19/10/15 20:56:37.22 9ROe+Kvi.net
>>829 補足
(引用開始)
乗法群(Z/nZ)×はいいけど、位数n-1じゃないよ。
たとえばZ/6Zにおける乗法可逆元の類は、1,5の2つのみ。
一般的にはオイラーのφ函数を使ってφ(n)とあらわされる数になる。
(引用終り)
ID:ceRjWFfMさん、レベル高いね
そうそう、そうでした。
なんか、正確に書くのが面倒になって、n＝p（素数）として逃げたけど、
「位数n-1」のところ間違っていたら、”しゃれ
928:にならんな”（これ関西では常套句ですが（＾＾ ） （大体自分で書くと、タイポや誤記もあるから、コピペベースにしている意味もあるのだが、根本的に自分の理解不十分だったよね、巡回群のこと（＾＾ ） つづき
929:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/15 20:57:55.93 9ROe+Kvi.net
>>853
訂正：つづき→つづく
つづき
ところで
>>838
>URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
> １のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ
> 1 の原始 n 乗根はφ(n) 個あります．
>ここに出てきたφを オイラーのファイ関数 と呼びます．
これ、下記の「巡回群」の”n が有限ならば G を生成する元の総数はちょうど φ(n) に等しい”と一致しているが
しかし、英文 Cyclic group の
”If p is a prime number, then any group with p elements is isomorphic to the simple group Z/pZ. A number n is called a cyclic number if Z/nZ is the only group of order n, which is true exactly when gcd(n,φ(n)) = 1.”
の記述と不一致？(゜ロ゜;
巡回群とCyclic groupの記述が
いや、調べるとオイラーのφ(n)は、一般に偶数で、素数ｐがφ(n)には出現しないので、「巡回群」の記述へんだよね（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
巡回群
(抜粋)
性質
位数 n の巡回群（n は無限大でもよい）G と G の任意の元 g について、以下のようなことが言える。
・n が有限ならば G を生成する元の総数はちょうど φ(n) に等しい。ここで φ はオイラーのトーシェント函数である[4]。
・もっと一般に、d が n の約数ならば Z/nZ の位数 d の元の個数は φ(d) である。また、m の属する剰余類の位数は n/gcd(n,m) で与えられる。
・p が素数ならば、位数 p の群は（同型の違いを除き）巡回群 Cp（あるいは加法的に書くならば Z/pZ）しかない[5]。
つづく
930:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/15 20:59:10.46 9ROe+Kvi.net
>>854
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cyclic group
(抜粋)
Additional properties
If p is a prime number, then any group with p elements is isomorphic to the simple group Z/pZ. A number n is called a cyclic number if Z/nZ is the only group of order n, which is true exactly when gcd(n,φ(n)) = 1.[13]
The cyclic numbers include all primes, but some are composite such as 15. However, all cyclic numbers are odd except 2. The cyclic numbers are:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, ... (sequence A003277 in the OEIS)
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
AUTHOR N. J. A. Sloane and Richard Stanley Last modified October 15 04:33 EDT 2019.
EXTENSIONS More terms from Christian G. Bower
A003277
Cyclic numbers: n such that n and phi(n) are relatively prime; also n such that there is just one group of order n, i.e., A000001(n) = 1.
(Formerly M0650) 65
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, ・・
(list; graph; refs; listen; history; text; internal format)
(引用終り)
以上
931:Mara Papiyas
19/10/15 21:13:41.04 3uWjxYrs.net
>>854
馬鹿は乗法群 (Z/6Z)×を全然知らんようだｗｗｗ
つまり
「円分体Q(ζn)のガロア群が乗法群(Z/nZ)×になる」
とはどういうことか、全然分かってないｗｗｗ
そんな馬鹿が知ったかぶってガロア理論語るなよ
みっともないｗｗｗｗｗｗｗ
932:Mara Papiyas
19/10/15 21:26:46.92 3uWjxYrs.net
>>853
933:＞＞たとえばZ/6Zにおける乗法可逆元の類は、1,5の2つのみ。 ＞そうそう、そうでした。 相槌打ってるけど全然分かってないな なんで0はともかく、2や3や4は入ってないのか それは 2×3=3×2=0 4×3=3×4=0 だから そもそも、馬鹿は 「なぜ円分体Q(ζn)のガロア群が 加法群(Z/nZ)でなく乗法群(Z/nZ)×なのか」 分かってないｗ 分かってたら 「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」 なんて馬鹿な間違いするわけがないｗ
934:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/15 21:51:54.40 9ROe+Kvi.net
>>849
>φ(5)=4だよ
>だいたい一般的にφ(n)=nにはならない
>pが素数のときφ(p)=p-1
そうそう、そうでした
昔読んだんだがね、十分理解できていないんだね（＾＾；
下記の”拡大体の基底に関する注意”ですね
「1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです
1 の n 乗根を添加するとき，拡大次数を間違わないように注意して下さい．」だな
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ
(抜粋)
系
Q に 1 の n 乗根 ζ を添加した拡大体を E とすると， [E:Q]=φ (n) がなりたちます．
さらにガロア群 G (E/Q) は Zn^xに同型となります．
拡大体の基底に関する注意
拡大体の次数について注意です． x^n-1 の解 ζ を使い，拡大体 Q(ζ) を考えます． Q(ζ) の元は，一般に a1ζ + a2ζ^2 +...+an-1ζ^n-1 と表わされ， Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．
ベクトルの足し算だと思って図形的に考えればすぐに分かりますが， 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです．
1 の n 乗根を添加するとき，拡大次数を間違わないように注意して下さい．
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
例えば 1 の五乗根． 1+ζ + ζ^2 +ζ^3 + ζ^4=0 となる．
(引用終り)
935:Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM
19/10/15 22:06:56 3uWjxYrs.net
>>858
見当違いなことばかり書く馬鹿に質問だ
円分体の同型写像を具体的に構成せよ
936:
19/10/15 22:07:22 6wySpVJX.net
>>854
＞オイラーのファイ関数
φ関数とは書きますけれども…普通、トーシェント関数ではないでしょうか
937:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/15 22:34:59.55 9ROe+Kvi.net
>>838
そうか
（>>818の訂正版）
と訂正書いたけど、
最初の>>818で合っていたんだね
1のn乗根を添加の話
理解不十分で、記憶だけで書くから、だめなんだな
しっかり理解しておかないとね
938:Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM
19/10/15 23:18:23 3uWjxYrs.net
>>859に答えられない馬鹿はガロア理論が全然理解できてないｗｗｗ
939:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/15 23:51:26 9ROe+Kvi.net
>>860
C++さん、どうも。スレ主です。
＞＞オイラーのファイ関数
＞φ関数とは書きますけれども…普通、トーシェント関数ではないでしょうか
最近は、トーシェント関数が普通かもしれませんが
以前は、”φ関数”だけで、”トーシェント関数”という呼び方は、あまり使われていなかったと思います
まあ、カナで”ファイ関数”という表記は珍しいですが、”物理のがきしっぽ”の記事なので、読者レベルを考えての表記でしょう
因みに、totientの命名は、Sylvester先生で、「Totidem」が由来とか
（参考）
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
ame********さん2015/5/611:07:42 Yahoo
オイラーのtotient関数のtotientの意味はなんですか。
(抜粋)
totientの語源となるtotiensを調べてみたら、so oftenと書かれていました。
「とてもよくある関数」という訳であってますか？
ベストアンサーに選ばれた回答
bud********さん 2015/5/612:48:10
オイラーのtotient関数
のもとの問題
ｎのｎより小さい互いに素な自然数の個数（Quot? How many )は
の答え が tot (so many) (totidem)
だから Joseph Sylvesterが造語で totient にした
しいて訳せば 個数関数 程度
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(ejje.webli)（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
weblio
Wiktionary英語版での「Totidem」の意味
totidem
語源
From tot (“so many”) + -dem (“same”).
数詞
totidem (indeclinable)
1.just as many
2.just the same
3.all the same
つづく
940:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/15 23:55:08 9ROe+Kvi.net
>>863
つづき
Joseph Sylvester先生は、下記で行列を発明したことで有名です
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
James Joseph Sylvester
(抜粋)
Legacy
Sylvester invented a great number of mathematical terms such as "matrix" (in 1850),[9] "graph" (combinatorics)[10] and "discriminant".[11] He coined the term "totient" for Euler's totient function φ(n).[12]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ジェームス・ジョセフ・シルベスター（James Joseph Sylvester, 1814年9月3日 - 1897年3月15日）は、イギリスの数学者。
1838年からユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドン教授、1877年に渡米してジョンズ・ホプキンス大学教授、1883年からオックスフォード大学の幾何学の Savillian 教授を歴任した。1839年王立協会フェロー選出。
w:American Journal of Mathematicsを創刊。行列や組合せ数学の研究を中心に功績を残しシルベスター行列やシルベスターの慣性法則などに名を残している。
受賞歴
1861年 ロイヤル・メダル
1880年 コプリ・メダル
1887年 ド・モルガン・メダル
(引用終り)
以上
941:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/16 00:02:14 OrOarbJT.net
>>863
オイラーのφ関数は、最初に１が出たあとは、全部偶数なんですね（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オイラーのφ関数
(抜粋)
オイラーのトーシェント関数（オイラーのトーシェントかんすう、英: Euler's totient function）とは、正の整数 n に対して、 n と互いに素である 1 以上 n 以下の自然数の個数 φ(n) を与える数論的関数 φ である。
1 から 20 までの値は以下の通りである。
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8,…(オンライン整数列大辞典の数列 A000010)
1761年にレオンハルト・オイラーが発見したとされるが、それより数年前に日本の久留島義太が言及したとも言われる。
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!)
A000010 Euler totient function phi(n): count numbers <= n and prime to n. AUTHOR N. J. A. Sloane Last modified October 15 07:56 EDT 2019.
