19/09/12 23:25:26.81 cMDg8k3q.net
おサルが二匹、踊ってくれるのか？ ありがとう ｂｙ サル回しのスレ主より（＾＾
85:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/12 23:53:28.50 cMDg8k3q.net
>>77-78
言い訳必死だな、サルはｗ（＾＾
・∈－順序は、公理的集合論ＺＦＣの目玉の重要キーワードでしょ？
これで、帰納法及び超限帰納法が可能になるんだ
・フォン・ノイマン宇宙（>>67）も、重要キーワードでしょ？
「V=WF ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す」
そして、フォン・ノイマン宇宙で、学部数学なら展開できる
フォン・ノイマン宇宙では、∈－順序が成り立ち、∈が推移律を保つ
・推移律：x∈y∈z で、ここでｘはｙの任意の元として、ｘに対し∀x∈zが成立→即y⊂z成立 かつ x⊂z成立
・これで（フォン・ノイマン宇宙で）、ベン図に反例はない
・大体、数学者って人種は「おまいら高校の極限はゴマカシなんだ」みたいなのスキでね（＾＾
だから、もしベン図がゴマカシ（不正確と言ってもいい）
86:だったら、きっとそういう人が出てくるはず 「y∈zとしても、ｙの元で、zに含まれない元が存在するんだ。だから、ベン図に反例がある（あるいは描けない）」みたいなことをいう人がね でも、そんな人はおらんでしょｗ（＾＾ ・おっと、そもそもあなたは、公理的集合論では、集合の元もまた一つの集合ってこと、公理的集合論ではおサルやイヌの集合は登場しないのだよ。素朴集合論の思考のクセが抜けてないみたいだねｗｗ（＾＾
87:１３２人目の素数さん
19/09/13 00:12:20.93 T2CuI5jY.net
これテンプレに入れとけサル
数学板の名物になるぞｗ
>>842
＞Ω ⊂ R^N と Ω ∈ R^N はまったく別ものである
「まったく別もの」ではない
詳しくは、>>832の「ZFC公理系について：その1（及び2）」を読んでみな
簡単に書くと
１）二つの集合A,Bで、A ∈ B → A ⊂ B
∵ 集合Aの全ての元aは、集合Bの元だから
２）二つの集合A,Bで、A ⊂ B → A ∈ B
∵ 集合B中で、集合Aの全ての元aを集めて、内部に集合Aを構成できるから
３）”A ∈ B → A ⊂ B” ＆ ”A ⊂ B → A ∈ B”が成立つから、二つは同値
QED
88:１３２人目の素数さん
19/09/13 06:47:58.88 QEVZazxA.net
>>80
＞∈－順序は、公理的集合論ＺＦＣの目玉の重要キーワードでしょ？
いいやｗ
おまえ日本語が読めない馬鹿だろｗ
＞フォン・ノイマン宇宙では、∈－順序が成り立ち、∈が推移律を保つ
＞推移律：x∈y∈z で、ここでｘはｙの任意の元として、
＞ｘに対し∀x∈zが成立→即y⊂z成立 かつ x⊂z成立
＞これで（フォン・ノイマン宇宙で）、ベン図に反例はない
いいやｗ
おまえ日本語が読めない馬鹿だろｗ
フォン・ノイマン宇宙自体は推移的であっても
フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけではない
もしフォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なら
フォン・ノイマン宇宙は順序数の全体ということになるが
そんな馬鹿なことはもちろんないｗ
例えば{{{}}}は明らかに集合であることが証明できるが
これは推移的ではないｗ
{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} しかし ￢({}∈{{{}}})
まず、x∈y⇒x⊂y となるのはyが推移的集合の場合
そして∀x,y∈S.x∈y⇔x⊂y となるのはSが順序数の場合だけ
※Sが順序数であるとき、その時に限り、
SだけでなくSの要素S'、S'の要素S''とたどった集合
すべてが推移的集合になる）
89:１３２人目の素数さん
19/09/13 06:48:40.52 QEVZazxA.net
>>81
＞∈－順序は、公理的集合論ＺＦＣの目玉の重要キーワードでしょ？
いいやｗ
おまえ日本語が読めない馬鹿だろｗ
＞フォン・ノイマン宇宙では、∈－順序が成り立ち、∈が推移律を保つ
＞推移律：x∈y∈z で、ここでｘはｙの任意の元として、
＞ｘに対し∀x∈zが成立→即y⊂z成立 かつ x⊂z成立
＞これで（フォン・ノイマン宇宙で）、ベン図に反例はない
いいやｗ
おまえ日本語が読めない馬鹿だろｗ
フォン・ノイマン宇宙自体は推移的であっても
フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけではない
もしフォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なら
フォン・ノイマン宇宙は順序数の全体ということになるが
そんな馬鹿なことはもちろんないｗ
例えば{{{}}}は明らかに集合であることが証明できるが
これは推移的ではないｗ
{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} しかし ￢({}∈{{{}}})
まず、x∈y⇒x⊂y となるのはyが推移的集合の場合
そして∀x,y∈S.x∈y⇔x⊂y となるのはSが順序数の場合だけ
※Sが順序数であるとき、その時に限り、
SだけでなくSの要素S'、S'の要素S''とたどった集合
すべてが推移的集合になる）
90:１３２人目の素数さん
19/09/13 06:53:24.72 QEVZazxA.net
>>81
＞数学者って人種は「おまいら高校の極限はゴマカシなんだ」みたいなのスキでね
＞だから、もしベン図がゴマカシ（不正確と言ってもいい）だったら、
＞きっとそういう人が出てくるはず
＞「y∈zとしても、ｙの元で、zに含まれない元が存在するんだ。
＞ だから、ベン図に反例がある（あるいは描けない）」
＞みたいなことをいう人がね
＞でも、そんな人はおらんでしょ
ベン図は包含関係⊂しか表せない
要素∈の推移性なんて表しようがないｗ
したがって問題になりようがない
おまえは正真正銘の白痴か？ｗ
{{{}}}は「∈は推移的！」という貴様の嘘に対する決定的反例ｗ
おまえは{}、{{}}、{{{}}}の三者を
どうベン図で書くつもりだ？
書いて見せてもらおうかｗ
91:１３２人目の素数さん
19/09/13 06:56:38.23 QEVZazxA.net
>>82
数学板名物、ニワトリ集合論ｗｗｗ
＞１）二つの集合A,Bで、A ∈ B → A ⊂ B
＞２）二つの集合A,Bで、A ⊂ B → A ∈ B
＞３）”A ∈ B → A ⊂ B” ＆ ”A ⊂ B → A ∈ B”が成立つから、二つは同値
結論、集合＝順序数
（ニワトリ曰く、「だって任意の集合は選択公理で整列可能だもん！」ｗｗｗ）
92:１３２人目の素数さん
19/09/13 06:58:17.96 QEVZazxA.net
>>80
＞おサルが二匹、踊ってくれるのか？
ニワトリ一羽、今日もトンデモ主張をコケコッコーｗ
さすが正規部分群を誤解する馬鹿だけのことはあるｗｗｗ
93:１３２人目の素数さん
19/09/13 07:14:05.39 QEVZazxA.net
⊂に関しては、任意の集合Ｘ,Ｙ,Ｚで
X⊂Ｙ Ｙ⊂Ｚ ならば Ｘ⊂Ｚ
がいえる
し・か・し
∈に関しては、任意の集合Ｘ,Ｙ,Ｚで
X∈Ｙ Ｙ∈Ｚ ならば Ｘ∈Ｚ
とはいえない
反例 {{{}}}
{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} しかし ￢({}∈{{{}}})
ニワトリ集合論から矛盾が導かれたｗ
94:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 08:04:42.51 Ct8Lh9wH.net
>>84
>フォン・ノイマン宇宙自体は推移的であっても
>フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけではない
意味分かんねー（＾＾
”フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけ”ですよね
∵ フォン・ノイマン宇宙は、「0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス」
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理
(抜粋)
V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
したがって、例えばx={x}のような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。 WFは通常の集合演算に関して閉じているため、ZF公理系から得られる全ての真なる命題がZF公理系においても真となることが分かる。
このため、WF内で通常の数学を展開できることが知られている。
実際、x={x}のような集合の存在はZF公理系からは独立だが、数学を展開する上でこのような集合が現れることはない。
その一方で、正則性の公理は必ずしもZF公理系を拡張するために必要なものではないが、ZF公理系と他のいくつかの命題が独立であることを証明する際にその効果を発揮する。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フォン・ノイマン宇宙
(抜粋)
数学の集合論とその周辺分野において、フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。
つづく
95:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 08:05:11.37 Ct8Lh9wH.net
>>89
つづき
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理論理学II Akito Tsuboi 筑波大
(抜粋)
P11
1.3 順序数
整列順序の全体は（大きすぎて）集合にはならない．X と順序同型
なものたち全体に限っても集合ではない．したがって，素朴集合論における通
常の構成法は厳密な議論には相応しくないので，別の構成法を考えなくてはな
らない．
基本的な考え方は，∈ がその上で整列順序になる集合たちのクラスを上手に
定義して，それに属する集合を順序数として定義することである．
以下では，集合論の公理を仮定する．
定義18. 1. x が推移的である(Trans(x)) とは，∀y∀z(z ∈ y ∈ x → z ∈ x)
となることである．
(引用終り)
以上
96:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 08:07:26.32 Ct8Lh9wH.net
>>85
>おまえは{}、{{}}、{{{}}}の三者を
>どうベン図で書くつもりだ？
大中小の丸でいいでしょ
三重丸で
{}は小丸、{{}}は中丸、{{{}}}は大丸
（>>90より）
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理論理学II Akito Tsuboi 筑波大
(抜粋)
P11
1.3 順序数
以下では，集合論の公理を仮定する．
定義18. 1. x が推移的である(Trans(x)) とは，∀y∀z(z ∈ y ∈ x → z ∈ x)
となることである．
(引用終り)
以上
97:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 11:22:57.11 nJx1ApW/.net
>>81
>・おっと、そもそもあなたは、公理的集合論では、集合の元もまた一つの集合ってこと、公理的集合論ではおサルやイヌの集合は登場しないのだよ。素朴集合論の思考のクセが抜けてないみたいだねｗｗ（＾＾
いつもお世話になっております”再帰の反復”さん（＾＾
下記が、素朴集合論と公理的集合論との関係をうまく説明している
坪井先生の（>>90）「定義18. 1. x が推移的である(Trans(x)) とは，∀y∀z(z ∈ y ∈ x → z ∈ x)」も、これで理解しやすくなるでしょ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(lemniscus.hatenablo)ｇ.com/entry/20120616/1339838683#sec6-7
再帰の反復blog
2012-06-16
反復的集合観と公理的集合論
(抜粋)
目次
1.素朴集合論
・素朴集合論の公理
・素朴集合論のパラドクス
2.内包公理の放棄
3.整礎原理
・
・
6.集合観から公理へ
・
・
・正則性公理
7.ZFC
8.クラス
9.到達不能基数
3. 整礎原理
まず次の考え方をとることにする。
自分自身を含むような集合は存在しない。
これを採用するのは、必ずしもパラドクスを避けるためではない。
たとえば「集合とは要素を集めたものである」という見方を取ると、論理的な順序としてまず要素があってからそれらを含んでいる集合が存在しているので、集合が自分自身を含んでいるのはそもそもおかしいことになる(一方、概念と集合の存在を結びつける内包公理の見方では、ある概念がその概念自身にも当てはまることがあるのだから、ある集合がその集合自身に含まれていても別におかしくはない)。
また別の理由として、自分自身を含む集合を認めると集合の同一性が外延公理だけでは決まらない(のが嫌だ)というものがある。
