19/09/11 14:30:28.79 z0Cctf8f.net
>>37 補足
＞応用
＞ZFの集合モデルは集合状かつ外延的である。
”集合状”かｗ、これ意味わからんと思ったが（＾＾
”Every set model of ZF is set-like and extensional. ”の「set-like」の直訳だね（＾＾；
＜参考引用、該当英文箇所＞ (なお、Applicationも、”応用”より”適用”が適訳かもね。微妙だが)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Mostowski collapse lemma
(抜粋)
Application
Every set model of ZF is set-like and extensional.
If the model is well-founded, then by the Mostowski collapse lemma it is isomorphic to a transitive model of ZF and such a transitive model is unique.
Saying that the membership relation of some model of ZF is well-founded is stronger than saying that the axiom of regularity is true in the model.
There exists a model M (assuming the consistency of ZF) who
40:se domain has a subset A with no R-minimal element, but this set A is not a "set in the model" (A is not in the domain of the model, even though all of its members are). More precisely, for no such set A there exists x in M such that A = R^-1 [x]. So M satisfies the axiom of regularity (it is "internally" well-founded) but it is not well-founded and the collapse lemma does not apply to it. (引用終り) 以上
41:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/11 17:20:09.52 z0Cctf8f.net
>>3の
「哀れな素人さん：古代ギリシャの数理哲学を語る人」
最近見ないと思ったら
こちら（下記）で忙しいのか（＾＾；
おサルが踊らないと スレの勢いが出ないな～ｗ ｂｙ サル回しのスレ主より（＾＾；
（参考）
0.999…＝1か！？無限小数激論スレ★1
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)-
42:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/11 17:45:26.97 z0Cctf8f.net
>>37-38 補足
重箱の隅かも知れないが
良く読むと
和訳
だからMは正則性公理を満たす(内部的には整礎的である)が、
Rは整礎的関係でなく、この崩壊補題も適用できない。
英文
So M satisfies the axiom of regularity (it is "internally" well-founded)
but it is not well-founded and the collapse lemma does not apply to it.
(引用終り)
ここで、
”Rは整礎的関係でなく” vs " it is not well-founded"
なのだが、”it”は、その前の”(it is "internally" well-founded)”
の”it”と同じと解すべきで、”it”はMでしょ
（”There exists a model M (assuming the consistency of ZF) ”）
で、Rは、”whose domain has a subset A with no R-minimal element”だし
「Rは整礎的関係でなく」は、誤訳ですね、きっと
正しくは”Mは整礎的でなく”でしょう
つまり、M自身は、Mostowski collapse lemma （en.wikipedia） URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
の条件
”Statement Suppose that R is a binary relation on a class X such that”（引用していないので原文リンク先ご参照）
を満たしていないから
”the collapse lemma does not apply to it”
ってことでしょ（＾＾；
43:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/11 17:51:54.43 z0Cctf8f.net
>>39 補足
＞おサルが踊らないと スレの勢いが出ないな～ｗ ｂｙ サル回しのスレ主より（＾＾；
おサルたちを、あっちの哀れな素人さん関連の無限小数激論スレへ取られたという意味ね（＾＾
哀れな素人さんは、定義から、”素人”で”人”ですよ！ 誤解無きよう、念のため（＾＾；
44:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/11 17:56:23.27 z0Cctf8f.net
静かになったので、AIネタでも（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
AI使いこなす人材育成 文科省と10大学、課程策定へ
2019/8/28 11:30日本経済新聞 電子版
(抜粋)
製造業や小売り・サービス、医学や農業などの各分野で人工知能（AI）を使いこなす人材を増やすため、文部科学省は全国の大学と共同で新たな人材育成のカリキュラムの策定に乗り出す。
各大学の得意分野を生かし、実務に応用できる知識やノウハウを身につける講義や教材の内容を2020年にもつくる。
人材の裾野を広げ、幅広い事業や研究でAI活用を広げる。
文科省は20年度予算の概算要求で関連費用を計上する。
45:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/11 18:03:52.72 z0Cctf8f.net
URLﾘﾝｸ(www.asahi.com)
朝日新聞
ＡＩの現場、主婦が大活躍 政府は人材不足というけれど
有料記事
杉本崇 2019年8月22日11時51分
(抜粋)
画像を認識したり、外国語を翻訳したり、社会のいろんな場面で人工知能（ＡＩ）を使ったサービスが普及するなか、政府が「ＡＩ人材が不足している」と危機感をあらわにしている。一方、ＡＩに知識を学習させる仕事では主婦らが活躍。計算式をプログラムする技術者の不足は解消されつつあるとの声も上がる。幅広い分野にまたがるＡＩの現場は、求められる技能や人材も多岐にわたっている。
パソコンの画面に映し出された工事現場の画像。アルバイトの主婦斎藤尊子さん（３９）が、これは三角コーン、これは仕切り……と種類ごとに青や赤色に塗り分けていく。
ＡＩ企業「ＡＢＥＪＡ」（東京都）では、画像に写っているのが何かをＡＩに学習させる「アノテーション」の真っ最中だった。
46:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/11 18:23:44.68 z0Cctf8f.net
URLﾘﾝｸ(webronza.asahi.com)
論座
初任給が高騰するAI人材とは誰のこと？
産業界が求めているのは、AIをツールとして使いこなすことができる人 20190811
伊藤智義 千葉大学大学院工学研究院教授
(抜粋)
初任給730万円、いや1000万円も
今年6月、ソニーがAI人材の初任給を最高730万円に引き上げると発表した。NECなど、1000万円に設定している企業も出てきている。飛躍的に発展を続けているAI分野において、産業界の焦燥はかなりのものである。先日、ソフトバンクグループの孫正義社長は「日本はAI分野の後進国」という警鐘を鳴らした。
筆者の研究室は電気電子工学のコースに所属していて、3次元映像計測を中心に高速計算の研究を行っている。読み書き可能なLSIである「FPGA」やコンピューターに内蔵されているグラフィックスボードを利用した「GPU」コンピューティングなどを駆使して10～20年先の技術開発を目標にしている。名前を電子情報システム研究室という。
隣は小圷成一教授のシステム数理研究室である。「ニューラルネットワーク」「機械学習」「最適化理論」などの研究を40年近く続けている。
上記の「FPGA」「GPU」「ニューラルネットワーク」「機械学習」「最適化理論」は、すべて今日のAI技術のキーワードである。
ただし、筆者の研究室と数理システム研究室では、当然ながら、研究手法が大きく異なる。
学問的には後者が「AI研究者」である。ところが、産業界で厚遇されつつある「AI人材」は、おそらく前者である。そこに現在のAIブームの本質があり、産業界からの要請が垣間見られる。
現在のAIブームの技術的背景
現在のAIブームは、アルゴリズムに画期的な革新があったから始まったわけではない。本質はコンピューターシステムの飛躍的な発展である。技術的な背景は、次の3つに集約できる。
（1）インターネットの発展により、膨大なデータ（ビッグデータ）を取得できるようになった。
（2）コンピューターがビッグデータを処理できるほど高速になった。
（3）AIをツールとして手軽に使えるソフトウェアの開発環境（プラットフォーム）が普及した。
特に注目すべきが ・・・ログインして読む
（残り：約1600文字／本文：約2770文字）
47:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/11 18:28:27.68 z0Cctf8f.net
URLﾘﾝｸ(www.excite.co.jp)
ニュース エキサイト
[注目トピックス 日本株]アイスタディがストップ高、高度IT「人材育成・提供」サービスを具現化
Fisco2019年9月10日
(抜粋)
アイスタディ<2345>は大幅高。ストップ高買い気配となっている。エイム・ソフトの完全子会社化を発表した。
同社は現在、「HR Tech × Ed Tech の分野にて日本を代表するソリューションカンパニーを目指す」という新たなビジョンを掲げるとともに、次なる成長ステージへと歩みを進めるべく中期経営計画を推進している。
48:今回の買収はAIやビッグデータ、IoTなどに関連する高度ITスキルを習得するための学習コースと、そのスキルを活かした転職への支援を組み合わせた「人材育成・提供」総合サービスである「iStudy ACADEMY」を飛躍させる足掛かりとなる。 エイム・ソフトは従来のシステム開発事業を堅実に成長させつつ、iStudy ACADEMYにてAIやブロックチェーン、IoTなどに関連する高度IT人材向けコースを受講したエンジニアを採用し、実践経験を積ませ、高度IT人材のシステム開発事業へと事業拡大を図る方針。《US》
49:１３２人目の素数さん
19/09/11 19:21:47.16 h4/yIPnA.net
>>30
>我々の通常接する素朴集合論に近い議論では、
>”x ∈ y → x ⊂ y ”を認めた方が良い
こりゃまたヒドイ・・・
>>31
>我々が通常扱う集合は、
>超限帰納法も適用可の場合が多く、
>∈－順序が成立つとして良い
そんなわけないだろ
>∈－順序が成立つ場合は、
>”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
「∈ がその上で整列順序になる集合」
って順序数だろ
いつどこで誰が
「一般の集合が順序数になる」
と証明したんだ？
もしかして、まだ
「選択公理から、どんな集合も整列順序がつけられる
だからどんな集合も∈に関する整列順序集合だ！」
とかトンチンカンな勘違いしてるのか？
50:１３２人目の素数さん
19/09/11 19:22:12.71 h4/yIPnA.net
>>34
>なお、”x ∈ y → x ⊂ y ”を認めないと、
>素朴集合論のベン図に反例が出る
>つまり、x ∈ yであるにも関わらず、
>xのある元 u ∈ x で、u not∈ y となると、
>素朴集合論のベン図が描けない
ベン図ｗｗｗｗｗｗｗ
ベン図って基本的に集合の包含関係しか描けないだろ
ベン図で表せるもの
要素＝点、集合＝点の集まりを表す○
つまり
「u ∈ x かつ x ∈ y」なんてのは
そもそもベン図で描けるようなもんではない
ｘを○で表して、ｙをさらにその外の○で描いた場合
「ｘ⊂ｙ」と区別がつかないだろ
ニワトリってホント軽率な馬鹿だなｗ
ついでにいっとくと、一般の集合Sは∈に関して推移的でない
つまり u ∈ x かつ x ∈ S だからといって
u ∈ Sとはならないｗ
Sの最も簡単な例が{{{}}}
