19/09/14 11:29:17.40 QdZ5TU5n.net
>>138
つづき
(>>92-93)
URLﾘﾝｸ(lemniscus.hatenablo)<)
公理論的集合論（情報科学特別講義 III） 矢田部俊介 2013 年 2 月 17 日 京都大学文学部大学院文学研究科
Ｐ21
4.4 推移的モデルとモストウスキ崩壊
集合論のモデルを扱う場合、一口にモデルと言ってもいろいろなモデルがある。多くの場合、モデルが ∈ に
関し推移的である（x ∈ y ∈ M ならば x ∈ M）であると証明が楽である。
(引用終り)
以上
152:１３２人目の素数さん
19/09/14 11:32:36.51 VYIPOabR.net
フォン・ノイマン宇宙
集合Xに対してP(X)でXのべき集合を表す
V0={}
V1=P(V0)={{}}
V2=P(V1)={{},{{}}}
V3=P(V2)={{},{{}},{{{}}},{{},{{}}}}
推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる
153:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 11:33:57.82 QdZ5TU5n.net
>>139 タイポ訂正
またこの空集合を元にして、{Φ},{{Φ,{{{Φ},{{{{Φ,…とか{Φ,{Φ,{Φ,{Φ},{{Φ},{Φ,{Φ},{{Φ,{{{Φ,…といった集合も存在していてほしい。
↓
またこの空集合を元にして、{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}},{{{{Φ}}}},…とか{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{{Φ}}},{Φ,{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}}},…といった集合も存在していてほしい。
（全部置換で ”}}→消し” の操作をやったら、影響が思わぬ所に出た（＾＾； ）
154:１３２人目の素数さん
19/09/14 11:36:31.49 VYIPOabR.net
>>138
>Vの要素は全て整礎集合
「整礎集合は全て推移的集合」と誤解する馬鹿ｗｗｗ
155:１３２人目の素数さん
19/09/14 11:39:58.03 VYIPOabR.net
>>140
Vαはそれ自身は推移的だが、その要素の集合は推移的でない
（Vαは順序数ではないから）
推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる
156:１３２人目の素数さん
19/09/14 11:40:56.67 VYIPOabR.net
ニワトリ、V3で敗北ｗｗｗ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
157:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 11:53:20.66 QdZ5TU5n.net
>>140
>推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる
それおサルの集合論でしょ？ｗ（＾＾；
Φ∈{}∈{{}}∈{{{}}}
だよね
だから、∈順序の推移律より、{}∈{{{}}が成立して、{{}}の要素{}が{{{}}の要素でもあるので、
「 {{}}⊂{{{}}}成立」！！ｗ
よって、集合{{{}}}は推移的です
あなたの主張は、>>139 の 「再帰の反復blog 2012-06-16 反復的集合観と公理的集合論」の
「整礎原理」を否定しているよな！！ｗ（＾＾；
それって、ヒトの集合論とは異なるなぁ～ｗ（＾＾；
（>>139より再録）
URLﾘﾝｸ(lemniscus.hatenablo)ｇ.com/entry/20120616/1339838683#sec6-7
再帰の反復blog
2012-06-16
反復的集合観と公理的集合論
(抜粋)
整礎原理
自分自身を含んでいたり包含関係が循環することがないため、「∈」について順序関係が成立することになる。
つまり包含関係「∈」に基づく「より単純な集合」←→「より複雑な集合」という相対的な位置づけを与えることができる。しかも包含関係「∈」を内側にたどっていくと必ずどこかで終わるので、「より単純な集合」←→「より複雑な集合」のうち、「より単純な集合」の方向はどこかで終点に至る。
整礎原理の成り立つ集合世界では、もっとも単純な集合から始まってだんだん複雑な集合に向かっていくという整然とした秩序が存在する
(この秩序は集合の要素数の大小関係とは異なる。たとえば0∈N∈{N})。
もっとも単純な集合は、要素を何も含まない空集合Φである。空集合Φはもちろん存在してほしい。
またこの空集合を元にして、{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}},{{{{Φ}}}},…とか{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{{Φ}}},{Φ,{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}}},…といった集合も存在していてほしい。
(引用終り)
158:１３２人目の素数さん
19/09/14 12:15:25.10 VYIPOabR.net
>>145
>>推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる
>それおサルの集合論でしょ？
いいや、ニワトリが引用した文章にもある
Vαの定義にしたがって構築している
V0={}
V1=P(V0)={{}}
V2=P(V1)={{},{{}}}
V3=P(V2)={{},{{}},{{{}}},{{},{{}}}}
>Φ∈{}∈{{}}∈{{{}}}
>だよね
いきなり間違ってるねｗ
Φ={}だから Φ(={})∈{}ではない
{}∈{{}}∈{{{}}} は
{}∈{{}} かつ {{}}∈{{{}}}
の意味であり、それゆえ正しいが
肝心の推移性の要である{}∈{{{}}}は誤り
>だから∈順序の推移律より、{}∈{{{}}}が成立して
ニワトリの嘘公理「∈順序の推移律」は成立しませんｗ
{{{}}}の要素は{{}}のみで、{}は要素ではありませんから
（一番外
159:側の{}を外すと、{{}}しか残らない） >{{}}の要素{}が{{{}}}の要素でもあるので{{}}⊂{{{}}}成立！！ 大嘘ｗｗｗ ニワトリ発狂ｗｗｗｗｗｗｗ >よって、集合{{{}}}は推移的です ニワトリ「∈順序の推移律より集合{{{}}}は推移的です」 俺 「{{{}}}をよく見ろ！一番外側の{}の中は{{}}だけだぞ！ {}なんてない。だから∈順序の推移律は成り立ってない 集合{{{}}}は推移的でない！」 >あなたの主張は、「整礎原理」を否定しているよな！！ｗ（＾＾； いいや 整礎＝推移的、でないから全然否定してないな ニワトリは整礎の定義も理解できない白痴か？ｗ
160:１３２人目の素数さん
19/09/14 12:20:35.88 VYIPOabR.net
次スレのテンプレに記載すべき重要発言
「ニワトリ曰く：{{{}}}は推移的集合
（偽）証明 ∈順序の推移律より、{}∈{{{}}}が成立して{{}}⊂{{{}}}成立」
ｗｗｗ
ニワトリは鳥目だから{{{}}}の一番外側の{}を外した中に
{{}}のほかに{}が見えるらしいｗ （ヒトには見えない）
ニワトリは認知症だな
アルツハイマーかピックかレビー小体型かは知らんがｗ
161:１３２人目の素数さん
19/09/14 12:24:30.16 VYIPOabR.net
雑談スレも77で、ニワトリの馬鹿っぷりの決定的証拠が見つかったなｗ
数学板でも数々の馬鹿を見てきたがここまで酷い馬鹿はお目にかかったことがないｗ
ニワトリの今回の馬鹿発言に比べたら「哀れな素人」の無限否定論なんか全然マシｗ
162:１３２人目の素数さん
19/09/14 13:07:59.00 igft4myA.net
だから言ってるだろ
サルは５ちゃんやめろと、近所の中学生に数学を教えてもらえと
人の言うこと聞かないからこうなる
バカ晒して楽しいか？
163:１３２人目の素数さん
19/09/14 13:42:47.85 igft4myA.net
>>82で間違いを認めておけば深手にならずに済んだのに
これが本当の猿知恵ｗ
164:１３２人目の素数さん
19/09/14 15:41:19.19 VYIPOabR.net
>>150
ニワトリ 破滅への道 Ⅰ
>> ニワトリの発言
＞ 他者の発言
１．ニワトリ 調子にのって口がすべるｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:835番)
>>あなたには、Ω ⊂ R^Nと書いた方が分り易かったですか？ｗ
２．あまりの馬鹿発言なので、当然つっこまれるｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:842番)
＞Ω ⊂ R^N と Ω ∈ R^N はまったく別ものである
３．ニワトリ 誤りに気付かず決定的自爆発言ｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:845番)
>>「まったく別もの」ではない
>>簡単に書くと
>>１）二つの集合A,Bで、A ∈ B → A ⊂ B
>>２）二つの集合A,Bで、A ⊂ B → A ∈ B
>>３）”A ∈ B → A ⊂ B” ＆ ”A ⊂ B → A ∈ B”が成立つから、
二つは同値
４．速攻で１）の反例提示されるｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:849番)
＞反例：A={0},B={{0}} A∈B だが、A⊂B ではない
＞∵集合Aの元0は、集合Bの元ではない。
５．ニワトリ １）の反例が理解できず 見当違いな反応ｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:852番)
>>それ、なんか、勘違いしていますよ（＾＾；
>>下記の（部分集合の）定義を再確認してください
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:853番)
>>元0は、空集合でしょｗ（＾＾；
>>全ての集合は空集合を部分集合として含む
165:１３２人目の素数さん
19/09/14 15:42:40.32 VYIPOabR.net
>>150
ニワトリ 破滅への道 Ⅰ
>> ニワトリの発言
＞ 他者の発言
６．さらに２）の反例も指摘され、ボロボロｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:858番)
>>２）二つの集合A,Bで、A ⊂ B → A ∈ B
＞反例：A=B={1} A⊂B だが、A∈B ではない
＞∵集合Bに{1}という元は属していない。
７．ニワトリ なぜか２）の誤りはあっさり認めるも １）は諦めずｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:865番)
>>確かに正則性公理を採用しているからｘ not∈ xだな
>>だから、２）は、不成立
>>（反例としては、A ⊂ Ａ → A not∈ A だな）
>>だから、”同値”も撤回する
>>但し、”「まったく別もの」ではない”は、正しい（＾＾
８．２）の否定の仕方が見当違いな点まで突っ込まれるｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:873番)
＞正則性公理を持ち出すまでもなく間違いである
166:１３２人目の素数さん
19/09/14 16:01:13.98 VYIPOabR.net
>>150-152
ニワトリ 破滅への道 Ⅱ
>> ニワトリの発言
＞ 他者の発言
１．現スレで、前スレ845の自爆発言を蒸し返されるｗ >>10-11
�
167:Q．さらに、別の人に１）２）を再度否定されるｗｗ >>21 ３．ニワトリ、２）については前スレ865で撤回したというも １）については言い張り続ける再自爆発言ｗｗｗ >>30 >>うん、それね、おれ間違っているね（＾＾； >>まず、上記２）は、正則性公理から反例 ｘ not∈ x >>（x ⊂ xであるにも関わらす）が出るから間違い >>（それ以外にも、反例はあるな。後述） >>では、上記１）は、どうだろうか？ >>公理的集合論 >>「x ∈ y の直観的な意味は，もちろん元x が集合y に属することであるが， >> x も一つの集合だと考える．」 >> ”元x も一つの集合だと考える”とすると、x ∈ y → x ⊂ y だろうと >> しかし、ZFC公理系から導けると思って、トライしたが、残念ながらできなかった（＾＾； >>（そういう文典も探したが、見つけられなかった） >> しかし、我々の通常接する素朴集合論に近い議論では、 >> ”x ∈ y → x ⊂ y ”を認めた方が良いという結論に至った ４．すかさずトンチンカン発言をつっこまれるｗ >>46 >>∈－順序が成立つ場合は、”x ∈ y → x ⊂ y ”成立 ＞「∈ がその上で整列順序になる集合」って順序数だろ ＞いつどこで誰が「一般の集合が順序数になる」と証明したんだ？
168:１３２人目の素数さん
19/09/14 16:14:55.86 VYIPOabR.net
>>153
ニワトリ 破滅への道 Ⅱ
>> ニワトリの発言
＞ 他者の発言
３． ニワトリ 前スレ845の１）について見当違いな理由による正当化発言ｗ >>30-31
（１） まず順序数について成り立つことを述べる （正しいのはここだけｗ）
>>１）二つの集合A,Bで、A ∈ B → A ⊂ B
>>「基本的な考え方は，∈ がその上で整列順序になる集合たちのクラスを
