19/10/20 17:23:10 KcpV49eI.net
2m個並べてその間と両端で2m+1箇所にn+a個を分配すると考えると
平均で(n+a)/(2m+1)個ずつなのでm番目の左にはm(n+a)/(2m+1)個あるから
p=m+m(n+a)/(2m+1)
843:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:31:19 KcpV49eI.net
>>800
スマン
lim(p-m)=(n+a)/2
だわ
844:１３２人目の素数さん
19/10/20 17:46:03.63 EgVBmu6J.net
m番目か。
例が2番目だから2番目で計算して
845:た。 今更のクソ有名問題だから問題文あんま読んでなかったよ。
846:１３２人目の素数さん
19/10/20 18:13:55 b8amhMNj.net
>>807
言い訳するなよカス
847:１３２人目の素数さん
19/10/20 18:30:17 KcpV49eI.net
>>807
なるほど
赤ｎ個白ｍ個で白ｋ個目は平均p=k+kn/(m+1)
848:
19/10/20 19:04:09 qxnnRzZj.net
座標空間に
O(0,0,0)
A(a,0,0)
B(0,b,0)
C(0,0,b)
の4点を取る。a>0,b>0とする。
△ABCの外接円の半径が1の時、
平面ABCとOの距離hの取りうる範囲を求めよ。
東大模試の問題ですが、簡単そうに見えて難しすぎて手が付きません。
お願いします
849:１３２人目の素数さん
19/10/20 19:36:54.69 KcpV49eI.net
>>810
A(1,0,0)
B(x=cosθ,sinθ,0)
C(cosθ,-sinθ,0)
0<θ<π
O(k,0,h)
AO=(k-1,0,h)
BO=(k-cosθ,-sinθ,h)
CO=(k-cosθ,sinθ,h)
AO・BO=AO・CO=(k-1)(k-cosθ)+h^2=0
BO・CO=(k-cosθ)^2-sin^2θ+h^2=0
(cosθ-1)(k-cosθ)+sin^2θ=0
k=cosθ+sin^2θ/(1-cosθ)=1+2cosθ
h^2=sin^2θ-(1+cosθ)^2=-2cosθ-2cos^2θ=-2x^2-2x=-2x(x+1)≦1/2
0<h≦1/√2
850:１３２人目の素数さん
19/10/20 19:52:45.74 KcpV49eI.net
h=1/√2
x=-1/2
θ=2π/3
△ABCは一辺√3の正三角形
a=b=√(3/2)
C(0,0,c),c>0でも答えは同じだろうが面倒くさそう
851:１３２人目の素数さん
19/10/20 21:31:03.10 2hQE7KkD.net
>>797
Ｃ(n,1) = C(n,n-1) = n,
∴ gcd はnの約数。
∴ nの素因数pを見よう。
・nがpベキのとき
pの指数を見ると
e(t) = e(n-t) ≦ e(n) -1,
e{Ｃ(n,t)} = e{n!/[t!(n-t)!]} = e(n) - e(t) ≧ 1,
e(gcd) = 1,
gcd = p,
・nが素因数を2つ以上もつとき
n = p^e･r (r>1, rとpは素)
t = p^e
とする。(t < n)
下記の補題2より
Ｃ(n, t) ≡ r ≠ 0 (mod p)
∴ e(C(n,t)) = 0 なるtがある。
∴ e(gcd) = 0, ････ nのすべての素因数pについて
∴ gcd = 1,
〔補題2〕(Wielandt)
pが素数、e≧0 ならば
Ｃ(p^e･r, p^e) ≡ r (mod p)
彌永昌吉・彌永健一「代数学」岩波全書285 (1976) p.141
852:１３２人目の素数さん
19/10/20 23:05:38.89 7/6VtIIZ.net
3次方程式x^3-3a^2x+a=0が異なる3個の実数解をもつように，定数aのとり得る値の範囲を定めよ。
y=a，y=-x^3+3a^2x
『x＜1のとき』と『x＜1かつ』が頭の中で整理ができません。本質がわかっていません。先生教えてください。
853:１３２人目の素数さん
19/10/20 23:47:18.59 7/6VtIIZ.net
3次方程式x^3-3a^2x+a=0が異なる3個の実数解をもつように，定数aのとり得る値の範囲を定めよ。
y=a，y=-x^3+3a^2x
『a＜1のとき』と『a＜1かつ』が頭の中で整理ができません。本質がわかっていません。先生教えてください。すいません、xではなくてaでした。
854:１３２人目の素数さん
19/10/20 23:48:05.15 b8amhMNj.net
>>814
対数解けなくて暴言吐きまくってたアホだろ？
オマエに数学講師なんて無理だから
855:１３２人目の素数さん
19/10/20 23:50:12.96 KcpV49eI.net
>>814
f(x)=x^3-3a^2x+a
f'(x)=3x^2-3a^2=0
x=±a
f(a)f(-a)=(-2a^3+a)(2a^3+a)=(-2a^2+1)(2a^2+1)a^2<0
-2a^2+1<0
a<-1/√2, 1/√2<a
856:１３２人目の素数さん
19/10/21 00:00:49.69 047ylNxr.net
a＜0のとき，a＜-√2/2，a＞√2/2
かつ
a＜0
答えa＜-√2/2
となってしまいます。
857:１３２人目の素数さん
19/10/21 00:11:32.46 047ylNxr.net
a＜0
a(2a^2-1)＜0
858:１３２人目の素数さん
19/10/21 00:19:12.48 m5R6mUaJ.net
>>810
AB = √(aa+bb) ≧ √(2ab),
BC = √(bb+cc) ≧ √(2bc),
CA = √(cc+aa) ≧ √(2ca),
四面体O-ABC の体積は
V = abc/6,
よって
h = 3V/S
= abc/(2S)
= abc{2R/(AB･BC･CA)}
≦ R/√2,
Sは△ABCの面積, Rは△ABCの外接円の半径
なお、 S = (1/2)√(aabb+bbcc+cca
859:a), 簡単そうに見えて簡単すぎてすいません。
860:１３２人目の素数さん
19/10/21 00:30:12.46 m5R6mUaJ.net
>>820
外接円の中心は
x = (a/2){1 - (bbcc)/(aabb+bbcc+ccaa)},
y = (b/2){1 - (ccaa)/(aabb+bbcc+ccaa)},
z = (c/2){1 - (aabb)/(aabb+bbcc+ccaa)},
x/a + y/b + z/c = 1,
861:１３２人目の素数さん
19/10/21 00:45:46.12 047ylNxr.net
自己解決しました。aのときが極大極小にもなり、-aのときも極大極小になるということでした。
つまり、-a＞aもありえるということでした。
862:１３２人目の素数さん
19/10/21 01:12:19.08 m5R6mUaJ.net
>>814 >>815
本問では
x=min{-a,a} で極大 (f"<0)
x=max{-a,a} で極小 (f">0)
となるから
f(-a)/a = (2aa+1) > 0 … 常に成立,
f(a)/a = (-2aa+1) < 0,
よって
|a| > 1/√2,
863:１３２人目の素数さん
19/10/21 02:52:38.93 IZbBKPbt.net
f(x)=x^2-3x+1
に対し、関数g_[n](x)を以下のように定義する。
g_[0](x)=f(x)
g_[n+1](x)=f(x)
864:１３２人目の素数さん
19/10/21 02:57:01.36 IZbBKPbt.net
f(x)=x^2-3x+1
に対し、関数g_[n](x)を以下のように定義する。
g_[0](x) = f(x)
g_[n+1](x) = | g_[n](x) - |x-1| |
このとき、極限
lim[n→∞] g_[n](1/2)
を求めよ。
865:１３２人目の素数さん
19/10/21 05:41:05.81 m5R6mUaJ.net
>>817 >>823 より
1/(2aa) < 1,
cos(3α) = 1/(2aa) をみたすαが存在する。
f(x)=0 は異なる3個の実数解
x = -2a cosα, -2a cos(α±2π/3)
をもつ。
866:１３２人目の素数さん
19/10/21 08:36:04.87 fnNlCFwl.net
高校入試の問題ですけど分かりません
三角比などを使わずに中学数学の知識で解くにはどうすればよいですか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
867:１３２人目の素数さん
19/10/21 14:37:34.76 9zHfgZaq.net
面積がどれだけ小さい領域であっても長さ無限大の曲線はその領域内に存在できるのでしょうか？