{}∈{{}} {{}}∈{{{}}}だが、{}∈{{{}}}でないｗ
ああ おもしれえｗ
51:１３２人目の素数さん
19/09/11 19:24:18.26 h4/yIPnA.net
>>33
そもそも
{1}⊂{0,1,2}
だが、
0={}
1={0}
2={0,1}
だから
not({1}∈{0,1,2})
頭悪いだろｗ
52:１３２人目の素数さん
19/09/11 19:25:49.27 h4/yIPnA.net
余談だが、ニワトリは
{},{{}},{{{}}},{{},{{}}},…
などの集合たちについて、
どういうベン図を書くつもりなんだろう？
53:１３２人目の素数さん
19/09/11 19:27:52.41 h4/yIPnA.net
>>36-38 >>40
ニワトリ 理解もできないことを理解したつもりで
見当違いのコケコッコーｗｗｗｗｗｗｗ
54:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/11 20:41:05.45 IlUCyPH9.net
おサルご苦労
一匹だけ戻ってきたか
一番低脳なのが
さあ、踊ってくれ ｂｙ サル回しのスレ主より ｗ（＾＾；
55:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/11 20:45:44.41 IlUCyPH9.net
（>>30-31）
筑波大 坪井先生の数理論理学IIをベースに考えてみよう
P5 公理的集合論「x ∈ y の直観的な意味は，もちろん元x が集合y に属することであるが，x も一つの集合だと考える．」
なので、元ｘを、ベン図の点で表わす必要ないよね
おサルのベン図はしらんけどなｗ（＾＾；
アホなおサルｗ
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理論理学II Akito Tsuboi 筑波大
56:１３２人目の素数さん
19/09/11 20:54:26.75 h4/yIPnA.net
ニワトリは夜もコケコッコーｗｗｗｗｗｗｗ
57:１３２人目の素数さん
19/09/11 20:56:24.58 h4/yIPnA.net
>>52
＞元ｘを、ベン図の点で表わす必要ないよね
どうやって表すんだい？ｗ
何も考えてないくせに粋がるなよ
アホなニワトリｗｗｗｗｗｗｗ
全ての集合が推移的とか順序数とか
勘違いしてる馬鹿に集合論なんか到底無理
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
58:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/11 21:00:56.13 IlUCyPH9.net
（>>30-31）
> ５）∈－順序は、推移的なので、xの任意の元 u ∈ x が成立つと、x ∈ y → u ∈ ｙ成立（∵推移性より）
> だから、この場合は”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
∈－順序は、推移的なので、
u ∈ x ∈ ｙ なら
三重丸を描けば良い
一番内側がｕ、中間がｘ、一番外がｙ
それをベン図で解釈すれば、
u ⊂ x ⊂ ｙ
それで、ｘの元である集合ｕにおいて、
その元が１点集合たち u1,u2,・・・,un ∈ｕだったとすれば
一番内側の丸のｕの中に、u1,u2,・・・,un達を描く。それは１点で表現しても良い（＾＾
ベン図の包含関係から
u1,u2,・・・,un ∈ｘであり
u1,u2,・・・,un ∈ｙである
これ即ち、∈－順序の推移性そのものでしょ（＾＾；
おサル、しっかり踊れよ ｂｙ サル回しのスレ主より ｗ（＾＾；
59:１３２人目の素数さん
19/09/11 22:14:05.58 9NZxnffP.net
サルが分かっていなかったのは現代数学の集合論ではなく中学数学の集合論でした（＾＾
60:１３２人目の素数さん
19/09/11 22:16:14.70 9NZxnffP.net
だから言ってるだろサル
近所の中学生に集合を教えてもらえと
おまえは一つも言いつけを聞かんサルだな
だから人間になれんのだ
61:１３２人目の素数さん
19/09/11 22:26:50.31 9NZxnffP.net
>>36
>・>>30での、筑波大 坪井先生
> 公理的集合論「x ∈ y の直観的な意味は，もちろん元x が集合y に属することであるが，x も一つの集合だと考える」
> （”元x も一つの集合だと考える”とすると、直感的には、x ∈ y → x ⊂ y だろうと）
相変わらず妄想が激しいなｗ
書かれていないことまで自分勝手に妄想してる
これは数学以前、病気
だから言ってるだろ
早く病院逝って妄想症を治療してもらえと
５ちゃんなんかやってる場合じゃねーぞサル
62:１３２人目の素数さん
19/09/11 22:33:47.23 9NZxnffP.net
こりゃ時枝記事どころじゃないなｗ
中学数学も分かってなかったとはｗ
63:１３２人目の素数さん
19/09/11 22:35:46.52 9NZxnffP.net
>>51
どうやって{{}}のベン図書くのか答えを期待してたら
>おサルご苦労
>一匹だけ戻ってきたか
>一番低脳なのが
>さあ、踊ってくれ ｂｙ サル回しのスレ主より ｗ（＾＾；
だってさ、アホくさ
64:１３２人目の素数さん
19/09/12 06:33:38.46 0bjYSisu.net
>>55
> (∈－順序は推移的なので）”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
そりゃx,yが順序数なら、成り立つよ
しかし一般の集合は順序数じゃないだろｗ
順序数でない集合なんて
有限集合でもいくらでも作れる
たとえば{{{}}}とか
考えろよ ニワトリｗ
65:１３２人目の素数さん
19/09/12 06:40:23.25 0bjYSisu.net
>>55
＞一番内側がｕ、中間がｘ、一番外がｙ
＞それをベン図で解釈すれば、
＞u ⊂ x ⊂ ｙ
だろ？ベン図で描けるのはあくまで
u ⊂ x ⊂ ｙ
であって
u ∈ x ∈ ｙ
じゃないだろ？
＞ベン図の包含関係から
＞u1,u2,・・・,un ∈ｘであり
＞u1,u2,・・・,un ∈ｙである
＞これ即ち、∈－順序の推移性そのものでしょ
いやｗ
u1,u2,・・・,unを点として
（あくまで点であって「1点の集合」ではないことに注意！）
ｘ、ｙをベン図の○で書かれた場合
ｘ⊂ｙ
だというだけで、ｘは点じゃないから
ｘ∈ｙ
ではないわな
そもそも一般の集合では∈が推移的でないんだから意味ない
順序数というのは∈が推移的なだけでなく整列順序になってる
という特殊な集合なんだよ
ニワトリにはそのことが全然分かってないｗ
66:１３２人目の素数さん
19/09/12 06:43:48.10 0bjYSisu.net
>>56-60
＞分かっていなかったのは現代数学の集合論ではなく中学数学の集合論
ほんと、ヒドイよね
ここまで酷い馬鹿はめずらしいｗ
∈が推移的な集合（まさに推移的集合というｗ）なんて特殊なのにね
阪大どころか工業高校すら無理だろ
もう特殊学級レベルだねｗ
67:１３２人目の素数さん
19/09/12 06:47:22.04 0bjYSisu.net
一般の集合 ⊃ 推移的集合 ⊃ 順序数
ニワトリの誤り
順序数同士でのみ成り立つことを見落として
一般の集合で成り立つと勘違いしたｗ
注意力散漫の上に自分の誤りにも気づけない
アクセルだけでブレーキのない車だな
危険この上もない
68:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/12 07:50:58.59 cMDg8k3q.net
おサルの踊りで、このガロアスレの勢いが3位にランクインした。ありがとう ｂｙ サル回しのスレ主ｗ（＾＾
69:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/12 08:12:31.56 cMDg8k3q.net
>>55 追加
分かりました、分かりました（＾＾
要するに、正則性公理→フォン・ノイマン宇宙やね
そして、我々が通常学部数学扱う集合は、フォン・ノイマン宇宙内
フォン・ノイマン宇宙内は、「遺伝的整礎集合全体のクラス」
で、モストフスキ崩壊補題（>>37）「ZFの集合モデルは集合状かつ外延的である。 モデルが整礎的なら本補題により、ZFの推移的モデルと一意的に同型である」
なので、普通（ＺＦＣ内で）はベン図で議論してよいってことだな（＾＾
なお「正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合がVに属する。
しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。
このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。」
（フォン・ノイマン宇宙 ja.wikipediaより）
ってことね（「非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていない」）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理
(抜粋)
ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
クラスWFはこれらを全て集めたものとして定義され、後に示すように、WFは全てのwell-founded集合からなる。
つづく
70:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/12 08:13:20.22 cMDg8k3q.net
>>66
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フォン・ノイマン宇宙
(抜粋)
フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。
整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される。
空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。Vの集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。
Vと集合論
ω を自然数全体の集合とすると、Vωは遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理の成り立たない集合論モデルである。Vω+ωはordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロの集合論のモデルである。
K が到達不能基数ならば、VKはZFCのモデルである。そして、VK+1はモース-ケリー集合論のモデルである。
V は二つの理由によって、"全ての集合による集合"とは異なるものである。第一に、これは集合ではない。
各階層Vαがそれぞれ集合でも、その和であるVは真のクラスであるからだ。第二に、Vの要素は全て整礎集合に限られている。
正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合がVに属する。
しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。
このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。
関連項目
宇宙 (数学)
構成可能集合
グロタンディーク宇宙
到達不能基数
(引用終り)
以上
71:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/12 08:17:27.61 cMDg8k3q.net
>>64
>一般の集合 ⊃ 推移的集合 ⊃ 順序数
（>>66より）
「正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合がVに属する。
しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。
このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。」
（フォン・ノイマン宇宙 ja.wikipediaより）
なので、普通（ＺＦＣ内で）はベン図で議論してよいってことだな（＾＾
(引用終り)
ってことね
おサルはえらいね
三歳児なのに
非整礎集合の集合論を考えていたのか
ＺＦＣの外ね
おサルはえらいね～ｗ（＾＾；
72:１３２人目の素数さん
19/09/12 09:26:47.72 Wqo+hvYQ.net
バカ丸出し
73:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/12 11:08:39.87 2dM7jvB/.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
クラウドより速い「エッジ」、IoT時代の新インフラ
2019/9/12 4:30日本経済新聞 電子版
（企業報道部 堀越功、山田遼太郎、北郷達郎、清水孝輔）
［日経産業新聞 2019年9月5日付を再構成］
(抜粋)