>>上手に定義して，それに属する集合を順序数として定義すること」
>>（要するに、∈－順序な）
>>∈－順序は、推移的なので、xの任意の元 u ∈ x が成立つと、x ∈ y → u ∈ ｙ成立（∵推移性より）
>>だから、この場合は”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
（２） で、ここでなぜか一般の集合も順序数だといいはるトンデモ発言ｗ
>>で、我々が通常扱う集合は、超限帰納法も適用可の場合が多く、∈－順序が成立つとして良い
>> ∈－順序が成立つ場合は、”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
>>36
>>∈－順序を認めないと、超限帰納法が適用困難になる
（３） さらにベン図を持ち出す醜態
>>なお、”x ∈ y → x ⊂ y ”を認めないと、素朴集合論のベン図に反例が出る
>>つまり、x ∈ yであるにも関わらず、xのある元 u ∈ x で、
>>u not∈ y となると、素朴集合論のベン図が描けないｗ（＾＾；
>>（∈－順序を仮定しないとどうなるか？ 上記のように、分からんかった（＾＾；
>>36
>>現実の我々が日常接する集合（大学学部レベルで（それ以上は知らず））は、
>>∈－順序を認めて、素朴集合論のベン図が描けるものに限定して、良いのではないだろうか？（＾＾
４．すかさずトンチンカン発言をつっこまれるｗ >>46
>>∈－順序が成立つ場合は、”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
＞「∈ がその上で整列順序になる集合」って順序数だろ
＞いつどこで誰が「一般の集合が順序数になる」と証明したんだ？
169:１３２人目の素数さん
19/09/14 16:22:56.72 VYIPOabR.net
>>154
ニワトリ 破滅への道 Ⅱ
>> ニワトリの発言
＞ 他者の発言
５． ニワトリ、完全に集合＝順序数、と誤解するトンデモぶりｗ >>81
>>・∈－順序は、公理的集合論ＺＦＣの目玉の重要キーワードでしょ？
>> これで、帰納法及び超限帰納法が可能になるんだ
>>・フォン・ノイマン宇宙（>>67）も、重要キーワードでしょ？
>> フォン・ノイマン宇宙では、∈－順序が成り立ち、∈が推移律を保つ
>>・推移律：x∈y∈z で、ここでｘはｙの任意の元として、
>> ｘに対し∀x∈zが成立→即y⊂z成立 かつ x⊂z成立
６． トンデモ発言をいちいち否定される >>84
＞フォン・ノイマン宇宙自体は推移的であっても
＞フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけではない
＞もしフォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なら
＞フォン・ノイマン宇宙は順序数の全体ということになるが
＞そんな馬鹿なことはもちろんないｗ
＞例えば{{{}}}は明らかに集合であることが証明できるが
＞これは推移的ではないｗ
＞{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} しかし ￢({}∈{{{}}})
170:１３２人目の素数さん
19/09/14 16:31:42.70 VYIPOabR.net
>>153-154
ニワトリ 破滅への道 Ⅱ
>> ニワトリの発言
＞ 他者の発言
５． ニワトリ、公理でもなんでもない∈順序の推移律を乱用して
集合論の定理を否定するトンデモモンスターになり果てるｗ >>145
＞推移的でない集合{{{}}}
>>それおサルの集合論でしょ？ｗ（＾＾；
>>{}∈{{}}∈{{{}}}だよね
>>だから、∈順序の推移律より、{}∈{{{}}が成立して、
>>{{}}の要素{}が{{{}}の要素でもあるので、「 {{}}⊂{{{}}}成立」！！ｗ
>>よって、集合{{{}}}は推移的です
６．ニワトリのトンデモ発言に対する決定的反論
ニワトリ丸焼きで死すｗ >>146
＞{}∈{{}}∈{{{}}} は
＞{}∈{{}} かつ {{}}∈{{{}}}の意味であり、
＞それゆえ正しいが
＞肝心の推移性の要である{}∈{{{}}}は誤
＞ニワトリの嘘公理「∈順序の推移律」は成立しませんｗ
＞{{{}}}の要素は{{}}のみで、{}は要素ではありませんから
＞（一番外側の{}を外すと、{{}}しか残らない）
>>あなたの主張は、「整礎原理」を否定しているよな！！ｗ（＾＾；
＞いいや 整礎＝推移的、でないから全然否定してないな
171:１３２人目の素数さん
19/09/14 16:33:59.88 VYIPOabR.net
>>153-155 ニワトリ 破滅への道 Ⅱ >> ニワトリの発言 ＞ 他者の発言 ７． ニワトリ、公理でもなんでもない∈順序の推移律を乱用して 集合論の定理を否定するトンデモモンスターになり果てるｗ >>145 ＞推移的でない集合{{{}}} >>それおサルの集合論でしょ？ｗ（＾＾； >>{}∈{{}}∈{{{}}}だよね >>だから、∈順序の推移律より、{}∈{{{}}が成立して、 >>{{}}の要素{}が{{{}}の要素でもあるので、「 {{}}⊂{{{}}}成立」！！ｗ >>よって、集合{{{}}}は推移的です ８．ニワトリのトンデモ発言に対する決定的反論 ニワトリ丸焼きで死すｗ >>146 ＞{}∈{{}}∈{{{}}} は ＞{}∈{{}} かつ {{}}∈{{{}}}の意味であり、 ＞それゆえ正しいが ＞肝心の推移性の要である{}∈{{{}}}は誤 ＞ニワトリの嘘公理「∈順序の推移律」は成立しませんｗ ＞{{{}}}の要素は{{}}のみで、{}は要素ではありませんから ＞（一番外側の{}を外すと、{{}}しか残らない） >>あなたの主張は、「整礎原理」を否定しているよな！！ｗ（＾＾； ＞いいや 整礎＝推移的、でないから全然否定してないな
173:１３２人目の素数さん
19/09/14 16:42:11.94 VYIPOabR.net
ニワトリがトンデモになりさがった原因の分析
１）そもそも∈（所属）と⊂（包含）の違いが分かってない
「ベン図」発言からも分かるように、
∈（所属）も⊂（包含）と「同様」だ
と思い込んでる
２）わけもわからずかき集めた無駄な知識を自分勝手に解釈
整礎の意味を理解せず、勝手に推移性が成り立つと誤解
しかも「選択公理により整列定理が成り立つ」とかいう
聞きかじりの知識から、
「どんな集合も∈による整列順序が存在する！」（つまり順序数）
とトンデモの極みともいえる大誤解
基本的な勉強を怠って誤解
さらに無駄な知識を聞きかじる安直な態度で誤解が重症化
もっとも始末の悪い「知の変質者」の出来上がりｗ
174:１３２人目の素数さん
19/09/14 16:48:15.43 VYIPOabR.net
トンデモモンスター ここに眠る
「{}∈{{}}∈{{{}}}だから、∈順序の推移律より、{}∈{{{}}が成立！
{{}}の要素{}が{{{}}の要素でもあるので、{{}}⊂{{{}}}成立！！
よって、集合{{{}}}は推移的」
175:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 21:44:00.09 QdZ5TU5n.net
おサル、踊ってくれて、ありがとう ｂｙ サル回しのスレ主（＾＾
176:１３２人目の素数さん
19/09/14 22:28:03.41 VYIPOabR.net
>>160
ニワトリ 反省する謙虚さゼロ
クソだな 死ねよ
177:１３２人目の素数さん
19/09/14 22:29:00.46 VYIPOabR.net
ニワトリの馬鹿発言
「{}∈{{}}∈{{{}}}だから、∈順序の推移律より、{}∈{{{}}が成立！」
死ねよ 白痴
178:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 22:33:45.40 QdZ5TU5n.net
>>140 >>142-143
(引用開始)
フォン・ノイマン宇宙
集合Xに対してP(X)でXのべき集合を表す
V0={}
V1=P(V0)={{}}
V2=P(V1)={{},{{}}}
V3=P(V2)={{},{{}},{{{}}},{{},{{}}}}
推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる
Vαはそれ自身は推移的だが、その要素の集合は推移的でない
（Vαは順序数ではないから）
推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる
(引用終り)
おサルの集合論：（素朴集合論に似ているが）
・推移的：下記の”自然数wikipedia”の構成の前者のみ（有限順序数の構成）が、∈-関係で、推移的だという
・フォンノイマン宇宙に反例がある：下記の”自然数wikipedia”の構成の後者の構成 3 := {2} = {{{{}}}}などは推移的ではないという
ヒトの集合論：（下記、公理的集合論の基礎 酒井 拓史 神戸大学 2019 年 数学基礎論サマースクールより）
・公理的集合論
・集合論の言語L∈： 非論理記号は二項関係記号∈ のみ
・遺伝的集合： 要素もそのまた要素もすべて集合である集合
・遺伝的集合を単に集合と呼ぶ
・整礎的関係二項関係：基礎公理により，すべての集合X に対して，「∈｜ X := {?x; y? ∈ X × X | x ∈ y}はX 上の整礎的な二項関係」
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
(抜粋)
それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である。
このように定義された集合 n は丁度（通常の意味で）n 個の元を含むことになる。
また、これは有限順序数の構成であり、（通常の意味で）n <= m が成り立つことと n が m の部分集合であることは同値である。
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)
つづく
179:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 22:34:20.92 QdZ5TU5n.net
>>163
つづき
URLﾘﾝｸ(www.sci.shizuoka.ac.jp) 数学基礎論サマースクール 選択公理と連続体仮説
URLﾘﾝｸ(www.sci.shizuoka.ac.jp)
公理的集合論の基礎 酒井 拓史 神戸大学 2019 年 数学基礎論サマースクール
(抜粋)
P3
公理的集合論の枠組み
公理的集合論は述語論理の枠組みのもとで展開される．
・集合論の言語L∈： 非論理記号は二項関係記号∈ のみ
・集合論の公理系： ZF やZFC など
・公理的集合論の考察対象：
遺伝的集合の集まりとそれら間の要素関係（∈-関係）
● 遺伝的集合： 要素もそのまた要素もすべて集合である集合
例：
180: Φ，{Φ}，{Φ, {Φ, {Φ}}} ● 変数記号は遺伝的集合を指し，量化子のスコープは遺伝的集合全体． ● 自然数・実数・関数・位相空間など，数学諸概念が遺伝的集合を用いて表現 （コード）され，様々な数学が公理的集合論の枠組みの中で展開される． ● 遺伝的集合を単に集合と呼ぶ． P17 整礎的関係 R を集合X 上の二項関係とする． 基礎公理により，すべての集合X に対して， ∈｜ X := {?x; y? ∈ X × X | x ∈ y} はX 上の整礎的な二項関係． (引用終り) 以上
181:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 22:37:46.37 QdZ5TU5n.net
>>164 文字化け訂正
∈｜ X := {?x; y? ∈ X × X | x ∈ y}
↓
∈｜ X := {(x; y?)∈ X × X | x ∈ y}
なお
（再度強調：「基礎公理により，すべての集合X に対して」ですよ（＾＾； ）
整礎的関係
R を集合X 上の二項関係とする．
基礎公理により，すべての集合X に対して，
∈｜ X := {(x; y?)∈ X × X | x ∈ y}
はX 上の整礎的な二項関係．
(引用終り)
182:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 22:39:22.15 QdZ5TU5n.net
>>165
>基礎公理により，すべての集合X に対して
ああ、また文字化けしたか
まあ、原文PDF URLﾘﾝｸ(www.sci.shizuoka.ac.jp)
公理的集合論の基礎 酒井 拓史 神戸大学 2019 年 数学基礎論サマースクール
見て下さい
よほどその方が見やすい（＾＾；
183:１３２人目の素数さん
19/09/14 22:40:56.83 VYIPOabR.net
>>163-165
いくら書いても
{}∈{{{}}}
なんて正当化できませんから
残念！！！
184:１３２人目の素数さん
19/09/14 22:42:06.98 VYIPOabR.net
ニワトリ集合論ｗ
{}∈{{{}}}
ギャハハハハハハｗｗｗｗｗｗｗ
185:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 23:14:12.83 QdZ5TU5n.net
>>163 追加
（下記、藤田先生）
「要素所属関係∈」
とか
「モストフスキの崩壊定理により, 外延性公理の整礎的モデルは推移的集合の∈-構造と同型になる」
とか
公理的集合論では、「要素所属関係∈」は、”ヒトの集合論の肝”ですよ（＾＾；
（参考：藤田 博司先生（＾＾； ）
URLﾘﾝｸ(tenasaku.com)
弱コンパクト基数
藤田 博司
起稿:2009 年 1 月 30 日
脱稿:2009 年 2 月 14 日最終組版日 2010 年 7 月 6 日 (time: 1041)
概要
弱コンパクト基数について勉強したことのまとめです. 新しいオリジナルな結果はありません.