868:１３２人目の素数さん
19/10/21 14:44:18.27 peL5RycB.net
>>828
単位円盤内に長さ無限の曲線を書いたら、それを縮小すれば良い。
869:１３２人目の素数さん
19/10/21 17:25:40.23 tbIQPEG+.net
境界線の内側から厚さεのセロテープを貼り付けてゆく。
中心まで貼り付けると、
テープの長さ ≒ (面積)/ε
ここで、ε→0 とする。
870:１３２人目の素数さん
19/10/21 20:13:45 zT5m2+eQ.net
それはあかん
871:１３２人目の素数さん
19/10/21 22:57:08.16 NweztjQz.net
>>827
Mは円の中心。
〈略証〉
AHの延長と円の交点をD、
AMの延長と円の交点をEとすると、
弧BD=弧CE なので
DE//BC
よってAD⊥DE
ゆえにAEは円の直径
その中点Mは円の中心
(1) BC=√(aa+bb)
△ABH∽△CBAよりAB:BH=CB:BA
BH=AB^2/BC=aa/√(aa+bb)
(2) ∠HAM=θとおくと
∠BAH=∠CAM=3θ=∠MCA
∠ABM=∠MAB=4θ
△ABCの内角の和=14θ=180°
∠BAH=3θ=270°/7
872:１３２人目の素数さん
19/10/21 23:09:08.46 fnNlCFwl.net
>>832
ありがとうございました
873:１３２人目の素数さん
19/10/21 23:13:57.66 IZbBKPbt.net
（1）p,qを互いに素な2以上の自然数とするとき、(q/p)+(p/q)は整数でないことを示せ。
（2）2以上の自然数p,q,rのどの2つも互いに素である。このとき、(q/p)+(r/q)+(p/r)は整数でないことを示せ。
874:１３２人目の素数さん
19/10/21 23:19:44.62 D05aPsuY.net
v(p)>0⇒v((q/p)+(r/q)+(p/r))<0
875:１３２人目の素数さん
19/10/21 23:25:46.13 Ec7LaCUT.net
URLﾘﾝｸ(j-town.net)
876:１３２人目の素数さん
19/10/22 00:05:29.93 v9Jf8CT8.net
>>832
>Mは円の中心。
でたらめ
877:１３２人目の素数さん
19/10/22 01:43:11.83 fspFsipc.net
>>829
長さ無限の曲線の例
y = f(x) = x･sin(π/2x), (0<|x|≦1)
= 0, (x=0)
f(1/(2n-1)) = (-1)^(n-1) /(2n-1),
f(1/(2n+1)) = (-1)^n /(2n+1),
∴ |
878:f(1/(2n-1)) - f(1/(2n+1))| = 1/(2n-1) + 1/(2n+1) > 1/n, 0<x≦1 における曲線の長さ > ζ(1) = ∞ -1≦x<0 でも同様。 それを縮小してコピペする。
879:１３２人目の素数さん
19/10/22 02:17:27.31 fspFsipc.net
>>827
(高校数学・2枚のうち2)
４．円周上に3点 A, B, C を (線分ABの長さ) < (線分ACの長さ) となるようにとり、
線分BCの中点をMとする。
また AH⊥BC となるように直線BC上に点Hをとる。
このとき，∠BAH = ∠CAM となった。
次の問いに答えよ。
(1) AB=a, AC=b とおくとき，BHの長さを a, b を用いて表わせ。
(2) ∠BAH = (1/3)∠HAM のとき，∠BAHの大きさを求めよ。
る点のうち，頂点Aに近い方の点をそれぞれ P, Q とし，
R, S とする。
を V を用いて表わせ。
880:１３２人目の素数さん
19/10/22 02:47:11 fspFsipc.net
>>834
(1) (q/p) + (p/q) = k とおくと
qq + pp = pq k,
よって
qq = p(qk-p),
pp = q(pk-q),
(2) (q/p) + (r/q) + (p/r) = n とおくと
qqr + rrp + ppq = pqr n,
よって
qqr = p(qrn -rr -pq),
rrp = q(rpn -pp -qr),
ppq = r(pqn -qq -rp),
881:１３２人目の素数さん
19/10/22 03:55:30 fKwk6re9.net
>>832はMが円の中心を示すところでギャップはあるけど結論は合ってるのでは？
直線AEについてBの対称点をFとするとMB=MC=MFによりこれらはMは△BCFの外接円の中心。
一方でBは元の円O上でFはその直径に関する対称点だからFもまたO上にある。
よってOは△BCFの外接円。
882:１３２人目の素数さん
19/10/22 04:11:24 nPgnbeAJ.net
>>837
批判するなら根拠をあげろよな。
>>841
フォローthanksです。
私（832）はMを通るBCに垂直な直径を
イメージして略証を書きました。
この直径はADに平行で、
辺DEを二等分しているから、
MはAEの中点だということです。
（ここまで書くべきだったか）
883:１３２人目の素数さん
19/10/22 07:17:58.31 fspFsipc.net
>>838
( 1/(2n-1), (-1)^(n-1) /(2n-1)),
( 1/(2n+1), (-1)^n /(2n+1) ),
を線分で結んだ折れ線でもいいんぢゃね？
884:１３２人目の素数さん
19/10/22 08:39:14.77 v9Jf8CT8.net
>>842
>批判するなら根拠をあげろよな。
>>841
885:１３２人目の素数さん
19/10/22 08:42:57.83 v9Jf8CT8.net
>>842
>MはAEの中点だということです。
でたらめ
886:１３２人目の素数さん
19/10/22 08:54:47.35 v9Jf8CT8.net
>>841
>直線AEについてBの対称点をFとするとMB=MC=MFによりこれらはMは△BCFの外接円の中心。
Mが円の中心だとこの論証成り立たないね
887:１３２人目の素数さん
19/10/22 08:55:53.91 z3GUJ2kx.net
論証が不十分なのであって結論がでたらめなわけではないだろう
それを結論に対してでたらめというのであればその指摘の仕方もでたらめということになる
888:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:02:07.54 v9Jf8CT8.net
>>846
これは撤回
>>847
いずれにせよでたらめ
889:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:18:48.82 z3GUJ2kx.net
Mを通るBCの垂線で対称の図形を描くと対称性から中心だなとわかるんだけど
ちゃんと論証しようとするとなかなか面倒だな
すげえ回りくどい方法しか思いつかない
890:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:53:18.39 uW5K1zmW.net
Mが円の中心とは限らないのでは？
891:１３２人目の素数さん
19/10/22 09:56:18.80 mGU6l6pl.net
>>841で証明できてない？
892:１３２人目の素数さん
19/10/22 10:18:10.17 v9Jf8CT8.net
>>850
>Mが円の中心とは限らないのでは？
円の中心
893:１３２人目の素数さん
19/10/22 10:22:18.20 Q/ObsqEG.net
>>841でMが元の円Oの中心と示せてない？
894:１３２人目の素数さん
19/10/22 10:22:29.99 uW5K1zmW.net
>>850
勘違いしてた。すまぬ。
895:１３２人目の素数さん
19/10/22 12:02:19.45 OwafSnPF.net
>>849
△ABEと△AECが合同になることを言えばいいんでないかい？
まず直角三角形ABHから∠ABC+∠BAH=∠R
円周角の定理と題意から∠EBC=∠EAC=∠BAH
ゆえに、∠ABE=∠ABC+∠EBC=∠R
△ABE�
896:ﾍ円に内接する直角三角形なのでAEは円の直径。 したがって、∠ACE=∠Rで△AECも直角三角形。 一方、三角形の面積を考えると、BM=MCより、△ABM=△AMC,△EBM=△EMC なので、△ABE(=△ABM+△EBM)=△AEC=△AMC+△EMC) △ABEと△AECは面積が同じで斜辺を共有する直角三角形なので、 △ABE≡△AEC（ここ、さらに証明がいる？） ってことで、∠A=∠BAE+∠EAC=∠BAE+∠BEA=∠Rとなり、 △ABCは円に内接する直角三角形なので、BCは円の直径である。 故にBCの中点は円の中心。
897:１３２人目の素数さん
19/10/22 12:30:17.71 nYvyjN1O.net