データをクラウドで集中管理せず、末端の機器や施設でデータ処理する「エッジコンピューティング」の活用が広がっている。自動運転などあらゆるモノがネットにつながる「IoT」時代になると、データをいかに速く処理するかが求められているからだ。データ社会を支える新たなITインフラが幕を開けようとしている。
ドローン（小型無人機）が警備員になる―。そんな取り組みをKDDIとセコムなどが進めている。ドローンの機体に人工知能（AI）と高精細な4Kカメラ、全地球測位システム（GPS）を搭載。ドローンが不審者を検知して、その情報を警備会社のシステムに知らせる仕組みだ。
「AIの活用場所を広げるのに、クラウドだけでは限界がある」。KDDIなどと開発に取り組むAIスタートアップ、アラヤ（東京・港）の金井良太最高経営責任者（CEO）は力説する。アラヤによると、クラウドを介したAI解析より遅延を10分の1以下に抑えられるという。瞬時の判断が問われる警備や自動運転車だとこの差は大きい。
今後は大勢の中から不審者を割り出す深層学習技術を開発し、ドローンに搭載したい考えだ。
アラヤは企業がクラウドで処理している深層学習をエッジ機器に搭載できるようにするソフトウエアも開発中だ。深層学習の計算量を軽くする仕組みで、19年末にも外部提供する予定だ。「エッジにAIを組み込みたい企業のハードルを下げたい」（金井氏）
つづく
74:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/12 11:09:12.12 2dM7jvB/.net
>>70
つづき
■宇宙から画像送信
宇宙でエッジを導入する動きも出ている。宇宙航空研究開発機構（JAXA）は、宇宙船で撮影した画像の中から、カメラに内蔵するAIで適切な画像を選んで地球に送る検討を始めた。カメラに内蔵したAIで、1秒当たり画像30枚の良しあしを判断できる。ソフトウエアの検証は終わり、現在はハードウエアの小型化に取り組んでいる。
▼エッジコンピューティング 情報端末や制御機器でデータを処理したり、モノや利用者に近いエリアにサーバーを分散配置して情報処理したりすること。エッジは「端」を意味し、ネットワークを介して幅広いエリアの情報処理を集中して行うクラウドコンピューティングの限界から生まれた。
あらゆるモノがネットにつながる「ＩｏＴ」の到来で、膨大なモノから大量のデータが生成されつつある。大量のデータをクラウドで処理すると２つの課題が生じる。ネットワークを介してクラウドまでデータ転送する際に時間がかかってしまう点と、データの転送コストが膨れ上がる点だ。
一方、エッジコンピューティングはデータの転送距離が短いため、ほぼリアルタイムで処理結果を現場に戻せる。データの転送コストも抑えられる。
■集中と分散繰り返す
ITインフラはメインフレームによる集中処理から、パソコンや小型サーバーへの移行、その後クラウドの台頭と、集中と分散を繰り返してきた歴史を持つ。クラウドではIBMやアマゾン・ドット・コムなど米国企業が世界を席巻した。
エッジにより分散化の波が再び起きつつある。欧米や中国企業も動き出しているが、覇者はまだいない。日本勢が世界で存在感を高められるか注目される。
(引用終り)
75:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/12 11:10:34.70 2dM7jvB/.net
>>71 補足
”■集中と分散繰り返す
ITインフラはメインフレームによる集中処理から、パソコンや小型サーバーへの移行、その後クラウドの台頭と、集中と分散を繰り返してきた歴史を持つ。クラウドではIBMやアマゾン・ドット・コムなど米国企業が世界を席巻した。
エッジにより分散化の波が再び起きつつある。欧米や中国企業も動き出しているが、覇者はまだいない。日本勢が世界で存在感を高められるか注目される。”
いやいや
面白いですねｗ（＾＾
76:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/12 11:19:23.22 2dM7jvB/.net
>>68 追加
URLﾘﾝｸ(kururu.hatenablo)ｇ.com/entry/20060608/1149748301
kururu_goedel’s diary 2006-06-08
正則性公理
(抜粋)
haskellもプログラミングにおける型理論もわかりませんが、正則性公理が型に通じているというのは多分鋭い考察です。ゲーデルがLの構成について講義したときに、まず最初にRから始めるバージョンをやったらしいです。そうすると、ラッセルの型理論に近い形で広がっていきます。
事実、ゲーデルはLの構成をラッセルの理論の拡張だと思っ�
77:ﾄいたようです。これは、このあたりの歴史の本を見ると出ています(=ソース探すの面倒だから各自でお願い)。 もっとも、ZFCの発想自体がラッセルの型理論とは全く相容れないような気もするんですが。ま、ともかく。 むしろ言及したいのは「この公理ってないほうが」の部分でありまして。正則性公理がある意味adhocな公理であることは間違いないです。そして、そのことを攻撃するのは論理的には全く正しいし、ない方が楽しいかもねと言われればおき得ることの範囲が広がるんだから確かにそうかもしれないとしか言いようがありません。 ですが、正則性公理が現代集合論ではとても強力に使われていることだけは主張しておいたほうが良いかと思います。 正則性公理を仮定しない場合には、rankを持たない集合が出てきてしまいます。つまり、rankを用いて超限帰納法を適用することによって全ての集合について何かを証明することができなくなってしまいます。ってことは、例えば強制法とか超べきなんかですら既にいろいろ面倒ですね。 また、集合論ではよくV(集合全体のクラス)に似た構造を持った集合をとってくるのですが、これも正則性公理を使ってやる場合が多いです。例えば、Vκ(rankがκより小さい集合全体の集合)とかをとります。 そして、そのサイズの小さい初等部分モデルをとるのが定石です。このテクニックはおそらく現代集合論で最も重要なものであって、それ抜きでは集合論の議論は全く違ったものになっているでしょう。これに似た話を正則性公理抜きでやる方法が今のところ私には思いつきません。 ってわけで、私は正則性公理があって欲しいなと。もちろん、正則性公理のあるZFC上でエミュレーションしてやるって手はあるかと思うんですが、それはid:nucさんの意図には反しているのではないかと想像します。
78:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/12 12:05:29.45 2dM7jvB/.net
>>73 追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
整礎的集合
(抜粋)
整礎的集合（せいそてきしゅうごう、well-founded set）とは、空集合に和集合演算やべき集合演算などの集合演算を繰り返し施すことにより得られる集合である。
集合の階数
整礎的集合 x に対して、x ∈ Vα + 1 をみたす最小の順序数 α を x の階数（rank）といい、これを rank(x) で表す。
rank(x) = sup {rank(y)+1 | y ∈ x} が成立する。
正則性公理と整礎的集合
正則性公理を用いると、すべての集合が整礎的であることが示される。したがって、すべての集合に階数が定義される。
79:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/12 13:33:21.57 2dM7jvB/.net
>>74 追加
（>>36より再録）
・（>>31より）∈－順序は、推移的なので、xの任意の元 u ∈ x が成立つと、x ∈ y → u ∈ ｙ成立（∵推移性より）
だから、この場合は”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
(引用終り)
順序というのは、すべからく、推移律を満たすものである（下記）ｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序集合
(抜粋)
定義
全順序集合、半順序集合、およびこれらよりさらに弱い概念である前順序集合の定義を述べる為にまず以下の性質を考える。ここで P は集合であり、「<=」を P 上で定義された二項関係とする。
・反射律：P の任意の元 a に対し、a <= a が成り立つ。
・推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a <= b かつ b <= c ならば a <= c が成り立つ。
・反対称律：P の任意の元 a, b に対し、a <= b かつ b <= a ならば a = b が成り立つ。
・全順序律：P の任意の元 a, b に対し、a <= b または b <= a が成り立つ。
「<=」が全順序律を満たさない場合、「a <= b」でも「b <= a」でもないケースがある。このようなケースにあるとき a と b は比較不能 (incomparable) であるという。
前順序・半順序・全順序
P を集合とし、<= を P 上で定義された二項関係 とする。
・<= が反射律と推移律を満たすとき、<= を P 上の前順序（英語版）という。
・<= が前順序でありさらに反対称律を満たすとき、<= を P 上の半順序という。
・<= が半順序でありさらに全順序律を満たすとき、<= を P 上の全順序という。
<= が前順序であるとき (P, <=) を前順序集合という。同様に <= が半順序なら (P, <=) は半順序集合、全順序なら (P, <=) は全順序集合という。
80:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/12 14:04:37.87 2dM7jvB/.net
メモ
URLﾘﾝｸ(style.nikkei.com)
ブックコラム NIKKEI STYLE
パソコンも計算間違い 0.1+0.1+0.1=0.3じゃない!?
『文系プログラマーのためのPythonで学び直す高校数学』から
2019/9/12
(抜粋)
「コンピューターの計算に間違いはない！」と信じている人は多いのでは？ 今や当たり前のように身の回りの機器に組み込まれるようになったコンピューターですが、実は“苦手”とする計算があるのです。
今回は谷尻かおり『文系プログラマーのためのPythonで学び直す高校数学』（日経BP）から、担当編集者が選んだ“ちょっと面白いコンピューターの計算間違いの話”をご紹介します。
■コンピューターは“小数”の計算が苦手
最初は皆さんに計算していただきましょう。「0.1+0.1」はいくつですか？
そう、「0.2」ですね。では「0.1+0.1+0.1」は？ そりゃ「0.3」です。
では、パソコンに同じ計算をしてもらいましょう。前述のプログラミング言語「Python」を使って、パソコンに直接計算式を入力します。
81:１３２人目の素数さん
19/09/12 19:30:21.01 0bjYSisu.net
>>66
>普通（ＺＦＣ内で）はベン図で議論してよいってことだな
これはヒドイｗ
>>68
>非整礎集合の集合論を考えていたのか
これもヒドイｗ
{{{}}}(順序数どころか推移的集合でもない)
のどこが非整礎集合かよｗｗｗｗｗｗｗ
「整礎集合」＝「推移的集合」 と思ってる時点でアホ
定義の日本語の文章も読めないらしい
「集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、
∈ が x の推移閉包上で整礎関係となること」
「ｘ上で」ではなく「ｘの推移閉包上で」に注意
{{{}}}の推移閉包は{{},{{}}}
要するに一般のｘ上で∈ は推移的でないから
ｘを含む最小の推移的集合（これが推移閉包）
を考える必要がある
そもそもベン図で描けるかどうかと
∈が推移的かどうかは全然無関係
ベン図は要素（対象）と集合（性質）を明確に分けてしまう点で、
集合論を扱うツールとしては限定的な役割しかない
82:１３２人目の素数さん
19/09/12 19:31:04.83 0bjYSisu.net
>>75
>∈－順序は、推移的
>順序というのは、すべからく、推移律を満たすものである
そもそも全ての集合に∈－順序がある
（つまり、全ての集合が
「∈ がその上で整列順序になる集合」）
というのが根本的誤解
どんだけ底抜けの馬鹿なんだ？ｗ
83:１３２人目の素数さん
19/09/12 21:37:32.46 Wqo+hvYQ.net
もうサルは黙ってろよ
アホは発言禁止
84:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/12 23:25:26.81 cMDg8k3q.net
おサルが二匹、踊ってくれるのか？ ありがとう ｂｙ サル回しのスレ主より（＾＾
85:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/12 23:53:28.50 cMDg8k3q.net
>>77-78
言い訳必死だな、サルはｗ（＾＾
・∈－順序は、公理的集合論ＺＦＣの目玉の重要キーワードでしょ？
これで、帰納法及び超限帰納法が可能になるんだ
・フォン・ノイマン宇宙（>>67）も、重要キーワードでしょ？
「V=WF ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す」