(抜粋)
(Formerly M0299 N0111) 2846
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, 12, 10, 22, 8, 20, 12, 18, 12, 28, 8, 30, 16, 20, 16, 24, 12, 36, 18, 24, 16, 40, 12, 42, 20, 24, 22, 46, 16, 42, 20, 32, 24, 52, 18, 40, 24, 36, 28, 58, 16, 60, 30, 36, 32, 48, 20, 66, 32, 44 (list; graph; refs; listen; history; text; internal format)
(引用終り)
以上
942:１３２人目の素数さん
19/10/16 00:25:26.36 eqCH01Ub.net
オイラーのトーシェント関数
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8
をスレ主は筆算で確認できますか？
943:１３２人目の素数さん
19/10/16 00:33:45.99 eqCH01Ub.net
n=21のときのオイラーのトーシェント関数は
3,6,9,12,15,18,21
と
7,14,21
以外なので21-7-3+1=12
になります
944:１３２人目の素数さん
19/10/16 01:05:22.15 eqCH01Ub.net
オイラーのトーシェント関数とは
nに対し1からnまでの整数でnと互いに素であるような数の個数
です
n=21なら、1,2,4,5,8,10,11,13,15,17,19,21の12個になります
互いに素とは、二つの数の最大公約数が1であるということです
945:１３２人目の素数さん
19/10/16 01:06:14.10 eqCH01Ub.net
面白いですね
946:Mara Papiyas
19/10/16 05:18:59.85 /906omXv.net
馬鹿は円分体の同型写像を具体的に構成する宿題をやったか？
それともガロア理論諦めるか？
後者をすすめるぞ 貴様には向学心がないからな
次からスレタイ変えろよ みっともないぞｗ
947:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 07:44:43.92 OrOarbJT.net
>>866
ID:eqCH01Ubさん、どうも。スレ主です。
筆算でね（＾＾
出来ると思うよ、やらないけど
>>869
>面白いですね
面白いよね
φ(n)は、数論のいたるところに出てくるね（＾＾
948:Mara Papiyas
19/10/16 07:48:02.06 /906omXv.net
>>871
馬鹿、ガロア理論を諦めるｗｗｗｗｗｗｗ
949:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 07:51:10.82 OrOarbJT.net
>>859
>円分体の同型写像を具体的に構成せよ
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体は、草場公邦のP131にあるよ
そこから、手でコピータイプしても良いが
それでは、みなさん面白くないでしょｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(www.asakura.co.jp)
ガロワと方程式
A5変／192ページ／1989年07月10日
ISBN978-4-254-11467-6 C3341
草場公邦 著
(抜粋)
目次
6. ガロワの理論とその応用
6.1 ガロワ拡大とガロワ群
URLﾘﾝｸ(hiroyukikojima)（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
hiroyukikojima’s blog
2008-03-27
ガロアの定理をわかりたいならば
(抜粋)
数学の本を書くのを生業としているぼくでさえ、「よくわかる」本と出会えることは滅多にない。そんな中、最近になって出会って、すばらしいと思っているのは草場公邦先生の本である。以下の三冊を読んだ。
ガロワと方程式 (すうがくぶっくす)
作者: 草場公邦
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 1989/07/01
メディア: 単行本
どれもすばらしいが、とりわけ最初の『ガロワと方程式』はめちゃめちゃいい。ガロア理論とは栄光なき天才たち - hiroyukikojimaの日記で紹介した二十歳で決闘で死んだ薄命の天才ガロアの生み出した理論である。
（ ちなみにフランス語では、ガロワと発音するのが正しいらしく、草場先生はわざとそういう表記を使っているが、日本では一般にガロアが流布している） 。
つづく
950:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 07:51:58.49 OrOarbJT.net
>>873
つづき
これは、「5次以上の方程式には解の公式が存在しない」ということを証明するために編み出された理論であり、現代代数の先駆けとなったスゴモノである。(ちなみに誤解を最小限にするために言っておくと、何次方程式でも必ず複素数の解を持っている。
問題は、それをオートマチックに求める公式があるかどうかであり、5次以上にはそういう便利な公式がない、というのがガロアの定理なのである) 。
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。
ところが、最近になってこの『ガロワと方程式』を読んで、急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境�
951:nというのもスゴイやら情けないやらである。 (引用終り) つづく
952:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 07:54:22.35 OrOarbJT.net
>>874
つづき
(Brent Everitt先生、これお薦めです。カラーの絵が豊富で分り易い。（練習問題の解答が無くなっているね（＾＾ ））
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Galois Theory - a first course
Brent Everitt
(Submitted on 12 Apr 2018)
These notes are a self-contained introduction to Galois theory, designed for the student who has done a first course in abstract algebra.
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
ここで、円分体そのものじゃないけど、
方程式x^5 ? 2＝0のガロア群の絵解きがあるんだ。殆どこれで尽くされているね
イントロの部分で、”0. What is Galois Theory?”の章があって、
P7 (0.8)
A pentagon has 10 geometric symmetries, and you can check that all arise as symmetries of
the roots of x^5 ? 2 using the same reasoning as in the previous example. But this reasoning also
gives a symmetry that moves the vertices of the pentagon according to:
図略
This is not a geometrical symmetry ? if it was, it would be pretty disastrous for the poor pentagon.
Later we will see that for p > 2 a prime number, the solutions to xp ?2 = 0 have p(p?1) symmetries.
(引用終り)
とある
これの詳しい記述が本文にある
(なお、下記こちらは、過去スレでも紹介した2007版で古いけど、内容はほぼ同じで、最後に練習問題の解答が付いているよ（＾＾ )
URLﾘﾝｸ(www-users.york.ac.uk)
Symmetries of Equations: An Introduction
to Galois Theory
Brent Everitt, version 1.12, December 19, 2007.
Department of Mathematics, University of York, York
以上
953:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 07:56:56.80 OrOarbJT.net
>>875 文字化け訂正
x^5 ? 2
↓
x^5 - 2
などね
-の記号が、多分コードが違うので、目では見分けが付かず、この板では文字化けするんだ（＾＾；
954:Mara Papiyas
19/10/16 07:57:56.00 /906omXv.net
>>873-875
馬鹿は、文章を読まずにコピペして誤魔化すから
いつまでたっても書いてあることが理解できないｗ
別に草場の本なんか見なくてもネットにもあるぞ
それ読め と・に・か・く・よ・め
955:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 11:37:55.07 86h80x0A.net
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体って、単純そうで、結構深いよね(゜ロ゜;
”クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。”
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クロネッカー・ウェーバーの定理
(抜粋)
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。
クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker?Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。
言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。例えば、
√5=e^
956:2πi/5-e^4πi/5-e^6πi/5+e^8πi/5√5 = e^2πi/5 - e^4πi/5 - e^6πi/5 + e^8πi/5 である。 この定理の名前はレオポルト・クロネッカー (Leopold Kronecker) とハインリッヒ・マルチン・ウェーバー（英語版） (Heinrich Martin Weber) に因んでいる。 体論的定式化 クロネッカー・ウェーバーの定理は、体と体の拡大のことばで記述することができる。 それは、有理数体 Q の有限アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという定理である。 つまり、Q 上のガロア群がアーベル群である代数体は、ある1のべき根を有理数体Qに添加して得られる体の部分体である。 Q のアーベル拡大 K が与えられると、K を含む最小な円分体が存在する。 この定理によって、K の導手 n を 1 の n 乗根により生成される体に K が含まれるような最小の整数 n として定義できる。 例えば、二次体の導手は、それらの判別式（英語版）の絶対値であり、これは類体論で一般化される事実である。 つづく
957:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 11:38:48.56 86h80x0A.net
>>878
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Kronecker?Weber theorem
(抜粋)
In algebraic number theory,
it can be shown that every cyclotomic field is an abelian extension of the rational number field Q,
having Galois group of the form (Z/nZ )^x .
The Kronecker?Weber theorem provides a partial converse: every finite abelian extension of Q is contained within some cyclotomic field.
In other words, every algebraic integer whose Galois group is abelian can be expressed as a sum of roots of unity with rational coefficients.
For example,
√5=e^2πi/5-e^4πi/5-e^6πi/5+e^8πi/5,
√5=e^2πi/5-e^4πi/5-e^6πi/5+e^8πi/5,
√-3=e^2πi/3-e^4πi/3,√-3=e^2πi/3-e^4πi/3, and
√3=e^2πi/12-e^10πi/12.√3=e^2πi/12-e^10πi/12.
The theorem is named after Leopold Kronecker and Heinrich Martin Weber.
(引用終り)
以上
958:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 15:16:36.16 86h80x0A.net
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体って、単純そうで、結構深いよね(゜ロ゜;
乗法群、Group scheme of roots of unity （＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
乗法群
(抜粋)
数学と群論において、用語乗法群 (multiplicative group) は次の概念の1つを意味する：
・体、環、あるいはその演算の 1 つとして乗法をもつ他の構造の、可逆元が乗法の下でなす群[1]。体 F の場合には、群は {F ? {0}, ?} である、ただし 0 は F の零元であり二項演算 ? は体の乗法である。
・代数的トーラス（英語版） GL(1).
1 の冪根の群スキーム
1の n 乗根の群スキーム (group scheme of n-th roots of unity) は定義によって群スキーム（英語版）と考えて乗法群 GL(1) への n ベキ写像の核である。
例
n を法とする整数の乗法群（英語版）は群Z/nZの可逆元が乗法についてなす群である。
n が素数でないとき、0 の他に可逆でない元が存在する。
つづく
959:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 15:17:21.67 86h80x0A.net
>>880
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Multiplicative group
(抜粋)
In mathematics and group theory, the term multiplicative group refers to one of the following concepts:
・the group under multiplication of the invertible elements of a field,[1] ring, or other structure for which one of its operations is referred to as multiplication.
In the case of a field F, the group is (F ? {0}, ?), where 0 refers to theZero element of F and the binary operation ? is the field multiplication,
・the algebraic torus GL(1).
Examples
・The multiplicative group of integers modulo n is the group under multiplication of the invertible elements of Z/nZ . When n is not prime, there are elements other thanZero that are not invertible.
・The multiplicative group of a field F}F is the set of all nonzero elements: F^x=F-{0}, under the multiplication operation.
If F is finite of order q (for example q = p a prime, and F= Fp=Z/pZ), then the multiplicative group is cyclic: F^x ＝～ C_{q-1}.
Group scheme of roots of unity
960: The group scheme of n-th roots of unity is by definition the kernel of the n-power map on the multiplicative group GL(1), considered as a group scheme. つづく
961:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 15:18:31.30 86h80x0A.net
>>881
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Group scheme
(抜粋)
Group schemes that are not algebraic groups play a significant role in arithmetic geometry and algebraic topology, since they come up in contexts of Galois representations and moduli problems.
