 19:35:17.30 rpPbPz0q.net
さて、今日の一曲は・・・これだ！
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
Emperor 最高だぜ！
204:第六天魔王
19/10/07 19:49:46.87 rpPbPz0q.net
そして、これも名曲
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
205:１３２人目の素数さん
19/10/07 22:31:57.78 cEmWDLJd.net
>>197
> それ、どこかで聞いたセリフかもね
> ツェルメロ以降の現代数学の100年前からの議論を、繰り返したいのですか？
そんな事はありません。
証明の全てを書く必要はありません。
そんな論文はなかなかありません。
たの論文なり教科書に載ってる結果を引用したいのなら構いません。
ただしその場合には数学の引用のルールに従って下さい。
引用する結果は
仮定 xがP(x)という条件が満たしているときQ(x)という条件がせいりつする。
の形の命題がxxxという論文、教科書等(この際websiteでもよし)で確認されている事が客観的に確認できる状況において
この命題をx=aについてapplyすればP(a)が確かに確認できるのでQ(a)を使う。
という形までしか許されません。私の>>18を見て下さい。
全部が全部証明はしてないでしょ？
206:現代数学の系譜 雑談
19/10/08 00:10:14.67 3SQHWkr4.net
>>205
＞という形までしか許されません。私の>>18を見て下さい。
ああ、>>18をアップした人だったのかい？（＾＾
>たの論文なり教科書に載ってる結果を引用したいのなら構いません。
まあ、探してみるけどね
おれさ、おっちゃんみたいに、こんなバカ数学板に、ぐだぐだ記号で証明書く趣味ないんだよね
そもそもがさ、書かれた証明が初出なら、タイポとかありうるでしょ
で、真剣に読んだら、あっちにタイポ、こっちにタイポじゃ、赤ペン先生の添削やっているのと変わらんでしょ
まあ、自分が書いたら、もっと非道いだろうけどね（＾＾；
えーと、それで>>197に書いたけど
(引用開始)
じゃあ、それ、通常の自然数で、N⊂E かつ N≠Eですね
つまり、EはNに対して、真に大きい
つまり、EはNに対して、余分な元を含む
つまり、Nは全ての有限の元を含むので、任意ｎの空集合Φに対する後者関数による{}多重の集合 {・・{Φ}・・}（n回{}多重）を含むので、それ以外の余分な元を含む
それは、消去法で、有限でない元、つまり超限なる（整列したときに超限順序に属する）元ですよね
(引用終り)
これは、認めるんだね
念を押しておくよ
「EはNに対して、余分な元を含む」
「Nは全ての有限の元を含むので、任意ｎの空集合Φに対する後者関数による{}多重の集合 {・・{Φ}・・}（n回{}多重）を含むので、それ以外の余分な元を含む」
「それは、消去法で、有限でない元、つまり超限なる（整列したときに超限順序に属する）元です」
ってことな
207:１３２人目の素数さん
19/10/08 00:39:42.53 86YyLDZA.net
>>206
> (引用開始)
> じゃあ、それ、通常の自然数で、N⊂E かつ N≠Eですね
> つまり、EはNに対して、真に大きい
> つまり、EはNに対して、余分な元を含む
認められるのはここまでです。
> つまり、Nは全ての有限の元を含むので、
Nが全ての有限集合を含むわけないでしょ？
しかし
>任意ｎの空集合Φに対する後者関数による{}多重の集合 {・・{Φ}・・}（n回{}多重）を含むので、それ以外の余分な元を含む
多分これはEが>>192で定めたZ(n)を全て含むという意味なら成立しません。
しかし置換公理をうまく使ってZ(n)を全て含むFを再構成はできるのでそれは認めましょう。
しかし
> それは、消去法で、有限でない元、つまり超限なる（整列したときに超限順序に属する）元ですよね
ここがダメです。
ノイマンの方法ではEの中で順序数出ないもの、有限集合でないものを除けば求めるωが構成できました。
しかしこのFに同じ要領で
{x∈F|xはある有限ツェルメロ順序数}
と定めていらないものをカットしようとしても得られるものは
{Z(0),Z(1),‥}
にしかなりません。
ノイマンの方法を流用してもあなたの求めるΩにはなりません。
208:第六天魔王
19/10/08 05:27:55.24 bC9PKbug.net
>>206
>おれさ、おっちゃんみたいに、こんなバカ数学板に、
>ぐだぐだ記号で証明書く趣味ないんだよね
馬鹿はつたない日本語で数学的ウソを書く悪い趣味があるｗｗｗ
それにしても>>206の日本語はヒドイな
貴様、マジで朝鮮人じゃないのか？
209:第六天魔王
19/10/08 05:34:53.89 bC9PKbug.net
Nat(x) xがツェルメロの自然数のとき真となる述語
Nat(x)≡x={}∨(x={y}∧Nat(y))
＝x={}∨(x={y}∧(y={}∨(y={z}∧Nat(z)))
＝…
Fool(x) xが馬鹿のいうΩとやらのとき真となる述語ｗ