そして、フォン・ノイマン宇宙で、学部数学なら展開できる
フォン・ノイマン宇宙では、∈－順序が成り立ち、∈が推移律を保つ
・推移律：x∈y∈z で、ここでｘはｙの任意の元として、ｘに対し∀x∈zが成立→即y⊂z成立 かつ x⊂z成立
・これで（フォン・ノイマン宇宙で）、ベン図に反例はない
・大体、数学者って人種は「おまいら高校の極限はゴマカシなんだ」みたいなのスキでね（＾＾
だから、もしベン図がゴマカシ（不正確と言ってもいい）
86:だったら、きっとそういう人が出てくるはず 「y∈zとしても、ｙの元で、zに含まれない元が存在するんだ。だから、ベン図に反例がある（あるいは描けない）」みたいなことをいう人がね でも、そんな人はおらんでしょｗ（＾＾ ・おっと、そもそもあなたは、公理的集合論では、集合の元もまた一つの集合ってこと、公理的集合論ではおサルやイヌの集合は登場しないのだよ。素朴集合論の思考のクセが抜けてないみたいだねｗｗ（＾＾
87:１３２人目の素数さん
19/09/13 00:12:20.93 T2CuI5jY.net
これテンプレに入れとけサル
数学板の名物になるぞｗ
>>842
＞Ω ⊂ R^N と Ω ∈ R^N はまったく別ものである
「まったく別もの」ではない
詳しくは、>>832の「ZFC公理系について：その1（及び2）」を読んでみな
簡単に書くと
１）二つの集合A,Bで、A ∈ B → A ⊂ B
∵ 集合Aの全ての元aは、集合Bの元だから
２）二つの集合A,Bで、A ⊂ B → A ∈ B
∵ 集合B中で、集合Aの全ての元aを集めて、内部に集合Aを構成できるから
３）”A ∈ B → A ⊂ B” ＆ ”A ⊂ B → A ∈ B”が成立つから、二つは同値
QED
88:１３２人目の素数さん
19/09/13 06:47:58.88 QEVZazxA.net
>>80
＞∈－順序は、公理的集合論ＺＦＣの目玉の重要キーワードでしょ？
いいやｗ
おまえ日本語が読めない馬鹿だろｗ
＞フォン・ノイマン宇宙では、∈－順序が成り立ち、∈が推移律を保つ
＞推移律：x∈y∈z で、ここでｘはｙの任意の元として、
＞ｘに対し∀x∈zが成立→即y⊂z成立 かつ x⊂z成立
＞これで（フォン・ノイマン宇宙で）、ベン図に反例はない
いいやｗ
おまえ日本語が読めない馬鹿だろｗ
フォン・ノイマン宇宙自体は推移的であっても
フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけではない
もしフォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なら
フォン・ノイマン宇宙は順序数の全体ということになるが
そんな馬鹿なことはもちろんないｗ
例えば{{{}}}は明らかに集合であることが証明できるが
これは推移的ではないｗ
{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} しかし ￢({}∈{{{}}})
まず、x∈y⇒x⊂y となるのはyが推移的集合の場合
そして∀x,y∈S.x∈y⇔x⊂y となるのはSが順序数の場合だけ
※Sが順序数であるとき、その時に限り、
SだけでなくSの要素S'、S'の要素S''とたどった集合
すべてが推移的集合になる）
89:１３２人目の素数さん
19/09/13 06:48:40.52 QEVZazxA.net
>>81
＞∈－順序は、公理的集合論ＺＦＣの目玉の重要キーワードでしょ？
いいやｗ
おまえ日本語が読めない馬鹿だろｗ
＞フォン・ノイマン宇宙では、∈－順序が成り立ち、∈が推移律を保つ
＞推移律：x∈y∈z で、ここでｘはｙの任意の元として、
＞ｘに対し∀x∈zが成立→即y⊂z成立 かつ x⊂z成立
＞これで（フォン・ノイマン宇宙で）、ベン図に反例はない
いいやｗ
おまえ日本語が読めない馬鹿だろｗ
フォン・ノイマン宇宙自体は推移的であっても
フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけではない
もしフォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なら
フォン・ノイマン宇宙は順序数の全体ということになるが
そんな馬鹿なことはもちろんないｗ
例えば{{{}}}は明らかに集合であることが証明できるが
これは推移的ではないｗ
{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} しかし ￢({}∈{{{}}})
まず、x∈y⇒x⊂y となるのはyが推移的集合の場合
そして∀x,y∈S.x∈y⇔x⊂y となるのはSが順序数の場合だけ
※Sが順序数であるとき、その時に限り、
SだけでなくSの要素S'、S'の要素S''とたどった集合
すべてが推移的集合になる）
90:１３２人目の素数さん
19/09/13 06:53:24.72 QEVZazxA.net
>>81
＞数学者って人種は「おまいら高校の極限はゴマカシなんだ」みたいなのスキでね
＞だから、もしベン図がゴマカシ（不正確と言ってもいい）だったら、
＞きっとそういう人が出てくるはず
＞「y∈zとしても、ｙの元で、zに含まれない元が存在するんだ。
＞ だから、ベン図に反例がある（あるいは描けない）」
＞みたいなことをいう人がね
＞でも、そんな人はおらんでしょ
ベン図は包含関係⊂しか表せない
要素∈の推移性なんて表しようがないｗ
したがって問題になりようがない
おまえは正真正銘の白痴か？ｗ
{{{}}}は「∈は推移的！」という貴様の嘘に対する決定的反例ｗ
おまえは{}、{{}}、{{{}}}の三者を
どうベン図で書くつもりだ？
書いて見せてもらおうかｗ
91:１３２人目の素数さん
19/09/13 06:56:38.23 QEVZazxA.net
>>82
数学板名物、ニワトリ集合論ｗｗｗ
＞１）二つの集合A,Bで、A ∈ B → A ⊂ B
＞２）二つの集合A,Bで、A ⊂ B → A ∈ B
＞３）”A ∈ B → A ⊂ B” ＆ ”A ⊂ B → A ∈ B”が成立つから、二つは同値
結論、集合＝順序数
（ニワトリ曰く、「だって任意の集合は選択公理で整列可能だもん！」ｗｗｗ）
92:１３２人目の素数さん
19/09/13 06:58:17.96 QEVZazxA.net
>>80
＞おサルが二匹、踊ってくれるのか？
ニワトリ一羽、今日もトンデモ主張をコケコッコーｗ
さすが正規部分群を誤解する馬鹿だけのことはあるｗｗｗ
93:１３２人目の素数さん
19/09/13 07:14:05.39 QEVZazxA.net
⊂に関しては、任意の集合Ｘ,Ｙ,Ｚで
X⊂Ｙ Ｙ⊂Ｚ ならば Ｘ⊂Ｚ
がいえる
し・か・し
∈に関しては、任意の集合Ｘ,Ｙ,Ｚで
X∈Ｙ Ｙ∈Ｚ ならば Ｘ∈Ｚ
とはいえない
反例 {{{}}}
{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} しかし ￢({}∈{{{}}})
ニワトリ集合論から矛盾が導かれたｗ
94:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 08:04:42.51 Ct8Lh9wH.net
>>84
>フォン・ノイマン宇宙自体は推移的であっても
>フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけではない
意味分かんねー（＾＾
”フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけ”ですよね
∵ フォン・ノイマン宇宙は、「0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス」
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理
(抜粋)
V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
したがって、例えばx={x}のような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。 WFは通常の集合演算に関して閉じているため、ZF公理系から得られる全ての真なる命題がZF公理系においても真となることが分かる。
このため、WF内で通常の数学を展開できることが知られている。
実際、x={x}のような集合の存在はZF公理系からは独立だが、数学を展開する上でこのような集合が現れることはない。
その一方で、正則性の公理は必ずしもZF公理系を拡張するために必要なものではないが、ZF公理系と他のいくつかの命題が独立であることを証明する際にその効果を発揮する。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フォン・ノイマン宇宙
(抜粋)
数学の集合論とその周辺分野において、フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。
つづく
95:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 08:05:11.37 Ct8Lh9wH.net
>>89
つづき
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理論理学II Akito Tsuboi 筑波大
(抜粋)
P11
1.3 順序数
整列順序の全体は（大きすぎて）集合にはならない．X と順序同型
なものたち全体に限っても集合ではない．したがって，素朴集合論における通
常の構成法は厳密な議論には相応しくないので，別の構成法を考えなくてはな
らない．
基本的な考え方は，∈ がその上で整列順序になる集合たちのクラスを上手に
定義して，それに属する集合を順序数として定義することである．
以下では，集合論の公理を仮定する．
定義18. 1. x が推移的である(Trans(x)) とは，∀y∀z(z ∈ y ∈ x → z ∈ x)
となることである．
(引用終り)
以上
96:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 08:07:26.32 Ct8Lh9wH.net
>>85
>おまえは{}、{{}}、{{{}}}の三者を
>どうベン図で書くつもりだ？
大中小の丸でいいでしょ
三重丸で
{}は小丸、{{}}は中丸、{{{}}}は大丸
（>>90より）
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理論理学II Akito Tsuboi 筑波大
(抜粋)
P11
1.3 順序数
以下では，集合論の公理を仮定する．
定義18. 1. x が推移的である(Trans(x)) とは，∀y∀z(z ∈ y ∈ x → z ∈ x)
となることである．
(引用終り)
以上
97:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 11:22:57.11 nJx1ApW/.net
>>81
>・おっと、そもそもあなたは、公理的集合論では、集合の元もまた一つの集合ってこと、公理的集合論ではおサルやイヌの集合は登場しないのだよ。素朴集合論の思考のクセが抜けてないみたいだねｗｗ（＾＾
いつもお世話になっております”再帰の反復”さん（＾＾
下記が、素朴集合論と公理的集合論との関係をうまく説明している
坪井先生の（>>90）「定義18. 1. x が推移的である(Trans(x)) とは，∀y∀z(z ∈ y ∈ x → z ∈ x)」も、これで理解しやすくなるでしょ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(lemniscus.hatenablo)ｇ.com/entry/20120616/1339838683#sec6-7
再帰の反復blog
2012-06-16
反復的集合観と公理的集合論
(抜粋)
目次
1.素朴集合論
・素朴集合論の公理
・素朴集合論のパラドクス
2.内包公理の放棄
3.整礎原理
・
・
6.集合観から公理へ
・
・
・正則性公理
7.ZFC
8.クラス
9.到達不能基数
3. 整礎原理
まず次の考え方をとることにする。
自分自身を含むような集合は存在しない。
これを採用するのは、必ずしもパラドクスを避けるためではない。
たとえば「集合とは要素を集めたものである」という見方を取ると、論理的な順序としてまず要素があってからそれらを含んでいる集合が存在しているので、集合が自分自身を含んでいるのはそもそもおかしいことになる(一方、概念と集合の存在を結びつける内包公理の見方では、ある概念がその概念自身にも当てはまることがあるのだから、ある集合がその集合自身に含まれていても別におかしくはない)。
また別の理由として、自分自身を含む集合を認めると集合の同一性が外延公理だけでは決まらない(のが嫌だ)というものがある。
自分自身だけを含むような集合としてaとbを取ったとする。
a={a}
b={b}
が成り立っている。このとき、aとbは等しいだろうか。
内包公理のもとでは、aの存在もbの存在も何らかの概念P(x),Q(x)によっている。
a={x|P(x)}
b={x|Q(x)}
したがってP(x),Q(x)を見ることでaとbが等しいかどうかを調べることができる。
つづく
98:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 11:23:43.18 nJx1ApW/.net