The initial development of the theory of group schemes was due to Alexander Grothendieck, Michel Raynaud and Michel Demazure in the early 1960s.
Examples
・The multiplicative group Gm has the punctured affine line as its underlying scheme, and as a functor, it sends an S-scheme T to the multiplicative group of invertible global sections of the structure sheaf.
Algebraic tori form an important class of commutative group schemes, defined either by the property of being locally on S a product of copies of Gm, or as groups of multiplicative type associated to finitely generated free abelian groups.
・For any positive integer n, the group μn is the kernel of the nth power map from Gm to itself. As a functor, it sends any S-scheme T to the group of global sections f of T such that fn = 1.
Over an affine base such as Spec A, it is the spectrum of A[x]/(x^n?1). If n is not invertible in the base, then this scheme is not smooth. In particular, over a field of characteristic p, μp is not smooth.
(引用終り)
以上
962:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/16 16:11:19 86h80x0A.net
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体って、単純そうで、結構深いよね(゜ロ゜;
位数4の群は、確か二つしかない
位数4の巡回群とクライン群と
下記（後述）の「位数 30 以下の群の分類」
P3 より、C4, C2 ｘ C2（クライン群） の二つ
>>873に関係しているのは、C4の方ですね（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クラインの四元群
(抜粋)
クラインの四元群とは、巡回群でない位数が最小の群である。また、位数2の巡回群の直積と同型である。
クラインの四群元の単位元以外の元の位数は、2である。
交代群 A4 の正規部分群
V = < identity, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >
と同型。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Klein four-group
(抜粋)
Contents
1 Presentations
2 Geometry
3 Permutation representation
4 Algebra
5 Graph theory
6 Music
7 See also
つづく
963:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/16 16:15:37 86h80x0A.net
>>883
つづき
（参考：方程式のガロア理論に役立ちそうなPDF見繕い）
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
Kazuhiko KURANO Department of Mathematics School of Science and Technology Meiji University
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
研究室の学生の卒業論文・修士論文・博士論文
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
2007 年度卒業研究 5次方程式
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
URLﾘﾝｸ(www.isc.meiji.ac.jp)
2014 年度卒業研究 S_6 の部分群の分類
URLﾘﾝｸ(mathematics-pdf.com)
MATHEMATICS.PDF よしいず
URLﾘﾝｸ(mathematics-pdf.com)
小さい位数の群の分類(131KB, 13/08/19) MATHEMATICS.PDF よしいず
（注；いま見ると、これ、上記の明治大 「2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類」に似ているね。まあ、だれが書いても似たようなものかも知れない。というか、「2004 年度卒業研究」にも種本があって、お互いその種本を見ている可能性もあるな（＾＾ ）
以上
964:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 16:31:44
965:.62 ID:86h80x0A.net
966:１３２人目の素数さん
19/10/16 18:37:36 z0qt+ZiN.net
演習で「位数200以下の単純群をすべて挙げよ」という問題があった
「168の時はアレだけに限られる」が難しくて、次の週までに解けなかった思い出
967:Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM
19/10/16 19:22:24 /906omXv.net
>>878
>めんどくさいやつだな
学習がめんどくさいなら、数学やめていいぞ
誰も貴様に数学やれなんて頼んでないから
>そうあせるな
あせって>>839で
＞１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
と馬鹿丸出しな間違い書いたのは貴様ｗｗｗ
＞代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。
＞クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、
＞Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。
なんで、尋ねられたことを調べずに
無関係なことを書くのかね？
>>859で、何て書いた？
「円分体の同型写像を具体的に構成せよ」
だよね？
もし、この質問に答えられるなら、
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
なんて書くことはあり得ない
だから訊ねてるんだよ
まっさきに尋ねられたことを調べろよ 馬鹿
968:Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM
19/10/16 19:23:12 /906omXv.net
>>880
>乗法群
今ごろそんなの調べてるの？ｗ
貴様、今迄いったい何やってたんだ？ｗ
>n を法とする整数の乗法群（英語版）は群Z/nZの可逆元が乗法についてなす群である。
>n が素数でないとき、0 の他に可逆でない元が存在する。
「可逆」の意味、分かってるか？
逆元があるってことだぞｗ
なんかこいつ基本的なことが全然わかってねぇなｗ
>>881-882
また全然関係ねぇこと調べてるし
貴様ほんと馬鹿だなｗ
969:Mara Papiyas
19/10/16 19:25:00.44 /906omXv.net
>>883-885
貴様、検索もロクにできないのか？
「円分体」「同型写像」のキーワードで
google検索かけたら速攻で見つかったぞｗｗｗ
■美的数学のすすめ（はてなブログ）
円分体のガロア群
「Q(ζn)/Qの自己同型をσとすると、
σ(ζn)は円分多項式Φn(x)=0の解となりますので、
σ(ζn)=ζn^i (i∈(Z/nZ)×)と表せます。
逆にi∈(Z/nZ)×に対してσiをσi(ζn)=ζn^iとすると
σiはQ(ζn)/Qの自己同型を導くことが分かります。」
読め この馬鹿がｗ
970:Mara Papiyas
19/10/16 19:49:19.28 /906omXv.net
大体、馬鹿は自分が検索した論文も読んでないだろｗ
「S_3, S_4, S_5 の部分群の分類」のところで
S_5の位数20の部分群も出てるぞ
(12345), (2354) が生成群だから
部分群に位数５と位数４の巡回群がある
971:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 20:48:59.29 OrOarbJT.net
>>886
ID:z0qt+ZiN さん、どうも。スレ主です。
>演習で「位数200以下の単純群をすべて挙げよ」という問題があった
>「168の時はアレだけに限られる」が難しくて、次の週までに解けなかった思い出
えー
明治大 蔵野研では、位数30までで、学部卒業研究だとか
それが、演習で「位数200以下の単純群をすべて挙げよ」か
びつくりです（＾＾；
972:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/16 21:36:24 OrOarbJT.net
>>891
>「168の時はアレだけに限られる」
これか
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
168
(抜粋)
・168 は合成数であり、約数は 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84 と 168 である。
・位数2の射影平面の自己同型群は位数168の単純群である。この群は5次の交代群に次いで位数の小さい単純群である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
射影平面
(抜粋)
有限位数の存在
射影平面の分類は全然終わっていない。いくつかの結果を位数の順に以下に示す。
・7 : 全て PG(2,7) に同型
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(2,_7)
PSL(2, 7)
(抜粋)
射影特殊線型群PSL2(7) は、代数学、幾何学、数論といった分野で重要な役割を持つ有限単純群である。
PSL2(7)はクラインの平面4次曲線（英語版）の自己同型群と同型で、またファノ平面の対称性の群（英語版）とも同型である。
位数168の単純群はPSL2(7)と同型であり、位数60の交代群A5（PSL2(4)、PSL2(5)、正二十面体群と同型。）に次いで2番目に小さな非可換単純群である。
性質
PSL2(7)は168個の要素を持つ。これは行列の取り得る列の数を数え上げることで確認できる。
URLﾘﾝｸ(w.atwiki.jp)
warawanu @ ウィキ
位数168単純群の一意性
(抜粋)
Gを位数168の単純群とする。 Gのシロー7群は8個，シロー3群は7個か28個である。位数21の元があればシロー2群が唯一になってしまう。
3群が7個では7群の正規化群が唯一，7群も唯一になってしまう。3群は28個である。位数6の元があればシロー2群が唯一になってしまう。以上により，位数7の元は48個，位数3の元は56個，位数2冪の元は残る63個である。
位数2冪の元が63個であるから，21個のシロー2群の内に自明でなく交わるものがある。その交わりCの正規化群について考える。
|NG(C)|は4より大きい4の倍数であるが，|NG(C)|=12は3群の正規化群の位数によって否定され，|NG(C)|=28と|NG(C)|=56は7群の正規化群の位数によって否定される。
結局，NG(C)は4次の対称群S4に同型であり，シロー2群は二面体群，シロー2群の交わりCは四元群である。
メモ
位数4が42個，位数2が21個，また，GからA7への準同型単射がある。
973:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 21:42:34.66 OrOarbJT.net
>>887
そうあせるな
おれは楽しんでいるんだ
円分体ねー
深いねー
円分体の深みを再認識しているんだよ
あんたの質問の答え
もう答えは出ているでしょ（＾＾
>>873-875とか
分かってないね
974:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/16 21:57:25 OrOarbJT.net
>>890
(引用開始)
「S_3, S_4, S_5 の部分群の分類」のところで
S_5の位数20の部分群も出てるぞ
(12345), (2354) が生成群だから
部分群に位数５と位数４の巡回群がある
(引用終り)
その議論はちょっと違うと思うよ
おまえ、なんか勘違いしていると思うよ