Fool(x)≡x={y}∧Fool(y)
＝x={y}∧y={z}∧Fool(z)
…
xから要素、その要素と、際限なく取れるが、決して{}にたどり着かないｗ
210:現代数学の系譜 雑談
19/10/08 07:22:51.63 3SQHWkr4.net
>>207
>> つまり、Nは全ての有限の元を含むので、
>Nが全ての有限集合を含むわけないでしょ？
？
あなたは、>>127で
(引用開始)
ω' を
0∈ω' 、n∈ω' ⇒ n+1∈ω'
を満たすものに取れる。(∵無限公理)
ωを
ω={x∈ω' | xは有限集合かつ順序数}
と置くとωは自然数全体からなる集合となる。(∵分出公理)
QED.
(引用終り)
と書かれたでしょ？
N：自然数全体からなる集合ω
でしょ？
Nには、全ての自然数ｎが含まれるでしょ？
さてそこで
ノイマン構成で、任意aの後者関数；suc(a) :=a∪{a}と定め、また、現代数学の整列順序型（下記）を借用しましょう
整列順序型E：0,1,2,・・,n,・・,ω,ω+1,ω+2,・・,ω+n,・・
整列順序型N：0,1,2,・・,n,・・
ここに、Eは>>196での無限公理によって生成された自然数以外を含む集合を表わす記号から、Nは自然数の集合を表わす記号から
整列順序型E、Nたちは、各集合の元を整列させた順序列です（なお、ω+1などは、ωの後者ですが、略記させて頂きました。以下同じ）
同じことを、ツェルメロ構成で行います。任意aの後者関数；suc(a) :={a}と定めます
整列順序型E’：0,1,2,・・,n,・・,Ω,Ω+1,Ω+2,・・,Ω+n,・・
整列順序型N’：0,1,2,・・,n,・・
E’,Ωは、上記E,ωに対応します。N’も同様
但し、ツェルメロ構成の”0,1,2,・・,n”たちは、ノイマン構成とは後者関数が違います。が、記号の濫用です
つづく
211:現代数学の系譜 雑談
19/10/08 07:23:36.89 3SQHWkr4.net
>>210
つづき
ここで、現代数学の順序同型（下記）を借用しましょう
”整列順序型N’：0,1,2,・・,n,・・” は、ちょうど自然数N全体を渡り、自然数Nと順序同型です
これを認めれば、ツェルメロの整列順序型E’とノイマンの整列順序型Eとは、順序同型
全単射で、ツェルメロのΩが、ノイマンのωに対応する
よろしいでしょうか？
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序型
(抜粋)
整列順序型と順序数
整列集合の順序型を特に整列順序型と呼ぶ。α を順序数とし ∈α を α 上の所属関係とすると、(α, ∈α) は整列集合なので type(α, ∈α) は整列順序型である。逆に、任意の整列集合は必ずある順序数 α に対する (α, ∈α) と同型なので、整列順序型は必ずある順序数 α に対する type(α, ∈α) の形で表すことができる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
整列集合
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序集合
写像と順序
定義
S, T を順序集合とし、f: S → T を写像とする。このとき
・f が順序同型写像（英語版）であるとは、f が順序埋め込みな全単射である事を言う。
順序同型 f: S → T が存在するとき、S と T は順序同型あるいは単に同型であるという。
つづく
212:現代数学の系譜 雑談
19/10/08 07:24:16.96 3SQHWkr4.net
>>211
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序数
(抜粋)
順序数の大小関係に関して次が成り立つ：
5.順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
(引用終り)
以上
213:現代数学の系譜 雑談
19/10/08 07:34:10.71 3SQHWkr4.net
>>211 追加引用
下記の和積が、通常の演算と同じなんでしょうね、多分（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序型
(抜粋)
5 順序型の演算
5.1 和
5.2 積
順序型の演算
順序型には和と積の演算を定義することができる。
和
ρ, σ を順序型とする。 全順序集合 (A, <A), (B, <B) を type(A, <A) = ρ, type(B, <B) = σ, A ∩ B = Φ をみたすように取り、A ∪ B 上の関係 <A +* <B を、
x (<A +* <B) y ⇔ x <A y または x <B y または <x, y> ∈ A × B
によって定義すれば、(A ∪ B, <A +* <B) は全順序集合であり、その順序型は (A, <A), (B, <B) の特定の取り方によらず一定である。そこで type(A ∪ B, <A +* <B) を ρ と σ の和といい、これを ρ + σ で表す。