>>92
つづき
しかし内包公理を取らない立場では、aとbが等しいかどうかを判断するためには何らかの新しい原理が必要になる。
そして、そのような新たな原理を積極的に提案するよりも初めから自分自身を含むような集合を排除して考えようということになる
(この場合必ずしも自分自身を含む集合は存在しないと強く主張する必要はなくて、そういうものは排除した範囲で考えようという立場かもしれない)。
いずれにしても自分自身を含む集合を認めないなら、同様の理由で
a∈b∈aとかa∈b∈c∈aとなるような集合も認められない。もっと一般的に
a1∋a2∋a3∋a4∋a5∋…
となるようなものは認められない(自分自身を含む集合はa∋a∋a∋…となりこれに反している)。
�
99:uまず要素があってから集合がある」という考え方によればこのような集合は存在しないし、このような集合の同一性は外延公理だけでは決まらないので。 このような集合が存在しないことを整礎原理と呼ぶことにする。 整礎原理 a1∋a2∋a3∋a4∋a5∋…とどこまでも続くような集合は存在しない。 整礎原理は、どんな集合が存在するのかについては積極的に主張していないけれど、ここから集合の間に成立している秩序が見えてくる。 まず自分自身を含んでいたり包含関係が循環することがないため、「∈」について順序関係が成立することになる。 つまり包含関係「∈」に基づく「より単純な集合」←→「より複雑な集合」という相対的な位置づけを与えることができる。しかも包含関係「∈」を内側にたどっていくと必ずどこかで終わるので、「より単純な集合」←→「より複雑な集合」のうち、「より単純な集合」の方向はどこかで終点に至る。 整礎原理の成り立つ集合世界では、もっとも単純な集合から始まってだんだん複雑な集合に向かっていくという整然とした秩序が存在する (この秩序は集合の要素数の大小関係とは異なる。たとえば0∈N∈{N})。 もっとも単純な集合は、要素を何も含まない空集合Φである。空集合Φはもちろん存在してほしい。 またこの空集合を元にして、{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}},{{{{Φ}}}},…とか{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{{Φ}}},{Φ,{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}}},…といった集合も存在していてほしい。 つづく
100:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 11:24:06.64 nJx1ApW/.net
>>93
つづき
正則性公理
反復的集合観に先立って次の整礎原理を述べた。
整礎原理
a1∋a2∋a3∋a4∋a5∋…とどこまでも続くような集合は存在しない。
これを次のように公理化する。
正則性公理（定義）
∀s(s≠Φ→∃x∈s(x∩s=Φ))
(反復的集合観によれば、sに含まれるどの要素もsが現れる段階よりも低い段階で現れる。
sの要素の中で最も低い段階に現れるものをxとすれば、xとsが共通要素を持つことはない。
もしあればそれはxよりも低い段階に現れるsの要素になりxの取り方に反するので)
ただし正則性公理を追加したからといって、x1∋x2∋x3∋x4∋…となる集合や自分自身を含む集合の存在が証明されないことを保証しているわけではない
(ある公理から何かの存在が導かれるときに非存在を主張する公理を追加しても、存在するという証明を打ち消すことはできない。
単に矛盾が導かれるようになるだけ)。
元の公理系が「自分自身を含む集合はあってもいいし、なくてもいい」というものだとしたら、正則性公理の追加によって自分自身を含む集合の存在は排除される。
でも元の公理系で自分自身を含む集合の存在が導かれるとしたら、そこに正則性公理を追加しても矛盾が導かれるようになるだけ。
つづく
101:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 11:24:41.66 nJx1ApW/.net
>>94
つづき
7. ZFC
ここまで出てきた公理を列挙すると次のようになる。
8. クラス
ZFCでは内包公理は認められない。
しかし、ある概念(を定義した述語)P(x)があるならばそれに対応する集合{x|P(x)}について語るというのは数学でごく普通におこなわれることなので、集合論でもそのような言い方を使いたい。
そのために{x|P(x)}の形の式を集合とは呼ばずにクラスと呼ぶことにする。
クラスは集合論のファーストクラスオブジェクトではなく、構文上のマクロのようなものにすぎない。
集合論の基本的な述語は「=」と「∈」の二つ
クラス用の変数も導入できるのだけど、これも集合論の体系自体には含まれない一種の省略記法として扱われる。
9. 到達不能基数
置換公理によって「果てしなく続く段階」や濃度の非常に大きな集合の存在が出てくるのだけど、さらに「その先」を考えることもできる。
濃度(無限の大きさ)について考える。
（以下は、あんまり関係ないが（本当は正則性公理「sの要素の中で最も低い段階に現れるもの」の関連で調べた）、メモ貼る）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Upper set
(抜粋)
In mathematics, an upper set (also called an upward closed set or an upset) of a partially ordered set (X, ?) is a subset U of X such that if x is in U and x ? y, then y is in U.
The dual notion is a lower set (also called a downward closed set, down set, decreasing set, initial segment, or semi-ideal), which is a subset L of X such that that if x is in L and y ? x, then y is in L
(引用終り)
以上
102:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 11:29:35.73 nJx1ApW/.net
>>95 追加
なんか文字化けあるね
英文からのコピペ
貼付けの目視では、正常なんだが
投稿後見ると
化けている
a partially ordered set (X, ?)
おっと、専用ブラウザのプレビュー見ると
これ、文字化け分かるね
ずぼらしちゃ、いけないね
これ
a partially ordered set (X, <=)
なんだよ
これから、できるだけ
プレビュー確認するわ（＾＾；
まあ、今回は原文見てください
103:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 11:43:26.53 nJx1ApW/.net
おサルが、「無限小数激論スレ★1」へ行ったみたいで
いま、このガロアスレは、勢いで5位か
まあまあだな
ガロアスレの58（20代くらい前）が、いまだ13位って、どんだけ過疎板なんだよ
数学板って
”プロ固定”とか、うるさくいうやつが過去居たけど
これみりゃ、”プロ固定”なら、こんな過疎板やめて、他の板へとっくに移っているって、分かるでしょ
遊びでなけりゃ、やれないよ、こんな過疎の場所ではね（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(49.212.78.147)
数学：2ch勢いランキング
9月13日 11:30:28
(抜粋)
順位 6H前比 スレッドタイトル レス数 勢い
1位 = 0.999…＝1か！？無限小数激論スレ★1 775 139
2位 = 【未解決問題】奇数の完全数が存在しないことの証明4 919 31
3位 ↑1 高校数学の質問スレPart401 198 26
4位 ↑1 数学の本 第85巻 791 25
5位 ↑1 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 91 25
6位 ↓-3 新しい数式何だが、どうだろう 22 25
7位 = 素人には 8÷2(2+2) を16と答える馬鹿が居るらしい 900 22
8位 ↑1 Inter-universal geometry と ABC予想 41 452 21
9位 ↓-1 分からない問題はここに書いてね456 96 20
10位 = 現代数学はインチキだらけ 81 17
12位 = ガロア優秀仮面理論についてwwwww 128 5
13位 = 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む58 875 4
104:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 13:52:56.40 nJx1ApW/.net
>>92 追加引用
下記、分かり易いわ
おサルが、素朴集合論の思考のクセに抜けきれず、躓いていることがよく分かるねｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(lemniscus.hatenablo)ｇ.com/entry/20120616/1339838683#sec6-7
再帰の反復blog
2012-06-16
反復的集合観と公理的集合論
(抜粋)
目次
1.素朴集合論
・素朴集合論の公理
(抜粋)
素朴集合論の公理
「集合とは、概念の外延である」という主張を公理化すると
概念があれば、それに対して集合が考えられる(内包公理)
集合(=概念の外延)の同一性はそれに含まれる対象によって定まる(外延公理)
という2つの公理にまとめられる。
2. 内包公理の放棄
素朴集合論では矛盾が生じてしまうので、どこかを手直ししないといけない。
・外延公理は「集合とはどんなものか」についての公理
・内包公理は「どんな集合が存在するか」についての公理
ラッセルのパラドクスも他の集合論のパラドクスも「何かおかしな集合の存在について考えると矛盾する」という話なので、内包公理を捨てることにする(実際には他の選択肢も考えられるが話の都合上こうなる)。
すると「どんな集合が存在するか」について内包公理とは違う考え方が必要になる。
(引用終り)
105:１３２人目の素数さん
19/09/13 19:04:20.78 QEVZazxA.net
>>89
>”フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけ”ですよね
これはヒドイｗｗｗ
答えは否
最も簡単な反例{{{}}}は既にしめした
理解できない？頭悪すぎだろ？
>>91
>>おまえは{}、{{}}、{{{}}}の三者を
>>どうベン図で書くつもりだ？
>大中小の丸でいいでしょ
>三重丸で
>{}は小丸、{{}}は中丸、{{{}}}は大丸
これもヒドイｗｗｗ
答えはこれまた否
{}⊂{{}} {}⊂{{{}}} はいいが
￢（{{}}⊂{{{}}})だぞ
考えてる？脳味噌無いの
106:？
107:１３２人目の素数さん
19/09/13 19:04:55.99 QEVZazxA.net
>>91
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
>以下では，集合論の公理を仮定する．
>定義18. 1. x が推移的である(Trans(x)) とは，
>∀y∀z(z ∈ y ∈ x → z ∈ x)
>となることである．
ニワトリは日本語も正しく読めないのか？
定義18の1は、
「集合xが推移的」
という言葉の意味を定義しただけ
どこにも
「全ての集合は推移的である」
なんて公理は設定してないｗ
ついでにいうと、これ、続きがあるぞ
>2. x が順序数である（Ord(x)）とは，
>Trans(x) ∧ ∀y ∈ x(Trans(y))
>となることである．
>上の定義を言葉で述べると，
>「x が推移的とは x が ∈ に関して推移的なこと」，
>「x が順序数であるとは，x だけでなくその元もすべて推移的なこと」
>となる．
これもどこにも
「全ての集合は順序数である」
なんて公理は設定してないｗ
108:１３２人目の素数さん
19/09/13 19:05:40.16 +P68OVAU.net
>>91
> 大中小の丸でいいでしょ
空集合と偶数からなる集合と奇数からなる集合を「五重丸」を用いてベン図で表せ
Odd = {1, 3}
Even = {2, 4}
109:１３２人目の素数さん
19/09/13 19:05:48.63 QEVZazxA.net
ニワトリにはこっちのほうが分かりやすいか
URLﾘﾝｸ(eurekagap.up.seesaa.net)
「Definition 1.2.1.
集合 x が推移的（transitive）であるとは，
∀v(v ∈ x → v ⊆ x)
となることである．
これは x の元の元もまた x に属しているということである．」
いっとくが∀v(v ∈ x → v ⊆ x)は公理ではない
∀v(v ∈ x → v ⊆ x)が成り立つ集合xを
推移的だといってるだけ
「Definition 1.2.2.