おまえ、>>849にも似たことを書いていたね（下記）
(>>849より引用開始)
>全体では、位数5の巡回群と位数5の巡回群の直積の群で、位数25の群
全体では、位数20の群ね
だいたい、25が120(5次の対称群S5の位数)の約数でない
時点でおかしいって気づけよｗ
(引用終り)
方程式のガロア群では、普通は基礎体はQに必要な1のベキ根は全て添加されているとして、議論を進める
そうすると、二項方程式 X^5-a=0 が既約として、この方程式のガロア群は、位数5の巡回群になると議論を単純化できる
この場合、群の位数は20ではない
>>890で、S_5 の部分群に位数20の部分群が存在することと
�
975:齦禔A基礎体Qに、1のベキ根が含まれていないときに、 二項方程式 X^5-a=0 のガロア群が位数20の群になることとは 別の議論だよ
976:Mara Papiyas
19/10/16 22:26:11.14 /906omXv.net
>>893
>おれは楽しんでいるんだ
間違うことを？ｗ
>円分体の深みを再認識しているんだよ
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
とかほざいた馬鹿が？ｗｗｗｗｗｗｗ
977:Mara Papiyas
19/10/16 22:31:22.53 /906omXv.net
>>894
>二項方程式 X^5-a=0 が既約として、
>この方程式のガロア群は、位数5の巡回群になる
>と議論を単純化できる
そりゃ基礎体を円分体とした場合だろ？
基礎体がQだったらどうだい？
＞方程式のガロア群では、普通は基礎体は
＞Qに必要な1のベキ根は全て添加されているとして、
＞議論を進める
おまえ、クンマー拡大も知らない馬鹿なのか？ｗ
978:Mara Papiyas
19/10/16 22:34:54.76 /906omXv.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)クンマー理論
「クンマー拡大(Kummer extension)とは、
ある与えられた整数 n に対し
次の条件を満たすような
体の拡大 L/K のことを言う。
・K は、n 個の異なる1のn乗根（つまり、Xn－1 の根）を含む。
・L/K はexponent n の可換ガロア群を持つ。」
979:Mara Papiyas
19/10/16 22:41:13.04 /906omXv.net
>>894
＞その議論はちょっと違うと思うよ
＞おまえ、なんか勘違いしていると思うよ
「と思う」お前が気違い
馬鹿の上に、妄想狂か？ｗｗｗ
980:Mara Papiyas
19/10/16 22:46:38.35 /906omXv.net
X^5-1はQ上の既約多項式ではない
なぜなら以下のように因数分解できるから
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
そして円分多項式φ5は
x^4+x^3+x^2+x+1
である
981:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 23:29:32.47 OrOarbJT.net
>>889
(引用開始)
「Q(ζn)/Qの自己同型をσとすると、
σ(ζn)は円分多項式Φn(x)=0の解となりますので、
σ(ζn)=ζn^i (i∈(Z/nZ)×)と表せます。
逆にi∈(Z/nZ)×に対してσiをσi(ζn)=ζn^iとすると
σiはQ(ζn)/Qの自己同型を導くことが分かります。」
(引用終り)
？？
>>858より
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ
(抜粋)
系
Q に 1 の n 乗根 ζ を添加した拡大体を E とすると， [E:Q]=φ (n) がなりたちます．
さらにガロア群 G (E/Q) は Zn^xに同型となります．
(引用終り)
これと何が違う？(゜ロ゜;
全文引用していないが、リンク先の全文を読んでみな（＾＾；
982:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/16 23:51:19.94 OrOarbJT.net
>>896-897
なにを狼狽して誤魔化そうとしているんだ？？ｗ（＾＾；
>>890より
(引用開始)
「S_3, S_4, S_5 の部分群の分類」のところで
S_5の位数20の部分群も出てるぞ
(12345), (2354) が生成群だから
部分群に位数５と位数４の巡回群がある
(引用終り)
この「S_5の位数20の部分群 (12345)ｘ(2354)」は
>>805に書いておいたが、べき根で可解な既約5次方程式での最大の群だよ
この5次方程式は、二項方程式ではない
「可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 2003」を読んでみな
因みに、この話は、Coxのガロア本（訳本あるよ）や、エムポストニコフにもある
URLﾘﾝｸ(repository.hyogo-u.ac.jp)
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 2003
URLﾘﾝｸ(njet.oops.jp)
SUKARABE'S EASY LIVING
2009年2月21日 (土) 投稿者: SUKARABE
David Cox のガロア理論の本
(抜粋)
さすが Cox である。期待を裏切らないねえ?。
URLﾘﾝｸ(bluexlab.tokyo)
2018.06.22MATH
整数論・数論の教科書で「名著」と呼ばれるものをご紹介 Written by Soichiro OMI bluexlab
(抜粋)
Galois Theory (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts)?David A. Cox 著
Coxによるガロア理論の教科書です。600ページを超える大著ですが、扱っている内容はそこまで難しいものではありません。
各節の終わりには「Historical Notes」が記載されており、理論の
983:歴史的背景も学ぶことができます。 http://webcatplus.nii.ac.jp/webcatplus/details/book/277149.html Webcat Plus ガロアの理論 エム・ポストニコフ 著 ; 日野寛三 訳 (抜粋) 出版元 東京図書 刊行年月 1964 7. 根号で解かれる5次方程式 / p153
984:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/17 00:04:00.96 khSgay+Z.net
>>901
たしか、下記「第14章 可解置換群」がそうだったと思うよ
いや、書棚に本はあるけど、確認が面倒なんで、記憶で書くけど（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
ガロワ理論(下)
デイヴィッド・A. コックス 著 梶原 健 訳
発刊年月 2010.09
日本評論社
第4部 さらに続く話題
第14章 可解置換群
(引用終り)
因みに、ガロア第一論文の最後の定理が
「可解な5次方程式」についての定理（ガロア群による判別）なんだよねｗ（＾＾
985:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/17 00:12:02.89 khSgay+Z.net
>>901 追加
確か、元吉文男さん、参考文献に、エム・ポストニコフをあげていたね（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
[PDF]5 次方程式の可解性の高速判定法 - 元吉文男 著 - ?1993 RIMS, Kyoto University
URLﾘﾝｸ(peng225.hate)（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ペンギンは空を飛ぶ
2018-03-07
5次方程式の解を巡る旅 ?5次方程式の可解性判定編?
(抜粋)
Galois理論
前回の記事で3次・4次方程式のresolventについて説明した。本稿ではここまでの内容を総括し、5次方程式の可解性判定について述べる。
5次方程式の可解性判定
5次方程式のresolvent
986:１３２人目の素数さん
19/10/17 00:29:36.30 rXxqe236.net
>この「S_5の位数20の部分群 (12345)ｘ(2354)」は
> >>805に書いておいたが、べき根で可解な既約5次方程式での最大の群だよ
>この5次方程式は、二項方程式ではない
x^3-2=0 という方程式のQ上のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加した体上ではC_3に縮小する。
一般3次方程式のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加してもS_3のまま。
しかし、べき根解法には1の3乗根は必要。
この話の類似が5次の場合にもあるんじゃないかな。
つまり、位数20のガロア群をもつ5次方程式は一般的には二項方程式ではないが
Mara Papiyasが言うように二項方程式になるケースもある。
987:１３２人目の素数さん
19/10/17 00:31:32.62 rXxqe236.net
失礼。
Mara Papiyas氏が言うように
988:Mara Papiyas
19/10/17 05:27:10.76 448PbhX4.net
>>900
>？？
貴様は肝心なところを読んでない
自己同型！ なぜ読まない？
貴様の引用したHPにもチャンと
同型写像について書かれてる
なぜ引用しない？ 馬鹿かｗ
989:Mara Papiyas
19/10/17 05:31:26.58 448PbhX4.net
>>904
1の5乗根を追加した体を基礎体としても
ガロア群がF_20となる場合がいかなるものか
についてはハイレベル数学人に任せるｗ
私の目的はあくまで馬鹿のローレベルな間違いを指摘することにあるｗ
990:Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM
19/10/17 05:35:43 448PbhX4.net
馬鹿はウマに食わせるほど数学書を買っても
ロクに読みもせず、読んだとしても
結果を覚えるだけで証明の論理を追わないから
いつまでたっても数学が理解できない
悪いことは云わない 数学は諦めろ
数学書はみな売っちまえ
貴様がやるべきことは断捨離だｗ
991:Mara Papiyas
19/10/17 06:14:32.44 448PbhX4.net
円分拡大の自己同型
原始５乗根をζで表す
同型写像として^2をとる
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
↓^2
ζ^2、ζ^4、ζ^6=ζ、ζ^8=ζ^3
↓^2
ζ^4、ζ^3、ζ^2、ζ
↓^2
ζ^3、ζ、ζ^4、ζ^2
↓^2
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
逆写像は^3
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
↓^3
ζ^3、ζ^6=ζ、ζ^9=ζ^4、ζ^12=ζ^2
↓^3
ζ^4、ζ^3、ζ^2、ζ
↓^3
ζ^2、ζ^4、ζ、ζ^3
↓^3
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
ちなみに^4は、自身が逆写像でもある
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
↓^4
ζ^4、ζ^8=ζ^3、ζ^12=ζ^2、ζ^16=ζ
↓^4
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
もちろん^1(恒等写像)は単位元
992:Mara Papiyas
19/10/17 06:21:34.68 448PbhX4.net
些細なことですが
>>905
氏はつけなくてもいいよ
例えば数学者について述べるとき、いちいち氏はつけないが
それを無礼だと咎める人はまあいない
私は別に数学者ではないが、名前に関しては
数学の慣習に沿って語っていただいて全然かまわない
993:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/17 07:09:38.23 khSgay+Z.net
>>904
ID:rXxqe236さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾
(引用開始)
>この「S_5の位数20の部分群 (12345)ｘ(2354)」は
> >>805に書いておいたが、べき根で可解な既約5次方程式での最大の群だよ
>この5次方程式は、二項方程式ではない
x^3-2=0 という方程式のQ上のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加した体上ではC_3に縮小する。
一般3次方程式のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加してもS_3のまま。
しかし、べき根解法には1の3乗根は必要。
この話の類似が5次の場合にもあるんじゃないかな。
つまり、位数20のガロア群をもつ5次方程式は一般的には二項方程式ではないが
