現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77at MATH

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77 - 暇つぶし2ch838:ﾌ写像を求めていいのかサッパリ判らないところが気持ち悪いかもしれない。 8. 原始元の最小多項式と基本定理の証明さらに、もしも次の2つの性質 1)g(x)は重解を持たない。 2)vをどの解vkに置換することも可能である(別に言い方をすると、全てのvkがvの有理式で書ける。体の言葉でいうと、どのvkももとの体に入っている)。ガロアの定義ではこれが成り立っている場合だけを扱っている。が成り立っている場合は群について: 解の置換の総数(群の位数) = g(x)の次数となる。おおざっぱに言えば、1が成り立つのを分離拡大、2が成り立つのを正規拡大、1+2をガロア拡大と呼ぶ。なのでガロア拡大の場合は、・体の拡大次数 = 群の位数が成り立つ。ガロア理論の基本定理は一言で言えばガロア拡大では、体(拡大体の中間体)と群(ガロア群の部分群)が1対1に対応するというもので、それはこの「ガロア拡大では、体の拡大次数=群の位数」を使って証明される。ちゃんと証明するにはいろいろ細かな補足が必要になるけど。 (基本定理における体と群の対応というのは、もう少し詳しくは・体 → 体のどの元(数)も動かさない置換の集まり(群) ・群 → 群のどの元(置換)でも動かない数の集まり(体) がちょうど逆の関係になるというもの。またアルティンの線形代数的な証明では、拡大次数と写像の個数の関係を、単拡大性や多項式の話を使わずに導く) つづく

次ページ

続きを表示

1を表示