自分自身だけを含むような集合としてaとbを取ったとする。
a={a}
b={b}
が成り立っている。このとき、aとbは等しいだろうか。
内包公理のもとでは、aの存在もbの存在も何らかの概念P(x),Q(x)によっている。
a={x|P(x)}
b={x|Q(x)}
したがってP(x),Q(x)を見ることでaとbが等しいかどうかを調べることができる。
つづく
98:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 11:23:43.18 nJx1ApW/.net
>>92
つづき
しかし内包公理を取らない立場では、aとbが等しいかどうかを判断するためには何らかの新しい原理が必要になる。
そして、そのような新たな原理を積極的に提案するよりも初めから自分自身を含むような集合を排除して考えようということになる
(この場合必ずしも自分自身を含む集合は存在しないと強く主張する必要はなくて、そういうものは排除した範囲で考えようという立場かもしれない)。
いずれにしても自分自身を含む集合を認めないなら、同様の理由で
a∈b∈aとかa∈b∈c∈aとなるような集合も認められない。もっと一般的に
a1∋a2∋a3∋a4∋a5∋…
となるようなものは認められない(自分自身を含む集合はa∋a∋a∋…となりこれに反している)。
�
99:uまず要素があってから集合がある」という考え方によればこのような集合は存在しないし、このような集合の同一性は外延公理だけでは決まらないので。 このような集合が存在しないことを整礎原理と呼ぶことにする。 整礎原理 a1∋a2∋a3∋a4∋a5∋…とどこまでも続くような集合は存在しない。 整礎原理は、どんな集合が存在するのかについては積極的に主張していないけれど、ここから集合の間に成立している秩序が見えてくる。 まず自分自身を含んでいたり包含関係が循環することがないため、「∈」について順序関係が成立することになる。 つまり包含関係「∈」に基づく「より単純な集合」←→「より複雑な集合」という相対的な位置づけを与えることができる。しかも包含関係「∈」を内側にたどっていくと必ずどこかで終わるので、「より単純な集合」←→「より複雑な集合」のうち、「より単純な集合」の方向はどこかで終点に至る。 整礎原理の成り立つ集合世界では、もっとも単純な集合から始まってだんだん複雑な集合に向かっていくという整然とした秩序が存在する (この秩序は集合の要素数の大小関係とは異なる。たとえば0∈N∈{N})。 もっとも単純な集合は、要素を何も含まない空集合Φである。空集合Φはもちろん存在してほしい。 またこの空集合を元にして、{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}},{{{{Φ}}}},…とか{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{{Φ}}},{Φ,{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}}},…といった集合も存在していてほしい。 つづく
100:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 11:24:06.64 nJx1ApW/.net
>>93
つづき
正則性公理
反復的集合観に先立って次の整礎原理を述べた。
整礎原理
a1∋a2∋a3∋a4∋a5∋…とどこまでも続くような集合は存在しない。
これを次のように公理化する。
正則性公理（定義）
∀s(s≠Φ→∃x∈s(x∩s=Φ))
(反復的集合観によれば、sに含まれるどの要素もsが現れる段階よりも低い段階で現れる。
sの要素の中で最も低い段階に現れるものをxとすれば、xとsが共通要素を持つことはない。
もしあればそれはxよりも低い段階に現れるsの要素になりxの取り方に反するので)
ただし正則性公理を追加したからといって、x1∋x2∋x3∋x4∋…となる集合や自分自身を含む集合の存在が証明されないことを保証しているわけではない
(ある公理から何かの存在が導かれるときに非存在を主張する公理を追加しても、存在するという証明を打ち消すことはできない。
単に矛盾が導かれるようになるだけ)。
元の公理系が「自分自身を含む集合はあってもいいし、なくてもいい」というものだとしたら、正則性公理の追加によって自分自身を含む集合の存在は排除される。
でも元の公理系で自分自身を含む集合の存在が導かれるとしたら、そこに正則性公理を追加しても矛盾が導かれるようになるだけ。
つづく
101:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 11:24:41.66 nJx1ApW/.net
>>94
つづき
7. ZFC
ここまで出てきた公理を列挙すると次のようになる。
8. クラス
ZFCでは内包公理は認められない。
しかし、ある概念(を定義した述語)P(x)があるならばそれに対応する集合{x|P(x)}について語るというのは数学でごく普通におこなわれることなので、集合論でもそのような言い方を使いたい。
そのために{x|P(x)}の形の式を集合とは呼ばずにクラスと呼ぶことにする。
クラスは集合論のファーストクラスオブジェクトではなく、構文上のマクロのようなものにすぎない。
集合論の基本的な述語は「=」と「∈」の二つ
クラス用の変数も導入できるのだけど、これも集合論の体系自体には含まれない一種の省略記法として扱われる。
9. 到達不能基数
置換公理によって「果てしなく続く段階」や濃度の非常に大きな集合の存在が出てくるのだけど、さらに「その先」を考えることもできる。
濃度(無限の大きさ)について考える。
（以下は、あんまり関係ないが（本当は正則性公理「sの要素の中で最も低い段階に現れるもの」の関連で調べた）、メモ貼る）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Upper set
(抜粋)
In mathematics, an upper set (also called an upward closed set or an upset) of a partially ordered set (X, ?) is a subset U of X such that if x is in U and x ? y, then y is in U.
The dual notion is a lower set (also called a downward closed set, down set, decreasing set, initial segment, or semi-ideal), which is a subset L of X such that that if x is in L and y ? x, then y is in L
(引用終り)
以上
102:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 11:29:35.73 nJx1ApW/.net
>>95 追加
なんか文字化けあるね
英文からのコピペ
貼付けの目視では、正常なんだが
投稿後見ると
化けている
a partially ordered set (X, ?)
おっと、専用ブラウザのプレビュー見ると
これ、文字化け分かるね
ずぼらしちゃ、いけないね
これ
a partially ordered set (X, <=)
なんだよ
これから、できるだけ
プレビュー確認するわ（＾＾；
まあ、今回は原文見てください
103:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 11:43:26.53 nJx1ApW/.net
おサルが、「無限小数激論スレ★1」へ行ったみたいで
いま、このガロアスレは、勢いで5位か
まあまあだな
ガロアスレの58（20代くらい前）が、いまだ13位って、どんだけ過疎板なんだよ
数学板って
”プロ固定”とか、うるさくいうやつが過去居たけど
これみりゃ、”プロ固定”なら、こんな過疎板やめて、他の板へとっくに移っているって、分かるでしょ
遊びでなけりゃ、やれないよ、こんな過疎の場所ではね（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(49.212.78.147)
数学：2ch勢いランキング
9月13日 11:30:28
(抜粋)
順位 6H前比 スレッドタイトル レス数 勢い
1位 = 0.999…＝1か！？無限小数激論スレ★1 775 139
2位 = 【未解決問題】奇数の完全数が存在しないことの証明4 919 31
3位 ↑1 高校数学の質問スレPart401 198 26
4位 ↑1 数学の本 第85巻 791 25
5位 ↑1 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 91 25
6位 ↓-3 新しい数式何だが、どうだろう 22 25
7位 = 素人には 8÷2(2+2) を16と答える馬鹿が居るらしい 900 22
8位 ↑1 Inter-universal geometry と ABC予想 41 452 21
9位 ↓-1 分からない問題はここに書いてね456 96 20
10位 = 現代数学はインチキだらけ 81 17
12位 = ガロア優秀仮面理論についてwwwww 128 5
13位 = 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む58 875 4
104:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 13:52:56.40 nJx1ApW/.net
>>92 追加引用
下記、分かり易いわ
おサルが、素朴集合論の思考のクセに抜けきれず、躓いていることがよく分かるねｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(lemniscus.hatenablo)ｇ.com/entry/20120616/1339838683#sec6-7
再帰の反復blog
2012-06-16
反復的集合観と公理的集合論
(抜粋)
目次
1.素朴集合論
・素朴集合論の公理
(抜粋)
素朴集合論の公理
「集合とは、概念の外延である」という主張を公理化すると
概念があれば、それに対して集合が考えられる(内包公理)
集合(=概念の外延)の同一性はそれに含まれる対象によって定まる(外延公理)
という2つの公理にまとめられる。
2. 内包公理の放棄
素朴集合論では矛盾が生じてしまうので、どこかを手直ししないといけない。
・外延公理は「集合とはどんなものか」についての公理
・内包公理は「どんな集合が存在するか」についての公理
ラッセルのパラドクスも他の集合論のパラドクスも「何かおかしな集合の存在について考えると矛盾する」という話なので、内包公理を捨てることにする(実際には他の選択肢も考えられるが話の都合上こうなる)。
すると「どんな集合が存在するか」について内包公理とは違う考え方が必要になる。
(引用終り)
105:１３２人目の素数さん
19/09/13 19:04:20.78 QEVZazxA.net
>>89
>”フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけ”ですよね
これはヒドイｗｗｗ
答えは否
最も簡単な反例{{{}}}は既にしめした
理解できない？頭悪すぎだろ？
>>91
>>おまえは{}、{{}}、{{{}}}の三者を
>>どうベン図で書くつもりだ？
>大中小の丸でいいでしょ
>三重丸で
>{}は小丸、{{}}は中丸、{{{}}}は大丸
これもヒドイｗｗｗ
答えはこれまた否
{}⊂{{}} {}⊂{{{}}} はいいが
￢（{{}}⊂{{{}}})だぞ
考えてる？脳味噌無いの
106:？
107:１３２人目の素数さん
19/09/13 19:04:55.99 QEVZazxA.net
>>91
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
>以下では，集合論の公理を仮定する．
>定義18. 1. x が推移的である(Trans(x)) とは，
>∀y∀z(z ∈ y ∈ x → z ∈ x)
>となることである．
ニワトリは日本語も正しく読めないのか？
定義18の1は、
「集合xが推移的」
という言葉の意味を定義しただけ
どこにも
「全ての集合は推移的である」
なんて公理は設定してないｗ
ついでにいうと、これ、続きがあるぞ
>2. x が順序数である（Ord(x)）とは，
>Trans(x) ∧ ∀y ∈ x(Trans(y))
>となることである．
>上の定義を言葉で述べると，
>「x が推移的とは x が ∈ に関して推移的なこと」，
>「x が順序数であるとは，x だけでなくその元もすべて推移的なこと」
>となる．
これもどこにも
「全ての集合は順序数である」
なんて公理は設定してないｗ
108:１３２人目の素数さん
19/09/13 19:05:40.16 +P68OVAU.net
>>91
> 大中小の丸でいいでしょ
空集合と偶数からなる集合と奇数からなる集合を「五重丸」を用いてベン図で表せ
Odd = {1, 3}
Even = {2, 4}
109:１３２人目の素数さん
19/09/13 19:05:48.63 QEVZazxA.net
ニワトリにはこっちのほうが分かりやすいか
URLﾘﾝｸ(eurekagap.up.seesaa.net)
「Definition 1.2.1.