直観的には、ρ + σ というのは (A, <A) の後ろに (B, <B) を並べてできる全順序集合の順序型である。
積
ρ, σ を順序型とする。 全順序集合 (A, <A), (B, <B) を type(A, <A) = ρ, type(B, <B) = σ をみたすように取り、A × B 上の関係 <A x* <B を、
<x1, y1> (<A x* <B) <x2, y2> ⇔ y1 <B y2 または （y1 = y2 かつ x1 <A x2）
によって定義すれば、(A × B, <A x* <B) は全順序集合であり、その順序型は (A, <A), (B, <B) の特定の取り方によらず一定である。そこで type(A × B, <A x* <B) を ρ と σ の積といい、これを ρ ・ σ で表す。
順序型の和と積について次が成り立つ：
1.(ρ + σ) + τ = ρ + (σ + τ) 。
2.(ρ ・ σ) ・ τ = ρ ・ (σ ・ τ) 。
3.ρ + 0 = 0 + ρ = ρ 。
4.ρ ・ 1 = 1 ・ ρ = ρ 。
5.ρ ・ 0 = 0 ・ ρ = 0 。
6.ρ ・ (σ + τ) = (ρ ・ σ) + (ρ ・ τ) 。
7.任意の順序数 α , β に対して、α + β = α + β かつ α ・ β = α ・ β 。 したがって整列順序型同士の和、積は整列順序型である。
(引用終り)
214:１３２人目の素数さん
19/10/08 09:37:02.76 ofPIORDH.net
>>210
>>211
> >>210
> つづき
>
> ここで、現代数学の順序同型（下記）を借用しましょう
> ”整列順序型N’：0,1,2,・・,n,・・” は、ちょうど自然数N全体を渡り、自然数Nと順序同型です
> これを認めれば、ツェルメロの整列順序型E’とノイマンの整列順序型Eとは、順序同型
> 全単射で、ツェルメロのΩが、ノイマンのωに対応する
>
> よろしいでしょうか？
>
ダメです。
あなたはωから先にダッシュをつけて区別しますが2以降はツェルメロ構成とノイマン構成では違うものでしょ？
なのでもうここから区別しないとダメです。
ノイマンの構成ではまず
0,1,2,3,‥‥
が順に構成され、それと無限公理から存在が保証されている
E= {0,1,2,‥‥} ∪ {いらないもの}
の存在が保証されています。
ここから分出公理で
{x∈E | x: finite, x: ordered inthe sence of Neumann}
という集合がとれますがコレでいらないもが削ぎ落とされて
求めるωがとれたのでした。
あなたが同様にというならこの
x: finite, x: ordered inthe sence of Neumann
の部分を何に書き換えるのかを明示しないと何をやってもダメです。
215:第六天魔王
19/10/08 19:42:24.18 bC9PKbug.net
馬鹿は根本的に分かってないなｗ
だいたい、無限公理のωが
suc(a) :=a∪{a}の繰り返しだけで
出来てると思うのが馬鹿ｗｗｗ
その証拠に
ω＝a∪{a}
となるaは存在しないだろ
ω＝∪nなんだからさ
そういう意味でいえばツェルメロの構成法でも
ω’＝∪n' (n'はツェルメロの自然数)
とせざるを得ないんで、馬鹿のいうような
{…{}…}
にはなりようがないｗ
216:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 11:48:43.65 nHmzRvjt.net
>>214
”ここから分出公理で
{x∈E | x: finite, x: ordered inthe sence of Neumann}
という集合がとれますがコレでいらないもが削ぎ落とされて
求めるωがとれたのでした。”
↓
E''＝E'＼N ＝ { x∈E' | x: transfinite, x: ordered in the sence of Zermelo }
という集合がとれます
コレでいらない自然数Nの元（finiteな元）が削ぎ落とされて
E'のZermelo構成の最小元として
求めるωがとれたのでした
（ここに、E'とNとは、>>211をご参照）
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Transfinite number
(抜粋)
Transfinite numbers are numbers that are "infinite" in the sense that they are larger than all finite numbers, yet not necessarily absolutely infinite. The term transfinite was coined by Georg Cantor, who wished to avoid some of the implications of the word infinite in connection with these objects, which were, nevertheless, not finite.