(抜粋)
P19
B が集合論の言語L(∈) あるいはその拡張言語に対応する数学的構造, A が
その部分モデルで, しかも上記の条件(EX) が成立しているならば, B はA の終端拡大(end-extension) で
あるといいます.
定理3.5 k を弱コンパクト基数, A をVk の任意の部分集合とする. このとき, 構造(Vk,∈,A) は整礎的な初等
終端拡大をもつ. とくに, 推移的集合M とその部分集合A' が存在して, k ∈ M, かつ(Vk,∈,A) < (M, ∈,A')
となる.
[証明] 集合論の言語L(∈) に, 集合A をあらわす一項述語記号A と, Vk の各要素x をあらわす定数記号
cx, それと, “新しい順序数” をあらわす定数記号c* を添加した拡張言語L' を考えよう.
M の要素所属関係∈* が整礎的であることは, 次のL'k,k文:
略
が (V,∈) で成立しており, したがって(M, ∈*) でも成立することによってわかる. モストフスキの崩壊定
理により, 外延性公理の整礎的モデルは推移的集合の∈-構造と同型になる. そこで, M は推移的集合, ∈* はホ
ンモノの∈-関係であるとしても一般性は損なわれない. Vk が推移的集合であることから, このとき, x* = x
が成立し, (M, ∈,A') は(Vk,∈,A) の初等拡大モデルとなる.
186:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:28:42.88 VYIPOabR.net
>>169
藤田氏もツイッターやってるから聞いてみな
「∈は推移的だから{}∈{{{}}}ですよね」ってｗ
・・・速攻で否定されるぞｗ
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
187:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:35:36.00 igft4myA.net
{}∈{{{}}} を仮定する。
右辺の元は {{}} のみであるから {}={{}} が成立。
よって、{}={{}}={{{}}}=・・・が成立。※
ところで自然数全体の集合Nを
>以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。
>例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
>0 := {}
>1 := {0} = {{}}
>2 := {1} = {{{}}}
>3 := {2} = {{{{}}}}
>と非常に単純な自然数になる。
188:の方法で構成したとき、N={0,1,2,・・・}={{},{{}},{{{}}},・・・} であるが、 ※から N={{},{},{},・・・}={{}}={} が成立。 サルの主張 {}∈{{{}}} から、N={} が証明された。 サルの数学では自然数は存在しないらしい。
189:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 23:36:04.85 QdZ5TU5n.net
>>169
いまのおサルとニワトリの推移的集合論論争に、参考になりそうなのが
下記の檜山正幸さんの「現場の集合論としての有界素朴集合論」だろうね
おサルには、ちょっと難しいだろうがｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(m-hiyama.hatenablo)ｇ.com/entry/20171024/1508830602
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2017-10-24
現場の集合論としての有界素朴集合論
(抜粋)
内容：
述語論理と集合論
素朴集合論とは何か
アトムと集合
宇宙と銀河
有界素朴集合論
有界素朴集合論の使い途
ZFC公理的集合論（Zermelo?Fraenkel axiomatic set theory with Choice）も一階古典述語論理により記述されていることです。カスタマイズは自然数論よりむしろ簡単で、追加する記号は'∈'だけです。これに幾つかの公理を足して、あとは一階古典述語論理の推論能力を使って定理を証明していくだけです。
素朴集合論とは何か
集合概念が必要な場面では、ZFC公理的集合論が使われているのでしょうか？ -- 使われません。日常的にZFC公理的集合論を使う人なんていない、と言うと言い過ぎだけど、極めて少数です。
我々が日常的に使っている集合論は素朴集合論（naive set theory）です。要するに、直感的でイイカゲンでカジュアルな集合論です。
厳密な定義や公理系を持たない集合論を総称して素朴集合論と呼んでいるので、素朴集合論を定義するのは無理があります。が、素朴集合論を二種類に分けて考えたほうがよさそうです。ひとつはユーザーフレンドリーなZFC集合論、もうひとつは原始集合論です。
この意味の素朴集合論は、直感的かつ安直に使える集合論ですが、頑張ればZFC集合論に“コンパイル”して合理化できます。
もうひとつの原始集合論とは、集合論を学ぶ以前に知っている集合論とでも言えばいいでしょうか。人間が持つ認識能力の一種です。集合論や論理を学ぶ際に、この種の認識能力が事前にないと、そもそも学ぶことが出来ません。原始的な認識能力に僕は興味を持っているのですが、今日はこれ以上、この話はしません。
つづく
190:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 23:36:33.47 QdZ5TU5n.net
>>172
つづき
アトムと集合
以下、素朴集合論とはユーザーフレンドリーなZFC集合論の意味だとします。
素朴集合論には、集合でないモノがあります。例えば、整数3は集合でしょうか？ 普通の感覚では、3は集合ではありません。しかし、ZFC集合論では全てのモノが集合です。もちろん、整数3もZFC集合論における集合です。
要素を持たないモノをアトム（atom; 原子）と呼びます。素朴集合論で、3はアトムです。ZFC集合論では、3はアトムではありません。このギャップを埋める方法は、割とイイカゲンで、いくつかの集合を特定して、それらの集合の要素は「アトムと見なそう」と約束するだけです。
アトムを認めると、何がアトムで何がアトムでないかイチイチ決めなくてはいけないので面倒になります。ですが、我々がプログラミング言語やデータベースの話をするときは、スカラー型、複合データ型、コレクション型のような区別をするので、アトムを認めたほうがよいでしょう。
宇宙と銀河
ZFC集合論の集合の全体からなる集まりをVとしましょう。
我々の日常宇宙Uは、ZFCの宇宙Vに埋め込むことが出来るので、U⊆V です。それだけではなくて、日常宇宙Uは、ZFC宇宙Vの単一の集合とみなせるでしょうから、U∈V と考えていいでしょう。日常宇宙Uは小規模な宇宙で、外側に広がる大宇宙Vのなかでは普通の集合に過ぎないのです。
宇宙Uは銀河を持ち、U内のすべてのモノ（アトムでも集合でも）が、いずれかの銀河内に在るとします。これは、a0∈a1∈... という系列が無限に続くことはなくて、銀河で終端することを意味します。この性質を、∈-系列の有界性と呼び、すべての∈-系列が有界な宇宙を有界宇宙（bounded universe）と呼びましょう。
有界素朴集合論
有界宇宙Uを持つような素朴集合論を有界素朴集合論（bounded naive set theory）と呼ぶことにします。アトムも銀河も許します。そのため、ZFC集合論では認められない（否定が証明できる）次の命題が成立します。
(引用終り)
以上
191:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:40:21.56 VYIPOabR.net
>>172
誤 おサルとニワトリの推移的集合論論争
正 人間様からニワトリへの集合論の初歩の指導
>>171
＞{}∈{{{}}} を仮定する。
＞右辺の元は {{}} のみであるから {}={{}} が成立。
＞よって、{}={{}}={{{}}}=・・・が成立。※
ニワトリのことだから、本気でそう思ってそうｗ
192:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/14 23:40:41.72 QdZ5TU5n.net
>>171
>{}∈{{{}}} を仮定する。
>右辺の元は {{}} のみであるから {}={{}} が成立。
意味分からん
「{}={{}} が成立」？
その式自身が矛盾だろ？ｗ（＾＾；
193:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:45:56.21 igft4myA.net
>>175
{}∈{{{}}} を仮定すると {}={{}} にならざるを得ないんですよ
それが不満なら仮定 {}∈{{{}}} が偽であることを認めるしかないですね（＾＾
194:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:45:58.91 VYIPOabR.net
>>173-174
勉強嫌いのニワトリは集合をアトムの集まりとしか認識してないだろうなｗ
自然数もアトム 実数もアトム
そのレベルだとそもそも∈の推移性自体が意味をもたないｗ
なぜならx∈Sとしたとき、xは集合でなくアトムだから y∈xなんてことは想定外ｗ
それじゃトンデモになるわけだな
公理的集合論に関する無理解度は
文系も理系（数学科以外）も
大して変わらないｗ
195:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:48:26.53 VYIPOabR.net
>>176
＞{}∈{{{}}} を仮定すると {}={{}} にならざるを得ないんですよ
その通り
{{{}}}の要素は{{}}だけだから
もし{}が要素なら{{}}と同じだ
ということになるｗ
>>175
>意味分からん
ニワトリは自分の主張からトンデモな結論が導かれることにも気づけないｗ
196:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:50:28.93 VYIPOabR.net
ニワトリ語講座ｗ
１．「意味わからん」
「勘弁して、ボクはアタマ悪いんです」の意ｗ
２．「笑える」
「ごめんなさい、もう許して」の意ｗ
197:１３２人目の素数さん
19/09/14 23:55:12.34 VYIPOabR.net
ところで「分からない問題はここに書いてね456」にて
推移的集合に関する問題を出題してみたところ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:103番)
速攻で正しい回答が返ってきました
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:109番)
これが数学板の実力ですよｗ
198:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 00:02:49.15 NNU+uf1a.net
>>175 補足
(引用開始)
>>171
>{}∈{{{}}} を仮定する。
>右辺の元は {{}} のみであるから {}={{}} が成立。
(引用終り)
檜山正幸さんにならって、”現場の素朴集合論”でのたとえ話をすると
１）袋Xの中に、二つの物が入っている
大工道具セットの箱A（ノコギリ、金槌、ドライバー、・・・）
釣り道具セットの箱B（釣り竿、釣り針、釣り糸、・・・）
２）袋やセットを、素朴集合とします
３）一方、袋Ｙの中には、上記の二つのセットの箱の中身のみが分けられずにバラでそのまま入っている（箱は無し）
４）袋X≠袋Ｙ です（素朴集合論として）
５）で、ノコギリは、明らかに袋Ｙ中で、「ノコギリ∈袋Ｙ」 と言える
６）では、袋Xに対してはどうか？
袋Xの中にも、確かにノコギリは入っている
但し、大工道具セットの箱Aの中ではあるが
この場合に、「ノコギリ∈袋X」だよというのが、ニワトリの主張です（多分ヒトも）
７）おサルの集合論では、「ノコギリ not∈袋X」だよという