集合 x が推移的（transitive）であるとは，
∀v(v ∈ x → v ⊆ x)
となることである．
これは x の元の元もまた x に属しているということである．」
いっとくが∀v(v ∈ x → v ⊆ x)は公理ではない
∀v(v ∈ x → v ⊆ x)が成り立つ集合xを
推移的だといってるだけ
「Definition 1.2.2.
推移的かつ ∈ によって整列順序づけされる集合を
順序数（ordinal）とよぶ」
「α, β, γ, . . . などのギリシャ文字で順序数を表す．
また，α ∈ β を α < β と書き，
α ∈ β または α = βであることを
α ? β と書くことにする．
Lemma 1.2.7. 任意の順序数 α, β に対して α ? β ⇔ α ⊆ β．」
ほら、「任意の順序数 α, β に対して」とあるだろ
決して「任意の集合x,yに対してx ∈ y ⇔ x ⊂ y」なんて書いてないｗ
集合論のどの公理で
「任意の集合xは順序数である
つまり任意の集合xは推移的かつ ∈ によって整列順序づけされる」
なんて証明されるんだよｗ
選択公理とかいうなよ 笑われるからｗｗｗｗｗｗｗ
110:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 21:40:46.51 Ct8Lh9wH.net
>>102
”Eureka GAP”さんのPDFね～ｗ（＾＾
”Eureka GAP”さん、どこかで聞いたことがあると思ったら
過去スレで取り上げた記憶があるなー
おサルは、
１）それ、「日本の大学を卒業後アメリカへ留学して数学科の大学院生をやっています。専門は集合論です」
て、知って引用しているかなーｗ（＾＾
２）それ、「ずいぶん前に公開した「順序数と基数」がtypoがひどすぎると指摘されていたので、GWを使って修正しました。
内容はほとんど変わっていませんが、修正したおかげで読めるようになったと思います。
集合論自体には興味ないけど、順序数と基数の基本的な事実だけ知りたいよーというような人が参照できるように書いてあります」
て、知って引用しているかなーｗ（＾＾
まあ、大学教員のPDFじゃないってことは、よく認識しておいた方がいいだろうなー
そんなことも知らずに、落ちているPDFを無批判に引用したんだろうと、推測いたしますｗ（＾＾；
まあ、おサルだからなー
（参考）
ｈttps:／／eurekａgap.jimdoｆree.com/
Eureka GAP 2018/12/04
ようこそ、ここはEureka GAPのホームページです!
日本の大学を卒業後アメリカへ留学して数学科の大学院生をやっています。専門は集合論です。
2018年9月、正式に数学科の大学院生になりました。
ブログは時々更新しています。他のコンテンツは後日追加していきたいと思っています。
http:／／eurekａgap.seesaa.neｔ/article/449980546.html
GAPのブログ
PDFの墓場となるべく作られましたが、特に運営方針は定まってません．
2017年05月17日
改・順序数と基数
ご無沙汰です。
ずいぶん前に公開した「順序数と基数」がtypoがひどすぎると指摘されていたので、GWを使って修正しました。
内容はほとんど変わっていませんが、修正したおかげで読めるようになったと思います。
集合論自体には興味ないけど、順序数と基数の基本的な事実だけ知りたいよーというような人が参照できるように書いてあります。
ordinals_and_cardinals.pdf
https／／eurekａgap.up.seesaa.net/image/ordinals_and_cardinals.pdf
5/18(木) 誤植訂正
111:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 21:42:05.47 Ct8Lh9wH.net
>>103
ＵＲＬがＮＧワードとかで通らなかったので、全角に直した
まあ、キーワード検索で飛んでくれ（＾＾；
112:１３２人目の素数さん
19/09/13 22:02:05.37 T2CuI5jY.net
>>91
>>おまえは{}、{{}}、{{{}}}の三者を
>>どうベン図で書くつもりだ？
>大中小の丸でいいでしょ
>三重丸で
>{}は小丸、{{}}は中丸、{{{}}}は大丸
これって知識とか関係無いよね
純粋に知能の有無だよね
サルは決定的に知能が欠けている！
まあサルだしｗ
113:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 22:03:34.92 Ct8Lh9wH.net
>>99
アホバカおサルと、賢いニワトリの論争かね
楽しいね～、フォン・ノイマン宇宙がわからんとね、おサルはｗ（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
(抜粋)
数理論理学において、構造 (もしくはモデル) の宇宙（うちゅう、英: Universe）とは議論領域のことである。
通常の数学
与えられた X (カントールの場合には、 X = R) の部分集合を考えれば、宇宙は X の部分集合の集合の存在を要請する。
主要な関心が X であっても、 X よりもかなり大きな宇宙が必要とされることになる。 上記のアイデアに続いて、X の宇宙としての 上部構造 が要請される。 これは次のような再帰的構造によって定義される。
もし開始地点がちょうど X = {} ならば、数学で必要となる多くの集合は {} 上の上部構造の要素として現れる。
しかし、S{} の要素のそれぞれは有限集合であろう！
自然数のひとつひとつはそれに属すが、すべての自然数の集合 N は属さない（それは S{} の部分集合であるにもかかわらず）。
実際、X 上の上部構造はすべての遺伝的有限集合から成る。
このように、それは有限主義者の数学の宇宙と考えられる。
時代をさかのぼれば、19世紀の有限主義者レオポルト・クロネッカーはこの宇宙において仕事をしたことが思い出される。
彼は、それぞれの自然数は存在するが、集合 N（完全な無限）は存在しないと信じていた。
つづく
114:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 22:04:31.09 Ct8Lh9wH.net
>>106
つづき
しかし、S{} は通常の（有限主義者ではない）数学者にとっては不足である。なぜなら、N が S{} の部分集合として利用可能であるとはいえ、依然として N の冪集合は利用不可能だからである。
特に、実数の任意の集合は利用不可能である。そのため、もう一度上記のプロセスを開始して S(S{}) を形成する必要があるだろう。
しかし、物事を単純に保つために、自然数の集合 N は所与として SN を形成し、N 上の上部構造をとってもよい。
これはしばしば通常の数学の宇宙であると考えられる。通常研究される数学のすべてはこの宇宙の要素を参照していると考えるということである。
例えば、普通の実数の構成（デデキントの切断）はどれも SN に属している。超準解析も自然数の超準モデル上の上部構造において行うことができる。
宇宙が関心のある任意の集合 U であった前節からの哲学のわずかな転換に注意しよう。研究される集合は、前節では宇宙の部分集合であったが、本節では宇宙の要素である。
したがって、P(SX) はブール束であるが、関連するもの SX 自体はそうではない。結果として、上部構造の宇宙を前節の冪集合の宇宙であるとみて、それにブール束とベン図の概念を直接的に適用することはまれである。
そのかわりに、個々のブール束 PA を用いて作業することができる。ここで、A は SX に属する任意の関連する集合である。
すると、PA は SX の部分集合である（そして、実際に SX に属する）。カントールの場合 X = R では特に、実数の任意の集合は利用可能ではないので、実際にもう一度上記のプロセスを開始する必要があるだろう。
つづく
115:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 22:05:43.05 Ct8Lh9wH.net
>>107
つづき
集合論
SNは通常の数学の宇宙であるという主張に正確な意味を
116:与えることは可能である。すなわち、それはツェルメロ集合論のモデルである。 公理的集合論は元来1908年にエルンスト・ツェルメロによって開発された。ツェルメロ集合論は"通常の"数学を公理化することができるため、カントールによって三十年早く始められたプログラムを達成して、確実に成功した。 しかし、ツェルメロ集合論は公理的集合論および数学基礎論、特にモデル理論における他の研究のさらなる発展にとって不十分であった。 劇的な例として、上述の上部構造プロセスの記述はツェルメロ集合論においてそれ自身実行できないことが挙げられる。最終ステップとして、無限和 (infinitary union) としてのSを形成するための置換公理が必要である。 置換公理は、ツェルメロ＝フレンケル集合論を形成するように1922年にツェルメロ集合論に付加された。この公理集合は今日最も広く受け入れられている。 そのため、通常の数学がSNにおいてなされるのに対し、SNの議論は"通常の"数学を越えてメタ数学の領域となる。 しかし、もし超冪集合論が持ち込まれた場合、上記の上部構造のプロセスそれ自体は明らかに超限帰納法のはじまりに過ぎない。 任意の 順序数 i に対して Vi を定義する。 Vi のすべての和集合は次のようにフォン・ノイマン宇宙 V となる。 Vi は各々すべてが集合であることに注意すること。 しかしこれらの和集合 V は固有類である。 置換公理と同時期にZFに加られた正則性公理は、すべての 集合が V に属することを主張している。 クルト・ゲーデルの構成可能集合 L と構成可能公理 到達不能基数は ZF のモデルと加法性公理を生じ、さらにグロタンディーク宇宙の集合の存在と等価である。 つづく
117:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 22:06:46.55 Ct8Lh9wH.net
>>108
つづき
圏論
圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。
大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である。
例えば、グロタンディーク宇宙 U における2つの集合の和集合も U の内部にある。同様に、共通部分、順序対、冪集合などもまた U の内部にある。
これは上記の上部構造に類似している。グロタンディーク宇宙の利点は、それが実際の集合であって固有類ではないことである。
グロタンディーク宇宙の難点は、厳密さを欲するなら、グロタンディーク宇宙を捨てなければならないことである。
最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。
すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。
対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが固有類を用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。
すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。例えば、すべての U-small 圏の圏は宇宙 U の内部において、すべての対象の集合と射の集合の圏の圏になる。
すると通常の集合論の独立変数が、すべての圏の圏に適用される。さらに誤って固有類に対して言及する心配もなくなる。
なぜならグロタンディーク宇宙は非常に広大であり、これはありとあらゆる数学的構造を充足させるからだ。
グロタンディーク宇宙において作業している場合、数学者はしばしば宇宙の公理を仮定する。"任意の集合 x に対し、x ∈U となるような宇宙 U が存在する。
" この公理の重要な点は、任意の集合がいくつかの U に対して U-small が検討できることである。
つまり一般的なグロタンディーク宇宙に内部で、任意の独立変数が適用されるということである。
この公理は強到達不能基数の存在と密接に関係している。
(引用終り)
以上
118:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 22:08:56.73 Ct8Lh9wH.net
>>106
(引用開始)
もし開始地点がちょうど X = {} ならば、数学で必要となる多くの集合は {} 上の上部構造の要素として現れる。
しかし、S{} の要素のそれぞれは有限集合であろう！
自然数のひとつひとつはそれに属すが、すべての自然数の集合 N は属さない（それは S{} の部分集合であるにもかかわらず）。
実際、X 上の上部構造はすべての遺伝的有限集合から成る。
このように、それは有限主義者の数学の宇宙と考えられる。
時代をさかのぼれば、19世紀の有限主義者レオポルト・クロネッカーはこの宇宙において仕事をしたことが思い出される。
彼は、それぞれの自然数は存在するが、集合 N（完全な無限）は存在しないと信じていた。
(引用終り)
哀れな素人さんは、19世紀の有限主義者レオポルト・クロネッカーの生まれ変わりかｗ（＾＾；
「彼は、それぞれの自然数は存在するが、集合 N（完全な無限）は存在しないと信じていた」！！
119:１３２人目の素数さん
19/09/13 22:15:37.12 T2CuI5jY.net
>>92
素朴集合論とか公理的集合論とか以前の問題ｗ
バカ過ぎｗ
120:１３２人目の素数さん
19/09/13 22:17:20.84 T2CuI5jY.net
サルは分かってるふりが大好きだね
この期に及んで公理的集合論が
121:どうのォン・ノイマン宇宙がどうのとｗ 中学数学すら分かってないことがバレてるのにｗ
122:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 22:21:27.14 Ct8Lh9wH.net
>>103
(引用開始)
”Eureka GAP”さんのPDFね～ｗ（＾＾
おサルは、
１）それ、「日本の大学を卒業後アメリカへ留学して数学科の大学院生をやっています。専門は集合論です」
て、知って引用しているかなーｗ（＾＾
(引用終り)
じゃ、こちらもＰＤＦをばｗ（＾＾；
下記の、渕野昌先生 「フォン・ノイマンと公理的集合論」
「現代思想」2013 年８月増刊号
これは、数学徒以外の一般読者対象なので
おサルにも読めるだろうｗ（＾＾
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
researchmap
渕野 昌