Mara Papiyasが言うように二項方程式になるケースもある。
(引用終り)
この話は、基礎体をQとして、Qに必要なベキ根を添加した体をQ’として
ベキ根を添加した体Q’をベースに、方程式のガロア群を考えるのが、ベキ根拡大の基本です
詳しくは、下記を
繰返すが、下記「クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である」をいうためには、
「K が 1 の原始 n 乗根を含む拡大体 K(α)」が必須ってことです
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
冪根
(抜粋)
目次
4 冪根拡大
冪根拡大
K を体とし、a ∈ K の任意の 1 つの冪根 α = n√a を添加する拡大 K(α)/K を K の冪根拡大 (radical extension) という。
もし K が 1 の原始 n 乗根を含むなら拡大体 K(α) は二項多項式 x^n - a の最小分解体となり、この二項多項式は重根を持たないので拡大はガロア拡大となる。
これをクンマー拡大 (Kummer extension) と呼ぶ。
クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である。
逆に n の約数 d に対し、拡大次数が d であるような巡回拡大 L/K は、K が 1 の原始 n 乗根を含むという仮定の下で、クンマー拡大である。
このことから、ある方程式が係数に対して四則演算と冪根を添加する操作を有限回繰り返すことで解ける（代数的に可解である）ならば、ガロア群は巡回群のみからなる組成列を持たなければならないことになる。
この性質は、抽象群に対して可解群の概念として定式化される。
994:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/17 07:37:43 khSgay+Z.net
>>909
ぱち ぱち ぱち、拍手！
ご苦労さんｗ（＾＾；
さて、じゃおれも
(>>858より 下記”１のｎ乗根 （Joh著）”から）
「Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．」
の話において
「1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです．」
は、ベクトル空間の基底で”1は不要”の話は、”1”みならず、任意のζ^m (1<=m<=n-1)の1つを基底から外すことが可能
（∵ 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0で、一次従属なので、どれでも1つを外すことが可能）
よって、群を考えるときは、単位元が欲しいので、
最上位のζ ^n-1を外して
”1 , ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-2 とn-1個 が基底を張る”とすれば、
クンマー拡大の巡回拡大（>>911）と同じ議論に乗ります （＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ
(抜粋)
系
Q に 1 の n 乗根 ζ を添加した拡大体を E とすると， [E:Q]=φ (n) がなりたちます．
さらにガロア群 G (E/Q) は Zn^xに同型となります．
拡大体の基底に関する注意
拡大体の次数について注意です． x^n-1 の解 ζ を使い，拡大体 Q(ζ) を考えます． Q(ζ) の元は，一般に a1ζ + a2ζ^2 +...+an-1ζ^n-1 と表わされ， Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．
ベクトルの足し算だと思って図形的に考えればすぐに分かりますが， 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです．
1 の n 乗根を添加するとき，拡大次数を間違わないように注意して下さい．
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
例えば 1 の五乗根． 1+ζ + ζ^2 +ζ^3 + ζ^4=0 となる．
(引用終り)
995:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/17 07:47:58 khSgay+Z.net
>>912
＞ 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0
これは、二項方程式 x^n - 1=0
で、
下記の根と係数の関係を適用すると
上記の方程式のn-1次の項が0であることから
導かれるね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
996:%82%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82 根と係数の関係 (抜粋) 根と係数の関係 n 個の文字 α1, α2, ..., αn に関する p 次基本対称式を s p(α1, α2, ..., αn) あるいは単に sn,p とする。 例えば sn,1 = α1 + α2 + … + αn, ・ ・ sn,n = α1α2… αn. x に関する n 次式 anx^n + an?1x^n?1 + … + a1x + a0 の根が α1, α2, ..., αn であるとき、 sn,n-k=(-1)^{n-k}・ak/an （k = 0, 2, ..., n ? 1）が成り立つ。これを多項式の根と係数の関係という。
997:
19/10/17 08:05:51 rXxqe236.net
>>912
ご参考にされてるHPは混乱してるのか、間違ったことも混じって書いてありますね。
定理として書いてある
「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は{1,ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}}の全てを解として持ちます．」
は明確に誤り。最小多項式の次数はφ(n)次なので、φ(n)個しか根を持ちえません。
(最小多項式)≠x^n-1 です。
あと、ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}が基底をなすように書いてありますが、これも素数でないnに対しては誤り。
Q上のベクトル空間としての次元もφ(n)なので、基底の個数もφ(n)個です。
998:１３２人目の素数さん
19/10/17 08:11:30.07 rXxqe236.net
Mara Papiyasさんも勉強しながら書かれてる感じですが、スレ主さんとは違って
自分の頭を通して書いているなというのが分かります。
「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」
とか、数学徒であれば誰でも気づくツッコミも入れてきます。
まえもそうでしたが、スレ主さんにはどうも半直積の概念がないように思えます。
999:１３２人目の素数さん
19/10/17 08:25:40.83 rXxqe236.net
何年間もガロア理論を勉強されてきて、ネット上のどこにどんな文書があったか
どの本にどんな項目があったかとかの知識はありますが
まとまった理論が頭の中に構築されている感じがしません。失礼ながら。
HPなどは間違った記述も多いので、やはり自分の頭を通して
徹底的に考えなければ、正誤の判断は付かないし、身にも付かないものだと思います。
1000:１３２人目の素数さん
19/10/17 08:41:51.22 rXxqe236.net
>>913
1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 の証明
S=1+ζ + ...+ζ ^n-1にζを掛けると巡回的に項がずれるが和としては不変であることが観察できる。
すなわち、S=ζS.
(1-ζ)S=0 で、1-ζ≠0 より S=0.
1001:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/17 10:15:30 CX/otP+s.net
>>903 追加
下記元吉文男で、
既約な二項方程式x^5-a＝0のガロア群は、C_{5} 巡回群 (位数 5)です
B_{5}'メタ巡回群 (位数 20)では、ありません
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
[PDF]5 次方程式の可解性の高速判定法 - 元吉文男 著 - 1993 RIMS, Kyoto University
(抜粋)
有理数係数の 5 次の既約多項式が可解であるかどうかを、 (大部分の場合に) 有理数演
算だけで高速に判定する方法を紹介する。
1. ガロア群の計算原理
5 次の推移群は以下の 5 種類である。
・S_{5} 対称群 (位数 120)
・A_{5} 交代群 (位数 60)
・B_{5}'メタ巡回群 (位数 20)
・B_{5} 半メタ巡回群 (位数 10)
・C_{5} 巡回群 (位数 5)
ここで可解なものは、B_{5}',B_{5},C_{5} であり、 B_{5}’⊂ B_{5}⊂ C_{5} という関係にある。
そこで、方程式が可解かどうかはそのガロア群が B_{5}’ に含まれているかどうかを調べればよい。
参考文献
[1] エム・ポストニコフ、「ガロアの理論」、東京図書、 1964。
1002:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/17 10:58:25 CX/otP+s.net
>>914
ID:rXxqe236さん、どうもスレ主です。
レスありがとう
(引用開始)
ご参考にされてるHPは混乱してるのか、間違ったことも混じって書いてありますね。
定理として書いてある
「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は{1,ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}}の全てを解として持ちます．」
は明確に誤り。最小多項式の次数はφ(n)次なので、φ(n)個しか根を持ちえません。
(最小多項式)≠x^n-1 です。
あと、ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}が基底をなすように書いてありますが、これも素数でないnに対しては誤り。
Q上のベクトル空間としての次元もφ(n)なので、基底の個数もφ(n)個です。
(引用終り)
？
なんか、混乱していませんか？
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
1の冪根
(抜粋)
自然数 n に対し、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n 乗して初めて 1 になるような 1 の冪根は n 乗根として原始的 (primitive) であるという。自然数 n を固定せず、1 の原始 n 冪根あるいは 1 の原始 n 乗根として得られる数を総称し、1の原始冪根（いちのげんしべきこん）
1003:、または1の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。 性質 ・1 の冪根は全て、ガウス平面における単位円上にある。また概要で述べたことは 1 の n 乗根の全体が位数 n の巡回群となることを示している。 ・a を複素数とするとき、a の n 乗根を任意に一つ選んで n√a と記せば、1 の n 乗根に各々 n√a を掛けたものが複素数係数の方程式 xn ? a = 0 の根の全体となる。 ・1 の n 乗根をガウス平面上に表し、線分で結ぶと単位円に内接する正 n 角形となる。これは 1 の原始 n 乗根の一つを ξn として以下の式が成り立つことと同じである： 略 https://mathtrain.jp/njokonof1 高校数学の美しい物語 最終更新:2015/11/05 1のn乗根の導出と複素数平面 (抜粋) 定理1：1の n 乗根は複素数平面の単位円周上に等間隔で並ぶ。 定理2：1の n 乗根は全部で n 個あるが，それらの和は0である。 1のn乗根の和 次は定理2の証明です。こちらは解と係数の関係を使うだけです！ 証明 1 の n 乗根たちは方程式 z^n?1=0 の解である。 よって，解と係数の関係よりそれらの和は 0 である。
1004:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/17 11:01:40 CX/otP+s.net
>>915
ID:rXxqe236さん、どうもスレ主です。
レスありがとう
>「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」
>とか、数学徒であれば誰でも気づくツッコミも入れてきます。
>まえもそうでしたが、スレ主さんにはどうも半直積の概念がないように思えます。
なるほど
ちょっと考えてみます（＾＾；
1005:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/17 11:03:48 CX/otP+s.net
>>916
＞HPなどは間違った記述も多いので、やはり自分の頭を通して
>>919をどうぞ