Few contemporary writers share these qualms; it is now accepted usage to refer to transfinite cardinals and ordinals as "infinite". However, the term "transfinite" also remains in use.
Definition
Any finite number can be used in at least two ways: as an ordinal and as a cardinal. Cardinal numbers specify the size of sets (e.g., a bag of five marbles), whereas ordinal numbers specify the order of a member within an ordered set (e.g., "the third man from the left" or "the twenty-seventh day of January").
When extended to transfinite numbers, these two concepts become distinct. A transfinite cardinal number is used to describe the size of an infinitely large set, while a transfinite ordinal is used to describe the location within an infinitely large set that's ordered. The most notable ordinal and cardinal numbers are, respectively:
つづく
217:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 11:52:12.46 nHmzRvjt.net
>>216
つづき
・ω (omega) is defined as the lowest transfinite ordinal number and is the order type of the natural numbers under their usual linear ordering.
・Aleph-naught, アレフ_{0}, is defined as the first transfinite cardinal number and is the cardinality of the infinite set of the natural numbers. If the axiom of choice holds, the next higher cardinal number is aleph-one, アレフ_{1}.
If not, there may be other cardinals which are incomparable with aleph-one and larger than aleph-naught. But in any case, there are no cardinals between aleph-naught and aleph-one.
The continuum hypothesis states that there are no intermediate cardinal numbers between aleph-null and the cardinality of the continuum (the set of real numbers): that is to say, aleph-one is the cardinality of the set of real numbers. (If Zermelo?Fraenkel set theory (ZFC) is consistent, then neither the continuum hypothesis nor its negation can be proven from ZFC.)
(引用終り)
以上
注：「アレフ_{0}」などは、例のアレフ記号なのだが、文字化けするのです。Alephと書くと、記号でないAlephと区別できなので、カナ書きにした(゜ロ゜;。まあ、原文読んでください（＾＾
218:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 11:54:54.56 nHmzRvjt.net
>>216 タイポ訂正
E'のZermelo構成の最小元として
↓
E'’のZermelo構成の最小元として
219:１３２人目の素数さん
19/10/09 12:08:47.55 0zG6excl.net
てす
220:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 12:16:17.12 nHmzRvjt.net
おつ
221:１３２人目の素数さん
19/10/09 12:34:45.34 rFFSRADX.net
>>216
ダメですね。
まず
x: ordered number in the sence of Zermelo
が論理式として定義されていません。
>>18の定義にある通り、そここそがNeumannのordered numberのすごいところで多くの基礎論における順序数の構成でNeumannのスタイルが採用される所以です。
まぁ仮にそこがなんとかなったとしても
E'={0',1',2'‥‥}∪{他の元}
からZermelo ordered number以外を切り落としてもえられるのは
