19/10/06 08:39:19.54 d8OQiN+r.net
>>77 追加
下記、定理 93ですけど、ここに集積点を含まないことは明白ですね（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
坪井明人 筑波大
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坪井明人
11 整列集合
定義 88（整列順序）順序集合 (X, <) が整列集合（あ
るいは整列順序集合）であるとは，空でない任意の
A ⊂ X の中に（A の）最小元が存在することである．
注意 89 整列集合は全順序集合である．全順序集合
であることは，２元集合 A = {x, y} に必ず最小元が
存在することからわかる．
例 90
1. (N, <) は整列集合である．
2. (Z, <) は（全順序集合であるが）整列集合でない．
3. 有限の全順序集合は整列集合になる．
関数 f : N → X は X の元からなる無限列と考えられる．
無限列は (an)n∈N などで表す．
定義 91 (X, <) を順序集合とする．X の元の無限列
(an)n∈N が無限降下列であるとは，任意の n ∈ N に対して，
an+1 < an が成立することである．
例 92 1. Z における数列 (an)n∈N を an = ?n で定めると，無限降下列である．
2. N の中には無限降下列は存在しない．
定理 93 (X, <) を順序集合とする．このとき次は同値である：
1. (X, <) は整列集合である；
2. (X, <) は全順序集合で，なおかつ無限降下列を持たない．
証明： 1 ⇒ 2: (X, <) を整列集合とする．全順序
集合になることは既に調べた．X の中に無限降下
列 (an)n∈N が存在したとしよう．このとき，集合
A = {an : n ∈ N} ⊂ X は最小元を持たない．これ
は X が整列集合であることに反する．
2 ⇒ 1: 2 を仮定する．空でない A ⊂ X を任意に
とる．A に最小元が存在することを示そう．a0 ∈ A
を選ぶ．これが A の最小元ならば議論は終了する．
そうでなければ，a1 ∈ A, a1 < a0 が存在する．a1
が最小元ならば議論は終了するので，再び a2 ∈ A,
a2 < a1 が存在する．以下同様に A の元 an を
a0 > a1 > a2 > ・ ・ ・ an?1 > an
となるように選ぶ．A は無限降下列を持たないので，
この構成はいつか止まる．すなわち，ある n に対し
て an ∈ A が最小元になる．
(引用終り)
以上