1006:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/17 11:08:14 CX/otP+s.net
>>917
ぱち ぱち ぱち、拍手（＾＾
その証明も、昔どこかで見た記憶が
どこだったか、思い出せませんが
なお、別証明ですね（>>919 高校数学の美しい物語 ご参照）
1007:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/17 11:31:21 CX/otP+s.net
>>919 補足
ζ=exp(2πi/n)を根とする 二項方程式 x^n-1＝0は、加約で因子（x-1）を持つので、次数は１つ下げられる
だから、最小多項式の次数はｎ－１までは下がります
なので、定理中で「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は」と書くと、次数が合わないですね
（ｎ－１次の方程式が、ｎ個の根を持つことになりますから）
だから、式を直すか、根の数を直す必要がありますね
1008:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/17 11:32:36 CX/otP+s.net
>>923 誤変換訂正
加約で因子（x-1）を持つので、
↓
可約で因子（x-1）を持つので、
1009:１３２人目の素数さん
19/10/17 12:01:47.16 4+tTJiqO.net
ζ=exp(2πi/5)、a=(ζ+2)^4(ζ^2+2)、K=Q(ζ)、Lはx^5-aの分解体、PはGal(L/Q)の2-Syllow群、MはPの作用で動かないLの元全体
にしたらどうだろ？
[M:Q]=5、LはMを含む最小のガロア拡大までは正しいけど、どんなm∈M＼Qをとっても最小多項式はx^5-cの形にならないのではなかろうか？
半分勘だけど。
1010:１３２人目の素数さん
19/10/17 13:10:11.19 fQMp07ks.net
>>925
これ撤回。
反礼にならないな。
ガロア群がc5とaut(c5)の半直積のケースは全部最小多項式が２項のものがとれるのかな？
1011:１３２人目の素数さん
19/10/17 13:54:00.49 fQMp07ks.net
>>926
成立するかも。
Q(exp2πi/5)の類体が1を認めると割とスッキリ示せるっぽい。
しかし類対論は真剣に勉強した経験ないので自信なし。
1012:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/17 17:53:35.60 CX/otP+s.net
>>927
どうもスレ主です。
ひょっとして、おっちゃんですか？
外していら、失礼（＾＾；
1013:１３２人目の素数さん
19/10/17 18:15:34.56 fQMp07ks.net
>>928
私はオッさんではある。
やっぱりLをx^5-(-1+√5)/2の分解体にした時むりかな？
無理である可能性をx^5-k kはKの単数の場合まで絞り込めたけど難しいね。これ。
1014:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/17 18:50:33.23 CX/otP+s.net
>>929
＞私はオッさんではある。
ああ、そうでしたか
これは失礼しました
しかし、難しいことを考えられますね（＾＾
1015:Mara Papiyas
19/10/17 18:58:50.90 448PbhX4.net
>>914
いちいちごもっとも
1016:>>909みたいにアケスケに書けば 1→ζ→ζ^2→…→ζ^(n-1)→ζ^n=1 みたいなナイーブな認識が 円分体のガロア群に関しては 全然見当違いだと分かる （クンマー拡大とは違うのだよｗ） 例えばφ12は4次式で ζ=exp(2πi/12)cos(2π/12)+i*sin(2π/12) とすれば ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11 のみが解 ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11 ↓^5 ζ^5,ζ^25=ζ,ζ^35=ζ^11,ζ^55=ζ^7 ↓^5 ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11 ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11 ↓^7 ζ^7,ζ^35=ζ^11,ζ^49=ζ,ζ^77=ζ^5 ↓^7 ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11 ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11 ↓^11 ζ^11,ζ^55=ζ^7,ζ^77=ζ^5,ζ^121=ζ ↓^5 ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11 これはクライン群で、巡回群ではないね
1017:Mara Papiyas
19/10/17 19:00:54.86 448PbhX4.net
>>915
>Mara Papiyasさんも勉強しながら書かれてる感じですが、
そうですね ツッコむために勉強してます（ひでぇ）
>スレ主さんとは違って自分の頭を通して書いているな
>というのが分かります。
そうですね そうでないとツッコめませんから（ひでぇ）
>「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」
>とか、数学徒であれば誰でも気づくツッコミも入れてきます。
可解群の説明で「剰余群がアーベル群」とあるのを読んで
「じゃ、可解群はアーベル群じゃん」とかいいだすのは軽率な馬鹿
もちろん、S3はアーベル群じゃないから、
そこで気づかないとおかしい
>スレ主さんにはどうも半直積の概念がないように思えます。
そもそも、馬鹿は計算して確かめる癖がない
だから
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
なんてアホなこと書いちゃうんですわｗ
1018:Mara Papiyas
19/10/17 19:02:15.79 448PbhX4.net
>>916
>(スレ主は)まとまった理論が頭の中に構築されている感じがしません。
全くおっしゃる通り
あのね、工学屋は別にガロア理論なんて知らなくたって困りませんよ
代数学の基本定理だって、結論だけ知っときゃいいｗ
「ｎ次方程式は、重解も含めて必ずｎ個の解がある」とかね
解は、数値解法でゴリゴリ求めればいい
馬鹿が粋がって「ガロア理論がー」とかいって初歩的な誤りを連発
しかも誤りを指摘されても決して認めずワケワカランな抗弁するから
イジりまくられる
知らないとか間違うとかいうのは恥じゃない（開き直るｗ）
間違いを認めず、知らないことを自覚せずに
知ってるかのごとき顔をしてウソ言い続けるのが
恥ずかしいんだよ
1019:Mara Papiyas
19/10/17 19:02:55.63 448PbhX4.net
>>919
>なんか、混乱していませんか？
おまえがなｗ
ぶっちゃけ「最小多項式」が分かってないだろｗ
wikipedia
最小多項式 (体論)
「α の最小多項式は
α を根として持つ F[x] の 0 でないすべての多項式のうち
次数が最小のモニック多項式である。」
（モニック多項式は最高次係数が 1 の一変数多項式）
「1の冪根の Q[x] における最小多項式は円分多項式である。」
1020:Mara Papiyas
19/10/17 19:04:10.96 448PbhX4.net
>>923
wikipediaの円分多項式のところを読め
φnを円分多項式とする
(x^12-1)
＝φ1φ2φ3φ4φ6φ12
ζ=cos(2π/12)+i*sin(2π/12)とする
φ1=(x-1) 根は１
φ2=(x+1) 根はζ^6=-1
φ3=(x^2+x+1) 根はζ^4、ζ^8
φ4=(x^2+1) 根はζ^3=i ζ^9=-i
φ6=(x^2-x+1) 根はζ^2、ζ^10
φ12=(x^4-x^2+1) 根はζ、ζ^5、ζ^7、ζ^11
1021:Mara Papiyas
19/10/17 19:10:37.89 448PbhX4.net
>>901
URLﾘﾝｸ(repository.hyogo-u.ac.jp)
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 2003
馬鹿は上記の論文読んでないだろ
読めば、定理4.9(p72)で貴様の主張が否定されてると分かるぞ
1022:Mara Papiyas
19/10/17 19:21:12.21 448PbhX4.net
x^5+b=0のとき、判別式Dfは3125*b^4で、
3125は5^5だから、Δf=√Dfは、有理数になりようがない
つまり、x^5+b=0のガロア群はF20
1023:１３２人目の素数さん
19/10/17 20:14:37.67 rXxqe236.net
>>918
aを3乗数でない整数とすると、x^3-aはQ上既約。
分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3.
ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では
Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。これが一般3次方程式との違い。
つまり、一般3次方程式は最初に2次方程式を解いたあとωを添加して3次クンマー拡大でべき根表示が得られる
（分解体Kにω�
1024:ｪ含まれることを必ずしも意味しない）わけですが 最初の2次拡大とQ(ω)/Qが一致する特殊ケースが2項方程式（及びそれと同値な方程式）なわけです。 わたしが指摘したのは、この類似が5次方程式でも成立してるよねってことです。 なので、Mara Papiyas氏の挙げた2項方程式は まさしくスレ主の言う位数20の可解群を持つ方程式になってるわけですよ、Q上のね。
1025:１３２人目の素数さん
19/10/17 20:16:36.81 rXxqe236.net
>>927
最初の4次拡大がQ(ζ)/Q（ζは1の原始5乗根）と一致するかどうかなので、そんな難しい話じゃないと思いますよ。
1026:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/17 20:51:46.95 khSgay+Z.net
>>938
＞まさしくスレ主の言う位数20の可解群を持つ方程式になってるわけですよ、Q上のね。
ID:rXxqe236さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
いや
ご指摘の通りです
Q上で、5次方程式の既約 ２項方程式 x^5-a＝0 のガロア群、位数20の可解群を持ちます
ご指摘の通りです m(＿ ＿)m
1027:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/17 22:08:16 khSgay+Z.net
>>914 >>934-935
ID:rXxqe236さん、ID:448PbhX4さん、あなたたちが正しいわ
大変失礼しました。円分多項式（円周等分多項式）ですよね
草場公邦 「ガロワと方程式」P118 5.5 「円周等分多項式の既約性」
に、詳しい説明がありました
とすると、”１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ”さん URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
ｎ＝pのときのイメージのままで書いているのかも（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
円分多項式
このように n 乗して初めて 1 となる複素数（1 の原始 n 乗根）全てを根に持ち、最高次数の項の係数が 1 である多項式が円分多項式 Φn(x) である。
URLﾘﾝｸ(ndu-rep.repo.nii.ac.jp)
円周等分多項式の有理数体上での既約性
著者桜岡 充
雑誌名日本歯科大学紀要. 一般教育系
巻28
ページ9-14
発行年1999-03-20
URLﾘﾝｸ(www.asakura.co.jp)
ガロワと方程式
A5変／192ページ／1989年07月10日
ISBN978-4-254-11467-6 C3341
草場公邦 著
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
ラグランジュとガウスの代数方程式論の比較的考察
高瀬正仁
九州大学 MI 研究所/日本オイラー研究所
(抜粋)
円周等分方程式の代数的可解性を全面的に保証するにはこれでは不十分であり,もっと精密な
相互関係を明らかにしなければならないが,ガウスはこれに成功し,『アリトメチカ研究』の第7
章において円周等分方程式の根は巡回的であることを明らかにした.代数的可解性は根の巡回性に
支えられているのである.
円周等分方程式の領域ではラグランジュの省察は正鵠を射ていたが,具体的に表れたものはなお
雛形に留まっていた.根の相互関係への着目という一点においてガウスに影響を及ぼしたのは間違
いないが,ガウスが発見した根の巡回性はラグランジュの到達した地点からあまりにも遠いところ
にあった.それでもラグランジュはガウスが遂行したことの意味合いを理解して,書簡を送ってガウスを称讃した.