AEからみてBと同じ高さになる点はAEに関して線対称の点と中心に対して対称の点と二つあってCが後者になる事は示さないとダメでは？
898:１３２人目の素数さん
19/10/22 14:08:59.79 5Oo5GTlx.net
結論は出ているようだが、納得できていない人のために、別解説
B(-1,0),M(0,0),C(1,0),A(x,y),H(x,0),Z(1000,0)
∠ABZ=α、∠AMZ=β、∠ACZ=γ
と置くと、∠BAH=∠CAM という条件は、tan(π/2-α)=tan(γ-β)になるが、
tanα=y/(x+1),tanβ=y/x,tanγ=y/(x-1)
を使って、条件式を整理すると x(x^2+y^2-1)=0 が出てくる。
Aは単位円上の点で無ければならない。つまり、BCの中点Mは、三点A,B,Cを通る円の中心で無ければならない。
899:１３２人目の素数さん
19/10/22 14:12:18.08 F76FDZ6s.net
>>841
> Fはその直径に関する対称点
これってどうしてそう言えるん？
900:イナ
19/10/22 14:14:32.16 JXeDyoH3.net
前>>779
>>827
題意より、a＜b
∠BAH=xとおくと、
BH=Asinx
HM=AMsin3x
HC=bsin4x
AH=acosx=bcos4x
BH+HM=asinx+AMsin3x=BC/2
正弦定理より、
BC/sin∠BAC=AC/sin∠ABC
(BH+HM+MC)/sin5x=b/cosx
(asinx+AMsin3x+BM)/sin(2x+3x)=b/cosx
2(asinx+AMsin3x)/(sin2xcos3x+cos2xsin3x)=b/cosx
AH^2=AB^2-BH^2=AM^2-HM^2
a^2-(asinx)^2=AM^2-(AMsin3x)^2
acosx=AMcos3x
=AM(4cos^3x-3cosx)
難しいな。
図を描きなおすと、
3x+2x=90°でいい気がする。
∠BAC=x=18°
901:イナ
19/10/22 14:18:04.16 JXeDyoH3.net
前>>859訂正。
∠BAH=x=18°
902:１３２人目の素数さん
19/10/22 15:08:43.46 nYvyjN1O.net
>>858
直径に対して直線AE対称になる点をFと置いてる。
MはAE上なので論を待たずBM=FM。
もしC=FとなってしまったらコレでCはBの直径対称点になり、その場合BCとAEは垂直になってH=Mになる。
この場合には確かにMが円の中心でない場合にはなるけど図が与えられててM=Hにはなってないからそのケースは抜いていいんじゃない？
903:１３２人目の素数さん
19/10/22 15:21:49.35 nYvyjN1O.net
>>861
酷い日本語。
直線AEに対するBの線対称点がFね。
暗黙にCとFが一致しないと仮定してるけどC=Fのケースは問題文のAB<ACに反するから図無関係に排除されるね。
904:１３２人目の素数さん
19/10/22 15:35:53.03 RtzJXhtD.net
数式5chで綺麗かつ簡単ににかけるようにならないかな
905:１３２人目の素数さん
19/10/22 16:27:26.28 F76FDZ6s.net
>>862
？
AEが直径かどうかはわかっていないのでは？
906:１３２人目の素数さん
19/10/22 16:45:35.62 v9Jf8CT8.net
>>862
B=CおよびB=Fも排除で
907:１３２人目の素数さん
19/10/22 17:24:27.59 nYvyjN1O.net
>>864
それは前の方で誰かやってる。
908:855
19/10/22 18:06:35.38 OwafSnPF.net
>>856
そうでした！△ABE≡△AECで裏返しの場合も考慮すべきでした。
△ABEと△AECが裏返しの場合にはAB=ACとなってしまうので、AB<ACという題意に
反するので除外できる。
909:855
19/10/22 18:11:17.27 OwafSnPF.net
>>857
中学生向けではありませんよね。
910:１３２人目の素数さん
19/10/22 20:32:47.
911:25 ID:5Oo5GTlx.net
912:１３２人目の素数さん
19/10/22 21:52:45.65 vD0gETra.net
そんなのそもそも成立しないのでは？
AB≠ACの場合ですよ？
913:855
19/10/22 21:54:50.46 OwafSnPF.net
>>869
中学生向けには拘らない解説とのこと、失礼いたしました。
>四角形ABDCが平行四辺形になるように、点Dを取り
ABDCが平行四辺形になるような点Dを円周上に取れるという保証は
ないので、その方針では駄目なのでは？
914:１３２人目の素数さん
19/10/22 21:59:00.47 OGa5AQSO.net
あ、長方形になるか。読み間違えた。>>870は無視でおながいします。
915:１３２人目の素数さん
19/10/22 22:16:17.47 z3GUJ2kx.net
やっぱりかなり回りくどいことになるんかな
記述問題で出されたらかなわんな
答えだけでいいならMが円の中心なら条件を満たすからそれで計算して答え出すけど
受験問題としては悪問の気がする
916:イナ
19/10/22 22:36:33.38 JXeDyoH3.net
前>>860
>>827(1)BH=asinx
AMの延長線上にCD=bsinxかつCD⊥ADとなるDをとると、
AD=bcosx
AH=acosx
BM=CMを使ってxを消せってことだと思う。
△AHM∽△CDMで、
相似比はacosx:bsinx
917:１３２人目の素数さん
19/10/23 00:02:10.99 Ez0ypxZ6.net
>>839
>４．円周上に3点 A, B, C を (線分ABの長さ) < (線分ACの長さ) となるようにとり、
Aを通る直径に関してB,Cが同じ側ではどう？
918:
19/10/23 00:40:01.44 732ZkTKK.net
前>>874
Mが円の中心なのかもね。
919:１３２人目の素数さん
19/10/23 04:40:58.26 vxr9y1cF.net
>>845
バカなの？
>>832 >>841 をよく読め
Mを通りBCに垂直な直線をFGとする。
ただしF, Gは円周上の点。
MはBCの中点だから、FGは円の直径。
AHの延長と円の交点をD、
AMの延長と円の交点をEとする。
∠BAD=∠CAEだから、弧BD=弧CE。
D, Eはlに関して線対称だから、DE⊥FG。
AD//FGだから、∠ADE=90°。
よってAEは円の直径。
MはAE, FGの交点であり、
AE, FGともに円の直径だから、
Mは円の中心である。
でたらめかね？
920:１３２人目の素数さん
19/10/23 06:16:02.14 Ez0ypxZ6.net
>>875
この場合明らかにMは円の中心ではないけど
これを排除できるのは図からというのも
元々Mが円の中心と推測できないように描いたある意味正しくない図であるし
問題文を少々変更して
Hの定義を直線BCに下ろしたではなく線分BCに下ろしたとすればよいかな
でもその場合線分BCには下ろせないから問題に不備とか言われそう
921:１３２人目の素数さん
19/10/23 06:40:36 BlOU1/1z.net
>>829
長さ無限の曲線（単位円内）の例
r = 1/√θ, (θ>1)
s > ∫r dθ = ∫(1/√θ)dθ = [ 2√θ ](1,∞) = ∞
922:855
19/10/23 09:36:23.44 GoYd/f1z.net
>>875,878
ほんとだね。
問題文だけからだと、Hは「線分BC」上ではなく「直線BC上」にあるので、
円の外でもいいことになっちゃう。その場合、解けるんかねぇ？
円の中心をOとして、AM//OCとなるような三角形になるはずだけど、
そこで手詰まり。
923:イナ
19/10/23 13:33:25.15 732ZkTKK.net
前>>876
直角三角形の辺の比は、
a:b:√(a^2+b^2)
BH=a^2/√(a^2+b^2)
=a^2√(a^2+b^2)/(a^2+b^2)
924:１３２人目の素数さん
19/10/23 15:55:39.64 wiyp1kok.net
20bitの値をランダムに選んだ時、1のbitが16個以上存在している確率はどう計算したらいい？
925:１３２人目の素数さん
19/10/23 16:29:01.76 gcwGnCKc.net
(20C0+20C1+20C2+20C3+20C4)/(2^20)
926:１３２人目の素数さん
19/10/23 17:10:56.11 wiyp1kok.net
>>883
ありがと。
やっぱりそれでよかったのか
927:１３２人目の素数さん
19/10/23 17:35:20.62 b61e0juS.net