お分かりかな？この違い
私の主張でも、「{}={{}} が成立」ではないことが（＾＾；
199:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:11:38.19 g2F0dADR.net
>>181
＞袋Xの中にも、確かにノコギリは入っている
＞但し、大工道具セットの箱Aの中ではあるが
＞この場合に、「ノコギリ∈袋X」だよというのが、
＞ニワトリの主張です（多分ヒトも）
悪いがヒトはニワトリほど馬鹿じゃないよ
X={A,B}
A={ノコギリ、金槌、ドライバー、・・・}
B={釣り竿、釣り針、釣り糸、・・・}
この場合
ノコギリ、金槌、ドライバー、・・・
釣り竿、釣り針、釣り糸、・・・
のいずれもXの要素ではない
というのがヒトの結論です
Y={ノコギリ、金槌、ドライバー、・・・、釣り竿、釣り針、釣り糸、・・・}
XとYは集合として異なります
200:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:15:45.83 g2F0dADR.net
ニワトリの考え方では、ZFCの集合は全部空集合に等しくなるｗ
なぜならZFCに集合でないアトムは存在しないから
{}がどんな風に重なり合っていても、
{}の中にアトムがないから
ニワトリにとって中身は空っぽであるｗ
201:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:17:14.98 g2F0dADR.net
今夜はニワトリの丸焼きでパーティだな
祭りだ！祭りだ！！祭りだ！！！祭りだ！！！！
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
202:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:25:27.25 g2F0dADR.net
ニワトリとヒトの差は、指原莉乃と中元すず香くらい違う
っていおうとおもったけど
今見たらさしこ結構歌上手いじゃんｗ
ってことでこの喩えは撤回ねｗ
指原莉乃
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
203:１３２人目の素数さん
19/09/15 00:33:52.93 g2F0dADR.net
ま、しかし「ゆび祭り」にBABYMETALを呼ばなかったのは
さしこ一生の不覚だろうｗ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
204:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 07:21:55.39 NNU+uf1a.net
>>180
(引用開始)
ところで「分からない問題はここに書いてね456」にて
推移的集合に関する問題を出題してみたところ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:103番)
速攻で正しい回答が返ってきました
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:109番)
これが数学板の実力ですよｗ
(引用終り)
それ、自分が正しいことの証明になっていない！！
あなたと同じ考えのヒトが、一人いたというだけのこと
205:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 07:31:30.80 NNU+uf1a.net
さて
>>182
>XとYは集合として異なります
ええ、>>181で「４）袋X≠袋Ｙ です（素朴集合論として）」と自分でも書いていますよ
理解できないようなので、もう少し例を増やします（>>181の”・・・”は省きます）
１）素朴集合の元（要素）として
・大工道具セットの箱A（ノコギリ、金槌、ドライバー）
・釣り道具セットの箱B（釣り竿、釣り針、釣り糸）
・ケースに入れたノコギリ＝{ノコギリ} （一元集合とする（ノコギリはよく使うため））
・大工道具セットの箱C（金槌、ドライバーのみ）（ノコギリを出した）
２）４例
・集合X＝{A,B} （セットで入っている）
・集合Y＝{ノコギリ,金槌,ドライバー,釣り竿,釣り針,釣り糸} （バラバラに入っている）
・集合Z＝{A,C,{ノコギリ}} （{ノコギリ} （一元集合）として入っている）
・集合Z’＝{A,C,ノコギリ} （ノコギリが元として入っている）
３）ここで、X≠Y≠Z≠Z’です（念のため）
４）ノコギリに注目すると
・ノコギリ∈Y かつ ノコギリ∈Z’
・ノコギリ∈{ノコギリ}⊂Z
５）もしノコギリが集合だと考えると
・ノコギリ⊂{ノコギリ}⊂Z （包含関係）
よって
・ノコギリ⊂Z
つまり、ノコギリはZに包含されているのです
ノコギリは、集合ではなく元だったので
・ノコギリ∈Z
６）まあ、上記５）で言いたいことは
・⊂と∈とは、よく似ているってこと
・⊂と∈との違いは、∈は集合の元（要素）に適用されるが、⊂は広く集合の元（要素）以外にも適用されること
・ところが、公理的集合論では、元（要素）もまた集合なので、⊂と∈との敷居は素朴集合論より低いのです
・上記４）の「ノコギリ∈Z」のように考える方が、正解なのです
勿論、X≠Y≠Z≠Z’です
・こう考えないと、>>164の 酒井拓史 神戸大
「整礎的関係 Rを集合X 上の二項関係 基礎公理により，すべての集合X に対して，
∈｜ X := {(x, y) ∈ X × X | x ∈ y} はX 上の整礎的な二項関係」
は理解できないでしょう （特に”すべての集合X に対して”に対し、{{{{}}}}が反例になるが、それはおかしい（>>163-164ご参照））
以上
206:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 07:34:17.13 NNU+uf1a.net
>>188 タイポ訂正
・上記４）の「ノコギリ∈Z」のように考える方が、正解なのです
↓
・上記５）の「ノコギリ∈Z」のように考える方が、正解なのです
分かると思うが（＾＾；
207:１３２人目の素数さん
19/09/15 08:02:43.15 g2F0dADR.net
>>188
＞５）ノコギリが集合だと考えると
＞ ・ノコギリ⊂{ノコギリ} （包含関係）
＞よって
＞ ・ノコギリ⊂Z
＞ つまり、ノコギリはZに包含されているのです
これはヒドイｗ
もちろん誤り
ノコギリ＝{{}}とする
{{}}⊂{{{}}} ではない
208: なぜなら、{{{}}}}の要素は{{}}だけであって{}はないから {{}}⊂{{},{{}}} なら正しいが したがって ＞・上記５）の「ノコギリ∈Z」のように考える方が、正解なのです は全くの誤り ＞・こう考えないと、 ＞「整礎的関係 Rを集合X 上の二項関係 基礎公理により， ＞ すべての集合X に対して， ＞ ∈｜ X := {(x, y) ∈ X × X | x ∈ y} ＞ はX 上の整礎的な二項関係」 ＞ は理解できないでしょう いや、あなたが整礎的関係を誤解してるだけ 整礎である、というために、∈が推移的である必要はない ＞（特に”すべての集合X に対して”に対し、 ＞ {{{{}}}}が反例になるが、それはおかしい） おかしくない {{{{}}}}が整礎的でないとはいってない 要素をたどっていく操作は必ず有限回でおわる （これが整礎） しかし{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}から {{}}∈{{{{}}}}が言える必要はない
209:１３２人目の素数さん
19/09/15 08:06:28.40 g2F0dADR.net
>>188
＞・⊂と∈との違いは・・・
⊂は推移的だが、∈は一般的に推移的ではない、ということ
ということで根本的に似てない
210:１３２人目の素数さん
19/09/15 08:08:39.84 g2F0dADR.net
蛇足
>>189
＞分かると思うが
ニワトリの言い訳根性が実に卑しい
211:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 08:12:51.73 NNU+uf1a.net
>>188 追加
(引用開始)
・⊂と∈とは、よく似ているってこと
・⊂と∈との違いは、∈は集合の元（要素）に適用されるが、⊂は広く集合の元（要素）以外にも適用されること
・ところが、公理的集合論では、元（要素）もまた集合なので、⊂と∈との敷居は素朴集合論より低いのです
・上記５）の「ノコギリ∈Z」のように考える方が、正解なのです
(引用終り)
別の例を挙げよう（最初は素朴集合論ベースとして）
１）自然数の集合N、偶数の集合N2、奇数の集合Nodd
２）集合N’＝{N2,Nodd} (偶数の集合と奇数の集合とを入れた集合)
明らかに
N ＝ N2∪Nodd ≠ N’
３）ですが、集合N’とNは似ています
例えば、ｓ＝{2,4,6}という集合は、NとN’両方に含まれます（部分集合）
４）ですが、ｓ’＝{2,3,5}は、Nには含まれますが、N’に含まれない
（∵ ｓ’は偶数と奇数の混合で、偶数の集合と奇数の集合と、どちらにも含まれないので推移律不成立）
５）では、一元集合ではどうか？
{2}は、NとN’両方に含まれます（両方の部分集合）
{2}⊂N ＆ {2}⊂N’
６）さて、2（元として）ならどうか？
明らかに、2∈N
しかし、2 not∈N’なのでしょうか？
{2}⊂Nであるにも関わらず
７）素朴集合論では、些末なことなので、この程度のことはどうでも良い
というか、適当で良い
しかし、公理的集合論では、適当ではすまないのです
2 ∈N’と考えるのが、一番すっきりしている
2 ∈N2 かつ N2 ∈N’で、∈の推移律により、2 ∈N’と考えるべき
（∵ >>164の 酒井拓史 神戸大の通り（>>188）
「基礎公理により，すべての集合X に対して・・、∈は・・整礎的な二項関係」）
QED
212:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 08:15:31.80 NNU+uf1a.net
>>190
＞要素をたどっていく操作は必ず有限回でおわる
要素をたどっていく操作は、∈関係によります
QED
（＾＾；
213:１３２人目の素数さん
19/09/15 08:23:58.94 qglvvszf.net
>>193
偶数の集合 = {2} = {{1}}
1∈{1}⊂偶数の集合
スレ主によると
1∈偶数の集合
214:１３２人目の素数さん
19/09/15 08:26:12.37 g2F0dADR.net
>>193
＞１）自然数の集合N、偶数の集合N2、奇数の集合Nodd
＞２）集合N’＝{N2,Nodd} (偶数の集合と奇数の集合とを入れた集合)
＞３）ｓ＝{2,4,6}という集合は、NとN’両方に含まれます（部分集合）
これまたヒドイｗ
ｓ⊂N s⊂N2 だが、s⊂N'ではない
＞５） {2}は、NとN’両方に含まれます（両方の部分集合）
これもヒドイｗ
{2}⊂N {2}⊂N2 だが、{2}⊂N'ではない
＞６）明らかに、2∈N
＞ しかし、2 not∈N’なのでしょうか？
＞ {2}⊂Nであるにも関わらず
ヒドすぎるｗｗｗ
{2}⊂N’でないので、2∈N’ではないですね（バッサリ）
＞７）素朴集合論では、些末なことなので、この程度のことはどうでも良い
＞ というか、適当で良い
いや、全然ダメだよｗ
＞ しかし、公理的集合論では、適当ではすまないのです
＞ 2 ∈N2 かつ N2 ∈N’で、∈の推移律により、2 ∈N’と考えるべき
いや、そもそも、公理的集合論に∈の推移律なんてないからｗ
∈が推移的なのは、推移的集合だけ
しかも遺伝的に推移的になるのは、順序数だけ
いいかげん、根本的な誤りに気づきなよ
＞酒井拓史 神戸大
＞「基礎公理により，すべての集合X に対して・・、∈は・・整礎的な二項関係」
〇〇の一つ覚えのように書いてるけど
「∈は・・整礎的な二項関係」は「∈は推移的」を導かないからｗ
215:１３２人目の素数さん
19/09/15 08:27:53.03 g2F0dADR.net
>>194
＞要素をたどっていく操作は、∈関係によります
∈関係が推移的である必要はありません