1028:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/17 22:13:01 khSgay+Z.net
>>940 追加
巡回群については、下記が参考になるでしょう
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
巡回群をガロア群に持つ5次方程式の判別とその解法(数式処理と数学研究への応用)
元吉 文男
数理解析研究所講究録 (1990), 722: 17-20
1029:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/17 22:50:38.48 khSgay+Z.net
>>941 追加情報
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
講究録別冊 数理解析研究所
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
RIMS
1030:Kokyuroku Bessatsu B50: Study of the History of Mathematics ed. T. Ogawa June, 2014 Contents 259pp https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/232884/1/B50-15.pdf ラグランジュとガウスの代数方程式論の比較的考察 (数学史の研究) 高瀬, 正仁 (2014-06) 数理解析研究所講究録別冊 = RIMS Kokyuroku Bessatsu, B50: 219-228
1031:１３２人目の素数さん
19/10/17 23:11:03.29 fQMp07ks.net
>>939
誰かが書いてた
Q上の任意の５次拡大においてKそのガロア閉包のガロア群が可解である時、x∈Kをうまく取ればその最小多項式が２項からなるものから取れる
というのが正しいのかチェックしてるんですけどそんな難しくないんですか？
まぁほとんどのそうでない可能性は潰せてるので行けそうなんですけど。
1032:Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM
19/10/18 05:27:24 yJv1enDY.net
>>940-941
もういいだろ
次スレはタイトルから「古典ガロア理論も読む」は外せよ
貴様にガロア理論なんか語るのは到底無理だから
代わりにAIとかいれるのは随意
どうせリンク張るだけなんだからｗ
1033:Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM
19/10/18 05:32:49 yJv1enDY.net
>>942-943
ついでにHNからも「古典ガロア理論も読む」は外せよ
貴様にガロア理論なんか語るのは到底無理だから
1034:Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM
19/10/18 06:07:39 yJv1enDY.net
貴様が次スレのタイトルとHNから
「古典ガロア理論も読む」を外すんなら、
以下の爆笑コメントはテンプレに入れなくてもいいぞ
（ていうか過去スレリンク以外わざわざテンプレしなくていい
貴様のみっともない恥晒すだけだろｗ）
>>839
＞Qにaの5つの5乗根を添加した体をKとする
＞ ↓
＞１の5乗根の原始根をζ5と書く
＞あと、5√a(aの5乗根の実根)な
＞ ↓
＞１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
＞5√a(aの5乗根の実根) を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
＞ ↓
＞全体では、位数5の巡回群と位数5の巡回群の直積の群で、位数25の群
＞位数25の群は、巡回群ではないみたいだね（＾＾
1035:Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM
19/10/18 06:15:39 yJv1enDY.net
次スレ名 「現代数学の系譜 よもやま雑談 78」
HN 「現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE」
テンプレ １
「この伝統あるすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、
まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、
求められていると思うんですよね。
スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。
ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。
関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。
スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾」
>>1の「なお…」以下は削除
1036:Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM
19/10/18 06:21:25 yJv1enDY.net
テンプレ 続き
>>2-4 の（このスレの常連カキコさん説明）は削除 全くの無駄ｗ
>>5-6 の 過去スレリンクは、リンク以外の説明は削除
リンクは極端にいえば、前スレだけでOK (>>1で書けるだろ）
1に書く文章だが
「このスレは、現代数学に関するよもやま雑談スレとします。」
のほうがいいな
1037:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
19/10/18 06:28:11 Zm+yHrIo.net
>>945-946
ぼくちゃん、ご苦労さん
>>915のID:rXxqe236さん、この人はレベルが高いというのは分かった
しかし、ぼくちゃん、ガロア理論が分かっていないのは、おれとそれほど変わらんよな
例えば、>>836の大失敗など。
まあ、「Mara Papiyasさんも勉強しながら書かれてる感じですが」（>>915
1038:）と書かれて 「そうですね ツッコむために勉強してます」（>>932）と自分で書いていたけど 確かに、ぼくちゃんのレベルは、おれから見ても、そういう（再勉強しながらという）感じがするね おれは、基本的には ”おっさんずゼミ＝「どこのだれとも知れぬ”名無しさん”のおっさんたちとの、ゼミ」やる気ないです” （現代数学の系譜 カントル 超限集合論 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/321） なんだけど、このガロアスレでの古典ガロア理論に関することだけは、”おっさんずゼミ”お付き合いしますよ（＾＾；
1039:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/18 06:38:57.19 Zm+yHrIo.net
>>941 補足
>ラグランジュとガウスの代数方程式論の比較的考察
>高瀬正仁
>円周等分方程式の領域ではラグランジュの省察は正鵠を射ていたが,具体的に表れたものはなお
>雛形に留まっていた.根の相互関係への着目という一点においてガウスに影響を及ぼしたのは間違
>いないが,ガウスが発見した根の巡回性はラグランジュの到達した地点からあまりにも遠いところ
>にあった.それでもラグランジュはガウスが遂行したことの意味合いを理解して,書簡を送ってガウスを称讃した.
”おっさんずゼミ"(>>950)
おれもガロアや、ガウスのような天才秀才じゃない
多分、ぼくちゃんもそうだろう
でも、良いじゃない（＾＾
ガロアの前に、アーベルやガウスやラグランジュやオイラー達がいた
その上に、ガロアの方程式の理論がある
同様に、おれたちの前には、ガロアの後に書かれた幾多のガロア理論の発展と解説がある
それを読めば良い。ぼくちゃんとの議論は、それを読むためのきっかけに過ぎない
1040:Mara Papiyas
19/10/18 06:43:08.13 yJv1enDY.net
>>950
私は今まで一言も「ガロア理論が分かっている」とは言っていないｗ
私より分かっている、といわないのなら、
タイトルやHNにガロア理論の名前を出すのはやめとけ
それが人間ってもんだ
＞このガロアスレでの古典ガロア理論に関することだけは・・・
もういいだろ
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
なんて発言は
「ボクは、円分体のガロア群について
全く知りませんし知る気もありません」（ドヤ顔）
といってるようなもんだからな
スレタイからもHNからも「ガロア理論」の文字を外せば
そんなつまらぬ虚勢（？）を張る必要もなくなるだろ
おまえ 一体何がしたいの？
勉強嫌いなら、数学板に書き込むなよ
ていうか、そもそも読むなよ
書き込み理解できないだろｗ
1041:Mara Papiyas
19/10/18 06:48:34.66 yJv1enDY.net
>>951
＞良いじゃない（＾＾
おまえの態度が良くないなｗ
おまえ、ガロアの名前でマウンティングしたいだけだろｗ
しかもそれにものの見事に失敗してるｗｗｗ
おまえ、ガロアだけじゃなく無限集合でもボケかましてるんだぞｗ
＞ぼくちゃんとの議論は、それ（ガロア理論の解説）を読むためのきっかけに過ぎない
やめとけ
計算一つしないおまえは、いくら文章読んだって数学は理解できねぇよ
怠惰な奴は、数学に限らず、何も身につかない
おまえの人生、負けっぱなしだろ？
ここでの書き込み見てれば分かるｗ
ここですら負けてる奴が、実社会で勝てるわけないｗ
1042:Mara Papiyas
19/10/18 06:54:43.66 yJv1enDY.net
＞例えば、>>836の大失敗など。
そう思うなら金輪際数学板には書き込まないほうがいいね
おまえの書き込み、大失敗の連続だから
成功した試しが一つもない
なぜか分かるか
貴様は文章を読みもしないし、読んでも文字列を暗記するだけで
中身を理解しようともしないし、計算なんか一つもしないからだ
そんな怠惰な根性で、数学が分かるわけがないだろう？
おまえ、いったい何がしたいの？
ただマウンティングしたいだけなの？
だったら、別の方法で別の板で暴れなよｗ
ここじゃおまえの「コピペマウンティング」戦略は通用しないよ
嫌というほど思い知っただろう？
自分のコピペで自分の発言が否定されるとか最低最悪の屈辱だぜｗ
おまえには恥ずかしいという感情はないの？
もしないなら、おまえは人間じゃないな ただの動物
1043:Mara Papiyas
19/10/18 07:03:45.75 yJv1enDY.net
悪いことはいわない
次スレからは「古典ガロア理論も読む」の文字は外せ
「現代数学の系譜 よもやま雑談 78」でいいだろ
HNからも「古典ガロア理論も読む」の文字は外せ
「現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE」でいいだろ
貴様は虚勢を張る悪癖がある
虚勢を張りたくなる理由は徹底的にそぎ落せ
貴様がどこの大学の卒業かはしらんが、過去の学歴は忘れろ
貴様の実力は、卒業したとされる大学名に見あってない
どんなにリコウぶっても馬鹿はすぐ露見するんだ
だったら最初から「ボクは馬鹿でぇす！」といえばいいだろ
おまえが実社会でどんなもっともらしい顔して生きてるかは知らんが
ここではそんなことは一切忘れろ 読者には全然関係ないことだ
正真正銘のおまえしかここではわかりようがないんだからな
1044:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/18 07:06:54.84 Zm+yHrIo.net
>>944
ID:fQMp07ksさん、どうも。スレ主です。
(引用開始)
Q上の任意の５次拡大においてKそのガロア閉包のガロア群が可解である時、x∈Kをうまく取ればその最小多項式が２項からなるものから取れる
というのが正しいのかチェックしてるんですけどそんな難しくないんですか？
まぁほとんどのそうでない可能性は潰せてるので行けそうなんですけど。
(引用終り)
それ、ガロアの逆問題みたいな気がするな
おーい、ぼくちゃん（Mara Papiyas）なんか、コメントしてやんなよｗ（＾＾
（参考）
（下記、「ガロア理論とガロアの逆問題」の
"2.3 ガロア群が5次2面体群と同型になる多項式"
命題8.2 f(x):=x^5+ax+b で、a=0のときが、参考になるかも）
URLﾘﾝｸ(aue.repo.nii.ac.jp)
愛知教育大学学術情報リポジトリ AUE Repository
URLﾘﾝｸ(aue.repo.nii.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(aue.repo.nii.ac.jp)
ガロア理論とガロアの逆問題
清水 悠夏
平成27年度 修士論文 抄録 , イプシロン. 2016, 58, p. 143-148.
1045:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/18 07:08:03.61 Zm+yHrIo.net
>>952
＞私は今まで一言も「ガロア理論が分かっている」とは言っていないｗ
うむ、謙虚でよろしいｗ（＾＾
1046:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/18 07:08:54.20 Zm+yHrIo.net
おれも、雑談 古典ガロア理論も読む なんだよね（＾＾
1047:Mara Papiyas
19/10/18 07:14:22.43 yJv1enDY.net
>>956
自分がわからないことにもコメントする馬鹿 それが貴様ｗ
>>957
貴様には謙虚さの欠片もないな 会社でも部下にえばってるのか？ｗ
>>958
貴様がガロア理論にどんなロマン感じてるのか知らんが
貴様は勉強する意欲が皆無だから死んでもガロア理論は理解できない
無駄だからスレタイからもHNからも「ガロア理論」の文字外せ
ガロアが見たら貴様に黒板消し投げつけるぞ ガロアは短気だからなｗ
1048:Mara Papiyas
19/10/18 07:18:08.74 yJv1enDY.net
貴様を弄るネタはガロア理論だけじゃないからなｗ
また、カントルスレでいたぶってやるよ
向こうはこっちよりもさらに低レベルだからな
まったく集合の初歩も分からんくせに
何がガロア理論だ 笑わせるなｗ
1049:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/18 07:18:10.93 Zm+yHrIo.net
>>918
>・B_{5}'メタ巡回群 (位数 20)
追加参考
（後の”Metacyclic Group Wolfram MathWorld”の方が、綺麗に纏まっているが、書きぶりがちょっと違う）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Metacyclic group
(抜粋)
In group theory, a metacyclic group is an extension of a cyclic group by a cyclic group. That is, it is a group G for which there is a short exact sequence
1 → K → G → H → 1
where H and K are cyclic. Equivalently, a metacyclic group is a group G having a cyclic normal subgroup N, such that the quotient G/N is also cyclic.