いつもお世話になっております 質問させて下さい
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
これを求めるのに
t=tanθとおいて、0<θ≦π/4として
t=tanθの時のA,BをAθ、Bθとして
△OAθBθはxz平面となす角がθなので
△OAθBθをz軸中心に微小角⊿θ回転させた微小体積⊿Vを寄せ集めると考えて、
その微小体積⊿Vは(⊿θ/2π)*π*(tanθ^6+tanθ^4)*(2/3)で与えられるので(問題の直角三角形をz軸中心に一周させると円柱から円錐をくり抜いた形になるため)、これをθで積分する、
とやったら全然違う答えになりました。
前も対数螺旋っぽい回転体の問題でこういうことやって全然違う答えが出たのですが
こういう手法はどういう理由で成り立たないのでしょうか？
この求積はどんな形の立体を求積していることになるんでしょうか？
928:１３２人目の素数さん
19/10/23 17:42:14.99 b61e0juS.net
平面の極座標の積分はなんかこんな感じでやってるしいけるかなあ？と思ったらいけなかったのですが
逆にどういう時なら行けますかね？
（そもそも計算ミスしてたら申し訳ありません）
929:１３２人目の素数さん
19/10/23 18:06:48 KGbiC32Q.net
答えは？
930:１３２人目の素数さん
19/10/23 18:12:47 AVFDnPSw.net
底面が1/2 (sinθ/cos^2θ)^2dθ、高さがtan^2θなので微小体積は
dV=1/2 tan^4θ/cos^2θdθ
でないの？
931:１３２人目の素数さん
19/10/23 18:16:12 b61e0juS.net
すいません、よく考えたら
微小部分のハサミうちの原理考えればこの求積はうまくいくに決まってるんだから多分計算ミスですね
スレ汚し失礼しました
932:１３２人目の素数さん
19/10/23 21:48:30 nO+9kV77.net
変な事書いた。
微小体積は柱じゃないね。
底面が(tanθ/cosθ)dθ×(tanθ)^2で高さが(tanθ/cosθ)の四角錐ですな。
933:１３２人目の素数さん
19/10/23 21:50:35.04 HcMsgnAh.net
すみません、次の確率を教えて貰ってもいいですか？
・１から30までの30個の数値うち、１・２・３が当たりとします
・30個の中から３つ、ランダムで引きます
・１つでも当たりを引く確率
私が求めた計算式は以下の通り
1回目で当たる確率・・・30分の3
2回目で当たる確率・・・30分の27（1回目ハズレの確率）×29分の3
3回目で当たる確率・・・｛30分の27×29分の26｝（1・2回目ハズレの確率）×28分の3
1回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＝これが解
……だと考えたのですが、間違ってますよね？
934:１３２人目の素数さん
19/10/23 21:51:09.83 HcMsgnAh.net
訂正一箇所
1回目で当たる確率＋2回目で当たる確率＋3回目で当たる確率＝これが解
935:１３２人目の素数さん
19/10/23 21:59:38.38 ROnYjFd3.net
あってんじゃね？
答えないの？
936:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:02:57.44 HcMsgnAh.net
おっ マジか
良かったこの計算式でいいんですね
いや、計算するだけしといて間違ってたら悲しいので再確認してしまいました
ありがとうございます
937:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:17:36 HcMsgnAh.net
「812分の227」になったので、約28％ですね。
ちなみに、「１」が2回連続で当たる確率は、
812分の227を2乗すればいいのでしょうか？御指南お願いします。
938:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:34:35 OkctwQaA.net
1が2回連続ってどういう意味？
1～30までの30個の札から1枚引くということを2回行う（1回目が終わったら引いた札は元にも戻す）ってこと？
それなら(1/30)^2だよ
なぜ227/812が関係してくると思うのか
939:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:36:31 HcMsgnAh.net
いや、違いますね・・・「１」に限定するのだから
1回目で当たる確率・・・30分の1
2回目で当たる確率・・・30分の29（1回目ハズレの確率）×29分の1＝30分の1
3回目で当たる確率・・・｛30分の29×29分の28｝（1・2回目ハズレの確率）×28分の1＝30分の1
30個のうち3回引いて「１」が出る確率＝10分の1
「１」を2回連続で引いて当たる確率＝（10分の1）＾2＝100分の1＝1％
これで合ってますか？
940:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:37:40 HcMsgnAh.net
>>896
ごめんなさい！3回引けるんです！
3回引いて30個のうちの「１」を、"2回連続で"引ける確率を求めたかったんです
941:１３２人目の素数さん
19/10/23 22:38:36.87 HcMsgnAh.net
引いたくじは戻さないで、30個のうち3個抽出する、という意味です。
そして2回目は一旦くじを全部戻して、また30個のうちから3個引きます。
942:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:02:32.40 Ez0ypxZ6.net
>>885
D=∪[0<t≦1]OA : 0≦x≦1, x^2≦y≦x
V : (x,y)∈D 0≦z≦y^2/x
Sx=∫[x^2,x]y^2/x dy=[y^3/3x][x^2,x]=(x^2-x^5)/3
V=∫[0,1]Sx dx=[x^3/9-x^6/18][0,1]=1/18
943:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:09:03.19 Ez0ypxZ6.net
>>891
1-27C3/30C3=1-27*26*25/30*29*28=1-2*3^3*5^2*13/2^3*3*5*7*29=1-3^2*5*13/2^2*7*29=227/812
944:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:14:45.54 Ez0ypxZ6.net
>>899
29C2/30C3=29*28*3/30*29*28=1/10
(1/10)^2=1/100
945:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:15:03.04 OkctwQaA.net
何が「当たり」で何を「回」と言っているのかがあいまいで回答しづらい
>>891は「1～30までの30個から3個引いて、その中に1、2、3が一つでもある確率」
>>895は「『1～30までの30個から3個引いて、その中に1があれば当たり』を2回やって2回とも当たる確率」
ってことでいい？
それなら>>891も>>897も合っている
こういう計算でよく使われるのは>>891の場合だと「1から『1、2、3が一つも入っていない確率』を引く」というもの
946:１３２人目の素数さん
19/10/23 23:24:27.61 HcMsgnAh.net
>>902-903
ありがとうございます
説明不足もあってすみませんでした
>>902の回答で間違いなさそうです
助かりました！
947:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:37:30.57 3FhA2RkM.net
>>885
第 ４ 問
実数tは 0<t≦1 の範囲を動くものとする。
このとき，座標空間の3点
Ｏ(0,0,0) Ａ(t,tt,0) B(t,tt,tt)
を頂点とする△OABの周および内部が通過してできる立体の体積を求めよ。
>>890
おっしゃる通りです。
底面が OA･dθ×AB で高さが OA の四角錐。
OA = t√(1+tt),
AB = tt,
dθ = dt/(1+tt),
∴ V = ∫[0,1] (t^4)/3 dt
= [ (t^5)/15 ](t=0,1)
= 1/15.
>>900
V: 0≦z≦y,
Sx = ∫[xx,x] ydy = [yy/2](xx→x) = (x^2 -x^4)/2,
V = ∫[0,1] Sx dx = [ (x^3)/6 - (x^5)/10](0→1) = 1/15.
948:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:44:42.99 3FhA2RkM.net
>>879
リチュース(Lituus) と云うらしい。
949:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:54:16 /O8Qdo9l.net
>>905
>V: 0≦z≦y,
なんで？
950:１３２人目の素数さん
19/10/24 00:56:23 /O8Qdo9l.net
ああ(t,t^2,t^3)のねじれ3次曲線かと思った
(t,t^2,t^2)か
951:１３２人目の素数さん
19/10/24 01:14:52.27 3FhA2RkM.net
>>829
長さ無限の曲線（単位円内）の例
r = 1/θ, (θ>1)
s = ∫√{(r')^2 + r^2} dθ
= ∫ √(1/θ^4 + 1/θ^2) dθ
= ∫ (1/θ^2) √(1+θ^2) dθ
= ∫ {1/sinh(t)^2 + 1} dt (θ=sinh(t)とおく)
= -1/tanh(t) + t
= -(1/θ) √(1+θ^2) + log{θ+√(1+θ^2)} → ∞
双曲らせん と云うらしい。
952:イナ
19/10/24 08:40:22.81 0B1Yt9dc.net
前>>881
>>827(1)直角三角形の辺の比は、
a:b:√(a^2+b^2)
∴BH=a^2/√(a^2+b^2)
(2)∠BAH+3∠BAH+∠BAH=90°
5∠BAH=90°
∴∠BAH=
953:18° 270°/7ってなんや？ 思て脅威やったんやが、角度が1/3倍のとこ3倍にした誤答やないんか。
954:１３２人目の素数さん
19/10/24 14:16:04.25 WuHsEr3s.net
確率の問題です。どなたかよろしくお願いします。
A、Bの2名の前にスイッチがあります。2人はゲームがスタート時(0(s))から100(s)経過までにそれぞれ合計X(s)、Y(s)の間スイッチを押さなければならないとします(なお、X>=Y)。
また、途中のスイッチの押し離しは自由にできる。
この条件で、
「Cさんが0(s)~100(s)に一度だけスイッチを押したとき、AとBのうち少なくとも1人がスイッチを押している」確率は幾らでしょうか？
(なお、ABCは互いに別の部屋にいるため干渉出来ないものとする)
955:１３２人目の素数さん
19/10/24 14:32:12.42 zQm6DgOh.net
確率の問題になっていないと思う
956:１３２人目の素数さん
19/10/24 14:38:54.96 zAS90JwW.net
>>911
スイッチを押してる分布が与えられてないから問題としてそもそも成立してないけど、
∀a 0≦t,u≦100
P(時刻tにAがボタンを押してる)=P(時刻uにAがボタンを押してる) かつ
P(時刻tにBがボタンを押してる)=P(時刻uにBがボタンを押してる)
を仮定出来るなら
1-(1-X)(1-Y)
なんだろう。
しかし大学以降の確率の問題で標本空間もその測度も与えないで確率求めよなんて問題ありえないけど。
957:１３２人目の素数さん
19/10/24 14:45:11 mtwH8LP1.net
A君「（(X+1)秒経過後）やべえｗｗｗｗｗ間に合わねえｗｗｗｗｗ」
とならないように、十分にプレッシャーが与えられた状態ですか？
間に合わなかったA君はどうなるんでしょう？殺されるんですか？
958:１３２人目の素数さん
19/10/24 14:55:20.74 WuHsEr3s.net
>>913
1-(1-X)(1-Y)この部分もう少し詳しく教えてください><
959:１３２人目の素数さん
19/10/24 14:58:37.83 /O8Qdo9l.net
>>911
ある時点で押したら離す時点までずっと押し続け離す時点から次の押す時点まではずっと離し続けるのね？
その区間は可算個でも良いの？
カントールセットに含まれる時刻ではスイッチを押しておりそれ以外の中から可算個の区間幅の合計X押すというのは許されないのね？
問題を解く上で問題にはならないことだけれど
問題の設定がハッキリしない問題は問題として問題だと思う
960:１３２人目の素数さん
19/10/24 15:14:48.99 ptDSaeQ8.net
>>915
間違えた。
一様性が成り立つならある時刻tにAがボタンを押してる確率は全ての0≦t≦100に対してX/100だけどそうでない問題文に適合するモデルなんかいくらでもあるし。
当然違うモデル使ったら答えも変わる。
そんな理系の人間なら誰が見ても問題として成立してないとわかるクソ問なんか無視で桶。
961:１３２人目の素数さん
19/10/24 15:24:23.67 WuHsEr3s.net
>>917
確率のなんて分野ですか？
勉強しなおします
962:１３２人目の素数さん
19/10/24 15:34:18.39 WuHsEr3s.net
測度論的確率論ですね
調べました
ども
963:１３２人目の素数さん
19/10/24 15:35:19.66 wyWTVRGi.net
なんて分野とかいう以前の確率論の話。
測度空間も測度も与えないで確率の計算なんかできるわけないというお話。
この問題が問題として成立するような測度空間をどうやったら構成できるかとかならカラテオドリ測度の理論とかチェボタレフ測度とかラドン測度とかの理論を勉強し終わるまで無理。
964:１３２人目の素数さん
19/10/24 19:56:47.97 hFQskzp1.net
複素平面上に適当な積分路をとることにより、
∫[0→∞] {sin(x)}^2/{(1+x)^2} dx
を求めよ。
965:１３２人目の素数さん
19/10/25 08:55:47.90 onRxBb1C.net
∫{sin(x)}^2/(1+x)^2 dx = -sin(2)Ci(2(1+x)) + cos(2)Si(2(1+x)) - {sin(x)}^2 /(1+x),
∫{sin(x)}^2/(1+x)^2 dx = sin(2)Ci(2) + cos(2){π/2 -
966:Si(2)} = 0.399021
967:１３２人目の素数さん
19/10/25 09:51:10.14 rkzzIfYc.net
F(Y_1, ..., Y_n)をZ[x](整数係数１変数多項式環)係数の, Y_1,...,Y_nに関する斉次2次式とせよ. 任意の素数pと任意の自然数mに対しF(Y_1,...,Y_n)=0 mod p^mを満たす整数係数1変数多項式Y_1,...,Y_nが存在すると仮定せよ.
此の時, 整数係数1変数多項式Y_1(x),...,Y_n(x)であってF(Y_1(x),...,Y_n(x))=0
を満たす物は存在するか？
968:イナ
19/10/25 10:54:47.73 YOBv0D/a.net
前>>910
>>905
V=∫[0～1](1/2)√(t^2+t^4)･t^2
=(1/2)∫[0～1]t^3√(t^2+1)
t=sinxとおくと、
V=(1/2)∫[0～π/2]sin^3x√(sin^2x+1)
969:１３２人目の素数さん
19/10/25 11:53:51.63 npZfw841.net
>>923
no
970:１３２人目の素数さん
19/10/25 12:36:28.75 oBAbGRoA.net
あ、任意の素数か、ならyes
971:１３２人目の素数さん
19/10/25 12:37:29.45 oBAbGRoA.net
あ、いや実素点が抜けてるからやっぱりno
972:１３２人目の素数さん
19/10/25 13:08:57.51 NNmQ5NOy.net
すいません、(3)の解説が全然わからないのですが
なぜこの形式でABを通る全ての円を表示できるのでしょうか？
バカですみません
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
973:１３２人目の素数さん
19/10/25 13:50:26.42 cT3+8H/h.net
>>928
その式（※）は円を表している
Aの座標、Bの座標はC1の式とLの式の両方を成り立たせるので※も成り立たせる
従って※はA、Bを円周上に持つ円
974:１３２人目の素数さん
19/10/25 14:22:22.74 NNmQ5NOy.net
>>929
なーーるほど
納得です
ありがとうございます
975:１３２人目の素数さん
19/10/25 14:24:38.78 NNmQ5NOy.net
>>929
すいませんもう一つお願いします
この式でABをとおる全ての円を網羅できることはどうやって言えるのでしょうか？
976:１３２人目の素数さん
19/10/25 14:47:13.17 cT3+8H/h.net
>>931
※の円は直線L上の2点A、Bを通るのでこの2点以外ではLとの共有点は存在しない
A、Bとさらにもう1点L上にはない点Cを用意すればそれらを円周上に持つ円が存在し、
CをL上を除く全ての点を取り得るとすればA、Bを通る全ての円を網羅出来る
Cの座標はL上にはないのでLを表す式を成り立たせることがない
従って、Cの座標を※の式に代入すれば必ずtの一次式になるのでtには解が存在する
つまり、A、Bを通る全ての円に対してtが存在するので※の式はtを実数全体で動かせばA、Bを通る全ての円を網羅している