{0',1',2',‥}
の形にしかなりません。
コレはΩではないですよね？
222:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 15:22:44.61 nHmzRvjt.net
>>216
＞E''＝E'＼N
＼：差集合（下記）の記号
まあ、大学では普通で、みな知っているけど
不思議に、「B － A」は使わない
多分、和集合がに、∪（カップとか読む）をつかうことから（＋を使わない）、それとのバランスでしょうね（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
差集合
(抜粋)
差集合（さしゅうごう、英: set difference）とは、ある集合の中から別の集合に属する要素を取り去って得られる集合のことである。特に、全体集合 U を固定して、U からその部分集合 A の要素を取り去って得られる集合を A の補集合という。
定義
集合 B から集合 A に属する元を間引いて得られる集合を
B＼A
または B － A と表現し、B から A を引いた差、差集合あるいは B における A の（相対）補集合と呼ぶ。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
差集合 B － A のベン図による視覚化（左がA、右がB。）:
B＼A＝A^c∪B
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
差集合 A － B のベン図による視覚化（左がA、右がB。）:
A＼B＝A∪B^c
223:１３２人目の素数さん
19/10/09 19:21:01.16 PFECpNHL.net
自分の言いたいことだけ言って指摘は見て見ぬふりですか やれやれ
224:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 23:51:22.16 2o5RsZjT.net
>>221
議論の前提として、ある程度、標準的に認められている現代数学の成果は、認めることにしましょうね（＾＾
ツェルメロから、ノイマンへ至道、それは幾人もの希代の天才たちが、十年以上の歳月をかけた思考の結晶だ
こんなバカ板のバカスレで、１からの数学ゼミやったら、100年かかっても少しも進みませんぜｗ(゜ロ゜;
ツェルメロ構成は、順序数（3.2.2 Ordinality）については、モストフスキー崩壊理論で、一応成立（OKってこと）
但し、基数（3.2.3 Cardinality）については、これじゃだめということですよ
それ、下記の”Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett”に書いてあるよ
繰返すが、ωについては順序数の話（OKの方）ですよ（＾＾
（基数は、アレフの方の話で別ですよ。当然、お分かりでしょうけど）
URLﾘﾝｸ(plato.stanford.edu)
URLﾘﾝｸ(plato.stanford.edu)
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett
First published Tue Jul 2, 2013
(抜粋)
3. The Major Problems with Zermelo's System
3.1 Separation
3.2 Completeness
3.2.1 Representing Ordinary Mathematics
3.2.2 Ordinality
3.2.3 Cardinality
3.2.4 Ordinals
225:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 23:54:00.34 2o5RsZjT.net
>>224
Stanford Encyclopedia of Philosophyがダブッたな
まあ、ご愛敬（＾＾
226:現代数学の系譜 雑談
19/10/09 23:56:05.81 2o5RsZjT.net
>>224
3.2.2 Ordinality
Thus, many of the representational problems faced by Zermelo's theory are solved at a stroke by Kuratowski's work, building as it does on Zermelo's own.
って話な（＾＾
227:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 00:04:50.39 JCH5uyU5.net
>>224 訂正します
ツェルメロ構成は、順序数（3.2.2 Ordinality）については、モストフスキー崩壊理論で、一応成立（OKってこと）
↓
ツェルメロ構成は、順序数（3.2.2 Ordinality）については、Kuratowskで、一応成立（OKってこと）
（>>226より）
ｘｘスキーとか、紛らわしいな って、オイオイ(゜ロ゜;
下記の人だろうね（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カジミェシュ・クラトフスキ
(抜粋)
カジミェシュ・クラトフスキ（Kazimierz Kuratowski, 1896年2月2日 - 1980年6月18日）はポーランドの数学者。
概要
ロシア帝国領（当時）のワルシャワに生まれ、グラスゴー大学で工学を、ワルシャワ大学で数学を学ぶ。
ワルシャワ大学にて博士号を取得後、1927年にルヴフ工科大学教授に就任。
ルヴフ（現ウクライナ・リヴィウ）ではステファン・バナフ、スタニスワフ・ウラムらとともに測度論に関する研究を行う。