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
フォン・ノイマンと公理的集合論
（1）渕野昌（Saka´e Fuchino）
28. Mai 2017
以下の文章は、 「現代思想」2013 年８月増刊号に，渕野昌，フォン・ノイマンと公理的集合論(2013), 208?223. として収録された論説である。
雑投稿／校正後の加筆訂正も含まれている。
誌掲載版では紙数の制限などのために削除した部分も再収録した。
123:１３２人目の素数さん
19/09/13 22:26:07.31 QEVZazxA.net
>>105
＞賢いニワトリ
そう思ってる時点でニワトリはバカｗ
>>102はバカでも分かると思って引用してやったまでだが
書いてあることは筑波大の坪井氏のpdfと大して変わらん
要するにニワトリは言葉の定義を公理と勘違いする
大馬鹿っぷりを演じたまで
どこに
「すべての集合は推移的だ！」「すべての集合は順序数だ！」
とかいう公理がある思う馬鹿がいるかよｗ
124:１３２人目の素数さん
19/09/13 22:28:47.35 QEVZazxA.net
>>106
＞賢いニワトリ
そう思ってる時点でニワトリはバカｗ
>>112
ニワトリは、集合が推移的とか順序数であるとかいう用語の定義を
「すべての集合は推移的でありしたがって順序数である」
と読み違える正真正銘の馬鹿だから
分かったつもりのワカランチンなんだな、これがｗｗｗ
125:１３２人目の素数さん
19/09/13 22:34:29.63 QEVZazxA.net
集合論のどのテキストにも
「全ての集合は推移的である」とか
「全ての集合は順序数である」とか
いう嘘は書いてない
ニワトリは
「集合ｘが推移的であるとは・・・である」
「集合ｘが順序数であるとは・・・である」
という言葉の定義を、「公理」と読み違えるほどの
正真正銘の馬鹿野郎である
おそらく日本人ではなく朝鮮人だろうｗ
日本語が分かるならこんな馬鹿な読み間違いはしないｗ
126:１３２人目の素数さん
19/09/13 22:37:31.46 QEVZazxA.net
ニワトリは{{{}}}が集合でないと思ってるらしいｗ
（なぜなら推移的でもないし順序数でもないからｗ）
しかも{{}}⊂{{{}}}だと思うほどの白痴である
{}は{{{}}}の要素でないのだから
{{}}⊂{{{}}}なわけがないのは
小学生でもわかることだが
なんせ人間どころか哺乳類ですらない
鳥類のニワトリだから仕方ないｗｗｗ
127:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 23:20:51.48 Ct8Lh9wH.net
>>99
(引用開始)
>>89
>”フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけ”ですよね
これはヒドイｗｗｗ
答えは否
最も簡単な反例{{{}}}は既にしめした
理解できない？頭悪すぎだろ？
(引用終り)
フォン・ノイマン宇宙Vの中に、"推移的"ではない、つまり、反例があるとねｗ
もし、それが本当なら、論文１本かけるぜｗ（＾＾
おサルの集合論は、面白いな（；ｐ
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
推移的集合
(抜粋)
集合論において、集合 Aが推移的であるとは、
・x ∈ Aかつy ∈ x、ならばy ∈ A もしくは、同じ意味であるが
・x ∈ AかつxがurelementでないならxはAの部分集合である。
ということ。
同様にクラスMが推移的であるとは、Mの要素は全てMの部分集合であることをいう。
例
ジョン・フォン・ノイマンによる順序数の定義を用いると、順序数は遺伝的に推移的な集合として定義される
すなわち、順序数は推移的集合でその要素も全て推移的で(よって順序数でも)ある。
フォン・ノイマン宇宙 Vや 構成可能宇宙 L の構成の際に現れる Vα や Lαといった全ての階層も推移的集合である。
宇宙 L と V もそれ自体推移的クラスである。
つづく
128:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 23:21:51.22 Ct8Lh9wH.net
>>118
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Urelement
(抜粋)
In set theory, a branch of mathematics, an urelement or ur-element (from the German prefix ur-, 'primordial') is an object that is not a set, but that may be an element of a set. Urelements are sometimes called "atoms" or "individuals."
Contents
1 Theory
2 Urelements in set theory
3 Quine atoms
Urelements in set theory
The Zermelo set theory of 1908 included urelements, and hence is a version we now call ZFA or ZFCA (i.e. ZFA with axiom of choice).[1]
It was soon realized that in the context of this and closely related axiomatic set theories, the urelements were not needed because they can easily be modeled in a set theory without urelements.[2]
Thus, standard expositions of the canonical axiomatic set theories ZF and ZFC do not mention urelements. (For an exception, see Suppes.[3])
Axiomatizations of set theory that do invoke urelements include Kripke?Platek set theory with urelements, and the variant of Von Neumann?Bernays?Godel set theory described by Mendelson.[4]
In type theory, an object of type 0 can be called an urelement; hence the name "atom."
つづく
129:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 23:23:14.89 Ct8Lh9wH.net
>>119
つづき
Adding urelements to the system New Foundations (NF) to produce NFU has surprising consequences.
In particular, Jensen proved[5] the consistency of NFU relative to Peano arithmetic; meanwhile, the consistency of NF relative to anything remains an open problem, pending verification of Holmes's proof of its consistency relative to ZF.
Moreover, NFU remains relatively consistent when augmented with an axiom of infinity and the axiom of choice.
Meanwhile, the negation of the axiom of choice is, curiously, an NF theorem. Holmes (1998) takes these facts as evidence that NFU is a more successful foundation for mathematics than NF.
Holmes further argues that set theory is more natural with than without urelements, since we may take as urelements the objects of any theory or of the physical universe.[6]
In finitist set theory, urelements are mapped to the lowest-level components of the target phenomenon, such as atomic constituents of a physical object or members of an organisation.
(引用終り)
以上
130:１３２人目の素数さん
19/09/13 23:32:51.08 QEVZazxA.net
>>118
＞フォン・ノイマン宇宙Vの中に、"推移的"ではない、つまり、反例があるとね
お前、アホだろｗ
フォン・ノイマン宇宙Vが推移的であるからといって
Vの任意の要素である集合が推移的だとはいえない
一番簡単な例{{{}}}を示してやっただろｗ
{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}} だが、￢（{}∈{{{}}})
これが理解できないようじゃ、数学は絶対無理だから諦めろｗ
＞おサルの集合論は、面白いな
全然面白くないよ
俺が挙げた反例なんか、
例えば阪大理学部数学科の1年坊主でも
三秒以内に思いつくねｗ
131:１３２人目の素数さん
19/09/13 23:34:19.86 QEVZazxA.net
>>118
＞順序数は遺伝的に推移的な集合として定義される
しかし一般の集合は順序数どころか推移的集合でもないものがあるｗ
一番簡単な例{{{}}}を示してやっただろｗ
{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}} だが、￢（{}∈{{{}}})
これが理解できないようじゃ、数学は絶対無理だから諦めろｗ
132:１３２人目の素数さん
19/09/13 23:39:05.12 QEVZazxA.net
ああ、そうそう
フォン・ノイマン宇宙 Vや 構成可能宇宙 L は
遺伝的に推移的なクラスではない
（順序数全体のクラスOnは遺伝的に推移的なクラス）
133:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 23:39:13.97 Ct8Lh9wH.net
>>118 追加
まあ、ご参考
・フォン・ノイマン宇宙「整礎的集合から得られたでかい領域」
・構成可能宇宙「人間に扱える有限モデルに行き着く領域」
134:下記でも，見て下さい （参考） https://www.practmath.com/universe/ 実用的な数学を 2019年4月26日 投稿者: TAKAN 宇宙 Universe (抜粋) 目次 ・議論領域「宇宙の本質に当たる概念で、より広い意味」 ・グロタンディーク宇宙「集合論で作れる最大の大きさ」 ・フォン・ノイマン宇宙「整礎的集合から得られたでかい領域」 ・構成可能宇宙「人間に扱える有限モデルに行き着く領域」 フォン・ノイマン宇宙 Von Neumann || 直観でわかるものを全部集めてみました これは『順序数』基準で作られた「宇宙」になります。 『順序数』由来なんで、かなり直観に近いです。 「順序数」で作られてるんで、 作られ方は基本的に『順序数』と一緒です。 初期値はいつもの『空集合』。 V_0=Φ 『順序数』由来なんで『宇宙 V 』はクラスになります。 それも「真のクラス」です。集合じゃありません。 ただ、その要素になる『 V_α 』は集合です。 定義自体が『整礎的集合』なんで、ちゃんと中身が全部わかります。 構成可能宇宙 Costructible || 人間が扱えるものだけ集めてみました 恐らく考え得る限り『最小の宇宙』がこれ。 基本は↑の「フォン・ノイマン宇宙」と同じで、 2 番目の「後者」の規則に条件が加わっています。 その制約の本質が『人間に扱えるように』という感じ。 『後者』について「フォン・ノイマン宇宙」と違う点は、 略 これでどうして人間に扱える程度になるかは、別記事で。 ちょっとどころじゃない長さになるので小分けになるかと。 雰囲気だけ伝えるとするなら、 濃度が決まってるものの内側に納まってる上で、 更には『有限』の長さで定義できることが確定している、みたいな。 （レーヴェンハイム・スコーレムの定理などが理由） だから、人間に扱える程度の大きさになっている、みたいな感じ。 いわゆる「帰納的に定義できる」とか、そんなです。 通例では、『構成可能宇宙』は「 L 」と表されます。
135:１３２人目の素数さん
19/09/13 23:41:35.18 QEVZazxA.net
>>124
自分自身理解できない文章コピペして誤魔化さずに
{{{}}}が推移的でない集合であることを理解しようね
アホのニワトリ君ｗｗｗｗｗｗｗ
136:１３２人目の素数さん
19/09/13 23:46:16.98 QEVZazxA.net
{{{}}}は推移的でないから
{{}}∈{{{}}}だが、￢（{{}}⊂{{{}}}）である
ここまで簡単な例でニワトリの馬鹿主張を
木端微塵に打ち砕けるのは実にキモチがイイｗ
137:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 00:12:55.76 QdZ5TU5n.net
>>124 追加
過去スレで、矢田部俊介先生の「公理論的集合論（情報科学特別講義 III）」も取り上げた記憶があるね～（＾＾
おもしろいね～ｗ
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
矢田部俊介
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
資料公開
タイトル 公理論的集合論
カテゴリ 講義資料
概要 お茶の水女子大学2012年度集中講義「情報科学特別講義III」（2013年2月18日?22日）授業要旨
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
公理論的集合論（情報科学特別講義 III）
矢田部俊介 ?