R.I.P
216:１３２人目の素数さん
19/09/15 08:32:34.81 g2F0dADR.net
>>193
追伸
＞集合N’＝{N2,Nodd} (偶数の集合と奇数の集合とを入れた集合)
ニワトリはN2⊂N’だと思い込んでるだろうけど、も・ち・ろ・ん、違うよｗ
217:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 10:03:55.55 NNU+uf1a.net
（>>113より）
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
フォン・ノイマンと公理的集合論 渕野昌 28. Mai 2017
以下の文章は、 「現代思想」2013 年８月増刊号に，渕野昌，フォン・ノイマンと公理的集合論(2013), 208?223. として�
218:葈^された論説である。 雑投稿／校正後の加筆訂正も含まれている。 誌掲載版では紙数の制限などのために削除した部分も再収録した。 上記を読むのに、下記が大変役に立ちました（＾＾ http://www.ivis.co.jp/text/20190619.pdf 代替集合論 （Alternative Set Theories）の調査 古賀明彦 2019年 6月 19日（水） なお、追加でメモ貼り https://martbm.hatenabloｇ.com/entry/20170723/1500777080 martingale & Brownian motion 2017-07-23 ＺＦＣの圏論での「代替」には意味があるのか？ 新装版 集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために (ブルーバックス) 作者: 竹内外史 出版社/メーカー: 講談社 発売日: 2001/05/18 現代集合論入門 (日評数学選書) 作者: 竹内外史 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 1989/12/01 この本がいいところは、なぜ公理的集合論が「変」なのか。というか、どうしてこんなことになっているのかを、かなり細かく（つまり、啓蒙的に）書いてくれていることで、細かい証明を辿っていけば、「なるほど、こんなことになっているんだな」というのを理解してくれると思う。 ここで大事なポイントは、「これ」が「数学の基礎」として提示されているところにある。 ようするに、あまりに「人工的」な印象を受けるわけである。 もっと言えば、この公理は 強すぎる のではないのか、という疑いが強いわけである。 なぜ、こんな公理が用意されたのか？ それは、上記の「矛盾」を回避するためであった。 つまり、いろいろと分かっている「矛盾」を回避しながら、かつ、 今ある「全て」の数学を成立させる ための「基礎」となる公理はなんなのか、として「探された」結果として、この姿があるわけで、少しも「直感的」な理由から選ばれていないわけである。 これが「数学の基礎」と言うには、あまりに「人工的」なんじゃないのか？ という、気持ち悪さが残っているわけである。 つづく
219:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 10:04:33.11 NNU+uf1a.net
>>199
つづき
この問題に対して、おそらく数学の「歴史」は、今までのところ、あまりはかばかしい達成をあげていないんじゃないのかと思っている。
ただ、一つ。まあ、昔から知られている結果ではあるが、おもしろいアプローチが知られている。それが、
カテゴリー（圏論）
である。
集合論の圏論的な公理のうち評判のよいものを一つ選ぶと、形式ばらない要約は次のようになる。
ようするに、上記の引用にある圏論的な公理は
集合論ではない（「集合」と「属する」という「無定義用語」によって、公理系を記述していない。あくまで「圏論」流に、「対象Ａから対象Ｂへの射」という「無定義用語」しか本質的に使っていない。
一見、「集合論」的な無定義用語は出現するが、それはあくまで「定義」という、用語上の簡易性から導入されているにすぎない。）
直感的に、これらの公理が「大きすぎない」（ＺＦＣのように、直感的に言い過ぎていると思われるような主張がない。）
ＺＦＣより「弱い」公理系であるが、これにある「公理」を加えれば、ＺＦＣと相当な内容だと解釈できる。
つまり、この公理系が魅力的なのは実際にその主張内容が、「私たちに直感的に理解可能なもの」しかないが、他方において、ＺＦＣの弱い主張と解釈できるとするなら、これを
数学の「基礎」
とすることは
220:、どこまで可能なのか、ということになる、というわけである。 つまり、圏論的な道具の中で、なにがＺＦＣと「同一」の主張であるのか、といった衒学的な議論を超えて、こういった「弱い」主張はそれなりの数学の「安全さ」や「健全さ」を示している可能性がある、と考えられないか、というわけである...。 (引用終り) 以上
221:１３２人目の素数さん
19/09/15 10:11:37.42 IzOPqE/a.net
>>187
往生際が悪いなこのサルはｗ
222:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 10:20:21.72 NNU+uf1a.net
>>195
(引用開始)
偶数の集合 = {2} = {{1}}
1∈{1}⊂偶数の集合
スレ主によると
1∈偶数の集合
(引用終り)
素朴集合論のロジックと、公理的集合論のロジックとを、
意図して混用しているね（まあ、おれもやっているけどねｗ（＾＾； ）
素朴集合論のロジックでは、
２はアトムであって、集合ではないよ
>>196
>ｓ⊂N s⊂N2 だが、s⊂N'ではない
「包含関係は順序関係」（下記）なので
s⊂N2⊂N’なので、下記の推移律から
s⊂N’成立
QED
（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(wiis.info)
ワイズ
包含関係は順序関係 2019年1月20日
(抜粋)
要旨：包含関係は反射律、推移律、反対称律を満たす順序関係です。
包含関係⊂は以下の性質を満たします。
命題（包含関係は順序関係）
任意の集合X,Y,Zについて以下が成り立つ。
(a) X⊂X
(b) (X⊂Y ∧ Y⊂Z) ⇒ X⊂Z
(c) (X⊂Y ∧ Y⊂X) ⇒ X=Y
性質(a)は、任意の集合は自身の部分集合であることを意味します。包含関係が満たすこのような性質を反射律（reflexive law）と呼びます。
性質(b)は、XがYの部分集合であり、YがZの部分集合であるならば、XはZの部分集合であることを意味します。包含関係が満たすこのような性質を推移律（transitive law）と呼びます。
性質(c)は、XがYの部分集合であり、YがXの部分集合であるならば、XとYは等しい集合であることを意味します。包含関係が満たすこのような性質を反対称律（antisymmetric law）と呼びます。
包含関係がこれらの性質を満たすことは、包含関係が順序関係（ordering relation）と呼ばれる二項関係（binary relation）であることを意味します。
二項関係や順序関係については追って説明します。
包含関係は全順序関係ではない
223:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 10:24:33.27 NNU+uf1a.net
>>201
なんだｗ
「分からない問題はここに書いてね456」
（>>187ご参照）
に間違った回答を書いたのは
もう一匹だったか
それって、なれ合いのサクラ回答じゃんか！ｗ（＾＾；
224:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 10:31:19.50 NNU+uf1a.net
>>200
>集合論ではない（「集合」と「属する」という「無定義用語」によって、公理系を記述していない。あくまで「圏論」流に、「対象Ａから対象Ｂへの射」という「無定義用語」しか本質的に使っていない。
”「集合」と「属する」という「無定義用語」によって”か
なるほど
「属する」（∈）は、「無定義用語」（未定義用語）だったか
確かに、公理を記述するとき、どうしても、「無定義用語」（未定義用語）は避けられない
それは、少ない方がいいのだが
公理的集合論では、「属する」（∈）は、「無定義用語」（未定義用語）だとすると
あとは、それをどう解釈し運用するかだな
そこを書いているのが、下記 >>164 酒井 拓史 神戸大学 だな（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.sci.shizuoka.ac.jp)
P17
整礎的関係
R を集合X 上の二項関係とする．
基礎公理により，すべての集合X に対して，
∈｜ X := {(x; y) ∈ X × X | x ∈ y}
はX 上の整礎的な二項関係．
(引用終り)
225:１３２人目の素数さん
19/09/15 10:35:20.87 IzOPqE/a.net
>>188
>５）もしノコギリが集合だと考えると
>・ノコギリ⊂{ノコギリ}⊂Z （包含関係）
大間違いｗ
ノコギリ⊂{ノコギリ} を仮定すると
包含関係の定義により、∀x∈ノコギリ⇒x∈{ノコギリ} でなければならないが、
{ノコギリ} の元はノコギリのみだから、ノコギリ={ノコギリ} であることが必要。
これはサルの大好きな正則性公理から直ちに否定されるｗ
だから言ってるだろ。近所の中学生に∈と⊂の違いを教えてもらえと、分かるまでROMってろと。
人の言うことを聞かないから恥を上塗る結果となる。学習しないサルだなあｗ
226:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 10:39:33.73 NNU+uf1a.net
>>198
>＞集合N’＝{N2,Nodd} (偶数の集合と奇数の集合とを入れた集合)
>ニワトリはN2⊂N’だと思い込んでるだろうけど、も・ち・ろ・ん、違うよｗ
？
（>>193より）
集合N’＝{N2,Nodd} (偶数の集合と奇数の集合とを入れた集合)
(引用終り)
集合N’の正規の元は、たった二つ
では、集合N’は二つの元から成る有限集合か？
無限集合を内包していると考えるべしだろ？（＾＾
227:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 11:00:53.91 NNU+uf1a.net
>>205
(引用開始)
大間違いｗ
ノコギリ⊂{ノコギリ} を仮定すると
包含関係の定義により、∀x∈ノコギリ⇒x∈{ノコギリ} でなければならないが、
{ノコギリ} の元はノコギリのみだから、ノコギリ={ノコギリ} であることが必要。
これはサルの大好きな正則性公理から直ちに否定されるｗ
(引用終り)
素朴集合論のロジックと、公理的集合論のロジックとを、
意図して混用しているね（まあ、おれもやっているけどねｗ（＾＾； ）
いや、そもそも、素朴集合論では、「ノコギリ」はアトム（元）であって、
集合同士に適用する⊂（包含関係）は適用できない
いやそもそも、{ノコギリ} not∈ノコギリ だから、等号不成立だな
あなたの上記の言い方だと、一元集合{a}が存在できないでしょ
下記の「3 := {2} = {{{{}}}}」も不成立になるよ
（公理的集合論では、最後は空集合Φに行き着くから、それで良いのだろうが
要するに「⊂（包含関係）」を、どう適当に定義するだけのことよ。
公理的集合論では、∈関係が優先で、「⊂（包含関係）」は、∈関係を邪魔しないように、定義するだけのこと）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
(抜粋)
他にも自然数の定義は無限にできる。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)
228:１３２人目の素数さん
19/09/15 11:02:25.02 qglvvszf.net
>>206
> 集合N'は二つの元から成る有限集合か？
URLﾘﾝｸ(www.people.vcu.edu)
p.13 Example 1.3, p.15 Example 1.4などを見て