1934年にはワルシャワ大学数学科教授に就任。第二次世界大戦後はポーランド科学アカデミー副理事長等の要職を歴任し、ポーランド数学界の復興に尽力した。
位相空間論・集合論において多大な業績を残し、特に二巻本の大著『トポロジー Topologie』（第1巻1933年刊、第2巻1950年刊）は、ポーランド学派点集合トポロジーの金字塔である。
業績
・クラトフスキ・ツォルンの補題の発見
・順序対 (x,y)と集合 {{x},{x,y}}との同一性。
228:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 00:09:05.45 JCH5uyU5.net
>>227
バナフは、バナッハ空間論の人。ウラムは、物理とも関連したいたと思うよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ステファン・バナフ
(抜粋)
ステファン・バナフ[1]（Stefan Banach, 1892年3月30日 - 1945年8月31日）はポーランドの数学者。バナッハ空間論、実解析論、関数解析学、数学基礎論などで多大な業績をのこした。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
スタニスワフ・ウラム
(抜粋)
スタニスワフ・マルチン・ウラム（Stanis?aw Marcin Ulam, 1909年4月3日 - 1984年5月13日）は、アメリカ合衆国の数学者。ポーランド出身。数学の多くの分野に貢献しており、また水爆の機構の発案者としてその名を残している。
229:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 00:14:03.18 JCH5uyU5.net
>>228
ウラム先生は、ソリトンの切っ掛けになった数値実験をした人ですね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フェルミ・パスタ・ウラムの問題
(抜粋)
フェルミ・パスタ・ウラムの問題（ふぇるみ・ぱすた・うらむのもんだい、英: Fermi?Pasta?Ulam problem）とは、物理学における非線形な相互作用を有する格子模型におけるエネルギー分配の問題。FPU の問題とも呼ばれる。1950年代に、ロスアラモス研究所で電子計算機を用いてこの問題に取り組んだ 3 人の数理物理学者エンリコ・フェルミ、ジョン・パスタ（英語版）、スタニスワフ・ウラムに名に因む。
当初の予想では相互作用が非線形な系ではエルゴード性（英語版）によって、長時間経過後に各モードにエネルギーが等分配された熱力学的平衡状態に達するはずであったが、計算機実験の結果はそれに反し、初期状態のモードに戻る再帰現象が観測された。
後に、この再帰現象はKdV方程式の研究から可積分系におけるソリトンと関連した現象であることが明らかにされた。なお、電子計算機が物理学の研究に活用された初期の事例としても有名である。
ソリトン現象との関係
後に、ザブスキーとクルースカルは非線形波動の研究において、この再帰現象はソリトンの性質によるものであることを示した。
1965年に彼らは連続体近似を行ったモデルであるKdV方程式で数値計算を行い、ソリトンと呼ばれる孤立波解が存在し、複数個のソリトン同士が衝突する場合にも、波形が崩れず伝播することを示した。初期条件に余弦波を与えた場合には、複数の孤立波が出現し、衝突を繰り返すも、その性質を保ちつつ伝播し、一定時間経過後に初期状態に戻る現象が観測された。
上記のフェルミらが観測した再帰現象は、非線形性がある場合にも、KdV方程式のような可積分系に近い系の性質によって、再帰が起きたと理解される。
230:１３２人目の素数さん
19/10/10 03:44:50.32 64e05J/b.net
>>324
違います。
Zermelo ordinal number なるものが何かまだ誰も定義していません。
Z(0)=0, Z(1)={0}, Z(2)={{}},‥‥
はいいでしょう。
そのように定義したいなら定義してもいいでしょう。
ただしコレもキチンと論理式で定義しないとだめなんですよ。
しかしココまでは難しいけどできるのは確認済みです。
問題になっているのはω番目以降です。
まだだれも
Z(ω), Z(ω+1),‥‥
を定義した人はいません。
基数の全体cardinal numberについては
x:cardinal number :⇔ x:ordinal number ∧ ∀y<x(#y≠#x)
と定義され、
よつて整列順序クラスOrdの部分クラスなので自然に整列順序集合となり、
整列写像: ℵ:Ord→Cardが定義されます。
この対応からCardの超限帰納法を用いる定義
ℵ(0) :=0
ℵ(a+1) := min{x ∈Ord | #x>#a}
ℵ(a) := min{x ∈Ord | #x>#a} (if a is a limit number)
が誘導される事がわかります。
のでこれを定義に用いる事も出来ます。
どちらも大して難しい定義ではないのでどちらを定義に採用する事もあるとは思いますが、
ポイントは超限帰納法で定義するなら後者ℵ(a+1)をℵ(x) (x≦a)で表現するだけではダメでaがlimit numberのときのℵ(a)を定めないと超限帰納法は完成しません。
あなたはaがlimit numberの場合のΩ(a)を論理式を用いて定義しなければなりません。
231:１３２人目の素数さん
19/10/10 04:16:23.27 64e05J/b.net
訂正
ℵ(a)=min{x| ∀y<a #x>#ℵ(y)}
です。
超限帰納法は多くの場合、後者順序数(successor ordinal number) と極限数(limit number)について別途定める必要があります。