2013 年 2 月 17 日
? 京都大学文学部大学院文学研究科
Ｐ21
4.4 推移的モデルとモストウスキ崩壊
集合論のモデルを扱う場合、一口にモデルと言ってもいろいろなモデルがある。多くの場合、モデルが ∈ に
関し推移的である（x ∈ y ∈ M ならば x ∈ M）であると証明が楽である。しかし、そうである保証はない。
例えば、集合が urelements を含んでいる場合を考えよう。u が urelemant であるとは、u 自身は集合では
ないが、他の集合は u を含むことができるもののことをいう。例えば、{u} は集合となる。この urelement は
いかなる集合も元として
138:含まないため、空集合のようなものであるが、空集合ではない。また、集合ではない ため、u 自身は集合として集合論の宇宙に含まれることはない。 しかし、このような推移的でないモデルが与えられたとき、モストウスキ崩壊 と呼ばれる方法により、モデ ルがある条件を満たせば、それと同等だが推移的なモデルを構成する方法がある。本節ではそれを紹介する。 まず、そのために用語を紹介しよう。以後、A を集合もしくはクラスとする。これから、A 上の関係 R を考 え、<A, R> が推移的でないような ZFC のモデルであるとき、それに同型だが推移的なモデルを構成する事を 目標とする。 定理 4.27 (モストウスキ崩壊定理) A 上の関係 R を、整礎で、集合もどきで外延的だと仮定する。このとき、 推移的なクラス M と、単射な同型写像 G : <A, R> → <M,∈> を定義することができる。また、M は一意に 定まる。
139:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 00:14:50.30 QdZ5TU5n.net
>>125-126
フォン・ノイマン宇宙Vの中に、"推移的"ではない、つまり、反例があるとね
笑えるわｗ（＾＾；
140:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 00:32:12.71 QdZ5TU5n.net
>>127 追加
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
公理論的集合論（情報科学特別講義 III）お茶の水女子大学2012年度集中講義「情報科学特別講義III」（2013年2月18日?22日）授業要旨
矢田部俊介 京都大学文学部大学院文学研究科
2013 年 2 月 17 日
(抜粋)
P4
2.2.1 順序数とブラリ・フォルティのパラドックス
定義 2.8 (順序数) x が順序数であるとは、x 上で ∈ は以下の条件を満たす
? 推移的である：(∀y, z)[z ∈ y ∧ y ∈ x → z ∈ x],
? 整列順序をなしている：(∀y ⊆ x)(∃z)(∀p)[z ∈ y ∧ (p ∈ y → p not∈ z)]
（任意の x の部分集合 y には、∈ に関する最小元が存在する）。
つまり、順序数とは以上の二つの条件を満たす集合のことである。
しかし、そんな条件を満たす集合が本当に
構成できるのだろうか。
その具体的な形成方法は、有名なフォン・ノイマンによる定義である。
141:１３２人目の素数さん
19/09/14 07:22:29.04 VYIPOabR.net
>>128
笑われてるのはニワトリのほう
反例 {{{}}}
証明 {}∈{{}} {{}}∈{{{}}} しかし {}∈{{{}}}でない
したがって {{}}⊂{{{}}}
矢田部氏はツイッターやってるから
直接聞いてみ？
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
「推移的でない集合なんてないですよね？」って
速攻で否定されるからｗ
(deleted an unsolicited ad)
142:１３２人目の素数さん
19/09/14 07:27:46.93 VYIPOabR.net
>>129
ニワトリ 全然わかってないね
順序数は存在するよ
貴様は「順序数でない集合は存在しない」とわめきちらしてるから
実にわかりやすい反例を示してやった
なんならツイッターで聞いてみろってｗ
くるる氏とか集合論の研究者だから
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
143:１３２人目の素数さん
19/09/14 07:42:09.51 VYIPOabR.net
>>30
＞”元x も一つの集合だと考える”とすると、x ∈ y → x ⊂ y だろうと
＞しかし、ZFC公理系から導けると思って、トライしたが、残念ながらできなかった（＾＾；
＞（そういう文典も探したが、見つけられなかった）
ZFCから導けるわけないｗ
反例{{{}}}が存在するからｗｗｗ
＞しかし、我々の通常接する素朴集合論に近い議論では、
＞”x ∈ y → x ⊂ y ”を認めた方が良いという結論に至った
馬鹿丸出し
素朴集合論でも{{{}}}は集合
つまり、ニワトリは根本的に間違ってるｗｗｗ
ニワトリは死んだ！！！
貴様には数学は到底無理だからもう数学板に書くな 馬鹿めｗ
144:１３２人目の素数さん
19/09/14 07:44:02.93 VYIPOabR.net
ニワトリ、集合論研究者にツイッターで尋ねて爆死の図
ニワトリ「ZFCで”x ∈ y → x ⊂ y”は証明できますよね？」
研究者 「アホか！反例があるわい！」
145:１３２人目の素数さん
19/09/14 08:29:49.82 igft4myA.net
サルは５ちゃんやめて近所の中学生に教えてもらえ
これ以上バカ晒すな
146:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 11:27:28.89 QdZ5TU5n.net
>>130
(引用開始)
反例 {{{}}}
証明 {}∈{{}} {{}}∈{{{}}} しかし {}∈{{{}}}でない
したがって {{}}⊂{{{}}}
(引用終り)
そこの最後は、”￢（{{}}⊂{{{}}}）”の間違いだよねｗ
（あなたの>>12
147:6より） "{{{}}}は推移的でないから {{}}∈{{{}}}だが、￢（{{}}⊂{{{}}}）である" (引用終り) さて、しかし、{{{}}}は、明らかにフォン・ノイマン宇宙Vの中ですよ。おかしいねー？ｗ（＾＾ （証明） ・下記”階層内階層基数 | 巨大数研究”の、「フォン・ノイマン宇宙とはZFCで扱うことが出来る全ての集合を漸増的に定義する真クラスである」を認めるとする ・ZFCで空集合のべきP( Φ )={ Φ }（下記「冪集合」wikipediaより） 簡単にP( Φ )={}と記す ・これから、ZFCの 対の公理と和集合の公理とを使って、{Φ∪{Φ∪{Φ∪{}} } }＝{{{}}}と構成できて、ZFC内。即ち、フォン・ノイマン宇宙V内 ・{{{}}}は推移的でないとすると、フォン・ノイマン宇宙V内に、推移的でない集合が存在することになる ・これは、推移的集合（wikipedia）の例 「フォン・ノイマン宇宙 Vや 構成可能宇宙 L の構成の際に現れる Vα や Lαといった全ての階層も推移的集合である。 宇宙 L と V もそれ自体推移的クラスである。」の記述に反する QED （＾＾ 明らかに、おサルの集合論と、ヒトの集合論は異なるなぁ～ｗ（＾＾； つづく
148:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 11:27:47.53 QdZ5TU5n.net
>>135
つづき
URLﾘﾝｸ(googology.wikia.org)
階層内階層基数 | 巨大数研究 Wiki | FANDOM powered by Wikia
(抜粋)
フォン・ノイマン宇宙
フォン・ノイマン宇宙とはZFCで扱うことが出来る全ての集合を漸増的に定義する真クラスである。
それは集合ではないが、「全ての集合の集合」とみなすことができる。
それは累積階層という、次のように定まる超限列により定義される:
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
冪集合
(抜粋)
冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。
集合と呼ぶべき対象を公理的に構成的に与える公理的集合論では、集合から作った冪集合が集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしば提示する。
定義
集合 S が与えられたとき、S のどの部分集合をも元とする集合
P(S):={A： a set ｜ A ⊆ S}
を S の冪集合と呼ぶ。
例えば
・P( Φ )={ Φ }
・P({a})={ Φ ,{a}}
などとなる。空集合の冪集合は空集合を唯一つの元として持つ一元集合であり、空集合とは別のものである。
つづく
149:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 11:28:07.67 QdZ5TU5n.net
>>136
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理的集合論
(抜粋)
集合の公理系
現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。
・対の公理 任意の要素 x, y に対して、x と y のみを要素とする集合が存在する：
これを{x,y}で表す。
・和集合の公理 任意の集合 X に対して、X の要素の要素全体からなる集合が存在する：
(>>118)
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
推移的集合
(抜粋)
集合論において、集合 Aが推移的であるとは、
・x ∈ Aかつy ∈ x、ならばy ∈ A もしくは、同じ意味であるが
・x ∈ AかつxがurelementでないならxはAの部分集合である。
ということ。
同様にクラスMが推移的であるとは、Mの要素は全てMの部分集合であることをいう。
例
ジョン・フォン・ノイマンによる順序数の定義を用いると、順序数は遺伝的に推移的な集合として定義される
すなわち、順序数は推移的集合でその要素も全て推移的で(よって順序数でも)ある。
フォン・ノイマン宇宙 Vや 構成可能宇宙 L の構成の際に現れる Vα や Lαといった全ての階層も推移的集合である。
宇宙 L と V もそれ自体推移的クラスである。
つづく
150:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 11:28:48.65 QdZ5TU5n.net
>>137
つづき
以下、余談だがご参考まで（＾＾；
(>>67)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フォン・ノイマン宇宙
(抜粋)
定義
この累積的階層は順序数のクラスによって添え字付けられた集合Vαの集まりであり、特に、Vαは階数α未満の集合全てによる集合である。ゆえに各順序数 α に対して集合Vαが超限帰納法によって以下のように定義できる:
・V0は空集合, {}とする。
・各順序数 βに対して、Vβ+1はVβの冪集合とする。
・各極限順序数 λに対して、Vλは、次の和集合とする
この定義で重要なのは、ZFCのある式φ(α,x)で "集合xはVαに属する" ことを定義できることである。
クラスVは全てのV-階層の和、すなわち:
略
と定義される。
同じ定義だが、各αの階層を
略
と定義できる、ここで P(X)はXの冪集合のことである。
集合Sの階数はS ⊆ Vαとなる最小のαとも言える。
Vと集合論
ω を自然数全体の集合とすると、Vωは遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理の成り立たない集合論モデルである。Vω+ωはordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロの集合論のモデルである。
κ が到達不能基数ならば、VκはZFCのモデルである。そして、Vκ+1はモース-ケリー集合論のモデルである。
V は二つの理由によって、"全ての集合による集合"とは異なるものである。第一に、これは集合ではない。各階層Vαがそれぞれ集合でも、その和であるVは真のクラスであるからだ。第二に、Vの要素は全て整礎集合に限られている。
正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合がVに属する。
しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。
このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。
つづく
151:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 11:29:17.40 QdZ5TU5n.net
>>138
つづき
(>>92-93)
URLﾘﾝｸ(lemniscus.hatenablo)<)
公理論的集合論（情報科学特別講義 III） 矢田部俊介 2013 年 2 月 17 日 京都大学文学部大学院文学研究科
Ｐ21
4.4 推移的モデルとモストウスキ崩壊
集合論のモデルを扱う場合、一口にモデルと言ってもいろいろなモデルがある。多くの場合、モデルが ∈ に
関し推移的である（x ∈ y ∈ M ならば x ∈ M）であると証明が楽である。
(引用終り)
以上
152:１３２人目の素数さん