推移的かつ ∈ によって整列順序づけされる集合を
順序数（ordinal）とよぶ」
「α, β, γ, . . . などのギリシャ文字で順序数を表す．
また，α ∈ β を α < β と書き，
α ∈ β または α = βであることを
α ? β と書くことにする．
Lemma 1.2.7. 任意の順序数 α, β に対して α ? β ⇔ α ⊆ β．」
ほら、「任意の順序数 α, β に対して」とあるだろ
決して「任意の集合x,yに対してx ∈ y ⇔ x ⊂ y」なんて書いてないｗ
集合論のどの公理で
「任意の集合xは順序数である
つまり任意の集合xは推移的かつ ∈ によって整列順序づけされる」
なんて証明されるんだよｗ
選択公理とかいうなよ 笑われるからｗｗｗｗｗｗｗ
110:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 21:40:46.51 Ct8Lh9wH.net
>>102
”Eureka GAP”さんのPDFね～ｗ（＾＾
”Eureka GAP”さん、どこかで聞いたことがあると思ったら
過去スレで取り上げた記憶があるなー
おサルは、
１）それ、「日本の大学を卒業後アメリカへ留学して数学科の大学院生をやっています。専門は集合論です」
て、知って引用しているかなーｗ（＾＾
２）それ、「ずいぶん前に公開した「順序数と基数」がtypoがひどすぎると指摘されていたので、GWを使って修正しました。
内容はほとんど変わっていませんが、修正したおかげで読めるようになったと思います。
集合論自体には興味ないけど、順序数と基数の基本的な事実だけ知りたいよーというような人が参照できるように書いてあります」
て、知って引用しているかなーｗ（＾＾
まあ、大学教員のPDFじゃないってことは、よく認識しておいた方がいいだろうなー
そんなことも知らずに、落ちているPDFを無批判に引用したんだろうと、推測いたしますｗ（＾＾；
まあ、おサルだからなー
（参考）
ｈttps:／／eurekａgap.jimdoｆree.com/
Eureka GAP 2018/12/04
ようこそ、ここはEureka GAPのホームページです!
日本の大学を卒業後アメリカへ留学して数学科の大学院生をやっています。専門は集合論です。
2018年9月、正式に数学科の大学院生になりました。
ブログは時々更新しています。他のコンテンツは後日追加していきたいと思っています。
http:／／eurekａgap.seesaa.neｔ/article/449980546.html
GAPのブログ
PDFの墓場となるべく作られましたが、特に運営方針は定まってません．
2017年05月17日
改・順序数と基数
ご無沙汰です。
ずいぶん前に公開した「順序数と基数」がtypoがひどすぎると指摘されていたので、GWを使って修正しました。
内容はほとんど変わっていませんが、修正したおかげで読めるようになったと思います。
集合論自体には興味ないけど、順序数と基数の基本的な事実だけ知りたいよーというような人が参照できるように書いてあります。
ordinals_and_cardinals.pdf
https／／eurekａgap.up.seesaa.net/image/ordinals_and_cardinals.pdf
5/18(木) 誤植訂正
111:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 21:42:05.47 Ct8Lh9wH.net
>>103
ＵＲＬがＮＧワードとかで通らなかったので、全角に直した
まあ、キーワード検索で飛んでくれ（＾＾；
112:１３２人目の素数さん
19/09/13 22:02:05.37 T2CuI5jY.net
>>91
>>おまえは{}、{{}}、{{{}}}の三者を
>>どうベン図で書くつもりだ？
>大中小の丸でいいでしょ
>三重丸で
>{}は小丸、{{}}は中丸、{{{}}}は大丸
これって知識とか関係無いよね
純粋に知能の有無だよね
サルは決定的に知能が欠けている！
まあサルだしｗ
113:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 22:03:34.92 Ct8Lh9wH.net
>>99
アホバカおサルと、賢いニワトリの論争かね
楽しいね～、フォン・ノイマン宇宙がわからんとね、おサルはｗ（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
(抜粋)
数理論理学において、構造 (もしくはモデル) の宇宙（うちゅう、英: Universe）とは議論領域のことである。
通常の数学
与えられた X (カントールの場合には、 X = R) の部分集合を考えれば、宇宙は X の部分集合の集合の存在を要請する。
主要な関心が X であっても、 X よりもかなり大きな宇宙が必要とされることになる。 上記のアイデアに続いて、X の宇宙としての 上部構造 が要請される。 これは次のような再帰的構造によって定義される。
もし開始地点がちょうど X = {} ならば、数学で必要となる多くの集合は {} 上の上部構造の要素として現れる。
しかし、S{} の要素のそれぞれは有限集合であろう！
自然数のひとつひとつはそれに属すが、すべての自然数の集合 N は属さない（それは S{} の部分集合であるにもかかわらず）。
実際、X 上の上部構造はすべての遺伝的有限集合から成る。
このように、それは有限主義者の数学の宇宙と考えられる。
時代をさかのぼれば、19世紀の有限主義者レオポルト・クロネッカーはこの宇宙において仕事をしたことが思い出される。
彼は、それぞれの自然数は存在するが、集合 N（完全な無限）は存在しないと信じていた。
つづく
114:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 22:04:31.09 Ct8Lh9wH.net
>>106
つづき
しかし、S{} は通常の（有限主義者ではない）数学者にとっては不足である。なぜなら、N が S{} の部分集合として利用可能であるとはいえ、依然として N の冪集合は利用不可能だからである。
特に、実数の任意の集合は利用不可能である。そのため、もう一度上記のプロセスを開始して S(S{}) を形成する必要があるだろう。
しかし、物事を単純に保つために、自然数の集合 N は所与として SN を形成し、N 上の上部構造をとってもよい。
これはしばしば通常の数学の宇宙であると考えられる。通常研究される数学のすべてはこの宇宙の要素を参照していると考えるということである。
例えば、普通の実数の構成（デデキントの切断）はどれも SN に属している。超準解析も自然数の超準モデル上の上部構造において行うことができる。
宇宙が関心のある任意の集合 U であった前節からの哲学のわずかな転換に注意しよう。研究される集合は、前節では宇宙の部分集合であったが、本節では宇宙の要素である。
したがって、P(SX) はブール束であるが、関連するもの SX 自体はそうではない。結果として、上部構造の宇宙を前節の冪集合の宇宙であるとみて、それにブール束とベン図の概念を直接的に適用することはまれである。
そのかわりに、個々のブール束 PA を用いて作業することができる。ここで、A は SX に属する任意の関連する集合である。
すると、PA は SX の部分集合である（そして、実際に SX に属する）。カントールの場合 X = R では特に、実数の任意の集合は利用可能ではないので、実際にもう一度上記のプロセスを開始する必要があるだろう。
つづく
115:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 22:05:43.05 Ct8Lh9wH.net
>>107
つづき
集合論
SNは通常の数学の宇宙であるという主張に正確な意味を
116:与えることは可能である。すなわち、それはツェルメロ集合論のモデルである。 公理的集合論は元来1908年にエルンスト・ツェルメロによって開発された。ツェルメロ集合論は"通常の"数学を公理化することができるため、カントールによって三十年早く始められたプログラムを達成して、確実に成功した。 しかし、ツェルメロ集合論は公理的集合論および数学基礎論、特にモデル理論における他の研究のさらなる発展にとって不十分であった。 劇的な例として、上述の上部構造プロセスの記述はツェルメロ集合論においてそれ自身実行できないことが挙げられる。最終ステップとして、無限和 (infinitary union) としてのSを形成するための置換公理が必要である。 置換公理は、ツェルメロ＝フレンケル集合論を形成するように1922年にツェルメロ集合論に付加された。この公理集合は今日最も広く受け入れられている。 そのため、通常の数学がSNにおいてなされるのに対し、SNの議論は"通常の"数学を越えてメタ数学の領域となる。 しかし、もし超冪集合論が持ち込まれた場合、上記の上部構造のプロセスそれ自体は明らかに超限帰納法のはじまりに過ぎない。 任意の 順序数 i に対して Vi を定義する。 Vi のすべての和集合は次のようにフォン・ノイマン宇宙 V となる。 Vi は各々すべてが集合であることに注意すること。 しかしこれらの和集合 V は固有類である。 置換公理と同時期にZFに加られた正則性公理は、すべての 集合が V に属することを主張している。 クルト・ゲーデルの構成可能集合 L と構成可能公理 到達不能基数は ZF のモデルと加法性公理を生じ、さらにグロタンディーク宇宙の集合の存在と等価である。 つづく
117:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 22:06:46.55 Ct8Lh9wH.net
>>108
つづき
圏論
圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。
大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である。
例えば、グロタンディーク宇宙 U における2つの集合の和集合も U の内部にある。同様に、共通部分、順序対、冪集合などもまた U の内部にある。
これは上記の上部構造に類似している。グロタンディーク宇宙の利点は、それが実際の集合であって固有類ではないことである。
グロタンディーク宇宙の難点は、厳密さを欲するなら、グロタンディーク宇宙を捨てなければならないことである。
最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。
すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。
対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが固有類を用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。
すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。例えば、すべての U-small 圏の圏は宇宙 U の内部において、すべての対象の集合と射の集合の圏の圏になる。
すると通常の集合論の独立変数が、すべての圏の圏に適用される。さらに誤って固有類に対して言及する心配もなくなる。
なぜならグロタンディーク宇宙は非常に広大であり、これはありとあらゆる数学的構造を充足させるからだ。
グロタンディーク宇宙において作業している場合、数学者はしばしば宇宙の公理を仮定する。"任意の集合 x に対し、x ∈U となるような宇宙 U が存在する。
" この公理の重要な点は、任意の集合がいくつかの U に対して U-small が検討できることである。
つまり一般的なグロタンディーク宇宙に内部で、任意の独立変数が適用されるということである。
この公理は強到達不能基数の存在と密接に関係している。
(引用終り)
以上
118:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 22:08:56.73 Ct8Lh9wH.net
>>106
(引用開始)
もし開始地点がちょうど X = {} ならば、数学で必要となる多くの集合は {} 上の上部構造の要素として現れる。
しかし、S{} の要素のそれぞれは有限集合であろう！
自然数のひとつひとつはそれに属すが、すべての自然数の集合 N は属さない（それは S{} の部分集合であるにもかかわらず）。
実際、X 上の上部構造はすべての遺伝的有限集合から成る。
このように、それは有限主義者の数学の宇宙と考えられる。
時代をさかのぼれば、19世紀の有限主義者レオポルト・クロネッカーはこの宇宙において仕事をしたことが思い出される。
彼は、それぞれの自然数は存在するが、集合 N（完全な無限）は存在しないと信じていた。
(引用終り)
哀れな素人さんは、19世紀の有限主義者レオポルト・クロネッカーの生まれ変わりかｗ（＾＾；
「彼は、それぞれの自然数は存在するが、集合 N（完全な無限）は存在しないと信じていた」！！
119:１３２人目の素数さん
19/09/13 22:15:37.12 T2CuI5jY.net
>>92
素朴集合論とか公理的集合論とか以前の問題ｗ
バカ過ぎｗ
120:１３２人目の素数さん
19/09/13 22:17:20.84 T2CuI5jY.net
サルは分かってるふりが大好きだね
この期に及んで公理的集合論が
121:どうのォン・ノイマン宇宙がどうのとｗ 中学数学すら分かってないことがバレてるのにｗ
122:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 22:21:27.14 Ct8Lh9wH.net
>>103
(引用開始)
”Eureka GAP”さんのPDFね～ｗ（＾＾
おサルは、
１）それ、「日本の大学を卒業後アメリカへ留学して数学科の大学院生をやっています。専門は集合論です」
て、知って引用しているかなーｗ（＾＾
(引用終り)
じゃ、こちらもＰＤＦをばｗ（＾＾；
下記の、渕野昌先生 「フォン・ノイマンと公理的集合論」
「現代思想」2013 年８月増刊号
これは、数学徒以外の一般読者対象なので
おサルにも読めるだろうｗ（＾＾
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
researchmap
渕野 昌
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
フォン・ノイマンと公理的集合論
（1）渕野昌（Saka´e Fuchino）
28. Mai 2017