Exercises for Section 1.3, 1.4あたりを解いてみれば？
229:１３２人目の素数さん
19/09/15 11:12:20.75 IzOPqE/a.net
>>193
>例えば、ｓ＝{2,4,6}という集合は、NとN’両方に含まれます（部分集合）
大間違いｗ
N' の元は N2 と Nodd のみであり、そのどちらも 2 ではないから 2∈N' ではない。
よって包含関係の定義から s⊂N' が否定される。
恥を上塗る前に近所の中学生に教えてもらえと言ってるのにまだ分からんか？
230:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 11:14:04.75 NNU+uf1a.net
>>204 補足
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
酒井拓史 サカイ ヒロシ
経歴
2013年11月 - 現在
神戸大学 システム情報学研究科 准教授
2010年10月 - 2013年10月
神戸大学 システム情報学研究科 講師
2008年10月 - 2010年9月
神戸大学 工学研究科 助手
231:１３２人目の素数さん
19/09/15 11:16:08.53 IzOPqE/a.net
>>207
>いや、そもそも、素朴集合論では、「ノコギリ」はアトム（元）であって、
>集合同士に適用する⊂（包含関係）は適用できない
ちょｗ
>５）もしノコギリが集合だと考えると
と、>>188で言ったのはおまえなんだがｗ
サル発狂ｗ
232:１３２人目の素数さん
19/09/15 11:18:35.16 IzOPqE/a.net
サルは頭が悪く勉強も嫌いだが、さらに自分で言ったことを次の瞬間には全否定するという発狂ぶりｗ
こんなキチガイ見たこと無いｗ
数学どころじゃないｗ
233:１３２人目の素数さん
19/09/15 11:26:23.58 IzOPqE/a.net
サルは気が狂ってるので精神病院で治療してもらえ
自分で「ノコギリを集合とする」と言っておきながら次の瞬間には「ノコギリは集合でない」とか、いくらなんでもキチガイ過ぎるだろ
234:１３２人目の素数さん
19/09/15 11:35:58.70 IzOPqE/a.net
>>203
サルは糖質も併発してるらしい
専門医を受診せよ
235:１３２人目の素数さん
19/09/15 11:42:26.78 IzOPqE/a.net
>>202
>s⊂N2⊂N’なので
N'の元はN2とNoddのみだから、N2のどの元もN'の元ではない。
よって N2⊂N’ は間違い。
サルはもう発言しなくていいから
精神病の治療が先
236:１３２人目の素数さん
19/09/15 11:52:21.82 IzOPqE/a.net
いやー 今までも「∞に近い巨大数」とか数々の名言を残してきたけど、さすがに今回は酷過ぎるね
知識が無い（これは許せる）
知能が無い（これはヤバい）
正常な精神が無い（ｵﾜｯﾃﾙ）
237:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 15:03:33.18 NNU+uf1a.net
>>208
(引用開始)
> 集合N'は二つの元から成る有限集合か？
URLﾘﾝｸ(www.people.vcu.edu)
p.13 Example 1.3, p.15 Example 1.4などを見て
Exercises for Section 1.3, 1.4あたりを解いてみれば？
(引用終)
見たけど、そのPDF Edition 2.2 2013で ちょっと古い
いま、Edition 3.1 2018(下記)
それで、p.13 Example 1.3 は、p.14 Example 1.6
になっているけど、これ、素朴集合論ベースでしょ
例えば
・” 1 not⊆{1,{1}} . . .because 1 is not a set ”とか
1は集合ではなく、集合を構成する元だという
しかし、日本の普通の公理的集合論ZFCでは、集合を構成する元も実は集合ですよね
・”Φ not∈ N . . . . because the set N contains only numbers and no sets”も、いま議論している
公理的集合論ZFCによる自然数の構成とは、立場が異なる
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.people.vcu.edu)
Richard Hammack
URLﾘﾝｸ(www.people.vcu.edu)
BOOK OF PROOF Third Edition
URLﾘﾝｸ(www.people.vcu.edu)
Book of Proof Edition 3.1 2018 Richard Hammack
Department of Mathematics & Applied Mathematics Virginia Commonwealth University
(抜粋)
P14
Example 1.6
2. 1 not⊆{1,{1}} . . .because 1 is not a set
9. Φ not∈ N . . . . because the set N contains only numbers and no sets
（>>207より参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
(抜粋)
他にも自然数の定義は無限にできる
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる
(引用終)
（参考）
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
高校数学の美しい物語 20170214
集合の記号の意味まとめ
(抜粋)
A⊆B ：集合 A は集合 B の部分集合である
A⊂B ：集合 A は集合 B の真部分集合（部分集合であるが等しくはない）である
注：部分集合，真部分集合の記号についてはいくつか流儀があるので注意が必要です
238:１３２人目の素数さん
19/09/15 15:20:24.89 IzOPqE/a.net
>>206
>集合N’の正規の元は、たった二つ
>では、集合N’は二つの元から成る有限集合か？
>無限集合を内包していると考えるべしだろ？（＾＾
サルは書かれている定義を字義通りに解釈するということができない。
書かれていないことまで勝手に付け足して自分勝手な解釈をする。
そうして独善主張に走る。
そんなサルに数学は無理なので諦めなさい。
239:１３２人目の素数さん
19/09/15 15:33:34.41 g2F0dADR.net
>>202
＞s⊂N2⊂N’なので
ニワトリは一歩歩くたびに一つ間違うねｗ
N’＝{N2,Nodd}だから、N2⊂N’でない
なんでこんな簡単なことが分からんかな この馬鹿はｗ
240:１３２人目の素数さん
19/09/15 15:38:18.69 g2F0dADR.net
ニワトリ 〇〇の一つ覚え
>酒井 拓史 神戸大学
>URLﾘﾝｸ(www.sci.shizuoka.ac.jp)
>P17
>整礎的関係
>R を集合X 上の二項関係とする．
>基礎公理により，すべての集合X に対して，
>∈｜ X := {(x; y) ∈ X × X | x ∈ y}
>はX 上の整礎的な二項関係．
酒井氏もこんなのにまとわりつかれて迷惑だろうな
ツイッターはやってないから直接聞けないが
こんなことなら、他の集合論専門家に聞いても
同じ回答返すから聞けばいい
「∈は推移的ですよね？」ってｗ
速攻で否定されるけどなｗ
上記の文章のどこにも∈は推移的とは書いてない
何妄想してんだ この馬鹿はｗ
241:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/15 15:41:02.69 NNU+uf1a.net
>>140
(引用開始)
集合Xに対してP(X)でXのべき集合を表す
V0={}
V1=P(V0)={{}}
V2=P(V1)={{},{{}}}
(引用終り)
細かいけど、上記と下記 Richard Hammack テキスト Example 1.7 が微妙に違う
・V0={} vs P(Φ)＝{Φ}
・V1=P(V0)={{}} vs P({Φ})＝{Φ,{Φ}}
・V2=P(V1)={{},{{}}} vs P(P({Φ}))＝{Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}
はてな、はてな？ｗ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.people.vcu.edu)
Book of Proof Edition 3.1 2018 Richard Hammack
Department of Mathematics & Applied Mathematics Virginia Commonwealth University
(抜粋)
P16
Example 1.7
4.P(Φ)＝{Φ}
6.P({Φ})＝{Φ,{Φ}}
8.P(P({Φ}))＝{Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}
(引用終り)
242:１３２人目の素数さん
19/09/15 15:41:56.74 g2F0dADR.net
>>206
＞集合N’の正規の元は、たった二つ
＞では、集合N’は二つの元から成る有限集合か？
ああ、そうだよ。
ニワトリはそんなこもと分からないほどの、スーパー馬鹿なの？
＞無限集合を内包していると考えるべしだろ？（＾＾
何いってんだ？この馬鹿はｗ
N’の２つの元が無限集合でも、
N'が有限集合であることに何のかわりもない
243:１３２人目の素数さん
19/09/15 15:49:28.78 g2F0dADR.net
>>207
支離滅裂だなｗ
ｘが集合だというだけで、ｘ⊂｛ｘ｝になると思うのが誤り
例えばωを自然数全体の集合としよう
ω＝｛0,1,2,…｝
この場合
ω⊂｛ω｝ は ×
2∈｛ω｝ も ×
244:１３２人目の素数さん
19/09/15 15:51:27.60 g2F0dADR.net
>>212-214
サルじゃなくニワトリね
サルは哺乳類だからもっと賢い
あれはホントに鳥類並に脳みそがちょびっとしかないｗ
245:１３２人目の素数さん
19/09/15 15:52:44.12 g2F0dADR.net
>>215
その通りですね
>>222に書いた通りです
246:１３２人目の素数さん
19/09/15 15:55:53.15 g2F0dADR.net
>>216
{{{}}}の要素は{{}}だけなんだから、
{{}}の要素は{}だけ
{{}}しか要素がない集合が
{}を要素にもつ集合を
包含するわけないのは
三歳児でもわかること
それがわからないんだから
ニワトリはもう人類どころか霊長類、いや哺乳類ですらないねｗ
247:１３２人目の素数さん
19/09/15 16:01:00.60 g2F0dADR.net
>>221
対応関係が一つずれてた
V0={{}}
こ・れ
248:・で、君も自分の誤りを認められるかい？ｗ
249:１３２人目の素数さん
19/09/15 16:15:07.12 g2F0dADR.net
∈は親子関係みたいなもの
AはBの子、BはCの子 だからといって AはCの子にはならないｗ
{{{}}}の場合{}を追加して{{},{{}}}とすれば
AはCの子になったから、そこではじめて推移的になるｗ
{{{{}}}}の場合も{}と{{}}を追加して{{},{{}},{{{}}}}とすればいい
ただこの場合{{},{{}}}や{{},{{}},{{{}}}}が推移的になっただけで
それぞれの要素集合が推移的かどうかまでは確かめてない
{{},{{}}}の場合は{}も{{}}も推移的だが
{{},{{}},{{{}}}}の場合は{{{}}}が推移的ではない
{{},{{}},{{},{{}}}}で要素集合まで推移的になる
250:１３２人目の素数さん
19/09/15 20:58:25.41 7EgpCQEV.net
>>227
友達のオカンと結婚したペタジーニに質問しろや
ちな24歳差やったかな