19/09/14 11:32:36.51 VYIPOabR.net
フォン・ノイマン宇宙
集合Xに対してP(X)でXのべき集合を表す
V0={}
V1=P(V0)={{}}
V2=P(V1)={{},{{}}}
V3=P(V2)={{},{{}},{{{}}},{{},{{}}}}
推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる
153:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 11:33:57.82 QdZ5TU5n.net
>>139 タイポ訂正
またこの空集合を元にして、{Φ},{{Φ,{{{Φ},{{{{Φ,…とか{Φ,{Φ,{Φ,{Φ},{{Φ},{Φ,{Φ},{{Φ,{{{Φ,…といった集合も存在していてほしい。
↓
またこの空集合を元にして、{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}},{{{{Φ}}}},…とか{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{{Φ}}},{Φ,{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}}},…といった集合も存在していてほしい。
（全部置換で ”}}→消し” の操作をやったら、影響が思わぬ所に出た（＾＾； ）
154:１３２人目の素数さん
19/09/14 11:36:31.49 VYIPOabR.net
>>138
>Vの要素は全て整礎集合
「整礎集合は全て推移的集合」と誤解する馬鹿ｗｗｗ
155:１３２人目の素数さん
19/09/14 11:39:58.03 VYIPOabR.net
>>140
Vαはそれ自身は推移的だが、その要素の集合は推移的でない
（Vαは順序数ではないから）
推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる
156:１３２人目の素数さん
19/09/14 11:40:56.67 VYIPOabR.net
ニワトリ、V3で敗北ｗｗｗ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
157:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 11:53:20.66 QdZ5TU5n.net
>>140
>推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる
それおサルの集合論でしょ？ｗ（＾＾；
Φ∈{}∈{{}}∈{{{}}}
だよね
だから、∈順序の推移律より、{}∈{{{}}が成立して、{{}}の要素{}が{{{}}の要素でもあるので、
「 {{}}⊂{{{}}}成立」！！ｗ
よって、集合{{{}}}は推移的です
あなたの主張は、>>139 の 「再帰の反復blog 2012-06-16 反復的集合観と公理的集合論」の
「整礎原理」を否定しているよな！！ｗ（＾＾；
それって、ヒトの集合論とは異なるなぁ～ｗ（＾＾；
（>>139より再録）
URLﾘﾝｸ(lemniscus.hatenablo)ｇ.com/entry/20120616/1339838683#sec6-7
再帰の反復blog
2012-06-16
反復的集合観と公理的集合論
(抜粋)
整礎原理
自分自身を含んでいたり包含関係が循環することがないため、「∈」について順序関係が成立することになる。
つまり包含関係「∈」に基づく「より単純な集合」←→「より複雑な集合」という相対的な位置づけを与えることができる。しかも包含関係「∈」を内側にたどっていくと必ずどこかで終わるので、「より単純な集合」←→「より複雑な集合」のうち、「より単純な集合」の方向はどこかで終点に至る。
整礎原理の成り立つ集合世界では、もっとも単純な集合から始まってだんだん複雑な集合に向かっていくという整然とした秩序が存在する
(この秩序は集合の要素数の大小関係とは異なる。たとえば0∈N∈{N})。
もっとも単純な集合は、要素を何も含まない空集合Φである。空集合Φはもちろん存在してほしい。
またこの空集合を元にして、{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}},{{{{Φ}}}},…とか{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{{Φ}}},{Φ,{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}}},…といった集合も存在していてほしい。
(引用終り)
158:１３２人目の素数さん
19/09/14 12:15:25.10 VYIPOabR.net
>>145
>>推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる
>それおサルの集合論でしょ？
いいや、ニワトリが引用した文章にもある
Vαの定義にしたがって構築している
V0={}
V1=P(V0)={{}}
V2=P(V1)={{},{{}}}
V3=P(V2)={{},{{}},{{{}}},{{},{{}}}}
>Φ∈{}∈{{}}∈{{{}}}
>だよね
いきなり間違ってるねｗ
Φ={}だから Φ(={})∈{}ではない
{}∈{{}}∈{{{}}} は
{}∈{{}} かつ {{}}∈{{{}}}
の意味であり、それゆえ正しいが
肝心の推移性の要である{}∈{{{}}}は誤り
>だから∈順序の推移律より、{}∈{{{}}}が成立して
ニワトリの嘘公理「∈順序の推移律」は成立しませんｗ
{{{}}}の要素は{{}}のみで、{}は要素ではありませんから
（一番外
159:側の{}を外すと、{{}}しか残らない） >{{}}の要素{}が{{{}}}の要素でもあるので{{}}⊂{{{}}}成立！！ 大嘘ｗｗｗ ニワトリ発狂ｗｗｗｗｗｗｗ >よって、集合{{{}}}は推移的です ニワトリ「∈順序の推移律より集合{{{}}}は推移的です」 俺 「{{{}}}をよく見ろ！一番外側の{}の中は{{}}だけだぞ！ {}なんてない。だから∈順序の推移律は成り立ってない 集合{{{}}}は推移的でない！」 >あなたの主張は、「整礎原理」を否定しているよな！！ｗ（＾＾； いいや 整礎＝推移的、でないから全然否定してないな ニワトリは整礎の定義も理解できない白痴か？ｗ
160:１３２人目の素数さん
19/09/14 12:20:35.88 VYIPOabR.net
次スレのテンプレに記載すべき重要発言
「ニワトリ曰く：{{{}}}は推移的集合
（偽）証明 ∈順序の推移律より、{}∈{{{}}}が成立して{{}}⊂{{{}}}成立」
ｗｗｗ
ニワトリは鳥目だから{{{}}}の一番外側の{}を外した中に
{{}}のほかに{}が見えるらしいｗ （ヒトには見えない）
ニワトリは認知症だな
アルツハイマーかピックかレビー小体型かは知らんがｗ
161:１３２人目の素数さん
19/09/14 12:24:30.16 VYIPOabR.net
雑談スレも77で、ニワトリの馬鹿っぷりの決定的証拠が見つかったなｗ
数学板でも数々の馬鹿を見てきたがここまで酷い馬鹿はお目にかかったことがないｗ
ニワトリの今回の馬鹿発言に比べたら「哀れな素人」の無限否定論なんか全然マシｗ
162:１３２人目の素数さん
19/09/14 13:07:59.00 igft4myA.net
だから言ってるだろ
サルは５ちゃんやめろと、近所の中学生に数学を教えてもらえと
人の言うこと聞かないからこうなる
バカ晒して楽しいか？
163:１３２人目の素数さん
19/09/14 13:42:47.85 igft4myA.net
>>82で間違いを認めておけば深手にならずに済んだのに
これが本当の猿知恵ｗ
164:１３２人目の素数さん
19/09/14 15:41:19.19 VYIPOabR.net
>>150
ニワトリ 破滅への道 Ⅰ
>> ニワトリの発言
＞ 他者の発言
１．ニワトリ 調子にのって口がすべるｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:835番)
>>あなたには、Ω ⊂ R^Nと書いた方が分り易かったですか？ｗ
２．あまりの馬鹿発言なので、当然つっこまれるｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:842番)
＞Ω ⊂ R^N と Ω ∈ R^N はまったく別ものである
３．ニワトリ 誤りに気付かず決定的自爆発言ｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:845番)
>>「まったく別もの」ではない
>>簡単に書くと
>>１）二つの集合A,Bで、A ∈ B → A ⊂ B
>>２）二つの集合A,Bで、A ⊂ B → A ∈ B
>>３）”A ∈ B → A ⊂ B” ＆ ”A ⊂ B → A ∈ B”が成立つから、
二つは同値
４．速攻で１）の反例提示されるｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:849番)
＞反例：A={0},B={{0}} A∈B だが、A⊂B ではない
＞∵集合Aの元0は、集合Bの元ではない。
５．ニワトリ １）の反例が理解できず 見当違いな反応ｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:852番)
>>それ、なんか、勘違いしていますよ（＾＾；
>>下記の（部分集合の）定義を再確認してください
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:853番)
>>元0は、空集合でしょｗ（＾＾；
>>全ての集合は空集合を部分集合として含む
165:１３２人目の素数さん
19/09/14 15:42:40.32 VYIPOabR.net
>>150
ニワトリ 破滅への道 Ⅰ
>> ニワトリの発言
＞ 他者の発言
６．さらに２）の反例も指摘され、ボロボロｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:858番)
>>２）二つの集合A,Bで、A ⊂ B → A ∈ B
＞反例：A=B={1} A⊂B だが、A∈B ではない
＞∵集合Bに{1}という元は属していない。
７．ニワトリ なぜか２）の誤りはあっさり認めるも １）は諦めずｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:865番)
>>確かに正則性公理を採用しているからｘ not∈ xだな
>>だから、２）は、不成立
>>（反例としては、A ⊂ Ａ → A not∈ A だな）
>>だから、”同値”も撤回する
>>但し、”「まったく別もの」ではない”は、正しい（＾＾
８．２）の否定の仕方が見当違いな点まで突っ込まれるｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:873番)
＞正則性公理を持ち出すまでもなく間違いである
166:１３２人目の素数さん
19/09/14 16:01:13.98 VYIPOabR.net
>>150-152
ニワトリ 破滅への道 Ⅱ
>> ニワトリの発言
＞ 他者の発言
１．現スレで、前スレ845の自爆発言を蒸し返されるｗ >>10-11
�
167:Q．さらに、別の人に１）２）を再度否定されるｗｗ >>21 ３．ニワトリ、２）については前スレ865で撤回したというも １）については言い張り続ける再自爆発言ｗｗｗ >>30 >>うん、それね、おれ間違っているね（＾＾； >>まず、上記２）は、正則性公理から反例 ｘ not∈ x >>（x ⊂ xであるにも関わらす）が出るから間違い >>（それ以外にも、反例はあるな。後述） >>では、上記１）は、どうだろうか？ >>公理的集合論 >>「x ∈ y の直観的な意味は，もちろん元x が集合y に属することであるが， >> x も一つの集合だと考える．」 >> ”元x も一つの集合だと考える”とすると、x ∈ y → x ⊂ y だろうと >> しかし、ZFC公理系から導けると思って、トライしたが、残念ながらできなかった（＾＾； >>（そういう文典も探したが、見つけられなかった） >> しかし、我々の通常接する素朴集合論に近い議論では、 >> ”x ∈ y → x ⊂ y ”を認めた方が良いという結論に至った ４．すかさずトンチンカン発言をつっこまれるｗ >>46 >>∈－順序が成立つ場合は、”x ∈ y → x ⊂ y ”成立 ＞「∈ がその上で整列順序になる集合」って順序数だろ ＞いつどこで誰が「一般の集合が順序数になる」と証明したんだ？
168:１３２人目の素数さん
19/09/14 16:14:55.86 VYIPOabR.net
>>153
ニワトリ 破滅への道 Ⅱ
>> ニワトリの発言
＞ 他者の発言
３． ニワトリ 前スレ845の１）について見当違いな理由による正当化発言ｗ >>30-31
（１） まず順序数について成り立つことを述べる （正しいのはここだけｗ）
>>１）二つの集合A,Bで、A ∈ B → A ⊂ B
>>「基本的な考え方は，∈ がその上で整列順序になる集合たちのクラスを
>>上手に定義して，それに属する集合を順序数として定義すること」
>>（要するに、∈－順序な）
>>∈－順序は、推移的なので、xの任意の元 u ∈ x が成立つと、x ∈ y → u ∈ ｙ成立（∵推移性より）
>>だから、この場合は”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