977:１３２人目の素数さん
19/10/25 14:55:17.68 NNmQ5NOy.net
>>932
なるほど！！！
ありがとうございます
978:イナ
19/10/25 15:55:25.48 YOBv0D/a.net
前>>924
>>905
V=∫[0～1](1/2)√(t^2+t^4)･t^2dt
=(1/2)∫[0～1]t^3√(t^2+1)dt
t=sinxとおくと、
V=(1/2)∫[0～π/2]sin^3x√(sin^2x+1)dx
=(1/2)∫[0～π/2]sin^3x√(sin^2x+1)dx
関数の積の積分はどうやってやるんだったか。
sin^3x√(sin^2x+1)を微分すると、
sin^2xcosx√(sin^2x+1)+sin^3x･2sinxcosx/2√(sin^2x+1)
=sin^2xcosx√(sin^2x+1)+sin^4xcosx√(sin^2x+1)/(sin^2x+1)
だれも解かないみたいだけど、sin^3xと√(sin^2x+1)の積の積分どうやってやるんだったか。
979:１３２人目の素数さん
19/10/25 16:31:27.12 f98Thky1.net
もう答え出てんのに何言ってんの？
980:１３２人目の素数さん
19/10/25 17:29:02.52 X8B2Tg+D.net
松坂和夫著『解析入門（中）』を読んでいます。
以下の事実が証明抜きで使われています。
D_2 Φ および D_3 Φ が連続であることは分かります。
D_1 Φ が連続であることはどうやって証明するのでしょうか？
I を R の区間とする。
f : [a, b] × I → R とする。
D_2 f が [a, b] × I で存在し、連続であるとする。
Φ : I × [a, b] × [a, b] → R を Φ(y, u, v) := ∫_{u}^{v} f(x, y) dx で定義する。
Φ は C^1 級関数である。
981:１３２人目の素数さん
19/10/25 17:37:37.90 onRxBb1C.net
>>922
部分積分と△加法公式により
∫{sin(x)}^2/(1+x)^2 dx = - {sin(x)}^2/(1+x) + ∫sin(2x)/(1+x) dx
= - {sin(x)}^2/(1+x) + ∫{sin(-2)cos(2(1+x)) + cos(-2)sin(2(1+x))}/(1+x) dx
= - {sin(x)}^2/(1+x) - sin(2)∫cos(2(1+x))/(1+x) dx + cos(2)∫sin(2(1+x))/(1+x) dx
= - {sin(x)}^2/(1+x) - sin(2)
982:Ci(2(1+x)) + cos(2)Si(2(1+x)), ここに Si(x) = ∫[0,x] sin(t)/t dt, Ci(x) = ∫[0,x] {cos(t)-1}/t + log(x) + γ,
983:１３２人目の素数さん
19/10/25 18:42:34.74 YutomBhQ.net
>>936
久々にスレ覗いたけど
相変わらずだねー
984:１３２人目の素数さん
19/10/25 19:08:48.88 X8B2Tg+D.net
>>936
他の本（英語の教科書）やWikipediaも見てみたのですが、 Φ が C^1 であることには触れずに、
d/dy Φ(y, u(y), v(y)) を計算するのに、チェインルールを使っています。
985:１３２人目の素数さん
19/10/25 22:54:48.31 Qzgx2fLY.net
自然数k=1,2,...に対して、方程式
x^k-kx-1=0
の解のうち最大のものをM(k)とおく。
lim[k→∞] M(k+1)/M(k)を求めよ。
986:１３２人目の素数さん
19/10/26 04:29:59.22 S8xxgIdK.net
k=1 は解なしのようだけど････
与式は
x^(k-1) = k + (1/x),
kが大きいときも、左辺は有限値に留まるから
x = M(k) ≒ 1
与式から
M(k)^(k-1) ≒ k+1,
M(k) ≒ (k+1)^{1/(k-1)} → 1 (k→∞)
987:１３２人目の素数さん
19/10/26 09:25:42.45 S8xxgIdK.net
>>921 を改作････
1/3 < ∫[0→∞] {sin(x)/(1+x)}^2 dx < 1/2
を示せ。
[不等式スレ１０．243-245]
988:１３２人目の素数さん
19/10/26 20:56:03.56 3GseaLPx.net
m^2 - n^3 = 6 となる整数組 (m, n) が存在しないことを示してください
989:１３２人目の素数さん
19/10/27 08:27:44.13 nRsaMl4S.net
楕円曲線
m^2 - n^3 = k (k≠0)
の整数解 (m,n) については
任意のε>0 に対して、定数 c(k,ε) が存在して
max{|m|,|n|} < exp(c･k^(1+ε))
H.M.Stark: Acta Arith. ２４, p.251-259 (1973)
(例)
m^2 - n^3 = 17, m>0 は 8個の整数解を持つ。
(m,n) = (4,-1), (3,-2), (5,2), (9,4), (23,8), (282,43), (375,52), (378661,5234).
T.Nagell: (1929)
990:１３２人目の素数さん
19/10/27 11:06:52.87 zUNwdL6l.net
>>940
なんか、>>941のロジックがよく分かんなかったので別解考えてみた。
k≧2で、関数f_k(x):=x^k-kx-1 はx=1で極小値-kもち、x>1で単調増加かつf(∞)=∞
なので、M(k)はx>1におけるf_k(x)=0の唯一の解であることが言える。
ここでまず、M(k)>1+1/kを示す。
f_k(1+1/k)=(1+1/k)^k- k(1+1/k) -1 =Σ[i=2 to k]{C(k,i)(1/k)^i} -k
において、C(k,i)(1/k)^i=k(k-1)…(k-i+1)/i!/k^i < 1 なので、Σ… < k-1 となり、
f_k(1+1/k) < -1 ゆえに M(k) >1+1/k
これを利用して、M(k)がkとともに減少する単調数列であることが示せる
f_k(M(k))=M(k)^k -kM(k) -1 =0 より、M(k)^k=kM(k) +1
f_(k+1)(M(k))=M(k)^(k+1)-(k+1)M(k) -1 =M(k)(kM(x) +1) -(k+1)M(x) -1
=kM(k)(M(x) -1) -1 >kM(k)(1/k) -1 = M(k) -1 >1/k >0
したがって、f_(k+1)(x)=0となる最大の解は (1, M(k))の区間内にあるので、
M(k+1) < M(k)
以上よりM(k)は下に有界な単調減少数列なので、単調収束定理より収束値α(≧1)を持つ。
よって、lim[k→∞]M(k+1)/M(k) =α/α=1
991:１３２人目の素数さん
19/10/27 12:01:45.78 zUNwdL6l.net
あ！
M(k) < k^(2/k) と上から抑えられることが示せるので、
1≦lim[k→∞]M(K) ≦ lim[k→∞]k^(2/k) =1 だね。
こっちのほうが簡単か。
f_k(k^(2/k))=k^2 -k^(1+2/k) -1 =k(k-k^(2/k)) -1 >0
∵ {x^(2/x)} = - 2x^(2/x -2)(log x - 1) より、x^(2/x)はx > e で
単調減少なので、k≧4 では、k^(2/k) ≦4^(2/4) =2 → k(k-k(2/k))≧8
ゆえに、1<M(K)<k^(2/k)
992:１３２人目の素数さん
19/10/27 16:58:32.46 /6DQGrbE.net
長方形の向かい合った辺を一回ひねってくっつけるとメビウスの帯になるけど
二回ひねってくっつけたものはひねらないでくっつけた帯と位相同型なんですか？
993:イナ
19/10/27 17:17:04.34 claL+3AV.net
前>>934
もう一回、題意を把握してしっかり図を描いたほうがよさそうだ。
OAが二回出てきて√が消えて、積分がシンプルになるのか。
四角錘か。1/3と1/5で1/15はありうる。
994:１３２人目の素数さん
19/10/27 17:44:29.16 TTd9uH3r.net
>>947
はい
995:１３２人目の素数さん
19/10/27 18:13:52.67 Kr8qHKQN.net
恥ずかしいんですが以下の意味が全く分かりません。
小学生に教えるレベルで解説してもらえないでしょうか？
長さ＝√（ 1700の２乗＋2700の２乗）＝3191
996:１３２人目の素数さん
19/10/27 19:15:36.89 nRsaMl4S.net
>>940
M(k) は x>1 における
x^(k-1) = k + 1/x
の唯一の実解だから >>945
1 < M(k)^(k-1) = k + 1/M(k) < k+1,
1 < M(k) < (k+1)^{1/(k-1)},
ところで
log(k+1) < 2log(1+√k) ≦ 2√k,
log(k+1)/(k-1) → 0 (k→∞)
より
M(k) → 1 (k→∞) >>946
997:946