Zermelo ordinal numberは後者順序数の場合しか定められていません。
232:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 10:48:34.46 K6AlmfoH.net
>>230
そんな思考をしていたら、百年経っても、ノイマンを抜けないよ
もっと、巨人の肩に乗ることを考えないと
伊能 忠敬が、昔全国を回って測量し日本地図を作った
それは確かに偉業ではある
でも、我々はグーグルマップを使えば良い
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「巨人の肩の上にのる矮人」（きょじんのかたのうえにのるわいじん、ラテン語: nani gigantum umeris insidentes [1]）という言葉は、西洋のメタファーであり、現代の解釈では、先人の積み重ねた発見に基づいて何かを発見することを指す。
「巨人の肩の上に立つ」、「巨人の肩に座る」、「巨人の肩に登る」、「巨人の肩に乗る小人」、「巨人の肩に立つ侏儒」などの形でも使われる。
科学者アイザック・ニュートンが1676年にロバート・フックに宛てた書簡で用いた、[2]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
伊能 忠敬（いのう ただたか[注釈 1]、延享2年2月11日（1745年2月11日） - 文化15年4月13日（1818年5月17日））は、江戸時代の商人・天文学家である。通称は三郎右衛門、勘解由（かげゆ）。字は子斉、号は東河。
寛政12年（1800年）から文化13年（1816年）まで、17年をかけて日本全国を測量して『大日本沿海輿地全図』を完成させ、国土の正確な姿を明らかにした。
233:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 10:58:25.27 K6AlmfoH.net
>>230
念押ししておきたいが
１）おれが、定義を書けるかどうかと、
大学以上の数学として、その数学概念が確立されているかどうかは別
判断基準間違っているよ
そんな判断基準なら、現代数学の99％は消滅するじゃないｗ(゜ロ゜;
２）逆に、おれは、あなたを基準にしていない
あなたが、納得するかどうか？ 理解できるかどうかを基準にしていない
あなたが、基準にならないことは、１）に同じだ
234:１３２人目の素数さん
19/10/10 11:19:21.50 64e05J/b.net
>>232
もちろん過去の偉人が証明した結果はいくらでも利用してください。
その事を非難した事はありません。
既に証明されている事実はいくら使っても結構です。
その上でΩを構成してください。
235:１３２人目の素数さん
19/10/10 11:35:00.35 64e05J/b.net
>>233
結構ですよ。
証明はわからないがこんな結果はあるというなら使っていただいて結構です。
少なくとも私は順序数に符合付ける方法
Z(0),Z(1),‥,Z(ω),Z(ω+1),‥
で
Z(0)=0
Z(x+1)={Z(x)}
を満たすものの存在は否定しません。
それは超限帰納法を用いれば簡単に出来る事だし、それは学部の一回で習う当たり前の事です。
問題にしてるのはあなたが引用している内容何を使っても自動的にΩ=Z(ω)が定められたりはしないという事です。
もちろんあなた自身がそれをできなくても絶対できないというつもりはありません。
できる事の証明されはできてもできない事の証明は一般にはとても難しいからです。
ので私はΩが存在できない事を主張した事はありませんし、それをしようとも思いません。
ただこうやればできると主張する人の主張に間違いがあれば指摘はします。
もっか私はしばし待てば定義を与えるというあなたの言に従って待っている状態です。
236:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 18:39:11.25 K6AlmfoH.net
>>233 補足
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
デデキント無限
(抜粋)
数学において、集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。
デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない[1]。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。
目次
1 通常の無限集合の定義との比較
2 ZFにおけるデデキント無限
3 歴史
4 選択公理との関係
5 可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明
6 一般化
7 引用文献
8 参考文献
通常の無限集合の定義との比較
デデキントの意味での“無限集合”は、普通の意味での無限集合と比較されるべきであろう:
集合A が無限であるとは、どのような自然数 n に対しても、{0,1,2,..., n -1}（有限順序数）と A との間に全単射が存在しないことである。
無限とは、全単射が存在しないという意味で文字通り有限でないという集合である。
19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。しかし実際は、選択公理（“AC”）を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系（通常、“ZF”と表記される）からは、その同値性は証明されえない。弱いACを使うことで証明でき、フルの強さは要求されない。その同値性は、可算選択公理（“CC”）より真に弱い形で証明できる。