以下の文章は、 「現代思想」2013 年８月増刊号に，渕野昌，フォン・ノイマンと公理的集合論(2013), 208?223. として収録された論説である。
雑投稿／校正後の加筆訂正も含まれている。
誌掲載版では紙数の制限などのために削除した部分も再収録した。
123:１３２人目の素数さん
19/09/13 22:26:07.31 QEVZazxA.net
>>105
＞賢いニワトリ
そう思ってる時点でニワトリはバカｗ
>>102はバカでも分かると思って引用してやったまでだが
書いてあることは筑波大の坪井氏のpdfと大して変わらん
要するにニワトリは言葉の定義を公理と勘違いする
大馬鹿っぷりを演じたまで
どこに
「すべての集合は推移的だ！」「すべての集合は順序数だ！」
とかいう公理がある思う馬鹿がいるかよｗ
124:１３２人目の素数さん
19/09/13 22:28:47.35 QEVZazxA.net
>>106
＞賢いニワトリ
そう思ってる時点でニワトリはバカｗ
>>112
ニワトリは、集合が推移的とか順序数であるとかいう用語の定義を
「すべての集合は推移的でありしたがって順序数である」
と読み違える正真正銘の馬鹿だから
分かったつもりのワカランチンなんだな、これがｗｗｗ
125:１３２人目の素数さん
19/09/13 22:34:29.63 QEVZazxA.net
集合論のどのテキストにも
「全ての集合は推移的である」とか
「全ての集合は順序数である」とか
いう嘘は書いてない
ニワトリは
「集合ｘが推移的であるとは・・・である」
「集合ｘが順序数であるとは・・・である」
という言葉の定義を、「公理」と読み違えるほどの
正真正銘の馬鹿野郎である
おそらく日本人ではなく朝鮮人だろうｗ
日本語が分かるならこんな馬鹿な読み間違いはしないｗ
126:１３２人目の素数さん
19/09/13 22:37:31.46 QEVZazxA.net
ニワトリは{{{}}}が集合でないと思ってるらしいｗ
（なぜなら推移的でもないし順序数でもないからｗ）
しかも{{}}⊂{{{}}}だと思うほどの白痴である
{}は{{{}}}の要素でないのだから
{{}}⊂{{{}}}なわけがないのは
小学生でもわかることだが
なんせ人間どころか哺乳類ですらない
鳥類のニワトリだから仕方ないｗｗｗ
127:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 23:20:51.48 Ct8Lh9wH.net
>>99
(引用開始)
>>89
>”フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけ”ですよね
これはヒドイｗｗｗ
答えは否
最も簡単な反例{{{}}}は既にしめした
理解できない？頭悪すぎだろ？
(引用終り)
フォン・ノイマン宇宙Vの中に、"推移的"ではない、つまり、反例があるとねｗ
もし、それが本当なら、論文１本かけるぜｗ（＾＾
おサルの集合論は、面白いな（；ｐ
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
推移的集合
(抜粋)
集合論において、集合 Aが推移的であるとは、
・x ∈ Aかつy ∈ x、ならばy ∈ A もしくは、同じ意味であるが
・x ∈ AかつxがurelementでないならxはAの部分集合である。
ということ。
同様にクラスMが推移的であるとは、Mの要素は全てMの部分集合であることをいう。
例
ジョン・フォン・ノイマンによる順序数の定義を用いると、順序数は遺伝的に推移的な集合として定義される
すなわち、順序数は推移的集合でその要素も全て推移的で(よって順序数でも)ある。
フォン・ノイマン宇宙 Vや 構成可能宇宙 L の構成の際に現れる Vα や Lαといった全ての階層も推移的集合である。
宇宙 L と V もそれ自体推移的クラスである。
つづく
128:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 23:21:51.22 Ct8Lh9wH.net
>>118
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Urelement
(抜粋)
In set theory, a branch of mathematics, an urelement or ur-element (from the German prefix ur-, 'primordial') is an object that is not a set, but that may be an element of a set. Urelements are sometimes called "atoms" or "individuals."
Contents
1 Theory
2 Urelements in set theory
3 Quine atoms
Urelements in set theory
The Zermelo set theory of 1908 included urelements, and hence is a version we now call ZFA or ZFCA (i.e. ZFA with axiom of choice).[1]
It was soon realized that in the context of this and closely related axiomatic set theories, the urelements were not needed because they can easily be modeled in a set theory without urelements.[2]
Thus, standard expositions of the canonical axiomatic set theories ZF and ZFC do not mention urelements. (For an exception, see Suppes.[3])
Axiomatizations of set theory that do invoke urelements include Kripke?Platek set theory with urelements, and the variant of Von Neumann?Bernays?Godel set theory described by Mendelson.[4]
In type theory, an object of type 0 can be called an urelement; hence the name "atom."
つづく
129:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 23:23:14.89 Ct8Lh9wH.net
>>119
つづき
Adding urelements to the system New Foundations (NF) to produce NFU has surprising consequences.
In particular, Jensen proved[5] the consistency of NFU relative to Peano arithmetic; meanwhile, the consistency of NF relative to anything remains an open problem, pending verification of Holmes's proof of its consistency relative to ZF.
Moreover, NFU remains relatively consistent when augmented with an axiom of infinity and the axiom of choice.
Meanwhile, the negation of the axiom of choice is, curiously, an NF theorem. Holmes (1998) takes these facts as evidence that NFU is a more successful foundation for mathematics than NF.
Holmes further argues that set theory is more natural with than without urelements, since we may take as urelements the objects of any theory or of the physical universe.[6]
In finitist set theory, urelements are mapped to the lowest-level components of the target phenomenon, such as atomic constituents of a physical object or members of an organisation.
(引用終り)
以上
130:１３２人目の素数さん
19/09/13 23:32:51.08 QEVZazxA.net
>>118
＞フォン・ノイマン宇宙Vの中に、"推移的"ではない、つまり、反例があるとね
お前、アホだろｗ
フォン・ノイマン宇宙Vが推移的であるからといって
Vの任意の要素である集合が推移的だとはいえない
一番簡単な例{{{}}}を示してやっただろｗ
{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}} だが、￢（{}∈{{{}}})
これが理解できないようじゃ、数学は絶対無理だから諦めろｗ
＞おサルの集合論は、面白いな
全然面白くないよ
俺が挙げた反例なんか、
例えば阪大理学部数学科の1年坊主でも
三秒以内に思いつくねｗ
131:１３２人目の素数さん
19/09/13 23:34:19.86 QEVZazxA.net
>>118
＞順序数は遺伝的に推移的な集合として定義される
しかし一般の集合は順序数どころか推移的集合でもないものがあるｗ
一番簡単な例{{{}}}を示してやっただろｗ
{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}} だが、￢（{}∈{{{}}})
これが理解できないようじゃ、数学は絶対無理だから諦めろｗ
132:１３２人目の素数さん
19/09/13 23:39:05.12 QEVZazxA.net
ああ、そうそう
フォン・ノイマン宇宙 Vや 構成可能宇宙 L は
遺伝的に推移的なクラスではない
（順序数全体のクラスOnは遺伝的に推移的なクラス）
133:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/13 23:39:13.97 Ct8Lh9wH.net
>>118 追加
まあ、ご参考
・フォン・ノイマン宇宙「整礎的集合から得られたでかい領域」
・構成可能宇宙「人間に扱える有限モデルに行き着く領域」
134:下記でも，見て下さい （参考） https://www.practmath.com/universe/ 実用的な数学を 2019年4月26日 投稿者: TAKAN 宇宙 Universe (抜粋) 目次 ・議論領域「宇宙の本質に当たる概念で、より広い意味」 ・グロタンディーク宇宙「集合論で作れる最大の大きさ」 ・フォン・ノイマン宇宙「整礎的集合から得られたでかい領域」 ・構成可能宇宙「人間に扱える有限モデルに行き着く領域」 フォン・ノイマン宇宙 Von Neumann || 直観でわかるものを全部集めてみました これは『順序数』基準で作られた「宇宙」になります。 『順序数』由来なんで、かなり直観に近いです。 「順序数」で作られてるんで、 作られ方は基本的に『順序数』と一緒です。 初期値はいつもの『空集合』。 V_0=Φ 『順序数』由来なんで『宇宙 V 』はクラスになります。 それも「真のクラス」です。集合じゃありません。 ただ、その要素になる『 V_α 』は集合です。 定義自体が『整礎的集合』なんで、ちゃんと中身が全部わかります。 構成可能宇宙 Costructible || 人間が扱えるものだけ集めてみました 恐らく考え得る限り『最小の宇宙』がこれ。 基本は↑の「フォン・ノイマン宇宙」と同じで、 2 番目の「後者」の規則に条件が加わっています。 その制約の本質が『人間に扱えるように』という感じ。 『後者』について「フォン・ノイマン宇宙」と違う点は、 略 これでどうして人間に扱える程度になるかは、別記事で。 ちょっとどころじゃない長さになるので小分けになるかと。 雰囲気だけ伝えるとするなら、 濃度が決まってるものの内側に納まってる上で、 更には『有限』の長さで定義できることが確定している、みたいな。 （レーヴェンハイム・スコーレムの定理などが理由） だから、人間に扱える程度の大きさになっている、みたいな感じ。 いわゆる「帰納的に定義できる」とか、そんなです。 通例では、『構成可能宇宙』は「 L 」と表されます。
135:１３２人目の素数さん
19/09/13 23:41:35.18 QEVZazxA.net
>>124
自分自身理解できない文章コピペして誤魔化さずに
{{{}}}が推移的でない集合であることを理解しようね
アホのニワトリ君ｗｗｗｗｗｗｗ
136:１３２人目の素数さん
19/09/13 23:46:16.98 QEVZazxA.net
{{{}}}は推移的でないから
{{}}∈{{{}}}だが、￢（{{}}⊂{{{}}}）である
ここまで簡単な例でニワトリの馬鹿主張を
木端微塵に打ち砕けるのは実にキモチがイイｗ
137:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 00:12:55.76 QdZ5TU5n.net
>>124 追加
過去スレで、矢田部俊介先生の「公理論的集合論（情報科学特別講義 III）」も取り上げた記憶があるね～（＾＾
おもしろいね～ｗ
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
矢田部俊介
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資料公開
タイトル 公理論的集合論
カテゴリ 講義資料
概要 お茶の水女子大学2012年度集中講義「情報科学特別講義III」（2013年2月18日?22日）授業要旨
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公理論的集合論（情報科学特別講義 III）
矢田部俊介 ?