19/10/27 20:36:36 zUNwdL6l.net
>>951
やはり上から抑えるパターンだけど、>>946よりそっちの不等式の方が自然だね。
lim[k→∞]k^(2/k)=1も飛躍があったし。
log(k+1)/(k-1)→0 (k→∞)はなかなかうまい導出ですね。
ロピタルの定理で済ませちゃいそうなところですが。
998:１３２人目の素数さん
19/10/27 20:53:28 nRsaMl4S.net
>>950
(与式) = √(1700^2 + 2700^2) = 2700√{(17/27)^2 + 1}
3(4･27)^2 - (11･17)^2 = 23 ですが、繰り込んで 0 とします。
これより
(17/27)^2 = 3(4/11)^2,
(17/27)^2 + 1 = (13/11)^2,
なので
(与式) = 2700 * (13/11) = 3190.9
となります。
繰り込み理論では
√3 = (11/4)(17/27)
は有理数です。
999:１３２人目の素数さん
19/10/28 03:59:53.66 M55VqgNP.net
√3 を求めるなら、
a_n - b_n√3 = (2-√3)^n (*)
→ 0 (n→∞)
とおいて
√3 = a_n/b_n
とする方がいいな。
(*) とその共役
a_n + b_n√3 = (2+√3)^n
をかけると
(a_n)^2 - 3(b_n)^2 = 1, (**)
いわゆるペル方程式となる。
これから
a_(n+1) = 2a_n + 3b_n,
b_(n+1) = a_n + 2b_n,
a_(n+1) = 4a_n - a_(n-1),
b_(n+1) = 4b_n - b_(n-1),
1000:１３２人目の素数さん
19/10/28 04:41:20.49 M55VqgNP.net
>>951 より
1/M(k) > (k+1)^{-1/(k-1)} = e^{-log(k+1)/(k-1)} > 1 - log(k+1)/(k-1),
M(k)^(k-1) = k + 1/M(k) > (k+1) - log(k+1)/(k-1),
1 < {(k+1) - log(k+1)/(k-1)}^{1/(k-1)} < M(k) < (k+1)^{1/(k-1)},
1001:１３２人目の素数さん
19/10/28 08:04:28.96 vKTjuP/t.net
>>950
ちょっと質問の意味がわからない
計算は電卓にやらせればいいんでないの？
その式になるのは三平方の定理からなんだと思う
1002:１３２人目の素数さん
19/10/28 17:01:11.83 0QIxwqsA.net
１～６までの数字からランダム抽出する場合 偶数が出る確率は2分の1であるが
１～６００００までの数字からの場合でも2分の１であるのでしょうか？
1003:１３２人目の素数さん
19/10/28 22:56:16.71 /8nzyjyv.net
（1）実数xについての関数f(x)は以下の『【性質】（ア）（イ）』の2つのみを同時に持つ。
このようなf(x)のうち、(-∞,∞)で連続であるものを1つ例示せよ。
【性質】
ある実数pがただ1つ存在して、
（ア）t≠pである全ての実数tに対しf'(t)>0
（イ）f'(p)≦0
（ウ）f'(p)<0
（2）（1）の文章のうち、『【性質】（ア）（イ）』を『【性質】（ア）（ウ）』に変更する。
そのようなf(x)は存在するかどうか答えよ。
存在する場合は（1）と同様に1つ例示せよ。
1004:１３２人目の素数さん
19/10/28 23:16:48.71 M55VqgNP.net
>>957
はい。
1005:１３２人目の素数さん
19/10/29 08:56:35.71 94bO6zX7.net
y'とdy/dxって同じですか？
1006:１３２人目の素数さん
19/10/29 09:26:50.00 gmdFPnoe.net
>>958
(1)f(x)=x^2
(2)なし
1007:１３２人目の素数さん
19/10/29 09:36:42.54 zCf5YRIu.net
>>958
(1)f(x)=x^3
(2)存在しない
∵平均値の定理より任意のhに対してpとp+hを境界とする開区間内の点qが存在して
{f(p+h)-f(p)}/h=f'(q) が成立するが、q≠pなのでf'(q) > 0
したがって、f'(p)=lim[h→0]{f(p+h)-f(p)}/h =lim[q→p]f'(q)≧0
1008:イナ ◆/7jUdUKiSM
19/10/29 10:19:13 cxKisfmq.net
前>>948
>>957
(確率)=(その場合の数)/(すべての場合の数)
1から60000の中に偶数はちょうど30000個ある。
今数と言ってる数が自然数だとして、
偶数が出る確率は、
30000/60000=1/2
1009:１３２人目の素数さん
19/10/30 09:45:02.39 tHOggqKz.net
P(p,p²)Q(q,q²)の二点があって、PQの中点Mの軌跡を考えたいとして
pとqを-1倍したものを考えればあるMに対してy軸対称なM'が得られるよ
ってことを写像の矢印↦を使って簡潔にかくとどういう文章になりますか？
1010:１３２人目の素数さん
19/10/30 11:42:01.88 BmR+wraF.net
>>958 (2)
tを１つとり (t≠p)
g(x) = f(x)-f(p) - {[f(t)-f(p)]/(t-p)}(x-p),
とおく。
これは [p,t]で連続、(p,t)で微分可能で g(p) = g(t) = 0,
∴ g '(q) = 0, なるqが [p,t] にある。(ロルの定理)
∴ [f(t)-f(p)]/(t-p) = f '(q) >0
t→p のとき q→p で
f '(p) = lim[q→p] f '(q) ≧ 0,
(*) ロルの定理は
高木貞治：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第2章, §18., 定理19, p.47
>>962 と同じだけど････
1011:１３２人目の素数さん
19/10/30 12:32:17.70 Pd5Qd0SE.net
非線形の代数学ってありますか？
あと線形代数の線形は1次という意味だと思いましたが、なぜ行列が1次を意味するのでしょうか。
1012:１３２人目の素数さん
19/10/30 15:32:45.33 Pd5Qd0SE.net
係数だけ見て1次か聞いてもな
1013:１３２人目の素数さん
19/10/30 16:33:47.03 8UpMaInG.net
>>967
線形代数の線形とは何を意味して、線形でない代数とは何でしょうか
1014:１３２人目の素数さん
19/10/30 17:19:40.08 Y9vZmKL5.net
>>966
お前の言う「非線型の代数学」が何を指してるか知らんが、「線型とは限らない」の意味なら群論環論その他ほとんどの代数が非線形
線型代数は「線型空間(＝ベクトル空間)を扱う代数」って意味で、行列は線型写像っていう重要な写像を表現するのに便利だから詳しく学ぶだけ
1015:１３２人目の素数さん
19/10/30 19:11:03 wXn4x2UC.net
「線形」の定義(＝加法的かつ斉次的)を示したらそれで終わりじゃね？
1016:１３２人目の素数さん
19/10/30 20:46:21.65 t7sGiTtS.net
>>970
線形という用語は多義的よ
1017:１３２人目の素数さん
19/10/30 21:12:04.89 eM0JQigw.net
「モジュール化」と加群。
「互換性」と圏論。
1018:１３２人目の素数さん
19/10/31 09:36:09.98 +eBgn0Vr.net
銭形ダイ�
1019:X 「銭形平次」で使用されるサイコロをいう？ （原作：野村胡堂、主演：若山富三郎、安井昌二、大川橋蔵、風間杜夫、北大路欣也、ほか）
1020:１３２人目の素数さん
19/10/31 14:08:29.90 7K7rmEVV.net
y4 + p y2 + q y + r = 0
と書く。 q = 0 の時は、 複二次式として解けばよいので、以後は q ≠ 0 とする。
媒介変数 u ≠ 0 を用い
(y^2+(p+u)/2)^2-u(y-q/2u)^2=0
と変形する。ここで上式を展開し係数を比較すると、u の三次方程式
u (p + u)2 － 4 r u = q2
が得られる。このような補助的な方程式を、与えられた四次方程式に関する三次分解方程式(resolvent cubic equation) という。 q ≠ 0 なので、この分解方程式の解は u ≠ 0 を満たしており、この解の一つを u として取る。また、求める四次方程式は
{(y^2+(p+u)/2)+√u(y-q/2u)} {(y^2+(p+u)/2)-√u(y-q/2u)}=0
となり、この 2 つの二次方程式から、四次方程式の根を求めることができる。
ここで uか わかりません
uを いれる 理由は 因数分解して 二次式を 二たつに 作るのに 効率的できたからのわ わかるけど
なぜ
(y^2+(p+u)/2)^2-u(y-q/2u)^2=0という 形に なるのか わかりません
ただ uたけ 入れれば いですよね
なのに なせ 分數(+(p+u)/2)たたり uを マイナスに 入れたり
あの式((y^2+(p+u)/2)^2-u(y-q/2u)^2=0)自体か 意味不明です