（２） で、ここでなぜか一般の集合も順序数だといいはるトンデモ発言ｗ
>>で、我々が通常扱う集合は、超限帰納法も適用可の場合が多く、∈－順序が成立つとして良い
>> ∈－順序が成立つ場合は、”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
>>36
>>∈－順序を認めないと、超限帰納法が適用困難になる
（３） さらにベン図を持ち出す醜態
>>なお、”x ∈ y → x ⊂ y ”を認めないと、素朴集合論のベン図に反例が出る
>>つまり、x ∈ yであるにも関わらず、xのある元 u ∈ x で、
>>u not∈ y となると、素朴集合論のベン図が描けないｗ（＾＾；
>>（∈－順序を仮定しないとどうなるか？ 上記のように、分からんかった（＾＾；
>>36
>>現実の我々が日常接する集合（大学学部レベルで（それ以上は知らず））は、
>>∈－順序を認めて、素朴集合論のベン図が描けるものに限定して、良いのではないだろうか？（＾＾
４．すかさずトンチンカン発言をつっこまれるｗ >>46
>>∈－順序が成立つ場合は、”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
＞「∈ がその上で整列順序になる集合」って順序数だろ
＞いつどこで誰が「一般の集合が順序数になる」と証明したんだ？
169:１３２人目の素数さん
19/09/14 16:22:56.72 VYIPOabR.net
>>154
ニワトリ 破滅への道 Ⅱ
>> ニワトリの発言
＞ 他者の発言
５． ニワトリ、完全に集合＝順序数、と誤解するトンデモぶりｗ >>81
>>・∈－順序は、公理的集合論ＺＦＣの目玉の重要キーワードでしょ？
>> これで、帰納法及び超限帰納法が可能になるんだ
>>・フォン・ノイマン宇宙（>>67）も、重要キーワードでしょ？
>> フォン・ノイマン宇宙では、∈－順序が成り立ち、∈が推移律を保つ
>>・推移律：x∈y∈z で、ここでｘはｙの任意の元として、
>> ｘに対し∀x∈zが成立→即y⊂z成立 かつ x⊂z成立
６． トンデモ発言をいちいち否定される >>84
＞フォン・ノイマン宇宙自体は推移的であっても
＞フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけではない
＞もしフォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なら
＞フォン・ノイマン宇宙は順序数の全体ということになるが
＞そんな馬鹿なことはもちろんないｗ
＞例えば{{{}}}は明らかに集合であることが証明できるが
＞これは推移的ではないｗ
＞{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} しかし ￢({}∈{{{}}})
170:１３２人目の素数さん
19/09/14 16:31:42.70 VYIPOabR.net
>>153-154
ニワトリ 破滅への道 Ⅱ
>> ニワトリの発言
＞ 他者の発言
５． ニワトリ、公理でもなんでもない∈順序の推移律を乱用して
集合論の定理を否定するトンデモモンスターになり果てるｗ >>145
＞推移的でない集合{{{}}}
>>それおサルの集合論でしょ？ｗ（＾＾；
>>{}∈{{}}∈{{{}}}だよね
>>だから、∈順序の推移律より、{}∈{{{}}が成立して、
>>{{}}の要素{}が{{{}}の要素でもあるので、「 {{}}⊂{{{}}}成立」！！ｗ
>>よって、集合{{{}}}は推移的です
６．ニワトリのトンデモ発言に対する決定的反論
ニワトリ丸焼きで死すｗ >>146
＞{}∈{{}}∈{{{}}} は
＞{}∈{{}} かつ {{}}∈{{{}}}の意味であり、
＞それゆえ正しいが
＞肝心の推移性の要である{}∈{{{}}}は誤
＞ニワトリの嘘公理「∈順序の推移律」は成立しませんｗ
＞{{{}}}の要素は{{}}のみで、{}は要素ではありませんから
＞（一番外側の{}を外すと、{{}}しか残らない）
>>あなたの主張は、「整礎原理」を否定しているよな！！ｗ（＾＾；
＞いいや 整礎＝推移的、でないから全然否定してないな
171:１３２人目の素数さん
19/09/14 16:33:59.88 VYIPOabR.net
>>153-155 ニワトリ 破滅への道 Ⅱ >> ニワトリの発言 ＞ 他者の発言 ７． ニワトリ、公理でもなんでもない∈順序の推移律を乱用して 集合論の定理を否定するトンデモモンスターになり果てるｗ >>145 ＞推移的でない集合{{{}}} >>それおサルの集合論でしょ？ｗ（＾＾； >>{}∈{{}}∈{{{}}}だよね >>だから、∈順序の推移律より、{}∈{{{}}が成立して、 >>{{}}の要素{}が{{{}}の要素でもあるので、「 {{}}⊂{{{}}}成立」！！ｗ >>よって、集合{{{}}}は推移的です ８．ニワトリのトンデモ発言に対する決定的反論 ニワトリ丸焼きで死すｗ >>146 ＞{}∈{{}}∈{{{}}} は ＞{}∈{{}} かつ {{}}∈{{{}}}の意味であり、 ＞それゆえ正しいが ＞肝心の推移性の要である{}∈{{{}}}は誤 ＞ニワトリの嘘公理「∈順序の推移律」は成立しませんｗ ＞{{{}}}の要素は{{}}のみで、{}は要素ではありませんから ＞（一番外側の{}を外すと、{{}}しか残らない） >>あなたの主張は、「整礎原理」を否定しているよな！！ｗ（＾＾； ＞いいや 整礎＝推移的、でないから全然否定してないな
173:１３２人目の素数さん
19/09/14 16:42:11.94 VYIPOabR.net
ニワトリがトンデモになりさがった原因の分析
１）そもそも∈（所属）と⊂（包含）の違いが分かってない
「ベン図」発言からも分かるように、
∈（所属）も⊂（包含）と「同様」だ
と思い込んでる
２）わけもわからずかき集めた無駄な知識を自分勝手に解釈
整礎の意味を理解せず、勝手に推移性が成り立つと誤解
しかも「選択公理により整列定理が成り立つ」とかいう
聞きかじりの知識から、
「どんな集合も∈による整列順序が存在する！」（つまり順序数）
とトンデモの極みともいえる大誤解
基本的な勉強を怠って誤解
さらに無駄な知識を聞きかじる安直な態度で誤解が重症化
もっとも始末の悪い「知の変質者」の出来上がりｗ
174:１３２人目の素数さん
19/09/14 16:48:15.43 VYIPOabR.net
トンデモモンスター ここに眠る
「{}∈{{}}∈{{{}}}だから、∈順序の推移律より、{}∈{{{}}が成立！
{{}}の要素{}が{{{}}の要素でもあるので、{{}}⊂{{{}}}成立！！
よって、集合{{{}}}は推移的」
175:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 21:44:00.09 QdZ5TU5n.net
おサル、踊ってくれて、ありがとう ｂｙ サル回しのスレ主（＾＾
176:１３２人目の素数さん
19/09/14 22:28:03.41 VYIPOabR.net
>>160
ニワトリ 反省する謙虚さゼロ
クソだな 死ねよ
177:１３２人目の素数さん
19/09/14 22:29:00.46 VYIPOabR.net
ニワトリの馬鹿発言
「{}∈{{}}∈{{{}}}だから、∈順序の推移律より、{}∈{{{}}が成立！」
死ねよ 白痴
178:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 22:33:45.40 QdZ5TU5n.net
>>140 >>142-143
(引用開始)
フォン・ノイマン宇宙
集合Xに対してP(X)でXのべき集合を表す
V0={}
V1=P(V0)={{}}
V2=P(V1)={{},{{}}}
V3=P(V2)={{},{{}},{{{}}},{{},{{}}}}
推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる
Vαはそれ自身は推移的だが、その要素の集合は推移的でない
（Vαは順序数ではないから）
推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる
(引用終り)
おサルの集合論：（素朴集合論に似ているが）
・推移的：下記の”自然数wikipedia”の構成の前者のみ（有限順序数の構成）が、∈-関係で、推移的だという
・フォンノイマン宇宙に反例がある：下記の”自然数wikipedia”の構成の後者の構成 3 := {2} = {{{{}}}}などは推移的ではないという
ヒトの集合論：（下記、公理的集合論の基礎 酒井 拓史 神戸大学 2019 年 数学基礎論サマースクールより）
・公理的集合論
・集合論の言語L∈： 非論理記号は二項関係記号∈ のみ
・遺伝的集合： 要素もそのまた要素もすべて集合である集合
・遺伝的集合を単に集合と呼ぶ
・整礎的関係二項関係：基礎公理により，すべての集合X に対して，「∈｜ X := {?x; y? ∈ X × X | x ∈ y}はX 上の整礎的な二項関係」
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
(抜粋)
それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である。
このように定義された集合 n は丁度（通常の意味で）n 個の元を含むことになる。
また、これは有限順序数の構成であり、（通常の意味で）n <= m が成り立つことと n が m の部分集合であることは同値である。
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)
つづく
179:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 22:34:20.92 QdZ5TU5n.net
>>163
つづき
URLﾘﾝｸ(www.sci.shizuoka.ac.jp) 数学基礎論サマースクール 選択公理と連続体仮説
URLﾘﾝｸ(www.sci.shizuoka.ac.jp)
公理的集合論の基礎 酒井 拓史 神戸大学 2019 年 数学基礎論サマースクール
(抜粋)
P3
公理的集合論の枠組み
公理的集合論は述語論理の枠組みのもとで展開される．
・集合論の言語L∈： 非論理記号は二項関係記号∈ のみ
・集合論の公理系： ZF やZFC など
・公理的集合論の考察対象：
遺伝的集合の集まりとそれら間の要素関係（∈-関係）
● 遺伝的集合： 要素もそのまた要素もすべて集合である集合
例：
180: Φ，{Φ}，{Φ, {Φ, {Φ}}} ● 変数記号は遺伝的集合を指し，量化子のスコープは遺伝的集合全体． ● 自然数・実数・関数・位相空間など，数学諸概念が遺伝的集合を用いて表現 （コード）され，様々な数学が公理的集合論の枠組みの中で展開される． ● 遺伝的集合を単に集合と呼ぶ． P17 整礎的関係 R を集合X 上の二項関係とする． 基礎公理により，すべての集合X に対して， ∈｜ X := {?x; y? ∈ X × X | x ∈ y} はX 上の整礎的な二項関係． (引用終り) 以上
181:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 22:37:46.37 QdZ5TU5n.net
>>164 文字化け訂正
∈｜ X := {?x; y? ∈ X × X | x ∈ y}
↓
∈｜ X := {(x; y?)∈ X × X | x ∈ y}
なお
（再度強調：「基礎公理により，すべての集合X に対して」ですよ（＾＾； ）
整礎的関係
R を集合X 上の二項関係とする．
基礎公理により，すべての集合X に対して，
∈｜ X := {(x; y?)∈ X × X | x ∈ y}
はX 上の整礎的な二項関係．
(引用終り)
182:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 22:39:22.15 QdZ5TU5n.net
>>165
>基礎公理により，すべての集合X に対して
ああ、また文字化けしたか
まあ、原文PDF URLﾘﾝｸ(www.sci.shizuoka.ac.jp)
公理的集合論の基礎 酒井 拓史 神戸大学 2019 年 数学基礎論サマースクール
見て下さい
よほどその方が見やすい（＾＾；
183:１３２人目の素数さん
19/09/14 22:40:56.83 VYIPOabR.net
>>163-165
いくら書いても
{}∈{{{}}}
なんて正当化できませんから
残念！！！
184:１３２人目の素数さん
19/09/14 22:42:06.98 VYIPOabR.net
ニワトリ集合論ｗ
{}∈{{{}}}
ギャハハハハハハｗｗｗｗｗｗｗ
185:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 23:14:12.83 QdZ5TU5n.net
>>163 追加
（下記、藤田先生）
「要素所属関係∈」
とか
「モストフスキの崩壊定理により, 外延性公理の整礎的モデルは推移的集合の∈-構造と同型になる」
とか
公理的集合論では、「要素所属関係∈」は、”ヒトの集合論の肝”ですよ（＾＾；
（参考：藤田 博司先生（＾＾； ）
URLﾘﾝｸ(tenasaku.com)
弱コンパクト基数
藤田 博司
起稿:2009 年 1 月 30 日
脱稿:2009 年 2 月 14 日最終組版日 2010 年 7 月 6 日 (time: 1041)
概要
弱コンパクト基数について勉強したことのまとめです. 新しいオリジナルな結果はありません.