つづく
237:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 18:40:50.86 K6AlmfoH.net
>>236
つづき
一般化
圏論的な言葉で表現すれば、集合 A は集合の圏においてすべてのモノ射 f: A → A が同型射であるときにデデキント有限である。フォン・ノイマン正則環 R が（左あるいは右）R-加群の圏において同様の性質を持つことと、R において xy = 1 ならば yx = 1 が成り立つことは同値である。
より一般に、デデキント有限環 (Dedekind-finite ring) は、この条件（xy = 1 ならば yx = 1）を満たす環のことである。台集合がデデキント無限であっても環はデデキント有限となりうることに注意。例えば整数環。正則加群 RR がホップ的（すなわち任意の全射自己準同型が同型）であることと R がデデキント有限であることは同値である。
URLﾘﾝｸ(ring-theory-japan.com)
VON NEUMANN REGULAR RINGS WITH COMPARABILITY MAMORU KUTAMI Yamaguchi University 久田見 守（山口大学）第３９回環論および表現論シンポジウム（２００６年）
(抜粋)
1. 正則環における比較可能性と有限性
正則環は1936 年ノイマンによって連続幾何学の研究から見出された環であり、1950 年
代から1960 年代にかけての内海による商環の存在性の考察により、多数の正則環が存在
することが知られるようになった。そして、1960 年代後半に入り、有限条件と呼ばれる
ダイレクト・ファイナイト性やユニット正則性の研究が始められるようになった。ダイレ
クト・ファイナイト性はノイマン有限性或いはデデキント有限性とも呼ばれており、可換
環やネーター環及びアルチン環がダイレクト・ファイナイト環であることはよく知られて
いる。ユニット正則性は1968 年G.Ehrich によって与えられた概念である。ユニット正
則性やダイレクト・ファイナイト性は、正則環研究における重要な有限条件と呼ばれてい
る。何故これらの概念が有限性と呼ばれるかは、次の定理3 の性質を持つからであると推察される。
(引用終り)
つづく
238:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 18:41:43.06 K6AlmfoH.net
>>237
つづき
上記の出どころ
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
久田見 守 researchmap
URLﾘﾝｸ(ring-theory-japan.com)
環論ホームページ
URLﾘﾝｸ(ring-theory-japan.com)
国内会議案内（２００６年終了分）
第３９回環論および表現論シンポジウム（２００６年）
期間：２００６年９月１６日（土）ー１８日（月）
会場： 広島大学学士会館レセプションホール会議室１
(引用終り)
以上
239:１３２人目の素数さん
19/10/10 19:13:34.84 67UjvVEp.net
>しばし待てば定義を与える
詐欺師が約束守る訳ないじゃんｗ
この詐欺師、今まで何度約束を破ったことかｗ
240:現代数学の系譜 雑談
19/10/10 20:21:05.62 JCH5uyU5.net
>>239
(引用開始)
>しばし待てば定義を与える
詐欺師が約束守る訳ないじゃんｗ
この詐欺師、今まで何度約束を破ったことかｗ
(引用終り)
？
「しばし待てば定義を与える」？
おれの言葉じゃないでしょ、それ（>>235）
約束もクソもない
1)おれは、定義書いたけど、相手が勝手に、ダメ出ししているんだけなのだが、とっくに約束は果たしているぞ！ｗ（＾＾
2)”Zermelo ordinal number”の定義？（>>230）?
おれが引用した Stanford Encyclopedia of Philosophy Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett Tue Jul 2, 2013
URLﾘﾝｸ(plato.stanford.edu)
を読めば良いんじゃ無いの？（＾＾
そもそも、”Zermelo ordinal number”なんて、おれが勝手に定義するものではない！ｗ（＾＾
知りたければ、Zermelo先生の原論文嫁めよｗ
241:１３２人目の素数さん
19/10/10 20:31:25.82 JxHMvoEF.net
>>224
＞それ、下記の”Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett”に書いてあるよ
英語読めてる？
>VII.Infinity
>This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set,
>and for each set a that it contains, also contains the set {a}.
> (Thus, this infinite set must contain ∅, {∅}, {{∅}}, ….)
>The natural numbers are represented by Zermelo as by ∅, {∅}, {{∅}}, …,
>and the Axiom of Infinity gives us a set of these.
ツェルメロの自然数における無限公理は
{∅, {∅}, {{∅}}, …, }
の存在を述べているだけ
{…{∅}…}なんて全然出てこないけどな