19/10/18 11:21:11 HOFZxgY0.net
>>969
定かではありませんが、
5 次拡大がガロア群が可解なら二項拡大
みたいな事書いてました。
でそれは少なくとも下の体がQ(exp(2πi/5))を含む場合でしょと突っ込み入れてました。
実際反礼があるのかと考えてみると中々ないのがわかります。
まずζ=exp(2πi/5), K=Q(ζ), f(x)をQ上の規約多項式で今はこれがK上でも規約まで仮定しておきます。
この上でLをK上の最小分解体, G=Gal(L/K)とし、これが可解とします。
最小性の仮定からGは唯一の極小正規部分群Nを持ち、それが５次巡回群までは自明なのでG/N=Qとおきます。
Qの位数は24の約数で可解なので、少し議論すると2群かまたは位数３の正規部分群を持ちます。
ここで後者とするとGが元々位数15の正規部分群を持ちますが、それはC3×C5しかあり得ず、そのシロー3群は特性部分群なので、Gが位数3の正規部分群を持つことになり、Lの最小性に反します。
以上によりG=N⋊Q、#Q=1,2,4,8まで来ます。
ここでQのNへの自然な作用が自明な元全体をKとすると#Kは4以下でKが非自明なら非自明なセンターを持ち、それはGのセンターになってしまうのでGの最小性に反します。
よってQはe,c2,c4,c2×c2です。
以上の議論を踏まえてQ上のある５次規約多項式がK上でも規約の場合、その最小分解体のガロア群は位数が80の約数で位数5の巡回群を唯一の正規部分群として持つ事が言えます。
さらに絞っていくと位数は5か20しかない事も言えます。
20の場合というのはあるa∈KでLがその最小分解体となるケースです。
この時x^5-N[L/K](a)はLで分解するのでこれがQで規約なら主張は成立です。
aはKの整数としてよく、それが整数環の非可逆元ならやはり容易です。
そうでない場合が残りケース。
実例を調べてみるとこの場合は必ずアーベル拡大になってしまいQ=eになるようです。
もっか調べ中。
誰かが本にそれっぽい事書いてたと言ってたので正しいのは正しいのでしょう。
1053:１３２人目の素数さん
19/10/18 13:15:49.88 et14HmJl.net
おっちゃんです。
>>971
>( 2)の ) ガロア理論が広まって、どんどん代数が抽象化されていった
正則行列による群の表現や群の表現論などの(代数的)表現論の歴史を語ることはかなり難しくなっているが、少なくともここは
>( 2）の) ガロアの群の概念が広まって、どんどん代数が抽象化されていった
の方がいい。
>3）
>もう一つの流れが「解析」で、(熱伝導方程式に関するその方程式を解くことなどのフーリエの研究から生まれたフーリエ級数
>の収束の問題から生じた)ワイエルシュトラスなどの厳密化の流れの中で、カントールの無限集合論が出て来た
>デデキント先生などは、「代数」と「解析」に跨って、「集合論を数学の基礎にすればいい」なんて考えたみたいです
>で、「抽象代数学」がどんどん発展した。高木先生の類体論は、この流れ
ここのデデキントはリーマンの友人でもあった。また、補足して読んだように、多くの解析の分野は物理に基づく問題から生じている。
もしかしたら、複素解析も歴史的にはニュートン力学の運動方程式に基づくといえるかも知れない。
スレ主は解析の歴史を語る上で物理に一切触れていないため、そこは全くのデタラメだな。
1054:
19/10/18 13:36:26 et14HmJl.net
>>972
>５）
>「幾何」は、リーマンとかポアンカレの流れがあって、位相空間や多様体が研究され
>後の「代数幾何」の基礎になった
>（「代数幾何」って、「代数」なのか「幾何」なのか？ｗ ）
>「代数幾何」の流れ中で、グロタンディーク宇宙なんて考えたらしい
クラインはリー
1055:と研究をしたことがあって、リーは幾何を大域的に考える方向へ、クラインはより詳細な幾何的構造を考える 方向に考えるようになった。その段階で生まれたリーのリー変換群(今でいうリー群)や クラインの変換群を用いた幾何の研究のエルランゲン・プログラムも生じた。 そこから生じたリー群(とその表現論)の研究の流れもある。 リー群の表現論は一概に代数、幾何、解析に分類することは出来ない。 リー環の歴史は何といっていいのかよく分からない。
1056:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/18 15:53:29.16 X/c9sPkS.net
>>971 追加
ガロアと名の付く数学用語一覧
（これだけで全部じゃないと思うが）（＾＾
なお、ガロアと名はつかないが、ガロアの後、抽象的な群論が活発に研究された
なので、古典ガロア理論を学べば、必然群論も体論も、おそらくは環や、その他もろもろの代数系の学習の助けになるだろう（＾＾；
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Glossary of field theory
(抜粋)
Types of fields
Finite field
A field with finitely many elements. Aka Galois field.