(抜粋)
P19
B が集合論の言語L(∈) あるいはその拡張言語に対応する数学的構造, A が
その部分モデルで, しかも上記の条件(EX) が成立しているならば, B はA の終端拡大(end-extension) で
あるといいます.
定理3.5 k を弱コンパクト基数, A をVk の任意の部分集合とする. このとき, 構造(Vk,∈,A) は整礎的な初等
終端拡大をもつ. とくに, 推移的集合M とその部分集合A' が存在して, k ∈ M, かつ(Vk,∈,A) < (M, ∈,A')
となる.
[証明] 集合論の言語L(∈) に, 集合A をあらわす一項述語記号A と, Vk の各要素x をあらわす定数記号
cx, それと, “新しい順序数” をあらわす定数記号c* を添加した拡張言語L' を考えよう.
M の要素所属関係∈* が整礎的であることは, 次のL'k,k文:
略
が (V,∈) で成立しており, したがって(M, ∈*) でも成立することによってわかる. モストフスキの崩壊定
理により, 外延性公理の整礎的モデルは推移的集合の∈-構造と同型になる. そこで, M は推移的集合, ∈* はホ
ンモノの∈-関係であるとしても一般性は損なわれない. Vk が推移的集合であることから, このとき, x* = x
が成立し, (M, ∈,A') は(Vk,∈,A) の初等拡大モデルとなる.
186:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:28:42.88 VYIPOabR.net
>>169
藤田氏もツイッターやってるから聞いてみな
「∈は推移的だから{}∈{{{}}}ですよね」ってｗ
・・・速攻で否定されるぞｗ
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
187:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:35:36.00 igft4myA.net
{}∈{{{}}} を仮定する。
右辺の元は {{}} のみであるから {}={{}} が成立。
よって、{}={{}}={{{}}}=・・・が成立。※
ところで自然数全体の集合Nを
>以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。
>例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
>0 := {}
>1 := {0} = {{}}
>2 := {1} = {{{}}}
>3 := {2} = {{{{}}}}
>と非常に単純な自然数になる。
188:の方法で構成したとき、N={0,1,2,・・・}={{},{{}},{{{}}},・・・} であるが、 ※から N={{},{},{},・・・}={{}}={} が成立。 サルの主張 {}∈{{{}}} から、N={} が証明された。 サルの数学では自然数は存在しないらしい。
189:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 23:36:04.85 QdZ5TU5n.net
>>169
いまのおサルとニワトリの推移的集合論論争に、参考になりそうなのが
下記の檜山正幸さんの「現場の集合論としての有界素朴集合論」だろうね
おサルには、ちょっと難しいだろうがｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(m-hiyama.hatenablo)ｇ.com/entry/20171024/1508830602
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2017-10-24
現場の集合論としての有界素朴集合論
(抜粋)
内容：
述語論理と集合論
素朴集合論とは何か
アトムと集合
宇宙と銀河
有界素朴集合論
有界素朴集合論の使い途
ZFC公理的集合論（Zermelo?Fraenkel axiomatic set theory with Choice）も一階古典述語論理により記述されていることです。カスタマイズは自然数論よりむしろ簡単で、追加する記号は'∈'だけです。これに幾つかの公理を足して、あとは一階古典述語論理の推論能力を使って定理を証明していくだけです。
素朴集合論とは何か
集合概念が必要な場面では、ZFC公理的集合論が使われているのでしょうか？ -- 使われません。日常的にZFC公理的集合論を使う人なんていない、と言うと言い過ぎだけど、極めて少数です。
我々が日常的に使っている集合論は素朴集合論（naive set theory）です。要するに、直感的でイイカゲンでカジュアルな集合論です。
厳密な定義や公理系を持たない集合論を総称して素朴集合論と呼んでいるので、素朴集合論を定義するのは無理があります。が、素朴集合論を二種類に分けて考えたほうがよさそうです。ひとつはユーザーフレンドリーなZFC集合論、もうひとつは原始集合論です。
この意味の素朴集合論は、直感的かつ安直に使える集合論ですが、頑張ればZFC集合論に“コンパイル”して合理化できます。
もうひとつの原始集合論とは、集合論を学ぶ以前に知っている集合論とでも言えばいいでしょうか。人間が持つ認識能力の一種です。集合論や論理を学ぶ際に、この種の認識能力が事前にないと、そもそも学ぶことが出来ません。原始的な認識能力に僕は興味を持っているのですが、今日はこれ以上、この話はしません。
つづく
190:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 23:36:33.47 QdZ5TU5n.net
>>172
つづき
アトムと集合
以下、素朴集合論とはユーザーフレンドリーなZFC集合論の意味だとします。
素朴集合論には、集合でないモノがあります。例えば、整数3は集合でしょうか？ 普通の感覚では、3は集合ではありません。しかし、ZFC集合論では全てのモノが集合です。もちろん、整数3もZFC集合論における集合です。
要素を持たないモノをアトム（atom; 原子）と呼びます。素朴集合論で、3はアトムです。ZFC集合論では、3はアトムではありません。このギャップを埋める方法は、割とイイカゲンで、いくつかの集合を特定して、それらの集合の要素は「アトムと見なそう」と約束するだけです。
アトムを認めると、何がアトムで何がアトムでないかイチイチ決めなくてはいけないので面倒になります。ですが、我々がプログラミング言語やデータベースの話をするときは、スカラー型、複合データ型、コレクション型のような区別をするので、アトムを認めたほうがよいでしょう。
宇宙と銀河
ZFC集合論の集合の全体からなる集まりをVとしましょう。
我々の日常宇宙Uは、ZFCの宇宙Vに埋め込むことが出来るので、U⊆V です。それだけではなくて、日常宇宙Uは、ZFC宇宙Vの単一の集合とみなせるでしょうから、U∈V と考えていいでしょう。日常宇宙Uは小規模な宇宙で、外側に広がる大宇宙Vのなかでは普通の集合に過ぎないのです。
宇宙Uは銀河を持ち、U内のすべてのモノ（アトムでも集合でも）が、いずれかの銀河内に在るとします。これは、a0∈a1∈... という系列が無限に続くことはなくて、銀河で終端することを意味します。この性質を、∈-系列の有界性と呼び、すべての∈-系列が有界な宇宙を有界宇宙（bounded universe）と呼びましょう。
有界素朴集合論
有界宇宙Uを持つような素朴集合論を有界素朴集合論（bounded naive set theory）と呼ぶことにします。アトムも銀河も許します。そのため、ZFC集合論では認められない（否定が証明できる）次の命題が成立します。
(引用終り)
以上
191:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:40:21.56 VYIPOabR.net
>>172
誤 おサルとニワトリの推移的集合論論争
正 人間様からニワトリへの集合論の初歩の指導
>>171
＞{}∈{{{}}} を仮定する。
＞右辺の元は {{}} のみであるから {}={{}} が成立。
＞よって、{}={{}}={{{}}}=・・・が成立。※
ニワトリのことだから、本気でそう思ってそうｗ
192:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 23:40:41.72 QdZ5TU5n.net
>>171
>{}∈{{{}}} を仮定する。
>右辺の元は {{}} のみであるから {}={{}} が成立。
意味分からん
「{}={{}} が成立」？
その式自身が矛盾だろ？ｗ（＾＾；
193:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:45:56.21 igft4myA.net
>>175
{}∈{{{}}} を仮定すると {}={{}} にならざるを得ないんですよ
それが不満なら仮定 {}∈{{{}}} が偽であることを認めるしかないですね（＾＾
194:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:45:58.91 VYIPOabR.net
>>173-174
勉強嫌いのニワトリは集合をアトムの集まりとしか認識してないだろうなｗ
自然数もアトム 実数もアトム
そのレベルだとそもそも∈の推移性自体が意味をもたないｗ
なぜならx∈Sとしたとき、xは集合でなくアトムだから y∈xなんてことは想定外ｗ
それじゃトンデモになるわけだな
公理的集合論に関する無理解度は
文系も理系（数学科以外）も
大して変わらないｗ
195:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:48:26.53 VYIPOabR.net
>>176
＞{}∈{{{}}} を仮定すると {}={{}} にならざるを得ないんですよ
その通り
{{{}}}の要素は{{}}だけだから
もし{}が要素なら{{}}と同じだ
ということになるｗ
>>175
>意味分からん
ニワトリは自分の主張からトンデモな結論が導かれることにも気づけないｗ