なせ あんな 式に なるのか 詳く 説明 おねがいします
1021:１３２人目の素数さん
19/10/31 16:48:49 woI6+n7f.net
どこの人？
1022:１３２人目の素数さん
19/10/31 18:32:54 P/MnR5w9.net
ｎ次関数 y=x^n+a_1*x^(n-1)+...+a_(n-1)*x+a_n
平行移動とｘ、ｙ軸方向の拡大縮小でグラフが重なるものは同じものとみなすと
異なる関数はいくつあるか？
例 ｎ＝１,２のときは一つ、 n=３のときは２つ
1023:１３２人目の素数さん
19/10/31 18:45:09.09 vXXl1OUE.net
n≧4のとき∞
1024:１３２人目の素数さん
19/10/31 19:39:44.36 P1iHVejH.net
高校レベルの問題で申し訳ないんだけど
2ー2Cosθ＝2ー2cos(2•θ/2)
=2ー2(1ー2sin^2θ/2)
が分からん
式が見づらかったらごめん
1025:１３２人目の素数さん
19/10/31 19:45:26.89 KpPWsEzW.net
>>974
x^4+Px^2+Qx+R=0
という式を
(x^2+a)^2=b(x+c)^2 ・・・・・ (※)
という形に変形できたら、（両方とも、四次の係数は1、三次の項は無しなので、可能なはずと予想）
x^2+a=±√b(x+c)
となって、後は二次方程式を解けばよいということになる。これが目標。
(※)を展開して左辺に移すと、
x^4+(2a-b)x^2-2bcx+a^2-bc^2=0 だから、
P=2a-b
Q=-2bc
R=a^2-bc^2
であればよく、これを満たすa,b,cを、P,Q,Rを使って表すことを目標に式変形を行うと、
a=(P+b)/2
4R=4(((P+b)/2)^2-bc^2)=P^2+2Pb+b^2-4bc^2=P^2+2Pb+b^2-Q^2/b から
b^3+2Pb^2+(P^2-4R)b-Q^2=0 というbについての三次方程式が導かれる、ということ。
この式は、b→u と置き換えれば、 「 u (p + u)2 － 4 r u = q2 」 と同じ。
1026:１３２人目の素数さん
19/10/31 20:12:03.86 IEA0zJ1O.net
>>978
cos(2x)=cos(x+x)=cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)=1-2sin(x)sin(x)
1027:１３２人目の素数さん
19/10/31 20:23:17.77 OqeQvRp2.net
981 = 9^2 + 30^2 = 31.3209195267^2
1028:１３２人目の素数さん
19/10/31 20:26:33.86 P1iHVejH.net
>>980
そういうことだったんですね！
本当にありがとうございます！
1029:１３２人目の素数さん
19/11/01 00:57:50 Oo6ZZAZP.net
平面上に点A(3,4)がある。
正多角形のうち、その頂点で格子点となるものがAのみであるものを考える。
またそれらの全体からなる集合をSとする。
円C:x^2+y^2=25に内接する正n角形で、点Aを1つの頂点とするものはただ1つに定まるが、それをV_nとおく。
V_nがSに属するための、nについての必要十分条件を求めよ。
1030:１３２人目の素数さん
19/11/01 01:07:34 7JxrYwsH.net
n≠4
1031:１３２人目の素数さん
19/11/01 01:13:48 p7+5c2nZ.net
n:odd
1032:１３２人目の素数さん
19/11/01 01:32:06.50 KP9uuRHQ.net
>>976
y=x(x-1)(x+1) と y=x(x-2)(x+1)は縮尺変えるだけでは重ならないからn=3も無限個あるか
1033:１３２人目の素数さん
19/11/01 01:37:56.27 oqKRd891.net
導関数かx軸方向の拡大縮小、平行移動とy軸方向の拡大縮小で重なるよ。
1034:１３２人目の素数さん
19/11/01 01:46:11.55 lIYqOJkh.net
あれ？n=1では定数と定数でないのは写り合わないな。
0倍は拡大縮小に入らないだろ？
1035:１３２人目の素数さん
19/11/01 01:51:35.22 KP9uuRHQ.net
あそうか変曲点原点にしてからｘｙサイズ変えればいいのか
1036:１３２人目の素数さん
19/11/01 02:04:01.00 bZF8kUUR.net
>>974
{y^2 + (p+u)/2}^2 - u(y-q/2u)^2
を展開して高次の項から並べれば
y^4 + py^2 + qy + (p+u)^2 /4 - qq/4u,
定数項 以外は与式と同じです。
完全に一致するためには、定数項を一致させればよい。
(p+u)^2 /4 - qq/4u = r,
u(p+u)^2 -4ru = qq,
1037:１３２人目の素数さん
19/11/01 02:13:43.09 KP9uuRHQ.net
y=x^3,y=x(x^2+1),y=x(x+1)(x-1)は重ならないから三種類か
四次関数のW字の曲線が同じものとみなせるような変数変換ってどういうのになるのかな
1038:１３２人目の素数さん
19/11/01 02:22:00.26 XHdnh6nj.net
導関数がx軸方向の拡大縮小と平行移動、y軸方向の拡大縮小で重なることが必要十分だけど、4次関数において導関数の三つの解の二つの巾の比率はこの三つの変換でかわらないから、4次関数の類は無限にある。
つまり∫(x+1)(x-r)dx (r>0)はすべて異なる類。
1039:１３２人目の素数さん
19/11/01 02:52:53.94 bZF8kUUR.net
n=3 のとき
y = x^3 + a1･x^2 + a2･x + a3,
= (x + a1/3)^3 + (a2 - a1･a1/3)(x + a1/3) + {a3 - a1･a2/3 + (2/27)a1^3}
∴ x + a1/3 = X,
y - {a3 - a1･a2/3 + (2/27)a1^3} = Y,
とおくと
Y = X^3 + (a2 - a1･a1/3)X,
・a2 - a1･a1/3 = 0 のとき
Y = X^3,
・a2 - a1･a1/3 >0 のとき
Y = X^3 + qqX, Y/q^3 = (X/q)^3 + (X/q),
・a2 - a1･a1/3 <0 のとき
Y = X^3 - qqX, Y/q^3 = (X/q)^3 - (X/q),
1040:１３２人目の素数さん
19/11/01 03:37:49.06 bZF8kUUR.net
>>986
q = √(7/3) とする。
y = x(x-2)(x+1) = (x-1/3)^3 - qq(x-1/3) - 20/27,
∴ (y + 20/27)/q^3 = {(x-1/3)/q}^3 - {(x-1/3)/q},
∴ Y = X^3 - X = X(X-1)(X+1),
となるから重なる････
1041:１３２人目の素数さん
19/11/02 05:49:15.49 3PnzmJS5.net
>>981
981 = 3^2･109, 109 = 4･27+1,
p≡3 (mod 4) の指数はすべて偶数。
∴ 2つの平方数の和で表わせる。
(2平方和の定理）
1042:１３２人目の素数さん
19/11/02 20:06:41.79 sISAkH6C.net
以下の等式を成立させる自然数の組(a,b,c)を全て求めよ。
a^2+b^2=a^3+c^3=(b+c)/a
1043:１３２人目の素数さん
19/11/02 21:50:11.43 2XQ0UPh4.net
a=b=c=1
1044:１３２人目の素数さん
19/11/03 00:40:34 56MG24AP.net
A=
[[1,2,3],
[
1045:4,5,6], [7,8,9]] この行列AをLU分解したときに L= [[1,0,0], [4,1,0], [0,-8/3,1]] U= [[1,2,3], [0,-3,-6], [7,0,-7]] これは(三角行列ではないため)LU分解とはいわないのでしょうか？
1046:１３２人目の素数さん
19/11/03 08:29:43 cGhpq8uA.net
>>996
aa + bb = 2ab + (a-b)^2
= 2b/a + 2b(aa-1)/a + (a-b)^2,
a^3 + c^3 = aa + cc + aa(a-1) + cc(c-1)
= 2ac + (a-c)^2 + aa(a-1) + cc(c-1)
= 2c/a + 2c(aa-1)/a + (a-c)^2 + aa(a-1) + cc(c-1),
より
2(b+c)(aa-1)/a + (a-b)^2 + (a-c)^2 + aa(a-1) + cc(c-1) = 0,
各項≧0 だから a=b=c=1 >>997
>>998
いわない。
|A-xI| = x(18+15x-xx),
Aの固有値は λ = 0, (15±3√33)/2
これをLの主対角線に並べる。
1047:１３２人目の素数さん
19/11/03 11:15:57.56 m317xLe5.net
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