Frobenius field
A pseudo algebraically closed field whose absolute Galois group has the embedding property.[8]
Field extensions
Galois extension
A normal, separable field extension.
Galois theory
Galois extension
A normal, separable field extension.
Galois group
The automorphism group of a Galois extension. When it is a finite extension, this is a finite group of order equal to the degree of the extension. Galois groups for infinite extensions are profinite groups.
Kummer theory
The Galois theory of taking n-th roots, given enough roots of unity. It includes the general theory of quadratic extensions.
Normal basis
A basis in the vector space sense of L over K, on which the Galois group of L over K acts transitively.
Extensions of Galois theory
Inverse problem of Galois theory
Given a group G, find an extension of the rational number or other field with G as Galois group.
Differential Galois theory
The subject in which symmetry groups of differential equations are studied along the lines traditional in Galois theory. This is actually an old idea, and one of the motivations when Sophus Lie founded the theory of Lie groups. It has not, probably, reached definitive form.
Grothendieck's Galois theory
A very abstract approach from algebraic geometry, introduced to study the analogue of the fundamental group.
1057:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/18 15:54:25.11 X/c9sPkS.net
>>974
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾
1058:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
19/10/18 16:05:27.26 X/c9sPkS.net
>>976
>A field with finitely many elements. Aka Galois field.
Aka：「aka」は、「also known as」の略語
あるものに、何か他の呼び方や名前がある時に使うみたいです（＾＾；
URLﾘﾝｸ(www.eigowithluke.com)
Eigo with Luke
2011.02.16
akaの意味 ネイティブの説明
(抜粋)
今日は「aka」について説明します。この「aka」は、「also known as」の略語になります。
あるものに、何か他の呼び方や名前がある時、「also known as」というフレーズを使ってそれを紹介出来ます。
つまり、「also known as」は「またの名前は」、「通称」などという意味になります。
「also known as」を省略して書く時にはいくつかの書き方があります。
1059:１３２人目の素数さん
19/10/18 16:28:59.71 et14HmJl.net
>>975の訂正：
リー変換群(今でいうリー群) → リー変換群芽(今でいうリー群)
あと、歴史的に一番最初に生じた多様体はリーマン面。
1060:ID:1lEWVa2s