2013 年 2 月 17 日
? 京都大学文学部大学院文学研究科
Ｐ21
4.4 推移的モデルとモストウスキ崩壊
集合論のモデルを扱う場合、一口にモデルと言ってもいろいろなモデルがある。多くの場合、モデルが ∈ に
関し推移的である（x ∈ y ∈ M ならば x ∈ M）であると証明が楽である。しかし、そうである保証はない。
例えば、集合が urelements を含んでいる場合を考えよう。u が urelemant であるとは、u 自身は集合では
ないが、他の集合は u を含むことができるもののことをいう。例えば、{u} は集合となる。この urelement は
いかなる集合も元として
138:含まないため、空集合のようなものであるが、空集合ではない。また、集合ではない ため、u 自身は集合として集合論の宇宙に含まれることはない。 しかし、このような推移的でないモデルが与えられたとき、モストウスキ崩壊 と呼ばれる方法により、モデ ルがある条件を満たせば、それと同等だが推移的なモデルを構成する方法がある。本節ではそれを紹介する。 まず、そのために用語を紹介しよう。以後、A を集合もしくはクラスとする。これから、A 上の関係 R を考 え、<A, R> が推移的でないような ZFC のモデルであるとき、それに同型だが推移的なモデルを構成する事を 目標とする。 定理 4.27 (モストウスキ崩壊定理) A 上の関係 R を、整礎で、集合もどきで外延的だと仮定する。このとき、 推移的なクラス M と、単射な同型写像 G : <A, R> → <M,∈> を定義することができる。また、M は一意に 定まる。
139:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 00:14:50.30 QdZ5TU5n.net
>>125-126
フォン・ノイマン宇宙Vの中に、"推移的"ではない、つまり、反例があるとね
笑えるわｗ（＾＾；
140:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 00:32:12.71 QdZ5TU5n.net
>>127 追加
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
公理論的集合論（情報科学特別講義 III）お茶の水女子大学2012年度集中講義「情報科学特別講義III」（2013年2月18日?22日）授業要旨
矢田部俊介 京都大学文学部大学院文学研究科
2013 年 2 月 17 日
(抜粋)
P4
2.2.1 順序数とブラリ・フォルティのパラドックス
定義 2.8 (順序数) x が順序数であるとは、x 上で ∈ は以下の条件を満たす
? 推移的である：(∀y, z)[z ∈ y ∧ y ∈ x → z ∈ x],
? 整列順序をなしている：(∀y ⊆ x)(∃z)(∀p)[z ∈ y ∧ (p ∈ y → p not∈ z)]
（任意の x の部分集合 y には、∈ に関する最小元が存在する）。
つまり、順序数とは以上の二つの条件を満たす集合のことである。
しかし、そんな条件を満たす集合が本当に
構成できるのだろうか。
その具体的な形成方法は、有名なフォン・ノイマンによる定義である。
141:１３２人目の素数さん
19/09/14 07:22:29.04 VYIPOabR.net
>>128
笑われてるのはニワトリのほう
反例 {{{}}}
証明 {}∈{{}} {{}}∈{{{}}} しかし {}∈{{{}}}でない
したがって {{}}⊂{{{}}}
矢田部氏はツイッターやってるから
直接聞いてみ？
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
「推移的でない集合なんてないですよね？」って
速攻で否定されるからｗ
(deleted an unsolicited ad)
142:１３２人目の素数さん
19/09/14 07:27:46.93 VYIPOabR.net
>>129
ニワトリ 全然わかってないね
順序数は存在するよ
貴様は「順序数でない集合は存在しない」とわめきちらしてるから
実にわかりやすい反例を示してやった
なんならツイッターで聞いてみろってｗ
くるる氏とか集合論の研究者だから
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
143:１３２人目の素数さん
19/09/14 07:42:09.51 VYIPOabR.net
>>30
＞”元x も一つの集合だと考える”とすると、x ∈ y → x ⊂ y だろうと
＞しかし、ZFC公理系から導けると思って、トライしたが、残念ながらできなかった（＾＾；
＞（そういう文典も探したが、見つけられなかった）
ZFCから導けるわけないｗ
反例{{{}}}が存在するからｗｗｗ
＞しかし、我々の通常接する素朴集合論に近い議論では、
＞”x ∈ y → x ⊂ y ”を認めた方が良いという結論に至った
馬鹿丸出し
素朴集合論でも{{{}}}は集合
つまり、ニワトリは根本的に間違ってるｗｗｗ
ニワトリは死んだ！！！
貴様には数学は到底無理だからもう数学板に書くな 馬鹿めｗ
144:１３２人目の素数さん
19/09/14 07:44:02.93 VYIPOabR.net
ニワトリ、集合論研究者にツイッターで尋ねて爆死の図
ニワトリ「ZFCで”x ∈ y → x ⊂ y”は証明できますよね？」
研究者 「アホか！反例があるわい！」
145:１３２人目の素数さん
19/09/14 08:29:49.82 igft4myA.net
サルは５ちゃんやめて近所の中学生に教えてもらえ
これ以上バカ晒すな
146:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 11:27:28.89 QdZ5TU5n.net
>>130
(引用開始)
反例 {{{}}}
証明 {}∈{{}} {{}}∈{{{}}} しかし {}∈{{{}}}でない
したがって {{}}⊂{{{}}}
(引用終り)
そこの最後は、”￢（{{}}⊂{{{}}}）”の間違いだよねｗ
（あなたの>>12
147:6より） "{{{}}}は推移的でないから {{}}∈{{{}}}だが、￢（{{}}⊂{{{}}}）である" (引用終り) さて、しかし、{{{}}}は、明らかにフォン・ノイマン宇宙Vの中ですよ。おかしいねー？ｗ（＾＾ （証明） ・下記”階層内階層基数 | 巨大数研究”の、「フォン・ノイマン宇宙とはZFCで扱うことが出来る全ての集合を漸増的に定義する真クラスである」を認めるとする ・ZFCで空集合のべきP( Φ )={ Φ }（下記「冪集合」wikipediaより） 簡単にP( Φ )={}と記す ・これから、ZFCの 対の公理と和集合の公理とを使って、{Φ∪{Φ∪{Φ∪{}} } }＝{{{}}}と構成できて、ZFC内。即ち、フォン・ノイマン宇宙V内 ・{{{}}}は推移的でないとすると、フォン・ノイマン宇宙V内に、推移的でない集合が存在することになる ・これは、推移的集合（wikipedia）の例 「フォン・ノイマン宇宙 Vや 構成可能宇宙 L の構成の際に現れる Vα や Lαといった全ての階層も推移的集合である。 宇宙 L と V もそれ自体推移的クラスである。」の記述に反する QED （＾＾ 明らかに、おサルの集合論と、ヒトの集合論は異なるなぁ～ｗ（＾＾； つづく
148:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 11:27:47.53 QdZ5TU5n.net
>>135
つづき
URLﾘﾝｸ(googology.wikia.org)
階層内階層基数 | 巨大数研究 Wiki | FANDOM powered by Wikia
(抜粋)
フォン・ノイマン宇宙
フォン・ノイマン宇宙とはZFCで扱うことが出来る全ての集合を漸増的に定義する真クラスである。
それは集合ではないが、「全ての集合の集合」とみなすことができる。
それは累積階層という、次のように定まる超限列により定義される:
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
冪集合
(抜粋)
冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。
集合と呼ぶべき対象を公理的に構成的に与える公理的集合論では、集合から作った冪集合が集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしば提示する。
定義
集合 S が与えられたとき、S のどの部分集合をも元とする集合
P(S):={A： a set ｜ A ⊆ S}
を S の冪集合と呼ぶ。
例えば
・P( Φ )={ Φ }
・P({a})={ Φ ,{a}}
などとなる。空集合の冪集合は空集合を唯一つの元として持つ一元集合であり、空集合とは別のものである。
つづく
149:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 11:28:07.67 QdZ5TU5n.net
>>136
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理的集合論
(抜粋)
集合の公理系
現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。
・対の公理 任意の要素 x, y に対して、x と y のみを要素とする集合が存在する：
これを{x,y}で表す。
・和集合の公理 任意の集合 X に対して、X の要素の要素全体からなる集合が存在する：
(>>118)
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
推移的集合
(抜粋)
集合論において、集合 Aが推移的であるとは、
・x ∈ Aかつy ∈ x、ならばy ∈ A もしくは、同じ意味であるが
・x ∈ AかつxがurelementでないならxはAの部分集合である。
ということ。
同様にクラスMが推移的であるとは、Mの要素は全てMの部分集合であることをいう。
例
ジョン・フォン・ノイマンによる順序数の定義を用いると、順序数は遺伝的に推移的な集合として定義される
すなわち、順序数は推移的集合でその要素も全て推移的で(よって順序数でも)ある。
フォン・ノイマン宇宙 Vや 構成可能宇宙 L の構成の際に現れる Vα や Lαといった全ての階層も推移的集合である。
宇宙 L と V もそれ自体推移的クラスである。
つづく
150:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 11:28:48.65 QdZ5TU5n.net
>>137
つづき
以下、余談だがご参考まで（＾＾；
(>>67)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フォン・ノイマン宇宙
(抜粋)
定義
この累積的階層は順序数のクラスによって添え字付けられた集合Vαの集まりであり、特に、Vαは階数α未満の集合全てによる集合である。ゆえに各順序数 α に対して集合Vαが超限帰納法によって以下のように定義できる:
・V0は空集合, {}とする。
・各順序数 βに対して、Vβ+1はVβの冪集合とする。
・各極限順序数 λに対して、Vλは、次の和集合とする
この定義で重要なのは、ZFCのある式φ(α,x)で "集合xはVαに属する" ことを定義できることである。
クラスVは全てのV-階層の和、すなわち:
略
と定義される。
同じ定義だが、各αの階層を
略
と定義できる、ここで P(X)はXの冪集合のことである。
集合Sの階数はS ⊆ Vαとなる最小のαとも言える。
Vと集合論
ω を自然数全体の集合とすると、Vωは遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理の成り立たない集合論モデルである。Vω+ωはordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロの集合論のモデルである。
κ が到達不能基数ならば、VκはZFCのモデルである。そして、Vκ+1はモース-ケリー集合論のモデルである。
V は二つの理由によって、"全ての集合による集合"とは異なるものである。第一に、これは集合ではない。各階層Vαがそれぞれ集合でも、その和であるVは真のクラスであるからだ。第二に、Vの要素は全て整礎集合に限られている。
正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合がVに属する。
しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。
このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。
つづく