251:１３２人目の素数さん
19/09/15 20:59:49.29 7EgpCQEV.net
.322 39 127 で本塁打王・打点王・MVP獲得するけど24歳上の友達の母親と結婚してる助っ人外国人
252:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/16 09:14:24.45 Snw5PyNp.net
>>227
>対応関係が一つずれてた
>V0={{}}
下記
「ポイント
・空集合 Φ と、もとの集合そのもの A={a,b} も A の部分集合と考えます。忘れないようにしましょう。」
とあるよ
”空集合 Φ”を、忘れているから、減点ですね（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(mathwords.net)
べき集合の意味と要素数
具体例で学ぶ数学 > その他 > べき集合の意味と要素数
最終更新日 2018/10/28
(抜粋)
目次
べき集合とは
例題
解答
ポイント
べき集合の要素数
特殊な例
べき集合とは
集合 A に対して、A の部分集合を全て集めたものを A のべき集合（冪集合）と言います。
例題
A={a,b} のべき集合を求めよ。
解答
A の部分集合は、
Φ、{a}、{b}、{a,b}
の４つなので、べき集合は、
{Φ,{a},{b},{a,b}}
となります。
ポイント
・空集合 Φ と、もとの集合そのもの A={a,b} も A の部分集合と考えます。忘れないようにしましょう。
・べき集合の要素は集合です。つまり、べき集合は集合の集合です。「集合の集合」のことを集合族と言うことがあります。
253:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/16 10:09:42.36 Snw5PyNp.net
>>211
(引用開始)
>>207
>いや、そもそも、素朴集合論では、「ノコギリ」はアトム（元）であって、
>集合同士に適用する⊂（包含関係）は適用できない
ちょｗ
>５）もしノコギリが集合だと考えると
と、>>188で言ったのはおまえなんだがｗ
(引用終り)
どうも。スレ主です。
それ、そもそも、自分で>>188の５）で
「もしノコギリが集合だと考えると」で初めて
「ノコギリは、集合ではなく元だったので ノコギリ∈Z」を導いたのです（＾＾；
いや、集合論は、大きく
１）アトム（元）がなく、全てが空集合から作られ、元も集合からなるという、その代表がZFC公理的集合論
２）アトム（元）の存在を認める、素朴集合論や、下記”アトムのある集合論 ZFA （Zermelo-Fraenkel with Atoms）”
二つに分けられる
それで、>>188では、この二つを意識的に混ぜて使ってみたわけ
まあ、⊂とか∈とかの意味づけが、この二つの集合論で微妙に違うという話をしたかったわけです
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.ivis.co.jp)
代替集合論 （Alternative Set Theories）の調査 2019/6/19
古賀明彦 わかみず会用資料
Alternative Set Theories の定着した訳語が分からなかったので，本資料ではとりあえず「代替集合論」とした
(抜粋)
P80
アトムがある集合論と
基礎の公理の否定公理がある集合論
P82
アトムのある集合論 ZFA （Zermelo-Fraenkel with Atoms）
254:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/16 10:38:29.68 Snw5PyNp.net
>>188
(引用開始)
１）素朴集合の元（要素）として
・大工道具セットの箱A（ノコギリ、金槌、ドライバー）
・釣り道具セットの箱B（釣り竿、釣り針、釣り糸）
・ケースに入れたノコギリ＝{ノコギリ} （一元集合とする（ノコギリはよく使うため））
・大工道具セットの箱C（金槌、ドライバーのみ）（ノコギリを出した）
(引用終り)
別の素朴集合論の例を考えてみよう
１）ある会社A社があって、事業部が３つ、第一、第二、第三
２）各事業部には、部が３つ、第一、第二、第三
３）各部には、課が３つ、第一、第二、第三
４）A社＝{第一事業部、第二
255:事業部、第三事業部} 以下同様に、集合で、部、課などとつづく ５）第一事業部第一部第一課の課員に、aさんというヒトがいるとする a∈第一事業部第一部第一課 です！ ６）一方、普通は、aさんは、A社の社員でもありますから a∈A社 なんですよね、素朴集合論では（＾＾； 公理的集合論と（アトムのある）素朴集合論とで、∈の意味づけが、微妙に違うのかもね もっとも、「∈の定義は？」と聞いても、 集合論では”「集合」と「属する」は「無定義用語」”らしいので（下記ご参照） その答えは出ないようですが（＾＾； なお、>>232 http://www.ivis.co.jp/text/20190619.pdf 代替集合論 （Alternative Set Theories）の調査 2019/6/19 古賀明彦 わかみず会用資料 も、ご参照 （>>199-200より） https://martbm.hatenabloｇ.com/entry/20170723/1500777080 martingale & Brownian motion 2017-07-23 ＺＦＣの圏論での「代替」には意味があるのか？ (抜粋) 集合論の圏論的な公理のうち評判のよいものを一つ選ぶと、形式ばらない要約は次のようになる。 ようするに、上記の引用にある圏論的な公理は 集合論ではない（「集合」と「属する」という「無定義用語」によって、公理系を記述していない。あくまで「圏論」流に、「対象Ａから対象Ｂへの射」という「無定義用語」しか本質的に使っていない。 一見、「集合論」的な無定義用語は出現するが、それはあくまで「定義」という、用語上の簡易性から導入されているにすぎない。）
256:１３２人目の素数さん
19/09/16 10:46:03.69 4OYL0rf4.net
>>231
君、肝心の
「{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} だけど {}∈{{{}}}でない」
「{{}}∈{{{}}} で {{}}は集合 だけど {{}}⊂{{{}}}でない」
は理解できたかな？
257:１３２人目の素数さん
19/09/16 10:48:02.83 4OYL0rf4.net
>>242
＞⊂とか∈とかの意味づけが、この二つの集合論で微妙に違う
どの集合論でも
「{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}」
「{{}}∈{{{}}} で {{}}は集合 だから {{}}⊂{{{}}}」
は正当化できないけど、まだ、こんな簡単なことが理解できないの？
258:１３２人目の素数さん
19/09/16 10:54:41.52 4OYL0rf4.net
>>233
＞別の素朴集合論の例を考えてみよう
＞１）ある会社A社があって、事業部が３つ、第一、第二、第三
＞２）各事業部には、部が３つ、第一、第二、第三
＞３）各部には、課が３つ、第一、第二、第三
＞４）A社＝{第一事業部、第二事業部、第三事業部}
＞ 以下同様に、集合で、部、課などとつづく
はい、ここ！４）！全くの誤りね
ヒエラルキー馬鹿の会社人間が必ず陥るミスだけど
会社は部の集合ではありませんｗ
（ついでにいうと部は課の集合ではないｗ）
会社は社員の集合ですからｗ
部は会社の部分集合（要素ではない！）
課は部の部分集合（要素ではない！）
包含関係は推移律がなりたつから
上記から課は会社の部分集合だといえます
＞５）第一事業部第一部第一課の課員に、aさんというヒトがいるとする
＞ a∈第一事業部第一部第一課 です！
＞６）一方、普通は、aさんは、A社の社員でもありますから
＞ a∈A社 なんですよね、素朴集合論では（＾＾；
４）で、素朴集合論における会社の構造を誤解したので無意味です
会社集合Aの要素は社員です
aさんがAの部分集合である課の要素なら当然Aの要素
これが正しい説明 君のウソ説明は×ねｗ
259:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:00:39.30 4OYL0rf4.net
>>232
＞⊂とか∈とかの意味づけが、この二つの集合論で微妙に違う
どの集合論でも
「{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}」
「{{}}∈{{{}}} で {{}}は集合 だから {{}}⊂{{{}}}」
は正当化できないけど、まだ、こんな簡単なことが理解できないの？
260:１３２人目の素数さん
19/09/16 11:05:40.77 4OYL0rf4.net
>>236 追記
「ベン図で描ける」素朴集合論では
２段以上の∈の連鎖は考えてない
つまりurelementたる対象と、その対象の集まりである集合 の関係しか考えてない
国ー県ー市 とかいうのは、あくまで包含関係によるヒエラルキー
国は国民の集合、県は県民の集合、市は市民の集合であって、要素は全部ヒト
ベン図で描けるヒエラルキーのは包含関係だけだからｗ
261:１３２人目の素数さん
19/09/16 12:25:17.83 wRT0uj3O.net
>>232
>それ、そもそも、自分で>>188の５）で
>「もしノコギリが集合だと考えると」で初めて
>「ノコギリは、集合ではなく元だったので ノコギリ∈Z」を導いたのです（＾＾；
バカ丸出し
>５）もしノコギリが集合だと考えると
>・ノコギリ⊂{ノコギリ}⊂Z （包含関係）
ノコギリ⊂{ノコギリ}は大間違い。理由は>>205
{ノコギリ}⊂Zも大間違い。
Zの元はA,C,{ノコギリ}のみであり、{ノコギリ}⊂Z となるための必要条件 ノコギリ∈Z が満たされていないので。
一行の中で2つも間違うバカｗ
> ノコギリは、集合ではなく元だったので
>・ノコギリ∈Z
大間違い。Zの元はA,C,{ノコギリ}のみ。
何度も言わせるな。さっさと近所の中学生に∈と⊂の違いを教わってこい。
人の言うことを聞かないから恥を上塗り続けることとなる。
262:１３２人目の素数さん
19/09/16 13:14:22.13 xaQkAvRz.net
↑延々とスレ主に絡み続けるサル石というアホ（笑
263:１３２人目の素数さん
19/09/16 13:22:20.40 olX6mSCE.net
>>240
哀れな素人さん、どうも、スレ主です
お元気そうでなによりです
264:１３２人目の素数さん
19/09/16 13:29:20.81 olX6mSCE.net
>>236
どうも、スレ主です
ビエロちゃんかな
「会社は社員の集合」とか
勝手に定義を、変えるのは、
ご法度ですよ(゜ロ゜;
265:１３２人目の素数さん
19/09/16 13:58:10.95 680EMxic.net
>>238
ベン図を、勝手に狭く解釈して(゜ロ゜;
ダメダメだな
266:１３２人目の素数さん
19/09/16 14:56:55.59 680EMxic.net
サイコパスは、屁理屈ばかりだな
ダメダメです
267:１３２人目の素数さん
19/09/16 15:18:2
268:8.30 ID:4OYL0rf4.net
269:１３２人目の素数さん
19/09/16 15:19:06.82 4OYL0rf4.net
>>243
ベン図は所詮ベン図 包含関係は描けても 所属関係は描けない
270:１３２人目の素数さん
19/09/16 15:21:35.76 4OYL0rf4.net
>>241
安達君は、↓のスレに蟄居してなさいｗ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
271:１３２人目の素数さん
19/09/16 15:30:28.96 4OYL0rf4.net
さすがに幼稚な誤りを主張し続ける恥ずかしさに耐えられないのか
ハンドルとトリップを外したのはいいことだ
ついでに名乗るのもやめれば完全な匿名
272:１３２人目の素数さん
19/09/16 16:08:48.53 4OYL0rf4.net
トンデモモンスター ここに眠る