19/10/18 16:34:59.40 8pTIg9/G.net
>>975
リー248群はE8の技
Anthony Garrett Lisi - E8
あいつの素粒子の絵みたことある？
すごいよ。
1061:１３２人目の素数さん
19/10/18 16:40:00.47 et14HmJl.net
複素平面はリーマン面。
>>976
>ガロアと名の付く数学用語一覧
その wiki を見たが、余りないようだな。
1062:１３２人目の素数さん
19/10/18 16:42:58.99 et14HmJl.net
>>980
その素粒子の絵は見たことがない。
1063:ID:1lEWVa2s
19/10/18 16:46:08.52 8pTIg9/G.net
>>982
自分で調べろ。
1064:ID:1lEWVa2s
19/10/18 16:47:34.11 8pTIg9/G.net
>>982
"The Geometry of Particle Physics: Garrett Lisi at TEDxMaui 2013" を YouTube で見る
1065:ID:1lEWVa2s
19/10/18 16:51:16.74 8pTIg9/G.net
"宇宙論「4d2Uとは？」" を YouTube で見る
1066:１３２人目の素数さん
19/10/18 17:14:05.82 et14HmJl.net
>>983-984
英会話の説明はチンプンカンプンだったが、
画面にきれいな対称性を持つ円のような図形は出て来た。
1067:ID:1lEWVa2s
19/10/18 17:24:42.26 KOXE4g88.net
>>986
それでいい
1068:１３２人目の素数さん
19/10/18 17:31:17.59 et14HmJl.net
それじゃ、おっちゃんもう寝る。
1069:１３２人目の素数さん
19/10/18 17:49:53.12 mJ2TyGNr.net
>>973
わたしが理解している話の流れ
位数20の可解群をガロア群として持つ5次方程式の例として
Mara Papiyas氏がx^5-a=0を出した。
しかしスレ主は前々から「基礎体には1のべき根はすべて含まれている」という条件に拘っていて、ガロア群はC_5だろうとこの例を認めなかった。
わたしは、x^3-2=0というQ上S_3をガロア群として持つ有名な例と比較して、氏の例は立派な例になっていることを説明した。
そんな感じですかね。
貴方は途中からよく分からない理由で参入してきた、何をしようとしているのかも不明という印象です。失礼ながら。
1070:１３２人目の素数さん
19/10/18 18:09:03.59 mJ2TyGNr.net
>>973
まず文章が非常に読みにくいです。
反礼→反例、規約→既約 などの誤字が目立ちます。
既約というのは、ご存じでしょうが、これ以上約すことができないという意味だから、既約なんですよ。
規約だと違和感を感じませんか？
Qを有理数体の意味に使ったり、Quotientなる群？の意味に使ったりまぎらわしいです。それはまだしも。
前半の可解な既約5次方程式のガロア群になりうる群位数が制限されるというのは一般的な話ですね。ですが
>さらに絞っていくと位数は5か20しかない事も言えます。
スレに出ていた話では5,10,20のケースがあるそうです。
>20の場合というのはあるa∈KでLがその最小分解体となるケースです。
これが何を言ってるのか分からないです。
>この時x^5-N[L/K](a)はLで分解するのでこれがQで規約なら主張は成立です。
これも意味不明。N[L/K]とはノルム写像ですか？ でも、a∈Kであればノルムを取る意味ありますか？
わたしの理解するところ。位数20の話としましょう。
仮にこのガロア群を持つ方程式がx^5-a=0 の形だとすると、1の原始5乗根ζを添加した後に5次クンマー拡大で分解体に到達することになります。
つまり「位数20のガロア群を持つQ上の5次方程式を解くとき最初の4次拡大は必ずQ(ζ)/Qと一致する」
ことになります。
それはおかしいと思う（ただし直感で詳しく検討してはいないが）、最初からそんな問題意識は持たないです。
そもそも3次の場合は2項方程式に帰着しませんが、それと可解5次の場合の違いが説明できますか？
1071:１３２人目の素数さん
19/10/18 18:17:33.15 ospgeXvi.net
>>989
いや、ま、私が話の流れから考え出した問題がなんの関係もないどうでもいい問題と思われるなら別に構いませんよ。
私は単にQ上既約５次多項式でその分解体のガロア群が可解の場合なのはどんなものがあるのか、x^5-aの形の多項式の分解体になってないものがどのくらいあるのか興味を持っただけですから。
Q(exp2πi/5))上とQ上では話が違うので前者の上で言えたからと言って後者�
1072:ﾌ上で言えるとは限らないのはおっしゃる通り。 なので確かめてみようと思ったまでです。 別に私も誰も興味ないなら判明しても詳しくかくつもりもありません。 ただ私がQ(exp2πi/5))で言えたからQ上でも言えるはずなどという根拠薄弱な事を言ってると思われたようなのでそんな事はなくキチンと数学的に精査して書いてる事を示しただけです。 まぁきりのいいとこまで考えはしますがウザいようなのでもうここには書きません。 お騒がせでした。
1073:１３２人目の素数さん
19/10/18 18:52:33.90 mJ2TyGNr.net
>>991
Q(exp2πi/5))上ならなおさらおかしくないですか？
Q(exp2πi/5))上、方程式x^5-a=0 の分解体は5次クンマー拡大でガロア群は
必然的にC_5なので、ガロア群位数20はそもそも生じないことになります。
基礎体を大きくしてもいいなら、わたしも反例の存在を大まかに説明できるかもしれません。
具体例ではなく、概念的な反例になりますが。
具体例であれば、スレ中に可解な5次方程式についての論文のリンクが貼ってあったので、それが参考になるでしょう。
>まぁきりのいいとこまで考えはしますがウザいようなのでもうここには書きません。
>お騒がせでした。
別にうざくはないですよ。もともとクソみたいなスレなので
落書き帳として使ってもスレ主は本望だと思いますよ（＾＾
仮に間違っていたとしてもスレでは日常茶飯事なので、気にされることもないです。
1074:Mara Papiyas
19/10/18 19:27:51.68 yJv1enDY.net
>>992
＞もともとクソみたいなスレなので
そもそも、ここってクソな1を凹るスレだろ？ｗ
＞仮に間違っていたとしてもスレでは日常茶飯事
1は口を開けば間違いしか言わんからな
それにしても>>973の書き込みはヤバい感じがプンプンしてましたな
5chってそういう人が多いからね 病気なら仕方ないけど
1075:
19/10/18 19:37:34.79 g8NBUxtW.net
>>965
＞書名に「ガロア」と入れると売れるらしい ｗ(゜ロ゜;
そのとおり！
石井俊全氏の「ガロア理論の頂を踏む」をよろしく、
です、私は第2章可解群で撃沈しているのですが…いつかもう一度第一章からチャレンジしたいと思っています
1076:Mara Papiyas
19/10/18 19:44:53.24 yJv1enDY.net
>>970
正直言って、20世紀的な現代数学は、今となってはハンパに古臭い
群論も今の幾何学ではケイリーグラフとかオートマトン構造とか
使って研究してるじゃないですか
要するに大事なのは結果が出るかどうかであって何でもあり
「抽象的」とかいうスタイルとかいうか雰囲気に固執するのは
数学自体に興味はなくて、ただ粋がりたいだけのファッション馬鹿でしょｗ
1077:１３２人目の素数さん
19/10/18 19:57:27.59 ospgeXvi.net
まぁ病気だと思われてまで書くのもなんなのでこれ以上は書きません。
お騒がせでした。
1078:１３２人目の素数さん
19/10/18 20:04:52.92 mJ2TyGNr.net
>>996
病気とは思ってませんよ。
ここに書くことは相手に伝わる文章も書く訓練としてもいいと思います。
また気が向いたら書かれてみては。
正直何が言いたい・やりたいのか分からなかった。少し気になります。
1079:１３２人目の素数さん
19/10/18 20:16:00.41 ospgeXvi.net
やりたい事は
Q上５次既約多項式の分解体のガロア群が可解であるものを分類せよ。
特にx^5-aの形の既約多項式の分解体でないものはどれくらいあるのか？
です。
意外に？ほとんどかの形してます。
少なくとも５次二面体群になるやつはないようで５次巡回拡大かc5⋊(aut(c5))しかないようで後者はあるaでのx^5-aの分解体になるようです。
前に書いたレスでaがQ(exp(2πi/5))の整数環の単数になる場合が検討しきれてない。
1080:
19/10/18 20:27:40 mJ2TyGNr.net
>>998
aがQ(exp(2πi/5))の数ならQ上にならないじゃん
↑
悪意のないツッコミ（＾＾
数え方というのもよく分からない。
自分の構成法が偏ってれば、当然そういう形ばっかりになる
そうでないと言える構成法があるんでしょうか？
1081:
19/10/18 20:31:36 mJ2TyGNr.net
>>995
そういう話はよく分からない。
ガロア理論的数学といえばあからさまなのは数論幾何とか
モッチー理論もダメと言われながら、依然として話題。
1082:1001
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