19/10/13 18:22:49.15 O7sZwhdv.net
松坂和夫著『解析入門中』を読んでいます。
以下の命題の証明で、「選出公理」を使っていますよね？
A を距離空間 X の部分集合、 a を X の点とする。 a が A の触点であるためには、 lim_{n → ∞} x_n = a となる
ような A の点列 (x_n) の存在することが必要かつ十分である。
証明
a ∈ 「A の閉包」ならば、任意の n = 1, 2, 3, … に対して
B(a ; 1/n) ∩ A ≠ φ
である。そこで B(a ; 1/n) ∩ A から点 x_n をとれば、 (x_n) は A の点列で、
d(x_n, a) < 1/n であるから、 x_n → a となる。