Properties
Metacyclic groups are both supersolvable and metabelian.
Examples
・Any cyclic group is metacyclic.
・The direct product or semidirect product of two cyclic groups is metacyclic. These include
1050: the dihedral groups and the quasidihedral groups. ・The dicyclic groups are metacyclic. (Note that a dicyclic group is not necessarily a semidirect product of two cyclic groups.) ・Every finite group of squarefree order is metacyclic. ・More generally every Z-group is metacyclic. A Z-group is a group whose Sylow subgroups are cyclic. http://mathworld.wolfram.com/MetacyclicGroup.html Metacyclic Group Wolfram MathWorld
1051:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/18 07:22:46.96 Zm+yHrIo.net
>>960
正則性公理のいう「無限降下列の禁止」を、即断＆誤解していたのはだれ？ｗｗ(゜ロ゜;
（参考）
現代数学の系譜 カントル 超限集合論
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:415番)-417
1052:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/18 07:25:36.54 Zm+yHrIo.net
>>959
＞自分がわからないことにもコメントする馬鹿 それが貴様ｗ
うむ、>>944にコメントできないと、自白しているのか？
謙虚でよろしい（＾＾；
1053:Mara Papiyas
19/10/18 07:28:51.34 yJv1enDY.net
>>961
あのさ、そういう
「ボクは必死にガロア理論を分かろうとしてるんデス！（涙目）」
みたいなアピールコメント、やめろよ みっともないから
お前、全然努力してないし、努力する気もないじゃん
円分体の同型写像も確かめずに
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
とか言ってる時点で、
「ああ、こいつ全然勉強してないどころかそもそも勉強する気ゼロだな」
ってのが露見してるんだよ
諦めてスレタイ＆HNから「古典ガロア理論も読む」の文字外せって
なにつっぱってんだよ 馬鹿のくせに
>>962
その件でいいたいことがあるならカントルスレに書けば
ま、向こうでも貴様が負けるのは決定事項だけどなｗ
1054:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/18 07:31:40.24 Zm+yHrIo.net
>>959
＞貴様がガロア理論にどんなロマン感じてるのか知らんが
古典ガロア理論ていうのはさ、いろんなところに繋がっている
というか、昔抽象代数学なんていったけど
（最近の数学は全部抽象化されたから聞かないが）
ガロア理論が、原点みたいなものでね
それに、ガロア理論を学べば、いろいろ実益もある（群とか体とかの理解にもつながる）
まあ、書名に「ガロア」と入れると売れるらしい ｗ(゜ロ゜;
ここのスレタイもその類いではある ｗ（＾＾；
1055:Mara Papiyas
19/10/18 07:31:40.91 yJv1enDY.net
>>963
そもそも私はおまえみたいに
「どんな質問にも答えられなかったら負け 負けたら死ぬしかない」
みたいな●違いな強迫観念は持ち合わせてないｗ
わからないことには答えられないし
わからないことが山ほどあっても死にはしない
おまえ、何を恐れてるの？
精神科で診てもらったほうがいいぞ
1056:Mara Papiyas
19/10/18 07:35:43.62 yJv1enDY.net
>>965
＞ガロア理論が、（現代数学の）原点みたいなものでね
それ、数学知らん奴の妄想
＞ガロア理論を学べば、いろいろ実益もある
＞（群とか体とかの理解にもつながる）
お前、何も学べてないじゃんｗ
群とか体とか、全然理解できてないじゃんｗ
正規部分群も誤解してたし
円分体の同型写像も分かってなかったじゃん
実益ないじゃんｗ
＞書名に「ガロア」と入れると売れるらしい ｗ(゜ロ゜;
お前、本すら出してないじゃん
いっとくけど、自費出版で儲けようとか「オツムがお花畑」だぞｗ
安達某じゃあるまいし、トンデモ本が売れるわけないだろうｗ
悪いことは云わない
スレタイ＆HNから「古典ガロア理論も読む」の文字外せって
なにつっぱってんだよ 馬鹿のくせに
1057:Mara Papiyas
19/10/18 07:40:57.32 yJv1enDY.net
ま、本当は、次スレも経てず、HN名もやめて
一匿名としてやり直すのが一番いいんだがね
さすがにそこまでいったら貴様の面目丸つぶれだから、せめて
スレタイ＆HNから「古典ガロア理論も読む」の文字外せ
っていってやってるんだぞｗ
おまえ、いったい何様のつもりなの
大阪大ごときでエリート面すんなよ 馬鹿がｗ
1058:１３２人目の素数さん
19/10/18 08:09:02.31 mJ2TyGNr.net
>>944
>誰かが書いてた
具体的にはどのレスですか？
>Q上の任意の５次拡大においてKそのガロア閉包のガロア群が可解である時、x∈Kをうまく取ればその最小多項式が２項からなるものから取れる
最小多項式が2項とのことですが、その次数は5ですか？それとも一般のn次ですか？
いずれにしても1のn乗根を添加するとその上のn次クンマー拡大で分解するってことですね。
そんなことは一般には成立しないと思います。
1059:
19/10/18 08:21:26 mJ2TyGNr.net
>＞ガロア理論が、（現代数学の）原点みたいなものでね
>
>それ、数学知らん奴の妄想
まぁ、そのあたりは主観によりますね。
現代数学がかなりガロア理論的なものに偏っているのは間違いない。
でも、みんなが同じ方向を向く必要なんてない。
（研究のエネルギーとしてもムダ。）
主流がそっちに向かってるときこそ逆張りするという考えがあってもいいと思います。
1060:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/18 10:39:54.60 X/c9sPkS.net
>>970
＞まぁ、そのあたりは主観によりますね。
＞現代数学がかなりガロア理論的なものに偏っているのは間違いない。
＞主流がそっちに向かってるときこそ逆張りするという考えがあってもいいと思います。
ID:mJ2TyGNrさん、どうもスレ主です。
レスありがとう
確かに同意ですが
１）
昔々、数学は、「代数」と「解析」と「幾何」とに三分されていた
２）
その中で、「代数」ってのは、式の計算と方程式の解法、あるいは数論（整数論など）が、メインテーマだった
ガロア理論が広まって、どんどん代数が抽象化されていった
その中で、デデキント先生などが活躍された
３）
もう一つの流れが「解析」で、ワイエルシュトラスなどの厳密化の流れの中で、カントールの無限集合論が出て来た
デデキント先生などは、「代数」と「解析」に跨って、「集合論を数学の基礎にすればいい」なんて考えたみたいです
で、「抽象代数学」がどんどん発展した。高木先生の類体論は、この流れ
４）
カントールの無限の扱いに起因して、無限のパラドックスが19世紀の終りから、20世紀の初めに強く意識された
ヒルベルトが、「集合論で公理化して、”有限”個の公理の組み合わせと”一階述語論理”で、全ての数学がカバーできて、完全・無矛盾になればいい」と考えた
ヒルベルトの夢は、ゲーデルの不完全性定理で打ち砕かれたけれど
基礎論の公理化の研究で、結構病的な、あるいは荒唐無稽と思われていたことが、
「公理的には、そういうのもあり」となってきた（例 ロビンソンのノンスタンダード解析の考えなど）
望月先生のIUTなども、その流れかも（”それもあり”か”それはだめ”かが、未決着ですが（＾＾ ）
つづく
1061:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/18 10:40:14.23 X/c9sPkS.net
>>971
つづき
５）
「幾何」は、リーマンとかポアンカレの流れがあって、位相空間や多様体が研究され
後の「代数幾何」の基礎になった
（「代数幾何」って、「代数」なのか「幾何」なのか？ｗ ）
「代数幾何」の流れ中で、グロタンディーク宇宙なんて考えたらしい
６）
それらが、どんどん発展して、グロタンディーク的手法も使って、
数論の「フェルマー予想」が解かれたそうだ
ここ「フェルマー予想」解決にも、ガロア理論の影があります
６）
なので、これが現代数学の全て、ではないが、
古典ガロア理論くらい知っておいて損はないと思う
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
グロタンディーク宇宙
(抜粋)
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
(引用終り)
以上
1062:
19/10/18 11:21:11 HOFZxgY0.net
>>969
定かではありませんが、
5 次拡大がガロア群が可解なら二項拡大
みたいな事書いてました。
でそれは少なくとも下の体がQ(exp(2πi/5))を含む場合�
1063:ﾅしょと突っ込み入れてました。 実際反礼があるのかと考えてみると中々ないのがわかります。 まずζ=exp(2πi/5), K=Q(ζ), f(x)をQ上の規約多項式で今はこれがK上でも規約まで仮定しておきます。 この上でLをK上の最小分解体, G=Gal(L/K)とし、これが可解とします。 最小性の仮定からGは唯一の極小正規部分群Nを持ち、それが５次巡回群までは自明なのでG/N=Qとおきます。 Qの位数は24の約数で可解なので、少し議論すると2群かまたは位数３の正規部分群を持ちます。 ここで後者とするとGが元々位数15の正規部分群を持ちますが、それはC3×C5しかあり得ず、そのシロー3群は特性部分群なので、Gが位数3の正規部分群を持つことになり、Lの最小性に反します。 以上によりG=N⋊Q、#Q=1,2,4,8まで来ます。 ここでQのNへの自然な作用が自明な元全体をKとすると#Kは4以下でKが非自明なら非自明なセンターを持ち、それはGのセンターになってしまうのでGの最小性に反します。 よってQはe,c2,c4,c2×c2です。 以上の議論を踏まえてQ上のある５次規約多項式がK上でも規約の場合、その最小分解体のガロア群は位数が80の約数で位数5の巡回群を唯一の正規部分群として持つ事が言えます。 さらに絞っていくと位数は5か20しかない事も言えます。 20の場合というのはあるa∈KでLがその最小分解体となるケースです。 この時x^5-N[L/K](a)はLで分解するのでこれがQで規約なら主張は成立です。 aはKの整数としてよく、それが整数環の非可逆元ならやはり容易です。 そうでない場合が残りケース。 実例を調べてみるとこの場合は必ずアーベル拡大になってしまいQ=eになるようです。 もっか調べ中。 誰かが本にそれっぽい事書いてたと言ってたので正しいのは正しいのでしょう。