「{}∈{{}}∈{{{}}}だから、∈順序の推移律より、{}∈{{{}}が成立！
{{}}の要素{}が{{{}}の要素でもあるので、{{}}⊂{{{}}}成立！！
よって、集合{{{}}}は推移的」
273:１３２人目の素数さん
19/09/16 16:25:59.58 4OYL0rf4.net
￡
／￣￣＼
～＆ ∥ １ ∥
∥ の ∥
∥ 墓 ∥
|∬ ∬| ﾁーﾝ
|ii≦≧ii|
_|旦|==|旦|_
Ｗ-|二二二二二二|-ff
274:１３２人目の素数さん
19/09/16 17:50:12.03 680EMxic.net
>>248
コテハンが、ないのは、単に外出先からスマホアクセスだから(゜ロ゜;
275:１３２人目の素数さん
19/09/16 17:56:07.55 680EMxic.net
>>245
ダメとか、笑えるわ
集合を、定義するのは、禁止されていないなら、自由です(゜ロ゜;
276:１３２人目の素数さん
19/09/16 17:59:50.89 680EMxic.net
>>246
幼稚な主張だな
277:１３２人目の素数さん
19/09/16 20:15:36.18 4OYL0rf4.net
>>251-253
負け犬 吠えるｗｗｗ
278:１３２人目の素数さん
19/09/16 20:16:41.45 4OYL0rf4.net
スマホからアクセスとか完全にネットジャンキー
もう人間失格だね
279:１３２人目の素数さん
19/09/16 20:17:07.15 4OYL0rf4.net
￡
／￣￣＼
～＆ ∥ １ ∥
∥ の ∥
∥ 墓 ∥
|∬ ∬| ﾁーﾝ
|ii≦≧ii|
_|旦|==|旦|_
Ｗ-|二二二二二二|-ff
280:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/16 20:30:53.60 Snw5PyNp.net
>>246
ベン図に要素を書くことは可能だよ（下記 集合演算とヴェン図 橋本康二）
オイラー図ともいうが
URLﾘﾝｸ(www.u.tsukuba.ac.jp)
集合演算とヴェン図 橋本康二
(抜粋)
この要素を列挙する集合の表記法は言語的というよりもむしろ図形的と言えるかもしれない。右の三つの列挙表記の二つの波括弧の部分を変形して接合して円にし、読点を省略し、数字を並び替えると、それぞれ図37?39のようになる。
これらを重ね合わせ、図39の円だけ凸レンズ状に変形すると図40になる。
URLﾘﾝｸ(www.u.tsukuba.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(gihyo.jp)
はじめMath! Javaでコンピュータ数学 Gihou.jp
第22回 図で論理を視覚的にとらえよう［前編］20071225 平田敦
(抜粋)
コラム ベン図とオイラー図
「集合や論理で用いられる図」としてベン図を紹介しました。ここで細かいことを言うと，集合論で用いられる図はオイラー図といいます。図22.5の（a）を見てください。
URLﾘﾝｸ(image.gihyo.co.jp)
論理を扱う場合にはベン図，集合を扱う場合にはオイラー図なのですが，高校数学の教科書では，単にベン図とのみ表記されることが多いようです。教科書によってはオイラー・ベン図，またはベン・オイラー図と表現して，あまり明確に区別しないようです。
オイラー図のオイラーとは，オイラーの公式で有名な数学者レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler,1707-178
281:3）です。ベン図のベンとは，イギリスの修道士で数学者ジョン・ベン（John Venn,1834-1923）です。それぞれ図の考案者であることからその名前がとられました。 注3） 本文中では論理変数と書きました。その方がプログラム中のboolean型と対応させやすいと考えたからです。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%9B%B3 オイラー図 (抜粋) オイラー図は集合の相互関係を表す図。 考案者であるレオンハルト・オイラーの名をとってオイラー図と名付けられた。ベン図と似ているが、ベン図とは異なり、各集合を表す円が必ずしも重なっている必要はない（右図参照）
282:１３２人目の素数さん
19/09/16 20:32:20.88 rsjGzKX5.net
> ベン図を、勝手に狭く解釈して(゜ロ゜;
> ダメダメだな
いつものスレ主らしい行動パターンだけれどもベン図にのみ
こだわっているから間違った結論に走るんだよね
別にベン図以外の他の方法を用いればよいだけのこと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ハッセ図
> { x, y, z } の冪集合には包含による半順序があり、
> 次のようなハッセ図で表される
283:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/16 21:13:27.41 Snw5PyNp.net
>>236
(引用開始)
＞別の素朴集合論の例を考えてみよう
＞１）ある会社A社があって、事業部が３つ、第一、第二、第三
＞２）各事業部には、部が３つ、第一、第二、第三
＞３）各部には、課が３つ、第一、第二、第三
＞４）A社＝{第一事業部、第二事業部、第三事業部}
＞ 以下同様に、集合で、部、課などとつづく
はい、ここ！４）！全くの誤りね
ヒエラルキー馬鹿の会社人間が必ず陥るミスだけど
会社は部の集合ではありませんｗ
（ついでにいうと部は課の集合ではないｗ）
会社は社員の集合ですからｗ
(引用終り)
アホかｗ（＾＾
ほんと、コケコッコーとおサルの集合論争だなｗ
おれは
A社＝{第一事業部、第二事業部、第三事業部} と定義 しているんだよ？
おれのA社の定義を否定するなら、せめて数学の理由付けを書けよｗ
おサルの理由は、「会社は社員の集合ですからｗ」だって？
それじゃ、数学の議論になってないでしょ
コケコッコー（おれ）もレベル低いけど、おサルもほんと低レベルだな～ｗ
で、論破されたら、子供じみたAA連投（>>250&256）かい？
ほんと、コケコッコー（おれ）もレベル低いけど、おサルも低レベルだな～ｗ（＾＾
284:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/16 21:23:05.66 Snw5PyNp.net
>>258
(引用開始)
ベン図にのみ
こだわっているから間違った結論に走るんだよね
別にベン図以外の他の方法を用いればよいだけのこと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ハッセ図
> { x, y, z } の冪集合には包含による半順序があり、
> 次のようなハッセ図で表される
(引用終り)
そうそう
そういう議論は歓迎だよ
しかし、「ベン図にのみこだわっているから間違った結論に走る」
のは
コケコッコーのみならず、おサルもだな
”ベン図は所詮ベン図 包含関係は描けても 所属関係は描けない”（>>246）
とか
”「ベン図で描ける」素朴集合論では ２段以上の∈の連鎖は考えてない”（>>238）
とか
それって、苦し紛れの根拠レスの主張だよねｗ（＾＾；
285:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/17 00:06:22.15 tQvoYsxH.net
メモ
URLﾘﾝｸ(elecello.com)
elecello.com 近藤 友祐 (KONDO, Yusuke)
所属： 神戸大学 大学院システム情報学研究科 情報科学専攻 情報基礎講座 情報数理グループ(CS32) 博士課程前期課程
つくったもの集合論ノート
公理的集合論の話題を断片的に。 話題の順序には特に意味もなく，self-containedでもないし体系的でもありません。 小さなミスから致命的なミスまで，間違いが多く混入していると思います。これらのPDFの内容を鵜呑みにしないでください。
インターネットは常に有益であってほしいと願っています。インターネットの海を汚染したくないので， 誤りがあればメール等でご指摘いただけると有難く思います。修正または取り下げをします。
文書作成にあたって，テキストの丸写しにならないように心がけていますが，著作権的に問題がある箇所があればご一報願います。
URLﾘﾝｸ(elecello.com)
集合論ノート 0005 モストフスキ崩壊補題 (Mostowski Collapse Lemma) 近藤友祐 初稿: 2018/02/22 更新: 2019/09/16
本稿では，集合論の推移的 ∈-モデルを作るにあたって重要な，モストフスキ崩壊補題について述べ
286:る． 系7 (集合版モストフスキ崩壊補題). 二項関係R が集合A 上整礎かつ外延的であると仮定する．このと き，(A,R)～= (M, ∈) を満たす推移的集合M がただ一つ存在する． 次の系は，例えば強制法においてZFC の十分大きな部分を満たす可算推移モデルをとって云々する流儀に おいて有用である．反映原理でZFC のデカい部分のモデルをとり，レーヴェンハイム＝スコーレムでサイズ を可算に落とし，モストフスキで潰して推移的にし，ラショーヴァ＝シコルスキの補題でジェネリックフィル ターをとる，という流れは必殺技のコンボっぽくてカッコいい． 系8 (∈-モデルに関するモストフスキ崩壊補題). 基礎の公理を仮定する．(A, ∈) |= 外延性公理ならば， 同型(A, ∈)～= (M, ∈) を成り立たせる推移的集合M が唯一つ存在する． 系9. 任意の整列集合に対し，それと順序同型な順序数が一意に存在する．したがって整列集合(X,<) の順序型type(X,<) を，”(X,<) と順序同型な唯一の順序数” として定めることができる．
287:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/09/17 00:14:48.37 tQvoYsxH.net
メモ（ちょっと古いが、この程度のものを読んでおく方が、21世紀のテキストを読むにも役立つように思う）
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
特集 数学基礎論 科学基礎論研究 September 1961
(抜粋)
プロローグ
以下のものを数学基礎論特集号と呼ぶことにはいくらかの弁明と解説とが必要であろう.
略
ともあれ我が国に於ける数学基礎論のグループの一断面を浮彫にするという点で数学基礎論特集号の名にふさわしいもの
と信ずるのである.(竹内外史)
集合論について 竹内外史
集合概念は現代数学に於いて中心的な役割を果してい
るが,集合とは一体何であろうか? 素朴に答えればそ
れは`物の集り'というべきであろう.
288:１３２人目の素数さん
19/09/17 02:01:17.00 LgBBL85s.net
>>259
>>260
「スレ主の耳に数学」なだけで根拠は書き込んでありますよ
たとえば2 := {1}と定義できるがその場合1∈{1}, {1} = 2, 2∈偶数で
あっても1∈偶数ではないということです
いくらスレ主でも1は偶数ではないでしょ？
ベン図で偶数の集合と奇数の集合を書けば当然交わらない
> A社＝{第一事業部、第二事業部、第三事業部} と定義
第一事業部は(A社の)第一事業部というのが暗黙の前提でしょ
一方でB社＝{第一事業部, 第二事業部, 第三事業部, 第四事業部}
などと定義すれば
> ５）第一事業部第一部第一課の課員に、aさんというヒトがいるとする
> a∈第一事業部第一部第一課 です！
> ６）一方、普通は、aさんは、A社の社員でもありますから
> a∈A社 なんですよね、素朴集合論では（＾＾；
「a∈第一事業部第一部第一課」ならば「a∈A社」とはいえないですね
正しく書けば
A社＝第一事業部 ∪ 第二事業部 ∪ 第三事業部
第一事業部 = 第一事業部第一部 ∪ 第一事業部第二部 ∪ 第一事業部第三部
など
更に一般には分割した集合の積集合はもちろん空集合とは限らない
同様に
自然数全体の集合 = {偶数全体の集合, 奇数全体の集合}は正しくない
自然数全体の集合 = 偶数全体の集合 ∪ 奇数全体の集合は正しい